по студентов специальностей формы обученияedu.tltsu.ru/er/er_files/book2563/book.pdf · Практические задачи, решение

Тольятти 2007

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Тольяттинский государственный университет

Инженерно-строительный институт Кафедра «Водоснабжение и водоотведение»

КУРС ЛЕКЦИЙ по дисциплине «Гидравлика»

для студентов строительных специальностей

очной формы обучения (технология 30/70)

Преподаватель: доцент Калинин А.В.

2

УДК 532.5 Курс лекций по дисциплине «Гидравлика» для студентов строительных специально-

стей очной формы обучения (технология 30/70) / Составитель Калинин А.В., Лушкин И.А. – Тольятти: ТГУ, 2007.

Рассмотрены основные законы покоя и движения жидкостей и газов, гидравлические сопро-

тивления, основы моделирования гидромеханических явлений. Приведены практические задачи и примеры их решения. Представлены вопросы для самостоятельной подготовки.

Ил. 116; табл. 22; библиогр.: 10 наим. Составители: Калинин А.В., Лушкин И.А. Научный редактор: Вдовин Ю.И. © Тольяттинский государственный университет, 2007

3

Оглавление Оглавление.........................................................................................................................................................................3 Требования к обязательному минимуму содержания основной образовательной программы по направлению подготовки дипломированного специалиста «Строительство»....................................................................................5 Лекция 1. Введение в предмет «Гидравлика». Основные свойства жидкостей и газов .............................................6

1.1. Предмет гидравлики.............................................................................................................................................8 1.2. История предмета .................................................................................................................................................8 1.3. Капельные и некапельные жидкости ..................................................................................................................9 1.4. Силы, действующие в жидкости .........................................................................................................................9 1.5. Давление и его свойства ....................................................................................................................................10 1.6. Основные физические свойства жидкостей .....................................................................................................12 1.7. Вязкость. Идеальная жидкость..........................................................................................................................15

Лекция 2. Основы гидростатики, динамики и кинематики жидкости .......................................................................17 2.1. Тема 1. Равновесие жидкости............................................................................................................................17

2.1.1. Дифференциальное уравнение равновесия жидкости. Поверхность равного давления .....................20 2.1.2. Основное уравнение гидростатики ..........................................................................................................21 2.1.3. Закон Паскаля.............................................................................................................................................23 2.1.4. Абсолютное, манометрическое и вакуумметрическое давление ..........................................................23 2.1.5. Сила давления на плоские и криволинейные поверхности....................................................................24 2.1.6. Относительный покой жидкости ..............................................................................................................29 2.1.7. Закон Архимеда .........................................................................................................................................30 2.1.8. Основное уравнение гидростатики для сжимаемой жидкости ..............................................................31 2.1.9. Изотермическая атмосфера .......................................................................................................................32 2.1.10. Неизотермическая атмосфера .................................................................................................................32

2.2. Тема 2. Основы кинематики и динамики жидкости и газа .............................................................................34 2.2.1. Основные понятия кинематики жидкости...............................................................................................37 2.2.2. Уравнение неразрывности ........................................................................................................................39 2.2.3. Виды движения жидкости.........................................................................................................................40 2.2.4. Интегральная формула количества движения.........................................................................................41 2.2.5. Дифференциальное уравнение движения невязкой жидкости (уравнение Эйлера) ............................42 2.2.6. Общее уравнение энергии в интегральной форме (Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости) .............................................................................................................................................................43 2.2.7. Три формы представления уравнения Бернулли для потока реальной жидкости ...............................45 2.2.9. Особенности турбулентного и ламинарного течения жидкости. Число Рейнольдса ..........................47 2.2.10. Уравнение Бернулли для элементарной струйки невязкой сжимаемой жидкости ............................49 2.2.11. Уравнение Бернулли для потока вязкой сжимаемой жидкости ..........................................................50

Лекция 3. Основы моделирования гидромеханических процессов............................................................................52 3.1. Основы моделирования .....................................................................................................................................53 3.2. Виды подобия. Масштабы моделирования ......................................................................................................54 3.3. Критерии подобия ..............................................................................................................................................55 3.4. Конечно-разностная форма уравнения Навье-Стокса.....................................................................................56 3.5. Общая схема применения численных методов и их реализация на ЭВМ.....................................................58 3.6. Измерительные приборы, используемые при проведении экспериментальных работ ................................60

Лекция 4. Гидравлические сопротивления ...................................................................................................................65 4.1. Виды гидравлических сопротивлений..............................................................................................................69 4.2 Сопротивление по длине при движении в цилиндрической трубе при ламинарном течении .....................70 4.3. Формула Дарси-Вейсбаха ..................................................................................................................................73 4.4. Турбулентное движение в гидравлически гладких и шероховатых трубах..................................................73 4.5. Движение жидкости в трубах некруглого сечения..........................................................................................76 4.6. Местные гидравлические сопротивления ........................................................................................................76

4

4.7. Зависимость коэффициентов местных сопротивлений от числа Рейнольдса. Эквивалентная длина ........80 4.8. Кавитация ............................................................................................................................................................81 4.9. Истечение жидкостей из отверстия в тонкой стенке.......................................................................................81 4.10. Зависимость коэффициентов истечения от числа Рейнольдса.....................................................................83 4.11. Истечение из насадков .....................................................................................................................................83 4.12. Виды насадков ..................................................................................................................................................84 4.13. Истечение при переменном напоре и под уровень жидкости ......................................................................85

Лекция 5. Практическое применение законов гидравлики .........................................................................................87 5.1. Расчет короткого трубопровода ........................................................................................................................89 5.2. Расчет длинных трубопроводов ........................................................................................................................92

5.2.1. Понятие о простом и сложном напорных трубопроводах .....................................................................92 5.2.2. Расчет трубопроводов, соединенных последовательно и параллельно ................................................93 5.2.3. Гидравлический удар.................................................................................................................................95 5.2.4. Гидравлический таран ...............................................................................................................................96

Рекомендуемая литература ............................................................................................................................................99

5

Требования к обязательному минимуму содержания основной образовательной программы по направлению подготовки дипломированного специалиста «Строительство»

ОПД.ФС 2.02 – ГИДРАВЛИКА (90 часов) Вводные сведения, основные физические свойства жидкостей и газов, основы кинематики,

общие законы и управления статики и динамики жидкостей и газов, силы, действующие в жид-костях, абсолютный и относительный покой (равновесие) жидких сред, модель идеальной (не-вязкой) жидкости, общая интегральная форма уравнения количества движения и момента коли-чества движения, подобие гидромеханических процессов, общее уравнение энергии в инте-гральной и дифференциальной формах, турбулентность и ее основные статистические характе-ристики, конечно-разностные формы уравнений Навье-Стокса и Рейнольдса, общая схема при-менения численных методов и их реализация на ЭВМ, одномерные потоки жидкостей и газов.

6

Содержание курса лекций «Гидравлика» Лекция 1. Введение в предмет «Гидравлика». Основные свойства жидкостей и газов

Основные понятия: предмет гидравлики; гидромеханическое понятие жидкости; капельные и некапельные жидкости; силы, действующие в жидкости; давление и его свойства; основные физические свойства жидкостей и газов; идеальная жидкость.

Вопросы, на которые необходимо найти ответ в ходе изучения темы: 1. Что является объектом изучения в дисциплине «Гидравлика»? 2. Гидравлика, как научная дисциплина. 3. Жидкость – что это? 4. В чем состоит отличие жидкостей от твердых тел и газов? 5. Что в гидравлике является «сплошной средой»? 6. Какими свойствами обладает изотропная жидкость? 7. Какие дисциплины являются базовыми для изучения законов гидравлики? 8. Почему изучение законов движения жидкости считается более сложным, чем изучение

законов движения твердых тел? 9. Почему в гидравлике придается большое значение экспериментальным исследованиям? 10. В каких дисциплинах используются знания, полученные в гидравлике? 11. Какой вклад в понимание законов движения жидкости внесли следующие ученые: Ар-

химед, Леонардо да Винчи, Ньютон, Эйлер, Бернулли, Дарси, Шези, Вейсбах, Прандтль, Жуковский?

12. Чем капельные жидкости отличаются от некапельных? 13. При каких условиях капельные жидкости становятся некапельными? 14. Какие силы называются массовыми, а какие поверхностными? Почему? 15. От чего зависит величина силы тяжести, силы давления, силы инерции, силы трения? 16. Что называют напряжениями и почему они возникают в жидкости? 17. Какие бывают напряжения в жидкости, в чем их отличие? 18. Как можно измерить давление в точке, находящейся в жидкости? 19. Какими свойствами обладает давление в жидкости? Как это доказать? 20. Как изменение давления dp записать в дифференциальной форме? 21. Как изменение давления dp записать в векторной форме? 22. Как записать вектор перемещения от одной точки к другой? 23. Что называют вектором градиента давления? 24. Какие свойства имеет вектор градиента давления? Как это доказать? 25. Какие существуют единицы давления? Каково их соотношение? 26. Перечислите основные физические свойства жидкостей. 27. Что называют плотностью? Какова связь между плотностью жидкости и удельным ве-

сом? 28. Что называют коэффициентом объемного сжатия жидкости, модулем упругости? 29. От чего зависит коэффициент температурного расширения? 30. Как определить плотность жидкости, если ее температура изменилась?

7

31. Что называется вязкостью жидкости? 32. Чем вязкие жидкости отличаются от невязких? 33. Как вязкость влияет на величину силы трения в жидкости? 34. В чем суть гипотезы Ньютона? 35. Что называют градиентом скорости? 36. Как влияет изменение температуры на вязкость жидкостей и газов? Почему? 37. Что показывает эпюра скорости? 38. Какая существует связь между динамической и кинематической вязкостью? 39. Какие существуют единицы измерения вязкости? 40. Как можно определить вязкость жидкости? 41. Что называют текучестью жидкости? 42. Что понимают под идеальной жидкостью? 43. Как определить градусы Энглера? 44. Почему возникает поверхностное натяжение в жидкости? 45. От чего зависит поверхностное натяжение? Почему? 46. Как определить силу поверхностного натяжения? 47. Что показывает краевой угол? От чего зависит его величина? 48. Когда необходимо учитывать величину поверхностного натяжения? Почему? 49. Что влияет на пенообразование в жидкости? 50. От чего зависит способность жидкости растворять газы? 51. Как определить объем газа, который может раствориться в жидкости или выделиться из

нее при изменении давления? 52. Что называют давлением насыщенного пара? 53. Что влияет на изменение агрегатного состояния жидкости? 54. Что называют кипением жидкости? 55. Для чего необходимо знать давление насыщенного пара? 56. Что понимают под идеальным газом? 57. Как зависит вязкость газов от температуры и давления? Почему? 58. В чем суть уравнения состояния идеального газа? Практические задачи, решение которых может быть найдено после изучения теоре-

тического материала: Задача 1-1,6. Резервуар объемом V1 = ___м3 наполнен водой. При увеличении давления на свободной по-

верхности на величину Δр = 2·106 Па, объем воды уменьшился. Определить объем при увеличе-нии давления.

Задача 1-2,7. Сколько килограмм мазута необходимо приобрести, чтобы заполнить резервуар объемом V1

=___м3. Максимальная температура хранения мазута t1 = 50°С. Задача 1-3,8. Определить наименьший объем расширительного резервуара системы водяного отопления,

чтобы он полностью опорожнялся. Допустимое колебание температуры воды во время переры-вов в отоплении Δt° = 25°С. Объем воды V1 =___м3, коэффициент температурного расширения βt = 0,0006 град-1.

Задача 1-4,9.

8

Давление воды в закрытом сосуде p1 = 5 атм. При повышении температуры давление повы-силось на Δр = 0,04 МПа. Изменением плотности и деформацией стенок пренебречь. Опреде-лить изменение температуры Δt, если коэффициент температурного расширения βt = 0,2·10–3 °С.

Задача 1-5,10. При испытании резервуара, давление на начало испытаний было p1 = 5500000 Па, Через не-

которое время давление уменьшилось на величину Δр = 35000 Па. Определить объем воздуха, вышедшего из резервуара через не плотности, если объем резервуара V1 =___м3. Температура воздуха не изменилась за время испытаний, t = 20°С, а коэффициент объемного сжатия βw = 0,49·10 –9 Па–1.

1.1. Предмет гидравлики Гидравлика – наука о движении и покое воды и других жидкостей. Жидкостью в гидравлике

представляют как сплошную среду, легко изменяющую форму под действием внешних сил. Сплошная среда – это масса, физические и механические параметры которой являются функ-циями координат в выбранной системе отсчета. Молекулярное строение жидкостей заменяется сплошной средой той же массы.

В данном курсе гидравлики мы считаем, что жидкость имеет одинаковые свойства по всем направлениям, то есть является изотропной. Законы движения и покоя жидкостей основыва-ются на законах механики сплошной среды и физики.

Вместе с тем, можно сказать, что явления, изучаемые в гидравлике сложнее явлений, кото-рые являются объектом исследования в механике твердого тела, т.к. жидкости легко изменяют свою форму под действием небольших внешних сил, сжимаемые жидкости (газы) изменяют и свой объем. Эти свойства связаны с молекулярной структурой строения жидкости. Из-за того, что движение жидкости очень часто не удается точно математически описать, в гидравлике приходиться использовать упрощенные математические модели, которые затем уточняются и дополняются в ходе экспериментального исследования.

Знание законов гидравлики необходимо для решения практических задач теплогазоснабже-ния: расчета систем водоснабжения, тепловых сетей, теплообменных аппаратов, насосов и т.д.

1.2. История предмета 250 лет до н.э. Архимед установил принципы гидростатики. XV в. – Леонардо да Винчи положил начало экспериментальной гидравлике (движение во-

ды в каналах, через отверстия). XVII в. – Торичелли предложил формулу для определения скорости жидкости, вытекающей

из отверстия. Ньютон высказал основные положения о внутреннем трении в движущихся жидкостях и га-

зах. XVIII в. – Даниил Бернулли и Леонард Эйлер разработали общие уравнения движения

идеальной жидкости (газа). XIX в. – Шези, Дарси, Базен, Вейсбах начали опытное изучение движения воды в различ-

ных частных случаях и получили множество эмпирических формул. Полученные выводы рас-ходились с теоретическими выводами, полученными ранее.

В конце XIX в. – Петров исследовал трение при ламинарном режиме. Рейнольдс изучил переход от ламинарного режима к турбулентному, начал изучать гидрав-

лические сопротивления. XX в. – Жуковский и Прандтль положили начало изучению турбулентных потоков, неус-

тановившегося движения жидкости. В связи с развитием авиации, космонавтики, теплоэнергетики, машиностроения, автомоби-

лестроения происходит бурное развитие науки как экспериментальное (лазеры, датчики), так и теоретическое (использование современного математического аппарата, ЭВМ).

1.3. Капельные и некапельные жидкости В гидравлике, в основном, считается, что жидкость практически не изменяет свой объем под

действием внешних сил, т.е. является несжимаемой. К несжимаемым жидкостям относятся все капельные жидкости: вода, нефть, мазут. В отличие от капельных жидкостей, газы (воздух, пропан, бутан и т.д.) легко изменяют объем под действием внешних сил, сжимаются, поэтому их называют сжимаемыми. Любая капельная жидкость может переходить в газообразное со-стояние при определенной температуре и давлении. Соответственно, газы при понижении тем-пературы и повышении давления могут переходить в жидкое состояние.

1.4. Силы, действующие в жидкости На произвольно выделенный объем жидкости действуют два вида сил: Поверхностные: Р – сила давления Т – сила трения Массовые: G – сила тяжести I – сила инерции Массовые силы действуют по всему выделенному объему и пропорциональны его массе

. Поверхностные силы действуют по поверхности и пропорциональны площа-ди поверхности.

, G mg I ma= = −

Рассмотрим подробно поверхностные силы. Под влиянием внешних сил, действующих на выделенный объем возникают соответствующие внутренние силы. Проведем внутри объема поверхность S, разделяющую его на две части I и II (см. рис. 1.1). Отбросим часть II и для со-хранения равновесия введем силы такие же, как и силы с которыми часть II действовала на часть I. На элементарную площадку Δs разделяющей поверхности действует сила Δf. Площадь Δs может быть стянута в точку М с координатами x, y, z. В этом случае площадь поверхности Δs, так и сила Δf стремится к нулю. Отношение силы df к площади поверхности ds стремится к

пределу dfds

σ = , который называют напряжением.

df

dfN II I

dfT

ds

Рис. 1.1. Напряжение в жидкости

Силу df, действующую на площадь ds можно разложить на две составляющие: тангенци-альную и нормальную. Соответственно, напряжение в жидкости может быть тангенциальным (τ) и нормальным (p). Тангенциальное напряжение, действующее вдоль поверхности ds, назы-вают напряжением трения.

Tdfds

τ = , (1.1)

где – сила трения площади ds. Tdf

Нормальное напряжение, действующее по нормали к поверхности ds, называют напряжени-ем давления или давлением

Ndfpds

= , (1.2)

где – сила давления площади ds. Ndf

9

Для площади S можно записать

TS

τ = , (1.3)

где Т – сила трения площади S.

PpS

= , (1.4)

где Р – сила давления площади S. В покоящейся жидкости имеется только нормальное напряжение, тангенциальное напряже-

ние отсутствует. Сила трения действует вдоль поверхности:

T S= τ . (1.5)Сила давления направлена по нормали к поверхности:

P pS= . (1.6)

1.5. Давление и его свойства В любой точке жидкости имеется давление и его можно измерить, опустив в жидкость стек-

лянную трубочку с запаянным концом из которой выкачен воздух. Рассмотрим точку М в жид-кости, проведем через эту точку поверхность ds (рис. 1.2). Результирующая сила воздействия всех молекул, находящихся в постоянном движении, на эту поверхность перпендикулярна ds. Можно записать в векторной форме Ndf pdsn=

r r , где nr – единичный вектор, направленный по нормали к поверхности ds.

ds

M

Nfr

nr

Рис. 1.2. Давление в точке

Ndfrзависит от величины поверхности ds, но из формулы видно, что давление в точке не за-

висит от ds. Свойства давления: 1. Давление в точке в любом напрвлении одинаково и не зависит от ориентации ds. Через

точку М можно провести бесконечное множество поверхностей и сила будет зависеть только от величины ds.

Ndf

2. Гидростатическое давление является непрерывной функцией координат пространства ( , , )p f x y z= . (1.7)

Понятие о градиенте давления. Рассмотрим точку М, имеющую координаты (x, y, z) и на-ходящуюся в жидкости (рис. 1.3). Давление в точке М – Mp . Это давление зависит только от ко-ординат точки М. Можно записать ( , , )Мp р x y z= .

На небольшом расстоянии от точки М находится точка М1 с координатами (x+dx, y+dy, z+dz).

Давление в М1 отличается от давления рМ на некоторую величину dp: . 1M Mp p d= + p

Давление 1Mp зависит от координат точки М1:

1( , ,Мр р x dx y dy z dz)= + + + .

Тогда . ( , , ) ( , ,dp р x dx y dy z dz р x y z= + + + − )

10

1M

Mjr

kr

ir

x y

z

Рис. 1.3. Градиент давления

Т.к. р является функцией координат x, y, z, то величину dp можно записать в дифференци-альной форме

.p p pdp dx dy dzx y z∂ ∂ ∂

= + +∂ ∂ ∂

Вектор перемещения от точки М к точке М1 записывается в форме

1 ,MM idx jdy kdz= + +uuuur rr r

где ,ir

,jr

kr

– единичные векторы, направленные вдоль осей координат. Определение: В физике для обозначения изменения некоторой скалярной величины G (тем-

пературы, давления) от одной точки к другой используется понятие вектора

G G GgradG i j k

dx dy dz∂ ∂ ∂

= + +uuuuur r r r

. (1.8)

Значит, вектор градиента давления величин

, ,p p px y dz∂ ∂ ∂∂ ∂

.

Можно записать в виде

p p pgrad p i j k

dx dy dz∂ ∂ ∂

= + +uuuuur r r r

. (1.9)

Произведение двух векторов

1p p pgrad pMM dx dy dz

dx dy dz∂ ∂ ∂

= + +uuuuur uuuur

(1.10)

или

1dp grad pMM=uuuuur uuuur

. Вывод: изменение давления dp является скалярным произведением двух векторов grad p и

ММ1. Свойства вектора grad p

uuuuur:

1. Если точки М и М1 принадлежат поверхности в которой все точки испытывают одинако-вые давление, то можно записать

1М Мр р= ,

тогда dp = 0. Вывод: расположен по нормали к поверхности равного давления, проходящей через

точку М. grad puuuuur

2. Предположим, что М1 расположена по нормали к поверхности равного давления, прохо-дящей через точку М, тогда dp > 0. Значит скалярное произведение grad p

uuuuurMМ1 имеет положи-

тельное значение и имеет то же направление, что и ММgrad puuuuur

1.

11

Вывод: направлен в сторону увеличения давления. grad puuuuur

3. 1

dpgrad pMM

=uuuuur

.

Вывод: величина определяется отношением разности давлений в двух точках к рас-стоянию между этими точками.

grad puuuuur

Единицы давления. При измерении атмосферного давления используют единицу давления – бар • 1бар = 105 Па При измерении при помощи пьезометрических трубок используют единицы длины • для воды 1 мм.в.ст = 9,8 Па • тогда 1бар = 9,8 м.в.ст • для ртути 1 мм.рт.ст = 133,3Па

Можно подсчитать, что: 98101 бар133,3

= мм.рт.ст.

Старая система измерения. Давление, создаваемое телом массой 1 кг на 1 см2:

2

кгс1 0,98 барсм

= .

1.6. Основные физические свойства жидкостей Плотность – масса жидкости m, заключенная в единице объема V

mV

ρ = . (1.11)

Плотность меняется при изменении температуры и давления. Удельный вес – вес жидкости G в единице объема V

GV

γ = . (1.12)

Плотность и удельный вес связаны между собой соотношением gγ = ρ . (1.13)

Сжимаемость – свойство жидкостей изменять объем при изменении давления. Сжимае-мость капельных жидкостей характеризуется коэффициентом объемного сжатия, который представляет собой относительное изменение объема жидкости на единицу изменения давления

1

VV

V pΔ

β = − ⋅Δ

, (1.14)

где V – первоначальный объем жидкости; Знак «минус» в формуле обусловлен тем, что положительному приращению давления р со-

ответствует отрицательное приращение (уменьшение) объема. Величина, обратная коэффициенту объемного сжатия называется модулем упругости

01

V

E =β

. (1.15)

В качестве примера, приведем значения модуля упругости стали и воды: 9 11 . Таким образом, мы видим, что упругость воды всего только

в 100 раз меньше упругости стали, значит, воду можно рассматривать как несжимаемое вещест-во.

воды стали2 10 Па, 2 10 ПаЕ Е= × = ×

12

Коэффициент объемного сжатия и модуль упругости капельных жидкостей практически не изменяется при изменении давления, и на практике очень часто их считают неизменными. Част при расчетах коэффициент объемного сжатия Vβ воды принимают постоянным и равным 0,49×10–9 Па–1.

Сжимаемость характеризуется также отношением изменения давления к изменению плотно-сти, равным квадрату скорости распространения звука в среде:

2 .dpad

=ρ

(1.16)

Очевидно, для малосжимаемой среды при больших изменениях давления изменение плотно-сти незначительно и скорость звука получается большой, и наоборот, при большой сжимаемо-сти скорость звука оказывается малой (для воздуха – 330 м/с).

Для оценки сжимаемости среды при ее движении важно не абсолютное значение скорости звука а, а относительное, которое называется числом Маха:

Ма = u/a. Если скорость движения воздуха мала по сравнению со скоростью движения звука в ней,

число Маха мало по сравнению с единицей и движущуюся среду можно рассматривать как не-сжимаемую жидкость. Скорость воздуха в воздуховодах, газа в газопроводах низкого давления и газоходах котельных установок не превышает 12 м/с. Следовательно, в практике теплоснаб-жения и вентиляции газ(воздух) можно рассматривать как несжимаемую жидкость. При движе-нии газов со скоростью более 70 м/с влияние сжимаемости следует учитывать.

В отличие от капельных жидкостей газы характеризуются значительной сжимаемостью и высокими значениями коэффициента температурного расширения. Зависимость плотности га-зов от давления и температуры устанавливается уравнением состояния. Для совершенных га-зов (нет взаимодействия между молекулами) справедливо уравнение Клапейрона, позволяющее определить плотность газа при известных давлении и температуре

,pRT

ρ = (1.17)

где р – абсолютное давление; R – удельная газовая постоянная (для воздуха R= 283 Дж/кг·К); Т – абсолютная температура.

В технических расчетах плотность газа, приводят к нормальным физическим условиям (t = 0ºC; p = 101325 Па) или стандартным условиям (t = 20ºC; p = 101325 Па)

Можно подсчитать, что в стандартных условиях плотность воздуха ρ = 1,21 кг/м3. При других условиях плотность воздуха можно определить по формуле

00

0

Трр Т

ρ = ρ , (1.18)

где ρ0, Т0 и р0 – плотность, температура и давление при известных стандартных условиях соот-ветственно.

Сжимаемость газа зависит от характера процесса изменения состояния. Для изотермическо-го процесса сжимаемость воздуха составляет примерно 9,8×104 Па, что превышает в 20000 раз сжимаемость воды.

