Embed Size (px)
Citation preview
Калукова Ольга Макаровна Кошелева Наталья Николаевна Никитина Марина Геннадьевна
Павлова Елена Сергеевна
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА часть 1
Курс лекций по высшей математике
Подписано в печать 8.09.2005. Формат 60×84/16 Печать оперативная. Усл. п.л. 1,5. Уч.-изд. л. 1,4
Тираж экз.
Тольяттинский государственный университет Тольятти, Белорусская, 14
2
Содержание Лекция 1. Матрицы. Основные понятия .........................................................................................................................5
1. Матрицы ...................................................................................................................................................................5 2. Действия над матрицами ........................................................................................................................................6
2.1. Равенство матриц ............................................................................................................................................7 2.2. Сложение матриц ............................................................................................................................................8 2.3. Умножение матрицы на число.......................................................................................................................8 2.4. Вычитание матриц ..........................................................................................................................................8 2.5. Произведение двух матриц ............................................................................................................................9
Лекция 2. Определители и их свойства.........................................................................................................................10 1. Понятия определителя ..........................................................................................................................................12 2. Определение минора .............................................................................................................................................12 3. Вычисление определителей..................................................................................................................................13 4. Свойства определителей .......................................................................................................................................13
Лекция 3. Обратная матрица. Решение систем линейных уравнений........................................................................15 1. Обратная матрица..................................................................................................................................................15 2. Решение систем линейных уравнений.................................................................................................................16
2.1 Система линейных уравнений ......................................................................................................................16 2.2 Решение систем линейных уравнений матричным методом .....................................................................17 2.3 Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера ..................................................................17 Ранг матрицы........................................................................................................................................................18
Лекция 4. Исследование систем линейных уравнений................................................................................................20 1. Теорема Кронекера – Капели (условие совместности системы).......................................................................20 2. Метод Гаусса ........................................................................................................................................................22 Решение однородных систем ...................................................................................................................................22
Лекция 5. Основные понятия векторной алгебры........................................................................................................25 1. Свойства векторов .................................................................................................................................................25 2. Линейная зависимость векторов ..........................................................................................................................26 *Декартова система координат* ..............................................................................................................................26
Лекция 6. Скалярное произведение векторов...............................................................................................................28 Лекция 7. Векторное и смешанное произведение векторов........................................................................................29
1. Векторное произведение.......................................................................................................................................29 2. Смешанное произведение векторов.....................................................................................................................30
Лекция 8. Понятие линии на плоскости ........................................................................................................................32 1. Уравнение линии на плоскости............................................................................................................................32 2. Уравнение прямой на плоскости..........................................................................................................................32 3. Уравнение прямой по точке и вектору нормали.................................................................................................32 4. Уравнение прямой, проходящей через две точки...............................................................................................32 5. Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту....................................................................................33 6. Уравнение прямой по точке и направляющему вектору ...................................................................................33 7. Уравнение прямой в отрезках ..............................................................................................................................33 8. Нормальное уравнение прямой ............................................................................................................................33 9. Угол между прямыми на плоскости ....................................................................................................................34 10. Расстояние от точки до прямой..........................................................................................................................34
Лекция 9. Плоскость и прямая в пространстве.............................................................................................................35 1. Общее уравнение плоскости ................................................................................................................................35 2. Уравнение поверхности в пространстве..............................................................................................................35 3. Уравнение плоскости, проходящей через три точки..........................................................................................35 4. Уравнение плоскости по двум точкам и вектору, коллинеарному плоскости.................................................36
3
5. Уравнение плоскости по одной точке и двум векторам, коллинеарным плоскости .......................................36 6. Уравнение плоскости по точке и вектору нормали............................................................................................36 7. Уравнение плоскости в отрезках..........................................................................................................................36 8. Уравнение плоскости в векторной форме ...........................................................................................................36 9. Расстояние от точки до плоскости .......................................................................................................................37 10. Уравнение линии в пространстве.......................................................................................................................37 11. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору .......................................................37 12. Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки ..................................................................38 13. Общие уравнения прямой в пространстве ........................................................................................................39 14. Угол между плоскостями....................................................................................................................................40 15. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей .........................................................................40 16. Угол между прямыми в пространстве ...............................................................................................................41 17. Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве ....................................................41 18. Угол между прямой и плоскостью.....................................................................................................................41 19. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости в пространстве................................42
Лекция 10. Кривые второго порядка .............................................................................................................................43 1. Окружность ............................................................................................................................................................43 2. Эллипс ....................................................................................................................................................................43 3. Гипербола...............................................................................................................................................................44 4. Парабола.................................................................................................................................................................45
Лекция 11. Поверхности второго порядка ....................................................................................................................46 1. Цилиндрические поверхности..............................................................................................................................46 2. Поверхности вращения .........................................................................................................................................47
Лекция 12. Введение в анализ........................................................................................................................................52 1. Числовая последовательность ..............................................................................................................................52 2. Ограниченные и неограниченные последовательности.....................................................................................52 3. Монотонные последовательности........................................................................................................................53 4. Предел функции в точке .......................................................................................................................................53 5. Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности .........................................................................54 6. Основные теоремы о пределах .............................................................................................................................55
Лекция 13. Бесконечно-малые и бесконечно- большие функции...............................................................................57 1. Бесконечно малые функции .................................................................................................................................57 2. Свойства бесконечно малых функций.................................................................................................................57 3. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми......................................................................57 4. Сравнение бесконечно малых функций ..............................................................................................................58 5. Свойства эквивалентных бесконечно малых ......................................................................................................58 6. Некоторые замечательные пределы.....................................................................................................................59
Лекция 14. Непрерывность функции.............................................................................................................................61 1. Непрерывность функции в точке .........................................................................................................................61 2. Свойства непрерывных функций .........................................................................................................................61 3. Непрерывность некоторых элементарных функций ..........................................................................................61 4. Непрерывность функции на интервале и на отрезке..........................................................................................62 5. Свойства функций, непрерывных на отрезке .....................................................................................................62 Точки разрыва............................................................................................................................................................63
Приложения .....................................................................................................................................................................65 Полярная система координат ...................................................................................................................................65 Комплексные числа ...................................................................................................................................................65 Тригонометрическая форма числа ...........................................................................................................................65 Действия с комплексными числами ........................................................................................................................66 Показательная форма комплексного числа.............................................................................................................67 Элементы комбинаторики ........................................................................................................................................67
4
Бином Ньютона (полиномиальная формула) ..........................................................................................................68 Элементы математической логики ..........................................................................................................................68 Булевы функции ........................................................................................................................................................70 Исчисление предикатов ............................................................................................................................................71
Дискретная математика ..................................................................................................................................................72 Конечные графы и сети.............................................................................................................................................72 Матрицы графов ........................................................................................................................................................72 Достижимость и связность .......................................................................................................................................73 Эйлеровы и гамильтоновы графы ............................................................................................................................73 Деревья и циклы ........................................................................................................................................................74 Квадратичные формы................................................................................................................................................75 Приведение квадратичных форм к каноническому виду.......................................................................................75 Собственные значения и собственные вектора ......................................................................................................76 Элементы топологии .................................................................................................................................................78 Метрическое пространство.......................................................................................................................................78 Открытые и замкнутые множества ..........................................................................................................................79 Непрерывные отображения ......................................................................................................................................79 Топологические произведения .................................................................................................................................80 Связность ...................................................................................................................................................................80 Компактность.............................................................................................................................................................80
5
Лекция 1. Матрицы. Основные понятия
1. Матрицы Основные понятия 1 0 . Мат р и ц е й размером m× n называется множество чисел, расположенных в виде
прямоугольной таблицы, состоящей из m-строк n-столбцов. Матрица обозначается заглавными буквами латинского алфавита A,B,C,…
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...... ... ...
...
n
n
ij
m m mn
a a aa a a
Aa
a a a
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
, или ij m nA a
×⎢ ⎥= ⎣ ⎦ .
Здесь ija - элементы матрицы. Каждый элемент имеет два индекса, первый обозначает номер строки, а второй номер столбца.
Если m n= , то матрица к в а д р а т н а я п о р я д к а n, m≠n, то п р ям о у г о л ь н а я . 2 0 . Матрица состоящая из одной строки называется с т р о ч н о й
( )11 12 1... nB b b b=
3 0 . Матрица, состоящая из одного столбца, называется с т о л б ц о в о й
11
21
1
...
m
cc
C
c
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
4 0 . Квадратная матрица, у которой все элементы нестоящие на главной диагонали равны 0, называется д и а г о н а л ь н о й
11
22
0 0 00 0 0... ... ... 00 0 0 nn
dd
D
d
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
.
5 0 . Диагональная матрица, у которой все элементы равны 1, называется е д и н и ч н о й 1 0 ... 00 1 ... 0... ... ... ...0 0 ... 1
E
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
.
6 0 . Если в матрице А поменять местами строчки и столбцы то полученная матрица называется т р а н с п о н и р о в а н н о й А t .
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...... ... ... ...
...
n
n
m m mn
a a aa a a
A
a a a
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
, то
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...... ... ... ...
...
m
mt
n n mn
a a aa a a
A
a a a
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
.
6
2. Действия над матрицами Равенство матриц Две матрицы A и B равны между собой, если они одинакового размера и их
соответствующие элементы равны, т.е.
( ), если 1,2,..., ; 1,2,..., .ij ijA B a b i m j n= = = =
Сложение матриц Складывать можно только матрицы одинакового размера по правилу
{ } { } { }{ }
, , ,
.
ij ij ijm n m n m n
ij ij m n
A a B b C c
C A B a b× × ×
×
= = =
= + = +
Пример:
1 2 3 1 3 0 1 1 2 3 3 0 2 5 30 2 1 , 0 2 11 . 0 0 2 2 1 11 0 0 12 .1 2 4 10 0 4 1 10 2 0 4 4 11 2 8
A B C A B+ + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = − = + = + − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Свойства сложения матриц A B B A+ = + ;
( ) ( )A B C A B C A B C+ + = + + = + + . Умножение матрицы на число Чтобы умножить матрицу на число α надо умножить на это число каждый элемент матрицы.
{ } { } { }, , ij ij ijm n m nA a B A B b aα α
× ×= = = =i i .
Пример: 1 2 4 3 1 3 2 3 4 3 6 90 2 1 , 3* 3 0 3 2 3 1 0 6 31 2 4 3 1 3 2 3 4 3 6 12
A B A⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
i i ii i ii i i
.
Свойства умножения матриц ( )A B A Bα α α+ = +i i i ,
( ) A A Aα β α β+ = +i i i ,
( ) ( )A Bα β α β=i i i i .
Вычитание матриц
7
( )11 2 3 1 2 00 2 1 , 0 2 11 .1 2 4 10 0 4
1 1 2 3 3 0 0 1 30 0 2 2 1 11 0 4 10 .1 10 2 0 4 4 9 2 0
A B A B
A B
C A B
− = + −
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠− − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − = − + − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠
i
Произведение двух матриц Умножать можно только те матрицы, для которых число столбцов в первой матрицы равно
числу строк во второй матрицы. Произведением двух матриц
11 12 1
11 12 1 121 22 2
21 22 2 2
1 2
1 2
1 2
...... ......... ...... ... ... ...
, ... ... ... ... ... ......
... ...... ... ... ......
n
j pn
j p
i i in
n n nj np n p
m m mn m n
a a ab b b ba a ab b b b
A Ba a a
b b b ba a a
×
×
⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
называется матрица
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...... ... ...
...
p
p
ij
m m mp m p
c c cc c c
Cc
c c c×
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
,
у которой элемент ijc находится по формуле
1 11
* * ... * , 1, 2,..., ; 1, 2,..., ,n
ij ik kj i j in njk
c a b a b a b i m j p=
= = + + = =∑
т.е. элемент матрицы ijc , стоящий на пересечении i – строки и j -столбца равен сумме произведений элементов i – строки матрицы A на соответствующие элементы j -столбца матрицы B . В результате умножения матрицы A на матрицу B получится матрица C число строк , которой равно числу строк матрицы A , а число столбцов равно числу столбцов матрицы B .
Пример: Перемножить матрицы A и B .
2 2 2 3
2 3 1 2 3, .
1 4 4 5 6
2 1 3 4 2 2 3 5 2 3 3 6 14 19 24.
1 1 4 4 1 2 4 5 1 3 4 6 17 22 27
A B
C A B
× ×
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠+ + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠
i i i i i ii
i i i i i i
Если A B B A=i i , то матрицы коммутативная.
2.1. Равенство матриц
8
Две матрицы A и B равны между собой, если они одинакового размера и их соответствующие элементы равны, т.е.
( ), если 1,2,..., ; 1,2,..., .ij ijA B a b i m j n= = = =
2.2. Сложение матриц
Складывать можно только матрицы одинакового размера по правилу
{ } { } { }{ }
, , ,
.
ij ij ijm n m n m n
ij ij m n
A a B b C c
C A B a b× × ×
×
= = =
= + = +
Пример:
1 2 3 1 3 0 1 1 2 3 3 0 2 5 30 2 1 , 0 2 11 . 0 0 2 2 1 11 0 0 12 .1 2 4 10 0 4 1 10 2 0 4 4 11 2 8
A B C A B+ + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = − = + = + − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Свойства сложения матриц A B B A+ = + ;
( ) ( )A B C A B C A B C+ + = + + = + + .
2.3. Умножение матрицы на число
Чтобы умножить матрицу на число α надо умножить на это число каждый элемент матрицы.
{ } { } { }, , ij ij ijm n m nA a B A B b aα α
× ×= = = =i i .
Пример: 1 2 4 3 1 3 2 3 4 3 6 90 2 1 , 3* 3 0 3 2 3 1 0 6 31 2 4 3 1 3 2 3 4 3 6 12
A B A⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
i i ii i ii i i
.
Свойства умножения матриц ( )A B A Bα α α+ = +i i i ,
( ) A A Aα β α β+ = +i i i ,
( ) ( )A Bα β α β=i i i i .
2.4. Вычитание матриц
9
( )11 2 3 1 2 00 2 1 , 0 2 11 .1 2 4 10 0 4
1 1 2 3 3 0 0 1 30 0 2 2 1 11 0 4 10 .1 10 2 0 4 4 9 2 0
A B A B
A B
C A B
− = + −
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠− − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − = − + − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠
i
2.5. Произведение двух матриц
Умножать можно только те матрицы, для которых число столбцов в первой матрицы равно
числу строк во второй матрицы. Произведением двух матриц
11 12 1
11 12 1 121 22 2
21 22 2 2
1 2
1 2
1 2
...... ......... ...... ... ... ...
, ... ... ... ... ... ......
... ...... ... ... ......
n
j pn
j p
i i in
n n nj np n p
m m mn m n
a a ab b b ba a ab b b b
A Ba a a
b b b ba a a
×
×
⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
называется матрица
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...... ... ...
...
p
p
ij
m m mp m p
c c cc c c
Cc
c c c×
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
,
у которой элемент ijc находится по формуле
1 11
* * ... * , 1, 2,..., ; 1, 2,..., ,n
ij ik kj i j in njk
c a b a b a b i m j p=
= = + + = =∑
т.е. элемент матрицы ijc , стоящий на пересечении i – строки и j -столбца равен сумме произведений элементов i – строки матрицы A на соответствующие элементы j -столбца матрицы B . В результате умножения матрицы A на матрицу B получится матрица C число строк , которой равно числу строк матрицы A , а число столбцов равно числу столбцов матрицы B .
Пример: Перемножить матрицы A и B .
2 2 2 3
2 3 1 2 3, .
1 4 4 5 6
2 1 3 4 2 2 3 5 2 3 3 6 14 19 24.
1 1 4 4 1 2 4 5 1 3 4 6 17 22 27
A B
C A B
× ×
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠+ + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠
i i i i i ii
i i i i i i
Если A B B A=i i , то матрицы коммутативная.
10
Лекция 2. Определители и их свойства Понятия определителя Определителем квадратной матрицы или просто определителем (детерминант) называется
число, которое ставится в соответствие матрице и может быть вычислено по её элементам.
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...det
... ... ... ......
n
n
n n nm
a a aa a a
A
a a a
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥Δ = =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
• Квадратная матрица первого порядка состоит из одного элемента поэтому её определитель равен самому элементу 11 11a aΔ = =
• Определитель второго порядка вычисляется по формуле:
11 1211 22 21 12
21 22
a aa a a a
a aΔ = = −
• Определитель третьего порядка вычисляется по правилу треугольника:
11 12 13
21 22 23 11 22 33 12 23 31 21 32 13 31 22 13 32 23 11 21 12 33
31 32 33
a a aa a a a a a a a a a a a a a a a a a a a aa a a
Δ = = + + − − −
Определение минора Дополнительным минором ijM к элементу ija квадратной матрицы A называется
определитель ( )1n − -го порядка полученный из исходного вычеркиванием i -ой строки и j -ого столбца на пересечении которых данный элемент находится.
Алгебраическое дополнение (адъюнкт)
( )1 .i jij ijA M+= − i
Вычисление определителей Т е о р ем а ( б е з д о к а з а т е л ь с т в ) о р а з л ож е н и и о п р е д е л и т е л я п о
э л е м е н т а м с т р о к и ( с т о л б ц а ) . Для каждой квадратной матрицы A порядка n имеет место формула
1 1 2 21
1 1 2 21
det ... , ĺ ńëč 1, ;
det ... , ĺ ńëč 1, .
n
ik ik i i i i in ink
n
kj kj j j j j nj njk
A a A a A a A a A i n
A a A a A a A a A j n
=
=
Δ = = = + + + =
Δ = = = + + + =
∑
∑
i
i
11
Пример:
( ) ( )
11 11
11 1211 11 12 12 11 22 12 21 11 22 12 21
21 22
11 12 13
21 22 23 11 11 12 12 13 13 11 11 12 12 13 13
31 32 33
22 23 21 23 21 2211 12 13
32 33 31 32 31 32
11 22 33
,
;
a a
a aa A a A A a A a a a a a
a a
a a aa a a a A a A a A a M a M a Ma a a
a a a a a aa a aa a a a a a
a a a
=
Δ = = + = = + = − = −
Δ = = + + = − + =
= − − =
= + 12 23 31 21 32 13 31 22 13 32 23 11 21 12 33a a a a a a a a a a a a a a a+ − − −
Свойства определителей При транспонировании величина определителя не меняется.
