МАРИЯН НЕДЕЛЧЕВ МИЛЕВ

ПРИЛОЖЕНИЕ НА MATLA В ЗА МОДЕЛИРАНЕ И ОЦЕНЯВАНЕ НА ФИНАНСОВИ ДЕРИВАТИ

Ръководство по иконометрия

00.5

11.5

2

0

0.5

10

0.5

1

1.5

2

St

C(S

,t)

Евдемония продъкшън Ltd., София, 2012

2

ПРИЛОЖЕНИЕ НА MATLA В ЗА МОДЕЛИРАНЕ И

ОЦЕНЯВАНЕ НА ФИНАНСОВИ ДЕРИВАТИ

Ръководство по иконометрия

Автор: д-р Мариян Неделчев Милев

Рецензент: доц. д-р инж. Ангел Марчев

Първо издание

ISBN: 978-954-92924-2-8

Издателство: „Евдемония продъкшън”

България, София 1000, ул. Георги С. Раковски 79 ап. 1

Email: angel.marchev@yahoo.com

Публикувано: юли 2012

3

СЪДЪРЖАНИЕ

Съдържание 3

Увод 4

Списък на фигурите и таблиците 6

Списък на програмите 6

Глава 1. Кратко въведение в системата MATLAB 7

Глава 2. Приложение на MATLAB в икономиката 20

2.1. Финансови деривати 20

2.2. Основни видове опции и методи за оценяване на опции. Модел на Блак-Шолс 21

2.3. Ванилови и екзотични опции 22 Глава 3. Модел и формула на Блак-Шолс 31

Глава 4. Симулации и оценяване на опции в дифузионния модел на Мертон 42

Глава 5. Метод Монте Карло и приложения 50

Глава 6. Прилагане на метода Монте Карло чрез системата MATLAB в моделите на Блак-Шолс и Мертон 56

6.1. Симулация на ценови пътеки 56

6.2. Сравняване на премиумите 71

6.3. Пресмятане премиума на екзотични опции 78

Повърхнини на Блак-Шолс 87

Заключение и изводи 89

Основни въпроси за самоподготовка 91

Обобщение: основни понятия за деривати 94

Тест за проверка на знанията 97

Литература 98

Кратка информация за автора 102

4

УВОД

Учебното помагало „Приложение на MATLAB 1 за моделиране и оценяване на финансови деривати” се състои от увод, съдържание, списък от фигури и таблици, списък с програми, шест глави, заключение, литература, секции с въпроси за самоподготовка, секция с обобщение на основните понятия и тест за проверка на знанията.

Глава 1 е кратко въведение в диалоговата система MATLAB. В глава 2 се разглеждат и описват финансови деривати, като в

частност са представени дефиниции и примери на основните видове обикновени Европейски кол и пут опции, наречени още ванилови в практиката, и някои екзотични опции с бариери. В глави 3, 4, 5 и 6 на настоящото ръководство се изследва директна процедура за оценяване на финансови деривати чрез известния метод Монте Карло, когато разглежданият актив следва дифузионен процес със скокове. Представени са моделите на Блак-Шолс и едно от неговите разширения, модела на Мертон, който отразява по-реалистично финансовите пазари и по отношение на точността на оценяване може да бъде сравняван с известните стохастично-волатилни модели [11]. Представени са симулации на ценови пътеки чрез програми на MATLAB като необходимото ниво на точност се получава за реално време на изпълнение.

Системата MATLAB е базирана на матрично представяне на данните и позволява визуализация на двумерни и тримерни графики. Системата MATLAB е диалогова и лесно може да се адаптира към решението в реално време на задачи от приложната математика.

Целта на представеното помагало не е да се опише системата MATLAB, а да се демонстрира как с помощта на широко използвани числени методи в приложната математика като метода Монте Карло, може да се моделират, симулират и оценяват финансови деривати. С придобитите познания студентите ще могат да правят и задълбочен финансов анализ на компютърните симулации, което позволява прогнозиране и изготвяне на финансови стратегии за намаляване на риска при търгуване. Информация за стохастичното моделиране на цените на финансовите деривати чрез случайни процеси като Брауновото движение може да бъде намерена и в други български източници като [4], [24], [29], [31], [45].

1 Думата MATLAB е запазена марка на MathWorks, Inc..

5

Настоящото ръководство е предназначено за студенти от „УХТ-ПЛОВДИВ“, изучаващи дисциплината „Иконометрия“, от специалностите „Корпоративен бизнес и предприемачество“, „Икономика на хранителната индустрия“, „Бизнес информационни технологии“. Съдържанието в глави 2, 3 от настоящото ръководство са тясно свързани с дисциплини като „Борси и борсови операции“, (специалност „Икономика на индустрията“), както и „Моделиране на икономически процеси“ (магистър, специалност „Икономика“).

Учебното помагало е подходящо също и за студенти от бакалавърски и магистърски програми, изучаващи дисциплини по приложна математика и икономика като финансова математика, борсова и извън-борсова търговия, планиране и прогнозиране, количествени методи в икономиката, оптимизационни модели в икономиката, инвестиции във финансови активи, моделиране и оптимизиране на икономически процеси, бизнес информационни технологии, инвестиции и инвестиционни технологии, количествен анализ и компютърно моделиране на икономически процеси, и др.

В съдържанието е включена отделна секция с основни въпроси за самоподготовка, които спомагат за по-доброто усвояване на основните определения, методи за моделиране, симулация на ценови пътеки и оценяване на финансови деривати. Като обобщение на придобитите познания са представени също и тридесет основни понятия за финансовите деривати. За проверка на знанията авторът е изготвил и примерен тест с десет фундаментални въпроса.

С цел по-лесно изучаване и анализ на ценовите процеси, описващи финасовите деривати, всички симулации на ценови пътеки и математически формули за пресмятане на премиума на опции са представени и чрез програми в диалоговата система MATLAB. Изчисленията в програми 2.1-6.6 от настоящото ръководство са направени на процесор Intel (R), Core (TM)2 Duo CPU, P8600, 2.4 GHz, 4 GB RAM, DELL XPS 1340, версия R2008b на MATLAB.

Авторът изказва специални благодарности за препоръките и конструктивните бележки на проф. д.м.н. Иван Ганчев Иванов от катедра „Статистика и Иконометрия“, Стопански факултет, Софийски Университет „Св. Климент Охридски“.

Авторът благодари за помощта и подкрепата на проф. д-р инж. Йорданка Алексиева, Декан на Стопански факултет, УХТ - Пловдив, както и на доц. д-р А. Марчев и д-р А. Марчев мл., УНСС, София.

Гр. Пловдив Мариян Милев

6

СПИСЪК С ФИГУРИ И ТАБЛИЦИ

Фиг. 2.1 Графика на печалбата спрямо крайната цена на дадения актив 23

Фиг. 2.2 Графика на печалбата спрямо крайната цена на дадения актив 27

Фиг. 2.3 Повърхнина на Блак-Шолс за премиума на Европейска кол опция 28

Фиг. 3.1 Симулация на ценови пътеки генерирани чрез Брауново лутане 33

Фиг. 6.1 Симулация на ценови пътеки моделирани чрез случаен процес: геометрично Брауново лутане в модела на Блак-Шолс 67

Фиг. 6.2 Симулация на ценови пътеки в модела на Мертон 70

Табл. 6.1 Метод Монте Карло за дискретни нокаут опции с две бариери и параметри: 0 40S = , 40K = , 1T = , 1,0=σ и 08,0=r 80

Табл. 6.2 Изследване на премиума на нокаут опции с две бариери 95L = и 140U = в зависимост от бариерната честота m при падеж 5,0=T и

параметри 0 100S = , 100K = , където 2,0=σ и 1,0=r . 82

Фиг 6.3 Повърхнина на Блак-Шолс за Европейска кол опция - ‘хокеен стик’ (the Black-Scholes surface for European call option – ‘hockey stick’) 87

Фиг 6.4 Повърхнина на Блак-Шолс за Европейска дискретна нокаут кол опция с две бариери 95L = и 140U = , наблюдавана месечно, 6 пъти за половин година 5,0=T . Параметри: 0 100S = , 100K = , 2,0=σ и 1,0=r . 88

СПИСЪК НА ПРОГРАМИТЕ

Програма 2.1 Печалбата от кол опция спрямо крайната цена на актива 24

Програма 2.2 Печалбата от пут опция спрямо крайната цена на актива 26

Програма 2.3 Повърхнина на Блак-Шолс за кол опция 28

Програма 3.1 Програма за генериране на ценови пътеки 32

Програма 3.2 Пресмятане на премиума на Европейска кол опция 38

Програма 3.3 Пресмятане на премиума на Европейска пут опция 41

Програма 4.1 Аналитична формула на Мертон 48

Програма 6.1 Симулация на ценови пътеки чрез случаен процес в модела на Блак-Шолс: геометрично Брауново лутане 57

Програма 6.2 Симулация на ценови пътеки в модела на Мертон 69

Програма 6.3 Оценяване на Европейски опции в модела на Мертон 73

Програма 6.4 Симулация на ценови пътеки за оценяване на дискретни опции с бариери в модела на Мертон 82

Програма 6.5 Метод Монте Карло за оценяване на дискретни нокаут опции с две бариери в модела на Мертон 83

Програма 6.6 Оценяване на дискретни нокаут кол опции с две бариери в модела на Блак-Шолс 85

7

1. КРАТКО ВЪВЕДЕНИЕ В MATLAB

В тази глава са дадени основни правила и препоръки как да се използва правилно и ефективно диалоговата система MATLAB за моделиране и оценяване на финансови деривати. За въвеждане на най-необходимите понятия в системата MATLAB сме използвали методологията на Хигам от следните два източника ‘MATLAB Guide’ [18] и ‘An Introduction to Financial Option Valuation’ [19], тъй като авторът е запознат с оценяване на финансови деривати.

• Главни и малки буки не са еквивалентни в MATLAB, т.е. системата е чувствителна по отношение на буквите.

• Написването на името на дадена променлива е команда системата MATLAB да покаже настояща й стойност.

• Точката и запетая ‘;’ в края на командите спират извеждането на резултата на екрана на MATLAB, а двоеточието ‘:’ извежда резултата на работния прозорец.

• В MATLAB се използват, както обикновени скоби (), така и квадратни скоби [], но не са взаимно сменяеми.

• Командите горна стрелка ↑ и долна стрелка ↓ могат да бъдат използвани за извикване на предишни команди. Предишна команда може да бъде извикана и чрез написване на няколко от първите й букви и команда ↓ .

• Командата help topic служи за достъп до online помощ, функцията или дадения символ.

• Може да се излезе от системата MATLAB чрез командите exit или quit.

След стартиране на системата MATLAB, текстът или командите се записват след символа >> в диалоговия прозорец. Например:

Пример 1:

>> a = [1 2 3]

a = 1 2 3

Това означава, че след написването на командата ‘a = [1 2 3]’ в работния прозорец (Command Window), системата MATLAB ще изведе резултатите ‘a =’ и ‘1 2 3’ на два отделни реда, разделени от празен ред. Този пример генерира 1 3× масив (вектор-ред).

8

Забележка: Едно от предимствата на системата MATLAB е действията с масиви и вектори. В системата Maple масивите трябва се преобразуват във вектори, за да могат да се извършат съответните операции между вектори като скаларно или векторно произведение.

Универсалността на програмната система MATLAB се състои в това, че тя е базирана на матрично представяне на данните, което я прави много подходяща за научни и инженерни изчисления и визуализация на данните. Името на системата MATLAB е съкращение от ‘Matrix Laboratory’, което в директен превод от английски означава ‘Матрична Лаборатория’. От друга страна структурата на много числени методи в математиката и икономиката изисква елементарни операции от линейната алгебра като умножение на числа с матрици, събиране и умножение на матрици. Такъв пример е 6.1 от глава 6 на настоящото ръководство, който демонстрира изключителната ефективност на системата MATLAB за запазване на голямо количество данни, както и лекотата и прегледността при обработката им чрез елементарни матрици операции.

Пример 2:

>> c = [4; 5; 6]

4 5 6

В този пример, точката и запетаята ‘;’ е команда системата MATLAB да стартира нов ред, така че c e 3 1× масив (вектор-стълб).

Забележка: Празните бели редове могат да се забранят от системата MATLAB чрез командата format compact.

Пример 3: Масивите a и c могат да се умножат:

>> a*c

ans =

32

Тази операция ‘*’ често се нарича ‘вътрешно произведение’ в превод от английски (inner product). MATLAB умножава поелементно елементите на масивите a и c, след което събира получените събираеми, т.е. a*c = 1*4 + 2*5 + 3* 6 = 32.

Забележка: Умножението на векторите a и c се възприема като умножение на две матрици с размерност съответно 1 3× и 3 1× .

9

Системата MATLAB автоматично асоциира (присвоява) резултата 32 към нова променлива ans, което е съкращение от answer (в превод от английски език означава ‘отговор’).

Алтернативен начин да се изчисли произведението a*c е да се използва вградената в системата MATLAB функция dot.

Пример 4: Използване на функцията dot в системата MATLAB.

>> dot(a,c)

ans =

32

Тук входящите данни за функцията dot се дефинират след името на функцията в обикновени скоби ‘()’ и разделени от запетая ‘ ,’. Тук операцията ‘*’ в MATLAB умножава поелементно елементите на масивите a и c, след което събира получените събираеми, т.е. a*c = 1*4 + 2*5 + 3*6 = 32. Еквивалентната на ‘dot(a,c)’ математическа операция е скаларно произведение ac

rr на двата вектора a

r и cr , но в ортонормирана координатна система.

Пример 5: В MATLAB може да се образува и произведението:

>> A = c*a

A =

4 8 12

5 10 15

6 12 18

В този пример резултатът A e матрица с размерност 3 3× . Както в предния пример 5, резултатът се присвоява към A. И c*a представлява произведение на две матрици с размерност 3 1× и 1 3× , което е добре дефинирана математическа операция, тъй като броят на стълбовете на първата матрица c е равен на броя на редовете на втората матрица a, т.е. 3. Произведението се извършва по правилото ред по стълб, ако умножим скаларно i-я ред на първата матрица с j-я стълб от втората матрица се получава елемента ,i ja на матрицата A,

т.е. елементът от i-я ред и j-я стълб на матрица A.

Пример 6: Пример за неправилно дефинирана операция:

10

>> A = a*a

??? Error using ⇒ *

Inner matrix dimensions must agree

Изписаното съобщение е: ‘Грешка при употреба ⇒ *’ и ‘Размерностите на матриците трябва да съответствуват’.

Това означава, че произведението a*a в системата MATLAB не е правилно дефинирана операция на вектора a със себе си, тъй като размерностите са несъвместими за матрично умножение. В случая вектора a е с размерност 1 3× и не може да се умножи със себе си, тъй като размерностите 1 3× и 1 3× са несъвместими за поелементно умножение ред по стълб.

В математиката съществува операцията произведение на два вектора a*a' , където a' е транспонираният вектор a, т.е. a' е с размерност 3 1× . Нека разгледаме следните два примера.

Пример 7:

>> dot(a,a)

ans =

14

Пример 8:

>> a*a'

ans =

14

За да внесем яснота по отношение на възможните видове умножение в системата MATLAB ще направим следните уточнения:

Аритметичните операции на матрици и вектори могат да бъдат в две различни форми:

1. Операциите на матрично умножение се извършват чрез основни правила в линейната алгебра (ред по стълб) и се означават със символа ‘* ’.

2. Операциите на умножение на масиви се извършват поелементно и обикновено се предхождат от символа точка, т.е. ‘.’.

11

Забележка: Вградената функция dot(a,c) умножава поелементно елементите и събира получените произведения. В някои случаи резултатът от тази операция съвпада с матричното умножение на векторите a и c (виж пример 4), в други – не. В пример 7 резултатът от dot(a,а) не съвпада с матричното умножение на векторите а и а, т.е. вектора a със себе си, но съвпада с матричното умножение a*a' , т.е. на векторите а и a'. В следващия пример 9 е интересен резултатът от dot(a,a')=14, където отново имаме съвпадение с матричното умножение a*a' на векторите а и a'. Така dot(a,a')= dot(a,а)=14, но a*a' и a*a не могат да се сравняват, тъй като a*a не е коректно дефинирана матрична операция.

Пример 9:

>> dot(a,a')

ans =

14

Посочените примери 1, 2, 3, 5 и 8 принадлежат към първата група умножение, т.е. умножението е матрично. Нека дадем пример за операция с масиви, която може да бъде една от операциите +, -, * , / и ^, но предхождана от символа ‘.’. В следващия пример всеки от елементите на даден масив се повдига на квадрат.

Пример 10: Степенуване на елементите на масив.

>> b = a.^2

b = 1 4 9

В MATLAB има много математически функции, които действат поелементно като при операциите с масиви, когато вектор или матрица са аргументи в дадената функция. Едни от най-често използваните функции в системата MATLAB и моделирането на финансови деривати са експонента, логаритъм и квадратен корен.

Пример 11: Експоненциална функция ae , където а = [1 2 3].

>> exp(a)

ans =

2.7183 7.3891 20.0855

Пример 12: Логаритмична функция за вектор а = [1 2 3].

>> log(ans)

12

ans =

1 2 3

Пример 13: Квадратен корен за вектора а = [1 2 3].

>> sqrt(a)

ans =

1.0000 1.4142 1.7321

Системата MATLAB показва числа с десетичната запетая до 5 цифри по подразбиране, както в горния пример 12, но винаги запазва числата и изчислява до 16 цифри. Изходният формат може да бъде променен като се използва командата format .

Пример 14: Промяна на формата в системата MATLAB.

>> format long

>> sqrt(a)

ans =

1.000000000000000 1.414213562373095 1.732050807568877

Пример 15: Възстановяване на формата по подразбиране от 5 цифри в MATLAB. Нека проверим действието на командата format след като преди това сме използвали format long.

>> format

>> sqrt(a)

ans =

1.0000 1.4142 1.7321

Големи и малки числа се показват с показателни означения чрез множител, който е степен на 10 и е предхождан от е.

Пример 16: Резултатът от 2^(-24) е 0.000000059605 или 5.9605x10^(-8) и в системата MATLAB е записан с 5.9605e-008

>> 2^(-24)

ans =

5.9605e-008

13

Пример 17: В MATLAB има вградени най-често срещаните статистически функции за анализ на данни. За предварително зададения вектор а = [1 2 3] в диалоговия прозорец имаме:

>> sum(a)

ans =

6

>> mean(a)

ans =

2

Пример 18: Горните две команди могат да бъдат написани на един ред, като бъдат разделени със запетая.

>> sum(a), mean(a)

ans =

6

ans =

2

Пример 19: Точка и запетая в края на командите спират извеждането на резултата от тях на екрана (в диалоговия прозорец).

>> sqrt(a); mean(a);

Пример 20: Променливата pi в системата MATLAB е постоянна със стойност константата π , известна в математиката като Лудолфово число и която представлява отношението между дължината на дадена окръжност и нейния диаметър.

>> pi

ans =

3.1416

14

Пример 21: Променливата ans винаги съдържа последния израз изчислен без точка и запетая след него. Например:

>> pi

ans =

3.1416

>> y = tan(pi/6);

След въвеждането на горните две команди и присвояването на стойността tan(pi/6) към променливата y, променливата ans все още съдържа стойността pi.

Пример 22: За построяването на двумерни масиви в MATLAB се използват празни интервали, за да се разделят елементите в редовете и точка и запетая, за да се разделят редовете.

>> B = [ 1 2 -1; 2 5 0; 2 3 1]

B =

1 2 -1

2 5 0

2 3 1

Забележка: Всеки двумерен масив от числа в системата MATLAB може да се интерпретира математически като числова матрица - правоъгълна таблица от елементи, които са числа.

В системата MATLAB има редица вградени функции за решаване на математически задачи в областта на линейната алгебра и числени методи. Например, решаването на линейни системи от вида B*x=c чрез оператора ‘\’ ( наклонена черта), където B е матрица с размерност 3 3× , c = [4; 5; 6] е вектор с размерност 3 1× .

Пример 23: Решаване на линейни системи от вида B*x=c.

>> x = B\c

x =

5

-1

-1

15

Пример 24: Може да проверим резултата x като изчислим Евклидовата норма norm(B*x-c) на остатъка (B*x-c).

>> norm(B*x-c)

ans = 0

Пример 25: Чрез командата eig(B) можем да намерим собствените стойности на матрицата B = [ 1 2 -1; 2 5 0; 2 3 1].

>> e = eig(B)

e =

5.5379

0.7311 + 0.6070i

0.7311 - 0.6070i

В случая, i е имагинерната единица в математиката, за която 1i = − .

Пример 26: Можем да определим два изходни аргумента за функцията eig(B).

>> [V, D]= eig(B)

V =

0.2075 0.6771 0.6771

0.7715 -0.3110 - 0.0442i -0.3110 + 0.0442i

0.6015 -0.4398 - 0.4994i -0.4398 + 0.4994i

D =

5.5379 0 0

0 0.7311 + 0.6070i 0

0 0 0.7311 - 0.6070i

В този случай, колоните на V са собствените вектори на B, а диагоналните елементи на D са съответните собствени стойности.

16

Конструиране на по-големи матрици от по-малки чрез ‘слепване’ може да се реализира в системата MATLAB, като се спазват следните три синтактични правила:

1. Всеки масив се затваря с квадратни скоби, т.е. ‘[] ’;

2. Интервали или запетайки отделят отделните елементи в редовете на матрицата;

3. Точка и запетая отделят отделните редове, т.е. ‘;’.

Пример 27: Конструиране на матрици чрез слепване. Нека имаме вектора а = [1 2 3] и матрицата B = [ 1 2 -1; 2 5 0; 2 3 1]:

>> C = [B, [8; 9; 10]], D = [B; a]

C =

1 2 -1 8

2 5 0 9

2 3 1 10

D =

1 2 -1

2 5 0

2 3 1

1 2 3

Пример 28: Неправилно конструиране на матрици в MATLAB при слепване на два масива, матрици или вектори.

>> C = [B, [8; 9; 10, 11]]

??? Error using ==> vertcat CAT arguments dimensions are not consistent.

Горното съобщение за грешка в системата MATLAB се извежда, поради несъвместимостта на размерностите на матрицата B и вектора-стълб [8; 9; 10, 11] при слепването. В пример 24 не са спазени математически правила и системата дава грешка при слепване, въпреки че са спазени всичките три изброени по-горе синтактични правила за конструиране на матрици.

17

Практически е невъзможно до матрицата B с 3 реда да се слепи вектора стълб [8; 9; 10, 11] имащ 4 реда и да се получи матрица, тъй като не всички елементи от четвъртия ред в получената матрица са дефинирани математически.

Забележка: Подобна операция на слепване на две матрици в математиката няма, освен операцията събиране на два низа, която е известна като конкатенация. В системата MATLAB, образуването на нова матрица от ‘слепването’ на други две матрици е възможно в следните два случая (математически обосновани):

1. Двете матрици имат еднакъв брой редове;

Например: ако [ ] [ ]: , :A m n B m s= × = × , то [ ] [ ]: , ( )C A B m n s= = × + .

2. Двете матрици имат еднакъв брой стълбове.

Например: aко [ ] [ ]: , :A m n B s n= × = × , то [ ] [ ]: ; ( )C A B m s n= = + × .

В първият случай ‘слепването’ на матриците A и B се образува чрез запетайка между тях, т.е. [ ],A B , докато във втория случай

‘слепването’ се образува чрез символа точка и запетая, т.е. [ ]; .A B

Пример 29: Употреба на специалната функция CUMSUM(X), вградената в системата MATLAB. За вектори X, CUMSUM(X) е вектор, съдържащ натрупаната сума на елементите на X.

За матрици, командата CUMSUM(X, DIM) действа върху посочената размерност DIM. (‘DIM’ e съкращение от ‘dimension’ и означава размерност в превод от английски.) CUMSUM(X, DIM) е матрица със същата размерност, тъй като X съдържа елементи, които са натрупаната сума от елементите в редовете при 1=DIM

и натрупаната сума от елементите в колоните при 2=DIM .

