1

Ñèíÿ ×îðíà 1

Ã.Ì. ÂîçíÿêÃ.Ì. ËèòâèíåíêîÞ.². Ìàëüîâàíèé

ÀËÃÅÁÐÀ

9 ÊËÀÑ

ÒÅÐÍÎϲËÜÍÀÂ×ÀËÜÍÀ ÊÍÈÃÀ � ÁÎÃÄÀÍ

Çà ðåäàêö³ºþ ÷ëåíà-êîðåñïîíäåíòà ÀÏÍ Óêðà¿íèÞ.². Ìàëüîâàíîãî

Çàòâåðäæåíî ̳í³ñòåðñòâîì îñâ³òè ³ íàóêè Óêðà¿íè

ϳäðó÷íèêäëÿ çàãàëüíîîñâ³òí³õíàâ÷àëüíèõ çàêëàä³â

2

Ñèíÿ ×îðíà 2

ÁÁÊ 22.1ÿ7274.262.21Â53

© Âîçíÿê Ã. Ì., Ëèòâèíåíêî Ã. Ì., Ìàëüîâàíèé Þ.²., 2003© Íàâ÷àëüíà êíèãà � Áîãäàí, ìàêåò, õóäîæíº îôîðìëåííÿ, 2003ISBN 966-7924-53-Õ

Ãîëîâíèé ðåäàêòîð Á.ª. Áóäíèé

Âîçíÿê Ã.Ì., Ëèòâèíåíêî Ã.Ì., Ìàëüîâàíèé Þ.².Â53 Àëãåáðà: ϳäðó÷íèê äëÿ 9 êëàñó çàãàëüíîîñâ³òí³õ íàâ÷àëüíèõ çàêëàä³â. �

Òåðíîï³ëü: Íàâ÷àëüíà êíèãà � Áîãäàí, 2003. � 184 ñ.ISBN 966-7924-53-Õ

ÁÁÊ 22.1ÿ72

Îõîðîíÿºòüñÿ çàêîíîì ïðî àâòîðñüêå ïðàâî.Æîäíà ÷àñòèíà äàíîãî âèäàííÿ íå ìîæå áóòè âèêîðèñòàíà ÷è â³äòâîðåíà

â áóäü-ÿêîìó âèãëÿä³ áåç äîçâîëó àâòîðà ÷è âèäàâíèöòâà

Ðåöåíçåíòè:êàíäèäàò ô³çèêî�ìàòåìàòè÷íèõ íàóê,

äîöåíò Òåðíîï³ëüñüêîãî îáëàñíîãî ³íñòèòóòó ï³ñëÿäèïëîìíî¿ îñâ³òèÄ.Ì. Ãàëàí

êàíäèäàò ïåäàãîã³÷íèõ íàóê,çàâ. êàá³íåòó ìàòåìàòèêè Äîíåöüêîãî îáëàñíîãî ³íñòèòóòó ï³ñëÿäèïëîìíî¿ îñâ³òè

Ë.ß. Ôåä÷åíêî

â÷èòåëü ìàòåìàòèêè Îáðîøèíñüêî¿ ñåðåäíüî¿ øêîëè Ëüâ³âñüêî¿ îáëàñò³,â÷èòåëü�ìåòîäèñò

Ì.Î. Ìàðè÷

Çàòâåðäæåíî ̳í³ñòåðñòâîì îñâ³òè ³ íàóêè Óêðà¿íè(ëèñò ¹ 1/11�3488 â³ä 10.08.2001)

3

Ñèíÿ ×îðíà 3

Çì³ñò

Ïåðåäìîâà ...........................................................................6

². Íåð³âíîñò³, ôóíêö³¿ òà ð³âíÿííÿ

§ 1. Íåð³âíîñò³

1.1. ×èñëîâ³ íåð³âíîñò³ ......................................................... 9