; .a b a c
ad bc ad bcń d b d
Δ = = − Δ = = −
Строки и столбцы определителя эквиваленты. Если в определители поменять местами какие-либо две строки (столбца) местами, то
определитель меняет знак.
; .a b b a
ad bc bc adń d d c
Δ = = − Δ = = −
Определитель с двумя одинаковыми столбцами (строками) равен 0. При умножении элементов какого-либо столбца (строки) на число α, определитель
умножается на это число.
; .a b a b
ad bc ad bcń d ń d
αα α α
αΔ = = − = − = Δ
ii i i
i
Если все элементы какого-либо столбца (строки) равны 0 , то определитель равен 0. Если элементы двух строк (столбцов) пропорциональны, то определитель равен 0.
0.a a a a
ac acń ń ń ńβ
ββ
Δ = = = − =
Пусть каждый элемент какого-либо столбца (строки) определителя равен сумме двух слагаемых, тогда этот определитель равен сумме двух определителей, причём в первом их них соответствующий столбец (строка) состоит из первых слагаемых, а во втором - из вторых слагаемых.
' " ' "
' " ' ".
a a b a b a bc c d c d c d+
= ++
Определитель не изменится, если к элементам какого-либо столбца (строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца умноженного на одно и тоже число.
0.a b a b b a b b bc d c d d c d d d
α αα α+
= = + =+
Сумма произведений элементов какого-либо столбца определителя на алгебраического дополнения к элементам другого столбца равна 0.
Прим е р : Вычислить определитель 1. По правилу треугольника
12
2 3 51 2 4 40 36 40 30 64 30 8;3 8 10
= + + − − − = −
2. Разложение по первой строке
( ) ( )2 3 5
2 4 1 4 1 21 2 4 2 3 5 2 12 3 2 5 2 8;
8 10 3 10 3 83 8 10
= − + = − − − + = −i i i i i i
3. Преобразование первого столбца
( )( ) ( ) ( )
2 3 5 1 2 4 1 2 41 2 4 2 3 5 2 1 3 1 2 6 8;3 8 10 3 8 10 0 2 2
Ι× -2 + ΙΙΙ× -3 + ΙΙ
= − = − − − = − ⋅ + =−
1. Понятия определителя Определителем квадратной матрицы или просто определителем (детерминант) называется
число, которое ставится в соответствие матрице и может быть вычислено по её элементам.
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...det
... ... ... ......
n
n
n n nm
a a aa a a
A
a a a
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥Δ = =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
• Квадратная матрица первого порядка состоит из одного элемента поэтому её определитель равен самому элементу 11 11a aΔ = =
• Определитель второго порядка вычисляется по формуле:
11 1211 22 21 12
21 22
a aa a a a
a aΔ = = −
• Определитель третьего порядка вычисляется по правилу треугольника:
11 12 13
21 22 23 11 22 33 12 23 31 21 32 13 31 22 13 32 23 11 21 12 33
31 32 33
a a aa a a a a a a a a a a a a a a a a a a a aa a a
Δ = = + + − − −
2. Определение минора Дополнительным минором ijM к элементу ija квадратной матрицы A называется
определитель ( )1n − -го порядка полученный из исходного вычеркиванием i -ой строки и j -ого столбца на пересечении которых данный элемент находится.
Алгебраическое дополнение (адъюнкт)
( )1 .i jij ijA M+= − i
13
3. Вычисление определителей Теорема (без доказательств) о разложении определителя по элементам строки (столбца). Для
каждой квадратной матрицы A порядка n имеет место формула
1 1 2 21
1 1 2 21
det ... , если 1, ;
det ... , если 1, .
n
ik ik i i i i in ink
n
kj kj j j j j nj njk
A a A a A a A a A i n
A a A a A a A a A j n
=
=
Δ = = = + + + =
Δ = = = + + + =
∑
∑
i
i
Пример:
( ) ( )
11 11
11 1211 11 12 12 11 22 12 21 11 22 12 21
21 22
11 12 13
21 22 23 11 11 12 12 13 13 11 11 12 12 13 13
31 32 33
22 23 21 23 21 2211 12 13
32 33 31 32 31 32
11 22 33
,
;
a a
a aa A a A A a A a a a a a
a a
a a aa a a a A a A a A a M a M a Ma a a
a a a a a aa a aa a a a a a
a a a
=
Δ = = + = = + = − = −
Δ = = + + = − + =
= − − =
= + 12 23 31 21 32 13 31 22 13 32 23 11 21 12 33a a a a a a a a a a a a a a a+ − − −
4. Свойства определителей 1. При транспонировании величина определителя не меняется.
; .a b a c
ad bc ad bcń d b d
Δ = = − Δ = = −
Строки и столбцы определителя эквиваленты. 2. Если в определители поменять местами какие-либо две строки (столбца) местами, то
определитель меняет знак.
; .a b b a
ad bc bc adń d d c
Δ = = − Δ = = −
3. Определитель с двумя одинаковыми столбцами (строками) равен 0. 4. При умножении элементов какого-либо столбца (строки) на число α, определитель
умножается на это число.
; .a b a b
ad bc ad bcń d ń d
αα α α
αΔ = = − = − = Δ
ii i i
i
5. Если все элементы какого-либо столбца (строки) равны 0 , то определитель равен 0. 6. Если элементы двух строк (столбцов) пропорциональны, то определитель равен 0.
0.a a a a
ac acń ń ń ńβ
ββ
Δ = = = − =
7. Пусть каждый элемент какого-либо столбца (строки) определителя равен сумме двух слагаемых, тогда этот определитель равен сумме двух определителей, причём в первом их них соответствующий столбец (строка) состоит из первых слагаемых, а во втором - из вторых слагаемых.
14
' " ' "
' " ' ".
a a b a b a bc c d c d c d+
= ++
8. Определитель не изменится, если к элементам какого-либо столбца (строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца умноженного на одно и тоже число.
0.a b a b b a b b bc d c d d c d d d
α αα α+
= = + =+
9. Сумма произведений элементов какого-либо столбца определителя на алгебраического дополнения к элементам другого столбца равна 0.
Прим е р : Вычислить определитель 1. По правилу треугольника
2 3 51 2 4 40 36 40 30 64 30 8;3 8 10
= + + − − − = −
2. Разложение по первой строке
( ) ( )2 3 5
2 4 1 4 1 21 2 4 2 3 5 2 12 3 2 5 2 8;
8 10 3 10 3 83 8 10
= − + = − − − + = −i i i i i i
3. Преобразование первого столбца
( )( ) ( ) ( )
2 3 5 1 2 4 1 2 41 2 4 2 3 5 2 1 3 1 2 6 8;3 8 10 3 8 10 0 2 2
Ι× -2 + ΙΙΙ× -3 + ΙΙ
= − = − − − = − ⋅ + =−
;8)62()1(220310
421
1083532421
1083421532
)3()2(
−=+⋅−=−−−−=−= +−⋅
+−⋅IIIIIII
15
Лекция 3. Обратная матрица. Решение систем линейных уравнений
1. Обратная матрица Рассмотрим квадратную матрицу
11 12 1
21 22 2
1 2
...
....
... ... ... ......
n
n
n n nn
a a aa a a
A
a a a
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
• Если определитель квадратной матрицы A равен нулю, то матрица называется о с о б е н н о й или вы р ожд е н н о й .
• Если определитель квадратной матрицы A неравен нулю, то матрица называется н е о с о б е н н о й или н е вы р ожд е н н о й .
• Матрица 1A− называется обратной для квадратной невырожденной матрицы A , если произведение 1A A E⋅ − = или 1A A E− ⋅ = , где E - единичная матрица.
Найдем конкретный вид обратной матрицы: 1. Заменим в квадратной невырожденной матрице A каждый элемент его алгебраическим
дополнением ij ija A→ .
2. Протранспонируем полученную матрицу ij ji cA A A A→ → → .
Матрица A называется союзной (присоединенной) для матрицы A . 3. Разделим полученную союзную матрицу на определитель
1 1A A− =Δ
.
11 1ij ij ji ijA a A A A A A−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= → → → → =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦Δ Δ
.
Докажем, что формула 1 1A A− =Δ
дает нам обратную матрицу. Для этого составим
произведение 1 . .A A C C E⋅ − = =
[ ]1
211 2
1 1... , , 0, eńëč ;...
1 1, eńëč .
j
ji i in ij ik jk
jn
AA
A a a a A C a A i j
A
i j
−
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= = = = ≠⎢ ⎥Δ Δ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Δ = =Δ
∑
Пример:
16
1 2 00 3 1 , 1 ?0 1 2
1 2 03 1
det 0 3 1 1 5 01 2
0 1 2
A A
A
⎡ ⎤⎢ ⎥= − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Δ = = = ⋅ = ≠
А11=5 А12=0 А13=0
А21=-4 А22=2 А23=-1 А31=2 А32=-1 А33=3
1
1
4 215 55 4 2
1 2 10 2 1 0 ,5 5 5
0 1 3 1 305 5
4 215 51 2 0 1 0 0
2 10 3 1 0 0 1 05 5
0 1 2 0 0 11 305 5
A
A A E
−
−
⎡ ⎤−⎢ ⎥−⎡ ⎤ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⋅ − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥− ⎢ ⎥⎣ ⎦
⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤−⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⋅ = ⋅ − = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦
Свойства обратных матриц 1. ( )1 1 ;A A− − =
2. ( ) 1 1 1AB B A− = − − ;
3. ( ) 1 ( 1)AT A T− = − .
2. Решение систем линейных уравнений
2.1 Система линейных уравнений
Рассмотрим систему m -линейных уравнений c n-неизвестными. ( )m n≠ 1 2, ,... .x x xn
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
...
................................................
...
n n
n n
n n nn n n
a x a x a x ba x a x a x b
a x a x a x b
+ + + =⎧⎪ + + + =⎪⎨⎪⎪ + + + =⎩
(1)
17
где 11,..., mna a -коэффициенты системы - ija ,
1,..., mb b - свободные члены- ib .
Система, имеющая решения называется с о в м е с т н о й , не имеющая решения называется н е с о вм е с т н о й .
Обозначим: ij m nA a
×⎢ ⎥= ⎣ ⎦ - матрицей системы,
1
1
...
...
m m
b
B
b×
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
- матрица сводных членов,
1
2
1
...
n n
xx
X
x×
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
- матрица неизвестных.
Тогда, пользуясь правилами умножения матриц, система записывается в матричном виде: A X B⋅ = ( 2 )
2.2 Решение систем линейных уравнений матричным методом
Рассмотрим случай, когда m n≠ , т.е. число уравнений равно числу неизвестных. Предположим, что матрица A несобственная, т.е. det 0A = Δ ≠ , значит она имеет обратную
1A− . Тогда умножив равенство (2) на 1A− слева получим: 1 1A A A B− −⋅ = ⋅ . Учитывая, что 1 , A A E E X X− ⋅ = ⋅ = , будем иметь 1X A B−= ⋅ (3). Равенство (3)
представляет собой матричную запись решения системы (1). Матричный метод применим к решению систем уравнений, где число уравнений равно
числу неизвестных. Метод удобен для решения систем невысокого порядка. Метод основан на применении свойств умножения матриц.
2.3 Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера
Данный метод также применим только в случае систем линейных уравнений, где число переменных совпадает с числом уравнений. Кроме того, необходимо ввести ограничения на коэффициенты системы. Необходимо, чтобы все уравнения были линейно независимы, т.е. ни одно уравнение не являлось бы линейной комбинацией остальных.
Для этого необходимо, чтобы определитель матрицы системы не равнялся 0. Действительно, если какое- либо уравнение системы есть линейная комбинация остальных, то если к элементам какой- либо строки прибавить элементы другой, умноженные на какое-либо число, с помощью линейных преобразований можно получить нулевую строку. Определитель в этом случае будет равен нулю.
Используя, вид матриц 1, , ,A A X B− распишем выражение 1X A−= ⋅ B в следующем виде:
[ ] ( )1 1
2 21 2
1
1 1... , 4 , çäĺ ńü det .... ...
ni
i i i ni ki kk
n n
x bx b
x A A A A b A
x b=
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ Δ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = ⋅ = = Δ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥Δ Δ Δ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∑
Значит ( ) ( ), 1,..., 5 , ăäĺ 1, 2,...,ii ix i n i nΔ= = Δ =Δ
- определитель, полученный
из Δ заменой i -ого столбца свободными членами
18
11 1 1
21 2 21
1
...
...... ... ... ...
...
n
i
n n nn
a b aa b a
a b a
Δ = .
Формулы (5) называют формулами Крамера. Прим е р . Решите систему линейных уравнений:
1 2
2 3
2 3
2 5;3 9;
2 8.
x xx xx x
+ =⎧⎪ + =⎨⎪ + =⎩
• Метод обратной матрицы.
11
2
3
1
1 2 0 5 1 4 / 5 2 / 50 3 1 , 9 , , 0 2 / 5 1/ 5 .0 1 2 8 0 1/ 5 3/ 5
1 4 / 5 2 / 5 5 10 2 / 5 1/ 5 9 2 .0 1/ 5 3/ 5 8 3
xA B X x A
x
X A B
−
−
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = = = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⋅ = − ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
• Формулы Крамера.
1 2
31 23 1 2 3
1 2 0 5 2 0 1 5 00 3 1 5 0, 9 3 1 5 5 2 10 5, 0 9 1 1 10 10,0 1 2 8 1 2 0 8 2
1 2 55 10 150 3 9 15, 1, 2, 3.5 5 5
0 1 8x x x
=Δ = = ≠ Δ = ⋅ − ⋅ = Δ = = ⋅ =
ΔΔ ΔΔ = = = = = = = = = = =Δ Δ Δ
Ранг матрицы
( ), min , .ij m nA a t m n
×⎢ ⎥= ≤⎣ ⎦
Выделим произвольно t-строк и t-столбцов. Определитель порядка t , составленный из элементов стоящих на пересечении выделенных t -строк и t -столбцов называется порожденным матрицей A .
Прим е р :
( ) 2 23 4
3 4
1 2 3 45 6 7 8 , min 3, 4 3, 3 4 12.9 8 7 6
A t C C
×
⎡ ⎤⎢ ⎥= ≤ = ⋅ = ⋅ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Р а н г ом м а т р и цы называется натуральное число равное наибольшему из порядков определителей отличных от нуля среди порожденных данной матрицей.
Если RgA r= , значит 1. Существует определитель порядка 0r ≠ ;
19
2. Все определители порядка больше чем r обращается в нуль. Теорема о ранге матрицы.
Ранг матрицы A не изменится, если: 1. Строки заменить столбцами(транспонировать); 2. Поменять местами два столбца (строки); 3. Умножить каждый элемент столбца на одно и тоже число отличное от нуля. 4. Сложить два столбца(строки) . Доказательство теоремы полностью основывается на свойствах определителей.
Вычисление ранга матрицы. Преобразование матрицы в трапециевидную.
II-2(I)III-7(I) II*(-1)
3 4
1 ... ... ... ...0 1 ... ... ... .0 0 1 ... ...
2 7 3 1 1 7 3 2 1 7 3 23 5 2 2 2 5 2 3 0 9 4 1 9 4 1 7 7 4 1 9 0 45 20 5
1 2 30 1 40 5 20
RgA Rg Rg Rg
Rg
×
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = = − − − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
=− −
II*5+III
7 1 2 39 0 1 445 0 0 0
Rg⎡ ⎤⎢ ⎥ =⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
79 20
⎡ ⎤⎢ ⎥ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
20
Лекция 4. Исследование систем линейных уравнений Опр е д е л е н и е . Система m уравнений с n неизвестными в общем виде записывается
следующим образом:
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
......
...............................................
n n
n n
m m mn n m
a x a x a x ba x a x a x b
a x a x a x b
+ + + =⎧⎪ + + + =⎪⎨⎪⎪ + + + =⎩
,
где ija – коэффициенты, а ib – постоянные. Решениями системы являются n чисел, которые при подстановке в систему превращают каждое ее уравнение в тождество.
Опр е д е л е н и е . Система называется о п р е д е л е н н о й , если она имеет только одно решение и н е о п р е д е л е н н о й , если более одного.
Опр е д е л е н и е . Для системы линейных уравнений матрица
11 12 1
21 22 2
1 2 1
...
...... ... ... ...
...
n
n
m m mn
a a aa a a
A
a a a
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
называется матрицей системы, а матрица
11 12 1 1
21 22 2 2*
1 1
...
...... ... ... ... ...
...
n
n
m m mn m
a a a ba a a b
A
a a a b
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
называется расширенной матрицей системы
К элементарным преобразованиям относятся: 1) Прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого,
умноженных на одно и то же число, не равное нулю. 2) Перестановка уравнений местами. 3) Удаление из системы уравнений, являющихся тождествами для всех
1. Теорема Кронекера – Капели (условие совместности системы) Для того чтобы система линейных уравнений была совместна необходимо и достаточно
чтобы ранг её матрицы был равен рангу расширенной матрицы системы pRgA RgA= .
Если ранг матрицы A равен рангу расширенной матрицы и равен n числу неизвестных, то система имеет единственное решение.
Если ранг матрицы A равен рангу расширенной матрицы, но меньше n числа неизвестных, то система имеет бесконечное число решений.
Если ранг матрицы A меньше ранга расширенной матрицы и равен n числу неизвестных, то система не имеет решения.
pRgA RgA r n= = < .
Решаем данную систему так: 1. Выделим любые r уравнений и r неизвестных, но так чтобы определитель был отличен
от нуля.
1 2, ,... rx x x - основные (базисные) переменные;
1 2, ,...r r nx x x+ + - свободные переменные.
21
2. Перенесем слагаемые со свободными неизвестными в правую часть. 3. Решим полученную систему относительно основных переменных, предавая свободным
переменным произвольные значения, получим для основных переменных бесконечное множество решений.
