©Shutterstock/Miriama Taneckova

Capítulo 4

Triângulo retângulo 2

Capítulo 5

Polígonos regulares, círculo e circunferência 28

Capítulo 6

Expressões algébricas e equações do 2º. grau 60

Volume 2

capí

tulo

Triângulo retângulo4

Rampa pode explicar mistério da construção das pirâmides

[...]Arqueólogos podem finalmente ter solucionado o mistério de

como os egípcios construíram as pirâmides, particularmente a maior delas: a Grande Pirâmide de Gizé, também conhecida como Pirâmide de Quéops. Restos de uma rampa de cerca de 4 500 anos de ida-de foram encontrados numa antiga pedreira, revelando o provável sistema utilizado para extrair grandes blocos que seriam usados na pirâmide. [...] “Usando um trenó que carregava um bloco de pedra e era amarrado com cordas a esses postes de madeira, os egípcios an-tigos conseguiam puxar os blocos de alabastro para fora da mina em declives bastante íngremes, de 20% ou mais [de inclinação]”, explica.

TERRA. Rampa pode explicar mistério da construção das pirâmides. Disponível em: <https://www.terra.com.br/noticias/rampa-pode-explicar-misterio-da-construcao-das-piramides,75182cad87616d9a18e7de56910e27b1dtppb8xu.html>. Acesso em: 25 maio 2019.

Teorema de Pitágoras

Relações métricas no

triângulo retângulo

Razões

trigonométricas no triângulo retângulo

o que vocêvai conhecer

©Shutterstock/Kit8.net

2

Matemática

Reconhecer e nomear os elementos de um triângulo retângulo (catetos e suas projeções, hipotenusa e altura relativa à hipotenusa).

Deduzir e aplicar as relações métricas no triângulo retângulo usando semelhança de triângulos.

Aplicar o teorema de Pitágoras na resolução de diversas situações-problemas.

Aplicar as razões trigonométricas no cálculo de elementos desconhecidos dos triângulos retângulos.

Resolver problemas envolvendo as razões trigonométricas.

objetivos do capítulo

Teorema de Pitágoras

Diagonal de um retângulo

Observe o retângulo cujas medidas dos lados são a e b.

a

b

c

A área A e o perímetro P desse retângulo são dados, respectivamente, por:

A = ab

P = 2 ⋅ (a + b)

De que maneira podemos calcular a medida c da diagonal

de um retângulo?

Para que isso seja possível, precisaremos de outras figuras

que nos auxiliarão nessa demonstração.

Primeiro, observe a imagem ao lado. Ela é composta por dois

retângulos idênticos, cujas medidas dos lados são a e b, e dois

quadrados, cujos lados medem a, em um, e b em outro.

Perceba que temos um quadrado cuja medida dos lados é igual

a a + b. Sua área é, portanto, igual a (a + b) Além disso, note que:

o quadrado verde, de lado a, tem área igual a a ;

o quadrado vermelho, de lado b, tem área igual a b ;

cada um dos retângulos amarelos tem área igual a ab, e c indica o comprimento de uma

de suas diagonais.

Assim, a área do quadrado pode ser descrita pela igualdade:

(a + b)2 = a2 + b2 + 2 ⋅ ab (I)

a

ab

b

c

c

3

Agora, observe a imagem ao lado. O quadrado laranja tem a

medida do lado igual a c, que é a diagonal dos retângulos amarelos.

Assim, a área desse quadrado é c2, e a área do segundo quadra-

do de lados (a + b) é descrita pela igualdade:

(a + b)2 = c2 + 2 ⋅ ab (II)

Como as duas figuras têm a mesma área, podemos igualar as

equações (I) e (II):

c2 + 2 ⋅ ab = a2 + b2 + 2 ⋅ ab

Simplificando a expressão, temos:

a

a

a

a

b

b

b

b

c

c

c

c

c2 = a2 + b2

Assim, conhecendo as medidas a e b dos lados de um retângulo, podemos calcular a

medida da sua diagonal por meio da expressão acima.

Você notou que, ao dividirmos o retângulo em duas partes iguais, cada uma delas forma

um triângulo retângulo?

A relação demonstrada anteriormente permitiu-nos compreender que, ao conhecermos

dois lados de um triângulo retângulo, é possível encontrar também a medida do terceiro

lado.

Observe, agora, estes triângulos retângulos:

a a

a

b b

bc cc

Para todos eles, vale a igualdade:

c2 = a2 + b2

Essa importante relação dos triângulos retângulos é conhecida como teorema de

Pitágoras. Nessa relação, o lado do triângulo retângulo que corresponde à diagonal do re-

tângulo recebe o nome de hipotenusa. Os dois lados que formam o ângulo reto e correspon-

dem aos lados do retângulo recebem o nome de catetos.

O teorema de Pitágoras é enunciado da seguinte forma:

Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa (a) é igual à soma

dos quadrados das medidas dos catetos (b e c). a = b + c

4

Matemática

Acompanhe alguns exemplos de aplicações do teorema de Pitágoras.

Exemplo 1

Determine o valor de x no triângulo retângulo a seguir.

No triângulo ABC, temos:

Medida da hipotenusa BC: 54

Medida do cateto AC: 3 2

Medida do cateto AB: x

Usando o teorema de Pitágoras, temos:

54 3 22 2

2� � � � � � x → 54 = 9 · 2 + x2 → 54 – 18 = x2 → x2 = 36 → x 36 6

Exemplo 2

Calcule a área de um quadrado cujas diagonais medem 5 2 .

2.

Traçando uma das diagonais do quadrado, ele fica dividido

em dois triângulos retângulos congruentes. Aplicando o teore-

ma de Pitágoras em um desses triângulos, temos:

5 22� � 2 2

25 · 2 = 2 ⋅ 2

2 = 25 → 25 →

Portanto, a área do quadrado é igual a A = 52 = 25 unidades de área.

Exemplo 3

No triângulo equilátero ABC, obtenha uma fórmula que relacione a medida h da altura e

Em um triângulo equilátero, a altura coincide com a mediana. Por-

tanto, H é o ponto médio do lado BC, ou seja, BH = CH = L2

. Aplicando

o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo ACH, que é congruente

ao triângulo ABH, temos:

L L

L L L L L L L

2

2

2

22

2 2 22

22 2

2

4 4

3

4

3

4

3

2

��

��

� �

� � � � � � � � � � �

h

h h h h h h( 00)

Portanto, hL 3

2. Isso significa que a altura de um triângulo equilátero pode ser obtida

sabendo a medida de seus lados.

C

AB

x

54

3 2

ℓ

ℓ

5 2

ℓ ℓ

ℓ

H

h

B C

A

5

Rampas e acessibilidade

Em 2004 foram publicadas as normas

9050 da ABNT, que tratam da acessibili-

dade a edificações, espaço mobiliário e

equipamentos urbanos.

Um dos temas abordados são rampas

de acesso para cadeirantes, que seguem

regras específicas. A inclinação da ram-

pa deve variar entre 6,25% e 8,33%. Em

caso de reforma de um imóvel para a in-

clusão de uma rampa, são aceitas inclina-

ções de até 12,5%.

Para a inclinação ideal, a cada 50 m de percursos deve haver um espaço de descanso, nos

patamares.

©S

hu

tte

rsto

ck/X

Art

Pro

du

ctio

n

conectado

Você sabe o que significa, matematicamente, uma inclinação de 8% em uma rampa?

Esse percentual indica a razão entre a altura da rampa (vertical) e o comprimento hori-

zontal, ou seja, para cada 8 metros de altura, são necessários 100 metros de comprimento

horizontal.

A figura abaixo representa uma rampa de altura igual a 1,6 m.

1,6 m

?

Acompanhe os cálculos que devem ser feitos para determinar o comprimento dessa

rampa para que ela tenha uma inclinação de 8%.

Se, para 8 m de altura, o comprimento horizontal deve ser de 100 m, podemos escrever

uma regra de três simples.

Altura Comprimento horizontal

8 100

1 6

m m

m x,

Resolvendo, temos:

8x = 100 · 1,6 → 8x = 160 → x = 20

Para que uma rampa de 1,6 m de altura tenha inclinação de 8%, seu comprimento hori-

zontal deve ser de 20 m.

6

Matemática

Agora que já descobrimos o comprimento horizontal da rampa, podemos pensar em

outra pergunta: qual é o comprimento dessa rampa?

1,6 m

20 m

Comprimento da rampa

Observe, na figura a seguir, o triângulo destacado em azul na rampa.

1,6 m

Comprimento da rampa

20 m

Como o triângulo formado é retângulo, podemos aplicar o teorema de Pitágoras para

determinar o comprimento da rampa, que corresponde à hipotenusa do triângulo.

1,6 m

a

20 m

Sendo a o comprimento da rampa, temos:

a a a a a2 2 2 2 2

20 1 6 400 2 56 402 56 402 56 20 06� � � � � � � � � � � �, , , , ,�

Portanto, o comprimento da rampa é, aproximadamente, igual a 20,06 m.

Observe uma representação do teorema de Pitágoras, em que as medidas dos lados do triângulo

retângulo são os números inteiros 3, 4 e 5.

a

a = 5b = 4

c = 3

A

B

= +C

b

c

Note que a área do quadrado vermelho é igual à soma das áreas dos quadrados verde e azul.

saiba mais

7

atividades

1 Em cada triângulo retângulo a seguir, determine as medidas desconhecidas indicadas pelas incógnitas.

a) B

C

8 cm

6 cm x

A

b) B

C12

x + 8

x

A

c)

B

C

3 m

m

xA

3 3√

2 Determine o perímetro do triângulo ABC representado a seguir.

B

C

y + 2

y

8

A

3 Um trapézio isósceles tem suas bases medindo 4 cm e 8 cm. Sabendo que sua altura mede 2 3cm, determine o perímetro do trapézio.

8

Matemática

4 Determine o valor de x na figura a seguir.

B

D

C

x

5

A

4 2√

2 6√

5 Calcule o perímetro de cada polígono representado a seguir.

a) Losango

10 cm

8 cm

b) Paralelogramo

4 cm

2 cm 5 cm

c) Trapézio isósceles

6 cm

2 5 cm

2 cm

9

Relações métricas no triângulo retângulo

O triângulo retângulo é um tipo muito especial de

triângulo. Já vimos que podemos usar o teorema de Pi-

tágoras para calcular a medida de um dos seus lados

quando conhecemos as outras duas medidas.

Outra propriedade notável dos triângulos retângulos é que duas das suas alturas coinci-

dem com os lados do triângulo.

A altura hc, relativa ao lado c, coincide com

o lado b.

A altura hb, relativa ao lado b, coincide com

o lado c.

Assim, podemos usar o teorema de Pitágoras para calcular essas duas alturas:

hc = a2 – c2 h

b = a2 – b2

Será que é possível calcular a altura relativa à hipotenusa?

Vamos analisar uma figura mais detalhada. Nesse triângulo retângulo, destacamos os

seguintes elementos:

O lado BC, oposto ao ângulo reto, é a

hipotenusa do triângulo retângulo e

sua medida é indicada por a.

O lado AB é um cateto e sua medida é

indicada por c.

O lado AC é um cateto e sua medida é

indicada por b.

O segmento AH é a altura relativa à hipotenusa. Sua medida é indicada por h.

O segmento BH é a projeção ortogonal do cateto AB sobre a hipotenusa. Sua medida é

indicada por n.

O segmento CH é a projeção ortogonal do cateto AC sobre a hipotenusa.

Sua medida é indicada por m.

a

A

B

bc

c

a

a

b = hc

bc

c = hb

A

B C

bcx

H

n

a

m

h

10

Matemática

A altura relativa à hipotenusa divide o triângulo ABC em dois outros triângulos. Veja.

A

B C

bc

a

h

b

A A

B C

c

Hn

h

H

h

m

Os três triângulos são semelhantes dois a dois. Vamos analisar cada par de triângulos

semelhantes a seguir.

Os triângulos ABC e HBA são semelhantes pelo caso AA:

BAC BHA

ABC HBA ângulo comum

ABC HBA

� �

� �∼

�

�

���

���

( )

� �

Então,

A

B C

bc

a

A

B

c

Hn

h

AB

HB

AC

HA

BC

BA

c

n

b

h

a

c

c

n

b

hch bn

c

n

a

cc an

b

h

a

cbc ah

� � � � �

� � �

� � �

� � �

2

Os triângulos ABC e HAC são semelhantes pelo caso AA:

BAC AHC

ACB HCA ângulo comum

ABC HAC

� �

� �∼

�

�

���

���

( )

� �

A

B C

bc

a

b

A

CH

h

m

Então,

AB

HA

AC

HC

BC

AC

c

h

b

m

a

b

c

h

b

mbh cm

c

h

a

bbc ah

b

m

a

bb am

� � � � �

� � �

� � �

� � �2

11

Triângulos HBA e HAC

Como os triângulos HBA e HAC são semelhantes ao triângulo ABC, eles são semelhan-

BAC AHC

ACB HCA ângulo comum

ABC HAC

� �

� �∼

�

�

���

���

( )

� �

b

A A

B C

c

H

n

h

H

h

m

HB

HA

HA

HC

BA

AC

n

h

h

m

c

b

n

h

h

mh mn

n

h

c

bch bn

h

m

c

bbh cm

� � � � �

� � �

� � �

� � �

2

Das relações encontradas anteriormente, vamos destacar algumas delas, com as quais

podemos determinar qualquer uma das medidas a, b, c, m, n e h.

• Em um triângulo retângulo, o quadrado

da medida de um cateto é igual ao produ-

to entre a medida da hipotenusa e a me-

dida de sua projeção sobre a hipotenusa.

b = am e c = an

• Em um triângulo retângulo, o quadrado

da medida da altura relativa à hipotenusa

é igual ao produto entre as medidas das

projeções dos catetos sobre a hipotenusa.

h = mn

• Em um triângulo retângulo, o produto das medidas dos catetos é igual ao produto entre a

medida da hipotenusa e a medida da altura relativa à hipotenusa.

bc = ah

• A soma das medidas das projeções dos catetos sobre a hipotenusa é igual à medida da

hipotenusa.

m + n = a

A

B C

bc

a

h

mn

12

Matemática

Acompanhe os exemplos a seguir.

Exemplo 1

No triângulo retângulo ABC, calcule as medidas b, h, m e n.

A

B C

b6x

H

n

10

m

h

Como c = 6 e a = 10, temos:

c a n n n2 2

6 1036

103 6� � � � � � � � ,

m n a m m� � � � � � � �3 6 10 10 3 6 6 4, , ,

b a m b b b b2 2 2

10 6 4 64 64 8 0� � � � � � � � � � �, ( )

bc ah h h� � � � � � � �8 6 1048

104 8,

Portanto, b = 8, h = 4,8, m = 6,4 e n = 3,6.

Exemplo 2

Calcule os valores de x, y, z e w indicados na figura a seguir.