1.2. Âëàñòèâîñò³ ÷èñëîâèõ íåð³âíîñòåé ...................................13

1.3. Ïî÷ëåííå äîäàâàííÿ ³ ìíîæåííÿ ÷èñëîâèõ íåð³âíîñòåé...... 16

1.4. Çàñòîñóâàííÿ íåð³âíîñòåé äëÿ îö³íêè çíà÷åíü âèðàçó ........19

1.5. ˳í³éíà íåð³âí³ñòü ç îäí³ºþ çì³ííîþ ................................21

1.6. Ñèñòåìà ë³í³éíèõ íåð³âíîñòåé ç îäí³ºþ çì³ííîþ ................28

1.7. Íåð³âíîñò³, ùî ì³ñòÿòü ìîäóë³ ......................................... 34

1.8. Äîâåäåííÿ íåð³âíîñòåé ...................................................38

Çàïèòàííÿ äëÿ ñàìîïåðåâ³ðêè ...........................................41

Çàäà÷³ ³ âïðàâè äëÿ ñàìîêîíòðîëþ .....................................41

§ 2. Êâàäðàòíèé òðè÷ëåí

2.1. Êâàäðàòíèé òðè÷ëåí òà éîãî âëàñòèâîñò³ ......................... 43

2.2. Ðîçêëàäàííÿ êâàäðàòíîãî òðè÷ëåíà íà ìíîæíèêè .............45

Çàïèòàííÿ äëÿ ñàìîïåðåâ³ðêè ...........................................48

Çàäà÷³ ³ âïðàâè äëÿ ñàìîêîíòðîëþ .....................................49

§ 3. Êâàäðàòè÷íà ôóíêö³ÿ

3.1. Ïîíÿòòÿ êâàäðàòè÷íî¿ ôóíêö³¿ .......................................50

3.2. Ôóíêö³ÿ y = x2 + ï òà ¿¿ ãðàô³ê ...................................... 51

3.3. Ôóíêö³ÿ y = (x + m)2 òà ¿¿ ãðàô³ê.................................... 53

3.4. Ôóíêö³ÿ y = (x + m)2 + ï òà ¿¿ ãðàô³ê.............................. 55

3.5. Ôóíêö³ÿ y = àx2 òà ¿¿ ãðàô³ê ...........................................57

3.6. Ôóíêö³ÿ y = à(x + m)2 + ï òà ¿¿ ãðàô³ê ............................ 61

3.7. Ôóíêö³ÿ y = ax2 + bx + c òà ¿¿ ãðàô³ê .............................. 64

3.8. Âëàñòèâîñò³ êâàäðàòè÷íî¿ ôóíêö³¿ ...................................68

3.9. Ïåðåòâîðåííÿ ãðàô³ê³â ôóíêö³é.......................................75

4

Ñèíÿ ×îðíà 4

Çàïèòàííÿ äëÿ ñàìîïåðåâ³ðêè ........................................... 77

Çàäà÷³ ³ âïðàâè äëÿ ñàìîêîíòðîëþ .....................................78

§ 4. Íåð³âíîñò³ äðóãîãî ñòåïåíÿ ç îäí³ºþ çì³ííîþ

4.1. Ãðàô³÷íèé ñïîñ³á ðîçâ�ÿçóâàííÿ ...................................... 79

4.2. Àíàë³òè÷íèé ñïîñ³á ðîçâ�ÿçóâàííÿ ..................................82

4.3. Ìåòîä ³íòåðâàë³â ........................................................... 86

Çàïèòàííÿ äëÿ ñàìîïåðåâ³ðêè ........................................... 89

Çàäà÷³ ³ âïðàâè äëÿ ñàìîêîíòðîëþ .....................................89

§ 5. Ñèñòåìà ð³âíÿíü äðóãîãî ñòåïåíÿ ç äâîìà çì³ííèìè

5.1. Ñòåï³íü ð³âíÿííÿ ç äâîìà çì³ííèìè ................................90

5.2. Ðîçâ�ÿçóâàííÿ ñèñòåìè ð³âíÿíü äðóãîãî ñòåïåíÿ ç äâîìàçì³ííèìè ........................................................................91

5.3. Ðîçâ�ÿçóâàííÿ òåêñòîâèõ çàäà÷ .......................................97

Çàïèòàííÿ äëÿ ñàìîïåðåâ³ðêè .......................................... 101

Çàäà÷³ ³ âïðàâè äëÿ ñàìîêîíòðîëþ .................................... 101

§ 6. ×èñëîâ³ ïîñë³äîâíîñò³

6.1. Ïîñë³äîâíîñò³ òà ¿õ âëàñòèâîñò³ ..................................... 102

6.2. Àðèôìåòè÷íà ïðîãðåñ³ÿ ................................................. 109

6.3. Ãåîìåòðè÷íà ïðîãðåñ³ÿ .................................................. 116

