Тема IV Алгебраические решётки - msu.ru · 2014-08-26 · Тема iv: Алгебраические решётки 18/105 Основные свойства

Прикладная алгебра. Тема IV: Алгебраические решётки 1 / 105

Тема IV

Алгебраические решётки

Прикладная алгебра. Тема IV: Алгебраические решётки 2 / 105Решётки: определение, основные свойства

Разделы

1 Решётки: определение, основные свойства

2 Основные свойства решёток. Решёточныегомоморфизмы, идеалы и фильтры

3 Модулярные и дистрибутивные решётки

4 Факторрешётки. Решётки с дополнениями

5 Применение теории решёток к задаче классификации

6 Что надо знать


Решёточно упорядоченное множество

ОпределениеЧ.у. множество, в котором для любых элементов a и bсуществуют inf {a, b} и sup {a, b} называют решёточноупорядоченным.Решётка называется полной, если любое подмножество еёэлементов имеет точные верхнюю и нижнюю грани.

Решётка и не-решётка —


Алгебраические решётки: определение

ОпределениеАлгебраическая решётка — это тройка L = 〈L, t, u 〉, где L —непустое множество, а t (объединение), u (пересечение) —бинарные операции на нём, подчиняющимися парам законовкоммутативности, ассоциативности, идемпотентности ипоглощения:x t y = y t x; x u y = y u x;

x t (y t z) = (x t y) t z; x u (y u z) = (x u y) u z;x t x = x; x u x = x,

x u (x t y) = x; x t (x u y) = x.

Принцип двойственности для решётокЛюбое утверждение, истинное для любых произвольныхэлементов решётки, остаётся таковым при замене u ↔ t.


Решётка всех разбиений множества — беллиан

∣∣Πn

∣∣ = B(n) — количество всевозможных эквивалентностейn-элементном множестве, число Белла.

B(3) = 5, B(4) = 15, . . . , B(20) = 51724158235372, . . ..


Эквивалентность решёточно упорядоченных множеств ирешёток

Теорема1 Пусть 〈P, v〉 — решёточно упорядоченное множество.

Если для любых элементов x и y из P положитьx t y def

= sup {x, y} , x u y def= inf {x, y},

то структура 〈P, t, u 〉 будет решёткой.

2 Пусть 〈L, t, u 〉 — решётка.Если для любых элементов x и y из L положить

x v y def= x u y = x (или x v y def

= x t y = y),то структура 〈L, v〉 будет решёточно упорядоченныммножеством.


Эквивалентность решёточно упорядоченных множеств ирешёток...

Теорема устанавливает взаимно-однозначное соответствиемежду решёточно упорядоченными множествами и решётками:из одной АС всегда можно получить другую.Поэтому термин «решётка» применяют для обоих понятий:любую решётку можно представить либо как упорядоченноемножество, либо как алгебру.

решёточно упорядоченные множества решётки〈R, 6 〉〈R, max, min 〉〈N, | 〉〈N, ∨, ∧ 〉〈P(A), ⊆〉〈P(A), ∪, ∩ 〉

Возможность такого рассмотрения решёток позволяет вводитьв них как порядковые, так и алгебраические операции, чтоприводит к богатой и многообразной в приложениях теории.


Решётки: универсальные грани и атомы

Наименьший элемент решётки (как р.у.м.) —её ноль (o), наибольший — единица (ι)— это её универсальные грани.Решётка может и не иметь универсальных граней:Z, 〈N, | 〉 — только o = 1.

Все конечные решётки содержат o и ι.

ОпределениеЭлемент a 6= o решётки L с нулём o называется атомом еслидля любого элемента x этой решётки пересечение a u x равнолибо o, либо a.В последнем случае говорят, что элемент x содержит атом a.



Наименьший элемент решётки (как р.у.м.) —её ноль (o), наибольший — единица (ι)— это её универсальные грани.Решётка может и не иметь универсальных граней:Z, 〈N, | 〉 — только o = 1.Все конечные решётки содержат o и ι.




Наименьший элемент решётки (как р.у.м.) —её ноль (o), наибольший — единица (ι)— это её универсальные грани.Решётка может и не иметь универсальных граней:Z, 〈N, | 〉 — только o = 1.Все конечные решётки содержат o и ι.



Решётки: примеры

Решётки (A 6= ∅) —

все булевы алгебры;

все цепи;

единственные 1-, 2-, 3-элементные решётки — цепи 1, 2, 3

4-элементные решётки — 4 и B2:

◦

◦ ◦

◦

��

[[

[[ �

�


5-элементные решётки —

ι ι

c b a

a b c

o o

��

[[[

[[[

��

��

[[[

[[[

��


5-элементные решётки — пятиугольник N5 и бриллиант M3

ι ι

c a b c

b o

a

o + цепь 5

��

�

44444444

��

�

[[[

[[[

��

�

hhhhhhhh

[[[


Все решётки, содержащие не более, чем 6 элементов


Условие для ч.у. множества являться полной решёткой

ТеоремаЧастично упорядоченное множество является полной решёткой,если и только если

1 оно имеет наибольший элемент ι ;2 для любого его непустого подмножества A существует

точная нижняя грань inf A.

Доказательство(⇐) Пусть 〈P, v〉 — полная решётка.Тогда каждое непустое подмножество A ⊆ P имеет и точнуюнижнюю грань inf A , и точную верхнюю грань sup A.В частности, существует sup P = ι.


Условие для ч.у. множества являться полной решёткой...

Доказательство (продолжение)

(⇒) Покажем, что в условиях теоремы каждое непустоеподмножество A ⊆ P имеет точную верхнюю грань.Рассмотрим AM — совокупность всех верхних граней A.Очевидно, ι ∈ AM, так что AM 6= ∅.По условию теоремы существует элемент b = inf AM, но поопределению, b = sup A, откуда заключаем, что P — полнаярешётка.

СледствиеКонечное ч.у. множество P является решёткой iff

1 оно имеет наибольший элемент;2 ∀x, y ∈ P ∃ inf{x, y }.


Условие для ч.у. множества являться полной решёткой...

Обычно на практике проверка наличия у подмножеств ч.у.множества

точных нижних граней — не вызывает затруднений,точных верхних граней — требует значительных усилий.

Данная теорема является эффективным критериемрешёточности порядков, например:

УтверждениеРешётка всех разбиений множества является полной.

ДоказательствоТочной нижней гранью любой совокупности эквивалентностейявляется их пересечение (всегда эквивалентность), а единицейрешётки всех эквивалентностей (разбиений) множества служитуниверсальная эквивалентность O, называемая такжеаморфной. Осталось применить предыдущую теорему.