Температурное расширение – увеличение объема капельных жидкостей, при увеличении температуры, характеризуется коэффициентом температурного расширения , выражаю-щим относительное увеличение объема жидкости при увеличении температуры на 1 град.

tβ

1

tV

V tΔ

β = ⋅Δ

, (1.19)

где – изменение объема при повышении температуры на величину . VΔ tΔ

13

Если считать, что плотность не меняется при изменении давления, а только от температуры, то для расчета изменения плотности капельных жидкостей с изменением температуры можно использовать формулу

00

11 (t t t

ρ = ρ)+β −

, (1.20)

где – плотность при известной температуре . 0ρ 0t

Поверхностное натяжение. Капиллярные явления. Молекулы жидкости, находящиеся у поверхности контакта с другой жидкостью, газом или

твердым телом имеют другую энергию, чем молекулы, находящиеся внутри объема жидкости. Эта энергия пропорциональна площади поверхности раздела S и характеризуется величиной коэффициента поверхностного натяжения σ, который зависит от материала соприкасаю-щихся сред, чистоты поверхности и температуры.

На поверхности раздела трех фаз (рис. 1.4): твердой стенки, жидкости и газа образуется краевой угол θ. Величина угла зависит только от природы соприкасающихся сред, и не зависит от формы сосуда и силы тяжести. Чем хуже смачивающая способность, тем больше краевой угол. От явления смачивания зависит поведение жидкости в тонких (капиллярных) трубках, по-груженных в жидкость. При плохом смачивании жидкость в трубке поднимается над уровнем свободной поверхности, при хорошем – опускается.

θ θ

Рис. 1.4. Капиллярные явления

Влияние сил поверхностного натяжения приходится учитывать при работе с жидкостными приборами для измерения давления, при истечении жидкости из малых отверстий, при фильт-рации, в других случаях, когда силы, действующие в жидкости меньше сил капиллярного натя-жения.

Пенообразование. Для пенообразования необходимо, чтобы в жидкости находились смачи-вающие вещества, которые уменьшают поверхностное натяжение. Смачивающие вещества со-стоит из двух групп: гидрофильной и гидрофобной. Они создают пену, которая представляет множество пузырьков воздуха. Пенообразующие добавки используются при изготовлении ячеистого бетона.

Растворимость газов в жидкостях – способность жидкостей растворять в своем объеме газы. Количество растворенного газа в единице объема жидкости различно для разных жидко-стей и изменяется с изменением давления. Относительный объем газа, растворимого в жидко-сти до ее полного насыщения прямо пропорционален давлению:

г 2

ж 1

V ркV р

= , (1.21)

гдеVг – объем растворенного газа при нормальных условиях; Vж – объем жидкости; к – коэффи-циент растворимости; и – начальное и конечное давление. 1р 2р

При понижении давления в жидкости происходит выделение растворенного в ней газа. Вы-деление происходит интенсивнее, чем поглощение. Растворимость необходимо учитывать при расчете работы машин и систем высокого давления, при расчете кавитации.

Давление насыщенного пара. При определенных условиях капельные жидкости превраща-ются в пар и наоборот. Изменение агрегатного состояния зависит от давления паров жидкости,

14

насыщающих пространство над ней при данной температуре. Интенсивное выделение пара по всему объему жидкости называется кипением. Температура кипения зависит от давления на поверхности жидкости.

Таким образом, интенсивное выделение пара (кипение) может происходить при низких тем-пературах, если давление на поверхности пониженное. Это необходимо учитывать при анализе работы водопроводных систем на участках пониженного давления.

Таблица 1.1

Температура кипения воды, ºC 10 40 80 100

Давление на поверхности, Па 1175 7350 19800 101325

1.7. Вязкость. Идеальная жидкость Вязкость – свойство жидкостей оказывать сопротивление сдвигу соседних слоев при дви-

жении жидкости. Все реальные жидкости обладают вязкостью, которая проявляется в виде внутреннего трения при относительном перемещении смежных частей жидкости. Свойство, об-ратное вязкости – текучесть. Текучесть характеризует степень подвижности частиц жидкости. На рис. 1.5 представлена эпюра скорости вязкой жидкости, движущейся в цилиндрической тру-бе. Вследствие тормозящего влияния стенки слои жидкости будут двигаться с разными скоро-стями, значения которых возрастают по мере отдаления от стенки. Рассмотрим два слоя жидко-сти, движущиеся на расстоянии Δy друг от друга. Слой А движется со скоростью u, а слой B о скоростью . Вследствие разности скоростей слой В сдвигается относительно слоя А на

величину , которая является абсолютным сдвигом слоя А по слою В, а

u + Δu

uΔ uy

ΔΔ

– относительный

сдвиг или градиент скорости. Если расстояние между слоями будет мало, то градиент скорости

можно записать как dudy

. Можно также сказать, что градиент скорости показывает интенсив-

ность изменения скорости в данном сечении. В результате сдвига соседних слоев появляется касательное напряжение трения.

Δy Δu

A B

Рис.1.5. Распределение скоростей в сечении трубы при ламинарном движении

Согласно гипотезе Ньютона, касательное напряжение, возникающее при движении жидко-сти пропорционально скорости деформации объема жидкости

,dudy

τ = μ (1.22)

где μ – коэффициент пропорциональности или динамический коэффициент вязкости.

Единица измерения динамического коэффициента вязкости – Пуаз (П):

1П = 0,1 Па·с = 0,0102 2

кгс см⋅ .

15

Вязкость капельных жидкостей с увеличением температуры уменьшается, а газов увеличи-вается. Это связано с различным молекулярным строением жидкостей и газов. Для определения вязкости при различных температурах используются эмпирические формулы, значения вязко-

сти для различных жидкостей приводятся в справочниках. Например, вязкость воды при темпе-ратуре 20 ºC равна 0,01 П.

Наряду с понятием динамической вязкости в гидравлике применяется кинематическая вяз-кость ν, которая представляет собой отношение динамической вязкости жидкости к ее плотно-сти

μ

ν =ρ

. (1.23)

Единицы измерения – Стокс (Ст): 1 Ст = 12см

с.

Для определения кинематической вязкости при различных температурах также используют-ся эмпирические формулы, и ее значения для различных жидкостей приводятся в справочниках.

Кинематическая вязкость воды при температуре 20ºC равняется 0,012см

с.

Вязкость капельных жидкостей мало зависит от давления в диапазоне до 200 атм. Кинема-тическая вязкость воздуха (газов) зависит и от давления, и от температуры. Для нормальных

условий (t = 20 ºC, p = 100000 Па) νвоздуха = 0,157 2см

с, т.е. почти в 15 раз больше воды, что свя-

зано с меньшей плотностью воздуха. Измерение вязкости проводится при помощи специальных приборов, называемых вискози-

метрами. Измерение вязкости вискозиметром Энглера студенты выполняют во время лабора-торных работ.

Идеальная жидкость – жидкость, в которой отсутствует вязкость. Представляет собой мо-дель реальной жидкости, и это понятие используется для облегчения решения некоторых задач гидравлики. Выводы, полученные исходя из свойств невязкой жидкости, приходиться коррек-тировать, вводя поправочные коэффициенты, получаемые в результате экспериментальных ис-следований.

Практическое применение теоретических знаний Пример 1-1

Давление в баллоне с кислородом для газовой сварки, расположенного на улице при темпе-ратуре T1 = – 10 °С, равно pl = 107 Па. Каково будет давление при внесении его в помещение при температуре T2 = – 20 °С?

Ответ: Давление в баллоне будет равно 71,11 10⋅ Па. Пример 1-2

Насколько увеличится давление в системе водяного отопления, если температура теплоно-сителя увеличилась с 60 до 80 °С. Коэффициент температурного расширения, при давлении 5,9·105 Па и температуре 70 °С, можно принять равным 0,00056 (1/град).

Ответ: Давление в системе водяного отопления увеличится на 225 атмосфер.

16

Лекция 2. Основы гидростатики, динамики и кинематики жидкости

2.1. Тема 1. Равновесие жидкости Основные понятия: дифференциальное уравнение равновесия жидкости; три формы записи

основного уравнения гидростатики; поверхность равного давления; закон Паскаля; абсолютное, манометрическое и вакуумметрическое давление; сила давления на плоские и криволинейные поверхности; относительный покой жидкости; закон Архимеда; относительный покой жидко-сти.

Вопросы, на которые необходимо найти ответ в ходе изучения темы: 1. Что обозначает выражение grad p =

uuuuurgρur

?

2. Какие выводы можно сделать, если grad p =uuuuur

gρur

? 3. Как можно получить основное уравнение гидростатики в дифференциальной форме? 4. В каком случае уравнение Бернулли превращается в основное уравнение гидростатики? 5. Запишите основное уравнение гидростатики в трех его формах. Объясните значение ка-

ждого входящего в него слагаемого. 6. Какая плоскость называется плоскостью равного давления? 7. В чем разница между напором и давлением? 8. Что называют удельной энергией положения? 9. Объясните закон Паскаля. 10. Какие механизмы действуют на основе закона Паскаля? 11. Что называют абсолютным давлением, манометрическим давлением, вакуумом? 12. Какое давление будет в напорном потоке, если пьезометрическая линия проходит ниже

его геометрической оси? 13. Как определить давление в любой точке жидкости, находящейся в закрытом резервуаре?

От чего оно зависит? 14. Чему равна результирующая сила давления на стенки резервуара произвольной формы?

Как это доказать? 15. Как определить силу давления жидкости на плоскую горизонтальную поверхность? 16. В чем заключается гидростатический парадокс? 17. Как определить силу давления жидкости на плоскую вертикальную поверхность? 18. Как определить точку приложения результирующей силы давления на плоскую верти-

кальную поверхность? 19. Как определяется величина силы давления на криволинейные поверхности? 20. Как рассчитать допустимое давление в трубе, чтобы не допустить ее разрыва? 21. Сформулируйте закон Архимеда. 22. Какова природа действия Архимедовой силы? 23. Каковы условия плавания тел, их равновесия? 24. Объясните принцип действия ареометра (прибора для измерения плотности жидкости). 25. Что такое относительный покой жидкости? 26. Какие силы действуют при относительном покое жидкости? Как их записать? 27. Как определить положение свободной поверхности жидкости при ее вращении в цилин-

дрическом сосуде? 17

28. Как распределяется давление в любой фиксированной круглоцилиндрической поверхно-сти при относительном покое жидкости?

Практические задачи, решение которых может быть найдено после изучения теоре-

тического материала: Задача 2.1-1 В сообщающихся сосудах находятся вода и масло. Определить плотность масла, если высо-

та столба воды Н = 150 мм, а разность уровней жидкости в сосудах d = ___мм.

H

d

Рис. 2.1. К задаче 2.1-1

Задача 2.1-2 Для измерения высоты налива мазута установлена вертикальная труба. В трубу с малой ско-

ростью подают воздух. Определить высоту Н налива мазута удельным весом γ = 8700 Н/м3, ес-ли давление воздуха, поступающего в резервуар, эквивалентно высоте ртути в ртутном мано-метре hрт = dн мм (ρрт = 13600 кг/м3). Трением при движении воздуха пренебречь.

hрт

H


Задача 2.1-3 Для повышения гидростатического давления применяется мультипликатор давления, давле-

ние на входе которого = 20 кПа, а диаметры поршней d = d1р н мм и D = 400 мм. Определить давление жидкости на выходе из мультипликатора. 2р

D

p1

p2

d


Задача 2.1-4 Два сообщающихся цилиндра наполнены жидкостью. В меньший цилиндр диаметром d = dн

мм заключен поршень весом G = 100 Н. На какой высоте H установится уровень жидкости в большом цилиндре, диаметром D = 800 мм, когда вся система придет в равновесие? Удельный вес жидкости γ = 9,81 кН/м3. Трением пренебречь.

18

G

D

d H


Задача 2.1-5 Диаметры поршней дифференциального предохранительного клапана равны D = 2dн мм и

d=dн мм. Пренебрегая весом поршней и силой трения, определить давление, при котором кла-пан откроется, если жесткость пружины с = 50 Н/мм, а ее предварительный натяг: x0 = 12 мм.

P

d

D

Рис. 2.5. К задаче 2.1-5 Примечание. Сила пружины F = с x0

Задача 2.1-6 Плотность жидкости определяется погружением в нее поплавка. Вес поплавка в воздухе

равняется 0,72 кН. Вес поплавка, погруженного в испытуемую жидкость G1 = 0,54 кН, вес по-плавка, погруженного в воду G2 = 0,56 кН. Определить плотность жидкости.

Задача 2.1-7 Бак водонапорной башни сварен из стальных полос высотой. Определить необходимую

толщину стенки нижней полосы, если допускаемое напряжение на разрыв [σ] = 1×108 Па, диа-метр бака D = 100dн м, глубина воды в баке Н = 10 м.

Задача 2.1-8 Круглое отверстие в дне резервуара с жидкостью закрыто пластмассовым шариком, вес ко-

торого G = 2,45 Н и радиус r = 0,1 м. Диаметр отверстия d = dн мм. Определить давление р, дей-ствующее на шар снизу, при котором отверстие откроется, если глубина воды Н = 2 м.

d p

H


Задача 2.1-9 Плотность жидкости измеряется при помощи ареометра. Размеры аэрометра: d = dн мм, D =

1,5dн мм, Н = 100 мм, h = 50 мм, масса m = 0,054 кг. Определить плотность жидкости.

19

d

D

h H


Задача 2.1-10 Определить абсолютное давление на поверхности жидкости в сосуде и высоту h, если атмо-

сферное давление равняется 740 мм.рт.ст. Поддерживающая сила F = 10 H, вес сосуда G = 2 Н, его диаметр d = dн мм. Толщиной стенки сосуда пренебречь.

F

h

d


2.1.1. Дифференциальное уравнение равновесия жидкости. Поверхность равного давления

Предположим, что в точке М находится объем жидкости dV (см. рис. 2.9). На него воздейст-вуют силы давления соседних объемов. Определим результирующую силу давления на объем dV. dV расположен параллельно осям координат, da, db, dc – его стороны. В точке М давление обозначим как p. В точках 1M и 2M , принадлежащих сторонам параллельным плоскости x0y давление будет соответственно и . Если рассматривать одну из сторон параллелепипеда, то результирующая сила давления на эту сторону действует по нормали к ней и ориентирована внутрь объема dV.

1p 2p

z

x

y

M2

M1

M

j i

k

da db

dc

Рис. 2.9. Объем жидкости, находящийся в равновесии

Для результирующей силы сторон объема dV, параллельных плоскости x0y можно записать

1 2zdF k p dadb p dadb= −uuurr

или 1 2( )zdF k p p dadb= −uuurr

,

zdFuuur

параллельна оси 0z.

Разность можно записать в виде 1 2( p p− ) )1 2 1 2( ) (p p p p p p− = − − − , но в соответствии со свойством градиента давления можно написать

20

1 1( ) Mp p grad p MM− =uuuuur uuuuur

, 2 2( ) Mp p grad p MM− =uuuuur uuuuur

,

откуда . 1 2 1 2( ) (Mp p grad p MM MM− = −uuuuur uuuuur uuuuur

)

Так как ( )1 2 2 1 2 1

21

MM MM M M MM M M− = + =uuuuur uuuuur uuuuuur uuuuur uuuuuur

2 1 ( ) и Mu

M k dc= −uuuuur r

, то

1 2( ) ( )Mp p grad p k dc− = −uuuuur uur

.

Таким образом, результирующая сила ( )z MdF k grad p k dcdadb= −uuurr uuuuur uur

, но dcdadb = dV, oткуда

( )z MdF k grad p k dV= −uuurr uuuuur uur

.

Аналогичные результаты мы получим для сил xdFuuur

и ydFuuur

.

Результирующая всех сил, действующих на объем dV будет соответственно

.MdF k grad p dV= −uuurr uuuuur

(2.1)

Выводы: 1. Результирующая сила направлена в противоположную сторону, чем dF

uuurMgrad p

uuuuur

2. перпендикулярна плоскости, проходящей через точку М, на которой давления одина-ковы и ориентирована в сторону уменьшения давления.

dFuuur

В жидкости, находящейся в покое, действуют: – сила тяжести

dmg dV g= ρur ur

, направленная вертикально вниз; – равнодействующая сила давления

d F = −ur

grad pdVuuuuur

,

dV gρ −ur

grad pdVuuuuur

= 0

или grad p =uuuuur

gρur

. (2.2)Выводы: 1. Вектор градиента давления направлен вертикально вниз, как и вектор . gr

2. В жидкости, находящейся в равновесии давление увеличивается сверху вниз. 3. В покоящейся жидкости плоскости равного давления горизонтальны. 4. В покоящейся жидкости давление в точке зависит только от ординаты z. Т.к. , то с учетом полученного уравнения, можно записать 1dp gradpMM=

uuuuuuruuuuur1dp gMM= ρ

uruuuur. Т.к.

и g k= −ur r

g 1MM k=uuuur r

g , то

dp gdz= −ρ . (2.3)Нами получено основное уравнение гидростатики в дифференциальной форме.

2.1.2. Основное уравнение гидростатики

В случае несжимаемой жидкости плотность жидкости не зависит от давления, а если при-нять температуру постоянной, то можно записать

ρ = const. Для высот в несколько метров ускорение силы тяжести можно считать неизменным. Таким

образом, можно подсчитать разность давления между точками 1М и 2М . Проинтегрировав предыдущее выражение можно получить разность давлений между двумя точками:

2 2

1 1

р z

р z

dp g dz= −ρ∫ ∫ ,

2 1` 2 1( )p p g z z− = −ρ −

или 1 1 2 2p gz p gz const+ρ = +ρ = . (2.4)Нами получено основное уравнение гидростатики в поле силы тяжести. Если принять , то . 1 2z z h− = 2 1p p g− = ρ h

Выводы: 1. В покоящейся жидкости давление увеличивается с увеличением глубины. 2. В покоящейся жидкости любая горизонтальная плоскость представляет собой поверх-

ность, на которой в любой точке давление будет неизменным. Такая поверхность называется поверхностью равного давления.

Три формы записи основного уравнения гидростатики. Нами было получено основное уравнение гидростатики в форме давлений, т.к. каждый

член уравнения представляет собой давление:

1р и – статическое давление в точках 1 и 2; 2р

1gzρ и – давление, создаваемое силой тяжести. 2gzρ

Если разделим основное уравнение гидростатики в форме давлений на ρg, то получим ос-новное уравнение гидростатики в форме напоров (см. рис. 2.10)

1 21 2

p pz z constg g+ = + =

ρ ρ, (2.5)

где 1pgρ

и 2pgρ

– пьезометрические напоры; и – геометрические напоры. 1z 2z

z1

z2 0 0

1

2

gpρ

1 g

pρ

2

Рис. 2.10. Геометрический и пьезометрический напоры

Если первое уравнение разделить на ρ, то получим основное уравнение гидростатики в форме удельной энергии

1 21 2

p pgz gz const+ = + =ρ ρ

, (2.6)

где 1pρ

и 2pρ

– удельная энергия давления; и – удельная энергия положения. 1gz 2gz

22

2.1.3. Закон Паскаля

Перепишем основное уравнение гидростатики в форме давлений в следующем виде 1 1 0 0p gz p gz const+ρ = +ρ = , (2.7)где – давление на свободной поверхности; – расстояние от свободной поверхности до плоскости сравнения.

0р 0z

Можно записать это уравнение в другом виде

23

1 0 0p p gz gz= +ρ −ρ 1 ), или 1 0 0 1(p p g z z= +ρ − , или 1 0p p gh= +ρ , (2.8)где h – глубина, на которой находится точка 1.

Из этого уравнения следует, что изменение давления на свободной поверхности на вели-чину приведет к увеличению давления в точке на ту же величину. Этот вывод и есть закон Паскаля.

р±Δ

Закон Паскаля используется в гидропрессах и гидроусилителях. Схематично гидропресс

представлен на рисунке 2.11. При воздействии на малый поршень площадью 2

4ds π

= с силой F

создается давление Fps

= . Согласно закона Паскаля это давление передается во все точки жид-

кости и поршень площадью S создает усилие 2 2

2 2

44

F F DP S Fs d d

π= = × =

πD .

DdP

F

Рис. 2.11. Схема гидропресса

Таким образом, можно сделать следующий вывод: 1. Сила P будет больше силы F во столько же раз, во сколько площадь S больше площади s. 2. В отличие от твердых тел жидкость передает не силу, а давление.

2.1.4. Абсолютное, манометрическое и вакуумметрическое давление

Давление можно измерить двумя способами: 1) если принять за начало отсчета атмосферное давление; 2) если принять за начало отсчета абсолютный вакуум, когда давление в объеме отсутствует. В первом случае давление называется избыточным или манометрическим, во втором –

абсолютным. Избыточное давление в точке 1 (см. рис. 2.10) 1p gh= ρ , где h – глубина, на которой нахо-

дится точка 1. Абсолютное давление для этой точки будет 1 0p p gh= +ρ , но т.к. давление на свободной по-

верхности в данном случае равняется атмосферному, то 1 атмp p gh= +ρ . Это давление будет со-

ответствовать пьезометрическому напору 1pgρ

. Манометрическое давление является разностью

между абсолютным и атмосферным давлением (см. рис. 2.12). В общем случае абсолютное дав-ление может быть больше или меньше атмосферного, если абср абс атмр р< , то разность между атмосферным давлением и абсолютным называется вакуумом вак атм абс .р р р= − (2.9)

pабс pман

pатм 0

pвак 0

Рис. 2.12. Шкалы абсолютного, манометрического и вакуумметрического давлений

2.1.5. Сила давления на плоские и криволинейные поверхности

1. Сила давления на отдельный элемент поверхности. Точка М (см. рис. 2.13) принадлежит площадке ds, являющейся частью некоторой поверхно-

сти. Давление на площадку ds – Мр . Сила давления на площадку ds будет равна

N Mdf p dsn=uuur r

, (2.10)

где n – единичный вектор, ориентированный по нормали к площадке ds. r

Предположим, что в резервуаре находится жидкость и газ (см. рис. 2.13). ds

M

Nfr

nr

Рис. 2.13. Сила давления на отдельный элемент

Давление газа – . Точка М находится на стенке резервуара, на глубине h. Давление в точке 0р

0Мp p gh= +ρ .

Сила давления на элемент стенки ds

0( )df p gh dsn= +ρuur r

(2.11)

2. Результирующая сила давления на стенку. Результирующая сила давления P d= f∑

ur uur. Если резервуар имеет произвольную форму (см.

рис. 2.14), то подсчитать результирующую силу довольно сложно, т.к. единичные векторы каж-дого элемента поверхности направлены в разные стороны. Для определения результирующей силы прибегнем к следующим рассуждениям. Элемент стенки резервуара ds будет находиться в неподвижном состоянии, если сила давления жидкости df

uur, будет равна силе реакции материала

, т.е. + = 0. Rdfuur

dfuur

Rdfuur

24

ds

M

fdr

nr

h

p0

Рис. 2.14. Результирующая сила давления на стенку поверхности

Весь резервуар испытывает воздействие двух результирующих сил: 1. Равнодействующей сил давления

P d= f∑ur uur

;

2. Реакции материала стенки резервуара

RR df=∑ur uuur

Исходя из предыдущего уравнения, можно записать 0P R+ =

ur ur или P R= −

ur ur.

Сама жидкость в резервуаре находится в равновесии под воздействием двух сил: • силы реакции материала стенки R; • силы тяжести, направленной вертикально вниз G

R G= −ur ur

R

.

Cсравнивая это уравнение с уравнением P = −ur ur

, можно сделать вывод, что P =

urGur

. (2.12)3. Сила давления жидкости на дно резервуара. В связи с тем, что в резервуаре произвольной формы очень трудно подсчитать результи-

рующую силу на дно резервуара из-за разнонаправленности векторов сил элементарных пло-щадок, ограничимся только случаем, когда дно резервуара плоское и горизонтальное. На ри-сунке 2.15 изображен открытый резервуар. Давление на поверхности жидкости , плотность – ρ, глубина наполнения жидкости – h.

0р

fdr

h

p0

fd ′r

Рис. 2.15. Сила давления на горизонтальное дно резервуаров Так как дно резервуара плоское и горизонтальное, то каждый элемент поверхности дна бу-

дет испытывать давление

0р p gh= +ρ ,

и на него воздействует элементарная сила давления со стороны жидкости df p dsn=uur r

и сила давления со стороны наружного воздуха

0' 'df p dsn=uuur r

.

25

Все элементарные силы и параллельны между собой. dfuur

'dfuuur

26

=Равнодействующая сила давления воды 1P dfu

∑r uur

Sp dsn= ∫

r.

Так как p = const P =ur

pSnr

0( )p gh S= +ρ nr

.

Аналогично равнодействующая сила давления воздуха

0 0 'P p Sn=ur ur

0 0

Эти две силы вертикальны и действуют в разных направлениях. Результирующая сила давления на дно резервуара

1P P P= +ur ur uur

, или 1P P P= + , или P ghS= ρ . (2.13)

Сила Р – вертикальная, направлена вниз и приложена по центру дна резервуара (из сообра-жения симметрии).

Гидростатический парадокс. Независимо от формы резервуара сила давления на дно зави-сит только от площади S, глубины заполнения h и плотности ρ и не зависит от количества жид-кости, находящейся в резервуаре (см. рис. 2.16).

h P P P

Рис. 2.16. Гидростатический парадокс

Опыт Паскаля. Резервуар рассчитан на определенное давление жидкости. В него добавля-ют небольшое количество воды. Ничего не происходит. Вставляют тонкую трубочку и добав-ляют гораздо меньшее количество воды – резервуар разрушается.