Примери: Ако X е следната матрица 0 1 2

3 4 5

, т.е. 0 1 2

3 4 5X

=

, то

тогава имаме: ( ) 0 1 2 0 1 2,1 :

3 1 4 2 5 3 4 7cumsum X

= = + +

и

( ) 0 0 1 0 1 2 0 1 3,2 :

3 3 4 3 4 5 3 7 12cumsum X

+ + + = = + + +

.

Забележка: Тази специална функция cumsum(X,2) в системата MATLAB е използвана в програма 6.1 от глава 6 на стр. 58 за генериране на ценови пътеки, виж командата:

LogPaths = cumsum([log(S0)*ones(NRepl,1), Increments],2);

където матрицата X е X:= [log(S0)*ones(NRepl,1), Increments].

18

Забележка: Матрицата X представлява слепване на две матрици X1

и X2, които имат еднакъв брой редове, т.е. (NRepl) реда.

Имаме [ ]1 2,X X X= , където за матриците

X1 := log(S0)*ones(NRepl,1) с размерност 1NRepl× и матрицата

X2 := Increments = nudt+sidt*randn(NRepl,NSteps) с размерност

NRepl NSteps× . Така при слепването на матриците X1 и X2 се получава нова матрица X с размерност ( 1)NRepl NSteps× + .

Забележка: Аналогично на CUMSUM(X) е действието на командата PROD(X), но получената матрица съдържа елементи, които са натрупанoтo произведение във всяка от колоните.

Пример 30: Всеки от елементите на предварително зададена матрицата може да бъде асоцииран към нова променлива и използван в следващи изчисления в диалоговия прозорец на системата MATLAB. Например можем да използваме елементите 13 21,b b и 33b на матрицата B = [ 1 2 -1; 2 5 0; 2 3 1]:

>> B(1,3), y1 = B(2,1), y2 = B(3,3)

ans =

-1

y1 =

2

y2 =

1

Пример 31: Образуване на подматрица от елементите на матрица. Чрез командата ( 1: 2, 1: 2)B i i j j се образува подматрица от пресичането на редовете от i1-ия до i2-ия ред и колоните от j1-та до j2-та колона на матрицата B = [ 1 2 -1; 2 5 0; 2 3 1].

>> B(2:3,1:2)

ans =

2 5

2 3

Получената подматрица е образувана от втория и третия ред и първата и втората колона на матрицата B = [ 1 2 -1; 2 5 0; 2 3 1].

19

>> B(2:3,1:3)

ans =

2 5 0

2 3 1

Получената подматрица е образувана от пресичането на втория и третия ред с първата, втората и третата колона на зададената матрица B = [ 1 2 -1; 2 5 0; 2 3 1].

В системата MATLAB могат да се генерират автоматично матрици със специални свойства и широка употреба в линейната алгебра, иконометрията, числените методи, вероятностите и статистика.

Пример 32: Специални матрици с нули и единици може да се генерират чрез командите eye, zeros и ones.

>> I4 = eye(4,4), Y =zeros(2,3), Z = ones(2)

I4 =

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

Y =

0 0 0 0 0 0

Z =

1 1 1 1

Пример 33: Генериране на вектор-ред или вектор-стълб с елементи само единици може да се извърши чрез командата ones.

>> F = ones(1,3), U = ones(3,1)

F =

1 1 1

U =

1 1 1

20

2. ПРИЛОЖЕНИЕ НА MATLAB В ИКОНОМИКАТА

2.1. ФИНАНСОВИ ДЕРИВАТИ

В днешно време дериватите (derivatives) са станали много важен 'инструмент' в света на Финансите. Всеки ден навсякъде по света деривати като фючърси и опции се търгуват активно на борсовите и на извън-борсовите пазари от финансови институции, фондови мениджъри и корпоративни организации. Фючърсите (futures) са известни още като срочни сделки, които задължително трябва да се изпълнят в предварително уговорена датата. Дериватите обикновено се определят като финансови инструменти, чиято цена зависи от цените на други по-основни активи, които са стоки, или акции на други компании, откъдето и името деривати [22]. Има голямо разнообразие на деривати като кредитни, електрически, климатични и застрахователни деривати. От особен интерес в пазара с деривати са опциите, които позволяват да се правят облози за повишаването или спадането на цените на финансови активи. Например, инвеститор, който предполага, че цената на даден вид стока ще се повиши, може да реализира печалба купувайки акции в същата компания. В зависимост от бъдещата цена, той може да спечели или изгуби пари. Такъв вид инвеститор изразява едно от основните търговски предназначения на опциите, т.е. спекулиране (speculations). Другата важна роля на опциите е хеджирането (hedging) или намаляването на риска. Отношението на количеството активи и брой опции в едно портфолио води до важен проблем в икономиката - оценяването на опциите, т.е да се изчисли реалната цена на дадена опция или с други думи да се определи цената, за която опцията може да се купи или продаде на действащ финансов пазар. Опциите могат да служат и за арбитраж (arbitrage) - търговска дейност, при която се купуват или продават опции с цел печалба като се използва разликата в цената им на различни финансови пазари в света. Огромният интерес към опциите в икономиката и живота ни насърчи да направим изследване за традиционните и някои специални опции като опциите с бариери (barrier options), където точното определяне на цената е много сложен проблем. Но преди да разгледаме различните видове опции и тяхната класификация, нека отговорим на следните три въпроса: Какво точно са опциите? Какъв вид деривати са опциите? Какво е премиумът на опциите?

21

Опциите са договор или споразумение между две страни, който дава правото, но не и задължението да се купи или продаде даден актив. Този актив може да бъде стока на дадена компания, валута, пшеница, нефт или просто споразумение със съседа да бъдат купени две пакетчета захар през следващата седмица. Същественото за опциите е, че възможността да се упражни дадено право, но не и задължението, дава огромни финансови възможности за печалба при спекулирането и застраховането. Разбира се, сключването на такъв вид договори като опциите струва пари, което всъщност е цената на дадената опция и се нарича още премиум на опцията (premium). Това е основното, което различава опциите от другите два основни вида деривати - предварителни договори (forward contracts) и фючърси (futures), при които нищо не се заплаща предварително при подписването на съответния договор, но купуването или продажбата на дадения актив е задължително, т.е. споразуменията за покупка или продажба се изпълняват винаги.

2.2. ОСНОВНИ ВИДОВЕ ОПЦИИ И МЕТОДИ ЗА ОЦЕНЯВАНЕ. МОДЕЛ НА БЛАК ШОЛС

Има два основни вида опции. Когато притежателят има право да закупи даден актив в определен бъдещ момент за определена цена, опцията се нарича кол (call). Цената в договора се нарича цена на изпълнение (exercise price) или страйкова цена (strike price). Определената дата в договора, когато на практика се осъществява, се нарича дата на изтичане (expiration date) или матуритет (maturity). Много често вместо матуритет се използва и понятието падеж. Другият основен вид опции се наричат пут опции (put options), когато притежателят има право да продаде даден актив.

Цената на разглеждания актив се описва от ценови процес, а страйковата цена е предварително определена във всеки договор за купуване или продаване на опции от банка или друга финансова институция и остава фиксирана до изтичането на опцията. Оттук нататък в настоящото ръководство е съществено да разграничаваме и двете понятия цена на разглеждания актив и премиум на дадената опция, който се пресмята чрез дисконтиране на стойността на ценовия процес в определени моменти от живота на опцията до изтичането й, в зависимост от вида на опцията.

Както споменахме в предната глава, на финансовия пазар най-важният проблем е определянето на премиума на дадената опция. Аналитичният модел на Блак-Шолс (Black-Scholes model) за

22

определяне поведението на цените на стоките е фундаментален в икономиката [3]. Освен това, за фиксирани лихва и волатилност чрез формулата на Блак-Шолс (Black-Scholes formula) в [3] се пресмята премиума на Европейска кол и пут опция за активи без дивиденти. За съжаление, в случай на опции с бариери, повечето известни формули са приложими само, когато опциите са наблюдавани непрекъснато, т.е. активиране (knock-in) или анулиране (knock-out) на опцията се приема, ако бариерата е докосната във всеки един момент от живота на опцията. Под ‘живот на опция’ се разбира времето до падежа на опцията. Премиумът на опцията се различава значително при дискретно или постоянно наблюдение [28], [38]. Известни са пет подхода за оценяване на опции: биномни и триномни дървета, симулации на Монте Карло, схеми на крайни разлики, търсене на аналитично решение и квадратурен метод. Опции зависещи от времето могат да бъдат оценявани чрез симулации на Монте Карло, като желаното ниво на точност се постига в реално време. В случаи, когато не е известна аналитична формула за някои нестандартни видове опции като например азиатски (asian) или лукбак (lookback) опции, методът Монте Карло е един от основните методи за оценяване. Но успешното приложение на този метод налага и компютърни симулации на платформи като MATLAB, особено в случаи на опции с бариери. Примерът за дискретни опции с бариери е специален във финансовата математика, тъй като този вид опции зависят от времето и се характеризират със скокове от първи род във функцията на печалба или така наречените прекъсвания. В настоящото ръководство са изследвани, както аналитични така и числени методи за оценяване на обикновени ванилови опции и модерни финансови деривативи като екзотични опции, например дискретни нокаут кол и пут опции с две бариери.

2.3 ВАНИЛОВИ И ЕКЗОТИЧНИ ОПЦИИ

• Обикновени ванилови опции: кол и пут опции

За да обясним финансовия дериват опция, ще представим и два практически примера, които са подобни на тези описани в [22].

Пример 2.1 Кол опция: (call option). Нека опцията е Европейска кол опция със страйкова цена 50€ и имаме инвеститор, който иска да купи 200 дяла на Телеком Италия. Известно е, че настоящата цена на този актив е 48€, падежът (матуритетът) на опцията е пет месеца и премиумът на опцията е 3€.

23

Страйковата цена обикновено се бележи с K , в пример 2.1. 50=K .

Първоначалната инвестиция е 200×3 = 600€. Инвеститорът може да упражни опцията само в датата на падежа, защото опцията е от Европейски вид. (Опциите от американски вид, могат да бъдат упражнявани по всяко време от живота на опцията.) Ако в датата на падежа цената на актива е под 50€, инвеститорът няма да упражни опцията. (Безсмислено е да се купи опция от 50€, която има пазарна цена по-малко от 50€, защото цялата първоначална инвестиция от 600€ ще се бъде изгубена). Ако цената на актива е повече от 50€ в датата на падежа, опцията ще бъде упражнена. Например, ако цената на актива достигне 65€, упражняването на опцията при предварително закупени 200 дяла от 50€ всеки от тях и непосредственото им продаване, води до печалба от 15€ на дял или 200×15 = 3000€, в случай, че пренебрегнем разходите по сделката. След дисконтиране на първоначалната цена на опцията от 200×3 = 600€, чистата печалба за инвеститора е 2400€. Фиг. 2.1 показва печалбата от опцията на един дял, съответно без или с включена първоначална цена на опцията от 3€ (лявата графика не включва първоначална инвестиция от 3€, а дясната – да, т.е. показва чистата печалба). Графиката на фигурата е генерирана чрез програма 2.1 и позволява да се наблюдава изменението на печалбата от кол опцията спрямо крайната цена на дадения актив.

0 20 40 60 800

5

10

15

20

25

30

Крайна цена на актива

Печалба

0 20 40 60 80-5

0

5

10

15

20

25

30

Крайна цена на актива

Печалба

Фиг. 2.1 Графика на печалбата спрямо крайната цена на дадения актив.

24

Програма 2.1

% Програма за пресмятане на печалбата от кол % опция спрямо крайната цена на дадения актив

% Call Option Gain Loss Graphic one share 3 euro

K=50; % страйкова цена

npunti=1000; % точки, описващи графиката

ds=80/npunti; % точки, описващи актива

S=ds*(1:npunti); % цени на дадения актив

V0=zeros(npunti,1);

V1=zeros(npunti,1);

V2=zeros(npunti,1);

for j=1:npunti if S(j)<=K V0(j)=-3; end if S(j)>K V0(j)=S(j)-53; end end

for j=1:npunti if S(j)<=K V2(j)=0; end if S(j)>K V2(j)=S(j)-50; end end subplot(121), plot(S', V2, 'b-' ), xlabel( ' Крайна цена на актива' ), ylabel( ' Печалба' )

subplot(122), plot(S',V0, 'b-' ,S',V1, 'k-' ), box off xlabel( ' Крайна цена на актива' ), ylabel( ' Печалба' )

25

Забележка: В практиката опциите са упражняват, дори когато инвеститорът ‘реализира’ загуба. Ако цената на актива Телеком Италия е 51€ в датата на падежа, упражняването на опцията с цел реализиране на печалба от 200 × (51 − 50) = 200€ води до загуба 600 − 200 = 400€, когато първоначалната цена на опцията е взета предвид. Не упражняването на опцията, би довело до максимална загуба от 600€, което е по-лошо от 400€. По принцип, кол опциите трябва винаги да се упражняват в датата на падежа, ако цената на разглеждания актив е повече от предварително зададената цена на страйка. Очакването на инвеститорa на кол опция е в контраст с това на притежателя на пут опция. Първият се надява цената на дадения актив да се повиши, докато вторият - да се намали.

Пример 2.2 Пут опция: (put option). Нека имаме инвеститор, който купува Еропейска пут опция, даваща правото му да продава 400 дяла Vodafone със страйкова цена 100€. Нека настоящата цена на актива е 95€, падежът на опцията е два месеца и премиумът на опцията да бъде 8€ за 1 дял.

В пример 2.2 страйковата цена е 100=K . Първоначалната инвестиция е 400×8 = 3200€. Опцията ще бъде упражнена, само ако цената на актива TS е под 100€ в датата на падежа T , т.е. 100TS < . Ако 75TS = €, то 400 × 75 = 30000€ и продаването на дяловете на цена от 100€ всеки води до печалба 25€ на дял, или 400 × 25 = 10000€ обща печалба. Чистата печалба е 10000 − 3200 = 6800€, като вземем предвид разходите по сделката от 400 × 8 = 3200€. Но ако крайната цена на актива е повече от 100€, т.е. 100TS > , няма гаранция, че инвеститорът ще спечели, т.е. пут опцията е без стойност и инвеститорът може да загуби 3200€ . Фиг. 2.2 показва печалбата от опцията на един дял, съответно без или с включена първоначална цена на опцията от 8€ (лявата графика не включва първоначална инвестиция от 3€). Графиката на фигурата е генерирана чрез програма 2.1 и позволява да се наблюдава изменението на печалбата от пут опция спрямо крайната цена на дадения актив. Графиките на фиг. 2.1 и фиг. 2.2 представляват функция, която в икономиката се нарича функция на печалба (payoff function). Функцията на печалбата ][ TSf зависи от крайната цена на разглеждания актив TS , т.е. цената S в датата на падежа T . Премиумът на опцията и функцията на печалба ][ TSf

зависят и от предварително определени параметри в опционния договор като начална цена на разглеждания актив 0S , стракова цена K , лихвен процент r , волатилност σ и падеж T .

26

Програма 2.2

% Програма за пресмятане на печалбата от пут % опция спрямо крайната цена на дадения актив

% Put Option Gain Loss Graphic, one share 7 euro

K=100; % страйкова цена

npunti=1000;

ds=120/npunti;

S=ds*(1:npunti);

V0=zeros(npunti,1);

V1=zeros(npunti,1);

V2=zeros(npunti,1);

for j=1:npunti if S(j) < K V0(j)=92-S(j); end if S(j)>=K V0(j)=-8; end end

for j=1:npunti if S(j) < K V2(j)=100-S(j); end if S(j)>=K V2(j)=0; end end

subplot(121), plot(S', V2, 'b-' ), xlabel( ' Крайна цена на актива' ), ylabel( ' Печалба' )

subplot(122), plot(S',V0, 'b-' ,S',V1, 'k-' ), box off xlabel( ' Крайна цена на актива' ), ylabel( ' Печалба' )

27

0 50 100 1500

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Крайна цена на актива

Печалба

0 50 100 150-20

0

20

40

60

80

100

Крайна цена на актива

Печалба

Фиг. 2.2 Графика на печалбата спрямо крайната цена на дадения актив.

• Премиум на опции спрямо двата параметъра време и цена на дадения актив.

Премиумът на опцията може да се изрази като функция на времето t и цената на дадения актив S. Например, нека за означим с ( , )C S t премиума на ваниловата Европейска кол опция. Математически ( , )C S t представлява повърхнина, която е известна в икономиката като повърхнина на Блак-Шолс (Black-Scholes survace). На фиг. 2.3 е начертана повърхнината на Блак-Шолс

( , )C S t на Европейска кол опция със страйкова цена 1K = и падеж една година 1T = . На графиката на фиг. 2.3 се вижда ясно, че премиумът на опцията към датата на падежа намалява като ‘хокеен стик’, тъй като функцията на печалба е max( ,0)S K− . При начална цена на дадения актив 0S S= в началния момент

0t = , ( ,0)C S е решение на основния на проблем в икономиката: определянето на премиума на Европейска кол опция за различни стойности на разглеждания актив и различни дати на изпълнение.

Следващата програма 2.3 показва как стойностите на премиума ( ,0)C S може да бъдат пресметнати и визулизирани чрез системата MATLAB.

28

0

1

2

3

0

0.5

1-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

St

C(S

,t)

Фиг. 2.3 Повърхнина на Блак-Шолс за премиума на Европейска кол опция.

Програма 2.3

% Повърхнина на Блак- Шолс за Европейска кол опция % Black-Scholes surface for European call % Предварително зададени параметри на опцията K = 1; r = 0.05; sigma = 0.2; T = 1;

L = 50; % брой точки, описващи повърхнината

Svals = linspace(0,3,L); tvals = linspace(0,T,L); C = zeros(L,L); % матрица с премиумите на опцията

for i = 1:L S = Svals(i); for j = 1:L t = tvals(j); [Call,Calldelta,Put,Putdelta] = ch08(S,K,r,sigma,T-t); C(i,j) = Call; end end

Smat,tmat] = meshgrid(Svals,tvals); mesh(Smat,tmat,C') xlabel( 'S' ), ylabel( 't' ), zlabel( 'C(S,t)' ) където ch08(S, К, r, sigma, tau) е следната MATLAB функция:

29

function [C, Cdelta, P, Pdelta] = ch08(S, К,r,sigma,tau)

% Входящи параметри:

% S = цена на актива в момент t % К = цена на изпълнение или страйкова цена % r = лихвен процент % sigma = параметър за волатилност % tau = време до падежа (T-t), живот на опцията

% Изходящи параметри:

% C = цена на кол опцията, % Cdelta = делта стойност на кол опцията % P = цена на пут опцията, % Pdelta = делта стойност на пут опцията%

if tau > 0

d1 = (log(S/K) + (r + 0.5*sigma^2)*(tau))/(sigma*sqrt(tau));

d2 = d1 - sigma*sqrt(tau);

N1 = 0.5*(1+erf(d1/sqrt(2))); N2 = 0.5*(1+erf(d2/sqrt(2)));

C = S*N1-K*exp(-r*(tau))*N2; Cdelta = N1;

P = C + K*exp(-r*tau) - S; Pdelta = Cdelta - 1;

else C = max(S-K,0); % печалба от кол опцията Cdelta = 0.5*(sign(S- К) + 1);

P = max(K-S,0); % печалба от пут опцията Pdelta = Cdelta - 1;

еnd

P - C - К*exp(-r*tau) + S

Забележка: Програмите 2.3 и ch08(S,К,r,sigma,tau) са предложени от Desmond J. Higham [9]. За да бъдат разбрани тези две програми са необходими познания за оценяване на опции и методи за симулация на цените, които ще представим в следващата глава 3.

Забележка: Стойността на израза P - C - K*exp(-r*tau)+S е числено равен на нула, като следствие на известното равенство в икономиката между кол и пут опция (put-call parity): rTP S Ke C−= − + ,

където P и C са цените съответно на Европейска пут и кол опция.

30

• Екзотични опции (exotic options): опции с бариери

По принцип, бариерни условия могат да бъдат прилагани по дискретно или непрекъснато за повечето опции на финансовия пазар и така се получават опции със сложна функция на печалба [28], [43].

Един такъв пример ще изследваме в настоящото ръководство: Дискретно наблюдавана нокаут кол опция с две бариери (discrete double barrier knock-out call option) е опция имаща непрекъсната функция на печалба max(S-K,0), която изтича без стойност (expires worthless), т.е. губи валидност, ако преди падежа на опцията, цената на дадения актив е попаднала извън бариерния коридор [L,U] в предварително определените дати на наблюдение. В тези дни опцията се анулира и печалбата се приема за нула, ако цената на дадения актив попадне извън дадения коридор [L,U] . Въпреки това, ако една от бариерите е достигната от цената на актива в предварително определените дати, опцията се анулира, т.е. става нула, но притежателят на опцията може да бъде компенсиран с допълнително заплащане (rebate payment) [22].

В настоящото ръководство се изследват само Европейски вид опции без компенсации (rebates), т.е. опциите могат да бъдат упражнявани само в датата на изтичане на опцията (падежа) и опцията е нула в дните на наблюдение, ако една от бариерите е била достигната от цената на дадения актив. Нека L и U са съответно долната и горната бариера, K е страйковата цена и множеството

{ }| [0, ]i iB t t T= ∈ се състои от всички предварително определени

моменти, когато бариерите се прилагат. Нека дискретните моменти it са равномерно разпределени в множеството B .

Дискретна бариера е бариерно условие, което се прилага само в дискретни моменти it за разлика от непрекъснатия случай на наблюдение на опции с бариери. Извън датите на наблюдение it , т.е.

Bt ∉ , цената на разглеждания актив tS може да приема произволни положителни реални стойности, т.е. целия интервал [0, ]∞ .

Дискретното наблюдение се прилага, тъй като е прието една година да се състои от 250 работни дни и 50 седмици. За една година 1T = , прилагането на бариери се случва през интервали от 0,004 дневно, т.е 1/250, и 0,02 седмично, т.е. 1/50. За половин година

5,0=T при тримесечно, месечно, седмично и дневно наблюдение има съответно m=2, m=6, m=25 и m=125 дискретни моменти it .

31

3. МОДЕЛ И ФОРМУЛА НА БЛАК-ШОЛС

Най-известният математически модел в икономиката описващ случайното движение на цените на финансовите активи е моделът на Блак-Шолс [3]. В него цената на разглеждания актив S се описва от дифузионен процес, който е Брауново движение (Brownian motion), срещано в източници на английски език [13, 16, 19, 28, 30, 46] и източници на български език [4, 45, 29, 31, 49], и използвано в литературата като Брауново лутане (random walk) [24].

При постоянни коефициенти r и σ моделът на Блак-Шолс е:

t

dSrdt dW

Sσ= + , (3.1)

където S е цената на разглеждания актив, r - лихвен процент, 0r > , σ -волатилен параметър, 0σ > , tdW - нарастванията на Гаус-Винеров процес, който е еднороден процес с независими нараствания [49].

В модела на Блак-Шолс при рисково неутрална формулировка на постоянен лихвен процент r за възвращаемостта и постоянна волатилност σ за измененията във възвращаемостта, ценовият процес tS на разглеждания актив е дефиниран чрез

tWt eSS 0= , (3.2)

където tW е Брауново лутане с очакване 2

2

1ˆ σµ −= r и дисперсия t2σ ,

а 0S е начална цена на дадения актив (предварително определена). Използвайки, че дисперсията на Винеровия процес е линейно

адитивна [49], получаваме следната известна формула [37]:

+

−=+ ttrSS ttt δεσδσδ2

2

1exp (3.3)

където ε ~N(0,1), т.е. ε е случайно число, генерирано от стандартно нормално разпределение със средно 0 и дисперсия 1, а tδ е малък интервал от време. Чрез формула (3.3) и 0S , можем да генерираме ценова пътека tS , както е описано в следващата програма 3.1.

Например, нека начертаем три ценови пътеки, които описват случайното движение на даден актив с начална цена 50€ и параметри: лихвен процент 0,1 и волатилност 0,3 в продължение на една година, приемайки, че времевата стъпка е един ден.

За целта е необходимо да направим следната процедура:

1. Отваряме програма 3.1 в MATLAB Editor и я стартираме;

32

2. В диалоговия прозорец извикваме последователно всяка от MATLAB командите след програмa 3.1, (виж по-долу).

3. Чрез следните командит xlabel(' Дни от годината') и ylabel(' Цена на актива S_t') подобно на Tex и Latex средите обозначаваме двете оси на графиката.

