Проектная работа на тему: ДЛЯ …...2018/03/29 · Проектная работа на тему: "РАЗРАБОТКА НАГЛЯДНЫХ ПОСОБИЙ ДЛЯ

1

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение "Школа № 100"

Проектная работа на тему:

"РАЗРАБОТКА НАГЛЯДНЫХ ПОСОБИЙ

ДЛЯ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА"

Самара, 2018г.

Выполнили: Орешина Дарья и Бойко Артем,

ученики 8 «Б» класса МБОУ Школа № 100

г.о. Самара.

Руководитель: учитель математики МБОУ

Школа № 100 г.о. Самара,

Шаболкина Лариса Анатольевна

2

Содержание

Введение........................................................................................................................................ 1

1. История теоремы Пифагора и биография Пифагора............................................................ 2

2. Способы доказательства теоремы Пифагора......................................................................... 4

3. Разработка наглядных пособий............................................................................................... 8

Заключение.................................................................................................................................. 10

Список литературы и интернет-сайтов..................................................................................... 11

Приложения................................................................................................................................. 12

Приложение № 1 Пифагоровы штаны...................................................................................... 12

Приложение № 2 Интерактивный макет доказательства теоремы Пифагора с........................

жидкостью................................................................................................................................... 12

Приложение № 3 Игра-пазл для доказательства теоремы Пифагора.................................... 13

Приложение № 4 Интерактивная модель для доказательства теоремы Пифагора.............. 13

Приложение № 5 Анкета на тему: "Наглядность при изучении теоремы Пифагора"......... 14

3

Введение

В 8 классе на уроках геометрии мы познакомились с важной теоремой для

прямоугольного треугольника, которая еще с древних времен известна как теорема

Пифагора. На уроке в классе мы рассмотрели одно из ее доказательств. И были удивлены,

как красиво она формулируется. А на последующих уроках мы убедились в

необходимости этой теоремы при решении геометрических задач.

Мы заинтересовались историей одной из важнейших теорем геометрии и

обнаружили один любопытный факт: на сегодняшний день существует 367 доказательств

данной теоремы. По этой причине теорема Пифагора занесена в книгу рекордов Гиннеса.

Скорее всего, это и говорит о том, что данная теорема привлекает внимание

большого числа людей, а значит имеет широкое распространение и применение. Поэтому

ее нужно знать и понимать каждому образованному человеку.

Мы задались вопросом: "Как сделать так, чтобы содержание и доказательство этой

теоремы было понятно и доступно каждому школьнику нашего возраста?" Подумав, мы

предположили, что для ответа на этот вопрос нужно предлагать школьникам

доказательство теоремы Пифагора разными способами и с использованием наглядных

пособий. Это будет вызывать интерес у ребят и каждый из них сможет с помощью

наглядных материалов лучше понять суть самой теоремы.

Цель проекта: повысить интерес школьников к изучению теоремы Пифагора и

способствовать более глубокому пониманию сути этой теоремы.

Задачи проекта:

1. изучить литературу и интернет-источники по данной теме;

2. рассмотреть различные способы доказательства теоремы Пифагора и

подготовить подборку её доказательств несколькими способами;

3. разработать для наших ровесников наглядные пособия, которые

помогают понять суть содержания и доказательства теоремы Пифагора;

4. наглядно продемонстрировать учащимся восьмых классов МБОУ

Школа №100 доказательство теоремы несколькими способами.

Продукт проекта:

1. подборка доказательств теоремы Пифагора несколькими способами;

2. разработанные наглядные пособия к некоторым доказательствам теоремы

Пифагора.

4

1. История теоремы Пифагора и биография Пифагора

В середине прошлого столетия было выпущено издание, в котором были

приведены все, известные на тот момент времени доказательства теоремы Пифагора. В

том числе в книге даже было доказательство теоремы, которое предложил президент

США Джеймс Абрам Гарфилд. Но не было лишь одного доказательства теоремы –

доказательства самого Пифагора [1].

На сегодняшний день историки обнаружили, что теорема Пифагора вовсе не была

открыта древнегреческим философом Пифагором. Эту теорему люди из разных стран

знали еще задолго до Пифагора. Поэтому ученые предположили, что Пифагор просто

записал эту теорему. В связи с этим авторство и было приписано Пифагору. Его заслуга

состояла в том, что он дал полноценное научное доказательство этой теоремы [1].

Пифагор – древнегреческий философ, математик, астроном. Он являлся

основателем пифагорейской школы. Точные даты жизни Пифагора не установлены, а

многие факты из его жизни противоречат друг другу. Но верным остается одно, что

Пифагор жил, и именно он оставил нам великое математическое наследие. Геродот

назвал Пифагора "величайшим эллинским мудрецом" [3].

