ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΟΠΤΙΚΗΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

(1ο εξάμηνο)

ΠΑΣΠ Γ.Π.Α. Δύναμη Αλλαγής

www.pasp-gpa.gr

ΟΠΤΙΚΗ

∆ιάθλαση – Φακοί - Μικροσκόπιο

Αρχή Huygens

λ

∆ιάθλαση – Νόµος του Snell

Ορισµός η

..\applets\ph11e\huygenspr.htm

Ολική ανάκλαση - Ορική γωνία

Θ1

Θ2

Sinθ1 / Sinθ2 = η2/ η1

Θ1 = Θ0 όταν Θ2 = 90ο

Sinθ0 = η2/ η1

∆ιασκεδασµός – Ανάλυση του φωτός

Τύποι Φακών

Συγκλίνοντες

Αποκλίνοντες

Εστίαση - Ακτίνες

Εστίαση - Huygens

Τα µέτωπα καµπυλώνονται στον φακό γιατί διανύουν διαφορετικού µήκους δρόµους µέσα στο διαθλαστικό υλικό (όπου µικραίνει το λ)

Μικρό πάχος, µικρή καθυστέρηση –το µέτωπο είναι εδώ πιό µπροστά

Μιεγάλο πάχος, µεγάλη καθυστέρηση –το µέτωπο εδώ έχει «µείνει πίσω»

Σχηµατισµός ειδώλου από χαρακτηριστικές ακτίνες

ΣυγκλίνωνΣυγκλίνων ((p>fp>f))

p p’

f

Γραµµική ΜεγέθυνσηS’/S =(A’ B’ ) /(AB) = - (p’/p)

=- (lp’l/p) (Ανεστραµµένο είδωλο)1/p + 1/p’ = 1/f

Σχηµατισµός ειδώλου από χαρακτηριστικές ακτίνες

ΑποκλίνωνΑποκλίνων p>fp>f

p

p’

f

1/p + 1/p’ = 1/f S’/S =(A’ B’ ) /(AB) = - (-lp’l/p)

= lp’l/p (Ορθό είδωλο)1/p - 1/lp’ l = -1/lfl

S

S’

S

fp’-f

P’P

⇒==−

pp

SS

ffp '''

1/p + 1/p’ = 1/f

1/p + 1/p’ = 1/f

p p’

f

Γραµµική Μεγέθυνση

S’/S =(A’ B’ ) /(AB) = l p’ l / l p l

Πρόσηµα αποστάσεων

1. p>0, p’>0, αντιστοιχούν σε πραγµατικά αντικείµενα – είδωλα (από το αντικείµενο πέφτουν στον φακό πραγµατικές ακτίνες, το είδωλο σχηµατίζεται από πραγµατικές ακτίνες που βγαίνουν από τον φακό)

2. p<0, p’<0, αντιστοιχούν σε φανταστικά αντικείµενα – είδωλα (οι ακτίνες που πέφτουν στον φακό δεν προέρχονται από πραγµατικό αντικείµενο, αλλά αν τις προεκτείνουµε θα συγκλίνουν σε φανταστικόαντικέιµενο πίσω από τον φακό, αντίστοιχα οι ακτίνες που βγαίνουν από τον φακό δεν συγκλίνουν σε πραγµατικό είδωλο. Οι προεκτάσεις τους προς τα πίσω «φαίνονται» να συγκλίνουν σε φανταστικό είδωλό)

3. f>0 πραγµατική εστία. Οι παράλληλες ακτίνες που πέφτουν στον φακό συγκλίνουν στην πίσω πλευρά του σε πραγµατικό εστιακό σηµείο

4. f<0 φανταστική εστία. Οι παράλληλες ακτίνες που πέφτουν στον φακό αποκλίνουν στην πίσω πλευρά και φαίνονται σαν να προέρχονται απόφανταστικό εστιακό σηµείο στην µπροστινή πλευρά του φακού.

5. Υψος ειδώλου S’<0, είδωλο ανεστραµµένο6. Υψος ειδώλου S’>0, είδωλο ορθό

Χρήση προσήµων στον τύπο των φακών

• Ο τύπος 1/p + 1/p’ = 1/f ισχύει πάντα.• Αν δεν γνωρίζουµε το είδος του ειδώλου (πραγµατικό ή φανταστικό), χρησιµοποιούµε τον τύπο ως έχει και συµπεραίνουµε το είδος από το πρόσηµο του p’, που βγαίνει τελικά.

• Αν γνωρίζουµε π.χ. ότι το είδωλο είναι φανταστικό, τότε βάζουµε - 1/ l p’ l, το ίδιο για το f.

∆ιερεύνηση

fpfpp−

='

p>2f ⇒ p’ >0, πραγµατικό είδωλο, ανεστραµµένο, µικρότερο (Ι/Ο <1)

2f>p>f ⇒ p’ >0, πραγµατικό είδωλο, ανεστραµµένο, µεγαλύτερο (Ι/Ο >1)

p= f ⇒ p’ = ∞, είδωλο στο άπειρο

p< f ⇒ p’ <0, φανταστικό είδωλο, ορθό, µεγαλύτερο (Ι/Ο >1)

Τύπος κατασκευαστών φακών

λλονπεριβ

φακο

ά

ύ

nn

n

RRnf

=

−−= )11)(1(121

Πρόσηµα ακτίνων καµπυλότητας

1. R>0, το κέντρο τηςσφαιpικής επιφάνειας βρίσκεται «πίσω» από τον φακό, εκεί που πηγαίνουν οι ακτίνες αφού βγούν από τον φακό

1. R<0, το κέντρο τηςσφαιpικής επιφάνειας βρίσκεται «µπροστά» από τον φακό, από εκεί που έρχονται οι ακτίνες πριν πέσουν στον φακό

Τύπος κατασκευαστών φακών

1/f = (n-1) (1/R1 - 1/R2)

ΣυγκλίνωνΣυγκλίνων ΑποκλίνωνΑποκλίνων

R1 >0R2<0 R1<0 R2 >0

1/f = (n-1) (1/R1 + 1/R2) 1/f = - (n-1) (1/R1 + 1/R2)

ΟΠΤΙΚΗ

Μικροσκόπια - Κυµατική Οπτική (Συµβολή, Περίθλαση, ∆ιακριτικό όριο)

S

S’

ffpppm /1)/1/1(

'

γγγγ +=+=== Γραµµική

fpsp

sM γγ

γθ

θθ

θ +===≈= 1)tan()tan(

'''

Γωνιακή

Σύνθετο Μικροσκόπιο

S

S’

S’’

απµικροσκ MmSS

SS

SSM **

'

'

''''

===

ππαπ

π ffffffpmMM

aa

a *400)125()116()125()1(

'

≈+∗−=+∗−=∗=

Συµβολή - Προϋποθέσεις

• Σύµφωνες Πηγές:

• Ιδια συχνότητα f• Ιδια µορφή (ηµτονοειδής, τριγωνική κ.λ.π)• Σταθερή διαφορά Φάσης µεταξύ των πηγών

• Πηγές φυσικού φωτός ποτέ σύµφωνες• Τυχαία διέγερση - αρχική φάση για κάθε άτοµο

λ

λ/2

λ

∆x = (2κ+1)λ/2 , Απόσβεση∆x = κλ, Ενίσχυση

Συµβολή από δύο σχισµές -Πείραµα του Young

d sinθ = (2k)(λ/2), k = 0,1,2... Ενίσχυση Ενίσχυση -- ΜέγιστοΜέγιστο

d sinθ = (2k+1)(λ/2), k = 0,1,2.Απόσβεση Απόσβεση -- ΕλάχιστοΕλάχιστο

Sinθ = tanθ = r/L

Θέση 1ου ελαχίστου

dr/L= λ/2

→ r= λ L / 2d

Περίθλαση

Περίθλαση σε ακµή

Περίθλαση σε σχισµή

Περίθλαση Fraunhofer

D θ

λλ/2/2

Α

Β

C

λλθ

∆ιαφορά δρόµου µεταξύ

Α και Β, Β και C = λ/2

1ος Σκοτεινός κροσός

∆ιαφορά δρόµου = 0,

Κεντρικός

Φωτεινός κροσός

Συνθήκη απόσβεσης: ∆ιαφορά δρόµου D/2 * sinΘ = (2κ+1)*λ/2, κ=0,1,...

Κέντρο 1ου σκοτεινού (κ=0): sinθ = θ = λ/D

λ2> λ1

λ2

λ1

Περίθλαση σε κυκλική οπή (φακός/διάφραγµα)∆ιακριτική Ικανότητα

Οριο ∆.Ι

Οριο διακριτικής ικανότητας

Κριτήριο RayleighΓωνιακή απόσταση κέντρων δύο κύριων

φωτεινών κυκλικών κροσών >= γων. απόστασης 1ου σκοτεινού κροσού

α > = 1.22 λ/ α > = 1.22 λ/ DD

Θ = 1.22 λ/ D

∆ιακριτική ικανότητα φακού - µικροσκοπίου

Dθ θS’

Smin

f

DfSDf

S λλθθ *22,1*22,1tan minmin =⇒==≅

Ένα σύγχρονο οπτικό µικροσκόπιο

άτοµα0.1nm

1nm

10nm

100nm

1µm

10µm

100µm

1mm

10mm

100mm

1m

αµινοξέα

µεγαλοµόρια

ιοίριβοσώµατα

µιτοχόνδρια

βακτήριαχλωροπλάστεςπυρήνες

ερυθρά αιµοσφαίριαεπιθηλιακά κύτταρα

ανθρώπινο ωάριο

αυγό βατράχου

αυγό κότας

µερικά νευρικά κύτταρα

ενήλικας άνθρωπος

ΓΥΜΝΟΜΑΤΙ

ΟΠΤΙΚΟΜΙΚΡΟΣΚΟΠΙΟ

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟΜΙΚΡΟΣΚΟΠΙΟ

Τα σχετικά µεγέθη των διαφόρων βιολογικών δοµών

Ηλεκτροστατικοί – Μαγνητικοί φακοί

V

Vmeh

ph

2==λ

Ένα σύγχρονο ηλεκτρονικό µικροσκόπιο διέλευσης

Το ηλεκτρονικό µικροσκόπιο διέλευσης

Μαγνητικός φακός

ΗΜ Σάρωσης

ΗΜ Σάρωσης

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΟΠΤΙΚΗΣ1

1. Εισαγωγή

Οπτική είναι το κεφάλαιο της Φυσικής που µελετά την ηλεκτροµαγνητι-

κή ακτινοβολία στην περιοχή του ορατού φωτός, τις ιδιότητές της και την αλλη-

λεπίδρασή της µε την ύλη. Η φύση της ηλεκτροµαγνητικής ακτινοβολίας, είναι

ίδια σε όλο της το φάσµα, από τα ραδιοκύµατα έως την περιοχή της οπτικής και

πέραν αυτής µέχρι την ακτινοβολία γ και την κοσµική ακτινοβολία. Η ακτινοβο-

λία λέγεται ηλεκτροµαγνητική γιατί το πεδίο που περιγράφει τα κύµατα είναι

συνδυασµός ηλεκτρικού και µαγνητικού πεδίου, το ένα κάθετο στο άλλο την

κάθε χρονική στιγµή σε κάθε σηµείο του χώρου.

Φάσµα της ηλεκτροµαγνητικής ακτινοβολίας ονοµάζεται το ανάπτυγµα

της έντασης µιας περιοχής της ηλεκτροµαγνητικής ακτινοβολίας, σαν συνάρτη-

ση του µήκους κύµατος ή της συχνότητας, δηλαδή της ενέργειας, της ακτινο-

βολίας. Το ηλεκτροµαγνητικό φάσµα είναι συνεχές, χωρίς να υπάρχουν κενά

µεταξύ ενός “είδους” ακτινοβολίας και ενός άλλου. Ολόκληρο το φάσµα διαι-

ρείται ενεργειακά µε αυθαίρετο τρόπο σε οκτώ περιοχές, που τα όριά τους δεν

1 Τα κεφάλαια που διδάχθηκαν το 2005-2006 είναι το 1ο και από το 4ο µόνο το 4.1 και το 4.3. Από το 4.4 διδάχθηκαν τα 4.4.2, 4.4.3

2

Σχ. 1-1: Το φάσµα της ηλεκτροµαγνητικής ακτινο- βολίας.

καθορίζονται µε ακρίβεια. Το

µήκος κύµατος λ και η συχνότη-

τα f µιας ακτινοβολίας συνδέον-

ται µε τη σχέση:

(1.1) c = λ f

όπου c είναι η ταχύτητα του

φωτός, δηλαδή 3x108m/s. Ένα

διάγραµµα του ηλεκτροµαγνητι-

κού φάσµατος σε όρους µήκους

κύµατος και συχνότητας της α-

κτινοβολίας µε διακριτές τις ο-

κτώ περιοχές του, φαίνεται στο

Σχ. 1-1.

Τα µήκη κύµατος των

περιοχών που θα µας απασχο-

λήσουν είναι µικρά και για να α-

ποφύγουµε τη χρήση µεγάλων αριθµών, θα ορίσουµε τις εξής µονάδες:

_Ένα µικρόν-µ (micron): 1µ = 10-6m.

_Ένα µιλλιµικρόν-mµ (millimicron): 1mµ = 10-9m.

_Ένα angstrom-Ε: 1Ε = 10-10m.

Με αυξανόµενο το µήκος κύµατος, το ορατό φάσµα παρουσιάζεται ως

εξής: Ιώδες-450mµ, κυανό-480mµ, πράσινο-520mµ, κίτρινο-580mµ, πορτοκαλί-

600mµ και κόκκινο-640mµ.

Ο µηχανισµός παραγωγής της ακτινοβολίας περιγράφεται στο κεφάλαιο

της Ατοµικής και Πυρηνικής Φυσικής. Είναι όµως σκόπιµο να υπενθυµίσουµε

εδώ ότι η αποδιέγερση ενός ηλεκτρονίου σε κάποιο άτοµο, από στιβάδα ενερ-

γειακά υψηλότερης στάθµης σε στιβάδα χαµηλότερης στάθµης, αποδίδει φωτό-

νιο ενέργειας ίσης µε τη διαφορά ενέργειας των δύο στιβάδων. Υπάρχουν διά-

φοροι τρόποι διέγερσης των ατόµων ενός υλικού για εκποµπή ακτινοβολίας.

1. Με θέρµανση: Αν π.χ. πακτώσουµε το ένα άκρο µιας σιδερένιας

ράβδου και θερµάνουµε µε µια ισχυρή πηγή το άλλο της άκρο, θα παρατηρή-

σουµε ότι, σταδιακά και καθώς η θερµοκρασία του µετάλλου αυξάνεται, το

χρώµα του θερµαινοµένου άκρου µεταβαίνει διαδοχικά από το αρχικό φυσικό

3

χρώµα του ψυχρού µετάλλου προς το ερυθρό, στο κίτρινο και τέλος σε πολύ

υψηλές θερµοκρασίες (θερµοκρασία τήξεως του µετάλλου) στο λευκό, όπου

εκπέµπει σε όλο το ορατό φάσµα.

Παραδείγµατα θερµών φωτεινών πηγών είναι: α) Ο Ήλιος που εκ-

πέµπει λευκό φως ώστε το φάσµα του να αντιστοιχεί σε µέλαν σώµα θερµο-

κρασίας 6000°Κ. β) Οι λαµπτήρες πυρακτώσεως που συνήθως χρησιµοποι-

ούµε και αποτελούνται από ένα σύρµα βολφραµίου. Όταν στα άκρα του εφαρ-

µόζεται η τάση του ηλεκτρικού δικτύου, το σύρµα θερµαίνεται σε 2800°Κ

περίπου και ακτινοβολεί. γ) Το βολταϊκό τόξο που αποτελείται από δύο ρά-

βδους σκληρού άνθρακα που βρίσκονται σε µεγάλη διαφορά δυναµικού. Όταν

οι δύο ράβδοι µετά από µια στιγµιαία επαφή, αποµακρυνθούν η µία από την

άλλη, δηµιουργείται ανάµεσά τους ηλεκτρικό τόξο το οποίο έχει σαν συνέπεια

την εκποµπή πολύ ισχυρής έντασης λευκού φωτός. Οι δύο ράβδοι βρίσκονται

τότε σε κατάσταση πολύ υψηλής θερµοκρασίας.

2. Με ηλεκτρική εκκένωση σε αέριο: Στα µεταλλικά ηλεκτρόδια που είναι

πακτωµένα στο εσωτερικό ενός αεροστεγούς γυάλινου σωλήνα, που περιέχει

αέριο, εφαρµόζεται διαφορά δυναµικού µε αποτέλεσµα να έχουµε ηλεκτρική εκ-

κένωση, έτσι που τα άτοµα του αερίου διεγείρονται σε ακτινοβολία. Στην περί-

πτωση που η θερµοκρασία των ηλεκτροδίων είναι χαµηλή (συνήθως λίγο υψη-

λότερη από εκείνη του περιβάλλοντος), η εκκένωση ονοµάζεται αίγλης. Όταν τα

ηλεκτρόδια βρίσκονται σε υψηλή θερµοκρασία η εκκένωση ονοµάζεται τό-ξου.

Παραδείγµατα ψυχρών φωτεινών πηγών που εκπέµπουν µε ηλεκτρι-

κή εκκένωση σε αέρια είναι: α) Ο λαµπτήρας αίγλης που συνήθως χρησιµοποι-

είται σαν ενδεικτικός σε διάφορες ηλεκτρικές συσκευές. β) Λαµπτήρες σε σχήµα

σωλήνων µε αέριο Νέον (Ne), Ήλιον (He) κ.λ.π. που χρησιµοποιούνται και στις

διαφηµιστικές µαρκίζες. γ) Σωλήνες Geissler που χρησιµοποιούνται για εργα-

στηριακούς σκοπούς όπως και οι δ) λυχνίες υδραργύρου υψηλής πιέσεως. ε) Οι

λαµπτήρες αναλαµπής (flash) που χρησιµοποιούνται για λήψη φωτογραφιών σε

συνθήκες ανεπαρκούς φωτισµού.