Програма 3.1

% Програма за генериране на ценови пътеки

% AssetPaths.m

function SPaths = AssetPaths(S0,r,sigma,T,NSteps,NRepl)

SPaths = zeros(NRepl, 1+NSteps); % начална матрица [Nrepl ×(1+Nsteps)] на ценовите пътеки

SPaths(:,1) = S0; % S0 начална цена на актива dt = T/NSteps; % интервали tδ между отделните дни

nudt = (r-0.5*sigma^2)*dt; % nudt:= 2

2

1ˆ σµ −= r

sidt = sigma*sqrt(dt); % отклонението sigma=:σ

% sidt е дисперсията t2σ на Брауновото лутане

for i=1:NRepl

for j=1:NSteps SPaths(i,j+1)=SPaths(i,j)*exp(nudt+sidt*randn); end end

MATLAB команди към Програма 3.1:

>> randn('seed',0);

>> paths=AssetPaths(50,0.1,0.3,1,365,3);

>> plot(1:length(paths),paths(1,:))

>> hold on

>> plot(1:length(paths),paths(2,:))

>> hold on

>> plot(1:length(paths),paths(3,:))

>> hold on

>> xlabel(' Дни от годината')

>> ylabel(' Цена на актива S_t')

където чрез командата в AssetPaths(50,0.1,0.3,1,365,3) викаме програмата 3.1, т.е. програмата в m-файла AssetPaths.m.

33

Забележка: Командата hold on позволява да чертаем нови ценови пътеки на същата графика, в която сме генерирали вече такава пътека чрез командата plot(1:length(paths),paths(1,:)).

Формула (3.3) има фундаментално значение в икономиката, защото позволява да се избегне търсенето на аналитично решение на стохастично уравнение (3.1), като се намери числено решение, получено чрез непосредствено генериране на случайни числа, които описват разпределението (3.2) на ценовия процес tS , виж също [23].

0 50 100 150 200 250 300 350 40030

35

40

45

50

55

60

65

70

75

80

Дни от годината

Цена на актива S

t

Фиг. 3.1 Симулация на ценови пътеки генерирани чрез Брауново лутане.

Функцията AssetPaths(S0,mu,sigma,T,NSteps,NRepl) от файла AssetPaths.m представлява матрица SPaths = zeros(NRepl, 1+NSteps), с размерност [Nrepl ×(1+Nsteps)], където с параметъра Nrepl се въвежда броя на ценовите пътеки, които желаем да симулираме. Параметърът 1+Nsteps е броят на времевите стъпки, който за прегледност неслучайно е избран да бъде 1+Nsteps. Чрез командата SPaths(:,1) = S0 се въведе начална цена 0S на разглеждания актив, която е предварително определена в договора на опцията. Така, редовете на матрицата [Nrepl ×(1+Nsteps)] съответстват на отделна ценова пътека, като в колоните се съхраняват стойностите в отделните времеви моменти (обикновено се приемат дни). Целият първия стълб на тази матрица има стойности S0. В двойния цикъл за всяка ценова пътека се генерират последователно стойностите й

34

по дни, т.е. от стойността SPaths(i,j) на ценовата пътека в j-я ден се получава стойността й SPaths(i,j+1) в (j+1)-я ден чрез командата:

SPaths(i,j+1)=SPaths(i,j)*exp(nudt+sidt*randn) ,

която всъщност съответства на формула (3.3) при параметри, :dt tδ= ,

dtrnudt

−=

2:

2σ , :sidt tσ δ= , ε=:randn ~ )1,0(N . Чрез командата randn

в MATLAB се генерира случайно число от стандартното нормално разпределение със средно 0 и дисперсия 1.

Анализ на командите в Command Window към Програма 3.1:

Чрез командата paths=AssetPaths(50,0.1,0.3,1,365,3); генерираме три ценови пътеки, като запазим стойностите на всяка от тях съответно в ред на матрицата SPaths[Nrepl ×(1+Nsteps)].

Забележка: За краткост, не извеждаме тези стойности, а само ги запаметяваме чрез командата ‘;’. Чрез plot чертаем ценовите пътеки като 1:length(paths) отговаря съответно на точките от абсцисата 1, 2, 3, ... , 366, където length(paths) =(1+Nsteps). В случая NSteps=365 и тогава length(paths) =366.

На практика командата l:m:n изписва редица от числа, която представлява аритметична прогресия с първи член l, разлика m и последен член n. Най-частен случай на l:m:n е командата 1:n, която изписва последователността от естествени числа от 1 до n.

Чрез paths(1,:) се изобразяват съответните на 1, 2, ... , 366 координати върху ординатната ос, които са стойностите от първия ред на матрицата SPaths[Nrepl ×(1+Nsteps)].

Чрез paths(2,:) се изобразяват съответните на 1, 2, ... , 366 координати върху ординатната ос, които са стойностите от втория ред на матрицата SPaths[Nrepl ×(1+Nsteps)].

Чрез paths(i,:) се изобразяват съответните на 1, 2, ... , 366 координати върху ординатната ос, които са стойностите от i–я ред на матрицата SPaths[Nrepl ×(1+Nsteps)].

>>plot(1:length(paths),paths(1,:)) е двумерна графика от точките (1, paths(1,1)), (2, paths(1,2)), ..., (366, paths(1,NRepl)), която начертана чрез командата plot(x,y), където на x и y отговарят съответно числата 1:length(paths) и paths(1,:).

>>plot(1:length(paths),paths(2,:)) е двумерна графика от точките (1, paths(2,1)), (2, paths(2,2)), ..., (366, paths(2,NRepl)), отговаряща на втората ценова пътека.

35

>>plot(1:length(paths),paths(3,:)) е двумерна графика от точките (1, paths(3,1)), (2, paths(3,2)), ..., (366, paths(3,NRepl)), отговаряща на третата ценова пътека.

Чрез модела на Блак-Шолс проблемът за намирането на премиума на дадена опция ( , )V S t се свежда до решаване на следното параболично частното диференциално уравнение за ( , )V S t във вида:

22 2

2

10

2

V V VrS S rV

t S Sσ∂ ∂ ∂+ + − =

∂ ∂ ∂, (3.4)

където t е времето до падежа T на договора от опцията, r е лихвеният процент, σ е параметърът за волатилност. Уравнение (3.4) е известно като уравнение на Блак-Шолс-Мертон.

В общия случай уравнението на Блак-Шолс има много решения съответстващи на различни деривати, които могат да бъдат дефинирани чрез S като независима променлива. Съответният дериватив, който се получава, зависи от граничните условия, които са използвани при решаването на уравнението на Блак-Шолс [14]. Взимайки предвид, че тези условия се определят от съответната функция на печалба за дадения дериватив, то дериватите могат да бъдат класифицирани според функцията им на печалба. Този вид класификация е съществен при прилагането на числени методи като схеми на крайни разлики. Функцията на печалба на дадения финансов дериватив е фактически начално условие при решаването назад на уравнението на Блак-Шолс спрямо времевата променлива.

В случай на обикновена ванилова кол опция от Европейски вид функцията на печалба има следния вид

)0,max(),( KSTSV T −= , когато t T= , (3.5)

и при смяна на посоката на времевата променлива t чрез t T τ= − ,

[ ]0,Tτ ∈ , е всъщност начално условие в следното уравнение:

22 2

2

10

2

V V VrS S rV

S Sσ

τ∂ ∂ ∂− + + − =∂ ∂ ∂

(3.6)

Граничните условия на уравнение (3.4) при S→ ∞ , 0S = са съответно: ( )( , ) r T tV S t S Ke− −→ − при S→ ∞ и 0),0( =tV , (3.7)

Следната формула за премиума на Европейска кол опция в момент t и цена S на разглеждания актив е изведена от Фишер Блак и Мирон Шолс [3]:

( )1 2( , ) ( ) ( )r T tV S t S N d Ke N d− −= − , (3.8)

където

36

2

1

1log ( )

2S

r T tK

dT t

σ

σ

+ + − =

− (3.9)

2

2 1

1log ( )

2S

r T tK

d d T tT t

σσ

σ

+ − − = = − −

− (3.10)

и със символа ( )*N е означена функция на стандартното нормално

разпределение ( )0,1N , т.е. 2

21( ) :

2

sx

N x e dsπ

−

−∞= ∫ .

Уравнението на Блак-Шолс (3.4) е дефинирано за следните гранични и бариерни условия в случай на дискретна нокаут кол опция с две бариери L и U , L U< : гранични условия:

(0, ) 0V t = при 0S = и ( , ) 0V S t = при S→ ∞ (3.11)

бариерни условия:

0, ,

( , )( , ),

ако S Lили S U и t BV S t

V S t в противенслучай

≤ ≥ ∈=

(3.12)

където множеството { }| [0, ]i iB t t T= ∈ се състои от всички моменти it ,

когато бариерите L и U се прилагат [40], [41].

Функията на печалба е всъщност крайно условие ( , )V S T за уравнение (3.4) при t T= :

0, ,

( , ) max( ,0), ,

0,

ако S L

V S T S K ako L S U

ако S U

≤= − < < ≥

(3.13)

Забележка: Функията на печалба при смяната t T τ= − е начално условие ( ,0)V S при 0τ = , за уравнение (3.6):

0, ,

( ,0) max( ,0), ,

0,

ако S L

V S S K ako L S U

ако S U

≤= − < < ≥

(3.14)

Забележка: В практиката уравнение (3.4) на Блак-Шолс се решава назад, като функцията на печалба се използва като начално условие.

Забележка: Очевидно, ако за бариерите L и U е изпълнена зависимостта L K U≤ < , то началното условие ( ,0)V S в уравнение (3.6) при 0τ = може да бъде записано по следния начин:

37

0, ,

( ,0) , ,

0,

ако S K

V S S K ako K S U

ако S U

≤= − < < ≥

(3.15)

Забележка: Аналогично на горната забележка, ако K L U< < , то началното условие ( ,0)V S в уравнение (3.6) при 0τ = е:

0, ,

( ,0) , ,

0,

ако S L

V S S K ako L S U

ако S U

≤= − < < ≥

(3.16)

Очевидно, ако за бариерите L и U е изпълнена зависимостта L U K< < , то началното условие ( ,0)V S за уравнение (3.6) при 0τ = е

( ,0) 0V S = . Това е така, защото KSKSSV −=−= )0,max()0,( при S K≥ , но тогава от L U K< < следва, че S K U≥ > или S U> и автоматично опцията се анулира. Този случай няма практически смисъл, защото притежателят на кол опцията не може да реализира печалба независимо от цената на разглеждания актив в датата на падежа T . Това е така само за кол опции с бариери, които имат функция на печалба max( ,0)S K− . За пут опции с бариери и функция на печалба max( ,0)K S− , случаят L U K< < води до следното начално условие:

0, ,

( ,0) , ,

0,

ако S L

V S K S ako L S U

ако S U

≤= − < < ≥

(3.17)

Забележка: Случаят L K U≤ < е най-често срещан в практиката, т.е. цената на страйка е между цената на двете бариери L и U .

Забележка: В случай на опция с непрекъснати бариери L и U , под множеството { }| [0, ]i iB t t T= ∈ се разбира цялия интервал [0, ]T .

Опцията се анулира, ако цената на разглеждания актив достигне една от бариерите L или U , в който и да е момент t, ],0[ Tt ∈ .

Забележка: При опции с непрекъснати бариери L и U , случаите K L U< < или L U K< < имат чисто теоретичен характер, защото те практически може да се разгледат като опция с едно бариерно условие, съответно K L< или U K< .

Формула (3.8) на Блак-Шолс за пресмятане премиума на Европейски кол опция, при която не се изплащат дивиденти, e представена в следващaта програмa 3.2 в системата MATLAB. За въвеждането на параметрите σ,,, rtS и T на дадената опция може да използваме команди за въвеждане на данни от вида S=input('S= ') или MATLAB функция от вида function P=bsfp(S,t,K,r,sigma,T), виж програма 3.3.

38

Програма 3.2 Пресмятане премиума на Европейска кол опция.

% Пресмятане на формулата на Блак- Шолс

S = input( 'S= ' ); % въвеждане цената на актива t = input( 't= ' ); % въвеждане началния момент t K = input( 'K= ' ); % въвеждане на страйковата цена r = input( 'r= ' ); % въвеждане на лихвения процент

% въвеждане на параметъра за волатилност sigma = input( 'sigma= ' );

% въвеждане на падежа на опцията Т T = input( 'T= ' );

% променливата tau описва живота на опцията, т. е. % времето от началния момент t до падежа Т. tau = T-t;

% Опциите от Европейски вид могат само в датата % на изпълнение ( падежа) падежа да се упражняват. if tau > 0

% Пресмятане на параметъра d1 от формула (3.9):

d1 = (log(S/K) + (r+0.5*sigma^2)*tau)/(sigma*sqrt(tau));

% Пресмятане на параметъра d1 от формула (3.10):

d2 = d1 - sigma*sqrt(tau);

% Пресмятане на N(d1) и N(d2) във формула (3.8):

N1 = 0.5*(1+erf(d1/sqrt(2)));

N2 = 0.5*(1+erf(d2/sqrt(2)));

% Команда disp ( '' ) извежда текста от скобите й.

disp( ' Премиумът на Европейската кол опция е:' )

% Пресмятане на формула (3.8) на Блак- Шолс

C = S*N1-K*exp(-r*tau)*N2 % цена на кол опция

else

C = max(S-K,0); % функция на печалба на кол опция end

В тази програма използвахме вградената в MATLAB функция erf(x) , за да пресметнем функцията на разпределение ( )N x на

стандартното нормално разпределение ( )0,1N , 2

21( ) :

2

sx

N x e dsπ

−

−∞= ∫ .

39

Функцията erf(x) е известна като функция на грешката и

се дефинира за всяко реално x като 2

0

2( ) :

x terf x e dtπ

−= ∫ . За да се

пресметне функцията ( )N x се използва математическата зависимост

( )( )1( ) 1

2N x erf x= + между двете функции ( )N x и ( )erf x .

Нека пресметнем с програма 3.2 премиума на Европейска кол опция с параметри подобни на зададените в пример 2.1.

Пример 3.1 Кол опция: (call option). Нека опцията е Европейска кол опция със страйкова цена 40€, за която е известно че, настоящата цена на дадения актив е 42€, падежът на опцията е шест месеца, лихвеният процент е 10%, а волатилността е 20%.

За целта стартираме програма 3.2 и в диалоговия прозорец (Command Window) на системата MATLAB въвеждаме зададените параметри по следния начин:

S = 42

t = 0

K = 40

r = 0.1

sigma= 0.2

T= 0.5

Системата MATLAB извежда следния резултат в диаговия прозорец:

Премиумът на Европейската кол опция е:

C = 4.7594

Така пресметнахме премиума на кол опцията със зададените параметри. Може да проверим получения резултат C = 4.7594 и чрез специално вградената в MATLAB функция blsprice, която по представената формула 3.8 пресмята премиума на Европейска кол опция без дивиденти, т.е: blsprice(Price, Strike, Rate, Time, Volatility). Зададените параметри в скобите на функцията blsprice в превод на български са съответно: начална цена на актива, страйкова цена, лихвен процент, падеж, волатилност. Наистина:

>> blsprice(42,40,0.1,0.5,0.2)

ans = 4.7594

Забележка: Зададена в този вид, вградената в MATLAB функция blsprice(42,40,0.1,0.5,0.2) дава премиума само на кол опцията.

40

Зададена в пълния си вид, т.е. отпред с [Call,Put]= , функцията blsprice дава последователно цените на кол и пут опция. Например:

>> [Call, Put] = blsprice(42,40,0.1,0.5,0.2)

Call = 4.7594

Put = 0.8086

Чрез формула (3.8) на Блак-Шолс се пресмята премиума на кол опция, а съответната формула за премиума на пут опция е:

( )2 1( , ) ( ) ( )r T tV S t Ke N d S N d− −= − − − (3.18)

където 2

1

1log ( )

2S

r T tK

dT t

σ

σ

+ + − =

− (3.19)

2

2 1

1log ( )

2S

r T tK

d d T tT t

σσ

σ

+ − − = = − −

− (3.20)

Ако отбележим с ( , )C S t и ( , )P S t , съответно премиума на кол и пут опция, пресметната съответно по формула (3.8) и (3.18), може да забележим зависимост между премиумите ( , )C S t и ( , )P S t , която е известноа в икономиката като пут-кол паритет (put-call parity)[22]:

( , ) ( , )rTC S t S Ke P S t−= − + (3.21)

което може да се изведе независимо от формулите (3.8) и (3.18).

Чрез формулите (3.8) и (3.18) имаме следните зависимости:

( )1 2( , ) ( ) ( )r T tC S t S N d Ke N d− −= − и ( )

2 1( , ) ( ) ( )r T tP S t Ke N d S N d− −= − − − ,

Като използваме свойството ( ) 1 ( )N x N x− = − на функцията ( )N x на стандартното нормално разпределение, заместваме 1( )N d− и 2( )N d− във формулата за ( )

2 1( , ) ( ) ( )r T tP S t Ke N d S N d− −= − − − и получаваме:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 1 1 2( , ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( )r T t r T t r T tP S t Ke N d S N d S N d Ke N d S Ke− − − − − −= − − − = − − +

( ) ( )( , ) ( , ) r T tP S t C S t S Ke− −= − + , откъдето следва равенство (3.21).

Нека чрез формула (3.18) и следващата програма 3.3 пресметнем премиума на Европейска пут опция със зададените в пример 3.1 параметри за Европейска кол опция.

41

Пример 3.3 Пут опция: (put option). Нека опцията е Европейска пут опция със страйкова цена 40€, за която е известно че, настоящата цена на дадения актив е 42€, падежът на опцията е шест месеца, лихвеният процент е 10% , а волатилността е 20%.

Програма 3.3 Пресмятане премиума на Европейска пут опция

function P = bsfp(S,t,K,r,sigma,T)

% Формула на Блак- Шолс за премиума на пут опция

% Black-Scholes formula for a European put option

tau=T-t; % живот на опцията от началния момент t % до падежа Т ( датата на изпълнение).

if tau > 0

% Пресмятане на параметъра d1 от формула (3.19):

d1 = (log(S/K) + (r+0.5*sigma^2)*tau)/(sigma*sqrt(tau));

% Пресмятане на параметъра d2 от формула (3.20):

d2 = d1 - sigma*sqrt(tau);

%Пресмчтане на N(d1) и N(d2) във формула (3.18) :

N1 = 0.5*(1+erf(-d1/sqrt(2)));

N2 = 0.5*(1+erf(-d2/sqrt(2)));

% Команда disp ( '' ) извежда текста от скобите й.

disp( ' Премиумът на Европейската пут опция е:' )

% Пресмятане на формула (3.18) на Блак- Шолс

P= K*exp(-r*tau)*N2-S*N1 % премиум на пут опция

else

P= max(K-S,0); % функция на печалба на пут опция

еnd

За разлика от програма 3.2, в програма 3.3 използвахме MATLAB функцията bsfp(S,t,K,r,sigma,T) за едновременното въвеждане на параметрите S, t, K, r, sigma и T. Например:

P = bsfp(42,0,40,0.1,0.2,0.5) = 0.8086

Забележка: Опциите от Американски вид могат да се упражняват във всеки момент преди датата на изпълнение (падежа) на опцията.

42

4. СИМУЛАЦИИ И ОЦЕНЯВАНЕ НА ОПЦИИ В ДИФУЗИОННИЯ МОДЕЛ НА МЕРТОН

В предната глава 3 представихме модела на Блак-Шолс, който описва случайното движение на цената на финансовите активи. В модела на Блак-Шолс се моделира цената на финансов актив при допълнителното предположение, че тя се променя плавно, без скокове. Но както е известно съществуват активи, чиято цена много често се променя рязко, т.е. цената има скокообразна промяна. В тази глава ще изследваме проблема за оценяване на опции в рамките на модела на Мертон, който е разширение на модела на Блак-Шолс.

Ценовият процес tS на даден финансов актив е дефиниран във формула (3.2) чрез tW

t eSS 0= , където tW е Брауново лутане с очакване 2

2

1ˆ σµ −= r и дисперсия t2σ , а 0S е началната цена на дадения актив.

Брауновото лутане tW е представител на клас от процеси на Леви и тъй като tW

t eSS 0= , то цените на финансовите активи могат да се опишат чрез екпоненциален процес на Леви [15] от вида ( )expt tS L= ,

където ( )tL е процесът на Леви. Процесите на Леви позволяват чрез

специални вероятностни разпределения (leptokurtic distributions) да се моделират внезапни скокове в движението на ценовия процес tS . Мертон e приложил този подход чрез процес на Леви с краен брой скокове [35], a Мадан и Милне използват Гама процес като основа за Леви процес с безкраен брой скокове [30]. За да моделираме рязкия спад в цените на активите на финансовите пазари, Мертон разширява модела на Блак-Шолс като добавя компоненти на скокове:

01

exptN

t t ii

S S dt W Yµ σ=

= + +

∑ (4.1)

където ( )tN е Поасонов процес с параметър на интензивност λ и

независими скокове iY , имащи нормално разпределение с очакване γ ′ и дисперсия 2δ , iY ~ ( )2,δγ ′N . Поасоновият процес и скоковете се приема, че са независими от Винеровия процес tW [35]. Когато цените на финансовите активи следват дифузионен процес със скокове като този в (4.1) се има предвид, че ‘непридвидимостта’ в ценовия процес tS може да бъде описана от два отделни вида случайни процеса - процес със скокове и дифузионен процес.

43

Използването на Поасоновия процес може да бъде мотивирано икономически от две предположения: броят на спадовете в непресичащи се времеви интервали трябва да бъде независим и средният брой скокове е приблизително пропорционален на дължината на интервала от време [13].

Аналогично, както в модела на Блак-Шолс, така и в модела на Мертон се приема, че очакваната възвращаемост µ на финансовия актив при безрисков пазар е равна на лихвения процент r ( µ :=r). Параметърът на волатилност σ описва измененията във възвращаемостта (regular shocks to the stock return). Скоковете в модела се интерпетират като компоненти, описващи резките промени (спадове и покачвания) в случайното движение на цената на разглеждания финансов актив. Параметърът λ е очакваният брой промени за година, а параметрите λ′ и 2δ определят

разпределението на единичен скок. Моделът на Мертон е известен и като експоненциален модел

на Леви, защото 1

tN

t t ii

L rdt W Yσ=

= + +∑ по дефиниция е Леви процес, т.е.

непрекъснат във времето стохастичен процес, който започва в 0, допуска cádlág модификация и има независими стационарни нараствания (any continuous-time stochastic process that starts at 0, admits cádlág modification and has 'stationary independent increments').

Процесът ( )tS от (4.1) може да се интерпретира в икономиката

като случайно движение на цените [20] с възвращаемост µ :

2 21 1exp 1

2 2rµ σ λ γ δ ′= − − + −

. (4.2)

С други думи формула (4.1) е мартингал, където 0r > е безрисков лихвен процент [14].

Моделът на Мертон се дефинира чрез формули (4.1) - (4.2) и е представен през 1976 в [35]. За модела на Мертон се използвана и друга формулировка, еквивалентна на формули (4.1) - (4.2), която има практическо значение за симулацията на цените на финансови активи, които внезапно променят цената си, като например цената на петрола. Такъв подход е развит от Хилард и Шварц в [20].

Мертон приема, че прогнозирането на скокове в цената на финансовите активи е трудно да се систематизира, но успява да формира специално портфолио, което включва безрисков лихвен процент на възвращаемост. Заедно с други допускания, това позволява в модела на Мертон да се изведе и фундаментално частно диференциално уравнение (4.6) за пресмятане премиума на опции.

