Embed Size (px)
Citation preview
Министерство образования Российской федерации Тольяттинский Государственный Университет
Кафедра «Высшая математика и математическое моделирование»
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА часть 1
Учебно-методическое пособие для студентов, обучающихся по технологии
30/70
2
УДК 51(075.8) ББК 22.1я.73 В 93
Научный редактор д.т.н., профессор П.Ф.Зибров
Рецензенты: к.п.н, доцент Пивнева С.В.;
к.п.н, доцент, член-корреспондент академии пед.наук Ахметжанова Г.В.
В-93 Высшая математика. ЧастьI: Учебно-методическое пособие для студентов,
обучающихся по технологии 30/70. Сост.: Калукова О.М., Кошелева Н.Н., Никитина М.Г., Павлова Е.С., - Тольятти: ТГУ, 2005.- 56 стр.
Учебно-методическое пособие соответствует курсу «Высшая математика». В данном
пособии представлены модули: Линейная алгебра, векторная алгебра, аналитическая геометрия и введение в анализ. Даны основные понятия и вопросы каждого модуля, так же рассмотрены типовые задачи и упражнения, после каждого модуля предоставлены тесты для проверки остаточных знаний студентов. Рекомендовано студентам нематематических специальностей, обучающихся по технологии 30/70.
Утверждено научно-методическим советом факультета математики и информатики
Тольяттинского государственного университета.
Подписано в печать 8.09.2005. Формат 60×84/16 Печать оперативная. Усл. п. л. 3,5. Уч.-изд. л. 3,3
Тираж 40 экз.
УДК 51(075.8) ББК 22.1я173
© Тольяттинский Государственный Университет
3
Содержание Введение ............................................................................................................................................................................5 Структура дисциплины «Высшая математика» I семестр.............................................................................................6
Линейная алгебра ........................................................................................................................................................6 Векторная алгебра .......................................................................................................................................................6 Аналитическая геометрия...........................................................................................................................................6 Введение в математический анализ ...........................................................................................................................6
Рейтинг и оценка уровня знаний студентов по дисциплине «Высшая математика»..................................................7 Проставление оценки ..................................................................................................................................................7 Допуск к тестированию и процедура тестирования.................................................................................................7 Ликвидация задолжности студента по дисциплине .................................................................................................8
Модуль №1 Линейная алгебра .........................................................................................................................................9 Практическое занятие №1. Матрицы и действия над ними ..................................................................................10 Практическое занятие №2. Определители. Обратная матрица .............................................................................12 Практическое занятие №3. Решение систем линейных уравнений ......................................................................14 Практическое занятие №4. Ранг матрицы. Исследование систем линейных уравнений....................................18 Тест-тренинг для самоконтроля по модулю «Линейная алгебра» ........................................................................21
Модуль №2 Векторная алгебра......................................................................................................................................25 Алгоритм самостоятельной работы .........................................................................................................................25 Основные понятия модуля........................................................................................................................................25 Основные вопросы модуля .......................................................................................................................................25 Требования к знаниям и умениям ............................................................................................................................25 Практическое занятие №5. Основные понятия векторной алгебры .....................................................................26 Практическое занятие №6. Скалярное произведение векторов ............................................................................28 Практическое занятие №7. Векторное и смешанное произведение векторов .....................................................29 Векторное произведение...........................................................................................................................................29 Смешанное произведение .........................................................................................................................................30 Тест-тренинг для самоконтроля по модулю «Векторная алгебра».......................................................................31
Модуль №3 Аналитическая геометрия .........................................................................................................................33 Алгоритм самостоятельной работы .........................................................................................................................33 Основные понятия модуля........................................................................................................................................33 Основные вопросы модуля .......................................................................................................................................33 Требование к знаниям и умениям ............................................................................................................................34 Практическое занятие №8. Прямая на плоскости ..................................................................................................34 Практическое занятие №9. Плоскость и Прямая в пространстве .........................................................................36 Практическое занятие №10. Кривые второго порядка...........................................................................................39 Практическое занятие №11. Поверхности второго порядка..................................................................................40 Построение эллипсоида ............................................................................................................................................40 Построение гиперболоида ........................................................................................................................................41 Тест-тренинг для самоконтроля по модулю «Аналитическая геометрия» ..........................................................43
Модуль №4 Введение в анализ ......................................................................................................................................46 Алгоритм самостоятельной работы .........................................................................................................................46 Основные понятия модуля........................................................................................................................................46 Основные вопросы модуля .......................................................................................................................................46 Требования к знаниям и умениям ............................................................................................................................47 Практическое занятие №12. Декартовая и полярная системы координат............................................................47 Практическое занятие №13. Вычисление пределов. I замечательный предел.....................................................49 Практическое занятие №14. Исследование функции на непрерывность .............................................................50
II замечательный предел .....................................................................................................................................50 Исследование функции на непрерывность........................................................................................................50
4
Тест-тренинг для самоконтроля по модулю «Введение в анализ» .......................................................................52 Список литературы и электронных пособий ................................................................................................................54
Модуль №1.................................................................................................................................................................54 Модуль №2.................................................................................................................................................................54 Модуль №3.................................................................................................................................................................54 Модуль№4..................................................................................................................................................................54
Приложение №1. Технологическая карта дисциплины «Высшая математика» на I семестр ..................................56 Приложение №2. Рейтинг студентов ............................................................................................................................59 Приложение №3. Опорная схема...................................................................................................................................60 Приложение №4. Уравнения кривых второго порядка, уравнения поверхностей второго порядка .......................61 Приложение №5. Индивидуальный рейтинг студента ................................................................................................62
5
Введение Целью изучения дисциплины «Высшая математика» является обучение основным
математическим методам, необходимым для анализа и моделирования устройств, процессов и явлений при поиске оптимальных решений, выбору рациональных способов реализации этих решений методом обработки и анализа результатов численных и натуральных экспериментов.
Знания математики необходимы для успешного усвоения общетеоретических и специальных дисциплин в области техники, информационных технологий.
Основные задачи дисциплины состоят в том, чтобы • продемонстрировать студентам на примерах математических понятий и методов
действие законов диалектики, сущность научного подхода, специфику математики и её роль в развитии;
• развивать у студентов умение самостоятельно расширять и углублять математические знания.
• усилить прикладную направленность курса для изучения специальных дисциплин учебного плана;
• использовать математические методы для решения самых разнообразных задач техники, планирования и прогнозирования, анализа инженерной деятельности.
Математическое образование современного специалиста включает: • базовую подготовку, состоящую из общего курса математики и специальных
математических курсов. • общий курс формирует у студентов умение исследовать математические модели и
решать задачи, обрабатывать и анализировать экспериментальные данные; • математические методы ориентированы на построение математических моделей,
реализуемых на ЭВМ, проведение численных экспериментов, построение оптимальных решений.
После освоения математической программы студент должен знать: • основные математические понятия такие как, функция, предел, производная, интеграл,
дифференциальные уравнения, ряды и методы для решения инженерных задач такие как", дифференцирование, интегрирование, представление функций с помощью рядов, уметь:
• правильно задавать цель тому или иному процессу, определять условия и ограничения в достижении цели, выбирать критерии оптимальности, проводить натурные эксперименты, формулировать задания, проигрывать на моделях возможные ситуации и получать оптимальные решения с помощью математических методов.
Цель пособия - помочь студенту научится с наименьшей затратой времени овладеть теоретическим материалом и научится решать задачи по модулям, предложенным в данном пособии.
6
Структура дисциплины «Высшая математика» I семестр
Линейная алгебра Матрицы, их виды и действия над ними. Определители и их свойства. Обратная матрица.
Ранг матрицы. Матричный метод решения систем уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Исследование систем линейных уравнений. Однородные системы.
Векторная алгебра Векторные пространства и линейные отображения. Основные алгебраические структуры.
Понятие линейного и векторного пространства. Булевы алгебры. Евклидово пространство. Декартовы прямоугольные координаты на плоскости и в пространстве. Векторы и их равенство, линейные операции над ними. Линейно-независимые системы векторов. Базис, разложение по базису. Проекции и координаты вектора. Линейные отображения. Линейные операции в координатной форме. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов, их свойства и выражение через координаты сомножителей. Длина вектора, угол между векторами. Условие перпендикулярности, коллинеарности и компланарности векторов.
Аналитическая геометрия 1. Геометрия на плоскости Понятие об уравнении линии на плоскости и поверхности в пространстве. Уравнения
окружности и сферы. Уравнение плоскости, угол между плоскостями. Прямая на плоскости в пространстве. Векторные и канонические уравнения прямой. Расстояние от точки до прямой и плоскости. Общее уравнение кривых второго порядка.
2. Многоуровневая Евклидова геометрия Канонические уравнения эллипса, гиперболы, исследование их геометрических свойств.
Поверхности второго прядка, их канонические и Квадратичные формы, приведенные к их каноническому виду. Применение к упрощению уравнений кривых второго порядка.
3. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей Элементы топологий. Кривые на евклидовой плоскости. Касательная, нормаль, особые
точки. Кривизна кривой. Огибающая семейства плоских кривых. Кривые в трехмерном евклидовом пространстве. Подвижный треугольник. Формулы Френе. Поверхности в трехмерном евклидовом пространстве. Касательная плоскость и нормаль. Дифференциал длины дуги и элемент площади.
4. Дискретная математика Элементы теории множеств. Основные сведения о логических исчислениях. Теория
алгоритмов, языки и грамматика, автоматы. Элементы теории графов, их применение. Виды графов. Основные понятия комбинаторики.
Введение в математический анализ Функция, её предел и непрерывность. Вещественные числа, свойства их абсолютных
величин. Числовая последовательность, её предел. Предел монотонной ограниченной последовательности. Число «е», натуральные логарифмы. Предел функции в точке и в бесконечности. Ограниченность функции, имеющей предел. Предел промежуточной функции. Непрерывность функции. Непрерывность основных элементарных функций (доказательство для одной из них). Замечательные пределы. Бесконечно малые функции, их свойства. Предел суммы, произведения и частного. Бесконечно большие функции, их неограниченность и связи с бесконечно малыми. Сравнение бесконечно малых. Свойства непрерывных в точке функций: непрерывность суммы, произведения и частного; предел и непрерывность сложной функции; непрерывность элементарных функций; устойчивость знака. Односторонние пределы и непрерывность функции. Точки разрыва, их классификация. Непрерывность функции на
7
отрезке, её свойства; ограниченность, существование наибольшего, наименьшего и промежуточных значений.
Рейтинг и оценка уровня знаний студентов по дисциплине «Высшая математика»
Проставление оценки За временную единицу учебного процесса принимается семестр. Рейтинг студента по дисциплине в семестре в любой отчетный момент времени равен сумме
баллов, набранных в процессе текущего контроля, а на завершающем этапе - полной сумме баллов, рейтинг хранится в центре тестирования и вывешивается на сайте.
Оценка, проставляемая в зачетную или экзаменационную ведомость, определяется отношением суммы баллов набранной по всем тестам (итоговый рейтинг) к количеству модулей.
Максимальное количество баллов, которое может набрать студент при тестировании по одному модулю, в том числе и по итоговому тестированию, равно 100 (сто) баллов.
Максимальный рейтинг студента по дисциплине определяется произведением количества модулей на сто.
Оценка в ведомость ставится, исходя из таблицы:
оценка набранный итоговый рейтинг отлично 80-100 хорошо 60-79 удовлетворительно 40-59 неудовлетворительно 0-39
Допуск к тестированию и процедура тестирования Допуск к тестированию студента разрешается в том случае, если он освоил не менее 40%
объема модуля (изучение теоретического, практического материала, сдача индивидуального домашнего задания).
Списки студентов, допущенных к межмодульному тестированию, составляются тьютором и заверяются преподавателем, и предоставляются директору ЦТ не позднее, чем за один день до проведения тестирования.
Студент, не допущенный к тестированию по какому-либо модулю, автоматически получает «О» баллов в свой рейтинг за соответствующее по модулю тестирование, но продолжает изучение дисциплины по следующим модулям.
Тестирование студентов осуществляется по графику (расписанию) после прохождения каждого модуля дисциплины.
Расписание тестирования составляется диспетчерской службой по сведениям, поступившим от заведующего кафедрой (руководителя ЭП).
Экзаменационные и зачетные ведомости студентов по окончании дисциплины составляются деканатами по сведениям, поступившим из ЦТ.
Ведомости подписываются деканом, а их копии передаются на кафедру (преподавателю) для проставления экзаменационной оценки в зачетную книжку студента в период зачетной недели.
