2013-14

ΘΕΩΡΙΑΕΡΩΤΗΣΕΙΣΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣΘΕΜΑΤΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣΓ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝΘΕΜΑΤΑ

Βαγγέλης Α ΝικολακάκηςΜαθηματικός

1http://cutemaths.wordpress.com/

2

ΛΙΓΑ ΛΟΓΙΑ

Η παρούσα εργασία δεν στοχεύει απλά σε μια απλή επανάληψη θεωρίας.

Φιλοδοξεί να θέσει τις βάσεις της σωστής γνώσης και επανάληψης της ,που

είναι απαραίτητη για την αντιμετώπιση των θεμάτων Β-Γ-Δ.

Πιστεύοντας ότι οι 25 μονάδες θεωρίας αποτελούν την ποιο δυνατή άμυνα

ενός πολύ καλού γραπτού αλλά και γενικότερα την βάση της ψυχολογικής

ανάτασης του υποψηφίου ,στην ψυχολογική πίεση πού δέχεται κατά την

διάρκεια της εξέτασης ,για τον λόγο αυτό έχουμε προσθέσει :

σημαντικές επισημάνσεις θεωρίας

ερωτήσεις θεωρίας προς απάντηση ,όπου ελέγχοντας τις απαντήσεις

δίνεται η δυνατότητα για αυτοαξιολόγηση .

Βαγγέλης Νικολακάκης

ΠΗΓΕΣ

Αρχείο Θεωρίας – Ερωτήσεων Β.Α.Νικολακάκη

Σχολικό βιβλίο

Τσόπελας Γιάννης (Ερωτήσεις Θεωρίας)

Μιχαλακίδης Αλέξης (Ερωτήσεις Θεωρίας)

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Ενοτητα -1

Α. Ερωτήσεις (με απαντήσεις) και οι αποδείξεις θεωρίας (ανά

κεφάλαιο)

Β. Ερωτήσεις θεωρίας (προς απάντηση)

Γ. Ερωτήσεις Σ-Λ (προς απάντηση)

Ενοτητα -2

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

3

Α. Ερωτήσεις (με απαντήσεις) και οι αποδείξεις θεωρίας (ανά κεφάλαιο)

Β. Ερωτήσεις θεωρίας (προς απάντηση)

Γ. Ερωτήσεις Σ-Λ (προς απάντηση)

4

Α ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

Διαφορικός Λογισμός

1) Tι ονομάζουμε συνάρτηση; Tι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής;

ΑπάντησηΣυνάρτηση f : A B είναι μια διαδικασία με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β. Συναρτήσεις στις οποίες το σύνολο Α, που λέγεται πεδίο ορισμού της συνάρτησης, είναι υποσύνολο του συνόλου R των πραγματικών αριθμών, ενώ το Β συμπίπτει με το R, λέγονται πραγματικές συναρτήσεις.

2) Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α. Τι ονομάζεται εξαρτημένη και τι ανεξάρτητη μεταβλητή της f ;

ΑπάντησηΣτον τύπο συνάρτησης y = f(x) το γράμμα x, που συμβολίζει οποιοδήποτε στοιχείο του πεδίου ορισμού Α, ονομάζεται ανεξάρτητη μεταβλητή, ενώ το y, που παριστάνει την τιμή της συνάρτησης στο x και εξαρτάται από την τιμή του x, λέγεται εξαρτημένη μεταβλητή.

3) Τι ονομάζουμε τιμή μιας συνάρτησης στο x ;Απάντηση

Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α. Αν με τη συνάρτηση αυτή το x A αντιστοιχίζεται στο y B ,τότε γράφουμε

y f x .Δηλαδή f

x y y f x

Ο αριθμός y f x στον οποίο αντιστοιχίζεται το x A ,λέγεται τιμή της f στο x .

4) Τι ονομάζουμε σύνολο τιμών μιας συνάρτησης ; Απάντηση

Το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της f σε όλα τα Ax , λέγεται σύνολο τιμών της f και συμβολίζεται με )(Af .

Είναι δηλαδή: f (A) y | y f (x) για κάποιο Ax .

5) 'Εστω οι συναρτήσεις f , g που ορίζονται σε ένα σύνολο Α . Πως ορίζονται:

i) Το άθροισμα S f g ii) Η διαφορά D f g iii) Το γινόμενο f g

iv) Το πηλίκο f

Rg

;

5

ΑπάντησηΑν δύο συναρτήσεις f, g ορίζονται και οι δύο σε ένα σύνολο Α, τότε ορίζονται και οι συναρτήσεις:

Το άθροισμα gfS , με )()()( xgxfxS , Ax

Η διαφορά gfD , με )()()( xgxfxD , Ax

Το γινόμενο gfP , με )()()( xgxfxP , Ax και

Το πηλίκο g

fR , με

)(

)()(

xg

xfxR , όπου Ax και 0)( xg .

6) Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α. Τι ονομάζεται γραφική παράσταση ή καμπύλη της f;

ΑπάντησηΈστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α. Γραφική παράσταση ή καμπύλη της f σε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Oxy λέγεται το σύνολο των

σημείων ))((,( xfxM για όλα τα Ax .

7) Τι ονομάζεται εξίσωση της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f . Απάντηση

Η εξίσωση )(xfy η οποία επαληθεύεται μόνο από τα ζεύγη ),( yx που είναι

συντεταγμένες σημείων της γραφικής παράστασης της f , λέγεται εξίσωση της γραφικής παράστασης της f.

ΣΗΜΑΝΤΙΚΕΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ

- Η γραφική παράσταση της f συμβολίζεται συνήθως με fC .

- Η εξίσωση, λοιπόν, )(xfy επαληθεύεται μόνο από τα σημεία της fC .

Επομένως, η )(xfy είναι η εξίσωση της γραφικής παράστασης της f.

- ΄Οταν δίνεται η γραφική παράσταση fC μιας συνάρτησης f, τότε:

α) Το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο Α των τετμημένων των σημείων της

fC .

β) Το σύνολο τιμών της f είναι το σύνολο )(Af των τεταγμένων των σημείων

της fC .

γ) Η τιμή της f στο Ax 0 είναι η τεταγμένη του σημείου τομής της ευθείας

0xx και της fC (Σχ. 1/γ).

Cf

O

y

x

(α)

Α

Cf

O

y

x

(β)

f (Α)Cf

O

x=x0

A(x0, f(x0))

x0

y

x

(γ)

f (x0)

1

6

- Όταν δίνεται η γραφική παράσταση fC , μιας συνάρτησης f μπορούμε, επίσης,

να σχεδιάσουμε και τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και || f .

α) Η γραφική παράστασης της συνάρτησης f είναι

συμμετρική, ως προς τον άξονα xx , της γραφικής παράστασης της f, γιατί αποτελείται από τα σημεία

))(,( xfxM που είναι συμμετρικά των ))(,( xfxM , ως

προς τον άξονα xx . (Σχ. 2).

β) Η γραφική παράσταση της || f αποτελείται από τα

τμήματα της fC που βρίσκονται πάνω από τον

άξονα xx και από τα συμμετρικά, ως προς τον άξονα xx , των τμημάτων της fC που βρίσκονται

κάτω από τον άξονα αυτόν. (Σχ. 3).

8) Να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των βασικών συναρτήσεων

α) βαxxf )( β) 2)( αxxf , 0α γ) 3)( αxxf , 0α

δ) x

αxf )( , 0α ε) xxf )( , |x|xg )( .

ΑπάντησηΟι γραφικές παραστάσεις φαίνονται παρακάτω :

α) Η πολυωνυμική συνάρτηση βαxxf )(

4

a>0

O x

y

a<0

O x

y

a=0

O x

y

β)Η πολυωνυμική συνάρτηση 2)( αxxf , 0α (παραβολή).

O x

y

α>0

xO

y

α<0

5

O

y

x

2

Μ΄(x,f (x))

y=f (x)

y=f (x)

Μ(x,f (x))

O

y

x

3

y=f (x)y= | f (x)|

7

γ) Η πολυωνυμική συνάρτηση 3)( αxxf , 0α .

O x

y

α>0

O x

y

α<0

6

δ) Η ρητή συνάρτηση x

αxf )( , 0α (υπερβολή)

O x

y

α>0

O

x

y

α<0

7

ε) Οι συναρτήσεις xxf )( , |x|xg )( .

y x

O x

y

y x | |

O x

y 8

9) Να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των βασικών συναρτήσεων και

α) xf x α , 10 α β) αf x log x ), 10 α και f x ln x

γ) f (x) ημx , f (x) συνx , f (x) εφx

ΑπάντησηΟι γραφικές παραστάσεις φαίνονται παρακάτω :

α) Η εκθετική συνάρτηση xαxf )( , 10 α .

8

α

1

1O x

y

(α) α>1

O x

y

(β)0<α<1

α

1

1

β) Η λογαριθμική συνάρτηση αf x log x , 10 α και f x ln x

α

1

1O x

y

(α) α>1

α

1

1O x

y

(β)0<α<1

γ) Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις : xxf ημ)( , xxf συν)( , xxf εφ)(

Υπενθυμίζουμε ότι, οι συναρτήσεις xxf ημ)( και συνx)( xf είναι περιοδικές με

περίοδο πT 2 , ενώ η συνάρτηση xxf εφ)( είναι περιοδική με περίοδο πT .

10) Πότε μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα και πότε γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της;

9

10

11

ΑπάντησηΜια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της

όταν για οποιαδήποτε σημεία 1 2x , x με 1 2x x ισχύει 1 2f x f x , και γνησίως

φθίνουσα στο Δ όταν για οποιαδήποτε σημεία 1 2x , x με 1 2x x ισχύει

1 2f x f x .