44

През 1991 Бейтс [2] използва друг ‘модел на равновесие’ (equilibrium model), за да развие собствен модел без необходимостта да систематизира появата на скокове. Дифузионният модел на Бейтс със скокове, описващ случайното движение на ценовия процес tS , е:

dqkdWdtdrS

dSt ++−−= σκλ )ˆ( , (4.3)

където r е безрисковият лихвен процент, d е дивидент на годишна основа, σ е параметър на волатилността, описващ дифузиония процес. Случайният процес tW е Брауново лутане, tdW са съответно нарастванията tW , параметърът k е размерността на скоковете,

)1( kLog +ε ~ ( )2,N γ δ′ , където 25,0 δγγ −=′ , ˆ( ) 1E k eγκ≡ = − , ( )2,N γ δ′ е

нормално разпределение със средно γ ′ и дисперсия 2δ . Настъпването на скок се случва, само ако 1dq = , в противен

случай 0dq = . Броят на скоковете се описва чрез Поасоново разпределение с параметър на интензивност λ . Уравнение (4.3) има следното решение

)(2

1ˆ)(exp0 nUWkdrSS tt

−−−= σλ , (4.4)

където ( )

1(1 )

N t

iiU k

== +∏ , 0 0k = , и ( )N t е Поасонов процес с параметър

λ , b r d= − цена (cost-of-carry) образувана от дивидента и лихвения процент. Всъщност d е дивидент на годишна основа (continuously compounded) и променя лихвения процент. Същото важи и за формула (3.1) в първоначалния модел на Блак-Шолс, където при наличие на дивиденти на годишна основа може да заменим r с ( )r d− и получаваме следната формула:

( ) t

dSr d dt dW

Sσ= − + .

Забележка: При опции от Европейски вид, т.е. опции, които могат да се упражняват само в датата на падежа, формулите (3.8)-(3.10) и (3.18)-(3.20) за премиума на кол и пут опция съответно се променят с тривиалната замяна на лихвения процент r с ( )r d− . Това е така, защото дивидентите са образувани на годишна основа и не променят рязко движението на ценовите пътеки tS . Може да се приеме, че няма скокове в ценовите пътеки tS симулацията и оценяването опциите е аналогично, както в случая без дивиденти.

Забележка: Формула (4.4) не е валидна, при дискретни дивиденти, т.е. ако дивидентите се изплащат в отделни моменти

45

преди падежа, дори и да са с еднаква равностойност и това да се случва равномерно във времето (т.е. през равни интервали от време).

Забележка: При опции от Американски вид, т.е. опциите могат да се упражнят по всяко време преди падежа, дивидентите играят важна роля за определянето на премиума на дадената опция.

Ако с τ означим времето до падежа T , т.е. T tτ = − , с ( ),C S t

премиумът на американска кол опция с дивидент d на годишна основа, тогава оптималната граница за упражнение е крива, състояща се от всички критични ценови стойности * ( )S τ (critical asset values), за които е изпълнено ( )* *( ), ( )C S S Kτ τ τ= − .

Премиумът на кол опцията ( ),V S t се изследва като функция на

страйка K , както и като функция на времето τ , която е изпъкнала функция, виж стр. 16, [28]. В секция 1.2.1. Effect of dividend payments от [28] е описано влиянието на дивидентите върху премиума на опциите. Два основни резултата за премиумите на Европейска кол опция и Американска кол опция са известни:

1. В случай на опции без дивиденти, имаме равностойност на премиумите на Европейска кол опция и на Американска кол опция. Това е така, защото когато не се изплащат дивиденти, кол опцията от Американски вид има смисъл да се упражни само в датата на падежа, както обикновената Европейска кол опция и двете опции имат еднакви по стойност премиуми, поради еквивалентност на финансовите условия;

2. Американската кол опция може да се упражни преди падежа, само ако се изплащат дивиденти (дискретни или на годишна основа) по време на живота на дадената опция преди падежа.

Горните два извода за Европейска и Американска кол опция могат да бъдат обобщение чрез следната математическа зависимост:

*

0

,lim ( ) max ,

,

rK при d r r

S K Kdd

K при d rτ

τ→ +

< = = ≥

. (4.5)

С други думи, когато d r≥ , Американска кол опция, която не е упражнена до падежа й, ще има нулева цена в датата на падежа T . Очевидно при 0τ → + , d r≥ , имаме t T Tτ= − = и ( )*S S T K= = , и

премиумът на кол опцията е ( ) ( ), max ,0 max( ,0) 0C S T S K K K= − = − = .

46

Забележка: Поради зависимостта (4.5) за Американска кол опция, за класическия проблем в икономиката е прието намирането и изследването на премиума на Американска пут опция.

Забележка: Оценяването на пут опции от Американски вид с дискретни дивиденти е един от най-трудните настоящи проблеми в икономиката, тъй като определянето на оптималната граница за упражнение (the optimal exercise boundary) на опцията e функция на времето, за която нe e в сила свойствoто изпъкналост (convexity).

Класическият проблем в икономиката за определянето на премиума на Американскa пут опция, като се използва изпъкналостта на оптималната граница на упражнение и асимтотичния й характер спрямо времето в отсъствие на дивиденти, е изследван в [7,8]. При този подход премиумът на опцията се изследва като функция спрямо времето и по-точно времето τ до падежа T , а в [47] се разглежда премиума на опция с дивиденти за големи стойности на τ .

Нека се върнем към проблема за проверка на еквивалентността между формула (4.1) и (4.4). За целта преобразуваме:

( ) 21ˆ ( ) exp( ) 1 exp 1

2E kλκ λ λ γ λ γ δ ′− = − = − − = − + −

= 2

2

1σµ −− r ,

съгласно (4.2). Като използваме, че:

( )( ) ( )

1 11

( ) (1 ) exp (1 ) exptN

N t N t

i e i ii ii

U n k Log k Y= =

=

= + = + =

∑∏ ∏ ,

където iY ~ ( )2,δγ ′N , се установява непосредствено еквивалентността на формулировките (4.1) и (4.4) за този специален случай на експоненциален Леви модел, т.е. модела на Мертон.

Както споменахме, втората формулировка (4.4) има огромно практическо значение за симулацията на ценови пътеки, които следват дифузионен процес със скокове. Симулацията на ценови пътеки в модела на Мертон е демонстрирано в програма 6.2, глава 6.

Аналогично на частното диференциално уравнение (3.4) в модела на Блак-Шолс, моделът на Мертон (4.1)-(4.2) и моделът на Бейтс (4.3) водят независимо до фундаментално уравнение за определяне премиума ( , )V S t на съответния дериватив:

( )2

2 22

1ˆ

2

V V VS r d S rV

t S Sσ λκ∂ ∂ ∂+ + − − − +

∂ ∂ ∂

( ) ( )[ ] 0,),1( =−++ tSVtkSVEkλ (4.6)

47

В случай на Европейска кол опция, нека за прегледност вместо означението ),( tSV за решението на уравнението (4.6) използваме

),( tSC . Ако приемем началния момент t за нулев, т.е. 0t = , и използваме, че функцията на печалба за Европейска кол опция е

( , ) max( ( ) ,0)C S T S T K= − при t T= , то уравнението (4.6) има следното решение ),( tSC , което е премиумът на Европейската кол опцията:

( ) ( )* ( )1 2

0

( ), ( ) ( )

!

T nrT T b n

n nn

e TC S T e Se N d K N d

n

λ λ−∞−

=

= −∑ , (4.7)

където * ˆ( )n

b n r dT

λλκ= − − + и

( )* 2 2

1 2 2

1log ( )

2n

STb n T n

Kd

T n

σ δ

σ δ

+ + + =

+, 2 2

2 1n nd d T nσ δ= − + . (4.8)

На практика при 0t = , T е времето до падежа, което е τ при t T τ= − , [ ]0,Tτ ∈ във формулите (3.7) - (3.10). Ако приемем, че 0t ≠ ,

то във всички формули (4.7)-(4.8) е необходимо да заменим T с T t− . Формула (4.7) за премиума на Европейска кол опция ),( tSC в

модела на Мертон е аналог на формула (3.8) на Блак-Шолс.

Както в модела на Блак-Шолс, премиумът на Европейска пут опция ( , )P S t може да бъде намерен директно от връзката между ( , )C S t и

( , )P S t , която е известна като пут-кол паритет (put-call parity):

( , ) ( , ) rTP S t C S t S Ke−= − + (4.9)

За премиума на Европеска пут опция ( , )P S t съществува формула подобна на формула (4.7), но за разлика от формула (3.18) за пут опция в модела на Блак-Шолс, в модела на Мертон е по-удобно да се използва формула (4.9) за намирането на премиума ( , )P S t . Чрез формула (4.7) и следващата програма 4.1 ще пресметнем премиума на Европейска кол опция в модела на Мертон със същите параметрите, зададените в пример 3.1:

Пример 4.1 Кол опция: (call option). Нека опцията е Европейска кол опция със страйкова цена 40€, за която е известно че, настоящата цена на дадения актив е 42€, падежът на опцията е шест месеца, лихвеният процент е 10%, волатилността е 20%.

Нека параметърът на интензивност в модела на Мертон е 5λ = , 1,0=γ и 3,0=δ . Освен това )1( kLog +ε ~ ( )2,N γ δ′ , където 25,0 δγγ −=′ ,

ˆ( ) 1E k eγκ≡ = − , а ( )2,N γ δ′ е нормално разпределение със средно γ ′ и

дисперсия 2δ . Изборът на параметрите , ,λ γ δ , описващи Поасоновото разпределение е произволен.

48

Програма 4.1 Аналитична формула (4.7) на Мертон за пресмятане премиума на Европейска кол опция.

% MertonFormulaF2.m

function [Price] = MertonFormulaF2(S, K, T, r, sigma, lambda, div, Gamma, Delta)

% Аналитична формула на Мертон с параметри

% Параметри на дифузионния процес

% lambda= 5; S =42; K=40; r = 0.1; sigma = 0.2; % T = 0.5; div = 0;

% Параметри на Поасоновото разпределение

Gamma1 = Gamma - 0.5*Delta^2; % връзка 25,0 δγγ −=′

kappa = exp(Gamma) - 1; % връзка ˆ( ) 1E k eγκ≡ = −

% kappa отговаря на параметъра k който, описва размерността на скоковете и ˆ( ) 1E k eγκ≡ = − .

% Пресмятане на формула (4.7) на Мертон

% Пресмятане на първия член C0 при n=0 в сумата

% от формула (4.7), т. е ( )* (0)10 200 ( ) ( )T T bC e Se N d K N dλ−= − ,

% Пресмятаме n!=1.2.3...(n-1)n, прието е 0!=0.

% Пресмятаме на параметрите *10 20(0), ,b d d при n=0 от

% формула (4.7) съответно с b0, d10 и d20:

b0 = r - div - lambda*kappa; % * ˆ(0)b r d λκ= − −

d10 = (log(S/K) + b0*T + 0.5*T*sigma^2)/(sigma*sqrt(T));

d20 = d10 - (sigma*sqrt(T)); % 220 10d d Tσ= −

% Пресмятане на ( )10N d и ( )20N d във формула (4.7):

N10 = 0.5*(1+erf(d10/sqrt(2)));

N20 = 0.5*(1+erf(d20/sqrt(2)));

% Пресмятане на първия член C0 от сумата в

% формула (4.7), т. е. ( )* (0)10 200 ( ) ( )T T bC e Se N d K N dλ−= −

C0 = (exp(-lambda*T))*(S*exp(T*b0)*N10-K*N20);

% Причината за отделното пресмятане на първия

% член C0 от сумата в формула (4.7) е, че в

% циклите индексирането не може да започва от 0

49

% т. е. командата i = 0:n е невъзможна да бъде

% зададена и изпълнена в системата MATLAB.

% Избор на n, брой събирами във формула (4.7).

n = 50; % Достатъчни са 20 члена за достигане на точност % до четвъртия знак във формула (4.7).

sum = C0;

for i =1:n

b(i) = b0 + (lambda*Gamma)/T;

d1(i) = (log(S/K) + b(i)*T + 0.5*(i*Delta^2 + T*sigma^2))/(sqrt(T*sigma^2+i*Delta^2));

d2(i) = d1(i) - sqrt(T*sigma^2+i*Delta^2);

N1(i) = 0.5*(1+erf(d1(i)/sqrt(2))); N2(i) = 0.5*(1+erf(d2(i)/sqrt(2)));

C(i)=((exp(-lambda*T)*((lambda*T)^i))/prod(1:i))* (S*(exp(T*b(i)))*N1(i)-K*N2(i));

sum = sum + C(i); end

% Командата disp(’ ’) извежда текста в скобите

disp( ' Премиумът на Европейската кол опция е:' )

%Дисконтиране нa стойността sum в момент T с rTe− , % за да получим премиума в настоящия момент 0t = .

European_call_value = exp(-r*T)*sum;

Price = European_call_value;

Пример 4.1

>> [Price] = MertonFormulaF2(42, 40, 0.5, 0.1, 0.2, 5, 0, 0.1, 0.3)

Премиумът на Европейската кол опция е:

Price = 17.0795

При 20n ≥ за премиума на кол опцията получаваме еднакви резултати до третия знак, т.е. 17.0811

>> [Price] = MertonFormulaF2(42, 40, 0.5, 0.1, 0.2, 5, 0, 0.1, 0.3)

Премиумът на Европейската кол опция е:

Price = 17.0811

50

5. МЕТОД МОНТЕ КАРЛО И ПРИЛОЖЕНИЯ

Джими Хилард и Адам Шварц използват дифузионни процеси със скокове за моделиране на Европейски и Американски деривати като ги оценяват чрез специални биномни дървета [20]. Един от най-известните практически проблеми на метода схеми на крайни разлики е решаването на фундаменталното частно диференциално уравнение на Блак-Шолс в безкраен интервал [0, )∞ (виж уравнение (3.4) за модела на Блак-Шолс и уравнение (4.6) за модела на Мертон). Този проблем възниква, защото променлива S има финансов смисъл - с нея се моделира цената на разглеждания финансов актив в дадения опционен договор и съответно [0, ]S∈ ∞ .

По тази причина метода Монте Карло е считан за универсален в икономиката, защото при него симулацията на цената S на разглеждания актив не зависи от вида на интервала, в който S е дефинирана. За разлика от метода на крайни разлики, дали този интервал е краен или безкраен, отворен или затворен, не оказва влияние върху точността и времето на метода Монте Карло.

Обяснението на този феномен се крие в структурата на метода Монте Карло, която зависи единствено от началната стойност 0S на цената на разглеждания актив, т.е. цената S в началния момент 0t , от който тече животът на опцията. Методът на Монте Карло, симулира случайното движение на цените на финансовите активи и използва за оценяването на опциите логически твърдения и понятия от вероятностите и статистиката като централна гранична теорема, математическо очакване, доверителни интервали и др. [9], [13], [19].

Основната идея е да се симулират голям брой ценови пътеки, които описват случайното движение на дадения ценови процес tS в интервала [0, ]T . За всяка от тези примерни пътеки се пресмята функцията на печалба и съответното математическото очакване. Окончателно, премиумът на дадената опция се пресмята чрез дисконтиране и намирането на доверителен интервал за средната стойност от всички симулирани ценови пътеки.

• Генерирането на ценовите пътеки и изчисляването на средната им стойност (sample average) е директно;

• Единственият недостатък на метода Монте Карло понякога е бавната сходимост (slow convergence).

51

Универсалността на метода Монте Карло се дължи до голяма степен във възможността му да бъде прилаган не само от финансисти, широката му употреба в други научни области, и не на последно място лекотата да бъде компютърно внедрен на диалогови системи като MATLAB, Maple, Matematica. От друга страна, както подхода на биномни и триномни дървета, методът на Монте Карло принадлежи към евристичните методи, които „ използват техники за решаване на проблеми, учене или правене на открития, които са базирани на опита. Евристичните методи са използвани за ускоряване на процеса по намиране на добро решение, където обширното проучване е непрактично”, виж също [47]. Много от предложените в литература числени методи за оценяване на финансови деривати са непрактични за фондовите мениджъри и корпоративни организации, тъй като са твърде сложни за прилагане или изискват твърде много време за получаване на крайни резултати. В допълнение, ще отбележим, че намирането на приближено числено решение или аналитична формула на частното диференциално уравнение (4.6) в случай на екзотични опции е сложна математическа задача. Екзотичните опции са нестандартни деривати, които зависят от времето (известни са още като path-dependent options), т.е. премиумът на дадената опция се определя от стойности на цената на разглеждания актив в предварително определени моменти от живота на опцията преди падежа й. Най-известните екзотични опции, зависещи от времето, са азиатските, lookback и опциите с бариери. Те се характеризират със специална функция на печалба, зависеща от цената S на дадения актив, имаща точки на прекъсване от първи род, и която определя граничните условия при решаването на уравнението на Блак-Шолс 2. Трудността се състои в решаването на уравнението на Блак-Шолс при такива специални гранични условия и често изисква изследването на нестандартни числени схеми на крайни разлики и постулирането на нови теореми [28], [40], [46], а понякога дори и изграждането на нова теория в частните диференциални уравнения от втори род, параболичен вид. Всички тези аргументи са причина общо практикуващите борсови дилъри, както и финансовите институции да предпочитат метода Монте Карло.

2 В общия случай уравнението на Блак-Шолс (3.4) има много решения съответстващи на различни деривати, които могат да бъдат дефинирани чрез S като независима променлива. Съответният дериватив, който се получава, зависи от граничните условия, които са използвани при решаването на уравнението на Блак-Шолс [14].

52

Когато се оценяват Европейски опции е нужно да се намери математическото очакване на функцията на печалба само в датата на падежа T . Полученият резултат в момент T трябва да се дисконтира с множител rTe− , за да получим премиума на дадената опция в настоящия момент 0t = , т.е:

( ) ( )0ˆ,0 ( , )rT

TV S e E V S T−= (5.1)

Приема се безрисков лихвен процент и очакването ˆ ( )E • е взето по отношение на специална мярка на неутралност (risk-neutral measure), при която очакваната възвращаемост µ във формула (3.1), т.е.

t

dSrdt dW

Sσ= + , е заменена с лихвения процент r , т.е. : rµ = .

За да приложим метода Монте Карло към модела на Блак-Шолс (3.1) за пресмятане на премиума на Европейска кол опция, пресмятаме функцията на печалба )0,max(),( KSTSV T −= от формула (3.5) чрез формула (3.3) като използваме следното представяне

=

+

−0,max:),(

2

2

1

0

TTr

eSTSVεσσ

, (5.2)

където параметрите K - страйкова цена, 0S цена на разглеждания актив, лихва r и волатилност σ са предварително определени от банката и фиксирани през целия живот на опцията ],0[ Tt ∈ . На практика, формула (5.2) генерира функцията на печалбата ),( TSV

чрез ценови пътеки по формула (3.3).

Окончателно, премиумите на опцията )0,( TSV за всяка ценова пътека, получена по фомула (5.2), се получават чрез дисконтиране на функцията на печалба с множителя rTe− :

=

+

−− 0,max:)0,(

2

2

1

00

TTrrT eSeSV

εσσ. (5.3)

Прилагането на метода Монте Карло се финализира с премятането на доверителен интервал за стойностите на премиумите на опцията, получени от формула (5.3), което е представено в следващата глава.

В практиката голям брой ценови пътеки се симулират, за да се постигне необходимото ниво на точност. Достатъчно условие да се увеличи точността с една десета е увеличаването стократно броя на генерираните ценови пътеки. Понякога това е голямо ограничение, за метода Монте Карло при положение, че той се приложи директно в този вид. За да се намали големината на доверителния интервал,

53

се използват техники за намаляване на дисперсията (variance reduction techniques) като например antithetic and control variates, conditioning, stratified and importance sampling [5], [19], [46].

Основно предимство на метода Монте Карло се състои в неговата евристична структура, защото при него могат лесно да се симулират ценови пътеки на нестандартни деривати. Например екзотичните опции, които зависят от времето и се характеризират със сложна функция на печалба, която не е линейната функция от вида max(S-K,0) или max(K-S,0), съответно както при стандартните ванилови кол и пут опция с Европейски вид на упражнение.

Eдин такъв конкретен пример за нестандартни деривати са опциите с бариери, които са едни от най-популярните деривати на финансовите пазари [36]. Две са основните причини за търгуването на голямо количество опции с бариери на борсовите пазари [22]:

1. по-ниските премиуми от съответните ваниловите опции;

2. компенсациите, които се изплащат, в случай че опцията се анулира, т.е. цената на разглеждания актив е достигнала преди падежа предварително определената бариера.

Подробна информация за видовете опции с бариери и техните свойства, класификация, значимост и математическа интерпретация може да бъде намерена в [19], [43].

Пресмятането на премиума на нокаут кол опции с две бариери [38], които се прилагат дискретно, може да бъде направено чрез пресмятане на следното математическо очакване, като крайната цена на премиума се дисконтира с rTe− :

{ } { } { }1 2max( ,0),1 1 ...1

n

rTT A A A

e E S K− −

. (5.4)

Дисконтирането е в момента на падежа T , като за яснота сме приели 0t = за начален момент, с ( ){ },

ii tA S L U= ∈ , 1, ,i m= K , са

означени всички бариерни събития за предварително определените долна и горна бариера L и U , 1A е стандартната функция индикатор (т.е. приема се, че 1 1A = , ако tS A∈ и 1 0A = , ако tS A∉ ), tS е цената на разглеждания актив в момент it , it i t= ∆ , TS е съответно цената на актива в датата на падежа T , K е страйковата цена, определена и фиксирана в началния момент 0t = на опционния договор.

Забележка: Цената на разглеждания актив е известна само в началния момент, т.е. 0S е известно, докато tS се изменя през живота на опцията. tS може да следва случаен процес като например Винеровия, процес на Леви или друг стохастичен процес [27], [30].

54

Забележка: Страйковата цена K , падежът T , бариерите L и U , лихвеният процент r и волатилността σ са предварително определени параметри и остават постоянни до падежа във първоначалния модел на Блак-Шолс [3], т.е. те не се изменят.

Забележка: В някои модели [2], [12], [14] лихвеният процент r (модел на Васичек) и волатилността (стохастично-волатилните модели) също се изменят и се моделират чрез случайни процеси.

За разлика от дискретно наблюдаваните Азиатски опции със средна цена за образуване на печалбата (discretely sampled average price Asian call options), които са опции, имащи средно аритметично

1

1ˆi

n

tiS S

n == ∑ от ценовите пътеки във функцията на печалба

ˆmax( ,0)S K− , за дискретни опции с две бариери (discrete double barrier options) е трудно да се използват техники (като например control variate) за намаляване на дисперсията на доверителния интервал от всичките ценови пътеки, Higham [19], McLeish [37]. Понякога оценяването на някои екзотични опции е труден проблем в икономиката дори с евристични методи като симулациите на Монте Карло, защото изисква много изчислително време.

Методът на Монте Карло се прилага директно за оценяване на математическото очакване (5.4) с колкото се може по-голям брой ценови пътеки. Друга възможност за оптимизиране на метода Монте Карло е да се използват специални в математиката редици от числа за симулацията на ценовите пътеки [5], [19], [28], [37]. Такива редици са например редиците на Halton и Sobol (Halton's or Sobol's low discrepancy sequences) известни като квази-случайни поредици от числа и тази модификация на метода Монте Карло се нарича Квази-Монте Карло (Quasi-Monte Carlo method).3

За щастие, в случай на оценяване на опции с една бариера (single barrier option), например доун-енд-ин кол опция (down-and-in call option) с дискретно прилагана бариера, методът на Монте Карло може да бъде прилаган ефективно чрез техники за намаляване на дисперсията като importance sampling technique и conditional Monte Carlo method, виж Glasserman [6]. 3 Името на метода Quasi-Monte Carlo означава в директен превод от италиански Почти-Монте Карло, поради използването на квази-случайни (quasi-random) или псевдо-случайни (pseudo-random) числа. Повече за използването на такива числа в [5] и точността на метода на Монте Карло, приложен в този вид, се повишава минимално [28].