Прим е р . Опр е д е л и т ь с о в м е с т н о с т ь с и с т е мы л и н е й ны х у р а в н е н и й :
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
3 5 7 9 12 3 4 5 2
2 11 12 25 22 4
x x x x xx x x x xx x x x x
+ + + + =⎧⎪ − + − + =⎨⎪ + + + + =⎩
1 3 5 7 9 1 3 5 7 9 1 3 5 7 91 2 3 4 5 3 9 15 21 27 1 3 5 7 92 11 12 25 22 2 11 12 25 22 2 11 12 25 22
1 3 5 7 9 1 311 6 5 0 2
2 11 12 25 22 2 11
1 3 5 7 9 1 1 3 5 7 9 11 2 3 4 5 2 0 0 0 0 0 12 11 12 25 22 4 2 11 12 25 22 4
A
RgA
A
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞= − = ≠ =⎜ ⎟
⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟= − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝
∼ ∼ ∼
∼ i i
∼ * 3RgA⎞
⎜ ⎟ =⎜ ⎟⎜ ⎟
⎠
i
Система несовместна. Прим е р : Исследовать и решить систему уравнений.
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 7 3 6;3 5 2 2 4;9 4 7 2.
x x x xx x x xx x x x
+ + + =⎧⎪ + + + =⎨⎪ + + + =⎩
( )2 7 3 1 6 1 7 3 2 6 1 7 3 1 63 5 2 2 4 2 5 2 3 4 0 9 4 1 8 59 4 1 7 2 7 4 1 9 2 0 45 20 5 40
1 7 3 2 60 9 4 1 80 0 0 0 0
pRgA Rg Rg Rg
Rg
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = = − − − − ⋅ − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤⎢ ⎥= − − − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
2 4pRgA RgA= = < - система имеет бесчисленное множество решений.
1 2;x x - основные переменные, 0rΔ ≠ (первые два уравнения);
3 4;x x - свободные переменные.
1 2 3 4
1 2 3 4
2 7 6 3 ;3 5 4 2 2 .x x x xx x x x+ = − −⎧
⎨ + = − −⎩
22
( )
( )
3 4 11 3 4 1 3 4
3 4
3 4 22 3 4 2 3 4
3 4
3 3 4 4
2 711 0;
3 5
6 3 7 12 9 ; 2 9 ;4 2 2 5 11
2 6 3 110 5 ; 10 5 ;3 4 2 2 10
, .
x xx x x x x
x x
x xx x x x x
x xx x x x
Δ = = − ≠
− − ΔΔ = = − + = = − + +− − Δ
− − ΔΔ = = − + − = = − +− − Δ
= =
( )
( )
1
2
3
4
1 2 9 ,111 10 5 ,11
,.
x
x
xx
α β
α β
αβ
⎧ = − + −⎪⎪⎪ = − +⎨⎪
=⎪⎪ =⎩
2. Метод Гаусса В отличие от матричного метода и метода Крамера, метод Гаусса может быть применен к
системам линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных. Суть метода заключается в последовательном исключении неизвестных.
Рассмотрим систему линейных уравнений:
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
......
...............................................
n n
n n
m m mn n m
a x a x a x ba x a x a x b
a x a x a x b
+ + + =⎧⎪ + + + =⎪⎨⎪⎪ + + + =⎩
Прим е р . Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 52 3 3
7 10
x x xx x xx x x
+ − =⎧⎪ − + = −⎨⎪ + − =⎩
Составим расширенную матрицу системы. 2 1 1 5 1 2 3 3 1 2 3 3 1 2 3 3
* 1 2 3 3 2 1 1 5 0 5 7 11 0 5 7 117 1 1 10 7 1 1 10 0 15 22 31 0 0 1 2
A− − − − − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − − − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∼ ∼ ∼
Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:
1 2 3
2 3
3
2 3 35 7 11
2
x x xx xx
− + = −⎧⎪ − =⎨⎪− = −⎩
, откуда получаем: 3 2 12, 5, 1.x x x= = =
Решение однородных систем Однородные системы линейных уравнений. Однородная система линейных уравнений- эта система вида
23
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
1 1 2 2
... 0... 0
............................................... 0
n n
n n
m m mn n
a x a x a xa x a x a x
a x a x a x
+ + + =⎧⎪ + + + =⎪⎨⎪⎪ + + + =⎩
Т е о р ем а : Если ранг матрица A равен числу неизвестных, то система имеет единственное тривиальное (нулевое) решение ( 1 2 ... 0nx x x= = = = ).
Если ранг матрицы A меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений. RgA r= , то r – переменных основных, а
( )r n− - свободных.
Прим е р :
2 0,2 0,
2 3 0.
x y zx y zx y z
+ − =⎧⎪ + + =⎨⎪ − + =⎩
2 1 1 1 2 1 1 2 11 2 1 0 3 3 0 1 1 32 1 3 0 5 1 0 0 6
RgA Rg Rg Rg n− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = − − = = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
- то уравнение имеет
решение 0x y z= = = . Пример:
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
5 5 10 0;3 7 0;
7 4 3 0.
x x x xx x x xx x x x
− + − =⎧⎪ + + + =⎨⎪ + + + =⎩
5 5 10 1 1 7 4 3 1 7 4 33 1 7 1 0 20 5 8 0 20 5 8 2 41 7 4 3 0 40 10 16 0 0 0 0
RgA Rg Rg Rg− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = − − − = − − − = <⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
1 2;x x - основные переменные, 0rΔ ≠ (первые два уравнения);
3 4;x x - свободные переменные.
1 2 3 4
1 2 3 4
5 5 10 ,3 7 .x x x xx x x x− = − +⎧
⎨ + = − −⎩
( )
( )
3 4 11 3 4 1 3 4
3 4
3 4 22 3 4 2 3 4
3 4
3 3 4 4
5 520 0;
3 1
10 5 145 6 ; 45 6 ;7 1 20
5 10 15 2 ; 5 2 ;3 7 20
, .
x xx x x x x
x x
x xx x x x x
x xx x x x
−Δ = = ≠
− + − ΔΔ = = − + = = − +− + Δ
− + ΔΔ = = − + = = − +− + Δ
= =
24
( )
( )
1
2
3
4
1 45 6 ,201 5 2 ,20
,.
x
x
xx
α β
α β
αβ
⎧ = − +⎪⎪⎪ = +⎨⎪
=⎪⎪ =⎩
25
Лекция 5. Основные понятия векторной алгебры Опр е д е л е н и е . Ве к т о р ом называется направленный отрезок (упорядоченная пара
точек). К векторам относится также и нулевой вектор, начало и конец которого совпадают. Опр е д е л е н и е . Длин о й (мо д у л ем ) вектора называется расстояние между началом
и концом вектора. AB α=
Опр е д е л е н и е . Векторы называются к о л л и н е а р ными , если они расположены на одной или параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.
Опр е д е л е н и е . Векторы называются к ом п л а н а р ными , если существует плоскость, которой они параллельны.
Коллинеарные векторы всегда компланарны, но не все компланарные векторы коллинеарны. Опр е д е л е н и е . Векторы называются р а в ными , если они коллинеарны, одинаково
направлены и имеют одинаковые модули. Всякие векторы можно привести к общему началу, т.е. построить векторы, соответственно
равные данным и имеющие общее начало. Из определения равенства векторов следует, что любой вектор имеет бесконечно много векторов, равных ему.
Опр е д е л е н и е . Лин е й ными о п е р а ц и ями над векторами называется сложение и умножение на число.
Суммой векторов является вектор - c a b= +
Произведение - ; b a b aα α= = , при этом a коллинеарен b .
Вектор a сонаправлен с вектором ( )b a b↑↑ , если 0α > .
Вектор a противоположно направлен с вектором ( )b a b↑↓ , если 0α > .
1. Свойства векторов
1) a b b a+ = + - коммутативность.
2) ( ) ( )a b c b a c+ + = + +
3) 0a a+ =
4) ( )1 0a a+ − =
5) ( ) ( )a aαβ α β= – ассоциативность
6) ( )a a aα β α β+ = + - дистрибутивность
7) ( )a b a bα α α+ = +
8) 1 a a⋅ = Опр е д е л е н и е . 1) Б а з и с ом в пространстве называются любые 3 некомпланарных вектора, взятые в
определенном порядке. 2) Б а з и с ом на плоскости называются любые 2 неколлинеарные векторы, взятые в
определенном порядке. 3)Б а з и с ом на прямой называется любой ненулевой вектор. Опр е д е л е н и е . Если 1 2 3, ,e e e - базис в пространстве и 1 2 3a e e eα β γ= + + , то числа , ,α β γ
- называются к омп о н е н т а м и и л и к о о р д и н а т а м и вектора a в этом базисе. В связи с этим можно записать следующие с в о й с т в а :
26
• равные векторы имеют одинаковые координаты, • при умножении вектора на число его компоненты тоже умножаются на это число,
( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 3a e e e e e eλ λ α β γ λα λβ λγ= + + = + +
• при сложении векторов складываются их соответствующие компоненты.
( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3
1 1 1 2 2 2 3 3 3
; ;
.
a e e e b e e e
a b e e e
α α α β β β
α β α β α β
= + + = + +
+ = + + + + +
2. Линейная зависимость векторов Опр е д е л е н и е . Векторы 1,..., na a называются л и н е й н о з а в и с имыми , если
существует такая линейная комбинация 1 1 2 2 ... 0n na a aα α α+ + + = , при не равных нулю одновременно αi , т.е. 2 2 2
1 2 ... 0nα α α+ + + ≠ . Если же только при 0iα = выполняется
1 1 2 2 ... 0n na a aα α α+ + + = , то векторы называются линейно независимыми.
Св о й с т в о 1 . Если среди векторов ia есть нулевой вектор, то эти векторы линейно зависимы.
Св о й с т в о 2 . Если к системе линейно зависимых векторов добавить один или несколько векторов, то полученная система тоже будет линейно зависима.
Св о й с т в о 3 . Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов раскладывается в линейную комбинацию остальных векторов.
Св о й с т в о 4 . Любые 2 коллинеарных вектора линейно зависимы и, наоборот, любые 2 линейно зависимые векторы коллинеарны.
Св о й с т в о 5 . Любые 3 компланарных вектора линейно зависимы и, наоборот, любые 3 линейно зависимые векторы компланарны.
Св о й с т в о 6 . Любые 4 вектора линейно зависимы.
*Декартова система координат* Зафиксируем в пространстве точку О и рассмотрим произвольную точку М. Вектор OM
назовем радиус- вектором точки М. Если в пространстве задать некоторый базис, то точке М можно сопоставить некоторую тройку чисел – компоненты ее радиус- вектора.
Опр е д е л е н и е . Де к а р т о в о й с и с т е м о й к о о р д и н а т в пространстве называется совокупность точки и базиса. Точка называется н а ч а л ом к о о р д и н а т . Прямые, проходящие через начало координат называются о с ям и к о о р д и н а т .
1-я ось – ось а б с ц и с с , 2-я ось – ось о р д и н а т , 3-я ось – ось а п п л и к а т Чтобы найти компоненты вектора нужно из координат его конца вычесть координаты
начала Если заданы точки ( ) ( )1 1 1 2 2 2, , , , ,A x y z B x y z , то ( )2 1 2 1 2 1, ,AB x x y y z z= − − − .
Опр е д е л е н и е . Базис называется о р т о н о рми р о в а н ным , если его векторы попарно ортогональны и равны единице.
Опр е д е л е н и е . Декартова система координат, базис которой ортонормирован называется д е к а р т о в о й п р ям о у г о л ь н о й с и с т е м о й к о о р д и н а т .
27
Дли н а в е к т о р а в к о о р д и н а т а х определяется как расстояние между точками начала и конца вектора. Если заданы две точки в пространстве
( ) ( )1 1 1 2 2 2, , , , ,A x y z B x y z , то ( ) ( ) ( )2 2 22 1 2 1 2 1AB x x y y z z= − + − + − .
Если точка М(х, у, z) д е л и т о т р е з о к АВ в с о о т н ош е н и и λ /μ , считая от А, то координаты этой точки определяются как:
1 2 1 2 1 2; ; .x x y y z zx y zμ λ μ λ μ λμ λ μ λ μ λ+ + += = =+ + +
В частном случае координаты с е р е д и ны о т р е з к а находятся как:
1 2 1 2 1 2; ; .2 2 2
x x y y z zx y z+ + += = =
Линейные операции над векторами в координатах. Пу с т ь з а д а ны в е к т о ры в п р ям о у г о л ь н о й с и с т е м е к о о р д и н а т
( ) ( ), , ; , ,A A A B B Ba x y z b x y z тогда линейные операции над ними в координатах имеют вид:
( ) ( ); ; ; , ,A B A B A B A A Aa b c x x y y z z a x y zα α α α+ = + + +
28
Лекция 6. Скалярное произведение векторов Опр е д е л е н и е . Ск а л я р ным п р о и з в е д е н и ем в е к т о р о в a и b называется
число, равное произведению длин этих сторон на косинус угла между ними. cosa b a b ϕ⋅ =
Свойства скалярного произведения:
( )( ) ( ) ( )
2;
0, ĺ ńëč čëč =0 čëč 0.
;
;
a a a
a b a b a b
a b b a
a b c a b a c
ma b a mb m a b m const
⋅ =
⋅ = ⊥ =
⋅ = ⋅
+ = ⋅ + ⋅
⋅ = ⋅ = ⋅ =
Если рассматривать векторы ( ) ( ), , ; , ,a a a b b ba x y z b x y z в декартовой прямоугольной системе
координат, то a b a b a ba b x x y y z z⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ ;
Используя полученные равенства, получаем формулу для вычисления угла между
векторами: cos a b a b a bx x y y z za b
ϕ + +=⋅
Прим е р . Найти ( )( )5 3 2a b a b+ − , если 2, 3, .a b a b= = ⊥ 2 2
10 5 6 3 10 3 40 27 13,a a a b a b b b a b⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ = − = − =
т.к. 2 2
4, 9, 0.a a a b b b a b⋅ = = ⋅ = = ⋅ =
Прим е р . Найти угол между векторами a и b , если 2 3a i j k= + + , 6 4 2b i j k= + − . Т.е.
( ) ( )1, 2,3 , 6, 4, 2 . 6 8 6 8 :
1 4 9 14; 36 16 4 56.
8 8 4 2 2cos ; arccos .14 7 714 56 2 14 14
a b a b
a b
ϕ ϕ
= = − ⋅ = + − =
= + + = = + + =
= = = = =
29
Лекция 7. Векторное и смешанное произведение векторов
1. Векторное произведение
Опр е д е л е н и е . Векторным произведением векторов a и b называется вектор c , удовлетворяющий следующим условиям:
1) sinc a b ϕ= ⋅ , где ϕ - угол между векторами a и b ,
sin 0;0 .ϕ ϕ π≥ ≤ ≤
2) вектор c ортогонален векторам a и b
3) , ,a b c образуют правую тройку векторов.
Обозначается: или , .c a b c a b⎡ ⎤= × = ⎣ ⎦
Свойства векторного произведения векторов: 1) ;b a a b× = − ×
2) 0, если или 0 или 0;a b a b a b× = = =
3) ( ) ( ) ( );ma b a mb m a b× = × = ×
4) ( ) ;a b c a b a c× + = × + ×
5) Если заданы векторы ( ) ( ), , и , ,a a a b b ba x y z b x y z в декартовой прямоугольной системе
координат с единичными векторами , ,i j k , то a a a
b b b
i j ka b x y z
x y z× = ;
6) Геометрическим смыслом векторного произведения векторов является площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b .
Прим е р . Найти векторное произведение векторов 2 5a i j k= + + и 2 3b i j k= + − .
( ) ( )2,5,1 , 1,2, 3
5 1 2 1 2 52 5 1 17 7
2 3 1 3 1 21 2 3
a b
i j ka b i j k i j k
= = −
× = = − + = − + −− −
−
30
2. Смешанное произведение векторов
Опр е д е л е н и е . См еш а н ным п р о и з в е д е н и е м векторов , ,a b c называется число, равное скалярному произведению вектора a на вектор, равный векторному произведению векторов ,b c .
Обозначается a b c⋅ ⋅ или ( ), ,a b c .
Смешанное произведение a b c⋅ ⋅ по модулю равно объему параллелепипеда, построенного на векторах , ,a b c .
Свойства смешанного произведения: 1)Смешанное произведение равно нулю, если: а) хоть один из векторов равен нулю; б) два из векторов коллинеарны; в) векторы компланарны.
2) ( ) ( )a b c a b c× ⋅ = ⋅ ×
3) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , , , , , , , , ,a b c b c a c a b b a c c b a a c b= = = − = − = −
4) ( ) ( ) ( )1 2 1 2, , , , , ,a a b c a b c a b cλ μ λ μ+ = +
5) Объем треугольной пирамиды, образованной векторами , ,a b c , равен ( )1 , ,6a b c
6)Если ( ) ( ) ( )1 1 1 2 2 2 3 3 3, , , , , , , ,a x y z b x y z c x y z= = = , то ( )1 1 1
2 2 2
3 3 3
, ,x y z
a b c x y zx y z
=
Прим е р . Доказать, что точки ( ) ( ) ( ) ( )5,7, 2 , 3,1, 1 , 9, 4, 4 , 1,5,0A B C D− − лежат в одной
плоскости.
Найдем координаты векторов:
( )( )( )
2; 6;1
4; 3; 2
4; 2;2
AB
AC
AD
= − −
= − −
= − −
Найдем смешанное произведение полученных векторов: ,
2 6 1 2 6 1 0 6 14 3 2 0 15 0 0 15 0 04 2 2 0 10 0 0 10 0
AB AC AD− − − − −
⋅ ⋅ = − − = − = − =− −
Таким образом, полученные выше векторы компланарны, следовательно точки A, B, C и D лежат в одной плоскости.
