Embed Size (px)
Citation preview
电磁场与电磁波基础
主讲：徐乐
第7讲 静磁场(II)
• 介质中的磁场
• 边界上的磁场
• 电感
• 磁场能量
• 磁场力
2018年3月27日星期二 2
介质中的磁场
• 真空中恒定电流激发恒定磁场
• 在外磁场作用下，磁介质内部产生磁化体电流，该电流同样激发磁场
• 修正后的安培环路定律
0 0( ) ( )m mC SB dl I I J J dSµ µ⋅ = + = + ⋅∫ ∫
mJ M= ∇×
0 0C CB dl I M dlµ µ⋅ = + ⋅∫ ∫
0
( )C
B M dl Iµ
− ⋅ =∫
0
BH Mµ
= −
介质中的磁场
– H称为磁场强度，单位是A/m(安培/米)。
– 显然：
• 磁介质中的安培环路定律
– 积分形式
– 微分形式[email protected] 4
0
BH Mµ
= −
0D E Pε= +
0 ( )B H Mµ= +
CH dl I⋅ =∫
H J∇× =
介质中的磁场
• 对于各向同性线性磁介质
– μr=1+χm，是介质的相对磁导率，是一个无量纲数
– μ=μ0μr，是介质的磁导率，单位和真空磁导率相同，为H/m(亨/米)。
– 铁磁材料的B和H的关系是非线性的，并且B不是H的单值函数，会出现磁滞现象，其磁化率χm的变化范围很大，可以达到106量级。
0 0 0( ) (1 )m rB H M x H H Hµ µ µ µ µ= + = + = =
所谓磁滞现象是指铁磁质磁化状态的变化总是落后于外加磁场的变化,在外磁场撤消后，铁磁质仍能保持原有的部分磁性
介质中的磁场
• 通过磁化电流的引入以及磁场强度的定义，可以得到磁介质中恒定磁场的基本方程：
– 微分形式
– 积分形式
– 本构方程
0H J
B∇× =
∇⋅ =
0C S
S
H dl J dS
B dS
⋅ = ⋅
⋅ =
∫ ∫∫
B Hµ=
2 A Jµ∇ = −
B A= ∇×
介质中的磁场
• 例 一导体圆柱半径为a，均匀分布电流I，柱外填充均匀磁介质，磁导率为μ，求柱外的磁感应强度。
• [解]无磁介质时磁场为柱对称，放入均匀磁介质，其磁化情况也必为柱对称，所以总磁场仍为柱对称。且磁场与z无关。做如图所示闭合路径l，则：
IldHl
=⋅∫
IrH =⋅ π2 θπ
ˆ2 r
IH =
θπµµ ˆ2 r
IHB ==
边界上的磁场
• 如同静电场和恒定电流场，磁场在经过磁介质的界面
后也会发生突变。
• 场矢量在不同介质的界面上的变化规律叫做边界条件
• 分析不连续性处的特性往往使用描述场分布的积分方
程
• 恒定磁场的边界条件研究磁场强度及磁感应强度在界
面两侧的关系。
边界上的磁场
• 磁感应强度的边界条件– 回顾磁通连续性原理积分形式：
– Note1：恒定磁场的磁感应强度在介质分界面上法向分量连续
– Note2：恒定磁场的磁场强度法向分量在介质分界面上一般不
连续
0S
B dS⋅ =∫
1µ
2µ
1B
2B
1 2ˆ ˆ 0B n S B n S− ⋅ ∆ + ⋅ ∆ =
nn BB 12 = 2 1ˆ ( ) 0n B B⋅ − =
nn
BHµ
=1 1µ µ≠ 1 2n nH H≠
边界上的磁场
• 磁场强度的边界条件
– 在场论中，凡用闭合回路积分表述基本方程的场量，它的边界条件一定以切向分量描述。
– 回顾安培环路定律积分形式：
C SH dl J dS⋅ = ⋅∫ ∫
1µ
2µ
1H
2H
2 1ˆ ˆ( )
SH l H l l J dS⋅ − ⋅ ∆ = ⋅∫
SSJ dS J b l⋅ = ⋅ ∆∫
2 1ˆ ( ) Sl H H l J b l⋅ − ∆ = ⋅ ∆
边界上的磁场
