Задача №1

В пакете лежат конфеты двух сортов. Какое наименьшее число конфет

(не видя их) надо вытащить из пакета, чтобы среди них были хотя бы:

а) две конфеты одинакового сорта;

б) три конфеты одного сорта?

Решение очевидное.

Ответ: а) 3; б) 5.

Задача №2

Ваня, Петя, Саша и Коля носят фамилии, начинающиеся с букв В, П, С,

и К. Известно, что

1) Ваня и С. – отличники;

2) Петя и В. – троечники;

3) Коля и В. ростом ниже П.;

4) Саша и Петя имеют одинаковый рост.

С какой буквы начинается фамилия каждого мальчика?

Решение.

Ваня и С отличники, значит Ваня не С. Петя и В троечники, значит

Петя не В. Коля и В ростом ниже П, значит Коля не В и не П. Саша и Петя

имеют одинаковый рост, значит Саша – В, а Ваня – П.

Если Петя – С, тогда он будет отличником с Ваней и троечником с

Сашей, что не допустимо. Значит Петя – К, а Коля – С.

Буква/Имя Ваня Петя Саша Коля

В - - + -

П + - - -

С - + - -

К

Ответ: Ваня – П, Петя – К, Саша – В, Коля – С.

Задача №4

Какое наименьшее количество переливаний потребуется для того,

чтобы с помощью крана и сосудов емкостью 4 и 7 литров отмерить 6 литров?

Решение Налить воду в 7-литровый сосуд (1) и часть ее вылить в 4-литровый (2).

Опорожнить 4-литровый сосуд (3) и вылить в него 3 литра из 7-литрового (4).

Наполнить заново 7-литровый сосуд (5) и долить из него 4-литровый (6), в

который поместится 1 литр. В 7-литровом останется 6 литров.

Ответ: 6.

Задача №6

Город расположен на шести островах. На острове, обозначенном

буквой «М» живет девочка Маша, а на острове «Б» – ее бабушка. На каждом

из остальных островов (О1–О4) есть по магазину. Маша должна зайти в

каждый магазин и купить продукты, а после этого попасть на остров, на

котором живет бабушка, отдать ей продукты и вернуться обратно любой

дорогой (через любые острова). Обходя магазины, Маша может любое

количество раз проходить через любой остров (О1–О4), но на остров, на

который живет бабушка, Маша должна войти только тогда, когда у нее уже

есть все продукты, а вернуться на родной остров М, только отдав продукты

бабушке. Острова соединены мостами, как показано на схеме. На мостах

стоят стражники и берут деньги: за первый проход по мосту (в любую

сторону) – сумму, подписанную над мостом на схеме, а за любой следующий

проход (в любую сторону) – сумму, на одну монету меньше исходной. Мама

дала Маше 150 монет. Продукты стоят 100 монет. Остальные деньги Маша

может тратить на дорогу. Маша выбрала оптимальный путь и смогла

сэкономить максимально возможное количество денег, выполнив все

условия. Сколько у нее осталось монет?

Решение. Путь к бабушке:

МО2(6) + О2О1(1) + О1О2(0) + О2О4(1) + О4О3(8) + О3Б(6) = 22

(монеты)

Путь обратно:

БО1(3) + О1О2(0) + О2М(5) = 8 (монет)

Осталось: 150 – 100 – 22 – 8 = 20 (монет)

Ответ: 20.

Задача №8

С помощью фонарика Ваня и Саша передают друг другу сообщения,

используя красный, желтый и зеленый фонарики. Это они делают, включая

по одному фонарику на одинаковое короткое время в некоторой

последовательности. Количество вспышек в одном сообщении – 3 или 4,

между сообщениями – паузы. Сколько различных сообщений могут

передавать мальчики?

Решение. Для равновероятных событий количество информации определяется

по формуле Хартли . (

Ответ: 108.

Задача №9 Один человек предпочитал смысловую память другим ее видам и

поэтому всегда, когда надо было запомнить какие-либо числа, пытался

находить в них закономерности. Когда его назначили директором завода, он

первым делом присвоил каждому начальнику отдела новый четырехзначный

номер телефона заводской АТС по известной ему закономерности. Какой

номер телефона у Сергеева, если известны телефонные номера следующих

сотрудников:

• Воронович — 9325;

• Белый — 5211;

• Елкин — 5715;

• Сафронов — 8193;

• Иванов — 6103;

• Сергеев — ?

