NcdAyham alhamad2015

2015

التفاضلية للمعادلات طريق

الرياضيات لمادة مقدمة بحث حلقة

الجمهورية العربيةالسورية

وزارة التربية

المركز الوطنيللمتميزين

أيهم : الطالب تقديم

الحمديمار : المدرسة بإشراف

الدراسي : حموي 2015 - 2014للعام

1

رقمالصفح

ة

العنوان

3 المقدمة المعادلات

التفاضلية من ذاتالأولى

الباب الأول

5 تعاريف في المعادلاتالتفاضلية وحلولها

الفصل الأول1.1

8 المعادلات التفاضلية ذات المرتبة الأولى والمحلولة بالنسبة

للمشتق

الفصل الثاني2.1

11 المعادلات التفاضليةالتامة

الفصل الثالث3.1

المعادلات غير التامة و عامل

التكميلالباب الثاني

17 عامل التكميل وطرقايجاده

الفصل الأول1.2

22 طرق ايجاد عامل التكميل لبعض

المعادلات الخطيةالفصل الثاني

2.226 تطبيقات في الفيزياء

للمعادلات التفاضليةالفصل الثالث

3.229 الخاتمة30 المصادر

والمراجع

اهداء

إلى كل عين ساهرة في سبيل رفعة هذا الوطن وفي مقدمتهم أبطال الجيش العربي السوري بقيادة الفريق الدكتور بشار حافظ

الأسد راعي مسير ة التقدم والتطور في سوريا و إلى عقيلته السيدة أسماء الأسد و الى شهيد تـ راب هذا الوطن الى رفاق الد رب فريق

المـ ركز الوطني للمتميزين إدا رةً وطلاباً إلى كل من ساهم و يساهم وسيساهم في تطور

وبناء هذا الوطن وإلى كل من ساهم في إنجاز.أمي و سوريا هذا العمل و إلى والدتاي

2

مقدمة إن مادة التحليل الرياضي هي عصب العلوم

النشط وهي من أهم أفرع الرياضيات التي يعتمد عليها العلم الحديث فهي تشكل قفزة نوعية في

مختلف العلوم و يجب أن لا ننسى قسم مهم من هذه المادة وهي المعادلات التفاضلية بأشكالها المختلفة

وطرق حلها فهل تعرف شيء عن هذا الباب الذي يفتح افّاق كثيرة بعده ؟؟فان المعادلات التفاضلية هي

أساس لكثير من المواد العلمية و التطبيقات الحياتية حيث تعتمد عليها الكثير من التطبيقات في الفيزياء

نستطيع حل العديدومختلف العلوم التطبيقية فمثلا .من المسائل التفاضلية بواسطة المعادلات

مثلاً معادلات الحركة تعطينا القدرة على التنبؤّ بموقع الجسم في المستقبل عندما يتحرّك وطاقته الحركيةّ

نحتاج والكامنة... إلخ. في الكثير من مسائل الفيزياء إلى دراسة التغيرّات التي تطرأ على الأجسام من

خلال علاقات تفاضليةّ بين المتغيرّ المستقلِّ والمتغيرّ Function الغير مستقلّ أي من خلال علاقة تابع

تفاضليةّ. فهل نستطيع حل هذه المعادلة بالطرق العادية وماهي

؟؟؟طرق حلها وهل نستطيع ايجاد حلول هذه المعادلة؟؟؟وهل يمكننا

حل أي معادلة من شكلها أو من شكل خطي ؟؟؟ وودنا وضع هذا البحث في يدكم لكي تتمكنوا من

التعرف على المعادلات التفاضلية ومعرفة أشكالها وتحويلها من شكل لاخر لتبسيط حلها وذلك بالعديد

من الطرق وأحدها عامل التكميل والتي سنتعرفعليها في هذا البحث.

أهداف البحث3

:نهدف من هذا البحث الى

تصنيف المعادلة التفاضلية من حيث الرتبة والدرجة والخطية

دراسة المعادلات التفاضلية وأنواعها والتعرف على طرق حلها .