6.4. Íåñê³í÷åííà ñïàäíà ãåîìåòðè÷íà ïðîãðåñ³ÿ ...................... 122

Çàïèòàííÿ äëÿ ñàìîïåðåâ³ðêè .......................................... 124

Çàäà÷³ ³ âïðàâè äëÿ ñàìîêîíòðîëþ .................................... 125

²². Åëåìåíòè ïðèêëàäíî¿ ìàòåìàòèêè

§ 7. Ìàòåìàòè÷íå ìîäåëþâàííÿ

7.1. Ïðèêëàäè ìàòåìàòè÷íîãî ìîäåëþâàííÿ .......................... 129

7.2. Çàäà÷³ íà â³äñîòêîâ³ ðîçðàõóíêè .................................... 132

§ 8. Íàáëèæåí³ îá÷èñëåííÿ

8.1. Àáñîëþòíà ³ â³äíîñíà ïîõèáêà íàáëèæåíîãî çíà÷åííÿ

÷èñëà ............................................................................ 138

8.2. ij¿ íàä íàáëèæåíèìè çíà÷åííÿìè ÷èñåë ......................... 145

Çàïèòàííÿ äëÿ ñàìîïåðåâ³ðêè .......................................... 149

Çàäà÷³ ³ âïðàâè äëÿ ñàìîêîíòðîëþ .................................... 149

Çì³ñò

5

Ñèíÿ ×îðíà 5

§ 9. Åëåìåíòè ñòàòèñòèêè

9.1. Ïåðø³ â³äîìîñò³ ïðî ñòàòèñòèêó ..................................... 150

9.2. Ãðàô³÷íå çîáðàæåííÿ ñòàòèñòè÷íèõ äàíèõ....................... 154

9.3. Ñåðåäí³ çíà÷åííÿ.......................................................... 155

9.4. Ìîäà ³ ìåä³àíà ............................................................. 161

Çàïèòàííÿ äëÿ ñàìîïåðåâ³ðêè .......................................... 163

Çàäà÷³ ³ âïðàâè äëÿ ñàìîêîíòðîëþ .................................... 163

Ïîâòîðåííÿ

1. ×èñëà ³ 䳿 íàä íèìè ....................................................... 166

2. Òîòîæí³ ïåðåòâîðåííÿ ..................................................... 167

3. гâíÿííÿ ³ ñèñòåìè ð³âíÿíü .............................................. 168

4. Íåð³âíîñò³ ...................................................................... 169

5. Ôóíêö³¿ ......................................................................... 1716. Ïîñë³äîâíîñò³ ................................................................. 174

7. Òåêñòîâ³ çàäà÷³ ............................................................... 175

Çàäà÷³ ³ âïðàâè äëÿ ñàìîêîíòðîëþ .................................... 176

8. Çàäà÷³ ï³äâèùåíî¿ ñêëàäíîñò³ ........................................... 176

³äïîâ³ä³ òà âêàç³âêè ...................................................... 179

Ôîðìóëè ........................................................................... 183

Çì³ñò

9

Ñèíÿ ×îðíà 9

§ 1. ÍÅвÂÍÎÑÒ²

1.1. ×ÈÑËβ ÍÅвÂÍÎÑÒ²

¬ Âàì óæå íå ðàç äîâîäèëîñÿ ïîð³âíþâàòè ÷èñëà.  ðåçóëüòàò³ïîð³âíÿííÿ âñòàíîâëþþòü îäíå ç òðüîõ ìîæëèâèõ â³äíîøåíü ì³æäâîìà ÷èñëàìè à ³ b: à á³ëüøå â³ä b (a > b); à ìåíøå â³ä b (à < b); aäîð³âíþº b (à = b).

Âè çíàºòå, ùî áóäü-ÿêå äîäàòíå ÷èñëî á³ëüøå â³ä 0, à áóäü-ÿêåâ³ä�ºìíå ÷èñëî ìåíøå â³ä 0. Òîìó çàïèñ a > 0 îçíà÷àº, ùî à � ÷èñëîäîäàòíå, à çàïèñ à < 0 � ùî à � ÷èñëî â³ä�ºìíå.

Íà êîîðäèíàòí³é ïðÿì³é äîäàòí³ ÷èñëà ðîçì³ùåí³ ñïðàâà â³ä íóëÿ,à â³ä�ºìí³ � çë³âà. Âçàãàë³, ÿêùî a > b, òî ÷èñëî à íà êîîðäèíàòí³éïðÿì³é ðîçì³ùåíå ïðàâ³øå â³ä b (ðèñ. 1).

