第 4 章静态场分析

电磁场与电磁波第 4 章静态场分析

第 4 章静态场分析静态场的工程应用

一、静态场特性

二、泊松方程和拉普拉斯方程

三、静态场的重要原理和定理

四、镜像法

五、分离变量法

六、复变函数法


喷墨打印机工作原理选矿器

硫酸盐矿石英

含石英硫酸盐矿

静态场的工程应用


均匀电场中带电粒子的轨迹

阴极射线示波器原理


磁分离器回旋加速器


磁悬浮列车


磁录音原理：


一、静态场特性1. 静态场基本概念

– 静态场是指电磁场中的源量和场量都不随时间发生变化的场。

– 静态场包括静电场、恒定电场及恒定磁场，它们是时变电磁场的特例。

– 静电场是指由静止的且其电荷量不随时间变化的电荷产生的电场。

– 恒定电场是指导电媒质中，由恒定电流产生的电场。

– 恒定磁场是指由恒定电流或永久磁体产生的磁场，亦称为静磁场。

0, 0, 0VD B

t t t


c

c

d d

d 0

d d

d 0

d 0

l S

l

VS V

S

S

H l J S

E l

D S V

B S

J S

c

c

0

0

0

V

H J

E

D

B

J

2. 静态场的麦克斯韦方程组– 静态场与时变场的最本质区别：静态场中的电

场和磁场是彼此独立存在的。


1. 静电场的泊松方程和拉普拉斯方程二、泊松方程和拉普拉斯方程

E

VD E ( ) V 2 V

2 0

静电场基本方程

d 0

d d

l

VS V

E l

D S V

0

V

E

D

D E

—— 静电场是有散 ( 有源 ) 无旋场，是保守场。

—— 泊松方程

—— 拉普拉斯方程0

无源区域


2. 恒定电场的拉普拉斯方程

E

c 0J E ( ) 0

2 0

恒定电场基本方程

c

d 0

d 0

l

S

E l

J S

0

0

E

J

cJ E

—— 导电媒质中的恒定电场具有无散、无旋场的特征，是保守场

—— 拉普拉斯方程


3. 恒定磁场的矢量泊松方程

B A

cB H J

cA J

2c( )A A A J

0A

洛仑兹规范

—— 矢量泊松方程 2cA J

cd d

d 0

l S

S

H l J S

B S

c

0

H J

B

B H

恒定磁场基本方程

—— 恒定磁场是无散有旋场。


2 0A

—— 矢量拉普拉斯方程

mH

0H

注意：标量磁位只有在无源区才能应用，而矢量磁位则无此限制。

2m 0

c 0J

2

2

2

x x

y y

z z

A J

A J

A J

2cA J

分解

在没有电流分布的区域内，磁场也成了无旋场，具有位场的性质，引入标量磁位来表示磁场强度。即 mH

m

—— 标量拉普拉斯方程


2

2 2 22

2 2 2x y z

2 22

2 2 2

1 1( )r

r r r r z

22 2

2 2 2 2 2

1 1 1( ) (sin )

sin sinR

R R R R R

拉普拉斯算子

直角坐标系

圆柱坐标系

球坐标系


三、静态场的重要原理和定理1. 对偶原理

(1) 概念：如果描述两种物理现象的方程具有相同的数学形式，并具有对应的边界条件，那么它们解的数学形式也将是相同的，这就是对偶原理，亦称为二重性原理。具有同样数学形式的两个方程称为对偶方程，在对偶方程中，处于同等地位的量称为对偶量。

静电场 ( 无源区域 )

恒定电场 ( 电源外区域 )

0E

0E

E

E

0D

c 0J

D E

J E

2 0 2 0

dS

q D S

c dS

I J S

(2) 静电场与恒定电场• 对偶方程• 对偶量


(3) 静电场与恒定磁场 • 对偶方程• 对偶量

(4) 有源情况下的对偶关系• 对偶关系存在• 不像上述两种情况那样一目了然

(5) 应用• 电偶极子和磁偶极子辐射的对偶关系，• 某些波导中横电波 (TE 波 ) 和横磁波 (TM 波 ) 间的对偶关系

静电场 ( 无源区域 ) 恒定磁场 ( 无源区域 )