• 显然，b是与积分路径成右手螺旋关系，而l为分界面的切向方向，且为路径的长度方向矢量，n为分界面法向方向，亦为路径宽度方向，利用矢量方向关系可知：l=b×n
2 1ˆ( ) ( ) Sb n H H J b× ⋅ − = ⋅
2 1ˆ[ ( )] Sn H H b J b× − ⋅ = ⋅
2 1ˆ ( ) Sn H H J× − =
边界上的磁场
• Note1：磁场强度切向分量在界面两侧一般不连续
• Note2：若分界面上无面电流，则磁场强度切向连续
2 1ˆ ( ) 0n H H× − =
tt HH 12 =
边界上的磁场
• 磁场在无面电流界面两侧的方向
– 磁力线在越过边界后会发生方向的改变
– 当面电流为零时：
– 考虑到磁感应强度法向连续性条件：
nn BB 12 =
tt HH 12 = 2 12 1sin sinH Hθ θ=
2 12 1cos cosB Bθ θ=
1 1
2 2
tantan
µθµθ
=
边界上的磁场
• 磁力线在分界面上通常要改变方向。
• 若介质1为铁磁材料，介质2为空气，此时μ2 «μ1, 因而θ2 « θ1
• 假如μ1=1000μ0, μ2=μ0，在这种情况下，当θ=87°时，θ2=1.09°，B2/B1=0.052。由此可见，铁磁材料内部的磁感应强度远大于外部的磁感应强度，同时外部的磁力线几乎与铁磁材料表面垂直。
1 1
2 2
tantan
µθµθ
=
1µ
2µ
1H
2H
θ1
θ2
15
标量磁位
• 对于恒定磁场，无论是否有电流分布，均可引入磁矢位来确定磁场分布
• 对于无电流分布的区域或存在永磁体的区域，可以引入标量磁位φm。
– 无电流区域的安培环路定律：
• 均匀介质磁通连续性原理：
– 标量磁位的拉普拉斯方程：
• φm为磁场的标量位函数，简称标量磁位
• 沿磁力线方向标量磁位降低
0H∇× =
mH ϕ= −∇
0 0B H∇⋅ = ⇒∇⋅ =
2 0mϕ∇ =
16
标量磁位
– Note：标量磁位满足的方程形式与电位方程一致，可以采用与静电场同样的求解方法
• 标量磁位的边界条件
– Note1：磁标位可方便求解无源区磁场
– Note2：永磁体中无自由电流，可用磁标位求解，而永磁体的磁导率远大于空气磁导率，因而空气 中的磁力线几乎垂直永磁体表面，其表面成为 等位面，可用静电比拟法求解。
2 0mϕ∇ = 2 0ϕ∇ =
1 2m mϕ ϕ= 1 21 2
m m
n nϕ ϕµ µ∂ ∂
=∂ ∂
17
恒定磁场与静电场的比拟
• 无源均匀介质磁介质中的恒定磁场和无源区域均匀电介质中的静电场方程具有对偶性：
19
电感
• 在线性磁介质中，任一回路在空间产生的磁场与回路电流成
正比，因而穿过任意固定回路的磁通量Φ也与电流成正比。
• 如果回路由细导线绕成N匝，则总磁通量是各匝的磁通之和
– 称总磁通为磁链，用Ψ表示
• 对于密绕线圈，可以近似认为各匝的磁通相等
– Ψ=NΦ
1
034 C
I dl RBR
µπ
×= ∫
sB dSΦ = ⋅∫
20
电感
• 穿过闭合回路的磁链与产生它的电流之比和电流本身无关，
而是闭合回路的固有参数，仅与回路尺寸、几何形状、周围
媒质的磁导率有关
• 犹如带电导体的电位与产生电位的电量之比不是电量的函数
而是导体的固有参量一样，在静电场中用电容来描述该特点
，在静磁场中，引入电感来描述磁体的特性；
• 电感就是磁链与产生它的电流之比
• 电感包括自感和互感
21
电感
• 自感
– 一个回路的自感定义为回路的磁链和回路电流之比，用
L表示。
– 自感的单位是H(亨利)。自感的大小决定于回路的尺寸、
形状以及介质的磁导率。
IL ψ=
22
电感
• 互感
– 互感是互感系数的简称，只有两个回路才涉及互感。
– 互感：载流I1的回路l1产生的、穿过以回路l2为周界的曲面
