Embed Size (px)
Citation preview
Муниципальное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа № 48»
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
ПО ЭЛЕКТИВНОМУ КУРСУ:
«ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ МАТЕМАТИКИ: РЕШЕНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ» УЧЕБНОГО ПРЕДМЕТА
____Математика______________
КЛАСС _______9____________
Составил:
учитель математики
МОУ СОШ №_____48_______
Иванова Елена Юрьевна___
Магнитогорск
Пояснительная записка
Среднее (полное) общее образование - завершающая ступень общего образования, призванная обеспечить функциональную
грамотность и социальную адаптацию обучающихся. Эти функции определяют направленность целей на формирование социально
грамотной и социально мобильной личности, осознающей свои гражданские права и обязанности, ясно представляющих себе
потенциальные возможности, ресурсы и способы реализации выбранного жизненного пути. Эффективная реализация указанных целей
возможна при введении профильного обучения, которое является «системой специализированной подготовки (профильного обучения) в
старших классах общеобразовательных школ, ориентированной на индивидуализацию обучения и социализацию обучающихся, в том
числе с учетом реальных потребностей рынка труда, ... отработки гибкой системы профилей и кооперации старшей ступени школы с
учреждениями начального, среднего и высшего профессионального образования»
Переход к профильному обучению постепенный. Этому способствуют и элективные курсы.
Целями данного элективного курса являются:
1. Создание условий для самореализации учащихся в процессе учебной деятельности.
2. Развитие математических, интеллектуальных способностей учащихся, обобщенных умственных умений.
Для достижения поставленных целей в процессе обучения решаются следующие задачи:
1. Приобщить учащихся к работе с математической литературой.
2. Выделять логические приемы мышления и способствовать их осмыслению, развитию образного и ассоциативного мышления.
3. Обеспечить диалогичность процесса обучения математике.
4. Дать ученику возможность реализации личных познавательных интересов.
5. Создавать условия для качественной подготовки к итоговой аттестации.
6. Уточнить готовность и способность ученика осваивать предмет на профильном уровне.
ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ УСВОЕНИЯ КУРСА
В результате изучения курса учащиеся должны уметь:
- чётко различать понятия следования и равносильности;
- свободно оперировать аппаратом алгебры при решении иррациональных
уравнений;
- проводить тождественные преобразования алгебраических выражений;
- решать иррациональные уравнения и системы уравнений изученным методом.
Объём курса:
17 часов ( 1 час в неделю в течение полугодия )
Формы занятий:
семинары, лекции, творческая лаборатория и др.
На занятиях используются:
принцип дифференциации и индивидуализации в обучении;
элементы тестовой технологии. В качестве одной из форм обратной связи – тестовый контроль;
блочно-модульный подход в преподавании математики;
разноуровневый дидактический материал;
материалы ЕРЭ.
Ожидаемый результат:
развитие математических способностей учащихся;
повышение качества выполнения заданий на ЕРЭ;
развитие познавательного интереса к предмету.
Поурочное планирование элективного курса.
9 класс (17часов)
№
п/п Содержание
Кол
ич
еств
о
часо
в
Ли
тер
атур
а
Фор
ма
пр
ов
еден
ия
зан
яти
я
Фор
мы
кон
тр
ол
я
1. Равносильность уравнений
и систем уравнений. 5
1.1
Понятие о следовании и
равносильности.
Равносильные уравнения и
уравнения – следствия.
1 [1],[2],[5] лекция
1.2 Теоремы равносильности
уравнений. 1 [1],[2],[5] семинар
1.3
Примеры преобразований,
связанные с появлением
посторонних корней.
1 [1],[2],[5] Творческая
лаборатория
1.4
Равносильность систем
уравнений, теоремы
равносильности систем
уравнений.
1 [1],[2],[5] лекция
1.5
Решение задач по теме
«Равносильность уравнений
и систем уравнений».Тест.
1 [1],[2],[5] cеминар тест
2. Иррациональные уравнения. 11
2.1
Понятие иррационального
уравнения. Способы
решения иррациональных
уравнений.
1 [1],[2],[5],[3] лекция
2.2
Решение иррациональных
уравнений вида xf ( )=g(x)
возведением обеих частей в
квадрат.