0E

0H

0D

0B

D E

B H

2 0 2m 0

dS

q D S

dm Sq B S


2R

1R

例 1: 已知无限长同轴电缆内、外半径分别为和，如图所示，电缆中填充均匀介质，内外导体间的电位差为，外导体接地。求其间各点的电位和电场强度。

1R 2R

U

解：根据轴对称的特点和无限长的假设，可确定电位函数满足一维拉普拉斯方程，采用圆柱坐标系1

( ) 0rr r r

lnA r B 积分

由边界条件1lnU A R B

20 lnA R B 2

1 1

2 2

lnln ln

U UA B R

R RR R

2

2

1

lnln

RUR rR

则： E

2

1

ˆln

r

UE a

Rr

R


解 : (1) 由于内、外导体的电导率很高，可以认为电力线仍和导体表面垂直，和静电场的边界条件一致，利用对偶原理，可以立即得到

22

2

1

lnln

RUR rR

22

1

ˆln

r

UE a

Rr

R

21

2

1

lnln

RUR rR

12

1

ˆln

r

UE a

Rr

R

(2)单位长度同轴线漏电流密度为

c 22

1

lnr

UJ E a

Rr

R

c2

1

2d

lnS

UI J S

R

R

例 2: 如图所示，在电缆中填充电导媒质，其他条件同“例 1”，求 : (1) 内外导体间的电位及电场强度。 (2)单位长度上该同轴线的漏电流。

则漏电流为

2R

1R


2. 叠加定理若和分别满足拉普拉斯方程，则和的线性组合

必然满足拉普拉斯方程。

证明：

已知和满足拉普拉斯方程

所以：

1 2a b

2 2 2 21 2 1 2

2 21 2

( ) ( ) ( )a b a b

a b

2 21 2 0

2 0

利用叠加定理，可以把比较复杂的场问题分解为较简单问题的组合，便于求解。

1 2 1 2

21


3. 惟一性定理边值问题的分类

狄利克雷问题：给定整个场域边界上的位函数值

聂曼问题：给定待求位函数在边界上的法向导数值

混合边值问题：给定边界上的位函数及其法向导数的线性组合

惟一性定理：在给定边界条件下，泊松方程或拉普拉斯方程的解是惟一的。

用反证法可以证明。

( )f s

( )f sn

1 2( ) ( )f s f sn

惟一性定理为某些复杂电磁问题求解方法的建立提供了理论根据。镜像法就是惟一性定理的直接应用。


四、镜像法镜像法概念：在一定条件下，可以用一个或多个位于待求场域边界以外虚设的等效电荷来代替导体表面上感应电荷的作用，且保持原有边界上边界条件不变，则根据惟一性定理，空间电场可由原来的电荷和所有等效电荷产生的电场叠加得到。这些等效电荷称为镜像电荷，这种求解方法称为镜像法。

理论依据：惟一性定理是镜像法的理论依据。


应注意的问题：

① 镜像电荷位于待求场域边界之外。

② 将有边界的不均匀空间处理为无限大均匀空间，该均匀空间中媒质特性与待求场域中一致。

③实际电荷 ( 或电流 ) 和镜像电荷 ( 或电流 )共同作用保持原边界处的边界条件不变。


待求场域：上半空间边界：无限大导体平面边界条件：

1. 点电荷对无限大接地导体平面的镜像

q

导体平面0

z

d

d

q

q

p

xo

1r

2r导体平面

在空间的电位为点电荷 q 和镜像电荷 -q 所产生的电位叠加，即

0 1 2

1 1

4π

q

r r

1 2r r

电位满足边界条件

导体平面边界上：0


E

3/ 2 3/ 22 2 2 2 2 204π ( ) ( )

x

q x xE

x y z d x y z d

3/ 2 3/ 22 2 2 2 2 204π ( ) ( )

y

q y yE

x y z d x y z d

3/ 2 3/ 22 2 2 2 2 204π ( ) ( )

z

q z d z dE

x y z d x y z d

1/ 2 1/ 22 2 2 2 2 20

1 1

4π ( ) ( )

q

x y z d x y z d

上半空间的电场强度：

电位：


• 导体表面感应电荷

• 导体表面上感应电荷总量

• 导体表面上感应电荷对点电荷的作用力

0 2 2 2 3/ 22π( )S n z

qdD E

x y d

2 2 2 3/ 2

d d

d d2π( )

S Sq x y

qdx y q

x y d

2

2016π z

qF a

d


2. 线电荷对无限大接地导体平面的镜像

将无限长的线电荷看作无数个点电荷的集合。根据点电荷对无限大接地导体平面的镜像原理，可得到线电荷对应的镜像电荷仍为平行于导体表面的线电荷，其电荷密度为

待求场域中的电位

上半空间的电场

y

x0

l

h

x00 o

( , , )P x y z

y

h

h

l

l1r

2r

l

( 0)y 2

0 1

ln2π

l r

r

1 20 1 0 22π 2π

l lr rE a a

r r


3. 点电荷对无限大介质平面的镜像

1 2

q

1 1

qq

R

R

p

d d

设想用镜像电荷代替界面上极化电荷的作用，并使镜像电荷和点电荷共同作用，满足界面上的边界条件。

当待求区域为介质 1 所在区域时，在边界之外设一镜像电荷 q′

11 14π 4π

q q

R R

1 2 2

ˆ ˆ4π 4πR R

q qD a a

R R

介质 1 中任一点的电位和电位移矢量分别为：


2 2

q q

p

R

当待求区域为介质 2 所在区域时，设一镜像电荷 q″ 位于区域 1 中，且位置与 q 重合，同时将整个空间视为均匀介质 2 。于是区域 2 中任一点的电位和电位移矢量分别为：