Прикладная алгебра. Тема IV: Алгебраические решётки 16 / 105Основные свойства решёток. Решёточные гомоморфизмы, идеалы и фильтры

Разделы








Элементарное свойство решёток

УтверждениеДля любых элементов x, y, u, v решётки 〈L, t, u 〉справедливо {

x v yu v v ⇒

{x t u v y t vx u u v y u v .

Доказательство{x v yu v v ⇔

{x u y = xu u v = u

⇒ x u y u u u v = x u u ⇔

⇔ (y u v) u (x u u) = x u u ⇔ x u u v y u v .

Справедливость x t y v u t v следует по двойственности.


Неравенствам полудистрибутивности и полумодулярности

ТеоремаЭлементы x, y и z любой решётки удовлетворяют следующимнеравенствам полудистрибутивностиDtr1 w : (x t y) u z w (x u z) t (y u z);Dtr2 v : (x u y) t z v (x t z) u (y t z)

и полумодулярностиMod v : x v y ⇒ x t (y u z) v y u (x t z);Mod w : x w y ⇒ x u (y t z) w y t (x u z).

Лемма (о четырёх элементах)Для любых элементов x, y, u, v решётки 〈L, t, u 〉справедливо соотношение x, y v u, v ⇒ x t y v u u v.

По Dtr2 v — (u u v) t x v (u t x) u (v t x), а посколькуu t x = u, v t x = v и y v u u v, то получаем требуемое.


Гомоморфизмы решёток

ОпределениеОтображение ϕ решётки L в решётку L ′ называетсяалгебраическим или решёточным гомоморфизмом, если длялюбых x, y ∈ L справедливы равенства

ϕ(x t y) = ϕ(x) t ϕ(y) и ϕ(x u y) = ϕ(x) u ϕ(y).

Биективный решёточный гомоморфизм есть решёточныйизоморфизм, символически L ∼= L ′.Изоморфизм решётки в себя называется автоморфизмом.Инъективные и сюръективные решёточные гомоморфизмыназывают решёточными (или алгебраическими)мономорфизмами (вложениями) и эпиморфизмамисоответственно.


Связь порядкового и решёточного гомоморфизмов решёток

1. Порядковые гомоморфизмырешёток как ч.у. множеств,вообще говоря,не являются алгебраическими.

2. Любое отображение одной решётки на другую, сохраняющеехотя бы одну из решёточных операций, является порядковымгомоморфизмом.В случае изоморфизма проблемы снимаются.

Теорема (об эквивалентности двух видов изоморфизмарешёток)

Две решётки алгебраически изоморфны, iff они изоморфны какч.у. множества.




2. Любое отображение одной решётки на другую, сохраняющеехотя бы одну из решёточных операций, является порядковымгомоморфизмом.

В случае изоморфизма проблемы снимаются.






2. Любое отображение одной решётки на другую, сохраняющеехотя бы одну из решёточных операций, является порядковымгомоморфизмом.В случае изоморфизма проблемы снимаются.




Пополнение произвольного ч.у. множество до (полной)решётки

Теорема (замыкание Макнила)Всякое ч.у. множество можно вложить в подходящую полнуюрешётку с сохранением всех точных граней.

Элементы • — сечения Макнила.

Теорема показывает, что знаменитое построениеР. Дедекиндом действительных чисел «сечениями»на самом деле применимо для любого ч.у. множества.


Пополнение произвольного ч.у. множество до (полной)решётки

Теорема (замыкание Макнила)Всякое ч.у. множество можно вложить в подходящую полнуюрешётку с сохранением всех точных граней.

Элементы • — сечения Макнила.

Теорема показывает, что знаменитое построениеР. Дедекиндом действительных чисел «сечениями»на самом деле применимо для любого ч.у. множества.


Подрешётки

ОпределениеНепустое подмножество L ′ решётки 〈L, t, u 〉 называется еёподрешёткой (символически L ′ 6 L), если L ′ устойчивоотносительно сужений t и u.

Из определения следует, что подмножество элементов решёткиL может быть решёткой относительно наследуемого частичногопорядка, но не подрешёткой L.


Решётка-подмножество, но не подрешётка 4× 4

•

◦ ◦

◦ • ◦

◦ a b ◦

◦ • ◦

◦ ◦

•

��

[[

��

[[ �

�

[[

��

[[ �

�

[[ �

�

[[

[[ �

�

[[ �

�

[[ �

�

[[ �

�

[[ �

�

[[ �

�

L = {a,b, •, • } — решётка, L v 42, но L 66 42.


Подрешётки: некоторые свойства

1 Каждое подмножество решётки L является подрешёткой,если и только если L — цепь.

2 Если L — решётка, то совокупность её подрешётокSub L — ч.у. множество, упорядоченное по включению.

3 Любой интервал решётки есть её подрешётка.

4 Пересечение подрешёток либо пусто, либо являетсяподрешёткой. В силу этого, удобно считать подрешёткой ипустое множество: тогда пересечение любойсовокупности — подрешётка.


Подрешётки: примеры...

5 Пусть 〈L, t, u 〉 — решётка. Тогда совокупность еёинтервалов Si(L) — также решётка относительноопераций (a, b, c, d ∈ L)[a, b]∪ [c, d]

def= [au c, bt d] и [a, b]∩ [c, d]

def= [at c, bu d].

Очевидно, Si(L) — решётка с универсальными гранями:её единицей служит L, а нулём — пустой интервал,который может быть записан [a, b] при a > b.

6 Если ϕ — гомоморфизм решётки L в решётку L ′, тоImϕ 6 L ′.

7 Обозначим через N◦ множество натуральных чисел,свободных от квадратов, включая в него и 1.Тогда 〈N◦, ∨, ∧ 〉 6 〈N, ∨, ∧ 〉.


Подрешётки: примеры...

8 С помощью теоремы об эквивалентности двух видовизоморфизма решёток устанавливается, что введённаявыше решётка N

◦ изоморфна решётке P0(A) всехконечных подмножеств счётного множества A.Положим сначала ϕ(1) = ∅. Затем построим биекцию ϕмежду множеством простых чисел и A. Для этогопронумеруем элементы A в произвольном порядке:A = { a1, a2, . . . } и положим ϕ(pi) = ai, где pi — i-епростое число. Таким образом, определено частичноеинъективное отображение для простых чисел из N◦ в A.Для остальных элементов n = p1 · . . . · pk из N◦, гдеp1, . . . , pk — различные простые числа, положим

ϕ(n) = {ϕ(p1), . . . , ϕ(pk)}. Понятно, что N◦ϕ∼= P0(A),

если A — счётно.


Идеалы решёток

ОпределениеПусть 〈L, t, u 〉 — решётка. Непустое подмножество Iэлементов L называется её (решёточным) идеалом, если

(x ∈ I) N (y v x) ⇒ y ∈ I и x, y ∈ I ⇒ x t y ∈ I .