التعرف على المعادلات التفاضلية المنفصلة المتحولات و المتجانسة وطرق

حلهما .دراسة و حل المعادلات التفاضلية التامة

وغير التامة من الدرجة الأولى .حل المعادلات التفاضلية الخطية من

الدرجة الأولى .. دراسة عامل التكميل وطريقة ايجاده. حل بعض المعادلات الجزئية والعاديةالتعرف على بعض التطبيقات للمعادلات

التفاضلية في الفيزياء .

4

أنواع المعادلات التفاضلية: الباب الأول من الدرجة الأولى و طرق حلها

تعــاريف في المعــادلات :الفصل الأول1.1 التفاضلية

مثال: وتصنف المعادلة التفاضلية الى :

: هي معادلة تفاضلية تحوي علىمعادلة تفاضلية عادية.1مشتقات أو تفاضلات عادية لتابع أو أكثر

مثال : : هي معادلة تفاضلية تحوي علىمعادلة تفاضلية جزئية .2

مشتقات أو تفاضلات جزئية لتابع أو أكثر مثال:

:هي المعادلة التي تكونالمعادلة التفاضلية العادية الخطية .3 خطية بالنسبة لكل من التابع أو التوابع ومشتقاتها و لا تحوي على

جداءات لها . :هي المعادلة التي تكونالمعادلة التفاضلية الجزئية الخطية .4

خطية بالنسبة للمشتقات الجزئية للتابع أو التوابع الموجودة.ملاحظة:

ان مرتبة المشتق هي مرتبة أعلى مشتق موجود في المعادلة .1ويمكن تحويل المعادلة التفاضلية من شكل لآخر لتسهيل حلها .2

5

التفاضلية ) هي: (Differential equationالمعادلةوهي لمتحولات بالنسبة أكثر أو لتابع مشتقات أو تفاضلات على تحوي معادلة كل

الشكل من

أنه حل: نقول عن تابع حل المعادلة التفاضلية للمعادلة التفاضلية اذا حقق شرطان :

الى 1حيث تقسم حلول المعادلة التفاضلية

حل المعادلة العام : مثال:

ثابتان اختياريان.حيث

حل المعادلة الخاص : مثال : :

نستطيع الحصول على حل شاذ للمعادلة وهو الحل الذي لاملاحظة هامة :يمكن الحصول عليه من الحل العام وانما نحصل عليه أثناء حل المعادلة

: على عكس ما يظن الكثير فانطرق حل المعادلات التفاضلية العديد من المعادلات التفاضلية غير ممكنة الحل لحد الأن أما التي

الرياضي. . , , 74ص 1 التحليل سويدان عادل محمد د دمشق , , 1982لعام 515أ جامعة مطبعة الجزءالثالث م

6

التفاضلية : للمعادلة عام اختيارية الحل ثوابت يحوي الذي الحل وهو

الشكل : من ويكون التفاضلية المعادلة في

: التفاضلية للمعادلة الخاص عليه الحل نحصل الذي الحل هوللمعادلة العام للحل الموجودة للثوابت عددية قيم بإعطاء

التفاضلية

نستطيع حلها بطرق معروفة ودقة تامة هي معادلات قليلة نسبة للأولى وعند حل بعض المسائل فإننا نوجد جميع الحلول أو بعضها وفي هذا البحث سنحل المعادلات التفاضلية من المرتبة الأولى والتي هي من

. الشكل

الفصل الثاني:2.1

2

تابع M و تابع Nوتدعى هذه المعادلة ذات متحولات منفصلة إذا كان ويمكن كتابتها بشكل عام :

وهي قابلة للمكاملة مباشرة :

وبإجراء المكاملة نجد أن الحل العام هو

مثال :

هي ذات متحولات منفصلة وتكاملها العام هو : وهناك عدد كبير من المعادلات التي يمكن تحويلها لمنفصلة المتحولات

ببعض العمليات البسيطة وسنناقش العديد من الحالات الي يمكن تحويلهالهذا الشكل :

المعادلة من الشكل :.1

. , , , 171ص 2 والتكنولوجيا التطبيقية للعلوم العالي المعهد ثالث الجزء تحليل قوبا عمران د 2002أ

