Embed Size (px)
Citation preview
1
Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию
Владимирский государственный университет
ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА
Методические указания к практическим занятиям
Составители: Л.А. Буланкина О.И. Трубина
Владимир 2004
2
УДК 336.6 (075.8)
Рецензент Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры статистики ВЗФИ
Н.Н. Полякова
Буланкина Л. А., Трубина О. И. ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА. Методические указания к практическим занятиям. Владим. гос. ун-т. Владимир, 2004.
Методические указания содержат материалы для проведения практических занятий и контрольных мероприятий по следующим темам начального курса финансовой математики: процентные расчёты, анализ финансовой эффективности инвестиций, эффективный портфель ценных бумаг. Предназначены для преподавателей и студентов экономических и инженерных специальностей ВлГУ.
Библиогр.: 5назв.
3
ВВЕДЕНИЕ
Данная работа является частью методического обеспечения начального курса финансовой математики, читаемого студентам инженерных специальностей ВлГУ.
Семестровый курс объёмом 34 часа лекций и 17 часов практических занятий включает следующие разделы:
процентные расчёты, в том числе финансовые ренты и амортизация займов; анализ финансовой эффективности инвестиций; элементы теории риска; эффективный портфель ценных бумаг; начала актуарной математики. Методические указания составлены в соответствие с тематикой курса и содержит
материалы для контроля знаний студентов. Они включают список теоретических вопросов и набор задач, которые могут быть использованы как при проведения практических занятий так и при составлении вариантов контрольных работ. Приведены также варианты тестов для рейтинговых контрольных работ, а также варианты типового расчёта по первой теме курса - “Процентные расчёты” и перечень экзаменационных вопросов.
При разработке методических указаний использовалась следующая литература: Четыркин Е.М. Финансовая математика, М.: Дело, 2002. Ковалёв В.В. Финансовый анализ, М: Финансы и статистика, 1998. Лукашин Ю.П. Финансовая математика, М.: МЭСИ, 1998. Малыхин В.И. Финансовая математика, М.: ЮНИТИ - ДАНА, 1999. Салин В.Н., Абламская Л.В., Ковалёв О.Н. Математико-экономическая методология
анализа рисковых видов страхования; М: АНКИЛ, 1997 . Данная работа может быть рекомендована студентам инженерных и экономических
специальностей для самостоятельной работы при изучении начального курса финансовой математики.
4
Вопросы для обсуждения на практических занятиях
1. Как учитывается фактор времени в финансовых расчетах? 2. В чем основное отличие бухгалтерских расчетов от финансовых? 3. Что такое сумма процентов или просто проценты, каковы единицы измерения
процентов? 4. В чем основное различие между простыми и сложными ставками процентов? 5. Что такое дисконтирование? Какие виды дисконтирования вы знаете? 6. Что такое дисконт? 7. Сравните простую ставку наращения и простую учетную ставку. 8. Что такое номинальная и эффективная ставки процентов? 9. Как начисляются проценты при дробном числе периодов начисления? 10. Что означает «приведение суммы»? 11. Дайте определение номинальной и эффективной учетной ставки. 12. Как вводятся непрерывные проценты и что такое сила роста? 13. Выведите формулы эквивалентного перехода от непрерывных ставок к
дискретным и наоборот. 14. Выведите формулы расчета всех известных вам процентных ставок. 15. Что такое инфляция, как она измеряется? 16. Приведите и объясните формулы наращения по простым и сложным процентам в
условиях инфляции. 17. Как определить реальную ставку наращения по простым и сложным процентам в
условиях инфляции? 18. Что такое брутто-ставка и инфляционная премия? 19. Что понимается под потоком платежей? 20. Дайте определение финансовой ренты. 21. Каковы параметры ренты? 22. Перечислите виды финансовых рент, дайте их классификацию по различным признакам. 23. Какие две обобщающие характеристики ренты вы знаете? 24. Что такое «коэффициент наращения» и «коэффициент приведения» ренты? 25. Какие варианты конверсии валюты и начисления процентов вы знаете? 26. Укажите основные закономерности связи доходности краткосрочного
депозита с двойной конверсией с темпом роста обменного курса в случае, когда исходная сумма - в валюте? Какие критические точки можно отметить на графике этой зависимости?
27. Укажите основные закономерности связи доходности краткосрочного депозита с двойной конверсией с темпом роста обменного курса в случае, когда исходная сумма - в рублях? Какие критические точки можно отметить на графике этой зависимости?
28. Укажите основные закономерности связи доходности депозита с двойной конверсией с темпом роста обменного курса в случае, когда исходная сумма - в рублях и проценты начисляются по ставке сложных процентов? Какие критические точки можно отметить на графике этой зависимости?
29. Какие два метода расчетов в случае погашения краткосрочной задолженности частичными (промежуточными) платежами вы знаете?
30. Привести классификацию методов оценки инвестиционных проектов, достоинства и недостатки этих методов.
31. Какой из методов оценки распространен на практике и почему? 32. Какие две характеристики проекта выявляются только с помощью критерия PP и почему? 33. Что такое “ точка Фишера ” и как ее найти? 34. Как учесть при анализе проекта темп инфляции? 35. Какие виды риска существуют и в чем принципиальное различие между ними? 36. Можно ли управлять величиной несистематического риска? 37. Какие количественные оценки риска вероятностной финансовой операции вы знаете? 38. В чем заключается прием диверсификации, с какой целью он применяется, и при
каком условии этот прием эффективен? 39. Как изменяются доходность и риск “двухбумажного” портфеля в зависимости от его
5
структуры (рассмотреть случаи: независимость доходов, полная положительная и полная отрицательная корреляция доходов).
40. Как определяется множество, оптимальное по Парето? 41. Что понимается под термином “эффективный портфель” (или “оптимальный” по
Парето)? 42. Привести математическую постановку задачи формирования оптимального портфеля
(портфель Марковица минимального риска, портфель Марковица максимальной эффективности).
43. Привести математическую постановку задачи формирования оптимального портфеля с безрисковой компонентой (портфель Тобина минимального риска, портфель Тобина максимальной эффективности).
44. Какова структура портфеля Тобина минимального риска? ( Вывести формулу и дать качественную интерпретацию полученного решения).
45. Как связаны риск и эффективность портфеля Тобина? 46. Какими свойствами обладает отношение предпочтения, определяемое на множестве
альтернатив? 47. Как определяется функция полезности рисковых альтернатив? 48. Как опытным путем можно найти функцию полезности дохода данного лица? 49. Назовите основные свойства функции полезности. 50. Как на основании функции полезности осуществляется выбор из имеющихся
альтернатив?
Задачи для практических занятий
1. На вторичном рынке куплена облигация ГКО за 900 руб. Какова доходность операции к погашению, если до погашения осталось 2 месяца? Доходность выразить в виде простой годовой процентной ставки и простой годовой учетной ставки. Номинал облигации 1000руб. 2. Долговое обязательство выписано на сумму 5000 руб. с уплатой через 300 дней, предусматривая, что стоимость кредита составляет 20% этой суммы. Чему равна доходность кредитора, измеряемая простой ставкой наращения i и учетной ставкой d? 3. Долговое обязательство уплатить 10000 руб. с процентами, начисляемыми по простой годовой процентной ставке 25% в течение 150 дней (временная база К=365), через 100 дней было учтено в банке по учетной ставке 20% (временная база 360). Сколько получил кредитор? Чему равен дисконт банка? 4. Вы хотите удвоить сумму в течение 3 лет. Каково минимально приемлемое значение годовой ставки сложных процентов? 5. Банк начисляет 20% годовых. Чему должен быть равен первоначальный вклад, чтобы через три года иметь на счете 10 млн. руб., если проценты начисляются ежеквартально? 6. Под вексель на сумму в 15 тыс. руб. был выдан кредит в размере 10 тыс. руб. на 2 года. Какую учетную ставку означает такая сделка? 7. Вы разместили средства в виде трехмесячного депозита под ставку 40% годовых простых процентов. Но темп инфляции составил 35% годовых. Какова реальная ставка процентов?
6
8. Вы предоставили кредит на 2 года под номинальную ставку 40% годовых, предусмотрев ежеквартальное начисление процентов. За это время темп инфляции составил 20% в год. Какова реальная ставка сложных процентов? 9. Предполагаемый темп инфляции 12% в год. Какую ставку сложных процентов нужно проставить в контракте, если желательна реальная доходность 8%? Чему равна инфляционная премия? 10. Для формирования фонда делаются взносы по 10 000 руб. ежемесячно. На накопленные средства начисляют сложные проценты по ставке 12% в год. Определить реальную величину фонда через 3 года, если ожидается темп инфляции 3% в год. 11. Долг в сумме 100 000 д.е. погашается равными срочными уплатами в конце года в течение 4 лет. Какова сумма погашения основного долга за первые два года при ставке процента - 10% годовых сложных процентов? Какова сумма выплаченных процентов? 12. Требуется погасить текущую задолженность в размере 100 тыс.руб. равными ежеквартальными платежами в течение двух лет. Рассчитайте размер платежа, если на остаток долга ежеквартально начисляются проценты по номинальной ставке 24% годовых. 13. Дан потребительский кредит в размере 3 млн. руб. на 2 года под 20% за каждый год. Выплаты равные, ежемесячные. Определить размер погасительного платежа и доходность для кредитора в виде годовой ставки сложных процентов. 14. Имеется сумма в долларах США, которую предполагается разместить в виде трехмесячного депозита. Обменный курс в начале операции 6 руб. за доллар, ожидаемый курс обмена в конце операции 6 руб. 20 коп. за доллар, годовая ставка простых процентов по рублевым депозитам 20%, а по валютным 10%. Как выгоднее разместить вклад, как валютный или через конверсию в рублях? 15. Имеется сумма в долларах. Какова реальная доходность от ее размещения в виде трехмесячного рублевого (т.е. с двойной конвертацией) депозита, если за это время ожидается темп прироста обменного курса 0,5% в месяц, годовой темп инфляции 16%, ставка налога на проценты 20%? 16. Долг в сумме 500 тыс. руб. требуется погасить в течение 1 года 3 месяцев с 21 января 1997 г. по 21 апреля 1998 г. Кредитор согласен получать частичные платежи. Предусматривается начисление простых процентов по ставке 20% годовых.
