解：利用 Fourier 变换的微分特性，微分方程的频域表示式为

)j()j(2)j(j3)j()j( zszszs2 XYYY

由定义可求得

)j(

)j()j( zs

X

YH

2)j(3)j(

12

例 1 已知描述某 LTI 系统的微分方程为 y"(t) + 3y'(t) + 2y(t) = x(t) ，求系统的频率响应 H(j) 。

例例 22 已知某 LTILTI 系统系统的冲激响应冲激响应为 h(t) = (ete2t) u(t) ，求系统的频率响应频率响应 HH(j(j)) 。

解： 利用 H(j) 与 h(t) 的关系

)]([)j( thFH 2j

1

1j

1

2)j(3)j(

12

例 3 图示 RC 电路系统，激励电压源为 x(t) ，输出电压 y(t)

为电容两端的电压 vc(t) ，电路的初始状态为零。求系统的频率响应 H(j) 和冲激响应 h(t) 。

+

--

R

y(t)

+x(t) C

+

--

R

Y(j)

+X(j) 1/jC

解： 解： RC 电路的频域 ( 相量 ) 模型如图，

)j(

)j()j(

X

YH

CR

C

j

1j

1

RC

RC

/1j

/1

由 Fourier 反变换，得系统的冲激响应 h(t) 为)(e

1)( )/1( tu

RCth tRC

由电路的基本原理有

例 4 已知描述某 LTI 系统的微分方程为 y"(t) + 3y'(t) + 2y(t) = 3x '(t)+4x(t) ，系统的输入激励 x

(t) = e3t u(t) ，求系统的零状态响应 yzs (t) 。

解： 由于输入激励 x(t) 的频谱函数为 3j

1)j(

X

系统的频率响应由微分方程可得

)2j)(1j(

4)j(3

2)j(3)j(

4)j(3)j(

2

H

故系统的零状态响应 yzs (t) 的频谱函数 Yzs (j) 为

)3j)(2j)(1j(

4)j(3)j()j()j(zs

HXY

)(]e2

5e2e

2

1[)]j([)( 32

zs1

zs tuYFty ttt

例 5 已知一连续时间系统的频率响应如图所示， 输入信号时， 试求该系统的稳态响应 y(t) 。

解：解： 1

0 3 3

)j( H

利用余弦信号作用在系统上的零状态响应的特点，即

))(cos()j()}{cos( 0000 tHtT

可以求出信号 x(t) 作用在系统上的稳态响应为 tHtHHtxT 4cos)4j(2cos)2j(3)0j(5)}({

t2cos5 t

tttx 4cos2cos35)( t

例 6 求图示周期方波信号通过 LTI 系统 H(j) = 1/(+j) 的响应 y(t) 。

A

tT0-T0 0

)(~ tx

解： 对于周期方波信号，其 Fourier 系数为

2Sa 0

0

n

T

ACn

可得系统响应

0

j0

1 j

eRe

2Sa2)(

0

n

n

T

A

T

Aty

tn

n

n

tnn nHCty 0 j

0 e)j()(

例 7 求带通信号 x(t)=Sa(t)cos2t ， t ，通过线性相位理想低通滤波器 的响应。d

c

j2 )()j( tepH

解： 因为 )(π)(Sa 2 pt F

利用 Fourier 变换的频移特性，可得)]2()2([

2

π)j( 22 ppX

X(j)

/2

1 3 3 1

|H(j)|

c c

)]2()2([2

πe)()j()j()j( 22

j2

d

c

pppXHY t

例 8 ：：已知一离散 LTI 系统的 h[k]=(0.5)ku[k] ， 输入 x[k]=cos(0.5k) ， (∞<k<∞) ，求系统的稳态响应。

jj

e5.01

1]}[{DTFT)e( khH

j5.01

1)e( π5.0j

H 4636.0je8944.0

)]π5.0(π5.0cos[)e(][ π5.0j kHky

)4636.0π5.0cos(8944.0 k

解：解：

例 9 ：确定理想低通滤波器的单位脉冲响应 hLP[k] 。

解：解： de)e(

π2

1][ jj

LP

π

πLPkHkh

de

π2

1 jc

c

k

kk

kk

j

e

j

e

π2

1 cc jj

)(Saπ c

c k

-100 -50 0 50 100-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

理想的数字滤波器都是非因果离散系统非因果离散系统