第四章 快速傅里叶变换（ FFT ）

Chapter 4Fast Fourier-Transform

时间抽取 DIT 基 2FFT 算法

/ 2 1 / 2 1 / 2 1 / 2 12 (2 1)

/ 2 / 20 0 0 0

/ 2 1

/ 20

2 ,

( ) 2 2 1, 0,1,..., / 2 1,

( ) (2 ) (2 1) (2 ) (2 1)

( ) (2 ) ; 0,1,..., / 2 1

(

M

N N N Nrk r k rk k rk

N N N N Nr r r r

Nrk

Nr

N M

n x n n r n r r N

X k x r W x r W x r W W x r W

A k x r W k N

B k

为正整数,按照 奇偶把 分为两组 令： 和 则：

令：/ 2 1

/ 20

/ 2 1 / 2 1( / 2) / 2 ( / 2)

/ 2 / 20 0

/ 2 1

/ 2 / 20

/ 2) (2 1) ; 0,1,..., / 2 1

( ) ( ) ( ); 0,1,..., / 2 1

( / 2) (2 ) (2 1)

(2 ) (2 1)

Nrk

Nr

k

N

N Nr k N k N r k N

N N Nr r

Nrk k rk

N N Nr

N DFTx r W k N

X k A k W B k k N

X k N x r W W x r W

x r W W x r W

两个 点的

/ 2 1

0

( ) ( )

N

r

k

NA k W B k

/ 2 1 / 4 1 / 4 1 / 4 1 / 4 12 (2 1)

/ 2 / 2 / 2 / 4 / 2 / 40 0 0 0 0

/ 2

( ) , ( )

2 2 1, 0,1,..., / 4 1,

( ) (2 ) (4 ) (4 2) (4 ) (4 2)

( ) ( ) 0,...,

N N N N Nrk lk l k lk k lk

N N N N N Nr l l l l

k

N

A k B k

r l r l l N

A k x r W x l W x l W x l W W x l W

C k W D k k N

继续按照上述方法分解，令： 和 则：

/ 2

/ 4 1

/ 20

/ 4 1

/ 20

/ 2 1 / 4 12

/ 2 / 20 0

/ 4 1

( / 4) ( ) ( ) 0,..., / 4 1

( ) (4 ) ; 0,1,..., / 4 1/ 4

( ) (4 2) ; 0,1,..., / 4 1

( ) (2 1) (4 1) (4

k

N

Nrk

Nl

Nrk

Nl

N Nrk lk

N Nr l

A k N C k W D k k N

C k x l W k NN DFT

D k x l W k N

B k x r W x l W x l

两个 点的

同理：/ 4 1 / 4 1 / 4 1

(2 1)

/ 2 / 4 / 2 / 40 0 0

/ 2

/ 2

/ 4 1

/ 20

/ 2

3) (4 1) (4 3)

( ) ( ) 0,1,..., / 4 1

( / 4) ( ) ( ) 0,..., / 4 1

( ) (4 1) ; 0,1,..., / 4 1

( ) (4 3)

N N Nl k lk k lk

N N N Nl l l

k

N

k

N

Nrk

Nl

r

N

W x l W W x l W

E k W F k k N

B k N E k W F k k N

E k x l W k N

F k x l W

/ 4 1

0

/ 4; 0,1,..., / 4 1

Nk

l

N DFTk N

两个 点的

快速逆 DFT——IFFT