Частичные платежи были следующими: 21 апреля 1997 г. 50 тыс. руб. 21 июля 1997 г. 20 тыс. руб. 21 октября 1997 г. 50 тыс. руб. 21 января 1998 г. 50 тыс. руб.
Рассчитать контур финансовой операции для актуарного метода и метода торговца и определить размер суммы последнего погасительного платежа для окончательного расчета в обоих методах. Результаты сравнить.
7
17. 20 января в банке открыт счет до востребования с первоначальным вкладом 7 тыс. руб. Годовая ставка простых процентов равна 10%. 30 марта был сделан дополнительный взнос на счет в размере 3 тыс. руб., а 25 июля снято 6 тыс. руб. Определить сумму процентов и общую сумму, полученную вкладчиком при закрытии счета 20 октября. При расчетах применить германскую практику. 18. Имеются 2 инвестиционных проекта. Приведенная величина капитальных вложений К одинакова. Величина чистого приведенного дохода (ЧПД) в каждом проекте неопределенна и, по оценке экспертов, имеет следующее распределение:
Проект 1 Проект 2 ЧПД Вероятность ЧПД Вероятность 3000 0,1 2000 0,1 3500 0,2 3000 0,25 4000 0,3 4000 0,3 4500 0,3 5000 0,2 5000 0,1 7000 0,15
Какой проект предпочтительней? Имеет ли смысл принять долевое участие в каждом из этих проектов при общем объеме направляемых инвестиций К (если да, то в какой пропорции)?
19. Имеются данные о двух инвестиционных проектах: принятом проекте А и предлагаемом новом проекте В:
120055009002500
.........
..........
ВА
доходагоприведенночистогоотклонениескоеквадратичесреднее
доходагоприведенночистогоожиданиемат
Известен коэффициент корреляции rАВ = 0,3 доходов по проектам А и В. В случае принятия проекта В чему равен коэффициент вариации дохода? Приведет ли принятие проекта В к снижению относительного предпринимательского риска фирмы? 20. Эффективности и риски портфелей P1 , P2, P3, P4 указаны в таблице Портфель P1 P2 P3 P4 Эффективность 2 2, 5 3 4 Риск (σр) 8,7 8,7 10 11 Указать доминируемые и недоминируемые (оптимальные по Парето) портфели. 21. Имея безрисковые ценные бумаги с эффективностью 4 и некоррелированные рисковые с эффективностями 8 и 14 и рисками 10 и 30, с помощью компьютера составили портфель Тобина эффективности 12. Доли бумаг получились такими: - 0,51; 1,18; 0,33. Проверьте компьютерные расчеты. Как понимать отрицательную долю безрисковых бумаг? 22. При эмпирическом построении функции полезности дохода некоего лица для дохода от 200 д.е. до 800 д.е. предложена альтернатива:
8
1) гарантированный доход - 530 д.е. или случайный
с распределением вероятностей: рр−1
800200;
при р = 0,6 выбор оказался безразличен. Чему равно значение функция полезности u(530) если u(200) = 5, а u(800) = 10? 23. Пусть функция полезности дохода для некоторого лица есть u(x)= ),1ln( x+ а выигрыши лотереи равномерно распределены на отрезке [0;1] . Какова ожидаемая полезность лотереи? 24. Функция полезности для страхователя: u(x) = x2/3. Страхуемый капитал равен
1500. Возможный ущерб ущерб Х - равномерно распределенная на отрезке [0: 1000] случайная величина. Какова максимальная страховая премия, которую может заплатить страхователь за полную страховую защиту?
9
Задания к типовому расчёту.
Задача 1.
1. В банк положено 100 000 руб. Через 2 года б месяцев на счету было 120 000 руб. Сколько процентов (простых) выплачивает банк в год?
2. Какую сумму надо положить в банк, выплачивающий 4 % простых в год, чтобы получить 50 000 руб. а) через 4 месяца, б) через 1 год в) через 2 года 9 месяцев.
3. Вкладчик положил в банк, выплачивающий 7 % простых в год, вклад 3 000 руб. Какая сумма будет на счету вкладчика а) через 3 месяца, б) через год, в) через 3 года 5 месяцев?
4. В банк, выплачивающий 6 % простых годовых, положили 60 000 руб. Через сколько лет на счету будет 65 400 руб.?
5. Покупатель приобретает костюм, который стоит 50 000 руб. Он уплатил сразу 20 000 руб., а на остальную сумму получил кредит на 1 год 6 месяцев под 4 % годовых (простых), который должен погасить ежемесячными равными уплатами. Чему равна каждая уплата?
6. Г-н Н. покупает в магазине телевизор, цена которого 450 000 руб. На всю эту сумму он получает кредит, который должен погасить за два года равными ежеквартальными уплатами. Чему равна каждая уплата, если магазин предоставляет кредит под 6 % годовых (простых)?
7. Некто разделил капитал в 30 000 руб. на две части, одна из которых в 1,5 раза больше другой. Большую часть он поместил в банк под 5 %, а меньшую в другой банк под 6 %. Какую прибыль получит он с обеих частей через год?
8. Некто занял 25 мая 1999 года в долг 7 200 рублей под 5,5 %, обязавшись уплатить эти деньги вместе с причитающимися к ним процентами 17 марта 2000 года. Сколько он должен заплатить своему кредитору в назначенный срок?
9. Сколько получится процентных денег с капитала в 5 280 руб., отданного под 4,5 % с 24 сентября 1999 года по 15-ое мая 2000 года?
10. Вычислить процентные деньги, которые получатся с капитала в 12 750 руб. отданного под 4.8 % с 28-го августа 1999 года по 9- сентября 2000 года.
11. 23 октября 1999 года в банк положено 4 280 крон под 7,5 %. Какая сумма будет на счету к 17-му декабря 2000 года?
12. Вычислить чистую прибыль, которая получится в 0,8(3) года с капитала в 128 800 руб., вложенного в шестипроцентные бумаги, зная, что при выдаче денег удерживается в доход государства 5 % их стоимости.
13. Под какой процент надо отдать капитал, чтобы через 1 год 4 месяца получить прибыль, равную 2/25 первоначального капитала?
14. Под какой (простой) процент надо отдать капитал, чтобы через 12 лет он утроился? 15. Через какое время 12 250 руб., отданные под 3,5 % (простых) принесут 1 029 рублей
прибыли? 16. Через какое время капитал, отданный под 6 % (простые проценты), утроится? 17. Какой капитал, отданный под 4,5 %, через 1 год 5 месяцев принесет 280 руб. 50 коп.
прибыли? 18. Вычислить капитал, который, отданный под 6 % (простых), через 1 год 5 месяцев 20
дней превратится вместе с прибылью в 13 752 руб. 18 коп.
10
19. Господин К. отдал свой капитал 20 ноября 1999 года под 4,1(6) % (простых). К какому времени прибыль будет равна 5/108 первоначального капитала?
20. Некоторый капитал, отданный под 6 % (простых), через 1 год 2 месяца превратится вместе с процентными деньгами в 3 424 рубля. Найти этот капитал.
21. Через какое время капитал, отданный под 4,5 % (простых), принесет прибыль, равную 3/25 самого капитала?
22. Некто В. разделил свой капитал 18 680 рублей на две части. Одну часть он отдал под 8 % (простых) и через 1 год 4 месяца получил 1 088 рублей прибыли. Другую часть капитала он поместил в банк, выплачивающий 5 % годовых (простых). Через какой срок В. получит со второй части 159 рублей прибыли?
23. По какое время, начиная с 17 марта 1999 года, 6 120 рублей, находящиеся в банке, выплачивающем 6 % (простых) годовых принесет 1 065 руб. 90 коп. прибыли?
24. Господин Д. разделил 30 300 рублей на три части, из которых вторая была на 1 200 руб., а третья на 4 500 рублей меньше первой. 22-го сентября 1999 года Д. поместил первую часть в банк под 4,5 % (простых), вторую под 50 % (простых) и третью под 6 %. Когда общая прибыль со всех трех частей составит 2 349 рублей?
25. 3 400 рублей были отданы господином П. под 5 % (простых) некоторой коммерческой фирме, а 3 250 рублей он положил в банк, выплачивающий 6 %. Через сколько лет обе суммы превратятся вместе с процентными деньгами в одну и туже величину? Проценты в обоих случаях простые.
26. Некто 23 мая 1998 года положил в банк капитал в 1500 рублей под 4,5 %; спустя некоторое время он положил в другой банк еще 1200 рублей под 5 %; таким образом, к 12-му февраля 2000 года процентные деньги, полученные с обоих капиталов, составили сумму 168 рублей 75 копеек. Когда был помещен в банк второй капитал?
27. Бизнесмен купил за 6 600 рублей дом, приносящий 6 % чистого дохода. Спустя 10 месяцев 26 дней после покупки дома, он положил в банк под 5 % капитал в 5 400 рублей. К 1-му сентября 1998 года доход с дома и процентные деньги с 5400 рублей составили вместе 1994 рубля. Когда был куплен дом?
28. Какой капитал, будучи отдан в рост под 7,5 % , обратится через год вместе с процентными деньгами в 1343 рубля 75 копеек?