Двойственно, непустое подмножество F элементов Lназывается её решёточным фильтром, если

(x ∈ F ) N (x v y) ⇒ y ∈ F и x, y ∈ F ⇒ x u y ∈ F .

Непустое подмножество I оказывается решёточным идеалом,iff для любых её элементов x и y справедливаэквивалентность x, y ∈ I ⇔ x t y ∈ I и аналогично дляфильтров.


Идеалы решёток: свойства

Если решётка имеет наименьший [ наибольший ] элемент,то он будет её идеалом [фильтром ].

Если a — элемент решётки, то главные порядковые идеалJ(a) = aO и фильтр aM являются, также и главнымирешёточными идеалом и фильтром.

В конечной решётке все идеалы и фильтры — главные:если I — идеал конечной решётки, то рассмотримэлемент x =

⊔a∈I

a, для которого будем иметь x ∈ I и

I = xO (аналогично для фильтров).В бесконечных решётках могут существовать и неглавныерешёточные идеалы и фильтры.


Идеалы решёток: примеры

1 Если A — бесконечное множество, то совокупность P0(A)всех его конечных подмножеств будет неглавным идеаломрешётки P(A).

2 В цепи[

0, 12 ,

23 ,

34 , . . . , 1

]неглавный идеал — [ 0, 1 ).

3 Сама решётка L всегда будет своим (несобственным)идеалом и фильтром. Все другие идеалы и фильтры Lназывают собственными.

J∗(L) — множество всех собственных решёточных идеалов L;это ч.у. множество, упорядоченное по включению.Максимальные элементы J∗(L) называют максимальнымиидеалами решётки L (т.е. максимальный идеал решётки несодержится ни в каком другом её собственном идеале).


Существование максимальных решёточных идеалов

ТеоремаВсякий собственный идеал решётки с единицей содержится внекотором её максимальном идеале.

ДоказательствоПусть 〈L, v〉 — решётка с единицей ι, и C = [ J1, J2, . . . ] —некоторая (конечная или бесконечная) цепь собственныхидеалов L. Обозначим J =

⋃Jk∈C

Jk.

Если x ∈ J , то x ∈ Jk ∈ C для некоторого k и для любогоy v x имеем y ∈ Jk ⊆ J . Пусть x, y ∈ J , тогда x ∈ Jk ∈ C иy ∈ Jl ∈ C для некоторых k, l.Поскольку C — цепь, то Jk и Jl сравнимы в J∗(L).Без ограничения общности считаем, что Jk ⊆ Jl.Тогда x, y ∈ Jl и, поскольку Jl — идеал, то x t y ∈ Jl ⊆ J .


Существование максимальных решёточных идеалов...

Доказательство (продолжение)

Таким образом, J — идеал решётки L.Более того, он собственный, поскольку ι 6∈ Jk ∈ C влечётι 6∈ J . С другой стороны, поскольку Jk ⊆ J для всех Jk ∈ C,то J будет верхней гранью цепи C.Отсюда по лемме Куратовского-Цорна вытекает утверждениетеоремы.

Диаграммы Хассе остаются удобным способом описаниярешёток, однако если решётка устроена слишком сложно, такиедиаграммы становятся мало наглядными.


Решётки: теоремы о вложениях

Теорема (о представлении решёток)

Всякая решётка может быть вложена в булеан подходящегомножества с сохранением всех точных нижних граней.


Решётки: теоремы о вложениях...

Теорема (Макнил)Всякую решётку можно вложить в подходящую полнуюрешётку с сохранением всех точных граней.

ТеоремаВсякую конечную решётку можно вложить в конечную решёткуразбиений.

Прикладная алгебра. Тема IV: Алгебраические решётки 34 / 105Модулярные и дистрибутивные решётки

Разделы








Модулярные решётки

ОпределениеРешётка 〈L, t, u 〉 называется модулярной, если для любыхx, y, z ∈ L в ней выполняется следующий модулярный закон

Mod : x v y ⇒ x t (y u z) = y u (x t z).

Пример1 Модулярными являются все цепи, решётка 〈N, | 〉, булевы

алгебры.

2 Решётка NSubG всех нормальных подгрупп группы Gобразует модулярна (пересечение групп всегда группа, аобъединение нормальных подгрупп — их произведение).

3 Решётка всех эквивалентностей на данном множестве вобщем случае не модулярна.


Модулярные решётки

ОпределениеРешётка 〈L, t, u 〉 называется модулярной, если для любыхx, y, z ∈ L в ней выполняется следующий модулярный закон

Mod : x v y ⇒ x t (y u z) = y u (x t z).

Пример1 Модулярными являются все цепи, решётка 〈N, | 〉, булевы

алгебры.

2 Решётка NSubG всех нормальных подгрупп группы Gобразует модулярна (пересечение групп всегда группа, аобъединение нормальных подгрупп — их произведение).

3 Решётка всех эквивалентностей на данном множестве вобщем случае не модулярна.


Пятиугольник N5 — немодулярная решётка

Решётка всех эквивалентностей на данноммножестве в общем случае не модулярна.

α = (1∣∣2∣∣34), β = (1

∣∣23∣∣4), γ = (12

∣∣34), α v γαt(γuβ) = αto = α 6= γu(αtβ) = γuι = γ.

Немодулярность N5 оказывается ключевой:

Теорема (критерий модулярности решётки)

Решётка модулярна, iff никакая её подрешётка не изоморфнапятиугольнику N5.


Пятиугольник N5 — немодулярная решётка

Решётка всех эквивалентностей на данноммножестве в общем случае не модулярна.

α = (1∣∣2∣∣34), β = (1

∣∣23∣∣4), γ = (12

∣∣34), α v γαt(γuβ) = αto = α 6= γu(αtβ) = γuι = γ.

Немодулярность N5 оказывается ключевой:

Теорема (критерий модулярности решётки)

Решётка модулярна, iff никакая её подрешётка не изоморфнапятиугольнику N5.


Цепное условие Жордана–Дедекинда и модулярность

Невыполнение цепного условия Жордана–Дедекинда длярешётки ⇒ существование подрешётки, изоморфной N5

⇒ её немодулярность.При этом выполнение указанного условия, ещё не означаетмодулярности решётки.

Для этой решётки цепное условияЖордана–Дедекинда не выполняется:длины её максимальных цепей междуo и ι не совпадают, и, как следствие,она содержит подрешётку,изоморфную N5, что влечётеё немодулярность.


Цепное условие Жордана–Дедекинда и модулярность...

Для этой решётки цепное условияЖордана–Дедекинда выполняется,однако она немодулярна,т.к. содержит подрешётку= {o, a, b, c, ι} ∼= N5 (= {o, a, b, c, ι}).


Правило сокращения для модулярных решёток

ТеоремаРешётка модулярна, если и только если при сравнимости еёэлементов x и y справедливо правило их сокращения.

