Тольятти 2007

Тольяттинский государственный университет Физико-технический институт

Кафедра «Общая и теоретическая физика»

Потемкина С.Н.

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ФИЗИКЕ

2й семестр

Модуль 6

ПОЛЕ В ВЕЩЕСТВЕ

2

Содержание Глава VI. Поле в веществе................................................................................................................................................3

Электрическое поле в диэлектриках ..........................................................................................................................3 §50. Полярные и неполярные молекулы ..............................................................................................................3 §51. Теорема Гаусса для поля вектора P

r...........................................................................................................6

§52. Электрическое смещение. Теорема Гаусса для ЭСП в диэлектрике .........................................................6 §53. Граничные условия на границе раздела двух изотропных диэлектриков ................................................8

Магнитное поле в веществе ......................................................................................................................................11 §54. Намагничение магнетика. Намагниченность ............................................................................................11 §55. Вектор напряжённости поля .......................................................................................................................14 §56. Граничные условия для B

r и H

r................................................................................................................16

§57. Преломление линий вектора Br

.................................................................................................................17 §58. Ферромагнетики и их свойства ...................................................................................................................20

Глава VII. Основы теории Максвелла ...........................................................................................................................23 §59. Вихревое электрическое поле...........................................................................................................................23 §60. Ток смещения .....................................................................................................................................................24 §61. Уравнения Максвелла для электромагнитного поля ......................................................................................26

3

Глава VI. Поле в веществе

Электрическое поле в диэлектриках

§50. Полярные и неполярные молекулы

Диэлектриками или изоляторами называются вещества, не способные проводить

электрический ток. Диэлектрики проводят ток в 10 15 – 10 20 раз хуже, чем проводники. Если диэлектрик внесен в ЭП, то и поле и сам диэлектрик претерпевают существенные

изменения. Почему это происходит? Каково строение диэлектриков? Диэлектрик состоит из атомов и молекул. Положительный заряд сосредоточен в ядрах

атомов, а отрицательный в электронных оболочках атомов и молекул. Молекула в целом электрически нейтральна: положительный заряд всех ядер молекул равен суммарному заряду электронов. Если поместим заряд +Q в центр тяжести положительных зарядов, а (-Q) -в центр тяжести отрицательных зарядов, тогда молекулу можно рассматривать как электрический диполь.

Pr

Электрический диполь – система состоящая из двух одинаковых по модулю разноименных

точечных зарядов -q, +q, находящихся на расстоянии L друг от друга lQp

rr⋅= || (50.1)

где lr

– плечо диполя, p – направлен по оси диполя от -q к +q. Различают диэлектрики с полярными и неполярными молекулами.

Диэлектрики, молекулы которых имеют симметричное строение, а центры “тяжести“ (+Q) и (-Q) зарядов в отсутствие внешнего электрического поля совпадают, имеют дипольный момент молекулы p =0. Молекулы таких диэлектриков называют неполярными.

К таким диэлектрикам относят: 2N , 2H , 2O , 2CO , 4CH .

Ко 2-ой группе диэлектриков ( OH 2 , 3NH , 2SO , CO ) относятся вещества, молекулы которых имеют асимметричное строение, центры тяжести зарядов разных знаков сдвинуты относительно друг друга и эти молекулы в отсутствии внешнего эл. поля обладают дипольным моментом. Но в отсутствии внешнего электрического поля вследствие теплового движения дипольные моменты полярных молекул хаотично ориентированы в пространстве и их результирующий момент равен 0.

При помещении диэлектрика с полярными молекулами во внешнее электрическое поле, силы поля стремятся повернуть диполи вдоль поля , что приводит к возникновению отличного от 0 результирующего момента .

Третья группа диэлектриков ( NCl , KCl , KBr ) -вещества, имеющие ионное строение. Ионные кристаллы представляют собой пространственные решетки с правильным чередованием ионов разных знаков. Эти кристаллы можно рассматривать как систему двух вдвинутых одна в другую ионных подрешеток. При внесении ионного кристалла во внешнее электрическое поле, кристаллическая решетка деформируется, возникает дипольный момент.

4

Итак: внесение всех 3 групп диэлектриков во внешнее электрическое поле приводит к возникновению отличного от 0 электрического момента диэлектрика.

Явление ориентации диполей, или появления под воздействием электрического поля ориентированных по полю диполей, называется поляризацией диэлектрика.

Под действием внешнего электрического поля диэлектрик поляризуется, его результирующий дипольный момент становится отличным от 0. Для характеристики степени поляризации диэлектрика возьмем дипольный момент единицы объема. Если поле или диэлектрик неоднороден , то степень поляризации в разных точках диэлектрика будет различна. Выделим заключающий в себе эту точку физически бесконечно малый объем V∆ , найдем сумму ∑= iv pp rr – моментов ,заключенных в этом объеме молекул , и тогда

V

p

VpP i

iV

∆=

∆=

∑ rrr

(50.2)

– векторная величина Pr

, определяемая формулой (50.1) называется поляризованностью диэлектрика. Этот вектор численно равен дипольному моменту единицы объема вещества.

Если поле или диэлектрик однороден, то

∑= ipVP rr)/1( .

Из опыта следует, что для большого класса диэлектриков (исключая сегнетоэлектрики) поляризованность линейно зависит от напряженности поля: (Е не слишком велико, а диэлектрик изотропный)

EPrr

0κε= , (50.2)

где κ (каппа) - диэлектрическая восприимчивость диэлектрика (безразмерная физ. вел.), всегда κ >0. Для воды κ =80, для спирта κ = 25. κ - характеризует свойства самого диэлектрика.

[ ] 23 мКл

ммКлP =

⋅=

r

Рассмотрим, что произойдет, если внесем диэлектрик во внешнее эл. поле.

+σ -σ

Пусть однородное поле создается двумя бесконечными параллельными разноименными

заряженными плоскостями. Под действием поля диэлектрик поляризуется. Заряды, входящие в состав молекул диэлектрика, называются связанными. Связанные

заряды под действием поля могут лишь немного смещаться из своих положений равновесий. Покинуть пределы молекулы, в состав которых они входят связанные заряды не могут. Заряды, находящиеся в пределах диэлектрика, но не входящие в состав его молекул, а так же

заряды, расположенные за пределами диэлектрика, будем называть сторонними. Под действием поля на грани диэлектрика, обращенной к отрицательной заряженной

плоскости - будет избыток положительного заряда с поверх. плотностью 'σ+ , а на другой грани - избыток отрицательного заряда с 'σ− .

'σ+ , 'σ− - поверх плотности связанных зарядов. Тогда поле в диэлектрике является суперпозицией полей связанных и сторонних зарядов.

5

сторсвяз EEErrr

+= ' (50.3)

Поверхностная плотность связанных зарядов 'σ < σ , следовательно не все поле сторЕ компенсируется полем зарядов диэлектрика: часть линий напряженности пройдет сквозь диэлектрик , а другая часть линий обрывается на связанных зарядах.