29. Вычислить капитал, который, будучи отдан в рост под 5,25 %, (простых), обратится через 4 месяца вместе с прибылью в 1 302 рубля 40 копеек.
30. Какой капитал следовало бы отдать под 5 % (простых), чтобы он через 9 месяцев 18 дней превратился вместе с процентными деньгами в сумму, 0,2(6) которой равны 728 рублям?
Задача 2.
1. В банк, начисляющий 6 % годовых (сложных), клиент положил 80 000 руб. Какая сумма будет на счету этого клиента а) через 1 год, б) через 8 месяцев, в) через 4 года, г) через 6 лет и 6 месяцев?
2. Решить упражнение 1, если банк начисляет проценты поставке j3 = 6 %. 3. Г-н Иванов может вложить деньги в банк, выплачивающий проценты по ставке j6 =
10 %. Какую сумму он должен вложить, чтобы получить 20 000 руб. Через 3 года 3 месяца?
4. Г-н Петров хочет вложить 30 000 руб., чтобы через 5 лет получить 40 000 руб. Под какую процентную ставку j12 он должен вложить свои деньги?
11
5. Через сколько лет 1 руб., вложенный в банк, выплачивающий проценты по ставке j1 = 10 % превратиться в 1 000 000 руб.?
6. Клиент вложил в банк 100 000 руб. Какая сумма будет на счету этого клиента через год, если банк начисляет проценты по ставке а) j1 = 5 %, б) j6 = 5 %, в) j12 = 5 %, г) j360 = 5 %, д) j∞ = 5 %?
7. Какая сумма будет на счету клиента из предыдущего примера при условиях а) – д) через 8 лет?
8. Какую сумму надо положить в банк, выплачивающий непрерывные проценты по ставке j∞ = 7 %, чтобы через 10 лет на счету было 50 000 руб.?
9. Банк начислял на вложенные в него деньги проценты непрерывно по ставке в 1990 году – 12 %, в 1991 году – 18 %, в 1992 и 1993 годах – 24 %. Какая сумма будет на счету 31 декабря 1993 года, если 1 января 1990 года на этот счет было положено 30 000 руб.?
10. Г-н Петров имеет вексель на 15 000 руб., который он хочет учесть 1 марта текущего года в банке по сложной учетной ставке, равной 7 %. Какую сумму он получит, если срок векселя а) 1 июля того же года, б) 1 июля следующего года?
11. Банк выдает ссуду на 10 лет или под процент 7 % годовых (сложных), или под простые проценты. Какую ставку простых процентов должен установить банк, чтобы полученный им доход не изменился?
12. Какую ставку сложных процентов должен установить банк из предыдущего упражнения, если он выдает ссуду под 7 % простых годовых?
13. Определить ставку сложных процентов ic, эквивалентную ставке а) j2 = 10 %, б) j6 = 10 %, в) j12 = 10 %, г) j∞ = 10 %.
14. Банк выплачивает на вложенные в него деньги 8 % годовых (сложных). Какую ставку jm должен установить банк, чтобы доходы клиентов не изменились, если а) m = 2, б) m = 6, в) m = 12, г) m = ∞ ?
15. Банк начисляет на вложенные в него деньги проценты по ставке j4 = 6 % и собирается перейти к непрерывному начислению процентов. Какую силу роста должен установить банк, чтобы доходы клиентов не изменились?
16. Банк учитывает вексель за 60 дней до срока его оплаты по простой учетной ставке dn = 6 %. Какую сложную учетную ставку должен установить банк, чтобы доход банка не изменился?
17. Банк учитывает вексель по учетной ставке f3 = 8 % и желает перейти к сложной учетной ставке dc. Какой величины должна быть ставка dc, чтобы доход банка не изменился?
18. На взносы в банк каждые полгода в течение 5 лет по $ 1000 по схеме пренумерандо банк начисляет ежеквартально проценты по ставке 12 % годовых. Какая сумма будет на счете в конце срока?
19. Г-н Н. в течение шести лет намерен ежегодно вкладывать по $ 4000 в облигации с купонной доходностью 7 % (схема пренумерандо). Чему равна сумма к получению в конце периода?
20. Г-н Н. инвестировал $ 700 000 в пенсионный контракт. На основе анализа таблиц смертности страховая компания предложила условия, согласно которым определенная сумма будет выплачиваться ежегодно в течение 20 лет исходя из ставки 15 % годовых. Какую сумму будет получать ежегодно г-н Н.?
12
21. К моменту выхода на пенсию, т.е. через 8 лет, г-н Н. желает иметь на счете $30 000. Для этого он намерен делать ежегодный взнос в банк по схеме пренумерандо. Определите размер взноса, если банк предлагает 7 % годовых.
22. В течение 6 лет каждые полгода в банк вносится по $ 1 000 по схеме пренумерандо. Банк начисляет 10 % годовых каждые полгода. Какая сумма будет на счете в конце срока?
23. Каков ваш выбор - получение $ 5 000 через год или $ 12 000 через 6 лет, если коэффициент дисконтирования равен: а) 0 %, б) 12 %, в) 20 %?
24. Рассчитайте будущую стоимость $ 1 000 для следующих ситуаций: а) 5 лет, 8 % годовых, ежегодное начисление процентов; б) 5 лет, 8 % годовых, полугодовое начисление процентов; в) 5 лет, 8 % годовых, ежеквартальное начисление процентов.
25. Рассчитайте текущую стоимость каждого из приведенных ниже денежных поступлений, если коэффициент дисконтирования равен 12 %: а) 5 млн. руб., получаемые через три года; б) 50 млн. руб., получаемые через 10 лет.
26. Фирме нужно накопить $ 2 млн., чтобы через 10 лет приобрести здание под офис. Наиболее безопасным способом накопления является приобретение безрисковых государственных ценных бумаг, генерирующих годовой доход по ставке 8 % при полугодовом начислении процентов. Каким должен быть первоначальный вклад фирмы?
27. Вы заняли на шесть лет $ 15 000 под 10 % годовых, начисляемых по схеме сложных процентов на непогашенный остаток. Возвращать нужно равными суммами в конце каждого года. Определите, какой процент будет уплачен в третьем году.
28. Вы заняли на 5 лет $ 10 000 под 8 % годовых, начисляемых по схеме сложных процентов на непогашенный остаток. Возвращать нужно равными суммами в конце каждого года. Определите общую сумму процентов к выплате.
29. Ежегодно делается взнос в банк в размере $ 1 000. Какая сумма будет на счете через 10 лет, если взнос делается одной суммой в начале каждого года, а банк начисляет 12 % годовых один раз в два года?
30. На ежеквартальные взносы в банк в размере 100 тыс. руб. по схеме пренумерандо банк начисляет 12 % годовых: а) раз в год; б) раз в полгода. Какая сумма будет на счете через 3 года?
Задача 3.
1. Г-н Петров имеет вексель на 15 000 руб., который он хочет учесть 1 марта текущего года по сложной учетной ставке, равной 7 %. Какую сумму он получит, если срок векселя а) 1 июля того же года, б) 1 июля следующего года?
2. Банк учитывает вексель за 60 дней до срока его оплаты по простой учетной ставке d = 6 %. Какую сложную учетную ставку должен установить банк, чтобы доход банка не изменился?
3. Банк учитывает вексель по учетной ставке f3 = 8 % и желает перейти к сложной учетной ставке dc. Какую сложную учетную ставку должен установить банк, чтобы доход банка не изменился?
4. Некто занял деньги под 6 % на 1 год и 5 месяцев, причем кредитор выдал 549 рублей, за вычетом процентных денег с запятой суммы. На какую сумму был написан вексель при этой сделке?
5. Вексель на 1 400 рублей учтен по 6 % за 8 месяцев до срока. Сколько денег получено по векселю?
13
6. Вексель в 1 250 рублей продан за 2 месяца 20 дней до срока с учетом по 4,5 %. За сколько рублей продан вексель?
7. Банк учитывает вексель в 6 400 рублей за 3 месяца до срока по учетной ставке 12 %. Сколько рублей получено по этому векселю?
8. Вексель в 6 400 рублей продан за 1 120 рублей 10-ю месяцами раньше срока. По какой учетной ставке сделан учет?
9. Вексель в 920 рублей учтен за 1 год 3 месяца до срока за 80 руб. 50 коп. Найти величину учетной ставки?
10. По векселю в 2 450 рублей за 8 месяцев до срока получено 2 381 руб. 40 коп. По какой процентной ставке сделан учет?
11. По векселю за 10 месяцев до срока уплачена сумма, равная 14/15 цены самого векселя. По какой процентной ставке сделан учет этого векселя?
12. Учет с векселя, проданного за 1 год 4 месяца до срока, составил 0,08 вексельной суммы. По какой процентной ставке сделан учет этого векселя?
13. Вексель в 5 400 рублей учтен за 5 месяцев и 10 дней до срока за 5 280 руб. По какой процентной ставке сделан учет этого векселя?
14. За вексель в 3 200 руб., сроком 15 декабря, уплачено 30-го августа того же года 3 144 рубля. По какой процентной ставке сделан учет этого векселя?
15. За вексель в 1 000 рублей, сроком 10 июня 2001 года, уплачено 903 руб. 50 коп. 25 мая 2000 года. По какой процентной ставке сделан учет этого векселя?
16. По векселю за 8 месяцев 10 дней до срока уплачено 2 600 рублей с учетом по 315 %.