Για να µελετηθούν καλύτερα τα οπτικά φαινόµενα, κατατάχθηκαν σε τρείς

µεγάλες κατηγορίες, ανάλογα µε τα µεγέθη που µελετώνται και τις συν-θήκες

που επιβάλλονται. Οι κατηγορίες αυτές µε τα αντίστοιχα φαινόµενα έχουν ως

εξής:

Γεωµετρική Οπτική

4

Ευθύγραµµη διάδοση του φωτός Πεπερασµένη ταχύτητα του φωτός Ανάκλαση του φωτός ∆ιάθλαση του Φωτός

Φυσική Οπτική Περίθλαση κυµάτων Συµβολή κυµάτων Πόλωση του φωτός ∆ιπλή διάθλαση του φωτός

Κβαντική Οπτική Φωτοηλεκτρικό φαινόµενο Φαινόµενο Compton Ατοµική διέγερση

Από αυτές τις κατηγορίες η πρώτη προϋποθέτει την αποδοχή της σωµα-

τιδιακής φύσης, ενώ η δεύτερη της κυµατικής φύσης του φωτός. Η τρίτη κατη-

γορία µελετάται στο κεφάλαιο της Ατοµικής και Πυρηνικής Φυσικής.

5

2. Φάσµατα οπτικής ακτινοβολίας Η ανάλυση του φυσικού φωτός δηλαδή της ηλιακής ακτινοβολίας, από τα

σταγονίδια υγρασίας που περιέχει η ατµόσφαιρα συνήθως µετά από µια καλο-

καιρινή µπόρα, µας παρουσιάζει το πολύ γνωστό µας και εντυπωσιακό

φαινόµενο του ουράνιου τόξου. Η ερµηνεία αυτής της εικόνας στηρίζεται στο

φαινόµενο της διάθλασης του φωτός, που διαπερνάει οπτικά διαπερατά υλικά

και θα το εξετάσουµε αναλυτικά στην παραγρ. 4.3. Αυτή η “συνεχής” διαδοχή

όλων των χρωµάτων που το καθένα αντιστοιχεί σε ένα συγκεκριµένο µήκος

κύµατος, χωρίς ωστόσο να είναι δυνατό να διακριθεί µε οποιοδήποτε µέσο,

είναι η ανάλυση του φάσµατος εκποµπής του ηλιακού φωτός στην περιοχή

της ορατής ακτινοβολίας.

Η ακτινοβολία στην περιοχή του ορατού που δεχόµαστε από τον ήλιο,

ονοµάζεται φυσικό φως και το φάσµα της είναι συνεχές. Λευκό φως ονοµά-

ζουµε την ακτινοβολία που παράγεται από τεχνιτές πηγές και το φάσµα της

περιέχει όλα τα µήκη κύµατος της περιοχής του ορατού.

Στο εργαστήριο επιτυγχάνουµε την ανάλυση µιας ορατής ακτινοβολίας

στο φάσµα της µε το φασµατοσκόπιο, ένα όργανο του οποίου η περιγραφή

γίνεται στο φυλλάδιο των εργαστηριακών ασκήσεων.

Τα φάσµατα χωρίζονται σε δύο µεγάλες κατηγορίες, ως προς τον τρόπο

µε τον οποίο διαχειριζόµαστε την ακτινοβολία πριν την ανάλυσή της από το φα-

σµατοσκόπιο:

α) Φάσµατα εκποµπής: Είναι τα φάσµατα που

παίρνουµε όταν αναλύουµε κατευθείαν την ακτινοβολία

που εκπέµπει ένα σώµα, όταν αυτό διεγείρεται µε οποιον-

δήποτε τρόπο, ώστε να ακτιβολήσει.

β) Φάσµατα απορρόφησης: Είναι τα φάσµατα

που παίρνουµε όταν αναλύουµε την ακτινοβολία που περ-

νάει µέσα από ένα σώµα διαπερατό από αυτή και όταν η

ακτινοβολία προέρχεται από πηγή εκποµπής λευκού φω-

τός.

Είναι προφανές ότι το φάσµα εκποµπής είναι το έγχρωµο µέρος της φα-

σµατικής εικόνας, δηλαδή το σύνολο των φωτεινών περιοχών, ενώ το φάσµα

απορρόφησης είναι το σκοτεινό µέρος της φασµατικής εικόνας, δηλαδή το

6

σύνολο των σκοτεινών περιοχών από το σύνολο του λευκού φάσµατος της

αρχικής ακτινοβολίας. Το τελευταίο σηµαίνει ότι οι περιοχές του φάσµατος που

είναι σκοτεινές απορροφήθηκαν από το υλικό µέσα από το οποίο πέρασε η

ακτινοβολία.

Τα φάσµατα εκποµπής, αλλά όµοια και τα φάσµατα απορρόφησης χωρί-

ζονται σύµφωνα µε την υφή τους, στις εξής δύο επιµέρους κατηγορίες: Συνεχή

φάσµατα και γραµµικά φάσµατα. Η µελέτη των φασµάτων, όχι µόνο στην περιο-

χή του ορατού αλλά και στην περιοχή του υπέρυθρου και του υπεριώδους, είναι

πολύ διαδεδοµένη µέθοδος ποιοτικής και ποσοτικής ανάλυσης χηµικών ουσι-

ών.

Συνεχή φάσµατα εκποµπής έχουµε όταν αναλύσουµε την ακτινοβολία

που εκπέµπουν διάπυρα στερεά και υγρά, σώµατα δηλαδή που βρίσκονται σε

πολύ υψηλές θερµοκρασίες. Οι θερµές πηγές που αναφέρονται ποιο πάνω

ανήκουν σ’ αυτή την κατηγορία. Τα συνεχή φάσµατα των διαφόρων σωµάτων

δεν διαφέρουν µεταξύ τους και συνεπώς η πληροφορία που µεταφέρουν στον

παρατηρητή σχετικά µε τη φύση του υλικού, δεν έχει καµιά αξία. Η µοναδική

πληροφορία που παρέχει ένα τέτοιο φάσµα, ανάλογα µε την περιοχή που εκτεί-

νεται ξεκινώντας από το ερυθρό, είναι η θερµοκρασιακή κατάσταση του υλικού.

Γραµµικά φάσµατα εκποµπής έχουµε όταν αναλύσουµε την ακτινοβο-

λία που εκπέµπουν αέρια ή ατµοί ουσιών που έχουν διεγερθεί µε εκκένωση

αίγλης ή τόξου. Στις ουσίες περιλαµβάνουµε και εκείνες που στις συνήθεις θερ-

µοκρασίες είναι στερεές (συνήθως µέταλλα), ατµούς των οποίων δηµιουρ-γούµε

σε κενό αέρος από µικρή µάζα που βρίσκεται σε κατάσταση πολύ υψηλής

θερµοκρασίας. Η λυχνία ατµών υδραργύρου π.χ. παρέχει γραµµικό φάσµα

εκποµπής µε χαρακτηριστικές γραµµές που είναι διάσπαρτες σε όλη την

περιοχή του ορατού. Η λυχνία αερίου ηλίου παρέχει γραµµικό φάσµα εκποµπής

που οι χαρακτηριστικές του γραµµές βρίσκονται στα µήκη κύµατος 698mµ (ερυ-

θρό), 663mµ (ερυθρό), 585mµ (κίτρινο), 500mµ (πράσινο), 490mµ (πράσινο),

470mµ (κυανό), 446mµ (ιώδες) διασπαρµένες σε όλη την περιοχή του ορατού.

Αυτός είναι και ο λόγος που το γραµµικό φάσµα εκποµπής αυτών των λυχνιών

χρησιµοποιείται για τη βαθµονόµηση των φασµατοσκοπίων που δεν διαθέτουν

εσωτερικό σύστηµα αναφοράς. Τα γραµµικά φάσµατα εκποµπής, αντίθετα από

τα συνεχή, είναι χαρακτηριστικά του είδους των ατόµων του εκπέµποντος υλι-

κού, γιαυτό χρησιµοποιούνται συχνότατα στη µελέτη των υλικών.

7

Συνεχή φάσµατα απορρόφησης έχουµε όταν λευκή ακτινοβολία περ-

νάει µέσα από έγχρωµα διαφανή στερεά και υγρά. Η εικόνα που παρατηρούµε

είναι εκείνη του συνεχούς φάσµατος του λευκού φωτός, από το οποίο όµως

απουσιάζει ένα µεγάλο µέρος πέρα από την περιοχή του µακροσκοπικά παρα-

τηρούµενου χρώµατος του υλικού και των δύο γειτονικών περιοχών του, προς

τα µεγαλύτερα και τα µικρότερα µήκη κύµατος αυτού. Όπως στα συνεχή φά-

σµατα εκποµπής, έτσι και εδώ το φάσµα δεν είναι χαρακτηριστικό του υλικού.

Γραµµικά φάσµατα απορρόφησης παίρνουµε όταν λευκή ακτινοβολία

περνάει µέσα από αέρια και ατµούς. Στην περίπτωση αυτή η εικόνα που παρα-

τηρούµε είναι το πλήρες φάσµα του λευκού φωτός από το οποίο όµως απουσι-

άζουν µερικά χαρακτηριστικά µήκη κύµατος, που εµφανίζονται σαν σκοτεινές

γραµµές. Αν π.χ. παρατηρούσαµε το φάσµα απορρόφησης του αερίου ηλίου,

θα βλέπαµε ότι από το συνεχές φάσµα του λευκού φωτός θα απουσίαζαν, δη-

λαδή θα ήταν µελανές, οι γραµµές που αντιστοιχούν στα µήκη κύµατος που

αναφέραµε προηγουµένως περιγράφοντας το φάσµα εκποµπής του αερίου ηλί-

ου. Το σύνολο αυτών των γραµµών αποτελεί το γραµµικό φάσµα απορρόφη-

σης του αερίου ηλίου. Όπως και στην περίπτωση των γραµµικών φασµάτων

εκποµπής, το γραµµικό φάσµα απορρόφησης είναι χαρακτηριστικό του είδους

των ατόµων του αερίου που απορροφούν, γι’ αυτό χρησιµοποιούνται και αυτά

ευρύτατα στη µελέτη των υλικών.

Πολύ συχνά γίνεται αναφορά σε φάσµατα ταινιών εκποµπής ή απορ-

ρόφησης. Έτσι ονοµάζονται τα φάσµατα όταν η εικόνα που παρατηρούµε είναι

όπως των γραµµικών φασµάτων εκποµπής ή απορρόφησης ανάλογα, αλλά

που οι γραµµές εµφανίζονται αρκετά εκτεταµένες ώστε να µοιάζουν ταινίες, απ’

όπου και το όνοµα. Τέτοια φάσµατα παρατηρούνται όταν τα υλικά που µελετού-

µε είναι υγρά ή αέρια που βρίσκονται σε µοριακή κατάσταση.

Στη θεωρία των φασµάτων ισχύει ο νόµος του Kirchhoff σύµφωνα µε

τον οποίο, τα γραµµικά φάσµατα εκποµπής και απορρόφησης του ίδιου υλικού

είναι συµπληρωµατικά. Αυτό σηµαίνει ότι εάν τοποθετήσουµε το γραµµικό

φάσµα εκποµπής ενός υλικού επάνω στο γραµµικό φάσµα απορρόφησης του

ίδιου υλικού, η εικόνα θα είναι το πλήρες φάσµα της λευκής ακτινοβολίας. Με

άλλα λόγια, εκεί ακριβώς που το γραµµικό φάσµα εκποµπής ενός υλικού πα-

ρουσιάζει τις χαρακτηριστικές έγχρωµες γραµµές, το ίδιο υλικό θα παρουσιά-

ζει τις χαρακτηριστικές σκοτεινές γραµµές το γραµµικό του φάσµα απορρόφη-

8

σης. Τυπικό παράδειγµα αυτό που αναφέραµε προηγουµένως των χαρακτη-

ριστικών γραµµικών φασµάτων εκποµπής και απορρόφησης του αερίου ηλίου.

Στο φαινόµενο της φασµατικής ανάλυσης της ορατής ακτινοβολίας θα

αναφερθούµε επίσης στην παράγρ. 4.3.2 µε αφαρµογή τη διάθλαση από πρί-

σµα. ∆εν πρέπει ωστόσο να παραλήψουµε να αναφέρουµε ότι η “φασµατο-

σκοπία του ορατού” είναι µία εργαστηριακή µέθοδος που χρησιµοποιείται

ευρύτατα. Στηρίζεται στην ανάλυση και αποτίµηση φασµάτων εκποµπής και

απορρόφησης στην περιοχή του ορατού, που προκύπτουν από διάφορα προς

µελέτην υλικά.

9

3. Φωτοµετρία Από τις πηγές φωτεινής ενέργειας, χρήσιµης για την επιβίωση των έµβι-

ων όντων, ο ήλιος είναι ασφαλώς η πιο σηµαντική. Η ακτινοβολούµενη από τον

ήλιο ενέργεια που προσπίπτει στην επιφάνεια της γής και που αντιστοιχεί στην

περιοχή του ορατού φωτός, χρησιµοποιείται από τα φυτά, µέσω της φωτοσύν-

θεσης για τη σύνθεση υδρογονανθράκων από διοξείδιο του άνθρακα και νερό.

Αλλά και κάθε πηγή που εκπέµπει ενέργεια µε µορφή ακτινοβολίας, στην περιο-

χή του ορατού ή όχι, είναι απαραίτητη στις εφαρµογές της καθηµερινής µας

ζωής. Στο κεφάλαιο της φωτοµετρίας µελετούµε µεγέθη που σχετίζονται µε τη

φωτεινή ενέργεια και που περιγράφουν α) την εκποµπή της ακτινοβολίας από

µια πηγή, β) τη µεταφορά ενέργειας µέσω της ακτινοβολίας και γ) το µακροσκο-

πικό αποτέλεσµα του φωτισµού ενός αντικειµένου από τη φωτεινή δέσµη που

είναι ο φορέας της φωτεινής ενέργειας.

3.1. Στερεά γωνία Για την καλύτερη κατανόηση των όσων αναφερθούν στη συνέχεια, πρέ-

πει να ορίσουµε ένα γεωµετρικό µέγεθος που είναι εντελώς απαραίτητο για τον

ορισµό και την περιγραφή των φωτοµετρικών µεγεθών, τη στερεά γωνία. Στην

επίπεδη γεωµετρία ορίζουµε σαν γωνία θ το µήκος

s ενός τόξου της περιφέρειας ενός κύκλου όπως

αυτό “φαίνεται” από το κέντρο του κύκλου, διαιρε-

µένο µε την ακτίνα του κύκλου r και µετράται σε

ακτίνια (radian) - rd, όπως φαίνεται στο Σχ. 3-1.

Με παρόµοιο τρόπο ορίζουµε στον τρισδιά-

στατο χώρο τη στερεά γωνία, όπου την περιφέρει-

α κύκλου ακτίνας r αντικαθιστά η σφαίρα ακτίνας R

Σχ. 3-1: Ορισµός επίπεδη γωνίας θ.

και το τόξο s αντικαθιστά η επιφάνεια S επάνω στη σφαίρα, όπως φαίνεται στο

Σχ. 3-2. Ας πούµε ότι, σχηµατικά, στερεά γωνία Ω είναι ό,τι “περιέχεται” µέσα

στην κωνική επιφάνεια που σχηµατίζεται από όλες τις ακτίνες της σφαίρας που

καταλήγουν σε όλα τα σηµεία του περιγράµµατος της σφαιρικής επιφάνειας S

και ορίζεται ως ο λόγος:

10

Σχ. 3-2: Ορισµός στερεάς γωνίας Ω.

ΩR

=S

2 (3.1)

Το στερακτίνιο (steradian) - sr είναι η

µονάδα µέτρησης της στερεάς γωνίας και ο-

ρίζεται ως η στερεά γωνία µε την οποία φαί-

νεται από το κέντρο της σφαίρας µια περιοχή

της επιφάνειάς της ίση µε το τετράγωνο της

ακτίνας της. Όπως η επίπεδη γωνία έτσι και η

στερεά γωνία είναι αδιάστατο µέγεθος και ακό-

µη όπως το κέντρο ενός κύκλου “βλέπει” ολόκληρη την περιφέρειά του µε γωνία

(2π)rd έτσι και το κέντρο µιας σφαίρας “βλέπει” ολόκληρη την επιφάνειά της µε

στερεά γωνία (4π)sr.

3.2. Φωτεινή ροή Από την ηλεκτροµαγνητική ακτινοβολία που εκπέµπουν οι φωτεινές πη-

γές, ένα µικρό µέρος της ανήκει στην περιοχή της ορατής, δηλαδή ανάµεσα στα

400mµ και τα 700mµ. Οι παρατηρήσεις µας έδειξαν ότι το ανθρώπινο µάτι δεν

ανταποκρίνεται το ίδιο σε όλα τα µήκη κύµατος που είναι σε θέση να παρατηρή-

σει. Μια φωτεινή λυχνία π.χ. των 40W που εκπέµπει στην περιοχή του ερυ-

θρού, φαίνεται λιγώτερο φωτεινή από µία ίδιας ισχύος (40W) που εκπέµπει

στην περιοχή του πράσινου. Το µήκος κύµατος στο οποίο το µάτι παρουσιάζει

τη µεγαλύτερη ευαισθησία είναι το κιτρινοπράσινο των 555mµ.

Η φωτεινή ενέργεια που εκπέµπει µια πηγή στη

µονάδα του χρόνου και είναι υπεύθυνη για να διεγείρει την

αίσθηση της όρασης ονοµάζεται φωτεινή ροή (luminous

flux) F.

Μόνο το 10% της ισχύος που ακτινοβολεί µία κοινή λάµπα φωτισµού,

είναι φωτεινή. Μονάδα µέτρησης της φωτεινής ροής είναι το λούµεν (lumen) -

lm, που ορίζεται σε σχέση µε µια σταθερή πηγή όπως αυτή κατασκευάζεται από

το ∆ιεθνές Γραφείο Μέτρων και Σταθµών.