Прим е р . На й т и о б ъ ем п и р ам и ды и д л и н у вы с о ты , о п ущ е н н о й н а
г р а н ь B C D , е с л и в е ршины им ею т к о о р д и н а ты A ( 0 ; 0 ; 1 ) , B ( 2 ; 3 ; 5 ) , C ( 6 ; 2 ; 3 ) , D ( 3 ; 7 ; 2 ) .
31
Найдем координаты векторов:
( )( )( )
2, 3, 4
1;4; 3
4; 1; 2
BA
BD
BC
= − − −
= −
= − −
Объем пирамиды
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )3
2 3 41 11 4 3 2 8 3 3 2 12 4 1 166 6
4 1 21 22 30 68 206
V
eд
− − −= = − = − − − + − + − − − =
− −
= + + =
Для нахождения длины высоты пирамиды найдем сначала площадь основания BCD.
( ) ( ) ( )
( )( )
2 2 2
2
1 4 3 8 3 2 12 1 16 11 10 17 .4 1 2
11 10 17 121 100 289 510
510 / 2
3 120 4 510. . ; .3 17510
i j kBD BC i j k i j k
BD BC
Sосн ед
Sосн h VT к V h едSосн
× = − = − − − − + + − − = − − −− −
× = + + = + + =
=
⋅= = = =
32
Лекция 8. Понятие линии на плоскости
1. Уравнение линии на плоскости Как известно, любая точка на плоскости определяется двумя координатами в какой- либо
системе координат. Системы координат могут быть различными в зависимости от выбора базиса и начала координат.
Опр е д е л е н и е . Ур а в н е н и е м л и н и и называется соотношение ( )y f x= между координатами точек, составляющих эту линию.
Отметим, что уравнение линии может быть выражено параметрическим способом, то есть каждая координата каждой точки выражается через некоторый независимый параметр t. Характерный пример – траектория движущейся точки. В этом случае роль параметра играет время.
2. Уравнение прямой на плоскости Опр е д е л е н и е . Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого
порядка 0Ax By C+ + = , причем постоянные ,A B не равны нулю одновременно, т.е. 2 2 0A B+ ≠ . Это уравнение первого порядка называют о бщим у р а в н е н и е м п р ям о й .
В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи: • – прямая проходит через начало координат • { }0, 0, 0 0C A B By C= ≠ ≠ + = - прямая параллельна оси Ох
• { }0, 0, 0 0B A C Ax C= ≠ ≠ + = – прямая параллельна оси Оу
• 0, 0B C A= = ≠ – прямая совпадает с осью Оу • 0, 0A C B= = ≠ – прямая совпадает с осью Ох Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких –
либо заданных начальных условий.
3. Уравнение прямой по точке и вектору нормали Опр е д е л е н и е . В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами
(А,В) перпендикулярен прямой , заданной уравнением 0.Ax By C+ + =
Прим е р . Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1,2) перпендикулярно вектору ( )3, 1n − .
Составим при А=3 и В=-1 уравнение прямой: 3 0x y C− + = . Для нахождения коэффициента С подставим в полученное выражение координаты заданной точки А. Получаем: 3 2 0C− + = , следовательно С=-1.
Итого: искомое уравнение: 3 1 0x y− − = .
4. Уравнение прямой, проходящей через две точки Пусть в пространстве заданы две точки M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2), тогда уравнение прямой,
проходящей через эти точки:12
1
12
1
12
1
zzzz
yyyy
xxxx
−−
=−−
=−−
Если какой-либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель.
33
На плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается: )( 112
121 xx
xxyy
yy −−−
=− , если
1 2x x≠ и 1x x= , если 1 2x x= .
Дробь 12
12
xxyy
−− = k называется у г л о вым к о эфф и ц и е н т ом п р ям о й .
5. Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту Если общее уравнение прямой 0Ax By C+ + = привести к виду:
BCx
BAy −−= и обозначить bkxyетb
BCk
BA +==−=− ..;; , то полученное уравнение
называется у р а в н е н и ем п р ям о й с у г л о вым к о э ффи ц и е н т ом k .
6. Уравнение прямой по точке и направляющему вектору По аналогии с пунктом, рассматривающим уравнение прямой через вектор нормали можно
ввести задание прямой через точку и направляющий вектор прямой. Опр е д е л е н и е . Каждый ненулевой вектор ( )1 2,а α α , компоненты которого
удовлетворяют условию 1 2 0A Bα α+ = называется направляющим вектором прямой 0Ax By C+ + = .
Прим е р . Найти уравнение прямой с направляющим вектором а (1,-1) и проходящей через точку А(1,2).
Уравнение искомой прямой будем искать в виде: 0Ax By C+ + = . В соответствии с определением, коэффициенты должны удовлетворять условиям: ( )1 1 0A B+ − = , т.е. A B= . Тогда уравнение прямой имеет вид: 0Ax Ay C+ + = , или / 0x y C A+ + = . при х=1, у=2 получаем С/A=-3, т.е. искомое уравнение: 3 0x y+ − =
7. Уравнение прямой в отрезках Если в общем уравнении прямой 0, 0Ax By C C+ + = ≠ , то, разделив на –С,
получим: 1=−− уСВх
СА или 1=+
by
ax , где
BCb
ACa −=−= ;
Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения прямой с осью Оу.
8. Нормальное уравнение прямой
Если обе части уравнения 0Ax By C+ + = разделить на число 22
1BA +
±=μ , которое
называется н о рм и р ующем мн ожи т е л е м , то получим cos sin 0x y pϕ ϕ+ − = – нормальное уравнение прямой.
Знак ± нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы 0Cμ < .
р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а ϕ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох
34
9. Угол между прямыми на плоскости
Опр е д е л е н и е . Если заданы две прямые 1 1 2 2,y k x b y k x b= + = + , то острый угол между
этими прямыми будет определяться как 21
12
1 kkkk
tg+−
=α .
Дв е п р ямы е п а р а л л е л ь ны , е с л и 1 2k k= . Дв е п р я мы е п е р п е н д и к у л я р ны , е с л и 1 21/k k= − .
Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой Опр е д е л е н и е . Прямая, проходящая через точку М1(х1,у1) и перпендикулярная к прямой
y kx b= + представляется уравнением:
)(111 xx
kyy −−=−
10. Расстояние от точки до прямой Т е о р ем а . Если задана точка М(х0, у0), то расстояние до прямой 0Ax By C+ + =
определяется как 22
00
BA
CByAxd
+
++= .
Прим е р . Определить угол между прямыми: 3 7, 2 1y x y x= − + = + .
1 22 ( 3)3, 2 1; / 4.
1 ( 3)2k k tgϕ ϕ π− −= − = = = =
− −
Прим е р . По к а з а т ь , ч т о п р ямы е 3 5 7 0x y− + = и 10 6 3 0x y+ − = п е р п е н д и к у л я р ны .
Находим: 1 2 1 23 / 5, 5 / 3, 1k k k k= = − = − , следовательно, прямые перпендикулярны.
Прим е р . Да ны в е ршины т р е у г о л ь н и к а А ( 0 ; 1 ) , B ( 6 ; 5 ) , C ( 1 2 ; - 1 ) .
Най т и у р а в н е н и е вы с о ты , п р о в е д е н н о й и з в е ршины С .
Находим уравнение стороны :AB4
16
;151
060 −=
−−=
−− yxyx ; 4 6 6x y= − ;
22 3 3 0; 1.3
x y y x− + = = +
Искомое уравнение высоты имеет вид: 0Ax By C+ + = или 32
y kx bk= + = − Тогда
32
y x b= − + . Т.к. высота проходит через точку С, то ее координаты удовлетворяют данному
уравнению: ,12231 b+−=− откуда b=17. Итого: 17
23 +−= xy .
Ответ: 3 2 34 0x y+ − = .
35
Лекция 9. Плоскость и прямая в пространстве
1. Общее уравнение плоскости Опр е д е л е н и е . Пл о с к о с т ью называется поверхность, все точки которой
удовлетворяют общему уравнению: 0Ax By Cz D+ + + = , где А, В, С – координаты вектора
kCjBiAN ++= -в е к т о р н о рм а л и к п л о с к о с т и . Возможны следующие частные случаи:
0A = – плоскость параллельна оси Ох 0B = – плоскость параллельна оси Оу 0C = – плоскость параллельна оси Оz 0D = – плоскость проходит через начало координат
0A B= = – плоскость параллельна плоскости хОу 0A C= = – плоскость параллельна плоскости хОz 0B C= = – плоскость параллельна плоскости yOz 0A D= = – плоскость проходит через ось Ох 0B D= = – плоскость проходит через ось Оу 0C D= = – плоскость проходит через ось Oz
0A B D= = = – плоскость совпадает с плоскостью хОу 0A C D= = = – плоскость совпадает с плоскостью xOz 0B C D= = = – плоскость совпадает с плоскостью yOz
2. Уравнение поверхности в пространстве Опр е д е л е н и е . Любое уравнение, связывающее координаты x, y, z любой точки
поверхности является уравнением этой поверхности.
3. Уравнение плоскости, проходящей через три точки Для того, чтобы через три какие- либо точки пространства можно было провести
единственную плоскость, необходимо, чтобы эти точки не лежали на одной прямой. Рассмотрим точки М1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3) в общей декартовой системе
координат. Для того, чтобы произвольная точка ( ), ,M x y z лежала в одной плоскости с точками
1 2 3, ,M M M необходимо, чтобы векторы MMMMMM 13121 ,, были компланарны, т.е
( MMMMMM 13121 ,, ) = 0. Таким образом,
};;{
};;{
};;{
13131331
12121221
1111
zzyyxxMM
zzyyxxMM
zzyyxxMM
−−−=
−−−=
−−−=
Уравнение плоскости, проходящей через три точки: 0
131313
121212
111
=−−−−−−−−−
zzyyxxzzyyxxzzyyxx
36
4. Уравнение плоскости по двум точкам и вектору, коллинеарному плоскости
Пусть заданы точки М1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2) и вектор 1 2 3( , , )a a a a= .
Составим уравнение плоскости, проходящей через данные точки М1 и М2 и произвольную точку М(х, у, z) параллельно вектору a .
Векторы };;{
};;{
12121221
1111
zzyyxxMM
zzyyxxMM
−−−=
−−−=и вектор ),,( 321 aaaa = должны быть
компланарны, т.е. ( aMMMM ,, 211 ) = 0.Уравнение плоскости: 0
321
121212
111
=−−−−−−
aaazzyyxxzzyyxx
5. Уравнение плоскости по одной точке и двум векторам, коллинеарным плоскости
Пусть заданы два вектора 1 2 3( , , )a a a a= и 1 2 3( , , )b b b b= , коллинеарные плоскости. Тогда для
произвольной точки М(х, у, z), принадлежащей плоскости, векторы 1, ,a b MM должны быть компланарны.
Уравнение плоскости: 0
321
321
111
=−−−
bbbaaazzyyxx
.
6. Уравнение плоскости по точке и вектору нормали
Т е о р ем а . Е с л и в п р о с т р а н с т в е з а д а н а т о ч к а ( )0 0 0 0, ,M x y z , т о у р а в н е н и е п л о с к о с т и , п р о х о д ящ е й ч е р е з т о ч к у 0M п е р п е н д и к у л я р н о
в е к т о р у н о рм а л и ( ), ,N A B C им е е т в и д : ( ) ( ) ( )0 0 0 0A x x B y y C z z− + − + − = .
7. Уравнение плоскости в отрезках Если в общем уравнении 0Ax By Cz D+ + + = поделить обе части на (-D)
01 =−−−− zDCy
DBx
DA , заменив c
CDb
BDa
AD =−=−=− ,, , получим уравнение плоскости
в отрезках: 1x y za b c+ + = . Числа a, b, c являются точками пересечения плоскости соответственно
с осями х, у, z.
8. Уравнение плоскости в векторной форме
,pnr =⋅ где kzjyixr ++= - радиус- вектор текущей точки ( ), ,M x y z ,
γβα coscoscos kjin ++= - единичный вектор, имеющий направление, перпендикуляра, опущенного на плоскость из начала координат. α, β и γ - углы, образованные этим вектором с осями х, у, z. p – длина этого перпендикуляра. В координатах это уравнение имеет вид:
cos cos cos 0x y z pα β γ+ + − =
37
9. Расстояние от точки до плоскости
Расстояние от произвольной точки ( )0 0 0 0, ,M x y z до плоскости 0Ax By Cz D+ + + = равно:
222
000
CBA
DCzByAxd
++
+++=
Прим е р . Найти уравнение плоскости, проходящей через точки А(2,-1,4) и В(3,2,-1) перпендикулярно плоскости 2 3 0x y z+ + − = .
Искомое уравнение плоскости имеет вид: 0Ax By Cz D+ + + = , вектор нормали к этой
плоскости 1n (A,B,C). Вектор AB (1,3,-5) принадлежит плоскости. Заданная нам плоскость,
перпендикулярная искомой имеет вектор нормали 2n (1,1,2). Т.к. точки А и В принадлежат обеим плоскостям, а плоскости взаимно перпендикулярны, то
.27111131
2151
2153
21153121 kjikjikji
nABn −−=+−
−−
=−=×=
Таким образом, вектор нормали 1n (11,-7,-2). Т.к. точка А принадлежит искомой плоскости, то ее координаты должны удовлетворять уравнению этой плоскости, т.е. 11.2 7.1 2.4 0; 21D D+ − + = = − . Итого, получаем уравнение плоскости: 11 7 2 21 0x y z− − − =
10. Уравнение линии в пространстве Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как
совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе координат удовлетворяют уравнению:
( , , ) 0F x y z = . Это уравнение называется уравнением линии в пространстве. Кроме того, линия в пространстве может быть определена и иначе. Ее можно рассматривать
как линию пересечения двух поверхностей, каждая из которых задана каким- либо уравнением. Пусть ( , , ) 0F x y z = и ( , , ) 0Ф x y z = – уравнения поверхностей, пересекающихся по линии L.
Тогда пару уравнений ⎩⎨⎧
==
0),,(0),,(
zyxФzyxF
назовем у р а в н е н и е м л и н и и в п р о с т р а н с т в е .
11. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору
Возьмем произвольную прямую и вектор ( ), ,S m n p , параллельный данной прямой. Вектор
S называется н а п р а в л яющим в е к т о р ом прямой. На прямой возьмем две произвольные точки ( )0 0 0 0, ,M x y z и ( ), ,M x y z .
z
38
M1
M0 r
S
0r
z
Обозначим радиус- векторы этих точек как 0r и r , очевидно, что
0 0r r M M− = .
Т.к. векторы ММ 0 и S коллинеарны, то верно соотношение 0М М St= , где t – некоторый
параметр. Итого, можно записать: 0r r St= + .
Т.к. этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки прямой, то полученное уравнение – п а р а м е т р и ч е с к о е у р а в н е н и е п р я м о й .
Это векторное уравнение может быть представлено в координатной форме: ⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=+=+=
ptzzntyymtxx
0
0
0
Преобразовав эту систему и приравняв значения параметра t, получаем канонические
уравнения прямой в пространстве: pzz
nyy
mxx 000 −
=−
=−
.
Опр е д е л е н и е . На п р а в л яющими к о с и н у с а м и прямой называются направляющие косинусы вектора S , которые могут быть вычислены по формулам:
222cos
pnmm++
=α ; ;cos222 pnm
n++
=β 222
cospnm
p++
=γ .
Отсюда получим: : : cos : cos : cos .m n p α β γ=
Числа m , n , p называются у г л о выми к о эффиц и е н т а м и прямой. Т.к. S - ненулевой вектор, то m, n и p не могут равняться нулю одновременно, но одно или два из этих чисел могут равняться нулю. В этом случае в уравнении прямой следует приравнять нулю соответствующие числители.
12. Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки
Если на прямой в пространстве отметить две произвольные точки ( )1 1 1 1, ,M x y z и
( )2 2 2 2, ,M x y z , то координаты этих точек должны удовлетворять полученному выше уравнению прямой:
pzz
nyy
mxx 121212 −
=−
=− .
39
Кроме того, для точки М1 можно записать:
pzz
nyy
mxx 111 −
=−
=−
.
Решая совместно эти уравнения, получим:
12
1
12
1
12
1
zzzz
yyyy
xxxx
−−
=−−
=−− .
Это уравнение прямой, проходящей через две точки в пространстве.
13. Общие уравнения прямой в пространстве Уравнение прямой может быть рассмотрено как уравнение линии пересечения двух
плоскостей. Как было рассмотрено выше, плоскость в векторной форме может быть задана уравнением:
0Nr D+ = , где
N - нормаль плоскости; r - радиус- вектор произвольной точки плоскости.
Пусть в пространстве заданы две плоскости: 1 1 0N r D+ = и 2 2 0N r D+ = , векторы нормали
имеют координаты: 1N (A1,B1,C1), 2N (A2,B2,C2); r (x,y,z). Тогда общие уравнения прямой в векторной форме:
⎪⎩
⎪⎨⎧
=+⋅
=+⋅
0
0
22
11
DrN
DrN
Общие уравнения прямой в координатной форме:
⎩⎨⎧
=+++=+++
00
2222
1111
DzCyBxADzCyBxA
Практическая задача часто состоит в приведении уравнений прямых в общем виде к каноническому виду.
Для этого надо найти произвольную точку прямой и числа m, n, p. При этом направляющий вектор прямой может быть найден как векторное произведение
векторов нормали к заданным плоскостям.
.22
11
22
11
22
11
222
11121 pknjmiBABA
kCACA
jCBCB
iCBACBAkji
NNS ++=+−==×=
Прим е р . На й т и к а н о н и ч е с к о е у р а в н е н и е , е с л и п р ям а я з а д а н а в в и д е :
⎩⎨⎧
=−−+=−+−
07450132
zyxzyx
Для нахождения произвольной точки прямой, примем ее координату х = 0, а затем подставим это значение в заданную систему уравнений.
⎩⎨⎧==
⎩⎨⎧=
−=
⎩⎨⎧
=−−−−=
⎩⎨⎧
=−−−=
12
113
0741213
07413
zy
zzy
zzzy
zyzy
, т.е. А(0,2,1).
Находим компоненты направляющего вектора прямой.