Определить вексельную сумму. 17. Некто сделал учет векселя по 4,5 % за 3 мес. 15 дней до срока, и получил по этому
векселю 1 736 руб. 90 коп. Определить вексельную сумму? 18. По векселю, которому до срока оставалось еще 7 мес. 24 дня, уплачено 3 587 руб. 50
коп. с учетом по 6,(6) %. Найти вексельную сумму. 19. Срок векселя 4 марта 1994 года, а 13 апреля 1993 года банк учел его по учетной
ставке 4,5 % уплатив 4 080 рубля. На какую сумму был выписан вексель? 20. Цена векселя 640 крон, а 25 июня 2000 года по нему заплачено 628 крон. Когда
истекает срок этого векселя, если величина учетной ставки 7,5 %? 21. Вексель в 240 $, срок которому наступает 15 февраля 2001 года, продан за 233 $.
Когда был продан вексель, если величина учетной ставки 7,5 %? 22. Учет с векселя в 640 $ по 12,5 % составил 50 $. Когда был сделан этот учет, если срок
векселю наступает 19-го апреля 2001 года? 23. За сколько времени до срока учтен вексель в 1 720 руб., если учет сделан по 4,5 %, и
если по векселю уплачено 1 687 руб. 75 коп.? 24. По векселю в 625 крон, подлежащего уплате 22 мая 2000 года, было получено 600
крон 4 августа 1998 года. По какой процентной ставке сделан учет этого векселя? 25. Бизнесмен А имеет на бизнесмена Б вексель на 2 400 $, подлежащий уплате через 7,5
месяцев; в свою очередь бизнесмен Б имеет на А вексель на 2 500 $, подлежащий уплате через 6 месяцев. Какой из бизнесменов должен доплатить другому и какую сумму, если по первому векселю они желают сделать учет по 4 %, а по второму по 4,8 %?
26. 15 сентября 1999 года был продан вексель за 0,9 вексельной суммы по учетной ставке 7,5 %. Когда истекает срок векселя?
14
27. 10 апреля 1998 года продан вексель за 0,875 его стоимости с учетом по 9 %. Определить срок векселя.
28. Вексель, срок которого 15 сентября 2001 года, был продан 15 ноября 2000 года. Если бы учет был сделан на 0,5 % больше, то денег по этому векселю было получено на 5 рублей меньше. Определить вексельную сумму.
29. За 4 месяца до срока был продан вексель так, что 0.4 вексельной суммы были учтены по 6 %, а остальная часть по 8 %. Учет со всего векселя равен 30 $. Определить вексельную сумму.
30. За 10 месяцев до срока был продан вексель за 3 022 рубля, причем с 0,45 вексельной суммы учет был сделан по 7,5 %, а с остальной его части по 6 %. Определить стоимость векселя.
Задача 4.
Вы заняли на m лет сумму S под i процентов годовых, начисляемых по схеме сложных процентов на непогашенный остаток. Возвращать нужно равными суммами в конце каждого года. Определить какая часть основной суммы кредита будет погашена за первые два года.
№ вар. V = 10A + В
m(V), лет S(V), сумма
% годовых i(V)
1. 1 < V < 6 В + 4 при В < 4
S = 2А + В 1. V + 9
2. 7 < V < 12 В - 1 при В > 5 S = 2A + В 2. V
3. 13 < V < 18 В - 1 при В > 5 S = 2A + В 3. V - 10
4. 19 < V < 24 В - 1 при В > 5 S = 2A + B 4. V - 10
5. 25 < V < 30 В - 1 при В > 5 S= 2A + B 5. V - 20
Задача 5.
1. Фирме нужно накопить 2 млн. крон, чтобы через 10 лет приобрести здание под офис. Наиболее безопасным способом накопления является приобретение безрисковых государственных ценных бумаг, генерирующих годовой доход по ставке 8 % при полугодовом начислении процентов. Каким должен быть первоначальный вклад фирмы?
2. Ежегодно делается взнос в банк в размере 1000 крон. Какая сумма будет на счете через 10 лет, если взнос делается одной суммой в начале каждого года, а банк начисляет 12 % годовых?
3. Ежегодно делается взнос в банк в размере 15 000 крон. Какая сумма будет на счете через 5 лет, если взнос делается одной суммой в начале каждого года, а банк начисляет 10 % годовых?
4. На ежеквартальные взносы в банк в размере 100 тыс. руб. по схеме пренумерандо банк начисляет 12 % годовых: а) раз в год б) раз в полгода. Какая сумма будет на счете через 3 года?
5. На ежеквартальные взносы в банк в размере 175 тыс. руб. по схеме пренумерандо банк начисляет 10 % годовых: а) раз в квартал б) раз в полгода. Какая сумма будет на счете через 2 года?
15
6. Г-н Н. в течение шести лет намерен ежегодно вкладывать по 4 000 в облигации с купонной доходностью 7 % (схема пренумерандо). Чему равна сумма к получению в конце периода?
7. Г-н Н. инвестировал 700 000 в пенсионный контракт. На основе анализа таблиц смертности страховая компания предложила условия, согласно которым определенная сумма будет выплачиваться ежегодно в течение 20 лет исходя из ставки 15 % годовых. Какую сумму будет получать ежегодно г-н Н.?
8. К моменту выхода на пенсию, т.е. через 8 лет, Н. желает иметь на счете 30 000. Для этого он намерен делать ежегодный взнос в банке по схеме пренумерандо. Определите размер взноса, если банк предлагает 7 % годовых.
9. К моменту выхода на пенсию, т.е. через 10 лет, Н. желает иметь на счете 40 000. Для этого он намерен делать ежегодный взнос в банке по схеме пренумерандо. Определите размер взноса, если банк предлагает 8 % годовых.
10. К моменту выхода на пенсию, т.е. через 15 лет, Н. желает иметь на счете 60 000. Для этого он намерен делать ежегодный взнос в банке по схеме пренумерандо. Определите размер взноса, если банк предлагает 10 % годовых.
11. В течение 6 лет каждые полгода в банк вносится по 1 000 по схеме пренумерандо. Банк начисляет 10 % годовых каждые полгода. Какая сумма будет на счете в конце срока?
12. В течение 8 лет каждый квартал в банк вносится по 1 000 по схеме пренумерандо. Банк начисляет 15 % годовых каждые полгода. Какая сумма будет на счете в конце срока?
13. В течение 5 лет каждые полгода в банк вносится по 2 000 по схеме пренумерандо. Банк начисляет 8 % годовых каждые полгода. Какая сумма будет на счете в конце срока?
14. На взносы в банк каждые полгода в течение 5 лет поступает 1 000 по схеме пренумерандо. Банк начисляет ежеквартально проценты по ставке 12 % годовых. Какая сумма будет на счете в конце срока?
15. На взносы в банк каждые полгода в течение 7 лет поступает 500 крон по схеме пренумерандо. Банк начисляет ежеквартально проценты по ставке 15 % годовых. Какая сумма будет на счете в конце срока?
16. На взносы в банк каждый год в течение 10 лет поступает 1 000 по схеме пренумерандо. Банк начисляет ежеквартально проценты по ставке 8 % годовых. Какая сумма будет на счете в конце срока?
17. Взносы на сберегательный счет составляют 200 000 руб. в начале каждого года. Определите, сколько будет на счете через 7 лет при ставке 10 % процентов.
18. Взносы на сберегательный счет составляют 150 000 руб. в начале каждого года. Определите, сколько будет на счете через 10 лет при ставке 8 % процентов годовых.
19. Взносы на сберегательный счет составляют 180 000 руб. в конце каждого года. Определите, сколько будет на счете через б лет при ставке 15% процентов.
20. Взносы на сберегательный счет составляют 175 000 руб. в конце каждого года. Определите, сколько будет на счете через 9 лет при ставке 11 % процентов годовых.
21. Предполагается, что в течение первых двух лет на счет откладывается по 800 000 руб. в конце каждого года, а в следующие три года - по 850 000 руб. в конце каждого года. Определите будущую стоимость этих вложений к концу пятого года, если ставка процента 11 %.
16
22. Предполагается, что в течение первых трех лет на счет откладывается по 500 000 руб. в конце каждого года, а в следующие два года - по 150 000 руб. в конце каждого года. Определите будущую стоимость этих вложений к концу пятого года, если ставка процента 8 %.
23. Предполагается, что в течение первых двух на счет откладывается по 800 000 руб. в начале каждого года, а в следующие три года - по 850 000 руб. в начале каждого года. Определите будущую стоимость этих вложений к концу пятого года, если ставка процента 9 %.
24. Предположим, Вам предлагают два варианта оплаты: сразу заплатить 600 000 руб. или вносить по 110 000 руб. в конце каждого следующего месяца в течение полугода. Вы могли бы обеспечить вложениям 9,7 % годовых. Какой вариант предпочтительнее?
25. Предположим, Вам предлагают два варианта оплаты: сразу заплатить 500 000 руб. или вносить по 115 000 руб. в конце каждого следующего месяца в течение полугода. Вы могли бы обеспечить вложениям 8 % годовых. Какой вариант предпочтительнее?
26. Заем в 980 000 руб. погашается равномерными периодическими платежами по 100 000 руб. каждые полгода в течение семи лет. Определите годовую ставку процента.
27. Заем в 950 000 руб. погашается равномерными периодическими платежами по 80 000 руб. каждые полгода в течение пяти лет. Определите годовую ставку процента.
28. Какую сумму надо вложить в банк, выплачивающий 5 % годовых, чтобы иметь возможность снимать в конце каждого года 50 000 руб., исчерпав весь вклад к концу десятого года?
29. Какую сумму надо вложить в банк, выплачивающий 7 % годовых, чтобы иметь возможность снимать в конце каждого года 25 000 руб., исчерпав весь вклад к концу пятого года?
30. Какую сумму надо вложить в банк, выплачивающий 10 % годовых, чтобы иметь возможность снимать в конце каждого года 45 000 руб., исчерпав весь вклад к концу восьмого года?
Задача 6.