Äîñ³ ñòðîãèõ îçíà÷åíü â³äíîøåíü «á³ëüøå», «ìåíøå», «äîð³âíþº»ì³æ äâîìà ÷èñëàìè íå äàâàëîñÿ, õî÷à âîíè äîñèòü ïðîñò³ ³ ïîáóäîâàí³íà âèêîðèñòàíí³ çíà÷åííÿ ð³çíèö³ äàíèõ ÷èñåë. ßê â³äîìî, òàêà ð³ç-íèöÿ ìîæå áóòè äîäàòíîþ, â³ä�ºìíîþ àáî äîð³âíþâàòè íóëþ. ³äïî-â³äíî,

÷èñëî a á³ëüøå â³ä ÷èñëà b, ÿêùî ð³çíèöÿ a � b äîäàòíà:a > b, ÿêùî a � b > 0;

÷èñëî a ìåíøå â³ä ÷èñëà b, ÿêùî ð³çíèöÿ a � b â³ä�ºìíà:a < b, ÿêùî a � b < 0;

÷èñëî a äîð³âíþº ÷èñëó b, ÿêùî ð³çíèöÿ a � b äîð³âíþºíóëþ:

a ===== b, ÿêùî a � b ===== 0.

Âðàõîâóþ÷è ö³ îçíà÷åííÿ, äëÿ ïîð³âíÿííÿ áóäü-ÿêèõ äâîõ ÷èñåëñë³ä óòâîðèòè ¿õ ð³çíèöþ ³ âèçíà÷èòè ¿¿ çíàê.

Ðîçãëÿíóâøè ïðèêëàäè, ñïðîáóºìî âèçíà÷èòè, ùî á³ëüøå:

à) 5

8 ֏

4

7?

5 4 35 32 30.

8 7 56 56

−− = = > Îòæå,

5 4.

8 7>

0– +

ab x

10

Ñèíÿ ×îðíà 10

á) �15 ÷è �17?�15 � (�17) = �15 + 17 = 2 > 0. Îòæå, �15 > �17.

â) 0,333 ÷è 1

3?

−− = − = = − <1 333 1 999 1000 10,333 0.

3 1000 3 3000 3000 Îòæå, < 1

0,333 .3

ã) 7 ÷è 4 3 ?

Äëÿ âèçíà÷åííÿ çíàêà ð³çíèö³ −7 4 3 ïåðåòâîðèìî ¿¿, çàïèñàâøè7 ÿê 4 + 3. Ìàºìî:

( )− = + − = − + = − ⋅ ⋅ + =2

27 4 3 4 3 4 3 4 4 3 3 2 2 2 3 3

( )= − >2

2 3 0. Îòæå, >7 4 3.

­ Äâà ÷èñëà, ñïîëó÷åí³ çíàêîì > (á³ëüøå) àáî < (ìåíøå), óòâî-ðþþòü ÷èñëîâó íåð³âí³ñòü.

Ïðèêëàäè: 3 < 5; �1 > �9; 0 < 4,5.Çíàêè íåð³âíîñò³ > ³ < íàçèâàþòü ïðîòèëåæíèìè.Òîìó íåð³âíîñò³ âèäó à > b ³ c < d (àáî à < b ³ c > d) íàçèâàþòü

íåð³âíîñòÿìè ïðîòèëåæíîãî ñìèñëó.

Íàïðèêëàä, >5 2 ³ 1

0,33

< º íåð³âíîñòÿìè ïðîòèëåæíîãî ñìèñ-

ëó; íåð³âíîñò³ 4 < 6,5 ³ 8 > 0 � òàê ñàìî.Íåð³âíîñò³ âèäó à > b ³ c > d (àáî à < b ³ c < d) íàçèâàþòü

íåð³âíîñòÿìè îäíàêîâîãî ñìèñëó.

Íàïðèêëàä, >5 2 ³ π > 3,1 � íåð³âíîñò³ îäíàêîâîãî ñìèñëó.ßê ³ ÷èñëîâ³ ð³âíîñò³, ÷èñëîâ³ íåð³âíîñò³ ìîæóòü áóòè ïðàâèëüíè-

ìè ³ íåïðàâèëüíèìè. Íàïðèêëàä, íåð³âíîñò³ 2 < 7, > 10,5

3 º ïðàâè-

ëüíèìè, à íåð³âíîñò³ 1 > 2, 3 < � 0,8, >1 1

3 2 � íåïðàâèëüí³.