Доказательство(⇒) Пусть для некоторых элементов x, y, z модулярнойрешётки справедливы и равенства x t z = y t z,x u z = y u z, и следование x v y.Тогда

xAbs= xt(xuz) = xt(yuz) Mod

= yu(xtz) = yu(ytz) Abs= y.

(⇐) опустим.


Дистрибутивные решётки

ОпределениеРешётка 〈L, t, u 〉 называется дистрибутивной, если в нейвыполняются дистрибутивные законы

(x t y) u z = (x u z) t (y u z);(x u y) t z = (x t z) u (y t z).

Пример1 Все цепи, булевы алгебры и их подрешётки дистрибутивны.2 Решётка всех подпространств векторного пространства,

упомянутая выше в качестве примера модулярнойрешётки, не является дистрибутивной.

3 Решётка Sub C всех подгрупп циклической группы Cдистрибутивна.


Всякая дистрибутивная решётка модулярна

(atb)uc = ιuc = c 6= (auc)t(buc) = ato = a

Модулярный закон — ослабленная формавторого дистрибутивногозакона.

V4 = 〈 e, x, y, xy 〉 —четверная Клейна,решётка Sub V4 ∼= M3 (ромб)подгрупп V4 (все они нормальны) модулярна, но

не дистрибутивна: a = 〈x〉, b = 〈y〉, c = 〈xy〉,

(a t b) u c = ι u c = c 6= (a u c) t (b u c) = o t o = o.


Критерий дистрибутивности решётки

Недистрибутивность M3, оказывается ключевой: справедлива

ТеоремаМодулярная решётка является дистрибутивной, iff никакая еёподрешётка не изоморфна ромбу M3.

Следствие (критерий дистрибутивности решётки)

Решётка дистрибутивна, iff никакая её подрешётка неизоморфна ни пятиугольнику N5, ни ромбу M3.


Правило сокращения

ТеоремаРешётка дистрибутивна, если и только если в ней справедливо

правило сокращения: Abbr :

{x t z = y t zx u z = y u z ⇒ x = y.

Доказательство(⇒) Пусть для некоторых элементов x, y, z дистрибутивнойрешётки справедливы и равенства x t z = y t z, x u z = y u z, иследование x v y (т.к. любая дистрибутивная решётка —модулярная).Тогда

xAbs= xt (xu z) = xt (y u z) Mod

= y u (xt z) = y u (y t z) Abs= y .

(⇐) Опустим.


Правило сокращения

ТеоремаРешётка дистрибутивна, если и только если в ней справедливо

правило сокращения: Abbr :

{x t z = y t zx u z = y u z ⇒ x = y.

Доказательство(⇒) Пусть для некоторых элементов x, y, z дистрибутивнойрешётки справедливы и равенства x t z = y t z, x u z = y u z, иследование x v y (т.к. любая дистрибутивная решётка —модулярная).Тогда

xAbs= xt (xu z) = xt (y u z) Mod

= y u (xt z) = y u (y t z) Abs= y .

(⇐) Опустим.


Дистрибутивность решётки J(P)

ЛеммаJ(P) 6 〈 P(P), ∪, ∩ 〉 ⇒ решётка J(P) дистрибутивна.

cO

c 〈a, b〉

a b aO bO

∅

��

��

[[[[

��

[[[

[[[

��

�

Z3, J(Z3)


Дистрибутивность решётки J(P)

ЛеммаJ(P) 6 〈 P(P), ∪, ∩ 〉 ⇒ решётка J(P) дистрибутивна.

cO

c 〈a, b〉

a b aO bO

∅

��

��

[[[[

��

[[[

[[[

��

�

Z3, J(Z3)


Неразложимые элементы решёток

В конечных дистрибутивных решётках важную роль играют неатомы (например, в конечной цепи всего один атом), анеразложимые в объединение элементы.

ОпределениеЭлемент z 6= o решётки назовём неразложимым, если изz = x t y следует либо z = x, либо z = y.

Пример1 Атомы любой решётки неразложимы, и в атомной булевой

алгебре нет других неразложимых элементов.

2 В решётке 〈N, | 〉 неразложимы только степени простыхчисел.

3 В цепи ни один элемент не является разложимым.


Неразложимые элементы решёток...

ЛеммаВ конечной решётке каждый ненулевой элемент может бытьпредставлен в виде объединения неразложимых элементов.

ДоказательствоПусть b = b1 t b2 и b1 6= b 6= b2.Если и b1, и b2 неразложимы, то лемма доказана.Иначе представляем b1 и/или b2 в виде объединения строгосодержащихся в них элементов, и т.д.; в силу конечностирешётки указанный процесс закончится.

Следствие: всякий ненулевой элемент атомной булевой алгебрыпредставим в виде объединения содержащихся в нём атомов.Действительно, (1) булева алгебра — решётка; (2) её атомы —неразложимы и (3) неразложимы только атомы.


Представление произвольных элементов решётки черезнеразложимые

Обозначения для подмножеств элементов (дистрибутивной)решётки L:

Irr L — множество неразложимых в объединениеэлементов L;

Irr(x) = { y ∈ Irr L | y v x } — множество неразложимыхэлементов L, содержащихся в x.

Доказанная лемма утверждает, что в конечной решётке каждыйненулевой элемент x допускает представление:

x =⊔

a∈ Irr(x)

a.


Алгоритм построения решётки порядковых идеалов ч.у.множества P

1 Построим диаграмму булевой алгебры P(M) = J(M).

2 Выберем некоторый минимальный элемент x множестваP rM и пусть Sx — множество непосредственнопредшествующих ему элементов.Присоединим к J(M) элемент 〈x〉, который будетнеразложим в объединение и непосредственно следоватьза порядковым идеалом, порождённым Sx.

3 Добавим все объединения имеющихся и вновь построенныхэлементов с 〈x〉 так, чтобы они образовали булеву алгебру.

4 Выберем новый минимальный элемент y множества{P rM}r {x} и достроим диаграмму аналогичнымспособом.

5 Продолжаем так, пока не получим диаграмму J(P ).