C

B

x

9

16

H

w

Az

y

x = 9 + 16 = 25

y y y2 2

9 16 144 144 12� � � � � � �

w w w2 2

25 9 225 225 15� � � � � � �

z z z2 2

25 16 400 400 20� � � � � � �

Portanto, x = 25, y = 12, z = 20 e w = 15.

13

atividades

1 Calcule as medidas desconhecidas dos triângulos retângulos ABC, representadas pelas incógnitas a seguir.

a) A

CB H

b)

A

CB H

c)

A C

B

H

d) A

CB H

14

Matemática

2 Em um triângulo retângulo, as projeções dos catetos sobre a hipotenusa medem 3 cm e 9 cm. Cal-cule a medida da altura relativa à hipotenusa e as medidas dos catetos.

3 Em um triângulo retângulo, a hipotenusa mede 13 cm e a projeção de um dos catetos sobre a hipo-tenusa é de 4 cm. Calcule a medida de cada cateto desse triângulo.

4 Calcule o perímetro e a área do triângulo retângulo ABC a seguir, cujas medidas estão expressas em centímetros.

B

80

A x C

36

z

48

5 Qual o valor de x no triângulo retângulo da figura a seguir?

CBx + 2 x – 3

x – 1

H

A

6 (SARESP) Um motorista vai da cidade A até a cidade E, passando pela cidade B, conforme mostra a figura. Ele

percorreu:

a) 41 km.

b) 15 km.

c) 9 km.

d) 36 km.

7 (CESGRANRIO – RJ) Num triângulo retângulo em A, a altura relativa à hipotenusa mede 12, e o menor dos segmentos que ela determina sobre a hipotenusa, 9. O menor lado do triângulo mede:

a) 12,5 b) 13 c) 15 d) 16 e) 16,5

8 (Mackenzie – SP) Num triângulo, retângulo, um cateto é o dobro do outro. Então a razão entre o maior e o menor dos segmentos determinados pela altura sobre a hipotenusa é:

a) 2 b) 3 c) 4 d) 3

2e) 5

15

Razões trigonométricas no triângulo retângulo

Razões especiais no triângulo retângulo

Em muitas situações do dia a dia, as rampas ou planos inclinados são utilizados para faci-

litar o acesso de pessoas ou máquinas a determinados locais. Elas ligam um ponto mais alto

a um ponto mais baixo, e o seu ângulo de inclinação deve atender aos fins a que se propõe

sua construção.

As fotos a seguir mostram alguns exemplos de superfícies planas inclinadas.©

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ax

Bla

in

A inclinação considerada ideal para rampas depende de diversos fatores, como o espaço

horizontal disponível e a distância entre os dois planos que se deseja ligar, por exemplo.

A vista lateral de uma rampa tem a forma de um triângulo retângulo. Um dos catetos

representa a altura a ser vencida, ou seja, a diferença entre o ponto mais baixo e o mais alto.

O outro cateto representa o espaço horizontal disponível para a construção da rampa. Ob-

serve os exemplos a seguir.

5 m

32 m

5 m

14 m

Note que, se o espaço horizontal for pequeno comparado à altura, a inclinação da rampa

será muito grande, o que dificultará a subida.

É por esse motivo que, como você viu anteriormente, existem normas e leis a serem

seguidas, como para rampas de acesso para cadeirantes, cuja inclinação deve estar entre

6,25% e 8,33%.

Se uma rampa possui inclinação de 10%, então para cada 100 m de deslocamento na

horizontal, sobem-se 10 m. Observe:

100 m

α

10 m

Essa rampa não é, por exemplo, adequada para um cadeirante.

A inclinação de uma rampa está diretamente ligada ao ângulo α que ela forma com o plano ho-

rizontal. Já a hipotenusa do triângulo corresponde à distância que será percorrida sobre a rampa.

16

Matemática

Em um triângulo retângulo, além do ângulo reto que é formado pelos catetos, há dois

outros ângulos, ambos agudos. Podemos identificar os catetos de acordo com a posição em

relação a cada ângulo agudo. Veja.

Em relação ao ângulo agudo α:

Hipotenusa

Cateto adjacente a α

Cateto

oposto a α

α

Em relação ao ângulo agudo β:

Hipotenusa

Cateto

adjacente a β

Cateto oposto a β

β

A parte da Matemática que estuda as relações entre as medidas dos lados e dos ângulos

de um triângulo é chamada de Trigonometria, palavra de origem grega composta de três

vocábulos: tri (três), gono (ângulo) e metria (medida). As razões estabelecidas entre os lados

de um triângulo retângulo são chamadas de razões trigonométricas.

8 cm

6 cm

A

BE

C

D

4 cm

5 cm

10 cm

Observe os triângulos retângulos ABC e DBE,

cujas medidas dos lados estão indicadas. Esses

triângulos são semelhantes pelo caso AA de se-

melhança de triângulos (ângulo reto e ângulo α).

Portanto, em cada um dos triângulos, a razão en-

tre a medida do cateto oposto ao ângulo α e a me-

dida da hipotenusa é constante.

Triângulo ABC:

medida do cateto oposto a

medida da hipotenusa

cm

cm

�� �

6

100 6,

Triângulo DBE:

medida do cateto oposto a

medida da hipotenusa

cm

cm

�� �

3

50 6,

O mesmo acontece se calcularmos, em cada triângulo, a razão entre a medida do cateto

adjacente ao ângulo α e a medida da hipotenusa.

Triângulo ABC:

medida do cateto adjacente a

medida da hipotenusa

cm

cm

�� �

8

100 8,

Triângulo DBE:

medida do cateto adjacente a

medida da hipotenusa

cm

cm

�� �

4

50 8,

Note também a razão entre a medida do cateto oposto ao ângulo α e a medida do cateto

adjacente ao ângulo α.

Triângulo ABC:

medida do cateto oposto a

medida do cateto adjacente a

cm

cm

�

�� �

6

80 7, 55

Triângulo DBE:

medida do cateto oposto a

medida do cateto adjacente a

cm

cm

�

�� �

3

40 7, 55

17

Cada uma dessas razões constantes recebe um nome especial.

• Em qualquer triângulo retângulo, a razão entre a medida do cateto oposto ao ângulo α e a

medida da hipotenusa é denominada seno do ângulo α e é representada por sen α.

senmedida do cateto oposto ao ângulo

medida da hipotenusa �

��

• Em qualquer triângulo retângulo, a razão entre a medida do cateto adjacente ao ângulo α

e a medida da hipotenusa é denominada cosseno do ângulo α e é representada por cos α.

cos ��

�medida do cateto adjacente ao ângulo

medida da hipotenusa

• Em qualquer triângulo retângulo, a razão entre a medida do cateto oposto ao ângulo α e

a medida do cateto adjacente ao ângulo α é denominada tangente do ângulo α e é repre-

sentada por tg α.

tgmedida do cateto oposto ao ângulo

medida do cateto adjacente a �

��

oo ângulo �

Exemplo

No triângulo retângulo ABC, calcule os valores do

seno, do cosseno e da tangente do ângulo α.

Inicialmente, vamos calcular a medida x do lado AC.

Para isso, aplicamos o teorema de Pitágoras.

6 3

36 9

27

27

3 3

2 2 2

2

2

� �

� �

�

�

�

x

x

x

x

x

Agora podemos calcular os valores do seno, do cosseno e da tangente do ângulo α.

senAC

BC

AB

BC

tgAC

AB

�

�

�

� � �

� � �

� � �

3 3

6

3

2

3

6

1

2

3 3

33

cos

B

x AC

6

3

�

18

Matemática

Determinação de seno, cosseno e tangente

As razões trigonométricas são aplicadas para encontrar medidas de comprimento em

situações nas quais é difícil ou impossível fazer uma medição direta. Usando a figura de um

triângulo retângulo, se for conhecida a medida de um ângulo agudo e a medida de um dos

lados, podemos determinar a medida dos outros.

No exemplo a seguir, os pontos A e B foram mar-

cados em um dos lados do rio, e o ângulo entre eles

foi medido usando um teodolito do outro lado do rio.

Acompanhe.

Para determinar a largura do rio, indicada por x, vamos considerar as seguintes medidas:

x, em metros, que é a medida do cateto adjacente ao ângulo agudo de 32°.

6 metros, que é a medida do cateto oposto ao ângulo agudo de 32°.

Portanto, precisamos relacionar os catetos oposto e adjacente. Podemos fazer isso por

meio da tangente.

tgmedida do cateto oposto ao ângulo de

medida do cateto adja32

32� �

� ccente ao ângulo de

tgx

32

326

�

�º

Mas qual o valor de tg 32°?

Para obter esse e outros valores, podemos utilizar uma calculadora científica ou con-

sultar uma tabela de razões trigonométricas. A tabela da próxima página apresenta os

valores aproximados das razões trigonométricas seno, cosseno e tangente para os ângulos

agudos de 1° a 89°, com aproximação na quarta casa decimal. Ao consultá-la, verificamos

que tg 32° 0,6249. Assim, podemos determinar a largura do rio.

tgx

x

x

326

0 62496

6

0 62499 6

º

,

,,

�

�

Portanto, a largura do rio é de, aproximadamente, 9,6 metros.

teodolito: instrumento utilizado para medir ângulos, empregado em trabalhos topográficos.

19

Tabela de razões trigonométricas

Ângulo sen cos tg Ângulo sen cos tg

1° 0,0175 0,9998 0,0175 46° 0,7193 0,6947 1,0355

2° 0,0349 0,9994 0,0349 47° 0,7314 0,682 1,0724

3° 0,0523 0,9986 0,0524 48° 0,7431 0,6691 1,1106

4° 0,0698 0,9976 0,0699 49° 0,7547 0,6561 1,1504

5° 0,0872 0,9962 0,0875 50° 0,766 0,6428 1,1918

6° 0,1045 0,9945 0,1051 51° 0,7771 0,6293 1,2349

7° 0,1219 0,9925 0,1228 52° 0,788 0,6157 1,2799

8° 0,1392 0,9903 0,1405 53° 0,7986 0,6018 1,327

9° 0,1564 0,9877 0,1584 54° 0,809 0,5878 1,3764

10° 0,1736 0,9848 0,1763 55° 0,8192 0,5736 1,4281

11° 0,1908 0,9816 0,1944 56° 0,829 0,5592 1,4826

12° 0,2079 0,9781 0,2126 57° 0,8387 0,5446 1,5399

13° 0,225 0,9744 0,2309 58° 0,848 0,5299 1,6003

14° 0,2419 0,9703 0,2493 59° 0,8572 0,515 1,6643

15° 0,2588 0,9659 0,2679 60° 0,866 0,5 1,7321

16° 0,2756 0,9613 0,2867 61° 0,8746 0,4848 1,804

17° 0,2924 0,9563 0,3057 62° 0,8829 0,4695 1,8807

18° 0,309 0,9511 0,3249 63° 0,891 0,454 1,9626

19° 0,3256 0,9455 0,3443 64° 0,8988 0,4384 2,0503

20° 0,342 0,9397 0,364 65° 0,9063 0,4226 2,1445

21° 0,3584 0,9336 0,3839 66° 0,9135 0,4067 2,246

22° 0,3746 0,9272 0,404 67° 0,9205 0,3907 2,3559

23° 0,3907 0,9205 0,4245 68° 0,9272 0,3746 2,4751

24° 0,4067 0,9135 0,4452 69° 0,9336 0,3584 2,6051

25° 0,4226 0,9063 0,4663 70° 0,9397 0,342 2,7475

26° 0,4384 0,8988 0,4877 71° 0,9455 0,3256 2,9042

27° 0,454 0,891 0,5095 72° 0,9511 0,309 3,0777

28° 0,4695 0,8829 0,5317 73° 0,9563 0,2924 3,2709

29° 0,4848 0,8746 0,5543 74° 0,9613 0,2756 3,4874

30° 0,5 0,866 0,5774 75° 0,9659 0,2588 3,7321

31° 0,515 0,8572 0,6009 76° 0,9703 0,2419 4,0108

32° 0,5299 0,848 0,6249 77° 0,9744 0,225 4,3315

33° 0,5446 0,8387 0,6494 78° 0,9781 0,2079 4,7046

34° 0,5592 0,829 0,6745 79° 0,9816 0,1908 5,1446

35° 0,5736 0,8192 0,7002 80° 0,9848 0,1736 5,6713

36° 0,5878 0,809 0,7265 81° 0,9877 0,1564 6,3138

37° 0,6018 0,7986 0,7536 82° 0,9903 0,1392 7,1154

38° 0,6157 0,788 0,7813 83° 0,9925 0,1219 8,1443

39° 0,6293 0,7771 0,8098 84° 0,9945 0,1045 9,5144

40° 0,6428 0,766 0,8391 85° 0,9962 0,0872 11,4301

41° 0,6561 0,7547 0,8693 86° 0,9976 0,0698 14,3007

42° 0,6691 0,7431 0,9004 87° 0,9986 0,0523 19,0811

43° 0,682 0,7314 0,9325 88° 0,9994 0,0349 28,6363

44° 0,6947 0,7193 0,9657 89° 0,9998 0,0175 57,29

45° 0,7071 0,7071 1

20

Matemática

Seno, cosseno e tangente dos ângulos notáveis

Os ângulos de 30°, 45º e 60° são chamados de ângulos notáveis, pois são divisões exatas

de uma volta completa de 360°. Tomando por base o quadrado e o triângulo equilátero,

podemos obter as medidas do seno, do cosseno e da tangente desses ângulos.

Situação 1

-

drado fica dividido em dois triângulos retângulos congruentes.

A B

CD

d

ℓ

ℓ

B

CD

45o

d

ℓ

ℓ

Inicialmente, obtemos a medida d da diagonal do quadrado em função da medida dos

lados. Para isso, utilizamos o teorema de Pitágoras.

d

d d d

2 2 2

2 2 22 2 2

� �

� � � � �

L L

L L L

Vamos calcular as razões trigonométricas seno, cosseno e tangente para o ângulo de 45°

no triângulo retângulo BCD.

Seno de 45°

sen 452

1

2

2

2

1

2

2

2� � � � � �L

L

Cosseno de 45°

cos 452

1

2

2

2

1

2

2

2� � � � � �L

L

Tangente de 45°

tg 45 1� � �LL

Situação 2

Considere um triângulo equilátero cuja

suas alturas, o triângulo fica dividido em

dois triângulos retângulos congruentes,

conforme mostra a imagem ao lado.

30o

60o60o

30o

A

B C

h

H

30o

60o

A

C

h

H

2

ℓ

2

ℓ

ℓ ℓℓ

2

ℓ

21

Inicialmente, devemos obter a medida h da altura do triângulo em função da medida dos

lados. Para isso, aplicamos o teorema de Pitágoras.

L L

L L L L L

L L

2 2

2

2 22 2 2 2

2

2

4

4

4

3

4

3

4

3

2

� ��

��

�

� �

�

� �

h

h

h

Calculamos as razões trigonométricas seno, cosseno e tangente para o ângulo de 30° no

triângulo retângulo ACH.