® Ó ïðîöåñ³ ðîçâ�ÿçóâàííÿ çàäà÷ òà äîâåäåííÿ òâåðäæåíü êîðèñ-òóþòüñÿ òàêèìè î÷åâèäíèìè âëàñòèâîñòÿìè.

Íåð³âíîñò³, ôóíêö³¿ òà ð³âíÿííÿ

89

Ñèíÿ ×îðíà 89

Çàïèòàííÿ äëÿ ñàìîïåðåâ³ðêè

1. ßê³ ñïîñîáè ðîçâ�ÿçóâàííÿ íåð³âíîñòåé äðóãîãî ñòåïåíÿ ç îäí³-ºþ çì³ííîþ âè çíàºòå?

2. Ïîÿñí³òü ñóòü ãðàô³÷íîãî ñïîñîáó ðîçâ�ÿçóâàííÿ íåð³âíîñòåéäðóãîãî ñòåïåíÿ ç îäí³ºþ çì³ííîþ. Ïðî³ëþñòðóéòå ñâî¿ ì³ðêóâàííÿ,ðîçâ�ÿçàâøè íåð³âí³ñòü 2õ2 + 7õ � 4 > 0.

3. ßê ðîçâ�ÿçàòè àíàë³òè÷íèì ñïîñîáîì íåð³âí³ñòü äðóãîãî ñòåïå-íÿ ó âèïàäêó, êîëè êâàäðàòíèé òðè÷ëåí ó ë³â³é ÷àñòèí³ íåð³âíîñò³:

à) ìîæíà ðîçêëàñòè íà ë³í³éí³ ìíîæíèêè;á) íå ìîæíà ðîçêëàñòè íà ë³í³éí³ ìíîæíèêè.

4. Ñê³ëüêè ðîçâ�ÿçê³â ìîæå ìàòè íåð³âí³ñòü äðóãîãî ñòåïåíÿ ç îä-í³ºþ çì³ííîþ?

5. Íà ïðèêëàä³ íåð³âíîñò³ (õ + 2)(õ � 1,5)(õ � 3,5) ≤ 0 ïîÿñí³òü,ÿê ðîçâ�ÿçóþòü íåð³âíîñò³ ìåòîäîì ³íòåðâàë³â.

Çàäà÷³ ³ âïðàâè äëÿ ñàìîêîíòðîëþ

1°°°°°. Ðîçâ�ÿæ³òü ãðàô³÷íèì ñïîñîáîì íåð³âí³ñòü:à) õ2 + 8õ + 15 > 0; á) 2õ2 � õ � 6 ≤ 0;â) 9õ2 + 6õ + 1 > 0; ã) �õ2 + 10õ � 25 ≤ 0;´) 3õ2 + 5õ + 7 < 0; ã) 4õ2 + õ + 2 > 0.

2°°°°°. Ðîçâ�ÿæ³òü àíàë³òè÷íèì ñïîñîáîì íåð³âí³ñòü:à) (õ � 2)(õ + 5) > 0; á) (õ + 1)(3 � õ) < 0;â) õ2 + 4õ + 5 > 0; ã) �õ2 + õ � 3 > 0.

3. Ðîçâ�ÿæ³òü íåð³âí³ñòü:à°°°°°) õ2 � 3õ > 0; á°°°°°) õ2 < 36;â) 3õ2 � 7õ � 40 ≤ 0; ã°°°°°) (x + 1)(õ � 2)(õ � 6) > 0;

´) ( )(2 ) 4 0;x x x− π + − ≤ ä) 4õ3 � 14õ2 � 30õ > 0;

â) 2

2

10;

4 60

x

x x

+ <− −

ã)2 2 35

0.3

x x

x

− − ≥+

4. Çíàéä³òü îáëàñòü âèçíà÷åííÿ ôóíêö³¿:

à°°°°°) (5 )( 4);y x x= − − á) 29 ;y x x= −

â) =− −2

3( ) ;

3 2 5f x

x xã)

2

2

7 10( ) .