Ένα lm είναι η φωτεινή ροή (ή η ορατή ακτι-

νοβολούµενη ισχύς) που εκπέµπεται από το 1/60cm2

επιφανείας λευκοχρύσου στη θερµοκρασία τήξης του και

περιέχεται σε µια στερεά γωνία 1sr.

11

3.3. Φωτοβολία

Επειδή η φωτεινή ροή δεν είναι σταθερή συνήθως προς όλες τις διευθύν-

σεις ως προς την πηγή που την εκπέµπει, γιαυτό θα ήταν πιο χρήσιµο να ορί-

σουµε ένα πιο αναλλοίωτο µέγεθος. Τέτοιο είναι η φωτοβολία (luminous

intensity) ή ένταση Ι µιας πηγής.

Φωτοβολία Ι µιας φωτεινής πηγής είναι η φω-

τεινή ροή που εκπέµπεται από την πηγή στον περιβάλ-

λοντα χώρο ανά µονάδα στερεάς γωνίας Ω.

Αν είναι F η φωτεινή ροή που εκπέµπεται από µια πηγή, τότε η φωτοβο-

λία σε στερεά γωνία Ω είναι:

I FΩ

= (3.2)

Ως µονάδα της φωτοβολίας έχει ορισθεί η καντέλα (candle) - cd και είναι

η φωτεινή ροή 1lm, που εκπέµπεται από µια πηγή µέσα σε στερεά γωνία 1sr.

Πρέπει να σηµειώσουµε ότι καθώς η στερεά γωνία είναι ένα αδιάστατο µέγεθος,

η φωτοβολία και η φωτεινή ροή έχουν τις ίδιες διαστάσεις.

Μία πηγή που εκπέµπει φως οµοιόµορφα προς όλες τις κατευθύνσεις

ονοµάζεται ισότροπη. Επειδή η στεραιά γωνία µε την οποία φαίνεται η επιφά-

νεια µιας σφαίρας από το κέντρο της είναι 4π, είναι προφανές ότι η συνολική

φωτεινή ροή που εκπέµπεται από µία ισότροπη πηγή έντασης Ι είναι:

F = 4πI (3.3)

3.4. Φωτισµός

Αναζητώντας ένα πιο αναλλοίωτο φωτοµετρικό µέγεθος, θα ορίσουµε

εκείνο που περιγράφει πόση φωτεινή ισχύς καταλήγει πάνω σε µια επιφάνεια

την οποία και φωτίζει. Το πόσο φωτεινή φαίνεται µία επιφάνεια, εξαρτάται από

την πυκνότητα της φωτεινής ροής που πέφτει πάνω της.

Φωτισµός (illumination) Ε µιας επιφάνειας S,

είναι η φωτεινή ροή F που δέχεται κάθετα η µονάδα της

επιφανείας.

Θα είναι δηλαδή:

E =FS

(3.4)

12

Μονάδα φωτισµού είναι το Lux και ορίζεται ως, η φωτεινή ροή 1lm που

φωτίζει κάθετα µια επιφάνεια 1m2.

Η παρατήρηση µας έχει δείξει ότι όσο πιο κοντά σε µια πηγή βρίσκεται

Σχ. 3-3: Η επιφάνεια S σχη- µατίζει γωνία θ µε την κατεύθυνση της ακτι- νοβολίας.

µια επίπεδη επιφάνεια, τόσο καλλίτερα φωτίζεται

από τη συγκεκριµένη πηγή. Τη σχέση έντασης πη-

γής Ι και φωτιζόµενης επιφάνειας S που απέχει

απόσταση r από την πηγή, µπορούµε να διατυπώ-

σουµε θεωρώντας ότι η κάθετη στην επιφάνεια

σχηµατίζει γωνία θ µε την κατεύθυνση της ακτινο-

βολίας όπως φαίνεται στο Σχ. 3-3. Αν είναι Ω η

στερεά γωνία υπό την οποία φαίνεται η επιφάνεια

S από την πηγή, η φωτεινή ροή F που περνάει

από αυτή την επιφάνεια δίνεται µε τη βοήθεια της

σχ. (3.4):

F = ΩI (3.5)

Η ίδια φωτεινή ροή περνάει προφανώς και από

την επιφάνεια που είναι κάθετη στη κατεύθυνση των ακτίνων που εκπέµπει η

πηγή και βρίσκεται στην ίδια απόσταση µε την απιφάνεια S όπως φαίνεται στο

σχήµα. Αυτή η επιφάνεια είναι Scosθ , ενώ η στερεά γωνία υπό την οποία φαί-

νεται από την πηγή είναι:

Ω =S cosθ

r 2 (3.6)

Συνεπώς η φωτεινή ροή που περνάει από την επιφάνεια Scosθ, δίνεται µε αντι-

κατάσταση της σχ. (3.6) στη σχ. (3.5):

FS

r=

I cosθ2 (3.7)

Εποµένως ο φωτισµός της επιφάνειας S δίνεται από τη σχ. (3.4) που µε τη

βοήθεια της σχ. (3.7) γίνεται τελικά:

Er

=I cosθ

2 (3.8)

από την οποία φαίνεται ότι:

Ο φωτισµός µιας επιφάνειας, που η κάθετος σ’

αυτή σχηµατίζει γωνία θ µε την κατεύθυνση της ακτινο-

βολίας, από πηγή έντασης Ι, είναι αντιστρόφως ανάλογη

του τετραγώνου της αποστάσεως r από αυτή.

13

Η πρόταση αυτή είναι γνωστή στη φωτοµετρία σαν νόµος του αντιστρόφου

τετραγώνου.

14

4. Γεωµετρική Οπτική

Στη Γεωµετρική Οπτική επεξεργαζόµαστε τα φαινόµενα ωσάν το φως να

αποτελείται µόνο από σωµατίδια. Η υπόθεση αυτή µας εξασφαλίζει την εύκολη

ερµηνεία των φαινοµένων της ευθύγραµµης διάδοσης του φωτός, της ανά-

κλασης (reflection) και της διάθλασής (refraction) του. Το γεγονός ότι το φως

κινείται ευθύγραµµα µας επιτρέπει να κάνουµε χρήση των εννοιών της ευκλείδι-

ας γεωµετρίας. Ενώ το γεγονός ότι το φως ανακλάται από την επιφάνεια των

υλικών σωµάτων ή διαθλάται διαπερνώντας την οριακή επιφάνεια ενός οπτικά

ενεργού υλικού, µας δίνει τη δυνατότητα να παρατηρήσουµε αυτά τα υλικά και

τις επιφάνειές τους, στο µέτρο που οι πληροφορίες που αναζητούµε είναι της

τάξης µεγέθους του µήκους κύµατος της οπτικής ακτινοβολίας ή µεγαλύτερης.

Στην παράγραφο της ανάκλασης θα εντάξουµε βεβαίως και τις εφαρµογές που

αφορούν στη µελέτη της οπτικής συµπεριφοράς των επιπέδων και σφαιρικών

κατόπτρων, ενώ στη διάθλαση θα περιλάβουµε τις εφαρµογές που αφορούν

στη µελέτη των οπτικών ιδιοτήτων των πρισµάτων και των σφαιρικών φακών.

4.1. Φωτεινή ακτίνα - Ευθύγραµµη διάδοση του φωτός

Η έννοια της φωτεινής ακτίνας που χρησιµοποιείται στη γεωµετρική

οπτική είναι συνδεδεµένη µε την ευθύγραµµη διάδοση του φωτός. Το φως εκ-

πέµπεται από µια φωτεινή πηγή µε τη µορφή σφαιρικών κυµάτων (Σχ. 4-1).

Κάθε τέτοια σφαιρική επιφάνεια µε κέντρο την πηγή, είναι ο γεωµετρικός τόπος

Σχ. 4-1: Σφαιρικό και επίπεδο µέτωπο κύµατος.

(γ.τ.) των σηµείων του κύµατος

που βρίσκονται στην ίδια φάση.

Πρόκειται δηλαδή για µια ισο-

φασική επιφάνεια που ονοµά-

ζεται επίσης µέτωπο κύµατος.

Μια ευθεία κάθετη στην ισοφα-

σική επιφάνεια ονοµάζεται φω-

τεινή ακτίνα. Είναι συνεπώς η α-

κτίνα ο γ.τ. των σηµείων που βρίσκεται το ίδιο σηµείο της ισοφασικής επιφά-

νειας την κάθε χρονική στιγµή. Σε µεγάλες αποστάσεις από την πηγή, η σφαιρι-

κή επιφάνεια του κύµατος προσεγγίζει στην επίπεδη και εποµένως οι ακτίνες

15

ενός επιπέδου κύµατος θα είναι παράλληλες µεταξύ τους (Σχ. 4-1). Ένα τέτοιο

σύνολο ακτίνων ονοµάζεται δέσµη παραλλήλων φωτεινών ακτίνων.

Η φωτεινή ακτίνα µας προσφέρει τη δυνατότητα να περιγράψουµε την

ευθύγραµµη διάδοση του φωτός, χρησιµοποιώντας ταυτόχρονα όλους τους

ορισµούς της ευκλίδειας γεωµετρίας. Το ότι το φως κινείται ευθύγραµµα µπο-

ρούµε να επιβεβαιώσουµε µε το εξής πολύ

απλό πείραµα που φαίνεται στο Σχ. 4-2.

Από όλες τις ακτίνες που εκπέµπονται

προς όλες τις διευθύνσεις, από τη βάση Α

και την κορυφή Β ενός φωτεινού αντικειµέ-

νου, θεωρούµε εκείνες που ταξιδεύουν

προς τη λεπτή οπή ενός αδιαφανούς δια-

Σχ. 4-2: Το φως ταξιδεύει ευθύγραµµα.

φράγµατος. Οι δύο ακτίνες περνούν από την οπή και συναντούν άλλο επίπεδο

και παράλληλο στο πρώτο πέτασµα στα σηµεία Α΄ και Β΄ αντίστοιχα. Όλες οι

φωτεινές ακτίνες που εκπέµπονται από τα ενδιάµεσα σηµεία του αντικειµένου

ΑΒ και κατευθύνονται προς τη λεπτή οπή, συναντούν το δεύτερο πέτασµα στα

ενδιάµεσα σηµεία των Α΄ και Β΄, έτσι ώστε να σχηµατίζεται ένα φωτεινό είδωλο

Α΄Β΄ που είναι αντεστραµένο ως προς το αντικείµενο ΑΒ. Οι σχέσεις µεγέθους

του ειδώλου ως προς το αντικείµενο είναι τέτοιες που ερµηνεύονται µόνο αν

δεχθούµε ότι το φώς ταξιδεύει ευθύγραµµα. Ένας τέτοιος φωτοστεγανός θά-

λαµος αποτέλεσε την πρώτη φωτογραφική συσκευή.

Το φώς λοιπόν διαδίδεται ευθύγραµµα µε ταχύτητα 3x108m/s στο κενό.

Αν λ είναι το µήκος κύµατος της ακτινοβολίας σε ένα οπτικό µέσο και f η συ-

χνότητά της, τότε η ταχύτητα του φωτός c στο συγκεκριµένο µέσο δίνεται από

τη γνωστή σχ. (1.1). Η ταχύτητα του φωτός διαφέρει από υλικό σε υλικό παίρ-

νοντας τη µεγίστη της τιµή στο κενό. Ο λόγος της ταχύτητας του φωτός στο κενό

co, προς την ταχύτητα του φωτός σ’ ένα υλικό c, ονοµάζεται (απόλυτος)

δείκτης διάθλασης (index of refraction) του υλικού n:

ncc

o=

(4.1)

Ο δείκτης διάθλασης είναι αδιάστατο µέγεθος και είναι µεγαλύτερος της µονά-

δας καθώς είναι co>c. Στον πίνακα 4-1 καταγράφεται ο δείκτης διάθλασης για το

κίτρινο φως µήκους κύµατος 589mµ µιας σειράς από χρήσιµα υλικά.

16

Υλικό n Υλικό n Αδάµαντας 2.42 Γυαλί 1.63 Αιθυλική Αλκοόλη 1.36 Ζιρκόνιο 1.92 Αλάτι µαγειρικό 1.54 Νερό 1.33 Βενζένιο 1.50 Πάγος 1.31 Γλυκερίνη 1.47 Χαλαζίας 1.54

Πίνακας 4-1: ∆είκτης διάθλασης µερικών χρήσιµων υλικών.

4.2. Ανάκλαση του φωτός Ανάκλαση (Reflection) είναι το φαινόµενο κατά το οποίο µια φωτεινή

ακτίνα αλλάζει πορεία, όταν συναντάει τη διαχωριστική επιφάνεια δύο διαφορε-

τικών οπτικών µέσων, αλλά παραµένει στο µέσο απ’ όπου προέρχεται. Στην

ανάκλαση του φωτός από τις επιφάνειες των σωµάτων οφείλεται το γεγονός ότι

αυτά γίνονται ορατά από τον ανθρώπινο οφθαλµό. Η ανάκλαση που προκαλεί-

ται από µια εξαιρετικά λεία επιφάνεια ονοµάζεται κανονική ή κατοπτρική (Σχ.

4-3α) ενώ η ανάκλαση που προέρχεται από πολλαπλές και ταυτόχρονες ή και

δευτερεύουσες ανακλάσεις από τις µικρές επιφάνειες των µη παρατηρήσιµων ε-

πιφανειακών ανωµαλιών των σωµάτων, ονοµάζεται ανώµαλη ανάκλαση ή α-

Σχ. 4-3: (α) κανονική ανάκλαση, (β) ανώµαλη ανάκλαση ή σκέδαση.

πλά σκέδαση (diffuse) της ακτινοβολίας (Σχ. 4-3β). Είναι γεγονός ότι οφείλουµε

τη δυνατότητα να παρατηρούµε τα σώµατα που δεν εκπέµπουν ακτινοβολία,

στην ύπαρξη της ανώµαλης ανάκλασης. Αλλιώς τα σώµατα θα γίνονταν ορατά

από τον παρατηρητή, µόνο από συγκεκριµένη θέση ως προς το σώµα και την

κατεύθυνση της φωτεινής δέσµης που το φωτίζει, όπως γίνεται αντιληπτό από

την επόµενη παράγραφο.

Στο Σχ. 4-4 η ακτίνα ΠΑ που έρχεται από τη φωτεινή πηγή Π, ονοµάζε-

ται προσπίπτουσα ή αρχική, ενώ η ακτίνα ΑΒ που προέρχεται από την προ-

17

ηγουµένη όταν αλλάζει πορεία, ονοµάζεται ανακλώµενη. Το σηµείο Α ονοµάζε-

Σχ. 4-4: Η γωνία πρόσπτωσης είναι ί- ση µε τη γωνία ανάκλασης.

ται σηµείο πρόσπτωσης και η ευθεία ΑΡ

είναι η κάθετη στη διαχωριστική επιφάνεια

στο σηµείο πρόσπτωσης. Η γωνία ΠΑΡ=φ

ονοµάζεται γωνία πρόσπτωσης, ενώ η γω-

νία ΡΑΒ=φ΄ ονοµάζεται γωνία ανάκλασης.

Οι νόµοι στους οποίους υπακούει η πορεία

µιας ακτίνας κατά την ανάκλασή της από

την επίπεδη διαχωριστική επιφάνεια δύο µέσων, όπως π.χ. το γυαλί και ο

αέρας, µε βάση τους προηγούµενους ορισµούς, διατυπώνονται ως εξής:

α) Η προσπίπτουσα ακτίνα ΠΑ, η ανακλώµενη

ΑΒ και η κάθετη ΑΡ στη διαχωριστική επιφάνεια στο

σηµείο πρόσπτωσης, βρίσκονται πάνω στο ίδιο επίπεδο,

το κάθετο στη διαχωριστική επιφάνεια στο σηµείο πρόσ-

πτωσης και περιέχει την προσπίπτουσα.

β) Η γωνία πρόσπτωσης φ και η γωνία ανά-

κλασης φ΄ είναι ίσες.

4.2.1 Επίπεδο κάτοπτρο

Επίπεδο κάτοπτρο (mirror) είναι µια εξαιρετικά λεία, µε µεταλλική λαµ-

πρότητα, επίπεδη επιφάνεια, η οποία έχει µεγάλη ανακλαστική ικανότητα. Η

κατοπτρική επιφάνεια πρέπει να είναι οπτικά µη διαπερατή ή ηµιδιαπερατή (για

ειδικές χρήσεις) από την ορατή ακτινοβολία. Το αντικείµενο αυτό είναι χρήσιµο

στην καθηµερινή µας ζωής γι’ αυτό και όλοι έχουµε µια σχετική εµπειρία µε τις

εικόνες που σχηµατίζονται από επίπεδα κάτοπτρα. Είναι όµως και αναγκαίο

σαν λειτουργικό κοµµάτι οπτικών επιστηµονικών οργάνων παρατήρησης. Η

κατασκευή του δεν παρουσιάζει ιδιαίτερες δυσκολείες, καθώς είναι τµήµα µιας

επίπεδης γυάλινης επιφάνειας στις επιθυµητές διαστάσεις, στη µία πλευρά της

οποίας επικάθινται µε µεγάλη πυκνότητα άτοµα ενός µετάλλου µε µεγάλη ανα-

κλαστική ικανότητα που βρίσκεται σε θερµοκρασία εξάχνωσης.

Ένα κάτοπτρο σχηµατίζει το είδωλο µιας σηµειακής πηγής ή ενός ορα-

τού αντικειµένου υπακούοντας στους νόµους της ανάκλασης, όπως τους διατυ-

πώσαµε στην προηγούµενη παράγραφο. Στην προσπάθεια να µελετήσουµε το

18

σχηµατισµό ειδώλου µιας σηµειακής πηγής από ένα επίπεδο κάτοπτρο θεω-

ρούµε το Σχ. 4-5 και επιστρατεύουµε τους απλούς ορισµούς της επίπεδης

γεωµετρίας.

Η διαδικασία που θα ακολουθήσουµε αποτελεί

πάγεια µέθοδο εύρεσης του ειδώλου ενός σηµείου τόσο για

την περίπτωση των κατόπτρων, όσο και για την περί-

πτωση των φακών που θα εξετάσουµε στην παράγραφο

της διάθλασης του φωτός.∆ιαφέρουν µόνο ως προς τη

χρήση των νόµων της ανάκλασης και της διάθλασης.