1 [1],[2],[3],[4] практикум С/ р с само-
проверкой
2.3
Решение иррациональных
уравнений вида xf ( )=g(x)
с помощью равносильной
системы.
1 [1],[2],[3],[4] работа в
группах
2.4
Решение иррациональных
уравнений с помощью
свойств монотонности
функции.
1 [1],[2],[3],[4] Игра-
соревнование
2.5
Решение иррациональных
уравнений способом
введения одной новой
переменной.
1 [1],[2],[3],[4] практикум с/р по
карточкам
2.6
Способ введения двух
вспомогательных
переменных при решении
иррациональных уравнений.
1 [3],[4]
Лекционно-
семинарское
занятие
№
п/п Содержание
Коли
чес
тво
час
ов
Ли
терат
ура
Форм
ы к
он
трол
я
2.7
Решение иррациональных
уравнений различными
способами.
1 [1],[2],[3],[4],
[5] семинар
2.8 Решение иррациональных
уравнений вида f(x) )(xg =0. 1 [2],[3],[4],
Лекционно-
семинарское
занятие
2.9
Решение иррациональных
уравнений путем сведения
уравнения к уравнению с
модулем.
1 [1],[3],[4], [6] Работа в
группах
2.10
Иррациональные уравнения, в
которых применяется формула
)()( xgxf = )()( xgxf
при f(x)g(x)0.
1 [3],[4]
Лекционно-
семинарское
занятие
2.11 Зачёт по теме
«Иррациональные уравнения» 1 [2],[4]
контрольная
работа.
3. Обобщающий урок по курсу 1 конференция
ИТОГО 17
Литература
1. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра: доп. гл. к шк. учеб. 9 кл.: Учеб. пособие для учащихся шк. и кл. с углубл. изуч.
математики – М.: Просвещение, 2009.
2. Макарычев Ю.Н. Дидактические материалы по алгебре для 9 класса с углубленным изучением математики / Ю.Н. Макарычев,
Н.Г. Миндюк. М.: Просвещение, 2010.
3. Гольдич В.А. Алгебра: Решение уравнений и неравенств. - СПб.: Издательский дом «Литера», 2009.
4.Галицкий М.Л. и др. Сборник задач по алгебре для учащихся шк. и кл. с углубленным изучением математики/М.Л. Галицкий, А.М.
Гольдман, Л.И. Звавич. – М.: Просвещение, 2011.
5. Виленкин Н.Я. Алгебра 9 класс: Учебное пособие для учащихся шк. и кл. с углубл. изуч. математики.- М.: Просвещение, 2009.
6. Чикунова О.И. Уравнения и неравенства с модулями. Учебно-методическое пособие для учащихся 7-11 классов. Шадринск: ПО
«Исеть», 2008.
Рекомендации
I. Равносильность уравнений.
Цель: расширить и обобщить сведения о равносильности уравнений, а также дать обоснование знакомым приёмам решений
уравнений с одной переменной и систем уравнений с двумя переменными.
Равносильность предложений с переменными определяется через понятие следования, содержание которого разъясняется на
примерах.
Занятие 1.1. (лекция ) Тема: «Понятие о следовании и равносильности. Равносильные уравнения и уравнения – следствия ».
Цель занятия: дать понятие следования и равносильности предложений, равносильного уравнения и уравнения – следствия.
Для закрепления можно предложить задания типа:
1. Является второе предложение следствием первого ( при положительном ответе сделайте запись, используя знак ):
а) углы А и В вертикальные; ВА ;
Решение:
Углы А и В вертикальные ВА т.к. вертикальные углы равны, но из равенства углов не следует, что они вертикальные.
б) отрезки АВ и СD симметричные относительно прямой f ; АВ = СD;
в) в треугольнике АВС угол А равен 700; треугольник АВС – остроугольный?
б) отрезки АВ и СD симметричные относительно прямой f ; АВ = СD;
в) в треугольнике АВС угол А равен 700; треугольник АВС – остроугольный?
Ответы : а) да; б) да; в) нет
2. Равносильны ли предложения ( при положительном ответе сделайте запись, используя знак ):
а) p – целое число, кратное 3; 7p – целое число, кратное 3;
Решение:
p – целое число, кратное 3 7p – целое число, кратное 3;т.к. p – целое число, кратное 3, то при умножении данного числа на любое
действительное число ( не равное нулю) кратность сохранится, и обратно, если 7p – целое число, кратное 3, то при делении на любое
действительное число ( не равное нулю) кратность сохранится.