1. Какой контракт на постройку судна за два года выгоднее для рыбаков при ставке сравнения 10 %. Цена судно, первой фирмы 8 млн.; она требует 4 авансовых платежа по 1 млн.: первый - в момент заключения контракта, второй - через полгода, третий - еще через полгода и четвертый еще через полгода. На остальную сумму в момент сдачи судна фирма открывает кредит на 2 года под 6 % годовых, который должен погашать равными срочными выплатами через каждые полгода. Цена судна второй фирмы - 10 млн. при одном авансовом платеже в 5 млн. в момент сдачи судна; на оставшуюся сумму вторая фирма предоставляет кредит на 4 года под 5 % годовых с равными срочными ежегодными выплатами.
2. Станет ли контракт со второй фирмой из упражнения №1 выгоднее, чем с первой, если вторая меняет контракт так, что срок кредита увеличивается до 8 лет?
3. Станет ли контракт со второй фирмой из упражнения №1 выгоднее, чем с первой, если вторая меняет контракт так, что проценты за кредит уменьшаются до 3 % годовых?
4. Станет ли контракт со второй фирмой из упражнения №1 выгоднее, чем с первой, если вторая меняет контракт так, что цена судна уменьшается до 9 млн.?
17
5. Г-н Сидоров положил в банк, выплачивающий проценты по годовой ставке i = 5 % (сложных) сумму 12 000 руб. Через 1 год 6 месяцев он снял со счета 4 500 руб., а еще через 2 года положил на свой счет 2 000 руб. После этого через 3 года 6 месяцев он закрыл свой счет. Какую сумму он получил?
6. Решить предыдущее упражнение при условии, что банк выплачивает проценты по ставке j6 = 5 %.
7. Г-н Иванов положил 3 года назад 5 000 руб. в банк, выплачивающий проценты по ставке j2 = 8 %. Год назад он положил еще 2 000 руб., а через 3 года 6 месяцев после этого снял со счета 3 500 руб. Еще через 6 месяцев он желает положить на свой счет такую сумму, чтобы еще через год на счету было 10 000 руб. Какую сумму он должен положить на свой счет в последний раз?
8. Г-н Федоров положил в банк некоторую сумму. Через 2 года он положил на счет такую же сумму, а еще через 1 год 6 месяцев - снова такую же сумму. Через 2 года 6 месяцев после этого на его счету было 25 000 руб. Какую сумму вносил в банк г-н Федоров каждый раз, если банк начисляет на вложенные деньги проценты по годовой ставке i = 5 % (сложных)?
9. Решить предыдущее упражнение, если банк выплачивает проценты по ставке j12 = 5 %.
10. Решить упражнение 8, если банк выплачивает непрерывные проценты с силой роста δ = 5 %.
11. Фермер взял в банке кредит на сумму 5 млн. руб. под 8 % годовых (сложных). Через год он вернул банку 3 млн. руб., а еще через год взял кредит на сумму 2 млн. руб. Через 2 года после этого фермер вернул полученные кредиты полностью. Какую сумму он при этом выплатил банку?
12. Какую сумму надо положить в банк, выплачивающий проценты по ставке j4 = 10 %, чтобы иметь возможность снять со счета 20 000 руб. через 1 год 6 месяцев и еще 30 000 руб. через 1 год 6 месяцев после этого?
13. Решите предыдущее упражнение, приведя все суммы к моменту последнего изъятия денег.
14. Фермер приобрел трактор, который стоит 2 500 000 руб. в кредит под 12 % годовых (сложных). Через 1 год 6 месяцев он уплатил 1 500 000 руб., а еще через 6 месяцев полностью погасил долг. Какую сумму он при этом выплатил?
15. Предприниматель взял в банке кредит в 12 млн. руб. под 15 % годовых (сложных). Через 6 месяцев он вернул банку 4 500 000 руб., а еще через 6 месяцев - 2 500 000 руб. Спустя 6 месяцев после этого он взял еще ссуду в 3 млн. руб., и через 2 года с момента получения этой ссуды полностью погасил долг. Какую сумму составляет последняя уплата?
16. Строительный комбинат продает коттеджи стоимостью 8 млн. руб., предоставляя покупателям кредит под 12 % годовых (сложных). Г-н Иванов приобрел коттедж. Он выплатил 2 млн. руб. через 3 месяца после покупки, 3 млн. руб. - еще через 6 месяцев, 1 млн. руб. — в конце первого года с момента покупки и погасил весь долг через 1,5 года с момента покупки. Какую сумму составил последний платеж?
17. Г-н Петров приобрел коттедж у строительного комбината из предыдущего упражнения. Он выплатил в момент покупки 3 млн. руб., через год - 2 млн. руб., еще через год - 2 млн. руб. и остаток долга погасил через 2,5 года от момента покупки. Чему равен последний платеж?
18
18. Г-н Сидоров тоже приобрел коттедж у строительного комбината из упражнения 16, обязавшись выплатить долг в течение трех лет равными уплатами по полугодиям (первая уплата - через полгода от момента покупки). Чему равна каждая уплата?
19. Строительный комбинат из упражнения 16 учредил банк, аккумулирующий средства на строительство коттеджей и выплачивающий по вложенным в него деньгам также 12 % годовых (сложных). Г-н Федоров внес в этот банк некоторую сумму за 2 года до приобретения коттеджа, такую же сумму - в момент приобретения коттеджа, еще 2,5 млн. руб. - через год и З млн. руб. - через 2 года с момента приобретения коттеджа, погасив, тем самым, свой долг полностью. Какие суммы вносил г-н Федоров в банк до и в момент приобретения коттеджа?
20. Г-н Николаев внес в банк, описанный в предыдущем упражнении, 3 млн. руб. за год до получения коттеджа и еще 3 млн. руб. - через год после получения коттеджа. Еще через год он внес некоторую сумму, а еще через 2 года погасил долг, внеся 1 млн. руб. Какую сумму он внес через 2 года после получения коттеджа?
21. Г-н Иванов должен уплатить г-ну Смирнову 20 000 руб. 1 января 1994 года. Деньги даны под 15 % годовых (сложных). Какую сумму должен уплатить г-н Иванов, если он вернет долг а) 1 июля 1993 года, б) 1 июля 1995 года, в) 1 января 1996 года?
22. Покупатель обязался уплатить фермеру за купленное у него зерно 3 500 000 руб. через 2 месяца после покупки, 3 000 000 - еще через 2 месяца и 5 200 000 - еще через 3 месяца. Стороны договорились объединить эти платежи в один и выплатить его через 5 месяцев после покупки. Чему равен этот платеж, если на деньги начисляется 8 % годовых?
23. Покупатель из предыдущего упражнения желает выплатить весь долг одним платежом, равным 12 млн. руб. В какой срок, считая с момента покупки, он должен это сделать?
24. Покупатель из упражнения 22 желает выплатить долг двумя равными уплатами через 3 и через 6 месяцев после покупки. Какова должна быть величина каждой из этих уплат?
25. Г-н А. должен уплатить г-ну Б три раза по 25 000 руб. через каждые полтора года от настоящего момента. Г-н А. предложил заплатить 30 000 руб. через 2 года, а остальное - еще через 2 года. Какую сумму он должен уплатить в последний раз, если деньги стоят 9 % годовых (сложных)?
26. Г-н Васильев купил у г-на Дмитриева автомобиль, подписав контракт, в соответствии с которым обязался уплатить 1,5 млн. руб. через 8 месяцев после момента покупки и 2 млн. руб. через 18 месяцев после момента покупки. Г-н Дмитриев желает продать этот контракт банку, получающему 6 % годовых (сложных) на свои деньги. Какую сумму заплатит банк за этот контракт, если купит его в момент его заключения?
27. В условиях предыдущего упражнения, какую сумму должен заплатить банк за контракт, покупая его через полгода после заключения?
28. Станет ли контракт со второй фирмой из упражнения 1 выгоднее, чем с первой, если вторая меняет контракт так, что одновременно цена судна уменьшается до 9 млн., а срок кредита увеличивается до 8 лет?
29. Станет ли контракт со второй фирмой из упражнения 1 выгоднее, чем с первой, если вторая меняет контракт так, что проценты за кредит уменьшаются до 4 % годовых?
30. Станет ли контракт со второй фирмой из упражнения 1 выгоднее, чем с первой, если вторая меняет контракт так, что цена судна увеличивается до 11 млн., а срок кредита увеличивается до 10 лет?
19
Контрольная работа №1. Тема: «Наращение и дисконтирование по простым и сложным процентным
ставкам»
Вариант № 1 1) Практика начисления простых процентов предполагает а) непрерывно возрастающую базу начисления б) периодически убывающую базу начисления в) неизменную базу начисления г) периодически возрастающую базу начисления д) независимость от базы начисления. 2) Практика начисления точного процента основана на использовании а) точного числа дней ссуды б) точного числа дней в году в) приближенного числа дней (360) в году г) приближенного числа дней ссуды д) точного числа дней ссуды и приближенного числа дней в году 3) Формула наращенной суммы по переменным простым процентным ставкам с периодами действия этих ставок n1, n2, ….,n k имеет вид:
а) 221 )1()1( 1niPiPS n +++= +…+ k
n
kiP )1( +
б) S=P(1+ n1i1 )+P(1+n2i2 )+…+P(1+ n k ik) в) S=P(1+ n1i1 )(1+n2i2)...(1+ n k ik)
г) S=P(1+ n1i1 +n2i2 +…+ n k ik ) д) knki
ni
niPS )1...(2)21(1)11( +++=
4) Формула банковского дисконтирования по сложной учетной ставке имеет вид: а) P = S (1 + ni )-1 б) S = P (1 - d ) -n в) P = S(1 – d) n
г) P = S(1 – nd ) д) S= P(1 - nd ) -1 5) Формула наращенной суммы при применении простой учетной ставки имеет вид: а) P = S (1 + ni )-1 б) S = P (1 - d ) -n в) P = S(1 – d) n
г) P = S(1 + nd ) д) S= P(1 - nd ) -1 6) Выдана ссуда на 30 месяцев в размере 10000 руб. под 20% годовых. Какова возвращаемая сумма при применении смешанной схемы начисления процентов? 7) Чему равна современная стоимость векселя на сумму 1млн. руб. со сроком погашения через 90 дней, если вексель может быть учтен с дисконтом 24% годовых. 8) При применении простой годовой учетной ставки дисконт с суммы S за 4 месяца составил S/8. Определить доходность операции в виде ставки простого процента. 9) Банк выдает ссуду на 4 года или под сложный процент – 10 % годовых или под простые проценты. Какова эквивалентная ставка простых процентов? 10) При какой номинальной процентной ставке i, начисляемой по полугодиям, сумма утраивается через 2 года?