7

الأولى الرتبة ذات التفاضلية المعادلاتللمشتق بالنسبة منفصلة ) ) تعريف : :المحلولة متحولات ذات تفاضلية D.E of withمعادلة

separated variables: الشكل من تفاضلية معادلة كل

تجتمع بحيث صياغتها إعادة يمكن و و حيث طرفيها أحد في . هي الأخر الطرف في

حيث نعيدها الى منفصلة المتحولات بالتقسيم على

فتصبح ذات متحولات منفصلة من الشكل

المعادلة من الشكل :.2

حيث نعيده الى ذات متحولات منفصلة بتقسيم طرفيها على

لتصبح من الشكل :

المعادلة من الشكل : .3تصبح منفصلة بإجراء تغيير في التابع بعلاقة من شكل:

بالتعويض تصبح من الشكل:وبالتعويض نجد أن

فتكتب بالشكل :

فحلها العام :

و بالعودة للمعادلة السابقة نجد أن

قد يكون حلا للمعادلةعلما أن أي جذر للمعادلة

تابعان بحيث المعادلة من الشكل .4مستمران

8

أوحيث أن هذه المعادلة تكتب بالشكل

فتصبح ذات متحولاتمنفصلة . حلا للمعادلة كان التابع الثابت إذا كان

التفاضلية

3

ب و بـحيث يمكن تعويض كل وللتعرف على المعادلة المتجانسة يجب التعرف على التابع المتجانس

حيث التابع المتجانس هو كل تابع معرف على مجال غير تافه حيث يكون بـ وكل بـ اذا استطعنا ان نستبد فيه كل من الرتبة

بحيث يحقق المتطابقة :

مثال :

حيث الأولى متجانسة من الدرجة الأولى والثانية متجانسة من الدرجة

الثانية .

. , ,. , .184صـ 3 التطبيقية للعلوم العالي المعهد ثالث جزء تحليل قوبا عمران د أ

9

المتجانسة التفاضلية المعادلاتhomogeneous D.E.

$

الشكل : من المعادلة نسمي

التابعان كان اذا الأولى الدرجة من متجانسة متجانسان معادلةنفسها الدرجة من

:تؤول المعادلات المتجانسة إلى دراسة لإيجاد حل للمعادلة المتجانسة معادلات تفاضلية ذات متحولات منفصلة وذلك بإجراء تغيير في التابع

المجهول هي: في الحقيقة تصبح المعادلة التفاضلية التي يحققها

فنحصل على معادلة ترد الى منفصلة الحلول

: حل المعادلة التالية :مثال

وعليه فإن فيكون لنضع

وهذا يعطيولهذه المعادلة متحولات منفصلة هما للمعادلة حلين شاذين هما

من الواضح هنا أن تعبير التابعلنفترض أن المجهول ثم نقوم بمكاملة هذه المعادلة

فنجد ومنه

10

وعليه

الفصل الثالث:3.1 Exact differential المعادلة التفاضلية التامة

equation :

تابعين معرفين ومستمرين حيث أنهما لاليكن ينعدمان في ان واحد فنسمي المعادلة التفاضلية التي تكتب بالشكل:

بمعادلــة تفاضــلية تامــة اذا كــان الطــرف الايســر تفاضــلا تامــا لتــابع مثــل

واذا لم تكن فتكون معادلة تفاضلية غير تامة.

تامة عندها يوجد تابع1لنفرض أن المعادلة التفاضلية مبرهنة : بحيث يكون تفاضله الكلي مطابقا للطرف الايسر:

حيث التكامل العام في هذه المعادلة يعطى بالشكل :

4

مثال :حيث يمكن كتابتها بالشكل :

. ,64ص 4 الأمير , زياد د أ تفاضلية .1992معادلات الجامعية , للمطبوعات الكتب مديرية

11

ثم للشكل حيث هي مجموع تفاضلات تامة تكتب بالشكل :

( تامة أم1كيف نتمكن من معرفة فيما اذا كانت المعادلة التفاضلية ). س؟ )أي التكامل العام ( لا وكيف نوجد التابع