8
Ликвидация задолжности студента по дисциплине Если оценка студента, полученная в результате накопительного рейтинга, является
«неудовлетворительной», то студент направляется на прохождение итогового тестирования. В исключительных случаях, на итоговое тестирование направляется студент для повышения своей оценки с «удовлетворительно» на «хорошо» или «отлично».
Список студентов, направляемых на итоговое тестирование, подготавливается тьютором, заверяется преподавателем, и направляется в ЦТ, не позднее, чем за 1 день до начала сессии.
Итоговое тестирование проводится в ЦТ в течение сессии по расписанию. Расписание итогового тестирования составляется единой диспетчерской службой «по схеме расписания экзаменов».
Количество баллов, набранное студентом по итоговому тестированию, суммируется с его рейтингом, а оценка, получаемая студентом по дисциплине, является результатом деления общей суммы баллов на общее количество тестирований (тестирования, пройденных в течение семестра плюс итоговое тестирование). При этом в общее количество тестирований включаются и те, на которые студент не был допущен.
Студент, получивший хорошие и отличные оценки по рейтингу, включающему итоговое тестирование, имеет право претендовать на получение стипендии, как ликвидировавший задолжности в течение сессии.
Если в результате проведения итогового тестирования общий рейтинг студента, и соответственно его оценка остается неудовлетворительной, то студент имеет право получить дополнительные услуги (платные) по изучению соответствующей дисциплины во вне учебное время. Направление студента на дополнительное обучение, составление списков студентов для проведения дополнительных занятий, является обязанностью деканата. Расписание занятий, обеспечение кадрами и ресурсами для проведения дополнительных занятий - обязанность ИНПО.
После окончания дополнительного обучения студент направляется на итоговое тестирование в ЦТ по списку, составленному преподавателем ИНПО.
Количество баллов, полученное за итоговое тестирование, суммируется с рейтингом студента. Оценка за дисциплину рассчитывается как отношение общего рейтинга к общему количеству тестирований, в том числе, к которым он не был допущен.
Сведения о результатах итогового тестирования после дополнительного обучения ЦТ передает в деканат для формирования экзаменационной (зачетной) ведомости. Копия зачетной ведомости передается преподавателю ИНПО для проставления оценки в зачетную книжку студента.
Если студент получает «неуд» после прохождения дополнительного обучения, то он отчисляется из списков студентов университета. Сведения для приказа об отчислении предоставляет деканат.
9
Модуль №1 Линейная алгебра 1. Алгоритм самостоятельной работы При изучении модуля «Линейная алгебра» студент должен самостоятельно выполнить
следующие действия: • ознакомится с языком дисциплины • ответить на основные вопросы модуля • ознакомится со знаниями и умениями по данному модулю • выполнить вариант предложенного домашнего задания • выполнить тест-тренинг 2. Основные понятия модуля • матрица • определитель • алгебраическое дополнение • минор • элементарные преобразования над матрицами • транспонирование • ранг матрицы • система уравнений • решение системы уравнений 3. Основные вопросы модуля • Дайте определение матрицы. Виды матриц вам известны • Дайте определение равенства матриц • Сформулируйте правила сложения матриц и умножения матрицы на число. Каким
законам подчиняются эти операции? • Умножения двух матриц • Транспонированная матрица. Свойства транспонирования • Дайте определение обратной матрицы • Элементарными преобразования над строками и столбцами матриц • Ранг матрицы и как его вычисление • Какая система уравнений называется однородной? Неоднородной? • Всегда ли совместна неоднородная система уравнений? А однородная? Какая система
уравнений имеет единственное решение? • Что такое общее решение системы уравнений? Сформулируйте критерий разрешимости
неоднородной системы уравнений. • Что называется определителем n-го порядка? • Сформулируйте правило разложения определителя по строке (столбцу). • Что называют алгебраическим дополнением элемента aij? • Какая матрица называется невырожденной? • Дайте определение обратной матрицы • Как найти решение системы уравнений при помощи обратной матрицы? 4. Требования к знаниям и умениям
10
После изучения модуля студент должен знать: 1. Определение матрицы. 2. Какие виды матриц существуют? 3. Какие действия можно выполнять над матрицами? 4. Что называется элементарными преобразованиями над строками и столбцами матриц? 5. Что такое ранг матрицы? 6. Какая система уравнений называется однородной? Неоднородной? 7. Всегда ли совместна неоднородная система уравнений? А однородная? 8. Какая система уравнений имеет единственное решение? 9. Что такое общее решение системы уравнений? 10. Что называется определителем n-го порядка? 11. Правило разложения определителя по строке (столбцу). 12. Что называют алгебраическим дополнением элемента aij? 13. Как найти решение системы уравнений при помощи обратной матрицы? Студент должен уметь: 1. Определять размер матрицы 2. Определять вид матрицы 3. Выполнять действия над матрицами (сложение, вычитание, умножение) 4. Находить ранг матрицы 5. Определять собственные значения матрицы 6. Находить обратную матрицу 7. Вычислять определители 8. Вычислять миноры 9. Исследовать системы на совместность и решать их методом Крамера и матричным
методом
Практическое занятие №1. Матрицы и действия над ними Цель. Научиться применять матрицы при решении практических задач 1. Теоретический опрос 2. Учебная деятельность Примеры решения типовых заданий. Прим е р 1 .
Даны матрицы 1 2 3 1 3 42 1 4 ; 5 7 83 2 3 1 2 4
A B⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
, найти 2A B+ .
Р еш е н и е :
11
Умножим каждый элемент матрицы A на 2 и получим матрицу 2 4 6
2 4 2 86 4 6
A⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
. Прибавим
к каждому элементу матрицы 2A соответствующие элементы матрицы B и получим матрицу 3 7 10
2 9 9 167 6 10
A B⎛ ⎞⎜ ⎟+ = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
Прим е р 2 .
Найти произведение матриц 143
A⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
и ( )2 4 1B = .
Р еш е н и е : Матрица AB имеет столько строк и столбцов, сколько строк в матрице A и столбцов в
матрице B .
( )1 1 2 1 4 1 1 2 4 14 2 4 1 4 2 4 4 4 1 8 16 43 3 2 3 4 3 1 6 12 3
AB⋅ ⋅ ⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ ⋅ ⋅⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Матрица BA имеет столько строк и столбцов сколько строк в матрице B и столбцов в матрице A .
( )1
2 4 1 4 2 1 4 4 1 3 2 16 3 213
BA⎛ ⎞⎜ ⎟= ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ = + + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
.
Прим е р 3 .
Найти произведение матриц ( ) 3 41 2 ,
5 6A B ⎛ ⎞
= = ⎜ ⎟⎝ ⎠
Р еш е н и е :
( ) ( ) ( )3 41 2 3 10 4 12 13 16
5 6AB ⎛ ⎞
= ⋅ = + + =⎜ ⎟⎝ ⎠
.
Прим е р 4 . Найти значение матричного многочлена 2 3 2A A E+ + , если
4 3 2 1 0 01 0 7 ; 0 1 02 7 4 0 0 1
A E⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Р еш е н и е : Вычисляем матрицу 2A .
12
2
4 3 2 4 3 2 4 4 3 1 2 2 4 3 3 0 2 7 4 2 3 7 2 4 23 26 371 0 7 1 0 7 1 4 0 1 7 4 1 3 0 0 7 7 1 2 0 7 7 4 18 52 302 7 4 2 7 4 2 4 7 1 4 2 2 3 7 0 4 7 2 2 7 7 4 4 23 34 69
A A A⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⋅ = ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Вычисляем 3A , т.е каждый элемент матрицы A умножаем на3 .
3 4 3 3 3 2 12 9 63 3 1 3 0 3 7 3 0 21
3 2 3 7 3 4 6 21 12A
⋅ ⋅ ⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⋅ ⋅ ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ ⋅ ⋅⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Вычисляем 2E т.е. каждый элемент матрицы E умножаем на2 . 2 1 0 0
2 0 2 1 00 0 2 1
E⋅⎛ ⎞
⎜ ⎟= ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⋅⎝ ⎠
Находим значение матричного многочлена 2 3 2A A E+ + т.е.
2
23 26 37 12 9 6 2 1 0 0 23 12 2 26 9 0 37 6 0 37 35 433 2 18 52 30 3 0 21 0 2 1 0 18 3 0 52 0 2 30 21 0 21 54 51
23 34 69 6 21 12 0 0 2 1 23 6 0 34 21 0 69 12 2 29 55 83A A E
⋅ + + + + + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + = + + ⋅ = + + + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ + + + + + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Контроль (10 мин.)
Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4 Найти: 3 3 , , , ( ), ( )A B A B B A Rang A Rang B− ⋅ + . Ответы выделить.
3 0 22 0 1 ,4 0 5
A⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
5 0 01 2 01 2 3
B⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
1 2 30 0 0 ,4 5 1
A⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
2 0 04 3 03 2 1
B⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
1 2 30 2 2 ,0 0 1
A⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
3 4 21 1 30 0 0
B⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
2 3 20 1 2 ,0 0 3
A⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
1 3 03 2 05 6 0
B⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
Задание на дом. ИДЗ 1(1-4). Определители.
Практическое занятие №2. Определители. Обратная матрица Цель. Научиться вычислять и применять определители 1. Теоретический опрос 2. Учебная деятельность Примеры решения типовых заданий. Прим е р 1 . Найти определители матриц
13
2 3 cos sin5 6 sin cos
иα αα α
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠
.
Р еш е н и е :
2 22 3 cos sin2 6 5 ( 3) 12 ( 15) 27; cos sin 1
5 6 sin cosα α
α αα α
−= ⋅ − ⋅ − = − − = = + =
−.
Прим е р 2 .
Даны матрицы 1 2 5 2
;3 4 1 3
A B⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
. Найти det( )AB .
Р еш е н и е : 1-й способ: det 4 6 2; det 15 2 13; det( ) det det 26A B AB A B= − = − = − = = ⋅ = − .
2- й способ:1 5 2 1 1 2 2 3 7 8
, det( ) 7 18 8 19 126 152 263 5 4 1 3 2 4 3 19 18
AB AB⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= = = ⋅ − ⋅ = − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅⎝ ⎠ ⎝ ⎠.
Прим е р 3 .
Вычислить определитель по правилу треугольника1 2 34 5 67 8 9
.
Р еш е н и е : 1 2 34 5 6 1 5 9 2 6 7 3 4 8 3 5 7 2 4 9 1 6 8 45 84 96 105 72 48 07 8 9
= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = + + − − − = .
Прим е р 4 . Вычислить определитель матрицы с помощью разложения по первой строке.
1 2 10 2 33 1 1
A⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
Решение:1 2 1
2 3 0 3 0 20 2 3 1 2 1 ( 2 1 1 3) 2(0 1 3 3) (0 1 3 2) 5 18 6 19.
1 1 3 1 3 13 1 1
− −− = ⋅ − ⋅ + ⋅ = − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ = − + + =
Прим е р 5 . Вычислите определитель матрицы с помощью разложения по первому столбцу:
3 5 7 81 7 0 1
0 5 3 21 1 7 4
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
14
Р еш е н и е : 3 5 7 8
7 0 1 5 7 8 5 7 8 5 7 81 7 0 1
3 5 3 2 1 5 3 2 0 7 0 1 1 7 0 10 5 3 2
1 7 4 1 7 4 1 7 4 5 3 21 1 7 43 (7 3 4 ( 1) 0 2 5 7 1 ( 1) 3 1 7 7 2 5 0 4) (5 3 4 ( 1) 7 2 5 7 8 ( 1) 3 8 5 7 4 5 7 2)(5 0 2 7 1 5 7 3 8 5 0 8 3 1 5 7 7 2)
−= ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ =
− − −−
= ⋅ ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ −− ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =122
Прим е р 6
Найти обратную матрицу матрицы 2 33 5
A−⎛ ⎞
= ⎜ ⎟−⎝ ⎠.
Р еш е н и е :
11 121
21 22
1 ,где A ( 1) ;i jij ij
A AA M
A AA− +⎛ ⎞
= = = − +⎜ ⎟⎝ ⎠
1. Вычислим алгебраические дополнения 2 3
11 123 4
21 22
( 1) 5 5 A ( 1) ( 3) 3
( 1) ( 3) 3 A ( 1) 2 2
A
A
= − = = − − =
= − − = = − =
2. Вычислим определитель 2 5 ( 3) ( 3) 1A = ⋅ − − ⋅ − =
3. Запишем обратную матрицу
1 5 3 5 313 2 3 21
A− ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Задание на дом: ИДЗ 1 (5). Системы n линейных уравнений с m неизвестными. Контроль (10 мин.)
Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4
Найти: 1 1det , ,A A A A− −⋅ . Ответы выделить.
0 1 61 1 10 1 0
A B⎛ ⎞⎜ ⎟= ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
2 1 61 1 11 1 2
A⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
1 1 6
1 1 11 1 1
A−⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠
3 1 61 1 13 1 3
A⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
Практическое занятие №3. Решение систем линейных уравнений Цель. Научиться решать любые линейные системы. 1. Теоретический опрос. 2. Учебная деятельность. Образцы решения типовых заданий. Прим е р 1 .
15
Решить систему методом Крамера и матричным методом 2 3 1
3 5 2x y
x y− = −⎧
⎨− + =⎩
Метод Крамера
Составим матрицу A данной системы: 2 33 5
A−⎛ ⎞
= ⎜ ⎟−⎝ ⎠.
Найдем определитель данной матрицы: 2 5 ( 3) ( 3) 1A = ⋅ − − ⋅ − =
Решения системы находятся по формулам Крамера: 1 2 A A
x yA A
= = .
Определитель 1A получен из определителя A путем замены первого столбца столбцом
свободных членов; определитель 2A получен из определителя A путем замены второго столбца столбцом свободных членов.
Найдем определители 1A и 2A :
1
2
1 35 ( 6) 1
2 5
2 14 3 1
3 2
А
А
− −= = − − − =
−= = − =
−
Найдем решение системы: 1 1=1; 11 1
x y= = = .
Матричный метод. Для данной системы составим матричное уравнение:
1
2 3 1 2 3 1; ;
3 5 2 3 5 2x x y
A B X AX By x y
X A B−
− − − = −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎧= = = ⇒ ≈ =⎨⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − + =⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎩=
1. Найдем обратную матрицу матрицы А: 2 33 5
A−⎛ ⎞
= ⎜ ⎟−⎝ ⎠.
11 121
21 22
1 ,где A ( 1) ;i jij ij
A AA M
A AA− +⎛ ⎞
= = = − +⎜ ⎟⎝ ⎠
2 311 12
3 421 22
( 1) 5 5 A ( 1) ( 3) 3
( 1) ( 3) 3 A ( 1) 2 2
A
A
= − = = − − =
= − − = = − =
2 5 ( 3) ( 3) 1A = ⋅ − − ⋅ − =
1 5 3 5 313 2 3 21
A− ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Найдем 1 5 3 1 1: 1; 1
3 2 2 1x
X X A B x yy
− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = ⋅ = = ⇒ = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠.
2. Решение системы
( )1;1X = .
16
Прим е р 2
Найти решение системы уравнений: 5 0
2 3 144 3 2 16
x y zx y z
x y z
− − =⎧⎪ + + =⎨⎪ + + =⎩
1. Метод Крамера 1. Составим матрицу А данной системы:
5 1 11 2 34 3 2
A− −⎛ ⎞
⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
2. Найдем определитель данной матрицы 5 1 11 2 3 5(4 9) (2 12) (3 8) 25 10 5 304 3 2
− −Δ = = − + − − − = − − + = − ;
Определитель 1Δ получен из определителя Δ путем замены первого столбца столбцом свободных членов;
1
0 1 114 2 3 (28 48) (42 32) 20 10 3016 3 2
− −Δ = = − − − = − − = − .
Определитель 2Δ получен из определителя Δ путем замены второго столбца столбцом свободных членов
2
5 0 11 14 3 5(28 48) (16 56) 100 40 604 16 2
−Δ = = − − − = − + = − .
Определитель 3Δ получен из определителя Δ путем замены третьего столбца столбцом
свободных членов
3
5 1 01 2 14 5(32 42) (16 56) 50 40 904 3 16
−Δ = = − + − = − − = − .
3. Найдем решение системы
1 1 2 2 2 3/ 1; / 2; / 3x x x= Δ Δ = = Δ Δ = = Δ Δ =
2. Матричный метод. 1. Для данной системы составим матричное уравнение
5 1 1 0, где A= 1 2 3 , , 14
4 3 2 46
xAX B X y B
z
− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
.
Значит 1X A B−=
17
2. Найдем обратную матрицу 1A− .
11 12 131
21 22 23
31 32 33
1 , ( 1) ;
T
i jij ij
A A AA A A A A M
AA A A
− +
⎛ ⎞⎜ ⎟= = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
5 1 1
det 1 2 3 5(4 9) 1(2 12) 1(3 8) 25 10 5 304 3 2
A A− −
= = = − + − − − = − − + = − .
11 21 31
12 22 32
13 23 33
2 3 1 1 1 15; 1; 1;
3 2 3 2 2 3
1 3 5 1 5 110; 14; 16;
4 2 4 2 1 3
1 2 5 1 5 15; 19; 11;
4 3 4 3 1 2
A A A
A A A
A A A
− − − −= = − = − = − = = −
− −= − = = = = − = −
− −= = − = − = − = =
1
1 1 16 30 305 10 5
1 1 7 81 14 1930 3 15 15
1 16 11 1 19 116 30 30
T
A−
⎛ ⎞⎜ ⎟
− −⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − = − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⎜ ⎟− − ⎜ ⎟⎝ ⎠
⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠
;
3. Находим матрицу X .
1
1 1 1 1 14 1606 30 30 6 30 300 11 7 8 1 98 12814 0 23 15 15 3 15 15
46 31 19 11 1 266 17606 30 30 6 30 30
xX y A B
z
−
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = = − − ⋅ = − − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎜ ⎟ ⎜ ⎟− + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
.
4. Итого решения системы: 1; 2; 3x y z= = = . Контроль (10 мин.).
Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4 Исследовать систему и в случае совместности решить ее по формулам Крамера и
матричным способом. 2 3 5
2 1x y
x y+ =⎧
⎨ − = −⎩,
6 4 22 3
x yx y
− =⎧⎨ + =⎩
,
62 3x y
x y+ =⎧
⎨ − =⎩,
2 33 2
x yx y
+ =⎧⎨ − =⎩
,
18
Практическое занятие №4. Ранг матрицы. Исследование систем линейных уравнений
Цель. Научиться исследовать системы на совместность и решать их. 1. Теоретический опрос. 2. Учебная деятельность. Образцы решения типовых заданий. Прим е р 1 .
Определить ранг матрицы 2 3 4 21 3 2 33 4 2 5
A−⎛ ⎞
⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
.
Р еш е н и е : Производим элементарные преобразования над матрицей 1. поменяли местами 1 и 2 строки; 2. умножили 1 строку на ( )2− и прибавили ко 2 строке;
3. умножили 1 строку на ( )3− и прибавили к 3 строке;
4. умножили 2 строку на ( )1− и прибавили к 3 строке;
5. поменяли местами 2 и 3 строки;
6. умножили 2 строку на 94
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
и прибавили к 3 строке.
2 3 4 2 1 3 2 3 1 3 2 31 3 2 3 1 2 3 4 2 2 0 9 8 43 4 2 5 3 4 2 5 3 4 2 5
1 3 2 3 1 3 2 3 1 3 2 3 1 3 2 33 0 9 8 4 4 0 9 8 4 5 0 4 0 0 6 0 4 0 0 ;
0 13 8 4 0 4 0 0 0 9 8 4 0 0 8 4
A− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − ≈ − ≈ − − ≈⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
− − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟≈ − − ≈ − − ≈ − ≈ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Затем находим минор наибольшего порядка, который не равен нулю. 1 3 20 4 0 32 00 0 8
−− = − ≠
Значит 3rangA = Прим е р 2 :
Определить ранг матрицы3 5 71 2 31 3 5
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
.
Производим элементарные преобразования над матрицей 3 5 7 4 8 12 1 2 3
1 2 31 2 3 1 2 3 1 2 3 ,
1 3 51 3 5 1 3 5 1 3 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∼ ∼ ∼
19
Затем находим минор наибольшего порядка, который не равен нулю. 1 2
3 2 1 0 21 3
Rg= − = ≠ ⇒ = .
Прим е р 3 :
Исследовать систему на совместность и решить ее:3 2 5
04 5 3
x y zx y z
x y z
+ + =⎧⎪ + − =⎨⎪ − + =⎩
Р еш е н и е : Находим ранги обычной и расширенной матрицы:
3 2 1 51 1 1 04 1 5 3
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
поменяем местами 1 и 2 строки 1 1 1 03 2 1 54 1 5 3
−⎛ ⎞⎜ ⎟≈ ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
первую строку умножим
на: 1. ( )3− и прибавим ко 2 строке;
2. ( )4− и прибавим к 3 строке≈1 1 1 00 1 4 50 5 9 3
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
умножим 2 строку на (-5) и прибавим к 3
строке 1 1 1 00 1 4 50 0 11 22
−⎛ ⎞⎜ ⎟≈ −⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠
умножим 3 строку на 1 1 1 0
1 0 1 4 511
0 0 1 2B
−⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟− ≈ − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
3 числу неизвестных система имеет 1 решениерасшrangA rangA= = = ⇒
Восстановим по матрице В систему, равносильную данной: 0 1
4 5 32 2
x y z xy z yz z
+ − = = −⎧ ⎧⎪ ⎪− = − ⇔ =⎨ ⎨⎪ ⎪= =⎩ ⎩
Система имеет решение ( 1; 3; 2)− . Прим е р 4 .
Решить систему 1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 1,2 1,2 3 3.
x x x xx x x xx x x x
− + + =⎧⎪ − + − = −⎨⎪ − + + =⎩
Р еш е н и е : ( ) ( ) 2r A r A= = . Берем два первых уравнения:
1 2 3 4
1 2 3 4
3 4 1 2 1 21 1 2
1 23 4 1 2
1 22
1 2
2 1, 1 12 0,
2 1. 1 1
1 2 , 1 2 12 4 ,
1 2 11 2 .
1 1 22.
1 1 2
x x x xx x x x
x x x x x xx x
x xx x x x
x xx x
− + + =⎧Δ = = − ≠⎨ − + − = − −⎩
+ = − + − +⎧Δ = = −⎨ − − + −− = − − +⎩
− +Δ = = −
− − +
20
Следовательно, 3 1 2 42 , 1x x x x= − + = - общее решение. Положив, например, 1 20, 0,x x= = получаем одно из частных решений: 1 2 3 40, 0, 0, 1x x x x= = = =
Прим е р 5 : Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 52 3 3
7 10
x x xx x x
x x x
+ − =⎧⎪ − + = −⎨⎪ + − =⎩
Составим расширенную матрицу системы.
*
2 1 1 5 1 2 3 3 1 2 3 3 1 2 3 31 2 3 3 ~ 2 1 1 5 ~ 0 5 7 11 ~ 0 5 7 117 1 1 10 7 1 1 10 0 15 22 31 0 0 1 2
A− − − − − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − − − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:
1 2 3
2 3
3
2 3 35 7 11
2
x x xx xx
− + = −⎧⎪ − =⎨⎪− = −⎩
, откуда получаем: 3 2 12, 5, 1,x x x= = = .
Прим е р 6 : Решить систему методом Гаусса.
5 02 3 14
4 3 2 16
x y zx y z
x y z
− − =⎧⎪ + + =⎨⎪ + + =⎩
Составим расширенную матрицу системы.
5 1 1 0 1 2 3 14 1 2 3 14 1 2 3 141 2 3 14 ~ 4 3 2 16 ~ 0 5 10 40 ~ 0 5 10 404 3 2 16 5 1 1 0 0 11 16 70 0 0 6 18
− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Таким образом, исходная система может быть представлена в виде: 2 3 14
5 10 406 18
x y zy z
z
+ + =⎧⎪− − =⎨⎪ =⎩
, откуда получаем: 3, 2, 1z y x= = = .
4. Контроль (10 мин.).
Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4 Исследовать системы на совместность и решить в случае их совместности.