Seno de 30°

sen 302

2

1

2

1� � � � �

L

LLL

Cosseno de 30°

cos 30

3

2 3

2

1 3

2� � � � �

L

LL

L

Tangente de 30°

tg 302

3

2

2

2

3 3

3

3

1 1

3

3

3� � � � � � � �

L

LLL

Agora, calculamos as razões trigonométricas seno, cosseno e tangente para o ângulo de

60° no triângulo retângulo ACH.

Seno de 60°

sen 60

3

2 3

2

1 3

2� � � � �

L

LL

L

Cosseno de 60°

cos 602

2

1

2

1� � � � �

L

LLL

Tangente de 60°

tg 60 3

3

2

2

3

2

2� � �� �

LL

L L

Resumindo em uma tabela os valores obtidos, temos:

30º 45º 60º

Seno1

2

2

2

3

2

Cosseno3

2

2

2

1

2

Tangente3

31 3

22

Matemática

atividades

1 Determine o valor das medidas desconhecidas em cada um dos triângulos retângulos a seguir.

a)

12

x

17o

b)

63o

8

x

c)

3

x

22o

2 Calcule os valores do seno, do cosseno e da tangente do ângulo agudo indicado em cada triângulo.

a)

3 cm6 cm

b)

3 cm

β

4 cm

3 Um avião decolou segundo um ângulo constante de 14°com o plano horizontal.

avião sobrevoou uma torre a 1 800 metros do local da decolagem, calcule a distância x percorrida pela aeronave e a altura que ela se encontrava em relação ao solo quando sobrevoou a torre.

A

x

14o

1 800 m

h

23

4 Determine a medida aproximada do ângulo desconhecido α em cada triângulo retângulo a seguir.

a)

10 cm

5 cm

b)

10 cm

8 cm

5 No triângulo retângulo ABC da figura, o lado AC mede 6 cm e tg� �2

3.

a) Calcule a medida do lado AB.

b) Calcule a medida da hipotenusa do triângulo ABC.

c) Calcule sen α e cos α.

6 Determine o perímetro de cada trapézio a seguir.

a) Trapézio isósceles

60o

CD

5A B

4

b) Trapézio retângulo

x

6 2√

45o

45o

A

B

C

D

x

7 (CEFET – CE) Queremos encostar uma escada de 8 m de comprimento numa parede, de modo que ela

forme um ângulo de 60° com o solo. A que distância da parede devemos apoiar a escada no solo?

B

A C

α

24

Matemática

1 (UFPI) Uma escada apoiada em uma parede, que é perpendicular ao solo, alcançou uma altura de

5 3 metros da base da parede, qual é o comprimento dessa escada?

2 (FGV – RJ) Um antigo problema chinês:

No alto de um bambu vertical está presa uma corda. A parte da corda em contato com o solo mede 3 chih (uma antiga unidade de medida usada na China). Quando a corda é esticada, sua extremidade toca o solo a uma distância de 8 chih do pé do bambu.

O comprimento do bambu é, aproximadamente:

a) 8,6 chih.

b) 9,2 chih.

c) 9,8 chih.

d) 10,5 chih.

e) 11,3 chih.

3 (UFPA) Num triângulo retângulo um cateto é o dobro do outro e a hipotenusa mede 10 cm. A soma dos catetos mede:

a) 4 5 cm

b) 6 5 cm

c) 8 5 cm

d) 10 5 cm

e) 12 5 cm

4

1

2 e

6

5, a distância do lampião ao teto é:

a) 1,69

b) 1,3

c) 0,6

d) 1

2

e) 6

13

o que já conquistei

25

5 Determine a área do trapézio ABCD representado no plano cartesiano a seguir.

25

76 x (cm)

D

C

y (cm)

B

A56

6 Na figura ao lado, ABCD 2 3 cm

a) A medida do segmento BH.

b) O perímetro e a área do quadrado ABCD.

7 x?

a) 2,15

b) 2,35

c) 2,75

d) 3,15

e) 3,35

8 (UFG – GO) O teorema de Pitágoras é um dos mais importantes de toda a Geometria. O seu conhecimento é a chave da resolução desta questão.

a) Determine o comprimento das diagonais BE e CE.

b) Qual o perímetro do polígono ABCDE?

9 O comprimento de uma rampa, cujo ângulo de inclinação é de 13°, é de 6 metros. Esse comprimento será

não sofrerá alteração, qual será a diferença entre o novo comprimento e o inicial?

6 m

12o

h13o

6 m

Considere:

12

8x

6

A

B

C

D

E

26

Matemática

10 x na figura?

60o30o

40

x

a) 3

3

b) 5 3

3

c) 10 3

3

d) 15 3

3

e) 20 3

3

11 (UFJF – MG) Um topógrafo foi chamado para obter a altura de um edifício. Para fazer isto, ele co-locou um teodolito (instrumento ótico para medir ângulos) a 200 metros do edifício e mediu um

do solo, pode-se concluir que, dentre os valores adiante, o que melhor aproxima a altura do edifício, em metros, é:

30º

Use os valores:

a) 112 b) 115 c) 117 d) 120 e) 124

12 Uma terna pitagórica é uma trinca formada por números naturais a, b e c, de tal forma que a2 2 + c2.

Perceba que os números 3, 4 e 5 formam uma terna pitagórica, pois 52 2 + 42. Com essas medidas, podemos formar um triângulo retângulo ABC, cuja hipotenusa mede 5 unidades de comprimento, e os catetos 3 e 4 unidades de comprimento.

Com base nessas informações,

o que aconteceria com a medida da hipotenusa do triângulo ABC se dobrássemos os valores das medidas dos catetos desse triângulo?

o que aconteceria com a medida da hipotenusa do triângulo ABC se triplicássemos os valores das

medidas dos catetos desse triângulo?

a) Resolvendo os itens anteriores, a que conclusões você pode chegar?

b) Elabore um problema envolvendo o assunto trabalhado no enunciado do exercício. Em seguida,

troque de caderno com o seu colega para que cada um resolva o problema proposto pelo outro.

27

capí

tulo Polígonos

regulares, círculo e circunferência

5©Shutterstock/PiotrDebowsk

Quando pensamos em jogos de tabuleiro, imediata-

mente nos lembramos de jogos compostos por uma base e

que são complementados por peões, dados ou cartas.

Existem alguns jogos, entretanto, cujo tabuleiro vai sen-

do construído no decorrer do jogo! São compostos por pe-

ças que se encaixam e que podem ser arrumadas de diferen-

tes maneiras. Assim, a cada jogo pode-se ter um tabuleiro

diferente! Para que existam muitas possibilidades de mon-

tagem, em geral as peças são iguais, no formato de triângu-

los equiláteros, quadrados ou hexágonos. Isso porque esses

polígonos se encaixam perfeitamente uns nos outros!

Polígonos:

definição, inscrição e circunscrição

Área do círculo

Arcos e ângulos na

circunferência

Relações métricas na circunferência

o que vocêvai conhecer

28

Matemática

Identificar os elementos de polígonos regulares inscritos em uma circunferência.

Aplicar as razões trigonométricas no triângulo retângulo para obter as relações para um polígono regular inscrito em uma circunferência.

Calcular a área de um polígono regular.

Calcular a área de um círculo e de suas partes.

Reconhecer ângulo central e ângulo inscrito e aplicar as propriedades relativas a cada um.

Resolver problemas que envolvem as relações entre arcos e entre ângulos em uma circunferência.

Resolver problemas envolvendo cálculos para determinação de medidas na circunferên-cia e/ou círculo (cordas, ângulos e arcos).

Aplicar a relação entre cordas e arcos de uma mesma circunferência.

objetivos do capítulo

Polígonos regulares

Polígonos regulares e não regulares

As peças usadas para formar o tabuleiro do jogo exibido na página anterior têm a forma

de polígonos regulares.

Um polígono convexo é regular se, e somente se, apresentar

todos os lados de mesma medida (congruentes) e todos os

ângulos de mesma medida, ou seja, quando for equilátero e

equiângulo.

Equilátero: AB BC CD DE EF FA

Equiângulo: A B C D E F� � � � � �

ABCDEF é um polígono regular.

E D

A B

F C

Nem todos os polígonos regulares, contudo, en-

caixam-se perfeitamente para cobrir o plano. Apenas

o triângulo equilátero, o quadrado e o hexágono têm

essa característica.

Ao encaixarmos pentágonos regulares, por exem-

plo, ou falta uma “fatia” ou os polígonos se sobrepõem.

Há, entretanto, polígonos não regulares que se encaixam perfeitamente. Como exem-

plo, temos os retângulos, os losangos e os triângulos retângulos.

Os polígonos não regulares podem ter os lados com medidas iguais, mas ângulos não

congruentes. Ou, como no retângulo, ter todos os ângulos com a mesma medida, mas terem

lados não congruentes. 29

Polígonos inscritos em uma circunferência

Observe a imagem do modelo antigo de uma moeda de 25 centavos.

Nessa moeda, podemos observar uma figura que se assemelha a um

heptágono regular cujos vértices pertencem a uma circunferência. Dize-

mos que o heptágono está inscrito na circunferência.

Ao lado, temos um suporte para extintor de incêndio. No aro in-

ferior do suporte, há uma armação no formato de um triângulo equi-

látero com os vértices pertencentes à circunferência. Dizemos que o

triângulo está inscrito na circunferência.

©P

.Im

ag

en

s/P

ith

©P

.Im

ag

en

s/P

ith

Um polígono está inscrito em uma circunferência quando todos os

seus vértices pertencem a essa circunferência.

O

A

B

C D

ENa figura ao lado, ABCDE é um polígono inscrito na circunferên-

cia cujo centro é o ponto O.

É importante observar, porém, que nem todos os polígonos

podem ser inscritos em uma circunferência. Observe as imagens a

seguir.

A

B

C

J

K

H

I

N

P

O

M

UV

R

S

T

Os polígonos ABC e IJKH são inscritos à circunferência. Já o quadrilátero MNPO e o

pentágono RSTUV têm vértices que não pertencem à circunferência e, portanto, não são

inscritos.

Podemos formar polígonos inscritos criando seus vértices sobre uma circunferência. Se

dividirmos a circunferência em arcos congruentes (arcos de mesma medida), teremos polí-

gonos regulares.

A circunferência a seguir está dividida pelos pontos A, B e C em três arcos congruentes.

Quando traçamos os segmentos AB, BC e CA, formamos um polígono regular.

A

B C

120o120o

120o

A

B C

A

B C

O polígono ABC é um triângulo equilátero.

30

Matemática

A circunferência a seguir está dividida pelos pontos A, B, C e D em quatro arcos congru-

entes. Quando traçamos os segmentos AB, BC, CD e DA, formamos um polígono regular.

A

B C

90o

90o

90o

90o

D A A

B BC C

D D

O polígono ABCD é um quadrado.

Já a circunferência a seguir está dividida pelos pontos A, B, C, D, E e F em seis arcos

congruentes. Quando traçamos os segmentos AB, BC, CD, DE, EF e FA, formamos um

polígono regular.

A

B

C

60o

60o

60o

60o

D

60o

60o

E

F

A

B

C

D

E

F

A

B

C

D

E

F

O polígono ABCDEF é um hexágono regular.

Observe, nas figuras a seguir, dois outros polígonos regulares inscritos em uma

circunferência.

A

B

C

72o

D

E

72o

72o

72o

72o

A

B

C

D

E

45o

45o

45o

45o 45o

45o

45o

45o

F

G

H

Qualquer polígono regular pode ser inscrito em uma circunferência.

l l

l

l

60o 60o

60o

ℓ

ℓℓ

120o 120o

120ol l

l

ll

l

120o 120o

120o

Veja, abaixo, mais alguns exemplos de polígonos inscritos em uma circunferência que

não são regulares.

b

ha

b c

31

Construção do triângulo equilátero usando régua e compasso

1. Trace uma reta, marque sobre ela um segmento com a medi-

da do lado do triângulo e identifique os vértices A e B.

2. Coloque a ponta-seca do compasso no vértice B. Com a aber-

tura igual à medida do lado, trace um arco conforme indicado

na imagem ao lado.

3. Coloque a ponta-seca do compasso no vértice A. Com a mes-

ma abertura, conforme a imagem, trace o outro arco e encon-

tre o ponto C, que é o terceiro vértice do triângulo.

4. Trace os lados AC e BC.

Construção do quadrado usando régua e compasso

1. Trace duas retas perpendiculares.

2. Posicione a ponta-seca do compasso no ponto A, onde as re-

tas se encontram. Esse é um dos vértices do quadrado. Com a

abertura igual à medida do lado, trace um arco interceptando

as duas retas em B e D, conforme a imagem ao lado.

BA

BA

B

C

C

A

BA

B

D

A

32

Matemática

Construção do hexágono usando régua e compasso

4. Marque o vértice C e use a régua para traçar os lados BC e CD.

3. Posicione a ponta-seca do compasso no vértice B. Com a

mesma abertura, trace um arco até a posição aproximada de

C. Repita a operação com a ponta-seca em D.

B

CD

A

B

CD

A

Esses itens são fundamentais para a construção do hexágono regular.

Providencie-os e volte ao passo anterior.

Você possui uma régua e um compasso em mãos?

Com a ponta-seca do compasso no ponto

A e abertura de 2 cm, traçamos um arco. Fazemos o mesmo para o ponto B. A

intersecção dos arcos é o ponto O. Volte ao

passo anterior.Com a ponta-seca do

compasso centrada no ponto O, desenhamos uma

Depois, com a mesma abertura do compasso e ponta-seca no

ponto B, encontramos o ponto C na circunferência. De maneira similar, encontramos os pontos

D, E e F. Ligando os pontos, construímos o hexágono

regular.

Em seguida, construímos um triângulo equilátero ABO a

partir desse segmento. Para isso, é necessário o uso de

um compasso. O triângulo foi construído?

Releia o passo apresentado na etapa anterior e faça o que

foi solicitado.

O primeiro passo é traçar, em uma folha de papel, um segmento. Pode ser um segmento de 2 cm de medida. Chame esse segmento de

AB. Feito?

Não

Não

Sim

Sim

Sim

Não

33

Elementos de um polígono regular inscrito em uma

circunferência

Vamos destacar alguns elementos de um polígono regular inscrito em uma circunferência.

ℓ

ℓ ℓ

ℓ

ℓℓ

A

B

C

D

E

F

O

ℓ

ℓ

ℓ

2

ℓ

ℓℓ

R

a

A

B

C

D

E

F

O ℓ

2

Ângulo central α: é o ângulo formado pelos segmentos OF e OA (raios da circunferên-

cia). O vértice do ângulo α, ponto O, é o centro da circunferência, e a medida de α é dada

por � �360º

n, em que n é o número de lados do polígono.

Ângulo interno β: é o ângulo formado por dois lados consecutivos do polígono. A medi-

da de cada ângulo interno de polígono regular é dada por � �S

n

i, em que S

i é a soma das

medidas dos ângulos internos e n é o número de lados do polígono, ou seja:

� � � �S

n

n

n

i ( ) º.

2 180

Raio do polígono: é o raio da circunferência na qual o polígono está inscrito. Na figura,

sua medida está indicada por R.