S2的磁链ψ12与电流之比：
– 互感的单位与自感相同。1
1212 I
M ψ=
23
电感
• 同样，可以用载流回路C2的磁场在回路C1上产生的磁链
Ψ21与电流I2的比来定义互感M21；
• 互感的大小也取决于回路的尺寸、形状以及介质的磁导率
和回路的匝数。
2
2121 I
M ψ=
24
电感
• 电感的计算– 用回路系统自身的几何参数来表征电感。
– 当导线的直径远小于回路的尺寸而且也远小于两个回路之间的最近距离时，两回路都可以用轴线的几何回路代替。设两个回路都只有一匝。当回路C1载有电流I1时，C2上的磁链为：
2
2
12 12 1 2
12 2
S
C
B dS
A dl
ψ = Φ = ⋅
= ⋅
∫∫
25
电感
• A12为电流I1在C2上的磁矢位，即
1
0 1 112 4 C
I dlAR
µπ
= ∫
2 1
2 1
0 1 1 212
012 1 212
1
4
4
C C
C C
I dl dlR
dl dlMI R
µψπ
µψπ
⋅=
⋅= =
∫ ∫
∫ ∫
MMM == 2112
26
电感
• Note1：互感具有互易性
• Note2：通常只提及互感，而不需关注是1与2的互感还是
2与1的互感。
• Note3：互感可正可负，当电流I1产生的穿过回路l2的磁
力线方向与l2的环向成右手关系时，穿过l2的磁链(磁通)为正，M为正，反之为负。
• Note4：该互感计算公式称为诺埃曼(Neumann)公式。
27
电感
• 自感计算– 诺埃曼公式不仅适用于互感计算，同样可以用于计算回路的自感。
– 计算回路自感，回路横截面尺寸不可忽略，人为假定两条回路：
• C1：回路的中心轴线• C2：回路的内缘回路
∫ ∫⋅
=2 1
210
4 C Ce RdldlL
πµ
28
电感
• Note1：自感计算公式仅适用于回路横截面很小的回路；
• Note2：仅能计算回路的外自感，与导体内部磁通相关的
内自感无法用该公式计算。
• Note3：实际中，对于能用电流容易求出磁感应强度的问
题，直接用互感定义求解：
1
1212 I
M ψ=
29
电感
• 例 求无限长平行双导线单位长外自感
解：设导线中电流为I
由无限长导线磁场公式可得两导线轴线所在平面上的磁感应强度为
磁场的方向与导线回路平面垂直。
单位长度上的外磁链为
)(2200
xdI
xIB
−+=
πµ
πµ
aadnIBdx
ad
a
−== ∫
−10
πµψ
aadnL −
= 10
πµ
30
磁场能量
• 为简单起见，先计算两个分别载流I1和I2的电流回路系统所储存的磁场能量。
• 假定回路的形状、相对位置不变，同时忽略焦耳热损耗。
• 在建立磁场的过程中，两回路的电流分别为i1(t)和i2(t)– 最初， i1=0，i2=0– 最终，i1=I1, i2=I2。
• 在这一过程中，电源作的功转变成磁场能量。
• Note：系统的总能量只与系统最终的状态有关，与建立状态的方式无关。
31
磁场能量
• 为计算这个能量
• 先假定回路 2 的电流为零，求出回路1中的电流i1从零增加
到I1时，电源作的功W1；
• 再假定回路 1 中的电流I1不变，求出回路 2 中的电流从零
增加到I2时，电源作的功W2。
• 从而得出这一过程中，电源对整个回路系统作的总功
Wm=W1+W2。
32
磁场能量
• 保持回路 2 的电流i2=0：– 回路1中的电流i1在dt时间内有一个增量di1, 周围空间的磁场将发生改
变，回路1和2 的磁通分别有增量dΨ11和dΨ12，相应地在两个回路中要产生感应电势E1=-dΨ11/dt和E2=-dΨ12/dt。
• 感应电势的方向总是阻止电流增加。– 为使回路 1 中的电流得到增量di1, 必须在回路 1 中外加电压U1=-E1；