4. Сила давления на вертикальную прямоугольную стенку. Пусть прямоугольная стенка длиной l и высотой h сдерживает напор воды (жидкости) плот-

ностью ρ (см. рис. 2.17).

A

B

O

D

C

z + dz z

h

df

P

l O

z

C′

Рис. 2.17. Сила давления на вертикальную стенку

Рассмотрим элемент стенки, находящейся на глубине z длиной l и шириной dz. Элемент ис-пытывает давление

df pdsn=uur r

. df направлена вертикально к поверхности и приложена в центре элемента на оси О (из сооб-

ражения симметрии). Давление на глубине z:

.р gz= ρ

Площадь ds = ldz. Тогда . df gzdzln= ρuur r

27

f

zn

Сила давления на стенку равняется сумме сил, действующие на элементарные площадки Все силы горизонтальные, действуют в одном направлении и приложены на од-

ной вертикальной оси О. Сила также будет горизонтальна, направлена от жидкости, точка приложения находится на оси О. Можно посчитать силу давления

Pur

.P d=∑ur uur

dfuur

Pur

0

z h

zP gzld

=

== ρ∫

r или

2

2glhP ρ

= . (2.14)

Т.к. lh = S, то

2hP gS= ρ . (2.15)

Определим точку приложения силы Р. O

h 2/3h

M C

z

Pr

Рис. 2.18. Определение точки приложения силы Р

Стенка испытывает воздействие всех сил df (см. рис. 2.18). Точка приложения С должна быть расположена таким образом, чтобы воздействие силы Р в этой точке равнялось воздейст-вию всех сил df на площадку ds Т.е. P d= f∑

ur uur и ( ) ( )O OM P M d= f∑

ur ur, где ( )OM P

ur – момент си-

лы относительно точки О;Pur

(O )M d f∑ur

– сумма моментов сил d fur

относительно точки О.

Для момент силы Pur

( )OM Pur

= . Для силы P OC× d fur

, приложенной в точке М на глубине z:

( )OM d f df OM= ×ur

, где ОМ = z.

Таким образом : 2

0

z h

zP ОС glz dz

=

=× = ρ∫

2

3glhP ОС ρ

× = или 2

2glh ОСρ

×2

3glhρ

= , откуда

23

ОС h= (2.16)

5. Сила давления на криволинейную поверхность. Рассмотрим поверхность S, на которую с внешней стороны воздействует жидкость, создавая

давление , воздействие жидкости с внутренней стороны – (см. рис. 2.19). Каждый элемент поверхности площадью ds испытывает воздействие силы давления с внешней стороны

2р 1р

1 1df p dsn=uur r

,

где n – единичный вектор, направленный по нормали к ds, ориентированный в сторону внеш-ней жидкости.

r

θ nr

jr

p2

p1

dS

Δ

Рис. 2.19. Определение силы давления на криволинейную поверхность

Равнодействующая от суммы всех элементарных сил, действующих на поверхность изнутри : 1 1

P d=∑ur uur

f

1 1 .S

Р p dsn= ∫uur r

Эту силу трудно подсчитать, т.к. векторы nr

не параллельны между собой.

Проекция силы , по направлению единичного вектора 1Pur

jr

будет

1 1S

Р j p n jds= ∫uurr rr

.

Если θ – угол между направлением Δ и нормалью к поверхности ds, то , тогда cosn j =r r

θ

1р 1 1 cosS

Р j p ds= × θ∫uurr

.

В то же время = ds', тогда cosds× θ 1 1 'S

Р j p ds= ∫uurr

, или 1 1 'Р j p dS=uurr

, где dS' – проекция по-

верхности S на поверхность, перпендикулярную выбранному направлению Δ. Таким образом, можно записать 1Р j Р1=

uurr, как произведение двух векторов и

1 1 'Р p dS= . (2.17)Такой же результат мы получим для равнодействующей силы 2Р

2 2 'Р p dS= . (2.18)6. Сила давления на цилиндрическую поверхность. Представим трубу длиной l, с внутренним радиусом 1R и внешним радиусом 2R (см. рис.

2.20). Толщина трубы e = 2R – 1R . В трубе находится жидкость с давление. Внешнее давление – . Необходимо установить минимальную толщину e, при которой труба не разорвется. 2р

R1 R2

l

Δ

Рис. 2.20. Определение силы давления в цилиндрической трубе

28

Выберем направление Δ, совпадающее с одним из радиусов трубы. Равнодействующая сил внутреннего давления

1 1 'Р p dS= ,

где S' – проекция поверхности S на плоскость, перпендикулярную направлению Δ. Поверхность S' является прямоугольником, площадь которого 2 1R l, тогда

1 1 12Р p R l= .

Аналогичный результат можно получить для силы внешнего давления

2 2 22Р p R l= .

Для второй части трубы мы получим тот же результат. Если внутреннее давление будет больше внешнего (сила будет стремиться разо-

рвать трубу), направление Δ было выбрано произвольно, поэтому можно сделать вывод, что разрыв может произойти по любому направлению. Материал трубы в силу своих физических свойств будет сопротивляться разрыву. Это сопротивление будет тем больше, чем толще будет труба. Величина, характеризующая способность материала сопротивляться его разрыву обозна-чается σ. Сила сопротивления материала

1Р Р> 2 1Р

сопрF S= σ ,

где – площадь сопротивления. сопрS

Таким образом, разрыв произойдет в случае, если 1 2Р Р F− ≥ , или 1 12p R l − 2 22p R l ≥ сопрSσ ,

или , или 1 12p R l − 2 1 сопр2( )p R e l S+ ≥ σ 1 12p R l − 2 1 22 2p R l p el el2− ≥ σ , или , откуда следует, что при

1 1p R − 2 1 2p R e р е≥ σ +

1 1 2

2

( )R p pep−

≤σ+

(2.19)

произойдет разрыв трубы.

2.1.6. Относительный покой жидкости

Относительным покоем жидкости называется такое ее состояние, при котором каждая ее частица сохраняет свое положение относительно твердой стенки движущегося резервуара, в ко-тором находится жидкость (см. рис. 2.21).

ω

dFr

dF dFg z0 z

z

M

Рис. 2.21. Относительное равновесие жидкости во вращающемся сосуде

При относительном покое рассматриваются две задачи: определяется форма поверхности уровня или равного давления и выясняется характер распределения давления. В данном случае необходимо учитывать силы инерции, дополняющих систему массовых сил, действующих в покоящейся жидкости.

29

Рассмотрим случай, когда сосуд с жидкостью вращается вокруг своей оси с постоянной ско-ростью. Для определения формы свободной поверхности и закона распределения давления вы-берем вблизи свободной поверхности частицу жидкости массой dm. На эту частицу действует

массовая сила dF, направленная по нормали к поверхности. Разложим эту силу на две состав-ляющие: горизонтальную и вертикальную 2

rdF dm r= ω gdF dmg= − .

Разделив действующие силы на dm, получим дифференциальное уравнение поверхности уровня

2 2 0xdx ydy gdzω +ω − = или 2 0rdr gdzω − = . Проинтегрировав, получаем

2 2

2r gz constω

− = . (2.20)

Вывод: При вращении резервуара с постоянной скоростью вокруг вертикальной оси поверх-ностями равного давления будет семейство параболоидов вращения.

Для точки М, находящейся на свободной поверхности жидкости 2 2

0 2rz z ω

= + .

Закон распределения давления найдем из дифференциального уравнения гидростатики, ко-торое в данном случае примет вид

2( )dp rdr gdz= ρ ω − .

После интегрирования с учетом граничных условий ( 00, ,r z z p p0= = = ), получаем: 2 2

0 0( )2rp p gω z z= +ρ +ρ − .

Если представить, что 2 2

0 0 2i rp p ω= +ρ ,

то получим уравнение 0 0( )ip p g z z= +ρ − . (2.21)

Вывод: Распределение давления подчиняется линейному закону для любой фиксированной цилиндрической поверхности.

2.1.7. Закон Архимеда

1. Равновесие твердого тела в жидкости. На тело, находящееся в жидкости (см. рис. 2.22) действуют: 1) сила тяжести; 2) сила давления воды.

G

S M

fdr

ds

Рис. 2.22. Равновесие твердого тела в жидкости

На каждый элемент поверхности площадью ds действует сила d f pnds=ur r

,

где n – единичный вектор, направленный по нормали внутрь тела. r

30

Давление p зависит только от положения точки M, соответственно, каждая элементарная си-ла d f

ur будет зависеть от расположения элемента и от его формы. Таким образом, равнодейст-

вующая сил d f будет зависеть только от места нахождения тела в жидкости и от величины внешней поверхности тела S.

ur

2. Равновесие жидкости. Рассмотрим равновесие жидкости, когда тело извлечено, и жидкость заняла его объем (см.

рис. 2.23). Контур S в жидкости соответствует очертанию тела. Жидкость, находящаяся внутри этого контура находится в равновесии под действием: 1)собственного веса G'. 2) результирую-щей силы внешнего давления воды P.

G′

Рис. 2.23. Равновесие объема жидкости в жидкости Равновесие жидкости, находящейся внутри контура S можно записать в следующем виде:

G'+P = 0 или G' = – P. Возвращаясь к случаю плавающего в жидкости тела, мы можем сделать вывод, что, т.к. кон-

туры тела S и жидкости, замещающей объем тела равны, то и силы давления жидкости в первом и во втором случаях должны быть равны. Тогда для тела плавающего в жидкости можно запи-сать ж т'AP G gV= = ρ , (2.22)

где – сила, действующая на погруженное в жидкость тело; AP жρ – плотность жидкости; – объем тела.

тV

Закон Архимеда: На твердое тело, погруженное в покоящуюся жидкость, действует сила гидростатического давления, равная весу жидкости в объеме тела, направленная вертикально вверх и проходящая через центр тяжести тела.

3. Условия равновесия плавающих тел. Т.к. вес тела , а архимедова сила тG g= ρ тV тVжAP g= ρ , то в случае неравенства плотностей

тела жидкости, эти силы будут приложены к различным точкам. Для того чтобы плавающее те-ло было устойчивым, необходимо, чтобы центр приложения архимедовой силы (центр водоиз-мещения) находился выше центра приложения силы тяжести.

2.1.8. Основное уравнение гидростатики для сжимаемой жидкости

Выведем основное уравнение гидростатики, учитывая влияние сжимаемости газа, т.е. изме-нение плотности газа под действием давления. Дифференциальное уравнение равновесия для среды переменной плотности после интегрирования примет вид

.dp gz const+ =ρ∫ (2.23)

Для вычисления интеграла необходимо задать закон изменения состояния газа.

31

2.1.9. Изотермическая атмосфера

Если принять, что температура газа не изменяется с изменением высоты, а уравнение со-стояния записать в следующем виде

,p pRT C

ρ = =

откуда pC =ρ

– постоянная величина.

Подставив последнее соотношение в предыдущее уравнение, получим

lnC p gz const+ = или ln .pgz p const+ =ρ

(2.24)

Полученное уравнение отличается от основного уравнения гидростатики жидкости тем, что давление газа по высоте с учетом его сжимаемости в изотермических условиях распределяется не по линейному, а по логарифмическому закону.

Запишем предыдущее уравнение для двух высот: на поверхности земли, где z0 = 0, давление

p = p0, на высоте z давление будет р. Обозначим z – z0 = h и 0

0

p Hg=

ρ, учитывая, что 0

0

pp=

ρ ρ,

получим 0

ln ph Hp

= , откуда

0

hHp e

p−

= . (2.25)

Вывод: Давление уменьшается по высоте по экспоненциальному закону. Примечание: Полученной формулой можно пользоваться, если высота изменяется на не-

большую величину, в пределах нескольких сот метров, т.к. в других случаях формула дает по-грешность более 5%.

2.1.10. Неизотермическая атмосфера

Обычно температура воздуха с увеличением высоты уменьшается. Температура дымовых газов также быстро уменьшается в трубе. Для того, чтобы проинтегрировать основное уравне-ние гидростатики в этом случае необходимо знать закон изменения температуры с изменением высоты. Чаще всего для атмосферного воздуха принимают, что температура уменьшается по линейному закону

0 ,T Tah−

= (2.26)

где Т0 – температура на поверхности земли; a – градиент температуры. Можно записать дифференциальное уравнение равновесия в следующем виде

( )0

,dp dzgp R T az= −

− (2.27)

тогда 0

0 0

ln ln T azp gp Ra T

−= , или 0

00

gRaT azp p

T⎛ ⎞−

= ⎜⎝ ⎠

⎟ , или

00

.

gRaTp p

T⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

(2.28)

Пример: Предположим, что температура понижается на 6ºС с увеличением высоты на 1000 м. Необходимо определить давление на вершине горы Монблан (z = 4800м), если на уровне мо-ря температура Т0 = 30ºС.

32

Решение: На вершине горы температура Т = 30 – 4800·0,006. Т = 274,2 К, тогда

9,81287 4800

0

274,3 0,557.303

pp

⋅⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

Вывод: Давление на вершине горы Монблан меньше почти в два раза. Примеры решения практических задач гидростатики

Пример 2.1-1 К закрытому резервуару для определения давления на свободной поверхности р0 присоеди-

нена стеклянная трубка. Спрашивается, какое давление в резервуаре р0, если вода в трубке под-нялась на высоту Н = 3 м? Трубка присоединена на глубине = 2 м. 1h

pатм

h2

h1 H

A A p0

Рис. 2.24. К примеру 2.1-1

Ответ: Давление на поверхности воды в резервуаре = 107910 Па. 0p

Пример 2.1-2 Определить разность давления в резервуарах А и В, заполненных водой, если разность уров-

ней ртути в U-образном манометре h = 15 см.

h

h1 h2

A B


Ответ: Разность давлений в резервуарах – 18394 Па. Пример 2.1-3

Определить суммарное усилие, воспринимаемое болтами смотрового люка диаметром d = 0,5 м, расположенного на глубине h = 3 м от свободной поверхности, на которой давление = 0,5 атм.

0p

Ответ: Усилие, воспринимаемое болтами смотрового люка Р = 15700 Н. Пример 2.1-4

При бурении скважины необходимо определить вес труб, опущенных в скважину, заполнен-ную глинистым раствором плотностью ρр = 2800 кг/м3, длина труб l = 70 м. Один метр таких труб с муфтами в воздухе весит 300Н. Плотность стали ρст = 7500 кг/м3.

Ответ: Полный вес труб будет равен 902776 Н.

33

p0

h

d P

pатм


2.2. Тема 2. Основы кинематики и динамики жидкости и газа Основные понятия: расход; мгновенная и средняя скорость; линия тока; трубка тока; урав-

нение неразрывности; установившееся и не установившееся движение жидкости; равномерное и неравномерное движение; сплошная среда; количество движения; момент количества движе-ния; дифференциальное уравнение движения невязкой жидкости, общее уравнение энергии в интегральной форме; три формы представления уравнения Бернулли для потока реальной жид-кости; турбулентный и ламинарный режимы течения жидкости; число Рейнольдса; осредненная и мгновенная скорости; пульсации; турбулентные касательные напряжения.

Вопросы, на которые необходимо найти ответ в ходе изучения темы: 1. Что называют линией тока, трубкой тока, элементарной струйкой? 2. Чем траектория движения частицы отличается от линии тока? 3. Какие свойства трубки тока вы знаете? 4. Зачем в гидравлике вводятся понятия: трубка тока, элементарная струйка, линия тока? 5. В чем суть математической модели Эйлера, которая применяется для описания движе-

ния жидкости? 6. Что такое расход жидкости, скорость, средняя скорость, живое сечение потока? Назови-

те единицы измерения. 7. Какова связь между массовым расходом и объемным? 8. Чем отличается установившееся движение жидкости от неустановившегося, равномер-

ное от неравномерного? Приведите примеры. 9. Как записать вид движения жидкости в математической форме? 10. Привести примеры напорного и безнапорного движения жидкости. 11. Что называют сплошной средой? 12. Объяснить суть уравнения неразрывности. 13. Как уравнение неразрывности можно записать в математической форме? 14. Какие выводы можно сделать из уравнения неразрывности? 15. Для каких условий применима струйная расчетная модель движения реальной жидко-

сти? 16. Как математически записать суммарную проекцию внешних сил, действующих на изо-

лированную массу жидкости в наклонном канале? 17. Что называют коэффициентом Буссинеска? 18. Как записать изменение количества движения жидкости в единицу времени при устано-

вившемся движении жидкости? 19. Чему должен быть равен импульс действующих сил при движении жидкости? 20. Какие силы действуют на выделенный объем идеальной жидкости, движущийся равно-

мерно?

34

21. Как записать уравнение равновесия движущегося равномерно объема идеальной жидко-сти?

22. Написать систему уравнений Эйлера и объяснить ее смысл. 23. Как из системы уравнений Эйлера получить уравнение Бернулли для струйки невязкой

жидкости? 24. Как из уравнения Бернулли для струйки невязкой жидкости получить уравнение Бернул-

ли для двух сечений потока реальной жидкости? 25. В чем отличие уравнения Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости от

уравнения Бернулли потока реальной жидкости? 26. Для чего в уравнение Бернулли вводится коэффициент Кориолиса? 27. Какие выводы можно сделать из уравнения Бернулли? 28. Какие ограничения существуют в применении уравнения Бернулли? 29. Как построить линию полного напора, пьезометрическую линию? 30. В каком случае линия полного напора будет параллельна пьезометрической линии? 31. Записать уравнение Бернулли в форме удельной энергии и объяснить его суть. 32. Записать уравнение Бернулли в форме напоров и объяснить его суть. 33. Записать уравнение Бернулли в форме давления и объяснить его суть. 34. Для каких инженерных расчетов применяется та или иная форма записи уравнения Бер-

нулли? Привести примеры. 35. Чем турбулентное движение жидкости отличается от ламинарного? 36. В чем физический смысл числа Рейнольдса, его практическое значение? 37. Чем характеризуется переходная зона от одного режима к другому? 38. Чему равно значение коэффициента Кориолиса при турбулентном и ламинарном режи-

мах? 39. При каком режиме движения жидкости потери напора больше? Почему? 40. От каких параметров зависят гидравлические потери в ламинарном потоке? 41. Что такое пульсации скорости и давления, чем они вызваны, когда возникают? 42. В чем заключается теория Прандтля? 43. Что называют мгновенной, осредненной скоростью? 44. Чем осредненная скорость отличается от средней? Практические задачи, решение которых может быть найдено после изучения теоре-

тического материала: Задача 2.2-1, 6 В закрытом резервуаре поддерживается постоянное манометрическое давление pм = 2 атм,

под действием которого по трубе диаметром d1 = dн мм и общей длине l = 25 м (расстояние от начала до колена l1 = 5 м) вытекает жидкость при температуре t. Определить расход при напоре H1 = 2 м.

H1

l1

Рис 2.27. К задаче 2.2-1, 6

35Примечание. Потерями напора пренебречь.

Задача 2.2-2, 7 Истечение происходит из открытого резервуара при постоянном напоре H1 = 5 м по корот-

кому трубопроводу переменного поперечного сечения с диаметрами d1 = 10dн мм и d2 = 3dн мм в атмосферу. На втором участке трубопровода имеются два колена с плавным поворотом. Дли-на первого участка l1 = 0,8 м, длина второго участка l2 = 2 м. Определить скорость истечения υ2 и расход Q2 через трубопровод.

d1 d2

l1 l2

υ1 υ2

H2 H1

Рис 2.28. К задаче 2.2-2, 7

Примечание. Потерями напора пренебречь. Задача 2.2-3, 8 Из резервуара А, заполненного жидкостью на высоту H1 = 5 м и находящегося под маномет-

рическим давлением рм = 20 кПа, жидкость подается по трубопроводу длиной l = 6 м и диамет-ром d = 10dн мм в резервуар В на высоту Н = 2 м. Определить расход Q и скорость протекаю-щей по трубопроводу жидкости.

Примечание. Потерями напора пренебречь.

H1

H

A

B

M

Рис. 2.29. К задаче 2.2-3, 8

Задача 2.2-4, 9 К закрытому резервуару, на свободной поверхности которого действует манометрическое

давление рм = 10 кПа, подсоединен трубопровод переменного сечения с диаметрами d1 = 2dн мм и d2 = 5dн мм, заканчивающийся соплом диаметром dc = d1. Трубопровод подсоединен на глуби-не Н1 = м. На первом участке длиной l1 = 10 м установлен вентиль. Длина второго участка l2 = 5 м. Определить скорость истечения υ и расход Q вытекающей из сопла жидкости при темпера-туре t и постоянном напоре H1.

36

d1 d2

l1 l2 υ

H1 dс

М

Рис. 2.30. К задаче 2.2-4, 9

Примечание. Потерями напора пренебречь. Задача 2.2-5, 10 Центробежный насос подает воду с температурой t = 15 °С по трубе диаметром d = dн мм и

длиной l = 27 м. Насос создает давление на выходе рн = 2,65 атм и подачу Q = л/с. Определить напор H, создаваемый насосом.

H

Рис. 2.31. К задаче 2.2-5, 10

Примечание. Потерями напора пренебречь.

2.2.1. Основные понятия кинематики жидкости

Для описания движения жидкости используется математическая модель. В гидравлике наи-большее распространение получила модель Эйлера, суть которой можно объяснить следующим образом. Предположим, что точка М движется по некоторой траектории в системе неподвиж-ных координат. Мгновенное значение составляющих скорости вдоль осей координат будет за-висеть от положения точки, т.е. от величины координат x, y, z и времени t. Для составляющих скоростей течения жидкости в рассматриваемой точке , ,x y zu u u (см. рис. 2.32), можно записать функциональные зависимости:

M ux

uy uz

z

x

y

Рис. 2.32. Скорость в точке

37

1

2

3

( , , , )( , , , )

( , , , )

x

y

z

u f x y z tu f x y z t

u f x y z t

==

=

(2.29)

Зная для конкретного случая течения значения этих функций, можно для любого момента времени получить распределение скоростей течения жидкости.

Расход – количество жидкости, проходящей в единицу времени через данное сечение тру-бопровода. Различают объемный и массовый расходы.

Объемный расход – объем жидкости, проходящий в единицу времени через данное сечение трубопровода:

3м ,с

VQt⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

(2.30)

где V – объем жидкости. Массовый расход – масса жидкости, проходящая в единицу времени через данное сечение:

кгсm

mQt⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

. (2.31)

Соответственно, mQ Q= ρ , где ρ – плотность жидкости.

Траектория – кривая, вдоль которой происходит перемещение частицы жидкости. Линия тока – кривая, в каждой точке которой вектор скорости движения частицы направ-

лен по касательной к ней (см. рис. 2.33).

Рис.2.33. Линия тока

Трубка тока – поверхность, очерченная вдоль небольшого контура внутри которой вдоль линии тока перемещаются частицы жидкости. Стенки трубки тока непроницаемы. Площадь по-перечного сечения трубки тока мала, поэтому скорости движения в каждой точке равны (см. рис. 2.34).

Рис. 2.34. Трубка тока

Элементарная струйка – поток жидкости, протекающий в трубке тока Элементарную струйку можно представить также как совокупность линий тока, проходящих через бесконечно малое сечение ds, а разность скоростей соседних линий тока бесконечно мала. Расход элемен-тарной струйки dq = uds. Поток жидкости можно представить как совокупность трубок тока, в которых движутся элементарные струйки.

S

Q d= q∫ .

Средняя скорость потока – скорость, одинаковая в каждой точке потока в данном сечении, соответствует реальному расходу

срiu

iυ = ∑ ,

где – скорость в точке в данном сечении; i – количество точек. iu

Для потока жидкости, состоящего из нескольких трубок тока можно записать 38

ср

dqds

υ = ∑∑

или срQS

υ = , (2.32)

где S – площадь сечения потока жидкости.

2.2.2. Уравнение неразрывности

Основным условием, которое должно соблюдаться при течении жидкости, является непре-рывность изменения параметров потока в зависимости от координат и времени, т.е. при течении жидкости должны быть соблюдены условия при, которых жидкость должна двигаться в канале как сплошная среда, без разрывов.

Выделим внутри пространства с движущейся капельной жидкостью неподвижный контур в форме элементарного параллелепипеда с ребрами dx, dy, dz (см. рис. 2.35). Обозначим скорость жидкости, которая втекает в левую грань параллелепипеда, через xu . Скорость жидкости, выте-кающей из правой грани, вследствие неразрывности поля скоростей равна

dxxuu x

x ∂∂

+

dx dz dy

ux

ir

jr

kr

y

z

x

Рис. 2.35. Движение жидкости через контур

xx

uu dx

x∂+∂

.

Поскольку рассматриваемый элементарный объем неподвижен, изменение скорости не за-висит от времени. В направлении оси х через левую грань втечет за 1 с жидкость массой

, а вытекает через правую грань ( xu dydzρ)

xx

uu dx dydx

z⎡ ∂ ⎤⎛ ⎞+ρ +⎜ ⎟⎢ ⎥∂⎝ ⎠⎣ ⎦.

Значит, за 1 с из параллелепипеда вытекает в направление оси х жидкости больше, чем вте-кает, на

.xu dxdydzx

∂ρ ×∂

Аналогичные выражения получаются и для направлений x, y, z. Закон сохранения массы требует, чтобы сумма трех полученных приращений была равна нулю:

0yx zuu udxdydz dxdydz dxdydz

x y z∂∂ ∂

ρ +ρ +ρ∂ ∂ ∂

= . (2.33)

Это уравнение называют уравнением неразрывности, т.к. оно предполагает, что жидкость является сплошной средой.