Apótema: é o segmento com extremidades no centro da circunferência circunscrita e no

ponto médio de um lado do polígono. O apótema é perpendicular ao lado do polígono.

Na figura, sua medida está indicada por a.

Observando o raio de medida R, o apótema de medida a e o lado do polígono de medida

, podemos escrever a seguinte relação usando o teorema de Pitágoras:

R a2 2

2

2� � �

��

�

N

Vamos estudar com detalhes as relações métricas de três polígonos regulares muito

comuns em diversas situações envolvendo a geometria: o triângulo equilátero, o quadrado

e o hexágono regular.

34

Matemática

Triângulo equilátero

O triângulo equilátero ABC está inscrito na circunferência, sendo:

: medida dos lados do triângulo;

O: centro da circunferência;

R: medida do raio da circunferência;

a: medida do apótema do triângulo.

A medida do ângulo central é 360

3

º = 120°.

No triângulo retângulo MBO, em que M é o ponto médio do lado BC, temos:

BML2

cos º

º

601

22

2

602 3

2

22

23 3

� � � � � � �

� � � � � � � �

a

R

a

Ra R a

R

senR R

R R

L LL L

Acompanhe um exemplo.

Os lados de um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência medem 4 cm.

a) Determine a medida do raio da circunferência.

L �

� � � � � �

R

R R

3

4 34

3

4

3

3

3

4 3

3

Portanto, o raio da circunferência mede 4 3

3 cm.

b) Determine a medida do apótema desse triângulo equilátero.

aR

a

�

� � � �

2

4 3

3

2

4 3

3

1

2

2 3

3

Portanto, o apótema do triângulo mede 2 3

3 cm.

ℓℓ

A

B C

O

R

M

a60o

35

Quadrado

O quadrado ABCD está inscrito na circunferência, sendo:

: medida dos lados do quadrado;

O: centro da circunferência;

R: medida do raio da circunferência;

a: medida do apótema do quadrado.

A medida do ângulo central é 360

4

º = 90°.

No triângulo retângulo MDO, em que M é o ponto médio do lado DC, temos:

DM

a

R

a

ra R a

R

senR R

R

�

� � � � � � �

� � � � � �

L

L LL

2

452

22 2

2

2

452 2

2

22

2

cos º

º

22 2� �L R

Acompanhe os exemplos apresentados a seguir.

Exemplo 1

A medida de cada diagonal de um quadrado inscrito em uma circunferência é igual a 12 dm.

a) Qual a medida do raio da circunferência?

Observe que a medida da diagonal é o dobro da medida do

raio da circunferência. Como a diagonal mede 12 dm, temos:

2R = 12

R12

26

Portanto, a medida do raio da circunferência é igual a 6 dm.

b) Qual a medida dos lados do quadrado?

L L� � �R 2 6 2

Os lados do quadrado medem 6 2 dm.

c) Calcule a medida do apótema do quadrado.

O apótema do quadrado mede 3 2 dm, pois R = 6 e aR 2

2.

ℓ

ℓA B

D C

O

R

M

a45o

R

R

36

Matemática

Exemplo 2

A medida do apótema de um quadrado inscrito em uma circunferência é 2 cm.

a) Determine a medida do raio da circunferência.

aR

RR R

�

� � � � � � � � �

2

2

22

22 4

4

2

4

2

2

2

4 2

22 2

O raio da circunferência mede 2 2 cm.

b) Determine a medida dos lados do quadrado.

LL�

� � � � �

R 2

2 2 2 2 2 4

Os lados do quadrado medem 4 cm.

c) Qual a relação entre a medida do apótema do quadrado e a medida dos seus lados?

A medida do apótema de um quadrado é a metade da medida dos lados. Podemos

afirmar que aL2

.

Hexágono regular

O hexágono regular ABCDEF está inscrito na circunferência, sendo:

: medida dos lados do hexágono;

O: centro da circunferência;

R: medida do raio da circunferência;

a: medida do apótema do hexágono.

A medida do ângulo central é 360

660

º� �. No triângulo retângulo MEO, em que M é o

ponto médio do lado ED, temos:

EM

a

R

a

Ra R a

R

senR R

R

�

� � � � � � �

� � � � � � �

L

L LL L

2

303

22 3

3

2

302 1

2

22

2

cos º

º ��R

ℓ

ℓ

ℓ

ℓ

ℓ

ℓ

R

M

a

O

A B

CF

E D

30o

37

saiba mais

Exemplo

Os lados de um hexágono regular medem 12 cm. Determine a medida do apótema desse

hexágono e do raio da circunferência na qual ele está inscrito.

L R

R12

O raio da circunferência mede 12 cm.

aR

a

3

2

12 3

26 3

O apótema do hexágono mede 6 3 cm.

Uma coincidência interessante

Uma maneira interessante de calcular o comprimento aproximado de uma circunferência é

somar as medidas dos lados do quadrado e do triângulo equilátero nela inscritos e multiplicar por

2. Observe, na figura a seguir, uma circunferência cujo raio mede R, e um triângulo equilátero e um

quadrado nela inscritos.

Chamando de t e

q, respectivamente, as medidas dos lados do

triângulo e do quadrado, sabemos que:

L LT QR R3 2

Somando t e

q, temos:

L LL L

T Q

T Q

R R

R

� � �

� � �� �3 2

3 2

Utilizando as aproximações 2 1 41 3 1 73� �, ,e :

L LT Q R R� � � �� � � �1 73 1 41 3 14, , ,

Como 3,14 é uma aproximação de π na segunda casa decimal, temos:

L LT Q R� � ��

Multiplicando os dois membros da igualdade anterior por 2, obtemos no segundo membro o

comprimento de uma circunferência cujo raio mede R.

2 2� �� � � � �L LT Q R � (comprimento da circunferência cujo raio mede R).

Indicamos da seguinte forma:

C R� � �2 �

38

Matemática

atividades

1 Um quadrado está inscrito em uma circunferência cujo raio mede 4 cm. Determine a medida dos lados e a medida do apótema do quadrado.

ℓ

2 Um triângulo equilátero está inscrito em uma circunferência cujo raio mede 6 cm. Determine a me-dida dos lados e a medida do apótema desse triângulo.

ℓ

3 Um hexágono regular está inscrito em uma circunferência cujo raio mede 10 cm. Determine a medi-da dos lados e a medida do apótema desse hexágono.

ℓ

4 Determine a área de cada um dos polígonos regulares representados nas atividades anteriores.

39

5 Os objetos representados na imagem são pro-tetores de porcas e parafusos hexagonais com a função de preservá-los da ação do tempo, preve-nindo corrosões. Essas peças são fabricadas com base em figuras geométricas inscritas, no caso um hexágono inscrito em uma circunferência.

Observe os detalhes de uma dessas peças. A medida é dada em milímetros. Considerando que o hexágono está inscrito na circunferência, determine a medida do raio e do comprimento da circun-ferência. (Use π = 3,14)

7,55

6 (CEFET – MG) O apótema do quadrado inscrito numa circunferência é igual a 2 cm. O lado do hexá-gono regular inscrito nessa mesma circunferência, em cm, é

a) 2 2 b) 3 2 c) 2 3 d) 3 3

7 O carimbo de uma empresa é formado por um quadrado e um hexágono regular inscritos em uma mes-ma circunferência, como mostra a figura a seguir. A medida do raio da circunferência é 3 cm. A distância

d entre os lados paralelos do quadrado e do hexágono é igual a: (Use 2 = 1,41 e 3 = 1,73)

d

a) 0,16 b) 0,32 c) 0,48 d) 0,64 e) 0,96

©P

.Im

ag

en

s/P

ith

40

Matemática

Polígonos circunscritos a uma circunferência

Alguns objetos de nosso dia a dia se asseme-

lham a polígonos circunscritos a uma circunferên-

cia. É o caso de um CD em sua caixa.

Comparando os contornos do CD e da caixa a

uma circunferência e a um quadrado, respectiva-

mente, pode-se concluir que os lados do quadrado

tocam a circunferência em um único ponto, ou

seja, são tangentes à circunferência.

A embalagem de uma pizza também nos dá a ideia de um polígo-

no circunscrito a uma circunferência. O contorno da pizza, aproximada-

mente circular, representa uma circunferência, e o contorno da caixa, um

octógono regular. Se as bordas dessa pizza estiverem “encostando” na

parte interna da caixa, temos a ideia de que os lados do polígono são

tangentes à circunferência.

Um polígono está circunscrito a uma circunferência quando to-

dos os seus lados tangenciarem essa circunferência. O ponto em

que um lado qualquer do polígono toca a circunferência é denomi-

nado ponto de tangência.

Na figura ao lado, ABCDEF é um polígono circunscrito à circun-

ferência cujo centro é o ponto O.

Para construir polígonos regulares circunscritos a uma circunferência, podemos proce-

der da maneira descrita a seguir. Iniciamos com o triângulo equilátero.

Dividimos a circunferência em três arcos congruentes, cada um com 120° de medida. Em

seguida, traçamos os raios com extremidades nos pontos A, B e C e construímos as retas

perpendiculares a esses raios nos pontos A, B e C. Essas retas são tangentes à circunferência.

Os vértices do triângulo são os pontos de intersecção dessas retas tangentes duas a duas.

O triângulo equilátero DEF está circunscrito à circunferência.

A

B C

120o120o

120o

AD E

B C

120o120o

120o

F

60o 60o

60o

O

A

E

F

D

C

B

Ce

sar

Sta

ti. 2

01

4. D

igit

al.

Ja

ck A

rt. 2

01

4. D

igit

al.

41

Se dividirmos a circunferência em quatro arcos congruentes de medida 90° e repetirmos

o procedimento descrito para o triângulo equilátero, construiremos um quadrado.

A

B

C

90o 90o

90o 90o

90o 90o

90o 90o

A

D

F

B

C

D

E

GH

O quadrado EFGH está circunscrito à circunferência.

Para construir um hexágono regular, dividimos a circunferência em seis arcos congru-

entes de medida 60°. Observe a figura:

A

B

C

60o 60o

60o 60o

60o60o

60o 60o

60o 60o

60o60o

D

E

F

A

B

C

D

E

F

IL

G H

K J

Todo polígono regular pode ser circunscrito a uma circunferência. Há também polígonos

não regulares que podem ser circunscritos a uma circunferência.

ℓ

ℓ

ℓ

ℓ ℓ

ℓℓ

ℓ

ℓ ℓ

ℓ

ℓ ℓ

a

b

c

ℓ

b

ℓ

42

Matemática

atividades

1 Uma indústria utiliza placas retangulares de alumínio para produzir determinado tipo de peça circular de raio 1,15 m. Determine as dimensões mínimas de cada placa para produzir duas peças circulares.

1,15 m

2 Um espelho em forma de círculo tem uma armação hexagonal regular circunscrita à sua borda. Sabendo que a medida do raio do círculo é 30 cm, determine a medida dos lados do hexágono.

(Use 3 1 73, )

3 A figura ao lado mostra um círculo inscrito em um triângu-

lo equilátero cujo apótema mede 2 2m. Determine a área

pintada de lilás. (Utilize 3 1 73, e π = 3,14)

4 Juliano quer presentear sua namorada com um bracelete e comprou, para guardá-lo, uma caixa de presente cuja base tem a forma de um triângulo equilátero. Ele sabe que os lados do triângu-lo equilátero interno medem 10 cm, e o bracelete, cujo contorno tem a forma de uma circunfe-

rência, tem diâmetro de 6 cm. O bracelete que Juliano pretende comprar caberá dentro da caixa?

(Use 3 1 73, )

43

Área do círculo

Área de um polígono regular

Um polígono regular de n lados pode ser decomposto em n triângulos congruentes.

Assim, podemos obter a área de um polígono regular por meio da soma das áreas desses

triângulos.

Lembre-se de que a área de um triângulo ABC, cuja medida da base é b e a medida da

altura relativa a essa base é h, é calculada por:

Áreab h

��2

Vamos decompor alguns polígonos regulares em triângulos.

A B

C

D

a

O

E

F

ℓ

ℓ

ℓ

Figura 2

a

O

A B

C

D

EF

G

H

ℓ

ℓ

ℓ

Figura 3

CD

BA

ℓ

ℓ

a

O

Figura 1

áreas de quatro triângulos congruentes, conforme mostra a Figura 1. A base de cada um

a (medida do

apótema do quadrado).

Áreaa

a� ��

� � �42

2L L

p o

semiperímetro, podemos escrever a área do quadrado da seguinte maneira:

Área a p a

p

� � � � �2 L�

A área de um hexágono regular pode ser obtida pela soma das áreas de seis triângulos

(me-

dida dos lados do hexágono), e a altura mede a (medida do apótema do hexágono).

Áreaa

a� ��

� � �62

3L L

Área a p a

p

� � � � �3 L�

44

Matemática

A área do octógono regular é dada por:

Áreaa

a

Área a p a

p

� ��

� � �

� � � � �

82

4

4

L L

L�

Os resultados obtidos anteriormente podem ser generalizados, conforme descrito no

quadro a seguir.

A área de um polígono regular com n a,

é dada por:

Área na

Árean

a

Área p a

� ��

��

�

� �

L

L2

2a

O

A

B C

D

ℓ

atividades

1 A área de um polígono regular é de 12 cm2, e a medida do apótema é 2 cm. Determine o perímetro desse polígono.

2 Em um triângulo equilátero cujos lados medem 6 cm, determine:

a) o semiperímetro do triângulo.

b) a medida do apótema do triângulo.

6 cm 6 cm

6 cm

(sendo p o semiperímetro do polígono.)

45

c) a área do triângulo equilátero.

3 Considere um triângulo equilátero cuja área é numericamente igual ao perímetro. Determine a me-dida dos lados desse triângulo.

4 Em um hexágono regular cuja medida dos lados é 8 cm, determine:

a) o semiperímetro do hexágono;

b) a medida do apótema do hexágono;

c) a área do hexágono.

8 cm 8 cm

8 cm

8 cm

8 cm 8 cm

46

Matemática

Cálculo da área do círculo

Observe a sequência de polígonos regulares inscritos em uma circunferência.

a4

a5 a

6a

7 a8

Aumentando o número n de lados, o polígono inscrito fica mais próximo do círculo limi-

tado pela circunferência. Consequentemente:

a medida an do apótema do polígono se aproxima da medida do raio R da circunferência;

o perímetro do polígono se aproxima do comprimento da circunferência; portanto, o

semiperímetro do polígono se aproxima da metade do comprimento da circunferência;

a área do polígono se aproxima da área do círculo.

Como a área de um polígono regular é dada por p ⋅ a e o comprimento de uma circunfe-

rência cujo raio mede R é dado por 2πR, podemos escrever que a área do círculo é dada por:

Área do círculo = πR2

Acompanhe com atenção a resolução dos exemplos a seguir.

Exemplo 1

Quantos centímetros quadrados de papelão são usados, apro-

ximadamente, na confecção de um prato cujo diâmetro é de 30 cm?