20
Контрольная работа № 1.
Тема: «Наращение и дисконтирование по простым и сложным процентным ставкам»
Вариант № 2 1). Практика начисления сложных процентов предполагает а) непрерывно возрастающую базу начисления б) периодически убывающую базу начисления в) неизменную базу начисления г) периодически возрастающую базу начисления д) независимость от базы начисления. 2). Практика начисления обыкновенного процента предполагает а) точное число дней ссуды б) точное число дней в году в) приближенное число дней (360) в году г) приближенное число дней ссуды д) точное число дней ссуды и приближенное число дней в году 3) Формула наращенной суммы по переменным сложным процентным ставкам с периодами действия этих ставок n1, n2, ….,n k имеет вид:
а) 221 )1()1( 1niPiPS n +++= +…+ k
n
kiP )1( +
б) S=P(1+ n1i1 )+P(1+n2i2 )+…+P(1+ n k ik) в) S=P(1+ n1i1 )(1+n2i2)...(1+ n k ik)
г) S=P(1+ n1i1 +n2i2 +…+ n k ik ) д) knki
ni
niPS )1...(2)21(1)11( +++=
4) Формула банковского дисконтирования по простой учетной ставке имеет вид: а) P = S (1 + ni )-1 б) S = P (1 - d ) -n в) P = S(1 – d) n
г) P = S(1 – nd ) д) S= P(1 - nd ) -1 5) Формула наращенной суммы при применении сложной учетной ставки имеет вид: а) P = S (1 + ni )-1 б) S = P (1 - d ) -n в) P = S(1 – d) n
г) P = S(1 – nd ) д) S= P(1 - nd ) -1 6) Выдана ссуда на 27 месяцев в размере 5000 руб. под 30% годовых. Какова возвращаемая сумма при применении смешанной схемы начисления процентов? 7) Каков срок погашения векселя на сумму 1млн. руб., если вексель учтен с дисконтом 25% годовых за 900 000 руб. 8) При применении сложной учетной ставки дисконт с суммы S за 3 года составил 0,488 S. Определить доходность операции в виде ставки сложного процента. 9) Банк выдает ссуду на 4 года или под простой процент – 10 % годовых или под сложные проценты. Какова эквивалентная ставка сложных процентов? 10) Найти эффективную процентную ставку, если номинальная - 24 %, начисляемых поквартально.
21
Контрольная работа № 2. Темы: «Финансовая эквивалентность обязательств», «Ренты», «Показатели
эффективности производственных инвестиций».
Вариант № 1
1. Эквивалентными являются
а) равные сложная и простая процентные ставки
б) равные учетная и процентная ставки
в) любые ставки, численно равные одному значению
г) ставки, определяющие равные множители наращения
д) ставки, по которым наращенные суммы, не равных друг другу современных стоимостей, оказываются равными.
2. Два платежа D1 и D2 со сроками выплат – через n1 лет и через n2 лет соответственно, являются эквивалентными при сложной ставке наращения i, если
а) 21 )1()1(
21nn i
Di
D+
=+
б) 221 )1()1( 1nn iDiD +=+ в) D1 (1+i) n1
+ n2 = D2
г) D1 (1+in1) = D2 (1+in2) д) in
Din
D
21 1121
+=
+.
3.Два платежа 300 тысяч руб. и 500 тысяч руб. со сроками выплат – через 3 и 6 месяцев соответственно объединяются в один - со сроком уплаты через 4 месяца. Найти сумму консолидированного платежа при использовании простой процентной ставки 24% годовых.
4. Цены возросли за год на 20% и за следующий год еще на 15%. Определить темп инфляции за двухлетний период.
5.Найти наращенную сумму постоянной годовой ренты постнумерандо с параметрами
m = 1, R = 100 д.е. и n = 10 лет, если годовая процентная ставка i = 20%.
6. Две годовые ренты постнумерандо с параметрами параметрами R1=2 тыс.руб., n1 = 6 лет и R2 = 3 тыс. руб., n2 = 4 года заменяются одной рентой того же типа с R = 5 тыс. руб. Найти срок замещающей ренты, если годовая процентная ставка i = 10%. .
7. Наращенная стоимость Ŝ постоянной ренты пренумерандо с числом выплат и начислением процентов в году равными p и m соответственно при номинальной ставке j связана с наращенной стоимостью S ренты постнумерандо c такими же параметрами равенством:
22
a) Ŝ =S m
mj ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ +1 б) Ŝ =S p
m
mj ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ +1 в) Ŝ =S p
mj
11 ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ +
г) Ŝ =S ( )pm
j+1 д) Ŝ =S mp
mj ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ +1
8. Долг в сумме 100 000 д.е. погашается равными срочными уплатами в конце года в течение 4 лет. Какова сумма выплаченных процентов по долгу за первые два года при ставке процента - 10% годовых сложных процентов?
9. Какие из приведенных ниже характеристик показателя NPV инвестиционного проекта являются правильными:
а) NPV отражает прогноз экономического потенциала предприятия в случае принятия инвестиционного проекта,
б) является показателем эффективности денежной единицы капиталовложений проекта,
в) график зависимости NPV от цены капитала (процентной ставки) пересекает ось ординат в точке, равной сумме всех недисконтированных членов денежного потока,
г) график зависимости NPV от цены капитала пересекает ось абсцисс в точке, соответствующей IRR проекта,
д) не зависит от масштабов капиталовложений,
е) не является аддитивным по совокупности проектов ?
10. Найти IRR денежного потока : -10 +1 +11.
Контрольная работа №2. Темы: «Финансовая эквивалентность обязательств»,
«Ренты», «Показатели эффективности производственных инвестиций».
Вариант № 2
1.Согласно принципу финансовой эквивалентности обязательств эквивалентными
являются платежи:
23
а) относящиеся к разным срокам, но равные по величине
б) генерирующие равные процентные деньги
в) относящиеся к одному моменту времени
г) которые будучи приведенными к одному моменту времени, оказываются равными
д) генерирующие равные процентные деньги при разных ставках наращения.
2.Эквивалентные процентные ставки - сложная ic и простая iпр связаны соотношением
а) n
ii
nnp 1)1(
c
−+= б)
n
ii
nc
np
1)1( −+= в)
ni
in
np 1)1( c
++=
г) c
спр i
ii
+=
1 д)
пр
прc i
ii
+=
1
3. Платежи 300 тысяч руб. и 500 тысяч руб. со сроками выплат – через 3 и 6 месяцев соответственно объединяются в один –800 тысяч руб. Найти срок консолидированного платежа при использовании простой процентной ставки 24% годовых.
4 Во сколько раз увеличились цены за три года, если постоянный темп инфляции составлял 20% в год?
5. Определить размер равных периодических взносов по схеме годовой ренты постнумерандо при необходимости накопить 100 000 д.е. за 10 лет при банковской процентной ставке 20% годовых.
6. Две годовые ренты постнумерандо с параметрами R1=2 тыс.руб., n1 = 6 лет и R2 = 3 тыс. руб., n2 = 4 года заменяются одной рентой того же типа со сроком n = 6 лет. Найти величину R члена замещающей ренты, если процентная ставка - 20:% годовых.
7. Современная стоимость Ã постоянной ренты пренумерандо с числом выплат и начислением процентов в году равными p и m соответственно при номинальной ставке j связана с современной стоимостью А ренты постнумерандо c такими же параметрами равенством:
a) Ã =А m
mj ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ +1 б) Ã =А p
m
mj ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ +1 в) Ã =А p
mj
11 ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ +
г) Ã =А ( ) pm
j+1 д) Ã =А mp
mj ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ +1
8. Долг в сумме 1000 д.е. погашается равными срочными уплатами в течение 3 лет ( выплаты в конце года). Какова сумма погашения основного долга за первые 2 года, если ставка 10% годовых сложных процентов?
24
9. Какой из формул следует воспользоваться для вычисления NPV проекта А: -К1 -К2 +R1 +R2 , если процентная ставка за период равна i сложных процентов, а платежи производятся в конце каждого периода
а) )1(
12)1(
24)1(
23)1(
1i
K
i
K
i
R
i
RNPV
+−
+−
++
+=
б) 4)1(23)1(1
2)1(1)1(2 iKiKiRiRNPV +−+−+++=
в) 1)1(2
3)1(2
2)1(1 K
i
K
i
R
i
RNPV −
+−
++
+=
г) 2)1(23)1(1)1(12 iKiKiRRNPV +−+−++=
д) 2121 KKRRNPV −−+= ? 10.Найти IRR денежного потока : -70 +10 +80.
Контрольная работа № 3. Темы: «Риск и диверсификация», «Эффективный портфель ценных бумаг»
Вариант № 1
1. Имеются данные о двух инвестиционных проектах – принятом проекте А и новом проекте В:
120013009001000
.........
..........