10 25

x xf x

x x

− +=+ +

Íåð³âíîñò³ äðóãîãî ñòåïåíÿ ç îäí³ºþ çì³ííîþ

90

Ñèíÿ ×îðíà 90

5. Ïðè ÿêèõ çíà÷åííÿõ à ãðàô³ê ôóíêö³¿ ó = õ2 � 2(à � 1)õ + 2à + 1ïîâí³ñòþ ðîçì³ùåíèé íàä â³ññþ àáñöèñ?

6*. Ïðè ÿêèõ çíà÷åííÿõ b íåð³âí³ñòü 3bx2 � 4(b � 1)x + 2b � 5 > 0º ïðàâèëüíîþ äëÿ âñ³õ ä³éñíèõ õ?

7*. ßêèìè ìàþòü áóòè ñòîðîíè ïðÿìîêóòíèê³â ³ç ïëîùåþ 144 ì2,ùîá ¿õí³é ïåðèìåòð áóâ á³ëüøèì â³ä 50 ì?

§ 5. ÑÈÑÒÅÌÈ Ð²ÂÍßÍÜ ÄÐÓÃÎÃÎ ÑÒÅÏÅÍßÇ ÄÂÎÌÀ Ç̲ÍÍÈÌÈ

5.1. ÑÒÅϲÍÜ Ð²ÂÍßÍÍß Ç ÄÂÎÌÀ Ç̲ÍÍÈÌÈ

Ðîçãëÿíåìî ð³âíÿííÿ ç äâîìà çì³ííèìè:à) 2õ = 5ó � 2; á) õ2 � 6õó = 4;â) õó2 + 7õ2 = 4õó2 � 2; ã) õ(3ó2 � õó3) + 4 = õ2 � 5õ2ó3.Êîæíå ç íèõ øëÿõîì ïåðåòâîðåíü, ùî íå ïîðóøóþòü ð³âíîñèëü-

íîñò³, ìîæíà çâåñòè äî òàêîãî âèãëÿäó, ùîá ó ë³â³é ¿õ ÷àñòèí³ áóâìíîãî÷ëåí, à ó ïðàâ³é � íóëü.

Äëÿ ð³âíÿíü à) ³ á) íåîáõ³äíå ïåðåòâîðåííÿ ïîëÿãຠó ïåðåíåñåíí³âñ³õ ÷ëåí³â ð³âíÿííÿ â îäíó ÷àñòèíó:

à) 2õ � 5ó + 2 = 0;á) õ2 � 6õó � 4 = 0.Äëÿ ð³âíÿííÿ â) öå ïåðåòâîðåííÿ äîïîâíþºòüñÿ çâåäåííÿì ïîä³á-

íèõ ÷ëåí³â:â) õó2 + 7õ2 � 4õó2 + 2 = 0; �3õó2 + 7õ2 + 2 = 0.Ó ð³âíÿíí³ ã), êð³ì óæå íàçâàíèõ ïåðåòâîðåíü, ïîòð³áíî ùå é ðîç-

êðèòè äóæêè:ã) õ(3ó2 � õó3) + 4 � õ2 + 5õ2ó3 = 0; 4õ2ó3 + 3õó2 � õ2 + 4 = 0.ßêùî ð³âíÿííÿ ç äâîìà çì³ííèìè ìîæíà çâåñòè äî çàçíà÷åíîãî

âèãëÿäó, òî ñòåïåíåì öüîãî ð³âíÿííÿ íàçèâàþòü ñòåï³íü ìíîãî÷ëå-íà ó éîãî ë³â³é ÷àñòèí³, òîáòî ñóìó ïîêàçíèê³â ñòåïåí³â çì³ííèõ óòîìó ÷ëåí³, äå âîíà íàéá³ëüøà.

Îòæå, ð³âíÿííÿ à) � ïåðøîãî ñòåïåíÿ; ð³âíÿííÿ á) � äðóãîãîñòåïåíÿ; ð³âíÿííÿ â) � òðåòüîãî ñòåïåíÿ; ð³âíÿííÿ ã) � ï�ÿòîãîñòåïåíÿ.

Çàóâàæèìî, ùî ð³âíÿííÿ, âñ³ ÷ëåíè ÿêîãî ìàþòü îäíàêîâèé ñòå-ï³íü, à â³ëüíèé ÷ëåí äîð³âíþº íóëþ, íàçèâàºòüñÿ îäíîð³äíèì.