11) Τι γνωρίζετε για τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης

f x x , x 0,2 ;

Απάντηση

2π

y=ημx

3π/2

π/2 πO x

y

Από τη γραφική παράσταση της συνάρτη

ότι για δύο οποιαδήποτε σημεία 1 , xx

21 ημημ xx . Αυτό το εκφράζουμε λέγον

αύξουσα στο διάστημα

2,0

π.

Το ίδιο συμβαίνει και στο διάστημα

π,

2

3

21 , xx του διαστήματος

2

3,

2

ππ με 1x

Λέμε σ’αυτή την περίπτωση ότι η συνά

διάστημα

2

3,

2

ππ.

12) Πότε μια συνάρτηση f λέγεται πεδίου ορισμού της;

ΑπΜια συνάρτηση που είναι γνησίως αύξολέγεται γνησίως μονότονη στο διάστημα

ΕΠΙΣΗΜΑΝ

Το Δ είναι διάστημα όταν έχει μια απ

, ,

Η ένωση διαστημάτων ,δεν θεωρείται δ

πχ το 0,1 1,5 δεν θεωρείται διάστη

Περιοχή του 0x ,ονομάζουμε κάθε ανοι

12

9

σης xxf ημ)( , ]2,0[ πx προκύπτει αμέσως

2 του διαστήματος

2,0

π με 21 xx είναι

τας ότι η συνάρτηση xxf ημ)( είναι γνησίως

π2 . Όμως για δύο οποιαδήποτε σημεία

2x , παρατηρούμε ότι 21 ημημ xx .

ρτηση xxf ημ)( είναι γνησίως φθίνουσα στο

γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα Δ του

άντησηυσα ή γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ , αυτό.

ΣΕΙΣ - ΣΧΟΛΙΑ

ό τις παρακάτω μορφές

, , , , ,

ιάστημα.

μα.

κτό διάστημα που περιέχει το 0x .

10

13) i) Πότε μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α λέμε ότι παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο 1x A

ii) Πότε μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α λέμε ότι παρουσιάζει τοπικό ελάχιστo 2x A .

Απάντηση

Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α λέμε ότι παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο 1x A όταν

1f x f x για κάθε x σε μια περιοχή του 1x

και τοπικό ελάχιστο στο 2x A , όταν

2f x f x , για κάθε x σε μια περιοχή του 2x .

14) Τι ονομάζονται ακρότατα μίας συνάρτησης ;

Απάντηση

Τα μέγιστα και τα ελάχιστα μιας συνάρτησης, τοπικάσυνάρτησης.

ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ - ΣΧΟ

Ένα τοπικό ελάχιστο μπορεί να είναι μεγαλύτερο αππαρατηρούμε στο σχήμα 13 που το τοπικό ελάχιστο (σ

του τοπικού μεγίστου (στην θέση 4x ).

Αν η ανισότητα 1f x f x ισχύει για κάθε x A

της f .Όμοια για το ολικό ελάχιστο.

15) Αν οι συναρτήσεις f και g έχουν όρια πραγματιισχύει:

0 0

1 2 1 2x x x xlim f x = και lim g x με ,

0 0 0x x x x x x

f xlim f x g x , lim f x g x , lim

g x

ΑπάντησηΤα ζητούμενα όρια αποδεικνύεται ότι είναι:

21))()((lim0

xgxfxx

, 21))()((lim0

xgxfxx

, limxx

16) Να εξηγήσετε γιατί 0

0x xlim x = x

,0x x

lim x

00

x xlim x = x

(όταν 0x 0 )

ΑπάντησηΓνωρίζουμε ότι οι πολυωνυμικές ,ρητές,εκθετικές,λογγενικά οι συναρτήσεις που προκύπτουν από πράξεις μσυναρτήσεις.

13

ή ολικά, λέγονται ακρότατα της

ΛΙΑ

ό ένα τοπικό μέγιστο,όπως την θέση 3x )είναι μεγαλύτερο

,τότε το 1x είναι ολικό μέγιστο

κούς αριθμούς, δηλαδή αν

τότε ποια είναι τα όρια:

0 0x x x x

, lim f x , lim f x

2

1

)(

)(

0

xg

xf,

01

x xlim f (x)

0= x και

αριθμικές ,τριγωνομετρικές και εταξύ αυτών ,είναι συνεχείς

x

y

O x2x1

y=f(x)

x3x4

11

Έτσι ,λόγω του ορισμού συνέχειας προκύπτει :

00

x xlim x = x

,0

0x xlim x = x

και 0

0x xlim x = x

17) Πότε μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α λέγεται συνεχής ; Ποιο είναι το χαρακτηριστικό γνώρισμα μιας συνεχούς συνάρτησης σε κλειστό διάστημα ;

Απάντηση

Mια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α λέγεται συνεχής, αν για κάθε Ax 0 ισχύει )()(lim 0

0

xfxfxx

.

Χαρακτηριστικό γνώρισμα μιας συνεχούς συνάρτησης σε ένα κλειστό διάστημα είναι ότι η γραφική της παράσταση είναι μια συνεχής καμπύλη.

ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ - ΣΧΟΛΙΑ

Από τον τύπο του ορισμού της συνέχειας προκύπτει ότι :το όριο και η τιμή της f στοx0 είναι ίσα Η συνέχεια της f έχει νόημα μόνο σε σημεία του πεδίου Όταν η f είναι συνεχής στο x0 , η γραφική της παράστασσημείο με τετμημένη x0

Αν 0

0x xlim f (x) f (x )

,τότε η f λέγεται ασυνεχής στο 0x

Το ότι η f είναι συνεχής στο x0 σημαίνει : x0 A και υπάρχει το

0x xlim f (x)

,δηλαδή0x x

lim f (x)

Αν η f είναι συνεχής στο 0x ,τότε η τιμή 0f (x ) μπορεί να

από τον τύπο 0

0x x

f (x ) lim f (x)

18) Τι ονομάζουμε στιγμιαία ταχύτητα ενός κινητού ;

Απάντηση

Η μέση ταχύτητα του κινητού στη διάρκεια του χρονικού δ

0 0S(t h) S(t )S

h h

.

Η στιγμιαία ταχύτητα του κινητού τη χρονική στιγμή 0t θα

0 0

h 0 h 0

S(t h) S(t )Slim lim

h h

Δηλαδή στιγμιαία ταχύτητα είναι η οριακή τιμή της μέση

19) Έστω f μια συνάρτηση και ένα σημείο 0x ,

παράστασης C. Ποιος είναι ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης

14

ορισμού της. η δεν διακόπτεται στο

.

και )()(lim 00

xfxfxx

υπολογιστεί

ιαστήματος h θα είναι

είναι

h 0lim .

ς ταχύτητας.

0f x της γραφικής της

της C στο Α ;

x0

f(x0)

12

Απάντηση

Ο συντελεστής διεύθυνσης της γραφικής παράστασης C στο Α, είναι ίσος με την εφαπτομένη της γωνίας ω που σχηματίζει η ευθεία με τον x΄x άξονα και είναι ίσος με:

0 0

h 0

f x h f xlim

h

όπου 00 180 και 090

20) Τι ονομάζεται παράγωγος της f στο x0 ;

Απάντηση

Παράγωγος της f στο 0x , που συμβολίζετα

0 0

h 0

f x h f xlim

h

μόνο σε περίπτωση που υπάρ

Είναι λοιπόν 0 0

0h 0

f x h f xf x lim

h

21) Τι ονομάζεται ρυθμός μεταβολής του y = f (x

ΑπάντησηΗ παράγωγος της f στο 0x εκφράζει το ρυθμό με

όταν 0xx .

22) Έστω f μια συνάρτηση και ένα σημείο

παράστασης C. Αν είναι γνωστό ότι η f είναι

τον την εξίσωση της εφαπτόμενης ευθείας της C

ΑπάντησηΗ εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο Α(x0,y0) τΕίναι η ευθεία (ε) 0y f (x )x

(όπου το β R και υπολογίζεται από τις συνθήκες

23) Τι ονομάζεται παράγωγος μια συνάρτησης f

Απάντηση

Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α, κη f είναι παραγωγίσιμη. Τότε ορίζεται μια νέα σ

αντιστοιχίζεται στο h

xfhxfxf

h

)()(lim)(

0

. Η

παράγωγος της f και συμβολίζεται με f .

ι με 0f x ,ονομάζεται το όριο

χει και είναι πραγματικός αριθμός.

) ως προς το x, όταν x = x0 ;

ταβολής του )(xfy ως προς το x,

0 0x ,f x της γραφικής της

παραγωγίσιμη στο 0x ,να γράψετε

f στο 0x

ης Cf :

του προβλήματος)

με πεδίο ορισμού το Α ;

αι Β το σύνολο των Ax στα οποία υνάρτηση, με την οποία κάθε Bx

συνάρτηση αυτή λέγεται (πρώτη)

13

ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ - ΣΧΟΛΙΑ

Το κλάσμα 0 0f x h f x

h

λέγεται λόγος μεταβολών.