ВА
доходагоприведенночистогоотклонениескоеквадратичесреднее
доходагоприведенночистогоожиданиемат
Известен коэффициент корреляции rАВ = 0,6 доходов по проектам А и В. В случае принятия проекта В чему равен коэффициент вариации дохода портфеля? 2. В условиях предыдущей задачи принятие проекта В ведет: а) к снижению риска б) не изменяет риска инвестиционного портфеля в) к повышению риска г) ответ зависит от ставки приведения д) ответ зависит от срока окупаемости проектов. 3. Портфель состоит из бумаг двух видов - X и Y: бумаги вида X - с эффективностью 10 и дисперсией дохода (σX)2 = 9,
25
бумаги вида Y – с эффективностью 5 , безрисковые. Найти риск портфеля, если его эффективность равна 8,5 . 4. Портфель должен состоять из двух видов бумаг, вида X и Y параметры которых:
1,1308,020
...........
YX
отклонениескоеквадратичесреднее
доходность σ
Определить структуру портфеля минимального риска, если коэффициент корреляции доходностей бумаг r XY = 0. В ответе указать долю бумаг вида Y. 5. Эффективности и риски портфелей P1 , P2, P3, P4 указаны в таблице Портфель P1 P2 P3 P4 Эффективность 2 2, 5 3 4 Риск (σр) 8,7 8,7 10 11
Указать недоминируемые (оптимальные по Парето) портфели. 6. Составить портфель Тобина максимальной эффективности и риска σ = 12 , имея безрисковые ценные бумаги с эффективностью 1 и некоррелированные рисковые с эффективностями 6 и 10, риски (σ) которых равны соответственно 8 и 20.
Контрольная работа № 3. Темы: «Риск и диверсификация», «Эффективный портфель ценных бумаг»
Вариант № 2
1. Имеются данные о двух инвестиционных проектах: принятом проекте А и новом проекте В
1500140012001000
............
ВА
доходаотклонениескоеквадратичесреднеедоходаожиданиемат
Известен коэффициент корреляции rАВ = 0,3 доходов по проектам А и В. В случае принятия проекта В чему равен коэффициент вариации дохода портфеля? 2. В условиях предыдущей задачи принятие проекта В ведет:
26
а) к снижению риска б) не изменяет риска инвестиционного портфеля в) к повышению риска г) ответ зависит от ставки приведения д) ответ зависит от срока окупаемости проектов. 3. Портфель состоит из бумаг двух видов - X и Y: бумаги вида X - с эффективностью 10 и дисперсией дохода (σX)2 = 9, бумаги вида Y – с эффективностью 5 , безрисковые. Найти эффективность портфеля, если его риск σр = 2. 4. Портфель должен состоять из двух видов бумаг, вида X и Y параметры которых:
1,1308,020
...........
YX
отклонениескоеквадратичесреднее
доходность σ
Определить структуру портфеля
минимального риска, если коэффициент корреляции доходностей бумаг r XY = 0. В ответе указать долю бумаг вида X. 5. Эффективности и риски портфелей P1 , P2, P3, P4 указаны в таблице Портфель P1 P2 P3 P4 Эффективность 2 2,5 3, 5 3 Риск (σр) 10 8,7 9 10
Найти недоминируемые ( оптимальные по Парето) портфели. 6. Составить портфель Тобина минимального риска с эффективностью 8 , имея безрисковые ценные бумаги с эффективностью 1 и некоррелированные рисковые с эффективностями 6 и 10, риски (σ) которых равны соответственно 8 и 20.
27
Тесты для проверки знаний теоретического материала
Тест № 1 . Cложные проценты.
1. Укажите формулу, по которой вычисляется срок удвоения первоначальной суммы при применении сложных процентов.
а) п= 1/ i б) п = 0,7/i; в) n = 0,5/i; г) n =0,3/i.
2. Укажите формулу наращения по сложным процентам.
а) S = Pn(l+i); б) S = Pn(l+i); в) S = P(l+i)n; г) S = P(l+ni)n.
3. Как вычисляется наращенная сумма при применении сложных процентов, если ставка дискретно меняется во времени?
а) S = P n1 n
2…n
k (1+i1 ) (1+i2 )… (1+ik );
б) S = P (1+i1n
1 ) (1+i2 n
2 )… (1+ik n
k);
в) S = P (1+i1 )n1 (1+i2 )n
2 … (1+ik )nk;
г) S = P (1+n1 i1 ) (1+n2 i2 )… (1+nk ik ).
4. Укажите формулу математического дисконтирования по сложной ставке.
a) P = S (l+i) -n; 6) P = S(l-nd); в) Р = S(1-ni)-1; г) P = S(l-d)-n.
5. Укажите формулу банковского учета по сложной учетной ставке. a) P = S(l+i) -n; б) P = S(l-nd); в) P = S(l-nd)-1; г) P = S(l-d)n.
6. Какая из формул верно определяет сложную учетную ставку?
a) ;11
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= n
SPd б) ;1
1
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= n
PSd
в) ;11
n
SPd ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−= г) .1
1n
PSd ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
7. Какая из формул верно определяет сложную ставку?
28
a) ;11
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= n
SPi б) ;1
1
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= n
PSi
в) ;11
n
SPi ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−= г) .1
1n
PSi ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
8. Какая из формул верно определяет номинальную сложную учетную ставку?
а) ;1
1
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛= mn
SPmf
б) ;11
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛= −⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ mn
PSmf
в) ;1
1⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= − mn
SPmf г) .
1
1⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛= ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛− mn
PSmf
9.Какая формула верно отражает связь между сложной номинальной учетной ставкой и сложной годовой ставкой?
а) ( ) ;111
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−=mdmf б) ( ) ;11
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−=mn
dmf
в) ( ) ;11⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−=mn
dmf г) ( ) .
1
11⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−=mdmf
10.. Какая из формул верно определяет силу роста?
а) ;log
1⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
P
S
nδ
б) ;lg
1⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
P
S
nδ
в) ;ln
1⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
P
S
nδ
г) .ln
1⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
S
P
nδ
29
Тест №2. Начисление процентов в условиях инфляции и налогообложения.
1. Как определяется брутто-ставка простых процентов r по реальной ставке i и индексу цен Jp ?
а) ;11 −+=pJnir б) ;11 −+= ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
pJnir
в) ;1pJnir += г)
( )nJni
r p 11 −+=
2. Как определяется брутто-ставка сложных процентов r по реальной ставке i и темпу инфляции h?
а) r = i + h +ih; б) r = i + h; в) r = i – h; г) r = i ⁄ (1+ h).
3. Как определяется инфляционная премия при начислении простых процентов?
а)
pJPS − ; б) )1( −− n pJr ;
в) ir − ; г) pPJ
S .
4. Как определяется инфляционная премия при начислении сложных процентов?
а) ihh + ; б) )1( −− n pJr ;
в) pPJ
S ; г) h.
5. Как годовой темп инфляции (прироста цен) h связан с индексом цен Jp за срок n?
а) 1−= pJh ; б) 1−= n pJh ;
в) h =( pJ )n -1; г) h =( pJ -1 )n .
6. Как индекс покупательной способности денег связан с индексом цен?
30
а) J пок = J p -1; б) J пок = ;1pJ
в) J пок = ;1
1−pJ
г) J пок = .pJ
n
7. Цены выросли за квартал в 1,2 раза. Какому годовому индексу цен соответствует такой темп?
а) (1,2-1)4+1 = 1,8; б) 1,24 = 2,0736; в) 1,24 -1 = 1,0736; г) .0466,14 2,1 ≈
8. Как измеряется реальная ставка простых процентов при годовом темпе инфляции h?
а) ( );1
111
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−
+
+= nh
nrn
i б) ( )
nnh
nri ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
+
+= 1
11
;
в) ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+=
hrn
ni 11
; г) .1111
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −++
=hr
ni
9. Как измеряется реальная ставка сложных процентов при годовом
темпе инфляции h ?
а) ;1 h
hri−−
= б) ;1 h
rhhri++−
=
в) ;1 h
rhhri+−−
= в) .1 h
hri+−
=
10. Чему равен налог за год t при начислении сложных процентов, если налоговая ставка равна g ?
а) [ ]giiP tt 1)1()1( −+−+ ; б) ;)1( tiPg +
в) );1( iPgt + г) .)]1([ tigP +
31
Тест № 3. Потоки платежей.
1. Что такое рента постнумерандо? а) рента, образуемая платежами после некоторого указанного мо мента времени;
б) рента, платежи которой поступают в конце каждого периода; в) рента, платежи которой скорректированы с учетом инфляции; г) рента, платежи которой скорректированы на величину налога.
2. Что такое рента пренумерандо? а) рента, образуемая платежами до некоторого указанного момента времени; б) рента, платежи которой поступают в начале каждого периода; в) рента, платежи которой поступают до корректировки на инфляцию; г) рента, платежи которой поступают до корректировки на величину налога.
3. Что такое р-срочная рента? а) рента со сроком р лет; б) рента с периодом начисления процентов р лет; в) рента с р платежами в году; г) рента с р начислениями процентов в году.
4. Как связаны между собой современная величина и наращенная сумма ренты?
а) ;)1( SiA n =+ б) ;)1( SiAn =+
в) SAni = ; г) .nSiA =
5. Укажите коэффициент наращения обычной годовой ренты при однократном начислении процентов в году.
а) i
i n 1)1( −+; б) ;)1(1
ii n−+−
в) p
m
n
i
i
)1(
1)1(
+
−+ г)
pm
n
i
i
)1(
)1(1
+
+− −.
6. Укажите коэффициент приведения обычной ренты при однократном начислении
процентов в году.
а) i
i n 1)1( −+; б) ;)1(1
ii n−+−
в) p
m
n
i
i
)1(
1)1(
+
−+ г)
pm
n
i
i
)1(
)1(1
+
+− −.