21
2 3 42 3 3
2 3 02 5 0
3 2 0
x y zx y z
x y zx y zx y z
+ + =⎧⎨ + − =⎩
− + =⎧⎪ + − =⎨⎪ + − =⎩
2 2 34 4 11
3 2 02 2 5 0
3 7 0
x y zx y z
x y zx y z
x y z
+ − =⎧⎨ + − =⎩
− + =⎧⎪ + − =⎨⎪ − + =⎩
8 2 44 11
3 2 02 3 0
3 4 0
x y zx y z
x y zx y z
x y z
− + =⎧⎨ − + =⎩
+ − =⎧⎪ − + =⎨⎪ + − =⎩
2 24 2 2 2
3 2 02 3 05 3 2 0
x y zx y z
x y zx y zx y z
+ − =⎧⎨ + + = −⎩
− − =⎧⎪ − + =⎨⎪ − + =⎩
Тест-тренинг для самоконтроля по модулю «Линейная алгебра» 1. Какие из нижеперечисленных видов матриц существуют?
1) квадратная, 2) прямоугольная, 3) единичная, 4) нулевая, 5) положительная, 6) отрицательная 7) диагональная, 8) обратная, 9) перевернутая
2. Какова размерность матрицы4 5 73 1 1⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
?
1) 3 2⋅ 2) 4 2⋅ 3) 2 3⋅ 4) 2 4⋅ 5) 2 5⋅
3. Какая из матриц является квадратной?
1)1 1 11 1 1
A ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
; 2)0 1 34 5 61 2 0
B⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
;
3)2 23 34 4
C⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
; 4)4 6 7 91 2 3 45 6 8 0
M⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
;
5) ( )3 5 7 9 0T =
4. Какие из нижеперечисленных преобразований матриц эквивалентные?
1) перестановка местами любых двух строк матрицы;
2) умножение какой-нибудь строки матрицы на ноль;
3) прибавление к какой-нибудь строке другой строки;
4) исключение из матрицы нулевого столбца;
5) добавление в матрицу столбца из единиц
5. Какая из матриц является суммой матриц 1 3 0 10 1 и 1 33 5 6 4
А В⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
22
1)1 21 4
3 1C
−⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
; 2)0 31 1
6 5P
⎛ ⎞⎜ ⎟= − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
; 3)1 41 2
9 9T
⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
;
4)1 21 23 1
M⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
; 5)1 41 2
9 1K
⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
6. Выберите из нижеперечисленных единичную матрицу.
1)1 0 00 2 00 0 3
A⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
3)1 0 00 1 00 0 1
C⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
2)0 1 11 0 11 1 0
B⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
7. Какие из произведений нижеперечисленных матриц возможны?
0 21 2 1 3 1 2
1 0 3 5 0 23 4 0 6 ; 7 8 ; ;
2 1 1 0 6 10 2 1 2 2 3
1 5
А В С Р
⎛ ⎞−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ −⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = = = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎝ ⎠
1) BC, AP, PC 2) AB, PC 3) AP, BP, PC 4) BC, PA 5) AC, BP, CP, PC
8. Какая из данных матриц не является ступенчатой?
1)1 0 3 20 0 3 00 1 2 4
А−⎛ ⎞
⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
; 2)1 0 3 20 0 3 00 0 0 4
В−⎛ ⎞
⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
;
4)3 3 20 1 30 0 2
Р−⎛ ⎞
⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
; 3)4 0 3 20 2 3 30 0 1 0
С−⎛ ⎞
⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
;
5)3 2 10 2 20 0 1
Е−⎛ ⎞
⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
;
9. Какая из матриц является произведением матриц
23
5 1 3 10 2 1 2
А− −⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎝ ⎠
и
11
32
B
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
1)2 4 0 12 1 3 2
С−⎛ ⎞
= ⎜ ⎟− −⎝ ⎠; 2)
135
Р ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
; 3)
5192
Е
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
;
4)
5 10 11 3
2 2
М
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟=⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠
; 5)
5 1 9 210 3 3 10 2 3 40 6 1 2
К
−⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎜ ⎟=⎜ ⎟−⎜ ⎟−⎝ ⎠
10. Определите ранг матрицы
1 3 2 30 0 0 00 2 4 10 0 3 50 0 0 1
А
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 5) 5 11. Какие пункты в определении ступенчатой матрицы лишние?
1) все нулевые строчки, если они есть, расположены выше ненулевых;
2) все нулевые строчки, если они есть, расположены ниже ненулевых;
3) если в какой-нибудь строке ведущий элемент расположен на катом месте, то во всех последующих строках матрицы на первых на местах расположены нули
12. Какое из нижеследующих выражений является определителем матрицы 11 12
21 22
a aA
a a⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎝ ⎠
?
1) 11 12 21 22а а а а+ 2) 21 12 11 22а а а а+ 3) 11 21 12 22а а а а−
4) 11 22 12 21а а а а+ 5) 11 22 12 21а а а а−
13. Вычислите определитель матрицы 2 3 13 6 55 4 2
M−⎛ ⎞
⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
1) 17− 2) 23− 3) 32 4) 6 5) 25− 14. Какие из перечисленных свойств определителя справедливы?
1) если в определителе есть строчка из нулей, то такой определитель равен нулю;
2) если в определителе есть столбец из нулей, то такой определитель равен нулю;
24
3) определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю;
4) если в определителе элементы какой-то строчки имеют общий делитель, то он равен нулю;
5) определитель, содержащий две пропорциональные строчки, равен нулю.
15. Минором элемента 12а определителя 1 2 30 4 56 7 8
является?
1)0 56 8
; 2)1 30 5
; 3)1 36 8
; 4)1 46 7
; 5)4 57 8
№ задани
я 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Ответ 1,2,3,4,7,8
3 2 4 3 3 7 1 2 4 1 5 2 5 1
25
Модуль №2 Векторная алгебра
Алгоритм самостоятельной работы При изучении модуля "Векторная алгебра" студент должен самостоятельно выполнить
следующие действия: • ознакомиться с языком дисциплины • ответить на основные вопросы модуля • ознакомиться со знаниями и умениями по данному модулю • выполнить вариант предложенного домашнего задания • выполнить тест тренинг
Основные понятия модуля • скаляр • вектор • длина вектора • направление вектора • базис • линейная независимость • скалярное произведение • векторное произведение • смешанное произведение
Основные вопросы модуля 1. Какие векторы называются коллинеарными 2. Какие векторы называются компланарными 3. Как связаны координаты вектора с координатами точек, являющихся его началом и
концом? 4. Свойства скалярного произведения двух векторов? 5. Выведите формулы для длины вектора, угла между двумя векторами и расстояния
между точками в декартовой прямоугольной системе координат 6. Какова геометрическая интерпретация скалярного произведения векторов? 7. Свойства векторного произведения двух векторов 8. Свойства смешанного произведения трех векторов 9. Геометрический смысл векторного произведения 10. Геометрический смысл смешанного произведения 11. Физические приложения скалярного и векторного произведений 12. Декартова система координат
Требования к знаниям и умениям После изучения модуля студент должен знать: • скалярные и векторные величины; • коллинеарность и компланарность векторов;
26
• линейные операции над векторами; • проекцию вектора на ось; • прямоугольную систему координат в пространстве; • разложение вектора по ортам в пространстве; • операции над векторами, заданными в координатной форме; • направляющие косинусы вектора; • скалярное произведение векторов; • векторное произведение векторов; • смешанное произведение векторов; • геометрические и физические приложения всех видов произведений. После изучения модуля студент должен уметь: • строить векторы; • находить сумму, разность векторов; • выполнять линейные операции над векторами, заданными в координатной форме; • проверять коллинеарность и компланарность векторов; • находить скалярное произведение векторов; • вычислять углы между векторами, длины векторов; • находить работу силы через скалярное произведение векторов; • находить векторное произведение векторов; • вычислять площадь треугольника, параллелограмма, построенных на векторах; • находить смешанное произведение векторов; • вычислять объемы параллелепипеда, треугольной призмы, пирамиды, используя
смешанное произведение векторов.
Практическое занятие №5. Основные понятия векторной алгебры Цель: научить находить направление вектора, строить вектора в прямоугольной системе
координат, находить сумму, разность векторов. Структура занятия: 1. Линейные операции над векторами, если даны длины векторов и направление. 2. Задание векторов в прямоугольной системе координат на плоскости и в пространстве. 3. Нахождение длины векторов, направляющих косинусов в прямоугольном базисе. 4. Разложение векторов в произвольном базисе. Образцы решения задач: Прим е р 1 .
Вектор⎯ a задан координатами своих концов А и В: (2;1;4), (1;3;2)A B . Найти проекции вектора⎯ a на координатные оси и найти его длину.
Р еш е н и е :
27
Проекции вектора⎯ a на координатные оси соответственно равны: 1 2 1, 3 1 2, 2 4 6x y za a a= − = − = − = = + = .
Длина вектора или его модуль 2 2 2 1 4 36 41 6, 403x y za a a a= + + = + + = ≈ .
Прим е р 2 : Даны векторы (1;2;3), ( 1;0;3), (2;1; 1) и (3;2;2)a b c d− − в некотором базисе. Показать, что
векторы , , и da b c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисе. Р еш е н и е : Векторы образуют базис, если они линейно независимы, другими словами, если уравнения,
входящие в систему: 2 0
2 0 03 3 0
α β γα β γα β γ
− + =⎧⎪ + ⋅ + =⎨⎪ + − =⎩
линейно независимы.
Тогда d a b cα β γ= + + . Это условие выполняется, если определитель матрицы системы отличен от нуля. 1 1 22 0 1 03 3 1
−≠
−.
1 1 20 1 2 1 2 0
2 0 1 2 3 ( 2 3) 12 4 01 1 3 1 3 3
3 3 1
−= + + = − + − − + = ≠
− −−
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
a b c da b c da b c d
α β γα β γα β γ
+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪ + + =⎩
Для решения этой системы воспользуемся методом Крамера.
1 1 1
1 2 2 2
3 3 3
3 1 20 1 2 1 2 0
2 0 1 3 2 3( 3) ( 2 2) 12 1.3 1 2 1 2 3
2 3 1
d b cd b cd b c
−Δ = = = + + = − + − − + = −
− −−
1 1/ 4α Δ= = −Δ
;
1 1 1
2 2 2 2
3 3 3
1 3 22 2 1 ( 2 2) 3( 2 3) 2(4 6) 4 15 4 7;3 2 1
a d ca d ca d c
Δ = = = − − − − − + − = − + − =−
2 7 / 4;β Δ= =Δ
1 1 1
3 2 2 2
3 3 3
1 1 32 0 2 6 (4 6) 18 10;3 3 2
a b da b da b d
−Δ = = = − + − + =
28
3 5 / 2;γ Δ= =Δ
Итого, координаты вектора d в базисе { }: 1/ 4,7 / 4,5 / 2abc d = − .
Практическое занятие №6. Скалярное произведение векторов Цель: научить вычислять скалярное произведение векторов и применять его для вычисления
угла между векторами, работы. Структура занятия: Повторение теоретического материала: свойства скалярного произведения векторов,
вычисление скалярного произведения. 1. Вычисление скалярного произведения векторов заданных в прямоугольной системе
координат. 2. Вычисление скалярного произведения векторов, выраженных через два других вектора. 3. Нахождение проекции вектора на ось, длины векторов, угла между векторами, работы. Образцы решения задач: Прим е р 1 .
Найти (5 3 )(2 )a b a b+ − , если 2, 3, .a b a b= = ⊥
Р еш е н и е : 2 2
(5 3 )(2 ) 10 5 6 3 10 3 40 27 13a b a b a a a b a b b b a b+ − = ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ = − = − = ,
т.к.22 4, 9, 0a a a b b b a b⋅ = = ⋅ = = ⋅ = .
Прим е р 2 .
Найти угол между векторами и a b , если 2 3 ,a i j k= + +
6 4 2b i j k= + − . Р еш е н и е :
(1;2;3), (6;4;2).
6 8 6 8 :
1 4 9 14; 36 16 4 56
8 8 4 2 2cos ; arccos .14 7 714 56 2 14 14
a b a b a b
a b a b a b
a b
a b x x y y z z
a b
x x y y z za b
ϕ ϕ
= =
⋅ = + + = + − =
= + + = = + + =
+ += = = = = =⋅
Прим е р 3 .
Найти скалярное произведение (3 2 ) (5 6 )a b a b⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ , если 4, 6, ^ / 3.a b а b π= = =
Р еш е н и е :
29
22 1(3 2 ) (5 6 ) 15 18 10 12 15 28 cos 12 15 16 28 4 6 12 363 2
240 336 432 672 336 336
a b a b a a a b a b b b a a b bπ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = − + = ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ =
= − + = − =
Прим е р 4 . При каком m векторы и 3 3 4a mi j b i j k= + = − − перпендикулярны. Р еш е н и е : Вектора перпендикулярны, если 0;a b⋅ =
( ,1,0); (3; 3; 4)
3 3 0; 1
a m b
a b m m
= = − −
⋅ = − = ⇒ =
Практическое занятие №7. Векторное и смешанное произведение векторов Цель: научить находить векторное и смешанное произведение векторов произведение
векторов и применять их в решении геометрических и физических задач. Структура занятия: 1. Векторное произведение. Свойства. 2. Векторное произведение векторов, заданных в прямоугольной системе координат.