55

Забележка: За разлика от обикновените ванилови опции, при които функцията на печалба (3.5) и съответно математическото очакване (5.1) зависят само от крайната стойност TS на случайния процес tS , при екзотичните опции, при които функцията на печалба зависи от стойностите на разглеждания актив преди падежа Т, трябва да се генерират ценови пътеки tS за t , 0 t T≤ ≤ , защото в математическото очакване участва не само разпределението TS в Т. Симулацията на случайни числа в динамичното уравнение (3.3) е много често единственият начин да се опише и генерира вероятностното разпределение tS на разглеждания актив. Големината на времевите стъпки трябва да бъдат избрана така, че ценовите пътеки да симулират реалистично стохастичния процес tS в интервала 0 t T≤ ≤ , виж [18]. За тази цел симулациите на ценови пътеки при метода Монте Карло изисква следната процедура:

1. Времето 0 t T≤ ≤ до падежа Т на дадената опция да се дискретизира чрез избор на подходяща времева стъпка

t∆ , която играе роля на времевия интервал tδ във формула (3.3), където 1, ,j N= K , 0 0t = и 0t N t T+ ∆ = ;

2. Генериране на ценови пътеки tS , като всяко от тях се генерира поотделно чрез последователни стойности

0tS , ...,

tjtS ∆+0, ... , TS , 1, ,j N= K , 0 0t = , 0t N t T+ ∆ = от формула (3.3);

В модела на Блак-Шолс цената на разглеждания актив tS има лого-нормално разпределение (log-normal distribution), виж формула (3.3). В модела на Мертон, цената на разглеждания актив tS следва

Леви процес 1

tN

t t ii

L dt W Yµ σ=

= + +∑ , който има по-сложно разпределение

(4.1)-(4.2) от познато в икономиката логонормално от формула (3.3). Очевидно в модела на Мертон, при генерирането на ценови

пътеки се налага да симулираме два случайни процеса един дифузионен – Брауново лутане и един описващ скоковете в цената на дадения актив - Поасонов. Съществено за симулацията на ценови пътеки в модела на Мертон е, че Поасоновият процес и скоковете се приемат, че са независими от Брауновото лутане tW .

За да приложим метода Монте Карло в модела на Мертон, формулиран чрез формули (4.1)-(4.2) е необходимо да симулираме ценови пътеки като използваме формулировката (4.4), за която доказахме еквивалентност с формули (4.1)-(4.2). Намирането на премиума на Европейски кол и пут опции чрез метода Монте Карло е представено в следващата глава.

56

6. ПРИЛАГАНЕ НА МЕТОДА МОНТЕ КАРЛО ЧРЕЗ СИСТЕМАТА MATLAB В МОДЕЛИТЕ НА

БЛАК-ШОЛС И МЕРТОН

6.1. СИМУЛАЦИЯ НА ЦЕНОВИ ПЪТЕКИ

Metwally и Atiya са предложи бърз метод Монте Карло за опции с бариери, когато цената на разглеждания актив следва дифузионен процес със скокове [36]. Но този метод, както и повечето числени методи за оценяване на такива екзотични опции са ефикасни само в случай че бариерите се прилагат през целия времеви период до падежа (continuously monitored barrier options). Ето защо в настоящото ръководство се симулират и оценяват опции с бариери, които се прилагат само в дискретни моменти, т.е. опции, наблюдавани дискретно.

В тази глава на ръководството се изследвани различни параметри, които определят опциите с бариери и влияят на тяхната цена като например: волатилност, честота на наблюдение, параметър на интензитет, количеството търгувани опции.

В тази глава се сравняват първоначалния модел на Блак-Шолс и дифузионния модел на Мертон, което позволява да се направят заключения за случайното движение на цените в двата модела, и съответно, да се анализират различните финансови пазари според икономическата ситуация и географското разположение. Например, фактори като лихвеният процент и волатилността влияят върху стабилността на дадена страна, което от своя страна до голяма степен определя кой вид математически модел е по-подходящ за моделиране и оценяване на финансовите деривати.

За разлика от други често използвани количествени методи в икономиката като квадратурния метод [28] и схемите на крайни разлики [19], прилагането на метода Монте Карло не се изискват задълбочени математически познания в областта на интегралното и диференциално смятане, което прави този числен метод още по-привлекателен за общо практикуващи финансови анализатори. От друга страна структурата на този числен метод изисква елементарни познания от линейната алгебра като умножение на числа с матрици, събиране и умножение на матрици, което спомага за лесното му внедряване чрез системата MATLAB (MatrixLaboratory) –система, подходяща за научни изчисления и визуализация, базирана на матрично представяне на данните.

57

Пример 6.1. Нека симулираме ценови пътеки, при които цената на разглеждания актив е моделирана от случаен процес, който следва геометрично Брауново лутане, и волатилността е 10% годишно, животът на опцията е 12 месеца, лихвеният процент е 8%, образуван на годишна база.

Нека за прегледност симулираме 35 ценови пътеки, като цената на разглеждания актив в началния момент е 0 40S = и се описва от случаен процес, който следва Брауново лутане. За симулациите са използвани следните параметри в програма 6.1:

e 35NR pl= е броят на симулираните пътеки, безрисковият лихвен процент е 08,0=r и волатилносттта е 1,0=σ за период от една година, т.е. 1T = (този период може да се разглежда като падеж за даден вид опция).

Общият брой на междините времеви моменти използвани за симулацията на ценовите пътеки е 50, т.е. имаме 50 стъпки по времето и съответно параметър 50NSteps= в програма 6.1.

Основното отличително свойство на Брауновото лутане е, че за малък период от време цената на дадения актив не се изменят рязко. Чрез програма 6.1 са генерирани ценови пътеки, изобразени на фиг. 6.1. Графиките потвърждават две основни отличителни характеристики на ценовите пътеки, които следват Брауново лутане в модела на Блак-Шолс:

1. непрекъснати промени (continuous changes) на стойността на ценовата пътека, т.е. във всеки един момент има повишение или намаляване на цената на разглеждания актив;

2. малки изменения в цената на разглеждания актив за кратък период от време, т.е. цените не могат да се променят рязко. Вероятността да се случи голяма промяна в цената е много малка, което от своя страна изключва появата на скокове.

Програма 6.1

%Симулация на ценови пътеки в модела на Блак- Шолс

% function SPaths =

% Asset1(S0, r, sigma, T, NSteps, NRepl)

NRepl = 35; % брой ценови пътеки

NSteps = 50; % брой времеви стъпки

T = 1; % матуритет

S0 = 40; % начална цена на актива

58

r = 0.08; % безрисков лихвен процент

sigma = 0.1; % параметър на волатилност

dt=T/NSteps; % дължина на времевите стъпки

% Формула (3.3) за симулация на ценови пътеки:

%

+

−=+ ttrSS ttt δεσδσδ2

2

1exp , където :t dtδ = , ε ~N(0,1).

nudt=(r-0.5*sigma^2)*dt; % 2

:2

nudt r dtσ

= −

sidt=sigma*sqrt(dt); % dtsidt σ=:

% Генериране на ценови пътеки като стойностите им % се запазват в матрица с размерност [ ]NRepl NSteps× , % NRepl е броят на ценовите пътеки на

% NSteps e броят на еднаквите времеви стъпки

Increments = nudt+sidt*randn(NRepl,NSteps);

LogPaths = cumsum([log(S0)*ones(NRepl,1), Increments],2);

% Ценови пътеки в нова матрица Spaths

SPaths = exp(LogPaths); размерност[ ]( 1)NRepl NSteps× +

% Цикъл за генериране на последователни времеви jt

% стъпки: 1 2 1, , , NStepst t t +K , 1 2 3 10, , 2 , , ( )NStepst t dt t dt t NSteps dt+= = = =K

for j = 1:NSteps+1

t(j) = (j-1)*dt; % в програмата ( ) : jt j t=

end

% Генериране на фигура с ценовите пътеки SPaths

plot(t, SPaths)

%Етикети за заглавие и оси на генерираната фигура

title( ' Симулация на ценови пътеки в модела на Блак- Шолс' , 'FontSize' ,12)

xlabel( ' Време t до падежа T, T=1' )

ylabel( '35 ценови пътеки генерирани от S_{0}=40' )

Кратко описание на програма 6.1

59

1. Въведени са параметрите описващи ценовите пътеки: 0 40S = , T=1, 08,0=r и sigma=0,1, както и броят на ценовите пътеки NRepl =35. Броят NSteps = 50 на времевите стъпки dt също се избира предварително, а дължината dt на времевите стъпки се определя като дължината на разглеждания интервал от време Т разделим на общия брой на времеви стъпки, т.е. dt=T/Nsteps. Въвеждането на параметрите може да се направи едновременно и по алтернативен начин, например чрез следната функция function SPaths = Asset1(S0, r, sigma, T, NSteps, NRepl), като изборът на името Asset1 не е от значение.

2. Генерирани за 35 ценови пътеки като всяка от тях започва от избраната начална цена на разглеждания актив 0 40S = .

3. С цел оптимизиране на изчисленията в програмата 6.1 са

въведени следните параметри: 2

:2

nudt r dtσ

= −

и dtsidt σ=: .

4. За да не се генерират поотделно случайните числа ε ~N(0,1) за всяка ценова пътека, в програма 6.1 е генерирана матрица от случайни числа с размерност [ ]NRepl NSteps× чрез командата:

randn(NRepl,NSteps) , т.е. в нашия случай това е матрица с размерност [ ]35 50× , съдържаща числа ,i jε ,

генерирани от стандартното нормално разпределение ( )0,1N :

( )

1,1 1,2 1,

2,1 2,2 2,

,1 ,2 ,

, :

NSteps

NSteps

NRepl NRepl NRepl NSteps

randn NRepl NSteps

ε ε εε ε ε

ε ε ε

=

K

K

M M M

K

и конкретно ( )

1,1 1,2 1,50

2,1 2,2 2,50

35,1 35,2 35,50

35,50 :randn

ε ε εε ε ε

ε ε ε

=

K

K

M M M

K

Забележка: Отбелязали сме с два долни индекси ,i j числата ε ~ N(0,1), като първият индекс i отговаря на номера i ценовата пътека, т.е. i тата− пътека, а вторият j - на числата, използвани, за да бъде генерирана i тата− ценова пътека. Например първата ценова пътека е генерирана с помощта на числата 1,1 1,2 1,, , NStepsε ε εK ,

втората - с числата 2,1 2,2 2,, , NStepsε ε εK , ..., i тата− пътека - с числата

,1 ,2 ,, ,i i i NStepsε ε εK , ..., и последната пътека с ,1 ,2 ,, ,NRepl NRepl NRepl NStepsε ε εK .

60

Забележка: Генерираните числа ε ~ N(0,1) са отбелязани с ,i jε , за

да се наблегне на факта, че те не са едни и същи.

5. Използвайки елементарни правила за събиране и умножение на числа с матрици в линейната алгебра, можем да обясним командата Increments в програма 6.1, т.е.:

Increments = nudt+sidt*randn(NRepl,NSteps):

( )

1,1 1,2 1,

2,1 2,2 2,

,1 ,2 ,

* , : *

NSteps

NSteps

NRepl NRepl NRepl NSteps

nudt sidt randn NRepl NSteps nudt sidt

ε ε εε ε ε

ε ε ε

+ = +

K

K

M M M

K

или

+

NStepsNReplNReplNRepl

NSteps

NSteps

sidtnudt

,2,1,

,22,21,2

,12,11,1

*

111

111

111

*

εεε

εεεεεε

K

MMM

L

K

L

MMM

L

K

или

1,1 1,2 1,

2,1 2,2 2,

,1 ,2 ,

* * *

* * *

* * *

NSteps

NSteps

NRepl NRepl NRepl NSteps

nudt sidt nudt sidt nudt sidt

nudt sidt nudt sidt nudt sidt

nudt sidt nudt sidt nudt sidt

ε ε εε ε ε

ε ε ε

+ + + + + +

+ + +

K

K

M M M

K

Резултатът от командата Increments = nudt+sidt*randn(NRepl,NSteps) при зададени NRepl = 35, NSteps = 50, T = 1, S0 = 40, dt=T/Nsteps, sigma = 0,1 и r = 0,08 е следната матрица в параметричен вид:

+

−

NStepsNReplNReplNRepl

NSteps

NSteps

dtdtr

,2,1,

,22,21,2

,12,11,1

2

*

111

111

111

**2

εεε

εεεεεε

σσ

K

MMM

L

K

L

MMM

L

K

Конкретно в нашия случай за зададените стойности на параметрите в програма 6.1 горната матрица Increments има следния вид:

+

−

NStepsNReplNReplNRepl

NSteps

NSteps

,2,1,

,22,21,2

,12,11,1

2

*02,01,0

111

111

111

*02,02

1,008,0

εεε

εεεεεε

K

MMM

L

K

L

MMM

L

K

. (6.1)

61

6. Използването на командата cumsum(X,2) е ключов момент за оптимизирането програма 6.1 и възможността да се генерират голям брой ценови пътеки. Ще припомним от пример 29 на глава 1 вградената в MATLAB функция CUMSUM(X, DIM):

CUMSUM(X,2) е матрица със същата размерност като X, тъй като X съдържа елементите, които са натрупаната сума от елементите в колоните на матрицата X.

7. Чрез описанието от горната точка 6 на функцията cumsum(x,2) ще обясним действието на следната командата в програма 6.1:

LogPaths = cumsum([log(S0)*ones(NRepl,1), Increments],2);

• Командата ones(NRepl,1) генерира матрица с размерност [ ]NRepl×1 , т.е. матрица с един стълб и редове, на които броят им е NRepl (но това не е вектор-стълб). Тогава

( ) ( ) ( )

( )( )

( )

log 01

log 01log 0 * ,1 : log 0 *

1 log 0

S

SS ones NRepl S

S

= =

M M, (6.2)

където последната получена матрица от дясната страна на равенство (6.2) е също с размерност [ ]NRepl×1 .

• Чрез командата [log(S0)*ones(NRepl,1), Increments] от две матрици с еднакъв брой редове се получава нова матрица, т.е. от матрицата log(S0)*ones(NRepl,1) в (6.2) с размерност [ ]NRepl×1 и матрицата Increments в (1) със размерност [ ]NRepl× NSteps се получава следната матрица:

+

−+

−

+

−+

−

+

−+

−

NSteps

NSteps

NSteps

dtdtrdtdtrS

dtdtrdtdtrS

dtdtrdtdtrS

,NRepl

2

1,35

2

,2

2

1,2

2

,1

2

1,1

2

22)0log(

22)0log(

22)0log(

εσσεσσ

εσσεσσ

εσσεσσ

K

MMM

L

K

.(6.3)

Получената матрица е с размерност [ ( 1)]NRepl× NSteps+ или [35 51]× . Индексът i на ,i jε отговаря на i я− ред на получената

матрица, но индексът j отгoваря на ( 1)j я+ − стълб. Матрица (6.3) има следния вид за зададените параметри r и σ :

62

+

−+

−

+

−+

−

+

−+

−

50,35

2

1,35

2

50,2

2

1,2

2

50,1

2

1,1

2

02,01,002,02

1,008,002,01,002,0

2

1,008,0)40log(

02,01,002,02

1,008,002,01,002,0

2

1,008,0)40log(

02,01,002,02

1,008,002,01,002,0

2

1,008,0)40log(

εε

εε

εε

K

MMM

L

K

(6.4)

Ако последната получена матрица (6.4) означим с X и приложим командата cumsum(X,2), окончателно получаваме следната матрица от елементи, образувани от натрупаните суми на елементите в X:

I-и стълб II-и стълб

+

−+

+

−+

+

−+

=

1,35

2

1,2

2

1,1

2

02,01,002,02

1,008,0)40log()40log(

02,01,002,02

1,008,0)40log()40log(

02,01,002,02

1,008,0)40log()40log(

:

ε

ε

ε

MM

LogPaths

III- и стълб

K

M

K

K

++

−+

++

−+

++

−+

2,351,35

2

2,21,2

2

2,11,1

2

02,01,002,01,002,02

1,008,02)40log(

02,01,002,01,002,02

1,008,02)40log(

02,01,002,01,002,02

1,008,02)40log(

εε

εε

εε

от IV-и до L-ти стълб (L+1)-ви стълб

+

−+

+

−+

+

−+

∑

∑

∑

=

=

=

50

1,35

2

50

1,2

2

50

1,1

2

02,01,002,02

1,008,050)40log(

02,01,002,02

1,008,050)40log(

02,01,002,02

1,008,050)40log(

jj

jj

jj

ε

ε

ε

KK

M

KK

KK

, (6.5)

63

където за прегледност сме означили всеки стълб на тази матрица поотделно. Матрицата LogPaths е резултатът от следната команда:

LogPaths = cumsum([log(S0)*ones(NRepl,1), Increments],2);

За да напишем в параметричен вид матрицата LogPaths от горната команда, достатъчно е да приложим командата cumsum(X,2), за матрицата (6.3), която също е записана в параметричен вид.

Както означенията в (6.5) на матрицата LogPaths за прегледност ще означим и напишем всеки стълб на тази матрица поотделно:

I-и стълб II-и стълб

+

−+

+

−+

+

−+

=

1,Re

2

1,2

2

1,1

2

2)0log()0log(

2)0log()0log(

2)0log()0log(

:

plNdtdtrSS

dtdtrSS

dtdtrSS

LogPaths

εσσ

εσσ

εσσ

MM

III- и стълб

K

M

K

K

+

−+

+

−+

+

−+

+

−+

+

−+

+

−+

2,Re

2

1,Re

2

2,2

2

1,2

2

2,1

2

1,1

2

22)0log(exp

22)0log(exp

22)0log(exp

plNplN dtdtrdtdtrS

dtdtrdtdtrS

dtdtrdtdtrS

εσσεσσ

εσσεσσ

εσσεσσ

от IV-и до (NSteps)-ия стълб (NSteps+1)-ви стълб

( )

( )

( )

+

−+

+

−+

+

−+

∑

∑

∑

=

=

=

NSteps

jjplN

NSteps

jjplN

NSteps

jjplN

dtdtrNStepsS

dtdtrNStepsS

dtdtrNStepsS

1,Re

2

1,Re

2

1,Re

2

2)0log(

2)0log(

2)0log(

εσσ

εσσ

εσσ

K

MM

K

K

. (6.6)

64

8. В програма 6.1. командата SPaths=exp(LogPaths) трансформира матрицата LogPaths в матрицата SPaths от същата размерност [ ]( 1)NRepl NSteps× + . Ако елементите на

LogPaths означим с ,i ja , а тези на SPaths с ,i jc , то между тях

има следната поелементна зависимост: )exp( ,, jiji ca = и

матрицата SPaths има следния параметричен вид:

I-и стълб II-и стълб

( )

( )

( )

+

−+

+

−+

+

−+

=

1,Re

2

1,2

2

1,1

2

2)0log(exp)0log(exp

2)0log(exp)0log(exp

2)0log(exp)0log(exp

:

plNdtdtrSS

dtdtrSS

dtdtrSS

SPaths

εσσ

εσσ

εσσ

MM

III-и стълб

K

M

K

K

++

−+

++

−+

++

−+

2,Re1,Re

2

2,21,2

2

2,11,1

2

22)0log(exp

22)0log(exp

22)0log(exp

plNplN dtdtdtrS

dtdtdtrS

dtdtdtrS

εσεσσ

εσεσσ

εσεσσ

от IV до (NSteps)-ия стълб (NSteps+1)-ви стълб

( )

( )

( )

+

−+

+

−+

+

−+

∑

∑

∑

=

=

=

NSteps

jjplN

NSteps

jjplN

NSteps

jjplN

dtdtrNStepsS

dtdtrNStepsS

dtdtrNStepsS

1,Re

2

1,Re

2

1,Re

2

2)0log(exp

2)0log(exp

2)0log(exp

εσσ

εσσ

εσσ

K

MM

K

K

,(6.7)

където за прегледност сме означили и написали всеки стълб на тази матрица поотделно, както при означенията на матрицата (6.6).

65

9. Като използваме известните математически формули logxe x= и x y x ye e e+ = , получаваме следните елементите ,i jc в стълбове

)1(,,2,1 += NStepsj K на матрицата SPaths от (6.7), 1,2, ,i NRepl= K :

I-и стълб: 01, Sci = , 1,2, ,i NRepl= K

II-и стълб:

+

−+= 1,

2

2, 2)0log(exp ii dtdtrSc εσσ

, откъдето

+

−= 1,

2

2, 2exp0 ii dtdtrSc εσσ

, 1,2, ,i NRepl= K .

III- и стълб:

++

−+= 2,1,

2

3, 22)0log(exp iii dtdtdtrSc εσεσσ ,

+

−

+

−= 2,

2

1,

2

3, 2exp

2exp0 iii dtrdtrSc εσσεσσ .

Аналогично, за получаваме елементите ,i jc от четвъртия стълб

до (NSteps+1)-вия стълб, 1,,5,4 += NStepsj K :

+

−= ∑

=++

NSteps

jNStepsiNStepsi dtdtrSc

11,

2

1, 2exp0 εσσ ,

+

−= +

=+ ∏ 1,

2

11, 2

0 NStepsi

NSteps

jNStepsi dtdtrxpeSc εσσ , 1,2, ,i NRepl= K .

10. За да визуализираме ценовите пътеки ще използваме формула

(3.3), т.е.

+

−=+ ttrSS ttt δεσδσδ2

2

1exp . В програма 6.1 са

използвани параметрите 0:0 SS = , tdt δ=: , )/(NStepsTdt = , а интервалът [ ]0,T е дискретизиран чрез времевите стъпки

1 2 10, , , ( )NStepst t dt t NSteps dt+= = =K , т.е. dtjt j = , 1,2, , 1j NSteps= +K .

Нека за прегледност означим с jiS , , стойността на i-та ценова

пътека в момент jt . От формулата (3.3) следва, че 01, : SSi = , т.е.

целият първия стълб на матрицата Spaths съдържа началната стойност 0S , която е въведена чрез S0, защото в системата MATLAB, не е удобно да се въвеждат долни индекси). За

1,,2 += NStepsj K имаме

+

−== −−

dtdtrSSS jittji jj 1,

2

, 2exp:

1σεσ .

Окончателно, от изведените в предишната точка 9 формули за елементите ,i jc на матрицата (6.7) можем да напишем:

66

1,1 1,2 1,3 1, 1

2,1 2,2 2,2 2, 1

,1 ,2 ,3 , 1

:

NSteps

NSteps

NRepl NRepl NRepl NRepl NSteps

S S S S

S S S SSpaths

S S S S

+

+

+

=

K

K

M M M

K

(6.8)

Така в i-ия ред на матрицата Spaths от (6.8) се съдържат последователно стойностите на i-та генерирана ценова пътека ,i jS в

моментите 1 2 10, , , ( )NStepst t dt t NSteps dt+= = =K , т.е. 1,1,0 ,,, +NStepsii SSS K .

Очевидно, броят на ценовите пътеки се определя от предварително зададената стойност на параметъра NRepl, в случая : 35NRepl = .

Броят на времевите стъпки се определя от параметъра NSteps. Общият брой времеви стъпки jt е ( 1)NSteps+ , тъй като началният

момент е 1 0t = и dtNStepstdttdtt NSteps )(,,2, 132 === +K .

11. Генерираните ценовите пътеки ,i jS визуализираме в двумерна

графика чрез командата plot(t, SPaths) , където t представлява масива [ ]0, , (2* ), , ( * )t dt dt NSteps dt= K с размерност 1 51× и

t =

Колони 1 до 6

0 0.0200 0.0400 0.0600 0.0800 0 .1000

Колони 2 до 12 0.1200 0.1400 0.1600 0.1800 0.2000 0 .2200 Колони 12 до 18 0.2400 0.2600 0.2800 0.3000 0.3200 0 .3400 Колони 18 до 24 0.3600 0.3800 0.4000 0.4200 0.4400 0 .4600 Колони 25 до 31 0.4800 0.5000 0.5200 0.5400 0.5600 0 .5800 Колони 31 до 37 0.6000 0.6200 0.6400 0.6600 0.6800 0 .7000 Колони 37 до 43 0.7200 0.7400 0.7600 0.7800 0.8000 0 .8200 Колони 43 до 49 0.8400 0.8600 0.8800 0.9000 0.9200 0 .9400 Колони 49 до 51 0.9600 0.9800 1.0000

67

което се извежда в работния прозорец на системата MATLAB при написване на командата t. MATLAB извежда по колони стойностите на масива t и в случая във всяка колона има само една стойност, тъй като t е от вида 1 51× . (В работния прозорец на системата MATLAB съобщенията се извеждат на английски и например: вместо ‘Колони

1 до 6 ’ в работния прозорец на на MATLAB е изписано на английски ‘Columns 1 through 24 ’). Всяка ценова пътека се визуализира чрез точките ( ),,i j i jM t S ,

NRepli ,,2,1 K= , 1,2, , 1j NSteps= +K . Първата ценова пътека се визуализира от точките ( )1 1,,j jM t S , където ,,2,,0 321 Kdttdttt ===

dtNStepstNSteps )(1 =+ и 1, jS са стойностите съответно на елементите от

първия ред и j-ия стълб на матрицата Spaths от (6.8). Втората ценова пътека се визуализира с помощта на точките ( )2 2,,j jM t S , където 1, jS

са стойностите елементите от втория ред на матрицата (6.8) и т.н. като последната ценова пътека съдърва точките ( ),,NRepl j NRepl jM t S ,

1,2, , 1j NSteps= +K , 35NRepl= . В нашия случай общият брой ценови пътеки е 35 и те са изобразени на следващата фиг. 6.1:

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 130

35

40

45

50

55

60Симулация на ценови пътеки в модела на Блак-Шолс

Време t до падежа T, T=1

35 ценови пътеки

генерирани от

S 0=40

Фиг. 6.1 Симулация на ценови пътеки моделирани чрез случаен процес: геометрично Брауново лутане в модела на Блак-Шолс.