Поляризации диэлектрика вызывает в нем уменьшение напряженности результирующего поля по сравнению с внешним полем. Пусть поле вне диэлектрика имеет напряженность

сторЕЕ =0 .

Появление связанных зарядов приводит к возникновению дополнительного электрического поля –

0'' ; EEE связсвяз

rrr↑↓ ,

которое направлено против внешнего поля 0Er

(поля, создаваемого свободными зарядами) и ослабляет его. E - результирующее поле внутри диэлектрика:

сторсвяз EEErrr

+= ' (50.4)

'0 EEE −=

но 0

0 εσ

=E 0

''

εσ

=связЕ

где 'σ – поверхностная плотность связанного заряда.

0

'

0 εσ

−= ЕЕ (50.5)

Определим поверхностную плотность связанных зарядов 'σ . Полный дипольный момент пластинки диэлектрика

SdPVPpVpP V

Vrrr

rr==⇒= ,

где S – площадь грани пластины, d – ее толщина. С другой стороны, полный дипольный момент, равен произведению связанного заряда каждой грани на расстояние d между ними, т.е. SdpSQ V

''' , σσ =⇒=r .

Таким образом

SdSdР 'σ=r

,

или

Рr

='σ , (50.6)

т.е. поверхностная плотность связанных зарядов 'σ равна поляризованности Рr

. Подставим

выражение (50.6) в (50.4):

EEEEРEE )1(00

00

00 κ

εκε

ε+=⇒−=−= ,

κ+

=1

0EE (50.7)

– напряженность результирующего поля внутри диэлектрика. εκ =+1 . (50.8)

6

Безразмерная величина ε - диэлектрическая проницательность среды, которая показывает во сколько раз поле в диэлектрике слабее поля в вакууме, и характеризует свойство диэлектрика поляризоваться во внешнем эл. поле.

ε

= 0EE (50.8)

§51. Теорема Гаусса для поля вектора Pr

Поле вектора Pr

обладает удивительным свойством.

Поток вектора Pr

сквозь произвольную замкнутую поверхность S равен взятому с обратным знаком избыточному связанному заряду диэлектрика в объеме, охватываемом поверхностью S:

∫ −= .'внутрqSdPrr

(51.1)

Формулу (51.1) называют теоремой Гаусса для поля Pr

, в интегральной форме записи. Докажем ее.

Рассмотрим произвольную замкнутую поверхность S, которая охватывает часть диэлектрика.

При включении внешнего электрического поля диэлектрик поляризуется, положительные заряды сместятся относительно отрицательных. Найдем заряд, который пройдет через элемент dS замкнутой поверхности S наружу. Обозначим через +l

r и −l

r- векторы смещения

положительного и отрицательного связанных зарядов в результате поляризации. Тогда через элемент поверхности dS наружу поверхности S выйдет положительный заряд 'dq :

αραρ coscos'' dSldSldq −−++ += , а +− = ρρ , lll =+ +− .

Т.е. αρ cos'' ldSdq += , (51.2)

lPrr

+= 'ρ , (51.3)

SdPdqrr

=' . (51.4) Проинтегрировав (51.4) по всей поверхности получим величину заряда, который вышел из

поверхности:

'qSdP

S

=∫rr

(51.5)

А внутри поверхности окажется избыточный связанный заряд 'q− , противоположный по знаку с вышедшим.

В дифференциальной форме записи получим: 'div ρ−=P

r или 'ρ−=⋅∇ P

r. (51.6)

Дивергенция поля вектора Pr

равна взятой с обратным знаком объемной плотности избыточного связанного заряда в той же точке.

§52. Электрическое смещение. Теорема Гаусса для ЭСП в диэлектрике

Итак, напряженность ЭСП в диэлектрике:

7

)/(1EE 0 κ+= (52.1)

Вектор E проходя через границу диэлектриков, скачкообразно изменяется, что создает неудобства при расчете ЭСП. Для упрощения вычисления полей необходимо ввести вспомогательную величину, источниками которой явл. только сторонние заряды: этой величиной является вектор электрического смещения (электрическая индукция)- D . По теореме Гаусса

∫ =S

qSdE0ε

rr,

домножим это выражение на 0ε , получим

..'

0 сторсвяз

S

qqSdE +=∫rr

ε

Источниками поля в диэлектрике служит не только сторонние, но и связанные заряды, тогда:

..'

сторсвяз qqq += , а ∫−=S

связ SdРqrr

.' ,

тогда

( )∫∫∫ +=+=SSS

стор SdPESdPSdEqrrrrrrr

00. εε .

Выражение, стоящее в скобках, обозначают Dr

и называют электрическим смещением (или электрической индукцией): PED

rrr+= 0ε . Но EP

rr0κε= , тогда

EEEED εεκεκεε 0000 )1( =+=+= ( учитывая что εκ =+1 ) или ED 0εε= , но ε

0EEr

r= , тогда в

СИ единицей изменения электрического смещения является [D]= 2мКл1

мВКл

мВ1 =

⋅⋅ .

Электрическое смещение поля точечного заряда в вакууме равно:

00 ED ε= , (52.2)

учтя, что rer

qЕ r⋅= 2

04πε. Тогда

rerqD r

241π

= (52.3)

– вектор электрического смещения поля точечного заряда в вакууме.

Вектором Dr

описывается поле (ЭСП) создаваемое сторонними зарядами. Аналогично, как и поле E

r, поле D

r изображается с помощью линий электрического смещения, направление и

густота которых, определяется точно так же, как и для линий напряженности. Линии вектора Er

могут начинаться и заканчиваться на любых зарядах - сторонних и связанных, а линии вектора Dr

только на сторонних зарядах. Через области поля, где находятся связанные заряды, линии Dr

проходят не прерываясь.

Для произвольной замкнутой поверхности S поток вектора Dr

сквозь эту поверхность равен:

∫ ∫==s S

nD dSDSdDФ ,

где nD - проекция вектора Dr

на нормаль n к площадке dS или

8

∑=

=N

iсторiD qФ

1

.

В СИ [D

Ф ] = 1 Кл.

∫ ∫ ∑=

==S S

N

iсторin qdSDSdD

1. (52.4)

Поток вектора электрического смещения в диэлектрике сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности сторонних электрических зарядов.

Для вакуума

EDPrrr

0и,0 ε== . (52.5)

Формула (52.4) выражает теорему Гаусса для вектора Dr

для ЭСП в диэлектрике. Электрическое смещение равно поверхностной плотности сторонних зарядов. Покажем это. Для вакуума 1=ε , то 000 ED

rrε= , тогда теорема Гаусса примет вид

∫∫ ==S

стор

S

qSdESdD

0

.0000 ε

εε

rrrr, .0 сторqSD =⋅

r, тогда .

.0 стор

стор

Sq

D σ==r

.

ρ=∇Dr

(52.6)

–дивергенция поля вектора Drравна объемной плотности сторонних зарядов в этой же точке.

Это дифференциальная форма записи теоремы Гаусса для поля вектора Dr

.