Στο σχήµα θεωρούµε ένα φωτεινό

σηµείο Α που βρίσκεται µπροστά από ένα

επίπεδο κάτοπτρο Π σε απόσταση α απ’

αυτό. Το είδωλο του σηµείου Α σχηµατι-

σµένο από το κάτοπτρο θα πρέπει να είναι

επίσης ένα σηµείο, που γεωµετρικά µπορεί

να ορισθεί ως η τοµή δύο ευθειών. Προσ-

παθούµε πάντα να χρησιµοποιούµε ακτίνες

Σχ. 4-5: Είδωλο σηµείου από επί- πεδο κάτοπτρο.

των οποίων γνωρίζουµε την πορεία ή τουλάχιστον µπορούµε εύκολα να την πε-

ριγράψουµε. Θεωρούµε λοιπόν µια φωτεινή ακτίνα που ξεκινάει από το σηµείο

Α και προσπίπτει κάθετα στο επίπεδο του κατόπτρου στο σηµείο Β. Η γωνία

πρόσπτωσης είναι 90° και σύµφωνα µε το δεύτερο νόµο της ανάκλασης και η

γωνία ανάκλασης θα είναι επίσης 90°, δηλαδή η ακτίνα θα ανακλασθεί αλλάζον-

τας κατεύθυνση κατά 180°. Μία τυχαία ακτίνα προσπίπτει στο σηµείο Γ µε

γωνία πρόσπτωσης φ και ανακλάται µε γωνία διάθλασης φ΄=φ. Οι προεκτάσεις

των δύο ανακλωµένων ακτίνων συναντώνται στο σηµείο Α΄ που είναι το είδωλο

του σηµείου Α. Από τη γεωµετρία του σχήµατος θα είναι θ=φ και θ΄=φ΄, απ’

όπου προκύπτει ότι θ=θ΄ και εποµένως ΑΒ=Α΄Β=β.

Οι επόµενοι ορισµοί είναι απαραίτητοι για τη συνέχεια της ανάλυσης:

α) Ονοµάζεται πραγµατικό είδωλο (real image) εκείνο που σχηµατίζεται

από πραγµατικές φωτεινές ακτίνες. Ένα πραγµατικό είδωλο µπορεί να προβλη-

θεί σ’ ένα επίπεδο πέτασµα.

β) Ονοµάζεται φανταστικό είδωλο (virtual image) εκείνο που σχηµατί-

ζεται από φωτεινές ακτίνες µη πραγµατικές δηλαδή από τις προεκτάσεις πρα-

γµατικών ακτίνων. Ένα φανταστικό είδωλο δεν µπορεί να προβληθεί σ’ ένα επί-

19

πεδο πέτασµα.

Τώρα µπορούµε να πούµε ότι το είδωλο ενός σηµειακού αντικειµένου,

που σχηµατίζεται από ένα επίπεδο κάτοπτρο, είναι φανταστικό και η θέση του

είναι επάνω στην κάθετο από το σηµείο προς το επίπεδο κάτοπτρο, πίσω όµως

απ’ αυτό. Η απόστασή του β από το κάτοπτρο είναι ίση µε την απόσταση α του

αντικειµένου. Το είδωλο ενός στερεού

αντικειµένου σχηµατίζεται σηµείο προς

σηµείο και µπορεί εύκολα να σχεδιασθεί

ακολουθώντας τους νόµους της ανά-

κλασης όπως κάναµε και προηγουµέ-

νως. Στο Σχ. 4-6 το κατοπτρικό είδωλο

του αντικειµένου αντιστρέφει δεξιά-αρι-

στερά τις πλευρές του. Αυτή η αντιστρο-

Σχ. 4-6: Κατοπτρική συµµετρία ανάµεσα αντικειµένου ειδώλου.

φή αποτελεί ένα πολύ βασικό χαρακτηριστικό της κατοπτρικής απεικόνισης.

4.2.2 Σφαιρικά κάτοπτρα και σχηµατισµός ειδώλου

Αν η ανακλαστική επιφάνεια ενός κατόπτρου είναι καµπύλη και µάλιστα

είναι µέρος µιας σφαιρικής επιφάνειας, τότε το κάτοπτρο είναι σφαιρικό. Αν η α-

Σχ. 4-7: Γεωµετρικά σηµεία σφαιρικού κατόπτρου.

νακλαστική επιφάνεια ενός σφαιρικού κατόπτρου

είναι κοίλη ή κυρτή, θα έχουµε αντίστοιχα κοίλο

(concave) ή κυρτό (convex) σφαιρικό κάτοπ-

τρο. Στο Σχ. 4-7 αν είναι R η ακτίνα καµπυλό-

τητας ενός σφαιρικού κατόπτρου, Κ το κέντρο

καµπυλότητας της σφαίρας και Ο το τοπογραφικό

κέντρο του σφαιρικού κατοπτρικού τµήµατος που

ονοµάζεται κορυφή του κατόπτρου, τότε η ευθεία

ΚΟ ονοµάζεται κύριος άξονας του κατόπτρου, ενώ κάθε άλλη ευθεία που

περνάει από το κέντρο Κ και συναντάει την κατοπτρική επιφάνεια, ονοµάζεται

δευτερεύοντας άξονας. Το µέσο Ε της απόστασης ΚΟ ονοµάζεται εστία (focal

point) του κατόπτρου και είναι το σηµείο όπου κατευθύνονται οι ανακλώµενες

όλων των φωτεινών ακτίνων που πορεύονται παράλληλα στον κύριο άξονα,

όπως φαίνεται στο Σχ. 4-8α. Η απόσταση ΟΕ=f ονοµάζεται εστιακή απόσταση

(focal length) του κατόπτρου και είναι:

20

fR

=2

(4.2)

∆ηλαδή η εστιακή απόσταση ενός κατόπτρου είναι το µισό

της ακτίνας καµπυλότητάς του.

Όλα τα κοίλα κάτοπτρα ονοµάζονται συγκλίνοντα καθώς µία παράλλη-

λη δέσµη ακτίνων που είναι και παράλληλη στον κύριο άξονα, συγκλίνει στην

εστία Ε µετά την ανάκλασή της από το κάτοπτρο (Σχ. 4-8α). Όµοια, όλα τα κυρ-

Σχ. 4-8: ∆έσµη παραλλήλων ακτίνων (α) συγκλίνει ή (β) φαίνεται ότι συγκλίνει, στην εστία Ε.

τά σφαιρικά κάτοπτρα ονοµάζονται αποκλίνοντα καθώς οι ακτίνες µιας παράλ-

ληλης φωτεινής δέσµης ανακλώµενες θα πρέπει προεκτεινόµενες να περνούν

από την εστία Ε του κατόπτρου (Σχ. 4-8β).

Ο σχηµατισµός ειδώλου ενός

γραµµικού αντικειµένου από ένα σφαιρι-

κό κάτοπτρο, ακολουθεί τους νόµους της

ανάκλασης. Είναι προφανές ότι µία φω-

τεινή ακτίνα προσπίπτει κάθετα σε µία

σφαιρική κατοπτρική επιφάνεια, όταν η ί-

δια ή η προέκτασή της περνάει από το

Σχ. 4-9: Είδωλο αντικειµένου από κοίλο σφαιρικό κάτοπτρο.

κέντρο καµπυλότητας της επιφάνειας. Στο Σχ. 4-9 θεωρούµε ένα κοίλο σφαι-

ρικό κάτοπτρο του οποίου είναι, Κ το κέντρο καµπυλότητας, Ο η κορυφή, Ε η

εστία, ΚΟ ο κύριος άξονας και f η εστιακή απόσταση ΟΕ. Χωρίς να αίρεται η γε-

νικότητα, τοποθετούµε ένα γραµµικό φωτεινό αντικείµενο ΑΒ κάθετα στον κύριο

άξονα πέραν του κέντρου καµπυλότητας. Θα σχεδιάσουµε γεωµετρικά την κα-

τασκευή του ειδώλου του από το κάτοπτρο, υπακούοντας στους νόµους της

ανάκλασης. Το είδωλο του σηµείου Α περιµένουµε να βρίσκεται κάπου επάνω

στον κύριο άξονα για καθαρά γεωµετρικούς λόγους. Θα αναζητήσουµε το είδω-

λο του σηµείου Β, παρακολουθώντας την πορεία δύο χαρακτηριστικών ακτίνων

που αναχωρούν από αυτό. Το σηµείο της τοµής τους µετά την ανάκλασή τους

21

από το κάτοπτρο θα είναι το είδωλο του σηµείου Β.

Η πρώτη φωτεινή ακτίνα που εκπέµπεται από το Β και της οποίας γνω-

ρίζουµε τη συµπεριφορά, είναι αυτή που πορεύεται παράλληλα στον κύριο ά-

ξονα. Στη συνάντησή της µε το κάτοπτρο στο σηµείο Γ, η πορεία της εκτρέπε-

ται και η ανακλώµενη είναι υποχρεωµένη να περάσει από την εστία Ε. Μια δεύ-

τερη φωτεινή ακτίνα µε το ίδιο σηµείο εκκίνησης Β, θα προσπέσει κάθετα στη

σφαιρική κατοπτρική επιφάνεια, εάν στην ευθύγραµµη πορεία της συναντά το

κέντρο καµπυλότητας Κ. Μετά τη συνάντησή της µε τη σφαιρική επιφάνεια στο

σηµείο ∆ µε γωνία πρόσπτωσης 0°, θα ανακλασθεί µε γωνία ανάκλασης την

ίδια και θα αλλάξει κατεύθυνση κατά 180°, επιστρέφοντας προς το σηµείο εκ-

κίνησης. Οι δύο ανακλώµενες ακτίνες συναντώνται στο σηµείο Β΄ που είναι το

είδωλο του σηµείου Β. Εύκολα καταλαβαίνουµε ότι αν είναι Α΄ ο πόδας της

καθέτου από το Β΄ προς τον κύριο άξονα, το Α΄Β΄ είναι το είδωλο του φωτεινού

αντικειµένου ΑΒ.

Ο αναγνώστης µπορεί τώρα µόνος του να ασκηθεί στη γεωµετρική κα-

τασκευή του ειδώλου ενός γραµµικού αντικειµένου, από ένα κυρτό σφαιρικό

κάτοπτρο.

4.2.3 Εξίσωση σφαιρικού κατόπτρου – Μεγέθυνση

Στο προηγούµενο Σχ. 4-9 παρατηρούµε ότι οι γωνίες ΑΚΒ και Α΄ΚΒ΄ ως

“κατά κορυφήν”, είναι ίσες. Επιπλέον, σύµφωνα µε το β΄ νόµο της ανάκλασης,

οι γωνίες ΑΟΒ και Α΄ΟΒ΄ είναι επίσης ίσες. Για ευκολία στη γραφή των σχέσεων

ορίζουµε τις ακόλουθες ποσότητες:

Απόσταση αντικειµένου από το κάτοπτρο = ΑΟ = α

Απόσταση ειδώλου από το κάτοπτρο = Α΄Ο = β

Εστιακή απόσταση = ΕΟ = f = R/2

Ύψος αντικειµένου = ΑΒ = s

Ύψος ειδώλου = Α΄Β΄ = s΄

Από την οµοιότητα των τριγώνων ΑΚΒ και Α΄ΚΒ΄ προκύπτει ότι:

ss′=

−−

R β α R

(4.3)

22

Ενώ από την οµοιότητα των τριγώνων ΑΒΟ και Α΄Β΄Ο προκύπτει ότι:

β

αss′= (4.4)

Ο συνδυασµός των σχ.(4.3) και (4.4) δίνει:

βα

R β α R

=−−

Από την τελευταία αυτή σχέση έυκολα προκύπτει η εξίσωση του σφαιρικού

κατόπτρου, που µε τη βοήθεια της (4.2) γίνεται:

1 1 1α β+ =

f (4.6)

Η εξ. (4.6) είναι ίδια και για κυρτό σφαιρικό κάτοπτρο, πράγµα που µπο-

ρεί εύκολα ο αναγνώστης να αποδείξει σαν άσκηση µε τον ίδιο τρόπο.

Η γραµµική ή εγκάρσια µεγέθυνση (lateral magnification) Μ του σφαι-

ρικού κατόπτρου είναι ο λόγος του ύψους του ειδώλου προς εκείνο του αντικει-

µένου. Η σχ. (4.4) εκφράζει ακριβώς τον ορισµό της γραµµικής µεγέθυνσης:

Mss

=′=βα

(4.7)

και µε τη βοήθεια της (4.6) γίνεται:

M = −βf

1 (4.8)

που αποτελεί µια άλλη έκφραση της γραµµικής µεγέθυνσης.

4.2.4 Συµπεράσµατα – ∆ιερεύνηση

Ξαναγυρίζουµε στο Σχ. 4-9 και ας γράψουµε αναλυτικά τα συµπεράσµα-

τα από την περιγραφή και ανάλυση της κατασκευής του ειδώλου ενός γραµµι-

κού αντικειµένου που τοποθετείται σε απόσταση α, όπου

(4.9) α > 2R

µπροστά από κοίλο σφαιρικό κάτοπτρο εστιακής απόστασης f. Με βάση τα όσα

περιγράψαµε και διατυπώσαµε στις προηγούµενες δύο παραγράφους και τη

συνθήκη (4.9), µπορούµε να συνοψίσουµε στα εξής:

1. Το είδωλο που σχηµατίζεται είναι αντεστραµένο σε σχέση µε το αντικείµενο.

2. Το είδωλο είναι πραγµατικό, αφού σχηµατίζεται από τις πραγµατικές ακτίνες

που ανακλώνται.

3. Η απόσταση β του ειδώλου από το κάτοπτρο δίνεται από την εξ. (4.6), αφού

23

είναι γνωστά τα µεγέθη α και f.

4. Το είδωλο είναι µικρότερο του αντικειµένου µε βάση τη σχ. (4.7), αφού είναι

α>β.

Ας υποθέσουµε τώρα ότι µετακινούµε το αντικείµενο έτσι που να απο-

µακρύνεται από το κάτοπτρο, δηλαδή αυξάνουµε το α. Αυτό σηµαίνει βεβαίως

ότι από την εξ. (4.6) το β θα πρέπει να ελαττώνεται, δηλαδή το είδωλο να

πλησιάζει προς το κάτοπτρο και το µέγεθός του να γίνεται µικρότερο, ενώ τα

άλλα στοιχεία του δεν µεταβάλλονται. Σε πολύ µεγάλες αποστάσεις, έτσι που να

είναι α≈∞, το είδωλο θα σχηµατισθεί στην εστία Ε του κατόπτρου και το µέ-

γεθός του θα είναι σηµειακό. Αν αντίθετα το αντικείµενο πλησιάζει προς το κά-

τοπτρο, δηλαδή προς το κέντρο καµπυλότητας, τότε το είδωλο αποµακρύνεται

από το κάτοπτρο, δηλαδή πλησιάζει και αυτό προς το κέντρο καµπυλότητας.

Όταν συµβεί α=R τότε από την εξ. (4.6) θα είναι και β=R, δηλαδή οι θέσεις αντι-

κειµένου και ειδώλου συµπίπτουν, οπότε και από τον ορισµό της σχ. (4.7) το

ύψος του ειδώλου θα είναι ίσο µε το ύψος του αντικειµένου.

Επειδή η πορεία των φωτεινών ακτίνων µπορεί να αντιστραφεί πλήρως,

θεωρούµε το αντικείµενο στη θέση του ειδώλου του, οπότε το είδωλό του θα

σχηµατισθεί αντίστοιχα στη θέση του αντικειµένου. Έτσι τα δύο πρώτα συµπε-

ράσµατα παραµένουν όπως είναι, αλλά θα έχουµε α<β και συνεπώς και Μ>1.

Αν τώρα θεωρήσουµε ότι το αντικείµενο πλησιάζει προς το κάτοπτρο και µάλι-

στα προς την εστία Ε, τότε το είδωλό του θα αποµακρύνεται από το κάτοπτρο

Σχ. 4-10: Φανταστικό είδωλο.

και θα µεγαλώνει. Όταν η θέση του αντικειµέ-

νου συµπέσει µε την εστία Ε (α=f) τότε το εί-

δωλό του θα σχηµατισθεί στο άπειρο και θα

φαίνεται εξαιρετικά µεγάλο (Μ=∞).

Θα εξετάσουµε τώρα το σχηµατισµό

ειδώλου όταν το εντικείµενο βρίσκεται ανάµε-

σα στην εστία Ε και την κορυφή Ο, όπως φαί-

νεται στο Σχ. 4-10. Παρακολουθούµε πάλι την πορεία δύο ακτίνων που ξεκι-

νούν από το σηµείο Β του αντικειµένου και η µία είναι παράλληλη στον κύριο

άξονα ενώ της άλλης η προέκταση περνάει από το κέντρο καµπυλότητας του

κατόπτρου Κ. Μετά την ανάκλαση και οι δύο ακτίνες αποκλίνουν και συναντών-

ται ως προεκτάσεις των ανακλωµένων πίσω από το σφαιρικό κάτοπτρο. Το

είδωλο λοιπόν που σχηµατίζεται είναι:

24

1. Ορθό και

2. φανταστικό.

3. Η θέση του δίνεται από την εξ. (4.6) και

4. είναι µεγαλύτερο του αντικειµένου γιατί, προφανώς, β>α.

Καθώς το αντικείµενο πλησιάζει προς την κορυφή του κατόπτρου Ο, το

είδωλο Α΄Β΄ πλησιάζει και αυτό προς την κορυφή και µικραίνει. Στην κορυφή Ο

αντικείµενο και είδωλο συµπίπτουν καθόλα, µε µόνη διαφορά ότι το είδωλο είναι

φανταστικό.

Ο αναγνώστης µπορεί να επαναλάβει την προηγούµενη διαδικασία, για την

περίπτωση του σχηµατισµού ειδώλου από κυρτό σφαιρικό κάτοπτρο και να

αποδείξει ότι το είδωλο που σχηµατίζεται είναι πάντα ορθό, φανταστικό και

µικρότερο ή ίσο του αντικειµένου.