224π

q q

R

2 2

ˆ4π R

q qD a

R

在分界面 (R = R′= R″) 上，应满足电位和电位移矢量法向分量相等的边界条件：

1 2 1 2n nD D

1 2

q q q q

q q q q

1 2

1 2

q q q


电介质中的电场分布：

1 2 1 1

1 2

1 2

q q

1 2

1 2

q q

qqq q q

2 2


4. 线电流对无限大磁介质平面的镜像

当计算上半空间的磁场时可认为整个空间充满磁导率为 μ1 的磁介质，

在下半空间有一镜像电流 I′，与 I关于分界面对称 ( 如图所示 ) 。上半空间任一点的磁场为

1 2π 2π

I IH a a

r r

设想用镜像电流代替磁化电流的作用，并在界面上保持原有边界条件不变


当计算下半空间磁场时可认为整个空间充满磁导率为 μ2 的磁介质，在上半空间有

一镜像电流 I″，与电流 I 位置重合 ( 如图 ) 。下半空间任一点的磁场为

在分界面 (r = r′= r″) 上，磁场满足边界条件： 1t 2tH H 1n 2nB B

1t sin sin2π 2π

I IH

r r

1 1

1n cos cos2π 2π

I IB

r r

2t sin2π

I IH

r

2

2n

( )cos

2π

I IB

r

2 1

2 1

I I I

2 2π

I IH a

r


讨论： 2 1

2 1

I I I

(1) 当时，，说明与方向相同，与方向相反。

2 1 0, 0I I I I

I I

(2) 当时，，说明与方向相反，与方向相同。

2 1 0, 0I I I I

I I

2 2

1 2 12 2 2 2

1 2

1lim lim ( )

2π π

IB H I I

r r

(3) 当有限时，，此时铁磁质中但。

1 2

2 0B

,I I I I

2 0H

(4) 当有限时，，此时中磁场为原来的两倍。

22 1 ,I I I I


I I2 1

2 1

I I

上半空间的磁场：当有限时，1 2

磁壁


I I

2

上半空间的磁场：当有限时，1 2


5. 点电荷对半无限大接地导体角域的镜像由两个半无限大接地导体平面形成角形边界，当其夹角为整数时，该角域中的点电荷将有个镜像电荷，该角域中的场可以用镜像法求解

当 n=2 时：

该角域外有 3 个镜像电荷 q1 、 q2 和 q3 ，位置如图所示。其中

π,n

n

1 2 3, ,q q q q q q


当n=3 时：

角域夹角为 π/n ， n 为整数时，有 (2n－ 1) 个镜像电荷，它们与水平边界的夹角分别为

n 不为整数时，镜像电荷将有无数个，镜像法就不再适用了；当角域夹角为钝角时，镜像法亦不适用。

角域外有 5 个镜像电荷，大小和位置如图所示。所有镜像电荷都正、负交替地分布在同一个圆周上，该圆的圆心位于角域的顶点，半径为点电荷到顶点的距离。

π(2 ), 1,2, , ( 1)

(2π )

m m nn

及

π

3

qπ

3

q

q

q

q

qq


6. 点电荷对导体球面的镜像

设一点电荷 q 位于半径 a 为的接地导体球附近，与球心的距离为 d ，如图所示。待求场域为 r >a 区域，边界条件为导体球面上电位为零。

a

d

q a

d

qq

设想在待求场域之外有一镜像电荷 q′ ，位置如图所示。根据镜像法原理， q 和 q′ 在球面上的电位为零。


点电荷与接地导体球周围的电场

aa


0 1 2

1( ) 0

4πc

q q

r r

2

1

rq

q r

q a b

q d a

q a b

q d a

aq q

d

2ab

d

2 2 1/ 2 2 2 2 4 1/ 20

1

4π ( 2 cos ) ( 2 cos )

q a

r dr d d r dra a

a

d

qq

c1r

2r

b

在球面上任取一点 c ，则

MN

( , )r

空间任意点的电位：( , )r


导体球不接地：

aq q

d

2ab

d

aq q q

d

a

—

a


导体球不接地：根据电荷守恒定律，导体球上感应电荷代数和应为零，就必须在原有的镜像电荷之外再附加另一镜像电荷

q″= － q′

a

bq q

( , , )r pr

2r1r

q

d

2 2 1/ 2 2 2 2 4 1/ 20

1

4π ( 2 cos ) ( 2 cos )