(Use π = 3,14)

Como o diâmetro é de 30 cm, o raio mede 15 cm.

Área = πR2

Área = �� � � �15 3 14 225 706 52

, ,

São usados, aproximadamente, 706,5 cm2 de papelão.

5 Um triângulo retângulo está circunscrito a uma circunferência, como mostra a figura a seguir. De-termine a medida do raio dessa circunferência.

3 m

4 m

5 m

47

Exemplo 2

Na figura ao lado, O é o centro da circunferência. A região pintada é

denominada setor circular. Calcule a área dessa região. Que fração da área

do círculo corresponde à área desse setor circular? (Use π = 3,14)

A área do setor circular pode ser calculada por meio de uma regra de

três simples:

360

60

2º

º

��R

Áreasetor

360 3 14 6

60

2º ,

º

�

Áreasetor

Sendo x a área do setor, escrevemos a proporção:

360

60

113 04 360

60

113 046 113 04 18 84

6

1

º

º

, º

º

,, ,� � � � � � �

x xx x

Portanto, a área do setor circular é igual a 18,84 cm2.

Exemplo 3

Denomina-se coroa circular a região limitada por duas circunferên-

cias concêntricas, ou seja, de mesmo centro.

Calcule a área da coroa circular pintada na figura, em função das

medidas R e r dos raios das duas circunferências concêntricas.

A área da coroa circular é dada pela diferença entre as áreas dos círculos limitados pelas

circunferências cujos raios medem R e r. Sendo x a área da coroa circular, temos:

x R r� � �2 2

A área também pode ser escrita colocando π em evidência:

x R r� � � �� 2 2

Calcule a área da coroa circular quando R = 10 cm e r = 5 cm. (Use π = 3,14)

Substituindo os valores na fórmula obtida anteriormente, temos:

x R r

x

x

� � � �� � � �� � � �

� 2 2

2 23 14 10 5

3 14 100 25

,

,

x = 3,14 · 75 = 235,5

A área da coroa circular é igual a 235,5 cm2.

60o

6 cm

6 cm

O

R

rO

48

Matemática

atividades

1 Determine o comprimento de uma circunferência que limita um círculo de área 8π cm2.

2 Na figura, um círculo está inscrito em um quadrado de perímetro 80 cm. Determine a área do círcu-lo. (Use π = 3,14)

3 (CESGRANRIO – RJ) No futebol de salão, a área de meta é delimitada por dois segmentos de reta (de comprimento de 11 m e 3 m) e dois quadrantes de círculos (de raio 4 m), conforme a figura. A superfície da área de meta mede, aproximadamente,

a) 25 m2 b) 34 m2 c) 37 m2 d) 41 m2 e) 61 m2

3 m4 m

4 m

4 m

3 m

4 Calcule a área pintada de amarelo na figura, em que O é o centro da circunferência. (Use π = 3,14)

O 4 cm

5 (UEG – GO) O jardim da casa de Terêncio tem o formato e as dimensões descritas na figura ao lado, em que uma parte é um semicírculo e a outra é um triângulo retângulo. Se cada planta que Terêncio tem no jardim ocupa 0,25 m2 e utilizando a aproximação π = 3,14, a quantidade máxima de plantas que Terêncio poderá plantar é

a) 222

b) 253

c) 287

d) 410

6 m

8 m

49

Arcos e ângulos na circunferência

Elementos da circunferência

Vamos relembrar o conceito de circunferência e seus principais elementos.

Circunferência é a união de todos os pontos de um plano que estão a uma mesma distân-

cia de um ponto O desse plano.

O → Centro da circunferência e ponto médio de AB.

AB → Diâmetro da circunferência.

OA e OB → Raios da circunferência de medida r.

Sendo d a medida do diâmetro AB, pode-se escrever: rd

2 ou

d = 2 · r.

A

O rB

O

CA

B

D

Corda é um segmento com extremos em dois pontos da circun-

ferência. Na figura:

AB e CD são cordas.

CD é o diâmetro da circunferência, portanto é a corda de maior

comprimento.

Toda corda que passa pelo centro da circunferência é também o seu diâmetro.

Denomina-se arco qualquer uma das partes em que uma circunferência fica dividida por

dois pontos quaisquer pertencentes a ela; os extremos de uma corda, por exemplo. Na figura

acima, os pontos A e B determinam dois arcos, sendo cada um a reunião dos pontos da cir-

cunferência que estão entre os extremos da corda.

As figuras a seguir apresentam alguns exemplos de arcos de circunferência (em vermelho).

M

O

P

O

Arcos com extremos no diâmetro da cir-

cunferência são denominados semicircun-

ferências, ou arcos de meia-volta.

semicircunferênciasBA

O

AMB�

AB�ou

arco APB�

AB�ou

arco

50

Matemática

Ângulo central e ângulo inscrito

Na circunferência a seguir, O é o vértice do ângulo, α é a medida do ângulo AOB�

e AB é

um arco da circunferência.

Denomina-se ângulo central, em uma circunferência, o ângulo

cujo vértice é o centro da circunferência e cujos lados são secantes à

circunferência.

Em uma circunferência cujo centro é o ponto O, o ângulo central

AOB�

determina um arco correspondente AB .

Dizemos que AB é o arco correspondente a esse ângulo.

Em uma semicircunferência, o ângulo central é igual a 180°.

Veja este exemplo:

Medida de AOB�

= medida de AB� � �150

Quando o vértice do ângulo pertence à circunferência e seus lados são secantes a ela,

esse ângulo denomina-se ângulo inscrito. Observe:

P é o vértice do ângulo APB� de medida α.

P pertence à circunferência λ.

A todo ângulo inscrito está associado um ângulo central cujo

arco correspondente é o mesmo que o determinado por esse ân-

gulo inscrito. Para esses ângulos, podemos afirmar que a medida

do ângulo inscrito é a metade da medida do ângulo central, ou seja:

��

� � � � � � �2 2

med APB

med AOB�

�

B

O

A

λ

51

Acompanhe, a seguir, exemplos da aplicação da relação entre ângulo inscrito e ângulo

central de uma circunferência.

Exemplo 1

Nas situações a seguir, determine a medida dos ângulos indicados.

a) med(BÂD)

med BÂD x e med BÔD� � � � � � �2 120 .

Utilizando a relação entre o ângulo inscrito BÂD e seu ângulo

central BÔD, temos:

x x med BÂD��� � � � � � � �

120

260 60

b) med(BÂC)

med BÂC x� � �

Observe que BC� é um arco de 180° correspondente ao ângu-

lo central BÔC e ao ângulo inscrito BÂC.

Utilizando a relação, temos: x � � �180

290

º

med BÂC� � � �90

Podemos então concluir que o triângulo BAC é retângulo e enunciar:

xO

x

Todo triângulo que tem um de seus lados coincidindo com o diâmetro de uma circunferên-

cia e o vértice oposto a esse lado sobre a circunferência é um triângulo retângulo.

Exemplo 2

Determine o valor de x na imagem a seguir.

BAC� é um dos ângulos inscritos associados ao ângulo central BOC

� ,

assim: med BOC

med BOC med BOC (

( (

�� �)

) )2

42 42 2 84� �� � �� � � �

Além disso, BDC� também é um ângulo inscrito associado ao ân-

gulo central BOC� , portanto:

med BDC x (�

) ��� � �

84

242

A 42o

D

C

B

x

O

52

Matemática

atividades

1 Determine o valor do ângulo x em cada item.

a)

C

D

x

b)

172o

x

A

C B

O

c)

x

2 Sendo med (CÂB) = 60° e med ( )AB = 110°, determine a medida de β.

53

Relações métricas na circunferência

Em uma circunferência, podemos estabelecer algumas relações métricas.

Relação entre cordas

Na figura ao lado, as cordas AB e CD da circunferência se intersec-

tam no ponto P. É possível estabelecer uma relação métrica entre os

segmentos determinados pelo ponto P em cada uma dessas cordas.

Nos triângulos APC e BPD, temos:

APC DPB� � (ângulos opostos pelo vértice)

CAP BDP� � (ângulos inscritos no mesmo arco)

Portanto, os triângulos APC e DPB são semelhantes (caso AA). Assim, podemos escrever

a seguinte proporção:

PA

PD

PC

PBPA PB PC PD� � � � �

Relação entre segmentos secantes

Na figura ao lado, o ponto P é exterior

à circunferência, e os segmentos secantes

intersectam a circunferência nos pontos A

e B e C e D, respectivamente.

Nos triângulos PAD e PCB, temos:

P� é ângulo comum.

PAD PCB� � (ângulos inscritos no mes-

mo arco)

Portanto, os triângulos PAD e PCB são semelhantes. Assim, podemos escrever a seguin-

te proporção:

PA

PC

PD

PBPA PB PC PD� � � � �

D

O

P

A

C B

D

O

P

A

C B

D

O

P

A

C

B

D

O

P

A

C

B

54

Matemática

Relação entre segmentos secante e tangente

Na figura ao lado, o ponto P é exterior

à circunferência, o segmento secante inter-

secta a circunferência nos pontos C e B e o

segmento PA é tangente à circunferência.

Nos triângulos PAC e PBA, temos

APC BPA� � (ângulos comuns), além disso, PAC PBA

� � , pois, chamando de a o ângulo ABC� , de d

o ângulo PAC� e traçando os segmentos AO e CO, temos:

d + x = 90° → x = 90° – d (pois PA é per-

pendicular a OA );

med AC med CA x (O (O� �

) ) (triângulo

AOC é isósceles);

x + x + y = 180° → 90° – d + 90° – d + y =

180° → y = 2d

ay

a d� � �2

Portanto, pelo caso AA de semelhança, os triângulos PAC e PBA são semelhantes. As-

sim, podemos escrever a seguinte proporção:

PA

PB

PC

PAPA PB PC� � � � � �

2

Exemplo

Calcule os valores de x e y da figura a seguir.

C

Q

x

3

9

12P

A

B

E

12

D

y

C

O

P

A

B

C

O

P

A

B

a

x

y

xd

PE PA PB

y

y

y ou y não convém

y

� � � �

� � � �� ��

� � �

�

2

2

2

12 12 4 9

300

300 300 ( )

��10 3

Portanto, x = 4 e y 10 3 .

QA QB QC QD

x

x

x

� � �� � ��

�

9 3 12

9 36

4

55

atividades

1 Determine as medidas indicadas por x, y ou z nas figuras a seguir.

a)

7y

9 8

b)

54

5

z

c)

6

3

x

d)

y + 1

y6

9

2 Na figura, O é o centro da circunferência, PA = 24 cm e PC = 32 cm. Determine a medida do segmen-

to OC.

C BP

A

O

56

Matemática

1 Um quadrado de área 36 cm2 está inscrito em uma circunferência. Determine a medida do raio e o comprimento dessa circunferência.

r

x

x

2 Determine a medida dos lados de um triângulo equilátero cujo raio da circunferência inscrita mede

3 3 cm.

3 3√

3 Uma caixa de pizza tem sua base no formato de um octógono regular com medida dos lados igual a 17,5 cm. Determine o diâmetro máximo que uma pizza pode ter para que ela caiba dentro dessa

caixa. (Use 2 1 4, )

©P

.Im

ag

en

s/P

ith

o que já conquistei

57

4 (UNIFOR – CE) Na planta, a região sombreada é limitada por uma semicircunferência indicada por BDC e dois segmentos de reta perpendiculares entre si em A. Se os segmentos têm as medidas indicadas, qual é, aproximadamente, a área dessa região? (Use π = 3,14)

16 m

A

D

12 m

C

B

5 Na figura ao lado, o desenho da flor é limitado por semicírculos cujos centros são os pontos médios dos lados do quadrado. Sabendo que os lados do quadra-do medem 8 cm, calcule a área da flor. (Use π = 3,14)

6 (UFPR) Um cavalo está preso por uma corda do lado de fora de um galpão retangular fechado de 6 metros de comprimento por 4 metros de largura. A corda tem 10 metros de comprimento e está fixada num dos vértices do galpão, conforme ilustra a figura a seguir. Determine a área total da região em que o animal pode se deslocar.

a) (75π + 24) m2

b) 88π m2

c) 20π m2

d) (100π 2

e) 176π m2

7 Determine o valor de x em cada caso sabendo que:

No item a, x med C med D� � ( () )� � ; No item b, BC é o diâmetro da circunferência.

a) b)

8 cm

8 cm

58

Matemática

8 Determine o comprimento da circunferência inscrita em um quadrado de área igual a 144 cm2. Use π = 3,14.

9 Sabendo que PB = 12 cm, PC = 6 cm e CD = 4 cm, determine a medida do segmento PA.

CD

B

P

A

10 Duas cordas AB e CD de uma circunferência se intersectam no ponto M, interior à circunferência. Sabendo que AM = 6 cm, BM = 15 cm e CM = 9 cm, determine a medida da corda CD.

11 De um ponto P, exterior a uma circunferência, foi traçado um segmento de reta secante que passa pelo centro e um segmento tangente que mede 40 cm. Quanto mede o raio dessa circunferência se

a distância do ponto P ao centro mede 50 cm?

59

capí

tulo

cap

ca

Expressões algébricas e equações do 6

Uma das melhores anedotas da história da matemática envolve

um professor cabeça-quente e um menino genial. O matemático ale-

mão Carl Friedrich Gauss tinha apenas 7 anos quando foi para a sua

primeira aula de Matemática. Seu professor, o Sr. Büttner, gostava de

passar tarefas muito difíceis.

O Sr. Büttner pediu que as crianças encontrassem a soma dos nú-

meros de 1 a 100. Depois, ele se sentou, mexeu em algumas coisas

sobre a sua mesa, olhou para a turma e viu que as crianças estavam

concentradas na tarefa. Todas, menos uma. Carl estava sentado, quie-

to, com os braços cruzados. As tarefas recolhidas pelo Sr. Büttner es-

tavam cheias de números e riscos. Mais uma vez, Carl foi a exceção.

Na tarefa de Carl lia-se apenas 5.050 – a resposta correta!

CONNOLLY, Sean. Salvo pela matemática. Ediouro, 2018. p. 123.

Produtos notáveis

Fatoração

Resolução de

equações do 2º. grau

o que vocêvai conhecer

©Shutterstock/ImageFlow

60

Matemática

Produtos notáveis

Quadrado da soma de dois termos

Em virtude de sua importância em cálculos variados, as multiplicações inspiraram os ma-

temáticos a buscar características comuns em suas resoluções, com o propósito de facilitá-

-los, tornando-os mais rápidos.

As multiplicações algébricas (compostas de uma ou mais letras) que apresentam carac-

terísticas comuns em sua resolução e que podem ser resolvidas eliminando algumas etapas

de cálculos denominam-se produtos notáveis.

Vamos considerar um quadrado de lado y.

A área desse quadrado é dada por A = y2.

Se o lado desse quadrado for aumentado em uma unidade, con-

forme imagem ao lado, qual será a sua nova área?