Построение решётки порядковых идеалов ч.у. множества:пример

c

a b

P


Построение решётки порядковых идеалов ч.у. множества:пример...

c 〈a, b〉

a b 〈a〉〈b〉

∅

P J(a, b)

��

[[[

[[[ �

��



c 〈a, b〉〈c〉

a b 〈a〉〈b〉

∅

P J(a, b) + 〈c〉

��

[[[ �

��

[[[ �

��



〈a, c〉

c 〈a, b〉〈c〉

a b 〈a〉〈b〉

∅

P J(P )

��

�

[[[

��

�

[[[

��

�

[[[[

��

��


Построение J(Z5)

〈d, e〉

〈c, d〉〈a, e〉

〈d〉〈a, b, c〉〈e〉

d e 〈a, b〉〈a, c〉〈b, c〉

a b c 〈a〉〈b〉〈c〉

Z5 ∅ J(Z5)

[[[[

��

��

[[[[

��

��

[[[[

��

��

[[[[

��

��

[[[[

��

��

[[[[

��

��

[[[[

��

��

[[[[

��

��

[[[[

��

��


Числа |J(P)| и e(P)

|J(P)| — Известно, что зигзаг Zn имеет Fn+2 ((n+ 2)-е числоФибоначчи) порядковых идеалов.Например, в нашем случае |J(Z5)| = F7 = 13.

e(P) — Доказано, что e(P ) равно числу максимальныхвосходящих от наименьшего элемента ∅ к наибольшемуPO цепей в решётке J(P) .Для примера с Z5 можно подсчитать, что таких путей 16.С другой стороны, e(Z5) есть 5! умноженное на пятоечисло тангенса — коэффициент при x5 в разложении tg xв ряд Маклорена, т.е. e(Z5) = 5! 2

15 = 16.


Число e(sn)

Теорема ∑n>1

e(sn)

n!xn =

x

cos2 x.

Числа e(sn) и, для сравнения, числа секанса e(Z2n) дляпервых значений n приведены в таблице.

n 2 3 4 5 6 7e(sn) 4 48 1 088 39 680 2 122 752 156 577 855e(Z2n) 5 61 1 385 50 521 2 702 765 199 360 981


J(Z6)

Z6


Числа |J(Bn)|

ОчевидноJ(B3) ∼= 1⊕ J(s3)⊕ 1 и |J(B3)| = 1 + 18 + 1 = 20.Значения |J(Bn)| для n = 1, . . . , 8 приведены внижеследующей таблице.

n 1 2 3 4 5 6 7|J(Bn)| 3 6 20 168 7 581 7 828 354 2 414 682 040 998

Для других n значения |J(Bn)| неизвестны.


J(s3), |J(s3)| = 20


Изоморфизм ч.у. множества и неразложимых элементоврешётки его порядковых идеалов

ЛеммаЕсли P — ч.у. множество, то Irr J(P) ∼= P.

ДоказательствоПусть P — ч.у. множество и J(P ) — (дистрибутивная) решёткаего порядковых идеалов. Порядковый идеал решёткинеразложим, iff он является главным:

xO ⇒ Irr J(P ) ∼= J0(P ) = {xO | x ∈ P }.

Ранее был установлен изоморфизм между ч.у. множеством исовокупностью его главных идеалов:

ϕ : P → J(P ), ϕ(x) = xO,

поэтому P ∼= J0(P ) = Irr J(P ).


Irr J(P ) ∼= P : пример

cO

c 〈a, b〉

a b aO bO

∅

��

��

[[[[

��

[[[

[[[

��

�

Z3, множество Irr J(Z3) выделено


Фундаментальная теорема о конечных дистрибутивныхрешётках

Теорема (ФТКДР, Г. Биркгоф)

Всякая конечная дистрибутивная решётка L изоморфнарешётке J(Irr L) порядковых идеалов ч.у. множества еёнеразложимых элементов.

Доказательство (набросок)

Рассмотрим отображение ψ : L→ J(Irr L) , ψ(x) = Irr(x).ψ есть биекция (покажите самостоятельно).

x v y ⇔ Irr(x) ⊆ Irr(y) ⇔ ψ(x) ⊆ ψ(y).∴ ψ — (порядковый) изоморфизм между L и J(Irr L).


ФТКДР L ∼= J(IrrL): иллюстрация

ι ιO

c 〈a, b〉

a b ι aO bO

o a b ∅

��

��

[[[[

��

[[[

[[[[

��

��

��

��

[[[[

[[[

��

�

L Irr L J(Irr L)


ФТКДР...

Теорема Биркгофа позволяет представлять элементылюбой дистрибутивной решётки подмножестваминекоторого множества и пользоваться диаграммамиЭйлера-Венна.

Из неё также вытекает интересное

СледствиеВсякая конечная дистрибутивная решётка вложима вупорядоченную делимостью решётку натуральных чисел

L ↪→ 〈N◦, ∨, ∧ 〉 6 〈N, ∨, |〉.N◦ — множество натуральных чисел, свободных от

квадратов.


Вложение L ↪→ 〈N, ∨, |〉: алгоритм

1 Наименьшему элементу o решётки L сопоставляетсячисло 1, а n > 1 её атомам — первые n простых чиселp1, . . . , pn.

2 Пусть состоялось приписывание всем элементаммножества xO r {x} элемента x решётки L.Если элементу x непосредственно предшествует

единственный элемент, которому сопоставлено число k, тосопоставляем x число kp, где p — первое из ещё неиспользованных простых чисел;

несколько элементов, то сопоставляем x наименьшееобщее кратное всех чисел, им соответствующих.


Вложение L ↪→ 〈N, ∨, |〉: пример

210

30 30

6 10 6 15

2 2 3

1 1

��

[[[

��

[[[

[[[

��

��

[[[

��

[[[

��

Прикладная алгебра. Тема IV: Алгебраические решётки 66 / 105Факторрешётки. Решётки с дополнениями

Разделы








Конгруэнции: определение

Пусть L — решётка и на ней имеется отношениеэквивалентности ∼ , сохраняющее объединения и пересечения:{

a ∼ cb ∼ d ⇒

{(a t b) ∼ (c t d)(a u b) ∼ (c u d)

.

Такие эквивалентности называют конгруэнциями.

Приведённые условия позволяют рассматриватьфактормножество L/∼ с операциями t и u, применяемым кего элементам (классам эквивалентности), т.е. факторрешёткуL по конгруэнции ∼ (символически L/ ∼).


Конгруэнции: пример

Для гомоморфизма решёток ϕ : L→ L ′ определяется ядернаяэквивалентность Kerϕ:

a(Kerϕ)b ⇔ ϕ(a) = ϕ(b).

Без труда проверяется, что Kerϕ — эквивалентность; этуэквивалентность называют ядерной.Далее имеем{a(Kerϕ)cb(Kerϕ)d

⇔{ϕ(a t b) = ϕ(a) t ϕ(b) = ϕ(c) t ϕ(d) = ϕ(c t d),ϕ(a u b) = ϕ(a) u ϕ(b) = ϕ(c) u ϕ(d) = ϕ(c u d).

Следовательно, (a t b) (Kerϕ) (c t d) и (a u b) (Kerϕ) (c u d),т.е. Kerϕ оказывается конгруэнцией.Эта конгруэнция называется ядром гомоморфизма ϕ.


Фактормножество по эквивалентности

Пусть I — идеал дистрибутивной решётки L. Рассмотримбинарное отношение ∼I на L, вводимое по правилу

a ∼I b ⇔ ∃Ix (a t x = b t x).