Κατά συνέπεια μια συνάρτηση f θα είναι παραγωγίσιμη στο 0x ,αν υπάρχει το όριο

του λόγου μεταβολών και είναι πραγματικός αριθμός. Κάθε παραγωγίσιμη συνάρτηση στο 0x είναι και συνεχής στο 0x .Αντίστροφα όμως

δεν ισχύει ,δηλαδή η συνέχεια στο 0x δεν εξασφαλίζει και την παραγωγισιμότητας της

στο 0x

Παράδειγμα η συνάρτηση f x x είναι συνεχής στο 0x 0 ,όχι όμως και

παραγωγίσιμη.Για την εξίσωση της εφαπτόμενης μπορουμε να χρησιμοποιήσουμε (χωρίς πρόβλημα στην βαθμολόγηση) και τον τύπο (ε) 0 0 0y f x f (x ) x x

Η τιμή της συνάρτησης στο 0x ισούται με την τιμή της εφαπτόμενης στο 0x .

Δηλαδή 0 0f x y x

Αν 0f x 0 ,τότε η εφαπτόμενη της fC είναι παράλληλη στον άξονα x x .

24) Τι γνωρίζετε για την σχέση της συνάρτησης θέσης S t με την στιγμιαία

ταχύτητα και την επιτάχυνση ενός κινητού ;

Απάντηση

H στιγμιαία ταχύτητα ενός κινητού την χρονική στιγμή t0 , είναι η παράγωγος της συνάρτησης θέσης S(t) του κινητού κατά την χρονική στιγμή t0

υ(t0) = S΄(t0)δηλαδή είναι ο ρυθμός μεταβολής της S(t) ως προς t όταν t= t0

Για την εξίσωση κίνησης S(t) ισχύουν : S(t)=0 , το κινητό είναι στην αρχή του άξονα

S(t) , κίνηση προς τα δεξιά - S(t) , κίνηση προς τα αριστερά

S(t)>0, θέση επί του θετικού άξονα - S(t)<0, θέση επί του αρνητικού άξονα. S΄(t0) = 0 , μηδενισμός της ταχύτητας την χρονική στιγμή t0

H επιτάχυνση ενός κινητού την χρονική στιγμή t0 , είναι η παράγωγος της συνάρτησης θέσης u(t) του κινητού κατά την χρονική στιγμή t0

α(t0) =υ΄(t0) = S΄΄(t0)

25) Τι ονομάζεται δεύτερη παράγωγος της συνάρτησης f

Απάντηση

Είναι η παράγωγος της f και συμβολίζεται με f .

Δηλαδή είναι f x f x

14

26) Ποιοι είναι οι τύποι παραγώγων βασικών συναρτήσεων ;

ΑπάντησηΣυνάρτηση f Παράγωγος f΄

f(x)=c (c) =0

f(x)=x (x) =1

f(x)=xν , ν ν ν-1(x ) =νx

f(x)=xκ , κ - κ κ-1(x ) =κx

f(x)=xα , α - α α-1(x ) =αx

f(x)=lnx1

(lnx) =x

f(x)= x1

( x ) =2 x

f(x)=ex x x(e ) =e

f(x)=ημx (ημx) =συνx

f(x)=συνx (συνx) =-ημx

f(x)=εφx 2

2

1(εφx) = 1+εφ x

συν x

f(x)=σφx 2

2

1(σφx) = - (1+σφ x)

ημ x

f(x)=1

x 2

1 1= -

x x

27) Τι είναι οι κανόνες παραγώγισης ;Να γράψετε στην συνέχεια τους βασικούς τύπους τους.

Απάντηση

Είναι προτάσεις – τύποι ,οι οποίοι απλουστεύουν τον λογισμό των παραγώγων ,δηλαδή την εύρεση παραγώγου μιας συνάρτησης και κάθε άλλη διαδικασία πράξεων που αναφέρετε σε παραγώγους. Οι βασικοί κανόνες παραγώγισης δίνονται στον παρακάτω πίνακα.

Παράγωγος αθροίσματος

(f g) f g

Παράγωγος διαφοράς

(f g) f g

Παράγωγος γινομένου

αριθμού επί συνάρτηση

(λf ) λf , λ

Παράγωγος γινομένου

(f g) f g f g

Παράγωγος πηλίκου

2

f g f gf

g g

, g(x) 0

2

g1

g g

, g(x) 0

15

28) Ποιος είναι ο βασικός τύπος παραγώγου σύνθετης συνάρτησης ;Να γράψετε στην συνέχεια τους βασικούς τύπους παραγώγων σύνθετων συναρτήσεων.

Απάντηση

f (g(x)) f (g(x)) g (x)

,για τα x εκείνα πού :

Η g παραγωγίζεται στο x

Η f παραγωγίζεται στο g x

Οι βασικοί τύποι παραγώγων σύνθετων συναρτήσεων, δίνονται στον παρακάτω πίνακα.

ν ν-1(f ) =νf f , ν

( f ) =f

2 f

(ημf) =συνf f

(συνf) =-ημf f

2

2

1(εφf) = f = (1+εφ f ) f

συν f

2

2

1(σφf) = - f = -(1+σφ f ) f

ημ f

f f(e ) =e f

1(lnf) = f

f

Στις ερωτήσεις 29-33 δίνονται οι βασικές αποδείξεις παραγώγων

29) Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f (x) = c είναι 0 δηλαδή ότι (c)′ = 0 .

Απάντηση

Έχουμε 0)()( ccxfhxf και για 0h , 0)()(

h

xfhxf, οπότε :

0)()(

lim0

h

xfhxf

h, άρα 0)( c .

30) Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της ταυτοτικής συνάρτησης

f x x είναι 1 δηλαδή ότι (x)′ = 1.

Απάντηση

Έχουμε hxhxxfhxf )()()( , και για 0h , 1)()(

h

h

h

xfhxf.

Επομένως: 11lim)()(

lim00

hh h

xfhxf, άρα 1)( x .

31) Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συνάρτησης f (x) = x2 είναι 2x δηλαδή ότι (x2 )′ = 2x .

Απάντηση

16

Έστω η συνάρτηση 2)( xxf . Έχουμε

hhxxhxhxxhxxfhxf )2(2)()()( 22222 ,

και για 0h , hxh

hhx

h

xfhxf

2

)2()()(, επομένως,

xhxh

xfhxf

hh2)2(lim

)()(lim

00

.

32) Να αποδείξετε ότι : 2

1 1

x x

και (εφx)΄ =

2

1

συν x.

Απάντηση:

Γενικά ισχύει v 1 v 1x vx , οπότε:

1 1 1 2

2

1 1x 1 x x

x x

.

Για την παράγωγο της εφx χρησιμοποιούμε τον τύπο του πηλίκου :

2 2

2 2 2

ημx ( ημ x) συνx ημx(συνx) συν x ημ x 1x

συνx συν x συν x συν x

33) Να αποδείξετε ότι c f x c f x .

ΑπάντησηΈστω η συνάρτηση )()( xcfxF . Έχουμε:

))()(()()()()( xfhxfcxcfhxcfxFhxF , και για 0h :

h

xfhxfc

h

xfhxfc

h

xFhxF )()()()(()()(

.

Επομένως: )()()(

lim)()(

lim00

xfch

xfhxfc

h

xFhxF

hh

.

Άρα )())(( xfcxfc .

34) Να αποδείξετε ότι ( f (x) + g(x))′ = f ′(x) + g ′(x) .

ΑπάντησηΈστω η συναρτηση )()()( xgxfxF . Έχουμε:

))()(())()(()()( xgxfhxghxfxFhxF ))()(())()(( xghxgxfhxf

και για 0h ,h

xghxg

h

xfhxf

h

xFhxF )()()()()()(

. Επομένως:

).()()()(

lim)()(

lim)()(

lim000

xgxfh

xghxg

h

xfhxf

h

xFhxF

hhh

Άρα )()())()(( xgxfxgxf .

17

35) Αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και ισχύει

f x 0 (αντιστοίχως f x 0 ) για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τι

συμπεραίνουμε για την μονοτονία της στο Δ ; Απάντηση

Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και ισχύει f x 0 για

κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αντίστοιχα, Αν

μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και ισχύει f x 0 για κάθε

εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ.

36) Αν για μια συνάρτηση f ισχύουν 0f x 0 για 0x , , f x 0 στο

0, x και f x 0 στο 0x , (αντιστοίχως 0f x 0 για 0x , ,

f x 0 στο 0, x και f x 0 στο 0x , ) τι συμπεραίνουμε για τα ακρότατα

της f στο (α, β);

Απάντηση

Αν για μια συνάρτηση f ισχύουν 0f x 0 για 0x , , f x 0 στο 0, x και

f x 0 στο 0x , , τότε η f παρουσιάζει στο διάστημα , για 0x x , μέγιστο.

Αντίστοιχα, αν για μια συνάρτηση f ισχύουν 0f x 0 για 0x , , f x 0 στο

0, x και f x 0 στο 0x , , τότε η f παρουσιάζει στο διάστημα , για

0x x , ελάχιστο.

37) Να διατυπώσετε το κριτήριο πρώτης παραγώγου για τα ακρότατα.

Απάντηση:Δες ερώτηση 35

ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ - ΣΧΟΛΙΑ

Αν για την συνάρτηση f ισχύει 0f x 0 για 0x , ,η f είναι συνεχής στο 0x

και η παράγωγος της f διατηρεί το ίδιο πρόσημο εκατέρωθεν του 0x ,τότε :

Η συνάρτηση f είναι γνήσια μονότονη στο , .

Η συνάρτηση f δεν παρουσιάζει ακρότατο στο , .

Αν για την συνάρτηση f ισχύουν :

0f x 0 για 0x , .

Η παράγωγος της f αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του 0x και

Το 0x , είναι μοναδική ρίζα της εξίσωσης f x 0 τότε :

το 0f x είναι ολικό ακρότατο της f στο διάστημα , .