q a a

r dr d d r dra a dr

0 04π 4π

q q

a d

球外任一点电位：

球面上任一点电位：

为了保证球面为等位面的条件，镜像电荷 q″ 应位于球心处。

电磁场与电磁波第 4 章静态场分析例 3 ：有一接地导体球壳，内外半径分别为 a1 和 a2 ，在球壳内外各

有一点电荷 q1 和 q2 ，与球心距离分别为 d1 和 d2 ，如图所示。

求：球壳外、球壳中和球壳内的电位分布。

球壳外：边界为 r = a2 的导体球面，边界条件为根据球面镜像原理，镜像电荷的位置和大小分别为

球壳外区域任一点电位为

2a

2d

2qo

2b

2q

1rr

2r

( , , )r

2( , , ) 0a

22 2 1/ 2 2 2 2 4 1/ 2

0 2 2 2 2 2 2

1

4π ( 2 cos ) ( 2 cos )

aq

r d r d d r d ra a

外

2q22

22

ab

d 2

2 22

aq q

d

2a

2d

2q1q

1a

1d

解：


球壳内：边界为 r = a1 的导体球面，边界条件为

根据球面镜像原理，镜像电荷的位置和大小分别为

球壳内区域任一点电位为

球壳中：球壳中为导体区域，导体为等位体，球壳中的电位为零。

1( , , ) 0a

1q21

11

ab

d 1

1 11

aq q

d

2 2 1/ 20 1 1

12 2 2 4 1/ 2

1 1 1 1

1

4π ( 2 cos )

( 2 cos )

q

r d r d

a

d r d ra a

内

用镜像法解题时，一定要注意待求区域及其边界条件，对边界以外的情况不予考虑。

1a

1d

1q 1q

1b


7. 线电荷对导体圆柱面的镜像待求区域：边界条件：柱面上电位为零设想镜像线电荷位于对称面上，

且与圆柱轴线距离为 b，则导体柱面上任一点的电位表示为

其中：

r a

l

1 20 0

ln ln2π 2π

l lr r

面

2 21 2 cosr a d ad

2 22 2 cosr a b ab


0 0

ln( ) ln( )2π 2π

l lM d a a b

0 0

ln( ) ln( )2π 2π

l lN d a a b

l l

2

0 1

ln2π

l rc

r

2 21 2 cosr r d dr

2 22 2 cosr r b br

2ab

d 两平行线电荷的电位分布

在柱面上取两个特殊点M 和 N ，则

空间电位为：

其中：


8. 带有等量异号电荷的平行长直导体圆柱间的镜像

设想将两导体圆柱面上的电荷用两根平行的线电荷等效，线电荷密度分别为和，其位置如图所示。l

l

ll

ab

d

ll

x

y

1r2r

c c

1x2x

其等位面是许多圆柱面，若让其中两个等位面分别与两圆柱面重合，即满足两导体柱面为等位面的边界条件。根据惟一性定理，待求区域中的场就由这两个等效线电荷产生。


两电轴在空间产生的电位为

等位面方程为

2

0 1

ln2π

l r

r

2 22

2 21

( )

( )

x c yrk

r x c y

22 2 2

2 2

1 2( ) ( )

1 1

k ckx c y

k k

2

11 2

1

1

1

kx c

k

12

1

2

1

cka

k

22

2 22

1

1

kx c

k

222

2

1

ckb

k

2 2 2

1 2

a b dx

d

2 2 2

2 2

a b dx

d

2 21c x a

通常把这两个等效的线电荷称为电轴，该方法也称为电轴法

1 2x x d

2 2 21x c a 2 2 22x c b


例 4 ：图为一偏心电缆，内导体半径为 a，外导体半径为 b，两几何轴线间距离为 d，求两等效电轴的位置。

只要能求出假想电轴的位置，使两个导体圆柱面分别和电场中两个等位面重合，就满足了导电圆柱面为等位面的边界条件。

根据电轴法

两等效电轴的位置分别位于（ c， 0 ）和（－ c， 0 ）处。

2 2 21x b c 2 2 2

2x a c

1 2d x x

2 2 2

1 2

d b ax

d

2 2 2

2 2

d a bx

d

2 21c x b


五、分离变量法理论基础

惟一性定理

分离变量法的主要步骤

① 根据给定的边界形状，选择适当的坐标系，正确写出该坐标系下拉普拉斯的表达式，及给定的边界条件。

② 经变量分离将偏微分方程化简为常微分方程，并给出常微分方程的通解，其中含有待定常数。

③ 利用给定的边界条件，确定通解中的待定常数，获得满足边界条件的特解。


1. 直角坐标系中二维拉普拉斯方程分离变量法

本征方程的求解

(1)当时

2 2

2 20

x y

( , ) ( ) ( )x y X x Y y

2 2

2 2

1 d ( ) 1 d ( )0

( ) d ( ) d

X x Y y

X x x Y y y

本征函数2

22

1 d ( )

( ) d x

X xk

X x x

22

2

1 d ( )