По преданию Пифагор родился около 580 г. до н. э. на острове Самос в богатой

купеческой семье. Мальчик был назван в честь богини Пифии. Он был очень красивым и

вскоре стал проявлять незаурядные способности. Первые знания Пифагор получил от

своего отца. И отец надеялся, что сын будет продолжать его дело - станет ювелиром. Но

Пифагор все более проявлял способности к разным наукам, а также к музыке, живописи и

поэзии.

Вскоре Пифагор знакомится с известным философом и математиком Фалесом

Милетским, который посоветовал ему продолжать обучение и заниматься

исследовательской деятельностью в Египте. Пифагор прожил в Египте 22 года, затем 12

лет в Вавилоне. После чего он вернулся к себе домой - на остров Самос. Но

пифагорейскую школу он создал уже в Италии, покинув остров Самос.

В пифагорейской школе изучались философия и математика. Один из голландских

математиков позже сказал, что заслугой первых греческих математиков, таких как Фачес,

Пифагор и пифагорейцы, является не открытие математики, а ее систематизация и

обоснование. Они превратили вычислительные рецепты, основанные на смутных

представлениях, в точную науку [3].

По одной из версий Пифагор покончил жизнь самоубийством. Но это только один

из вариантов его биографии.

5

История, к сожалению, не донесла до наших дней точных фактов из биографии

Пифагора. Но мы точно знаем о том, каким большим был вклад этого древнегреческого

ученого в развитие математики.

Для школьников нескольких поколений

штаны на все стороны равны»

через доказательство равенства суммы площадей квадратов, построенных на кате

прямоугольного треугольника и

треугольника. Построенные на сторонах треугольника и расходящиеся в разные стороны

квадраты напоминали школьникам покрой мужских штанов

Таким образом, теорема

когда строгий математический язык преобразовался

Как уже говорилось, теорема Пифагора имеет огромное число доказательств.

Очевидно, что это объясн

в целом. Рассмотрим несколько

Доказательство №1

Рассмотрим прямоугольный треугольник, в котором из вершины прямого угла на

гипотенузу опущена высота.

углом С (рис.1). Проведем высоту из угла С и обозначим ее основание через Н.

Треугольник АСН подобен треугольнику АВС по двум углам.

CBH подобен ABC.

Введя обозначения

b/c = AH / b, что равносильно

Сложив равенства, получаем

Что и требовалось доказать.


Доказательства методом площадей

квадратом, так как сумма двух острых углов 90°, а развёрнутый угол

6

2. Способы доказательства теоремы

Для школьников нескольких поколений известен шуточный стишок

все стороны равны». Раньше в школьных учебниках эта теорема доказывалась

через доказательство равенства суммы площадей квадратов, построенных на кате

го треугольника и площади квадрата, построенного на гипотенузе этого


квадраты напоминали школьникам покрой мужских штанов [6] (Приложение 1).

Таким образом, теорема моментально запоминалась учениками. Это тот случай,

когда строгий математический язык преобразовался в гибкую литературную форму


объясняется только лишь серьезным значением теоремы для геометрии

несколько доказательств данной теоремы.

Доказательство №1.


гипотенузу опущена высота. Пусть АВС есть прямоугольный треугольник с

. Проведем высоту из угла С и обозначим ее основание через Н.

Треугольник АСН подобен треугольнику АВС по двум углам. Аналогично, треугольник

Рис. 1

Введя обозначения ВС = a, AC = b, AB = c, получаем a/c = HB/a

равносильно a2 = c∙HB, b2 = c∙AH

, получаем a2 + b2 = c ∙ (HB + AH) = c2 или a2 + b2

Что и требовалось доказать.

2.

Доказательства методом площадей. Четырёхугольник со сторонами

квадратом, так как сумма двух острых углов 90°, а развёрнутый угол

Способы доказательства теоремы Пифагора

ый стишок «Пифагоровы

аньше в школьных учебниках эта теорема доказывалась

через доказательство равенства суммы площадей квадратов, построенных на катетах

площади квадрата, построенного на гипотенузе этого


(Приложение 1).

моментально запоминалась учениками. Это тот случай,

в гибкую литературную форму.


значением теоремы для геометрии


Пусть АВС есть прямоугольный треугольник с прямым

. Проведем высоту из угла С и обозначим ее основание через Н.

Аналогично, треугольник

HB/a

2 = c2 [2].

Четырёхугольник со сторонами c является

квадратом, так как сумма двух острых углов 90°, а развёрнутый угол — 180° (рис.2).

Площадь всей фигуры равна,

(a+b), а с другой стороны,

квадрата.

Что и требовалось доказать


Доказательство Евклида. П

равна сумме половин площадей

большого и двух малых квадратов равны.

Рассмотрим рисунок 3. На нём построены квадраты на сторонах прямоугольного

треугольника и проведены из вершины прямого угла С луч s перпендикулярно гипотенузе

AB, он рассекает квадрат ABIK, построенный на гипотенузе, на два прямоугольника

BHJI и HAKJ соответственно.