18

Στατιστική

38) Τι ονομάζεται πληθυσμός , δείγμα , και πότε ένα δείγμα θα ονομάζεται

αντιπροσωπευτικό ενός πληθυσμού;

Τι ονομάζεται μέγεθος ενός πληθυσμού και πως συμβολίζεται;

Απάντηση

Πληθυσμός λέγεται ένα σύνολο το οποίο θέλουμε να εξετάσουμε τα στοιχεία του ως

προς ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά του. Δείγμα είναι ένα υποσύνολο του

πληθυσμού το οποίο εξετάζεται, όταν είναι δύσκολη ή και αδύνατη η εξέταση

ολόκληρου του πληθυσμού ως προς τα χαρακτηριστικά του. Ένα δείγμα θεωρείται

αντιπροσωπευτικό ενός πληθυσμού, εάν έχει επιλεγεί κατά τέτοιο τρόπο, ώστε κάθε

μονάδα του πληθυσμού να έχει την ίδια δυνατότητα να επιλεγεί.

Μέγεθος ενός πληθυσμού ονομάζεται το πλήθος των ατόμων του και συμβολίζεται

με .

39) Τι ονομάζονται στη στατιστική μεταβλητές και τι τιμές μίας μεταβλητής;

Απάντηση:

Τα χαρακτηριστικά ως προς τα οποία εξετάζουμε έναν πληθυσμό λέγονται μεταβλητές

και τις συμβολίζουμε συνήθως με τα κεφαλαία γράμματα π.χ. Χ, Υ, Ζ. Οι δυνατές

τιμές που μπορεί να πάρει μια μεταβλητή λέγονται τιμές της μεταβλητής.

40) Πως διακρίνονται οι μεταβλητές ως προς τις τιμές τους;

Απάντηση:

Τις μεταβλητές τις διακρίνουμε: 1. Σε ποιοτικές ή κατηγορικές μεταβλητές, των οποίων οι τιμές τους δεν είναι

αριθμοί. (π.χ. το χρώμα των μαλλιών).

2. Σε ποσοτικές μεταβλητές, των οποίων οι τιμές είναι αριθμοί (π.χ. η ηλικία κάποιων ατόμων) και διακρίνονται:

→Σε διακριτές μεταβλητές, που παίρνουν μόνο “μεμονωμένες” τιμές (π.χ. ο αριθμός των παιδιών μιας οικογένειας). →Σε συνεχείς μεταβλητές, που μπορούν να πάρουν οποιαδήποτε τιμή ενός διαστήματος πραγματικών αριθμών ( , ) (π.χ. τα ύψη κάποιων ατόμων).

41) Τι ονομάζεται απογραφή και τι δειγματοληψία ;

Απάντηση

Απογραφή λέμε την εξέταση όλου του πληθυσμού ως προς μια ιδιότητα ,ενώ

Δειγματοληψία είναι η εξέταση ενός δείγματος του πληθυσμού .

19

42) Πως γίνεται η παρουσίαση των στατιστικών δεδομένων με τους πίνακες ;

Απάντηση

Η παρουσίαση των στατιστικών δεδομένων γίνεται με πίνακες στους οποίους τοποθετούμε κατάλληλα τις πληροφορίες σε γραμμές και στήλες, με τρόπο που να διευκολύνεται η σύγκριση των στοιχείων του πληθυσμού που εξετάζουμε ως προς κάποιο χαρακτηριστικό

Κάθε πίνακας πρέπει να περιέχει: α) Τίτλο: που δηλώνει με σαφήνεια και συνοπτικά το περιεχόμενο του πίνακα και γράφεται στο επάνω μέρος του πίνακα β) Επικεφαλίδες: των γραμμών και στηλών, που δείχνουν συνοπτικά τη φύση και τις μονάδες μέτρησης των δεδομένων, γ) Κύριο σώμα (κορμό): που περιέχει διαχωρισμένα μέσα στις γραμμές και στις στήλες τα στατιστικά δεδομένα

δ) Πηγή (των πληροφοριών): που γράφεται στο κάτω μέρος του πίνακα και δείχνει την προέλευση των στατιστικών στοιχείων

43) Έστω 1 2x x ... x , κ ≤ ν οι διαφορετικές τιμές μιας μεταβλητής Χ , ενός

δείγματος μεγέθους ν. Πως ορίζονται:

α ) Η (απόλυτη) συχνότητα (νi ) της τιμής ix .

β) Η σχετική συχνότητα (fi ) της τιμής ix .

γ) Η σχετική συχνότητα(%) της τιμής ix ( if % ).

δ) Η αθροιστική συχνότητα (Ni ) της τιμής ix (για ποσοτικές μεταβλητές).

ε) Η αθροιστική σχετική συχνότητα (Fi) της τιμής ix και το αντίστοιχο

ποσοστιαίο μέγεθος ( iF %) .

Απάντηση

α) Απόλυτη συχνότητα της τιμής ix είναι ο φυσικός αριθμός που δείχνει πόσες φορές

εμφανίζεται η τιμή ix της εξεταζόμενης μεταβλητής Χ στο σύνολο των παρατηρήσεων.

β) Αν διαιρέσουμε τη συχνότητα iν με το μέγεθος ν του δείγματος, προκύπτει η σχετική

συχνότητα if της τιμής ix , δηλαδή: iif

, i 1, 2,...,

γ) Τις σχετικές συχνότητες if , μπορούμε να τις εκφράσουμε και επί τοις εκατό, οπότε

συμβολίζονται if % και είναι: ii i

vf % f 100 100

v , i 1, 2,...,

δ) Η αθροιστική συχνότητα iN εκφράζει το πλήθος των παρατηρήσεων που είναι

μικρότερες ή ίσες της τιμής ix . Ισχύει: i 1 2 iN v v ... v , i 1, 2,..., .

ε) Η αθροιστική σχετική συχνότητα iF εκφράζει το ποσοστό των παρατηρήσεων που

είναι μικρότερες ή ίσες της τιμής ix . Ισχύει: i 1 2 iF f f ... f , i 1, 2,...,

.

44). Να αποδείξετε ότι για τη σχετική συχνότητα ισχύουν οι ιδιότητες :

α) i0 f 1, i 1,2, ..., β) 1 2f f ... f 1

20

Απάντηση

α) Από τη σχέση i0 v v διαιρώντας με ν, προκύπτει ότι: ii

00 f 1

.

β) 1 2f f ... f 1 , αφού: 1 2 1 21 2

...f f ... f ... 1

45). Τι ονομάζεται κατανομή συχνοτήτων μίας μεταβλητής με τιμές 1 2x ,x , ..., x ;

Απάντηση

Το σύνολο των ζευγών i ix , v λέμε ότι αποτελεί μία κατανομή συχνοτήτων.

Το σύνολο των ζευγών i ix , f ή των ζευγών i ix ,f % λέμε ότι αποτελεί την κατανομή

σχετικών συχνοτήτων.

46) Πως γίνεται η παρουσίαση των στατιστικών δεδομένων με τις γραφικές

παραστάσεις ;

Απάντηση

Τα στατιστικά δεδομένα παρουσιάζονται πολλές φορές και υπό μορφή γραφικών

παραστάσεων ή διαγραμμάτων.

Οι γραφικές παραστάσεις παρέχουν ποιο σαφή εικόνα του χαρακτηριστικού σε σχέση

με τους πίνακες και είναι ποιό ελκυστικές και σύντομες στην εξαγωγή συμπερασμάτων.

Διευκολύνουν την σύγκριση μεταξύ ομοειδών στοιχείων (πχ ανταγωνιστικών εταιριών)

για το ίδιο ή για διαφορετικά χαρακτηριστικά.

Όμως σε κάθε περίπτωση δεν προσφέρουν περισσότερες πληροφορίες από αυτές που

παρέχονται από τους αντίστοιχους πίνακες συχνοτήτων.

Οι γραφικές παραστάσεις ,πρέπει να συνοδεύονται από:

α) τον τίτλο,

β) την κλίμακα με τις τιμές των μεγεθών που απεικονίζονται,

γ) το υπόμνημα που επεξηγεί συνήθως τις τιμές της μεταβλητής και

δ) την πηγή των δεδομένων.

47)Τι είναι το ραβδόγραμμα και πότε χρησιμοποιείται ;

Να δώσετε μία περιγραφή του.

Απάντηση

Το ραβδόγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση των τιμών μιας

ποιοτικής μεταβλητής.

Αποτελείται από ορθογώνιες στήλες που

οι βάσεις τους βρίσκονται πάνω στον

οριζόντιο ή τον κατακόρυφο άξονα. Σε

κάθε τιμή της μεταβλητής Χ αντιστοιχεί

μια ορθογώνια στήλη της οποίας το

ύψος είναι ίσο με την αντίστοιχη συχνότητα

(ραβδόγραμμα συχνοτήτων) ή σχετική

συχνότητα (ραβδόγραμμα σχετικών

συχνοτήτων). Η απόσταση μεταξύ των

21

στηλών όσο και το μήκος των βάσεών τους καθορίζονται αυθαίρετα.

48)Τι είναι το διάγραμμα συχνοτήτων και πότε χρησιμοποιείται ;

Να δώσετε μία περιγραφή του.

Απάντηση

Το διάγραμμα συχνοτήτων χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση των τιμών μιας ποσοτικής μεταβλητής. Αποτελείται από κατακόρυφα ευθύγραμμα τα οποία υψώνουμε στην τιμή xi

,(υποθέτοντας ότι 1 2x x ... x ) ,που έχουν μήκος την αντίστοιχη συχνότητα νi

(διάγραμμα συχνοτήτων) ή την αντίστοιχη σχετική συχνότητα fi ( διάγραμμα σχετικών συχνοτήτων)

Δηλαδή κάθε στήλη απεικονίζει ένα ζεύγος i ix , ή i ix , f ή i ix ,f %

49)Τι είναι το πολύγωνο συχνοτήτων και πότε χρησιμοποιείται ;

Να δώσετε μία περιγραφή του.