Легко видеть, что это отношение есть эквивалентность.Действительно, его рефлексивность и симметричностьочевидны; покажем транзитивность.Пусть a ∼I b и b ∼I c. Это означает существование x, y ∈ Iтаких, что a t x = b t x и b t y = c t y.Далее (объединяя левые и правые части первого равенства с y,а второго — с x), получим{

a t x = b t xb t y = c t y ⇒ a t (x t y) = b t (x t y) = c t (x t y)

и a ∼I c, поскольку x t y ∈ I.


Эквивалентность ∼I является конгруэнцией

Обозначения: смежные классы по ∼I — [·]I (очевидно[a]I = a t I для элемента a ∈ L; индекс I часто опускают);фактормножество по эквивалентности — L/I.Покажем теперь, что ∼I — конгруэнция. Имеем{

a ∼ cb ∼ d ⇔

{∃x ∈ I (a t x = c t x)∃ y ∈ I (b t y = d t y)

. (∗)

1. Для объединения получим∃x, y ∈ I [(a t b) t (x t y) = (c t d) t (x t y)],

и, поскольку x t y ∈ I, то (a t b) ∼I (c t d).

2. Для пересечения —∃x, y ∈ I [(a t x) u (b t y) = (c t x) u (d t y)].

Раскрывая по равенство, по дистрибутивности —

(a u b)t(auy)t(xub)t(xuy) = (c u d)t(cuy)t(xud)t(xuy),


(au b)t (au y)t (xu b)t (xu y) = (cu d)t (cu y)t (xu d)t (xu y)

Осталось показать, что(a u y) t (x u b) t (x u y) = (c u y) t (x u d) t (x u y).

Для этого берём пересечения с y первого и с x — второгоравенства из правой части соотношения (∗):{

(a t x) u y = (c t x) u y(b t y) u x = (d t y) u x ⇔

{(a u y) t (x u y) = (c u y) t (x u y)(b u x) t (x u y) = (d u y) t (x u y)

,

и, производя объединение соответствующих левых и правыхчастей, — требуемое равенство.

Итого:∼I является конгруэнцией и операции t и u на L/Iопределяются корректно (результат не зависит отвыбранных элементов в классах);L/I есть факторрешётка с нулём и ядро гомоморфизмаϕ : L→ L/I, ϕ(x) = [x]I — данный идеал I.


Факторрешётка: пример

Множество I = {o, a, b, c} —идеал решётки.При этом e ∼I d,поскольку для c ∈ I получимe t c = d t c, т.е.элементы e и d находятсяв одном классеэквивалентности по I.

Гомоморфизм ϕ : L→ L/I есть отображение ϕ(x) = [x]I иидеал I есть нуль решётки L/I.


Дополнения в решётках: определения

ОпределениеЕсли в решётке 〈L, t, u 〉 с универсальными гранями дляэлемента x существует элемент y такой, что x u y = o иx t y = ι, то последний называется дополнением элемента x.Решётка называется решёткой с дополнениями, если в нейкаждый элемент имеет хотя бы одно дополнение. Если каждыйэлемент решётки обладает в точности одним дополнением, тоеё называют решёткой с единственными дополнениями.

Классический пример решётки с единственными дополнениями:в решётке алгебры подмножеств множества A каждый элементX ⊆ A имеет единственное дополнение X = Ar {X}.


Дополнения в решётках: примеры

ι ι

b c c b

a a

o o

��

[[[

��

[[[

[[[

��

hhhhhhh

[[[

а) элемент a не имеет дополнения;б) N5 — решётка с дополнениями, a и c — дополнения b


Решётки с дополнениями: свойства

Если атомная решётка с дополнениями не содержит вкачестве подрешётки пятиугольник N5, наименьший инаибольший элементы которого совпадают с нулём иединицей решётки, то она модулярна (теоремаМаклафлина — упрощение критерия модулярности).

Атомная решётка с единственными дополнениямидистрибутивна (теорема Биркгофа-Уорда).

Если ограниченная решётка дистрибутивна, то каждый еёэлемент имеет не более одного дополнения.Действительно, пусть элемент x дистрибутивной решёткиимеет два дополнения — y1 и y2. Тогда{

x t y1 = x t y2 = ιx u y1 = x u y2 = o

Abbr⇒ y1 = y2 .


Относительные дополнения: определение

ОпределениеЕсли [ a, b ] — интервал решётки L, x ∈ [ a, b ] и элемент yрешётки L таков, что xu y = a и xt y = b, то y называетсяотносительным дополнением элемента x в интервале [ a, b ].Если в некоторой решётке все интервалы суть решётки сдополнениями, то она называется решёткой с относительнымидополнениями.

Если y — относительное дополнение элемента x в интервале[ a, b ], то y ∈ [ a, b ], и x, в свою очередь, также будетотносительным дополнением элемента y в интервале [ a, b ].Дистрибутивная решетка с нулем и относительнымидополнениями называется алгеброй Ершова.


Относительные дополнения: пример

ι

b c d

a e

o

��

[[[

��

[[[

��

[[[

��

Решётка с относительными дополнениями, не являющаясярешёткой с дополнениями: элемент b не имеет дополнения.

Прикладная алгебра. Тема IV: Алгебраические решётки 78 / 105Применение теории решёток к задаче классификации

Разделы








Классификация по прецедентам: постановка задачи

1 Множество объектов X разделено на несколько подмножеств(классов).

2 Информация о таком разбиении содержится только в указаниио принадлежности к данным классам элементов конечнойобучающей последовательности (выборки) из X , элементыкоторой называют прецедентами.

3 Объекты имеют описание на некотором формальном языке,указывающем степень обладания объектами конечным числомпризнаков из множества M = {x1, . . . , xn}.


Классификация: подходы к решению задачи

метрические методы (NN, ...);

разделяющие поверхности (SVM, ...);

потенциальные функции;

логические методы;

коллективные решающие правила (области компетенции,голосование, алгебраический подход);

структурные методы;

...

реляционный подход (АФП (FCA), ...)

Wille R., Ganter B. Formal concept analysis. Berlin; Heidelberg;New York: Springer-Verl., 1999.


Классификация: подходы к решению задачи

метрические методы (NN, ...);

разделяющие поверхности (SVM, ...);

потенциальные функции;

логические методы;

коллективные решающие правила (области компетенции,голосование, алгебраический подход);

структурные методы;

...

реляционный подход (АФП (FCA), ...)

Wille R., Ganter B. Formal concept analysis. Berlin; Heidelberg;New York: Springer-Verl., 1999.


Соответствия Галуа: определение

Далее запись отображений:f(a) записывается как af ; f(A) записывается как fA .

