Теория вероятностей и статистика

9 класс

Главы 9 и 11.

Геометрическая вероятность.

Случайные величины.

В результате изучения главы 9 учащийся должен :

знать определение геометрической вероятности выбора точки из фигуры на плоскости или прямой;

уметь решать простейшие задачи на геометрическую вероятность, зная площади фигур или умея их вычислять.

Глава 9. Геометрическая вероятность. П. 44. Выбор точки из фигуры на плоскости.

Точку наугад бросают в фигуру F на плоскости. Какова вероятность того, что точка попадет в некоторую фигуру G, которая содержится в фигуре F.

Вероятность того, что точка попадет в некоторую фигуру G внутри фигуры F, прямо пропорциональна площади фигуры G.

А = Точка Х принадлежит фигуре G

Задача № 1 (п.44.) Внутри треугольника АВС случайным

образом выбирается точка. Найдите вероятность того, что точка попала в треугольник АВМ, где АМ – медиана треугольника АВС.А

В М С5,0)(

5,0

)(

AP

SS

S

SÀÐ

ABCABM

ABC

ABM

Задача №2, п.44А = Точка принадлежит ромбу, вершинами

которого служат середины сторон прямоугольника.

А N В

M P

C K D 5.0)(

2

1

)(

AP

SS

S

SAP

ABCDMNPK

ABCD

MNPK

№7(б). А= Точка не принадлежит хотя бы одному из этих кругов

Если точка принадлежит первому кругу, то не принадлежит второму и наоборот, т.е.событие А достоверное при любом исходе. Следовательно вероятность события А равна 1.

№ 8. Если кляксы соприкасаются,

то центр второй кляксы лежит на окружности с центром О и R=2 см. Т.е. чтобы кляксы не касались, центр второй должен попасть вне круга радиуса 2 см.

97,0250

2250

500

4500)(

AP

П.45. Выбор точки из отрезка и дуги окружности.

Задача № 1.

Задача №2.

Задача № 3. а).Точка Х лежит на дуге окружности, внутри хотя бы одного из углов ВОС

или АОС.

Длина дуги АD равна 1/3 окружности, т.е. вероятность того, D A что Х попадет на эту дугу равна 1/3. Вероятность того, что Х попадет на дугу ВС C Bравна 1/3. Следовательно, вероятность события, что точка Х лежит внутри хотя бы одного из углов ВОС или АОD равна 2/3

б). Событие А = Х лежит на окружности, внутри угла DOC .

Угол DОС равен 60°. Следовательно, длина дуги DC равна 1/6 длины окружности.

Т.е. Р(А)= 1/6

Задача № 5. а). DE не пересекает ни одну из сторон

треугольника. D принадлежит дуге ВС, В вероятность такого события

равна 1/3. Точка Е

принадле- жит дуге ВС, вероятность равна 1/3.

Т.е.вероятность, что точки D А С и Е принадлежат дуге ВС

равна 1/9. Аналогично рассматриваем каждую дугу. Следовательно, вероятность того, что отрезок DЕ не пересекает ни одну из сторон равна 1/3.

№5(г).Отрезок DЕ пересекает стороны АВ

и ВС. Рассмотрим 2 случая.1. D лежит на дуге ВС, вероятность такого

события равна 1/3. Чтобы выполнялось условие необходимо чтобы точка Е лежала на дуге АВ. Вероятность равна 1/3. Тогда вероятность того, что точки лежат на данных дугах равна 1/9.

2. D лежит на дуге АВ, а Е на дуге ВС. Вероятность равна 1/9

Следовательно вероятность события - DЕ пересекает стороны АВ и ВС равна 2/9.

П.46. Выбор точки из числового промежутка

Геометрическую вероятность можно применить к числовым промежуткам. Предположим, что случайным образом выбирается число х, удовлетворяющее условию m≤x≤n. Этот опыт можно заменить опытом, в котором из отрезка [m;n] на числовой прямой выбирается точка с координатой х.

Точка с координатой х выбирается из отрезка [a;b], содержащегося в отрезке [m;n]. Обозначим это событие (а≤х≤b). Его вероятность равна отношению длин отрезков [a;b] и [m;n].

mn

abbxaP

)(

№ 1

Задачи № 2, № 3 решаются аналогично.

Задача № 4. а). x<1/2, у<1/2Р(Х)= 0,5 и Р(У)=0,5. Для независимых

событий Х и У Р(х<1/2,y<1/2) = 0,5·0,5 =0,25.в). Р(Х)=0,6, а Р(У)=0,2. СледовательноР(0,2<х<0,8, 0,3<у<0,5) = 0,12.Остальные примеры и №5 решаются

аналогично.

Задача № 6.д). Пусть дан отрезок АВ, длина которого

равна 1. М – середина этого отрезка. По условию М заключена между точками

3 и 4. Тогда точка А заключена между точками 2,5 и 3,5, а точка В – между 3,5 и 4,5. Т.е. [a;b] находится между числами 2,5 и 4,5. Вероятность события, что середина [a;b] заключена между точками 3 и 4 равна 0,5 .

= 0,5 5,25,4

34)43(

xP

Задача № 7. а). Найти вероятность того, угол АОХ меньше 90°.Точка Х на дугу в 90°,т.е на дугу АС или АВ

Вероятность попадания на дугу АВ равна 0,25 и на дугу АС 0,25. Данные события несовместные, т.е. вероятность события исходного события равна 0,25 + 0,25 = 0,5

б). Найти вероятность того, что угол АОХ

больше 120°. Точка Х с равной вероятностью может попасть на дугу АВ и на дугу АС, и дугу ВС . Вероятность каждого события равна 1/3. Т.к. угол больше 120°, то точка Х должна попасть на дугу ВС. Следовательно вероятность события А равна 1/3.

