Παράγωγοι

Παράγωγοι 325

***** Β΄ ομάδα – Κανόνας De L’ Hospital – Ασύμπτωτες*****

Έστω f :R R παραγωγίσιμη συνάρτηση.

Αν ισχύει 2x 1f 2x 1 2e για κάθε x R και f 1 2e να βρείτε

την εφαπτομένη της fC στο σημείο A 1,f 1 .

ΛΥΣΗ

Θέτουμε 2x 1 t και έχουμε: tf t 2e για κάθε t R .

Άρα tf t 2e tf t 2e 2e 2e tf t f 1 2e 2e 1

Για t 1 θα είναι: tf t f 1 2e 2e

t 1 t 1

0tt t0

t 1 t 1 t 1 t 1

2e 2ef t f 1 2e 2e 2elim lim lim lim 2e

t 1 t 1 1t 1

t 1

f t f 1lim 2e 2

t 1

Για t 1 από τη σχέση 1 θα έχουμε:

t t

t 1 t 1

f t f 1 f t f 12e 2e 2e 2elim lim

t 1 t 1 t 1 t 1

t 1

f t f 1lim 2e 3

t 1

διότι:

0tt t0

t 1 t 1 t 1

2e 2e2e 2e 2elim lim lim 2e

t 1 1t 1

.

231

Παράγωγοι

Παράγωγοι 326

Επομένως από τις σχέσεις 2 και 3 προκύπτει ότι:

t 1

f t f 1lim 2e f 1 2e

t 1

.

Άρα η εξίσωση εφαπτομένης της fC στο 0x 1 θα είναι:

y f 1 f 1 x 1 y 2e 2e x 1 y 2ex .

Δίνεται η συνάρτηση f : 0, R , με ln 1 x

f xx

.

Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα και να βρείτε το σύνολο

τιμών της.

ΛΥΣΗ

Έχουμε:

'

2

1x ln 1 xln 1 x 1 xf ' x

x x

2

x 1 x ln 1 x

x 1 x

Θεωρούμε τώρα συνάρτηση g x x 1 x ln 1 x , x 0

οπότε g x ln 1 x 0 για κάθε x 0

αφού 1 x 1 ln 1 x ln1 ln 1 x 0 , άρα η g είναι

γνησίως φθίνουσα στο 0, .

Συνεπώς g x g 0 g x 0 για κάθε x 0 άρα θα είναι και:

2

g xf x 0

x 1 x

, για κάθε x 0 .

Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα 0, οπότε το

232

Παράγωγοι

Παράγωγοι 327

σύνολο τιμών της f είναι x x 0

f A lim f x , lim f x

Βρίσκουμε λοιπόν τα όρια 1xlim f x

και 2x 0lim f x

. Είναι:

0

0

1x 0 x 0 x 0

ln 1 xln 1 x 1lim lim lim 1

x 1 xx

, και

2

x x x 0

ln 1 xln 1 x 1lim lim lim 0

x 1 xx

.

Άρα το σύνολο τιμών της f είναι 2 1f A , 0, 1

Έστω η συνάρτηση xf x e , x R .

Να υπολογίσετε το όριο

x 0

ln f xlim

1f

x

.

ΛΥΣΗ

1

x1

x x

1 1x 0 x 0 x 0 x 0 x 0

x x

eln f x lne x e

lim lim lim lim lim11 1f e exx x

1

x12x

x 0 x 0

2

1e

xlim lim e

1

x

αφού x 0

1lim

x

.

οπότε

1

x

x 0lim e

233

Παράγωγοι

Παράγωγοι 328

Δίνονται οι συναρτήσεις xg x lnx e e, x 0 και

xf x e x lnx e 1 , x 0 . Να βρεθεί το όριο:

x 0lim f x g x

.

ΛΥΣΗ

Είναι x

x 0 x 0lim f x lim e xln x ex x 1

αφού .

x 0 x 0 x 0 x 0

2

1ln x xlim x ln x lim lim lim x 01 1

x x

.

Ακόμη x

x 0 x 0lim g x lim ln x e e

οπότε

x 0lim f x g x

.

Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f : R R με

f 0 f 0 2012 . Αν ισχύει

2h 0

f x h 2f x f x hlim f x

h

να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f.