مستمران عندئذبفرض أن التابعين مبرهنة : ( تامة هو تحقق المتطابقة1الشرط اللازم والكافي كي تكون المعادلة )

وعندها يكون التكامل العام للمعادلة التفاضلية السابقة معطى بالعلاقة :

نقطة اختيارية من ثابت كيفي وعلما أن فعند تحقق المطابقة فيجب تحقق العلاقتين :

ومن أجل الحصول عليه نكامل احدى العلاقتين جزئيا فنجد :

بحيث يكون : تابع كيفي بالنسبة لـحيث

12

ومن العلاقة

بالتعويض

وبالاختصار : و بالمكاملة نجد أن :

وبالتعويض:

وبجعل هذا التابع مساويا لثابت كيفي نحصل علة التكامل العام للمعادلةالمعطاة أي :

مثال : حل المعادلة التفاضلية التامة :

الحل :

13

لدينا

يحقق : فإن المعادلة التفاضلية تامة فإنه يوحد تابع

بالمكاملة نجد:

نجد: ومساوة الناتج مع و باشتقاق الطرفين بالنسبة الى

وبالمكاملة نجد أن :

بالتعويض :

: نسمي معادلة تفاضلية خطية سلمية من المرتبة الأولى كلتعريف معادلة من الشكل او قابلة التحويل للشكل

5 تابعان مستمران على المجال المفتوح حيث

تابعينb و a وليكن R مجالا مفتوحا وغير تافه منIمبرهنة: ليكن تابعا ليكن Rمستمرين على المجال و يأخذان القيم في

. , ,. , 179ص 5 البحوث مركز ثالث جزء تحليل قوبا عمران د أ

14

تكون مجموعة و على أصليا للتابع حلول المعدلة التفاضلية

حيث :هي

الإثبات لدينا

فمنه فهو حل للمعادلة والعكس صحيح.

عوامل التكميل وطرق :الباب الثانيايجادها

الفصل الأول :1.2 :Intergrating factor عوامل التكميل لـ

نستخدم عامل التكميل لتحويــل المعادلــة غــير التامــة الى تامة حيث هو أحـد الطـرق لحـل المعادلـة التفاضـلية غـير

التامة .

عامل اذا اصبحت المعادلة بعدنقول أن التابع :تعريف6الضرب به معادلة تفاضلية تامة.

. , , 61ص 6 تفاضلية معادلات الأمير زياد د .1992أ الجامعية , للمطبوعات الكتب مديرية

15

يجب أن يحقق المطابقة التالية :حيث أن عامل التكميل

وباجراء الاشتقاق اللازم نجد أن :

وبعد الترتيب نجد أن :

المعادلة تفاضلية جزئية من المرتبة الاولى بالنسبة للتابع للمجهول وتدعى معادلة لاغرانج ونستطيع ايجاد حل خاص لها وذلك بالفرض

والتجديد .

:لـعامل التكميل التابع

يجب أن يحقق ان شرط وجود عامل تكميل

والمعادلة السابقة تصبح على الشكل : و أن يحقق

فقط فيمكن مكاملته وهنا نلاحظ أنه اذا كان الطرف الايمن تابعا لـ بسهولة وبالتالي يمكن تعيين :

16

وبما ان : وبمكاملة الطرفين نجد أن :

فقط فان المعادلة غير قابلةاما اذا لم يكن الطرف الايمن تابع لـللمكاملة .

مثال:

غير تامة وذلك لان :

وو لنحاول ايجاد عامل تكميل لهذه المعادلة من الشكل بالتأكد من الشرط نجد أن :

أي أن الشرط محقق

وبالمكاملة نجد أن:

بعد الضرب بعامل التكميل :

نجد أن :باستخدام العلاقة السابقة حيث

ويمكن الحصول على التكامل العام للمعادلة بطريق تجميع الحدود وذلكبكتابة المعادلة بالشكل :

17

و الحل العام .