Íàïðèêëàä, ð³âíÿííÿ 2õ2 � 4ó2 + 3õó = 0 º îäíîð³äíèì.

Íåð³âíîñò³, ôóíêö³¿ òà ð³âíÿííÿ

91

Ñèíÿ ×îðíà 91

Çàãàëüíèé âèãëÿä ïîâíîãî ð³âíÿííÿ äðóãîãî ñòåïåíÿ ç äâîìà çì³í-íèìè º òàêèì:

ax2 + bxy + cy2 + dx + åy + k ===== 0,ïðè÷îìó êîåô³ö³ºíòè à, b ³ ñ íå ìîæóòü äîð³âíþâàòè íóëþ îäíî÷àñ-íî, áî òîä³ ð³âíÿííÿ áóäå íå äðóãîãî, à ïåðøîãî ñòåïåíÿ.

Çàäà÷³ ³ âïðàâè

242°°°°°. Âèçíà÷òå ñòåï³íü ð³âíÿííÿ:à) 2õ2 � 3õó + 4ó2 = 4; á) õ3 + 3ó2 + 2õó = 0;â) 5õ2 � 4ó2 � 2õ + 7ó + 9 = 0; ã) 3õó2 � 4ó + 7 = 0;´) 6ó2 + õó � 5õ2 = 7; ä) õó2 � õ2 + 3ó = 0.

Çíàéä³òü áóäü-ÿê³ äâà ðîçâ�ÿçêè ð³âíÿííÿ (243�244).243°°°°°. à) õó = 12; á) õ2 � ó2 = 0; â) õ2 � ó = 0;

ã) õ � õó = 0; ´) õ � õó = 2; ä) õ2 + ó2 = 9.244. à) õ2 � 2õó + ó2 = 0; á) õ2 � 4õó + 4ó2 = 0;

â) õ3 � 3õ2ó + 3õó2 � ó3 = 0; ã) 4õ2 � 4õó + ó2 = 0;´) õ2 � 2õó + ó2 + õ � ó = 0; ä) (õ2 + ó2)(õ � 1)= 0;å) (õ2 + ó2)(ó + 1) = 0; º) (õ2 +ó2)(2õ � 1) = 0.

245*. Ñêëàä³òü ð³âíÿííÿ ç äâîìà çì³ííèìè, ÿêå:à) íå ìຠðîçâ�ÿçê³â; á) ìຠîäèí ðîçâ�ÿçîê;â) ìຠäâà ðîçâ�ÿçêè; ã) ìຠá³ëüøå äâîõ ðîçâ�ÿçê³â.

246. ßê³ ç äàíèõ ð³âíÿíü º îäíîð³äíèìè?à) õ2 � 3õó + ó2 = 0; á) õ2 � 3õó + ó2 = 1;â) õ2 � 3õó + 4ó2 = 0; ã) õ2 � 3õó + ó = 0;´) õ2 � 3õó + ó2 = 2õ; ä) õ2 � 3õó + 4ó = 0.

5.2. ÐÎÇÂ�ßÇÓÂÀÍÍß ÑÈÑÒÅÌÈ Ð²ÂÍßÍÜ ÄÐÓÃÎÃÎ ÑÒÅÏÅÍßÇ ÄÂÎÌÀ Ç̲ÍÍÈÌÈ

¬ Ñèñòåìó ð³âíÿíü äðóãîãî ñòåïåíÿ ç äâîìà çì³ííèìè ìîæóòüóòâîðþâàòè äâà ð³âíÿííÿ, êîæíå ç ÿêèõ º ð³âíÿííÿì äðóãîãî ñòå-ïåíÿ, àáî ÿêùî îäíå ç íèõ º ð³âíÿííÿì äðóãîãî, à äðóãå � ïåðøîãîñòåïåíÿ.

ªäèíîãî ñïîñîáó ðîçâ�ÿçóâàííÿ òàêèõ ñèñòåì íå ³ñíóº. Çàçâè-÷àé çàñòîñîâóþòüñÿ ð³çí³ ñïîñîáè ðîçâ�ÿçóâàííÿ ñèñòåì: ï³äñòàíî-âêè, äîäàâàííÿ, äåÿê³ øòó÷í³ ïðèéîìè. Ïðî³ëþñòðóºìî öå íà ïðè-êëàäàõ.