39

Рассмотрим уравнение неразрывности для случая течения струйки при установившемся движении. Масса жидкости течет в трубке тока (см. рис. 2.34). Пусть левое входное сечение трубки тока имеет площадь и в этом сечении скорость жидкости , а ее плотность 1s 1u 1ρ . Пло-щадь сечения на выходе из трубки тока , скорость течения жидкости , и ее плотность 2s 2u 2ρ . Скорости струйки направлены по касательной к стенкам трубки тока, поэтому через стенки об-

40

1u

2u

мен массой с окружающей жидкостью отсутствует. Через левое сечение втекает в единицу вре-мени масса жидкости . Через правое сечение вытекает в единицу времени масса жидкости . В трубке тока масса жидкости, находящаяся между левым и правым се-чениями, остается постоянной, следовательно, условие сплошности потока в трубке тока будет:

1 1 1mQ s= ρ

2 2 2mQ s= ρ

1mQ = 2mQ = const. (2.34)Если плотность жидкости по длине трубки тока не изменяется, т.е. = , то можно запи-

сать для левого и правого сечений: 1ρ 2ρ

1 1s u 2 2s u= = const или 1Q = 2Q = const. (2.35)Полученное уравнение является уравнением неразрывности для трубки тока. Для потока реальной жидкости уравнение неразрывности записывается в следующем виде:

11 2 2ср срS S constυ = υ = , (2.36)

где и – площади сечения потока в сечениях на входе и на выходе; и – средние скорости потока в этих сечениях.

1S 2S ср1υ ср2υ

Можно сделать два важных вывода: 1. При установившемся движении жидкости объемный расход не меняется; 2. При увеличении площади сечения потока жидкости средняя скорость уменьшается, и,

наоборот, при уменьшении сечения - скорость увеличивается.

2.2.3. Виды движения жидкости

Все случаи течения жидкости можно разделить на виды, представленные на рисунке 2.36.

Рис. 2.36. Виды движения жидкости

Установившееся движение жидкости – движение жидкости, при котором все параметры жидкости (давление, температура, скорость и др.) не изменяются по времени. ( , , )u f x y z= . (2.37)

Для неустановившегося движения: ( , , , )u f x y z t= . (2.38)

Равномерное движение – установившееся движение, при котором скорость по всей длине потока не изменяется: u const= . (2.39)

Напорное движение устанавливается в закрытых гидравлических системах, в которых жид-кость течет в, основном, под действием силы давления, безнапорное движение наблюдается в открытых системах, в которых движение жидкости происходит под действием силы тяжести.

2.2.4. Интегральная формула количества движения

41

1

В теоретической механике изучается теорема о количестве движения материальных точек, которую можно применить в гидравлике. Будем считать движение жидкости в канале (см. рис 2.37) установившемся. Распределение давления в сечениях 1-1 и 2-2 гидростатическое. В сече-нии 1-1 действует сила давления, направленная внутрь выделенного объема жидкости 1 1P p s= , в сечении 2-2 – сила 2 2 2P p s= ( – давление в сечениях 1-1 и 2-2, – площади сече-ний). На элементарной площадке стенки канала действуют: сила реакции стенки, равная силе давления pds и сила вязкого трения τds. Проекция этих сил на ось движения равна pds sin α + τds cos α (α – угол наклона элементарной стенки какала к его оси). Суммарная проекция внеш-них сил, действующих на изолированную массу жидкости, равна

1 2, p p 1 2, s s

1 1 2 2sin cosS S

p ds ds p s p sα + τ α + −∫ ∫ .

α

θ

pds

τds

P1

P2

1

1

2

2

Рис. 2.37. Силы, действующие на поток жидкости в канале

Примем, что ось канала наклонена под углом θ к горизонту. Проекция веса жидкости, за-ключенной между выбранными сечениями равна gρVsin θ (V – объем выделенной массы жидко-сти).

Проекция всех сил, действующих на изолированную массу, равна

1 1 2 2sin cosS S

p ds ds p s p sα + τ α + −∫ ∫ – gρVsin θ. (2.40)

Распределение скорости в контрольных сечениях может быть неравномерным. Через эле-ментарную площадку ds контрольной поверхности в единицу времени переносится количество движения, равное (u – местная скорость течения). Суммарное количество движения рав-

но . Средняя скорость в контрольном сечении . Количество движения, под-

считанное по средней скорости равно

2u dsρ

2

S

u dsρ∫ ср0

/s

ds sυ = υ∫2ср .sρυ

Отношение количества движения, действительно перенесенного потоком, к количеству движения, определенного по средней скорости, называется коэффициентом Буссине-ска ( )2 2

0 срss sα = υ υ∫ .

В единицу времени при установившемся движении изменение количества движения соста-вит

( ) ( )2 202 ср2 2 01 ср1 1 02 ср2 01 ср1s s Qρ α υ −α υ = ρ α υ −α υ ,

где Q – расход жидкости.

Импульс действующих сил должен равняться изменению количества движения массы, на которую данный импульс действует. Следовательно, при течении жидкости в канале с учетом принятых условий соблюдается равенство

1 1 2 2sin cos

S S

p ds ds p s p sα + τ α + −∫ ∫ – gρVsin θ =

02 ср2 01 ср1Q Qρ α υ −ρ α υ . (2.41)

Нами получено гидравлическое уравнение количества движения. Вывод: При переходе от сечения 1-1 к сечению 2-2 проекция секундного количества движе-

ния потока изменяется на величину, равную сумме проекций всех внешних сил, действующих на объем потока, заключенный между сечениями 1-1 и 2-2.

Применяя уравнение количества движения, можно решить ряд задач гидравлики, например: теоретически определить коэффициент местного сопротивления при внезапном расширении трубы; изменение давления в трубе при равномерном отборе жидкости на одном ее участке; оп-ределение расхода газа при всасывании его через цилиндрическую трубу.

2.2.5. Дифференциальное уравнение движения невязкой жидкости (уравнение Эйлера)

Предположим, что в жидкости движется элементарный объем в форме параллелепипеда со сторонами dx, dy, dz (см. рис. 2.38). На параллелепипед действуют поверхностные силы давле-ния и массовые силы с проекциями X, Y, Z, отнесенными к единице массы. При движении объе-ма возникают силы инерции. Проекции этих сил на оси координат, отнесенные к единице мас-

сы, равны соответственно: , ,yx zdudu du

dt dt dt− − − .

( )dydzpp Δ+

dx dz

dy

y

z

x

pdydz

0

Рис. 2.38. Схема равномерного движения объема жидкости

Рассмотрим условие равновесия сил, в проекции на ось х. Сила давления на левую грань – pdydz, на правую грань

– (p + p dxx∂∂

)dydz,

где p dxx∂∂

=Δp – изменение давления вдоль оси x.

Массовая сила равна Xρdxdydz. Уравнение равновесия запишется в виде

pdydz – (p + p dxx∂∂

) dydz + Xρdxdydz xdudt

− ρdxdydz = 0,

или

– px∂∂

dxdydz + Xρdxdydz xdvdt

− ρdxdydz = 0.

Разделив каждый член уравнения на ρdxdydz, получим

X – 1 xdupx dt∂

=ρ ∂

.

42

Соответственно для осей и уравнение равновесия будет выглядеть следующим образом

Y – 1 ydupy dt∂

=ρ ∂

,

Z – 1 zdupz dt∂

=ρ ∂

.

Объединив полученные уравнения, получим систему уравнений Эйлера:

X – 1 xdupx dt∂

=ρ ∂

,

Y – 1 ydupy dt∂

=ρ ∂

, (2.42)

Z – 1 zdupz dt∂

=ρ ∂

.

Можно получить полный дифференциал уравнений Эйлера для установившегося движения, если рассматривать перемещение частиц жидкости вдоль линии тока. Для этого надо умножить каждое из уравнений системы на соответствующую проекцию элементарного перемещения частиц dx, dy, dz, и сложить их:

(Xdx + Ydy + Zdz) – 1 p p pdx dy dzx y z

⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ +⎜ ⎟ρ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

– yx zdudu dudx dy dz

dt dt dt⎛ ⎞

+ +⎜ ⎟⎝ ⎠

= 0.

Т.к. для установившегося течения линии тока совпадают с траекториями движения частиц, то

, , .x y zdx dy dzu udt dt dt

u= = =

Тогда

yx zdudu dudx dy dz

dt dt dt+ + = x x y x zu du u du u duz+ + = 2 2 21 ( )

2 x y zd u u u+ + = 212

du

Для установившегося движения давление зависит только от координат, поэтому второй член уравнения есть полный дифференциал давления dp. Получим

(Xdx + Ydy + Zdz) – 1ρ

dp – 212

du = 0 (2.43)

Мы получили дифференциальное уравнение движения невязкой жидкости. В поле силы тяжести

X = 0, Y = 0, Z = – g, тогда уравнение запишется в следующем виде

– gdz – dpρ

– 2

2du = 0.

После интегрирования этого уравнения получаем (при ρ = const) уравнение

gz + pρ

+ 2

2u = const, (2.44)

которое называется уравнением Бернулли для струйки невязкой жидкости.

2.2.6. Общее уравнение энергии в интегральной форме (Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости)

Для двух сечений струйки невязкой жидкости это уравнение будет выглядеть следующим образом

43

2 2

1 1 2 21 22 2

p u pgz gz u+ + = + +ρ ρ

. (2.45)

Сумма слева представляет полную удельную энергию струйки в сечении 1-1, сумма справа – полную удельную энергию струйки в сечении 2-2. Можно записать, что

1 2E E= .

На практике энергия струйки в начале больше энергии струйки в конце, т.к. часть энергии теряется на преодолении сил вязкости. В процессе движения вязкой жидкости запас ее механи-ческой энергии уменьшается, и на самом деле

1 2E Е> .

Обозначим энергию, затрачиваемую на преодоление сил сопротивления Eпот. Eпот – это та часть механической энергии, которая, вследствие вязкости, переходит в тепловую энергию. Другими словами можно сказать, что Eпот – это часть энергии, которая израсходована на пре-одоление гидравлических сопротивлений. Е1 = Е2 + Eпот. (2.46)

При выводе уравнения Бернулли для элементарной струйки можно было пренебречь изме-нением скорости и давления в пределах нормальных сечений благодаря их малым величинам. В потоке жидкости скорости и давления в пределах живых сечений различны, и это необходимо учитывать. Согласно гипотезе Ньютона, жидкость как бы прилипает к стенкам канала, по кото-рому она течет и ее скорость равна нулю. Но с увеличением расстояния от стенки, скорость струек увеличивается. Так называемая мощность потока складывается из энергии отдельных струек

S

N d= N∫ ,

где N – мощность потока; dN – мощность струйки; S – площадь живого сечения потока. Для мощности струйки можно записать:

dN = Ed = (gz + mQ pρ

+ 2

2u ) ρuds,

где ds – площадь живого сечения струйки. Величина удельной энергии потока равна частному от деления мощности потока на массо-

вый расход mQ2

2S

m

p ugz udsE

Q

⎛ ⎞+ + ρ⎜ ⎟ρ⎝ ⎠=

∫.

Это уравнение можно разбить на два интеграла

44

E = п кинE Е+ = S

m

pgz uds

Q

⎛ ⎞+ ρ⎜ ⎟ρ⎝ ⎠

2

2S

m

u uds

Q

⎛ ⎞ρ⎜ ⎟

⎝ ⎠∫

, ∫

+

где пE – удельная потенциальная энергия потока относительно выбранной плоскости сравне-ния; кинЕ – удельная кинетическая энергия потока.

Для вычисления пE надо знать закон изменения давления по живому сечению. Для плавно-изменяющихся течений ускорения и силы инерции незначительны, поэтому ими можно пре-небречь. Экспериментально доказано, что в плавноизменяющемся потоке давления распреде-

ляются по закону гидростатистики gz p+ρ

= const.

пE = S

m

pgz ds

Q

⎛ ⎞ρ + υ⎜ ⎟ρ⎝ ⎠ =

∫m

pgz Q

Q

⎛ ⎞+ ρ⎜ ⎟ρ⎝ ⎠ = gz p

+ρ

. (2.47)

Для вычисления интеграла

2

2S

m

u uds

Q

⎛ ⎞ρ⎜ ⎟

⎝ ⎠∫

нужно знать закон распределения скоростей по сече-

нию. Умножим и поделим это выражение на 3срSυ .

2

2S

m

u uds

Q

⎛ ⎞ρ⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ 3

ср3ср

SS

υ

υ=

2ср

ср2S

υρυ

3

3ср

2S

m

u ds

SQυ

∫=

2ср

2m

m

QQ

υα ,

где α – коэффициент, который учитывает неравномерность распределения скоростей в сечении, называется коэффициент Кориолиса. Получаем выражение для удельной кинетической энер-гии потока:

кинЕ =2ср

2υ

α . (2.48)

Запишем уравнение Бернулли для двух сечений потока реальной жидкости

2 2

1 1 ср 2 2ср1 21 22 2 пот

p pgz gz Eα υ α υ

+ + = + + +ρ ρ

. (2.49)

Полученное уравнение позволяет сделать следующие выводы: 1. При увеличении кинетической энергии потока от одного сечения к другому потенциаль-

ная энергия уменьшается, и, наоборот, с увеличением потенциальной энергии, кинетическая уменьшается.

2. Коэффициент α тем больше, чем больше скорости отдельных струек отличаются от вели-чины средней скорости. Если скорости всех элементарных струек будут равны средней скоро-сти, то α = 1.

2.2.7. Три формы представления уравнения Бернулли для потока реальной жидкости

Представленное выше уравнение Бернулли является уравнением Бернулли, записанное в форме удельной энергии, где:

1gz и – удельная энергия положения в сечениях 1-1 и 2-2 потока; 2gz

1pρ

и 2pρ

– удельная энергия давления в этих сечениях;

21 1 ср

2α υ

и 2

2 2ср

2α υ

– удельная кинетическая энергия.

На практике при выполнении инженерных расчетов обычно применяют две другие формы представления уравнения Бернулли.

Уравнение Бернулли в форме напоров можно получить, если разделить уравнение в форме

удельной энергии на g, обозначив потw

E hg

= .

2 2

1 1 ср 2 2ср1 21 22 2 w

p pz zg g g g

α υ α υ+ + = + + +ρ ρ

h . (2.50)

Каждый член этого выражения имеет размерность длины и может быть представлен некото-рой высотой (напором) (см. рис. 2.39).

45

Здесь и – высота положения или геометрический напор (расстояние от плоскости срав-нения до центра сечения потока);

1z 2z

1 1p pg=

ρ γ и 2 2p p

g=

ρ γ – пьезометрическая высота или пьезометрический напор (высота подня-

тия жидкости в пьезометрической трубке под действием давления); 2

1 1 ср

2gα υ

и 2

2 2ср

2gα υ

– скоростной напор (разность показаний трубки Пито и пьезометрической

трубки).

Сумма трех высот 2

1 1 ср11 12

pz Hg g

α υ+ + =ρ

и 2

2 2ср22 2

pzg g

α υ+ + =ρ 2H – полный напор потока жид-

кости.

0

H

h′′ h′

d1 d2 d1 z′

γp

g2

2υ

l l

1

1

2

2

3

3

0

Рис. 2.39. Опытная демонстрация уравнения Бернулли в форме напоров

Разность полных напоров двух живых сечений потока – потеря напора между этими сече-ниями 1 2wh H H= − . (2.51)

С помощью уравнения Бернулли в форме напоров можно найти высотные отметки жидко-стей, которые могут быть достигнуты в данной трубопроводной системе. Это уравнение широ-ко используется при проектировании и гидравлических расчетах водопроводов.

Уравнение Бернулли в форме давлений получаем, если уравнение Бернулли в форме удель-ной энергии умножим на плотность ρ.

2 2

1 1 ср 1 2ср1 1 2 2 .

2 2 wgz p gz p ghα υ α υ

ρ + +ρ = ρ + +ρ +ρ (2.52)

Здесь каждый член имеет размерность давления:

1gzρ и – гравитационное давление, т. е. давление, создаваемое силой тяжести; 2gzρ

1p и – статическое давление; 2p2

1 1 ср

2α υ

ρ и 2

2 2ср

2α υ

ρ – динамическое давление;

wghρ – потери давления на преодоление сил трения и местные сопротивления.

46

Вывод: при увеличении скорости движения потока давление на этом участке падает и, на-оборот – при уменьшении скорости давление увеличивается.

Уравнение Бернулли в форме давлений применяется для расчета систем вентиляции, газо-вых стояков внутри зданий и т.д.

2.2.9. Особенности турбулентного и ламинарного течения жидкости. Число Рейнольдса

Наблюдения показывают, что в жидкости возможны две формы движения: ламинарное дви-жение и турбулентное. Проведем следующий опыт. Через стеклянную трубку будем подавать воду. В начале трубки устанавливаем тонкую трубку, через которую подаем краску. Когда ско-рость движения воды в стеклянной трубке небольшая, струйка краски, вытекающая из тонкой трубки, принимает форму нити. Это говорит о том, что отдельные частицы жидкости переме-щаются прямолинейно. Жидкость в круглой трубе движется как бы концентрическими кольце-выми слоями, которые не перемешиваются между собой. Такое движение называется ламинар-ным (слоистым) (см. рис 2.40).

Рис. 2.40. Движение окрашенной жидкости при ламинарном и турбулентном режимах

С увеличением скорости движения в стеклянной трубке струйка краски будет размываться, терять свою устойчивость и, при больших скоростях, краска будет равномерно окрашивать всю массу жидкости, что указывает на интенсивное перемешивание всех слоев. Отдельные частицы жидкости и ее небольшие объемы пребывают в состоянии хаотического и беспорядочного дви-жения. Наряду с общими поступательными движениями имеется поперечное перемещение час-тиц. Такое движение называется турбулентным (см. рис. 2.40).

Эти два режима движения резко отличаются один от другого, что видно из нижеследующей таблицы.

Таблица 2.1 Характеристика Ламинарный режим Турбулентный режим

Движение Только продольное Продольное и поперечное

Потери энергии 1wgh u≡ 2

wgh u≡

Передача тепла Теплообмен за счет тепло-проводности

Теплообмен за счет теплопро-водности и конвекции

Эпюра скорости Параболическая функция Логарифмическая функция Коэффициент α α = 2 1α ≈

Условия перехода от ламинарного течения капельной жидкости к турбулентному в круглых трубках впервые изучил О. Рейнольдс. Он установил, что режим зависит от трех параметров: средней скорости , диаметра d и кинематической вязкости ν. Рейнальдс пришел к выводу, что существует некоторое критическое значение соотношения этих параметров, являющееся границей между ламинарными и турбулентными режимами течения, и нашел его:

срυ

срRe 2320.dυ ⋅

= =ν

(2.53)

Более точные исследования показали, что в интервале чисел Рейнальда от 2000 до 4000 про-исходит периодическая смена турбулентного и ламинарного режимов. Поэтому можно точно сказать, что при R режим движения – ламинарный, а при R устанавливается e 2000≤ e 4000≥

47

турбулентный режим. В диапазоне чисел Рейнольдса от 2000 до 4000 режим нестабильный, т.е. может быть и ламинарным, и турбулентным.

При изучении сопротивлений, теплопередачи, явлений, связанных с переносом тепла, транспортом твердых частиц число Рейнальда является исходным для построения расчетных зависимостей

Подавляющее число движений жидкости в технике – турбулентные, а не ламинарные. Тур-булентные течения значительно сложнее ламинарных, и для их изучения нужны другие методы. Беспорядочный характер движения отдельных частиц жидкости в турбулентном потоке требует применения методов статистической механики.

Хаотичность турбулентного движения с кинематической точки зрения означает, что ско-рость движения в отдельных точках пространства непрерывно изменяется как по величине (см. рис. 2.41), так и по направлению. Скорость в данной точке турбулентного потока, измеренную в данный момент времени, называют мгновенной и обозначают u, Экспериментальные исследо-вания показывают, что изменения мгновенной скорости носит случайный характер.

u

t

u u

uΔ

t

Рис. 2.41. График изменения мгновенной скорости Для описания турбулентного потока вводят понятия осредненной скорости, которой назы-

вают среднюю за некоторый промежуток времени скорость в данной точке

0

1 t

u udtt

= ∫ ,

где t – достаточно длинный интервал времени. При равномерном течении жидкости в трубе с постоянным расходом мгновенную скорость,

измеренную в данной точке можно разложить на три составляющие , ,x y zu u u .

Каждая из составляющих скоростей изменяется со временем, но для установившегося дви-жения за определенный промежуток времени, определенные во времени значения поперечных составляющих равны нулю. Если ось х совпадает с осью трубы, то 0, 0, 0x y zu u u= = = .

Если подобным способом определить осредненные скорости нескольких точек по поперек трубы, получим эпюру осредненных скоростей по сечению трубы. Осреднение определенных скоростей дает среднюю скорость потока срυ .

Таким образом, осредненную скорость получаем после осреднения по времени мгновенных скоростей, среднюю скорость получаем после осреднения осредненных скоростей по сечению.

Осредненную скорость можно рассматривать как скорость струйки. При неизменном расхо-де жидкости эпюра осредненных продольных скоростей в данном живом сечении не изменяется с течением времени, что и является признаком установившего течения.

48

С помощью понятия осредненной скорости турбулентный поток с его беспорядочно движу-щимися массами жидкости заменяют воображаемой моделью потока, представляющей сово-купность элементарных струек, скорости которых равны осредненным скоростям по величине и по направлению. Это означает, что к турбулентному потоку можно применить представление одномерной гидравлики.

Отклонение мгновенной скорости от ее осредненного значения u u uΔ = − называют пульса-ционной скоростью или пульсацией. Замена действительных беспорядочных движений жид-ких комков на фиктивное струйное движение требует введения некоторых фиктивных сил взаимодействия между воображаемыми струйками.

Благодаря этому Прандтлем был введен новый вид поверхностных сил и соответствующих касательных напряжений

xy xu uyτ = −ρΔ Δ ,

которые называются турбулентными касательными напряжениями. Эти напряжения обу-словлены пульсациями или обменом количества движения между соседними слоями жидкости. Слой, движущийся с большей скоростью, подтягивает за собой отстающий и наоборот, слой, который движется медленно, тормозит опережающий. Знак «минус» подчеркивает, что сила со-противления имеет направление, противоположное продольной пульсации. Индексы x и y пока-зывают направление движения слоя и поперечных пульсаций.

Осредненные касательные напряжения называются турбулентными

турб x yu uτ = −ρΔ Δ . (2.54)

В схематизированном турбулентном потоке, кроме сил турбулентного обмена, вследствие пульсации еще проявляются силы внутреннего трения. Полное касательное напряжение турбу-лентного потока

турб вязкx

x yduu udy

τ = τ + τ = −ρΔ Δ +μ . (2.55)

2.2.10. Уравнение Бернулли для элементарной струйки невязкой сжимаемой жидкости

Плотность сжимаемой жидкости изменяется в процессе движения. Проинтегрировав диффе-ренциальное уравнение одномерного движения жидкости для струйки, получаем:

2

2dp ugz const+ + =ρ∫ . (2.56)

При установившемся движении влияние сжимаемости практически проявляется только в га-зах, при анализе течения которых удельной энергией положения можно пренебречь. Тогда:

2

2dp u const+ =ρ∫ . (2.57)

Это уравнение можно назвать уравнением Бернулли для сжимаемой жидкости. Член dpρ∫ характеризует потенциальную энергию газа с учетом преобразования его внутренней энер-

гии. Вывод: При установившемся течении невязкого газа сумма удельной потенциальной, внут-

ренней и кинетической энергии есть величина постоянная.

Для вычисления интеграла dpρ∫ необходимо знать процесс изменения состояния газа при

этом течении. Если считать что течение происходит без теплообмена, то для невязкого газа это будет отвечать изоэнтропическому изменению состояния. Такой процесс описывается уравне-нием

k

p C=ρ

, (2.58)

где k – показатель адиабаты процесса; С – постоянная.

49

Подставим в интеграл dpρ∫ вместо ρ его значение из предыдущего уравнения

1

1

k

k

p

Cρ = , тогда

1dp k p

k= ⋅

ρ −∫ ρ.

Теперь уравнение Бернулли для сжимаемой жидкости принимает вид 2

1 2k p u const

k⋅ + =

− ρ.

Поскольку отношение p RT=ρ

2

1 2k uRT const

k⋅ + =

−. (2.59)

Из этого уравнения следует, что изменение скорости вдоль трубки тока сжимаемого газа связано с изменением температуры. При увеличении скорости температура падает и наоборот.

2.2.11. Уравнение Бернулли для потока вязкой сжимаемой жидкости

При составлении уравнений движения сжимаемой жидкости следует учитывать, что не только скорости, но и плотности, температуры и давления отдельных струек в пределах живых сечений неодинаковы, что значительно усложняет исследование. Поэтому поток конечных раз-меров рассматривают как одну струйку. Заменив в уравнении для струйки скорость струйки u на среднюю скорость потока υср, можно сразу написать уравнение Бернулли сжимаемой невяз-кой жидкости:

2ср

1 2k RT const

kυ

⋅ + =−

. (2.60)

Теперь составим уравнение Бернулли для вязкой сжимаемой жидкости, для чего запишем дифференциальное уравнение движения

0,пdp d dE+ ν ν + =ρ

интегрирование которого для сжимаемой жидкости зависит от конкретных условий движения и закона изменения состояния газа.