Решение. Первое число (цифра) — число букв в фамилии. Второе число (цифра

или две цифры) — порядковый номер в алфавите начальной буквы фамилии.

Третье число (цифра или две цифры) — порядковый номер в алфавите

последней буквы фамилии.

Ответ: 7193.

Задача №10

Сколько натуральных чисел, не превосходящих 70, содержат

одинаковое количество единиц при их записи в двоичной и восьмеричной

системах счисления?

Решение Переведя число 7010 в восьмеричную систему счисления, мы получим

1068. Таким образом, можно сделать вывод, что все допустимые в данной

задаче числа, записанные в восьмеричной системе, могут содержать ноль,

одну или две единицы. Числа, содержащие 0 единиц, нас не интересуют, так

как любое натуральное число, записанное в двоичной системе, содержит хотя

бы одну единицу. Числа, содержащие в восьмеричной записи цифры,

отличные от нуля или единицы также не могут войти в подсчитываемое

количество. Так как каждой цифре в восьмеричной записи числа

соответствует триада в двоичной записи этого числа, являющаяся

результатом перевода этой цифры в двоичную запись, а любое число

большее единицы, очевидно, будет содержать как минимум одну единицу

в двоичной записи, все числа, содержащие в восьмеричной записи цифры,

отличные от нуля и единицы, не могут иметь равное количество единиц с их

двоичной записью. Остается рассмотреть числа, восьмеричная запись

которых содержит только единицы и нули. В рассматриваемом диапазоне

таких чисел – пять: 18,108, 118, 1008, 1018. Переведя эти числа в двоичную

систему счисления убедимся, что все они имеют равное количество единиц

в двоичной и восьмеричной записи.

Ответ: 5.

Задача №10

Сколько натуральных чисел, не превосходящих 70, содержат

одинаковое количество единиц при их записи в двоичной и восьмеричной

системах счисления?

Решение Переведя число 7010 в восьмеричную систему счисления, мы получим

1068. Таким образом, можно сделать вывод, что все допустимые в данной

задаче числа, записанные в восьмеричной системе, могут содержать ноль,

одну или две единицы. Числа, содержащие 0 единиц, нас не интересуют, так

как любое натуральное число, записанное в двоичной системе, содержит хотя

бы одну единицу. Числа, содержащие в восьмеричной записи цифры,

отличные от нуля или единицы также не могут войти в подсчитываемое

количество. Так как каждой цифре в восьмеричной записи числа

соответствует триада в двоичной записи этого числа, являющаяся

результатом перевода этой цифры в двоичную запись, а любое число

большее единицы, очевидно, будет содержать как минимум одну единицу

в двоичной записи, все числа, содержащие в восьмеричной записи цифры,

отличные от нуля и единицы, не могут иметь равное количество единиц с их

двоичной записью. Остается рассмотреть числа, восьмеричная запись

которых содержит только единицы и нули. В рассматриваемом диапазоне

таких чисел – пять: 18,108, 118, 1008, 1018. Переведя эти числа в двоичную

систему счисления убедимся, что все они имеют равное количество единиц

в двоичной и восьмеричной записи.

Ответ: 5.

Задача №11

Дан фрагмент кода программы. Сколько раз за время выполнения этого

фрагмента будет выведено отрицательное число?

Решение:

1 шаг. s = 1

2 шаг. i = 1,

j = 1, s = 1 + 1 – 1 = 1, вывод 1

j = 2, s = 1 + 2 – 1 = 2, вывод 2

j = 3, s = 2 + 3 – 1 = 4, вывод 4

j = 4, s = 4 + 4 – 1 = 7, вывод 7

j = 5, s = 7 + 5 – 1 = 11, вывод 11

3 шаг. s = 11 – 1 =10

4 шаг. i = 2,

j = 1, s = 10 + 1 – 2 = 9, вывод 9

j = 2, s = 9 + 2 – 2 = 9, вывод 9

j = 3, s = 9 + 3 – 2 = 10, вывод 10

j = 4, s = 10 + 4 – 2 = 12, вывод 12

j = 5, s = 12 + 5 – 2 = 15, вывод 15

5 шаг. s = 15 – 2 =13

6 шаг. i = 3,

j = 1, s = 13 + 1 – 3 = 9, вывод 11

j = 2, s = 11 + 2 – 3 = 10, вывод 10

j = 3, s = 10 + 3 – 3 = 10, вывод 10

j = 4, s = 10 + 4 – 3 = 11, вывод 11

j = 5, s = 11 + 5 – 3 = 15, вывод 13

7 шаг. s = 13 – 3 =10

8 шаг. i = 4,

j = 1, s = 10 + 1 – 4 = 7, вывод 7

j = 2, s = 7 + 2 – 4 = 5, вывод 5

j = 3, s = 5 + 3 – 4 = 4, вывод 4

j = 4, s = 4 + 4 – 4 = 4, вывод 4

j = 5, s = 4 + 5 – 4 = 5, вывод 5

9 шаг. s = 5 – 4 =1

10 шаг. i = 5,

j = 1, s = 1 + 1 – 5 = –3, вывод –3

j = 2, s = –3 + 2 – 5 = –6, вывод –6

j = 3, s = –6 + 3 – 5 = –8, вывод –8

j = 4, s = –8 + 4 – 5 = –9, вывод –9

j = 5, s = –9 + 5 – 5 = –9, вывод –9

Ответ: 5.

Задача №12

Какое значение получится на выходе алгоритма, если на входе было

введено p=6 и q=4? В ответе укажите число.

Begin

Input p, q

k:= 0;

i:= 0;

i < 10

A[i]:= i + 3;

i:= i + 1;

Output k

End

Да

i:= 0;

i < 10

n:= A[i] mod p

m:= A[9-i] mod q

i:= i+1;

Да

n > m

k:=k+1

Да

Нет

Нет

Нет

Решение.

Выполним алгоритм пошагово.

p = 6, q = 4

k = 0, i =0 А[0]=3; A[1]=4; A[2]=5; A[3]=6; A[4]=7; A[5]=8; A[6]=9; A[7]=10; A[8]=11; A[9]=12

i = 0

n = 3 mod 6 = 3

m = 12 mod 4 = 0

i = 1

k = 1

n = 4 mod 6 = 4

m = 11 mod 4 = 3

i = 2

k = 2

n = 5 mod 6 = 5

m = 10 mod 4 = 2

i = 3

k = 3

n = 6 mod 6 = 0

m = 9 mod 4 = 1

i = 4

n = 7 mod 6 = 1

m = 8 mod 4 = 0

i = 5

k = 4

n = 8 mod 6 = 2

m = 7 mod 4 = 3

i = 6

n = 9 mod 6 = 3

m = 6 mod 4 = 2

i = 7

k = 5

n = 10 mod 6 = 4

m = 5 mod 4 = 1

i = 8

k = 6

n = 11 mod 6 = 5

m = 4 mod 4 = 0

i = 9

k = 7

n = 12 mod 6 = 0

m = 3 mod 4 = 3

i = 10

вывод k = 7

Ответ: 7.

Задача №13

Мощность алфавита равна 64. Сколько Кбайт памяти потребуется,

чтобы сохранить 128 страниц текста, содержащего в среднем 256 символов

на каждой странице?

Указание к решению. Для равновероятных событий количество

информации определяется по формуле Хартли .

( .

Ответ: 24.

Задача №14

В базе данных хранятся записи, содержащие информацию о датах.

Каждая запись содержит три поля: год (число от 1 до 2100), номер месяца

(число от 1 до 12) и номер дня в месяце (число от 1 до 31). Каждое поле

записывается отдельно от других полей с помощью минимально возможного

числа бит. Определите минимальное количество бит, необходимых для

кодирования одной записи.

Указание к решению. Для равновероятных событий количество

информации определяется по формуле Хартли . (

. Необходимо учесть, что количество дней не может быть

дробным числом.

Ответ: 21.

Задача №17

Вычислить сумму 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n для n = 19. Результат

вычисления выразить в форме дроби p/q, где р и q – целые несократимые

числа. Ответ записать в виде двух чисел (сначала р, потом q) через пробел.

Указание к решению. Вычисляем сумму с использованием НОД для

подбора дополнительных множителей при сложении дробей и сокращении.

Тип данных – extended.

Ответ: p = 275295799, q = 77597520.