40
.134512
;1715
32;11
1431
22
11
22
11
22
11 =−
===−
−=−=−=−
−==
BABA
pCACA
nCBCB
m
Тогда канонические уравнения прямой:
.13
117
211
−=−=− zyx
14. Угол между плоскостями
Угол между двумя плоскостями в пространстве ϕ связан с углом между нормалями к этим
плоскостям ϕ1 соотношением: 1ϕ ϕ= или 1180ϕ ϕ= − , т.е.
1cos cosϕ ϕ= ± .
Определим угол ϕ 1 . Известно, что плоскости могут быть заданы соотношениями:
⎪⎩
⎪⎨⎧
=+⋅
=+⋅
0
0
22
11
DrN
DrN, где 1N (A1,B1,C1), 2N (A2,B2,C2). Угол между векторами нормали найдем из их
скалярного произведения: 21
211cos
NN
NN ⋅=ϕ . Таким образом, угол между плоскостями находится
по формуле: 22
22
22
21
21
21
212121cosCBACBA
CCBBAA
++++
++±=ϕ
Выбор знака косинуса зависит от того, какой угол между плоскостями следует найти – острый, или смежный с ним тупой.
15. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей На основе полученной выше формулы для нахождения угла между плоскостями можно
найти условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Для того, чтобы плоскости были п е р п е н д и к у л я р ны необходимо и достаточно, чтобы косинус угла между плоскостями равнялся нулю. Это условие выполняется, если:
0212121 =++ CCBBAA .
2N
ϕ1
1N
41
Па р а л л е л ь ны , векторы нормалей коллинеарны: 1 1N N .Это условие выполняется
Плоскости, если: 2
1
2
1
2
1
CC
BB
AA
== .
16. Угол между прямыми в пространстве Пусть в пространстве заданы две прямые. Их параметрические уравнения:
l1: tSrr 11 +=
l2: tSrr 22 +=
).,,();,,();,,();,,();,,( 2222111122221111 pnmSpnmSzyxrzyxrzyxr =====
Угол между прямыми ϕ и угол между направляющими векторами ϕ этих прямых связаны соотношением: 1ϕ ϕ= или 1180ϕ ϕ= − . Угол между направляющими векторами находится из скалярного произведения. Таким образом:
22
22
22
21
21
21
212121
21
21cospnmpnm
ppnnmm
SS
SS
++++
++±=
⋅±=ϕ
17. Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве Чтобы две прямые были п а р а л л е л ь ны необходимо и достаточно, чтобы направляющие
векторы этих прямых были коллинеарны, т.е. их соответствующие координаты были
пропорциональны. 2
1
2
1
2
1
pp
nn
mm
==
Чтобы две прямые были п е р п е н д и к у л я р ны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были перпендикулярны, т.е. косинус угла между ними равен нулю. 0212121 =++ ppnnmm
18. Угол между прямой и плоскостью Опр е д е л е н и е . Уг л ом м ежд у п р ям о й и п л о с к о с т ью называется любой угол
между прямой и ее проекцией на эту плоскость.
Пусть плоскость задана уравнением 0=+⋅ DrN , а прямая - tSrr += 0 . Из геометрических
соображений (см. рис.) видно, что искомый угол 090α ϕ= − , где α - угол между векторами N и S . Этот угол может быть найден по формуле:
S
α
α N
42
SNSN ⋅=αcos ±=±= αϕ cossin
SNSN ⋅ .
В координатной форме:
222222sin
pnmCBACpBnAm
++++
++±=ϕ
19. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости в пространстве
Для того, чтобы прямая и плоскость были п а р а л л е л ь ны , н е о б х о д им о и достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были перпендикулярны. Для этого необходимо, чтобы их скалярное произведение было равно нулю.
.0,0sin,0, =++==⋅⊥ CpBnAmSNSN ϕ Для того, чтобы прямая и плоскость были п е р п е н д и к у л я р ны , необходимо и
достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были коллинеарны. Это условие выполняется, если векторное произведение этих векторов было равно нулю.
0; A B CN Sm n p
× = = =
43
Лекция 10. Кривые второго порядка Кривая второго порядка может быть задана уравнением
2 22 2 2 0.Ax Bxy Cy Dx Ey F+ + + + + = Существует система координат (не обязательно декартова прямоугольная), в которой данное
уравнение может быть представлено в одном из видов, приведенных ниже.
1. 2 2
2 2 1x ya b+ = - уравнение эллипса.
2. 2 2
2 2 1x ya b+ = − - уравнение “мнимого” эллипса.
3. 2 2
2 2 1x ya b− = - уравнение гиперболы.
4. 2 2 2 2 0a x c y− = – уравнение двух пересекающихся прямых.
5. 2 2y px= – уравнение параболы.
6. 2 2 0y a− = – уравнение двух параллельных прямых.
7. 2 2 0y a+ = – уравнение двух “мнимых” параллельных прямых.
8. 2 0y = – пара совпадающих прямых.
9. ( ) ( )2 2 2x a y b R− − − = – уравнение окружности.
1. Окружность
В окружности ( ) ( )2 2 2x a y b R− − − = центр имеет координаты (a; b).
2. Эллипс
Опр е д е л е н и е . Эл л и п с ом называется кривая, заданная уравнением 2 2
2 2 1x ya b+ = .
Опр е д е л е н и е . Фок у с ам и называются такие две точки, сумма расстояний от которых до любой точки эллипса есть постоянная величина.
F1, F2 – фокусы. F1 = (c; 0); F2(-c; 0) a2 = b2 + c2. с – половина расстояния между фокусами; a – большая полуось; b – малая полуось. Опр е д е л е н и е . Форма эллипса определяется характеристикой, которая является
отношением фокусного расстояния к большей оси и называется э к с ц е н т р и с и т е т ом . /e c a= . Т . к . c a< , т о e < 1 .
44
С эллипсом связаны две прямые, называемые д и р е к т р и с а м и . Их уравнения: / ; / .x a e x a e= = −
3. Гипербола Опр е д е л е н и е . Ги п е р б о л о й называется множество точек плоскости, для которых
модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фокусами есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусам
2 2
2 2 1x ya b− = Получили каноническое уравнение гиперболы.
Гипербола симметрична относительно середины отрезка, соединяющего фокусы и относительно осей координат.
Ось 2а называется действительной осью гиперболы. Ось 2b называется мнимой осью гиперболы.
Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых .by xa
= ±
Опр е д е л е н и е . Отношение 1cea
= > называется эксцентриситетом гиперболы, где с –
половина расстояния между фокусами, а – действительная полуось. С учетом того, что 2 2 2c a b− = :
2 2 2 22
2 2 2
2 1
c a b bea a a
b ea
+= = =
= −
Определение. Две прямые, перпендикулярные действительной оси гиперболы и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии a/e от него, называются
директрисами г и п е р б о лы . Их уравнения: .axe
= ±
y
bх
M(x, y)
45
4. Парабола Опр е д е л е н и е . Па р а б о л о й называется множество точек плоскости, каждая из
которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус.
Расположим начало координат посередине между фокусом и директрисой.
Величина р (расстояние от фокуса до директрисы) называется п а р а м е т р ом параболы.
2 2y px= - каноническое уравнение параболы. Уравнение директрисы: / 2x p= .
М(х,у) А
у
46
Лекция 11. Поверхности второго порядка Опр е д е л е н и е . Поверхности второго порядка - это поверхности, уравнения которых в
прямоугольной системе координат являются уравнениями второго порядка.
1. Цилиндрические поверхности Опр е д е л е н и е . Цилиндрическими поверхностями называются поверхности,
образованные линиями, параллельными какой- либо фиксированной прямой. Рассмотрим поверхности, в уравнении которых отсутствует составляющая z , т.е.
направляющие параллельны осиOz . Тип линии на плоскости XOY (эта линия называется направляющей поверхности) определяет характер цилиндрической поверхности.
Рассмотрим некоторые частные случаи в зависимости от уравнения направляющих:
1. 2 2
2 2 1x ya b+ = - эллиптический цилиндр.
2. 2 2
2 2 1x ya b− = - гиперболический цилиндр.
3. 2 2x py= - параболический цилиндр.
47
2. Поверхности вращения Определение. Поверхность, описываемая некоторой линией, вращающейся вокруг
неподвижной прямой d , называется поверхностью вращения с осью вращения d . Если уравнение поверхности в прямоугольной системе координат имеет вид:
2 2( , ) 0F x y z+ = , то эта поверхность - поверхность вращения с осью вращения Oz .
Аналогично: 2 2( , ) 0F x z y+ = - поверхность вращения с осью вращения Oy ,
2 2( , ) 0F z y x+ = - поверхность вращения с осью вращения Ox .
Запишем уравнения поверхностей вращения для некоторых частных случаев:
1. 2 2 2
2 2 1x y za c+ + = - эллипсоид вращения
2. 2 2 2
2 2 1x y za c+ − = - однополостный гиперболоид вращения
3. 2 2 2
2 2 1x y za c+ − = − - двуполостный гиперболоид вращения
4. 2 2
2 2x y za+ = - параболоид вращения
Аналогично могут быть записаны уравнения для рассмотренных выше поверхностей вращения, если осью вращения являются оси Ox или Oy .
Однако, перечисленные выше поверхности являются всего лишь частными случаями поверхностей второго порядка общего вида, некоторые типы которых рассмотрены ниже:
Сфера
2 2 2 2( ) ( ) ( )x a y b z c r− + − + − =
48
Трехосный эллипсоид:
2 2 2
2 2 2 1x y za b c+ + =
В сечении эллипсоида плоскостями, параллельными координатным плоскостям, получаются эллипсы с различными осями.
Однополостный гиперболоид:
2 2 2
2 2 2 1x y za b c+ − =
49
Двуполостный гиперболоид:
2 2 2
2 2 2 1x y za b c+ − = −
Эллиптический параболоид:
2 2
2 2 2 ,x y za b+ = где 0, 0p q> >
50
Гиперболический параболоид:
2 2
2 2 2x y za b− =
Конус второго порядка:
2 2 2
2 2 2 0x y za b c+ − =
51
52
Лекция 12. Введение в анализ
1. Числовая последовательность
Определение. Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число nx , то говорят, что задана последовательность { }1 2, , , n nx x x x=… .
Общий элемент последовательности является функцией от n ( )nx f n= .
Таким образом последовательность может рассматриваться как функция порядкового номера элемента. Задать последовательность можно различными способами - главное, чтобы был указан способ получения любого члена последовательности.
Прим е р . { } ( ){ }1 nnx = − или { } 1;1; 1;1;nx = − − …
{ } { }sin / 2nx nπ= или { } 1;0;1;0;nx = …
Для последовательностей можно определить следующие операции: 1. Умножение последовательности на число m : { } { }n nm x mx= , т.е. 1 2, ,mx mx …
2. Сложение (вычитание) последовательностей: { } { } { }n n n nx y x y+ = + .
3. Произведение последовательностей: { } { } { }n n n nx y x y⋅ = ⋅ .
4. Частное последовательностей:
{ }{ }
n n
n n
x xy y
⎧ ⎫= ⎨ ⎬⎩ ⎭
при { } 0ny ≠ .
2. Ограниченные и неограниченные последовательности
Опр е д е л е н и е . Последовательность { }nx называется ограниченной, если существует
такое число 0M > , что для любого n верно неравенство: nx M< т.е. все члены последовательности принадлежат промежутку ( ; )M M− .
Опр е д е л е н и е . Последовательность { }nx называется ограниченной сверху, если для любого nx существует такое число M , что nx M≤ .
Опр е д е л е н и е . Последовательность { }nx называется ограниченной снизу, если для любого n существует такое число M , что nx M≥ .
Прим е р . { }nx n= - ограничена снизу { }1, 2,3,… .
Опр е д е л е н и е . Число называется пределом последовательности n{x } , если для любого положительного >0ε существует такой номер N , что для всех n N> выполняется условие:
na x ε− <
Это записывается: lim nx a= .
В этом случае говорят, что последовательность n{x }сходится к a при n→∞ .
Св о й с т в о : Если отбросить какое-либо число членов последовательности, то получаются новые последовательности, при этом если сходится одна из них, то сходится и другая.
53
Прим е р . Доказать, что предел последовательности n(-1)lim 0
n= .
Пусть при n N> верно ( 1)0n
nε−− < , т.е. 1
nε< . Это верно при 1n
ε> , таким образом, если
за N взять целую часть от 1ε
, то утверждение, приведенное выше, выполняется.
Т е о р ем а . Если nx a→ , то nx a→ .
До к а з а т е л ь с т в о . Из nx a→ следует, что nx a ε− < . В то же время: n nx a x a− ≤ − ,
т.е. nx a ε− < , т.е. nx a→ . Теорема доказана.
Т е о р ем а . Если nx a→ , то последовательность { }nx ограничена.
Следует отметить, что обратное утверждение неверно, т.е. из ограниченности последовательности не следует ее сходимость.
Например, последовательность
11 , при четном
12 , при нечетном n
nnx
nn
⎧ +⎪⎪= ⎨⎪ −⎪⎩
не имеет предела, хотя
2nx ≤
3. Монотонные последовательности Определение. 1) Если 1n nx x+ > для всех n , то последовательность возрастающая
2) Если 1n nx x+ ≥ для всех n , то последовательность неубывающая.
3) Если 1n nx x+ < для всех n , то последовательность убывающая
4)Если 1n nx x+ ≤ для всех n , то последовательность не возрастающая
Все эти последовательности называются монотонными. Возрастающие и убывающие последовательности называются строго монотонными.
Пример. Выяснить является возрастающей или убывающей последовательность { }5
n nnx = .
Найдем 1 11
5n n
nx + +
+= . Найдем разность 11 1 5 1 4
5 5 5 5 5 5 5n n n n n n
n n n n nx x++ + − −− = − = =⋅ ⋅ ⋅
, т.к. n N∈ , то
1 4 0n− < , т.е. 1n nx x+ < . Последовательность монотонно убывает.
4. Предел функции в точке Пусть функция ( )f x определена в некоторой окрестности точки x a= (т.е. в самой точке
x a= функция может быть и не определена). Определение. Число A называется пределом функции ( )f x при x a→ , если для любого 0ε > существует такое число 0Δ > , что для всех х таких, что 0< x - a < Δ верно неравенство
f(x) - A < .ε
То же определение может быть записано в другом виде: Если а - <x<a + , x a, Δ Δ ≠ то верно неравенство A- <f(x)<A+ε ε .
54
Запись предела функции в точке: lim ( )x a
f x A→
= .
Опр е д е л е н и е . Если 1( )f x A→ при x a→ только при x a< , то 10lim ( )x a
f x A→ −
= -
называется пределом функции ( )f x в точке x a= слева, a если 2( )f x A→ при x a→ только при x a> , то 20
lim ( )x a
f x A→ −
= называется пределом функции ( )f x в точке x a= справа.
Приведенное выше определение относится к случаю, когда функция ( )f x не определена в
самой точке x a= , но определена в некоторой сколь угодно малой окрестности этой точки. Пределы 1A и 2A называются также односторонними пределами функции ( )f x в точке
x a= . Также говорят, что A - конечный предел функции f(x) .
5. Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности Определение. Число A называется пределом функции f(x) при x→∞ , если для любого
числа 0ε > существует такое число 0M > , что для всех ,x x M> выполняется неравенство
( )A f x ε− < .
При этом предполагается, что функция f(x) определена в окрестности бесконечности. Записывают:
lim ( )x
f x A→∞
=
Графически можно представить:
y
A2
A1
f(x)
55
Аналогично можно определить пределы lim ( )
xf x A
→+∞= для любого x M> и lim ( )
xf x A
→−∞=
для любого x M< .
6. Основные теоремы о пределах
Т е о р ем а 1 . limx aC C
→= , где C const= .
Следующие теоремы справедливы при предположении, что функции ( )f x и ( )g x имеют конечные пределы при x a→ .
Т е о р ем а 2 . lim( ( ) ( )) lim ( ) lim ( )x a x a x a
f x g x f x g x→ → →
± = ±
Доказательство этой теоремы будет приведено ниже. Т е о р ем а 3 . [ ]lim ( ) ( ) ) lim ( ) lim ( )
x a x a x af x g x f x g x
→ → →⋅ = ⋅
Сл е д с т в и е . lim ( ) lim ( )x a x aC f x C f x
→ →⋅ = ⋅
Т е о р ем а 4 . lim ( )( )lim
( ) lim ( )x a
x ax a
f xf xg x g x
→
→→
= при lim ( ) 0x ag x
→≠ .
Т е о р ем а 5 . Если ( ) 0f x > вблизи точки x a= и lim ( )x a
f x A→
= , то 0A > .
Аналогично определяется знак предела при ( ) 0, ( ) 0, ( ) 0f x f x f x< ≥ ≤ .
y y
A A
y y
A A
56
Т е о р ем а 6 . Если ( ) ( ) ( )g x f x u x≤ ≤ вблизи точки x a= и lim ( ) lim ( )x a x ag x u x A
→ →= = , то и
limx a
A→= .
Опр е д е л е н и е . Функция ( )f x называется ограниченной вблизи точки x a= , если существует такое число 0M > , что ( )f x M< вблизи точки x a= .
Т е о р ем а 7 . Если функция ( )f x имеет конечный предел при x a→ , то она ограничена вблизи точки x a= .
До к а з а т е л ь с т в о . Пусть lim ( )x a
f x A→
= , т.е. ( )f x A ε− < , тогда
( ) ( ) ( )f x f x A A f x A A= − + ≤ − + или ( )f x Aε< + , т.е. ( )f x M< , где M Aε= + .
Теорема доказана.
57
Лекция 13. Бесконечно-малые и бесконечно- большие функции
1. Бесконечно малые функции Опр е д е л е н и е . Функция ( )f x называется бесконечно малой при x a→ , где a может
быть числом или одной из величин ,∞ +∞ или −∞ , если lim ( ) 0x a
f x→
= .
Бесконечно малой функция может быть только если указать к какому числу стремится аргумент х. При различных значениях а функция может быть бесконечно малой или нет.