б) y – целое число; y
y 15 - дробное число;
в) k – целое число, кратное 24; k – целое число, кратное 4 и 6;
г) модуль числа a меньше 1; квадрат числа a меньше 1?
Ответы: а) нет; б) да; в) нет; г) да.
3. Следует ли из первого предложения второе; равносильны ли эти предложения:
а) натуральное число a оканчивается цифрой 1; четвёртая степень натурального числа a оканчивается цифрой 1;
б) натуральное число b оканчивается цифрой 5; шестая степень натурального числа b оканчивается цифрой 5;
в) целое число y кратно 6; квадрат целого числа y кратен 36;
г) целое число x при делении на 6 даёт остаток 1; квадрат целого числа x при делении на 6 даёт остаток 1?
Ответы: а) да, нет; б) да, да; в) да, да; г) да, нет;
4. Верно ли что:
а) для того чтобы целое число a делилось на 4, необходимо, чтобы оно оканчивалось чётной цифрой;
б) для того, чтобы сумма ba ( ZbZa , ) делилась на 17, достаточно чтобы каждое из чисел a и b делилось на 17;
в) для того чтобы диагонали четырёхугольника были равны, необходимо и достаточно, чтобы он был прямоугольником?
Ответы: а) да; б) да; в) нет
Занятие 1. 2 Тема: «Теоремы равносильности уравнений»
Цель занятия: доказать теоремы равносильности, рассмотреть применение теоремы на примерах.
(учащихся можно распределить по группам и предложить каждой группе доказать по одной теореме, а затем из предложенных
заданий выбрать те в которых используется соответствующая теорема)
Для работы на данном занятии можно использовать задания:
1. Дайте обоснование равносильности уравнений:
а) xx 12213 и 12123 xx ;
Обоснование:
данные уравнения равносильны, т.к. если какое-нибудь слагаемое перенести из одной части в другую , изменив при этом его знак на
противоположный, то получится уравнение равносильное данному.( теоремы равносильности)
б) 0,04x = 2,6 и 4x = 260;
в) 126
13
xxи 0313 xx ;
г) ( 3x -2 )( 8x2 + 5 ) = x( 8x2 + 5 ) и 3x – 2 = x.
2. Может ли нарушиться равносильность, если выполнить следующие преобразования
а) в уравнении 7)()(12 22 xxxx раскрыть скобки и привести подобные члены;
б) в уравнении 72
23 22
xx
x
xxдробь
2
232
x
xx сократить на 2x ;
в) обе части уравнения )4(2)4)(23( xxx разделить на 4x ;
г) в уравнении 48168
1
8
12
xx
x разность8
1
8
1
xxзаменить нулём.
Ответы: а) нет; б) да; в) да; г) да.
3.Решите уравнения и докажите, что построена цепочка равносильных уравнений:
а) Решение: при решении уравнения применяются теоремы равносильности, значит построена цепочка равносильных уравнений
.5,11928884412448812
44100102021213)2()01)(012()1(13
2222
22222
хххххххххх
хххххххxxxxОтвет: 11,5.
Ответы: а) 11,5; б) 0; в) 3
2 ; г)
3
1 .
Занятие 1.3.
Тема. «Примеры преобразований, связанные с появлением посторонних корней»
Цель: рассмотреть примеры преобразований, которые могут быть связаны с появлением посторонних корней.
На занятии учащихся разделить на три группы, каждой группе предложить решить по одному уравнению, задав определённый
способ решения, и выполнить проверку, чтобы выяснить являются ли найденные ими числа корнями уравнения. Сделать выводы.
Задание 1 группе: решите уравнение10
100
10
2
xx
x, умножив обе части уравнения на выражение
10x .Сделайте проверку.
Ответ: -10
.1251123613)
;1611)
;26311)
;)2()01)(012()1(13)
222
233
33
22
xxxxxг
xxxxв
xxxб
xxxxа
Задание 2 группе: решите уравнение xx 43, возведя обе части в квадрат. Сделайте проверку.
Ответ: 4
Задание 3 группе: решите уравнение 02252 xxxx . Сделайте проверку.
Ответ: 5.