68

В програма 6.1 генерирахме и визуализирахме едновременно всички ценови пътеки, като запазихме техните стойности в една матрица Spaths. В програма 3.1 генерирахме последователно ценови пътеки в една матрица, които са изобразени заедно на фиг. 3.1 с помощта на командата hold on. (Командата hold on позволява графиката на всяка следваща ценова пътека да се изобразява на същата фигура, в която сме генерирали вече такава пътека.

Програма 6.1 се отличава със скоростта си от програма 3.1, при която се използват два цикъла един в друг (двоен цикъл или цикъл в цикъл), което забавя изключително времето й за изпълнение при симулацията на голям брой ценови пътеки. Структурата на програма 6.1 е причина за голямата ефективност и широкото й приложение при оценяване на опции, зависещи от времето (path-dependent options). При такива опции функцията на печалба се определя от стойностите на ценовата пътека в моменти от живота на опцията до падежа й, които е необходимо да се запазят за премятане на премиума на дадената опция.

Забележка: Очевидно броят на колоните на матрицата Spaths, е равен на броя на колоните на колоните на масива t, която размерността може да се провери чрез командата size(t) :

>> size(t)

ans =

1 51

Аналогично, ще проверим и размерността на матрицата SPaths :

>> size(SPaths)

ans =

35 51

Пример 6.2 Нека симулираме ценови пътеки, като движението на цената на разглеждания актив се описва от случаен процес, който е използваният в модела на Мертон (4.1)-(4.2) процес на Леви.

За да сравним модела на Мертон с този на Блак-Шолс, където симулирахме движението на ценовите пътеки чрез случайния процес Брауново лутане, ще използваме същите параметри от програма 6.1, т.е. безрисков лихвен процент 08,0=r и волатилност

1,0=σ за период от една година 1T = (този период може да се разглежда като падеж за даден вид опция), а броят на симулираните ценови пътеки е 35 и цената на разглеждания актив в началния момент е 0 40S = . Пример 6.2 е изследван чрез програма 6.2.

69

Програма 6.2

% Симулация на ценови пътеки в модела на Мертон

N = 50; % брой времеви стъпки

M = 35; % брой ценови пътеки

T = 1; % матуритет

price = 40; % начална цена на актива

strike = 40; % страйкова цена

rate = 0.08; % лихва

sigma = 0.1; % волатилност

div = 0; % дивидент

lambda = 5; % параметър за интензитета на скоковете

% Теоретични формули за разпределенията

% log(1+k) ~ N(Gamma1,Delta^2)

% Gamma1 = Gamma-0.5*Delta^2,

% E(k) = kappa = exp(Gamma) – 1

Gamma = 0; Delta = 0.3; Gamma1 = Gamma - 0.5*Delta^2; kappa = exp(Gamma) - 1;

dt = T/N; % времева стъпка

for i = 1:N+1 t(i) = (i-1)*dt; end

sum = 0; % Нулева стойност за сумиране на печалби

for i = 1 : M

% Начална цена на актива за всяка симулация

S(1,i) = price;

for j = 2:N+1 % Генериране на случайните числа чрез % стандартно Нормално разпределение

deviate = normrnd(0,1);

% Генериране на случайни числа чрез Поасоново % разпределение

temp = poissrnd(lambda*dt);

TJS = 0;

70

for k = 1:temp JS = normrnd(Gamma1,Delta); TJS = TJS + JS; еnd

% Генериране на ценовите пътеки S(j,i) S(j,i) = S(j-1,i)*exp((rate-div-lambda*kappa-0.5*sigma^2)*dt+sigma*sqrt(dt)*deviate+TJS); end payoff = max(S(N+1,i)-strike, 0); % чиста печалба sum = sum + payoff; % сумиране на печалбите end

% Цена на ванилова Европейска кол опция метода на % Монте Карло, като се дисконтира очакваната цена Euro_Call_Value = exp(-rate*T)*(sum/M) % Генериране на фигура с ценовите пътеки SPaths plot(t, S) %Етикети за заглавие и оси на генерираната фигура

title( ' Симулация на ценови пътеки с процес на Леви в модела на Мертон ' , 'FontSize' ,12)

xlabel( ' Време t до падежа T, T=1' )

ylabel( '35 ценови пътеки генерирани от S_{0}=40' )

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

20

40

60

80

100

120Симулация на ценови пътеки с процес на Леви в модела на Мертон

Време t до падежа T, T=1

35 ценови пътеки

генерирани от

S 0=40

Фиг. 6.2 Симулация на ценови пътеки в модела на Мертон

71

6.2. СРАВНЯВАНЕ НА ПРЕМИУМИТЕ

Чрез фиг. 6.1 и фиг. 6.2 можем да сравним симулираните ценови пътеки във фундаменталния модел на Блак-Шолс и едно от неговите разширения - модела на Мертон. Като следващата стъпка е интересен въпросът да сравним и премиумите на опции, които се пресмятат по метода Монте Карло чрез прилагане на формула (5.1), за стойностите на симулираните ценови пътеки от програми 6.1. и 6.2 в датата на падежа в случай на обикновени ванилови опции. Според формула (5.1) премиумът на Европейски опции ( )0,0V S в

настоящия момент 0t = се пресмята по следния начин:

( ) ( )0ˆ,0 ( , )rT

TV S e E V S T−= (6.9)

като математическото очакване ( )ˆ ( , )TE V S T на стойността ( , )TV S T в

датата на падежа T е дисконтирано чрез множител rTe− . Нека пресметнем с програма 3.2 премиума на Европейска кол опция с параметри подобни на зададените в пример 3.1, т.е.:

Пример 6.3 Нека опцията е Европейска кол опция (European call option) със страйкова цена 40€, настоящата цена на дадения актив 40€, падеж на опцията една година, лихвен процент 8%, образуван на годишна база, и волатилност 10% годишно.

Пресмятаме премиума на дадената опция по формулата Блак-Шолс ( )

1 2( , ) ( ) exp ( )r T tV S t S N d K N d− −= − , т.е. формула (3.8), която е представена в програма 3.2. И след въвеждане на параметрите S= 40, t = 0, K = 40, T = 1, r = 0,08 и sigma =0,1 в програма 3.2, получаваме за премиума 5370,3)0,40( =V . Можем да проверим този резултат чрез вградената функция (40,40,0.08,1,0.01)blsprice :

>> blsprice(40, 40, 0.08, 1, 0.1)

ans = 3.5370

Резултатът от вградената функция ( 0, , , , )blsprice S K r Tσ може да бъде получен и от аналогичната програма ch08(S,K, r, sigma, tau), която представихме в програма 2.3. Например:

>> [C, Cdelta, P, Pdelta] = ch08(40,40,0.08,0.1,1)

>> C = 3.5370; Cdelta = 0.8023; P = 0.4616; Pdelta = -0.1977

След въвеждането в диалоговия прозорец на MATLAB командата [C,Cdelta, P, Pdelta] = ch08(40, 40, 0.08, 0.1, 1), получихме съответно премиумите C и P съответно на Европейска кол ( , )C S t и пут ( , )P S t

72

опции, а Cdelta и Pdelta са стойностите на известните в икономиката

гръцки букви (the Greek letters), т.е. ( , )C S tCdelta

S

∂=∂

, ( , )P S tPdelta

S

∂=∂

.

Чрез функциите Cdelta(S,t) и Pdelta(S,t) се измерва пределната (маргиналната) стойност на премиума спрямо актива на опцията.

Aналитичните формули на функциите Cdelta и Pdelta са:

( )( , )0.5 ( ) 1

C S tsign S K

S

∂ = − +∂

, ( , ) ( , )1

P S t C S t

S S

∂ ∂= −∂ ∂

, (6.10)

където функцията ( )sign x връща стойност 1, 0 или −1, в зависимост от това дали аргументът й е съответно по-голям, равен или по-малък от нула. Формулите в (6.10) са представени в програма 2.3, чрез която можем да проверим известната в икономиката зависимост пут-кол паритет между премиумите на кол и пут опция:

( , ) ( , ) r TP S t C S t S Ke−= − + (6.11)

За разлика от модела на Блак-Шолс, където с формули (3.8) и (3.18) се пресмятат премиумите съответно на Европейска кол и пут опция, в модела на Мертон е по-удобно премиумът на пут опцията

( , )P S t да се пресмята чрез зависимостта (6.11), ако предварително е известен премиумът на Европейската кол опция ( , )C S t . След като пресметнахме премиума на ванилови опции в модела на Блак-Шолс, ще разгледаме оценяването на обикновени опции и в модела на Мертон със следния пример:

Пример 6.4 Нека опцията е Европейска кол опция (European call option) със страйкова цена 40€, настоящата цена на дадения актив 40€, падеж на опцията една година, лихвен процент 8%, образуван на годишна база, волатилност 10% годишно. Нека движението на цената на разглеждания актив се описва от модела на Мертон с параметър 5λ = (интензитета на скоковете за единица време).

Пресмятаме премиума на Европейска кол опция чрез формула (4.7) на Мертон и програма 4.1:

( ) ( )* ( )1 2

0

( ), ( ) ( )

!

T nrT T b n

n nn

e TV S T e Se N d K N d

n

λ λ−∞−

=

= −∑ ,

където * ˆ( )n

b n r dT

λλκ= − − + и

( )* 2 2

1 2 2

1log ( )

2n

STb n T n

Kd

T n

σ δ

σ δ

+ + + =

+, 2 2

2 1n nd d T nσ δ= − +

Ще отбележим, че програма 4.1 е подобна на програма 3.3, защото формулата на Мертон (4.7) представлява ред с общ член

73

( )* ( )1 2

( )( ) ( )

!

T nT b n

n n

e TSe N d K N d

n

λ λ−

− , който се пресмята подобно на

формулата на Блак-Шолс ( )1 2( ) exp ( )r T tS N d K N d− −− от програма 3.3.

С програма 4.1, при 20n = пресмятаме премиума на кол опцията:

>>[Price]=MertonFormulaF2(40,40,1,0.08,0.1,5, 0)

Премиумът на Европейската кол опция е:

Price = 10.8303

Ще проверим този резултат, получен чрез аналитичната формула на Мертон (4.7), като използваме числения метод Монте Карло. В следващата програма 6.3 ще пресметнем премиума на Европейска кол опция по този метод със зададените параметри от пример 6.4:

Програма 6.3

% Оценяване на Европейски опции - модел на Мертон % AssetJump.m

function [Price, CI] = AssetJump(S0, K, T, r, sigma, lambda, Nsteps, NRepl)

Gamma = 0; Delta = 0.3; Gamma1 = Gamma-0.5*Delta^2; kappa = exp(Gamma) - 1; dt = T/Nsteps; % времева стъпка

for i = 1:Nsteps+1 t(i) = (i-1)*dt; end

sum = 0; sum1=0;

for i = 1 : NRepl

% Начална цена на актива за всяка симулация SPaths(1,i) = S0;

for j = 2:Nsteps+1

% Генериране на случайните числа чрез Нормално % разпределение deviate = normrnd(0,1);

% Генериране на случайни числа чрез Поасоново % разпределение temp = poissrnd(lambda*dt); TJS = 0;

for k = 1:temp JS = normrnd(Gamma1,Delta); TJS = TJS + JS;

end

74

SPaths(j,i) = SPaths(j-1,i)* exp((r-lambda*kappa-0.5*sigma^2)*dt+sigma*sqrt(dt)*deviate+TJS);

end

% Функция на печалба за пут и кол опция съответно

payoff1 = max(K - SPaths(Nsteps+1,i), 0); % пут payoff = max(SPaths(Nsteps+1,i) - K, 0); % кол

% Dpayoff(i) = max(K - SPaths(Nsteps+1,i), 0); Dpayoff1(i) = max(SPaths(Nsteps+1,i) - K, 0);

sum = sum + payoff; sum1 = sum1 + payoff1; end

% Пресмятане на премиумите на кол и пут опции

Euro_Put_Value = exp(-r*T)*(sum/NRepl)

Euro_Call_Value = exp(-r*T)*(sum1/NRepl)

% Проверка на формулата (6.11) за пут- кол паритет % премиумите кол и пут опции в модела на Мертон

Euro_Call_Value-Euro_Put_Value - S0+ K*exp(-r*T)

% Пресмятане на премиумите на кол и пут опции % чрез вградената функция normfit(x)

% CI е 95% доверителен интервал за премиума на % Европейска пут опция като се пресмята чрез %[Price,VarPrice,CI]=normfit(exp(-r*T)*Dpayoff);

% CI е 95% доверителен интервал за премиумите на % на ценовите пътеки в модела на Мертон

[Price,VarPrice,CI]=normfit(exp(-r*T)*Dpayoff1);

>> [Price, CI] = AssetJump(40, 40, 1, 0.08, 0.1, 5, 10, 100000)

Euro_Put_Value = 7.8940

Euro_Call_Value = 10.8766

ans = 0.139

CI = 10.4995

11.0536

Чрез стойността ans=0,139 се проверява зависимостта пут-кол паритет в (6.11) като пресмятаме с команда следния израз:

Euro_Call_Value-Euro_Put_Value - S0+ K*exp(-r*T)). (6.12)

75

Очевидно, колкото повече ценови пътеки се използват за симулация в програма 6.3, толкова по-точно се пресмятат премиумите ( , )C S t и

( , )P S t , съответно на Европейска кол и пут опция по метода Монте Карло и абсолютната стойност на израза в (6.12) ще намалява.

В програма 6.3 пресметнахме по метода Монте Карло, че премиумът на Европейска кол опция е Price = 10.8766 , а 95%-ият доверитен интервал за него, получен чрез вграденета в MATLAB функция normfit , е CI, т.е. интервалът (10,4995; 11,0536).

Чрез аналитичната формула (4.7) на Мертон пресметнахме, че премиумът на Европейската кол опция от пример 6.4 е 10.8303, а стойността й по метода Монте Карло е 10,8766 при 105 ценови пътеки за симулация и стандартната грешка 0.2771 при тази симулация е половината от доверителния интервал CI, т.е. 0,2771=0,5*(11,0536-10,4995). За да получим още по-точен резултат чрез метода Монте Карло, се налага да симулираме с повече от 105

ценови пътеки. В глава 5 на стр. 52 отбелязахме, че за да се увеличи точността на метода с една десета, т.е. стандартната грешка да се намали с една десета, достатъчно е да се увеличи стократно броя на генерираните ценови пътеки, т.е. от 105 на 107. Но това условие не е необходимо условие и стандартната грешка 0,2771 може да се намали дори с повече от една десета, както ще домонстрираме в следващата симулация при 106 ценови пътеки, т.е. NRepl = 610 . Това е така, защото точността на метода зависи правопропорционално от стандартното отклонение s на генерираните стойности на ценовите пътеки, което участва във формулата за определяне на доверителния интервал CI, (виж s в следващата формула (6.13)).

Ако използваме стастистически формули за голяма по обем извадка (т.е. 30NRepl> ), то доверитеният интервал ( )1 2,L L с

надеждност γ за средната стойност на генералната съвкупност от стойностите на ценовите пътеки в датата на падежа се пресмята по формулите [16]:

1 1

2

sL x z

NReplγ+= − , 1 1

2

sL x z

NReplγ+= − , (6.13)

където 1

2

z γ+ е квантил от стандартното нормално разпределение от

порядък 12

γ+. Точността на интервалната оценка е 1

2

sd z

NReplγ+= .

Забележка: Поради симетричността на границите L1 и L2 на интервала ( )1 2,L L относно x , точността d може да се определи и като

половината от дължината на интервала, т.е. )(*5,0: 12 LLd −= .

76

При надеждност 95%, т.е. 95,0=γ , 96,1975,0

2

95,01

2

1 === ++ zzz γ и

доверителният интервал ( )1 2,L L е

+−

NRepl

sx

NRepl

sx 96,1,96,1 .

Квантилът 0.975 1.96z = може да се намери от таблица за стандартното нормално разпределение в статистически или математически справочници или чрез вградената в MATLAB функция norminv(x):

>>norminv(0.975)

>> ans = 1.96

Може да проверим и обратната операция, т.е. да намерим порядъка γ като използваме вградената функция normcdf(x):

>>normcdf(1.96)

>> ans = 0.975

Извадката от премиумите Dpayoff1 на Европейска кол опция представлява стойностите на ценовите пътеки в датата на падежа Т, които са дисконтирани с фактор exp(-r*T). Ако означим с xi :

xi := exp(-r*T)*Dpayoff1(i)=exp(-r*T)*max(SPaths(Nsteps+1,i)-K, 0),

1,2, ,i NRepl= K , където NRepl е обемът на извадката, то точковата оценка x за средноаритметичната стойност на извадката от xi се пресмята в програма 6.3 чрез командата:

Euro_Call_Value = exp(-r*T)*(sum1/NRepl)

Параметърът s във формула (6.13) е стандартното отклонение на извадката от xi и се пресмята чрез следната формула:

2 2 21 22 ( ) ( ) ( )

1NReplx x x x x x

s sNRepl

− + − + + −= =

−K

Като използваме x , s, 0.975 1.96z = и формула (6.13) можем да пресметнем границите на търсения 95% - ов доверителен интервал.

В програма 6.3 границите на 95% - ия доверителен интервал от формула (6.13) е пресметнат директно с вградената в MATLAB функция normfit(x) чрез командата:

[Price, VarPrice, CI] = normfit(exp(-r*T)*Dpayoff1);

Доверителният интервал за средната стойност на премиума на Европейска пут опция се пресмята аналогично чрез командата:

[Price,VarPrice,CI]=normfit(exp(-r*T)*Dpayoff);

77

Ще приложим метода Монте Карло с повече от 105 ценови пътеки, за да постигнем по-голяма точност и съответно да намалим и дължината на доверителния интервал за премиума на кол опцията.

Например, нека изберем NRepl = 610 . Тогава очакваната грешка при симулация ще е приблизително квадратния корен от броя на ценовите пътеки 106, т.е. приблизително 0,001. При метода

Монте Карло стандартната грешка 1

2

sd z

NReplγ+= е различна за

всяка симулация, защото зависи от стандартното отклонение s, но е

от порядъка на C

NRepl, където C е константа, или 1

ONRepl

, ако

изпозваме математическия символ ‘О’ на Ландау. Пресмятаме:

>> [Price, CI]=AssetJump(40, 40, 1, 0.08, 0.1, 5, 1, 1000000)

Euro_Put_Value = 7.7894; Euro_Call_Value = 10.8319

ans = -0.0328 % проверка на пут- кол паритет 4

CI = 10.7806 10.9391

Price = 10.8319 Стандартната грешка 0,0793 при тази симулация е половината

на доверителния интервал CI, т.е. 0.5*(10,9391-10,7806)) = 0,0793. Стойността 0,0793 на стандартната грешка е много по-малка от 0,2771 при предходната симулация с по-малък брой ценови пътеки.

Тъй като 10,8319 - 10,8303 = 0,0016, то численият резултат 10,8319 при 106 ценови пътеки е много близък до резултата 10,8303 от аналитичната формула на Мертон, отколкото резултата 10,8766, получен при 105 ценови пътеки. При избор на по-голям брой ценови пътеки от 106, например 107 или 108, точността на метода Монте Карло може да се увеличи до четвъртия знак.

Необходимото ниво на точност при метода на Монте Карло се определя и от финансови условия като например броя на опциите, които се търгуват. При големи количества опции, например 108, необходимото ниво на точност е четвъртия знак, защото 108 води до голяма разлика от 108 x 0,0016 или 160 000 парични единици. 4 Полученият резултат ans = - 0.0328 не показва стадартната грешка за дадената симулация, т.е. точността на метода Монте Карло. Чрез него се проверява зависимостта пут-кол паритет (6.11), т.е. ( , ) ( , ) 0r TC S t P S t S K e−− − + = . С увеличаване броя на ценовите пътеки от 105 на 106

намалява абсолютната стойност на резултата ans от 0,139 до 0.0328, .

78

6.3. ПРЕСМЯТАНЕ ПРЕМИУМА НА ЕКЗОТИЧНИ ОПЦИИ ПО МЕТОДА МОНТЕ КАРЛО

Ще отбележим, че опциите с бариери са екзотични опции, защото принадлежат към класа на нестандартните деривати, при които функцията на печалба зависи от стойностите на разглеждания актив в моменти преди изтичането на опцията, т.е. преди падежа. И такива опции се оценяват чрез метода на Монте Карло, защото за повечето от тях все още няма аналитични формули [16], [21]. Чрез формулите на Блак-Шолс (3.8), (3.18) и Мертон (4.7) се пресмятат премиумите на обикновени кол и пут опции, т.е. опции без бариери.

В случай на дискретно наблюдавана нокаут кол опция с две бариери, функцията на печалба има вида на обикновена ванилова Европейска кол опция, т.е. max(S-K,0) от предходния пример 6.4, но опцията изтича без стойност (губи валидност), ако преди падежа й, цената на разглеждания актив S е попаднала извън бариерния коридор [L,U] в предварително определените дати на наблюдение. При непрекъснато наблюдение, опцията се анулира, т.е. функцията на печалба се приема за нула, ако цената на актива попадне извън коридора [L,U] в кой да е момент t преди падежа T, т.е. за ),0[ Tt ∈ имаме 0),( =tSV , ако ),( ULS∉ и при при t T= :

0, ,

( , ) max( ,0), ,

0,

ако S L

V S T S K ako L S U

ако S U

≤= − < < ≥

т.е. функията на печалба е всъщност условието ( , )V S T при t T= . За дискретния случай на наблюдение чрез формула (5.4)

описахме математическата постановка на проблема за пресмятането на премиума на дискретни нокаут кол опции с две бариери, т.е.

{ } { } { }1 2max( ,0),1 1 ...1

n

rTT A A A

e E S K− −

, ( ){ },ii tA S L U= ∈ .

И за двата разгледани случая можем да обобщим, че ако една от бариерите е достигната, то опцията се анулира (губи валидност), но тогава притежателят на опцията може да бъде компенсиран с допълнително заплащане R, което е предварително определено. В този специален случай, опцията се анулира, функцията на печалба е нула, но премиумът на опцията не е нула, а се определя от формулата L

tri RetLV i−=),( , U

tri RetUV i−=),( , където it е момент, когато

бариерите L и U се прилагат и цената на разглеждания актив it

S е

достигнала една от тях (дискретните моментите it са фиксирани).

79

В случай, че не се изплащат компенсации при анулиране на опции с бариери, следната зависимост между премиумите на опции, съответно с постоянни бариери, дискретни бариери и обикновени ванилови опции без бариери е изпълнена [43]:

бариерибезопцияваниловаопциянокаутдискретнабариерипостояннисопциянокаут VVV ≤≤ . (6.14)

В модела на Блак-Шолс равенство може да се достигне, когато бариерите са твърде отдалечени от страйковата цена, например горната бариера е фиксирана да бъде два пъти страйка [28], [38].

Да разгледаме един пример за пресмятане на премиума на дискретна нокаут кол опция с две бариери.

Пример 6.5 Нека пресметнем премиума на Европейска дискретна нокаут кол опция с две бариери L и U, дефинирана с функция на печалба max(S-K,0) в датата на падежа T, бариерни условия (3.12), страйкова цена K=40, параметър волатилност 10% годишно, падеж една година, 8% безрисков лихвен процент, образуван на годишна база, долна бариера L=35, горна бариера U=50 и начална цена на разглеждания актив S0=40.