в). А = Угол АОХ находится в пределах от 30° до 60°

Точка Х должна попасть либо на дугу ВС, либо на дугу DЕ, т.к. угол АОD равен 30°, а угол АОЕ равен 60°. Аналогично для дуги ВС. Тогда вероятность того, что Х попадет на дугу DE равна 1/12. Следовательно Р(А) = 1/6

Задача № 10. А = Экипаж доедет до Москвы Экипаж доедет до Москвы, но не доедет до Казани,

т.е. на пути от Москвы до Казани он сломается. Следовательно вероятность этого события равна отношению расстояний от Москвы до Казани к общему расстоянию. Расстояние до Казани через Москву равно 900 км.

б).А = Колесо не доедет до МосквыТ.е. сломается по пути в Москву. Следовательно

вероятность равна отношению этого расстояния к общему расстоянию.

45

38

900

760)( ÀÐ

45

7

900

140)( ÀÐ

Глава 11. Случайные величины.

В результате изучения материала главы 11 учащийся должен:

Уметь приводит примеры случайных величин; Выделять на интуитивном уровне из множества

различных случайных величин дискретные (с конечным или счетным множеством значений);

Понимать, что число успехов в серии из n испытаний Бернулли является случайной величиной с множеством значений 0,1,2, …, n.

Понимать, что такое распределение вероятностей случайной величины и уметь составлять таблицы распределения для случайных величин с небольшим числом возможных значений.

П.50. Примеры случайной величины

Случайная величина – это величина, значение которой зависит от того, каким элементарным событиям закончился данный случайный опыт. В ходе некоторого случайного опыта или наблюдения случайная величина принимает то или иное числовое значение.

Задача №1. Если количество побед задано именно для трех партий, то число сыгранных партий принимает значение 2 или 3.

Задача № 2. Х= 3;4;5 Задача № 3.а).Можно вынуть билет 0 руб. или 10 руб, или 50

руб. Т.е. случайная величина принимает значения 0,10 и 50.

б).

Х= 0;10;20;50;60;100

ВынутыеБилеты

0;0 0;10

0;50

10;10

10;50

50;50

Выигрыш нет 10р 50р 20р 60р 100р

Задача № 6.а).Х – «сумма очков при бросании двух игральных кубиков»Т.е. Х принимает значение 2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12. б). Х – «сумма очков при бросании трех игральных кубиков» Х принимает значения 3;4;5;6;7;8;…;17;18.

в). Х – «сумма цифр телефонного номера» Х= 1;2;3;…;63

П.51. Распределение вероятностей случайной величины

Чтобы полностью описать случайную величину Х, надо указать, с какими вероятностями она принимает эти значения.

Пример № 1. Случайная величина У равна числу очков, выпавших при однократном бросании кубика.

Вероятность поровну распределяется между шестью возможными значениями.

Значение 1 2 3 4 5 6

Вероятность 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

Задача № 1.б). Распределение вероятности случайной величины Х, равной числу орлов, выпавших при двух бросаниях.

Всего событий 4 – ОО; ОР; РО; РР

в). Распределение вероятности случайной величины Х, равной числу орлов, выпавших при трех бросаниях.

Всего событий 8 (куб числа 2). ООО;ООР;ОРО;ОРР;РРР;РРО;РОР;РОО.

Значение 0 1 2

Вероятность 0,25 0,5 0,25

Значение 0 1 2 3

Вероятность 1/8 3/8 3/8 1/8

Задача № 5.

а). Х – «наибольшее из двух выпавших очков»

Сумма вероятностей равна 1. Проверять каждый раз

Значение 1 2 3 4 5 6

Количество 1 3 5 7 9 11

Вероятность 1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/36

№5 (б). Х – «наименьшее из двух выпавших очков»

Значение 1 2 3 4 5 6

Количество 11 9 7 5 3 1

Вероятность 11/36 9/36 7/36 5/36 3/36 1/36

П.52. Биноминальное распределение Испытание Бернулли. Испытанием Бернулли

называется случайный эксперимент с двумя возможными исходами – успехом и неудачей. Вероятность успеха обозначим p, а вероятность неудачи – q. Очевидно, справедливо равенство

q =1 – p . Вероятность какого-нибудь элементарного события,

при котором наступает ровно k успехов, равна pk qn-k . Число элементарных событий, благоприятствующих

наступлению k успехов в серии из n независимых испытаний Бернулли, равно .

Пусть случайная величина S – число успехов в серии испытания Бернулли. S может принимать целые значения от 0 до n.

Пусть событие состоит в том, что в результате серии испытаний наступило k успехов. Поэтому

Эта формула дает распределение случайной величины S.

knC

knkkn qpCkSP )(

Все задачи данного пункта решаются по указанной формуле.

№ 1. Симметричное биноминальное распределение, если p=q=0,5.

Х = 0;1;2;3;4;5;…;18 Наибольшую вероятность имеет значение Х = 9.

По формуле рассчитываем, что Р(Х=9) = 0,185.№2. n=6, p=q=0,5. Т.е. симметричное

распределение.

K 0 1 2 3 4 5 6

P(S=k) 1/64 6/64 15/64 20/64 15/64 6/64 1/64

Задача № 6. n=6, p=0,4. Следовательно q=0,6.

Составим таблицу биноминального распределения«число успехов»

Построение диаграммы распределения случайных величин подробно разбирается в п.52.

knkkn qpCkSP )(

k 0 1 2 3 4 5 6

P(S=k) 0,047 0,87 0,311 0,276 0,138 0,037 0,004