Для работы на данном занятии можно использовать задания:
1. Докажите, что не являются равносильными уравнениями:
а) 366
136
6
1 22
xиxx
x ;
б) xxxxиxx
xx
222
36113
61.
2.Равносильны ли уравнения:
а) 3
17
3
1575
xx
xxиxx ;
б) 52122
5
2
212
xxи
x
x
x
x;
в) 106106 xиxxx .
3. Решите уравнения и объясните, какое преобразование могло привести к нарушению равносильности:
а) 21523 xxxx ; Ответ: корней нет
б) 152 xx ; Ответ: 2
в) xx
xx
x
38
2
58; Ответ:
3
23 .
г) x
x
xxx
3
4
9
6
3
1
3
72
; Ответ: - 4.
Занятие 1.4 .
Тема: «Равносильности систем уравнений, теоремы равносильности систем уравнений»
Цель: рассмотреть понятие равносильности систем уравнений, доказать теоремы равносильности систем уравнений, показать
применение теорем на примерах.
Занятие предлагается провести в форме лекции.
Для закрепления материала в ходе лекции можно предложить задания:
1. Решите систему уравнений
29149
,1973
yx
yxспособом сложения. Дайте обоснования равносильности данной системы и полученной
простейшей системы вида
,
,
by
axгде a и b - некоторые числа.
Ответ: ( - 3; 4 )
2. Получится ли система, равносильная данной, если:
а) в системе уравнений
545
,1143
yx
yx заменить первое уравнение уравнением 168 x , полученным сложением уравнений
системы;
б) в системе уравнений
63
,1148
yx
yx заменить в первом уравнении y
выражением x36 ;
в) в системе уравнений
435
,3210
yx
yx все члены первого уравнения умножить на 3, а все члены второго уравнения умножить на
2;
г) в системе уравнений
618
,62
y
xxyx все члены первого уравнения разделить на x .
Ответы: а) да; б) да; в) да; г) нет.
3. При каких значениях a имеет решение система уравнений:
Ответ: при 12a .
4. Равносильны ли системы уравнений:
а)
;423
,
423
,22
yx
yxи
yx
yx б)
;53
,1
53
,22
yx
yxи
yx
yxyx
Ответ: а) нет, б) нет.
Занятие 1.5. Тема: Решение задач по теме «Равносильность уравнений и
систем уравнений»
.7655
,1
,423
ayx
ayx
ayx
Цель: закрепить ранее изученный материал, что позволит учащимся осознанно подойти к изучению приёмов решения уравнений и
систем уравнений; проконтролировать уровень усвоения данного материала.
Предложить учащимся самостоятельно выполнить задания с последующей самопроверкой. Провести тест для проверки качества
знаний учащихся( 25 мин).
Задания для самостоятельной работы (20 мин.)
1. Равносильны ли уравнения:
а) 53265632 2222 xxиxxxx ; Ответ: да
б) 161161 2
2
xxиx
x
x
x. Ответ: нет
2. Найдите множество корней уравнения, заменив его равносильной системой или совокупностью уравнений:
а) 014592 22 xxx ;
б) 0122 xxx .
Ответы: а) 2
1;
2
1;5 ; б) .1;1
3. Решите систему уравнений
102
,823
yx
yxспособом подстановки. Дайте обоснования равносильности данной системы и полученной
простейшей системы вида
,
,
by
axгде a и b - некоторые числа.
Ответ: ( 4; 2)
Тест.
1. Укажите уравнение равносильное уравнению xxx 2124 2 :
А. 014 2 x Б.
0144 2 xx
В. 014 2 x Г. 044 2 x
2. Какое из уравнений является следствием уравнения 3
9
3
2
xx
x?
3. Найдите множество корней уравнения
02834 2 xxx , заменив его совокупностью уравнений
А. -4; 7; Б. 4; 7; -4 В. 4; -7. Г. 4; -3; 7
4. Найдите множество корней уравнения 04 22 xxxx , заменив его равносильной системой уравнений.
А. -1; 0; 4 Б. -4; -1; 0 В. 0; 1; 4 Г. 1; 4
5. При каких значениях а равносильны уравнения
012203235 xaxиax
Ответы: 1 – А; 2 – Б; 3 – А; 4 – В; 5 – Г.
