البرمجة الخطيةالفصل الثاني

البرمجة الخطية

لتوزيع األمثل العمليات، حيث يتناول معالجة مشاكل ايعتبر أسلوب البرمجة الخطية واحدا من أهم وأنفع األساليب في بحوث •

. االستخدامات المتنافسة على هذه المواردلمجموعة من الموارد االقتصادية النادرة أو المحدودة على مجموعة من

استخدامات البرمجة الخطية

. مشاكل اختيار التشكيلة االنتاجية المثلى في ضوء موارد محدودة-•

. الخام أو العمالةتحديد مواقع إقامة المصانع ومكانها من األسواق أو من مصادر المواد -•

. راق الماليةاختيار تشكيلة مثلى من االستثمارات في األسهم والسندات لمحفظة األو-•

. لتحديد كيفية تموين األسواق من المصانع المختلفة لتخفيض تكاليف النق-•

. ة من العملتخطيط وجدولة اإلنتاج لتخفيض ساعات العمل المطلوبة ألداء كمية معين-•

. مشاكل الخلط وتحديد المزيج األمثل لتخفيض التكاليف-•

مثال لمشاكل برمجة خطية

ريا في الطاقة اإلنتاجية المتاحة شه. خالل قسمين لإلنتاج أحدهما للتصنيع واآلخر للتجميعA ،Bتنتج شركة صناعية سلعتين •

. هذه األقسام محدودة

720قسم التصنيع• . أسبوعا

570قسم التجميع• . أسبوعا

. Bومبلغ عشرة جنيهات من بيع كل وحدة من السلعة Aجنيها من بيع كل وحدة من السلعة 12تحقق الشركة هامش ربح قدره •

ظهر في جدول سام المختلفة وملخص لبيانات المشكلة تاالحتياجات الفنية من الساعات اإلنتاجية للوحدة من كل سلعة في األق•

(2-1)

–ن المتاحة حاليا لوقت ال يحتاج إلى موارد أكثر مترغب الشركة في تصميم برنامج إنتاجي يسمح بتعظيم األرباح وفي نفس ا•

. أي مطلوب وضع برنامج إنتاج أمثل

مثال لمشاكل برمجة خطية

األقسام اإلنتاجيةالطاقة القصوى المنتجات

بالساعات AB

تصنيع

تجميع

4

2

3

3

720

570

هامش الربح

للوحدة

ج10ج12

األساسية للبرمجة الخطيةالفروض

COMPLETE CERTAINLY: فرض التيقن الكامل•

LINEARITY ASSUMPTION: فرض الخطية•

NON-NEGATIVE: فرض عدم السلبية•

DIVISIBILITY ASSUMPTION: فرض قابلية التجزئة•

ONE PERIOD ASSUMPTION: فرض وحدة الفترة الزمنية•

FIXED CONTRIBUTION MARGIN: فرض ثبات هامش ربح الوحدة•

مراحل استخدام البرمجة الخطية

(بناء النموذج)الصياغة •

(إيجاد الحل األمثل)الحل •

بياني•

سمبلكس•

نموذج مشكلة البرمجة الخطية

: يتكون النموذج من ثالثة أجزاء رئيسية•

. دالة الهدف-1•

. مجموع قيود هيكلية تتعلق بالموارد-2•

. قيود عدم سلبية المتغيرات-3•

دالة الهدف

القيود الهيكلية

التابع ال ر أي نظرة سريعة لدالة الهدف توضح أن التعظيم أو التخفيض في المتغي•

د فإن ويعني شيئا بدون إضافة شكل أو آخر من القيود، حيث أنه بدون هذه القي

أما إذا . صفرتعظيم األرباح يعني رقم ال نهائي موجب وتخفيض التكاليف يعني ال

وضعنا بعض القيود على دالة الهدف، مثل الكميات المتاحة من الموارد

واإلمكانيات

مرحلة التصنيع•

لمتاحعدد الساعات اعن التزيدعدد الساعات المستخدمة في تصنيع المنتجين•

القيود الهيكلية

عدد ساعات التجميعيجب اال تزيد عن عدد ساعات للتجميع المنتجين•

قيود عدم السلبية

النشاط إما أن ف. وهذه القيود ال تسمح ألي متغير أن تكون له قيمة سالبة. الجزء األخير من النموذج يتضمن قيود عدم السلبية•