Прим е р . Функция ( ) nf x x= является бесконечно малой при 0x→ и не является бесконечно малой при 1x→ , т.к.
1lim ( ) 1xf x
→= .
Т е о р ем а . Для того, чтобы функция ( )f x при x a→ имела предел, равный A , необходимо и достаточно, чтобы вблизи точки x a= выполнялось условие ( ) ( )f x A xα= + , где
( )xα бесконечно малая при x a→ ( ( ) 0xα → при )x a→ .
2. Свойства бесконечно малых функций 1. Сумма фиксированного числа бесконечно малых функций при x a→ тоже бесконечно
малая функция при x a→ . 2. Произведение фиксированного числа бесконечно малых функций при x a→ тоже
бесконечно малая функция при x a→ . 3. Произведение бесконечно малой функции на функцию, ограниченную вблизи точки
x a= является бесконечно малой функцией при x a→ . 4. Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, предел которой не равен
нулю есть величина бесконечно малая. Используя понятие бесконечно малых функций, приведем доказательство некоторых теорем
о пределах, приведенных выше.
3. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми Опр е д е л е н и е . Предел функции ( )f x при x a→ , где a - число, равен бесконечности,
если для любого числа 0M > существует такое число >0Δ , что неравенство f(x) >M
выполняется при всех x , удовлетворяющих условию 0< x - a <Δ . Записывается lim ( )x a
f x→
= ∞ .
Собственно, если в приведенном выше определении заменить условие f(x) >M на f(x)>M , то получим: lim ( )
x af x
→= +∞ а если заменить на f(x)<M , то:
lim ( )x a
f x→
= −∞
Опр е д е л е н и е . Функция называется бесконечно большой при x a→ , где a - число или одна из величин ,∞ +∞ или −∞ , если lim ( )
x af x A
→= , где A - число или одна из величин ,∞ +∞
или −∞ . Связь бесконечно больших и бесконечно малых функций осуществляется в соответствии со
следующей теоремой. Т е о р ем а . Если ( ) 0f x → при x a→ (если x→∞ ) и не обращается в ноль, то
1( )
yf x
= →∞
58
4. Сравнение бесконечно малых функций Пусть ( ), ( )x xα β и ( )xγ - бесконечно малые функции при x a→ . Будем обозначать эти
функции ,α β и γ соответственно. Эти бесконечно малые функции можно сравнивать по быстроте их убывания, т.е. по быстроте их стремления к нулю.
Нап р им е р , функция 10( )f x x= стремится к нулю быстрее, чем функция ( )f x x= .
Опр е д е л е н и е . Если lim 0x a
αβ→= , то функция α называется бесконечно малой более
высокого порядка, чем функция β .
Опр е д е л е н и е . Если lim , , 0x a
A A const Aαβ→= = ≠ , то α и β называются бесконечно
малыми одного порядка.
Опр е д е л е н и е . Если lim 1x a
αβ→= то функции α и β называются эквивалентными
бесконечно малыми. Записывают α β∼ .
Опр е д е л е н и е . Бесконечно малая функция α называется бесконечно малой порядка k
относительно бесконечно малой функцииβ , если предел lim kx a
αβ→
конечен и отличен от нуля.
Однако следует отметить, что не все бесконечно малые функции можно сравнивать между
собой. Например, если отношение βα не имеет предела, то функции несравнимы.
5. Свойства эквивалентных бесконечно малых
1. a a∼ , lim 1x a
αα→
⎛ ⎞=⎜ ⎟⎝ ⎠
.
2. Если α β∼ и β γ∼ , то α γ∼ , lim lim 1 1 1x a x a
α α βγ β γ→ →
⎛ ⎞⎛ ⎞= ⋅ = ⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
.
3. Еслиα β∼ , то β γ∼ , 1lim lim 1x a x a
βααβ
→ →
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
.
4. Если 1α α∼ и 1β β∼ и limx a
kαβ→= , то и 1
1
limx a
kαβ→= или 1
1
lim limx a x a
ααβ β→ →= .
Сл е д с т в и е : а) если 1α α∼ limx a
kαβ→= , то и 1lim lim
x a x a
ααβ β→ →= .
б) если 1β β∼ и limx a
kαβ→= , то
1
lim limx a x a
α αβ β→ →= .
Свойство 4 особенно важно на практике, т.к. оно фактически означает, что предел отношения бесконечно малых не меняется при замене их на эквивалентные бесконечно малые. Этот факт дает возможность при нахождении пределов заменять бесконечно малые на эквивалентные им функции, что может сильно упростить вычисление пределов.
Прим е р . Найти предел 0
5limsin 7x
tg xx→
.
59
Так как 5 5tg x x∼ и sin 7 7x x∼ при 0x→ , то, заменив функции эквивалентными
бесконечно малыми, получим: 0 0
5 5 5lim limsin 7 7 7x x
tg x xx x→ →= = .
Если α и β - бесконечно малые при x a→ , причем β - бесконечно малая более высокого порядка, чемα , то γ α β= + - бесконечно малая, эквивалентнаяα . Это можно доказать
следующим равенством lim lim 1 1x a x a
γ βα α→ →
⎛ ⎞= + =⎜ ⎟⎝ ⎠
.
Тогда говорят, что α - главная часть бесконечно малой функции γ .
6. Некоторые замечательные пределы
( )lim( )x
P xQ x→∞
, где 0 1 1( ) ,n nP x a x a x an−= + + +… 0 1 1( ) m mQ x b x b x bm−= + + +… - многочлены.
10
0
1 00
lim
nn
x mm
aaaax x
bb bbx x
→∞
+ + +=
+ + +
…
…
Итого: 0
00
0, при n<m( )lim , при n=m( )
, при n>m
x
aP xQ x b→
⎧⎪⎪= ⎨⎪⎪∞⎩
Пер вый з а м е ч а т е л ь ный п р е д е л .
0
sinlim 1x
xx→=
Вт о р о й з а м е ч а т е л ь ный п р е д е л .
1lim 1x
xe
x→∞
⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠
Часто если непосредственное нахождение предела какой-либо функции представляется сложным, то можно путем преобразования функции свести задачу к нахождению замечательных пределов.
Кроме трех, изложенных выше, пределов можно записать следующие полезные на практике соотношения:
0
ln(1 )lim 1;x
xx→
+ = 0
1lim ln ;x
x
a ax→
− = 0
(1 ) 1lim .m
x
x mx→
+ − =
Прим е р . Найти предел.0 0
lim lim ;sinx x
tgmx mx mnx nx n→ →= =
Прим е р . Найти предел.
/ 4 / 4 / 4
2 sin( / 4 )sin cos sin( / 4 ) 12lim lim lim
4 4 2 2( 4 ) 2 2x x x
xx x x
x x xπ π π
π ππ π π→ → →
− −− − −= = = −− − −
Прим е р . Найти предел.
60
4 43 3
444
13 1 4 4 4 4lim lim lim lim 1 lim 11 1
1 1lim 1 lim 14
y yx x
x x y y y
x z
z z
y xx x yxx x y y y
y
yz ez z
++ +
→∞ →∞ →∞ →∞ →∞
→∞ →∞
= −⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + +⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = →∞ = = + ⋅ + =⎨ ⎬ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪→∞⎩ ⎭
⎛ ⎞⎧ ⎫ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = + = + =⎜ ⎟⎨ ⎬ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎩ ⎭ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
61
Лекция 14. Непрерывность функции
1. Непрерывность функции в точке
Опр е д е л е н и е . Функция ( )f x , определенная в окрестности некоторой точки 0x , называется непрерывной в точке 0x , если предел функции и ее значение в этой точке равны, т.е.
00lim ( ) ( )
x xf x f x
→= .
Тот же факт можно записать иначе:
0 0
lim ( ) (lim )x x x x
f x f x→ →
=
Опр е д е л е н и е . Если функция ( )f x определена в некоторой окрестности точки 0x , но не является непрерывной в самой точке 0x , то она называется разрывной функцией, а точка 0x - точкой разрыва.
Определение.
Функция ( )f x называется непрерывной в точке х0, если для любого положительного числа 0ε > существует такое число 0Δ > , что для любых x , удовлетворяющих условию
0x x− < Δ
2. Свойства непрерывных функций
1. Сумма, разность и произведение непрерывных в точке 0x функций - есть функция, непрерывная в точке 0x .
2. Частное двух непрерывных функций ( )( )f xg x
- есть непрерывная функция при условии, что
( )g x не равна нулю в точке 0x .
3. Суперпозиция непрерывных функций - есть непрерывная функция. Это свойство может быть записано следующим образом: Если ( ), ( )u f x v g x= = - непрерывные функции в точке 0x x= , то функция ( ( ))v g f x= -
тоже непрерывная функция в этой точке. Справедливость приведенных выше свойств можно легко доказать, используя теоремы о
пределах. верно неравенство ( ) ( )f x f x ε− < .
Опр е д е л е н и е . Функция ( )f x называется непрерывной в точке 0x x= , если приращение функции в точке 0x является бесконечно малой величиной.
0( ) ( ) ( )f x f x xα= + , где ( )xα - бесконечно малая при 0x x→ .
3. Непрерывность некоторых элементарных функций 1. Функция ( ) ,f x C C const= = - непрерывная функция на всей области определения.
2. Рациональная функция 1
0 11
0 1
( )n n
nm m
m
a x a x af xb x b x b
−
−
+ + +=+ + +
……
непрерывна для всех значений x ,
кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль. Таким образом, функция этого вида непрерывна на всей области определения.
3. Тригонометрические функции sin и cos непрерывны на своей области определения.
62
Таким образом, имеется произведение ограниченной функции на бесконечно малую, следовательно это произведение, т.е. функция yΔ - бесконечно малая. В соответствии с рассмотренными выше определениями, функция siny x= - непрерывная функция для любого значения 0x x= из области определения, т.к. ее приращение в этой точке - бесконечно малая величина.
4. Непрерывность функции на интервале и на отрезке Опр е д е л е н и е . Функция ( )f x называется непрерывной на интервале (отрезке), если она
непрерывна в любой точке интервала (отрезка). При этом не требуется непрерывность функции на концах отрезка или интервала,
необходима только односторонняя непрерывность на концах отрезка или интервала.
5. Свойства функций, непрерывных на отрезке Св о й с т в о 1 : (Первая теорема Вейерштрасса (Вейерштрасс Карл (1815-1897) - немецкий
математик)). Функция, непрерывная на отрезке, ограничена на этом отрезке, т.е. на отрезке [ ],a b выполняется условие - ( )M f x M≤ ≤ .
Доказательство этого свойства основано на том, что функция, непрерывная в точке 0x , ограничена в некоторой ее окрестности, а если разбивать отрезок [ ],a b на бесконечное количество отрезков, которые “стягиваются” к точке 0x , то образуется некоторая окрестность точки 0x .
Св о й с т в о 2 : Функция, непрерывная на отрезке [ ],a b , принимает на нем наибольшее и наименьшее значения.
Т.е. существуют такие значения 1x и 2x , что 1 2( ) , ( )f x m f x M= = , причем ( )m f x M≤ ≤ .
Отметим эти наибольшие и наименьшие значения функция может принимать на отрезке и несколько раз (например - ( ) sinf x x= ).
Разность между наибольшим и наименьшим значением функции на отрезке называется колебанием функции на отрезке.
Св о й с т в о 3 : (Вторая теорема Больцано - Коши). Функция, непрерывная на отрезке [ ],a b , принимает на этом отрезке все значения между двумя произвольными величинами.
Св о й с т в о 4 : Если функция ( )f x непрерывна в точке 0x x= , то существует некоторая окрестность точки 0x , в которой функция сохраняет знак.
Св о й с т в о 5 : (Первая теорема Больцано (1781-1848) - Коши). Если функция ( )f x - непрерывная на отрезке [ ],a b и имеет на концах отрезка значения противоположных знаков, то существует такая точка внутри этого отрезка, где ( ) 0f x = .
Т.е. если ( ( )) ( ( ))sign f a sign f b≠ , то 0 0: ( ) 0x f x∃ = .
Опр е д е л е н и е . Функция ( )f x называется равномерно непрерывной на отрезке [ ],a b ,
если для любого 0ε > существует 0Δ > такое, что для любых точек [ ]1 ,x a b∈ и [ ]2 ,x a b∈
таких, что 2 1x x− < Δ верно неравенство 2 1( ) ( )f x f x ε− < .
Отличие равномерной непрерывности от “обычной” в том, что для любого ε существует своеΔ , не зависящее от x , а при “обычной” непрерывности Δ зависит от ε и x .
Св о й с т в о 6 : Теорема Кантора (Кантор Георг (1845-1918) - немецкий математик). Функция, непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на нем. (Это свойство справедливо только для отрезков, а не для интервалов и полуинтервалов.)
63
Св о й с т в о 7 : Если функция ( )f x определена, монотонна и непрерывна на некотором промежутке, то и обратная ей функция ( )x g y= тоже однозначна, монотонна и непрерывна.
Прим е р . Исследовать на непрерывность функцию и определить тип точек разрыва, если
они есть. 1 0
1 0
lim ( ) 3
lim ( ) 3x
x
f x
f x→− −
→− +
=
= 1 0
1 0
lim ( ) 3
lim ( ) 2x
x
f x
f x→ −
→ +
=
=в точке 1x = функция непрерывна в точке 1x =
точка разрыва 1 - го рода
Точки разрыва Точки разрыва и их классификация Рассмотрим некоторую функцию ( )f x , непрерывную в окрестности точки 0x , за
исключением может быть самой этой точки. Из определения точки разрыва функции следует, что 0x x= является точкой разрыва, если функция не определена в этой точке, или не является в ней непрерывной.
Следует отметить также, что непрерывность функции может быть односторонней. Поясним это следующим образом.
Если односторонний предел (см. выше) 00lim ( ) ( )x x
f x f x→ +
= , то функция называется
непрерывной справа. Если односторонний предел (см. выше) 00
lim ( ) ( )x x
f x f x→ −
= , то функция называется
непрерывной слева.
3
2
y
0x
64
Опр е д е л е н и е . Точка 0x называется точкой разрыва функции ( )f x , если ( )f x не
определена в точке х0 или не является непрерывной в этой точке. Опр е д е л е н и е . Точка х0 называется точкой разрыва 1 - го рода, если в этой точке
функция ( )f x имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы.
0 00 0lim ( ) lim ( )x x x x
f x f x→ + → −
≠
Для выполнения условий этого определения не требуется, чтобы функция была определена в точке 0x x= , достаточно того, что она определена слева и справа от нее.
Из определения можно сделать вывод, что в точке разрыва 1 - го рода функция может иметь только конечный скачок. В некоторых частных случаях точку разрыва 1 - го рода еще иногда называют устранимой точкой разрыва, но подробнее об этом поговорим ниже.
Опр е д е л е н и е . Точка х0 называется точкой разрыва 2 - го рода, если в этой точке функция ( )f x не имеет хотя бы одного из односторонних пределов или хотя бы один из них бесконечен.
Прим е р . Функция Дирихле (Дирихле Петер Густав(1805-1859) - немецкий математик, член-корреспондент Петербургской АН 1837г)
1, x - рациональное число
( )0, x - иррацтональное число
f x ⎧= ⎨⎩
не является непрерывной в любой точке 0x .
Прим е р . Функция 1( )f xx
= имеет в точке 0 0x = точку разрыва 2 - го рода, т.к.
0 0 0 0lim ( ) ; lim ( )x x
f x f x→ + → −
= +∞ = −∞ .
-10 -5 5 10
-7.5
-5
-2.5
2.5
5
7.5
65
Приложения
Полярная система координат Опр е д е л е н и е . Точка O называется полюсом, а луч l - полярной осью. Суть задания какой-либо системы координат на плоскости состоит в том, чтобы каждой
точке плоскости поставить в соответствие пару действительных чисел, определяющих положение этой точки на плоскости. В случае полярной системы координат роль этих чисел играют расстояние точки от полюса и угол между полярной осью и радиус–вектором этой точки. Этот угол ϕ называется полярным углом.
Можно установить связь между полярной системой координат и декартовой прямоугольной системой, если поместить начало декартовой прямоугольной системы в полюс, а полярную ось направить вдоль положительного направления оси Ox .
Тогда координаты произвольной точки в двух различных системах координат связываются соотношениями:
2 2 2x=rcos ; y=rsin ; x +y =rϕ ϕ
Комплексные числа Опр е д е л е н и е . Комплексным числом z называется выражение z a ib= + , где a и b -
действительные числа, i - мнимая единица, которая определяется соотношением: 2 1;i = − 1.i = −
При этом число a называется действительной частью числа z ( Re ),a z ab= - мнимой частью ( Imb z= ).
Если a=Re z=0 , то число z будет чисто мнимым, если b=Im z=0, то число z будет действительным.
Опр е д е л е н и е . Числа z a ib= + и z a ib= − называются комплексно - сопряженными. Опр е д е л е н и е . Два комплексных числа 1 1 1z a ib= + и 2 2 2z a ib= + называются равными,
если соответственно равны их действительные и мнимые части: 1 2a a= ; 1 2b b= .
Опр е д е л е н и е . Комплексное число равно нулю, если соответственно равны нулю действительная и мнимая части 0a b= = .
Понятие комплексного числа имеет геометрическое истолкование. Множество комплексных чисел является расширением множества действительных чисел за счет включения множества мнимых чисел. Комплексные числа включают в себя все множества чисел, которые изучались ранее. Так натуральные, целые, рациональные, иррациональные, действительные числа являются, вообще говоря, частными случаями комплексных чисел.
Если любое действительное число может быть геометрически представлено в виде точки на числовой прямой, то комплексное число представляется точкой на плоскости, координатами которой будут соответственно действительная и мнимая части комплексного числа. При этом горизонтальная ось будет являться действительной числовой осью, а вертикальная - мнимой осью.
Таким образом, на оси ОХ располагаются действительные числа, а на оси Oy - чисто мнимые.
С помощью подобного геометрического представления можно представлять числа в так называемой тригонометрической форме.