При адиабатическом течении, где отсутствует обмен тепла со средой вне границ потока, можно получить уравнение движения в конечном виде, для чего необходимо применить поня-тие энтальпии

,dpdi dq= +ρ

(2.61)

где q – количество тепла, передаваемое 1 кг газа. Подставив уравнение энтальпии в уравнение Бернулли, получим

0.пdi dq d dE− + ν ν + +

При адиабатическом течении энергия, потерянная на трение, переходит во внутреннее тепло (dEn = dq), тогда

0.di d+ ν ν = Проинтегрировав, получим

2ср .2

i coυ

= = nst (2.62)

Мы получили основное уравнение адиабатического течения газа.

50

Вывод: Сумма удельной кинетической энергии и энтальпии остается неизменной в процессе движения газа.

Можно доказать, что для воздуха сжимаемостью можно пренебречь, если скорость течения не превышает 70 м/с, для природного газа – 90 м/с. В системах вентиляции и газопроводов низ-кого давления скорости течения не превышают указанных пределов, поэтому расчет в этих сис-темах ведется как для несжимаемой жидкости. В этих системах расчет можно вести по уравне-нию Бернулли в форме давлений

2 21 1 ср 1 2ср

1 1 2 22 2 потgz p gz p pα υ α υ

ρ + +ρ = ρ + +ρ + Δ .

Пример применения уравнения Бернулли для расчета коротких трубопроводов Вода перетекает из резервуара А в резервуар В по трубопроводу с диаметрами d1 = 100 мм и

d2 = 60 мм и длиной l1 = 15 м и l2 = 10 м. Необходимо определить расход воды при разности уровней в бассейнах H = 300см. Трубопровод стальной сварной, умеренно заржавевший.

h A

h B

H

d 1

d 2

A B

1

1

2

2

0 0

Рис. 2.42. К примеру расчета коротких трубопроводов

Примечание. Потерями напора пренебречь. Ответ: Искомый расход в трубопроводе Q = 0,45 м3/с.

51

52

Лекция 3. Основы моделирования гидромеханических процессов

Основные понятия: физическое и математическое моделирование; подобие; масштаб; кри-терии подобия; автомодельность; напряженное состояние жидкости; уравнение Навье – Стокса; численные методы; неустранимая и вычисляемая погрешность; погрешности метода; схема применения численных методов; одномерная модель жидкости; пьезометр; трубка Пито; датчи-ки измерения давления; вертушка; расходомеры; манометр; вакуумметр; барометр.

Вопросы, на которые необходимо найти ответ в ходе изучения темы: 1. Почему применяется моделирование при изучении гидравлических явлений? 2. Какие виды моделирования Вы знаете? 3. Какие явления называются подобными? 4. Какие виды подобия Вы знаете? 5. Что называют масштабом модели? 6. Что называют механическим подобием? 7. Какие два потока являются геометрически подобными? 8. Какие потоки являются кинематически подобными? 9. Какие потоки являются динамически подобными? 10. Приведите пример преобразования одного масштаба в другой. 11. Какие основные силы необходимо учитывать при моделировании гидравлических явле-

ний? 12. Что называется критерием гидравлического подобия? 13. В чем физический смысл критериев подобия Эйлера, Рейнольдса, Фруда, Архимеда? 14. Когда применяется критерий подобия Эйлера? 15. Когда применяется критерий подобия Рейнольдса? 16. Когда применяется критерий подобия Фруда? 17. Когда применяется критерий подобия Архимеда? 18. Почему при моделировании по Фруду невозможно соблюсти критерий Рейнольдса? 19. На какие вопросы должен ответить экспериментатор перед началом исследований? 20. Что делать, если при моделировании по критерию Рейнольдса на модели получают

слишком большие скорости потока? 21. Что называют автомодельностью при моделировании? 22. Объясните принцип действия приборов для измерения давления. 23. Объясните принцип действия приборов для измерения скорости. 24. Объясните принцип действия приборов для измерения расхода. 25. Почему в жидкости возникают напряжения? 26. Какие напряжения возникают на поверхности граней параллелепипеда? 27. Чему равно изменение количества движения жидкости, протекающей через неподвиж-

ный объем? 28. Что называют одномерной моделью жидкости? 29. В чем смысл уравнения Навье – Стокса? 30. Что называют численными методами? 31. Что является источником погрешности при решении задач численными методами? 32. Что называют неустранимой погрешностью?

33. Что называют погрешностями метода? 34. Почему не учитываются погрешности при решении задач на ЭВМ? 35. От чего зависит выбор численного метола? 36. Какие дополнительные требования предъявляются при выборе численного метода? 37. Что предшествует математическому исследованию? 38. Какие этапы метода вычислительного эксперимента вы знаете? Практические задачи, решение которых может быть найдено после изучения теоре-

тического материала: Задача 3-1, 5 Какими будут потери напора на 1 км длины бетонного напорного трубопровода диаметром

5×__мм, если потери на его воздушной модели (l = 1 м) при скорости движения воздуха 30 м/с составили 1 м?

Задача 3-2, 6 При испытании на воде модели задвижки в трубе квадратного сечения ( = 1001а × 1а ×100

мм) перепад давления при открытии = 30 мм и расходе = 8 л/с составил = 6,4 КПа, а сила действия потока на задвижку

1h 1Q 1pΔ

1R = 48 Н. Определить 2pΔ и 2R на натуре при = 10000 л/с, если = 0,3, а = 1 м.

2Q× нQ 2h 2а × 2а

h 1

d 1

Рис. 3.1. К задаче 3-2, 6

Задача 3-3, 7, 9 Найти отношение кинематических вязкостей жидкостей на натуре и на модели при одно-

временном соблюдении вязкостного (Reм = Reн) и гравитационного (Frм = Frн) подобия потоков, если геометрический масштаб моделирования . lk

Задача 3-4, 8, 10 Протекание нефти (вязкость νн = 0,25 СТ) по стальному трубопроводу диаметром 500 мм ис-

следуется на его воздушной модели. Определить скорость движения воздуха на модели ( =_), если ее диаметр равен 50 мм, а скорость течения нефти в натуре составляет 1 м/с.

lk

3.1. Основы моделирования При изучении гидроаэродинамических явлений необходимо широкое применение экс-

перимента. Например, все вопросы, касающиеся турбулентного движения жидкости, не имеют точного теоретического решения, поэтому экспериментальные решения дополня-ют теоретические. Все виды гидравлических сопротивлений и соответствующие им коэф-фициенты определяются экспериментальным путем.

Перед постановкой исследования экспериментатор должен знать: каким требованиям долж-на удовлетворять модель, какие величины надо измерять в опытах, какими приборами надо пользоваться, на какие полученные величины, прежде всего, необходимо обращать внимание. Кроме того, необходимо четко знать, что полученные результаты соответствуют явлениям, ко-торые будут иметь место в действительности.

53

Различают математическое моделирование (на ЭВМ) и физическое (на физических моде-лях). Физическое моделирование проводят на моделях натурных объектов, которые просты в изготовлении и их размеры позволяют осуществлять в лабораторных условиях эксперименты, задаваясь различными параметрами модели и исследуемого явления, и выявлять искомые зако-номерности.

Обоснование моделирования и использование в натуре результатов экспериментов на моде-ли связано с подобием движения в натуре и на модели. Подобными называют явления, проис-ходящие в геометрически подобных системах одинаковой физической природы, когда одинако-вые величины (например скорости или силы), действующие в подобных точках, имеют между собой постоянные отношения, которые называются масштабами.

3.2. Виды подобия. Масштабы моделирования Для установления подобия гидроаэродинамических явлений между натурой и моделью сле-

дует использовать правила механического подобия. Механическое подобие подразумевает вы-полнение геометрического, кинематического и динамического подобия.

Геометрически подобными являются два потока, если между их соответствующими ли-нейными размерами существует соотношение

нl

м

l kl

= , (3.1)

где – линейный масштаб, показывающий во сколько раз размеры модели изменены по срав-нению с размерами натуры; и

lk

нl мl – геометрические размеры натуры и модели соответственно (длина, ширина или высота).

Производными от линейного масштаба являются масштаб площадей нS

м

S kS

= и масштаб

объемов нV

м

V kV

= .

Кинематическими подобными являются два потока, если поля скоростей на модели и в на-туре в подобных точках пространства связаны масштабом

н

м

kυ

υ=

υ, (3.2)

соответственно масштаб ускорений можно выразить отношением

нa

м

a ka

= .

Для динамического подобия необходимо, чтобы все силы одинаковой природы, действую-щие в подобных точках модели и натуры на частицы жидкости, отличались между собой только постоянными масштабами

нF

м

F kF

= .

Любой масштаб может быть выражен через другие масштабы, например, масштаб сил мож-но представить следующими выражениями

3 2 2F a m V l l

t t

k kk k k k k k k k k kk kν ν

ρ ρ ν ρ= = = = .

Геометрически подобные системы не обязательно будут кинематически и динамически по-добными. В то же время динамическое подобие подразумевает автоматически кинематическое и геометрическое подобие.

54

3.3. Критерии подобия Условие механического подобия требует равенства на модели и в натуре отношения всех

сил, действующих в данных системах. Однако практически невозможно создать условия подо-бия сил, определяющих явление. Поэтому на практике стараются соблюдать подобие основных сил, остальными силами пренебрегают. Устанавливаемые частные условия подобия называются критериями подобия. При установлении критериев подобия определяют условия, обеспечи-вающие пропорциональность силам инерции тех действующих сил, которые считаются глав-ными в данном явлении.

Критерий Эйлера. При рассмотрении гидроаэродинамических явлений мы, прежде всего, сталкиваемся с силами давления. Поэтому первый критерий динамического давления получают, сравнивая масштабы сил давления и сил инерции

2 2н м

н н м м

p pu u

=ρ ρ

. (3.3)

Обозначим это соотношение через Eu = 2

p idemu

=ρ

, где термин idem означает, что условия,

определяемые данным соотношением, должны быть одинаковы на модели и на натуре. Можно сделать вывод, что критерию Эйлера соответствует равенство отношений сил давле-

ния к силам инерции на модели и на натуре. Критерий Рейнольдса определяет отношение сил внутреннего трения к силам инерции

н н н м м м

н м

u l u lρ ρ=

μ μ, Re u l idemρ

= =μ

. (3.4)

Критерий Рейнольдса является важнейшей характеристикой исследуемого явления, т.к. от соотношения между силами инерции и вязкости зависят основные свойства движущейся жид-кости. При соблюдении критерия Рейнольдса критерий Эйлера выполняется автоматически. Если жидкости на модели и в натуре одинаковы ( 1kρ = ), то при равенстве Re Reн м=

н н м мu l u l= или 1l

u

kk

= .

Вывод: При моделировании по Рейнальдсу уменьшение размеров модели в раз требует увеличения скорости движения жидкости на модели в такое же количество раз.

lk

Моделирование со строгим соблюдением подобия сил вязкости встречается редко. Для мно-гих изучаемых явлений при больших числах характер движения потока не зависит от изме-нения числа . Например, величина сопротивления трубы в квадратичной области сопротив-ления не зависит от числа . Этот и другие примеры доказывают, что для больших чисел для ряда явлений изменение числа Рейнольдса не влияет на характер явления. Это свойство на-зывается автомодельностью и значительно облегчает исследование. Условие автомодельности по Рейнольдсу эквивалентно соблюдению критерия Эйлера. Исходя из вышеизложенного, мо-делирование по критерию Рейнольдса очень часто проводится при изучении напорных потоков.

ReRe

Re Re

Критерий Фруда определяет отношение сил инерции к силам тяжести

2uFr idem

gl= = или

2 2н м

н м

u ugl gl

= . (3.5)

При моделировании по Фруду u lk k= .

Вывод: одновременно нельзя удовлетворить равенство критериев Рейнольдса и Фруда для одной и той же жидкости на модели и в натуре.

Моделирование по Фруду проводится при изучении открытых потоков, т.к. движение от-крытых потоков происходит под действием силы тяжести, которая бывает значительно больше сил вязкости.

55

Критерий Архимеда определяет отношение выталкивающей силы Архимеда к силам инер-ции

56

02

glAr ideu

ρ−ρ= =

ρm или 0

2н н н

н н

glu

02м м м

м м

glu

ρ −ρρ

, (3.6)ρ −ρ

=ρ

где 0ρ−ρρ

– отношение разности плотностей среды и струи к плотности среды.

Критерий Архимеда используется при исследовании гравитационных систем воздушного отопления и вентиляции, где действуют архимедовы силы, возникающие вследствие разности плотностей двух сред (течение струи в среде другой плотности).

3.4. Конечно-разностная форма уравнения Навье-Стокса Напряженное состояние жидкости. Законы движения и покоя жидкостей и газов основы-

ваются на законах механики сплошной среды, что позволяет рассматривать равновесие и тече-ние жидкости в целом без учета механизма молекулярного движения.

В массе жидкости, которая рассматривается как сплошная среда, под влиянием внешних сил возникают соответствующие внутренние силы. Оценим порядок значений сил, действующих на элементарный изолированный объем, имеющий форму параллелепипеда со сторонами dx, dy, dz (см. рис. 3.2). Вся система движущейся массы отнесена к координатам x, y, z. На плоскостях граней изолированного параллелепипеда возникают напряжения. Составляющие напряжений, направленные перпендикулярно грани, называются нормальными напряжениями. Составляю-щие, находящиеся в плоскости граней, называются касательными напряжениями.

σ2

σ1

σ3

τ1

τ1

τ3

τ2

τ2 τ2 τ1

τ3 τ3

z z′

y y′

x

x′

Рис. 3.2. Силы, действующие на элементарный изолированный объем

На поверхности граней элементарного параллелепипеда возникают три различных по вели-чине касательных напряжения и три нормальных составляющих напряжений: вдоль осей x и y – напряжение τ1, вдоль осей x и z – τ2 и вдоль осей y и z – τ3. Вдоль оси x действует нормальная составляющая напряжения σ1, вдоль оси y – σ2 и вдоль оси z – σ3.

На массу жидкости, находящуюся в изолированном объеме, действуют массовые силы, ко-торые пропорциональны третьей степени размера выделенного объема. При прохождении жид-кости через изолированный элементарный объем происходит изменение количества движения массы жидкости. Это изменение вызывает соответствующий импульс сил, действующий на массу жидкости в изолированном объеме.

Изменение количества движения жидкости, протекающей через рассматриваемый непод-вижный объем, пропорционально массе, заключенной в этом объеме и третьей степени его ли-нейного размера. Силы, действующие на поверхности граней и равные возникающим напряже-ниям, умноженным на соответствующие площади, пропорциональны квадрату характерного линейного размера. При стягивании рассматриваемого элементарного объема в точку остаются только силы, связанные с возникающими в этой точке напряжениями.

Рассматривая элементарный объем, можно считать, что он находится в равновесии только под действием сил, возникающих за счет напряжений на его поверхности.

При течении реальных жидкостей в потоке возникают напряжения, которые раскладывают-ся на нормальные и касательные составляющие к площадкам, на которых они действуют. В та-ком потоке можно рассматривать две системы напряжений: нормальные напряжения (давле-ние), определяемые в любой точке потока; дополнительные напряжения, состоявшие из трех нормальных и трех касательных составляющих; эта система напряжений зависит в каждой точ-ке потока от ориентации площадки, на которой возникают напряжения.

Выберем в точке, находящейся внутри потока и определяемой координатами x, y, z, систему прямоугольных координат x′, y′, z′. В плоскостях координат возникнут кроме давления еще три нормальные σ1, σ2, σ3 и три касательные τ1, τ2, τ3 составляющие дополнительного напряжения. Значения дополнительного напряжения зависит от физических свойств и характера течения жидкости. Изолированная элементарно малая масса жидкости находится в момент времени t в начале координат. Элементарная масса имеет форму параллелепипеда с гранями, параллельны-ми плоскостям координат. Стороны параллелепипеда имеют размеры dx, dy, dz. Рассмотрим проекцию сил, возникающих на гранях изолированного параллелепипеда под действием допол-нительных напряжений, на ось x. В момент, когда он вместе с потоком движется мимо центра координат, на гранях, нормальных к оси x. действуют силы: 1dydzσ и ( )1 1 x dx dydzσ + ∂σ ∂⎡ ⎤⎣ ⎦ . Суммарная проекция силы, определяемая нормальными составляющими напряжения,

( ) 11 1 1 .x dx dydz dydz dxdydz

x∂σ

σ + ∂σ ∂ −σ =⎡ ⎤⎣ ⎦ ∂ (3.7)

На гранях, параллельных плоскости координат x0z, действуют напряжения, а, следователь-но, и силы вдоль оси x: 3dydzτ и ( )3 3 y dy dxdzτ + ∂τ ∂⎡⎣ ⎤⎦ . Эти напряжения приводят к состав-

ляющей вдоль оси x, равной 3 dxdydzy

∂τ∂

.

На гранях, параллельных плоскости координат x0y, на ось 0x проектируются силы 2dxdyτ и

( )2 2 y dz dxdyτ + ∂τ ∂⎡⎣ ⎤⎦ . Вдоль оси эти напряжения дадут составляющую 2 dxdydzy

∂τ∂

.

Суммарная составляющая сил, возникающих на гранях изолированного элемента жидкости за счет дополнительного напряжения в проекции на ось x, равна

31 2 dxdydzx y z

⎛ ⎞∂τ∂σ ∂τ+ +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

. (3.8)

Аналогично составляющие дополнительного напряжения, действующие на остальных гра-нях, в проекциях на оси 0y и 0z дадут составляющие сил:

32 1 dxdydzy x z

⎛ ⎞∂τ∂σ ∂τ+ +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

и 3 1 2 dxdydzz y x

⎛ ⎞∂σ ∂τ ∂τ+ +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

. (3.9)

Прибавляя эти силы, отнесенные к единице массы жидкости к правой части уравнений Эй-лера, получим условия динамического равновесия в точке потока при течении реальной жидко-сти.

31 2

32 1

3 1

1 1 ;

1 1 ;

1 1

x x x xx y z

y y y yx y z

z z z zx y z

u u u u pu u u X dxdydzt t y z x x y z

u u u u pu u u Y dxdydzt t y z y y x z

u u u u pu u u Zt t y z y z y

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂τ∂σ ∂τ∂+ + + = − + + + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ρ ∂ ρ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

∂ ∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞∂τ∂σ ∂τ∂+ + + = − + + + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ρ ∂ ρ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

∂σ∂ ∂ ∂ ∂ ∂τ ∂τ∂+ + + = − + + + +

∂ ∂ ∂ ∂ ρ ∂ ρ ∂ ∂2 .dxdydz

x

⎫⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎛ ⎞ ⎪⎜ ⎟∂ ⎪⎝ ⎠ ⎭

(3.10)

57

Определим теперь силы, возникающие в точке потока за счет вязкости. Проекция на ось 0x сил вязкости, отнесенных к единице объема и действующих в точке, определяемой в потоке ко-ординатами x, y, z. Проекция на ось 0x сил вязкости, отнесенных к единице объема и действую-щих в точке, определяемой в потоке координатами x, y, z:

2

31 222 yx x x z

uu u u ux y z x y x y z z y

⎡ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂τ ∂ ∂ ∂∂σ ∂τ ∂∂ ∂+ + +μ + + + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

⎤. (3.11)

Дифференцируя уравнение неразрывности по x, получим

0x z zu u ux x y z⎛ ⎞∂ ∂ ∂∂

+ + =⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠или .yx z

uu ux x x y z

∂⎛ ⎞∂ ∂∂ ∂⎛ ⎞ = − +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3.12)

Тогда уравнение сил, возникающих за счет вязкости жидкости, равно

2 2 2

2 2 2x x xu u u

x y z⎛ ⎞∂ ∂ ∂

μ + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠. (3.13)

Аналогично в проекции на оси 0y и 0z дополнительная проекция сил, которые следует учи-тывать при течении вязких жидкостей, составит:

2 2 2

2 2 2y yu u uy

x y z⎛ ⎞∂ ∂ ∂

μ + +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ и

2 2 2

2 2 2 .z z zu u ux y z

⎛ ⎞∂ ∂ ∂μ + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

(3.14)

Уравнения Эйлера с учетом этих дополнительных сил примут вид:

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2

2

1 ;

1 ;

1

x x x x x x xx y z

y y y y y y yx y z

z z z z z zx y z

u u u u u u upu u u Xt t y z x x y z

u u u u u u upu u u Yt t y z y x y z

u u u u u upu u u Zt t y z y x

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ μ+ + + = − + + + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ρ ∂ ρ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ μ+ + + = − + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ρ ∂ ρ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ μ+ + + = − + + +

∂ ∂ ∂ ∂ ρ ∂ ρ ∂

2

2 2 .zuy z

⎫⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎛ ⎞∂ ⎪+⎜ ⎟ ⎪∂ ∂⎝ ⎠ ⎭

(3.15)

Полученная система уравнений называется уравнениями Навье-Стокса. Уравнение Навье-Стокса, как и уравнение Зйлера, интегрируются только для некоторых ча-

стных случаев, но в последние годы, в связи с развитием различных методов решения подобных задач, полученные уравнения используются все чаще и являются идеальным инструментом, по-зволяющим получить хороший результат. Наиболее часто для решения уравнений Навье-Стокса применяются численные методы.

3.5. Общая схема применения численных методов и их реализация на ЭВМ На практике найти точное решение данного уравнения довольно сложно, так как искомое

решение обычно не выражается в привычных для нас элементарных функциях. С появлением ЭВМ у исследователей появилась возможность решать подобные задачи численными методами. Под численными методами подразумеваются методы решения задач, сводящиеся к арифмети-ческим и логическим действиям над числами, т.е. к тем действиям, которые выполняет ЭВМ. В зависимости от сложности задачи, заданной точности и т.д. может потребоваться выполнить от нескольких десятков до многих миллиардов действий. В первом случае для получения решения достаточно иметь калькулятор, во втором – потребуется мощная ЭВМ, особенно, если необхо-димо получить решение в сжатые сроки.

Решение, полученное численным методом, обычно является приближенным, т.е. содержит некоторую погрешность. Источниками погрешности являются: 1) несоответствие математиче-ской задачи изучаемому реальному явлению; 2) погрешность исходных данных: 3) погрешность метода решения; 4) ошибки округлений в арифметических и других действиях над числами.

58

59

Погрешность в решении, обусловленная первыми двумя источниками называется неустра-нимой. Эта погрешность может присутствовать, даже если решение поставленной математиче-ской задачи найдено точно. Вопрос о том, насколько хорошо описывает математическая модель исследуемое явление, проверяется путем сравнения результатов. Влияние погрешности исход-ных данных часто удается оценить, применяя различные методы: наименьших квадратов, метод Лагранжа и др.

Численные методы в большинстве случаев сами по себе являются приближенными. Такие погрешности называются погрешностями метода. Это происходит потому, что численным методом решается более простая задача, аппроксимирующая исходную задачу. В ряде случаев используемый численный метод строится на базе бесконечного процесса, который в пределе приводит к искомому решению. Однако процесс вычисления всегда прерывается на некотором шаге, что дает приближенное решение.

При решении задач на ЭВМ чаще всего встречаются две ситуации: 1) если количество выполняемых арифметических действий невелико, то, обычно, ошибки

округления не проявляются, так как в ЭВМ числа представляются с 10 и более десятичными значащими цифрами, а окончательный результат редко бывает нужен более чем с 5 десятичны-ми значащими цифрами.

2) если задача сложная (уравнения с частными производными), то в этом случае погрешно-сти округления в каждом действии не учитываются, так как они взаимокомпенсируются.

Для решения одной и той же задачи могут применяться различные приближенные методы, в зависимости от требуемой точности вычисления. Численный метод может считаться удачно выбранным, если его погрешность в несколько раз меньше неустранимой погрешности, а по-грешность, возникающая за счет округлений, называемая вычисленной погрешностью, в не-сколько раз меньше погрешности метода. Если неустранимая погрешность отсутствует, то по-грешность метода должна быть несколько меньше заданной неточности.

К численному методу предъявляется еще ряд других требований. Предпочтение отдается методу, который реализуется с помощью меньшего числа действий, требует меньшей памяти ЭВМ, является логически более простым, что способствует более быстрой его реализации на ЭВМ.

Большинство численных методов основано на замене более сложных объектов, уравнений более простыми. Наиболее удобной в обращении на практике функцией является алгебраиче-ский многочлен. Чтобы задать многочлен, нужно задать только конечное число его коэффици-ентов. Значения многочлена просто вычисляются, его легко продифференцировать, проинтег-рировать и т.д. Алгебраические многочлены нашли широкое применение для приближения функций. Применяются многочлены четырех видов: Тейлора, интерполяционные, равномерно-го приближения, наилучшего среднеквадратичного приближения (метод наименьших квадра-тов).

Для интегрирования дифференциальных уравнений, которые не выражаются элементарны-ми функциями, используются различные методы: Рунге-Кутта, Монте-Карло, Эйлера, Гауса и др. Нелинейные уравнения решаются методом итераций, деления отрезка пополам и др.

Существует большое число задач, где есть хорошо отработанные численные методы и соз-данные на их основе стандартные программы решения задач. Существует библиотека таких программ. Исследователь, которому впервые встретилась единичная задача, как правило, вна-чале ищет стандартную похожую программу, а затем пытается внести в нее изменения, исходя из имеющихся условий.

На первоначальном этапе исследования обычно используют более простую модель явления, которая позволяет воспользоваться более простыми методами решения с применением стан-дартных программ. Затем постепенно переходят к более сложным методам и моделям, добива-ясь положительного конечного результата.

Наиболее широко численные методы используются в вычислительных экспериментах – ис-следовании естественнонаучных проблем, средствами вычислительной математики.