В тех точках, где ρ>0 – истоки поля Dr

, а где ρ<0 – стоки поля Dr

.

Выразим 0EиE через σ и 'σ :

;`;0

'

00 ε

σεσ

== EE , ε

0EE = а '0 EEE −= , то

ε0'

0EEE =−

Получаем

εεσ

εεσ

σεε

σεσ

εσ )1()11('

00

'

0

−=−=⇒=− . σ

εε

σ1' −

=

Мы видим, что поверхностная плотность связанных зарядов в ε−ε )1( раз меньше

поверхностной плотности сторонних зарядов.

§53. Граничные условия на границе раздела двух изотропных диэлектриков

9

Рассмотрим поведение векторов DErr

и на границе раздела двух однородных изотропных диэлектриков, диэлектрическая проницаемость которых 1ε и 2ε , при отсутствии на границе свободных зарядов. Построим внутри границы раздела диэлектриков 1 и 2 небольшой замкнутый прямоугольный контур АВСДА длины l, ориентировав его как показано на рис. n образует правовинтовую систему с направлением обхода по контуру. Условия на границе получим с помощью теоремы Гаусса и теоремы о циркуляции:

0=∫АВСДА

ldErr

, (53.1)

∫ =S

qSdD внутрстор

..

rr (53.2)

Условие для вектора Er

: Пусть напряженность поля вблизи границы раздела в диэлектрике 1 равна 1E

r, а в

диэлектрике 2 равна 2Er

. Замкнутый контур возьмем в виде небольшого вытянутого прямоугольника, ориентируем его как показано. Сторона контура должна иметь такую длину, чтобы в ее пределах поле было однородным, т.е. можно было бы E

r считать одинаковым.

Согласно теореме о циркуляции получаем: 012 =+ lElE ττ - знаки интегралов по АВ и СД разные, т.к. пути интегрирования противоположны, а интегралы по участкам ВС и ДА ничтожно малы. Поэтому: 012 =− lElE ττ или

ττ 21 EE = . (53.3)

Здесь τ1E - проекция вектора 'Er

на орт τr

, направленный вдоль линии пересечения

плоскости раздела диэлектриков с плоскостью, в которой лежат векторы 1Er

и 2Er

.

Тангенциальная составляющая вектора Er

оказывается одинаковой по обе стороны границы раздела (т.е. не испытывает скачка при переходе через границу раздела).

Заменив проекции вектора Er

проекциями вектора Dr

, деленными на 0εε получим: EDrr

0εε=

Т.к. 21 ε≠ε , то

==

ττ

ττ

εεεε

2022

1011

EDED

, получаем

2

1

2

1

εε

τ

τ =DD . (53.4)

Тангенциальная составляющая Drпри переходе границы раздела диэлектриков испытывает

скачок. Условие для вектора D

r.

10

Пусть на границе раздела двух диэлектриков имеются сторонние заряды. Замкнутую поверхность выберем в виде цилиндра очень малой высоты h, расположим его на границе раздела двух диэлектриков так, чтобы одно основание было в одном диэлектрике, а второе – во втором. Сечение цилиндра возьмем таким, чтобы в пределах каждого его торца вектор D

rбыл

одинаков. Тогда по теореме Гаусса для вектора Dr

можно записать, учитывая что: Поток через боковую поверхность можно представить в виде .бокn SD ⟩⟨ , где ⟩⟨ nD - значение nD , усредненное по всей боковой поверхности, .бокS - величина этой поверхности. Тогда

SSDSDSDФ бокnnnD ∆=⟩⟨+∆+∆= σ.21r . (53.5)

Если устремить высоту цилиндра h к нулю, то .бокS . так же будет стремиться к нулю, то SSDSDФ nnD ∆=∆+∆= σ21

r . Полученное выражение разделим на S∆ , то σ=+ nn DD 21 , где nD1

- проекция вектора Dr

в первом диэлектрике на нормаль 1nr , nD2 - проекция вектора Dr

во

втором диэлектрике на 2nr . σ=+ nn DD 12 . Возьмем обе проекции вектора D на общую нормаль n , получим: σ=− nn DD 12 (53.6)

Из соотношения (53.6) видно, что нормальная составляющая вектора Dr

вообще говоря претерпевает скачок при переходе границы раздела.

Но если σ =0, то nn DD 21 = . (53.7)

Составляющая (нормальная) вектора Drне испытывает скачка, и оказывается одинаковой по

обе стороны границы раздела диэлектриков, если сторонние заряды на границе раздела отсутствуют.

Заменив, согласно формуле EDrr

0εε= , проекции Dr

, соответствующими проекциями вектора

Er

, умноженными на 0εε , получим соотношение: nn EE 220110 εεεε = из которого следует, что

1

2

2

1

εε

=n

n

EE . (53.8)

Итак:

Если на границе раздела двух однородных изотропных диэлектриков сторонних зарядов

нет, то при переходе этой границы составляющие Er

и Dr

n изменяются непрерывно, без скачка. А составляющие nE

r и τD

r испытывают скачок.

11

Полученные нами условия для составляющих Er

и Dr

означают, что линии этих векторов испытывают на границе излом, преломляются. На рис. показано поведение линий вектора Е при пересечении граница раздела двух диэлектриков. Обозначим углы между линиями Е и нормалью к поверхности раздела соответственно α1 и α2. Найдем соотношение между углами α1 и α2. Для этого разложим векторы Е1 и Е2 у границы раздела на тангенциальные и нормальные составляющие. Из рис. следует, что отношение тангенсов этих углов, если q=0, равно

nn E

Etg

EE

tg2

2

1

121 ; ττ αα == , (53.9)

или

1

2

2

1

1

2

1

2

εε

εε

αα

==n

n

EE

tgtg при (ε2 > ε1 ). (53.10)

Из (53.10) следует, что входя в диэлектрик с большей диэлектрической проницаемостью ε2 > ε1 линииE

r иD

r удаляются от нормали.

Линии Erна границе раздела испытывают разрыв и преломление (т.к. есть связанные

заряды), а линии Dr

испытывают только преломление.

Изобразим графически поля Er

и Dr

, если 21

2 =EE , если на границе qстор.=0.

Магнитное поле в веществе

§54. Намагничение магнетика. Намагниченность

Если по проводнику течет ток, то вокруг проводника создаётся МП. Мы пока рассматривали

провода, по которым текли токи, находящиеся в вакууме. Если провода, несущие ток, находятся в некоторой среде, то м.п. изменяется. Это объясняется тем, что под действием м.п. всякое вещество способно приобретать магнитный момент, или намагничиваться (вещество становится магнетиком).

Вещества, намагничивающиеся во внешнем м.п. против направления поля называются диамагнетиками.

Вещества, слабо намагничивающиеся во внешнем м.п. по направлению поля называются парамагнетиками

Намагниченное в-во создаёт м.п. – 'Br

, это м.п. накладывается на м.п., обусловленное токами – 0B

r.

