能量原理及其应用能量原理及其应用理想磁流体 (IMHD) 不稳定性胡希伟

核聚变与等离子体离体物理暑期讲习班2007.8.7

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等离体不稳定性概述

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不稳定性现象 一个力学系统当处在力学平衡状态 ( 总的受力为零 ) 时 , 如受到一个小扰动力的作用、就会偏离平衡态 .

系统在平衡态附近的随时间扰动一般分成三种情况 -- 扰动幅度随时间而减小 , 即阻尼的扰动 ;

-- 扰动辐度不随时间变化 , 即稳定的波动 ;

-- 扰动的辐度随时间而增大 , 即不稳定的扰动 , 或称不稳定性 .

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不稳定性起因 对处在力学平衡下系统的小扰动会使系统的总能产生小的变化 . 如果扰动使系统总能增加 , 则扰动能就会转变成系统的总能 . 这样扰动辐度就随时间而减少 . 这就是阻尼的扰动 . 在稳定的扰动—波动情况下 , 扰动不改变平衡系统的总能量 . 在不稳定的扰动下 , 系统会进入总能更低的状态 , 从而把一部份能量转给了扰动、使它随时间而增长 . 这部份可以交给扰动的能量被称为自由能 .

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等离体不稳定性分类 (1)

宏观 ( 流体 ) 的不稳定性 (3 维坐标空间 )

-- 磁 ( 单 ) 流体不稳定性 --- 理想的磁流体 (Ideal MHD) 不稳定性 --- 电阻 ( 耗散 ) 的磁流体不稳定性 -- 电磁 ( 双 ) 流体不稳定性 微观 ( 动理学 ) 的不稳定性 (3 维坐标空间 +3维速度空间 )

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等离体不稳定性分类 (2) 按扰动的极化性质分类 -- 静电型 ; -- 电磁型 ; -- 静电 - 电磁混合型 . 按不稳定扰动随时间变化特征分类 -- 线性不稳定的扰动 (A=A0 +A1, A1<<A0)

-- 非线性不稳定的扰动 , 或弱湍流、发展中湍流 -- 饱和的不稳定扰动 , 或完全发展了的湍流 按扰动本身的特征时间和空间尺度 -- 理想磁流体时间 (τA=1/kva, k≈1/a); -- 电阻磁流体时间 (τR=μa2/η); -- 混合型 .

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线性不稳定性描述方法 简正模 ( 时间可作 Laplace (A1 exp[-iωt]∝ ) 变换 ) 法 -- 扰动量的全部空间变量均可作 Fourier 变换 (A1 exp[i∝ k·x] ),它的线性微分方程、变成关于 (ω,k) 的齐次代数方程 . 由解的存在条件得出色散方程 : ω=ω(k)=ωR+iωI . 当 ωI>0 ，扰动不稳定

(exp[ωIt]); 当 ωI<0 ，扰动衰减 ; 当 ωI<0 ，扰动是稳定的波 . -- 部分 ( 等离体参量均匀 ) 空间可作 Fourier 变换 , 全空间的微分方程变成剩余坐标的约化微分方程 , 由其解和边界 ( 或连接 ) 条件得出色散关系 ; -- 微分方程存在奇异性 , 由奇点处的非平凡解存在条件得出色散 关系 . 能量原理 ( 仅对 IMHD 系统适用 ) 初值 ( 初始扰动的时间演化 ) 问题

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Tokamak中主要的磁流体不稳定性 IMHD 不稳定性 -- 外 kink ( 扭曲 ) 模 -- 内 kink ( 扭曲 ) 模 --Exchange ( 交换 ) 模 , 特别是 Ballooning( 气泡 ) 模 电阻 MHD 不稳定性 --Tearing( 撕裂 ) 模 , -- Neo-classical Tearing Mode (NTM) 介于 IMHD 和耗散 MHD 之中的模 --RWM (Resistance Wall Mode, 电阻壁 ) 模

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MHD 不稳定性从两个方面决定了 tokamak 等离体的运行性能和极限