Απάντηση

Το πολύγωνο συχνοτήτων χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση των τιμών μιας ποσοτικής μεταβλητής. Χρησιμοποιείται για να δώσει μια γενική ιδέα για τη μεταβολή της συχνότητας ή της σχετικής συχνότητας όσο μεγαλώνει η τιμή της μεταβλητής που εξετάζουμε. Στο πολύγωνο συχνοτήτων είναι η τεθλασμένη γραμμή που σχηματίζεται αν ενώσουμε τα σημεία (xi ,νi)Στο πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων είναι η τεθλασμένη γραμμή που σχηματίζεται αν ενώσουμε τα σημεία (xi ,fi)

22

50)Τι είναι το κυκλικό διάγραμμα και πότε χρησιμοποιείται ;

Να δώσετε μία περιγραφή του.

Απάντηση

Το κυκλικό διάγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση τόσο των ποιοτικών όσο και των ποσοτικώνδεδομένων, όταν οι διαφορετικές τιμές της μεταβλητής είναι σχετικά λίγες. Το κυκλικό διάγραμμα είναι ένας κυκλικός δίσκος χωρισμένος σε κυκλικούς τομείς, τα εμβαδά ή, ισοδύναμα, τα τόξα των οποίων είναι ανάλογα προς τις αντίστοιχες συχνότητες iν ή τις σχετικές συχνότητες if των

τιμών ix της μεταβλητής

Το τόξο αi του κυκλικού τομέα που αντιστοιχεί στην τιμή xi

δίνεται από τον τύπο o

oi i i

360α =ν =360 f

ν , για i 1, 2,..., .

51)Τι είναι το σημειόγραμμα και πότε χρησιμοποιείται ;

Να δώσετε μία περιγραφή του.

Απάντηση

Είναι το διάγραμμα στο οποίο οι τιμές παριστάνονται γραφικά

ένα οριζόντιο άξονα.Είναι το ίδιο με το διάγραμμα συχνοτήτω

ευθύγραμμα τμήματα έχουμε στήλες από σημεία – τελείες

Το σημειόγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση τω

ποιοτικής όσο και ποσοτικής μεταβλητής όταν οι παρατηρήσεις

Παράδειγμα στο παρακάτω σχήμα έχουμε το σημειόγραμμα τω

που χρειάστηκαν δεκαπέντε μαθητές, για να λύσουν ένα πρόβλημ

52)Τι είναι το χρονόγραμμα και πότε χρησιμοποιείται ;

Να δώσετε μία περιγραφή του.

Απάντηση

Είναι το διάγραμμα στο οποίο ο οριζόντιος άξονας

χρησιμοποιείται συνήθως ως άξονας μέτρησης του

χρόνου και ο κατακόρυφος ως άξονας μέτρησης της

εξεταζόμενης μεταβλητής

Το χρονόγραμμα ή χρονολογικό διάγραμμα

χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση των 0

2

4

6

8

10

12

14

fi %16

1990 199

σαν σημεία πάνω από

ν, μόνο που αντί για

ν τιμών μιας

είναι σχετικά λίγες.

ν χρόνων (σε λεπτά)

α.

Θήλεις

Σύνολο

Άρρενες

1 1992 1993 1994 1995

23

τιμών μιας ποσοτικής μεταβλητής που

εξετάζει την διαχρονική εξέλιξη ενός οικονομικού, δημογραφικού ή άλλου μεγέθους

Παράδειγμα στο διπλανό σχήμα έχουμε το χρονόγραμμα του ποσοστού ανεργίας στη

χώρα μας από το 1990 έως το 1995.Παρατηρούμε ότι στο γυναικείο πληθυσμό υπάρχει

συστηματικά

μεγαλύτερο ποσοστό ανεργίας, γύρω

στις 8 εκατοστιαίες μονάδες.

ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ – ΣΧΟΛΙΑ για τις συχνότητες και την συμπλήρωση πινάκων

1.Αν αναφερόμαστε σε ένα δείγμα μεγέθους και 1 2x , x ,..., x είναι οι τιμές μιας

μεταβλητής Χ , ,τότε ισχύουν :

1 2 ... N

1 2f f ... f 1 F και 1 2f % f % ... f % 100 F %

1 1 2 2 1N , N N ,..., 1N N

1 1 2 2 1f F , f F F ,..., 1f F F

N

F

απόδειξη

1 21 2 1 2 1 2

1 2 1 21 2 1 2

...N ... ... ...

...F f f ...f ......

2. Για τις διακριτές μεταβλητές ισχύουν :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ ΠΛΗΘΟΣ ΠΟΣΟΣΤΟ

1 το πολύ ix iN 1F %

2 ακριβώς ix i if %

3ix ή jx i j i jf % f %

4 τουλάχιστον ix i 1N i 1100 F %

5 από ix έως και jx ή αλλιώς

τουλάχιστον ix και το πολύ jx

j i 1N N j i 1F % F %

6 κάτω από ix i 1N i 1F %

7 πάνω από ix iN i100 F %

8 από ix έως το jx j 1 i 1N N j 1 i 1F % F %

53) Πότε κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων ενός δείγματος και πως

γίνεται;

Απάντηση

Ομαδοποίηση παρατηρήσεων κάνουμε όταν το πρόβλημα αναφέρεται σε ποσοτικές

(κυρίως συνεχείς) μεταβλητές και η κατασκευή του πίνακα συχνοτήτων είναι δύσκολη.

Για το λόγο αυτό βρίσκουμε τη διαφορά μεταξύ της μέγιστης και της ελάχιστης τιμής

και τη διαιρούμε σε ισομήκη διαστήματα.Σε περίπτωση όμως που αυτό δεν διευκολύνει

αριθμητικούς υπολογισμούς ,διευρύνουμε την διαφορά και την διαιρούμε (με το πλήθος

των κλάσεων) σε ισομήκη διαστήματα.

54) Τι είναι οι κλάσεις και τα όρια των κλάσεων; Τι είναι η κεντρική τιμή, το

πλάτος και η συχνότητα μίας κλάσης ;

Απάντηση:

Όταν το πλήθος των τιμών μιας ποσοτικής μεταβλητής είναι αρκετά μεγάλο, τότε τα

δεδομένα ταξινομούνται (ομαδοποιούνται) σε μικρό πλήθος ομάδων, οι οποίες

ονομάζονται κλάσεις έτσι, ώστε κάθε τιμή να ανήκει μόνο σε μία κλάση. Τα άκρα των

κλάσεων καλούνται όρια των κλάσεων. Οι παρατηρήσεις κάθε κλάσης θεωρούνται

όμοιες και μπορούν να «αντιπροσωπευθούν» από τις λεγόμενες κεντρικές τιμές κάθε

κλάσης, δηλαδή από τα κέντρα κάθε κλάσης. Για την κεντρική τιμή ix μιας κλάσης

, ισχύει ότι: ix2

. Η διαφορά του κατώτερου από το ανώτερο όριο μιας

κλάσης , λέγεται πλάτος της κλάσης και συμβολίζεται συνήθως με c.

Είναι δηλαδή: c . Το πλήθος iv των παρατηρήσεων που ανήκουν στην κλάση

i λέγεται συχνότητα της κλάσης.

55) Ποιες γραφικές παραστάσεις χρησιμοποιούμε στην ομαδοποίηση ;

Απάντηση:

Ιστόγραμμα αθρoιστικών συχνοτήτων Ιστόγραμμα αθρoιστικών

συχνοτήτων

Fi

24

Νi

0

ix

0

ix

25

Για την κατασκευή του πολυγώνου αθροιστικών συχνοτήτων (ή αθρ. σχετ.

συχνοτήτων) ενώνουμε τα δεξιά άκρα των ορθογωνίων.

56) Τι ονομάζεται καμπύλη συχνοτήτων ;

Απάντηση:

Εάν υποθέσουμε ότι ο αριθμός των κλάσεων για μια συνεχή μεταβλητή είναι αρκετά

μεγάλος (τείνει στο άπειρο) και ότι το πλάτος

των κλάσεων είναι αρκετά μικρό

(τείνει στο μηδέν), τότε η πολυγωνική

γραμμή συχνοτήτων τείνει να πάρει τη

μορφή μιας ομαλής καμπύλης, η οποία

ονομάζεται καμπύλη συχνοτήτων.

57) Nα γράψετε τι γνωρίζετε για τις χαρακτηρι

Απάντηση:

Η μορφή μιας κατανομής συχνοτήτων εξαρτάτα

παρατηρήσεις σε όλη την έκταση του εύρους του

συχνοτήτων που συναντάμε συχνά στις εφαρμο

κατανομή (β), με “κωδωνοειδή” μορφή λέγετ

σπουδαίο ρόλο στη Στατιστική. Όταν οι παρατηρ

ένα διάστημα [α, β], όπως στην κατανομή (α), η

οι παρατηρήσεις δεν είναι συμμετρικά κατανεμημ

με θετική ασυμμετρία όπως στην κατανομή (γ)

κατανομή (δ).

58) Τι λέγεται ομοιόμορφη κατανομή; Τι λέγε

καμπύλη συχνοτήτων της;

στικές κατανομές συχνοτήτων .