Για να αποφεύγονται λάθη στην εφαρµογή του τύπου των κατόπτρων, καλό

είναι ο αναγνώστης να συµβουλεύεται τον επόµενο πίνακα που δίνει τα πρόσηµα

των χρησιµοποιούµενων γραµµικών µεγεθών:

α + αν το αντικείµενο είναι µπροστά από το κάτοπτρο (πραγµατικό αντικείµενο) – αν το αντικείµενο είναι πίσω από το κάτοπτρο (φαναστικό αντικείµενο) β + αν το είδωλο είναι µπροστά από το κάτοπτρο (πραγµατικό είδωλο) – αν το είδωλο είναι πίσω από το κάτοπτρο (φανταστικό είδωλο) R, f + αν το κέντρο καµπυλότητας είναι µπροστά από το κάτοπτρο (κοίλο κάτοπτρο) – αν το κέντρο καµπυλότητας είναι πίσω από το κάτοπτρο (κυρτό κάτοπτρο)

4.3. ∆ιάθλαση του φωτός

Στην παράγρ. 4.2. περιγράψαµε το φαινόµενο της ανάκλασης του φωτός,

ενώ στο Σχ. 4-4 φαίνεται η γεωµετρία µιας φωτεινής δέσµης που, προερχόµενη

από µια πηγή Π, ανακλάται από τη διαχωριστική επιφάνεια δύο µέσων. Αν το

δεύτερο µέσο είναι διαπερατό από την οπτική ακτινοβολία και θεωρήσουµε ότι η

πηγή Π εκπέµπει µονοχρωµατική ακτινοβολία, τότε εκτός από το φαινόµενο της

ανάκλασης στο οποίο υπακούει ένα µέρος της ακτινοβολίας, παρατηρείται

ταυτόχρονα και το φαινόµενο της διάθλασης στο οποίο υπακούει ένα άλλο µέρος

της ακτινοβολίας.

Όταν µία φωτεινή δέσµη συναντά τη διαχωριστική επιφάνεια δύο δια-

φορετικών οπτικών µέσων, όπως είπαµε και στην παράγρ. 4.1., αλλάζει η ταχύτητά

του. Αυτό έχει σαν συνέπεια να αλλάξει και η κατεύθυνση διάδοσής του στο

25

δεύτερο µέσο. Το φαινόµενο κατά το οποίο µια φωτεινή δέσµη αλλάζει οπτικά

κατεύθυνση διάδοσης κατά το πέρασµα από ένα µέσο σε άλλο, ονοµάζεται

διάθλαση του φωτός.

Σχ. 4-11: Η ακτίνα διαθλάται µε γωνία θ.

Στο Σχ. 4-11 διατηρούµε τη γεωµετρία

του Σχ. 4-4, προσθέτοντας επιπλέον τη δια-

θλώµενη δέσµη ΑΓ της οποίας η γωνία µε την

κάθετο στη διαχωριστική επιφάνεια στο σηµεί-ο

πρόσπτωσης είναι θ. Η γωνία θ ονοµάζεται

γωνία διάθλασης.

Στην παράγρ. 4.1. ορίσαµε τον απόλυ-

το δείκτη διάθλασης n ενός οπτικά ενεργού

µέσου για µονοχρωµατική ακτινοβολία, ως το

λόγο της ταχύτητας του φωτός co στο κενό

προς την ταχύτητα του φωτός στο µέσο c (σχ. 4.1). Επειδή τα άτοµα ενός µέσου

απορροφούν και επανεκπέµπουν την ηλεκτροµαγνητική ακτινοβολία µε την ίδια

συχνότητα, σηµαίνει ότι κατά τη διάθλαση η συχνότητα f της ακτινοβολίας δε

µεταβάλλεται. Από τις σχ. (1.1) και (4.1) το µήκος κύµατος της ακτινοβολίας λ στο

δεύτερο µέσο, εξαρτάται από το δείκτη διάθλασης n της εισερχόµενης ακτινοβολίας

από τη σχέση:

λ = λnο (4.10)

όπου λο είναι το µήκος κύµατος της εισερχόµενης ακτινοβολίας.

Κάθε οπτικά ενεργό υλικό έχει διαφο-

ρετικό δείκτη διάθλασης για διαφορετικά µή-

κη κύµατος, όπως προκύπτει από τον ορισµό

του δείκτη διάθλασης από τη σχ. (4.1). Γρα-

φικά αυτό φαίνεται για µερικά από τα περισ-

σότερο χρησιµοποιούµενα διαθλαστικά υλικά

στο Σχ. 4-12.

Μετά από αυτές τις διευκρινίσεις µπο-

ρούµε πλέον να συµπληρώσουµε τους νό-

µους της ανακλάσης της παραγρ. 4.2., µε

τους νόµους της διαθλάσης ως εξής:

Σχ. 4-12: ∆ιάγραµµα του δείκτη διάθλασης ως προς το µήκος κύµατος για δια- φορετικά υλικά.

26

α) Η διαθλώµενη δέσµη ΑΓ βρίσκεται στο ίδιο

επίπεδο που βρίσκονται η προσπίπτουσα ΠΑ και η ανα-

κλώµενη ΑΒ, δηλαδή το κάθετο στη διαχωριστική επιφά-νεια

στο σηµείο πρόσπτωσης και περιέχει την πηγή Π.

β) Ο λόγος του ηµιτόνου της γωνίας πρόσπτωσης φ

προς το ηµίτονο της γωνίας διάθλασης θ είναι σταθερός.

4.3.1 Νόµος του Snell Ας υποθέσουµε ότι έχουµε δύο διαφορετικά οπτικά µέσα Ι και ΙΙ π.χ. αέ-

ρα και νερό µε δείκτες διάθλασης αντίστοιχα n1

και n2, που διαχωρίζονται µε επίπεδη επιφάνεια

όπως φαίνεται στο Σχ. 4-13. ∆ύο παράλληλες

ακτίνες µονοχρωµατικής ακτινοβολίας που προ-

έρχονται από την ίδια φωτεινή πηγή και συναν-

τούν τη διαχωριστική επιφάνεια µε γωνία πρόσ-

πτωσης φ, τη χρονική στιγµή t1=0 η µία βρίσκε-

ται στο σηµείο Α της επιφάνειας, ενώ η άλλη

Σχ. 4-13: Νόµος του Snell.

στο σηµείο Β του µέσου Ι. Τη χρονική στιγµή t2=t η δεύτερη ακτίνα έχει φτάσει στο

σηµείο Β΄ της διαχωριστικής επιφάνειας έχοντας διανύσει το διάστηµα:

BB′ = υ t1 (4.11)

όπου υ1 είναι η ταχύτητα του φωτός στο µέσο Ι. Η πρώτη ακτίνα θα συνεχίσει την

πορεία της στο µέσο ΙΙ, έχοντας διανύσει στον ίδιο χρόνο το διάστηµα:

AA ′ = υ t2 (4.12)

όπου υ2 είναι η ταχύτητα του φωτός στο δεύτερο µέσο. Τα σηµεία Α και Β

βρίσκονται στο ίδιο µέτωπο κύµατος, όπως και τα σηµεία Α΄ και Β΄ βρίσκονται σ΄

ένα άλλο διαφορετικό του πρώτου. Εποµένως τα τρίγωνα ΑΒΒ΄ και ΑΑ΄Β΄ είναι

ορθογώνια στο Β και στο Α΄ αντίστοιχα. Από το τρίγωνο ΑΒΒ΄ και σε συνδυασµό µε

τη σχ. (4.11) έχουµε:

sinφ = ΒΒ'ΑΒ'

= υ tΑΒ'

1 (4.13)

Όµοια από το τρίγωνο ΑΑ΄Β΄ και µε τη βοήθεια της σχ. (4.12) θα είναι:

sinθ = ΑΑ'ΑΒ'

= υ tΑΒ'

2 (4.14)

Η κατά µέλη διαίρεση των σχ. (4.13) και (4.14) µας οδηγεί στη σχέση:

27

sinφsinθ

= υυ

1

2 (4.15)

Από τη σχ. (4.1) έχουµε ότι υ1 = co/n1 και υ2 = co/n2, οπότε η σχ. (4.15) οδηγεί στη

sinφsinθ

= nn

= σταθ.2

1 (4.16)

Το αποτέλεσµα αυτό ονοµάζεται νόµος του Snell προς τιµήν του Ολλανδού α-

στρονόµου και µαθηµατικού Willebrord Snell (1591-1626) που τον διατύπωσε

πρώτος. Η σχ. (4.16) ισχύει για τη διάθλαση οποιουδήποτε είδους κυµάτων που

προσπίπτουν στη διαχωριστική επιφάνεια δύο µέσων.

Το λόγο n2/n1 ονοµάζουµε σχετικό δείκτη διάθλασης του µέσου ΙΙ ως προς

το µέσο Ι. Είναι προφανές ότι το φαινόµενο είναι πλήρως αντιστρεπτό. Οι ακτίνες

ακολουθούν την αντίστροφη πορεία αν προσπέσουν στη διαχωριστική επιφάνεια

των δύο µέσων προερχόµενες από το δεύτερο οπτικό µέσο. Η γωνία διάθλασης θα

είναι µικρότερη της γωνίας πρόσπτωσης (θ<φ) εφόσον το φως µεταβαίνει από

οπτικά αραιότερο µέσο σε οπτικά πυκνότερο (n2>n1).

Αν βεβαίως η φωτεινή δέσµη προσπέσει κάθετα στη διαχωριστική επιφάνεια

των µέσων (φ=0), τότε η µόνη γωνία διάθλασης που µπορεί να επαληθεύσει τη σχ.

(4.16) είναι η θ=0. Συνεπώς δέσµη που προσπίπτει κάθετα στη διαχωριστική

επιφάνεια δύο οπτικών µέσων διαδίδεται στο δεύτερο µέσο χωρίς να µεταβάλλει την

κατεύθυνσή της.

Ας υποθέσουµε τώρα, ότι µονοχρωµατική δέσµη µεταβαίνει από οπτικά

πυκνότερο µέσο µε δείκτη διάθλασης n1 σε οπτικά αραιότερο µε δείκτη διάθλα-

σης n2 (n1>n2). Ακολουθεί δηλαδή την αντίθε-

τη πορεία του προηγουµένου παραδείγµατος.

Όπως φαίνεται και στο Σχ. 4-14 η γωνία διά-

θλασης θ θα είναι µεγαλύτερη της γωνίας πρόσ-

πτωσης φ εφόσον ισχύει ο νόµος του Snell (σχ.

(4.16)). Αν η γωνία πρόσπτωσης φ αυξάνεται,

αντίστοιχα αυξάνεται και η γωνία διάθλασης θ,

υπακούοντας πάντα στη σχ. (4.16) και παραµέ-

Σχ. 4-14: Ολική ανάκλαση.

νοντας θ>φ. Για κάποια γωνία πρόσπτωσης φο, ωστόσο, η γωνία διάθλασης

παίρνει τη µεγίστη της τιµή που είναι 90° και υπολογίζεται από τη σχ. (4.16):

sinφ = nn

sin90 = nn

ο2

1

o 2

1

28

Αν η γωνία πρόσπτωσης γίνει λίγο µεγαλύτερη της φο, είναι προφανές από την

προηγούµενη σχέση ότι παύει να υπάρχει το φαινόµενο της διάθλασης και

συνεπώς η οπτική δέσµη ανακλάται εξολοκλήρου.

Το φαινόµενο κατά το οποίο οπτική δέσµη, κατά τη

µετάβασή της από οπτικά πυκνότερο µέσο σε οπτικά

αραιότερο, ανακλάται εξολοκλήρου, ονοµάζεται ολική α-

νάκλαση ή ολική εσωτερική ανάκλαση (total internal

reflection).

Η γωνία πρόσπτωσης φο οπτικής δέσµης που

µεταβαίνει από οπτικά πυκνότερο µέσο σε οπτικά αραιότερο

και κατά την οποία η γωνία διάθλασης είναι 90° ονοµάζεται

ορική γωνία (critical angle).

Το φαινόµενο της ολικής ανάκλασης βρίσκει εφαρµογή στα πρίσµατα ολικής

ανάκλασης που χρησιµοποιούνται ευρύτατα στην κατασκευή οπτικών ερ-

γαστηριακών οργάνων και στις φωτογραφικές µηχανές.

Μια πολύ ενδιαφέρουσα εφαρµογή της ολικής ανάκλασης στη σύγχρονη

τεχνολογία, είναι η µεταφορά µιας λεπτής φωτεινής δέσµης σε οσοδήποτε µεγάλες

αποστάσεις µε οπτικές ίνες (glass fiber). Αυτές είναι κατασκευασµένες από

υψηλής διαφάνειας γυαλί σε σχήµα λεπτών κυλινδρικών ινών (Σχ. 4-15).

Σχ. 4-15: Οπτικές ίνες.

Αν µια φωτεινή δέσµη εισέρχεται παράλληλα στον άξο-

να της ίνας, συναντά από το εσωτερικό την κυλινδρική

διαχωριστική επιφάνεια µε γωνία µεγαλύτερη της ορι-

κής και συνεπώς υφίσταται ολική ανάκλαση. Αυτό συµ-

βαίνει διαδοχικά σε όλη την πορεία της µέσα στην ίνα,

έτσι ώστε να φθάνει στην έξοδο χωρίς απώλειες στην

έντασή της λόγω διάθλασης.

Στην ιατρική, µικροσκοπικές δέσµες ινών χρησι-

µοποιούνται σαν καθετήρες για την εξέταση σηµαντικών οργάνων του ανθρώπι-νου

ή ζωικού οργανισµού χωρίς χειρουργική επέµβαση. Στα τηλεπικοινωνιακά

συστήµατα, µία απλή γυάλινη ίνα µε διαστάσεις ανθρώπινης τρίχας µεταφέρει

πλέον οπτική ή ακουστική πληροφορία ισοδύναµη µε 25000 φωνές που µιλούν

ταυτόχρονα.

4.3.2 Εφαρµογές της διάθλασης

29

Μια πολύ βασική εφαρµογή της διάθλασης είναι αυτή που προκύπτει ό-ταν

µονοχρωµατική ακτινοβολία προσπέσει στην έδρα γυάλινου πρίσµατος γω- νίας Α

(Σχ. 4-16). Μία δέσµη θα υποστεί τότε διάθλαση καθώς εισέρχεται στην πρώτη

έδρα και στη συνέχεια θα διαθλαστεί εκ νέου καθώς εξέρχεται του πρί-

Σχ. 4-16: ∆ιάθλαση από πρίσµα.

σµατος από τη δεύτερη έδρα. Η γωνία που

σχηµατίζουν η διεύθυνση της αρχικής δέ-

σµης και εκείνη της εξερχόµενης του πρίσµα-

τος, ονοµάζεται γωνία εκτροπής και εξαρτά-

ται: α) από τη γωνία Α του πρίσµατος και β)

από το δείκτη διάθλασης του υλικού για το

συγκεκριµένο µήκος κύµατος. Ο αναγνώστης

µπορεί να αποδείξει εύκολα κάνοντας χρήση των όσων έχουµε περιγράψει ως

τώρα, ότι όσο µικρότερο είναι το µήκος κύµατος της ακτινοβολίας, τόσο µεγαλύ-

τερη θα είναι η γωνία εκτροπής για την εξερχόµενη δέσµη.

Αν η ακτινοβολία που χρησιµοποιούµε είναι λευκή, τότε η γωνία εκτροπής

για το ερυθρό θα είναι η µικρότερη, ενώ για το ιώδες η µεγαλύτερη. Όλα τα άλλα

µήκη κύµατος θα εκτραπούν µε ενδιάµεσες γωνίες εκτροπής και µε ένα συνεχή

τρόπο, όπως φαίνεται στο Σχ. 4-17. Η δέσµη λευκού φωτός αναλύεται

έτσι στις επιµέρους έγχρωµες συνι-

στώσες της δηλαδή στα επί µέρους

µήκη κύµατος από τα οποία αποτελεί-

ται. Αυτό είναι το φάσµα της λευκής

ακτινοβολίας που περιγράψαµε στην

παράγρ. 2. Η ανάλυση από πρίσµα

αποτελεί τη βάση λειτουργίας των φα-

σµατοσκοπίων και των φασµατογρά-

Σχ. 4-17: Φασµατική ανάλυση λευκού φω- τός από πρίσµα.

φων (βλ. Εργαστηριακό φυλλάδιο).

Μία πολύ βασική αρχή που αφορά στη συµπεριφορά του φωτός είναι εκείνη

της αντιστρεπτότητας της πορείας των φωτεινών ακτίνων. Αν σε οποιαδήποτε

από τις εφαρµογές που περιγράψαµε ως τώρα, αντιστρέφαµε επακριβώς την

πορεία των φωτεινών ακτίνων, θα παρατηρούσαµε ότι αυτές θα ακο-

λουθούσαν τα ίδια ίχνη. Επιβεβαίωση αυτής της

30

αρχής αποτελεί η επόµενη εφαρµογή, που

παρατηρείται όταν φως διέρχεται από διαφανή

(π.χ. γυάλινη) πλάκα πάχους d και δείκτη

διάθλασης n, µε παράλληλες τις απέναντι έδρες

(Σχ. 4-18). Εύκολα µπορούµε να αποδείξουµε ότι

η εξερχόµενη δέσµη θα υποστεί απλά παράλ-

ληλη µετατόπιση από τη διεύθυνση της εισερχό-

µενης, που είναι ανάλογη του πάχους d της

πλάκας.

Σχ. 4-18: ∆ιάθλαση από πλά- κα πάχους d.

Ο αναγνώστης µπορεί για εξάσκηση να αποδείξει την παραλληλότητα της

εισερχόµενης και εξερχόµενης δέσµης και ότι αν είναι φ η γωνία πρόσπτωσης, θ η γωνία διάθλασης και x η απόσταση των παραλλήλων ακτίνων θα είναι:

x = d sinφ ( 1 - 1n

cosφcosθ

) Ως υπόδειξη αναφέρουµε ότι η ευθεία ΑΓ είναι κοινή υποτείνουσα των ορθο-γωνίων τριγώνων ΑΒΓ και Α∆Γ.