Ще изследваме премиума на нокаут опции с бариери в модела на Мертон за различни стойности на параметъра λ , описващ интензитета на скоковете за единица време. За ясното бариерната честота означаваме с m. Ще проведем експеримент с моделите на Блок-Шолс и Мертон като приложим метода Монте Карло чрез 610 ценови пътеки, при петкратно прилагане на бариери, седмично и дневно наблюдение и различни стойности на интензитета. Ще наблюдаваме влиянието на (а) интензитета на скоковете, (б) бариерната честота и (в) бариерната честота и интензитета на скоковете върху премиума на опцията. Резултатите са представени в таблица 6.1, където дискретните бариери са съответно 35=L и 50=U .

В края на секция 2.3 на стр. 30 отбелязахме, че при опции с падеж една година параметърът m има стойности 50=m и 250=m , съответно при седмично и дневно наблюдение на опцията. При петкратно прилагане на бариери за параметъра m имаме 5=m .

В модела на Мертон анализът на резултатите показва, че с увеличаване на стойността на λ , премиумът на нокаут кол опция с дискретни бариери намалява. Например, стойността на премиума намалява от 2,4142 до 0,9643, когато λ се увеличава от 5λ = до

25λ = . Това може лесно да бъде обяснено като се вземе предвид право пропорционалната зависимост между възможността да се пресече една от бариерите и стойността на параметъра λ , описващ честотата на скоковете. Тази закономерност се потвърждава и от

80

процента, който показва броя на ценовите пътеки, пресекли една от бариерите, към общия брой симулирани ценови пътеки, т.е. стойността на 100*(NCrossed/NRepl) в програма 6.5. Този процент за

5λ = е 20,96%, докато за 25λ = се е увеличил до 38%. Ще отбележим, че този извод за увеличението на разглеждания процент от пресекли ценови пътеки е валиден и за по-малки стойности на параметъра волатилност σ , т.е. при 1,0<σ . Този феномен може да се обясни със значимостта на параметъра на интензитет λ в модела на Мертон, който описва ‘активността’ на ценовите пътеки.

Таблица 6.1: Резултати от симулациите за пример 6.5 чрез метода Монте Карло с 610 ценови пътеки за пресмятане премиума на дискретни нокаут кол опции с две бариери 35=L и 50=U , 0 40S = , 40K = , 1T = , 1,0=σ и 08,0=r .

Наблюдавана честота на бариерите

Модел на Блак-Шолс без скокове

Модел на Мертон със скокове

при параметър на интензитет λ

m премиум и (стандартна грешка)

параметър λ

на интензитет

премиум на опцията и

(стандартна грешка)

5 2,6899 (0,0052) 5λ = 2,4142 (0,0036)

5 2,6899 (0,0052) 10λ = 1,9069 (0,0040)

5 2,6899 (0,0052) 25λ = 0,9643 (0,0038)

50 2,5368 (0,0050) 5λ = 2,4075 (0,0036)

50 2,5368 (0,0050) 10λ = 1,8824 (0,0040)

50 2,5368 (0,0050) 25λ = 0,9069 (0,0036)

250 2,4746 (0,0050) 5λ = 2,4019 (0,0036)

250 2,4746 (0,0050) 10λ = 1,8764 (0,0020)

250 2,4746 (0,0050) 25λ = 0,8982 (0,0036)

В първоначалния модел на Блак-Шолс отсъства параметър, който характеризира евентуална поява на скокове в ценовия процес

tS . Можем условно да считаме, че параметърът λ е винаги нула в модела на Блак-Шолс, т.е. 0=λ , което обяснява наблюдаваните на фигура 6.1 малки изменения на стойностите на симулираните ценови пътеки в последователни времеви моменти. Не случайно, при 0=λ

частното диференциално уравнение (4.6), описващо премиума на опции в модела на Мертон, се трансформира от

81

( )2

2 22

1ˆ

2

V V VS r d S rV

t S Sσ λκ∂ ∂ ∂+ + − − − +

∂ ∂ ∂( ) ( )[ ] 0,),1( =−+ tSVtkSVEkλ

в извесното фундаментално уравнение (3.4) на Блак-Шолс: 2

2 22

10

2

V V VrS S rV

t S Sσ∂ ∂ ∂+ + − =

∂ ∂ ∂.

Изборът на математически модел за оценяване на опции е от голямо значение за притежателя на опция с бариери в случаите, когато опцията се анулира при достигане на бариерите и той очаква компенсация [13], [14], [15], [26], [28], [32], [33]. Избраният модел и даденият финансов дериватив определят до голяма степен и използването на подходящ числен метод [1], [5], [34], [36], [39], [40], [46]. Разбира се, това зависи и от поставените цели като достигане на точност и изчислително време [42] или комбинация от тези два фактора като предложения алгоритъм в [38].

По отношение на влиянието на бариерната честота върху премиума на нокаут опции, можем да разграничим първоначалния модел на Блак-Шолс с едно от неговите разширения модела на Мертон, в който ценовите пътеки се характеризират с възможността от поява на скокове. Резултатите от таблица 6.1 са получени чрез програми 6.4, 6.5 и 6.6, които са представени в края на тази секция 6.3, и показват връзката между бариерната честота и премиума на нокаут кол опцията. В модела на Мертон за фиксиран параметър

5λ = и различни честоти 5, 50 или 250, премиумът на опцията не се различава с повече от 0,01 или с около една парична единица. За

5λ = , при честоти 5, 50 и 250, премиумът на нокаут опцията е съответно 2,4142; 2,4075 и 2,4019. Същият извод е валиден и когато фиксираме 10λ = , където премиумите са съответно 1,8824 и 1,8764 и при 25λ = , съответно 0,9069 и 0,8982, като имаме предвид честотата само при седмичното и дневното наблюдение.

За разлика от модела на Мертон, бариерната честота има силно влияние върху премиума на опциите в модела на Блак-Шолс. Нека анализираме резултатите от Таблица 5 на стр. 2478 в [38] за премиума на същия вид дискрента нокаут опция с две бариери 95L = и 140U = , падеж 5,0=T и параметри: 0 100S = , 100K = , 2,0=σ и 1,0=r . Ако сравним премиумите: 5,07620; 5,61950; 6,41126 и 7,15372 - получени съответно при дневно, седмично, месечно и сезонно прилагане на бариерите, се забелязва, че премиумът се увеличава, когато честота на наблюдение намалява, т.е. имаме обратно пропорционална зависимост между честотата и премиума на дискретната нокаут кол опция. Тази зависимост е представена в таблица 6.2. В секция 6.1.7 на [28] Кwok изследва влиянието на

82

бариерната честота върху премиума на дискретни нокаут и нокин опции (опции, които се активират, само ако цената на разглеждания актив достигне дадена бариера). От финансова гледна точка, се очаква честотата да намали премиума на нокин опция, но ще увеличи този на нокаут опцията, в сравнение със съответните опции с постоянни бариери и е в сила зависимостта (6.14).

Таблица 6.2: Изследване на премиума на нокаут опции с две бариери 95L = и 140U = в зависимост от бариерната честота m при падеж 5,0=T и параметри 0 100S = , 100K = , където 2,0=σ и 1,0=r .

Нокаут опция

Постоянни бариери

Дискретни бариери

Дискретни бариери

Дискретни бариери

Ванилова опция

честота 610≥m 250m= 50m= 5=m 0=m премиум → → → → →

Обикновените ванилови опции нямат бариери, т.е. честота е 0=m , но премиумът им е винаги по-голям от опциите с бариери. В таблица 6.2 със стрелка сме отбелязали посоката на растене на премиума в реда. Например, премиумът расте от 250m= до 50m= . При нокин опциите, вероятността да се активира опцията е право пропорционална на честотата на бариерите, валидна е зависимостта:

опциянокиндискретнабариерипостояннисопциянокинбариерибезопцияванилова VVV ≥≥ , (6.15)

Премиумът на нокин опцията намалява, когато честотата намалява, т.е. точно обратно на нокаут опцията. Ще отбележим, че дори и при много големи стойности на m, като например 610=m , премиумът на опциите с дискретни бариери се различават значително от този с постоянни бариери. Не е целесъобразно математическо изследване на дискретния случай на наблюдение чрез непрекъснатост за достатъчно големи стойностти на m, защото практически 250≤m .

Програма 6.4

% AssetJumpC.m

function SPaths = AssetJumpC(S0, K, r, T, sigma, lambda, Nsteps, NRepl)

Gamma=0; Delta=0.3; Gamma1=Gamma-0.5*Delta^2; kappa = exp(Gamma) - 1; dt = T/Nsteps;

for i = 1 : NRepl

SPaths(1,i) = S0; % начална стойност на актива

for j = 2:Nsteps+1

% Генериране на случайните числа чрез Нормално разпределение

83

deviate = normrnd(0,1); % Генериране на случайни числа чрез Поасоново разпределение

temp = poissrnd(lambda*dt); TJS = 0; for k = 1:temp

JS = normrnd(Gamma1,Delta); TJS = TJS + JS; end

SPaths(j,i) = SPaths(j-1,i)* exp((r-lambda*kappa - 0.5*sigma^2)*dt + sigma*sqrt(dt)*deviate + TJS); end

end

Програма 6.5

% Метод Монте Карло за оценяване на дискретни нокаут опции с две бариери в модела на Мертон

% MCEJump.m

function [D,CI,NCrossed] = MCEJump(S0,K,r,T,sigma,lambda,L,U,NSteps,NRepl)

% Генериране на ценовите пътеки

Payoff=zeros(NRepl,1);

NCrossed =0;

for i=1:NRepl Path = AssetJumpC(S0,K,T,r,sigma,lambda,NSteps,1);

crossed = any(Path <=L | Path >=U);

if crossed = =0 Payoff(i)=max(0,Path(NSteps+1)-K);

% В случай на пут опция, функцията на печалба е: % Payoff(i)=max(0,K-Path(NSteps+1));

else Payoff(i)=0; NCrossed=NCrossed+1; end

end

% Определяне премиума на опцията и съответния 95% % доверителен интервал за средната цена

[D,aux,CI]=normfit((exp(-r*T))*Payoff);

% Процент ценовите пътеки ( спрямо общия брой % симулирани), които са пресекли бариерите е:

100*(NCrossed/NRepl)

84

Примери:

>>[D,CI,NCrossed]=MCEJump(40,40,0.08,1,0.1,5,35,50,5,1000000)

ans = 20.9641; D = 2.4142

CI = 2.4106 2.4179

NCrossed = 209641;

>>[D,CI,NCrossed]=MCEJump(40,40,0.08,1,0.1,5,35,50,50,1000000)

ans = 21.4006; D = 2.4075

CI = 2.4039 2.4111

NCrossed = 214006;

>>[D,CI,NCrossed]=MCEJump(40,40,0.08,1,0.1,10,35,50,50,1000000)

ans = 38.2341; D = 1.8824

CI = 1.8784 1.8864

NCrossed = 382341

>>[D,CI,NCrossed]=MCEJump(40,40,0.08,1,0.1,25,35,50,50,1000000)

ans = 69.7611; D = 0.9069 CI =

0.9033 0.9106

NCrossed = 697611

>>[D,CI,NCrossed]=MCEJump(40,40,0.08,1,0.1,5,35,50,250,1000000)

ans = 21.5659; D = 2.4019 CI =

2.3982 2.4055

NCrossed = 215659

>>[D,CI,NCrossed]=MCEJump(40,40,0.08,1,0.1,10,35,50,250,1000000)

85

ans = 38.4358; D = 1.8764

CI = 1.8724 1.8804

NCrossed = 384358

>>[D,CI,NCrossed]=MCEJump(40,40,0.08,1,0.1,25,35,50,250,1000000)

ans = 70.1168; D = 0.8982

CI = 0.8945 0.9018

NCrossed = 701168

Следващата програма 6.6 извиква програма 6.1 от стр.57, т.е. Asset1(S0,r,sigma,T,NSteps,1), където се симулират ценови пътеки в модела на Блак-Шолс. В секция 6.3 целта е да пресметнем само премиума на дадената екзотична опция, то в програма 6.6 не е необходимо да изобразяваме генерираните ценови пътеки, както в програма 6.1. За тази цел преди да стартираме програма 6.6, командата plot(t,SPaths) от програма 6.1 за генериране на фигура от ценови пътеки и следните команди, описващи съответно етикетите за заглавие и координатни оси, могат да се оставят в коментари:

% title( ' Симулация на ценови пътеки в модела на % Блак- Шолс' , 'FontSize' ,12) % xlabel( ' Време t до падежа T, T=1' ) % ylabel( '35 ценови пътеки генерирани от % S_{0}=40' )

Програма 6.6

% Оценяване на дискретни нокаут опции с бариери % по метода Монте Карло в модела на Блак- Шолс

% DBOCallMC2.m

function[Price,CI,NCrossed]=DBOCallMC2(S0,K,r,T, sigma,L,U,NSteps,NRepl)

% Генериране на ценовите пътеки

Payoff=zeros(NRepl,1); NCrossed =0;

for i=1:NRepl

Path=AssetPaths1(S0,r,sigma,T,NSteps,1);

crossed = any(Path <=L | Path >=U);

if crossed ==0

86

Payoff(i)=max(0,Path(NSteps+1)-X);

else

Payoff(i)=0;

NCrossed=NCrossed+1;

end end

% Премиумът на дискретна нокаут кол опция е:

[Price,aux,CI]=normfit((exp(-r*T))*Payoff);

% Процент на ценовите пътеки, които са пресекли % една от двете бариери ( спрямо общия брой NRepl % симулирани ценови пътеки)

100*(NCrossed/NRepl)

Примери: Резултатите са използвани в Таблица 6.1 на стр.83.

>> [Price,CI,NCrossed] = DBOCallMC2(40,40,0.08,1,0.1,35,50,5,1000000)

ans = 10.6480 % Процент пресекли ценовите пътеки

Price = 2.6899 % Премиум на нокаут кол опцията

CI =

2.6847

2.6951

% CI е 95% доверителен интервал за средната цена

NCrossed = 106480

% NCrossed е броят на пресеклите ценови пътеки

>>[Price,CI,NCrossed] = DBOCallMC2(40,40,0.08,1,0.1,35,50,50,1000000)

ans = 14.1102

Price = 2.5368

CI =

2.5318

2.5419

NCrossed = 141102

Можем да проверим времето на изпълнение на дадена програма или команда като използваме символите ‘tic,...,toc’. Например:

87

>> tic, [Price,CI,NCrossed] = DBOCallMC2(40,40,0.08,1,0.1,35,50,250,1000000), toc

ans = 15.4835; Price = 2.4746

CI =

2.4696

2.4796

NCrossed = 154835

Elapsed time is 5.304434 seconds.

Можем да пресметнем стандартната грешка за дадената симулация при метода Монте Карло за симулация на ценови пътеки като половината на доверителния интервал CI, т.е.:

>> 0.5*(2.4796-2.4696)

ans = 0.0050

ПОВЪРХНИНИ НА БЛАК-ШОЛС

0

1

2

3

0

0.5

1-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

St

C(S

,t)

Фиг 6.3 Повърхнина на Блак-Шолс за Европейска кол опция – ‘хокеен стик’

(the Black-Scholes surface for European call option – ‘hockey stick’)

88

Програма 2.2 генерира специяна повърхнината на Блак-Шолс за Европейска кол опция (the Black-Scholes surface for European call). Тази повърхнина представлява триизмерна графика и е известна в икономиката като ‘хокеен стик’ и показва премиума C(S,t) на кол опцията за различни фиксирани стойности S на разглеждания актив и фиксирана падеж t на опцията [19].

Следващата повърхнина на Блак-Шолс на фиг. 6.4 описва премиума на нокаут кол опция с две бариери L и U, които се прилат дискретно в предварително определени дати преди падежа. Графиката на фиг. 6.4 е генерирана чрез нестандартна схема на крайни разлики, предложена от Милев и Таллиани [40], за числено решаване на параболичното уравнение на Блак-Шолс с начални и гранични условия (3.11)-(3.13) за дискретни нокаут кол опции с две бариери. Полученото числено решение на фиг. 6.4 отговаря на две финансови изисквания на опцията: положителност и дискретен принцип на максимум на полученото числено решение ),( tSV на параболичното уравнения (3.4), т.е. численото решение ),( tSV не се увеличава с течение на времето ( ),(max),(max 2

],0[1

],0[ maxmax

tSVtSVSSSS ∈∈

≥ , 21 tt ≤ ).

Фиг 6.4 Повърхнина на Блак-Шолс за Европейска дискретна нокаут кол опция с две бариери 95L = и 140U = , наблюдавана месечно 6 пъти за половин година

5,0=T . Параметри на опцията: 0 100S = , 100K = , 2,0=σ и 1,0=r .

89

ЗАКЛЮЧЕНИЕ И ИЗВОДИ

Освен използването на стохастично-волатилни модели [12],

[14], (stochastic volatility models), друга възможност за преодоляване на недостатъците при оценяването на финансови деривати в модела на Блак-Шолс е представеният модел на Мертон, при които в симулацията на ценовите пътеки се включва и появата на случайни скокове. Чрез скоковете се моделират значителни повишения или спадове в цените на разглеждания актив, т.е. резки промени в цените, вследствие на човешка намеса или форс-мажорни обстоятелства, настъпили в резултат на непредвидима случайна и непреодолима причина. Примери за това са световната финансова криза през 2009-2011 и войната в Либия довела до рязко повишение на цената на петрола в някои държави като България. Финансовите пазари реагират мигновено на всяка нова информация за промяната в цената на даден актив като например цената на златото, петрола или основни валути като долар и евро, което налага изследването на нестандартни финансови модели като този на Мертон [13], [15], [20], на Коу [26]-[27], GARCH модели [31], [32] и др.

Моделът на Мертон се различава от първоначалния модел на Блак-Шолс от 1973 с включването не само на малки изменения в цената на финансовите активи (виж фиг. 1, стр. 67), но и неочаквани скокове, което може да се наблюдава на фиг. 6.2. Формално в модела на Мертон случайното движение на цените се моделира чрез два случайни процеса, един дифузионен (например Брауново лутане) и един описващ скоковете в цената на дадения финансов актив (например Поасонов процес, както в програма 6.2). Във физиката Брауновото лутане е случаен процес, който описва Брауновото топлинно движение на микрочастици от твърдо вещество (прашинки), намиращи се в течна или газообразна среда. Брауновото лутане се използва в иконометрията за моделиране на случайното движението на цените на финансовите активи.

Модели на Мертон и Коу разширяват фундаменталния модел на Блак-Шолс и много често отрязяват по-реално свойствата на наблюдаваните цени на финансовите пазари. В икономиката тези специални свойства се наричат lepto-kurtic и за моделирането им Мертон и Коу използват вероятностни разпределения, подобни на познататото в математиката симетрично нормално разпределение (разпределение на Гаус), но отличаващи се от него с повече площ в областта на опашките си.

90

Коу моделира движението на цените с логонормално двойно експоненциално разпределение [26] и така много по-точно пресмята точковите оценки за средно и коефициент на асиметрия в хистограмата на наблюдаваните цени. И компютърните симулации в модела на Коу позволяват по-точно прогнозиране и изготвяне на финансови стратегии за намаляване на риска при търгуване с опции.

От друга страна оценяването на финансови деривати като нулеви купуни (zero-coupon bond) [9] в нестандартни модели налага употребата на по-сложни количествени методи като конструирането на схеми на крайни разлики [29], [28], [40], [41]. Схемите на крайни разлики e широко използван в иконометрията метод за оценяване на деривати, който е описан в [5], [22], но прилагането му изисква и по-задълбочени познания по математика [23], [24]. Универсални схеми на крайни разлики не съществуват в екстремни случаи, като например оценяване на екзотични опции при ниски стойности на параметъра волатилност [42] или точки на прекъсване от първи род в функцията на печалбата [40], [41] и изборът на подходяща схема зависи от поставените цели като точност и изчислително време [40]. В следствие на това в последните десет години освен схемите на крайни разлики (finite-difference schemes) се развиват и прилагат и други подобни подходи като метода на крайните елементи (finite-element methods) [46] или на крайни обеми (finite-volume difference scheme) [11], [12]. Последните два метода понякога са много по-ефективни от схемите на крайни разлики, тъй като не страдат от недостатъци като нежелани изкуствени осцилации [41] (undesired spurious oscillations) или дифузия (diffusion) [40] , [42] в численото решение на уравнението на Блак-Шолс.

Оценяването на опции в модела на Мертон със скокове, води до апроксимирането на частно итегрално-диференциално уравнение (което всъщност е уравнението (3.4) на Блак-Шолс, но с интегрална дясна част различна от нула [13], [17]), за което е необходимо използването и прилагането на модерни числени техники като метода на радиалните функции, които са известни още като сплайни в математиката и невронни мрежи в информатиката.

Един от разгледаните примери в настоящото ръководство е прецизното оценяване на дискретни нокаут кол опции с две бариери чрез алгоритъма на метода Монте Карло, но достигане на желаната точност е все още нерешен проблем за много други числени методи. Например в глава 6 чрез метода Монте Карло е изследван случаят, когато цената на разглеждания актив следва дифузионен процес със скокове и бариерите се прилагат дискретно. Получените числени резултати позволяват да се анализира влиянието на бариерната

91

честота върху премиума на опциите и да се изследват зависимостти за различни параметри в моделите на Блак-Шолс и Мертон.

От друга страна структурата на алгоритъма на Монте Карло позволя също да се оценяват екзотични опции със сложна функция на печалба като лукбак и азиатски опции. Евристичната структура и интуитивната компютърна симулация на метода Монте Карло в системата MATLAB е причина за широката му употреба не само в икономиката. Този метод е един от най-често използваните и ефективни числени методи за оценяване на финансови деривати като биномните дървета [19], [22] и схемите на крайни разлики.

Представеният метод Монте Карло се счита за универсален за оценяване на финансови деривати с функция на печалба, зависеща от времето, като опции с бариери. Основно предимство на този метод е възможността много финансови атрибути като дискретни или постоянни бариери, дивиденти и компенсации да бъдат внедрени в процедурата за симулация на ценови пътеки. Всички тези характеристики са незаменими за търгуването на всеки финансов дериват в реалния живот, но влючването им усложнява значително задачата за намирането на премиума.

ОСНОВНИ ВЪПРОСИ ЗА САМОПОДГОТВКА

Следните тридесет въпроса обобщават знанията от настоящото ръководство и спомагат за по-доброто усвояване на основните определения, методи за моделиране, симулация на ценови пътеки и оценяване на финансови деривати.

1. Дайте определение за деривативи!

2. Дайте определение за опции!

3. Каква е основната разлика между опции и фючърси?

4. Дайте примери за опции! Кои опции са ванилови?

5. Каква е разликата между Европейски и Американски опции?

6. Кой е основният проблем на финансовите пазари за опциите?

7. Избройте основните параметри определящи финансовите деривати като опциите и влияещи върху премиума на опциите?

92

8. За какво се използва относителната промяна на цените на финансовите деривати? Какво е лого-нормално разпределение?

9. Какво е общото между възвращаемостта и лихвата при опциите? Какво се разбира под безрисков лихвен процент?

10. Какъв е основният резултат за премиума на обикновените ванилови опции без дивиденти в модела на Блак-Шолс?

11. Свойствата на кое вероятностно разпределение се използват за симулация на ценови пътеки в модела на Блак-Шолс?

12. Каква е връзката между цените в два съседни момента?

13. Каква роля има дисконтирането за премиума на опциите?

14. Каква е основната разликата между функцията на печалба на обикновени ванилови и екзотични опции?

15. Дайте примери за екзотични опции?

16. Каква е връзката между метода на триномни дървета и схемите на крайни разлики за оценяване на опции?

17. За какво се използва формулата на Блак-Шолс?

18. Кои са основните методи за оценяване на опции?

19. Кое е общото между биномните дървета и метода Монте Карло? Кои количествени методи са евристични?

20. Каква е разликата метода Монте Карло и схемите на крайни разлики? Защо методът на Монте Карло е универсален?

21. Каква е разликата в точността на приближение при метода Монте Карло и биномните дървета спрямо премиума на опции от Европейски вид, определен от формулата на Блак-Шолс?