Критерии оценки теста: «5» - за 5 правильно выполненных заданий;
«4» - за 4 правильно выполненных задания;
«3» - за 3 правильно выполненных задания.
Занятие № 2.1.
Тема: Понятие иррационального уравнения.
Способы решения иррациональных уравнений.
Цель занятия: Ввести понятие иррационального уравнения.
Рассмотреть способы решения иррациональных уравнений.
Б. 92 x В.
932 xx
А. 912 x Г. 92 x
А. -8; 21 Б. 21; -
3
17 В. -7; -
3
221 Г. 8;
3
221
Занятие провести в форме лекции.
Ввести понятие иррационального уравнения и рассмотреть способы решения иррациональных уравнений на конкретных примерах.
1 способ - Решение иррациональных уравнений вида xf ( )=g(x) возведением обеих частей в квадрат.
Пример№1. Решить уравнение 95 х =3-х.
Возведем обе части уравнения в квадрат.
Получим уравнение 5х-9=(3-х)².
Приведем полученное уравнение к стандартному виду: х²-11х+18=0.
Найдем корни данного уравнения : х =2, х=9.
Выполним проверку:
1) Если х=2, то 1925 и 3-2=1. Значит, х=2- корень уравнения.
2) Если х=9, то 6995 и 3-9=-6. 6 -6. Значит, х=9 не является корнем уравнения.
Ответ: 2.
2 способ - Решение иррациональных уравнений вида xf ( )=g(x) с помощью равносильной системы.
Пример №2. Решить уравнение 23 х =5-х.
Корнями этого уравнения могут быть только числа, при которых 3х-20 и 5-х0.Поэтому данное уравнение
равносильно системе
.523
,05
,023
2хх
х
х
Данную систему можно упростить и получим:
.523
,05
2хх
х
Решим уравнение и найдем его корни: .615,05,6
,615,05,6
2
1
х
х
Оценка корней показывает, что первый корень удовлетворяет системе, а второй не удовлетворяет ей.
Ответ: 6,5-0,5 61 .
3 способ - Решение иррациональных уравнений с помощью свойств монотонности функции.
Пример №3. Решить уравнение 11х + 1х =6.
Для решения данного уравнения воспользуемся свойствами монотонности функций (сумма двух возрастающих функций является
возрастающей функцией и всякая монотонная функция каждое свое значение принимает лишь при одном значении аргумента).
Функции 11 xy и 1 xy - возрастающие функции. Значит, данное уравнение если имеет корень, то только один. Подбором
найдем корень уравнения х=5.
Ответ: 5.
4 способ - Решение иррациональных уравнений способом введения новой переменной.
Пример №4. Решить уравнение 32
7
х
х=х-11.
Пусть yx 3 ( ,3x 0y ). Получим у² = х-3.
Выразим х=у²+3. Далее выразим через у остальные члены уравнения:
х-7=у²-4; х-11=у²-8.
Получим уравнение:
.3
,2
,06
),0(82
,82
4
2
1
2
2
22
у
у
уу
ууу
уу
у
Уравнение имеет единственный корень, равный 3.
Выполним обратную замену: х-3=3², х=12.
Ответ: 12.
5 способ - Решение иррациональных уравнений путем сведения уравнения к уравнению с модулем.
Пример№5. Решить уравнение 962 хх + 1682 хх =11.
,114322 хх
.1143 хх
Исходное уравнение свелось к уравнению с модулем.
Решим полученное уравнение с модулем и найдем его корни: х=-6
или х=5.
Ответ: -6; 5.
Занятие № 2.2.
Тема: Решение иррациональных уравнений вида xf ( )=g(x) возведением обеих частей в квадрат.
Цель занятия: совершенствование навыков решения иррациональных уравнений вида xf ( )=g(x) способом возведения обеих
частей в квадрат.
Данное занятие предлагаем провести в форме практикума.
Фронтальная работа с классом. Обсуждение вопросов:
Какие уравнения называют иррациональными?
В чем состоит основная цель при решении иррациональных уравнений?
Какие существуют способы решения иррациональных уравнений?
Разобрать решение следующих уравнений в классе.
Задание: Решить уравнение, используя способ возведения обеих частей в квадрат.
А) 23 х =4-х; Ответ: 2.
Б) 15 х =3-2х; Ответ: 8
12917
В) 65 2 хх = х-2,5. Ответ:2,5.