7

Рис. 2

Площадь всей фигуры равна, с одной стороны, площади квадрата со стороной

), а с другой стороны, сумме площадей четырёх треугольников и внутреннего

Что и требовалось доказать [2].

3.

Доказательство Евклида. Половина площади квадрата, построенного на гипотенузе,

равна сумме половин площадей квадратов, построенных на катетах, а тогда и площади

большого и двух малых квадратов равны.



он рассекает квадрат ABIK, построенный на гипотенузе, на два прямоугольника

BHJI и HAKJ соответственно.

Рис. 3

одной стороны, площади квадрата со стороной

сумме площадей четырёх треугольников и внутреннего

оловина площади квадрата, построенного на гипотенузе,

квадратов, построенных на катетах, а тогда и площади



он рассекает квадрат ABIK, построенный на гипотенузе, на два прямоугольника —

8

Оказывается, что площади данных прямоугольников в точности равны площадям

квадратов, построенных на соответствующих катетах.

Попытаемся доказать, что площадь квадрата DECA равна площади прямоугольника

AHJK. Для этого воспользуемся вспомогательным наблюдением: площадь треугольника с

той же высотой и основанием, что и данный прямоугольник, равна половине площади

заданного прямоугольника. Это следствие определения площади треугольника как

половины произведения основания на высоту. Из этого наблюдения вытекает, что

площадь треугольника ACK равна площади треугольника AHK (не изображённого на

рисунке), которая, в свою очередь, равна половине площади прямоугольника AHJK.

Докажем теперь, что площадь треугольника ACK также равна половине площади

квадрата DECA. Единственное, что необходимо для этого сделать, — это доказать

равенство треугольников ACK и BDA (так как площадь треугольника BDA равна

половине площади квадрата по указанному выше свойству). Равенство это очевидно,

треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Именно — AB=AK,AD=AC —

равенство углов CAK и BAD легко доказать методом движения: повернём треугольник

CAK на 90° против часовой стрелки, тогда очевидно, что соответствующие стороны двух

рассматриваемых треугольников совпадут (ввиду того, что угол при вершине квадрата —

90°). Рассуждение о равенстве площадей квадрата BCFG и прямоугольника BHJI

совершенно аналогично.

Тем самым это доказывает, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе,

слагается из площадей квадратов, построенных на катетах [2].

Доказательство № 4.

Доказательство Леонардо да Винчи. Главные элементы доказательства —

симметрия и движение.

Рассмотрим рисунок 4. Как видно из симметрии, отрезок CI рассекает квадрат

ABHJ на две одинаковые части (так как треугольники ABC и JHI равны по построению).

Пользуясь поворотом на 90 градусов против часовой стрелки, мы усматриваем

равенство заштрихованных фигур CAJI и GDAB. Теперь ясно, что площадь

заштрихованной нами фигуры равна сумме половин площадей квадратов, построенных на

катетах, и площади исходного треугольника. С другой стороны, она равна половине

площади квадрата, построенного на гипотенузе, плюс площадь исходного треугольника

[2].

9

Рисунок 4

10

3. Разработка наглядных пособий

Приступая к разработке наглядных пособий, мы определили, что для знакомства с

теоремой, самым простым и доступным способом будет рассмотреть и

продемонстрировать ее действие с доказательством равенства суммы площадей квадратов,

построенных на катетах прямоугольного треугольника и площади квадрата, построенного

на гипотенузе этого треугольника.

Для этого была построена модель, состоящая из подставки и подвижной

части. На подвижной части расположены объемные фигуры из оргстекла - прямоугольный

треугольник, квадрат гипотенузы и квадраты катетов. В квадратах катетов находится

жидкость голубого цвета. При перемещении модели из начального положения, вся

жидкость из квадратов, построенных на катетах равномерно распределяется в квадрат,

построенный на гипотенузе. Эта манипуляция наглядно показывает и доказывает суть

теоремы Пифагора. (Приложение 2)

Помимо этой модели, мы разработали игру-пазл, состоящую из поля, на

котором построены прямоугольный треугольник и квадраты на его катетах и гипотенузе, а

также разноцветных квадратных пазлов, заполняющими квадраты катетов. Суть данной

игры состоит в том, чтобы заполнить квадрат, построенный на гипотенузе, разноцветными

квадратными пазлами из квадратов катетов (Приложение 3).

Оба представленных варианта доказательства теоремы Пифагора идентичны: мы

заполняем квадрат, построенный на гипотенузе, содержимым квадратов, построенных на

катетах. Только в одном случае это вода, в другом случае - пазлы.