:لـ عامل التكميل التابع

فقط أيإن شرط الذي من أجله يوجد عامل تكميل تابع لـ

حيث تأخذ المعادلة الشكل :هو أن يكون

فان المعادلة يمكن حلها حيث اذا كان الطرف الايسر تابع لـوبمكاملة العلاقة السابقة نجد أن

مثال :

إن هذه المعادلة غير تامة : الحل :

18

ومنه :

فنجد أن :لنفتش عن عامل تكميل للمعادلة من الشكل

ومنه فان :

فنحصل علىلنضرب طرفي المعادلة المعطاة بعامل التكميل المعادلة التفاضلية التامة التالية :

ومنه نجد أن : ويكون التكامل العام للمعادلة التفاضلية :

حيث يمكن تحويل المعادلة التامة الى مجموع التفاضلات التامة.

19

و بالتالي يكتب على شكل تفاضل تام واحد هو :

وبالمكاملة نجد أن التكامل العام هو :

7 عامل التكميل من الشكل

حيث تابع لتابع معلوم ومفروض مثل نفرض أن عامل التكميل

وشرط أن تكونفيكون :المعادلة قابلة

للحل هو :

حالات خاصة من الحالة العامة :

بالتعويض نجد أن : نضع -عامل التكميل التابع لـ1

. , 76صـ 7 الأمير , زياد د أ تفاضلية .1992معادلات الجامعية , للمطبوعات الكتب مديرية

20

وبالمثل نجد أن :-عامل التكميل من الشكل 2

: حل المعادلة : مثال

الحل :المعادلة السابقة غير تامة لان

للبحث عن معامل تكميلي من الشكل:

ومنه يكون عامل التكميل :

الفصل الثاني :حالات خاصة لايجاد عامل التكميل:

:1الطريقة

21

اذا تمكننا من وضع المعادلة التفاضلية على شكل مجموعمعادلتين تفاضليتين من الشكل:

يمكن في بعض الاحيان ايجاد عامل التكميل لهذه المعادلة بعد

معرفة عاملي التكميل للمعادلتين

وان العامل التكميلي للمعادلة الاولىوبفرض حيث يوجد عامل تكميليعامل تكميلي للمعادلة الثانية

للمعادلة الرئيسة اذا تحقق الشر الاتّي بحيث يكون :

حل المعادلة التفاضلية :مثال :

نلاحظ أن المعادلة التفاضلية :

تقبل عامل تكميل :

وحلها العام:

ان المعادلة التفاضلية :

22

تقبل عاملا تكميل :

وان حلها العام :

بحيث يكون :لنبحث عن التابعين

بما أن :

فمنه يجب ان يتحقق :

ومنها نجد وهو عامل تكميل للمعادلة التفاضلية و بعد الضرب بعامل التكميل تصبح

المعادلة من الشكل :

او :

وتكاملها العام :

:حالة اذا أمكن كتابة المعادلة على الشكل :

وبفرض

23

1) (U xy

xy

اذا امكن تعيين عامل تكميل للمعادلة التفاضلية :

فقط كان هذا العامل تكميل للمعادلة الاصلية.يتعلق ب

الى: في بعض الحالات يمكن الانتقال من المتحولات حالة وذلك و حيث متحولات جديدة

لايجاد عامل تكميل للمعادلة مثال:

حل المعادلة التفاضلية الاتية :

الحل :

وبالتالي نجد أن : أو :نفرض أن

بالتعويض :

:وهي من الشكل

:لنفتش عن عامل تكميل من الشكل

24

ومنه :وبالتالي عامل التكميل :

نضرب طرفي المعادلة بعامل التكميل فنجد :

ويكون التكامل العام :

بالرجوع الى المتحولات نجد :

الفصل الثالث :تطبيقات في الفيزياء للمعادلات التفاضلية :

8 مسائل درجة الحرارة

ينص قانون نيوتن للتبريد على ان ) معدل التغير الزمني لدرجة حرارة جسم يتناسب طردياً مع الفرق في درجتي حرارة الجسم والوسط

هي درجة هي درجة حرارة الجسم و المحيط به ( فاذا كانت حرارة الوسط المحيط فان معدل التغير الزمني لدرجة حرارة الجسم

ويمكن صياغة قانون نيوتن للتبريد كالآتي :