Провести проверочную самостоятельную работу по вариантам с последующей самопроверкой. Ответы к самостоятельной работе
написать на доске.
1 вариант.
Решить уравнение, используя способ возведения обеих частей в квадрат:
А) 3х+5 = х3 ;
Б) х8 = 2-х;
В) х = 1х .
2 вариант
Решить уравнение, используя способ возведения обеих частей в квадрат:
А) 2х+ х534 = 7;
Б) 3х = х-5;
В) - х = 1х .
Ответы к самостоятельной работе:
1 вариант 2 вариант
а) 0,75; а) -1;
б) -1; б) 10;
в) 0,5(1+ 5 ). в) 0,5(1- 5 ).
Занятие №2.3.
Тема: Решение иррациональных уравнений вида xf ( )=g(x) с помощью равносильной системы.
Цель занятия: совершенствование навыков решения иррациональных уравнений вида xf ( )=g(x) с помощью равносильной
системы.
Предлагаем организовать на занятии работу в творческих группах.
Для каждой группы предлагается одно и то же задание. Группы обсуждают решение предложенных уравнений и показывают
решение на доске. Оценивается скорость и правильность решения.
Задание для группы:
Решить уравнение с помощью равносильной системы.
1) х37 = х+7; Ответ: -3.
2) 42 х =3-х; Ответ: 26
1
3) 26 х =5-3х. Ответ: 1.
4) 3 2х =2х-5. Ответ: 7
5) 14 х = 2х+7; Ответ: корней нет
6) 2х =10 .4х Ответ: 20; 5.
Занятие № 2.4. Тема: Решение иррациональных уравнений с помощью свойств монотонности функции.
Цель занятия: совершенствование навыков решения иррациональных уравнений с помощью свойства монотонности функции.
Занятие предлагаем провести в форме игры-соревнования. В данной игре оценивается командное первенство и личный результат.
Учащиеся команды-победителя получают дополнительный балл к своему личному результату.
1 этап игры – командное первенство.
Класс делится на две команды. Задание №1 предлагается всему классу. Отвечает тот, кто первый поднял руку. За правильное
решение – 5 баллов. Эти баллы учитель выставляет той команде, в которой состоит ученик, решивший задачу.
2 этап игры – личный результат.
Учащимся предлагается задание №2 по вариантам, которое необходимо выполнить каждому ученику.
Результаты игры объявляются на следующем занятии с комментарием по решению уравнений.
Задание №1.
Решите уравнение, используя свойство монотонности функций:
А) 52 х - 6х =2; Ответ: 7;15.
Б) х23 - х1 =1; Ответ: -3;1.
В) х93 = 3+ х48 . Ответ: 12.
Задание №2.
Решите уравнение, используя свойство монотонности функций:
1 вариант.
А) 32 х - х4 =2;
Б) 1х + 3х = 3-х;
В) 32 х - х4 = х7 .
2 вариант.
А) х37 - х45 +1=0;
Б) 2 х + 3х = 9-х;
В) х37 - х45 =1-2 2х .
Ответы к заданию №2.
1 вариант: а) 3; б) 1; в) 3. 2 вариант: а) -1; б) 4; в) -1.
Занятие № 2.5.
Тема: Решение иррациональных уравнений способом введения одной новой переменной.
Цель занятия: совершенствование навыков решения иррациональных уравнений способом введения новой переменной.
Форма проведения занятия – практикум.
Классу предлагается задание по карточкам на 2 варианта ( по желанию учителя вариантов может быть больше). Учащиеся
самостоятельно выполняют предложенное задание на своих местах, а в это время у доски работают по одному ученику от каждого
варианта. Учитель проверяет правильность выполнения задания у доски, затем учащиеся сверяют свое решение с решением у доски.
Карточка №1.
Решите уравнение, введя новую переменную:
1)3
92
х
х=
2
2х; Ответ: 7;12
2) 54
29
х
х-
44
20
х
х=х-4; Ответ:13.
3) х²+11 + 112 х =42; Ответ: -5;5.
4) 122 хх =12
14
2 хх. Ответ: 61
Карточка№2.
Решите уравнение, введя новую переменную:
1)2
3
х
х=
6
13х; Ответ: -1; 2; 7.