( ) d y

Y yk

Y y y

2 2 0x yk k

0x yk k

0 10 20( )X x A x A

0 10 20( )Y y B y B 1 10 20 10 20( , ) ( )( )x y A x A B y B

本征方程

本征值


2 1 2 1 21

( , ) ( cos sin )( cosh sinh )m m m m m m m mm

x y A k x A k x B k y B k y

(2)当时，设2 0xk ( 1,2, , )x mk k m

j j1 2( ) e em mk x k x

m m mX x A A

1 2( ) e em mk y k ym m mY y B B

或

22

2

d ( )( )

d m

X xk X x

x

22

2

d ( )( )

d m

Y yk Y y

y

2 2 0x yk k 由 y mk jk

本征方程为：

则：

1 2

1 2

( ) cos sin

( ) cosh sinh

m m m m m

m m m m m

X x A k x A k x

Y y B k y B k y


3 1 2 1 21

( , ) ( cosh sinh )( cos sin )m m m m m m m mm

x y A k x A k x B k y B k y

1 2( ) e em mk x k xm m mX x A A

j j1 2( ) e em mk y k y

m m mY y B B

1 2

1 2

( ) cosh sinh

( ) cos sinm m m m m

m m m m m

X x A k x A k x

Y y B k y B k y

(3)当时，设2 0xk j ( 1, 2, , )x mk k m

2 2 0x yk k 由y mk k

22

2

d ( )( )

d m

X xk X x

x

22

2

d ( )( )

d m

Y yk Y y

y

本征方程为：

或

则：


应用叠加定理，可将三种解叠加组成拉普拉斯方程的通解

10 20 10 20

1 2 1 21

1 2 1 21

( , ) ( )( )

cos sin cosh sinh

cosh sinh cos sin

m m m m m m m mm

m m m m m m m mm

x y A x A B y B

A k x A k x B k y B k y

A k x A k x B k y B k y

三种解的特点：第一种解中， X(x) 和 Y(y) 为常数或线性函数，说明它们最多

只有一个零点；第二种解中， X(x) 为三角函数，有多个零点， Y(y) 为双曲

函数，最多只有一个零点；第三种解中， X(x) 为双曲函数，最多有一个零点，而 Y(y)

为三角函数，有多个零点。


解 : 选直角坐标系，电位函数满足二维拉普拉斯方程

边界条件：

例 5 ：一接地金属槽如图所示，其侧壁和底壁电位均为零，顶盖与侧壁绝缘，其电位为 U0 ，求槽内电位分布。

2 2

2 20 (1)

x y

0

0 0 0 (2)

0 0 (3)

0 0 0 (4)

0 (5)

x y b

x a y b

y x a

U y b x a


设，代入式 (1) 中得 :( , ) ( ) ( )x y X x Y y

2 2

2 2

1 d ( ) 1 d ( )0

( ) d ( ) d

X x Y y

X x x Y y y

22

2

1 d ( )

( ) d x

X xk

X x x

22

2

1 d ( )

( ) d y

Y yk

Y y y

2 2 0x yk k

( ) sinm mX x A k x

sin 0mk a π( 1,2, , )m

mk m

a

根据边界条件 (2) 与 (3)可知，函数 X(x)沿 x 方向有两个零点，因此 X(x) 应为三角函数形式，又因为 X(0) =0 ，所以 X(x) 应选取正弦函数，即

由边界条件 (3)得：


对应的 Y(y) 函数为双曲函数，且 Y(0)=0 ，于是 Y(y) 的形式为π

( ) sinh( )m

mY y B y

a

此时，电位可表示为

由边界条件 (5) 知

其中：

1

π π( , ) sin( )sinh( )m

m

m mx y C x y

a a

01 1

π π πsin( )sinh( ) sin( )m m

m m

m m mU C x b C x

a a a

πsinh( )m m

mC C b

a


01

πsin( )m

m

mU C x

a

00 01

π π πsin( )d sin( )sin( )d

a a

mm

n m nU x x C x x x

a a a

2

0 01

π π πsin( )sin( )d sin ( )d

2

a an

m nm

aCm n nC x x x C x x

a a a

000

2πsin d ( 1,3,5, )

π

a aUnU x x n

a n

对上式两边同乘以，再对 x从 0到 a进行积分，即π

sin( )n

xa


04( 1,3,5, )

πn

UC n

n

04( 1,3,5, )

ππsinh( )

n

UC n

nn b

a

0

1,3,

4 π π( , ) sin( )sinh( )

ππsinh( )m

U m mx y x y

m a am ba

满足边界条件的特解为：


例 6: 一矩形区域边界条件如图所示，求区域内的电位分布。

1 2

0

0

1V 3π100sin y

b

a

b

x

y

o

解 : 从图可见，在 x=0 和 x=a

的两个边界上出现非零情况，将原问题分解为如图所示两种边界条件情况。令

1 0

1 0

1 1V 1 0

a

b

x

y

o

2 0

2 0

2 0 2

3π100sin y

b

a

b

x

y

o


(1)求：1( , )x y

11

π π( , ) sin( )sinh( )m

m

m mx y C y x

b b

14π

πsinh( )m

VC

mm a

b

2 21 1

2 20

x y

1

1

1

1 1

0 0 0

0 0

0 0 0

0

y x a

y b x a

x y b

V x a y b

1 0

1 0

1 1V 1 0

a

b

x

y

o

类似于“例 5”求解过程，形式为：1( , )x y

由非零边界条件确定 mC

01

1,3,

4 π π( , ) sin( )sinh( )