ОпределениеПусть P = 〈P, vP 〉 и Q = 〈Q, vP 〉 — ч.у. множества. Параотображений (ϕ, ψ), ϕ : P → Q, ψ : Q→ P , удовлетворяющаясвойствам

1 ϕ и ψ антиизотонны;2 pϕψ w p и qψϕ w q (ϕψ и ψϕ — операторы замыкания (наP и Q соответственно, p ∈ P, q ∈ Q).

называется соответствием Галуа между P и Q

Справедливы и более сильные соотношения

p v qψ ⇔ q v pϕ и ϕ = ϕψϕ, ψ = ψϕψ.


Соответствия Галуа: определение

Далее запись отображений:f(a) записывается как af ; f(A) записывается как fA .

ОпределениеПусть P = 〈P, vP 〉 и Q = 〈Q, vP 〉 — ч.у. множества. Параотображений (ϕ, ψ), ϕ : P → Q, ψ : Q→ P , удовлетворяющаясвойствам

1 ϕ и ψ антиизотонны;2 pϕψ w p и qψϕ w q (ϕψ и ψϕ — операторы замыкания (наP и Q соответственно, p ∈ P, q ∈ Q).

называется соответствием Галуа между P и Q

Справедливы и более сильные соотношения

p v qψ ⇔ q v pϕ и ϕ = ϕψϕ, ψ = ψϕψ.


Понятие: философское отступление...

Понятие — это ...... целостная совокупность суждений, утверждающих оботличительных признаках вещи

Примеры:искусство, наука, ...

Объём понятия — это ...... совокупность всех вещей, обладающих зафиксированными вданном понятии признаками

Примеры:искусство: литература, живопись, архитектура,...наука: биология, физика, химия...





















Содержание понятия — это ...... совокупность свойств, присущих всем объектам данногопонятия

Примеры:искусство: результат отражения действительности в формечувственных образов, создание выразительных форм, ...наука: познавательная деятельность, объективность,систематичность, ...



Содержание понятия — это ...... совокупность свойств, присущих всем объектам данногопонятия

Примеры:искусство: результат отражения действительности в формечувственных образов, создание выразительных форм, ...наука: познавательная деятельность, объективность,систематичность, ...


Закон обратного отношения между содержанием и объёмомпонятия:

Большее по объёму понятие имеет меньшее содержание

Антимонотонность соответствий Галуа отражает этот закон


Классификация: положительные и отрицательные примеры

Рассматриваются задачи, в которых множество X разбитона два непересекающихся класса:X+ (положительный) и X− (отрицательный)относительно обладания/необладания их объектами некоторымцелевым признаком z 6∈M .

Прецеденты из данных классов называются, соответственно,положительными и отрицательными примерами.

Имеем 2 класса и z = ”x ∈ X+”


АФП: формальный контекст

Пусть G и M — множества, называемые соответственномножествами объектов и признаков, а I — соответствие междуG и M отношением иницидентности.gIm означает, что объект g ∈ G обладает признаком m ∈M .

ОпределениеТройка K = (G,M, I) называется формальным контекстом.

В конечном случае контекст может быть задан в видеобъектно-признаковой (0, 1)-матрицы.


Соответствия Галуа в АФП и нотация

УтверждениеЕсли для произвольных A ⊆ G и B ⊆M ввести отображенияϕ : 2G → 2M и ψ : 2M → 2G такие, что

Aϕ = {m ⊆M | ∀ g ∈ A (gIm) } = A′,

Bψ = { g ⊆ G | ∀m ∈ B (gIm) } = B′ ,

то пара отображений (ϕ, ψ) являетсясоответствием Галуа между ч.у. множествами 2G и 2M ,упорядоченными по включению.


Формальные объём и содержание

ОпределениеПусть дан контекст K = (G,M, I). Пара подмножеств (A, B),где A ⊆ G, а B ⊆M , и таких, что A′ = B и B ′ = A,называется формальным понятием данного контекстас формальным объёмом A и формальным содержанием B.

Если контекст K представлен в виде объектно-признаковой(0, 1)-матрицы, то формальному понятию соответствуетмаксимальная её подматрица, заполненная единицами.Формальные объём и содержание — замкнутые,соответственно, относительно ϕψ и ψϕ множества.


Решётка формальных понятий

Теорема (основная АФП)

Множество всех формальных понятий данного контекста Kобразует полную решётку, обозначаемую B(K), относительноопераций ∨ (объединение) и ∧ (пересечение):

(A1, B1) ∨ (A2, B2) =(

(B1 ∩B2)′, B1 ∩B2

),

(A1, B1) ∧ (A2, B2) =(A1 ∩A2, (A1 ∩A2)

′ )и называемую решёткой формальных понятий.

(A1, B1) v (A2, B2) ⇒ (A1 ⊆ A2) N (B1 ⊇ B2)

У решётки B(K) формального контекста K = (G,M, I):

единица ι — формальное понятие (G, G ′);атомы — формальные понятия вида (g, g′);нуль o — формальное понятие (∅, M) с пустым объёмом.


Два контекста: объём и содержание

Данные для обучения классификации описываютсяположительным K+ = (G+,M, I+) и отрицательнымK− = (G−,M, I−) контекстами.Операторы Галуа в этих контекстах обозначаютсясоответствующими верхними индексами: A+, A−, B+ и т.д.

ОпределениеФормальное понятие (A+, B+) ∈ K+ называетсяположительным.A+ — положительный формальный объём,B+ — положительное формальное содержание.

Аналогично определяются отрицательные формальные объём исодержание для контекста K−.


Гипотезы

ОпределениеПоложительное формальное содержание B+ положительногопонятия (A+, B+) называется:

положительной (+) предгипотезой, если∀(A−, B−) ∈ K− (B+ 6= B−), т. е. оно не являетсяформальным содержанием ни одного отрицательного понятия;

положительной (+) гипотезой, если∀(g, g−) ∈ K− (B+ 6⊆ g−), т. е. оно не являетсяподмножеством содержания понятия какого-либоотрицательного примера g;

фальсифицированной положительной (+) гипотезой, если∃(g, g−) ∈ K− (B+ ⊆ g−).

Отрицательные (−) предгипотезы, гипотезы,фальсифицированные гипотезы определяются аналогично.Гипотеза является также и предгипотезой.


Гипотезы







Гипотезы







Гипотезы







Гипотезы







Классификация с помощью гипотез

Гипотезы используются для классификации новых объектов.

Простейшее решающее правилоПусть g 6∈ {G+ ∪G−} — новый (неопределённый) объект.Если его формальное содержание g′ содержит хотя бы одну

+-гипотезу и не содержит ни одной отрицательнойгипотезы, то он относится к положительному классу;

−-гипотезу и не содержит ни одной положительнойгипотезы, то он относится к отрицательному классу.

Отказ от классификации происходит, если g′:либо не содержит никаких гипотез (недостаток данных);

либо содержит как положительные, так и отрицательныегипотезы (противоречие в данных).