ι από το πώς είναι κατανεμημένες οι

ς. Μερικές χαρακτηριστικές καμπύλες

γές δίνονται στο παρακάτω σχήμα Η

αι κανονική κατανομή και παίζει

ήσεις “κατανέμονται” ομοιόμορφα σε

κατανομή λέγεται ομοιόμορφη. Όταν

ένες, η κατανομή λέγεται ασύμμετρη

ή αρνητική ασυμμετρία όπως στην

ται κανονική κατανομή και ποια η

fi

0

26

Απάντηση:

Όταν οι παρατηρήσεις “κατανέμονται” ομοιόμορφα σε ένα διάστημα [α, β], η κατανομή

λέγεται ομοιόμορφη. Η κατανομή με “κωδωνοειδή” μορφή λέγεται κανονική κατανομή

και παίζει σπουδαίο ρόλο στη Στατιστική.

59) Τι καλούμε μέτρα θέσης; Τι καλούμε μέτρα διασποράς;

Απάντηση:

Με τον όρο «μέτρα» εννοούμε αριθμητικά μεγέθη, με τη βοήθεια των οποίων μπορούμε

να περιγράψουμε σύντομα την κατανομή ενός συνόλου δεδομένων. Τα μέτρα μιας

κατανομής είναι κυρίως δύο ειδών:

Τα μέτρα θέσης, τα οποία δίνουν τη θέση του «κέντρου» των παρατηρήσεων στον οριζόντιο άξονα, δηλαδή τη θέση γύρω από την οποία είναι συγκεντρωμένες οι περισσότερες τιμές της κατανομής.

Τα μέτρα διασποράς, τα οποία δίνουν τη «διασπορά» των παρατηρήσεων, δηλαδή πόσο αυτές εκτείνονται γύρω από το κέντρο τους.Μας δείχνουν δηλαδή πόσο συσπειρωμένες ή διεσπαρμένες είναι οι τιμές ix γύρω από την μέση τιμή.

60) Τι καλούνται μέτρα ασυμμετρίας ;

Απάντηση:

Εκτός από τα μέτρα θέσης και διασποράς μιας

κατανομής πολλές φορές είναι απαραίτητος και

ο προσδιορισμός κάποιων άλλων μέτρων, που

καθορίζουν τη μορφή της κατανομής.

Κατά πόσο δηλαδή η αντίστοιχη καμπύλη

συχνοτήτων είναι συμμετρική ή όχι ως προς την

ευθεία 0xx , για δεδομένο σημείο 0x του

άξονα Ox . Τα μέτρα αυτά, που συνήθως

εκφράζονται σε συνάρτηση με τα μέτρα

θέσης και διασποράς, καλούνται μέτρα ασυμμετρίας.

61) Πως ορίζεται η μέση τιμή μίας ποσοτικής μετ

1 2t , t ,..., t μεγέθους ν ;

Απάντηση:

Η μέση τιμή ενός συνόλου ν παρατηρήσεων

παρατηρήσεων διά του πλήθους των παρατηρήσεων.

παρατηρήσεις μιας μεταβλητής Χ είναι 1 2 vt , t ,..., t , τό

και δίνεται από τη σχέση:

αβλητής Χ , σε ένα δείγμα τιμών

ορίζεται ως το άθροισμα των

Όταν σε ένα δείγμα μεγέθους ν οι

τε η μέση τιμή συμβολίζεται με x

B

A

ΔΓ

xx0

27

i1 2 i 1

ii 1

tt t ... t 1

x t

62) Πως εκφράζεται η μέση τιμή μίας ποσοτικής μεταβλητής Χ , σε ένα δείγμα

τιμών 1 2x ,x , ..., x μεγέθους ν , με αντίστοιχες συχνότητες ; 1 2v , v , ..., v 1f

Απάντηση:

Σε μια κατανομή συχνοτήτων, αν κxxx ,...,, 21 είναι οι τιμές της μεταβλητής Χ με

συχνότητες κvvv ,...,, 21 αντίστοιχα, η μέση τιμή ορίζεται ισοδύναμα από τη σχέση:

i i1 1 2 2 i 1

i ii 11 2

ii 1

xx x ... x 1

x x...

63) Τι ονομάζουμε σταθμισμένο αριθμητικό μέσο ή σταθμικό μέσο των τιμών

1 2 vx ,x , ..., x με συντελεστές στάθμισης (βαρύτητας) 1 2 vw ,w , ...,w ;

Απάντηση:

Στις περιπτώσεις που δίνεται διαφορετική βαρύτητα (έμφαση) στις τιμές νxxx ,...,, 21

ενός συνόλου δεδομένων, τότε αντί του αριθμητικού μέσου χρησιμοποιούμε τον

σταθμισμένο αριθμητικό μέσο ή σταθμικό μέσο. Ο σταθμικός μέσος με συντελεστές

στάθμισης (βαρύτητας) δίνεται από τον τύπο:

ν

ii

ν

iii

ν

νν

w

wx

www

wxwxwxx

1

1

21

2211

...

...

64) Πως εκφράζεται η μέση τιμή μίας ποσοτικής μεταβλητής Χ , σε ένα δείγμα

τιμών 1 2x ,x , ..., x , μεγέθους ν από τις τιμές της μεταβλητής και τις σχετικές

συχνότητές τους 1 2f ,f , ..., f ;

Απάντηση:

Η σχέση της μέσης τιμής συναρτήσει των τιμών της μεταβλητής και των σχετικών

συχνοτήτων τους δίνεται από τον τύπο: ii i i

i 1 i 1

x x x f

.

28

65) Πως ορίζεται η διάμεσος (δ) ενός δείγματος ν παρατηρήσεων οι οποίες έχουν

διαταχθεί κατά αύξουσα σειρά ;

Απάντηση:

Διάμεσος δ ενός δείγματος ν παρατηρήσεων που έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά

ονομάζεται:

Η μεσαία παρατήρηση αν το πλήθος των παρατηρήσεων είναι περιττό.

Το ημιάθροισμα των μεσαίων παρατηρήσεων αν το πλήθος των

παρατηρήσεων είναι άρτιο.

66) Πως υπολογίζεται η διάμεσος (δ) όταν έχουμε ομαδοποιημένα δεδομένα ;

Απάντηση

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Γ

BA

δ

F i %

x

Κατασκευάζουμε το ιστόγραμμα και το πολύγωνο των σχετικών αθροιστικών

συχνοτήτων ( iF % ).Αν η ευθεία y A (κάθετη στον κατακόρυφο άξονα στην τιμή

iF 50 ) τέμνει το πολύγωνο συχνοτήτων στο Β και Γ είναι η προβολή του Β στον

οριζόντιο άξονα ,τότε :

B

Σχόλιο

Η παραπάνω διαδικασία δίνει κατά προσέγγιση την διάμεσο με πιθανή απόκλιση από

την πραγματική τιμή (χωρίς αυτό να σημαίνει και βαθμολογική απώλεια !).

Μπορούμε να εργαστούμε και με ομοιότητα τριγώνων ή Θ. Θαλή.

67) Αν υπολογίσουμε την μέση τιμή και την διάμεσο στις τιμές 1 2 3t , t , t , ...t με ή

χωρίς ομαδοποίηση ,θα προκύψουν ίδια αποτελέσματα ;Να δώσετε εξήγηση στην

απάντηση σας.

Απάντηση

Οι παρατηρήσεις κάθε κλάσης θεωρούνται όμοιες, οπότε μπορούν

να “αντιπροσωπευθούν” από τις κεντρικές τιμές, τα κέντρα δηλαδή κάθε κλάσης.

29

Εάν υπολογίσουμε την μέση τιμή ή την διάμεσο σε μη ομαδοποιημένα δεδομένα

υπάρχει ενδεχόμενο να προκύψει διαφορετικό αποτέλεσμα από το αποτέλεσμα που

προκύπτει χρησιμοποιώντας τους τύπους.

Η διαφορά αυτή οφείλεται στην απώλεια πληροφορίας (η οποία είναι τόσο μεγαλύτερη

όσο

μικρότερος είναι ο αριθμός των κλάσεων) λόγω ομαδοποίησης των παρατηρήσεων

αφού κατά την ομαδοποίηση υποθέσαμε ότι οι παρατηρήσεις κάθε κλάσης είναι

ομοιόμορφα κατανεμημένες και ότι οι τιμές της μεταβλητής σε κάθε κλάση

εκπροσωπούνται από την αντίστοιχη κεντρική τιμή ix

ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ – ΣΧΟΛΙΑ για τα μέτρα θέσης

1.Η διάμεσος είναι η τιμή που χωρίζει ένα σύνολο παρατηρήσεων σε δύο ίσα μέρη

όταν οι παρατηρήσεις αυτές τοποθετηθούν με σειρά τάξης μεγέθους. Ακριβέστερα, η

διάμεσος έχει αθροιστική συχνότητα 50%.Δηλαδήείναι η τιμή για την οποία το πολύ

50% των παρατηρήσεων είναι μικρότερες από αυτήν και το πολύ 50% των

παρατηρήσεων είναι μεγαλύτερες από την τιμή αυτή.

2.Αν έχουμε μια ποσοτική μεταβλητή και οι ποσότητες ix , i για το

δείγμα αυτό είναι συγκεντρωμένες σε πίνακα κατανομής συχνοτήτων και οι

τιμές 1 2 ix , x ,..., x της ποσοτικής μεταβλητής Χ είναι σε αύξουσα διάταξη, τότε

υπολογίζουμε την αθροιστική συχνότητα της τιμής ix (είναι i 1 2 iN ... )

και η διάμεσος (δ) του δείγματος ν παρατηρήσεων ορίζεται ως :

(κοιτάζουμε την στήλη της iN )

Αν 2 1 (περιττός) τότε 1

2

t

Αν 2 (άρτιος) τότε 1

2 2

t t

2

3. Η μέση τιμή επηρεάζεται από τις ακραίες τιμές και εξαρτάται από όλες τις τιμές της

μεταβλητής.