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对 Tokamak 运行性能的第一类限制 MHD 不稳定性决定了 tokamak 可达到的 -- 最大 plasma 电流 , -- 最大 plasma 压强 (β) 及其梯度 , -- 并在决定 plasma 的最大密度上起重要作用 . 这样 , 在决定反应堆水平 tokamak 基本设计和 plasm

a 性能的三个关键物理基石 : β 极限、密度极限和能量约束时间中 , 有二个和 MHD 不稳定性有关 . 而上述三个物理量综合起来决定了 -- 可以产生的聚变功率 : Pfusion

-- 聚变功率增益 : Q=Pfusion/Pauxilary

-- 中子在壁上的负荷

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对 Tokamak 运行性能的第二类限制 至今已知道 : 有一些破裂是在任何反应堆尺度的 Burning plasmas 中都会不可避免地出现的 . 而破裂决定了 tokamak 某些结构和元件—尤其是那些与 plasma 功率和粒子排出有关的元件 -- 的使用寿命 . 而这些破裂是 MHD 不稳定性的直接或最后结果 . 为了减少破裂出现的次数 , 以及在它不可避免出现时、减缓或软化它的后果 , 必须通过对引发破裂的 MHD 不稳定性有深入和定量的了解 .

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ITER中重要的 IMHD不稳定模式锯齿 (Sautooth) 模 -- 内 kink 模 , 在正磁剪切下产生 NTMs 的种子磁岛 , 结果 设置了 βN极限值 , 并使能量约束变坏 .

电阻壁模 (RWM—Resistance Wall Mode) -- 自举电流驱动的外 kink 模 , 对具有反 ( 负 ) 磁剪切的等 离体设置了 βN极限值 .

局域的内 MHD 模 -- 存在于具有内部输运垒 (ITB) 的高性能等离体中 ,限 制了稳态运行范围 .

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本讲座内容本讲座内容柱形等离体中理想磁流体力学柱形等离体中理想磁流体力学 (IMHD)(IMHD)扰动的能量原理及不稳定模式扰动的能量原理及不稳定模式 准备知识 -- 扰动位移矢量 ξ 的 IMHD 线性方程 --F 算子、其自伴性和相应的哈密顿量 H -- 变分原理、能量原理 一维位形下的 IMHD 不稳定模式分析 直柱 tokamak 位形中的 IMHD 不稳定性分析

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参考文献 Progress in the ITER Physics Basis, Nuclear

Fusion 47(June, 2007)Chapter 3.

ITER Physics Basis, Nuclear Fusion 39(1999)2137-2664.

胡希伟 , ‘ 等离子体理论基础’ , 北京大学出版社 , 2006, 第四章 .

J. Wesson, ‘Tokamaks’, Second Edition, Clarendon Press – Oxford, 1997,Chapter 6.

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IMHD 能量原理准备知识

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能量原理的原理

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IMHD 方程和总能量

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线性化磁流体方程组 从磁流体力学方程组出发 , 取平衡解为 :

然后令 :

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引入位移矢量以直接积分二个方程

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位移矢量 ξ 的运动方程 ,力算子 F

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总能量守恒与算子 FF 自伴

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位移矢量 ξ 的初值和简正模解

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IMHD 本征模的三个特点 令 , 由 F 的自伴性可以证明 :

(1)ω2 为实数 , ω 为正负实数或纯虚数 .

(2) 满足运动方程 -ω2ρ0ξ=F(ξ)的 ξ 是实矢量 , (3)若有分立谱本征值 {ωn }(n=1,2,…), 则所对应的本征矢 {ξn } 构成正交集 . -ωn

2ρ0ξn=F(ξn)

( ) i tt e

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F 算子自伴性的证明 在‘等离子体理论基础 ’的第四章中 , 对两

种情况证明了 F算子的自伴性。同时也给出了扰动位势 δW （ ξ ， ξ ）的具体表达式：

--无界磁流体 ,

--柱形，有界（ r=a）磁流体 .

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无限大磁流体力学体系的扰动位能

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力算子 F 自伴性的证明

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自伴性的最后证明 因为 , 而又能证明 ,

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自伴性的最后证明 ( 续 )

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柱形磁流体力学体系其中是磁流体体积中的扰动位能 . 而后两项分别是柱面的扰动位能和柱外真空中的扰动位能

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磁流体内扰动位能的第 IIII 种表达式这是物理意义最清楚的一种表达式

其中第 1 项对应于弯曲磁力线的扰动 ( 如剪切 Alfven 波 ); 第 2 项出自同时压缩了流体和磁场的扰动 ( 如压缩 Alfven 波 ); 第 3 项则代表单独压缩流体的扰动 ( 如离子声波 ); 这三种扰动都引起势能增加 , 是致稳项 .