2) 23
1
х
х+
13
2
х
х=х+6; Ответ: нет корней.
3) 6-7 х28 =2х-8; Ответ:3,5; -14.
4) 10 12 хх =13-1
3
2 хх. Ответ: 13451,0;2;1
Занятие № 2.6.
Тема. Решение иррациональных уравнений способом введения двух вспомогательных переменных.
Цель: познакомить учащихся со способом решения иррационального уравнения вида edcxbax mn ;
совершенствование навыков решения уравнения вида edcxbax mn способом ведения двух вспомогательных переменных с
последующим переходом к рациональной системе.
Занятие предлагается провести в форме лекции. На данном занятии разобрать решение следующих уравнений:
1) ;52314 хх Ответ: 2.
2) ;3123 хх Ответ: 3.
3) ;1334 33 хх Ответ: -61; 30.
4) ;288 44 хх Ответ: 8.
5) .657
5733
33
ххх
хх
Ответ: 5; 6; 7.
Пример.
;52314 хх
Пусть .0,230,14 YYxиUUх
Перейдём к системе уравнений .4
,3
23
14
2
2
Yx
Ux(1)
Если из первого уравнения вычесть второе, то получим
.4383 22 YU
Вернёмся к решению системы ( 1)
,32
,2
,5
;11433075
,5
;11453
,5
;1143
,5
222222
Y
Y
YU
YYY
YU
YY
YU
YU
YU
т.к по условию 0Y , то Y = 2 и U = 3.
Выполним обратную замену
.2,423,223 xxx
Ответ: 2
Занятие №2.7.
Тема. Решение иррациональных уравнений различными способами.
Цель: закрепить умения учащихся решать иррациональные уравнения предложенными способами.
Занятие предлагаем организовать в форме семинара.
В начале занятия проводится фронтальная работа с классом по теоретическому материалу занятия №2.1 (понятие иррационального
уравнения, способы решения иррациональных уравнений). Затем организовать проверку решения уравнений , предложенных учителем на
предыдущем занятии в качестве домашней самостоятельной работы. Каждый ученик получает карточку с заданиями (по вариантам).
По каждому заданию у доски работают по одному ученику от каждого варианта и показывают свой способ решения данного
уравнения.
1 вариант
1. Решите уравнение:
А) ;75 хх Ответ: 9.
Б) .847 хх Ответ:3.
2. Докажите, что уравнение не имеет корней:
.10256104 ххх
3. Найдите корни уравнения:
.234 2 ххх Ответ: 0.
4. Используя свойства монотонных функций, решите уравнения:
А) ;91472 ххх ответ: 2.
Б) .61514 224 ххх Ответ: 1; -1.
5. Решите уравнение, введя новую переменную:
.2183103 22 хххх Ответ:2
853
2 вариант
1. Решите уравнение:
А) ;53 хх Ответ: 4.
Б) .913 хх Ответ: 5.
2. Докажите, что уравнение не имеет корней:
.1656272 ххх
3. Найдите корни уравнения:
.323 2 ххх Ответ: корней нет.
4. Используя свойства монотонных функций, решите уравнения:
А) ;91361 ххх Ответ: 3.
Б) .8533 224 ххх Ответ: 2; -2.
5. Решите уравнение, введя новую переменную:
.42012 22 хххх Ответ: 2
851
Занятие 2.8
Тема: Решение иррациональных уравнений вида f(x) )(xg =0.
Цель: формировать у учащихся умение решать иррациональные уравнения вида f(x) )(xg =0;
Вначале занятия необходимо на решении одного из уравнений показать применение данного способа( можно использовать заготовку
ещё одного решённого уравнения на слайдах, а также решения или ответы предложенных уравнений). Для решения уравнения вида
f(x) )(xg =0 необходимо решить систему
.0)(
,0)(
,0)(
xg
xf
xg
Пример.
Решить уравнение 019 2 xx
Для решения данного уравнения нужно решить систему
Ответ: -1; 3.
Предложить учащимся решить несколько уравнений. В конце занятия проверить решение уравнений по заготовленным ответам.
Задания для закрепления:
Решите уравнения.
а) ;019 2 xx Ответ: -1 ; 3.