Ñèñòåìè ð³âíÿíü äðóãîãî ñòåïåíÿ ç äâîìà çì³ííèìè

183

Ñèíÿ ×îðíà 183

ÔÎÐÌÓËÈ

1. ÂËÀÑÒÈÂÎÑÒ² ÑÒÅÏÅͲÂ

Äëÿ áóäü-ÿêèõ ö³ëèõ m, n ³ äîäàòíèõ à ³ b ñïðàâåäëèâ³ ð³âíîñò³:

n m n ma a a +⋅ = ; n m n ma a a −=: ; ( )mn nma a= ;

( )n n nab a b= ;n n

n

a a

b b =

; nn

aa

− = 1; a =0 1.

2. ÌÍÎÃÎ×ËÅÍÈ

Äëÿ áóäü-ÿêèõ à ³ b ñïðàâåäëèâ³ ð³âíîñò³:

a b a b a b− = − +2 2 ( )( ); a b a ab b+ = + +2 2 2( ) 2 ;

a b a a b ab b+ = + + +3 3 2 2 3( ) 3 3 ; a b a b ab a b+ = + + +3 3 3( ) 3 ( );

a b a b a ab b+ = + − +3 3 2 2( )( ); a b a b a ab b− = − + +3 3 2 2( )( ).

3. ÂËÀÑÒÈÂÎÑÒ² ÊÂÀÄÐÀÒÍÈÕ ÊÎÐÅͲÂ

Äëÿ áóäü-ÿêîãî íàòóðàëüíîãî n òà íåâ³ä�ºìíèõ à ³ b ñïðàâåäëèâ³ð³âíîñò³:

= ⋅ab a b; =a a

b b, ≠b 0;

a aa a

a a

≥= = − <

2 , ÿêùî 0,

, ÿêùî 0;nna a=2 .

4. ÊÂÀÄÐÀÒÍÈÉ ÒÐÈ×ËÅÍ

ax bx c+ + =2 0,b b ac

xa

− ± −=2 4

.2

ax bx c a x x x x+ + = − −21 2( )( );

bx x

a+ = −1 2 ;

cx x

a⋅ =1 2 ,

äå õ1 ³ õ

2 � êîðåí³ êâàäðàòíîãî ð³âíÿííÿ.

184

Ñèíÿ ×îðíà 184

ϳäïèñàíî äî äðóêó 8.07.2003. Ôîðìàò 60×84/16. Ïàï³ð îôñåòíèé. Ãàðí³òóðàØê³ëüíà. Äðóê îôñåòíèé. Óìîâí. äðóê. àðê. 10,69. Óìîâí. ôàðáî-â³äá. 21,39.

Íàâ÷àëüíå âèäàííÿ

Âîçíÿê Ãðèãîð³é Ìèõàéëîâè÷Ëèòâèíåíêî Ãðèãîð³é Ìèêîëàéîâè÷

Ìàëüîâàíèé Þð³é ²âàíîâè÷(Òåìó «Åëåìåíòè ñòàòèñòèêè» ï³äãîòóâàëà Îëüãà Ãðèãîð³âíà Âîçíÿê)

ÀËÃÅÁÐÀϳäðó÷íèê äëÿ 9 êëàñó

çàãàëüíîîñâ³òí³õ íàâ÷àëüíèõ çàêëàä³âÇà ðåäàêö³ºþ ÷ëåíà-êîðåñïîíäåíòà ÀÏÍ Óêðà¿íè

Þ.². Ìàëüîâàíîãî

Ãîëîâíèé ðåäàêòîð Á.ª. ÁóäíèéÐåäàêòîð Ã.ª. Áåçêîðîâàéíèé

Òåõí³÷íèé ðåäàêòîð ².Î. ÊîçóáÕóäîæíèê Â.À. Áàñàëèãà

Êîìï�þòåðíà âåðñòêà À.Â. Êðàâ÷óê

Âèäàâíèöòâî «Íàâ÷àëüíà êíèãà � Áîãäàí»Ñâ³äîöòâî ïðî âíåñåííÿ äî Äåðæàâíîãî ðåºñòðó âèäàâö³â

ÄÊ ¹370 â³ä 21.03.2001 ð.

46008, ì.Òåðíîï³ëü, âóë. Òàíöîðîâà, 14. À/ñ 529.òåë./ôàêñ (0352) 43-00-46; 25-18-09; 25-37-53

Å-mail: publishing@budny.te.uawww.bohdan-books.com