Нахождение площадей треугольника, параллелограмма, вычисления момента сил. 3. Смешанное произведение векторов. Свойства. Вычисление объемов параллелепипеда,
призмы, пирамиды. 4. Решение задач тренировочного теста.
Векторное произведение Образцы решения задач Прим е р 1 : Вычислить площадь треугольника с вершинами (2;2;2), (4;0;3), (0;1;0)A B C . Р еш е н и е :
0,5S ABC AB AC= ⋅ ×
Найдем координаты векторов (0 2;1 2;0 2) ( 2; 1; 2)
(4 2;0 2;3 2) (2; 2;1)
AC
AB
= − − − = − − −
= − − − = −
Найдем векторное произведение
1 2 2 2 2 12 1 2 ( 1 4) ( 2 4)
2 1 2 1 2 22 2 1
(4 2) 5 2 6 .
i j kAC AB i j k i j
k i j k
− − − − − −× = − − − = − + = − − − − + +
− −−
+ + = − − +
30
Вычислим модуль вектора 25 4 36 65.AC AB× = + + =
Вычислим площадь 265 (ед )2
SΔ = .
Прим е р 2 . Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах 3 ; 3 ,a b a b+ ⋅ ⋅ + если
01; ^ 30 .a b a b= = =
Р еш е н и е : Найдем векторное произведение: ( 3 ) (3 ) 3 9 3 9 8a b a b a a a b b a b b b a b a b a+ × + = × + × + × + × = − × + × = ×
Найдем площадь 0 28 sin 30 4(ед )S b a= = .
Смешанное произведение Прим е р 3 . Доказать, что точки (5;7;2), (3;1;1), (9;4;4), (1;5;0)A B C D= = лежат в одной плоскости. Р еш е н и е :
1. Найдем координаты векторов:
( 2; 6;1)
(4; 3; 2)
( 4; 2;2)
AB
AC
AD
= − −
= − −
= − −
2. Найдем смешанное произведение полученных векторов: 2 6 1 2 6 1 0 6 1
4 3 2 0 15 0 0 15 0 04 2 2 0 10 0 0 10 0
AB AC AD− − − − −
⋅ ⋅ = − − = − = − =− −
,
Таким образом, полученные выше векторы компланарны, следовательно, точки , , и A B C D лежат в одной плоскости.
Прим е р 4 . Найти объем пирамиды и длину высоты, опущенной на грань BCD, если вершины имеют координаты (0;0;1), (2;3;5), (2;3;5), (3;7;2)A B C D .
Р еш е н и е :
Найдем координаты векторов:
( )2; 3; 4
(1;4; 3)
(4; 1; 2)
BA
BD
BC
= − − −
= −
= − −
Объем пирамиды
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )3
2 3 41 1 11 4 3 2 8 3 3 2 12 4 1 16 22 30 68 206 6 6
4 1 2V e
− − −= = − = − − − + − + − − − = + + = ∂
− −
1. Для нахождения длины высоты пирамиды найдем сначала площадь основания BCD.
31
1 4 3 ( 8 3) ( 2 12) ( 1 16) 11 10 174 1 2
i j kBD BC i j k i j k× = − = − − − − + + − − = − − −
− −
2 2 211 10 17 121 100 289 510BD BC× = + + = + + =
510 / 2Sосн = (ед2)
Т.к. 3
оснS hV ⋅= ; 3 120 4 510 .17510осн
VhS
= = = (ед)
Тест-тренинг для самоконтроля по модулю «Векторная алгебра»
1. Какой вектор является суммой векторов AB и ⎯ AC .?
В
А
Р
С
1) ______
ВС 2) ______
СВ 3) ______
АР 4) ______
ВР 5) ______
СР
2. Какое из свойств векторного произведения верно? 1) a b b a× = × 2) a b b a× = − ×
3. Какое из выражений означает скалярное произведение векторов m и n ? 1) m n× 2) пр m n+ 3) ( ),m n 4) m n 5) n
4. По какой формуле вычисляется угол между векторами a и b ?
1) cos( )a b a b∧ 2) sin( )a b a b∧ 3) ( , )arccos a ba b
4) ( )arcsin a ba b
∧
5) ( )cos a ba b
∧
5. Чему равно скалярное произведение двух перпендикулярных векторов? 1) 0 2) 1 3) не существует
6. Выразить через единичные векторы 6 2i j− и j вектор AB , если A(-2,-1), B(4,-3)
1) 2 4i j− 2) 6 4i j− − 3) 6 4i j−
4) 6 2i j− 5) 2 2i j+
7. Найти скалярное произведение векторов ( ) ( )2, 3,1 , 3,0, 4a b= − = −
1) -4 2) 10 3) 6 4) 3 5) 2 8. Найти векторное произведение векторов = 2 +3 +5 , = +2 + a i j k b i j k
32
1) 7 3i j k− − − 2) 13 3) 7 3i j k− − +
4) 2 6 5i j k+ + 5) 7 3i j k− − −
9. Найти длину вектора ( )4,5,3a =
1) 3 5 2) 5 2 3) 7 4) 51 5) 3 5
10. Найти проекцию вектора a b+ на вектор c , если ( ) ( ) ( )2,3,4 , 1,0,1 , 3,4,1a b c= = − =
1) 4 2) 2520
3) 5 4) 2026
5) 526
11. Найти вектор 4 3c a b= − , если (1,3,0); ( 2,4,3)a b= = − 1) (-2,24,9) 2) 14 3) (10,0,-9) 4) 12 5) (2,12,0) 12. Коллинеарны ли векторы ( ) ( )2,5,3 ; 4,10,6a b= = ?
1) Да 2) Нет 13. Компланарны ли векторы ( ) ( ) ( )1,0,2 , 3, 1, 4 , 1, 1,0a b c= = − = − ?
1) Да 2) Нет 14. Найти орт вектора ( )4,3,1b =
1) 426
; 2) 326
; 3) 126
; 4) 126
; 5) 4 3 1; ;26 26 26
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
15. Найти смешанное произведение векторов 2 , 3 4 ,a i k b i j k c i j= + = − + = −
1) 8 2) -4
3)0
4)10 5)-8
№ задания
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
ответ 3 2 3 3 1 4 5 1 2 4 3 1 1 5 3
33
Модуль №3 Аналитическая геометрия
Алгоритм самостоятельной работы При изучении модуля «Аналитическая геометрия» студент должен самостоятельно
выполнить следующие действия: • ознакомится с языком дисциплины • ответить на основные вопросы модуля • ознакомится со знаниями и умениями по данному модулю • выполнить вариант предложенного домашнего задания • выполнить тест-тренинг
Основные понятия модуля • Система координат • Прямоугольная система координат • Полярная система координат • Расстояние между двумя точками • Уравнение линии • Текущие координаты точек линии • Линии (кривые) второго порядка • Эллипс • Гипербола • Эксцентриситет • Фокальный радиус • Парабола • Уравнение данной поверхности • Расстояние от точки до плоскости
Основные вопросы модуля • Уравнение прямой на плоскости • Уравнение прямой с угловыми коэффициентами • Уравнение прямой общее • Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении • Уравнение прямой, проходящей через две точки • Уравнение прямой, проходящей через данную точку, перпендикулярно данному вектору • Уравнение прямой полярное • Что называется окружностью • Что называют эллипсом • Что называется гиперболой • Что называется параболой • Каноническое уравнение эллипса
34
• Каноническое уравнение гиперболы • Каноническое уравнение параболы • Уравнение плоскости в пространстве • Что называется нормальным вектором плоскости • Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному
вектору • Уравнение плоскости, проходящей через 3 данные точки • Уравнение плоскости в отрезках • Нормальное уравнение плоскости • Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух
плоскостей • Канонические уравнения поверхностей второго порядка
Требование к знаниям и умениям После изучения темы «Аналитическая геометрия» студент должен знать: • Различные виды уравнения прямой на плоскости. • Понятие кривых второго порядка • Понятие поверхностей второго порядка • Различные виды уравнения плоскости • Различные виды уравнения прямой в пространстве Студент должен уметь: • Строить прямую и написать уравнение прямой угловыми коэффициентами • Строить прямую и написать уравнение, проходящей через данную точку в данном
направлении • Строить прямую и написать уравнение прямой, проходящей через две точки • Строить прямую и написать уравнение прямой, проходящей через данную точку,
перпендикулярно данному вектору • Строить кривые второго порядка • Исследовать кривую второго порядка • Строить поверхности
Практическое занятие №8. Прямая на плоскости Цел ь : Закрепить основные понятия темы, научиться решать задачи по составлению
уравнения прямой на плоскости. I. Повторить основные понятия. II. Устно: Образцы решения задач:
35
З а д а ч а 1 . Прямые 3 4 5 0x y− + = и 6 8 3 0x y− − = параллельны, т.к. их угловые
коэффициенты 134
K = и 26 38 4
K = = равны. Условие параллельности выполнено.
З а д а ч а 2 . Определить, при каком значении K прямая 3y Kx= + будет перпендикулярна
прямой 4 1y x= − . Угловой коэффициент второй прямой равен 2 4K = . Из условия
перпендикулярности получим 4 1K ⋅ = − . Отсюда 14
K = − .
Прим е р 1 . Дано общее уравнение прямой 12 5 65 0x y− − = . Требуется написать
различные типы уравнений этой прямой. Р еш е н и е :
уравнение этой прямой в отрезках:
( ) ( )
12 15 165 65
1 165 /12 13
x y
x y
− =
+ =−
• уравнение этой прямой с угловым коэффициентом: (делим на 5) 12 65 12 135 5 5
y x x= − = −
• нормальное уравнение прямой:
2 2
1 1 12 5 12 5; 5 0; cos ; sin ; 513 13 13 13 1312 ( 5)
x pμ ϕ ϕ= = − − = = = − =+ −
.
З а д а ч а 3 . Составить уравнение прямой, проходящей через точки (1, 2)M и ( )3, 1B − .
2 11 1
2 1
( )y yy y x xx x
−− = −−
Р еш е н и е .
Согласно или 1 1
2 1 2 1
y y x xy y x x
− −=− −
уравнение искомой прямой имеет вид:
2 31 2 1 3
y x− −=− − −
, откуда 2 33 2
y x− −=− −
или ( ) ( )2 2 3 3y x− = − , окончательно получаем искомое
уравнение 3 2 5 0x y− − = . З а д а ч а 4 . Составить уравнение прямой, проходящей через точку ( )2,1M и точку
пересечения прямых, 1 0, 2 0x y x y+ − = − + = . Р еш е н и е . Координаты точки пересечения прямых найдём, решив совместно данные уравнения
1 02 0
x yx y
+ − =⎧⎨ − + =⎩
3y Kx= +
36
Если сложить почленно эти уравнения, получим 2 1 0x + = , откуда 12
x = − . Подставим
найденное значение в любое уравнение, найдём значение ординаты y: 1 2 02
y− − + = или 32
y = .
Теперь напишем уравнение прямой, проходящей через точки (2,1) и 1 3,2 2
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
:
1 23 11 22 2
y x− −=− − −
или 1 21 5
y x− −=−
.
Отсюда 1 21 5
y x− −=−
или ( )5 1 2y x− − = − .
Окончательно получаем уравнение искомой прямой 5 7 0x y+ − = . З а д а ч а 5 . Пусть дана точка ( )1,1M − и прямая 3 4 12 0x y− + = . Необходимо найти
расстояние от этой точки до прямой EF . Р еш е н и е : Эту задачу можно легко решить, используя общую формулу вычисления расстояния d от
точки ( )0 0,M x y до прямой 0Ax By C+ + = , которая имеет вид:
0 02 2
| |Ax By CDA B+ +=
+.
Для нашей задачи мы получим:
2 2
| 3( 1) 4 1 12 | 5 1253 4
D − − ⋅ += = =+
.
З а д а ч а 6 . Найти уравнение прямой, проходящей через точку (1, 2)A перпендикулярно
вектору ( )3, 1n − .