في مختبر درجة100( وضعت قطعة معدنية درجة حرارتها 1 :)مثال أوجد50 اصبحت درجة حرارة القطعة min 20 ، بعد 0حرارته ثابتة عند

:

serway jewett , physics for scientists and engineers , edition th6 , 624صـ 8

25

? .25( الزمن اللازم لتصل درجة حرارة القطعة الى 1.min 10درجة حرارة القطعة بعد 2)

مسائل السقوط الحر : g ساقطاً من اعلى متأثراً فقط بالجاذبية الارضية Mلنعتبر ان جسماً كتلته

ومقاومة الهواء التي تتناسب طردياً مع سرعة الجسم ، نفرض ان كل من الجاذبية الارضية والكتلة ثابتان وباستعمال قانون نيوتن الثاني للحركة

والذي ينص على ان )محصلة القوى المؤثرة على جسم تساوي المعدلالزمني لتغير كمية الحركة مضروباً بالكتلة الثابتة ( أي ان

هي سرعة الجسم ،v هي محصلة القوى المؤثرة على الجسم و Fحيث tكلاهما عند الزمن

W=Mgهنا لدينا قوتان تؤثران على الجسم هما الاولى وزن الجسم هو ثابت التناسب حيثوالثانية هي قوة مقاومة الهواء

والاشارة السالبة هنا لان اتجاه القوة عكس اتجاه السرعة وبالتالي فانمحصلة القوى هي

نحصل على M( و بالقسمة على 1( و )2من المعادلتين )

ثم نقوم بحل هذه المعادلة.

مسائل الدوائر الكهربائية : بالفارادC بالأوم ومكثف Rتتكون الدائرة الكهربائية البسيطة من مقاومة

بالفولت وبطارية أوE بالهنري وقوة دافعة كهربائية ) ق .د .ك ( Lوحث q بالأمبير والشحنة iمولد متصلين جميعهم على التوالي . يقُاس التيار

على المكثف بالكولوم . وينص قانون كيرشوف على ان ) المجموع الجبري للجهد حول دائرة

بسيطة مغلقة يساوي صفر ( .Riومعلوم لدينـا ان فرق الجهد خلال مقاومة هو

.V_cو خلال المكثف هو

26

وهي معادلة تفاضلية من ذات متحولات منفصلة .

الخاتمةبعد إتمام هذا البحث تمكنا من استنتاج أن :

:هي كل معادلة تحوي علىالمعادلة التفاضلية تفاضلات أو مشتقات لتابع أو أكثر بالنسبة لمتحولات

وتكون مرتبتها هي مرتبة أعلى حد فيها . إن شكل المعادلات التفاضلية ذات المتحولات منفصلة

:

إن المعادلات التفاضلية المتجانسة توابعها تحققالمتطابقة :

إن شكل المعادلة التفاضلية التامة اذا كان الطرف

الايسر تفاضلا تاما لتابع

إن عامل التكميل هو علاقة نضرب بها المعادلة

التفاضلية لتصبح المعادلة الغير التامة معادلة تامة حيث استطعنا بواسطته حل العديد من المعادلات

التفاضلية الجزئية والعادية.

و يجب ان تكون معادلتهيوجد عوامل تكميل لـ فقطبدلالة

حيث يجب ان تكون معادلته بدلالة عوامل تكميل لـ فقط ويوجد عوامل تكميل لكليهما

27

للمعادلات التفاضلية استخدامات متعددة في الفيزياء و الهندسة و العديد من المجالات حيث نستطيع

استخدامها في معادلات الحركة للسقوط و معادلات الترموديناميك )الحرارة ( و المكثفات والدارات

الكهربائية .

المر اجع والمصادر, لعام515محمد عادل سويدان ,التحليل الرياضي

م ,الجزءالثالث ,مطبعة جامعة دمشق1982أ.د عمران قوبا ,تحليل , الجزء ثالث , المعهد العالي

2002للعلوم التطبيقية والتكنولوجيا , مديرية1992أ.د زياد الأمير ,معادلات تفاضلية,

الكتب للمطبوعات الجامعيةJames stewart , Calculus early

transcendentals ,sixth edition ,2006serway jewett , physics for scientists and

engineers , edition th6

28