Математическому исследованию предшествует выбор физического приближения, т.е. реше-ние вопросов о том, какие факторы надо учесть, а какими можно пренебречь. Далее проводится исследование проблемы методом вычислительного эксперимента, в котором выделяют не-сколько этапов:

1. Формируется задача, выбирается физическая модель процесса, решается вопрос о том, какие физические величины надо учитывать. Проводится описание физической модели математическим способом (дифференциальные, интегральные и другие уравнения). По-лученную математическую модель исследуют методами математической физики, чтобы установить, правильно ли поставлена задача, хватает ли исходных данных, не противо-речат ли они друг другу, существует ли решение поставленной задачи и единственно ли оно.

2. Построение приближенного численного метода решения задачи, т.е. выбора вычисли-тельного алгоритма. Вычислительный алгоритм – последовательность арифметических и логических операций, при помощи которых находится приближенное численное реше-ние математической задачи, сформулированной на первом этапе.

3. Программирование вычислительного алгоритма на ЭВМ. 4. Проведение расчетов на ЭВМ. 5. Анализ полученных численных результатов и последующее уточнение математической

модели.

3.6. Измерительные приборы, используемые при проведении экспериментальных работ

1. Жидкостные манометры прямого действия. Чувствительность манометра (см. рис. 3.3) определяется по следующей формуле

1hsp g

Δ= =Δ ρ

,

т.е. чувствительность тем больше, чем меньше плотность жидкости. Давление определяется по разности уровней жидкости в трубках А и В p g h= ρ Δ . (3.16)

ΔH

A

B

Рис. 3.3. Жидкостный манометр

2. Механические манометры. Манометр (см. рис. 3.4) состоит из согнутой металлической трубки Т, один конец которой

соединен с резервуаром, в котором измеряется давление. Конец трубки В соединен с рычагом ВС, который поворачивает стрелку. При повороте стрелки она указывает величину давления. При избыточном давлении в трубке Т свободный ее конец В начинает распрямляться и приво-дит в движение стрелку, которая показывает величину давления. Такие манометры отличаются прочностью.

60

T

C B

p

Рис. 3.4. Механический манометр

3. Барометры. Барометры (см. рис. 3.5) используются для измерения атмосферного давления. В лаборатор-

ных условиях используется барометр Фортина, позволяющий довольно точно измерить атмо-сферное давление.

H

R

V Рис. 3.5. Жидкостный барометр

Принцип действия: барометрическая трубка R опрокинута открытым концом в чашу площа-

дью S. Прибор заполнен ртутью. Чаша прикрыта от попадания пыли тканью, что не мешает прохождение воздуха сквозь нее. Рядом с трубкой расположена шкала, проградуированная в мм. При помощи винта V чаша перемещается по вертикали для того, чтобы совместить свобод-ную поверхность ртути с нулем шкалы. Над уровнем ртути в барометрической трубке сохраня-ется слабое давление, определяемое давлением насыщенных паров ртути. Давление столба рту-ти высотой H в барометрической трубке соответствует атмосферному давлению. По шкале оп-ределяем величину атмосферного давления в мм.рт.ст.

4. Вакуумметры. Принцип действия механического и жидкостного вакуумметров аналогичен принципу дей-

ствия механического манометра и жидкостного пьезометра. 5. Трубка Пито–Прандтля. Трубка Пито–Прандтля (см. рис. 3.6) позволяет одновременно определить величину дина-

мического и статического давления в определенной точке потока. Через отверстие А происходит измерение динамического давления. Через отверстия М изме-

ряется статическое давление жидкости. Жидкость под действием давления поднимается по со-ответствующим пьезометрическим трубкам до точек А′ и М′.

61

A′

M′ Δh

M

M A

Рис. 3.6. Трубка Пито–Прандтля

Так как плотность газа (воздуха) значительно меньше плотности жидкости, то давлением воздуха можно пренебречь. Разность давления в точках А′ и М′ будет p ghΔ = ρ . Разность дав-ления Δp зависит от динамического давления на входе в трубку Пито–Прандтля, что следует из уравнения Бернулли для точек А и М:

2

2M Ap p ρυ= + ,

где υ – скорость потока на входе в трубку Пито–Прандтля. Таким образом, 2

2p ρυ

Δ = ,

откуда получаем

2 .ghυ = (3.17)

Примечания: 1. Трубка Пито–Прандтля измеряет местную скорость в данной точке, поэто-му для определения расхода по формуле Q S= υ необходимо измерить местную скорость в не-скольких точках сечения для нахождения υ.

2. Для того, чтобы учесть потери на трение в формулу вводится коэффициент φ. Коэффици-ент φ определяется экспериментально для каждой трубки и вносится в паспорт измерительного прибора. Обычно φ = 0,97-0,98.

3. Трубка Пито–Прандтля позволяет измерить довольно большие значения скоростей, при малых скоростях увеличивается погрешность измерения из-за погрешностей манометра (± 0,1 см).

6. Расходомер Вентури. Расходомер (см. рис. 3.7) служит для измерения расхода жидкости и представляет собой

плавную сходящуюся – расходящуюся вставку, к которой подключается дифферциальный ма-нометр. Для вывода расчетной формулы применим уравнение Бернулли для сечения 1-1 перед сужением и сечения 2-2 в сужении (α1 = α2 = 1).

1

1

2

2 d D

h

62Рис. 3.7. Расходомер Вентури

2 2 2 22 1 2 1

22

12 2

vp⎛ ⎞⎛ ⎞υ − υ υ

Δ = ρ = ρ −⎜ ⎟⎜ ⎟ υ⎝ ⎠ ⎝ ⎠. (3.18)

С учетом уравнения неразрывности 1 1 2 2S Sυ = υ

2 42

412

dpD

⎛ ⎞υΔ = ρ −⎜ ⎟

⎝ ⎠. (3.19)

Откуда 2 4 4

121 ( / )

pd D

Δυ =

ρ −,

2

4 4

124 1 ( /d pQ

d Dπ Δ

=ρ − )

h

.

Зная перепад давления по дифференциальному манометру, можно для данного диаметра вставки и трубы определить расход жидкости, протекающей через трубу.

Для ртутного манометра

рт ж( )p gΔ = ρ −ρ

Обычно расходомеры выпускаются для определенных диаметров труб и его диаметр d и D известны.

В этом случае формула упрощается

2 pQ S Δ

= μρ

, (3.20)

где μ – коэффициент, учитывающий конструктивные особенности прибора, в частности 4

4

dD

, и

вносится в паспорт прибора. 7. Ротаметры. Ротаметры (см. рис. 3.8) используются для измерения расхода жидкостей, имеющих слабые

коррозийные свойства. Ротаметр состоит из сужающейся стеклянной трубки и металлического конусообразного измерителя. На измеритель действуют следующие силы: сила тяжести G, ар-химедова сила FA, сила динамического давления жидкости F. Для измерителя, находящегося в покое, можно записать

AG F F= + или 2

жж 2

mg Vg Sρ υ= ρ + , (3.21)

где ρ – плотность жидкости; V – объем измерителя; υ – скорость течения жидкости; S – площадь сечения измерителя.

Сила тяжести и архимедова сила – величины постоянные, поэтому сила динамического дав-ления жидкости при любом расходе Q S= υ будет также постоянной.

F FA

G

Рис. 3.8. Ротаметр

63

64

При уменьшении расхода измеритель опускается, уменьшается сечение для прохождения жидкости, соответственно скорость увеличивается, сохраняя постоянным значение силы дина-мического давления. Если мы проградуируем стеклянную поверхность ротаметра в единицах измерения расхода, то в зависимости от высоты поднятия измерителя можно определять рас-ход.

65

Лекция 4. Гидравлические сопротивления

Основные понятия: гидравлические сопротивления; сопротивление по длине; местные со-противления; коэффициент гидравлического трения; коэффициент эквивалентной шероховато-сти; график Мурина; гидравлически гладкие и шероховатые трубы; движение жидкости в тру-бах некруглого сечения; эквивалентная длина; кавитация; истечение жидкости в атмосферу; от-верстие в тонкой стенке; насадки; коэффициенты истечения; критическое истечение; истечение при переменном напоре; истечение под уровень.

Вопросы, на которые необходимо найти ответ в ходе изучения темы: 1. Чем сопротивление по длине отличается от местного сопротивления? 2. Что называют общими потерями? 3. Привести примеры сопротивлений по длине и местных сопротивлений. 4. Почему происходит уменьшение давление при движении жидкости в трубе? Докажите. 5. Когда применяется формула Дарси-Вейсбаха? 6. От каких параметров зависит величина потерь напора по длине при ламинарном режи-

ме? 7. Напишите уравнение равновесия сил, действующих на выделенный цилиндрический

объем жидкости, движущийся равномерно. 8. Как распределяется напряжение трения в трубе при ламинарном режиме? Докажите. 9. Как распределяются скорости в трубе при ламинарном режиме? Как это доказать? 10. Как построить эпюру скорости, если известна величина скорости на оси потока? 11. Как можно определить расход при ламинарном движении жидкости? 12. Как из формулы Пуазейля получить формулу Дарси-Вейсбаха? 13. От чего зависит коэффициент гидравлического трения при ламинарном режиме? 14. От каких факторов зависит коэффициент гидравлического трения при турбулентном те-

чении в трубах? 15. Как выглядит график Мурина? Какие выводы можно сделать из этого графика? 16. Что называют коэффициентом эквивалентной шероховатости? 17. Чем гидравлически гладкие трубы отличаются от гидравлически шероховатых? 18. Сколько зон сопротивления имеется при турбулентном движении? Как это доказать? 19. Почему область шероховатого трения часто называют областью квадратичного сопро-

тивления? 20. Каков порядок определения потерь напора по длине? 21. Каковы особенности определения потерь в трубопроводах некруглого сечения? 22. Что называют гидравлическим радиусом? 23. Что называется простым трубопроводом? 24. Почему при расчете длинных трубопроводов пренебрегают потерями на местных сопро-

тивлениях? 25. Как определяют потери напора по длине в длинных трубопроводах? 26. Что называют модулем расхода? 27. Что называют требуемым напором, как его определить? 28. Как определить величину статического напора? 29. В чем отличие расчета трубопроводов при их параллельном и последовательном соеди-

нении?

66

30. Каковы особенности расчета трубопроводов при непрерывной раздаче расхода по пути? 31. Какова особенность расчета разветвления? 32. Почему возникает гидравлический удар в трубопроводах? 33. От чего зависит повышение давления при гидравлическом ударе? 34. От каких параметров зависит скорость распространения гидравлического удара? 35. Чем прямой гидравлический удар отличается от непрямого? 36. Как рассчитать повышение давления при прямом и непрямом гидравлическом ударе? 37. Как рассчитать время закрытия задвижки в магистральном трубопроводе? 38. Каков принцип действия гидравлического тарана? 39. Как избежать гидравлический удар в водопроводных сетях внутри здания? 40. От чего зависят потери напора на местных сопротивлениях? 41. Почему коэффициенты местных сопротивлений определяется почти всегда эксперимен-

тально? 42. Что называют эквивалентной длиной? 43. Когда для определения потерь напора на местном сопротивлении используется эквива-

лентная длина? 44. Каковы причины возникновения потерь напора при резком расширении и сужении тру-

бы? 45. В каком случае коэффициент местного сопротивления при постепенном изменении диа-

метра трубы будет минимальным? 46. От каких факторов зависит коэффициент местного сопротивления при плавном повороте

трубы? 47. От чего зависит коэффициент местного сопротивления вентиля? 48. Что влияет на характер изменения коэффициента местного сопротивления от числа Re? 49. Как определить потери напора на местных сопротивлениях при ламинарном режиме? 50. Что называют кавитацией? 51. Как избежать кавитации? 52. Что называют отверстием в тонкой стенке, а что насадком? 53. Как определить скорость струи при истечении через отверстие? Как получена эта фор-

мула? 54. Как определить расход при истечении через отверстие? 55. Какие коэффициенты истечения вы знаете, как они связаны между собой? 56. Почему происходит сжатие струи при истечении? 57. Какова зависимость коэффициентов истечения от числа Re? Почему? 58. Почему длина насадка должна быть не менее трех диаметров, но не более пяти? 59. Почему при истечении через насадок расход увеличивается? 60. Почему при напорах воды около 14 м коэффициент расхода цилиндрического насадка

резко снижается? 61. Какое истечение через насадок называется безотрывным? 62. Почему расход коноидального насадка больше, чем цилиндрического? 63. Почему не рекомендуется повышать напор воды при истечении через комбинированный

насадок более 4 м? 64. В каких случаях, какие насадки применяются? 65. Почему при определении времени истечения из резервуара нельзя применить уравнение

Бернулли?

66. При помощи какого метода определяется время истечения из резервуара, если резервуар имеет произвольную форму?

67. Как определить время опорожнения цилиндрического резервуара? 68. Что называют истечением при переменном напоре? 69. От чего зависит расход жидкости при истечении под уровень? Практические задачи, решение которых может быть найдено после изучения теоре-

тического материала: Задача 4-1 В закрытом резервуаре поддерживается постоянное манометрическое давление pм = 0,82

атм, под действием которого по трубе диаметром d1 = мм и общей длине l = 25 м (расстояние от начала до колена l

нd1 = 5 м) вытекает жидкость при температуре t. Определить расход при на-

поре H1 = 2 м.

l1

H1

Рис. 4.1. К задаче 4-1

Задача 4-2 Истечение происходит из открытого резервуара при постоянном напоре H1 = 5 м по корот-

кому трубопроводу переменного поперечного сечения с диаметрами d1 = 10 мм и dнd× 2 = 100 мм в атмосферу. На втором участке трубопровода имеются два колена с плавным поворотом. Длина первого участка l1 = 0,8 м, длина второго участка l2 = 2 м. Определить скорость истече-ния υ2 и расход Q2 через трубопровод.

l1 l2

H1 H2

υ2 υ1

d2 d1


Задача 4-3 Из резервуара А, заполненного жидкостью на высоту H1 = 5 м и находящегося под маномет-

рическим давлением рм = 150 кПа, жидкость подается по трубопроводу длиной l = 6 м и диа-метром d = мм в резервуар В на высоту Н = 2 м. Определить расход Q и скорость проте-кающей по трубопроводу жидкости.

4 нd×

67

H1

H

A

B

M


Задача 4-4 К закрытому резервуару, на свободной поверхности которого действует манометрическое

давление рм = 500 кПа, подсоединен трубопровод переменного сечения с диаметрами d1 = 2 нd× мм и d2 =10 мм, заканчивающийся соплом диаметром dнd× c = d1. Трубопровод подсоединен на глубине Н1 = 8 м. На первом участке длиной l1 = 10 м установлен вентиль. Длина второго участ-ка l2 = 5 м. Определить скорость истечения υ и расход Q вытекающей из сопла жидкости при температуре t.

d1 d2

l1 l2 υ

H1

dс

М


Задача 4-5 Центробежный насос подает воду с температурой t = 15 °С по трубе диаметром d = 4 нd×

мм и длиной l = 27 м. Насос создает давление на выходе рн = 2,65 атм и подачу Q = 16 л/с. Оп-ределить напор H, создаваемый насосом.

H


Задача 4-6 Какую высоту h должна иметь воронка для налива жидкости в бочку из цистерны, чтобы ма-

зут не переливался через край при полном открытии крана. Диаметр крана d1 = мм, напор в цистерне Н = 3 м. Диаметр выходного отверстия воронки d

нd2 = 2d1. Длина крана l = 1 м.

68

H d1

d2 h

Рис.4.6. К задаче 4-6

Задача 4-7 Призматический резервуар разделен на две части перегородкой. В левом отсеке поддержи-

вается постоянный уровень жидкости. В перегородке имеется круглое отверстие диаметром d1 = мм, расположенное на глубине Н = 3,2 м. Во внешней стенке расположено отверстие диа-

метром dнd

2 = 100 мм. Определить расход Q при Δh = 1,5 м.

Δh H

d d1

Рис.4.7. К задаче 4-7

Задача 4-8 На поршень, диаметром D = 100 мм действует сила Р = 1 kH. Определить скорость движения

поршня при диаметре отверстия d = 0,2 нd× мм и толщине поршня а = 8 мм.

P

da


Задача 4-9 В резервуаре находится 1,1 м воды и 6,2 м нефти плотностью 900 кг/м2. Диаметр резервуара

d =100 м. Определить время слива воды через короткий патрубок диаметром 100 мм. нd×

Задача 4-10 При исследовании истечения через круглое отверстие диаметром d0 = мм, получено: диа-

метр струи dнd

c = 0, мм, напор Н = 2 м, время заполнения объема V = 10 л t = 32,8 с. Опреде-лить коэффициенты истечения μ, ϕ, ε. Распределение скоростей по сечению струи принять рав-номерным.

8 нd

4.1. Виды гидравлических сопротивлений Получение конкретных зависимостей для расчета потерь энергии при движении жидкости в

трубках и каналах является основным содержанием внутренней задачи гидравлики. Различают два вида сопротивлений отличающиеся одно от другого по свое структуре: со-

противление по длине и местные сопротивления.

69

Потери по длине. Рассмотрим движение жидкости в горизонтальном трубопроводе посто-янного сечения с неизменной эпюрой скоростей, т.е. равномерное движение. Запишем для двух сечений уравнение Бернулли в форме давлений

2 21 1 ср 1 2ср

1 1 2 22 2 wgz p gz p ghα υ α υ

ρ + +ρ = ρ + +ρ +ρ .

Здесь: = , 1z 2z2

1 1 ср

2α υ

ρ =2

2 2ср

2α υ

ρ , тогда уравнение Бернулли можно записать в следующем

виде: , где – давление, теряемое на преодоление сил трения. 1 2 длw пот wp p gh E p р− = ρ = ρ = = длp

Вывод: Работа сил давления расходуется на преодоление сил трения, что и обуславливает потери механической энергии, которые прямо пропорциональны длине пути движения.

В зависимости от формы записи уравнения Бернулли эти потери называются: • потерями давления по длине ; длp

• потерями удельной энергии по длине длЕ ;

• потерями напора по длине . длh

Местные потери образуются в результате изменения структуры потока по пути движения жидкости.

Рассмотрим движение жидкости через частично открытую задвижку в трубопроводе (см. рис. 4.9).

C

C 1

1

2

2

Рис. 4.9. Задвижка В отверстии (сечение С-С) скорости увеличиваются, а давление уменьшается. В сечении 2-2,

на некотором расстоянии после задвижки, скорости принимают значения, равные скоростям в сечении 1-1 перед задвижкой.

На участках 1-С и С-2 наряду с основным течением возникает область вихревого движения. Скорости движения частиц в этой зоне значительно меньше, чем в основном потоке, что обу-славливает возникновение больших напряжений трения из-за большого градиента скорости. Более подробно о местных гидравлических сопротивлениях будет рассмотрено далее. В зави-симости от формы записи местные потери записываются как или . м м,р Е , мh

Общие потери в трубопроводе складываются из потерь по длине и потерь на местных со-противлениях + . wh = длh мh

4.2 Сопротивление по длине при движении в цилиндрической трубе при ламинарном течении

При ламинарном режиме жидкость движется концентрическими слоями. Воспользуемся формулой Ньютона для напряжений трения, приняв dy dr=

dudr

τ = −μ .

70

Знак «минус» указывает на то, что скорость уменьшается в направлении оси r (от центра к стенке трубы).

Составим уравнение равномерного движения жидкости для выделенного объема длиной l и радиусом r (см. рис 4.10).

l

T

T

P2 P1 2r0

r

hдл

1

1

2

2

Рис.4.10. Движение жидкости в прямой трубе На выделенный объем действуют внешние силы: нормальные к живым сечениям: силы дав-

ления , и касательные силы сопротивления Т, приложенные к боковой по-верхности

1 1P p S= 2 2P p S=

2T S rl= τ = π τ Уравнение равновесия этих сил относительно направления движения:

1 2P P T= + или 2 21 2 2p r p r rlπ = π + π τ ,

1 2 2p pl r− τ

= или 1 2( )2

p p rl

−τ = . (4.1)

Вывод: При ламинарном движении в круглой трубе напряжение трения максимально у стенки и равно 0 на оси трубы (см. рисунок).

Закон распределения скоростей по сечению трубы можно получить из следующего урав-нения

1 2( )2

p p rl

− dudr

= −μ ,

1 2( )2

p p rdrdul

−=

μ.

После интегрирования, получаем: 2

1 2( )4

p p ru constl

−= − +

μ.

Константу находим из граничных условий: 0r r= , 0u = . 2

1 2 0( )04

p p r constl

−= − +

μ откуда

21 2 0( )

4p p r const

l−

=μ

,

21 2( )

4p p ru

l−

= − +μ

21 2 0( )

4p p r

l−μ

.

Окончательно получаем

2 2

1 2 0( )(4

)p p r rul

− −=

μ. (4.2)

Вывод: При ламинарном течении скорости в сечении трубки распределяются по параболи-ческому закону (см. рис. 4.10).

71

Максимальная скорость на оси трубы будет при r = 0

2

1 2 0max

( )4

p p rul

−=

μ, или

2

max 20

1 ru ur

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠. (4.3)

Определим величину расхода жидкости через определенное сечение. Расход элементарной струйки dQ udS= , где dS – площадь сечения трубки тока, 2dS rdr= π

2

max 20

1 2rdQ u rdrr

⎛ ⎞= − π⎜ ⎟

⎝ ⎠.

Полный расход

0

0

r r

r

dQ dQ=

=

= =∫0 22

0max max2

00

1 22

r r

r

rru rdr ur

=

=

⎛ ⎞ π− π =⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ . (4.4)

Вывод: Для того чтобы определить расход при ламинарном режиме достаточно измерить скорость на оси потока и умножить ее на половину площади живого сечения.

Определим среднюю скорость. Согласно определению срQS

υ = .

20S r= π ,

20

max 2rQ u π

= .

Получаем

maxср 2

uυ = . (4.5)

Вывод: Средняя скорость при ламинарном режиме в два раза меньше скорости на оси пото-ка.

Коэффициент Кориолиса вычисляется из выражения

3

3ср

S

u dS

Sα =

υ

∫.

Подставляем значения u и dS, интегрируя, получаем лам 2α = . (4.6)

Для получения закона сопротивления при ламинарном режиме вернемся к формуле расхода 2

0max 2

rQ u π= .

Подставим значение 2

1 2 0max

( )4

p p rul

−=

μ.

41 2 0( )

8p p rQ

l− π

=μ

, откуда 1 2 40

8( ) lQp prμ

− =π

.

Разделим на ρg, в результате получаем

1 24 4

0 0

( ) 8 8p p lQ lQg r g r g− μ ν

= =ρ π ρ π

,

где – потери давления; 1 2( p p− ) 1 2дл

( )p p hg−

=ρ

– потери напора.

Получаем

дл 40

8 lQhr gν

=π

. (4.7)

72

Вывод: Потери напора на преодоление сил сопротивления по длине при ламинарном режиме прямопропорциональны расходу и длине трубопровода и обратнопропорциональны радиусу трубы в четверной степени.

4.3. Формула Дарси-Вейсбаха

Заменим в полученной формуле дл 40

8 lQhr gν

=π

2

ср 4dQ π

= υ и 4

40 16

dr = .

Получаем формулу Пуазейля срдл 2

32 lh

gdν υ

= . Перепишем формулу Пуазейля следующим об-

разом срдл 32 lh

d d gυν

= , умножим и разделим на ср

2υ

ср

срдл

ср

232

2

lhd d g

υυν

=υ

, 2ср

длср

642

lhd d g

υν=υ

.

Если ср

1Red

ν=

υ, то получаем

2ср

дл64Re 2

lhd gυ

= .

Если принять 64Re

= λ – коэффициент гидравлического трения, то получаем формулу Дарси-

Вейсбаха для определения потерь напора по длине

2ср

дл 2lhd gυ

= λ . (4.8)

4.4. Турбулентное движение в гидравлически гладких и шероховатых трубах

Для ламинарного течения многочисленные экспериментальные исследования подтвердили справедливость вывода о том, что потери напора на гидравлические сопротивления зависят только от величины скорости движения потока в первой степени. Соответственно, гидравличе-ский коэффициент трения

64Re

λ = . (4.9)

Опыты, прежде всего Г.А. Мурина с техническими трубопроводами, показали, что для тур-булентного режима λ изменяется не только с изменением числа Re, но на величину λ влияет также техническое состояние трубы. Мурин исследовал 49 труб из различных материалов, бывших в эксплуатации, с различными диаметрами, при различных скоростях движения жидко-сти. Результаты опытов были получены в виде нескольких кривых (см. рис. 4.11).

Здесь четко различаются три области сопротивления при турбулентном режиме. Линия I со-ответствует области гидравлически гладких труб, когда величина λ зависит только от числа Re и не зависит от материала трубы. Математическая обработка данных показывает, что для этой области закономерна зависимость

0,25

0,3164Re

λ = . (4.10)

Эту зависимость можно использовать в диапазоне чисел Re 20э

dk

≤ .

73

I

II

III

λ

Re

эkd

Рис. 4.11. График Мурина

Область II на графике является переходной областью от гидравлически гладких к шерохова-

тым трубам. Величина λ зависит как от числа Re, так и от э

dk

. Для определения λ в этой области

лучше всего подходит формула Альтшуля

0,25

э680,11Re

kd

⎛ ⎞λ = ⋅ +⎜ ⎟⎝ ⎠

. (4.11)

Эту формулу можно использовать в диапазоне чисел э э

20 Re 500d dk k

< < .