Тогда результирующее поле:

'0 BBB

rrr+= . (54.1)

Истинное (микроскопическое) поле в магнетике сильно изменяется в пределах межмолекулярных расстояний. 'B

r – усреднённое макроскопическое поле.

Для объяснения намагничения тел Ампер предположил, что в молекулах вещества циркулируют круговые микроскопические токи, обусловленные движением электронов в атомах и молекулах. Каждый такой ток обладает магнитным моментом и создаёт в окружающем пространстве м.п.

Если внешнее поле отсутствует, то молекулярные токи ориентированы беспорядочным образом, и обусловленное ими результирующее поле равно 0.

12

Магнитные моменты отдельных молекул в отсутствии внешнего поля ориентированы

хаотично. Суммарный магнитный момент тела равен 0.

nISPmrr

= , (54.2)

[ ] 2мAPm ⋅=r

, где S-площадь орбиты.

Под действием поля магнитные моменты ( nISPmrr

= ) молекул приобретают преимущественную ориентацию в одном направлении, магнетик намагничивается , его суммарный магнитный момент становится отличным от 0. Поля отдельных молекулярных токов не компенсируют друг друга и возникает поле 'B

r.

Намагничение магнетика естественно характеризовать магнитным моментом единицы объёма.

Намагниченностью называют векторную величину, равную магнитному моменту единицы объёма магнетика:

∑∆∆

=V

mPV

Jrr 1 , (54.3)

где V∆ - физически бесконечно малый объём, взятый в окрестности рассматриваемой точки;

mPr

- магнитный момент отдельной молекулы.

Суммирование производится по всем молекулам, заключённым в объёме V∆ (вспомним

∑∆∆

=V

ePV

Prr 1 где, P

r- поляризованность диэлектрика , eP

r - дипольный элемент ∑= iie rqP rr

).

Намагниченность можно представить так:

><= mPnJrr

(54.4)

где >< mPr

- средний магнитный момент одной молекулы , n - концентрация молекул. Тогда

>↑↑< mPJrr

.

В СИ [ ]мА

ммАJ =

⋅= 3

2r.

В дальнейшем для упрощения будем считать, что все молекулы в пределах объёма V∆ имеют одинаковый магнитный момент >< mP

r. Тогда, если 0=J

r, то 0>=< mP

r.

13

Если во всех точках вещества вектор Jrодинаков, то говорят, что вещество намагничено

однородно. Токи намагничивания I' . Намагничивание вещества связано с преимущественной

ориентацией магнитных моментов отдельных молекул в одном направлении. Элементарные круговые токи, связанные с каждой молекулой, называются молекулярными. Молекулярные токи оказываются ориентированными, т.е. возникают токи намагничивания - 'I .

Токи, текущие по проводам, вследствие движения в веществе носителей тока называют токами проводимости - I .

Для электрона движущегося по круговой орбите по часовой стрелке; ток направлен против часовой стрелки и mP

v по правилу правого винта направлен вертикально вверх.

Как же возникают токи намагничивания?

Пусть есть цилиндр из однородного магнетика, Jr

- однородна, направлена вдоль оси. Молекулярные токи соседних молекул в местах соприкосновении с молекулярными точками других молекул текут в противоположные стороны и макроскопически компенсируют друг друга.

Нескомпенсированными остаются только те токи, которые выходят на боковую поверхность цилиндра, эти токи и образуют макроскопический, поверхностный ток I′, который циркулирует по боковой поверхности магнетика.

Ток I′создаёт такое же м.п., как все молекулярные токи вместе взятые.

SdjIrr

∫= '' , (54.5)

тогда 'I - подобен току, текущему в соленоиде с N=1 и создаёт внутри него поле, магнитную

индукцию 'Br

которого можно вычислить: lIB

'0' µ

= , где 'I - сила молекулярного тока, l - длина

рассматриваемого цилиндра, µ принята равной единице.

Циркуляция вектора Jr

Рассмотрим алгебраическую сумму токов , охватываемых контуром Г . Эта сумма равна

∫S

мол Sdjrr

. , где S -произвольная поверхность натянутая на контур Г. В алгебраическую сумму

молекулярных токов входят только те молекулярные токи, которые оказываются «нанизанными» на контур. Токи не нанизанные на контур либо не пересекают натянутую на контур поверхность совсем, либо пересекают эту поверхность дважды – один раз в одном направлении, второй раз в другом. В результате их вклад в алгебраическую сумму токов, охватываемых контуром, оказывается равным нулю.

∫ ∫=Г s

мол SdjldJrrrr

. (54.6)

- теорема о циркуляции вектора Jr

(намагниченности).

14

Циркуляция вектора намагниченности Jr

по произвольному замкнутому контуру равна алгебраической сумме токов намагничивания, охватываемых контуром Г.

Дифференциальная форма записи теоремы о циркуляции вектора Jr

.

⇒=∫ ∫ SdjldJrrrr

' 'jjrr

=×∇ (54.7)

Дифференциальная форма записи теоремы о циркуляции - формула (54.7) – ротор вектора Jr

намагниченности равен плотности тока намагничивания в той же точке пространства вещества.

§55. Вектор напряжённости поля

В магнетиках, помещенных во внешнее магнитное поле, возникают токи намагничивания,

поэтому циркуляция вектора Br

определятся не только токами проводимости I но и токами намагничивания I′.

∫ +=Г

IIldB )( '0µ

rr, (55.1)

где I - ток проводимости, 'I - ток намагничивания. Эта формула выражает закон полного тока для м.п. в веществе (теорема о циркуляции вектора B

r и является обобщением закона полного

тока. Определение токов намагничивания сложная задача, и формула (56.1) на практике

малопригодна. Но

∫ =Г

IldJ 'rr

, (55.2)

считая, что циркуляция векторов Jr

и Brберется по одному и тому же контуру – Г, получим:

'00 IIldB

Г

µµ +=∫rr

разделим полученное выражение на 0µ и внесем ее под знак интеграла,

получим: ∫ +=Г

IIldB '

0µ

rr

, тогда

∫ ∫−= ldJldBIrr

rr

0µ, (55.3)

∫ −= ldJBIrr

v

)(0µ

, (55.4)

введем дополнительный вектор Hr

: Величину

HJB rrr

=− )(0µ

(55.5)

- называют напряженностью м.п. в СИ [ ]мAH =

r.

Для вектора Hr

∫ =Г

провIldHrr

(55.6)

15

– эта формула выражает теорему о циркуляции вектора Hr

. Теорема о циркуляции вектора H

r.

Циркуляция вектора Hr

по произвольному замкнутому контуру Г равна алгебраической сумме токов проводимости, охватываемых этим контуром.

Ток считаем положительным, если его направление связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта. Вектор H

r - вспомогательный вектор.

Или

провjHrr

=∇ (55.7)

- дифференциальная форма записи, теоремы о циркуляции или закона полного тока.

Ротор вектора Hrравен плотности проводимости в той же точке пространства.