ππsinh( )m

V m mx y y x

m b bm ab

则：


21

π π( , ) sin( )sinh[ ( )]m

m

m mx y D y a x

b b

1

3π π π100sin( ) sin( )sinh( )m

m

m my D y a

b b b

2 22 2

2 20

x y

2

2

2

2

0 0 0

0 0

0 0

3π100sin( ) 0 0

y x a

y b x a

x a y b

y x y bb

2

100 3π 3π( , ) sin( )sinh[ ( )]

3πsinh( )

x y y a xb ba

b

可见，当 m≠3 时，当 m＝ 3 时：

0mD

3

3π100 / sinh( )D a

b

(2) 求：2 ( , )x y 其解为：

由非零边界条件得2 0

2 0

2 0 2

3π100sin y

b

a

b

x

y

o

则：


2. 直角坐标系中三维拉普拉斯方程分离变量法2 2 2

2 2 20

x y z

( , , ) ( ) ( ) ( )x y z X x Y y Z z

2 2 2

2 2 2

1 d 1 d 1 d0

d d d

X Y Z

X x Y y Z z

根据本征值的不同取值，可以得到类似于二维情况的解的形式。

22

2

1 d ( )

( ) d x

X xk

X x x

22

2

1 d ( )

( ) d y

Y yk

Y y y

22

2

1 d ( )

( ) d z

Z zk

Z z z

2 2 2 0x y zk k k


为了在给定边界条件下，选取适当的通解函数形式，教材表 4-5 中给出了一些的典型组合。表中和是由边界条件确定的实数。( , , )x y z

mk nk


解 : 选直角坐标系，电位函数满足三维拉普拉斯方程及边界条件

2 2 2

2 2 20

x y z

例 7: 求图示长方形体积内的电位函数。

0

0 0 0 ,0

0 0 ,0

0 0 0 ,0

0 0 ,0

0 0 0 ,0

0 ,0

x y b z c

x a y b z c

y x a z c

y b x a z c

z x a y b

V z c x a y b

由边界条件可以判断，特征函数可表示为：

( ) sinm mX x A k x

( ) sinn nY y B k y

( ) sinhmn mnZ z C k z


( , , ) 0a y z sin 0mk a π

1,2,3,m

mk m

a

( , , ) 0x b z sin 0nk b π

1,2,3,n

nk n

b

由边界条件可得：

1 1

( , , ) sin( )sin( )sinh( )mn m n mnn m

x y z D k x k y k z

电位函数可表示为：

2 2 2 0x y zk k k

由本征值关系可得：2 2 1/ 2π π

[( ) ( ) ]mn

m nk

a b

2 2

1 1

π π π π( , , ) sin( )sin( )sinh[ ( ) ( ) ]mn

n m

m n m nx y z D x y z

a b a b

则：


最后，由最后一个边界条件得：2 2 1/ 2

01 1

π π π πsin( )sin( )sinh[( ) ( ) ]mn

n m

m n m nV D x y c

a b a b

上式两端同乘以，并对 x, y积分，利用三角函数正交性可得：

π πsin( )sin( )

s tx y

a b

0

2 2 2 1/ 2

161,3,5, ; 1,3,5,

π ππ sinh[( ) ( ) ]

mn

VD m n

m nmn c

a b

于是所求的电位函数为：0

2 2 2 1/ 21,3,5, 1,3,5,

2 2 1/ 2

16( , , )

π ππ sinh[( ) ( ) ]

π π π πsin( )sin( )sinh[( ) ( ) ]