Многозначные контексты

В АФП предполагается двоичной информации о признаках.Для её получения из количественных и качественных признаковиспользуется процедура шкалирования.Многозначный контекст — это четвёрка (G, M, Z, I), где

G, M, Z — множества объектов, признаков и значенийпризнаков соответственно,

I — тернарное отношение I ⊆ G×M × Z, задающее значениеz ∈ Z признака m ∈M объекта g ∈ G,

причем отображение G×M → Z функционально.

Шкалирование — это представление многозначных контекстовдвузначными.


Пример «Фрукты»: постановка задачи

Задача:построить классификатор по целевому свойствуz = «являться фруктом» и следующей объектно-признаковойтаблице положительных и отрицательных примеров:

№ G \M цвет жёсткий гладкий форма фрукт1 яблоко жёлтое нет да круглое +2 грейпфрут жёлтый нет нет круглый +3 киви зелёный нет нет овальное +4 слива синяя нет да овальная +5 кубик зелёный да да кубический −6 яйцо белое да да овальное −7 теннисный белый нет нет круглый −

мяч


Пример «Фрукты»: результат шкалирования

G \M w y g b f f s s r r фрукт1 × × × × +2 × × × × +3 × × × × +4 × × × × +5 × × × × −6 × × × × −7 × × × × −

G+ = {1, 2, 3, 4}, G− = {5, 6, 7} ⇒ отношение I+ представленоверхней частью таблицы, а отношение I− — нижней.Признаки означают:w — белый, y — жёлтый, g — зелёный, b — синий;f — твёрдый, f — мягкий, s — гладкий, s — шероховатый;r — круглый, r — некруглый.


Пример «Фрукты»: решётка B(K+) положительногоконтекста

(G+, {f})

({2, 3}, {f, s}) ({3, 4}, {f, r}) ({1, 2}, {f, r, y}) ({1, 4}, {f, s})

({3}, {g, f , s, r}) ({2}, {y, f , s, r}) ({4}, {b, f , s, r}) ({1}, {y, f , s, r})

(∅,M)

[[[[[[[

'''''''''''''''

'''''''

'''''''

[[[[[[[

'''''''

[[[[[[[

'''''''

[[[[

[[[

''''''''

[[[[[[[[

'''''''''''''''


Пример «Фрукты»: решётка B(K−) отрицательногоконтекста

(G−,∅)

({6, 7}, {w}) ({5, 6}, {f, s, r})

({7}, {w, f, s, r}) ({6}, {r, f, s, w}) ({5}, {f, r, s, g})

(∅,M)

AAAAAAA

AAAAAAA

AAAAAAA


Пример «Фрукты»: формирование гипотез

Формальные содержания

{f, r} (мягкий, некруглый),{f, r, y} (мягкий, круглый, жёлтый) и{f, s} (мягкий, гладкий) являются +-гипотезами;

{f, s} (мягкий, шероховатый) являетсяфальсифицированной +-гипотезой, т.к. она — частьсодержания {w, f, s, r}отрицательного примера 7 (теннисный мяч);

{w} (белый) и{f, s, r} (твёрдый, гладкий, некруглый) являются−-гипотезами.














Пример «Фрукты»: классификация

Неопределённый объект g

мирабель будет классифицирован как фрукт , т.к. егоформальное содержание жёлтый, мягкий, гладкий ({y, f , s}содержит положительную гипотезу {f, s} и не содержит ниодной из отрицательных гипотез);

кусок сахара со свойствам белый, некруглый, твёрдый будетклассифицирован как не-фрукт ;

брикет пломбира со свойствами белый, мягкий, некруглыйвызовет отказ от классификации, поскольку gτ = {w, f, r}содержит как положительную гипотезу {f, r}, так иотрицательную гипотезу {w}.














Пример «Фрукты»: дополнение

Если считать, что теннисный мяч — зелёный, то B(K−):

(G−,∅)

({5, 7}, {g}) ({5, 6}, {f, s, r})

({7}, {g, f , s, r}) ({5}, {r, f, s, g}) ({6}, {f, r, s, w})

(∅,M)

AAAAAA

AAAAAA

AAAAAAA


Пример «Фрукты»: дополнение...

При таком изменении свойств объекта № 7 изменятся толькоотрицательный контекст.Теперь

{g} = {5, 7}′ является фальсифицированной −-гипотезой,поскольку она содержится в формальном содержании{g, f , s, r} положительного понятия {3}.{f, s, r} = {5, 6}′ является −-гипотезой.

Поэтому

объекты со свойствами жёлтый, мягкий, гладкий и белый,мягкий, некруглый будет классифицированы как фрукт;

на объекте с единственным свойством белый произойдётотказ от классификации.


Пример «Фрукты»: дополнение...

При таком изменении свойств объекта № 7 изменятся толькоотрицательный контекст.Теперь

{g} = {5, 7}′ является фальсифицированной −-гипотезой,поскольку она содержится в формальном содержании{g, f , s, r} положительного понятия {3}.{f, s, r} = {5, 6}′ является −-гипотезой.

Поэтому

объекты со свойствами жёлтый, мягкий, гладкий и белый,мягкий, некруглый будет классифицированы как фрукт;

на объекте с единственным свойством белый произойдётотказ от классификации.

Прикладная алгебра. Тема IV: Алгебраические решётки 102 / 105Что надо знать

Разделы








Решёточно упорядоченное множество, алгебраическиерешётки и их эквивалентность. Примеры решёток. Условиедля ч.у. множества являться полной решёткой.

Неравенства полудистрибутивности и полумодулярности.Теорема о четырёх элементах.

Идеалы решёток: определение, свойства, примеры.Теорема о собственных идеалах решётки с единицей.

Теоремы о вложении решёток.

Гомоморфизмы решёток, связь порядкового и решёточногогомоморфизмов. Сечения Макнила.

Идеалы решёток.

Модулярные решётки. Критерий модулярности решётки.Цепное условие Жордана–Дедекинда и модулярность.Правило сокращения.


Дистрибутивные решётки. Критерий дистрибутивностирешётки.

Конгруэнции. Факторрешётки.

Решётки с дополнениями и с относительнымидополнениями: определение и свойства.

Неразложимые элементы решёток и представлениепроизвольных элементов решётки через неразложимые.Изоморфизм ч.у. множества и неразложимых элементоврешётки его порядковых идеалов.

Фундаментальная теорема о конечных дистрибутивныхрешётках.

Задача классификация по прецедентам. Закон обратногоотношения между содержанием и объёмом понятия.Соответствия Галуа.


Анализ формальных понятий (АФП). Формальные объёми содержание. Решётка формальных понятий. ГипотезыАФП. Простейшее решающее правило классификации.

Documents

Тема IV Алгебраические решётки - msu.ru · 2014-08-26 · Тема iv: Алгебраические решётки 18/105 Основные свойства