4.3.3 Λεπτοί φακοί Την πιο χρήσιµη εφαρµογή του φαινοµένου της διάθλασης αποτελούν ίσως

οι φακοί (lenses) που χρησιµοποιούνται ευρύτατα για την κατασκευή οργάνων

οπτικής παρατήρησης και φωτογραφικής αποτύπωσης, όπως είναι τα µικροσκόπια,

οι διόπτρες και οι φωτογραφικοί φακοί. Εξαιρετικά µεγάλης χρησιµότητας είναι οι

φακοί που κατασκευάζονται για να διορθώσουν οπτικά σφάλµατα που παρουσιάζει

συχνά ο φακός του ανθρώπινου οφθαλµού, όπως είναι εκείνα της µυωπίας, του

αστιγµατισµού και της πρεσβυωπίας.

Ένας φακός είναι ένα αντικείµενο κατασκευασµένο από υλικό διαπερατό

από την ορατή ακτινοβολία, που µεταβάλλει το σχήµα ενός µετώπου κύµατος όταν

περνάει µέσα απ’ αυτό. Οι φακοί κατασκευάζονται συνήθως από γυαλί και το

σχήµα τους είναι τέτοιο ώστε οι φωτεινές ακτίνες που έρχονται από ένα αντικείµενο,

διαθλώµενες να σχηµατίζουν το είδωλό του όπως περιγράψαµε στην περίπτωση

των κατόπτρων. Πιο συγκεκριµένα θα λέγαµε ότι το εξωτερικό σχήµα των φακών

είναι δύο σφαιρικές επιφάνειες κοίλες ή κυρτές ή συνδυασµός τους, αλλά και

συνδυασµός µε επίπεδη επιφάνεια που διαχωρίζουν το διαθλαστικό υλικό από τον

αέρα. Μερικά παραδείγµατα φακών φαίνονται στο επόµενο Σχ. 4-19. Οι φακοί µε

κυρτές σφαιρικές επιφάνειες ονοµάζονται συγκλίνοντες

31

Σχ. 4-19: Μερικά παραδείγµατα φακών.

(converging) ή θετικοί (positi-

ve), γιατί οι φωτεινές ακτίνες

που προέρχονται από κάποιο

φωτεινό αντικείµενο συγκλί-

νουν µετά τη διάθλασή τους

από το φακό. Ενώ εκείνοι µε

κοίλες ονοµάζονται αποκλίνοντες (diverging) ή αρνητικοί (negative), αφού οι

φωτεινές ακτίνες αποκλίνουν µετά τη διάθλασή τους απ’ αυτόν.

Η διάµετρος ενός φακού ονοµάζεται γεωµετρικό άνοιγµα του φακού και

συνήθως συµβολίζεται µε d. Στο Σχ. 4-20 (α) και (β) φαίνονται όλα τα γεωµετρικά

στοιχεία των συγκλινόντων και αποκλινόντων φακών αντίστοιχα. Αν Κ1 και Κ2 είναι

τα κέντρα καµπυλότητας των σφαιρικών επιφανειών του φακού, η ευθεία χχ΄ που

περνάει από αυτά και είναι συνεπώς κάθετη στις δύο επιφάνειες

Σχ. 4-20: Γεωµετρικά στοιχεία (α) συγκλίνοντα και (β) αποκλίνοντα φακού.

του φακού, ονοµάζεται κύριος άξονας. Το γεωµετρικό κέντρο Ο του φακού που

βρίσκεται επίσης επάνω στην ευθεία χχ΄, ονοµάζεται κορυφή. Κάθε ευθεία που

περνάει από την κορυφή Ο και δεν συµπίπτει µε την ευθεία χχ΄, ονοµάζεται

δευτερεύοντας άξονας. Όπως και στα κάτοπτρα, έτσι και στους φακούς ορίζουµε

την εστία Ε2 σαν το σηµείο που συγκλίνουν για τους συγκλίνοντες ή φαίνονται ότι

συγκλίνουν για τους αποκλίνοντες, οι ακτίνες µιας παράλληλης στον κύριο άξονα

φωτεινής δέσµης, µετά τη διάθλασή τους από το φακό. Ο φακός έχει δύο

επιφάνειες εισόδου, γι’ αυτό ορίζουµε δύο εστίες την πρώτη Ε1 και τη δεύτερη Ε2.

Να σηµειώσουµε, τέλος, ότι στους λεπτούς φακούς, τους οποίους θα ορίσουµε

στην επόµενη πρόταση, το επίπεδο που είναι κάθετο στον κύριο άξονα σε κάποια

εστία του φακού, ονοµάζεται εστιακό επίπεδο. Έ-χουµε αντίστοιχα πρώτο και

δεύτερο εστιακό επίπεδο και µπορούµε να το ορίσουµε πληρέστερα ως το

γεωµετρικό τόπο των εστιών του κύριου και των δευτερευόντων αξόνων του φακού.

32

Η πορεία µιας φωτεινής δέσµης µέσα από ένα φακό µπορεί να γίνει πιο

εύκολα κατανοητή, αν θεωρήσουµε ότι ένας φακός µπορεί να προσεγγισθεί µε

µία σειρά από πρίσµατα δι-

αφορετικών γωνιών, όπως

φαίνεται στο Σχ. 4-21. Επο-

µένως µία δέσµη από πα-

ράλληλες προς τον κύριο ά-

ξονα ακτίνες θα διαθλάται

περίπου όπως φαίνεται στο

Σχ. 4-21 (α) για συγκλίνοντα

Σχ. 4-21: Προσέγγιση µε πρίσµατα (α) συγκλίνοντα και (β) αποκλίνοντα φακού.

και (β) για αποκλίνοντα, αν εφαρµόσουµε όσα ξέρουµε για τη διάθλαση σε πρίσµα.

Είναι φανερό ότι το κεντρικό πρίσµα είναι µια πλάκα µε παράλληλες εξωτερικές

επιφάνειες. Εποµένως µια φωτεινή ακτίνα που προσπίπτει στην περιοχή της

κορυφής Ο ενός φακού (όλες οι ακτίνες που συµπίπτουν µε τον κύριο και τους

δευτερεύοντες άξονες του φακού), πρέπει µετά τη διάθλασή της να υποστεί µόνο

παράλληλη µετατόπιση, όπως ήδη γνωρίζουµε, ανάλογη του πάχους της πλάκας,

δηλαδή ανάλογη του πάχους του φακού. Αν το πάχος του φακού είναι µικρό τότε

όλες οι φωτεινές ακτίνες που προσπίπτουν στην κορυφή Ο του φακού θα

περάσουν µέσα από το φακό σαν να µην έχουν εκτραπεί από την αρχική τους

διεύθυνση. Στην περίπτωση αυτή µιλάµε για λεπτούς φακούς (thin lenses) που

είναι και η συνηθέστερη στις οπτικές µας εφαρµογές. Στο εξής ότι αναφέρουµε

αφορά τους λεπτούς φακούς.

4.3.4 Σχηµατισµός ειδώλου από φακό

Όπως ήδη αναφέραµε ένας φακός αποτελείται από διαθλαστικό υλικό µε

δείκτη διάθλασης n και οι εξωτερικές του επιφάνειες είναι σφαιρικά τµήµατα µε

ακτίνες καµπυλότητας R1 και R2. Αν είναι α η απόσταση ενός φωτεινού αντικει-

µένου από την κορυφή Ο ενός φακού και β η απόσταση του είδώλου από το Ο,

τότε όλα τα προηγούµενα µεγέθη συνδέονται µε τη σχέση:

1α

+ 1β

= (n-1)(1

R +

1R1 2

) (4.17)

που είναι γνωστή σαν εξίσωση των κατασκευαστών των φακών (lens-maker’s

equation).

33

Αν ορίσουµε ένα µέγεθος f τέτοιο ώστε:

1f = (n-1)(

1R

+ 1

R1 2)

τότε η εξ. (4.17) γίνεται:

1α

+ 1β

= 1f

(4.18)

που είναι εντελώς όµοια µε την εξ. (4.6) των κατόπτρων. Το µέγεθος f ονοµάζε-

Σχ. 4-22: Απεικόνιση α) συγκλί- νοντα φα- κού β) αποκλί- νοντα φα- κού.

ται εστιακή απόσταση του φακού και αντιστοιχεί στην

απόσταση των εστιών Ε1 και Ε2 από την κορυφή Ο.

Για σχεδιαστική ευκολία θα συµβολίζουµε τους

συγκλίνοντες και αποκλίνοντες φακούς µε την απλοποι-

ηµένη µορφή που φαίνεται στο Σχ. 4-22 (α) και (β) αντί-

στοιχα.

Ο σχηµατισµός του ειδώλου ενός φωτεινού αντικει-

µένου από ένα συγκλίνοντα ή αποκλίνοντα φακό µπορεί

να µελετηθεί, αν εκµεταλλευτούµε τη γνώση µας σχετικά

µε την πορεία ορισµένων κύριων φωτεινών ακτίνων όταν

αυτές διαθλώνται από το φακό, όπως κάναµε ήδη στην περίπτωση των σφαιρι-κών

κακατόπτρων. Τέτοιες ακτίνες είναι:

1. Εκείνη που διαδίδεται παράλληλα στον κύριο άξονα και η οποία δια-

θλώµενη περνάει από τη δεύτερη εστία του φακού για την περίπτωση του

συγκλίνοντα (Σχ. 4-21 (α)) ή η προέκτασή της περνάει από τη δεύτερη

εστία για την περίπτωση του αποκλίνοντα (Σχ. 4-21 (β)).

2. Εκείνη που διαδίδεται κατά µήκος ενός δευτερεύοντα άξονα, περνάει από

την κορυφή Ο και δεν αλλάζει κατεύθυνση µετά τη διάθλασή της από το

φακό.

3. Εκείνη που περνάει από (για την περίπτωση του συγκλίνοντα) ή κατευ-

θύνεται προς (για την περίπτωση του αποκλίνοντα) την πρώτη εστία και

διαθλώµενη διαδίδεται παράλληλα στον κύριο άξονα του φακού.

Είναι χρήσιµο να αναφέρουµε ότι µια φωτεινή δέσµη παράλληλη σε δευ-

τερεύοντα άξονα, διαθλώµενη εστιάζεται στο σηµείο που ο άξονας συναντά το

εστιακό επίπεδο του φακού.

34

Το είδωλο του αντικειµένου ΑΒ βρίσκεται γεωµετρικά ακολουθώντας τα

βήµατα της παραγρ. 4.2.2 για το σχηµατισµό των ειδώλων αντικειµένων από

σφαιρικά κάτοπτρα. Χωρίς να αναιρείται η γενικότητα του προβλήµατος, θα

θεωρήσουµε ότι έχουµε ένα γραµµικό αντικείµενο ΑΒ του οποίου αναζητούµε

γεωµετρικά το είδωλο, όπως αυτό παράγεται από ένα συγκλίνοντα (Σχ. 4-23 (α))

και από ένα αποκλίνοντα (Σχ. 4-23 (β)) φακό.

Σχ. 4-23: ∆ιάγραµµα ακτίνων και σχηµατισµός ειδώλου ενός αντικειµένου από (α) συγκλίνον- τα και (β) αποκλίνοντα λεπτό φακό. Παρακολουθούµε την πορεία δύο κύριων φωτεινών ακτίνων που ξεκινούν

από την κορυφή του αντικειµένου Β. Η παράλληλη προς τον κύριο άξονα

διαθλώµενη από το φακό περνάει για τον συγκλίνοντα ή φαίνεται ότι περνάει (η

προέκτασή της) για τον αποκλίνοντα, από τη δεύτερη εστία Ε2. Η ακτίνα που

κατευθύνεται προς την κορυφή Ο, διαδίδεται διαθλώµενη χωρίς ν’ αλλάξει πορεία.

Οι δύο διαθλώµενες συναντώνται στο σηµείο Β΄, που είναι το πραγµατικό είδωλο

του Β για τον συγκλίνοντα (α) και το φανταστικό είδωλο για τον αποκλίνοντα (β).

Η απόσταση του ειδώλου β από το φακό σε σχέση µε την απόσταση α του

αντικειµένου από το φακό, υπολογίζεται από τη σχ. (4.18), εάν γνωρίζουµε την

εστιακή απόσταση του φακού. Η γραµµική ή εγκάρσια µεγέθυνση ορίζεται όπως

και στην περίπτωση των σφαιρικών κατόπτρων από το λόγο του ύψους του

ειδώλου προς το ύψος του αντικειµένου από τη σχέση:

M = (A'B')(AB)

= βα

(4.19)

Ανάλογα, τέλος, µε τη σχετική θέση του αντικειµένου ως προς τα γεωµετρικά

σηµεία του φακού, το είδωλο εµφανίζεται ορθό ή αντεστραµένο.

Ένα µέγεθος που χρησιµοποιείται για να εκφράσουµε τη µεγεθυντική ικανότητα ενός φακού, είναι αυτό που ονοµάζουµε “ισχύς” ενός φακού.

Η ισχύς (power) ενός φακού είναι το αντίστροφο της

εστιακής απόστασης και µετράται σε diopters (διοπτρίες) όταν

η εστιακή απόσταση εκφράζεται σε µέτρα (m).

35

P = 1f diopters (4.20)

Η ισχύς ενός φακού µετράει την ικανότητά του να εστιάζει δέσµη παραλλήλων

ακτίνων σε µικρή απόσταση από το φακό. Είναι προφανές ότι όσο µικρότερη είναι η

εστιακή απόσταση, τόσο µεγαλύτερη είναι η ισχύς του φακού. Η ισχύς ενός φακού

π.χ. µε εστιακή απόσταση 25cm=0.25m είναι 4.0diopters, ενώ εκεί-νη ενός φακού

µε εστιακή απόσταση 25mm=0.025m είναι 40.0 diopters. Την ισχύ ενός

αποκλίνοντα φακού εκφράζουµε συνήθως µε αρνητικό πρόσηµο.

Η λογική παρατήρηση µας οδηγεί στα επόµενα συµπεράσµατα, τα οποία ο

αναγνώστης µπορεί να επαληθεύσει ως άσκηση, σχεδιάζοντας τα αντίστοιχα

γεωµετρικά σχήµατα. Σε κάθε περίπτωση η θέση του ειδώλου και η µεγέθυνσή του

υπολογίζονται από τις σχ. (4.18) και (4.19) αντίστοιχα. Για ευκολία θα ορί-σουµε ως

θετικά τα γραµµικά µεγέθη εκείνα που βρίσκονται δεξιά της κορυφής Ο και αρνητικά

εκείνα που βρίσκονται αριστερά. Ακόµα θα θεωρήσουµε ότι οι ακτίνες

καµπυλότητας των δύο σφαιρικών επιφανειών είναι ίσες (R1=R2=R).

Για τους συγκλίνοντες φακούς (Σχ. 4-23 (α)) παρατηρούµε συνεπώς τα

ακόλουθα:

1. Αν το αντικείµενο ΑΒ µετακινηθεί αποµακρυνόµενο του φακού, το είδωλο µε-

τακινείται πλησιάζοντας προς τη δεύτερη εστία Ε2. Η µεγέθυνσή του είναι µι-

κρότερη της µονάδας καθώς είναι β<α. Επί πλέον παραµένει αντεστραµένο και

πραγµατικό.

2. Όταν η θέση του αντικειµένου είναι πολύ µακρυά (-∞) σε σχέση µε τις δια-

στάσεις του φακού, το είδωλο σχηµατίζεται ακριβώς στην εστία Ε2 και η

µεγέθυνσή του είναι 0 (είδωλο σηµειακό).

3. Εάν το αντικείµενο πλησιάζει προς το φακό προσεγγίζοντας την πρώτη εστία Ε1,

το είδωλο αποµακρίνεται παραµένοντας αντεστραµένο και πραγµατικό. Η

µεγέθυνσή του γίνεται µεγαλύτερη της µονάδας, καθώς όταν έχουµε α≤R, θα

είναι α≤β.

4. Οταν α=f η θέση του αντικειµένου συµπίπτει µε τη θέση της πρώτης εστίας Ε1

και το είδωλο σχηµατίζεται στη θέση β=+∞ αντεστραµένο και απείρου µεγέθους,

αλλά ταυτόχρονα σχηµατίζεται και στη θέση β=-∞ ορθό και φανταστικό (σηµείο

µετάβασης του ειδώλου) µε µεγέθυνση Μ=∞.

5. Καθώς το αντικείµενο πλησιάζει ακόµα περισσότερο το φακό, κινούµενο ανά-

µεσα στα σηµεία Ε1 και Ο, το είδωλο πλησιάζει από το -∞ προς το φακό. Εί-ναι

36

ορθό και φανταστικό, ενώ η µεγέθυνσή του (∞≥Μ>1) είναι µεγαλύτερη της

µονάδας την οποία και πλησιάζει καθώς το αντικείµενο πλησιάζει την κορυ-φή Ο.

Ο αναγνώστης µπορεί εύκολα να αποδείξει µε την ίδια διαδικασία όπως

παραπάνω, ότι για τους αποκλίνοντες φακούς (Σχ. 4-23 (β)) το είδωλο ενός

αντικειµένου που βρίσκεται σε οποιαδήποτε θέση προ του φακού είναι α) φαν-

ταστικό, β) ορθό και γ) µικρότερο του αντικειµένου (Μ<1).

Όπως και στην περίπτωση των σφαιρικών κατόπτρων, θα κάνουµε και εδώ

ωρισµένες παραδοχές που φαίνονται στον ακόλουθο πίνακα, ώστε να α-

ποφεύγονται σφάλµατα εφαρµογής του τύπου των κατόπτρων. Επειδή ο φακός

έχει δύο ισοδύναµες όψεις, θα θεωρήσουµε όψη εισόδου εκείνη µπροστά από την

οποία βρίσκεται το παρατηρούµενο αντικείµενο.