Chamando de AN

a nova área, temos que:

A y y yN� �� � � �� �� �� �1 1 1

2

Podemos aplicar a propriedade distributiva a essa multiplicação:

A y y y yy y yN� � � � � � � � � � �( ) ( )1 1 2 11

2 2 2

Assim, no quadrado de lados y + 1, a área em amarelo é igual a y2 e a área laranja é 2y + 1.

Desenvolver o quadrado da soma e o quadrado da diferença de dois termos.

Desenvolver o produto da soma pela diferença de dois termos.

Simplificar expressões algébricas pelo desenvolvimento dos produtos notáveis.

Fatorar uma expressão algébrica aplicando um ou mais casos de fatoração.

Identificar os coeficientes a, b, c de uma equação da forma ax2 + bx + c 0.

discriminante.

objetivos do capítulo

l d d

y

y

y

1

y1

61

Podemos, ainda, dividir o quadrado de lados y + 1 em partes me-

nores, conforme figura ao lado. Observando os lados dos quatro qua-

driláteros formados, temos:

A y y y y yN� � � � � � �2 2 2

1 2 1

Assim, temos o mesmo resultado obtido com a aplicação da pro-

priedade distributiva.

Para generalizar essa situação, vamos considerar quaisquer valo-

res representados pelas variáveis x e y. Com base nos retângulos for-

mados na figura representada ao lado, é possível estabelecer algumas

igualdades. Acompanhe.

A área do quadrado ABCD (AABCD

) é expressa por:

A x yABCD

� � �N2 2( )

Agora, determinaremos a área de ABCD utilizando a composição de áreas.

A B

D C

y

y

x

x A = x2 A = xy

A = xy A = y2

A x xy yABCD

� � � �2 22

Assim, podemos escrever:

( )x y x xy y� � � � �2 2 22

Quadrado da soma

de dois termos

Quadrado do

1.° termo

Duas vezes o produto do

1.° termo pelo 2.° termo

Quadrado do

2.° termo

y

y

y y2

1

y1

1

A B

D C

y

y

x

x

Pode-se obter essa igualdade algebricamente. Para tanto, aplicamos o conceito de

potência:

x y x y x y�� � � �� �� �� �2

Desenvolvendo o produto pela propriedade distributiva da multiplicação, temos:

x y x y x xy xy y

x y x y x y x xy y

�� �� �� � � � � �

�� � � �� �� �� � � � �

2 2

2 2 22

62

Matemática

Exemplos:

a) x x x x x�� � � � � � � � � �2 2 22 4 42 22 2

b) 1

3

1

3

1

33 3 32

1

92 9

2 22 2��

��

� � �

��

� � � � � � � � � �a a a a a

c) a a amn mn mn a a mn m n4 4 43 3 3

2 2 28 4 3 2 6

3 3 32 6 9�� � � � � � � � � � � � � �

Quadrado da diferença de dois termos

Considere agora a expressão (x y) (x y), que pode ser representada como uma potên-

cia de base (x y), ou seja, (x y)2.

Podemos representar esta potenciação na forma de multiplicação.

x y x y x y � � � � �� � �2

Desenvolvendo o produto pela propriedade distributiva multiplicação, temos:

x y x y x y x xy xy y x xy y

x y x xy y

� � � � �� � � � � � �

� � � �

2 2 2 2 2

2 2 2

2

2

Observe que a expressão (x y)2 pode representar a área de um qua-

drado cuja medida dos lados é expressa por x y.

A área do quadrado GCHI pode ser obtida da seguinte maneira: cal-

culamos a área do quadrado ABCD, subtraímos dela as áreas dos retân-

gulos ABGE e AFHD. Ao subtrair as áreas dos dois retângulos, a área do

quadrado AFIE é subtraída duas vezes. Portanto, devemos adicionar uma

vez a área do quadrado AFIE.

= – – +

A B

GE

A B

D C

A F

E I

A F

D H

G

C

I

H

O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo mais duas

vezes o produto do primeiro pelo segundo termo mais o quadrado do segundo termo.

x y x xy y�� � � � �2 2 2

2

A F B

GE

D C

x – yy

x

I

H

O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos

duas vezes o produto do primeiro pelo segundo termo mais o quadrado do segundo.

x y x xy y � � � �2 2 2

2

63

Veja estes exemplos:

a) y y y y y � � � � � � � �3 3 32 6 92 2 2 2

b) x x x x x �

��

� � � � � �

��

� � �

1

2

1

2

1

22

1

4

2

2

2

2

c) 5 5 52 25 102 2 2 2 2

a a ab b b a ab b � � � � � �� � � �

Produto da soma pela diferença de dois termos

As multiplicações efetuadas com os múltiplos de 10 são imediatas e permitem desenvol-

ver cálculos mentalmente e de forma rápida. Veja estes exemplos:

1 1 1

4 4 16

00 00 0000

0 0 00

� �� �

Multiplicar números que não são múltiplos de 10 não é tão imediato, mas, em alguns

casos, podemos utilizar resultados conhecidos para resolver outras multiplicações. Observe

este exemplo:

41 40 139 40 1� � �� ( ) ( )

Aplicando a propriedade distributiva, temos:

40 1 40 1 1 600 40 40 1 1 599� � � � �� � � �

Agora, acompanhe mais dois exemplos:

a) 105 100 595 100 5 100 500 500 5 10 000 25 9 9752 2� � � ��� � � � � ��

b) 72 70 268 70 2 70 140 140 2 4 900 4 4 8962 2� � � � � � �� ( ) ( )

Generalizando essa situação, temos:

x y x y x xy xy y x y�� �� � � � � � 2 2 2 2

O produto da soma de dois termos pela diferença entre esses mesmos dois termos é

igual à diferença entre seus quadrados.

Considerando que x representa o 1°. termo, e y, o 2°., temos:

x y x y x y�� � � � � � 2 2

Observe outros exemplos:

a) y y y y � � � � � � � �5 5 5 252 2 2

b) x x x x3 3 3

22

61

5

1

5

1

5

1

25��

��

� � �

��

� � � � �

��

� �

c) 8 8 8 645 5 2 5

22 10

� � � � � � � � � �za za za z a

64

Matemática

atividades

1 Desenvolva os seguintes quadrados da soma entre dois termos e apresente as respostas na forma reduzida.

a) 52

�� � �x

b) b ab�� � �32

c) 118

2

�� � �ax

d) 2

5

3

2x

x��

��

� �

2 Desenvolva os seguintes quadrados da diferença entre dois termos e apresente as respostas na forma reduzida.

a) 72

ab b � � �

b) a �

��

� �

1

3

2

c) 62 3

2

� � �c b

d) x

22

24

�

���

�� �

3 Simplifique as expressões e apresente as respostas na forma reduzida.

a) z z z�� � �� � � �3 5 4 72 2

b) x y x y2 3

22 3

2

2 � � �� �

65

4 Desenvolva cada produto da soma pela diferença de dois termos e apresente a resposta na forma reduzida.

a) 2 3 2 3a a�� � � � �

b) 5

2

1

3

5

2

1

3

x x��

��

� � �

��

�

c) 9 6 9 63 3

x x�� � � � �

d) x x

23

23��

��

� � �

��

�

5 Somando os algarismos resultantes do produto 1 000 001 999 999, que valor obtemos?

6 Na figura a seguir, ABCD e AFGE são quadrados cujos lados medem a e b, respectivamente.

Que expressão representa a área da superfície pintada de laranja?

7 Determine o valor da expressão x2 + z2

Ab

a

B

E

F

D C

G

66

Matemática

Fatoração

Você já aprendeu a simplificar frações dividindo o numerador e o denominador por um

mesmo número. Vamos relembrar por meio destes exemplos.

25

20

25

20

5

4

5

5

:

:

18

36

18

36

1

2

18

18

:

:

Podemos também tornar mais simples frações que envolvam letras e números dividindo

por uma mesma letra ou um mesmo número o numerador e o denominador. Veja.

2

2

2

2

2

2

a

b

a

b

a

b

:

:

8

3

8

3

8

3

a

a

a

a

a

a

:

:

Quando trabalhamos com expressões algébricas, nem sempre conseguimos identificar

por qual valor podemos dividir o numerador e o denominador apenas olhando para a forma

desenvolvida. Por exemplo, por qual número ou expressão algébrica podemos dividir o nu-

merador e o denominador da fração 3 9

2 6

x

x? A seguir, abordaremos as estratégias necessá-

rias para realizar tais simplificações.

Como temos as expressões desenvolvidas, vamos encontrar qual foi a multiplicação que

gerou esse resultado (forma desenvolvida). O método usado para representar um número

ou uma expressão por meio de um produto de outros números ou expressões denomina-se

fatoração. Veja estes exemplos:

a) Como 420 2 2 3 5 7 2 3 5 72� � � � � � �� � , temos que 2 3 5 7

2 é uma forma fatorada de 420.

b) 3 (a + b) é uma forma fatorada de 3a + 3b, pois 3

c) x y x xy y�� �� �� �2 2 é uma forma fatorada de x3 + y3, pois:

x y x xy y x x y xy yx xy y

x x y xy x y xy

� � � � � � � �

� � �

� � � �2 2 3 2 2 2 2 3

3 2 2 2 2 �� � �y x y3 3 3

Fator comum

Observe a expressão algébrica a seguir.

2a 2b

O número 2 é um fator comum aos dois termos dessa expressão.

Os fatores que aparecem em todos os termos de uma expressão algébrica são denomi-

nados fatores comuns da expressão algébrica.

Observe como podemos determinar os fatores que são comuns a todos os termos de

uma expressão.

Exemplo 1

3a 6b

Essa expressão tem dois termos: 3a e 6b. Fatorando cada um, temos:

3 a 3 2 b

Observe que o número 3 é o único fator que aparece em ambos os termos, ou seja, é o

único fator comum. 67

Exemplo 2

2x2 4x3 8xy

Escrevendo cada coeficiente numérico e a parte literal correspondente na forma fatora-

da, temos:

(2 x x) (2 2 x x x) (2 2 2 x y)

Observe que 2x é o fator comum a todos os termos da expressão.

Colocando o fator comum em evidência

Na figura a seguir, considere os retângulos ABCD e AEFD, e o quadrado EBCF.

A E B

D C

F

x 2

2

Para determinar a área do retângulo ABCD, podemos proceder de duas maneiras.

1ª. maneira

Como ABCD é um retângulo cuja base mede x + 2 e cuja altura mede 2, temos:

Área de ABCD (x 2) 2 2 (x 2)

Aplicando a propriedade distributiva, temos:

2 (x 2) 2x 4

2ª. maneira

Área de ABCD área de AEFD + área de EBCF

Área de ABCD x 2 + 22

Área de ABCD 2x + 4

Portanto:

2x + 4 2 (x + 2)

Assim, temos duas maneiras para representar a área do retângulo:

2x + 4 2 (x + 2)

Denomina-se forma fatorada de uma expressão algébrica a representação dessa expres-

são por meio de uma multiplicação de dois ou mais fatores.

Quando determinamos o produto e juntamos os termos semelhantes, a expressão algé-

brica resultante se apresenta na forma reduzida.

68

Matemática

Em nosso exemplo:

2 2 2 4� � � �( )x x

Forma

fatorada

Forma

reduzida

�� � �

Aplicando esse mesmo raciocínio, determinaremos a expressão algébrica que represen-

ta a área do retângulo ABCD pela composição das áreas das superfícies coloridas (expressão

reduzida) e pelo produto das expressões que representam as medidas de seus lados (forma

fatorada).

A B

D C2 y

y

z

Forma reduzida da expressão que representa a área de ABCD: nesse caso, a área é obti-

da pela soma das áreas das figuras que a compõem.

Área de ABCD 2y y2 zy

Forma fatorada da expressão que representa a área de ABCD:

Área de ABCD 2 2� � � � � � �� � � �y z y y y z

Assim, temos:

Área de ABCD 2 22

y y zy y y z

Forma reduzida Forma fatorada

� � � � � �� � �� � ��� ��

O fator comum aos três termos da expressão 2y + y2 + zy é o y, por isso ele aparece em

evidência na forma fatorada.

Acompanhe os passos para fatorar uma expressão algébrica colocando em evidência o

fator comum.

1º. ) Fatora-se cada termo da expressão e determina(m)-se o(s) fator(es) comum(uns).

2º. ) Representa-se o produto colocando o fator comum em evidência, multiplicando a

expressão restante.

Veja estes exemplos:

Exemplo 1

2bc2 4b2c 2bc

2bc2 4b2c 2bc

2 b c c 2 2 b b c 2 b c

Observe que os fatores coloridos estão presentes em todos os termos da expressão, por

isso a denominação fator comum.

Colocando em evidência o fator comum, obtemos a forma fatorada da expressão:

2bc

69

Atenção: quando todos os fatores de um termo são colocados em evidência, mantém-se

o 1, que sempre é fator de qualquer termo.

2 b c c 1 + 2 2 b b c 1 2 b c 1

Comprovando a igualdade das expressões:

2bc (c + 2b 1) 2bc2 + 4b2c 2bc

Exemplo 2

12 24 812 7 9

x x x�

Para facilitar a identificação dos fatores comuns, os coeficientes 12, 24 e 8 podem ser

decompostos em fatores primos, e a parte literal permanece representada na forma de

potência.

12 24 8 2 3 2 3 212 7 9 2 12 3 7 3 9

x x x x x x� � � � � � � �

Os fatores 2 e x aparecem em todos os termos, portanto são fatores comuns.

Fator 2: aparece 2 vezes no primeiro termo, 3 vezes no segundo termo e 3 vezes no ter-

ceiro termo.

Fator x: aparece 12 vezes no primeiro termo, 7 vezes no segundo termo e 9 vezes no

terceiro termo.

Dessa forma, como 2 é o menor número de vezes que o fator 2 aparece e 7 é o menor

número de vezes que o fator x aparece, o fator comum é 2 42 7 7� �x x .

Observe agora uma maneira prática de encontrar o polinômio que deve ser multiplicado

por 4x7.

12x2 + 24x7 8x9 4x7 (3x5 + 6 2x2)

12x12 : 4x7 3x5

8x9 : 4x7 2x2

24x7 : 4x7 6

Dividindo cada termo do polinômio 12 24 812 7 9

x x x� pelo fator em evidência, 4x7, ob-

temos o polinômio 3 6 25 2

x x� .

Agrupamento

Considere que todos os retângulos ABCD representados nas figuras da página seguinte

têm a mesma área. Observe a composição de cada superfície, a expressão da área de ABCD,

obtida pela soma das áreas das regiões coloridas (figuras 1 e 2), e a expressão da área para

a figura 3.

70

Matemática

A B

c

d

ba

D C

A B

c + d

ba

D C

A B

c + d

a + b

D C

Figura 1 Figura 3Figura 2

Sendo as figuras de mesma área, temos:

ac ad bc bd a c d b c d

Área daÁrea da

� � � � � � � � �� � � � figura 1

��� ��ffigura figura 2 3

���� ��� ��� ��� � � �( ) ( )a b c d

Área da

Veja agora como fatorar a expressão ac + ad + bc + bd.