32
7. Укажите коэффициент наращения обычной p-срочной ренты при m-кратном начислении процентов в году в общем случае.
а) ;]1)1[(
1)1(
−+
−+
pm
mn
mjp
mj
б) ;]1)1[(
)1(1
−+
+− −
pm
mn
mjp
mj
в) ;]1)1[(
1)1(
−+
−−
pm
mn
mjp
mj
г) .]1)1[(
)1(1
−+
−− −
pm
mn
mjp
mj
8. Укажите коэффициент приведения обычной p-срочной ренты при m-кратном начислении процентов в году в общем случае.
а) ;]1)1[(
1)1(
−+
−+
pm
mn
mjp
mj
б) ;]1)1[(
)1(1
−+
+− −
pm
mn
mjp
mj
в) ;]1)1[(
1)1(
−+
−−
pm
mn
mjp
mj
г) .]1)1[(
)1(1
−+
−− −
pm
mn
mjp
mj
9. Укажите формулу определения срока обычной годовой ренты при однократном начислении процентов в году.
а) ;)1ln(
)1ln(
i
iRS
+
+ б) ;
)1ln(
)1ln(
iRiS
+
+
в) ;)1ln(
)1ln(
i
iRS
+
+− г) .
)1ln(
)1ln(
i
iRS
+
−−
10. Укажите формулу линейной интерполяции.
а) );( нвнв
нн ii
aaaaii −−−
−= б) );( нвнв
нн ii
aaaaii −−−
+=
в) );( нвнв
нв ii
aaaaii −−−
−= г) )( нвнв
нв ii
aaaaii −−−
+= .
33
Тест № 4. Оптимальный портфель ценных бумаг.
1. Количественной мерой финансового риска инвестиций может служить а) средний ожидаемый доход, б) среднее квадратическое отклонение ожидаемого дохода, в) вероятность достижения доходности ниже ожидаемого уровня, г) коэффициент вариации дохода (отношение среднего квадратического отклонения дохода к его среднему ожидаемому значению),
д) вероятность разорения. 2. Пусть im - эффективность i – ой ценной бумаги портфеля, а ijК - ковариация доходностей бумаг i -ого и j - ого видов. Если xi – доля бумаг i -ого вида, то эффективность mp портфеля вычисляется по формуле:
а) ∑=i
iip mxm 2 ; б) ∑=i
iijip mКxm ; в) ∑=i
iip mxm ;
г) ∑=i
iip mxm ; д) ∑=i
iip mxm 2 ;
3. Пусть iσ - риск i – ой ценной бумаги портфеля, а ijК - ковариация доходностей бумаг i -ого и j - ого видов. Если xi – доля бумаг i -ого вида, то и риск σp портфеля равен:
а) ∑=i
iip x σσ 2 . в) ∑=ji
ijjip Kxx,
σ .
б) =pσ ∑ji
ijji Kxx,
г) ∑=i
iip x 22σσ д) σр = ∑i
iix 22σ
4. Диверсификация портфеля путем увеличения числа входящих в него ценных бумаг: а) позволяет в любом случае уменьшить риск портфеля, б) позволяет уменьшить риск портфеля при условии, что входящие в него бумаги
некоррелированны, в) позволяет уменьшить риск портфеля при полной прямой корреляции
входящих в него бумаг, г) позволяет уменьшить риск портфеля при полной обратной корреляции
входящих в него бумаг. д) используется как способ повышения эффективности портфеля.
34
5. Возможно ли увеличение доходности и одновременное снижение риска
“двухбумажного“ портфеля за счет увеличения в нем доли более доходных, но более рискованных бумаг?
а) в любом случае НЕТ, б) НЕТ, если бумаги некоррелированы, т.е. xyr = 0,
в) ДА, если коэффициент корреляции xyr 0≤ ,
г) НЕТ, если коэффициент корреляции xyr < 0,
д) ДА, если коэффициент корреляции xyr > 0.
6. Пусть kp p
p
mσ
= - коэффициент вариации доходности портфеля. Тогда
справедливо утверждение: а) портфель P1 доминирует портфель P2 тогда и только тогда, когда
1pk < 2pk ,
б) если портфель P1 доминирует портфель P2 , то 1pk ≤
2pk ,
в) если 1pk <
2pk , то портфель P1 доминирует портфель P2.
г) если портфель P1 доминирует портфель P2 , то 1pk <
2pk ,
д) если портфель P1 доминирует портфель P2 , то <2pk
1pk .
7. Эффективности и риски портфелей P1 , P2, P3, P4 занесены в таблицу:
Портфель P1 P2 P3 P4 Эффективность 2 2, 5 3 3 Риск (σр) 10 8,7 10 11
Множеством недоминируемых (оптимальных по Парето) портфелей является множество:
а) P1, P3 б) P2 в) P1, P4 г) P3 д) P2 , P3. 8. Эффективный портфель – это портфель, обеспечивающий а) наибольшую доходность, б) наименьший риск, в) наибольшую доходность при заданном уровне риска, г) наименьший риск при заданном уровне доходности. д) наибольший доход и наименьший риск одновременно.
9. Пусть mp - эффективность портфеля Тобина минимального риска, m0 - эффективность безрисковых бумаг, М = (mi) – вектор-столбец эффективностей рисковых бумаг этого портфеля ( i = 1, 2,…n ). Если К = (Кij) – матрица ковариаций рисковых видов ценных бумаг портфеля а I - n-мерный вектор-столбец, элементы которого равны 1, то X = (xi) – вектор-столбец долей капитала, вложенного в рисковые бумаги i – ого вида определяется равенством
35
а) ;lg1
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
P
S
nδ ,
б) )()()(
01
01
0
0 ImMKImMKImM
mmX
Tp −
−−
−= −
−,
в) )()()(
11
0 ImMKImMKImM
mX P
PT
P−
−−= −
−,
г) )()()(
11
0 ImMKImMKImM
mmX P
PT
P
p −−−
−= −
−.
д) )()()(
00
10
0 ImMKImMKImM
mmX T
p −−−
−= − .
10. Пусть mp и σp - соответственно эффективность и риск эффективного портфеля с безрисковой компонентой доходности m0 , а d – константа, определяемая рынком.. Тогда
а) mp = m0 + d σp б) mp = m0 - d σp в) mp = pd
mσ
0
г) mp = pd
mσ+0 д) mp = m0 +
p
dσ
.
36
Вопросы к экзамену по финансовой математике
1. Процентные ставки: простая, сложная, непрерывная. Наращение по всем видам процентных ставок. Сравнение интенсивности наращения.
2. Практика расчета процентов для краткосрочных ссуд: точный и обыкновенный процент. Расчет наращенной суммы при дробном числе лет.
3. Математическое дисконтирование по разным видам процентных ставок. 4. Банковское дисконтирование. Простая и сложная учетные ставки.
Современная стоимость. Сравнение интенсивности процесса дисконтирования по простой и сложной учетным ставкам.
5. Наращение по учетной ставке (простой и сложной). Сравнение результатов с наращением по равной процентной ставке. Эквивалентная процентная ставка.
6. Начисление процентов m раз в году. Эффективная и номинальная процентные ставки.
7. Учет m раз в году. Эффективная и номинальная учетные ставки. 8. Принцип финансовой эквивалентности обязательств сторон. Ставка
сравнения. 9. Консолидация платежей на основе принципа финансовой эквивалентности.
Сумма и срок консолидированного платежа. 10. Инфляция. Индекс покупательной способности, индекс цен, определение
барьерной ставки, компенсирующей инфляцию, брутто-ставка. 11. Определение ренты. Основные виды рент. 12. Наращенная сумма постоянной ренты постнумерандо (годовая и p-срочная
ренты, начисление процентов один раз в году и m раз в году). 13. Современная стоимость постоянной ренты постнумерандо (годовая и p-
срочная ренты, начисление процентов один раз в году и m раз в году). 14. Постоянная рента пренумерандо. Современная стоимость и наращённая
сумма. 15. Переменные ренты. Годовая рента с постоянным абсолютным приростом
платежей. 16. Рента с постоянным относительным приростом платежей. 17. Конверсия рент. Консолидация рент. Определение члена замещающей ренты
и определение ее срока. 18. Амортизация долга. Метод погасительного фонда. Равные взносы в фонд. 19. Погашение долга равными суммами: погашение основного долга равными
суммами, погашение равными срочными уплатами. 20. Чистый приведенный доход, его свойства, вычисление, критерий NPV. 21. Внутренняя норма доходности, свойства, вычисление, критерий IRR. 22. Дисконтный срок окупаемости, свойства, вычисление, критерий PP. 23. Понятие риска. Количественные оценки риска. 24. Диверсификация инвестиций. Влияние на риск масштаба диверсификации. 25. Риск и доходность портфеля. 26. Двухбумажный портфель. Изменение доходности и риска при изменении
структуры портфеля (случай некореллируемости активов). 27. Доходность и риск двухбумажного портфеля: влияние положительной и
отрицательной корреляции. 28. Оптимальность по Парето. Постановка задачи об оптимальном портфеле. 29. Портфель Марковица минимального риска. Интерпретация решения.
37
30. Портфель Тобина минимального риска. Связь эффективности и риска эффективного портфеля.
31. Отношение предпочтения, определённое на множестве альтернатив. Свойства отношения предпочтения.
32. Функция полезности для безрисковых альтернатив и альтернатив, допускающих риск. Ее свойства. Неравенство Йенсена.
33. Сравнение альтернатив на основе функции полезности. Полезность страхования.
34. Эквивалентность обязательств страховщика и страхователя. Единовременная рисковая премия.
35. Вероятность разорения. Рисковая надбавка. Нетто-премия.