Связь между векторами Jr

и Hr

.

1) Для слабых магннитных полей в магнетиках зависимость между Jr

и Hr

имеет линейный характер: HJ

rrχ= , (55.8)

где χ (хи) - магнитная восприимчивость. Греческая буква хи - χ - прописная буква , X - заглавная хи

Магнитная восприимчивость χ (хи) безразмерная величина, т.к. [ Hr

]=[ Jr

]=1А м²/м³= 1А/ м

Магнитная восприимчивость м.б. как положительной, так и отрицательной. Магнетики для которых χ >0 называют парамагнетиками. µ >1

χ >0 называют диамагнетиками. µ<1

У парамагнетиков Jr

↑↑ Hr

, у диамагнетиков Jr

↑↓ Hr

.

2) Для ферромагнетиков связь между Jr

и Hr

- имеет нелинейный характер и для ферромагнетиков наблюдается явление гистерезиса, или между векторами B

r и H

r существует

связь.

HJB rrr

=−0µ

, (55.9)

но JHrr

=χ , тогда

HHHBrrrr

)1()( 00 χµχµ +=+= (55.10)

Величина равная χµ += 1 , (55.11)

называется магнитной проницаемостью среды. Для вакуума µ = 1, то

HHBrrr

000 µµµ == , (55.12)

но BBBHrrrr

== 000 , µµ ; 00 BHBrrr

µµµ == , т.е.

0B

B rr

=µ . (55.13)

16

Безразмерная величина показывающая во сколько раз индукция м.п. в среде больше индукции м.п. в вакууме называется магнитной проницаемостью среды (в-ва).

Поле вектора Hr

вообще говоря зависит от прI и 'I (как и Br

), но в некоторых случаях поле

Hr

определяется только токами проводимости. Например: Система состоит из длинного прямого провода с током и произвольного куска

парамагнетика.

Тогда )( '0 IIldB +=∫ µ

rr.

Но 0µµ

BHr

r= , то и поле H

r обусловлено токами I и 'I .

Если удалим кусок парамагнетика, то изменится ∫ ldBrr

, т.к. поверхность, натянутую на

контур не будут пронизывать токи I`. Но прIldH =∫rr

остаётся неизменной.

§56. Граничные условия для Br

и Hr

Установим связь для векторов B

r и H

r на границе раздела двух однородных магнетиков,

магнитные проницаемости которых, соответственно, равны 1µ и 2µ , при отсутствии на границе тока проводимости.

Пусть имеются 2 однородных магнетика. Каковы будут условия для векторов Br

и Hrна

границе раздела 2х однородных магнетиков? Получим эти условия с помощью теоремы Гаусса и теоремы о циркуляции.

−=

−=

∫

∫

циркуляцииотеоремаIldH

ГауссатеоремаSdB

пров

0

Для Br

. Построим вблизи границы раздела магнетиков 1 и 2 прямой цилиндр ничтожно малой

высоты, одно основание которого находится в первом магнетике, другое во втором. Если на границе тока проводимости нет. Основания S∆ настолько малы, что в пределах каждого из них вектор B

r одинаков.

Тогда, согласно т. Гауса: 012 =∆+∆ SBSB nn . Нормали nr и 'nr к основаниям цилиндра направлены противоположно, поэтому 012 =∆−∆ SBSB nn , nn BB 12 = . Обе проекции B

r взяты на

общую нормаль n . Заменив, согласно HBrr

0µµ= , проекции вектора Br

проекциями вектора Hr

умноженными на 0µµ , получим nn HH 21 2010 µµµµ = из которого следует, что 1

2

2

1µµ

=n

nHH

.

17

Нормальная составляющая B

r одинакова по обе стороны границы раздела. Эта

величина скачка не испытывает. Нормальная составляющая вектора Hrиспытывает

скачок на границе раздела Для H

r.

Вблизи границы раздела двух магнетиков 1 и 2 построим небольшой замкнутый контур. Контур имеет вид прямоугольника АВСДА. Контур мал, l - его длина, высота очень мала. nr - нормаль к контуру. nr образует правовинтовую систему с напр. обхода

по контуру. Запишем теорему о циркуляции для всего контура: ∫ =АВСДА

ldH 0rr

- токов

проводимости на границе раздела нет. Данный интеграл можно записать, как сумму четырех интегралов по участкам АВ, ВС, СД, ДА. Т.к. высота контура очень мала, то можно пренебречь вкладом в циркуляцию на боковых сторонах контура ВС и ДА.

1µ

2µ

Знаки интегралов по АВ и СД разные, т.к. пути интегрирования противоположны. Поэтому,

можно записать, что 012 =− lHlH ττ , получим ττ 21 HH = . Заменив, согласно HBrr

0µµ= ,

проекции вектора Hr

проекциями вектора Br

, деленными на 0µµ , получим:

2

1

2

1

20

2

10

1

µµ

µµµµ τ

τττ =⇒=BBBB . Т.е. Тангенциальная составляющая вектора H

r ( τH ) изменяется

непрерывно, а тангенциальная составляющая вектора Br

( τB ) претерпевает скачок.

§57. Преломление линий вектора Br

Из полученных условий для B

r и H

r , можно найти закон преломления линий B

r, (а значит и

линий Hr

). На границе раздела вектор Brведет себя аналогично D

r, а H

r→ E

r. Линии вектора B

r

на границе раздела двух магнетиков испытывают преломление. На рис. показано поведение линий вектора B

r при пересечении границы раздела двух магнетиков при 2µ > 1µ . Обозначим

углы между линиями Br

и нормалью к поверхности раздела соответственно 1α и 2α . Найдем

18

связь между углами 1α и 2α . Для этого, разложим векторы 1Brи 2B

r у границы раздела на

тангенциальные и нормальные составляющие. Из рис. следует, отношение тангенсов этих

углов: n

n

BBBB

tgtg

22

11

2

1

//

τ

τ

αα

= . Пусть на границе раздела тока проводимости нет. Тогда учитывая, что

nn BB 21 = получаем 2

1

2

1

2

1

2

1

µµ

αα

µµ

τ

τ =⇒=tgtg

BB .

Из этой формулы следует, что входя в магнетик с большей магнитной проницаемостью,

линии Br

и Hr

удаляются от нормали. При отсутствии токов проводимости: если 2µ > 1µ , то при переходе границы nB и τH изменяются непрерывно без скачка, а nH и τB - терпят разрыв, линии B

r не терпят разрыва, линии же H

rтерпят разрыв из-за поверхностных токов

намагничивания. Покажем на рис. поведение линий векторов Br

и Hr

.

На преломлении магнитных линий основана магнитная защита При внесении замкнутой

оболочки (железной) во внешнее магнитное поле линии этого поля будут концентрироваться в самой оболочке. Внутри этой оболочки (в полости) магнитное поле оказывается сильно ослабленным, т.е. железная оболочка обладает экранирующими свойствами, которое используется для защиты чувствительных приборов от внешних магнитных полей.