22. Каква е основната разлика при симулация на ценови пътеки във фундаменталния модел на Блак-Шолс и модела на Мертон?

23. Съществува ли формула за оценяване на Европейски ванилови опции в модела на Мертон?

24. Може ли метода Монте Карло да бъде приложен за оценяване на деривати в модела на Мертон?

93

25. Параметърът интензитет е характерен за модела на Мертон. Каква е стойността му в модела на Блак-Шолс?

26. Посочете финансов модел, в който се използват процесите на Леви за симулация на ценови пътеки?

27. Каква е ролята на бариерите за ваниловите опции?

28. Каква е разликата между дискретно и непрекъснато наблюдение на ванилови опции с бариери?

29. Какъв е основният недостатък на метода Монте Карло?

30. Какви случайни процеси се използват за моделиране на случайното движение на цените на финансови активи?

Следните практически задачи са подходящи за прилагане на представените в учебното помагало MATLAB програми 3.1-6.6 за симулиране на ценови пътеки и пресмятане премиума на опции в моделите на Блак-Шолс и Мертон:

1. Като се използва програма 3.1 да се симулират десет ценови пътеки, които следват Брауново лутане с параметри лихвен процент 0,1 и волатилност 0,3 в продължение на една година.

2. В модела на Блак-Шолс като се използват програми 3.2 и 3.3 да се пресметнат премиумите на Европейска кол и пут опция с параметри: страйкова цена 100€, настоящата цена на дадения актив 100€, падеж на опцията една година, лихвен процент 5% и волатилност 20%. 3. Като се използва програма 6.2 да се симулират сто хиляди ценови пътеки в модела на Мертон с начална цена 50, лихвен процент 5%, волатилност 20%, интензитет 10=λ и параметри 1,0=γ и 2,0=δ . Чрез програми 4.1 или програма 6.2 да се пресметнат и премиумите на:

• Еропейска кол опция с падеж една година и страйкова цена 50; • Европейска нокаут кол опция с падеж падеж половин година,

страйкова цена 50 и бариери L=35 и U=60, прилагани седмично.

4. В модела на Блак-Шолс, чрез програма 6.5 да се пресметне премиума на Европейска нокаут кол опция, наблюдавана седмично с бариери L=35 и U=60, със страйкова цена 50=K , волатилност 20%, падеж половин година, 5% безрисков лихвен процент, образуван на годишна база и начална цена на разглеждания актив 500 =S . Да се сравни получения премиум на дадената опция с този, получен при симулация в модела на Мертон като се използват резултатите от 3.

94

ОБОБЩЕНИЕ: ОСНОВНИ ПОНЯТИЯ И

ДЕФИНИЦИИ ЗА ДЕРИВАТИ

1. Ценови пътеки се симулират като се използва лого-нормалното свойство на цените на стоките, което дава връзката на цените на стоките в два съседни момента в модела на Блак-Шолс.

2. Формулата на Блак-Шолс определя премиума на Европейски кол и пут опции без дивиденти, т.е. премиума на всяка от тези опция.

3. За моделиране на финансови деривати се използват случайни процеси като Брауново лутане, Поасонов процес, процеси на Леви.

4. В модела на Мертон съществува формула (4.7) за оценяване на Европейски ванилови кол опции без дивиденти, която е аналог на формулата (3.8) на Блак-Шолс.

5. Ако не съществува аналитична формула за премиума на дадена опция, се използват един от следните основните методи за оценяване на опции: а) Монте Карло симулации; б) Биномни и триномни дърва; в) Схеми на крайни разлики; г) Квадратурен метод;

6. Екзотични опции биват три вида:

А) Бариерни опции, при които функцията на печалба се определя от това дали цената на разглеждания актив достига (knock-in) или недостига (knock-out) дадено ниво, наречено бариера;

Б) азиатски, при които функцията на печалба зависи от средно-аритметично или средно-геометрично от стойностите на ценовата пътека в моменти преди падежа на опцията.

В) lookback опции – функцията на печалба зависи от минимума или максимума от стойностите на ценовата пътека в предишни моменти.

7. Ако в момент t означим с tS цената на стоките, то относителната промяна на цената /t tdS S се използва, за да се моделира случайното движение на цените на активите има логонормално разпределение в фундаменталния модел на Блак-Шолс [3].

8. В модела на Мертон се използват процеси на Леви за симулация на ценови пътеки и оценяване на финансови деривати [13], [15].

95

9. Основните параметри, влияещи върху оценяването на опции, са лихвен процент, волатилност, страйкова цена, матуритет на дадения финансов договор, начална цена на дадения актив и дивиденти.

10. Европейските опции се упражняват само в датата на падежа им, а Амерканските могат да бъдат упражнени във всеки един момент преди това (и премиумът на Американските опции е по-голям).

11. Опциите се делят на обикновени ванилови опции, които са кол и пут опции и екзотични опции, делящи се на три основни вида: азиатски (asian), бариерни (barrier) и лукбак (lookback) опции.

12. Фючърсите са договори, които дават правото да се закупи или продаде даден актив, но при тях трябва да се изпълни договора на всяка цена, докато при опциите може да не се изпълни договора.

13. Опции са договори даващи правото, но не и задължението да се купи или продаде даден актив за определена цена в определен бъдещ момент (основна разлика между опции и фючърсите).

14. Основният проблем е определянето на премиума на опцията, т.е. да се определи реалната цена на опцията, за която тя може да бъде купена или продадена на пазара.

15. Възвращаемостта µ и лихвата r се приемат за равни в модела на Блак-Шолс за моделиране и оценяване на финансови деривативи.

16. Свойствата на лого-нормалното разпределение се използват за симулация на ценови пътеки в модела на Блак-Шолс.

17. Общото между биномните дървета и метода Монте Карло е в структурата им - при двата метода се симулират ценови пътеки. И за разлика от схемите на крайни разлики двата метода за евристични.

18. При метода Монте Карло е необходимо голям брой ценови пътеки да бъдат симулирани за достигане на голяма точност, което е основният недостатък на метода Монте Карло.

19. Освен в модела на Блак-Шолс, методът Монте Карло може да бъде приложен за оценяване на деривати и в модела на Мертон.

20. При непрекъснатото наблюдение на опциите с бариери, ценовата пътека на разглеждания актив анулира опцията във всеки един момент, ако достигне някоя от бариерите преди падежа, докато при дискретно наблюдение - само в дните на наблюдение.

21. Параметърът интензитет е един от основните фактори, които влияят на цената на активите и премиума на опциите в модела на Мертон, докато стойността му в модела на Блак-Шолс е винаги 0.

96

22. Функцията на печалба на ванилови опции от Европейски вид зависи от цената на разглеждания актив само в датата на падежа на опцията. Функцията на печалба на екзотичните опции зависи от цената на разглеждания актив от моменти през целия живот на опцията. Ето защо екзотичните опции са известни в икономиката като опции зависещи от времето (path dependent options).

23. В много отношения методът на Монте Карло е считан за универсален, защото при него симулацията на цената S на разглеждания актив не зависи от вида на интервала, в който S е дефинирана. За разлика от схемите на крайни разлики, дали този интервал е краен или безкраен, отворен или затворен, това не оказва влияние върху точността и времето на метода Монте Карло.

24. Дериватите са финансови инструменти, които представляват договори (на хартиен или електронен носител), даващи правото или задължението, както комбинация от двете, да се купи или продаде дадена стока или актив в определен момент от бъдещето за определена цена. Този актив може да бъде и две пакетчета захар.

25. Опциите с бариери са популярни, защото са много по-евтини от съответните обикновени ванилови опции. Ролята на бариерите е да се намали риска от вероятни големи загуби, защото при анулиране на опциите се изплащат компенсации от банките (rebates) [22].

26. Формулата на Блак-Шолс се използва за определяне на премиума на ванилови опции без дивиденти в модела на Блак-Шолс.

27. В модела на Мертон при генерирането на ценови пътеки се налага да симулираме два случайни процеса един дифузионен - Винеровия и един описващ скоковете в цената на дадения актив - Поасоновия. Използването на Леви процеси отличава модела модела на Мертон от първоначалния фундаментален модел на Блак-Шолс.

28. Съществува еквивалентност между метода на триномни дървета и явната схема на крайни разлики за оценяване на опции в модела на Блак-Шолс, виж Hull [22] и Yisong [48].

29. При метода Монте Карло, когато броят на симулираните ценови пътеки се увеличава, получената приблизителна стойност за премиума на ваниловита опция клони монотонно към стойността, определена от формулата на Блак-Шолс. При биномните дървета сходимостта не е монотонна с увеличаването броя на възлите [18].

30. Чрез дисконтиране се определяне на началната цена на опцията.

97

ТЕСТ ЗА ПРОВЕРКА НА ЗНАНИЯТА

Посочете единствения верен отговор на следните десет въпроса!

1. Кои от изброените отговори са финансови деривати? а) опции; б) предварителни договори; в) фючърси; г) и трите отговора а), б), в).

2. Кои от изброените методи се използват за оценяване на опции? а) биномен метод; б) схеми на крайни разлики; в) симулации на Монте Карло; г) и трите отговора а), б), в).

3. Кои опции се наричат обикновени ванилови опции? а) кол и пут опции от Европейски вид; б) азиатски опции; в) кол и пут опции от Американски вид; г) опции с бариери.

4. Кои от изброените опции са екзотични? а) опции с бариери; б) lookback опции; в) азиатски опции; г) и трите отговора а), б), в).

4. Какъв вид доверителен интервал се използва за пресмятането на средната цена на премиумите при метода Монте Карло?

а) за голяма по обем извадка; б) за малка по обем извадка; в) с известна дисперсия; г) нито един от изброените.

5. Свойствата на кое вероятностно разпределение се използват за симулация на ценови пътеки в модела на Блак-Шолс?

а) лого-нормалното разпределение; б) биномно разпределение; в) геометрично разпределение; г) нито един от изброените.

6. Параметърът на интензитет е характерен за модела на Мертон, а стойността му в модела на Блак-Шолс е винаги?

а) положителна; б) отрицателна; в) нула; г) нито един от изброените.

7. При метода Монте Карло е необходимо да бъдат симулирани голям брой ценови пътеки за достигане на ?

а) по-голяма точност; б) изчислителна скорост; в) по-добра визуализация; г) нито един от изброените.

8. Основният недостатък на метода Монте Карло е ? а) компютърната симулация; б) изчислителната скорост;

в) визуализаята на ценови пътеки; г) нито един от изброените.

9. Дискретните нокаут опции с бариери се анулират, ако цената на разглеждания актив достигне някоя от бариерите преди падежа?

а) във всеки един момент; б) само в дните на наблюдение; в) отговори а) и б); г) нито един от изброените.

10. Премиумът на опциите зависи от следните параметри? а) страйкова цена; б) лихвен процент;

в) волатилност; г) и трите отговора а), б), в).

98

ЛИТЕРАТУРА

1. L. Andersen, J. Andreasen, Jump-diffusion processes: Volatility smile fitting and numerical methods for option pricing, Rev. Derivatives Res., 4, 2000, 231262.

2. D. Bates, Jump and Stochastic Volatility: Exchange Rate Processes Implicit in Deutsche Mark Options, Rev. of Fin. Stud., 9 (1996), 69 - 107.

3. F. Black, M. Scholes, The pricing of options and corporate liabilities, Journal of Political Economy, 81 (1973), 637 - 659.

4. М. Божкова, А. Ангелов, Записки по Случайни процеси, Факултет по математика и информатика, Софийски Университет „Климент Охридски“, София, 2012, https://sites.google.com/site/sluchproc/sp

5. P. Brandimarte, Numerical Methods in Finance and Economics: a MATLAB-Based Introduction, 2ed, John Wiley & Sons, New York, 2010.

6. P. Boyle, M. Broadie, P. Glasserman, Monte Carlo Methods for Security Pricing, J. of Econ. Dyn. and Control, 121, (1997), 1267 - 1321.

7. H. Chen, J. Chadam, Convexity of the Exercise Boundary of the American Put Option on a Zero Dividend Asset, Mathematical Finance, 18 (1), 185-197, 2008, в електронен вид на Интернет адрес: http://www.pitt.edu/~chadam/papers/3CCJW9-28-05.pdf

8. X. Chen, H. Chen, J. Chadam, Far-from-expiry Behavior of the American Put Option on a Dividend-paying Asset, Proceedings of the American Mathematical Society, 139 (1), January 2011, Pages 273–282, в електронен вид на адрес: http://www.ams.org/journals/proc/2011-139-01/S0002-9939-2010-10516-6/S0002-9939-2010-10516-6.pdf

9. T. Chernogorova, B. Stehlikova, A comparison of asymptotic analytical formulae with finite-difference approximations for pricing zero coupon bond, Numer. Algor., v. 59, №4 (2012), p. 571-588.

10. T. Chernogorova, R. Valkov, A Computational Scheme for a Problem in the Zero-Coupon Bond Pricing, American Institute of Physics Conf. Proc., vol. 1301, pp. 370-378, 2nd International Conference Application of Mathematics in Technical and Natural Sciences, ed. M. D. Todorov and C. I. Christov, Sozopol, Bulgaria, June 21-26, 2010.

11. T. Chernogorova, R. Valkov, Finite volume difference scheme for a degenerate parabolic equation in the zero-coupon bond pricing, Mathematical and Computer Modelling, 54 (2011) 2659–2671.

99

12. T. Chernogorova, R. Valkov, Finite-Volume Difference Scheme for the Black-Scholes Equation in Stochastic Volatility Models, published in: I. Dimov, S. Dimova, and N. Kolkovska (Eds.): NMA 2010, LNCS6046, pp. 377-385, Springer, Heidelberg (2011).

13. R. Cont, P. Tankov, Financial Modeling with Jump Processes, Chapman & Hall/CRC, 2004.

14. K. Detlefsen, Hedging Exotic Options in Stochastic Volatility and Jump Diffusion Models, Master Thesis, Wirtschaftswissenschaftlichen Fakultät, Humboldt-Universität zu Berlin, (2005), Bergin, Germany.

15. L. Feng, V. Linetsky, Merton and Exponential Lévy Models, Operations Research, 56 (n. 2) (2008), 304325.

16. P. Glassermann, Monte Carlo Methods in Financial Engineering, Springer, New York, 2004.

17. A. Golbabai, D. Ahamadian, M. Milev, Radial Basis Functions with Application to Finance: American Put Option under Jump Diffusion, Mathematical and Computer Modelling, Vol. 55 (3-4) (2012), 1354-1362, 2012, doi:10.1016/j.mcm.2011.10.014, ISSN: 0895-7177, http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0895717711006066

18. D. J. Higham, N. J. Higham, MATLAB Guide, SIAM, 2000.

19. D. J. Higham, An Introduction to Financial Option Valuation, Cambridge University Press, 2004.

20. J. E. Hilliard, A. Schwartz, Pricing European and American Derivatives under a Jump-Diffusion Process: A Bivariate Tree Approach, Journal of Financial and Quantitative Analysis, 40 (3) (2005).

21. P. Jäckel, Monte Carlo Methods in Finance, J. Wiley & Sons, 2002.

22. J. C. Hull, Options, Futures & Other Derivatives with DerivaGem CD (8th Edition), Prentice Hall, 12 February, 2011.

23. Й. Йорданов, Т. Черногорова, В. Ракидзи: Математика за студенти по икономика и управление, Университетско издателство „Св. Кл. Охридски”, София, 2005.

24. И. Иванов, Обобщени Рикатиеви уравнения в стохастичното икономическо моделиране, Изд. СУ, 2012, ISBN 978-954-07-3278-7

25. R. Kangro, R. Nicolaides, Far field boundary conditions for Black-Scholes equations, SIAM J. on Num. Anal., 38 (4) (2000), 1357 - 1368.

26. S. Kou, A Jump-diffusion Model for Option Pricing, Management Science 48, 1086–1101, 2002.

100

27. S. Kou, H. Wang: Option Pricing under a Double Exponential Jump-diffusion Model, Management Science 50, 1178–1192, 2004.

28. Y. K. Kwok, Mathematical Models of Financial Derivatives, Springer-Verlag, Heidelberg, 1998.

29. Б. М. Ломев, А. А. Марчев мл., А. А. Марчев, “Изследване на перфектността на някои капиталови пазари посредством методи от теорията на фракталните времеви редове”, Fifth International Scientific Conference "INVESTMENTS IN THE FUTURE - 2005", Scientific and Technical Unions, Varna, Bulgaria, 20 - 22 october 2005, proceedings ISBN 954-90919-8-8

30. D. Madan, F. Milne, Option pricing with variance gamma martingale components, Mathematical Finance, 1 (1991), 39-55.

31. А. А. Марчев мл., Б. М. Ломев, “Използване на GARCH модели за прогнозиране на цените на акции, търгувани на Българския фондов пазар”, научна конференция “Теоретични аспекти на икономическите изследвания”, 02–03.06.2005, Стопанска академия "Д. А. Ценов", Свищов, сборник с доклади, академично издателство "Ценов" - Свищов, 2005, ISBN 954-23-0240-1

32. А. Марчев мл., „Селекция на модели на за управление на инвестиционни портфели“, Университетско издателство "Стопанство", УНСС, София, 2012

33. A. Marchev Jr, Model for sequential dynamic competition between random investment portfolios and portfolios selected by collective expert opinions, Procedings of the Int. Conf. ‘Challenges for Analysis of the Economy, the Business, and Social Progress’, Szeged, Hungary, November 19-21, 2009, ISBN: 978-963-06-9558-9, www.e-document.hu

34. A. Marchev Jr, A. Marchev, Cybernetic approach to selecting models for simulation and management of investment portfolios, Procedings of 2010 IEEE International Conference on Systems, Man and Cybernatics, 10-13 October, Instanbul Turkey, ISSN 1062-922X.

35. R. C. Merton, Option Pricing when Underlying Stock Returns are Discontinuous, Journal of Financial Economics, 3 (1976), 125 - 144.

36. S. Metwally, A. Atiya, Using Brownian Bridge for Fast Simulation of Jump Diffusion Processes and Barrier Options, Journal of Derivatives, 56 (n. 2) (2008), 304 - 325.

37. D. McLeish, Monte Carlo Simulation and Finance, John Wiley & Sons, Inc., New Jersey, 2005.

101

38. M. Milev, A. Tagliani, Numerical valuation of discrete double barrier options, Journal of Computational and Applied Mathematics, 233 (n.10) (2010), 2468 - 2480.

39. M. Milev, I. Alexieva, N. Penev, Option Pricing Methods in Finance: A Contemporary Survey of Asset Prices, Vanguard Scient. Instruments in Management 2011, 1, Vol. 1 (4), 9-28, 2011, ISSN: 1314-0582.

40. M. Milev, A. Tagliani, Nonstandard Finite Difference Schemes with Application to Finance: Option Pricing, Serdica Mathematical Journal, Vol. 36 (n.1) (2010), 75-88, ISSN: 1310-6600, MathSciNet: MR2675129 (2011e:65144), (Рецензент на MathSciNet: проф. Paolo Foschi).

41. M. Milev, A. Tagliani, Discretely Monitored Barrier Options by Finite Difference Schemes, Mathematics and Education in Mathematics, Vol. 38 (2009), 81-89, ISSN: 1313-3330, http://www.math.bas.bg/smb/2009_PK/tom_2009/pdf/081-089.pdf

42. M. Milev, A. Tagliani, Low Volatility Options and Numerical Diffusion of Finite Difference Schemes, Serdica Mathematical Journal, Vol. 36 (n.3) (2010), 223-236, ISSN: 1310-6600, MathSciNet: MR2841509, http://www.math.bas.bg/serdica/n3_10.html

43. M. Milev, M. Peeva, Classification and Importance of Barrier Options, Proceedings of the International Conference: ‘Contemporary Management Practices VII’, 330-337, ISSN 1313-8758, Burgas Free University - Burgas, Bulgaria, 10-11 February, 2012 г.

44. S. Salmi, J. Toivanen, An iterative method for pricing American options under jump-diffusion models, Applied Numerical Mathematics, 61 (2011), 821 - 831.

45. Й. Стоянов, Стохастични процеси - теория и приложение, Наука и Изкуство, 1978.

46. R. Seydel: Tools for Computational Finance, 2nd ed., Springer, 2004.

47. D. Xie, D. A. Edwards, G. Schneiniger & Q. Zhu, Characterization of the American Put Option Using Convexity, Applied Mathematical Finance, 18 (4), 353–365, 2011, в електронен вид на Интернет адрес: http://www.math.udel.edu/~edwards/download/pubdir/pubj36.pdf

48. T. Yisong, Pricing options with discontinuous barriers: Journal of Financial Engineering, Vol. 6, 193 - 216, 1997.

49. Д. Въндев, Записки по Теория на вероятностите, Факултет по математика и информатика, СУ „Климент Охридски“, София, 2000: http://www.fmi.uni-sofia.bg/fmi/statist/personal/vandev/lectures/prob/prob.htm

50. http://bg.wikipedia.org/wiki/

102

Университет по Хранителни Технологии – Пловдив Стопански Факултет, катедра Информатика и Статистика

д-р по Математика, Университет Тренто, Италия

Дисертация на тема:

Оценяване на опции характеризиращи се с прекъсвания, схеми на крайни разлики: Моделиране на финансови деривати

уебсайт: mariyanmilev.info email: lutermar@mail.bg

Авторът Мариян Милев на настоящото ръководство „ Приложение на MATLAB в Икономиката” и проф. Алдо Талиани са автори и на книгата ‘Quantitative Methods for Pricing Options with Exotic Characteristics and under Non-standard Hypotheses’, 2012. (Количествени методи за оценяване на опции с екзотични характеристики при нестандартни хипотези), Eudaimonia Production Ltd., Sofia, ISBN: 978-954-92924-1-1.

• През Ноември 2004 авторът Мариян Милев е приет в „Международното докторско училище по математика” в „Университет Тренто”, гр. Тренто, Италия след конкурс на „Министерство на Образованието” на Италия и през Май 2009 успешно завършва четиригодишна международна докторантска програма по математика с научни ръководители проф. Алдо Талиани от катедра „Компютърни Системи и Икономически Науки”, „Факултет по Икономика” и проф. д.м.н. Лучиано Тубаро от „Факултет по Математика, Физика и Природни науки” в „Университет Тренто”, Италия.

• От 2010 г. д-р Мариян Милев е главен асистент в катедра „Информатика и Статистика”, „Стопански Факултет”, „Университет по Хранителни Технологии – Пловдив”.

• Основните научни интереси на автора са в областта на приложната математика, икономиката и финансите, включващи изследване на модела на Блак-Шолс, числени методи за компютърно моделиране и оценяване на финансови деривати, оценяване на Европейски и Американски ванилови и екзотични опции, създаване на специални числени алгоритми за оценяване на дискретно наблюдавани екзотични опции с две бариери, анализиране и оптимизиране на скоростта и точността на трите най-често използвани методи в икономиката като метода Монте Карло, биномните и триномните дървета и схеми на крайни разлики. Съвместно с други учени, авторът прилага и нови методи за оценяване на опции като радиални функции, известни като сплайни в математиката или невронни мрежи в информатиката уравнение на Блак-Шолс.

• Авторът изследва и нестандартни финансови модели като модела на Мертон и модела на Коу, които включват не само малки изменения в случайното движение на цената на финансовите активи, но възможността за поява на неочаквани скокове.

• Авторът продължава да работи по межуднародни научни проекти за оценяване на опции с проф. Алдо Талиани от „Университет Тренто”, Италия и с проф. Ахмад Голбабай от Ирански технологичен университет, както и с други учени от Европа, Азия и Америка.

• Авторът работи активно и в други научни области с проф. д-р инж. Йорданка Алексиева, декан на „Стопански Факултет”, „Университет по Хранителни Технологии” - Пловдив, както и с проф. д.м.н. Иван Ганчев, СУ „Св. Климент Охридски”, с д-р Ангел Марчев мл. от „Университет за Национално и Световно Стопанство” - София.

• Повечето научни публикации са налични онлайн в базите от данни Science Direct, Zentralblatt, Math, Elsevier, Scirus и MathSciNet на American Mathematical Society.

• Повече информация за научните публикации и преподавателската дейност на автора е налична на личната му уеб страница: http://mariyanmilev.info/pages/bg_publications.html