. موجبةيستبعد أي يأخذ القيمة صفر أو يكون جزء من البرنامج فتكون له قيمة

:وتصاغ قيود عدم السلبية في مثالنا الحالي كما يلي•

نموذج البرمجة الخطية

الطريقة البيانية: مرحلة الحل

:الخطوات•

رسم كل القيود بيانيا في شكل بياني واحد•

تحديد اتجاهات كل قيد•

تحديد منطقة الحلول الممكنة•

تحديد النقاط الرئيسية لمنطقة الحلول الممكنة•

التعويض بالنقاط الرئيسية في دالة الهدف•

تحقق اقل تكلفة في مشكلة التخفيضاختيار النقطة التي تحقق اكبر ربح في مشكلة التعظيم او النقطة التي•

(القيود)رسم المتباينات

(القيود)رسم المتباينات

(القيود)رسم المتباينات

تحديد منطقة الحلول الممكنة

تحديد الحل االمثل

النقطة(وحدات)البرنامج

األرباحBسلعة Aسلعة

ELV

صفر

18075صفرصفر

صفر140190صفر

2160= 10+صفر + 12× 180ج2300= 10× 140+ 12×75

1900= 10× 190+ 12× صفر صفر= 10× صفر + 12× صفر

مشكلة التخفيض

تتطلب ظروف السوق في إحدى الشركات البترولية ضرورة إنتاج الكميات ا(: 2)مثال• : لتالية أسبوعيا

وحدة C7000من المنتج •

وحدة D14000من المنتج •

: في إنتاج هاتين السلعتين تبعا للخصائص التاليةA ،Bتستخدم المواد الخام •

. Bوحدات من المادة 6ومن Aوحدات من المادة 4يحتاج Cانتاج وحدة واحدة السلعة -1•

. Bوحدات من المادة 4من وAوحدات من المادة 12يحتاج Dانتاج وحدة واحدة السلعة -2•

. جنيهاتB9جنيها والمادة الخام A20تكلفة الوحدة من المادة الخام -3•

إذا فرض أن الشركة C ،Dإلنتاج الكميات المطلوبة من السلعتين A ،Bوالمطلوب تحديد الكميات النموذجية التي تستخدم من •

. ترغب في تحمل أقل تكاليف ممكنة

مشكلة التخفيض

المنتجات البترولية

المواد الخام البترولية

الكميات اإلنتاجية المطلوبة

أسبوعيا AB

CD

412

64

700014000

سعر الوحدة منالمادة الخام

ج9ج20

مشكلة التخفيض

المنتجات البتروليةالكميات يةالمواد الخام البترول

اإلنتاجية المطلوبة

أسبوعيا

AB

CD

412

64

700014000

سعر الوحدة من المادة الخام

ج9ج20

النموذج

الحل البياني

التكاليفالبرنامجالنقطة Bمادة Aمادة ELV

وحدة1750وحدة1000

صفر

صفروحدة500وحدة3500

ج35000ج 24500ج31500

تمرين

ويوضح A ،B ،Cتقوم شركة الشريف بإنتاج ثالثة أنواع من اإلنتاج هما •

ي الجدول التالي البيانات الخاصة باحتياجات كل وحدة منتج من الزمن عل

ة المتغيرةوالمواد الخام المستخدمة في اإلنتاج وسعر البيع والتكلفK ،Lاآلالت

إلنتاج و الحدود القصوى لتسويق كل منتج و الحد األدنى ل، لكل وحدة منتج

:2014للوفاء بالتعاقدات على المنتج س وذلك في شهر يناير

تمرين

الطاقةCمنتج Bمنتج Aمنتج بيان

3699300(K) آلة

15106700(L) آلة

كجم12300كجم6كجم9كجم5مواد خام

--380حد أدنى لإلنتاج

890_-قحد أقصى للتسوي

91116سعر البيع

6710التكلفة المتغيرة

تمرين

الطاقةCمنتج Bمنتج Aمنتج بيان

3699300(K) آلة

15106700(L) آلة

كجم12300كجم6كجم9كجم5مواد خام

--380حد أدنى لإلنتاج

890_-قحد أقصى للتسوي

91116سعر البيع

6710التكلفة المتغيرة

346هامش الربح

تمرين

الطاقةCمنتج Bمنتج Aمنتج بيان

3699300(K) آلة

15106700(L) آلة

كجم12300كجم6كجم9كجم5مواد خام

--380حد أدنى لإلنتاج

حد أقصى

للتسويق

-_890

346هامش الربح1 2 33 4 6Max z x x x

1 2 33 6 9 9300x x x

1 2 31 5 10 6700x x x

1 2 35 9 6 12300x x x

11 380x

31 890x

النموذج

1 2 33 4 6Max z x x x

1 2 33 6 9 9300x x x

1 2 31 5 10 6700x x x

1 2 35 9 6 12300x x x

11 380x

31 890x

1 2 30, 0,x x x