Observe que não há um fator comum a todos os termos da expressão. Contudo, os ter-

mos ac e ad têm fator comum, assim como os termos bc e bd.

ac + ad + bc + b a (c + d) + b (c + d)

Analisando a expressão dada no segundo membro da igualdade, observamos que (c + d)

é fator comum aos dois termos. Portanto, nós a fatoramos novamente.

Forma fatorada:

a b a bc d c d c d

Forma fatorada

� � � � � �� � �( ) ( ) ( ) ( ) ��� ��

Poderíamos também ter realizado a fatoração em outra ordem.

ac + bc + ad + bd

c (a + b) + d

(a + b) + d (a + b)

(a + b) (c + d)

Essa é a fatoração por agrupamento. Veja como fazer, passo a passo:

1º.) Agrupe, dois a dois, termos que têm fator comum.

2º.) Coloque os fatores comuns em evidência.

3º.) Deixe em evidência o fator comum entre os dois termos resultantes.

Veja outros exemplos:

a) 3 6 2 3 2 2 2 32

a a a a a a a a� � � � � �� � � � �� � � �� �� �� �b) x x x x x x x x

3 2 2 22 2 4 2 2 2 2 2 � � � � � � � � � � � �� �� �

c) 7 21 3 7 3 3 7 32

ab b a a b a a a b a a� � � � � �� � � � �� � � �� �� �� �

71

Diferença de dois quadrados

Os produtos notáveis também podem nos auxiliar na fatoração de expressões algébri-

cas. Por exemplo, já vimos que:

x y x y x y�� �� � � � 2 2

Então, podemos escrever:

x y x y x y

Forma fatorada

2 2 � �� �� � � ���� ���

Concluímos que uma expressão algébrica que represente a diferença de dois quadrados

pode ser fatorada aplicando a ideia de produto notável.

Acompanhe alguns exemplos:

a) 16 b2

16 4 42 2

4

Quadrado

de

Quadrado

de b

b b b� � � � � �� � �

b) b

2

4121

b b b

Quadrado

deb

Quadrado

de

2

2

11

4121

211

211

�� � ��

��

� � �

��

�

c) 1 (a 9)2

Observe neste último exemplo que 1 é o quadrado de 1, pois 12 1 e (a 9)2 é o quadra-

do de a 9. Portanto, a forma fatorada de 1 (a 9)2 é dada por:

1 9 1 9 1 91 19 9 10 82

� � � � � � � � �� � � � � � � � � �a a aa a a a[ ] [ ] ( ( ( ) ( )) )

Trinômio quadrado perfeito

Outros dois produtos notáveis sobre os quais aprendemos foram o quadrado da soma e

o quadrado da diferença entre dois termos.

(x y)2 x2 2xy y2 e

(x – y)2 x2 – 2xy y2

As expressões x2 2xy y2 e x2 – 2xy y2 podem ser escritas na forma de produtos, ou

seja, na forma fatorada.

x2 2xy y2 (x y)2 (x y) (x y) x2 – 2xy y2 (x – y)2 (x – y) (x – y)

Expressões desse tipo denominam-se trinômios quadrados perfeitos por serem po-

linômios com três termos e por representarem o quadrado de um binômio. É importante

saber que nem todos os trinômios representam o quadrado de uma expressão algébrica e,

portanto, não são quadrados perfeitos.

72

Matemática

Vejamos alguns exemplos:

Quais dos trinômios a seguir são quadrados perfeitos?

a) x2 6x 9

Observe que x2 é o quadrado de x e 9 é o quadrado de 3.

x x

Quadrado

de

Quadrado

dex

2

3

6 9� �

Para que o trinômio seja um quadrado perfeito, o termo central deve ser igual a

2 3 6� � �x x

Como é exatamente esse o valor do termo central, concluímos, então, que é um

trinômio quadrado perfeito.

Logo, a forma fatorada de x2 6x 9 é x �� �32

.

b) x2 16x 36

Os termos x2 e 36 representam os quadrados de x e 6, respectivamente.

x x

Quadrado

deQuadrado

dex

2

6

16 36� �

Para que o trinômio seja um quadrado perfeito, o termo central deve ser igual a

2 x 6 12x

Como 12x ≠ 16x, concluímos que o trinômio x2 16x 36 não é um quadrado perfeito.

c) a2 18a 81

Os termos a2 e 81 representam os quadrados de a e 9, respectivamente.

a a

Quadrado

deQuadrado

dea

2

9

18 81� � �

Sabemos que os trinômios cujas expressões são x2 2xy y2 e x2 – 2xy y2 diferem-se

na forma algébrica pelo sinal do coeficiente de xy.

Dessa maneira, para que o trinômio seja um quadrado perfeito, o termo central deve

ser igual a

–2 a 9 –18a

Logo, a forma fatorada de a2 18a 81 é a � �92

.

Fatorando mais de uma vez

Algumas expressões algébricas podem passar pelo processo de fatoração mais de uma

vez. Isso pode acontecer quando, na forma fatorada de uma expressão algébrica, restarem

fatores que ainda possam ser expressos como produto de dois ou mais fatores.

73

Vejamos alguns exemplos de fatorações sucessivas.

a) 4x2 4y2

Observe que 4 é fator comum aos termos da expressão. Colocando-o em evidência,

temos:

4 4 42 2 2 2

x y x y � � ( )

Observe, ainda, que a expressão (x2 y2) é a diferença de dois quadrados e pode ser

fatorada.

4 4 42 2

x y x y x y

Forma fatorada

� � � � ( ) ( ) ��� ��

Também pode-se iniciar a fatoração de outra maneira. Como 4x2 é o quadrado de 2x

e 4y2 é o quadrado de 2y, então 4x2 4y2 é a diferença de dois quadrados.

4 4 2 2 2 22 2

x y x y x y � � � ( ) ( )

Observe que cada fator, (2x 2y) e (2x 2y), apresenta o 2 como fator comum a seus

termos.

Dessa forma, podemos colocá-lo em evidência em cada um dos fatores.

4 4 2 2 2 22 2

x y x y x y � �� �� � � � 2 (x y) 2 (x y) 2 2 (x y) (x y)

4 4 42 2

x y x y x y

Forma fatorada

� � �� �� � � ���� ���

Pelos dois processos, chega-se à mesma expressão fatorada.

b) 2y2 20y 50

Observe que 2 é fator comum aos termos da expressão.

Colocando ele em evidência, temos:

2 20 50 2 10 25

2 2y y y y � � � �� �

Observe que o fator y y2

10 25 �� � é um trinômio quadrado perfeito, pois:

y2 é o quadrado de y

25 é o quadrado de 5

2 y 5 10y

Assim:

y y y

2 210 25 5 � � � �

Portanto, 2 20 50 2 52 2

y y y � � � � � .

c) 36x 18ax 12cx 6acx

Veja que 6x é fator comum aos termos da expressão.

Colocando 6x em evidência, temos:

36x 18ax 12cx (6 3a 2c ac)

Fatorando (6 3a 2c ac) por agrupamento, temos:

6 3a 2c (2 a) c (2 a) (3 c)

Portanto, 36x 18ax 12cx (2 a) (3 c).

74

Matemática

atividades

1 Apresente cada um dos termos das expressões na forma fatorada (indicando todos os fatores). Lembre-se de que cada coeficiente numérico deve ser decomposto em fatores primos.

a) 3x 6

b) ab a2b2

c) 2x2 4x3

d) 5x2 20x4

e) 8b2 4bx 2bx2

f) 12b3 18bc

2 Em cada expressão da atividade anterior, há fatores que estão presentes em todos os termos e em um determinado número de vezes. Escreva o fator comum de cada item.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

3 Complete os espaços com o termo que está faltando em cada igualdade.

a) 5z2 ( 2)

b) 2b + 2c + 2d . (b c d)

c) m3n3 + m2 . (mn2 1)

d) 2xh – 4x2 . ( 2x)

4 O perímetro do retângulo abaixo é igual a 50 e sua área é igual a 150. Sabendo que as dimensões desse retângulo são expressas por x e y, calcule o valor numérico da expressão 6x2y + 6xy2.

x

y

5 Fatore cada expressão a seguir.

a) 2x xz 2y yz

b) ac c2 ay cy

c) 6 3a 2c ac

d) 50 10c 5b bc

e) ab 3a 2b 6

f) ac 3a 3c 9

75

6 Determine o valor numérico da expressão cy cz dy dz, sabendo que c d 25 e y z 7.

7 Fatore cada expressão a seguir.

a) v2 w2

b) 9x2 16

c) 81 492 2

c x

d) z2 1

e) m2 9

64

f) a4 b2

8 Calcule o valor de x d, sendo x d 10 e x2 d2 90.

9 Fatore cada expressão a seguir.

a) 8 6 12 92 2

x y x y �

b) 18 6 122 2

x y xy xy �

c) 169 94

x

d) 2 503

x x

10 Preencha as lacunas com coeficientes numéricos para obter trinômios quadrados perfeitos.

a) 4h2 h 64

b) 169 52x x2

c) t2 14t

d) p2 12pz2 z4

11 Fatore os trinômios quadrados perfeitos a seguir.

a) 4 12 92

a a

b) x y xy2 2

10 25

c) 9 12 48 4

a a �

d) 16 82 2 2

x bcx b c

e) x

x y y

42 2 4

4

f) 49 154 1216 3

b b �

12 Fatore as expressões a seguir.

a) 7x2 63 b) a4 16

76

Matemática

c) c3 4c2 4c

d) 3x2 12xy 12y2

e) 49c2 49

f) 36z4 96z2y 64y2

g) 5h2 45

h) 6x2 12xz 18xy 36yz

13 Fatore a expressão x2 2xy z2 y2.

14 Fatore a expressão (a 4)2 a2.

15 A tarefa apresentada aos alunos pelo Sr. Büttner foi resolvida por Gauss usando expressão

(100 1) (99 2) ... (51 50). Cada termo dessa soma pode ser escrito, de forma genérica, as-sim: (100 x) (1 x), com o x variando de 0 até 49.

Qual das expressões a seguir representa, de forma fatorada, a operação feita por Gauss para chegar

rapidamente ao resultado?

a) 50 (100 1)

b) 49 (100 1)

c) 50 (100 1)

d) 49 (100 1)

77

Resolução de equações do 2º. grau

Solução de uma equação

Uma vidraçaria foi contratada para colocar tampos de

vidro nas cinco mesas do salão de festas de um condomí-

nio. Todas as mesas são quadradas e do mesmo tama-

nho, e o vidro utilizado no serviço é vendido por metro

quadrado.

A vidraçaria calculou que serão necessários 3,2 m2

de material para fazer as cinco mesas.

Como podemos calcular a medida x do lado de cada

mesa? Acompanhe o raciocínio.

A área de uma mesa quadrada é calculada em função da medida x do lado:

A x2

Como são 5 mesas, a área total do vidro necessário é:

AT 5 x2

Assim, temos:

3,2 5 x2 ou 5x2 3,2 0

Resolvendo essa equação, encontramos a medida x do lado da mesa. Essa é uma equa-

ção do 2º. grau, pois a incógnita x tem grau 2.

Já aprendemos como resolver equações desse tipo:

5 3 2 0

5 3 2

3 2

50 64

2

2

2

x

x

x

�

�

� �

,

,

,,

Sabe-se que existem dois números reais que elevados ao quadrado resultam em 0,64,

um número positivo e um negativo.

x � � 0 64, ou x � 0 64,

0 6464

100

8

100 8, ,

x 0,8 ou x 0,8

0,8; 0,8}.

Como a medida do lado da mesa não pode ser negativa, ele mede 0,8 m.

Uma equação na incógnita x é denominada de equação do 2°. grau quando estiver escrita

na forma geral ax2 + bx + c = 0, em que a, b e c

• a é o coeficiente do termo em x2;

• b é o coeficiente do termo em x;

• c é o termo independente de x.

©S

hu

tte

rsto

ck/

Te

tia

na

Yu

rch

en

ko

78

Matemática

Veja alguns exemplos:

a) x2 4x 5 0 (coeficientes: a 1, b 4 e c 5)

b) 1 x 2x2 0 (coeficientes: a 2, b 1 e c 1)

c) 2x2 5x 0 (coeficientes: a 2, b 5 e c 0)

d) x2 36 0 (coeficientes: a 1, b 0 e c 36)

Equações do 2º. grau em que b 0 e c 0 são denominadas completas, e equações em

que b 0 e/ou c 0 são denominadas incompletas. Dessa forma, a equação anterior, 5x2 3,2 0,

é incompleta, e as equações x2 4x 5 0 e 2x2 x 1 0, por exemplo, são completas.

Resolução de uma equação do 2º. grau incompleta

Há três tipos de equações incompletas.

1°. tipo: equações da forma ax2 bx 0

Quando uma equação tem o termo independente igual a zero, ela pode

ser resolvida por meio da fatoração do primeiro membro.

Observe estes exemplos:

a) x2

Fatorando a expressão do primeiro membro da equação, temos:

x x

fatorfator

12

3

º.º.

( )� � � �

Se um produto de dois ou mais fatores é zero, pelo menos um desses fatores é zero.

Portanto, temos:

x ou x x� � � � � 0 3 0 3

Assim, as raízes da equação são 0 e

b) x x � � � �3 4 2 52

Inicialmente, vamos escrever a equação de outra forma:

x x

x x x

x x x

x x

� � � �

� � �

� �

�

3 4 2 5

6 9 4 2 5

6 5 2 5 0

8 0

2

2

2

2

Fatoramos o primeiro membro da equação:

x x2

8 0 �

x x x ou x x� � � � � � �( )8 0 0 8 0 8

79

2°. tipo: equações da forma ax2 c 0

Vimos anteriormente uma das maneiras de se resolver esse tipo de equação. Vamos

relembrá-la e aprender uma forma alternativa por meio dos exemplos a seguir.

a) x2 81 0

Os valores de x que verificam essa igualdade podem ser determinados facilmente.

1ª. maneira:

Isolando a incógnita no primeiro membro da equação, temos: x2 81

Sabe-se que existem dois números reais que elevados ao quadrado resultam em 81,

um número positivo e um negativo.

x ou x

x ou x

� � �

� � �

81 81

9 9

9, 9}.

2ª. maneira:

Utilizando a fatoração a b a b a b2 2 � �� �� � � , temos:

x x2 2 2

81 0 9 0 � � �

(x 9) (x 9) 0

Para que esse produto seja zero, x 9 0 ou x 9 0.

x ou x� � �9 9

Portanto, o conjunto-solução da equação é S 9, 9}.

b) 5x2 20 0

1ª. maneira:

5 20 0

5 20

20

5

4

4 4

2 2

2

2

2

2

x

x

x

x

x ou x

x ou x

�

�

�

�

� � � � � �

O conjunto-solução da equação é S 2, 2}.

2ª. maneira:

Colocamos em evidência o fator comum:

5 4 0

2� � � �x

Ao fatorarmos x2 , temos: 5 (x 2) (x 2) 0

Um produto é zero se, pelo menos, um dos fatores é zero. Como 5 0, temos:

x 2 0 ou x 2 0

x ou x� � �2 2

O conjunto-solução da equação é S 2, 2}.