4.Η διάμεσος δεν επηρεάζεται από τις ακραίες τιμές και εξαρτάται απ’ όλες τις τιμές

της μεταβλητής. Ο υπολογισμός της διαμέσου παρουσιάζει δυσκολίες σε ορισμένες

περιπτώσεις (π.χ. σε συνεχή μεταβλητή).

68) Τι ονομάζεται εύρος ή κύμανση (R) μιας κατανομής ;

Απάντηση

Το απλούστερο από τα μέτρα διασποράς είναι το εύρος ή κύμανση (R), που ορίζεται ως

η διαφορά της ελάχιστης παρατήρησης από τη μέγιστη παρατήρηση. Δηλαδή:

Eύρος R = Μεγαλύτερη παρατήρηση-Μικρότερη παρατήρηση

30

69) Να δείξετε ότι ο αριθμητικός μέσος των αποκλίσεων των παρατηρήσεων ενός

δείγματος από τη μέση τιμή του είναι ίσος με το μηδέν.

Απάντηση

0...)(...)()( 2121

xxv

xv

v

ttt

v

xtxtxt vv

70) Τι ονομάζεται διακύμανση (ή διασπορά 2s ) μιας κατανομής σε ένα δείγμα

τιμών 1 2 vt , t , ..., t μεγέθους ν ;

Απάντηση

Ως διακύμανση ή διασπορά ονομάζεται το μέτρο διασποράς στο οποίο παίρνουμε τον

μέσο όρο των τετραγώνων των αποκλίσεων των it από τη μέση τιμή τους x και

ορίζεται από τη σχέση:

2 2 2

1 22 2i

i 1

x t x t ... x t 1s (t x)

71) Τι ονομάζεται διακύμανση των τιμών x1, x2, …, xκ μιας μεταβλητής με

αντίστοιχες συχνότητες ν1, ν2, …, νκ, και μέση τιμή x ;

Απάντηση

Αν μια μεταβλητή παίρνει τις τιμές x1, x2, …, xκ με αντίστοιχες συχνότητες

ν1, ν2, …, νκ,που έχουν μέση τιμή x τότε διακύμανση της μεταβλητής ονομάζεται

το πηλίκο:

2 2 2

1 1 2 22 2i i

i 1

x x x x ... x x 1s (x x)

72) Αναφέρετε ένα μειονέκτημα της διακύμανσης ως αξιόπιστο μέτρο διασποράς.

Απάντηση

Η χρήση της διακύμανσης παρουσιάζει ένα σοβαρό πρόβλημα: οι μονάδες της

διακύμανσης είναι τα τετράγωνα των μονάδων της αντίστοιχης μεταβλητής.

Για παράδειγμα, αν οι παρατηρήσεις εκφράζονται σε cm, η διακύμανση εκφράζεται σε 2cm . Αν όμως πάρουμε τη θετική τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης, θα έχουμε ένα

μέτρο διασποράς που θα εκφράζεται με την ίδια μονάδα μέτρησης του

χαρακτηριστικού. Η ποσότητα αυτή λέγεται τυπική απόκλιση, συμβολίζεται με s και

δίνεται από τη σχέση:

2s s

31

73) Τι είναι τυπική απόκλιση των τιμών t1, t2, …, tν μιας μεταβλητής με μέση

τιμή x ;

Απάντηση

Αν μια μεταβλητή παίρνει τις ν τιμές t1, t2, …, tν που έχουν μέση τιμή x τότε

τυπική απόκλιση της μεταβλητής ονομάζεται το:

22

2

2

1 ... txtxtxs

74)Τι ονομάζεται τυπική απόκλιση των τιμών x1, x2, …, xκ μιας μεταβλητής με

αντίστοιχες συχνότητες ν1, ν2, …, νκ, και μέση τιμή x ;

Απάντηση

Αν μια μεταβλητή παίρνει τις τιμές x1, x2, …, xκ με αντίστοιχες συχνότητες ν1, ν2, …, νκ,

που έχουν μέση τιμή x τότε τυπική απόκλιση της μεταβλητής ονομάζεται το:

2

2

2

21

2

1 ... xxxxxxs

75) Αν η μεταβλητή Χ ακολουθεί την κανονική κατανομή (ή περίπου κανονική),να

γράψετε τις ιδιότητες που ισχύουν για την τυπική απόκλιση S .

Απάντηση

Αν η καμπύλη συχνοτήτων για το

χαρακτηριστικό που

εξετάζουμεείναι κανονική ή περίπου κανονική,

τότε η

τυπική απόκλιση s έχει τις παρακάτω ιδιότητες:

i) το 68% περίπου των παρατηρήσεων βρίσκεται

στο διάστημα ),( sxsx

ii) το 95% περίπου των παρατηρήσεων βρίσκεται

στο διάστημα )2,2( sxsx

iii) το 99,7% περίπου των παρατηρήσεων βρίσκεται

στο διάστημα )3,3( sxsx

iv) το εύρος ισούται περίπου με έξι τυπικές αποκλίσεις, δηλαδή R 6s .

76) Αν η μεταβλητή Χ ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέση τιμή ( x ) και

τυπική απόκλιση (s) , να αναφέρετε το ποσοστό των παρατηρήσεων που βρίσκεται

στο διάστημα : i) x s, x s ii) x 2s, x 2s iii) x 3s, x 3s

x s x s x s x x s x s x s 3 2 2 3

99,7%95%

68%

ss

32

Απάντηση

i) Στο διάστημα x s, x s βρίσκεται το 68% των παρατηρήσεων.

ii) Στο διάστημα x 2s, x 2s βρίσκεται το 95% των παρατηρήσεων.

iii) Στο διάστημα x 3s, x 3s βρίσκεται σχεδόν το 99,7% των παρατηρήσεων.

77) Ποιο είναι κατά προσέγγιση το εύρος R μίας κανονικής κατανομής ;

Απάντηση

Το εύρος ισούται περίπου με έξι τυπικές αποκλίσεις, δηλαδή sR 6 .

78) Πως ορίζεται ο συντελεστής μεταβολής ή συντελεστής μεταβλητότητας CV ;

Απάντηση

Συνήθως όταν θέλουμε να συγκρίνουμε ως προς τη μεταβλητότητα δύο κατανομές, οι

οποίες είτε εκφράζονται σε διαφορετικές μονάδες μέτρησης, είτε εκφράζονται στην ίδια

μονάδα μέτρησης, αλλά έχουν διαφορετικές μέσες τιμές, τότε χρησιμοποιούμε τον

συντελεστή μεταβολής (ή συντελεστή μεταβλητότητας )CV.

Αν λοιπόν το εξεταζόμενο δείγμα ως προς μία ποσοτική μεταβλητή του, αρουσιάζει

μέση τιμή x και τυπική απόκλιση s,τότε συντελεστής μεταβολής (ή συντελεστής

μεταβλητότητας ) ονομάζεται το πηλίκο:

αν x 0 ,τότε ή απόκλιση s

CVέ x

ή (

s100%

x)

αν x 0 , τότε s s

CVx x

79) Πότε ένα δείγμα θεωρείται ομοιογενές;

Απάντηση

Εάν η τιμή του συντελεστή μεταβλητότητας είναι κάτω του 10% (δηλαδή να μην

υπερβαίνει το 0,1 ή το 10%) ,τότε το δείγμα θεωρείται ομοιογενές.

Δηλαδή αν :CV 0,1 ή CV 10% τότε το δείγμα θεωρείται ομοιογενές.

80) Πως συγκρίνονται ως προς την ομοιογένεια δύο δείγματα Α, Β με βάση τους

συντελεστές μεταβολής ;

Απάντηση

Όταν για δύο δείγματα Α και Β ισχύει ότι A BCV CV , θα λέμε ότι το δείγμα Α έχει

μεγαλύτερη ομοιογένεια από το δείγμα Β. Γενικά, ένα δείγμα τιμών μιας μεταβλητής θα

33

είναι ομοιγενές, αν ο συντελεστής μεταβολής δεν ξεπερνά το 10%, δηλαδή αν:

CV 10% .

81) Να γράψετε πως μεταβάλλεται η μέση τιμή x και η τυπική απόκλιση S των

τιμών 1 2x ,x , ..., x ,αν σε κάθε μία από αυτές προσθέσουμε ή πολλαπλασιάσουμε

την σταθερά c .

Απάντηση

α) i i i y xΑν y = x +c ό : y= x +c, s s

β) i i i y xΑν y =cx τότε: y = cx , s c s

82) Αποδείξτε τους παρακάτω τύπους : k k

2 22 2i i i i

i=1 i=1

s f x x f x x για ένα

δείγμα τιμών 1 2x ,x , ..., x μεγέθους ν, με αντίστοιχες σχετικές συχνότητες

1 2f ,f , ..., f .

Απάντηση

Από τον τύπο: k k k

2 2 22 ii i i i i

i 1 i 1 i 1

v1s x x v x x x x f

.

Από τον τύπο:

2k

i iki 12 2

i ii 1

x v1

s x v

προκύπτει ότι:

2 2k k

i i i ik k k2i 12 2 2 2 2 2i i 1

i i i i i2i 1 i 1 i 1

x v x vv1

s x v s x s x f x

ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ – ΣΧΟΛΙΑ για τα μέτρα θέσης

Το εύρος έχει το μειονέκτημα ότι χρησιμοποιούμε μόνο τις ακραίες τιμές της

μεταβλητής και καθόλου τις υπόλοιπες.