n m

Vx y z

m nmn c

a bm n m n

x y za b a b


3. 圆柱坐标系中的分离变量法 2 2

2 2 2

1 1( ) 0r

r r r r z

( , , ) ( ) ( ) ( )r z R r Z z

2 22

2 2

d d 1 d 1 d( ) 0

d d d d

r R Zr r

R r r Z z

22

2

1 d

dn

22

2

1 d

d z

Zk

Z z

22

2

1 d d( ) ( ) 0

d d z

R nr k

rR r r r 该方程的解常用的有四种情况

该方程的解有两种情况

该方程的解有三种情况


( ) cosh sinhm m m mZ z C k z D k z

的解：

0 0( ) A B

( ) cos sinn nA n B n

2 0n (1) 当时，2 0n (2) 当时，

( ) ( 2π) 由于，限定了 n必须为正整数。

0 0( )Z z C z D

( ) cos sinm m m mZ z C k z D k z

，2 0zk jz mk k mk(2) 当时，设为任意非零实数。

2 0zk z mk k mk(3) 当时，设，为任意非零实数。

2 0zk 时，(1) 当

22

2

1 d

dn

的解 :2

22

1 d

d z

Zk

Z z


22

2

1 d d( ) ( ) 0

d d z

R nr k

rR r r r 的解

22 2 2

2

d d[( ) ] 0

d d z

R Rr r k r n R

r r

0 0 0 0( ) ( ) ( )z zR r A J k r B N k r

2 0n (1)当时，方程化简为零阶贝塞尔方程，其解的形式为

( ) n nn nR r A r B r

2 0zk (2)当时，方程化简为欧拉方程，其解的形式为

( ) lnR r A r B

( ) ( ) ( )n n z n n zR r A J k r B N k r

2 2 0zn k (3)当时，方程的解为

2 20, 0zn k (4) 当时，方程的解为

——n 阶贝塞尔方程


例 8：在一均匀电场中，放置一无限长的圆柱导体，圆柱的轴线与电场强度的方向垂直，如图所示，求放入圆柱导体后的电场分布。

解：按题意应选用圆柱坐标系。导体为等位体，导体内部不存在电场，因而

0 (0 )E r a

( ) cosnA n

( ) n nn nR r C r D r

1

( , ) cos ( )n nn n n

n

r A n C r D r

2 0n ( )根据题意可确定，的形式为

2 20, 0zk n ( )R r当时，对应的函数的形式为

( , )r 于是，电位的形式为：


放置圆柱导体之后，使均匀场发生畸变，但远离导体的地方，电场仍然保持均匀状态。

0 xE E a

由得相应的电位函数为：E

0 0( , ) | cosrr E x E r

10( , ) ( ) cos

Dr E r

r

未放置圆柱导体前，空间电场为均匀场

1n 1 1 0AC E比较上两式可知，当时，

2n 0nA 当时，于是：

1

( , ) cos ( )n nn n n

n

r A n C r D r

已知：


2

0 2(1 )cosr

aE E

r r

2

0 2(1 )sin

aE E

r r

max 02E E

E

根据，得到

, 0 , πr a r a 及可见，在处，电场强度最大。

2

0( , ) ( ) cos ( ,0 2π)a

r E r a rr

故圆柱体外部空间的电位为

10( , ) ( ) cos 0

Da E a

a

1 0D

aa

21D a

边界条件为圆柱导体表面为等位面，取该等位面电位为零，即

于是


4. 球坐标系中的分离变量法 2

22 2 2 2

1 1 1( ) (sin ) 0

sin sinr

r r r r r

( , , ) ( ) ( ) ( )r R r 2 2

22

sin d d sin d d 1 d( ) (sin ) 0

d d d d d

Rr

R r r

22

2

1 d

dm

21 d d( ) ( 1)

d d

Rr n n

R r r

2

2

1 d d(sin ) ( 1) 0

sin d d sin

mn n

该方程只讨论电位与方位角无关的情况




0,

2 0m ( ) A

2 0n 10 0( )R r A B r

2 0n ( 1)( ) n nn nR r A r B r

2 0n

(1) 时，

(2) 时，

的情况不存在。

当电位与方位角无关时，

即：

22

2

1 d

dm

■ 的解

■ 的解21 d d( ) ( 1)

d d

Rr n n

R r r


0 π nQ当或时，是发散的。而电位应为有限值，所以nQΦ 的解中不含有项。

( 1)