Область III является областью гидравлически шероховатых труб. На графике в этой облас-ти кривые зависимости λ от Re параллельны между собой, т.е. λ не зависит от числа Re, а опре-

деляется только величиной э

dk

. В этой области λ определяется по формуле

0,25

э0,11 kd

⎛ ⎞λ = ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

, (4.12)

которую можно использовать при э

Re 500 dk

> .

Анализ возможных значений коэффициентов гидравлического трения для различных усло-вий показывает, что трубопроводы для систем теплогазоснабжения и вентиляции работают преимущественно в переходной области сопротивления. Водопроводные линии чаще всего от-носятся к области шероховатых труб. Как гидравлически гладкие работают пластмассовые, алюминиевые, латунные трубы.

Характер кривых зависимости э

Re, dfk

⎛λ = ⎜

⎝ ⎠

⎞⎟ определяется характером обтекания потоком

жидкости в пристеночном слое выступов шероховатости, которые всегда имеются на поверхно-сти трубы (рис. 4.12).

74

Δ

Δ

δ

δ

Рис. 4.12. Движение жидкости в гидравлически гладких и шероховатых трубах

При небольших скоростях движения жидкости частицы обтекают выступы без образования вихрей, что объясняется малыми силами инерции. Такое обтекание потоком выступов харак-терно для области гидравлически гладких труб. С увеличением скорости движения, силы инер-ции частиц жидкости возрастают и возникают отдельные вихри за некоторыми выступами ше-роховатости. Количество вихрей и их величина возрастает с увеличением скорости движения жидкости. Такая картина обтекания характерна для переходной области. При дальнейшем уве-личении скорости протекании жидкости, вихри располагаются за всеми выступами, их размер не изменяется, что характерно для области гидравлически шероховатых труб. Размер вихрей зависит, как мы видим, от размера выступов шероховатостей, их формы, частоты их распреде-ления по поверхности.

В качестве интегральной характеристики состояние внутренней поверхности трубы исполь-зуется эквивалентная шероховатость , которая определяется экспериментально на основе гидравлических испытаний различных трубопроводов и приводится в справочниках. Приведем некоторые значения для труб из различных материалов:

эk

эk

Таблица 3-1

Материал и состояние трубы эk , мм

Из цветных металлов и стекла ≈0,001

Стальные бесшовные: – новые – бывшие в эксплуатации

≈0,014 ≈0,2

Стальные сварные: – новые – бывшие в эксплуатации

≈0,05 ≈0,5

Порядок определения потерь напора по длине 1. Определяем число Re. 2. Определяем режим движения. При ламинарном режиме: 3. Определяем λ. 4. Подсчитываем . длh

При турбулентном режиме: 3. Находим в справочнике . эk

4. По значениям э

dk

и Re определяем область сопротивления

75

5. По соответствующей формуле определяем λ. 6. Подсчитываем . длh

4.5. Движение жидкости в трубах некруглого сечения Для транспорта капельных жидкостей и газов иногда используют трубопроводы некруглого

сечения: овальной, прямоугольной формы. В таких трубах возникают так называемые вторич-ные течения (рис. 4.13), которые можно наблюдать при подкрашивании потока.

Рис. 4.13. Движение жидкости в трубопроводах некруглого сечения

Вторичные течения происходят в плоскости поперечного сечения трубы: частицы жидкости движутся при этом от центра трубы к углам. Накладываясь на продольные движения, вторич-ные течения непрерывно переносят частицы жидкости в угловые области, где наблюдаются сравнительно высокие продольные скорости. Гидравлическое сопротивление таких труб выше, чем сопротивление аналогичных круглых труб одинакового поперечного сечения.

При турбулентном движении жидкости коэффициенты гидравлического трения соответст-вуют коэффициентам для круглых труб, а увеличение сопротивления учитывается тем, что тру-ба некруглого сечения приводится к трубе круглой соответствующего диаметра. Для этого применяется эквивалентный диаметр эd

э г4d R= , (4.13)где гR – гидравлический радиус.

гSR =χ

, (4.14)

где S – площадь сечения трубопровода; χ – смоченный периметр. Например, для прямоугольного трубопровода со сторонами a и b:

г э2,

2( )a b abR da b a b×

= =+ +

,

для квадратного сечения: 2

г э, 4aR d aa

= = ,

для равнобедренного треугольного сечения со сторонами a и высотой h

г э2,

2 3 3a h hR d

a×

= =×

.

4.6. Местные гидравлические сопротивления Местные сопротивления вызываются фасонными частями, арматурой, другим оборудовани-

ем трубопроводных сетей, которые изменяют величину или направление скорости движения жидкости на отдельных участках, что всегда связано с появлением дополнительных потерь на-пора.

Потери напора на местных сопротивлениях определяются по формуле Вейсбаха

76

21

м м ,2

hgυ

= ξ (4.15)

где – коэффициент местного сопротивления, который зависит от вида сопротивления и опре-деляется опытным путем.

мξ

Основные виды местных потерь напора можно условно разделить на следующие группы: • потери, связанные с изменением живого сечения потока (резкое или постепенное расши-

рение и сужение потока); • потери, вызванные изменением направления потока, его поворотом (поворот трубы); • потери, связанные с протеканием жидкости через арматуру различного типа (вентили,

краны, клапаны, сетки); • потери, возникшие вследствие отделения одной части потока от другой или слияния

двух потоков (тройники, крестовины и т.д.). Рассмотрим некоторые виды местных сопротивлений. Резкое расширение трубопровода. Как показывают наблюдения, поток, выходящий из узкой трубы, отрывается от стенок и

дальше движется в виде струи, отделенной от остальной жидкости поверхностью раздела (см. рис. 4.14). На поверхности раздела возникают вихри, которые отрываются и переносятся далее транзитным потоком. Между транзитным потоком и водоворотной зоной происходит массооб-мен, но он незначителен. Струя постепенно расширяется и на некотором расстоянии от начала расширения заполняет все сечение трубы. Вследствие отрыва потока и связанного с этим вих-реобразования на участке трубы между сечениями 1-1 и 2-2 наблюдаются значительные потери напора.

1

1

2

2

d1 d2

Рис. 4.14. Резкое расширение трубопровода

Если принять ряд допущений, то теоретически можно доказать, что потери напора при рез-ком расширении

21 2

рр( )

2h

gυ −υ

= – формула Борда,

где и – средние скорости в трубе до расширения и после. Эту формулу можно привести к другому виду:

1υ 2υ

2 22 22 1 1

рр1 2

1 12 2

Shg S

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1

gυ υ υ

= − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟υ⎝ ⎠ ⎝ ⎠.

Если принять

77

2

1рр

2

1 SS

⎛ ⎞ξ = −⎜ ⎟

⎝ ⎠, (4.16)

коэффициент местного сопротивления при резком расширении, то формула Борда принимает следующий вид:

21

рр рр 2h

gυ

= ξ .

В случае присоединения трубы к резервуару можно принять =2S ∞ , тогда . рр 1ξ =

Постепенное расширение.

υ1 υ2

d1 d2

α

Рис. 4.15. Постепенное расширение трубопровода

Если расширение происходит постепенно (см. рис. 4.15), то потери напора значительно уменьшаются. При течении жидкости в диффузоре скорость потока постепенно уменьшается, уменьшается кинетическая энергия частиц, но увеличивается градиент давления. При некото-рых значениях угла расширения α частицы у стенки не могут преодолеть увеличивающееся давление и останавливаются. При дальнейшем увеличении угла частицы жидкости могут дви-гаться против основного потока, как при резком расширении. Происходит отрыв основного по-тока от стенок и вихреобразование. Интенсивность этих явлений возрастает с увеличением угла

α и степенью расширения 2

1

SnS

= .

Потерю напора в диффузоре можно условно рассматривать как сумму потерь на трение и расширение. При небольших углах α возрастают потери по длине, а сопротивление на расшире-ние становится минимальным. При больших углах α наоборот возрастает сопротивление на расширение. Коэффициент сопротивления диффузора можно определить по следующей форму-ле

2

диф 2

1 11 18sin

2

kn n

λ ⎛ ⎞ ⎛ξ = − + −⎜ ⎟ ⎜α⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ⎝⎜ ⎟⎝ ⎠

⎞⎟⎠

, (4.17)

где k – коэффициент смягчения, который зависит от угла α, и его значения приводятся в спра-вочниках

21

диф диф 2h

gυ

= ξ .

Внезапное сужение. При внезапном сужении потока (см. рис. 4.16) также образуются водоворотные зоны в ре-

зультате отрыва от стенок основного потока, но они значительно меньше, чем при резком рас-ширении трубы, поэтому и потери напора значительно меньше. Коэффициент местного сопро-тивления на внезапное сужение потока можно определить по формуле

78

υ1 υ2

d1 d2

Рис. 4.16. Внезапное сужение трубопровода

рс 0,5(1 )nξ = − , где 2

1

SnS

= . (4.18)

В случае присоединения трубы к резервуару можно принять =1S ∞ , тогда . рс 0,5ξ =

Постепенное сужение (конфузор). Величина сопротивления конфузора будет зависеть от угла конусности конфузора θ. Коэф-

фициент сопротивления можно определить по формуле

конф конф (1 )k nξ = − ,

где , приводится в справочниках. конф ( )k f= θ

Поворот трубы (колено). В результате искривления потока на вогнутой стороне внутренней поверхности трубы дав-

ление больше, чем на выпуклой. В связи с этим жидкость движется с различной скоростью, что способствует отрыву от стенок пограничного слоя и потерям напора (см. рис. 4.17). Величина коэффициента местного сопротивления колξ зависит от угла поворота θ, радиуса поворота R, формы поперечного сечения и приводится в справочниках. Для круглого сечения трубы при θ = 90º. коэффициент сопротивления можно определить по формуле

R

θ

Рис. 4.17. Плавный поворот трубопровода

кол 0,05 0,2 dR

ξ = + . (4.18)

Другие виды местных сопротивлений. Коэффициенты местных сопротивлений для большинства сопротивлений приводятся в спра-

вочниках, их величина зависит от конструкции. Для ориентировочных расчетов можно пользо-ваться следующими коэффициентами местного сопротивления:

• задвижка при полном открытии – 0,15; • вход в трубу при острых кромках – 0,5; • вентиль с косым затвором при полном открытии (рис. 4.18) – 3; • симметричный тройник – 1,5.

79

Рис. 4.18. Вентиль

4.7. Зависимость коэффициентов местных сопротивлений от числа Рейнольдса. Эквивалентная длина

Приведенные данные о коэффициентах местных сопротивлений относятся к турбулентному режиму движения с большими числами Рейнольдса, где влияние молекулярной вязкости прояв-ляет себя незначительно. При ламинарном или близком к нему течении коэффициенты местных сопротивлений зависят от числа Рейнольдса (см. рис. 4.19). При малых значениях Re эффект сопротивления вызван силами вязкости и пропорционален первой степени скорости. Коэффи-циент сопротивления в этом случае изменяется обратно пропорционально числу Рейнольдса,

т.е. ReА

ξ = , где А – постоянная, зависящая от вида местного сопротивления.

ξ

Re

Рис. 4.19. Графики и зависимости коэффициента сопротивления от числа Рейнольдса

При достаточно больших числах Рейнольдса формируются отрывные течения, которые и являются основной причиной местных сопротивлений при больших значениях Re. В этом слу-чае . В первом приближении можно сказать, что при резких переходах в местных со-противлениях коэффициент ξ не зависит от Re при Re > 3000, а при плавных очертаниях – при Re > 10000.

constξ =

В общем виде для коэффициента ξ можно записать

квReА

ξ = + ξ ,

где – коэффициент сопротивления при больших числах Re, когда ξ = const. В случае линей-ного закона сопротивления (наклонная прямая на графике) потери напора можно определить по эквивалентной длине.

квξ

Эквивалентная длина – такая длина прямого участка трубопровода данного диаметра, на которой потери на трение по длине эквивалентны потери напора, вызываемой данным местным сопротивлением, т.е. . Таким образом, для определения потери напора на местном со-противлении, мы мысленно заменяем местное сопротивление прямой трубой эквивалентной

дл мh h=

80

длины. Это позволяет нам применить формулу Дарси-Вейсбаха для определения потерь напора на местном сопротивлении и учесть изменение числа Re.

2срэ

м 2lhd g

υ= λ ⋅ ⋅ , (4.19)

где – эквивалентная длина, приводится в справочниках, зависит от диаметра трубопровода и вида сопротивления.

эl

4.8. Кавитация На участках многих местных сопротивлений скорости потока резко возрастают, в результате

чего давление уменьшается. Если давление становится ниже давления насыщенных паров жид-кости, возникает кавитация. Источником кавитации являются пузырьки газа и пара, которые выделяются в сечении с пониженным давлением. Попадая в сечение с нормальным давлением, пузырьки мгновенно исчезают под действием повышенного давления. В месте исчезновения пузырьков давление резко увеличивается, повышается температура. Кавитация неблагоприятно отражается на работе оборудования, т.к. возникает вибрация, шум, эрозия металла. Кавитаци-онные свойства местных сопротивлений оцениваются по критическому значению числа кави-тации.

1 кр2м

2( )p pk

−=

ρυ,

где – давление насыщенных паров жидкости. кр н.п.p p=

Значение чикла кавитации для различных видов местных сопротивлений определяется экс-периментально и приводится в справочниках. Предельно допустимая скорость в трубопроводе перед местным сопротивлением определяют по формуле

1 н.п.кр

кр

2 p pk−

υ ≤ρ

. (4.20)

Для проверочного гидравлического расчета трубопровода на бескавитационную работу не-обходимо, чтобы выполнялось условие м крυ ≤ υ .

4.9. Истечение жидкостей из отверстия в тонкой стенке При истечении жидкости из какого-либо резервуара происходит процесс превращения запа-

са потенциальной энергии в кинетическую энергию свободной струи. Основной вопрос иссле-дования – определение скорости истечения и расхода жидкости для различных форм отверстий и насадков.

Рассмотрим истечение жидкости через круглое отверстие в тонкой стенке (рис. 4.20). От-верстием в тонкой стенке называется отверстие, толщина стенок которого составляет не бо-лее 1/4 диаметра. Рассмотрим случай, когда жидкость вытекает из резервуара в атмосферу (см. рис. 4.20). Напишем уравнение энергии в форме напоров для сечения 1-1 и С-С. Обозначим давление на поверхности жидкости в резервуаре p0, – заглубление центра отверстия под уровнем жидкости в сосуде. Струя, вытекающая под давлением столба жидкости высотой и разностью давлений

0H

0H

0 атм( p p )− , при выходе из отверстия сжимается до сечения С-С. В сечении С-С струйки приблизительно параллельны и движение можно считать плавноизменяющимся, поэтому для этого сечения можно применить уравнение Бернулли. Такое сжатие обуславлива-ется инерцией частиц жидкости, движущихся при подходе к отверстию по криволинейным тра-екториям. Степень сжатия струи оценивается коэффициентом с оS Sε = , (4.21)

81

const p0 1 1

0 0 C

C dc

pатм

H0

z1 d0

Рис. 4.20. Истечение жидкости из отверстия в тонкой стенке

где с оS S – отношение площади струи в сжатом сечении к площади отверстия.

Для плоскости сравнения, проведенной относительно оси отверстия, запишем уравнение Бернулли для движения жидкости от свободной поверхности, где скорость можно принять рав-ной нулю, до сечения С-С

2 20

0 2 2c c

op pHg g g

c

gαυ υ

+ = + + ξρ ρ

,

где – коэффициент сопротивления отверстия. oξ

Выполним небольшие преобразования 2

00 ( )

2c c

op pH

g g− υ

+ = α +ρ

ξ или 2

( )2

coH

gυ

= α + ξ ,

где H – расчетный напор

00

cp pH Hg−

= +ρ

. (4.22)

Скорость истечения

0

1 2 2c gH gHυ = = ϕα + ς

, (4.23)

где φ – коэффициент скорости. Нами получена формула Торричелли для определения скорости струи, вытекающей из ре-

зервуара. Если резервуар открыт, то , тогда 0 атм( )p p=

0H H= и 02c gHυ = ϕ . (4.24)

Расход через сжатое сечение

0 00

2 2cc c c

SQ S S gH S gH S gS

= υ = ϕ = ϕ = εϕ 2 H ,

где ε – коэффициент сжатия струи; – площадь сечения отверстия. 0S

Окончательно получаем:

0 2Q S gH= μ , (4.25)

где μ – коэффициент расхода.

82

4.10. Зависимость коэффициентов истечения от числа Рейнольдса

При истечении вязких жидкостей (например, дизельного топлива через форсунки) или при истечении с небольшими скоростями маловязких жидкостей (при малых числах Рейнольдса) будет проявляться зависимость величин коэффициентов истечения μ, φ, ε от Re (см. рис. 4.21).

μ, φ, ε

Re

φ

ε

μ

Рис. 4.21. Зависимость коэффициентов истечения от числа Рейнольдса

При истечении через малое отверстие в тонкой стенке коэффициент скорости φ с увеличе-нием Re возрастает, что связано с уменьшение сил вязкости, что в свою очередь сказывается на уменьшении коэффициента сопротивления ξ. Коэффициент сжатия уменьшается вследствие увеличения радиусов кривизны поверхности струи на её участке от кромки до сжатого сечения С-С (см. рис. 4.22). При Re → ∞ значения коэффициентов φ и ε приближаются к значениям, со-ответствующим истечению идеальной жидкости (φ = 1, ε = 0,6).

R R

R R

C

C

C

C

H0 H0

Рис. 4.22. Истечение жидкости из отверстия

Изменение величины коэффициента расхода μ определяется его зависимостью от коэффи-циентов φ и ε: μ = ϕ⋅ε . (4.26)

Зная характер изменения коэффициентов μ, φ, ε от числа Re при истечении через отверстия и насадки, можно с большей точностью определить скорость 02c gHυ = ϕ , расход Q и другие параметры потока.

При больших числах Re (турбулентный режим) коэффициенты истечения постоянны, зави-сят только от вида отверстия, определяются опытным путем и приводятся в справочниках.

4.11. Истечение из насадков Насадком называется короткая труба длиной от 3 до 5 его диаметров, присоединенная к от-

верстию. При расчете насадков потерями напора по длине обычно пренебрегают.

83

Рассмотрим процесс истечения жидкости на примере внешнего цилиндрического насадка (см. рис. 4.23). На входе в насадок образуется водоворотная зона, которая является источником потерь напора, поэтому коэффициент скорости насадка меньше, чем круглого отверстия.

H0 C

C

B

B

Рис. 4.23. Истечение жидкости из насадка После сжатия в сечении С-С струя расширяется до сечения насадка и из насадка выходит

полным сечением. В сжатом сечении С-С скорость потока выше, чем на выходе, а значит, дав-ление в этом сечении меньше, чем при истечении из отверстия, когда давление равно атмо-сферному. Таким образом, в насадке создается вакуум и эффект «подсасывания», что увеличи-вает расход через насадок. Если резервуар открыт, а истечение происходит в атмосферу, то рас-ход можно определить по той же формуле, что и для отверстия.

02нQ S gH= μ ,

где μ – коэффициент расхода насадка; – площадь сечения насадка. нS

Истечение через насадок, при котором струя полностью заполняет все пространство насад-ка, называется истечением без отрыва.

Найдем минимальное давление внутри насадка. Истечение происходит в воздух с давлением

Давление на свободной поверхности жидкости – . Расчетный напор – атм .р0р 0

0сp pH H

g g= − +ρ ρ

.

В сжатом сечении струи < . Разность давления – растет пропорционально напору Н, т. к. скорость в сжатом сечении увеличивается с увеличением Н. Составив уравнение Бер-нулли для сечений В-В и С-С, можно доказать, что максимальное значение вакуума для воды наступает при . При некотором значении Н, которое называется критическим, давление внутри насадка становится равным 0. Т.к. при дальнейшем увеличении напора давле-ние не может уменьшаться далее, то происходит отрыв струи от стенок из-за того, что наруж-ный воздух прорывается внутрь насадка, и насадок начинает работать как отверстие в тонкой стенке. Такое истечение называется истечением с отрывом.

ср атмр атмр ср

атм 0,75р Н g− ρ

При истечении с отрывом расход насадка резко уменьшается, т.к. исчезает эффект «подса-сывания».

4.12. Виды насадков Другие виды насадков применяются для того, чтобы увеличить скорость вытекающей струи

или расход (см. рис. 4.24). Конический сходящийся насадок применяется для увеличения скорости истечения струи,

ее кинетической энергии. Коэффициенты истечения насадка зависят от угла сужения. При угле сужения β = 14º, μ = φ = 0,95.

Конический расходящийся насадок применяется для увеличения расхода жидкости, т.к. от-верстие на выходе из насадка больше, чем на входе. Коэффициенты истечения насадка также зависят от угла расширения. При угле расширения α = 6º, μ = φ = 0,47. Эти насадки работают при небольших напорах, т.к. при увеличении напора больше 3 м может быть отрыв струи от стенок насадка.

84

d

d

d

d

Рис. 4.24. Виды насадков

В коноидальном насадке вход изготавливается по форме естественно сжимаемой струи, что обеспечивает уменьшение зоны отрыва и уменьшение сопротивления насадка. Коэффициент расхода μ = φ = 0,98.

Комбинированный насадок представляет собой комбинацию коноидального и конического расходящегося насадка. Давление в насадке искусственно снижается, что увеличивает расход через насадок. Использовать такой насадок можно лишь при небольших напорах от 1 до 4 мет-ров, т.к. при больших напорах в насадке возникает кавитация, в результате чего увеличивается сопротивление насадка. Длительная кавитация приводит к разрушению насадка.

4.13. Истечение при переменном напоре и под уровень жидкости Истечение при переменном напоре. При истечении жидкости из резервуаров, бассейнов

очень важно знать время его полного опорожнения. Движение жидкости в этом случае неуста-новившееся (см. рис. 4.25). За бесконечно малый промежуток времени dt, в течение которого уровень в сосуде опустится на величину dh, течение можно считать установившимся. За это время из отверстия вытекает объем жидкости

h dh H

Sо

Q

S

Рис. 4.25. Истечение при переменном напоре

dV Qdt= − . С другой стороны, этот объем можно представить в виде

dV Sdh= , где S – площадь свободной поверхности жидкости в резервуаре в момент времени dt.

Приравняв два выражения и подставив значение 2oQ S ghdt= μ , получим

Sdh = 2oS ghμ dt ,

85

где S – площадь резервуара на уровне h; – площадь отверстия, через которое сливается жид-кость.

oS

Время опорожнения резервуара высотой Н 01

2

h

h Ho

dht SS g

=

=

= −μ ∫ h

.

Для определения времени полного опорожнения резервуара необходимо проинтегрировать это выражение от h = H до h = 0. Для резервуара с переменной площадью сечения S const≠ это сделать трудно, необходимо использовать метод конечных разностей.

Для цилиндрического резервуара, когда S const=

01 2

2 2Ho o

dh SHt SS g h S gH

= − =μ μ∫ . (4.27)

Здесь числитель равен удвоенному объему резервуара, а знаменатель представляет расход в начальный момент опорожнения, т.е. при напоре Н. Таким образом, время полного опорожне-ния резервуара в два раза больше времени истечения того же объема жидкости при постоянном напоре.

Истечение под уровень – истечение в пространство, заполненное такой же жидкостью (см. рис. 4.26). Структура потока при таком истечении не изменяется. Расчетный напор при истече-нии под уровень представляет собой разность гидростатических напоров по обе стороны стен-ки, т.е. скорость и расход не зависят от высоты расположения отверстия. Если оба резервуара открыты, то давление слева от отверстия будет 1p g 1z= ρ , справа от отверстия – . Рас-ход через отверстие будет

2p gz= ρ 2

z2

z1 Δz

d

Рис. 4.26. Истечение под уровень

2oQ S g z= μ Δ , (4.28)

где Δz – перепад уровней жидкости в резервуарах. Пример применения уравнения Бернулли для расчета расхода через диафрагму

Нормальная диафрагма – отверстие с достаточно острой кромкой для измерения расхода жидкости или газа в трубе (рис. 4.27). Измерение проводится при помощи определения разно-сти давлений до диафрагмы и в сечении с минимальным диаметром. Необходимо определить расход газа через нормальную диафрагму, если ее диаметр d = 5 мм, диаметр трубы D = 100 мм, перепад давления по дифференциальному манометру: h = 10 мм. рт.ст.

d

h

D

Рис. 4.27. К примеру определения расхода при истечении

Ответ: Расход через диафрагму 0,0062Q = м3/с. 86

87

Лекция 5. Практическое применение законов гидравлики

Основные понятия: короткий трубопровод; полный напор; пьезометрический напор; маги-стральный трубопровод; последовательное и параллельное соединение простых трубопроводов; транзитный расход; непрерывная раздача расхода по пути; гидравлический удар; гидравличе-ский таран.