б) ;01265 22 xxxx Ответ: .3;2;21
в) x
xx
x
xx
1
34
32
34 22
; Ответ: .3
2;4
г) 01522553 2 xxx ; Ответ: .5
3;5
д) 03142332 2 xxx ; Ответ: 7;3
2
е) 04
75
x
xx Ответ: 5;7
Занятие № 2.9.
Тема. Решение иррациональных уравнений путем сведения уравнения к уравнению с модулем.
Цель: совершенствование навыков решения уравнений с модулем; сформировать умения учащихся решать иррациональные
уравнения путем сведения уравнения к уравнению с модулем.
Данное занятие предлагаем провести в форме практикума. На занятии можно организовать соревнование по группам. Каждая группа
получает карточку с заданием. Ученик, решивший первым задание, выходит к доске и показывает решение предложенного уравнения.
Если решение верно, то всей группе начисляется 1 балл за быстроту решения и 1 балл за правильность решения.
.1
,3
1
,3
,3
,1
.01
,09
,01
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Остальные группы получают 1 балл за правильность решения. Та группа, которая наберет наибольшее количество баллов, получает
дополнительный балл к контрольной работе по всему курсу.
Карточка с заданием.
Решите уравнения путем сведения к уравнению с модулем.
1) .1116896 22 хххх Ответ: -6; 5.
2) .49696 22 хххх Ответ: корней нет.
3) .1025102510 22 хххх Ответ: 5;5
4) .9644 2323 хххххххх Ответ: 0
5) .41682 ххх Ответ: 4;
Занятие 2.10 .
Тема: Решение иррациональных уравнений, с применением формулы )()( xgxf = )()( xgxf при f(x)g(x)0.
Цель: формировать у учащихся умение решать иррациональные уравнения с использованием формулы
)()( xgxf = )()( xgxf при f(x)g(x)0.
Вначале занятия необходимо на решении одного из уравнений показать применение данного способа (можно использовать заготовку
ещё одного решённого уравнения на слайдах, а также решения или ответы предложенных уравнений).
Пример.
Решите уравнение 1
37342
x
xxxx .
Найдём ОДЗ уравнения:
.37
;7
,1
,3
;7
,01
3
,031
;07
,01
3
,0342
x
x
x
x
x
x
x
xx
x
x
x
xx
Если применить формулу ( 1 ), то уравнение примет вид
.4,071
,3701..,071,3
,01
7303
,01
733
,01
3731
,1
3731
xxx
xприxктxxx
x
xxилиx
x
xxx
x
xxxx
x
xxxx
Ответ: -4; -3.
Учащимся предлагается решить несколько уравнений с применением формулы )()( xgxf = )()( xgxf при f(x)g(x)0.
В конце занятия проверить решение уравнений по заготовленным ответам.
Задания для закрепления.
Решите уравнения:
6;1:;9912)
.3:;3332)
.0:;2)
3;4:;1
3734)
.1;3:;65123)
2
22
22
2
222
Ответxxxxд
Ответxxxxxг
Ответxxxxxв
Ответx
xxxxб
Ответxxxxxа
Занятие 2.11.
Тема. Зачётная работа.
Цель: контроль полученных знаний.
Зачётная работа рассчитана на весь урок. Оценку работы предлагается проводить используя таблицу
кол-во заданий 3 задания 4 заданий 5 заданий
оценка зачёт хорошо отлично
Вариант № 1
1. Решите уравнение, используя определение арифметического корня
а) 123 2 x ; б) 5274 xx .
2. Докажите, что уравнение 034 2 xx не имеет не имеет решения.
3. Решите уравнение, введя новую переменную
3
10
152
4
4
152
x
x
x
x
4. Используя свойство монотонных функций, решите уравнение
11164243 xxx .
5.Решите уравнения:
а) 2254 2 xx ; б) 3612 2 xx ; в) 53
1334
x
xx
Ответы: 1. а) -1;1 б) 4; 3. 27;16
118 4. 4; 5. а) -2; 0,75 б) -7 в) 7
Обобщающий занятие по курсу.
Цель занятия:
обобщить и систематизировать знания, полученные знания при изучении тем курса;
приобщить учащихся к самостоятельной и творческой работе;
развивать познавательный интерес к предмету.
Занятие можно провести в форме конференции. Учащимся для работы на конференции предлагается подготовить презентации по
изученным темам, подобрать интересные задания с готовыми решениями, исторические справки по темам элективного курса