80

Matemática

3°. tipo: equações da forma ax2 0

Esse é um tipo de equação incompleta do segundo grau em que o conjunto-solução sem-

pre será nulo, pois ax xa

x x2 2

00

0 0� � � � � � � � .

Acompanhe a resolução de mais um exemplo.

Do retângulo representado na figura, foram retirados quatro quadrados com a medida

do lado igual a 1 cm e construída uma caixa sem tampa, em forma de paralelepípedo retân-

gulo, de volume igual a 32 cm3. Quais as dimensões dessa caixa?

p + 4 cm

(p + 2) cm

1 cm

(p – 2) cm

p cm

1 cm

1 cm

O comprimento e a largura da caixa são dados, em cm, respectivamente, por

(p 4) 1 1 p 2 e p 1 1 p 2.

A equação que representa o volume da caixa é:

(p 2) · (p 2) · 1 32

p

p

2

2

4 32

36

�

�

p 36 ou p – 36

p 6 ou p 6

Como p representa uma medida, não pode ser um número negativo, ou seja, p = 6 cm.

Portanto, as dimensões da caixa são 8 cm, 4 cm e 1 cm.

Resolução de uma equação do 2º. grau completa

Observe a seguinte equação do 2º. grau:

x2 6x 9 0

Essa equação é completa, pois b 0 e c 0. O primeiro membro da equação é um trinô-

mio quadrado perfeito.

x2 6x 9

x2 x 9 3

Verificando o termo central, obtemos: 6x 2 · x · 3

81

Fatorando o trinômio da equação, verifica-se que:

x

x x

�� � �

�� �� �� � �3

3 3

0

0

2

x 3 = 0 x = 3

Nesse caso, a equação apresenta as duas raízes reais iguais a 3, pois os dois fatores são

iguais.

Considere a seguinte equação:

x2 8x 7 0

Nela, o primeiro membro não é um trinômio quadrado perfeito. Podemos resolver a

equação pelo método de completar quadrados, de forma que obtenhamos um trinômio qua-

drado perfeito.

Assim, vamos representar a expressão x2 8x por meio de retângulos:

x2 8x x2 2 4x

Área de dois retângulos

cujos lados medem 4 e x.

Área de um quadrado

cujos lados medem x.

x

x

4

4

x2

4x

4x

Para completar o quadrado maior, devemos acrescentar um

quadrado cujos lados medem 4, ou seja, um quadrado de área

42 16.

Assim, o trinômio que representa um quadrado perfeito é

x x x x2 22

8 84 16� � � � � .

Voltando à equação, temos:

x2 8x 7 0

x2 8x 7

Adicionando 16 ao primeiro e ao segundo membro da equa-

ção, obtemos uma equação equivalente a ela.

x2 8x 16 7 16

x2 8x 16 9

Fatorando o trinômio do 1°. membro da equação, temos:

(x 4)2 9

Como o quadrado de x + 4 é igual a 9, temos duas possibilidades:

x 4 9 ou x 4 9

x x ou x x� � � � � � � � 4 3 1 4 3 7

1, 7}.

x

x

4

4

x2

4x

4x

42

82

Matemática

Acompanhe mais dois exemplos.

a) y y2

8 12 0 � �

y y

y

y

y ou y

y

y

y

2

2

2

2

4

2 2

8 12

8 12

4 4

4 4 4 4

4 2

4 4

�

� � �

� � �

� � �

� �

� ��

yy ou y y� � � �6 4 2 2

O conjunto-solução é S

b) m m2

6 13 0� � �

m m

m

m

m

m

2

2

2

2

3

2 2

6 13

6 13

3 4

3 3

� �

� � � �

�� � �

� ��

Para qualquer número real m, o quadrado de m 3 nunca é negativo. Portanto, a equa-

ção não apresenta solução real.

Fórmula resolutiva da equação do 2º. grau

É possível generalizar o método de completar quadrados, o que possibilita a dedução de

uma fórmula que pode ser utilizada para resolver equações do 2°. grau.

Considere a equação do 2°. grau na forma geral: ax bx c a2

0 0� � � �� �

Dividimos todos os termos por a: ax

a

bx

a

c

a ax

b

ax

c

a

220

0� � � � � � �

Isolamos o termo independente: xb

ax

c

a

2 � �

Observe que: xb

ax x

b

ax

2 22

2� � � � �

Acrescentamos b

a2

2�

��

� aos dois membros da igualdade: x

b

ax

c

a

2 � �

xb

ax

b

a

c

a

Trinômio quadrado perfeito

2

2

22 2

� � � � �

��

� �

���� ����� �

��

�

b

a2

2

Fatoramos o trinômio quadrado perfeito:

xb

ax

b

a

c

a

b

ax

b

a

b

a

c

a

xb

a

2

2 2 2 2

22 2 2 4

2

� � �

��

� � � �

��

� ��

��

� �

���

��

� � � ��

��

� �

2 2

2

2 2

24 2

4

4

c

a

b

ax

b

a

b ac

a

83

Extraímos a raiz quadrada e isolamos x para obter a fórmula resolutiva:

xb

a a

xb

a a

xb

a a

xb

b ac

b ac

b ac

b ac

� � �

� � �

� �

� �

2 4

2 2

2 2

2

4

4

4

4

2

2

2

2

2

aa

O número b ac2

4 é denominado discriminante da equação ax bx c2

0� � � . Indicando a

expressão b ac2

4 pela letra grega Δ (delta), podemos escrever:

xb

a� � �

2

Qualquer equação do 2°. grau pode ser resolvida por meio dessa fórmula.

Observe a seguir alguns exemplos resolvidos.

a) x x2

17 60 0 � �

� � � � � � � � �

� �

� � ��

��

�

b ac

xb

a

2 24 17 4 1 60 289 240 49

2

17 49

2 1

17� 77

2

17 7

2

24

212

17 7

2

10

25

1 2x e x�

�� � �

� �

b) � �x x2

10 25 0

� � � � � �� � � � �

� �

� �

� � ��

b ac

xb

a

2 24 10 4 1 25 100 100 0

2

10 0

2 1

1� 00 0

2

10 0

2

10

25

10 0

2

10

25

1 2

�

� �

�

� �

�

�x e x

c) x x2

2 2 0� � �

� � � � � � �

� �

� �

�

b ac

xb

a

2 24 2 4 1 2 4 8 4

2

2 4

2 1

�

Como 4 não é um número real, a equação não apresenta solução real.

84

Matemática

Discussão das raízes de uma equação do 2º. grau

Uma equação do 2°. grau pode ter duas raízes reais e distintas, duas raízes reais e iguais

ou ainda não ter raízes reais. Acompanhe a seguir a resolução de três equações.

a) 2 36 02

x x� �

a b c

b ac

x

� � �

�

� � � � � �

� �

��

2 1 36

4

1 4 2 36

1 288 289

1 289

2 2

2

2

, ,

( )

�

��

�

� �

� �

�

� �

� ���

��

1 17

4

1 17

4

16

44

1 17

4

18

4

9

2

49

2

1

2

x

x

S ,

b) x x2

4 4 0 � �

a b c

b ac

x

� � �

�

� � � � �

� �

� � ��

��

�

1 4 4

4

4 4 1 4

16 16 0

4 0

2 1

4 0

2

2

, ,

�

�

�

22

4 0

2

4

22

4 0

2

4

22

2

1

2

x

x

S

��

� �

�

� �

�! "

c) x x2

1 0� � �

a b c

b ac

x

� � �

�

� � �� �

� �

�� �

1 1 1

4

1 4 1 1

1 4 3

1 3

2 1

1 3

2

2

2

, ,

�

��

Na primeira equação, o discriminante ( ) é maior que zero e, nesse caso, a equação tem

duas raízes reais e distintas. Na segunda equação, em que as duas raízes são reais e iguais, o

discriminante é igual a zero. Já na terceira equação, o discriminante é menor que zero, e a

equação não tem raízes reais.

Em uma equação do 2°. grau, sendo � � b ac2

4 o discriminante, temos as seguintes

possibilidades:

• Se 0, a equação tem duas raízes reais e distintas.

• Se 0, a equação tem duas raízes reais e iguais. Dizemos também que essa raiz real é dupla.

• Se 0, a equação não tem raízes reais.

Acompanhe o exemplo a seguir.

Calcule o valor de m para que a equação 5 3 02

x x m � �a) tenha raízes reais e iguais;

b) tenha duas raízes reais e distintas;

c) não tenha raízes reais.

� � � � � � � � b ac m m2 2

4 3 4 5 9 20

a) Para que as raízes sejam reais e iguais, devemos ter = 0.

9 20 0 20 9

9

20

9

20 � � � � �

� �m m m m

b) Para que as raízes sejam reais e distintas, devemos ter 0.

9 20 0 20 9 20 9

9

20 � � � � # � #m m m m

c) Para que as raízes não sejam reais, devemos ter Δ < 0.

9 20 0 20 9 20 9

9

20 # � # � � � �m m m m

A equação não tem raízes

reais, pois 3 não é um nú-

mero real.

85

atividades

1 Determine o conjunto-solução de cada equação a seguir usando a fatoração.

a) y2 + 3y = 0

b) 5x2 – 6x = 0

c) (y 3) . (y 3) = 5

d) (x 4) · (x 3) x = 3

e) z2 – 4 = 0

f) 6x2 – 54 = 0

g) x2 – 8x + 16 = 0

h) 9x2 + 30x + 25 = 0

2 Na figura, as medidas dos segmentos são dadas em centímetros e a // b // c.

Aplicando o teorema de Tales, determine o valor de x.

3 Determine o conjunto-solução da equação x x

xx x

2 2

4 3

�

.

x – 4

x + 1

x – 8

2

a

b

c

u v

86

Matemática

4 (OBMEP) André partiu de Pirajuba, foi até Quixajuba e voltou sem parar, com velocidade constante. Simultaneamente, e pela mesma estrada, Júlio partiu de Quixajuba, foi até Pirajuba e voltou, tam-bém sem parar e com velocidade constante. Eles se encontraram pela primeira vez a 70 km de Qui-xajuba e uma segunda vez a 40 km de Pirajuba, quando ambos voltavam para sua cidade de origem. Quantos quilômetros tem a estrada de Quixajuba a Pirajuba?

a) 120 b) 145 c) 150 d) 170 e) 180

5 Resolva as equações a seguir usando a fórmula resolutiva.

a) x x2

6 0 �b) 4 16 15 0

2m m � �

c) � � �2 3 2 02

z z

d) 2 36 02

t t� � �e) � � �x x

22 0

f) y2

49 0 �

g) 2 3 02

t t� �h) � �z

25 0

6 Calcule o discriminante das equações e analise os tipos de soluções que cada uma apresenta.

a) 2 7 3 02

x x � �

b) 9 6 1 02

x x � �

c) x x2

3 4 0� � �

d) x x2

2 8 0 �

7 Determine p para que a equação y y p2

12 0 � �a) tenha duas raízes reais e diferentes.

b) não tenha raízes reais.

c) tenha uma raiz real dupla.

8 Determine o(s) valor(es) de m na equação x mx2

36 0 � � , sabendo que ela tem uma raiz real dupla.

9 Calcule o valor de p, sabendo que a equação px p x p2

1 1 0� � � � � tem raízes reais iguais.

87

1 Desenvolva os seguintes produtos notáveis e apresente as respostas na forma reduzida.

a) 3 52

�� �c

b) 22

m n � �

c) 7

4

4

2

��

��

�m

d) (ax – b) (ax + b)

e) 132

2

a b � �

f) 52

55

2

5a a �

��

� � ��

��

�

g) 5 73

2

y y � �

h) 0 5 0 52 2

, ,�� � � � �b b

2 Simplifique as expressões e apresente a resposta na forma reduzida.

a)

b) (y + 2) (y – 2) – (y + 3) (y – 3)

c) 1

2

1

2

1

2

2

�

��

� � ��

��

� �

��

�m m m

d) ab b a b a b a b2

22 2

2 � � � � �� � �� � � � �

3 Classifique as igualdades dos itens seguintes em verdadeiras (V) ou falsas (F).

a) ( ) x y y x x y y2

22 4 2 2

7 2 14 47� � � �� �b) ( ) � � � [( ( ]) )2 2 4

2 2m n m n m n

c) ( ) 3 32 2

( ) ( )x z x z x z� � �

d) ( ) ( ) ( )a b a b b a3 3 3 3 6 6 � � � �

e) ( ) a b ab a b � �� � � � �2 24

4 Mostre que x y xy�� � 2

2 é igual a x y2 2.

o que já conquistei

2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 12 2

a a a a a� � � � � � � � � � � � � � �

88

Matemática

5 Determine o polinômio na forma reduzida que representa a área da figura a seguir, composta de um quadrado e um retângulo.

2x – 2

3x + 2

3x + 2

5x + 4

6 (ACAFE – SC) A expressão a a a�� � � � � � � �2 5 3 2 2 32 2

é equivalente a:

a) 2 8 22

a a� b) 5 2 2

2a a�

c) 3 20 132

a a �d) 5 10 2

2a a�

e) 5 18 282

a a �

7 (PUC Minas – MG) Se x y2 2

17� � x y�� �2 é:

a) 32 b) 41 c) 49 d) 53 e) 54

8 (MACKENZIE – SP) Se x y x y � � �� � � 2 2

20 , então x y é igual a:

a) –1 b) 0 c) 10 d) 5 e) 1

5

9 (OBMEP) Na figura abaixo, temos dois quadrados. O maior tem lado a + b e o menor, lado a. Qual é a área da região em cinza?

a + b

a

a) b

b) a b

c) a2 2ab

d) b2

e) 2ab b2

10 (CEFET – RJ) O piso de uma sala quadrada de lado a deve ser forrado por um tapete que ficará afas-

tado 10 cm de cada parede. A superfície da sala que será coberta pelo tapete é:

a) (a2 2a 1) dm2

b) (a2 2a 1) dm2

c) (a2 4a 4) dm2

d) (a2 4a 4) dm2

e) a2 dm2

11 (Escola Técnica Federal – RJ) Considere as expressões:

I. a b a b � � � 2 2 2 II. a b a b ab

2 2 22� � �� � III.

Então:

a) São todas falsas.

b) São todas verdadeiras

c) Somente II e III são verdadeiras.

d) Somente I e III são verdadeiras.

a b a b ab�� � � � �2 2

4

89

12 Fatore cada expressão algébrica a seguir.

a) 5x 15x2 50x3

b) 16 49x2y2

c) 2ax3 2a2x2 2a2

d) 14a 21 10ax

e) 36y4 60ry2 25r2

f) 1 169a2

g) 8hb 4h2 6b2

13 Que monômio deve ser adicionado a 4y2 2xy para se obter um trinômio quadrado perfeito?

14 Qual deve ser o valor do número real k para que o trinômio 4a2x2 36ax k seja um quadrado perfeito?

15 Se x 4 y4.

90