Р еш е н и е : Составим при 3A = и 1B = − уравнение прямой: 3 0x y C− + = . Для нахождения
коэффициента C подставим в полученное выражение координаты заданной точки A . Получаем: 3 2 0C− + = , следовательно 1C = − . Итого: искомое уравнение: 3 1 0x y− − = . V. Домашнее задание № 1; 2; 3 из И.Д.З.
Практическое занятие №9. Плоскость и Прямая в пространстве Цель: Закрепить основные понятия темы, научиться составлять уравнения прямых в
пространстве. Образцы решения задач: З а д а ч а 1 . Найти точку пересечения прямой и плоскости.
37
1 2 3 , 3 5 9 03 2 2
x y z x y z+ + −= = + − + =− −
Р еш е н и е : 1. Запишем параметрические уравнения прямой.
1 3 ,1 2 3 2 2 ,
3 2 23 2 .
x tx y z t y t
z t
= − −⎧+ + − ⎪= = = ⇒ = − +⎨− − ⎪ = −⎩
2. Подставляем в уравнение плоскости: ( 1 3 ) 3( 2 2 ) 5(3 2 ) 9 0,
1 3 6 6 15 10 9 0,13 13 0,
1.
t t tt t t
tt
− − + − + − − + =− − − + − + + =
− ==
Откуда координаты точки пересечения прямой и плоскости будут ( 4; 0;1)− . З а д а ч а 2 . Написать канонические уравнения прямой. 2 3 6 0, 3 2 3 0x y z x y z+ + + = − − + = Канонические уравнения прямой:
0 0 0x x y y z zm n p− − −= = ,
где 0 0 0( ; ; )x y z – координаты какой-либо точки прямой, { }, ,s m n p= – ее направляющий вектор.
Находим направляющий вектор.
{ }
1 2 2 3 1 3 5 9 .1 3 2
3; 5; 9
i j ks n n i j k
s
= × = = − + −− −
⇒ = − −
Найдем какую-либо точку прямой 0 0 0( ; ; )x y z . Пусть 0 0z = , тогда
0 0 0
0 0 0
2 3 6 0, 3,3 3 0. 0.
x y xx y y
+ + = = −⎧ ⎧⇒⎨ ⎨− + = =⎩ ⎩
Следовательно, ( 3; 0; 0)− – координаты точки, принадлежащей прямой.
Канонические уравнения прямой: 33 5 9
x y z+ = =− −
З а д а ч а 3 . Найти уравнение плоскости, зная, что точка (4; 3;12)P − – основание
перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость. Р еш е н и е :
( )4, 3,12 ; 16 9 144 169 13
4 3 12; ;13 13 13
OP OP
N
= − = + + = =
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
38
Таким образом, Координаты нормали к плоскости равны 4 3 12; ;13 13 13
A B C= = − = ,
воспользуемся формулой:
( 0) ( 0) ( 0) 0A x x B y y C z z− + − + − = .
4 3 12( 4) ( 3) ( 12) 013 13 134 16 3 9 12 144 0
13 13 13 13 13 134 3 12 169 0
13 13 13 134 3 12 169 0
x y z
x y z
x y z
x y z
− − + + − =
− − − + − =
− + − =
− + − =
З а д а ч а 4 . Найти уравнение плоскости, проходящей через две точки
(2;0; 1)P − и (1; 1;3)Q − перпендикулярно плоскости 3 2 5 0x y z+ − + = . Р еш е н и е : Вектор нормали к плоскости 3 2 5 0 (3;2; 1)x y z N+ − + = = − параллелен искомой плоскости. Получаем:
2 0 11 2 1 0 3 1 0
3 2 1
2 11 1 4 0
3 2 1( 2)(1 8) (1 12) ( 1)( 2 3) 0
7( 2) 11 ( 1) 07 14 11 1 07 11 15 0
x y z
x y z
x y zx y z
x y zx y z
− − +− − − + =
−
− +− − =
−− − − − + + − + =
− − + + + =− + + + + =− + + + =
З а д а ч а 5 . Найти уравнение плоскости, проходящей через точки (2; 1;4)A − и (3;2; 1)B −
перпендикулярно плоскости 2 3 0x y z+ + − = . Р еш е н и е : Искомое уравнение плоскости имеет вид: 0Ax By Cz D+ + + = , вектор нормали к этой
плоскости 1( , , )n A B C . Вектор (1,3, 5)AB − принадлежит плоскости. Заданная нам плоскость,
перпендикулярная искомой имеет вектор нормали 2 (1,1,2)n . Т.к. точки A и B принадлежат обеим плоскостям, а плоскости взаимно перпендикулярны, то
1 2
3 5 1 5 1 31 2 5 11 7 2
1 2 1 2 1 11 1 2
i j kn AB n i j k i j k
− −= × = − = − + = − −
39
Таким образом, вектор нормали 1(11, 7, 2)n − − . Т.к. точка А принадлежит искомой плоскости, то ее координаты должны удовлетворять уравнению этой плоскости, т.е. 11 2 7 1 2 4 0; 21D D⋅ + ⋅ − ⋅ + = = − .
Итого, получаем уравнение плоскости: 11 7 2 21 0x y z− − − = . Домашнее задание № 4; 5; 6 из И.Д.З.
Практическое занятие №10. Кривые второго порядка Цель: Закрепить основные понятия темы, научиться составлять уравнения кривых второго
порядка, определять свойства кривых второго порядка по уравнению. З а д а ч а 1 . Составить каноническое уравнение эллипса, зная, что расстояние между
фокусами равно 8 , а малая полуось 3b = . Р еш е н и е . По условию 2 8c = , т.е. 4, 3c b= = .
Мы знаем, что 2 2 2b a c= − , отсюда 2 2 2a b c= + , т.е. 2 2 23 4 25a = + = или 5a = . Уравнение эллипса имеет вид:
2 2
125 9x y+ = .
З а д а ч а 2 . Найти координаты фокусов и вершин гиперболы 2 216 9 144x y− = . Написать уравнение её асимптот и вычислить эксцентриситет.
Р еш е н и е . Напишем каноническое уравнение гиперболы, для этого обе части уравнения поделим на
144 . После сокращения получим: 2 2
19 16x y− = .
Отсюда видно, что 2 9a = , т.е. 3a = и 2 16b = , т.е. 4b = . Для гиперболы 2 2 2 16 9 25c a b= + = + = , отсюда 5c = . Теперь можем написать координаты вершин и фокусов гиперболы:
1 2 1 2(3,0), ( 3,0), (5,0), ( 5,0)A A F F− − .
Эксцентриситет 53
ca
ε = = , а уравнения асимптот имеют вид:
43
y x= и 43
y x= − .
З а д а ч а 3 . Составить уравнение параболы и её директрисы, зная, что она симметрична
относительно оси OY , фокус находится в точке ( )0;2F , вершина совпадает с началом координат.
Р еш е н и е .
Будем искать уравнение параболы в виде 2 2x py= . По условию 22p = , а значит 4p = .
Итак, искомое уравнение имеет вид: 2 8x y= , уравнение её директрисы: 2y = − . З а д а ч а 4 . Найдите координаты центра и радиус окружности:
40
2 2 8 16 41 0x y x y+ − + − = Р еш е н и е . Выделяя полные квадраты суммы и разности слагаемых в левой части уравнения, получим:
2 2( 8 16) 16 ( 16 64) 64 41 0x x y y− + − + + + − − = или;
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 24 8 16 64 41 121; 4 8 11x y x y− + + = + + = − + + = .
Центр: (4, 8)C − , Радиус: 11R = . Задача 5. Установить вид кривой второго порядка, заданной уравнением
2 10 2 11 0x x y+ − + = . Р еш е н и е . Указанное уравнение определяет параболу ( 0)C = . Действительно,
2 10 25 2 11 25 0x x y+ + − + − = , 2 2( 5) 2 14, ( 5) 2( 7)x y x y+ = + + = + .
Получилось каноническое уравнение параболы с вершиной в точке 1( 5, 7)O − − и 1p = .
З а д а ч а 6 . Установить вид кривой второго порядка, заданной уравнением
2 24 8 8 12 0 ( 4 0)x y x y A C− + − − = ⋅ = − < . Р еш е н и е . Преобразуем уравнение:
2 2
2 2
4( 2 1) ( 8 16) 4 16 12 0,4( 1) ( 4) 0,(2( 1) ( 4)) (2( 1) ( 4)) 0,(2 6)(2 2) 0
x x y yx yx y x y
x y x y
+ + − + + − + − =+ − + =+ + + ⋅ + − + =
+ + − − =
.
Это уравнение определяет две пересекающиеся прямые 2 6 0x y+ + = и 2 2 0x y− − = V. Домашнее задание № 7; 8; 9; 10; 11; 12 из И.Д.З.
Практическое занятие №11. Поверхности второго порядка Цель: Закрепить основные понятия темы, научиться строить (эскизно) поверхности второго
порядка.
Построение эллипсоида Эллипсоидом называется поверхность, которая в декартовых прямоугольных координатах
задаётся каноническим уравнением вида: 2 2 2
2 2 2 1x y za b c
+ + = ,
где: , ,a b c - полуоси эллипсоида. При , ,a b c R= эллипсоид превращается в сферу с радиусом R .
41
z
c h
a b
y
x
Форму эллипсоида изучают с помощью метода параллельных сечений, когда исследуемую поверхность пересекают плоскостями, параллельными координатным плоскостям. Строятся кривые, полученные в сечении, и по этим кривым воспроизводится вся поверхность.
Сечения эллипсоида горизонтальными плоскостями z h= являются эллипсами: 2 2 2
2 2 21x y ha b c
+ = − .
Сечения эллипсоида вертикальными плоскостями x h= или y h= являются эллипсами: 2 2 2
2 2 21y z hb c a
+ = − или 2 2 2
2 2 21x z ha c b
+ = − .
Построение гиперболоида Различают однополостные и двухполостные гиперболоиды. Однополостным гиперболоидом называется поверхность, задаваемая в декартовых
прямоугольных координатах каноническим уравнением вида: 2 2 2
2 2 2 1x y za b c
+ − = ,
где: , ,a b c - полуоси гиперболоида, ось OZ - ось симметрии.
42
z
b O
a
x
y
Форму поверхности гиперболоида изучают также с помощью метода параллельных сечений. Сечения гиперболоида горизонтальными плоскостями z h= являются эллипсами:
2 2 2
2 2 21x y ha b c
+ = + .
Сечения гиперболоида вертикальными плоскостями x h= или y h= являются
гиперболоидами вида: 2 2 2
2 2 21y z hb c a
− = − или 2 2 2
2 2 21x z ha c b
− = − .
Двухполостным гиперболоидом называется поверхность, задаваемая в декартовых прямоугольных координатах каноническим уравнением вида:
2 2 2
2 2 2 1x y za b c
+ − = −
Сечения гиперболоида горизонтальными плоскостями ( ),z h h c= > являются эллипсами: 2 2 2
2 2 2 1x y ha b c
+ = − .
Сечения гиперболоида вертикальными плоскостями x h= или y h= являются
гиперболоидами вида: 2 2 2
2 2 2 1y z hb c a
− = − − или 2 2 2
2 2 2 1x z ha c b
− = − − .
43
x
a O
b y
c
z
Домашнее задание № 13 из И.Д.З.