Ранее нами была получена формула энергии магнитного поля. Энергию магнитного поля можно представить как функцию величин, характеризующих это поле в окружающем пространстве. Для этого рассмотрим частный случай однородное магнитное поле внутри длинного соленоида. Индуктивность соленоида VnL 2

0µµ= , поле внутри соленоида

NBlI

lNIB

0

0

µµµµ

=⇒= . Подставим значения L и I в выражение для энергии м.п. 2

2LIW = , то

20

222

220

2

2220

22 NlVBn

NlVBnW

µµµµµµ

⇒= , т.к. nlN

= , то 222 nlN = . Получим для энергии выражение

0

2

20

22

22 µµµµVB

NNVBW == . Т.к. HB 0µµ= , то VBHW

2= . Магнитное поле соленоида однородно и

сосредоточено внутри него, поэтому энергия заключена в объеме соленоида и распределена в нем с постоянной объемной плотностью:

222

20

0

2 BHHBVW

====µµ

µµω . (57.1)

19

Полученные нами выражения для плотности энергии м.п. отличаются от выражений для плотности энергии эл.п. лишь тем, что электрические величины в них заменены соответствующими магнитными. Полученное выражение (57.1) относится только к пара- и диамагнетикам.

Зная плотность энергии поля в каждой точке, можно найти энергию поля, заключенную в любом объеме V . Для этого нужно вычислить интеграл

∫∫ ==VV

dVHdVW2

20µµ

ω . (57.2)

Прим е р : Поле прямого тока при наличии магнетика. Пусть магнетик заполняет длинный цилиндр радиусом R , вдоль которого течет ток I .

Проницаемость магнетика µ µ>1. Найти зависимость магнитной индукции )]r(fB[ = как функцию расстояния r до оси цилиндра. Ток I течет ⊥ плоскости листа от нас ⊗.

Решение:

Т.к. токи намагничивания не известны, то )( '

0 нампр IIldB +=∫ µrr

воспользоваться не можем.

Но циркуляция вектора Hr

определяется только токами проводимости:

IldHилиIldH LпровL == ∫∫rrrr

;

H =a2

Iπ

Энергию МП теперь можно выразить еще так:

222

20

0

2 vHvBHvBW µµµµ

=== , а 00

2

22 μμBH;BH

μμB

vWw ====

20

§58. Ферромагнетики и их свойства

Твердые вещества, обладающие спонтанной намагниченностью , т.е. они намагничены даже

в отсутствии внешнего поля, называются ферромагнетиками.

К ферромагнетикам относятся: Fe , Co , Gd , Ni , и их сплавы и соединения. Ферромагнетики, помимо способности сильно намагничиваться, обладают еще и др.

свойствами, существенно отличающими их от диа- и парамагнетиков. Если для слабомагнитных веществ зависимость J

rот H

r линейна

HJrr

χ= , (58.1) то для ферромагнетиков эта зависимость, впервые изучена в 1878 г. методом балистического гальванометра для железа русским физиком Столетовым и является довольно сложной

)(HfJrr

= . Данная кривая называется основной кривой намагничения (нулевой, т.к. магнитный момент ферромагнетика первоначально был равен нулю).

По мере возрастания напряженности поля H намагниченность J сначала растет быстро, затем медленнее, наконец, достигается так называемое магнитное насыщение насJ . Уже не зависящее от напряженности поля.

Подобный характер зависимости J от H можно объяснить тем, что по мере увеличения

намагничивающего поля увеличивается степень ориентации молекулярных магнитных моментов по полю, однако, этот процесс начнет замедляться, когда останется все меньше и меньше неориентированных моментов, и, наконец, когда все моменты будут ориентированы по полю, дальнейшее увеличение J прекращается и наступает магнитное насыщение.

Магнитная индукция )(0 JHB += µ , (58.2)

в слабых полях растет быстро с увеличением Hr

, в следствии увеличения J , а в сильных полях, поскольку второе слагаемое постоянно )( насJJ = , после достижения состояния насыщения, B

r

продолжает расти с увеличением Hr

, но по линейному закону.

21

1

µ

Н1 Для ферромагнетиков из-за нелинейной зависимости )(HfB = нельзя ввести магнитную

постоянную проницаемость µ как определенную постоянную величину, характеризующую магнитные свойства каждого данного ферромагнетика. Это понятие применяют только к основной кривой намагничения ( )Hf=µ .

Вначале µ растет с увеличением Hr

, затем, достигая max , начинает уменьшаться, стремясь

для сильных полей к единице. Это следует из: HB 0µµ= , то H

B

0µµ = , т.к. )(0 JHB += µ ,

имеем HJ

+= 1µ , поэтому при constнасJJ == с ростом Hr

отношение 1,0 →→ µаHJ .

Для ферромагнетиков характерно явление магнитного гистерезиса, зависимость )(HfB = или )(HfJ = оказывается неоднозначной, а определяется предшествующей историей намагничивания ферромагнетика. Если намагнитить ферромагнетик до насыщения (точка 1), а затем начать уменьшать напряженность Н намагничивающего поля, то уменьшение J описывается кривой 1-2, лежащей выше кривой 0-1. При H

r=0, J отличается от ноля, т.е. в

ферромагнетике наблюдается остаточное намагничение остJ .

С наличием остаточного намагничения связано существование постоянных магнитов. Постоянные магниты - тела, которые без затраты энергии на поддержании

макроскопических токов обладают магнитным моментом и создают в окружающем их пространстве магнитное поле.

Намагничение обращается в ноль под действием поля cH , имеющего направление, противоположное полю, вызвавшему намагничение. Напряженность cH называется коэрцетивной силой. Чем больше коэрцетивная сила материала, тем лучше постоянный магнит

22

сохраняет свои свойства. При дальнейшем увеличении противоположного поля ферромагнетик перемагничивается (кривая 3-4) и при насHH −= . Достигается насыщение (точка 4). Затем магнетик можно снова размагнитить (кривая 4-5-6) и вновь перемагнитить до насыщения (кривая 6-1). Т.о., при действии на ферромагнетик переменным магнитным полем намагниченность J изменяется в соответствии с кривой 1-2-3-4-5-6-1, которая называется петлей гистерезиса (от греч. «запаздывание»). Гистерезис приводит к тому, что намагничение ферромагнетика не является однозначной функцией H , т.е. одному и тому же значению H соответствует несколько значений J .

Удобный способ размагничивания ферромагнетика заключается в следующем: намагниченный образец поместим в катушку, по которой пропускают переменный ток, и

амплитуда переменного тока постепенно уменьшается до 0. При этом ферромагнетик подвергаясь перемагничиваниям, (в которых петли гистерезиса постепенно уменьшаются, стягиваясь к т.О), где I = 0.

При перемагничивании ферромагнетик нагревается. Работа перемагничивания численно равна площади петли гистерезиса.

Различные ферромагнетики дают различные гистерезисные петли. Ферромагнетики с малой cH (узкая петля гистерезиса) называются мягкими. Они

используются для изготовления сердечников трансформаторов. Ферромагнетики с большой cH (с широкой петлей гистерезиса) называются жесткими, их применяют для изготовления постоянных магнитов.