Тригонометрическая форма числа Из геометрических соображений видно, что cos ;a r ϕ= sinb r ϕ= . Тогда комплексное число
можно представить в виде:
66
cos sin (cos sin )z a ib r ir r iϕ ϕ ϕ ϕ= + = + = + Такая форма записи называется тригонометрической формой записи комплексного числа. При этом величина r называется модулем комплексного числа, а угол наклона ϕ -
аргументом комплексного числа. ;r z= Argzϕ = .
Из геометрических соображений видно:
2 2r a ib a b= + = + ; bArgz arctga
ϕ = = .
Очевидно, что комплексно - сопряженные числа имеют одинаковые модули и противоположные аргументы. z z= ; Argz Argz= − .
Действия с комплексными числами Основные действия с комплексными числами вытекают из действий с многочленами. 1. Сложение и вычитание. 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )z z z a ib a ib a a i b b= ± = + ± + = ± + ±
2 21 2 1 2( ) ( )z a a b b= ± + ±
2. Умножение.
21 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2( )( )z z z a ib a ib a a ia b ib a i b b= = + + = + + +
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( )z z z a a b b i a b b a= = + + +
В тригонометрической форме: 2 2 2 2(cos sin )z r iϕ ϕ= +
1 2 1 2 1 2 1 2(cos( ) sin( ))z z z r r iϕ ϕ ϕ ϕ= = + + +
В случае комплексно - сопряженных чисел:
2 2 2 2( )( )zz a ib a ib a b z z= + − = + = =
3. Деление.
1 1 1
2 2 2
z a ibz x iyz a ib
+= = = ++
1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 22 2
2 2 2 2 2 2
( )( ) ( ) ( )( )( )a ib a ib a a b b i a b a bza ib a ib a b+ − + + −= =+ − +
1 2 1 2 2 1 1 22 2 2 22 2 2 2
a a bb a b a bza b a b+ −= ++ +
В тригонометрической форме: 1 11 2 1 2
2 2
(cos( ) sin( ))z rz iz r
ϕ ϕ ϕ ϕ= = − + −
4. Возведение в степень. Из операции умножения комплексных чисел следует, что
2 2 (cos 2 sin 2 )z zz r iϕ ϕ= = +
В общем случае получим: (cos sin 2 )n nz r n iϕ ϕ= + , где n - целое положительное число. Это выражение называется формулой Муавра.
5. Извлечение корня из комплексного числа.
(cos sin ) (cos sin )n nz r i iϕ ϕ ρ ψ ψ= + = +
Возводя в степень, получим: (cos sin ) (cos sin )n n i n r iρ ψ ψ ϕ ϕ+ = +
Отсюда: n rρ = ; 2n kψ ϕ π= + ; k Z∈ .
67
2 2(cos sin ) cos sinn nn k kz r i r in n
ϕ π ϕ πϕ ϕ + +⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟⎝ ⎠
Таким образом, корень n - ой степени из комплексного числа имеет n различных значений.
Показательная форма комплексного числа
Рассмотрим показательную функцию xw e= ; z x iy= + .
Можно показать, что функция w может быть записана в виде: (cos sin )x iy xw e e y i y+= = + . Если представить комплексное число в тригонометрической форме:
(cos sin )x iy xw e e y i y+= = + и воспользуемся формулой Эйлера: cos sinie iϕ ϕ ϕ= + iz re ϕ= Полученное равенство и есть показательная форма комплексного числа.
Элементы комбинаторики Если из некоторого количества элементов, различных меду собой, составлять различные
комбинации, то среди них можно выделить три типа комбинаций, носящих общее название - соединения.
Рассмотрим подробнее эти три типа соединений: 1. Перестановки. Опр е д е л е н и е . Если в некотором множестве maaa ,...,, 21 переставлять местами элементы,
оставляя неизменным их количество, то каждая полученная таким образом комбинация называется перестановкой.
Общее число перестановок из m элементов обозначается mP и вычисляется по формуле: !mP m=
2. Размещения. Определение. Если составлять из m различных элементов группы по n элементов в каждой,
располагая взятые элементы в различном порядке. Получившиеся при этом комбинации называются размещениями из m элементов по n .
Общее число таких размещений рассчитывается по формуле:
!( 1)( 2) ( ( 1))( )!
nm
mA m m m m nm n
= − − − − =−
…
Вообще говоря, перестановки являются частным случаем размещений. 3. Сочетания. Определение. Если из m элементов составлять группы по n элементов в каждой, не
обращая внимания на порядок элементов в группе, то получившиеся при этом комбинации называются сочетаниями из m элементов по n .
Общее число сочетаний находится по формуле:
!!( )!
n mm
n m n
P mCP P n m n−
= =−
Также одним из вариантов комбинаций являются перестановки с повторяющимися элементами.
Если среди т элементов имеется 1m одинаковых элементов одного типа, 2m одинаковых элементов другого типа и т.д., то при перестановке этих элементов всевозможными способами получаем комбинации, количество которых определяется по формуле:
1 2 1 2
!! ! !
k
m
m m m k
P mP P P m m m
=… …
68
Прим е р . Номер автомобиля состоит из трех букв и трех цифр. Сколько различных номеров можно составить, используя 10 цифр и алфавит в 30 букв.
Очевидно, что количество всех возможных комбинаций из 10 цифр по 4 равно 10.000. Число всех возможных комбинаций из 30 букв по две равно 87029302
30 =⋅=А .
Если учесть возможность того, что буквы могут повторяться, то число повторяющихся комбинаций равно 30 (одна возможность повтора для каждой буквы). Итого, полное количество комбинаций по две буквы равно 900.
Если к номеру добавляется еще одна буква из алфавита в 30 букв, то количество комбинаций увеличивается в 30 раз, т.е. достигает 27.000 комбинаций.
Окончательно, т.к. каждой буквенной комбинации можно поставить в соответствие числовую комбинацию, то полное количество автомобильных номеров равно 270.000.000.
Бином Ньютона (полиномиальная формула) В дальнейшем будет получена формула бинома Ньютона с помощью приемов
дифференциального исчисления.
Бином Ньютона - это формула, выражающая выражение ( )na b+ в виде многочлена. Эта формула имеет вид:
1 1 2 2 2
0( )
nn n n n n i n i in n n
ia b a C a b C a b b C a b− − −
=
+ = + + + + =∑…
knC - число сочетаний из n элементов по k . !
!( )!kn
nCk n k
=−
.
Широко известные формулы сокращенного умножения квадрата суммы и разности, куба суммы и разности, являются частными случаями бинома Ньютона.
Когда степень бинома невысока, коэффициенты многочлена могут быть найдены не расчетом по формуле количества сочетаний, а с помощью так называемого треугольника Паскаля. (Блез Паскаль (1623 – 1662) - французский математик).
Этот треугольник имеет вид:
1 1 2 1
1 3 3 1 1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1
Формула бинома Ньютона может быть обобщена для произвольного числа слагаемых. 1 2
1 2 1 21 2
!( )! ! !
knn nnk k
k
na a a a a an n n
+ + + =∑… ……
1 2 kn n n n+ + + =…
Напомним, что при вычислениях 0! принимается равным 1.
Элементы математической логики Математическая логика - разновидность формальной логики, т.е. науки, которая изучает
умозаключения с точки зрения их формального строения.
69
Опр е д е л е н и е . Высказыванием называется предложение, к которому возможно применить понятия истинно или ложно.
В математической логике не рассматривается сам смысл высказываний, определяется только его истинность или ложность, что принято обозначать соответственно И или Л.
Понятно, что истинные и ложные высказывания образуют соответствующие множества. С помощью простых высказываний можно составлять более сложные, соединяя простые высказывания союзами “и”, “или”.
Таким образом, операции с высказываниями можно описывать с помощью некоторого математического аппарата.
Вводятся следующие логические операции (связки) над высказываниями 1. Отрицание. Отрицанием высказывания P называется высказывание, которое истинно
только тогда, когда высказывание P ложно. Обозначается P¬ или P . Соответствие между высказываниями определяется таблицами
истинности. В нашем случае эта таблица имеет вид: Р
P Р
Р
иИ
лЛ
лЛ
ИИ
2. Конъюнкция. Конъюнкцией двух высказываний P и Q называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания.
Обозначается &P Q или P Q∧ . Р
P O
Q PР
& Q И
И И
И И
И И
И Л
Л Л
Л Л
Л И
И Л
Л Л
Л Л
Л Л
Л 3. Дизъюнкция. Дизъюнкцией двух высказываний P и Q называется высказывание,
ложное тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны. Обозначается P Q∨ .
PP
щQ
PP∨Q
BИ
BИ
BИ
BИ
KЛ
BИ
KЛ
BИ
BИ
KЛ
KЛ
KЛ
70
4. Импликация. Импликацией двух высказываний P и Q называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда высказывание P истинно, а Q - ложно.
Обозначается P Q⊃ (или P Q⇒ ). Высказывание P называется посылкой импликации, а высказывание Q - следствием.
HP
PР⇒Q
ИИ
ИИ
ИИ
ИИ
ЛЛ
ЛЛ
ЛЛ
ИИ
ИИ
ЛЛ
ЛЛ
ИИ
5. Эквиваленция. Эквиваленцией двух высказываний P и Q называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинности высказываний совпадают.
Обозначается P Q∼ или P Q⇔ . Р
P Q
Q Р
P∼Q И
И И
И И
И И
И Л
Л Л
Л Л
Л И
И Л
Л Л
Л Л
Л И
И С помощью этих основных таблиц истинности можно составлять таблицы истинности
сложных формул.
Булевы функции
Определение. Булевой функцией 1 2( , , , )nf X X X… называется произвольная n - местная функция, аргументы и значения которой принадлежат множеству { }0,1 .
Вообще говоря между логическими высказываниями, логическими связками и булевыми функциями просматривается явная аналогия. Если логические функции могут принимать значения истинно или ложно, то для булевой функции аналогами этих значений будут значения 0 или 1.
Для булевых функций также можно составить таблицы значений, соответствующим основным логическим операциям.
X1 X2 ¬X1 X1&X2 X1∨X2 X1⇒X2 X1⇔X2
1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1
71
Исчисление предикатов
Определение. Предикатом 1 2( , , , )nP x x x… называется функция, переменные которой принимают значения из некоторого множества M , а сама функция принимает два значения: И (истина) и Л (ложь), т.е.
{ }1 2( , , , ) : ,nnP x x x M И Л→…
Предикат от n аргументов называется n - местным предикатом. Высказывания считаются нуль - местными предикатами.
Над предикатами можно производить обычные логические операции, в результате которых получаются новые предикаты.
Кроме обычных логических операций к предикатам применяются также специальные операции, называемые кванторами.
Кванторы бывают двух видов: 1. Квантор общности. Обозначается ( x)P(x)∀ . Квантором общности называется
высказывание истинное, когда P(x) истинно для каждого элемента х из множества M , и ложное - противном случае.
2. Квантор существования. Обозначается ( ) ( )x P x∃ . Квантором существования называется высказывание, истинное, когда существует элемент из множества М, для которого ( )P x истинно, и ложное в противном случае.
Операцию связывания квантором можно применять и к предикатам от большего числа переменных.
Для формул логики предикатов сохраняется справедливость всех правил равносильных преобразований логики высказываний. Кроме того, справедливы следующие свойства:
Перенос квантора через отрицание. ( x)A(x) ( x) A(x)¬ ∀ ≡ ∃ ¬ ; ( x)A(x) ( x) A(x)¬ ∃ ≡ ∀ ¬ ;
Вынесение квантора за скобки. ( x)(A(x)&B) ( x)A(x)&B∃ ≡ ∃ ; ( )( ( )&B) ( ) ( )&Bx A x x A x∀ ≡ ∀ ;
( x)(A(x) B) ( x)A(x) B∃ ∨ ≡ ∃ ∨ ; ( )( ( ) B) ( ) ( ) Bx A x x A x∀ ∨ ≡ ∀ ∨ ; 3) Перестановка одноименных кванторов.
( )( )( ( , ) ( )( )( ( , )y x A x y x y A x y∀ ∀ ≡ ∀ ∀ ; ( )( ) ( , ) ( )( ) ( , )y x A x y x y A x y∃ ∃ ≡ ∃ ∃ ; Переименование связанных переменных. Если заменить связанную переменную формулы A
другой переменной, не входящей в эту формулу, в кванторе и всюду в области действия квантора получаем формулу, равносильную A .
Исчисление предикатов базируется на приведенных выше свойствах и правилах, называемых аксиомами.
Какими бы ни были формулы А и В для них справедливы следующие аксиомы: 1) ( )A B A⇒ ⇒ ; 2) (A (B C)) ((A B) (A C));⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ 3) ( B (A) (( B A) B);¬ ⇒¬ ⇒ ¬ ⇒ ⇒
4) ( ) ( ) ( )i i ix A x A x∀ ⇒ , где формула ( )iA x не содержит переменной ix .
5) ( ) ( ) ( )i i iA x x A x⇒ ∃ , где формула ( )iA x не содержит переменной ix .
72
Дискретная математика
Конечные графы и сети Основные определения Определение. Если на плоскости задать конечное множество V точек и конечный набор
линий X , соединяющих некоторые пары из точек V , то полученная совокупность точек и линий будет называться графом.
При этом элементы множества V называются вершинами графа, а элементы множества X - ребрами.
В множестве V могут встречаться одинаковые элементы, ребра, соединяющие одинаковые элементы называются петлями. Одинаковые пары в множестве X называются кратными (или параллельными) ребрами. Количество одинаковых пар ( , )v w в X называется кратностью ребра ( , )v w .
Множество V и набор X определяют граф с кратными ребрами - псевдограф. G = (V, X) Псевдограф без петель называется мультиграфом. Если в наборе X ни одна пара не встречается более одного раза, то мультиграф называется
графом. Если пары в наборе X являются упорядочными, то граф называется ориентированным или
орграфом. Графу соответствует геометрическая конфигурация. Вершины обозначаются точками
(кружочками), а ребра - линиями, соединяющими соответствующие вершины. Опр е д е л е н и е . Если x={v, w} - ребро графа, то вершины v, w называются концами
ребра х. Если x={v, w} - дуга орграфа, то вершина v - начало, а вершина w - конец дуги х. Опр е д е л е н и е . Вершины ,v w графа G = (V, X) называются смежными, если {v,w} X∈ .
Два ребра называются смежными, если они имеют общую вершину. Опр е д е л е н и е . Степенью вершины графа называется число ребер, которым эта вершина
принадлежит. Вершина называется изолированной, если ее степень равна единице и висячей, если ее степень равна нулю.
Опр е д е л е н и е . Графы 1 1 1( , )G V X и 2 2 2( , )G V X называются изоморфными, если существует взаимно однозначное отображение 1 2:V Vϕ → , сохраняющее смежность.
Опр е д е л е н и е . Маршрутом (путем) для графа G(V, X) называется последовательность
1 1 2 2 3 1k kv x v x v x v +… . Маршрут называется замкнутым, если его начальная и конечная точки совпадают. Число ребер (дуг) маршрута (пути) графа называется длиной маршрута (пути).
Опр е д е л е н и е . Незамкнутый маршрут (путь) называется цепью. Цепь, в которой все вершины попарно различны, называется простой цепью.
Опр е д е л е н и е . Замкнутый маршрут (путь) называется циклом (контуром). Цикл, в котором все вершины попарно различны, называется простым циклом.
Матрицы графов
Пусть D = (V, X) - орграф, где 1 n 1 mV = {v , , v }, X = {x , , x }.… …
Опр е д е л е н и е . Матрицей смежности орграфа D называется квадратичная матрица ijA(D) = [a ] порядка n , у которой
i
i
1, если (v , )
0, если (v , ) j
ijj
v Xa
v X
∈⎧⎪= ⎨ ∉⎪⎩
73
Опр е д е л е н и е . Если вершина v является концом ребра x , то говорят, что v и x - инцидентны.
Опр е д е л е н и е . Матрицей инцидентности орграфа D называется матрица размерности n m× ijB(D) = [b ], у которой
i j
i j
i j
1, если вершина v концом дуги x
1, если вершина v началом дуги x
0, если вершина v не инцидентна дуге xij
является
b является
⎧⎪
= −⎨⎪⎩
Если граф имеет кратные дуги (ребра), то в матрице смежности принимается ija k= , где k - кратность дуги (ребра).
С помощью матриц смежности и инцидентности всегда можно полностью определить граф и все его компоненты. Такой метод задания графов очень удобен для обработки данных на ЭВМ.
Достижимость и связность Опр е д е л е н и е . Вершина w графа D (или орграфа) называется достижимой из вершины
v , если либоw v= , либо существует путь из v в w (маршрут, соединяющий v и w ). Опр е д е л е н и е . Граф (орграф) называется связным, если для любых двух его вершин
существует маршрут (путь), который их связывает. Орграф называется односторонне связным, если для любых двух его вершин по крайней мере одна достижима из другой.
Опр е д е л е н и е . Псевдографом D(V, X) , ассоциированным с ориентированным псевдографом, называется псевдограф 0G(V, X ) в котором 0x получается из x заменой всех упорядоченных пар (v, w) на неупорядоченные пары (v, w) .
Опр е д е л е н и е . Орграф называется слабо связным, если связным является ассоциированный с ним псевдограф.
Эйлеровы и гамильтоновы графы Опр е д е л е н и е . Цепь (цикл) в псевдографе G называется эйлеровым, если она проходит
по одному разу через каждое ребро псевдографа G . Т е о р ем а . Для того, чтобы связный псевдограф G обладал эйлеровым циклом,
необходимо и достаточно, чтобы степени его вершин были четными. Т е о р ем а . Для того, чтобы связный псевдограф G обладал эйлеровой цепью, необходимо
и достаточно, чтобы он имел ровно две вершины нечетной степени. Опр е д е л е н и е . Цикл (цепь) в псевдографе G называется гамильтоновым, если он
проходит через каждую вершину псевдографа G ровно один раз. Пример. в графе есть и эйлеровый и гамильтонов циклы
74
в графе есть эйлеров цикл, но нет гамильтонова в графе есть гамильтонов, но нет эйлерова цикла в графе нет ни эйлерова, ни гамильтонова цикла Граф G называется полным, если каждая его вершина смежна со всеми остальными
вершинами. В полном графе всегда существуют гамильтоновы циклы. Также необходимым условием существования гамильтонова цикла является связность
графа.