Вопросы, на которые необходимо найти ответ в ходе изучения темы: 1. Что является целью расчета короткого трубопровода? 2. Какой трубопровод считается коротким? 3. Какие типовые задачи расчета короткого трубопровода Вы знаете? 4. Какое уравнение используется при расчете коротких трубопроводов? 5. Какие требования необходимо выполнить при выборе расчетных сечений? 6. Что называют плоскостью сравнения? 7. Что необходимо определить в начале расчета короткого трубопровода? 8. Какой режим движения жидкости принимается, если неизвестен расход? 9. Как определяются потери напора если трубопровод имеет участки с разными диаметра-

ми? 10. Приведите пример короткого трубопровода? 11. Как определить коэффициент гидравлического трения если расход неизвестен? 12. Какую скорость используют при расчете местного сопротивления? 13. Как определяются полный и пьезометрический напоры? 14. Какие сечения необходимо выбрать при построении линий полного и пьезометрического

напоров? 15. Каков порядок построения линий полного и пьезометрического напоров? 16. Каков порядок определения потерь напора по длине? 17. Что называется простым трубопроводом? 18. Почему при расчете длинных трубопроводов пренебрегают потерями на местных сопро-

тивлениях? 19. Как определяют потери напора по длине в длинных трубопроводах? 20. Что называют модулем расхода? 21. Что называют требуемым напором, как его определить? 22. Как определить величину статического напора? 23. В чем отличие расчета трубопроводов при их параллельном и последовательном соеди-

нении? 24. Каковы особенности расчета трубопроводов при непрерывной раздаче расхода по пути? 25. Какова особенность расчета разветвления? 26. Почему возникает гидравлический удар в трубопроводах? 27. От чего зависит повышение давления при гидравлическом ударе? 28. От каких параметров зависит скорость распространения гидравлического удара? 29. Чем прямой гидравлический удар отличается от непрямого? 30. Как рассчитать повышение давления при прямом и непрямом гидравлическом ударе? 31. Как рассчитать время закрытия задвижки в магистральном трубопроводе? 32. Каков принцип действия гидравлического тарана?

33. Как избежать гидравлический удар в водопроводных сетях внутри здания? 34. Почему при расчете длинных трубопроводов пренебрегают потерями на местных сопро-

тивлениях? Практические задачи: Задача 5-1, 6 Определить расходы в ветвях 1, 2, 3 и повышение давления на участке ВС при гидравличе-

ском ударе в случае мгновенного закрытия задвижки в точке С. Параметры участков: l1 = ll, d1 = d; l2 = 3/4l, d2 = 3/2d; l3 = 4/3l, d3 = d/2; lBC = 2l, dBC = 2d. Напоры: в точке А НА = 40 м, в точке В НВ = 5 м. Трубы стальные, новые, толщиной δ = 6 мм. Длина труб 1 = 100 м, диаметр d = 5

мм. нl×

× нd

1

2

3

Q

A B C


Задача 5-2, 7 От напорного бака идет магистральный трубопровод длиной l1 = 1,5l. В точке В магистраль

разветвляется на две ветви: ВС с расходом QС = 1,5Q и BD с расходом QD = Q = 50 × л/с. Длины участков: l

нQ2 = ll, l3 = 1,1l (l = 100 нl× м, d = 5× мм). Отметки земли: C = D. Определить

напор в напорном баке, величину давления на участке АВ при мгновенном закрытии задвижки в точке В, если толщина стенки трубы δ = 6 мм.

нd

A B

C

D

l1 l2

l3


Задача 5-3,8 Какое давление должен создать насос в точке А для обеспечения расхода непрерывной раз-

дачи по пути q = 0,05 л/с на 1 п.м, если = 120 м, = 5 ABl ABd × нd мм, а длина и диаметр на уча-стке ВС в два раза меньше, чем на участке ВС? Давление в точке С не должно быть меньше 2 атм. Насколько повысится давление при гидравлическом ударе на участке АВ, если толщина стенки трубы δ = 4 мм?

A B C

q


88

Задача 5-4, 9 Определить отметку водонапорной башни , если сеть состоит из новых чугунных труб.

Параметры участков: = 2l, = 1,25d; = l, = d; = 1,5l, = d; длина магистрального трубопровода l = 2,5l, диаметр d = 20. Свободный напор Н

AH

1l 1d 2l 2d 3l 3dсв = 10 м. Расход Q = 50 л/с. На-

сколько повысится давление на участке А-2 при мгновенном закрытии задвижки в точке 2,если = 1/2l Труба толщиной δ = 4 мм (l = 200 м, d =5

× нQ

2Al × нd мм).

1

2

3

Q

A B C

HA


Задача 5-5,10 Из резервуара А вода подается в разветвленную сеть. На одном из участков имеется путевой

объемный расход воды q = 0,03 л/с. Трубы чугунные. Определить распределение расхода в вет-вях трубопровода с расходом = 1,6 л/с, на параллельных участках. На какой высоте дол-жен находиться резервуар А для самотечной подачи воды в пункты В и С, если расход = 50

л/с (l = 400 м, d = 5 × мм).

1Q 2Q

2Q× нQ нd

Q1

A

Q2

q

l, d/2

l, d/2

l, d

Рис.5.5. к задаче 5-5, 10

5.1. Расчет короткого трубопровода Коротким считается трубопровод, в котором потери на местных сопротивлениях превышают

5% от общих потерь. К коротким относятся системы водоснабжения, водоотведения, горячего водоснабжения внутри зданий (см. рис. 5.6 и 5.7).

Целью расчета короткого трубопровода может быть определение напора или давления в на-чале трубопровода, потерь напора или потерь давления, а также определение расхода или диа-метра трубопровода при известном напоре в его начале.

При расчете напора в начале короткого трубопровода должны быть заданы: • напор или давление в конце трубопровода; • расход • диаметр и длина трубопровода. При расчете напора в конце короткого трубопровода должны быть заданы: • напор или давление в начале трубопровода; • расход; • диаметр и длина трубопровода.

89

Рис. 5.6. Схема водоснабжения этажа

Рис. 5.7. Схема водоснабжения коттеджей

Если целью расчета является определение расхода трубопровода, то должны быть заданы: • напор или давление в начале и в конце трубопровода; • диаметр и длина трубопровода. В тех случаях, когда необходимо подобрать диаметр трубопровода должны быть известны

напоры (давление), расход и длина трубопровода. В этом случае задача решается подбором диаметра, соответствующего установленным условиям подачи жидкости.

При расчете коротких трубопроводов применяется уравнение Бернулли для двух выбранных сечений и уравнение неразрывности. Обычно расчетные сечения выбираются в начале и в кон-це трубопровода. Обязательным условием является то, что движение на расчетном участке тру-бопровода должно быть установившемся, а в расчетных сечениях в начале и в конце расчетных участков трубопровода – равномерным.

Уравнение Бернулли составляется относительно плоскости сравнения, которой может быть любая горизонтальная плоскость, в том числе линия горизонта, поверхность земли и т.д. Плос-кость сравнения рекомендуется проводить с таким расчетом, чтобы упростить решение уравне-ния Бернулли. Обычно плоскость сравнения проводится или по центру трубы в начале или в конце трубопровода, или по уровню жидкости в резервуаре, из которого происходит истечение жидкости или куда она подается.

90

Расчет необходимо начать с определения формы записи уравнения Бернулли. Для расчета систем водоснабжения и водоотведения обычно применяется уравнение Бернулли в форме на-поров:

2 2

1 1 ср 2 2ср1 21 22 2 w

p pz z hg g g g

α υ α υ+ + = + + +ρ ρ

. (5.1)

Если известны расход и диаметр трубопровода, то вначале определяется режим движения жидкости для всех участков с различными средними скоростями движения жидкости. Режим движения жидкости считаем турбулентным, если число Рейнольдса больше или равно 2320, и ламинарным, если Re<2320. Если расход неизвестен, то в первом приближении для маловязких жидкостей (вода), режим движения принимается турбулентным, для вязких (густое индустри-альное масло) – ламинарным. После определения расхода в первом приближении определяется число Рейнольдса и по нему уточняется режим движения.

Расчет трубопровода фактически сводится к расчету потерь – местных и по длине. В корот-ком трубопроводе потери напора по длине определяются по формуле:

2ср

дл .2

lhd gυ

= λ (5.2)

Если трубопровод имеет участки с разными диаметрами, то потери по длине определяются для каждого участка отдельно, а затем складываются. Коэффициент гидравлического трения λ определяется по формулам, которые выбираются в зависимости от режима движения и области сопротивления. При неизвестном расходе:

• для ламинарного режима коэффициент гидравлического трения определяется по форму-ле:

64Re

λ = , (5.3)

а затем уточняется; • для турбулентного режима коэффициент гидравлического трения рассчитывается по

формуле:

0,25

э0,11 kd

⎛ ⎞λ = ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

. (5.4)

а затем уточняется. Коэффициент эквивалентной шероховатости трубы определяется по табли-цам в зависимости от материала трубы и времени ее эксплуатации.

Потери напора на местном сопротивлении при турбулентном режиме определяются по фор-муле:

2ср

м ,2

hg

υ= ξ (5.5)

где – средняя скорость на участке после сопротивления. срυ

Если режим движения ламинарный, то потери напора на местном сопротивлении определя-ются по формуле:

2ср

м 2lhd gυ

= λ , (5.6)

где l – эквивалентная длина, определяемая по таблицам в зависимости от вида местного сопро-тивления.

После определения потерь напора на каждом местном сопротивлении, они складываются. Считается, что эти потери происходят в данном сечении трубопровода.

После расчета потерь напора по длине и на местных сопротивлениях строятся линии полно-го и пьезометрического напоров. Для этого трубопровод разбивается на сечения. Количество

91

сечений зависит от количества прямолинейных участков трубопровода и местных сопротивле-ний. Полный напор в начальном сечении трубопровода определяется по формуле:

2

1 1 ср11 1 2

pH zg g

α υ= + +

ρ. (5.7)

В сечении с местным сопротивлением на графике указывается падение напора на величину местного сопротивления . Обычно в этом месте на графике наблюдается резкое падение ве-личины напора. Величина пьезометрического напора будет меньше полного напора на величи-ну скоростного напора:

мh

2

1 1 ср1 1 2pH H

gα υ

= − . (5.8)

Следующее сечение выбирается в конце прямого участка трубы перед или в месте располо-жения следующего сопротивления. Полный напор в этом сечении будет меньше полного напора в первом сечении на величину потерь напора по длине: 2 1 дл1 2H H h −= − , (5.9)где – потери по длине между первым и вторым сечениями. дл1 2h −

Пьезометрический напор во втором сечении будет меньше полного напора на величину ско-ростного напора:

2

2 2ср2 2 2 2pH H

gα υ

= −α . (5.10)

Для упрощения расчета необходимо помнить, что при равномерном движении жидкости ли-ния пьезометрического напора параллельна линии полного напора. Таким образом, последова-тельно строятся линии полного и пьезометрического напоров по всей длине трубопровода. Бла-годаря построенным линиям напоров очень легко установить сечение трубопровода, в котором происходят наибольшие потери напора, что позволяет в случае необходимости предусмотреть мероприятия по их минимизации. На этом же графике в принятом масштабе наносится линия геометрического напора, которая проходит по оси трубопровода.

5.2. Расчет длинных трубопроводов

5.2.1. Понятие о простом и сложном напорных трубопроводах

Трубопроводы служат для транспортирования различных жидкостей на различные расстоя-ния. Гидравлический расчет трубопроводов базируется на основных уравнениях гидравлики. При расчете длинных трубопроводов пренебрегают потерями напора на местных сопротивле-ниях, которые малы и обычно не превышают 5 % от общих потерь.

Преобразуем формулу Дарси, заменив скорость расходом, поделенным на площадь попе-речного сечения трубы

2 2ср 2

дл 2222

4

l l Qh Ad g d dg

υ= λ = λ =

⎛ ⎞π⎜ ⎟⎝ ⎠

Q l , (5.11)

где 2 5

8Ag d

λ=

π – удельное сопротивление трубопровода.

Для квадратичной области сопротивления А зависит только от диаметра трубопровода и от его шероховатости. Следовательно, значения А можно определить опытным путем для трубо-проводов с различной степенью шероховатости и с разными диаметрами.

Величина К = 1А

называется модулем расхода и также приводится в справочниках. Тогда

92

2

дл 2

Qh lK

= . (5.12)

Введение понятия удельного сопротивления трубопровода упрощает расчет, т.к. значения А приводятся в справочниках в зависимости от диаметра трубы и ее шероховатости.

Запишем уравнение Бернулли для двух сечений трубопровода в его начале и в конце: 2 2

1 1 ср 2 2ср1 21 2 дл2 2

p pz z hg g g g

α υ α υ+ + = + + +ρ ρ

и обозначим:

1тр

p Hg=

ρ – требуемый напор, т.е. напор, который должен создать насос в начале трубопро-

вода;

2 1z z− = Δz – разность отметок земли в конце и в начале трубопровода;

2п

p Hg=

ρ – пьезометрический напор, т.е. напор в конце трубопровода, который задается при

проектировании;

пH z H+ Δ = ст – статический напор.

Принимая во внимание, что в трубопроводе постоянного диаметра 2 2

1 1 ср 2 2ср

2 2g gα υ α υ

= ,

тогда уравнение Бернулли примет вид

2

тр ст 2

QH Н lK

= + . (5.13)

Нами получена формула для гидравлического расчета простых, длинных трубопроводов. Простым называется трубопровод, не имеющий ответвлений. Всякие другие трубопроводы относят к категории сложных.

5.2.2. Расчет трубопроводов, соединенных последовательно и параллельно

При последовательном соединении простых трубопроводов разной длины и с различными диаметрами стык в стык, трубопровод представляет собой простой трубопровод, который мож-но разделить на несколько участков (см. рис. 5.8). Расчет такого трубопровода не представляет труда

l1 l2 l3

d2 d1

d3 Q

Рис. 5.8. Последовательное соединение простых трубопроводов

2 31 2тр ст 2 2 2

1 2 3

ll lH Н QK K K

⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟

⎝ ⎠. (5.14)

При параллельном соединении (см. рис. 5.9) пьезометрический напор в узловых точках А и В одинаков для всех участков. Расход Q основного трубопровода до деления и после объедине-ния труб один и тот же. Задача расчета состоит в том, чтобы определить расходы в отдельных ветвях системы и также потери напора между точками А и В. Общий расход, диаметры и длины труб предполагаются известными.

1 2 3, , ,...Q Q Q длh

93

l1

l2

l3

d2

d1

d3

Q Q1

Q2

Q3

Q

A B

Рис. 5.9. Параллельное соединение простых трубопроводов

Потери напора в любой трубе ответвления одинаковы, так как в обеих общих точках раз-ветвления имеется один и тот же напор и , т.е. АН ВН

дл дл1 дл2 дл3h h h h= = = , 2

дл1 1 1 1lh AQ= 2дл2 2 2h A Q= 2

дл3 3 3 3h A Q l=, , . 2l

Отсюда

94

1 2 2

1

ll2 1

Q AQ A

= , 3 31

3 1

A

1

lQQ A

=l

, 3 32

3 2 2

A lQQ A l

= , (5.15)

т.е. расходы на участках распределяются обратно пропорционально корню квадратному из их

сопротивлений. Кроме того 321 QQQQ ++= . Совместное решение этих уравнений дает воз-можность найти расходы на участках при заданных их размерах и общем расходе.

Простое разветвление представляет собой схему так называемой «вилки» (см. рис. 5.10.). В отличие от параллельного соединения напоры в конечных точках С и D могут быть не одина-ковы. Расход до разветвления и после соединения равен сумме расходов отдельных участков

. 1 2Q Q Q= +

l1

l2 d2

d1 Q

Q1

Q2 A B

D

С

Рис. 5.10. Простое разветвление трубопроводов

Для определения расходов в ветвях при заданном общем расходе и размерах труб ветвей не-обходимо составить уравнения 2

длАВh АQ l= , 21 1 1 1h АQ l= 2

2 2 2 2, h А Q l=

x

и решить их совместно с уравнением общего расхода.

Непрерывная раздача расхода по пути. На схеме (рис. 5.11) представлен участок трубо-провода, на котором расход равномерно разбирается по пути. К такой схеме приближается ра-бота магистрали водопроводной сети вдоль улицы города при правильной планировке попереч-ных улиц. Возьмем элементарный участок dx на расстоянии х от начала трубопровода. Разбор расхода на 1 м длины – q. Расход через элементарный участок

xQ Q q= − .

dx x

l

Рис. 5.11. Непрерывная раздача расхода по пути

Потеря напора на этом участке 2 2

дл ( )xdh АQ dx A Q qx dx= = − .

Потеря напора по всей длине трубопровода

2

0 0

( )l l

дл длh dh А Q qx dx= = − =∫ ∫2 3

2 2

3q lA Q l Qql

⎛ ⎞− + =⎜ ⎟

⎝ ⎠

2 22 2

3 3Q l Q lA Q l Q l A

⎛ ⎞= − + =⎜ ⎟

⎝ ⎠.

Вывод: При равномерной раздаче потеря энергии в трубопроводе в три раза меньше, чем в случае транзитного расхода.

На практике обычно встречается смешанный случай, когда часть расхода проходит тран-зитом, а другая

трQ

рQ отбирается вдоль пути (см. рис. 5.12). В этом случае потеря напора опреде-

ляется по формуле 2дл расчh АQ l= , где расчетный расход расчQ определяется по формуле

2p2

расч т p т 3Q

Q Q Q Q= + + . (5.16)

Qт+Qр

Qр

Qт l

Рис. 5.12. Транзитный расход

5.2.3. Гидравлический удар

Под гидравлическим ударом понимают резкое повышение давления жидкости в трубопро-воде, вызванное внезапным изменением скорости течения. Явление гидравлического удара свойственно только капельным жидкостям, которые почти не деформируются. Гидравлический удар в водопроводных линиях возникает при быстром закрытии или открытии запорной арма-туры. Повышение давления при гидравлическом ударе иногда приводит к разрыву стенок тру-бы. Физически явление объясняется инерционными усилиями, возникающими в жидкости при резком изменении скорости движения.

Рассмотрим гидравлический удар на примере простейшей схемы (см. рис. 5.13). Пусть в ре-зервуаре напор воды будет постоянным независимо от изменения скорости течения в трубе. При полностью открытом кране В в трубопроводе устанавливается скорость движения жидко-сти . При быстром закрытии крана жидкость в непосредственной близости от него остано-вится. Под действием напора движущихся по инерции частиц, давление в этой части трубопро-вода повысится, что приведет к расширению стенок трубопровода. Переход от движения к по-кою и повышение давления происходит по всей длине жидкости не мгновенно, а через некото-рый промежуток времени, что объясняется тем, что жидкость не является абсолютно несжи-маемой, а стенки трубы немного, но деформируются. Движение в трубопроводе при гидравли-ческом ударе относится к категории неустановившегося, поэтому уравнение Бернулли в данном случае неприменимо.

0υ

υ0 А В

l

Рис. 5.13. Движение жидкости в магистральном трубопроводе до гидравлического удара

95

Теоретическое обоснование явления гидравлического удара и метод его расчета впервые дал Н.Е. Жуковский в 1898 г. Жуковский предложил формулу для определения повышения давле-ния, применив закон сохранения количества движения уд 0p cΔ = ρ υ , (5.18)где с – скорость распространения гидравлического удара вдоль трубы от крана до резервуара.

Скорость распространения гидравлического удара можно найти, применив закон сохранения массы с учетом уравнений механики упругих тел

ж т

11 2

сr

E E

=

р

ρ+δ

, (5.19)

где жЕ – модуль упругости жидкости; трЕ – модуль упругости трубы; r – радиус трубы; δ – толщина стенки трубы.

Повышение давления в трубопроводе будет гораздо меньше, если задвижку закрывать не мгновенно, а постепенно. В этом случае ударная волна успевает достигнуть резервуара, отра-зиться от него и вернуться к не полностью закрытому крану. Такой гидравлический удар назы-вают непрямым. Повышение давления при непрямом гидравлическом ударе может быть оцене-но приблизительно, если считать, что его сила уменьшается пропорционально увеличению вре-

мени закрытия крана В по сравнению с фазой удара, которая рассчитывается по формуле 2ltc

= .

Повышение давления при непрямом ударе

непр удtp рT

Δ = Δ , (5.20)

где Т – время закрытия задвижки. Самым простым методом, позволяющим избежать прямого гидравлического удара, является

медленное закрытие задвижки. Этому требованию вполне удовлетворяют вентили различных конструкций и задвижки, менее всего – краны и клапаны. На насосных станциях, где имеется опасность возникновения гидравлического удара при отключении насосного агрегата в связи с аварией электросети, необходимы самостоятельные мероприятия по борьбе с гидравлическим ударом.

В водопроводах внутри зданий, где длины участков невелики и фаза удара незначительна, но есть быстродействующие запорные приспособления (краны), возможно образование непря-мого гидравлического удара. Поскольку сила его прямо пропорциональна скорости течения до удара, то скорость течения воды в сети ограничивают 2,5 м/с.

5.2.4. Гидравлический таран

Гидравлический таран (см. рис. 5.14) служит для подачи воды на небольшую высоту без использования насосов.

Подача воды осуществляется только с использованием энергии гидравлического удара. Для пуска тарана в действие открывают ударный клапан 3. Вода начинает поступать по трубопро-воду 1 в рабочую камеру 2 и вытекает через клапан 3 наружу. С увеличением скорости движе-ния вытекающей из клапана жидкости клапан поднимается и мгновенно закрывает отверстие в рабочей камере. Происходит гидравлический удар. Давление в рабочей камере резко повышает-ся, и под действием этого давления открывается клапан 4. Часть воды после открытия клапана 4 поступает в воздушный колпак 5, давление в нем повышается, и часть жидкости поступает в трубопровод 6. Так как часть жидкости из рабочей камеры поступила в воздушный колпак, то давление в рабочей камере понижается, в результате под действием силы тяжести открывается клапан 3, и вода вновь по трубопроводу 1 начинает поступать в рабочую камеру и вытекать че-рез клапан 3 наружу. Затем клапан 3 закрывается, происходит гидравлический удар, процесс повторяется, и новая порция воды вновь поступает в воздушный колпак и в трубопровод 6.

96

1

2 3 4

5

6

H2

H1

Рис. 5.14. Гидравлический таран

Таким образом, гидравлический таран затрачивает часть расхода на подъем воды по нагне-тательному трубопроводу на высоту , которая может достигать 10 . Обычно теряется по-ловина расхода.

2Н 1Н

Пример расчета короткого трубопровода Вода перетекает из резервуара А в резервуар В по трубопроводу с диаметрами d1 = 100 мм и

d2 = 60 мм и длиной l1 = 15 м и l2 = 10 м (рис. 5.15). Необходимо определить расход воды при разности уровней в бассейнах H = 300 см, и построить линии полного, пьезометрического и геометрического напоров. Трубопровод стальной сварной, умеренно заржавевший.

h A

h B

H

d 1

d 2

A B

1 1

2 2

0 0

Рис. 5.15. К примеру расчета короткого трубопровода

Ответ: 1. После уточнения расход в трубопроводе Q = 0,0056 м3/с$ 2. Линии полного, пьезометрического и геометрического напоров (рис. 5.17).

Пример расчета магистрального трубопровода Определить необходимую высоту водонапорной башни h в точке А, если dAB = 200 мм, dAC =

250 мм, dCD = 125 мм. На участке ВС непрерывный расход q = 0,05 л/с, на п.м., а в точках С и D сосредоточены расходы = 10 л/c и CQ DQ = 12 л/c. Свободный напор НСB = 10 м, длины новых трубопроводов: lАВ = 400 м, lBC = 300 м, lCD = 200 м.

Ответ: Высота водонапорной башни равняется 18,65 м.

QС A

QD

q

D

С

h

B

Рис. 5.16. К расчету потерь напора в магистральном трубопроводе

97

Рис. 5.17. Построение линий полного и пьезометрического напоров

98

99

Рекомендуемая литература 1. Альтшуль А.Д. и др. Гидравлика и аэродинамика. – М.: Стройиздат, 1987, с. 15-19, 39-40,

99-106, 151-156, 158-175, 196-219,301-316,317-319. 2. Башта Т.М. и др. Гидравлика и гидравлические машины. – М.: Машиностроение, 1981. 3. Вакина В.В. Машиностроительная гидравлика. Примеры расчетов. – Киев: Вища школа,

1987. 4. Лойцянский Д.Г. Механика жидкости и газа. – М.: Наука, 1973, с. 12, 111-114, 132-136. 5. Астров Б.В. Сборник задач по гидравлике. – М.: УДН, 1986, с. 4-101. 6. Смыслов В.В. Гидравлика и аэродинамика. – Киев.: Вища школа, 1979, с. 11-13, 25-40,

95-96,107-124, 137-142,156-176,180-219, 229-233, 240-246, 303-306. 7. Угинчус А.А. Гидравлика и гидравлические машины., 1980. 8. Калинин А. В., Козлов Г. С. Методические указания для студентов очно-заочной формы

обучения по дисциплинам: «Гидравлика», «Гидравлика и гидравлические машины», ТГУ, 2003 г.,66 стр.

9. Калинин А. В. Лабораторный практикум по дисциплине «Гидравлика», ТГУ, 2005 г.,45 стр.

Дополнительная литература

10. M. Hanauer Mecanique des fluides. – VONTREUIL, Breal, 1991.

Материально техническое обеспечение дисциплины На лекционных занятиях преподаватель использует аудиовизуальное оборудование. Необ-

ходимое количество экземпляров курса лекций в электронном виде находится в научной биб-лиотеке университета.

Требования к уровню знаний студентов

После завершения курса студент должен знать теоретические основы кинематики и динами-ки течения жидкостей, законы сопротивления движения жидкостей и газов, основы моделиро-вания гидромеханических явлений, расчётным путём определять характеристики реального по-тока жидкости и его физической модели.

Documents

по студентов специальностей формы обученияedu.tltsu.ru/er/er_files/book2563/book.pdf · Практические задачи, решение