Ферромагнетики обладают еще одной существенной особенностью: для каждого ферромагнетика имеется определенная температура, называемая точкой Кюри, при которой он теряет свои магнитные свойства. При нагревании образца выше температуры Кюри ферромагнетик превращается в обычный парамагнетик.

Основы теории ферромагнетизма были созданы Я.И. Френкелем и В. Гейзенбергом в 1928 г. Из опытов следует, что при определённых условиях в кристаллах могут возникать силы, которые заставляют магнитные моменты электронов выстраиваться параллельно друг другу. Возникают области самопроизвольного намагничивания, их называют доменами. В пределах каждого домена ферромагнетик спонтанно намагничен до насыщения и обладает определённым магнитным моментом мP

r. Для разных доменов направления мP

r различны.

На разных стадиях намагничивания действие поля на домены разное. При слабых полях

наблюдается смещение границ доменов. Увеличиваются те домены, момент которых составляют с H

r меньший угол, за счет доменов, у которых угол между H

r и мP

rбольше.

У 1 и 3 доменов угол ϕ меньше, они увеличиваются за счет доменов 2 и 4 (размеры доменов 1-10 мкм.). Этот процесс идет до тех пор, пока домены с меньшим ϕ не поглотят домены с большим ϕ целиком.

Затем магнитные моменты доменов поворачиваются в направлении поля. При этом повороте моменты электронов в пределах домена поворачиваются одновременно, без нарушении их строгой параллельности друг к другу. Эти процессы необратимы и служат причиной гистерезиса (это в сильных МП.).

23

Глава VII. Основы теории Максвелла

§59. Вихревое электрическое поле

Из закона Фарадея dtdФ

i−=ε , следует, что любое изменение сцепленного с контуром

потока приводит к возникновению ЭДС индукции, и появлению индукционного тока. Рассмотрим неподвижный контур, находящийся в переменном магнитном поле. ЭДС индукции - iε возникает тогда, когда на носители тока действуют сторонние силы. Т.к.

контур неподвижен, то эти сторонние силы не связаны ни с тепловыми, ни с химическими процессами в контуре, и это не силы Лоренца, так как на неподвижные заряды силы Лоренца не действуют.

Максвелл высказал гипотезу, что всякое переменное МП возбуждает в окружающем пространстве ЭП, которое является причиной возникновения индукционного тока в контуре.

Контур, в котором появляется ЭДС, служит индикатором, обнаруживающим это поле.

Обозначим через BEr

- напряженность ЭП, порожденного переменным МП, а qEr

- напряженность электростатического поля, созданного неподвижными зарядами.

Тогда циркуляция сторEr

равна:

ildEстор ε∫ =rr

. , (59.1)

то

∫ ∫Φ

−==L L

BlB dtddlEldE

rr. (59.2)

Где BlE - проекция вектора BEr

на направление ldr

.

Но

∫=Φ SdBB

rr, (59.3)

подставив это выражение в (53.1), получим:

∫ ∫−=L S

B SdBdtdldE

rrrr. (59.4)

Так как поверхность и контур неподвижный, то операции дифференцирования и интегрирования можно поменять местами:

∫ ∫ ⋅∂∂

−=L

B SdtBldEr

rr, (59.5)

где символ частной производной подчеркивает тот факт, что ∫ SdBrr

является функцией только от времени.

Но для электростатического поля:

∫ ∫ ==L L

qlq dlEldE 0r

, (59.6)

24

а для электрического поля, порожденного переменным МП циркуляция BEr

отлична от 0. Следовательно, электрическое поле BE

r, возбуждаемое переменным МП, является, как и само

магнитное поле, вихревым.

В общем случае ЭП может слагаться из поля qEr

, создаваемое неподвижными зарядами и

поля BEr

, обусловленного, изменяющимся во времени МП, т.е.

Bq EEErrr

+= , (59.6)

таким образом:

∫∫∫ +=L

BL

qL

ldEldEldErrrrrr

. (59.7)

Т.к. первое слагаемое равно нулю, то ∫∫ ∂∂

−=SL

SdtBldE

rr

rr или

tBE

∂∂

−=r

rrot . (59.8)

§60. Ток смещения Если всякое переменное магнитное поле возбуждает в окружающем пространстве вихревое

электрическое поле, то (по Максвеллу), должно существовать и обратное явление: всякое изменение электрического поля должно вызывать появление в окружающем пространстве вихревого магнитного поля.

Для установления количественных соотношений между изменяющимся ЭП и порождаемым

им МП Максвелл ввел в рассмотрение ток смещения. Рассмотрим цепь переменного тока, содержащего конденсатор. Между обкладками

заряжающегося и разряжающегося конденсатора существует переменное ЭП. По гипотезе Максвелла через конденсатор “протекают“ токи смещения на тех участках, где отсутствуют проводники.

Переменное ЭП в конденсаторе ( по Максвеллу) в каждый момент времени создает такое МП, как если бы между обкладками существовал бы ток смещения – смI , равный току в подводящих проводах. смII = . (60.1)

По определению

∫∫ ⋅∂∂

===Ss

dSt

dSdtd

dtdqI δ

δ , (60.2)

где σ- поверхностная плотность заряда на обкладках конденсатора. Но мы показывали, что D=δ , где D- электрическое смещение в конденсаторе, тогда:

25

∫ ∂∂

= dStDI . (60.3)

С учетом того, что SdtD rr

↑↑∂∂ взаимно параллельны, для общего случая:

∫ ⋅∂∂

=s

SdtDI . (60.4)

По определению

∫=s

см SdjI , (60.5)

тогда (60.2) и (60.5) ⇒

tDj см ∂

∂= . (60.6)

Следовательно, направление j и jсм., совпадают с направлением вектора tD

∂∂

r

.

Выражение (60.6) Максвелл называл плотностью тока смещения. Подчеркнем, что из всех свойств, присущих току проводимости, Максвелл приписал току

смещения лишь одно – способность создавать в окружающем пространстве МП. В диэлектриках ток смещения состоит из двух слагаемых:

PED += 0ε , (60.7)

где E - напряженность электростатического поля, а P - поляризованность, то плотность тока смещения будет равна:

Подставим (60.7) в (60.6), получим:

tP

tEj cм ∂

∂+

∂∂

= 0ε , (60.8)

где

..0 всмjtE

=∂∂

ε (60.9)

плотность тока смещения в вакууме,

.полjtР rr

=∂∂ (60.10)

плотность тока поляризации, т.е. тока, обусловленного упорядоченным движением электрических зарядов в диэлектрике (смещение зарядов).

Следовательно .... полвсмсм jjj

rrr+= . (60.11)

Название «ток смещения» является условным, по сути это изменяющееся со временем электрическое поле.

Ток смещения существует не только в вакууме или диэлектрике, но и внутри проводников, по которым проходит переменный ток. Но в проводниках он пренебрежимо мал по сравнению током проводимости.