Так же, нами была подготовлена еще одна интерактивная модель доказательства

теоремы Пифагора методом площадей. Для этого, были изготовлены геометрические

фигуры – четыре одинаковых равных прямоугольных треугольника и два пустых

квадратных поля. Вначале, в левом поле располагаем данные треугольники так, чтобы два

из них образуя четырехугольник, помещались в левом верхнем углу квадрата. А вторые

два треугольника, образуя четырехугольник, помещались в правую нижнюю часть

квадрата. Таким образом, пустующие части поля образуют два квадрата с длинами сторон

катетов прямоугольного треугольника. Затем, Эти треугольники из левого поля

перемещаем в правое поле таким образом, чтобы углы треугольников совмещались с

углами поля. Пустующая часть поля образует квадрат с длиной гипотенузы

треугольника.(Приложение 4)

Используя интерактивные макеты и игру-пазл ребята наглядно видят, что площадь

квадрата, построенного на гипотенузе равна сумме площадей квадратов, построенных на

катетах. Иными словами, квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

11

Все три наглядных пособия были представлены на уроке геометрии на тему

"Теорема Пифагора". После чего мы провели анкетирование одноклассников, чтобы

получить обратную связь и отклик о том, как наглядность влияет на изучение теоремы

Пифагора (Приложение 5).

Результаты опроса ясно показали, что большинство учеников положительно

отзываются о подаче нового материала с помощью наглядных материалов. Применение

средств наглядности способствует более прочному усвоению материала, мотивирует

школьников к более глубокому самостоятельному исследованию данной темы.

Про наглядное обучение К.Д. Ушинский писал в своём учебнике "Родное слово":

"Что такое наглядное обучение? Да это такое ученье, которое строится не на отвлеченных

представлениях и словах, а на конкретных образах, непосредственно воспринятых

ребенком" [5].

12

Заключение

Теорема Пифагора – одна из самых главных теорем геометрии. К сожалению,

невозможно привести все или даже самые красивые доказательства теоремы, однако

приведенные примеры убедительно свидетельствуют об огромном интересе сегодня, да и

вчера, проявляемом по отношению к ней. Сама же теорема Пифагора замечательна тем,

что она проста, но не очевидна. Это сочетание двух противоречивых начал и придает ей

особую притягательную силу, делает ее красивой [1]. Но, кроме того, теорема Пифагора

имеет огромное практическое значение: она применяется в различных сферах жизни

буквально на каждом шагу.

Все задачи, поставленные в работе были решены. Мы получили продукт проекта:

1. подборку доказательств теоремы Пифагора несколькими способами;

2. разработали наглядные материалы для понимания сути данной теоремы.

В результате проведенного анкетирования выяснили, что продукт нашего проекта

способен донести суть теоремы почти до каждого школьника и повысить интерес

школьников к данной теореме. Цель проекта достигнута.

13

Список литературы и интернет-сайтов

1. https://infourok.ru/material.html?mid=9569

2. http://www.math.com.ua/articles/teorema_pifagor.html

3. http://rpp.nashaucheba.ru/docs/index-128810.html

4. Геометрия, 7-9 классы: учеб.для общеобразоват. учреждений / [Л.С. Атанасян,

5В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.]. – 20-е изд. – М. : Просвещение, 2010. - 384

с.

5. Ушинский, К. Д. Родное слово. В 2 ч. Часть 1 / К. Д. Ушинский. — М. :

Издательство Юрайт, 2017. — 251 с. — Серия : Антология мысли.

6. Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А.П. Савин. – 3-е изд.,

испр. и доп. – М.: Педагогика-Пресс, 1997.

14

Приложения

Приложение 1 Пифагоровы штаны

Приложение 2 Интерактивный макет доказательства теоремы Пифагора с

жидкостью

15

Приложение 3 Игра-пазл для доказательства теоремы Пифагора

Приложение 4 Интерактивная модель для доказательства теоремы Пифагора.

16

Приложение 5 Анкета на тему: "Наглядность при изучении теоремы Пифагора"

Вопрос Ответы

Помогает ли

наглядность при

изучении теоремы

Пифагора?

Да - 80,95% Нет - 13,1% Не знаю -

5,95%

Какой из трех способов

был более убедителен

при доказательстве

теоремы?

1 способ -

36,9%

2 способ -

14,29%

3 способ -

7,14%

Все три

способа -

58,33%

Хотели бы вы узнать о

других способах

доказательств?

Да - 57,14% Нет - 42,86%

Насколько доступен

для понимания

наглядный способ

доказательства

теоремы?

Рассуждения

были

полностью

понятны -

91,66%

После

проведенных

доказательств

остались

вопросы -

8,3%

Ничего не

понял - 0%

Documents

Проектная работа на тему: ДЛЯ …...2018/03/29 · Проектная работа на тему: "РАЗРАБОТКА НАГЛЯДНЫХ ПОСОБИЙ ДЛЯ