为使回路 2 电流为零，也必须在回路2 加上电压U2=-E2。 所以在dt时间里，电源作功为
11111111
1122111
diiLdidtiEdtiUdtiUdtiUdW
==−==+=
ψ
33
磁场能量
• 在回路的电流从零到I1的过程中，电源作功为
• 回路1电流I1保持不变，使回路2的电流从零增到I2：
• 若在dt时间内，电流i2有增量di2，这时回路1中感应电势为E1=-dΨ21/dt，回路 2 中的感应电势为E2=-dΨ22/dt。
• 为克服感应电势，必须在两个回路上加上与感应电势反向的电压。在dt时间内，电源作功为
dW2=M21I1di2+L2i2di2
• 回路 1 电流保持不变时，电源作功总量为
2110 11111 2
11 ILdiiLdWWI
∫ ∫ ===
2222210 22212122 2
1)(2 ILIMdiiLIMdWWI
∫ ∫ +=+==
34
磁场能量
• 电源对整个电流回路系统所作的总功为
2222121
211212 2
121 ILILMILWWW ++=+=
2211
2221212111
222112122111
21
21
)(21)(
21
)(21)(
21
II
II
IILIMIIMILWm
ψψ
ψψψψ
+=
+++=
+++=
自能
与回路1铰链的总磁通
35
磁场能量
• N个电流回路系统，其磁能为
∑=
=N
iiim IW
121 ψ
1 1
N N
i ji ji jj j
M Iψ ψ= =
= =∑ ∑
1
12 i
N
m i iCi
W I A dl=
= ⋅∑ ∫
12m V
W J AdV= ⋅∫
Iidli=JdV
36
磁场能量
• 类似于静电场能量可用电场矢量D和E表示，磁场能量也
可用磁场矢量B和H表示，并由此得出磁通密度的概念。
• 回顾▽×H=J
1 1( ) [ ( ) ( )]2 21 1 ( )2 2
m V V
V S
W A H dV H A A H dV
H BdV A H dS
= ⋅ ∇× = ⋅ ∇× −∇⋅ ×
= ⋅ − × ⋅
∫ ∫
∫ ∫
37
磁场能量
• 考虑到A∝r-1，H∝r-2，S∝r2
• 当积分区域V趋于无穷时，面积分项为零
• [定义]磁场能量密度：
– Note1：单位J/m3
– Note2：单一回路磁能的表达式为：
该回路自感为：
12m V
W H BdV= ⋅∫
12mw B H= ⋅
212
W LI=
2 2
2 1V
WL H BdVI I
= = ⋅∫
38
磁场能量
• 例 求无限长圆柱导体单位长度的内自感
• [解]设导体半径为a，通过的电流为I，则距离轴心r处的磁感应强度为
单位长度的磁场能量为
单位长度的内自感为
20
2 aIrB
πµ
φ =
πµπ
µ
µ
162
21
21
21
201
00
2
0
2
0
IdzrdrB
dVBBHdVW
a
mi
==
==
∫∫
∫∫
πµ8
2 02 ==
IWL mi
i
39
磁 场 力
• 采用安培定律计算电流回路之间的作用力：
– Note：原则上可以求解任意电流回路间的作用力，但在解决具体问题时积分十分复杂
• 虚位移法
– 源于能量守恒：
– 受力回路可在两种情况下发生位移：
• 电流不变
• 磁链不变
( )2 1
2 2 1 1012 34 C C
I dl I dl RuFRπ
× ×= ∫ ∫
mbdW F dr dW= ⋅ +
12mW Iψ=
mF Wφ
= −∇
m IF W= ∇
作业
• 课外学习
– 计算机软件绘制磁偶极子三维场分布
– 学习求解短螺线管（长度小于其半径）电感
– 了解无线能量传输等工程及科学问题
• 课后作业
– P91-92• 3.21 3.22 3.26 3.29 3.31