Деревья и циклы Опр е д е л е н и е . Граф G называется деревом, если он является связным и не имеет
циклов. Граф G , все компоненты, связности которого являются деревьями, называется лесом. У графа, который является деревом, число ребер на единицу меньше числа вершин. Дерево
не содержит циклов, любые две его вершины можно соединить единственной простой цепью. Если у дерева G есть, по крайней мере, одно ребро, то у него обязательно найдется висячая
вершина, т.к. в противном случае в графе будет цикл. Для графов, которые сами по себе не являются деревьями, вводится понятие основного
дерева. Опр е д е л е н и е . Островным деревом связного графа G называется любой его подграф,
содержащий все вершины графа G и являющийся деревом. Пусть G - связный граф. Тогда основное дерево графа G (если оно существует) должно
содержать ( )n G -1 ребер. Таким образом, любое основное дерево графа G есть результат удаления из графа G ровно
m(G) - (n(G) - 1) = m(G) - n(G) + 1 ребер. Число v(G) = m(G) - n(G) + 1 называется цикломатическим числом связного графа G . Одной из самых распространенных задач является задача построения основного дерева
минимальной длины графа. Для решения этой задачи применяется следующий алгоритм. 1. Выберем в графе G ребро минимальной длины. Вместе с инцидентными ему вершинами
оно образует подграф 2G .
75
2. Строим граф 3G , добавляя к графу 2G новое ребро минимальной длины, выбранное среди ребер графа G , каждое из которых инцидентно какой либо вершине графа 2G , и одновременно инцидентно какой-либо вершине графа G , не содержащейся в графе 2G .
3. Строим графы 4 5, , , nG G G… , повторяя действия пункта 2 до тех пор, пока не переберем все вершины графа G . На четвертом шаге алгоритма получили дерево 5G , которое соединяет все вершины исходного графа. Таким образом, дерево 5G , будет минимальным основным деревом графа G .
Квадратичные формы
Опр е д е л е н и е : Однородный многочлен второй степени относительно переменных 1x и
2x 2 21 2 11 1 12 1 2 22 2Ф(x , ) 2x a x a x x a x= + + , не содержащий свободного члена и неизвестных в первой
степени, называется квадратичной формой переменных 1x и 2x
Опр е д е л е н и е : Однородный многочлен второй степени относительно переменных 1x , 2x и 3x .
2 2 21 2 3 11 1 22 2 33 3 12 1 2 23 2 3 13 1 3Ф(x , , ) 2 2 2x x a x a x a x a x x a x x a x x= + + + + + не содержащий свободного
члена и неизвестных в первой степени называется квадратичной формой переменных 1x , 2x и
3x .
Рассмотрим квадратичную форму двух переменных. Квадратичная форма имеет
симметрическую матрицу 11 12
21 22
A=a aa a⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
. Определитель этой матрицы называется
определителем квадратичной формы. Пусть на плоскости задан ортогональный базис 1 2,e e . Каждая точка плоскости имеет в этом
базисе координаты 1x , 2x .
Если задана квадратичная форма 2 21 2 11 1 12 1 2 22 2Ф(x , ) 2x a x a x x a x= + + , то ее можно
рассматривать как функцию от переменных 1x и 2x .
Приведение квадратичных форм к каноническому виду
Рассмотрим некоторое линейное преобразование A с матрицей 11 12
21 22
a aA
a a⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
.
Это симметрическое преобразование можно записать в виде: 1 11 1 12 2y = a x + a x
2 12 1 22 2y = a x + a x
где 1y и 2y - координаты вектора хА в базисе 1 2,e e .
Очевидно, что квадратичная форма может быть записана в виде 1 2 1 1 2 2Ф(x , )x x y x y= + .
Как видно, геометрический смысл числового значения квадратичной формы Ф в точке с координатами х1 и х2 - скалярное произведение x Ax Ф⋅ = .
Если взять другой ортонормированный базис на плоскости, то в нем квадратичная форма Ф будет выглядеть иначе, хотя ее числовое значение в каждой геометрической точке и не изменится. Если найти такой базис, в котором квадратичная форма не будет содержать координат в первой степени, а только координаты в квадрате, то квадратичную форму можно будет привести к каноническому виду.
76
Если в качестве базиса взять совокупность собственных векторов линейного преобразования, то в этом базисе матрица линейного преобразования имеет вид:
1
2
00
Aλ
λ⎛ ⎞′ = ⎜ ⎟⎝ ⎠
.
При переходе к новому базису от переменных 1x и 2x мы переходим к переменным 1х′ и 2х′ . Тогда:
1 1 2 2
1 11 1 12 2
2 12 1 22 2
Ф x y x yy a x a xy a x a x
′ ′ ′ ′= +′ ′ ′ ′ ′= +′ ′ ′ ′ ′= +
Тогда 1 1 1y xλ′ ′= , 2 2 2y xλ′ ′= .
Выражение 2 21 2 1 1 2 2( , ) ( ) ( )Ф x x x xλ λ′ ′ ′ ′= + называется каноническим видом квадратичной
формы. Аналогично можно привести к каноническому виду квадратичную форму с большим числом переменных.
Теория квадратичных форм используется для приведения к каноническому виду уравнений кривых и поверхностей второго порядка.
Прим е р . Привести к каноническому виду квадратичную форму 2 2
1 2 1 1 2 2( , ) 27 10 3Ф x x x x x x= − + .
Коэффициенты: 11 27a = , 12 5a = , 22 3a = .
Составим характеристическое уравнение: 27 5
05 3λ
λ−
=−
;
(27 )(3 ) 25 0λ λ− − − = 2 30 56 0λ λ− + = ; 1 2λ = ; 2 28λ = ; 2
22
121 282),( ххххФ ′+′=′′
Собственные значения и собственные вектора Опр е д е л е н и е : Пусть L - заданное n - мерное линейное пространство. Ненулевой вектор
х L∈ называется собственным вектором линейного преобразования A , если существует такое число λ, что выполняется равенство: A x xλ= .
При этом число λ называется собственным значением (характеристическим числом) линейного преобразования A , соответствующего вектору х .
Опр е д е л е н и е : Если линейное преобразование A в некотором базисе 1 2, , , ne e e… имеет
матрицу
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...... ... ... ...
...
n
n
n n nn
a a aa a a
A
a a a
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
, то собственные значения линейного преобразования А можно
найти как корни 1λ , 2λ , … , nλ уравнения:
11 12 1
21 22 2
1 2
0
n
n
n n nn
a a aa a a
a a a
λλ
λ
−−
=
−
……
… … … ……
Это уравнение называется характеристическим уравнением, а его левая часть - характеристическим многочленом линейного преобразования A .
77
Следует отметить, что характеристический многочлен линейного преобразования не зависит от выбора базиса.
Рассмотрим частный случай. Пусть A - некоторое линейное преобразование плоскости,
матрица которого равна 11 12
21 22
a aa a⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
. Тогда преобразование А может быть задано формулами:
11 12
21 22
a aa a⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
1 1
2 2
x xx x
⎛ ⎞ ⎛ ⎞′=⎜ ⎟ ⎜ ⎟′⎝ ⎠ ⎝ ⎠
; 1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
x a x a xx a x a x′ = +⎧
⎨ ′ = +⎩в некотором базисе 1 2,e e .
Если преобразование A имеет собственный вектор с собственным значением λ , то A x xλ= .
1 1 11 1 12 2
2 1 21 1 22 2
x x a x a xx x a x a x
λλ
′ = = +⎧⎨ ′ = = +⎩
или 11 1 12 2
21 1 22 2 2
( ) 0( ) 0
a x a xa x a x x
λλ
− + =⎧⎨ + − =⎩
Т.к. собственный вектор x ненулевой, то х1 и х2 не равны нулю одновременно. Т.к. данная система однородна, то для того, чтобы она имела нетривиальное решение, определитель системы должен быть равен нулю. В противном случае по правилу Крамера система имеет единственное решение - нулевое, что невозможно.
211 1211 22 12 21 11 22 11 22 12 21
21 22
( )( ) ( ) ( )a a
a a a a a a a a a aa aλ
λ λ λ λ−
Δ = = − − − = − + + −
Полученное уравнение является характеристическим уравнением линейного преобразования A .
Таким образом, можно найти собственный вектор х 1 2( , )x x линейного преобразования A с собственным значением λ , где λ - корень характеристического уравнения, а 1x и 2x - корни системы уравнений при подстановке в нее значения λ .
Понятно, что если характеристическое уравнение не имеет действительных корней, то линейное преобразование A не имеет собственных векторов.
Следует отметить, что если х - собственный вектор преобразования A , то и любой вектор ему коллинеарный - тоже собственный с тем же самым собственным значением λ .
Действительно, ( ) ( )A kx kAx k x kxλ λ= = = . Если учесть, что векторы имеют одно начало, то эти векторы образуют так называемое собственное направление или собственную прямую.
Т.к. характеристическое уравнение может иметь два различных действительных корня 1λ и
2λ , то в этом случае при подстановке их в систему уравнений получим бесконечное количество решений. (Т.к. уравнения линейно зависимы). Это множество решений определяет две собственные прямые.
Если характеристическое уравнение имеет два равных корня 1 2λ λ λ= = , то либо имеется
лишь одна собственная прямая, либо, если при подстановке в систему она превращается в
систему вида: 1 2
1 2
0 0 00 0 0x xx x⋅ + ⋅ =⎧
⎨ ⋅ + ⋅ =⎩. Эта система удовлетворяет любым значениям 1x и 2x . Тогда все
векторы будут собственными, и такое преобразование называется преобразованием подобия. Пример. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного
преобразования с матрицей 5 42 3
A ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
.
Запишем линейное преобразование в виде: 1 1 1 2
2 2 1 2
5 42 3
x x x xx x x x
λλ
′ = = +′ = = +
Составим характеристическое уравнение:
78
25 4(5 )(3 ) 8 15 3 5 8 0
2 3λ
λ λ λ λ λλ
−= − − − = − − + − =
−
2 8 7 0λ λ− + = ; Корни характеристического уравнения: 1 27; 1;λ λ= =
Для корня 1 7λ = : 1 2
1 2
(5 7) 4 02 (3 7) 0
x xx x− + =⎧
⎨ + − =⎩ 1 2
1 2
2 4 02 4 0x xx x− + =⎧⎨ − =⎩
Из системы получается зависимость: 1 22 0x x− = . Собственные векторы для первого корня характеристического уравнения имеют координаты: ( ,0,5 )t t где t- параметр.
Для корня 2 1λ = : 1 2
1 2
(5 1) 4 02 (3 1) 0
x xx x− + =⎧
⎨ + − =⎩ 1 2
1 2
4 4 02 2 0x xx x+ =⎧
⎨ + =⎩
Из системы получается зависимость: 1 2 0x x+ = . Собственные векторы для второго корня характеристического уравнения имеют координаты: ( , )t t− где t- параметр.
Полученные собственные векторы можно записать в виде:
1 1 2( 0,5 );u t e e= + 2 1 2( )u t e e= − .
Элементы топологии Топология изучает понятия непрерывности и близости с абстрактной точки зрения. Опр е д е л е н и е . Окрестностью точки р называется произвольное множество U ,
содержащее открытый шар (не включая границу) с центром в точке p . Окрестностью на плоскости, очевидно, является открытый круг с центром в точке p . Из определения окрестности вытекают следующие очевидные свойства: 1. Точка p принадлежит любой своей окрестности. 2. Если U - окрестность точки p , а V U⊃ , то V - тоже окрестность точки p . 3. Если U и V - окрестности точки р, то их пересечение U V∩ тоже будет окрестностью
точки p . 4. Если U - окрестность точки p , то можно найти такую окрестность V точки p , что
W V U= ⊂ является окрестностью является окрестностью каждой из своих точек. Опр е д е л е н и е . Топологическим пространством называется множество E , каждая точка
которого p имеет набор подмножеств множества E , называемых окрестностями точки p и удовлетворяющих приведенным выше свойствам.
Частным случаем топологического пространства является метрическое пространство. Опр е д е л е н и е . Пусть E - топологическое пространство, а F - его подмножество. Пусть
p - точка множества F . Назовем подмножество U множества F окрестностью точки p в F , если U F V= ∩ , где V - окрестность точки p в E .
При этом множество F называется подпространством пространства E .
Метрическое пространство Опр е д е л е н и е . Метрикой на множестве E называется функция ( , )f x y , определенная на
декартовом произведении E E× , значениями которой являются неотрицательные действительные числа, удовлетворяющая при любых значениях , ,x y z из множества E следующим условиям:
1. f(x, y) = f(y, x) 2. f(x, y) + f(y, x) f(x, y)≥
79
3. f(x, y) = 0 тогда и только тогда, когда x=y . Опр е д е л е н и е . Метрическим пространством называется множество E с заданной на нем
метрикой f. Опр е д е л е н и е . Число ( , )x yρ , где x E∈ и y E∈ - заданные точки, называется
расстоянием между этими точками. Опр е д е л е н и е . Пусть r - положительное число. Множество {y: (x, y) < r} ρ называется
открытым шаром радиуса r с центром в точке x ; множество {y: (x, y) r} ρ ≤ - замкнутым шаром радиуса r с центром в точке x .
Нап р им е р , для трехмерного евклидова пространства 3R метрика определяется как 2 2 2
1 1 2 2 3 3( , ) ( ) ( ) ( )x y x y x y x yρ = − + − + − , где 31 2 3x(x , , )x x R∈ и 3
1 2 3y(y , , )y y R∈ .
Открытые и замкнутые множества Опр е д е л е н и е . Пусть E - топологическое пространство, а U - его подмножество.
Множество U называется открытым, если оно является окрестностью для любой точки Uρ ∈ . Опр е д е л е н и е . Пусть E - топологическое пространство, а F - его подмножество.
Множество F называется замкнутым, если множество \E F - открыто. Отметим следующие свойства: 1. Объединение любой совокупности открытых множеств открыто. 2. Пересечение конечного числа открытых множеств открыто. 3. Пересечение любой совокупности замкнутых множеств замкнуто. 4. Объединение конечного числа замкнутых множеств замкнуто. Опр е д е л е н и е . Если A - любое множество в топологическом пространстве E , то
объединение всех открытых множеств, содержащихся в A , открыто. Это объединение называется внутренностью множества A .. Обозначается IntA . Это объединение будет наибольшим открытым множеством, содержащимся в A .
Опр е д е л е н и е . Множество А называется замыканием множества A . Множество FrA A CA= ∩ называется границей множества A .
Непрерывные отображения Пусть E и F - топологические пространства, и пусть f - отображение пространства E в
F . f: E F→ . Непрерывность отображения состоит в том, что точки, близкие друг к другу в множестве E ,
отображаются в точки, близкие друг к другу в множестве F . Опр е д е л е н и е . Отображение f : E F→ называется непрерывным в точке p , если для
любой окрестности V точки ( )f p в множестве F существует такая окрестность U точки в множестве E , что ( )F U V⊂ . Отображение f называется непрерывным, если оно непрерывно в каждой точке пространства E .
Особое значение имеют те непрерывности отображения, для которых существует непрерывное обратное отображение.
Опр е д е л е н и е . Если f - взаимно однозначное отображение пространства E в F , то существует обратное отображение g пространства F в E . Если и f и g непрерывны, то отображение f называется гомеоморфизмом, а пространства E и F - гомеоморфные.
Гомеоморфизм между множествами устанавливает взаимно однозначное соответствие между окрестностями, закрытыми и открытыми подмножествами этих множеств.
80
Топологические произведения Пусть E и F - топологические пространства. Множество E F× определяется как
множество пар ( , )p q , где p E∈ , a q F∈ . Оно превращается в топологическое пространство следующим образом: если ( , )p q E F∈ × , то окрестность точки ( , )p q - это любое множество, содержащее множество вида U V× , где U - окрестность точки p в E , a V - окрестность q в F .
Опр е д е л е н и е . Множество E F× , превращенное в топологическое пространство только что описанным способом, называется топологическим произведением пространств E и F .
Например, в трехмерном евклидово пространстве тор является топологическим произведением окружности на себя.
Связность Определение. Пространство E называется связным, если его нельзя представить в виде
объединения двух непустых непересекающихся множеств, открытых в E . Множество в топологическом пространстве называется связным, если оно связно как подпространство.
Если E и F - связные пространства, то произведение E F× также связно.
Компактность Понятие компактности обобщает свойство быть замкнутым и ограниченным множеством в
евклидовом пространстве. Определение. Топологическое пространство называется хаусдорфовым, если оно обладает
следующим свойством: каковы бы ни были две различные точки p и q , существует такая окрестность U точки p и такая окрестность V точки q , что U V∩ =∅ .
Любое евклидово пространство является хаусдорфовым. Любое подпространство евклидова пространства хаусдорфово. На самом деле любое
подпространство любого хаусдорфова пространства хаусдорфово. Прежде чем определять компактность, приведем несколько предварительных определений.
Определение. Покрытие топологического пространства E - набор множеств из E , объединение которых дает все пространство E . Оно называется открытым покрытием, если каждое множество в наборе открыто.
Определение. Пусть дано покрытие топологического пространства. Подпокрытием называется покрытие, все множества которого принадлежат данному покрытию.
Определение. Компактным пространством называется хаусдорфово пространство, обладающее тем свойством, что каждое его открытое покрытие содержит конечное подпокрытие, т.е. покрытие, состоящее из конечного числа множеств. Множество в топологическом пространстве называется компактным, если оно является компактным подпространством.
Компактное подмножество евклидова пространства должно быть замкнутым и ограниченным. Если перемножаемые компактные пространства A и B лежат в евклидовых пространствах размерностей m и n , то их произведение есть подпространство в ( )n m+ -мерном пространстве. Так как пространства A и B компактны, они замкнуты и ограничены. Поэтому их произведение является замкнутым и ограниченным подмножеством евклидова пространства. Следовательно, A B× компактно.