Максвелл ввел понятие полного тока, равного сумме тока проводимости и тока смещения: .. смполн III += . (60.12)

26

Следовательно плотность полного тока равна: ..... полвсмсмполн jjjjjj

rrrrrr++=+= . (60.13)

Максвелл пришел к тому, что полный ток в цепях переменного тока всегда замкнут, т.е. на концах проводника обрывается лишь ток проводимости, а в диэлектрике (вакууме) между концами проводника существует ток смещения, замыкающий ток проводимости.

Максвелл обобщил теорему о циркуляции вектора Н, введя в ее правую часть полный ток

( ) ∫∫∫

∂∂

+=+==SS

смS

полпол SdtDjSdjjSdjI

rrrr. . (60.14)

Запишем обобщенную теорему о циркуляции вектора Н:

∫∫ ∂∂

+=SL

SdtDjldH )( , (60.15)

где S – поверхность, натянутая на замкнутый контур L. Выражение (60.15) справедливо всегда, что подтверждается теорией и опытом.

§61. Уравнения Максвелла для электромагнитного поля Введение Максвеллом понятия тока смещения, привело к завершению созданной им

макроскопической теории электромагнитного поля, которая позволяет с единой точки зрения объяснить не только электрические и магнитные явления, но и предсказать новые, существования которых было впоследствии подтверждено.

В основе теории Максвелла лежат 4 уравнения: 1. Электрическое поле может быть как потенциальным, так и вихревым, поэтому

напряженность результирующего поля равна:

Bq ЕЕЕ += так как 0=∫L

q ldE . (61.1)

А циркуляция ВЕ равна:

∫ ∫ ∂∂

−=L S

B SdtBldE

r, (61.2)

то

∫ ∫ ∂∂

−=L S

SdtBldE

r (61.3)

- это уравнение показывает, что источниками электрического поля могут быть не только электрические заряды, но и изменяющиеся во времени магнитные поля.

2. Обобщенная теорема о циркуляции вектора Н:

∫∫ ∂∂

+=SL

SdtDjldH )( (61.4)

- это уравнение показывает, что магнитные поля могут возбуждаться либо движущимися зарядами ( электрическими токами ), либо переменными электрическими полями.

3. Теорема Гаусса для поля D :

∫ =S

сторqSdD . (61.5)

27

Если заряд распределен непрерывно внутри замкнутой поверхности с объемной плотностью распределения заряда ρ , то:

∫=V

ст dvq ρ . (61.6)

Получаем

∫ ∫=S V

dVSdD ρ . (61.7)

4. Теорема Гаусса для поля В:

0=∫s

SdB . (61.8)

Итак, полная система уравнений Максвелла в интегральной форме:

1) ∫∫ ∂∂

−=SL

SdtBldE ,

2) ∫∫ ∂∂

+=SL

SdtDjldH )( ,

3) ∫∫ =vS

dvSdD ρ ,

4) 0SdBS

=∫ .

Величины, входящие в уравнения Максвелла, не являются независимыми и между ними существует связь.

Для изотропных, несегнетоэлектрических и неферромагнитных сред запишем формулы связи:

а) ED εε 0= ,

б) HB 0µµ= ,

в) EEjρ

δ1

== ,

где 0ε - электрическая постоянная, 0µ - магнитная постоянная,

ε - диэлектрическая проницаемость среды, µ - магнитная проницаемость среды,

ρ - удельное электрическое сопротивление, ρ

=δ1 - удельная электрическая проводимость.

Из уравнений Максвелла вытекает, что: источником электрического поля могут быть либо электрические заряды, либо

изменяющиеся во времени магнитные поля, которые могут возбуждаться либо движущимися электрическими зарядами (токами), либо переменными электрическими полями.

Уравнения Максвелла не симметричны относительно электрического и магнитного полей. Это связано с тем, что в природе не существует магнитных зарядов.

Если constЕ = и constВ = (стационарные поля), то уравнения Максвелла принимают следующий вид:

1) 0=∫L

ldE ,

28

2) qSdDS

=∫ ,

3) IldHL

=∫ ,

4) 0SdBS

=∫ .

Источниками электрического стационарного поля являются только электрические заряды, источниками стационарного магнитного поля - только токи проводимости.

Электрическое и магнитное поле в данном случае независимы друг от друга, что и позволяет изучать отдельно постоянные электрическое и магнитное поля.

Дифференциальная форма записи уравнений Максвелла:

1) tBE

∂∂

−=r

rrot ,

2) ρ=Dr

div ,

3) tDjH

∂∂

+=r

rrrot ,

4) 0div =Br

, Интегральная форма записи уравнений Максвелла является более общей, если имеются

поверхности разрыва. Дифференциальная форма записи уравнения Максвелла предполагает, что все величины в пространстве и времени изменяются непрерывно.

Уравнения Максвелла – наиболее общие уравнения для электрических и магнитных полей в покоящихся средах. Они играют в учении об электромагнетизме такую же важную роль, как и законы Ньютона в механике. Из уравнений Максвелла следует, что переменное магнитное поле всегда связано с переменным электрическим полем, а переменное электрическое поле всегда связано с порождаемым им магнитным полем, т.е. электрическое и магнитное поле неразрывно связаны друг с другом – они образуют единое электромагнитное поле.

Свойства уравнений Максвелла Уравнения Максвелла линейны. Они содержат только первые производные полей Е и В по

времени и пространственным координатам и первые степени плотности электрических зарядов ρ и токов j. Свойство линейности уравнений Максвелла связано с принципом суперпозиции, если два каких-нибудь поля удовлетворяют уравнениям Максвелла, то это относится и к сумме этих полей.

Уравнения Максвелла содержат уравнения непрерывности, выражающие закон сохранения электрического заряда. Чтобы получить уравнение непрерывности необходимо взять дивергенцию от обеих частей первого из уравнений Максвелла в дифференциальной форме записи:

Уравнения Максвелла выполняются во всех инерциальных системах отсчета. Они являются релятивистки инвариантными. Это есть следствие принципа относительности, согласно которому все инерциальные системы отсчета физически эквивалентны друг другу. Вид уравнений Максвелла при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой не меняется, однако входящие в них величины преобразуются по определенным правилам. Т.е. уравнения Максвелла являются правильными релятивистскими уравнениями в отличие, например, от уравнений механики Ньютона.

Уравнения Максвелла несимметричны относительно электрического и магнитного полей. Это обусловлено тем, что в природе электрические заряды существуют, а магнитные заряды нет.

29

Из уравнений Максвелла следует важный вывод о существовании принципиально нового явления: электромагнитное поле способно существовать самостоятельно – без электрических зарядов и токов. При этом изменение его имеет обязательно волновой характер. Поля такого рода называют электромагнитными волнами. В вакууме они всегда распространяются со скоростью равной скорости света. Теория Максвелла предсказала существование электромагнитных волн и позволила установить все их основные свойства.