0

( , ) [ ] (cos )n nn n n

n

r A r B r P

( , )r 通过以上分析，电位的通解

为

nA nB和根据给定的边界条件来确定。

2 0n 0 0 0 0( ) (cos ) (cos )A P B Q

2 0n ( ) (cos ) (cos )n n n nA P B Q

(1) 时，

(2) 时，

——勒让德方程 1 d d(sin ) ( 1) 0

sin d dn n

2

2

1 d d(sin ) ( 1) 0

sin d d sin

mn n

■ 的解


六、复变函数法

利用复变函数中的一些解析函数性质可以直接表示某些具有导体边界的二维场。

利用复变函数中解析函数的保角变换性质，可以将复杂的场域边界变换成比较简单的边界，这给具有复杂场域边界的二维电磁场的求解提供了一种比较简便的方法。

利用复变函数求解电磁场边值问题的方法，称为复变函数法。


复变函数：自变量为复数的函数。

( ) ( , ) j ( , )W z u x y v x y

解析函数u v

x y

u v

y x

柯西—黎曼条件是判断复变函数是否为解析函数的必要和充分条件。

1. 复变函数的性质

柯西—黎曼条件：

自变量 jz x y

----复变函数

1u v

r r

1v u

r r

或


复变函数的几个重要性质（ 1）复变函数中解析函数的实部和虚部都满足二维拉普拉斯

方程。 u v

x y

u v

y x

柯西—黎曼条件：

2 2

2

u v

x y x

2 2

2

u v

y x y

可见：2 2

2 20

u u

x y

同理：

2 2

2 20

v v

x y

柱坐标中：2

2 2

1 1( ) 0

u ur

r r r r

2

2 2

1 1( ) 0

v vr

r r r r


（ 2）在坐标变量为 x 及 y 的复平面 z 上，解析函数 W(z) 的实部 u(x,y) 等于常数的曲线与虚部 v(x,y) 等于常数的曲线处处正交。

令： 1 , 2( , ) ( , )u x y C v x y C

对这两条曲线求梯度： ˆ ˆx y

u uu a a

x y

ˆ ˆx y

v vv a a

x y

可见： 0u v u v u u u u

u vx x y y x y y x

说明： u(x,y) 等于常数的曲线与虚部 v(x,y) 等于常数的曲线处处正交。


(3) 解析函数 W(z)可将复平面 z 上的两条相交曲线保角变换到坐标变量为 u+jv 的复平面W 上。

保角变换的含义：


2 . 复变函数法■ 复 ( 电 ) 位函数 ( ) ( , ) j ( , )W z u x y v x y

若已知某一解析函数 W(z) 的实部（或虚部）等于常数的曲线和待求场中的电位等于常数的边界重合，则此解析函数的实部（或虚部）就是待求位函数的解，并且此解析函数的虚部（或实部）必为待求场的通量函数，该方法称为复位函数法。

应用该方法时，要求对一些解析函数的特性比较熟悉，以便依据边界条件确定合适的复位函数。


(1) 对数函数( ) lnW z K z C

j1 2

1 2

( ) ln( e ) j

ln j

W z K r C C

K r C K C

（）

1lnu K r C

2v K C

实部可以视为无限长线电荷的电位函数虚部可以视为两个半无限大导体平面角域间的电位函数

jz re 在柱坐标系，令则


(2) 幂函数 ( ) pW z kz

j j( ) ( e ) e

cos( ) j sin( )

p p p

p p

W z k r kr

kr p kr p

( , ) cos( )pu r kr p

( , ) sin( )pv r kr p

jz re 用柱坐标系，令，则

2( )W z kz2 / 3( )W z kz

幂函数可以表示为两个夹角为π / p 的接地无限大导体平

面间的复电位

π / 2 3π / 2 和半无限大导体平面间的场

的接地

分布。

复电位分别为

例：


(3) 反余弦函数

cos cos( j )

cos cosh j sin sinh

z k W k u v

k u v k u v

cos cosh sin sinhx k u v y k u v ，2 2

22 2cosh sinh

x yk

v v

2 22

2 2cos sin

x yk

u u

( ) arccos( )z

W zk

可以用来表示导体表面是椭圆柱面或双曲柱面的复电位无限长直条带可视为椭圆柱面的特殊情况两共面导体板可视为双曲柱面的特殊情况


例 9 ：有Ⅰ、Ⅱ两半无限大导电平板，其夹角为 α，在交界处互相绝缘，两板电位分别为 φ1 和 φ2 ，如图所示。求两板间的电位函数。

0

1

2 Ⅱ

Ⅰ

解：根据给定的边界条件，等位面是和的两个径向辐射平面选取对数函数为复电位函数

( ) lnW z K z C jez r

1 2( ) ln j(W z K r C K C )

2k C 选式中虚部为电位函数：


2 1C

2 1K 2 1K

2 11

(0 )

0 （ 1）区域：

，代入得 2 当时，，代入得

故得电位函数为：

根据边界条件，

2 2 2K C

2π 1 1 22 K C

1 2

2πK

2 1

2

2π

2πC

1 2 2 12π

2π 2π

2π （ 2）区域：时，，代入得

当时，

，代入得

联立可得：

该区域的电位函数为：

根据边界条件，当

0 1 时，当


3. 保角变换法保角变换法就是选择合适的解析函数将 z平面上较为复杂的

边界变换为 W平面上的简单边界，求出简单边界问题的待求函数，再用反变换，获得原有问题的解。

l

M

0r

0

x

jy

o

例 10 ：在夹角为 α 的角形区域内，线电荷的位置坐标为，如图所示。求角形区域内的位函数。

解：先进行保角变换，再结合镜像法求解。对于角形边界问题，采用幂函数进行变换。

, π /nW z n j je , ez r W R

e en nR r j jnR r

n


M 0

l

0R

o

jv

u

l

M

0r

0

x

jy

o

π

R r π

Ox 边： 0,r

0

0,R

0

OM 边： 0,r

0,R

π

可见： z平面上的角形边界，被变换为 W平面上的无限大平面边界。

线电荷 ρl 的坐标

π

0 0

0 0

π

R r


在 W平面上可以用镜像法求解，镜像电荷 -ρl 的坐标为 (R0,-θ0) ，电位为 :

0

0

2

0 1

jj0

jj0 0

( , ) ln2π

| e e |ln

2π | e e |

l

l

RR

R

R R

R R

0

0

jj0

jj0 0

| e e |( , ) ln

2π | e e |

nn n nl

nn n n

r rr

r r

z平面角形区域的电位函数：

其中： π /n

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第 4 章 静态场分析

第 4 章静态场分析