α + πραγµατικό αντικείµενο – φανταστικό αντικείµενο β + πραγµατικό είδωλο που σχηµατίζεται πίσω από το φακό – φανταστικό είδωλο που σχηµατίζεται µπροστά από την όψη εισόδου του φακού f + αν το κέντρο καµπυλότητας είναι πίσω από την όψη εισόδου (συγκλίνοντας φακός) – αν το κέντρο καµπυλότητας είναι µπροστά από την όψη εισόδου (αποκλίνοντας φακός)

4.4. Οπτικά όργανα

Στην παράγραφο αυτή θα εξετάσουµε τον τρόπο που λειτουργούν µερι-κά

από τα οπτικά όργανα, εφαρµόζοντας απλά τα όσα έχουµε ως τώρα γνωρί-σει από

τη µελέτη της ανάκλασης και της διάθλασης του φωτός από τα κάτοπτρα και τους

φακούς. Τέτοια όργανα είναι ο οφθαλµός του ανθρώπου, ο απλός µεγεθυντικός

φακός, το µικροσκόπιο και η φωτογραφική µηχανή. Ενώ η κατασκευή των

περισσοτέρων οπτικών οργάνων δίχνει να είναι πολύπλοκη, οι βασικές αρχές

πάνω στις οποίες στηρίζεται η λειτουργία τους είναι συνήθως πολύ απλές. Η

χρησιµότητα των οπτικών οργάνων είναι προφανής, αν αναλογισθούµε ότι η

συντριπτική πλειοψηφία των γνώσεων που αποκτάµε οι άνθρωποι, προέρχεται

από την ανάλυση της οπτικής πληροφορίας που καταλήγει στον εγκέφαλο, µέσω

οποιουδήποτε οπτικού οργάνου και κυρίως του οφθαλµού.

4.4.1 Ο οφθαλµός

37

Κύρια είσοδος πληροφορίας από τον περιβάλλοντα χώρο προς τον εγ-

κέφαλο ιδιαίτερα για τον άνθρωπο, αλλά και για την πλειονότητα των ζώων, είναι ο

οφθαλµός. Παρά την πολυπλοκότητα της κατασκευής του, στηρίζει τη λειτουργία

του σ’ ένα απλό φακό, του οποίου όµως η εστιακή απόσταση προσαρµόζεται

ταχύτατα ανάλογα µε τις απαιτήσεις και τις ανάγκες της παρατήρη-σης την κάθε

χρονική στιγµή. Στο Σχ. 4-24 φαίνεται σε τοµή ο βολβός του αν-

θρώπινου µατιού και τα κύρια µέρη λει-

τουργίας του. Οι οπτικές ακτίνες που ξε-

κινούν από τα αντικείµενα του περιβάλ-

λοντα χώρου εισέρχονται µέσω ενός φυ-

σικού διαφράγµατος, την κόρη (pupil) και

αφού προσπίπτουν στο σύστηµα κερατοει-

δούς χιτώνα (cornea)-φακού (lens), εστιά-

ζονται επάνω στον αµφιβληστροειδή χιτώ-

Σχ. 4-24: Τοµή του ανθρώπινου µατιού

να (retina), του οποίου η πίσω επιφάνεια καλύπτεται από λεπτό φλοιό-πλέγµα

νευρικών ινών. Ο αµφιβληστροειδής περιέχει µικροσκοπικές δοµές που ονοµά-

ζονται ράβδία (rodes) και κωνία (cones) που δέχονται τη φωτεινή εικόνα και

µεταφέρουν την πληροφορία µέσω του οπτικού νεύρου (optic nerve) στον

εγκέφαλο. Το σχήµα του φακού µπορεί να µεταβάλλεται ελαφρά µε τη βοήθεια του

περιφεριακού µυ (ciliary muscle). Όταν το µάτι είναι αφηµένο να παρατηρεί

αντικείµενο σε πολύ µεγάλη απόσταση, ο µυς ξεκουράζεται και το σύστηµα

κερατοειδούς-φακού έχει τη µεγίστη του εστιακή απόσταση που είναι περίπου

2.5cm, όση είναι η απόσταση από τον κερατοειδή στο αµφιβληστροειδή. Όταν το

παρατηρούµενο αντικείµενο βρίσκεται κοντύτερα στο µάτι σε πεπερασµένη

απόσταση ο περιφεριακός µυς αυξάνει ελαφρά την καµπυλότητα του φακού,

δηλαδή µειώνει την εστιακή του απόσταση έτσι ώστε το είδωλο να εστιασθεί πάλι

στην επιφάνεια του αµφιβληστροειδούς. Αυτή η διαδικασία ονοµάζεται

προσαρµογή (accommodation). Όταν το αντικείµενο βρίσκεται πολύ κοντά στο

µάτι, ο φακός δεν µπορεί να εστιάσει τις ακτίνες του ειδώλου στον αµφιβλη-

στροειδή και το είδωλο είναι συγκεχυµένο. Το πλησιέστερο στο µάτι σηµείο που

µπορεί να βρίσκεται ένα αντικείµενο ώστε να µπορεί να σχηµατίσει ο οφθαλµός

ευκρινές είδωλό του, ονοµάζεται εγγύς σηµείο (near point). Η απόσταση του εγγύς

σηµείου από το µάτι ονοµάζεται απόσταση ευκρινούς οράσεως και δεν είναι ίδια

σε όλους τους ανθρώπους, εξαρτώµενη κυρίως από την ηλικία. Στην ηλικία των 10

38

χρόνων π.χ. η απόσταση ευκρινούς οράσεως είναι περίπου 7cm ενώ στην ηλικία

των 60 χρόνων αυτή µπορεί να είναι και 600cm. Η µέση απόσταση ευκρινούς

οράσεως θα θεωρείται ίση µε 25cm, όπου αυτό χρειάζεται και θα συµβολίζεται µε

δ.

Σχ. 4-25: (α) Πρεσβυωπικός οφθαλµός και (α’) η δι- όρθωσή του. (β) Μυωπικός οφθαλµός και (β’) η διώρθωσή του.

Ένας οφθαλµός συχνά

παρουσιάζει σφάλµατα λει-

τουργίας που ευτυχώς δεν εί-

ναι ολέθρια. Ο οφθαλµός ενός

πρεσβύωπα (farsighted) (Σχ.

4-25 (α)) όταν παρατηρεί αντι-

κείµενα σε πολύ κοντινές απο-

στάσεις, εστιάζει και σχηµατίζει

το είδωλο πίσω από τον αµ-

φιβληστροειδή. Αυτό οφείλεται

στη γήρανση του περιφερειακού µυ, που έχει χάσει την προσαρµοστικότητά του. Η

διόρθωση όπως φαίνεται στο Σχ. 4-25 (α’) γίνεται µε τη χρήση ενός συγκλί-νοντα

φακού. Ο οφθαλµός ενός µύωπα (nearsighted) εστιάζει το είδωλο ενός

αντικειµένου, που βρίσκεται σε µεγάλη απόσταση, µπροστά από τον αµφιβλη-

στροειδή, όπως φαίνεται στο Σχ. 4-25 (β). Η µυωπία διωρθώνεται µε τη βοή-θεια

ενός αποκλίνοντα φακού (Σχ. 4-25 (β’)).

Ένα άλλο σφάλµα οπτικής παρατήρησης είναι εκείνο του αστιγµατισµού

(astigmatism). Οφείλεται στο ότι ο αµφιβληστροειδής δεν έχει τελείως σφαιρικό

σχήµα, αλλά παρουσιάζει διαφορετικές καµπύλες σε διαφορετικά επί-πεδα. Η

διώρθωση γίνεται µε τη χρησιµοποίηση φακών που το σχήµα τους είναι

περισσότερο κυλινδρικό παρά σφαιρικό.

Όσο πιο κοντά στον οφθαλµό ενός παρατηρητή βρίσκεται ένα αντικεί-µενο

τόσο µεγαλύτερο φαίνεται να είναι. Αυτό ασφαλώς δεν µεταβάλλει το πραγµατικό

µέγεθος του αντικειµένου που παραµένει σταθερό και αναλλοίωτο. Το

παρατηρούµενο µέγεθος ενός αντικειµένου καθορίζεται από το µέγεθος του

ειδώλου στον αµφιβληστροειδή. Ένα βολικό µέτρο του µεγέθους ενός ειδώλου

στον αµφιβληστροειδή, είναι η γωνία θ µε την

οποία φαίνεται το αντικείµενο από το µάτι

όπως στο Σχ. 4-26. Είναι προφανές ότι:

Σχ. 4-26: Το είδωλο είναι µεγαλύτε-

39

θ = s'

2.5 (4.21)

δηλαδή το µέγεθος του ειδώλου είναι ανάλο-

ρο όσο η γωνία παρατήρη- σης θ είναι µεγαλύτερη.

γο της γωνίας µε την οποία παρατηρείται το αντικείµενο. Απ’ την άλλη µεριά η

γωνία θ συνδέεται µε την απόσταση α του αντικειµένου από το µάτι µε την

tanθ = sα

Για πολύ µικρές γωνίες είναι tanθ≈θ και εποµένως η προηγούµενη σχέση γίνεται:

θ sα

≈ (4.22)

Αν συνδυάσουµε τις σχ. (4.21) και (4.22) θα πάρουµε:

s' = 2.5 sα

(4.23)

Από την τελευταία αυτή σχέση παρατηρούµε ότι το µέγεθος του ειδώλου στον

αµφιβληστροειδή είναι ανάλογο του µεγέθους του αντικειµένου και αντιστρόφως

ανάλογο προς την απόσταση του αντικειµένου από το µάτι.

4.4.2 Ο απλός µεγεθυντικός φακός Καταφεύγοντας στην προηγούµενη σχ. (4.23), παρατηρούµε ότι επι-

τυγχάνουµε τη µεγαλύτερη γωνία παρατήρησης για ένα αντικείµενο από τον οφ-

Σχ. 4-27: Απλός µεγεθυντικός φακός.

θαλµό, όταν αυτό βρίσκεται στην απόσταση

ευκρινούς οράσεως. Η κατ’ ευθείαν παρατή-

ρηση ενός αντικειµένου από τον οφθαλµό

ονοµάζεται “διά γυµνού οφθαλµού”. Αν

επιθυµούµε να µεγαλώσουµε περισσότερο

τη γωνία παρατήρησης, θα πρέπει να χρη-

σιµοποιήσουµε ένα συγκλίνοντα φακό που

ονοµάζεται γι’ αυτό το λόγο απλός µεγε-

θυντικός φακός (simple magnifier).

Στο Σχ. 4-27 (α) το αντικείµενο ΑΒ είναι τοποθετηµένο στην απόσταση

ευκρινούς οράσεως (25cm) από τον οφθαλµό. Εποµένως η γωνία παρατήρησης θ

δια γυµνού οφθαλµού είναι η µεγαλύτερη δυνατή. Σε επαφή µε τον οφθαλµό

σχεδόν, τοποθετούµε ένα συγκλίνοντα φακό Φ, όπως φαίνεται στο Σχ. 4-27 (β). Αν

το αντικείµενο ΑΒ µετατεθεί, έτσι ώστε να βρίσκεται ανάµεσα στην πρώτη εστία του

40

φακού και στην κορυφή του, όπως περιγράψαµε στην παράγρ. 4.3.4, ο φακός θα

σχηµατίσει το είδωλο του αντικειµένου Α΄Β΄ µεγαλύτερο, ορθό και φανταστικό. Αν

µάλιστα µετακινήσουµε το αντικείµενο αποµακρύνοντάς το από ή πλησιάζοντάς το

προς τον οφθαλµό, µπορούµε να επιτύχουµε το σχηµατισµό του ειδώλου στην

απόσταση ευκρινούς οράσεως για τον οφθαλµό. Στην περίπτωση αυτή ο οφθαλµός

παρατηρεί το είδωλο του αντικειµένου και µάλιστα στην απόσταση ευκρινούς

οράσεως, µε γωνία παρα-τήρησης θ’>θ, όπως φαίνεται στο προηγούµενο σχήµα.

Ονοµάζεται γωνιακή µεγέθυνση (angular

magnification) µ του απλού µεγεθυντικού φακού ο λόγος της

γωνίας παρατήρησης του ειδώλου ενός αντικειµένου, όταν

αυτό σχηµατίζεται από το φακό στην απόσταση ευκρινούς

οράσεως, προς τη γωνία παρατήρησης του αντικειµένου µε

γυµνό οφθαλµό, όταν αυτό βρίσκεται στην απόσταση

ευκρινούς οράσεως. Θα είναι δηλαδή:

µ = θ'θ

(4.24)

Από το Σχ. 4-27 και µε την προϋπόθεση ότι η γωνία παρατήρησης µε φακό ή µε

γυµνό µάτι είναι µικρή, έχουµε:

θ = ΑΒδ

(4.25)

και

θ' = ΑΒα

(4.26)

Αντικαθιστώντας τις γωνίες θ και θ’ στη σχ. (4.24) από τις σχ. (4.25) και (4.26) η

γωνιακή µεγέθυνση γίνεται :

µ = δα

η οποία, µε τη βοήθεια της σχ. (4.18) των λεπτών φακών, γίνεται:

µ = δf

+ 1 (4.27)

όπου f είναι η εστιακή απόσταση του µεγεθυντικού φακού και επί πλέον έχου-µε

θεωρήσει β=–δ.

Όπως σηµειώσαµε στην προηγούµενη παράγραφο, ξεκούραστη παρα-

τήρηση έχει ο οφθαλµός όταν το αντικείµενο βρίσκεται σε πολύ µεγάλη απόστα-ση

(πρακτικά άπειρη), επειδή ο περιµετρικός µυς δεν είναι σε τάση. Αν λοιπόν

41

τοποθετηθεί το υπό παρατήρηση αντικείµενο, στην εστία του µεγεθυντικού φα-κού,

το είδωλό του θα σχηµατισθεί στο άπειρο και η παρατήρησή του θα γίνει

ξεκούραστα από τον οφθαλµό. Σ’ αυτή την περίπτωση ο αναγνώστης εύκολα

µπορεί να αποδείξει ότι η γωνιακή µεγέθυνση του φακού γίνεται:

µ = δf

(4.28)

Τα µεγεθυντικά συστήµατα, απλά ή σύνθετα, που συνήθως χρησιµοποιούνται,

παρέχουν γωνιακές µεγεθύνσεις από 2 έως και 100.

4.4.3 Το µικροσκόπιο Το µικροσκόπιο είναι όργανο που χρησιµοποιείται στα εργαστήρια για να

παρατηρούµε πολύ µικρά αντικείµενα (µικρούς έµβιους οργανισµούς, µικρούς

κρυστάλλους κ.α.) σε πολύ µικρές αποστάσεις. Στην απλούστερή του µορφή,

όπως δείχνει το Σχ. 4-28 αποτελείται

από δύο συγκλίνοντες φακούς. Ο πιο

κοντινός στο υπό παρατήρηση αντι-

κείµενο ονοµάζεται γι’ αυτό αντικειµε-

νικός φακός (objective) και σχηµατίζει

το πραγµατικό, αντεστραµένο και µε-

γεθυµένο είδωλο του αντικειµένου πο-

Σχ. 4-28: Το µικροσκόπιο αποτελείται από

δύο συγκλίνοντες φακούς. λύ κοντά ή επάνω στην πρώτη εστία του δεύτερου φακού. Ο δεύτερος φακός

βρίσκεται σε επαφή µε τον οφθαλµό του παρατηρητή, ονοµάζεται προσοφθάλ-

µιος (eyepiece ή ocular) και χρησιµοποιείται σαν ένας απλός µεγεθυντικός φακός

µέσω του οποίου παρατηρείται το είδωλο που σχηµατίζει ο αντικειµενικός φακός.

Είναι προφανές ότι το τελικό είδωλο φαίνεται να σχηµατίζεται από τον

προσοφθάλµιο σε πολύ µακρυνή απόσταση (σχεδόν άπειρη) και πολύ µεγάλο, έτσι

ώστε να παρατηρείται ξεκούραστα από τον οφθαλµό του παρατηρητή. Καθώς ο

απλός µεγεθυντικός φακός παράγει είδωλο ορθό ως προς το αντικεί-µενο και

φανταστικό, η τελικά παραγόµενη και από τους δύο φακούς εικόνα είναι αντίστροφη

της αρχικής.

Η απόσταση µεταξύ του δεύτερου εστιακού σηµείου του αντικειµενικού και

του πρώτου εστιακού σηµείου του προσοφθάλµιου φακού (η απόσταση L του Σχ.

4-28) ονοµάζεται µήκος του σωλήνα (tube length) και είναι κατασκευαστικά

τυποποιηµένη και ίση µε 16cm. Το αντικείµενο ύψους s τοποθετείται πολύ κοντά

42

στο πρώτο εστιακό σηµείο του αντικειµενικού που σχηµατίζει το είδωλό του ύψους

s΄ στο πρώτο εστιακό σηµείο του προσοφθάλµιου, που απέχει L+fα από τον

αντικειµενικό, όπου fα είναι η εστιακή απόσταση του αντικειµενικού. Από το σχήµα

θα είναι:

tanθ = s

f = -

s' Lα

(4.29)

Η γραµµική µεγέθυνση του αντικειµενικού δίνεται από τη σχ. (4.19) που σε

συνδυασµό µε την προηγούµενη σχ. (4.29) γίνεται:

M = s's

= -L fαα

(4.30)

Η γωνιακή µεγέθυνση του προσοφθάλµιου, αφού αυτός λειτουργεί σαν απλός

µεγεθυντικός φακός, όπως είδαµε στην παράγρ. 4.3.2, δίνεται από τη σχ. (4.28) και

είναι:

µ = δ

fππ

(4.31)

όπου fπ είναι η εστιακή απόσταση του προσοφθάλµιου. Προτιµάµε να τοποθε-τούµε

το τελικά παρατηρούµενο είδωλο σε σχεδόν άπειρη απόσταση (και όχι στο εγγύς

σηµείο της ευκρινούς παρατήρησης), επειδή είναι πιο ξεκούραστη για τον οφθαλµό

του παρατηρητή. Αυτός είναι ο λόγος που κάνουµε χρήση της σχ. (4.28) και όχι της

σχ. (4.27).

Η µεγεθυνση Μ του µικροσκοπίου είναι το γινό-µενο

της γραµµικής µεγέθυνσης του αντικειµενικού επί τη γωνιακή

µεγέθυνση του προσοφθάλµιου, που σε συνδυ-ασµό µε τις σχ.