Тест-тренинг для самоконтроля по модулю «Аналитическая геометрия» 1. Общее уравнение прямой имеет вид
1) Ах Ву С 0+ + = 2) y kx b= +
3) 1x ya b
+ = 4) cos х с у 0os pα β+ + =
5) 0 1
0 2
x x a ty y a t
= +⎧⎨ = +⎩
2. Как проходит прямая, заданная уравнением 2 0y = ? 1) пересекает OX и OY 2) параллельно OX 3) параллельно OY 4) совпадает с OX 5) совпадает с OY
3. Уравнение прямой, заданное начальной точкой 0 0 0( ; )M x y и нормальным вектором
( , )n A B имеет вид
1) 0 0 0Ax By C+ + = 2) 0 0( ) ( ) 0A x x B y y− + − =
3) 0 0( ) ( )x x y yA B− −= 4) 0 0( ) ( )y y B x x− = −
5) 0 0( ) ( )x x y yB A− −=
4. Координаты точки, делящей отрезок в данном отношении, вычисляются по формуле
1) 2 22 1 2 1( ) ( )x x y y− + − 2) ( ) ( )1 2 1 2;
2 2x x y y
x y+ +
= =
3) 2 1 2 1;x x x y y y= − = − 4) 1 2 1 2;x x x y y y= + = +
5) 1 2 1 2; 1 1
x x y yx yλ λλ λ
+ += =+ +
5. Угол между двумя прямыми находится по формуле
44
1) 1 2 1 22 2 2 2
1 1 2 2
arccos A A B BA B A B
++ ⋅ +
2) 1
2
cos AA
3) 1 2
1 2
cos a aa a
⋅⋅
4) 1
2
cos BB
5) 1 2
1 2
11
k kk k
−+
6. Уравнение плоскости, проходящей через точку 0 0 0 0( ; ; )M x y z и перпендикулярной вектору ( , , )N A B C
1) Ах Ву С 0z D+ + + = 2) 0 0 0x 0y zA B C
+ + =
3) 0 0 0( ) ( ) ( ) 0A x x B y y C z z− + − + − = 4) 0 0 0 0Ax By Cz D+ + + =
5) 0 0 0
0A B Cx y z
+ + =
7. Условие перпендикулярности прямой 0 0 0
1 2 3
x x y y z zm m m− − −= = и плоскости
0Ax By Cz D+ + + =
1) 1 2 3 0Am Bm Cm+ + = 2) 1 2 3
A B Cm m m
= =
3) 31 2х z mm y mA B C
−− −= = 4) 1 2 32 2 2
Am Bm CmA B C
+ ++ +
5) 1 2 32 2 2
1 2 3
Am Bm Cmm m m
+ ++ +
8. Угол между прямой 0 0 0x x y y z zl m n
− − −= = и плоскостью 0Ax By Cz D+ + + =
вычисляется по формуле
1) 2 2 2
Al Bm CnA B C
+ ++ +
2) cos Al Bm Cn+ +
3) 2 2 2
Al Bm Cnl m n
+ ++ +
4) 1 2 1 22 2 2 2
1 1 2 2
arccos A A B BA B A B
⋅ + ⋅+ ⋅ +
5) 2 2 2 2 2 2
arcsin Al Bm CnA B C l m n
+ ++ + ⋅ + +
9. Определить центр и радиус сферы 2 2 2 2 0x y z x y+ + − + =
1) 1 5( ;0; 1);2 2
O R− = 2) 1 5( ;0;1);2 4
O R− =
3) ( 1;0;2); 1O R− = 4) ( 1;0;2); 1O R− = −
5) 1 1( ;0; 1);2 2
O R− =
10. Определить вид поверхности 2 2 2 4 0x y z y+ + + =
1) однополостный 2) двуполостный гиперболоид
45
гиперболоид 3) эллиптический параболоид 4)сфера
5) конус
№ Задания 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Правильный ответ 1 4 2 5 1 2 2 5 1 4
46
Модуль №4 Введение в анализ
Алгоритм самостоятельной работы При изучении модуля «Введение в анализ» студент должен самостоятельно выполнить
следующие действия: • ознакомится с языком дисциплины • ответить на основные вопросы модуля • ознакомится со знаниями и умениями по данному модулю • выполнить вариант предложенного домашнего задания • выполнить тест-тренинг
Основные понятия модуля • функция • график функции • область определения функции • область значения функция • нечетная функция • периодичная функция • непрерывная функция • предел функции • бесконечно большая функция • бесконечно малая функция • ограниченные функции • декартовая система координат • полярная система координат • числовая последовательность, её предел. • предел функции при x a→ • предел функции при x → ∞ • предел функции при 0x x→
• предел функции при 0x x→ слева и справа
• точки разрыва I и II рода
Основные вопросы модуля • нахождение области определения функции • исследование функций на четность и нечетность • нахождение периода функций • построение графиков элементарных функций в декартовой системе координат с
помощью графических преобразований • построение графиков функций в полярной системе координат
47
• связь декартовой и полярной систем координат • графическая иллюстрация определения предела функции в точке • основные теоремы о пределах суммы, произведения и частного двух функций • Свойства бесконечно больших функций • Свойства бесконечно малых функций • Связь бесконечно больших и бесконечно малых функций • Сравнение бесконечно малых функций • Правила вычисления пределов
1. Раскрытие неопределенности виде 0 ,0
∞⎛ ⎞⎜ ⎟∞⎝ ⎠
2. Раскрытие неопределенности виде ( )∞ − ∞
• I и II замечательные пределы • Основные теоремы о непрерывности элементарных функций • Непрерывность функции на отрезке, её свойства
Требования к знаниям и умениям В результате изучения модуля студент должен знать: • понятие функции • графики элементарных функций • основные свойства функций (область определение, область значения, четность,
нечетность, периодичность, непрерывность) • понятие декартовой и полярной систем координат • понятие предела • теоремы о пределах • понятие бесконечно больших и бесконечно малых функций • I и II замечательные пределы • определение точек разрыва I и II рода • теоремы о непрерывности студент должен уметь: • находить область определение элементарных функции • строить графики функций в любых системах координат • владеть техникой нахождения пределов • уметь исследовать функции на непрерывность
Практическое занятие №12. Декартовая и полярная системы координат Цель: научить строить графики функций в различных системах координат. Структура занятия: I. Построение графика в декартовой системе координат; II. Построение графика в полярной системе координат; Образцы решения задач
48
Прим е р 1 : 1. Найти область определения функции:
arcsin 23xy x= + − ;
Р еш е н и е : 3 3;1 1;
32,2 0,
x xxx
⎧ − ≤ ≤− ≤ ≤ ⎧⎪⎨ ⎨ ≥⎩⎪ − ≥⎩
Ответ: Д(у): [ ]2 : 3x ∈ .
Прим е р 2 :
Уравнение кривой в полярной системе координат имеет вид 43 cos
rϕ
=−
. Найти уравнение
кривой в декартовой прямоугольной системе координат, Р еш е н и е :
Воспользуемся связью декартовой прямоугольной и полярной системы координат: 2 2
2 2; cos xr x y
x yϕ= + =
+;
4
3 cosr
ϕ=
−
2 2
2 2
4
3x y x
x y
+ =−
+
2 23 4x y x+ − = 2 23 4x y x+ = +
2 2 29 9 16 8x y x x+ = + + 2 28 8 9 16 0x x y− + − =
2 28( 1/ 4) 8 1/ 4 9 16 0x x y− + − ⋅ + − = 2 28( 1/ 2) 2 9 16 0x y− − + − = 2 28( 1/ 2) 9 18x y− + =
2 2( 1/ 2) 19 / 4 2
x y− + =
Домашнее задание:
- 2
х
-3 2 3х
49
• Предел. • Задание 1-6 из ИДЗ.
Практическое занятие №13. Вычисление пределов. I замечательный предел
Цель: научить вычислять пределы. Структура занятия:
I. Вычисление пределов вида ( )0 , ,0
∞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ∞ − ∞⎜ ⎟ ⎜ ⎟∞⎝ ⎠ ⎝ ⎠.
II. I замечательный предел.
I. Вычисление пределов вида ( )0 , ,0
⎛ ∞ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ∞ − ∞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∞⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠.
Образцы решения задач: Прим е ры :
1. 2 2
0 0
0 0lim lim 04 0 4 4x x
xx→ →
= = =− − −
;
2. ( )( )( )
2 2
2 23 3 3 3
3 39 3 9 0 3 6lim lim lim lim 23 3 3 3 0 3 3x x x x
х хx хx х х х х→ → → →
− +− − +⎛ ⎞= = = = = =⎜ ⎟− − ⋅ −⎝ ⎠;
3.
( )( )( )
( ) ( )
0 0 0
0 0
4 2 4 24 2 0 4 2 0lim lim lim0 0 4 2
4 4 1 1lim lim44 2 4 2
x x x
x x
х ххх х х
хх х х
→ → →
→ →
+ − + ++ − + − ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟⎝ ⎠ + + ⋅
+ −= = =+ + ⋅ + +
4. 2 2
2
2
919 1 0lim lim lim 133 1 01x x x
x хх
х→∞ →∞ →∞
−− ∞ −⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟+ ∞ +⎝ ⎠ +;
5. 2
3 2
313 1lim lim lim 03 3x x x
х хх х х→∞ →∞ →∞
++ ∞= = = =+ ∞ + ∞
.
6. Найти предел 0
5limsin 7x
tg xx→
Р еш е н и е : Так как 5 ~ 5tg x x и sin 7 ~ 7x x при 0x → , то, заменив функции эквивалентными
бесконечно малыми, получим:
0 0
5 5 5lim limsin 7 7 7x x
tg x xx x→ →
= =
7. Найти предел 3
0lim
1 cosx
xx→ −
.
Р еш е н и е :
50
Так как 2
21 cos 2sin ~ 22 2x xx ⎛ ⎞− = ⎜ ⎟
⎝ ⎠ при 0x → , то
3 3
20 0 0lim lim lim 2 0
1 cos2
x x x
x x xxx→ → →
= = =−
.
8. 2 2
2 2 20 0 0
1 cos 2 2sin 2lim lim lim 2x x x
x x xx x x→ → →
− = = = ;
9. 0 0 0
cos 4 cos 2 2sin 3 sin 2 3lim lim lim 3sin 2 sin 2 2x x x
x x x x x xx x x x x x→ → →
− − ⋅ − ⋅ ⋅= = = −⋅
Домашнее задание: • II замечательный предел; • Непрерывные функции; • Задание 7 (а-м) из ИДЗ.
Практическое занятие №14. Исследование функции на непрерывность Цель: научить вычислять пределы Структура занятия: I. II замечательный предел II. Исследование функции на непрерывность
II замечательный предел
Прим е р :
1. 12 3 2lim lim 0
3 2 3
x
x x
xx
− ∞
→∞ →∞
+⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2. Вычислить предел
4 43 3
444
13 1 4 4 4 4lim lim lim lim 1 lim 11 1
1 1lim 1 lim 14
y yx x
x x y y y
z z
z z
y xx x yxx x y y y
y
yz ez z
++ +
→∞ →∞ →∞ →∞ →∞
→∞ →∞
= −⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + +⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = → ∞ = = + ⋅ + =⎨ ⎬ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪→ ∞⎩ ⎭
⎛ ⎞⎧ ⎫ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = + = + =⎜ ⎟⎨ ⎬ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎩ ⎭ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
3.
( )( )
2 13 1 3 11 2 1 22 lim3 1 33 1 2lim lim 1
3 1 3 1x
хх хx хх
x x
x е еx х
→∞
⋅ −− −− −−
→∞ →∞
⎛ ⎞+⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟= + = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
.
Исследование функции на непрерывность
Прим е р : 2 3 2
2х хух− +=
−
Р еш е н и е : По определению функции, непрерывной в точке
0 000 0
lim ( ) lim ( ) ( )x х x х
f x f x f x→ + → −
= =
51
Проверим точку 0 2x =
( )( )2
2 0 2 0
2 13 2lim lim 12 2x x
х хх хх х→ + → +
− −− + = =− −
; ( )( )2
2 0 2 0
2 13 2lim lim 12 2x x
х хх хх х→ − → −
− −− + = =− −
00( ) (2)0
f x f= = - не существует, и 02 0 2 0lim ( ) lim ( ) ( )
x xf x f x f x
→ + → −= ≠ , значит
0 2x = – точка разрыва первого рода – устранимый разрыв.
Прим е р . Исследовать на непрерывность функцию и определить тип точек разрыва, если
они есть.
2
4, 1( ) 2, 1 1
2 , 1
x xf x x x
x x
+ < −⎧⎪= + − ≤ ≤⎨⎪ ≥⎩
1 0
1 0
lim ( ) 3
lim ( ) 3x
x
f x
f x→− −
→− +
=
= 1 0
1 0
lim ( ) 3
lim ( ) 2x
x
f x
f x→ −
→ +
=
=
в точке 1x = − функция непрерывна в точке 1x = точка разрыва 1 – го рода
Прим е р . Исследовать на непрерывность функцию и определить тип точек разрыва, если
они есть.
2
cos , 0( ) 1, 0 1
, 1
x xf x x x
x x
≤⎧⎪= + < <⎨⎪ ≥⎩
0 0
0 0
lim ( ) 1
lim ( ) 1x
x
f x
f x→ −
→ +
=
=1 0
1 0
lim ( ) 2
lim ( ) 1x
x
f x
f x→ −
→ +
=
=
0 -1
3
2
y
x -4 1
52
в точке 0x = функция непрерывна в точке 1x = точка разрыва 1 – го рода
Прим е р . Функция 1( )f xх
= имеет в точке 0 0x = точку разрыва 2 – го рода, т.к.
0 0 0 0lim ( ) ; lim ( )
x xf x f x
→ + → −= +∞ = −∞ .