ΛΥΣΗ

Από την υπόθεση έχουμε:

0

0

2h 0

f x h 2f x f x hlim f x

h

0

0

h 0 2

f x h 2f x f x hlim f x

h

h 0

f x h x h 2f x f x h x hlim f x

2h

234

235

Παράγωγοι

Παράγωγοι 329

( η μεταβλητή ως προς την οποία παραγωγίζουμε είναι η h)

h 0

f x h f x hlim f x

2h

h 0

f x h f x f x h f x1lim f x

2 h

h 0

f x h f x f x h f x1lim f x

2 h h

(1).

Όμως από τον ορισμό της παραγώγου είναι

h 0

f x h f xf x lim

h

(2) αφού η f είναι δύο φορές

παραγωγίσιμη. Επίσης στο κλάσμα f ' x h f ' x

h

θέτουμε

h u οπότε u 0 όταν h 0 και επομένως:

h u

h 0 u 0 u 0

f ' x h f ' x f x u f x f x u f xlim lim lim

h u u

f x (3). Από (1), (2) και (3) θα έχουμε:

(2),(3)

h 0

f x h f x f x h f x1lim f x

2 h h

(2),(3) (2),(3)

h 0 h 0

f x h f x f x h f x1 1lim lim f x

2 h 2 h

1 1

f x f x f x f x f x2 2

xf x ce , c R 4

Παράγωγοι

Παράγωγοι 330

● Για x 0 , από την 4 έχουμε: f 0 c c 2012 και

επομένως:

4

x xf x 2012e f x 2012e

x1 1f x 2012e c , c R 5

● Για x 0 , από την 5 έχουμε: 1f 0 2012 c

1 12012 2012 c c 0 και επομένως:

5

xf x 2012e , x R

α) Να δειχθεί ότι 1xx α

1

για οποιαδήποτε x 0 και 1 .

β) Να δειχθεί ότι 1

x 5

xlim x 2 1

.

γ) Να δειχθεί ότι 1

2011 x2011x x 2010 e για κάθε x 0, .

ΛΥΣΗ

α) Είναι: 1αx x 1 01xx α

1

.

Θεωρούμε συνάρτηση 1xxxf α

1

, x 0, .

Οπότε: 1 1 1α

'1 11

f ' x x x 1 x 1 x 1

Επίσης είναι 1 1 1'

1 2 21 1f '' x x 1 1 x x 0

διότι x 0 και 1 . Άρα η f ' είναι γνησίως φθίνουσα.

Παρατηρούμε επίσης ότι f '(1) 0 και επομένως θα έχουμε:

236

Παράγωγοι

Παράγωγοι 331

f '

0 x 1 f '(x) f '(1) f '(x) 0

f '

x 1 f '(x) f '(1) f '(x) 0

Συνεπώς στο 0, 1 η f είναι γνησίως αύξουσα ενώ στο 1, είναι

γνησίως φθίνουσα. Στο 0x 1 η f παρουσιάζει μέγιστο με μέγιστη

τιμή 1αf 1 1 1 1 0 . Επομένως f (x) f (1) f (x) 0

για κάθε x 0 . Άρα 1 1α αx x 1 0 x x 1 .

β) Είναι 1

x 5

1ln x 2

x 5

x xlim x 2 lim e

. Επειδή όμως η εκθετική

συνάρτηση είναι συνεχής θα είναι: x

11 lim ln x 2ln x 2x 5x 5

xlim e e

.

Όμως

'

'x x x

ln x 21 ln x 2lim ln x 2 lim lim

x 5 x 5 (x 5)

'

x

1x 2

1x 2 lim 01 2(x 2)

.

Άρα: 1eelim2xlim 02xln

5x

1

xx

5x

1

γ) Η συνάρτηση f του (α) ερωτήματος για 2011 γίνεται

1

2011f x 2011x x 2010 και ισχύει 0xf για κάθε x 0 .

Επίσης είναι xe 0 για κάθε x R .

Άρα για κάθε x 0, ισχύει 1

2011 x2011x x 2010 e .

Παράγωγοι

Παράγωγοι 332

Έστω οι συναρτήσεις f , g : 0, R δυο φορές παραγωγίσιμες

ώστε xf " x f ' x 1 για κάθε x 0 και 4xfxglimx

.

Αν η ευθεία y x 2 είναι εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της

f στο σημείο της A 1, f (1) , να βρεθεί η ασύμπτωτη της γραφικής

παράστασης της g στο .