Задача №18

Треугольник ABC задан координатами вершин – А(1;10), В(10;5),

С(6;4). Разделить его с помощью зигзагообразной ломаной без точек

самопересечения на 3 равновеликие части. Начало ломаной – точка А.

В ответе записать координаты вершин ломаной в строку через пробел

(первой – координаты точки А) с 2 знаками после запятой.

1

19

n

1

n

275295799

77597520

Указание к решению. На стороне, противоположной вершине,

отмечаем точку, которая отделит 1/к часть отрезка ВС. Эта точка и будет

следующей вершиной. Считаем полученное звено

новой стороной треугольника и оставшийся

треугольник делим на (к-1) частей. Два

возможных случая возникают потому, что можно

отделять 1/к часть отрезка ВС от вершины В, а

можно от вершины С.

Ответ: 1 10 8.67 4.67 3.5 7 или 1 10 7.33

4.33 5.5 7.5.

Задача №20

Известна простая формула для вычисления числа ln 2: 11 1 ( 1)

ln2 1 ... ...2 3

k

k,

где k может меняться до бесконечности. При k: 1, 2, 3, 4, 5, 6 значения

ln 2 будут равны 1; 0,5; 0,8333…; 0,5833…; 0,7833…; 0,6166…

соответственно. Найти сумму чисел, полученных после сложения двух

первых разрядов после запятой в значениях ln 2 для k от 1 до 20.

Указание к решению. В цикле с известным числом повторений

обеспечить знакочередование слагаемых .

Ответ: 197.

Задача №22

Школьным учителям поступили приглашения на участие в мастер-

классах по использованию ИТ в учебном процессе. В соответствии с

номинациями мастер-классы будут проходить в разное время [ai:bi]: [10:12],

[12:13], [17:19], [18:20], [13:15], [20:21], [16:18]. Между посещениями мастер-

классов должен быть хотя бы минимальный перерыв, т.е. учитель может

успеть на j-е (по списку приглашений) после i-го, если aj>bi.

Какое максимальное количество мастер-классов можно посетить,

чтобы участвовать в них от начала до конца? Сформируйте строку из N

символов 0 и 1, обозначающих присутствие учителя на i-м (в порядке

входных данных) мастер-классе.

Указание к решению. Методом двоичного перебора сформировать

возрастающие подпоследовательности, так чтобы время окончания

предыдущего мастер-класса было меньше времени начала следующего.

Результатом считать те, у которых количество подходящих элеьентов

наибольшее.

Ответ: (4; 1000111), (4; 1010110).

Задача №23

Некоторый алфавит состоит из шести букв, которые для передачи

по телеграфу закодированы так: . – . . – – . – – .

При переводе одного слова не указали промежутков, отделяющих

букву от буквы, так что получилась сплошная цепочка точек и тире,

содержащая 12 знаков. Сколькими способами можно прочитать данное

слово?

Указание к решению. Пусть есть функция, зависящая от натурального аргумента ,

причем при каждом значение равно количеству расшифровок строки,

содержащей точек и тире. Очевидно, что , .

Понятно, что строка, содержащая точек и тире, может заканчиваться

буквой с кодом длины 1 или 2. Следовательно, для

.

Поэтому для решения задачи надо последовательно вычислить ,

, по приведенной выше формуле. Ясно, что эти значения являются

числами Фибоначчи и .

Ответ: 233.

Задача №24

Джентльмены пришли в клуб и сдали в гардероб свои шляпы. Уходя,

джентльмены перепутали шляпы так, что каждый ушел в чужой шляпе. Для

5 джентльменов могут быть 44 различных способа так перепутать шляпы,

для 6 джентльменов – 265 различных способов.

Сколько вариантов такого события может быть, если клуб посетили

7 джентльменов?

Решение:

Нетрудно убедиться, что

для 2-х джентльменов количество способов перепутать шляпы равно 1,

для 3-х – количество способов равно 2,

для 4-х – количество равно 9.

Известно, что

для 5-ти джентльменов есть 44 способа перепутать шляпы,

для 6-ти – 265 способов.

Заметим, что количество P вариантов перепутать шляпы для n

джентльменов можно выразить формулой:

Р(n) = (n–1)*(P(n–1) + P(n–2)), тогда

P(7) = (7 – 1)(P(6) + P(5)) = 6*(265 + 44)

Ответ: 1854.