Домашнее задание: • Подготовится к тесту по модулю «Введение в анализ»; • Задание 7 (н-п), 8, 9 из ИДЗ.
Тест-тренинг для самоконтроля по модулю «Введение в анализ» 1. Функция называется нечетной, если…
1. ( ) ( )f x f x− = 4. ( ) ( )f x f x− ≠ 2. ( ) ( )f x f x− = − 5. ( ) ( ) ( )f x f x f x− ≠ ≠ − 3. ( ) ( )f x f x− = −
2. Выбрать из нижеперечисленных функций четные:
1. 2( ) sin( )f x x x= + 4. 2( ) 3f x x x x tgx= + + + ⋅
2. 2
( ) xf x x tgx e= ⋅ − 5. ( ) sinf x x tgx= +
3. ( ) 2( ) sinx xf x e e arcs x−= − ⋅
3. Найти период функции ( ) 3cos sin 65xf x x= − :
1. 10π 2. 3π 3.
2103π 4.
6π 5. 10
3π
4. Прямоугольные и полярные координаты связаны формулой: 1. sinx ρ ϕ= ⋅ 2. cosx ϕ= 3. cosx ρ ϕ= ⋅ 4. sinx ϕ= 5. x ρ=
5. Записать уравнение 2 2 4x y y+ = в полярных координатах:
0 -π/2
y
x -π
53
1. 2 4 cosρ ρ ϕ= ⋅ 4. 4 cosρ ϕ=
2. 4sinρ ϕ= 5. 24sinρ ϕ=
3. 2 2sin cos 4sinϕ ϕ ϕ+ = 6. из нижеперечисленных пределов выберите первый замечательный предел:
1. 11limx
xe
x→∞
⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠
4. 0 0
( ) ( )lim limx x x x
c f x c f x→ →
⋅ =
2. ( )1
01lim
a
aa e
→+ = 5.
01lim
x
tgxx→
=
3. 0
0
0
( )lim( )lim ( ) ( )lim
x x
x xx x
f xf xg x g x
→
→→
=
7. Из перечисленных пределов выбрать второй замечательный предел:
1. ( )1
1limn
nn e
→∞+ = 4.
0 0
( ) ( )lim limx x x x
c f x c f x→ →
⋅ =
2. 11limx
xe
x→∞
⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠
5. 0
1limx
tgxx→
=
3. ( )( ) ( ) ( ) ( )lim lim limx a x a x a
f x g x f x g x→ → →
⋅ = ⋅
8. Вычислите предел 2
13
3 4 1lim
3 27n
x xx→
− +−
:
1. 0 2. 23
3. 49
4. Не существует 5. ∞
9. Вычислить предел 2 64 1
lim 4 1
x
n
xx
+
→∞
+⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
:
1. 0 2. ∞ 3. 4e 4. 2e 5. е 10. Функция ( )y f x= называется непрерывной в точке 0x , если выполняется условие:
1. 0
( ) 0limn x
f x→
= 4. 0
0( ) 0limn x
f x→
=
2. 0
0( ) ( )limn x
f x f x→
= 5. 0 0
0( ) ( )lim limn x n x
f x f x→ →
=
3. 0
0( ) ( )limn x
f x f x→
=
11. Найти точки разрыва функции
1, если 1 2;2 , если 2 5.x x
x x− − ≤ ≤⎧
⎨ − ≤ ≤⎩
1. Точек разрыва нет 2. 1x = 3. 0x = 4. 2x = 5. 5x =
54
№ Задания 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
правильный ответ 2 2;4 1 3 2 5 1;2 3 5 2 4
Список литературы и электронных пособий
Модуль №1 1. Кострикин А.И. Введение в алгебру. М; 1997 2. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. М; 1966 3. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М; 1974 4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и
задачах. М; «Высшая школа». Часть 1, 1997 5. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. Часть 1, М; 2004 6. Сборник задач по высшей математике для ВТУЗов // Линейная алгебра и основы
математического анализа, под ред. Ефимова А.В., Демидовича Б.П., М; 1981. Чернова Ю.К. Матрицы, определители. Системы линейных уравнений.- Тольятти: ТолПИ, 1985
Модуль №2 1. А.А. Гусак. Пособие к решению задач по высшей математике. 2. П.Е. Данко, А.Г. Попов. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х ч. Учеб.
Пособие для втузов.- 5-е изд., - М.: Высш. шк., 1999. стр. 3. Я.С. Бугров, С.М. Никольский. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
- М.: Наука, 1980. -176 с 4. Шнейдер В.Е. Краткий курс высшей математики. Учеб. Пособие для втузов, М.,
«Высш.школа», 1972. стр.162-200. 5. Электронный учебник томского межвузовского центра дистанционного образования
Модуль №3 1. Я.С. Бугров, С.М. Никольский. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
- М.: Наука, 1980. -176 с 2. П.Е. Данко, А.Г. Попов. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х ч. Учеб.
Пособие для втузов.- 5-е изд., - М.: Высш. шк., 1999. стр. 3. Шнейдер В.Е. Краткий курс высшей математики. Учеб. Пособие для втузов, М.,
«Высш.школа», 1972. стр.162-200. 4. Электронный учебник томского межвузовского центра дистанционного образования 5. Смирнов В.И. Курс высшей математики.- Изд. 4-е,
перераб. и доп.-М.: Высшая школа, т 1,2,3,4,5.1961-1974
Модуль№4 1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. - М.:
Наука, 1980.-432 с.- 2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и
задачах. В 2-х ч. Учеб. Пособие для втузов.- 5-е изд., - М.: Высш. шк., 1999. стр.
55
3. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. - М.: Наука, 1977 - 384 с
4. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты). - М.: Высшая школа, 1983. 442 с.
5. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. -М.: Наука, 1987.-350 с. 6. Смирнов В.И. Курс высшей математики.- Изд. 4-е,
перераб. и доп.-М.: Высшая школа, т 1,2,3,4,5.1961-1974 7. Шнейдер В.Е. Краткий курс высшей математики. Учеб. Пособие для втузов, М.,
«Высш.школа», 1972. стр.162-200. 8. Электронный учебник по Высшей математике. 9. Электронный учебник томского межвузовского центра дистанционного образования
56
Приложение №1. Технологическая карта дисциплины «Высшая математика» на I семестр
теоретический материал практика неделя
№ модуля
Название модуля аудиторные занятия самостоятельн
ая работа аудиторные занятия самостоятельная работа
Внеаудиторная работа
вид контроля
1 Матрицы. Действия над ними 2
Матрицы. Действия над ними 2
2 Определители и их свойства 2
Определители и их свойства 2
Промежуточный Тест №1
3
Обратная матрица. Решение систем линейных уравнений
2 Ранг матрицы
Обратная матрица. Решение систем линейных уравнений
2 Ранг матрицы
4 Исследование систем линейных уравнений.
2Решение однородных систем
Исследование систем линейных уравнений
2Решение однородных систем
ИДЗ
Проверка идз
5
1 Линейная алгебра
тест за модуль №1
6 Основные понятия векторной алгебры. 2
Евклидово пространство. Декартовы прямоугольные координаты
Основные понятия векторной алгебры 2
Декартовы прямоугольные координаты
Промежуточный тест №2
7 Скалярное произведение векторов.
2Элементы комбинаторики
Скалярное произведение векторов
2Приложение скалярного произведения
Проверка идз
8
2 Векторная алгебра
Векторное и смешанное произведение векторов
2Элементы математической логики
Векторное и смешанное произведение векторов
2
Приложение векторное и смешанное произведение
ИДЗ
тест за модуль №2
57
9 Понятие об уравнении линии на плоскости
2 Дискретная математика
Прямая на плоскости 2
Преобразование системы координат (параллельный перенос, поворот, симметрия)
10 Плоскость и прямая в пространстве 2 Элементы
топологии Плоскость и прямая на в пространстве 2
Собственные значения и векторы матрицы
Промежуточный тест №3
11 Кривые второго порядка 2 Квадратичные
формы Кривые второго порядка 2
Приведение кривых второго порядка к каноническому виду
12 Поверхности второго порядка 2
Собственные значения и векторы матрицы
Поверхности второго поряда 2
Приведение поверхностей второго порядка к каноническому виду
ИДЗ
Проверка идз
13
3 Аналитиче
ская геометрия
тест за модуль №3
14 4 Введение в анализ Введение в анализ.
Понятие функции и её предела. Предел последовательности, основные теоремы о пределах.
2 Построение графиков функции с помощью элементарных преобразовани
Декартовая система координат
2 Построение кривых заданных в полярной системе
ИДЗ
58
й . Полярная система координат
координат
15
Замечательные пределы. Бесконечно малые и бесконечно- большие функции и их свойства и сравнение.
2 Комплексные числа
Вычисление предела функции 2
Раскрытие неопределенностей разных видов
Промежут тест №4
16 Непрерывность функции 2 Точки разрыва
Исследование функции на непрерывность
2 Точки разрыва
Проверка идз
17 тест за модуль №4 18 Итоговый тест за семестр
59
Приложение №2. Рейтинг студентов Группа Тьютор________________
№ ФИО
Промежуточ тест №1
идз Тест по модулю №1
Промежуточтест №2
идз Тест по модулю №2
Промежуточтест №3
идз Тест по модулю №3
Промежуточ. тест №4
идз Тест по модулю №4
Баллы от
тьютора
Итоговый тест
за семестр
Итоговый
рейтинг
оценка
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
60
Приложение №3. Опорная схема Правила вычисления пределов
1. 0lim ; lim 0; lim 0; lim ; lim0x a x a x a x a x a
x x x ax x b b→ → → → →
∞= ∞ = = = ∞ =∞
2. Раскрытие неопределенности вида 00
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
.
а. ( )( )
( ) ( )( ) ( )
( )( )0
0 1 1
0 1 1
0lim lim lim0
n n n
x xm m m
P x x x P x P xQ x x x Q x Q x
− −
→− −
−⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ −⎝ ⎠
б. ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )( )( ) ( )0
2
0lim lim0
n m vn
x xm vm v
P x Q x G xP xQ x G xQ x G x→
+⎛ ⎞= =⎜ ⎟ −⎝ ⎠−
3. Раскрытие неопределенности вида ( )( )
lim n
xm
P xQ x→∞
∞⎛ ⎞= = ⎜ ⎟∞⎝ ⎠.
Предел отношения двух многочленов одинаковых степеней равен отношению коэффициентов при старших степенях, Если степень числителя меньше знаменателя, то предел равен нулю, а если степень числителя больше знаменателя, то предел равен бесконечности.
4. I замечательный предел 0
sinlim 1x
xx→
= , значит по свойству бесконечно малых функций
получаем, что sin arcsinx x x x arctg x∼ ∼ ∼ , при 0x →
5. Раскрытие неопределенности вида ( )1∞ осуществляется с помощью II замечательного
предела 1lim 1х
xе
х→∞
⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠
.
61
Приложение №4. Уравнения кривых второго порядка, уравнения поверхностей второго порядка
1. Уравнения кривых второго порядка:
2 2
2 2 1x ya b
+ = - уравнение эллипса
2 2
2 2 1x ya b
+ = − - уравнение “мнимого” эллипса
2 2
2 2 1x ya b
− = - уравнение гиперболы
2 2 2 2 0a x c y− = – уравнение двух пересекающихся прямых 2 2y px= – уравнение параболы 2 2 0y a− = – уравнение двух параллельных прямых 2 2 0y a+ = – уравнение двух “мнимых” параллельных прямых 2 0y = – пара совпадающих прямых
2 2 2( ) ( )x a y b R− + − = – уравнение окружности 2. Уравнения поверхностей второго порядка:
2 2
2 2 1x ya b
+ = - эллиптический цилиндр
2 2
2 2 1x ya b
− = - гиперболический цилиндр
2 2x py= – параболический цилиндр 2 2 2
2 2 1x y za c+ + = - эллипсоид вращения
2 2 2
2 2 1x y za c+ − = - однополостный гиперболоид вращения
2 2 2
2 2 1x y za c+ − = − - двуполостный гиперболоид вращения
2 2
2x y zp+ = - параболоид вращения
2 2 2
2 2 2 0x y za b c
+ − = -Конус второго порядка
62
Приложение №5. Индивидуальный рейтинг студента
Тест по модулю №1
Тест по модулю №2
Тест по модулю №3
Тест по модулю №4
Итоговый тест за семестр
Итоговый рейтинг
Оценка