ΛΥΣΗ

Η εφαπτομένη της fC στο σημείο A 1, f (1) έχει εξίσωση:

y f 1 f 1 x 1 y f 1 x f 1 f 1 .

Όμως μας δίνεται ότι η εφαπτομένη είναι η ευθεία y x 2 , άρα πρέπει

να είναι f '(1) 1 και f (1) f '(1) 2 οπότε f (1) 3 .

Για x 0 ισχύει:

2 2

xf " x f ' x 1xf " x f ' x 1

x x

f ' x 1

x x

f x 1

c f x cx 1x x

με c R .

Όμως f 1 1 c 1 1 c 2 . Άρα για x 0 είναι

'

2f x 2x 1 f x x x 2f x x x , R .

Όμως f 1 3 3 και επομένως είναι 3xxxf 2 , x 0

H ευθεία y x είναι ασύμπτωτη της Cg στο + οπότε θα

είναι: x

xglimx

και xxglimx

Θέτουμε τώρα xfxgxh , x 0 με 4xhlimx

.

237

Παράγωγοι

Παράγωγοι 333

Ισχύει 2g x h x f x g x h x x x 3 . Άρα:

2

2 2

g x g x1 x x 3 1 1 3h x h x 1

x x x x xx x

Είναι:

2x x

g x 1 1 3lim lim h x 1 4 0 1 1

x x x x

.

Επίσης, x xlim g x x lim h x f x x

2

2x x

x 3lim h x x x 3 x lim h x

x x 3 x

x

31

1 7xlim h x 42 21 3

1 1x x

.

Άρα η ευθεία με 2

7xy είναι η ασύμπτωτη της Cg στο +.

Έστω μια συνάρτηση συνεχής στο R, για την οποία ισχύει

2 2 2012xf (x) 5x xf (x) e (1) για κάθε x R .

Δείξτε ότι η fC δεν έχει ασύμπτωτες.

ΛΥΣΗ

Κατ’ αρχάς η f είναι συνεχής στο R και επομένως δεν έχει

κατακόρυφες ασύμπτωτες. Αν είχε πλάγια ασύμπτωτη στο την

238

Παράγωγοι

Παράγωγοι 334

ευθεία y x θα έπρεπε να είναι

x

f xlim R

x και

και επίσης

xlim f x x R

. Οπότε στη δοθείσα σχέση (1)

διαιρώντας και τα δύο μέλη με 2x 0 θα έχουμε:

2 2 2012x2 2 2012x

2 2 2 2

f (x) 5x xf (x) ef (x) 5x xf (x) e

x x x x

2 22012x 2012x

2 2

f (x) f (x) e f (x) f (x) e5 5

x x x xx x

οπότε θα είναι

2 2012x

2x x

f (x) f (x) elim lim 5

x x x

2 2012x

2x x x

f (x) f (x) elim lim lim 5

x x x

2 το οποίο είναι άτοπο διότι R .

Είναι

'2012x2012x 2012x

2 'x x x2

ee 2012elim lim lim

2xx x

'2012x 2012x

'x x

2012e 1006 2012elim lim

12x

Επομένως

x

f xlim R

x

και δεν έχει πλάγια ασύμπτωτη στο .

Στα ίδια συμπεράσματα καταλήγουμε και όταν x .

Επομένως η f δεν έχει ασύμπτωτες.

Παράγωγοι

Παράγωγοι 335

Έστω η παραγωγίσιμη στο (0, ) συνάρτηση f τέτοια ώστε:

xlim f (x) xf '(x) 2012

. Αν το xlim f (x)

υπάρχει και είναι

πραγματικός αριθμός διαφορετικός του μηδενός, δείξτε ότι:

α) xlim f (x) 2012

β) xlim xf '(x) 0

ΛΥΣΗ

α) Είναι:

'

'x x x x

xf (x)xf (x) f (x) xf ' (x)lim f (x) lim lim lim 2012

x 1(x)

διότι το xlim f (x)

υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός

διαφορετικός του μηδενός και επομένως xlim xf (x)

ή

οπότε από τον κανόνα De L’ Hospital θα είναι

'

'x x

xf (x)xf (x)lim lim

x (x)

β) Είναι: xf '(x) f (x) xf '(x) f (x) οπότε

x xlim xf '(x) lim f (x) xf '(x) f (x)

x xlim f (x) xf '(x) lim f (x) 2012 2012 0

239

Παράγωγοι

Παράγωγοι 336