第 4 项是平行电流所驱动的不稳定扰动 (Kink mode);第 5 项是由压强梯度和磁场曲率联合产生的扰动 , 由于 <0, 当 <0(坏曲率 ) 时 , 这项为负、会驱动不稳定扰动 (Interchange mode). 在整个扰动势能中只有这后两项是解 (致 ) 稳项 .

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磁流体内扰动位能的第 IV IV 种表达式

这种表达式在推导 Screw(螺旋 )Pinch 及直柱 tokamak 等离体中扰动位能表达式时特别方便 .

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变分原理

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能量原理

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如何挑选合适的 ξ 来极小化 δWF

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首先选取合适的 ξ|| 来极小化 δWF

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δW∥ 取极小与不可压缩性

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IMHD 不稳定性分类

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External Kink Mode

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Internal Kink Mode

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Interchange Mode

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Ballooning Mode

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一维位形下的 IMHD 不稳定性θ-Pinch

Z-Pinch

Screw Pinch 及其定域内模的 Suydam判据

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θ-Pinch

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Z-Pinch

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Screw Pinch

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极小化 δWF (1): 检验不可压缩性

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极小化 δWF (2): 对 η取极值

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引入环向波数 n = -kR0

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原始表面 δWs

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真空 δWv

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Screw Pinch δWF 的最后表达式

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从 δWF 表达式可得的一般性结论

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定域内模的 Suydam 判据

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直柱 tokamak 的 IMHD 不稳定模

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直柱马克的 δW 表达式

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直柱马克典型的 IMHD 模式 定域 ( 在有理面附近 ) 的内交换模— Mercier判据 非定域的内 (kink, interchange) 模 -- m=0 和 m≥2 的内模总是稳定的 -- m=1, n=1 的内模在 q(0)<1 时 , 是不稳定的 .

m=1 的外 kink 模 — Kruskal-Shafranov极限 m≥2 的外 kink 模 -– 扭曲模的稳定图

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定域内模只出现在 rq’/q≈0rq’/q≈0 处

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Mercier 判据 ,q(0)>1 稳定充分条件

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非定域内模， m ≥ 2 情况

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m = 0 非定域内模总是稳定的

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m = 1, n = 1/q(rs) 共振面不在不在等离体中

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m = 1, n = 1/q(rs) 共振面在在等离体中

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反剪切 q(r) 位形下的 m = 1 内模

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ITER Design Scenario 4 中的反剪切位形

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外扭曲模的物理机制和扰动位能

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外扭曲模的扰动位能 , m=1 模

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m = 1 外扭曲模的稳定条件

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m ≥ 2 的外扭曲模

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m ≥ 2 模的稳定条件与电流分布有关

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均匀电流剖面下的稳定判据

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环形 tokamak 中的新 IMHD 不稳定模 Ballooning Mode( 气泡模 ) 由压强梯度驱动的 ,位于 tokamak 外侧 (坏曲率区 ) 的非常局域的不稳定模式→对 β 的限制 Vertical instabilities (轴对称模 ) 垂直不稳定→垂直位移事件 (Vertical Displa

cement Events -- VDEs) → 破裂

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气泡模的机制

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气泡模给出的 β limit

或用 tokamak运行参量写成 :

但实际上决定 β极限的不稳定模式还很多 .目前公认的极限是

其中 g 被称为 Troyon 因子 , 当 g=2.8 时 , 相应的 % β 值被称为 Troyon 极限 .( 详见 :Wesson,‘Tokamaks’, §6.16)

21 IaB

% , ( )./N g I MAI aB

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描述 Sawtooth 的扰动势能 δW = δWMHD +δWKO + δWfast

δWKO: Kruskal-Oberman项 , 代表无碰撞热约束离子效应 .

δWMHD

F. Porcelli et al. 1996 Plasma Phys. Control. Fusion 38, 2163.

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