(4.30) και (4.31) γίνεται:

Μ = Μ µ = -L f

δ fα π

α π (4.32)

Το αρνητικό πρόσηµο της µεγέθυνσης δηλώνει ότι το τελικό είδωλο που παρα-

τηρούµε είναι αντεστραµένο σε σχέση µε το αντικείµενο.

4.4.4 Η φωτογραφική µηχανή Ευρύτατης διάδοσης και πολλαπλής χρησιµότητας εργαλείο, η φωτο-

γραφική µηχανή (camera), είναι ταυτόχρονα απλή στη χρήση της, αλλά και

άγνωστη στη λειτουργία της από τη µεγάλη µάζα των χρηστών. Ποτέ άλλοτε

43

όργανο δε χρησιµοποιήθηκε τόσο πολύ από ανθρώπους όλων των κοινωνικών

στρωµάτων και όλων των επαγγελµατικών ενασχολήσεων.

Το βασικό “κουτί” αποτελείται από ένα συγκλίνοντα φακό, ένα µετα-

βαλλόµενο διάφραγµα (aperture), ένα φωτοφράχτη (shutter) που µπορεί να

ανοίγει για χρονικό διάστηµα που καθορίζεται και ελέγχεται µε ακρίβεια από ειδικό

µηχανισµό και το φιλµ (film) που είναι µία λεπτή διαφανής ταινία από καλά

επεξεργασµένη κελουλόζη, πλάτους συνήθως 35mm, η µία πλευρά της οποίας

είναι καλυµένη από λεπτό στρώµα φωτοευαίσθητου υλικού. Εκτός του φακού µε το

διάφραγµα, που είναι συνήθως ανεξάρτητος και εύκολα προσαρ-µόσιµος, όλα τα

άλλα τµήµατα της µηχανής περιβάλλονται από ένα φωτοστε-γανό κουτί (body)

όπως δίνεται στο σχηµατικό διάγραµµα του Σχ. 4-29. Όπως ο οφθαλµός εστιάζει

πάντα το είδωλο του υπό παρατήρηση αντικειµένου στον αµφιβληστροειδή, έτσι

και εδώ το είδωλο πρέπει να εστιασθεί στο σταθερό επί-

Σχ. 4-29: Σχηµατικό διάγραµµα φω- τογραφικής µηχανής.

πεδο του φιλµ. Ανάλογα µε την απόσταση του

αντικειµένου ο οφθαλµός προσαρµόζει γι’

αυτό την εστιακή απόσταση του αµετάθετου

φακού, ενώ αντίθετα στη φωτογραφική µηχα-

νή ο φακός διατηρεί σταθερή την εστιακή του

απόσταση και η προσαρµογή γίνεται αποµα-

κρύνοντας από ή πλησιάζοντας προς το φιλµ

τον ίδιο το φακό. Στις συνηθισµένες φωτο-

γραφικές µηχανές των 35mm η εστιακή απόσταση ενός κανονικού φακού είναι

f=50mm.

Η συνολική οπτική φωτεινή ισχύς που πρέπει να προσπέσει στο φιλµ για να

καταγραφεί σωστά η απαιτούµενη πληροφορία, ρυθµίζεται µεταβάλλοντας:

α) το χρόνο έκθεσης (exposure time) µε τον έλεγχο της ταχύτητας του

φωτοφράχτη και

β) το µέγεθος του κυκλικού ανοίγµατος του διαφράγµατος.

Για ένα συγκεκριµένου τύπου φιλµ, υπάρχει µια αρίστη φωτεινή ισχύς που κα-

τασκευάζει µια καλή εικόνα µε τις κατάλληλες αντιθέσεις. Λιγότερο φως από το

κανονικό εµφανίζει την εικόνα του φιλµ “ξεπλυµένη” µε ελάχιστες αντιθέσεις και την

τυπωµένη στο χαρτί πολύ σκούρα. Το αντίθετο εµφανίζεται όταν το φως είναι

περισσότερο του κανονικού. Η φωτεινή ισχύς που απαιτείται για σωστές αντιθέσεις

σχετίζεται µε αυτό που ονοµάζουµε “ταχύτητα του φιλµ” και αναγράφεται από

44

τους κατασκευαστές στη συσκευασία προφύλαξής του µε ένα αριθµό ASA. Όσο

υψηλότερος είναι ο αριθµός ASA τόσο ταχύτερο είναι το φιλµ ή τόσο πιο ευαίσθητο

και εποµένως τόσο λιγότερο φως χρειάζεται. Ένα φιλµ µε υψηλό αριθµό ASA,

όπως π.χ. 400ASA ή 1000ASA, είναι κατάλληλο για φωτογράφιση σε συνθήκες

χαµηλού φωτισµού. Η µεγάλη ταχύτητα του φιλµ όµως, στερεί την εικόνα από ένα

µέρος της οξύτητάς της, αλλά και της αληθινής καταγραφής των χρωµάτων για τα

έγχρωµα φίλµς. Για φωτογραφίσεις ανοιχτού χώρου υπό την επίδραση του φυσικού

φωτός, αρκεί ένα φιλµ µε ταχύτητα 100 ή και 200ASA. Χαµηλότερης ευαισθησίας

φιλµς χρησιµοποιούνται για ειδικές φωτογραφίες υψηλής αντίθεσης.

Ο χρόνος έκθεσης του φιλµ στις φωτεινές ακτίνες που φθάνουν σ’ αυτό

µέσω του φακού και έχει σχέση µε την ταχύτητα του φωτοφράχτη, ποικίλει έτσι που

για µία µέσης ποιότητας φωτογραφική µηχανή να είναι από λίγα δευτερόλεπτα

µεχρι και 1/1000 του δευτερολέπτου, ταχύτητα µε την οποία µπορεί κανείς να

“ακινητοποιήσει” ή να “παγώσει” κινούµενα αντικείµενα. Για χρόνο έκθεσης

µεγαλύτερο του 1/60 του δευτερολέπτου η φωτογράφηση απαιτεί τη χρήση ειδικού

τριπόδου στήριξης της φωτογραφικής µηχανής.

Το µεγαλύτερο άνοιγµα του διαφράγµατος καθορίζεται από το γεωµε-τρικό

άνοιγµα του φακού και αναγράφεται συνήθως περιφερειακά στο χείλος εισόδου του

φακού ως f/(ένας αριθµός), µαζί µε την εστιακή του απόσταση. Αυτό το άνοιγµα

εκφράζει τη φωτεινότητα του φακού και είναι µεγαλύτερο σε καλύτερης ποιότητας

κατασκευή. Το άνοιγµα του διαφράγµατος d δίνεται κάθε φορά µε τον εστιακό

λόγο (f-number), που είναι ο λόγος της εστιακής απόστασης προς τη διάµετρο του

διαφράγµατος:

εστιακός λόγος: f-number = fd

Για παράδειγµα ένας φακός στον οποίο αναγράφεται f/2.8 µε εστιακή απόστα-

ση 50mm έχει διάφραγµα µεγίστης διαµέτρου:

D = f

2.8 =

50 = 17.8

mmmm

2 8.

Στο δακτύλιο ρύθµισης του διαφράγµατος αναγράφεται διαδοχικά η τιµή του

εστιακού λόγου από τη µεγαλύτερη τιµή (µικρότερο άνοιγµα) έως τη µικρότερη

(µεγαλύτερο άνοιγµα). Σε ένα συνήθη φακό οι τιµές αυτές είναι: 22, 16, 11, 8, 5.6,

4, 2.8 χωρίς να αποκλείονται και µεγαλύτερες ή µικρότερες. Ας σηµειωθεί ότι η

ποσότητα της φωτεινής ισχύος που περνάει από συγκεκριµένο άνοιγµα

διαφράγµατος, είναι ανάλογη του τετραγώνου της διαµέτρου του διαφράγµα-τος,

45

έτσι ανοίγοντας το διάφραγµα από µία θέση στην αµέσως εποµένη, δι-πλασιάζουµε

την ποσότητα της εισερχόµενης φωτεινής ισχύος. Ανοίγοντας ωστόσο το

διάφραγµα περιορίζουµε τη δυνατότητα να εστιάζουµε σε αντικεί-µενα που είναι σε

διαφορετική απόσταση από το φακό. Η δυνατότητα να φω-τογραφίζουµε µε

ευκρίνεια (πολύ καλά εστιασµένα) αντικείµενα που βρίσκονται σε µεγάλο εύρος

αποστάσεων από το φακό ονοµάζεται βάθος πεδίου (depth of field). Μεγάλος

εστιακός λόγος συνεπάγεται µικρό άνοιγµα διαφράγµατος, δηλαδή µεγάλο βάθος

πεδίου.

Ένα ακόµη τελευταίο χρήσιµο στοιχείο για την περιγραφή ενός φωτο-

γραφικού φακού, είναι το εύρος παρατήρησης (field of view) που εκφράζεται µε τη

µεγίστη γωνία µε την οποία “βλέπει” ο φακός το πεδίο φωτογράφισης. Ένας

κανονικός φακός εστιακής απόστασης 50mm για φωτογραφικές µηχανές των

35mm, έχει γωνία παρατήρησης 45°. Η γωνία παρατήρησης είναι σντιστρόφως

ανάλογη της εστιακής απόστασης του φακού. Ένας φακός µε εστιακή απόσταση

25mm έχει µεγάλη γωνία παρατήρησης, γι’ αυτό και ονοµάζεται ευρυγώνιος. Ένας

τέτοιος φακός χρησιµοποιείται κυρίως, όταν η φωτογράφιση πρέπει να περιλάβει

ένα ευρύ πεδίο (π.χ. την πρόσοψη ενός µεγάλου κτηρίου), αλλά η δυνατότητα

αποµάκρυνσης από το αντικείµενο είναι περιορισµένη. Το µειονέκτηµα αυτών των

φακών είναι η σφαιρική παραµόρφωση του χώρου που προκαλεί. Αντίθετα ένας

τηλεφακός µε εστιακή απόσταση 200mm έχει πολύ µικρότερη γωνία

παρατήρησης, επειδή έχει µεγάλη µεγεθυντική ισχύ. Ένας φακός µε την

προηγούµενη εστιακή απόσταση, παρέχει τετραπλάσια µεγέθυνση περίπου εκείνης

ενός κανονικού. Το µειονεκτηµα ενός τηλεφακού είναι η µικρή του φωτεινότητα.

ΟΠΤΙΚΗ : Ενδεικτικές ερωτήσεις / θέµατα παρελθόντων ετών Κυµατική φύση του φωτός

1. Να περιγραφεί σύντοµα το Η/Μ φάσµα και να δοθούν τα οριακά µήκη κύµατος που ξεχωρίζουν τα διάφορα είδη ακτινοβολίας, για τις περιοχές µε λ > 0,1 µm.

2. Με βάση την αρχή του Huygens να δοθεί σύντοµη ποιοτική εξήγηση στα παρακάτω

φαινόµενα

- ∆ιάθλαση - Περίθλαση - Εστίαση παράλληλων ακτίνων από φακό

∆ιάθλαση

1. Ποιό από τα παρακάτω µεγέθη µεταβάλλεται (και πώς) όταν το φώς εισέρχεται από ένα οπτικώς αραιότερο σε ένα οπτικώς πυκνότερο µέσο (π.χ. από τον αέρα στο νερό)

− Η ταχύτητα του φωτός − Η συχνότητα του φωτός − Το µήκος κύµατος του φωτός − Η γωνία που σχηµατίζει µία φωτεινή ακτίνα µε την κάθετο στην διαχωριστική

επιφάνεια

2. Σχεδιάστε την ανάλυση του λευκού φωτός από πρίσµα δείχνοντας την σειρά των εξερχόµενων χρωµάτων µετά την εκτροπή τους από το πρίσµα. Στην µεταβολή ποιού µεγέθους οφείλεται η διαφορετική εκτροπή ανάλογα µε το χρώµα;

Φακοι - Μικροσκοπιο

1. Από την µία πλευρά αµφίκυρτου (συγκλίνοντος) φακού µε εστιακή απόσταση f = 20 cm τοποθετείται ένα φωτεινό αντικείµενο σε αποστάσεις διαδοχικά 50 cm, 20 cm, 15 cm. Να βρεθεί µε την γραφική µέθοδο (των χαρακτηριστικών ακτίνων) το είδωλό του για κάθε περίπτωση και να επαληθευθεί η θέση του µε τον τύπο των φακών.

2. Να σχεδιασθεί το διάγραµµα των ακτίνων φωτεινού αντικειµένου µέσα από ένα

µικροσκόπιο. Με βάση δύο χαρακτηριστικές ακτίνες να βρεθεί η θέση του τελικού ειδώλου.

Περιθλαση – ∆ιακριτικο Οριο

1. Σε ποιο φαινόµενο οφείλεται το ότι υπάρχει όριο στην διακριτική ικανότητα όλων των οπτικών οργάνων; Να περιγραφεί σύντοµα το φαινόµενο, χωρίς την απόδειξη µαθηµατικών σχέσεων.

2. Από ποιό µέγεθος εξαρτάται κατά κύριο λόγο η διακριτική ικανότητα ενός µικροσκοπίου. Πως µπορεί να βελτιωθεί αρκετά και πως δραστικά (αναφέρατε συγκεκριµένο παράδειγµα);

3. Ποιο είναι το βασικό µέγεθος που καθορίζει την διακριτική ικανότητα ενός

ηλεκτρονικού µικροσκοπίου διελέυσεως; ΟΠΤΙΚΗ: Ενδεικτικές Ασκήσεις

1. Σε βάθος 32 cm µέσα σε µία λίµνη υπάρχει φωτεινή πηγή που φωτίζει προς την επιφάνεια και

σχηµατίζει ένα φωτεινό κύκλο. Να βρεθεί η διάµετρος του κύκλου, δεδοµένου ότι ο δ.δ. του νερού είνα η = 1,33

2. Ενας συγκλίνων φακός έχει εστιακή απόσταση 15,0 cm. Για ένα αντικείµενο σε αποστάσεις

20,0 cm και 5,00 cm , προσδιορίστε α) τη θέση του ειδώλου, β) τη µεγέθυνση, γ) το είδος του ειδώλου (πραγµατικό ή φανταστικό) δ)αν το είδωλο είναι ορθό ή ανεστραµµένο. Σχεδιάστε ένα διάγραµµα χαρακτηριστικών ακτίνων για κάθε περίπτωση.

3. Αποδείξτε ότι το είδωλο πραγµατικού αντικειµένου που σχηµατίζεται από αποκλίνοντα φακό

είναι πάντοτε φανταστικό.

4. Ενα αντικείµενο απέχει 20,0 cm από τον φακό. Το είδωλό του απέχει 6,00 cm από τον φακό και βρίσκεται στην ίδια πλευρά µε το αντικείµενο. α) πόση είναι η εστιακή απόσταση του φακού; β) Είναι συγκλίνων ή αποκλίνων; Αν το αντικείµενο έχει ύψος 0,400 cm , πόσο ύψος έχει το έιδωλο; Είναι ορθό ή ανεστραµµένο; Σχεδιάστε ένα διάγραµµα χαρακτηριστικών ακτίνων.

5. Το είδωλο αντικειµένου ευρισκόµενου αριστερά από ένα φακό σχηµατίζεται δεξιά από τον

φακό πάνω σε οθόνη που απέχει 14,0 cm από τον φακό. Αν ο φακός κινηθεί 2,00 cm προς τα δεξιά, η οθόνη πρέπει να κινηθεί 2,00 cm προς τα αριστερά για να ξαναεστιασθεί το είδωλο. Προσδιορίστε την εστιακή απόσταση του φακού.

6. α) Για φακό εστιακής απόστασης f, βρείτε τη µικρότερη δυνατή απόσταση µεταξύ του

αντικειµένου και του πραγµατικού του ειδώλου. β) ∆ώστε µία πρόχειρη γραφική παράσταση της απόστασης του αντικειµένου από το πραγµατικό του είδωλο συναρτήσει της απόστασης του αντικειµένου από τον φακό. Συµφωνεί η γραφική σας παράσταση µε το αποτέλεσµα που βρήκατε στο (α);

7. Ενα προχειρο µικροσκόπιο κατασκευάσθηκε µε ένα σωλήνα µήκους 10 cm στα άκρα του

οποίου προσαρµόσθηκαν δύο φακοί, ένας αντικειµενικός µε f= 5cm και ένας προσοφθάλµιος µε f= 3 cm. Σε ποιά απόσταση από τον αντικειµενικό (περίπου) πρέπει να τοποθετηθεί ένα φωτεινό αντικείµενο για σχηµατισθεί κανονικά (φανταστικό, µεγεθυµένο και ανεστραµµένο) το είδωλό του;

8. Μονοχρωµατικό φώς από µία µακρινή πηγή προσπίπτει σε σχισµή εύρους 0,800 Η απόσταση

από το κεντρικό µέγιστο της εικόνας περίθλασης ως το πρώτο ελάχιστο µετρείται σε πέτασµα – που έχει τοποθετηθεί σε απόσταση 3,00 – και βρίσκεται ίση προς 1,80 . Από τα δεδοµένα αυτά να βρείτε το µήκος κύµατος του µονοχρωµατικού φωτός.

9. Μία αυστρονάυτισσα, επιβάτισσα του διαστηµικού λεωφορείου, µπορεί µόλις οριακά να

διακρίνει (να «ξεχωρίσει») δύο σηµεία στην επιφάνεια της Γής που απέχουν 45,0 m µεταξύ τους. Υποθέστε ότι η διακριτικότητα περιορίζεται µόνο από την περίθλαση και χρησιµοποιείστε το κριτήριο του Rayleigh. Σε ποιο ύψος από την επιφάνεια της Γής γίνεται η πτήση; Θεωρήστε το µάτι της αυστρονάυτισσας ως κυκλικό άνοιγµα διαµέτρου 4,00 mm (συµπίπτει µε την διάµετρο της κόρης του µατιού), κια θεωρείστε ένα µέσο µήκος κύµατος του φωτός ίσο προς 500 nm .