Το εύρος, η διακύμανση και η τυπική απόκλιση μιας μεταβλητής είναι παράμετροι

διασποράς.

Ο συντελεστής μεταβλητότητας μιας μεταβλητής δεν είναι ούτε παράμετρος θέσης

ούτε παράμετρος διασποράς.

Ο συντελεστής μεταβολής εκφράζεται επί τοις εκατό, είναι συνεπώς ανεξάρτητος από

τις μονάδες μέτρησης και παριστάνει ένα μέτρο σχετικής διασποράς των τιμών και όχι

της απόλυτης διασποράς, όπως έχουμε δει έως τώρα. Εκφράζει, δηλαδή, τη

μεταβλητότητα των δεδομένων απαλλαγμένη από την επίδραση της μέσης τιμής.

Όταν εξετάζουμε δύο δείγματα ως προς την ίδια μεταβλητή τα οποία παρουσιάζουν

διαφορετικές τιμές στις παραμέτρους θέσης και διασποράς ή όταν τα δύο δείγματα έχουν

34

διαφορετικές κλίμακες ή μονάδες τότε ένα μέτρο με το οποίο μπορούμε να ξεπεράσουμε

τις παραπάνω δυσκολίες είναι ο συντελεστής μεταβολής ή συντελεστής μεταβλητότητας.

Ο συντελεστής μεταβλητότητας μετράει ουσιαστικά την ομοιογένεια - ανομοιογένεια

του πληθυσμού.

ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ

ΑΘΡΟΙΣΤΙΚΗ

ΜΕΤΑΒΟΛΗ

ΠΟΛ/ΣΤΙΚΗ ΜΕΤΑΒΟΛΗ

ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Y X c Y cX

ΤΙΜΕΣ i iy x c i iy cx

ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ y x c y cx

ΔΙΑΜΕΣΟΣ y x c y xc

ΕΥΡΟΣ y xR R y xR cR

ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ 2 2y xS S 2 2 2

y xS c S

ΤΥΠΙΚΗ

ΑΠΟΚΛΙΣΗ y xS S y xS cS

ΣΥΝΤΕΛ.

ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ

y x

y

S SCV

y x c

y x x

y x

S c S SCV CV

y cx x

σχόλιο

Οι τύποι στις γραμμές 4-5-8 δεν αναφέρονται στο σχολικό βιβλίο και θα πρέπει να

αποδεικνύονται

ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ

35

ΔΙΑΜΕΣΟΣ

ΕΥΡΟΣ

ΔΙΑΣΠΟΡΑ - ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ

36

ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ

37

Πιθανότητες

83) Πότε ένα πείραμα λέγεται πείραμα τύχης και πότε αιτιοκρατικό;

Απάντηση

Πείραμα τύχης,λέμε κάθε πείραμα στο οποίο δεν μπορούμε να προβλέψουμε το

αποτέλεσμα, παρόλο που επαναλαμβάνεται κάτω από τις ίδιες συνθήκες.

Αιτιοκρατικό πείραμα,λέμε κάθε πείραμα στο οποίο η γνώση των συνθηκών κάτω από

τις οποίες εκτελείται καθορίζει πλήρως το αποτέλεσμά .

84) Τι λέγεται δειγματικός χώρος Ω ενός πειράματος τύχης ; Τι λέμε δυνατά

αποτελέσματα ή δυνατές περιπτώσεις ενός πειράματος τύχης ;

Απάντηση

Το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων λέγεται δειγματικός χώρος και συμβολίζεται

συνήθως με το γράμμα Ω. Αν δηλαδή κωωω ,...,, 21 είναι τα δυνατά αποτελέσματα ενός

πειράματος τύχης, τότε ο δειγματικός χώρος του πειράματος θα είναι το σύνολο:

,...,, 21 κωωωΩ .

Όλα τα αποτελέσματα που μπορούν να εμφανιστούν σε ένα πείραμα τύχης λέγονται

δυνατά αποτελέσματα ή δυνατές περιπτώσεις του πειράματος.

85) Τι λέγεται ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης; Τι λέγεται απλό και τι σύνθετο

ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης;

Απάντηση

Ενδεχόμενο ή γεγονός είναι το σύνολο που έχει ως στοιχεία ένα ή περισσότερα

αποτελέσματα ενός πειράματος τύχης .

Ένα ενδεχόμενο λέγεται απλό όταν έχει ένα μόνο στοιχείο και σύνθετο αν έχει

περισσότερα στοιχεία.

86) Πότε λέμε ότι ένα ενδεχόμενο Α ενός πειράματος τύχης πραγματοποιείται ή

συμβαίνει σε μια συγκεκριμένη εκτέλεσή του πειράματος; Τι ονομάζονται ευνοϊκές

περιπτώσεις για την πραγματοποίησή ενός ενδεχομένου;

Απάντηση

Όταν το αποτέλεσμα ενός πειράματος, σε μια συγκεκριμένη εκτέλεσή του είναι

στοιχείο ενός ενδεχομένου, τότε λέμε ότι το ενδεχόμενο αυτό πραγματοποιείται ή

συμβαίνει. Γι’αυτό τα στοιχεία ενός ενδεχομένου λέγονται και ευνοϊκές περιπτώσεις για

την πραγματοποίησή του.

38

87) Ποιο είναι το βέβαιο και ποιο το αδύνατο ενδεχόμενο ;

Απάντηση

Βέβαιο λέμε το ενδεχόμενο το οποίο πραγματοποιείται πάντοτε.Ο δειγματικός χώρος

Ω ενός πειράματος θεωρείται ότι είναι ενδεχόμενο, το οποίο μάλιστα πραγματοποιείται

πάντοτε, αφού όποιο και αν είναι το αποτέλεσμα του πειράματος θα ανήκει στο Ω.

Γι’αυτό το Ω λέγεται βέβαιο ενδεχόμενο.

Αδύνατο λέμε το ενδεχόμενο το οποίο δεν πραγματοποιείται ποτέ σε καμμιά

εκτέλεση του πειράματος τύχης.Δεχόμαστε ακόμα ως ενδεχόμενο και το κενό σύνολο

που δεν πραγματοποιείται σε καμιά εκτέλεση του πειράματος τύχης. Γι’αυτό λέμε

ότι το είναι το αδύνατο ενδεχόμενο.

88) Αν Α είναι ένα ενδεχόμενο τι συμβολίζει το N(A) ;

Απάντηση

Το πλήθος των στοιχείων ενός ενδεχομένου Α θα το συμβολίζουμε με )(AN .

89) Πότε πραγματοποιείται το ενδεχόμενο A B ; Να παραστήσετε το A B σε

ένα διάγραμμα Venn.

Απάντηση

Το ενδεχόμενο A B , πραγματοποιείται, όταν

πραγματοποιούνται συγχρόνως τα Α και Β, όπως

φαίνεται στο διπλανό σχήμα:

90) Πότε πραγματοποιείται το ενδεχόμενο A B ; Να παραστήσετε το A B σε

ένα διάγραμμα Venn.

Απάντηση

Το ενδεχόμενο BA , πραγματοποιείται, όταν

πραγματοποιείται ένα τουλάχιστον από τα Α, Β,

όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα:

91) Πότε πραγματοποιείται το αντίθετο ενδεχόμενο A′ του Α; Να παραστήσετε το

A′ σε ένα διάγραμμα Venn.

A B

Ω

BA

A B

Ω

BA

39

Απάντηση

Το ενδεχόμενο A , πραγματοποιείται, όταν δεν

πραγματοποιείται το Α.

Το A λέγεται και “αντίθετο του Α”.

93) Πότε πραγματοποιείται η διαφορά A−B του Β από το Α; Να παραστήσετε το A

−B σε ένα διάγραμμα Venn.

Απάντηση

Το ενδεχόμενο BA , πραγματοποιείται, όταν

πραγματοποιείται το Α αλλά όχι το Β.

Είναι εύκολο να δούμε ότι A B A B ,

όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα:

94) Πότε δύο ενδεχόμενα Α και Β λέγονται ασυμβίβαστα ή ξένα μεταξύ τους ;

Απάντηση

Δύο ενδεχόμενα Α και Β λέγονται ασυμβίβαστα, όταν A B . Δύο ασυμβίβαστα

ενδεχόμενα λέγονται επίσης ξένα μεταξύ τους ή αμοιβαίως αποκλειόμενα.

95. Τι ονομάζεται σχετική συχνότητα ενός ενδεχομένου Α ;

Απάντηση

Αν σε ν εκτελέσεις ενός πειράματος ένα ενδεχόμενο Α πραγματοποιείται κ φορές, τότε

ο λόγος v

κ ονομάζεται σχετική συχνότητα του Α και συμβολίζεται με Af .

96) Έστω Ω = ω1 , ω2 , … , ωλ δειγματικός χώρος και τα απλά ενδεχόμενα

ω1,ω2,…,ωλ τα οποία πραγματοποιούνται κ1 , κ2 , … , κλ φορές αντίστοιχα σε

ν εκτελέσεις του πειράματος με σχετικές συχνότητες f1 , f2 , … , f λ . Να αποδείξετε

ότι: f1 + f2 + … + f λ = 1 .

Απάντηση

Από τον ορισμό της σχετικής συχνότητας προκύπτει ότι οι συχνότητες των απλώς

ενδεχομένων είναι:

1 21 2f , f ,..., f

, άρα

1 21 21 2

...f f ... f ... 1

Ω

A΄A

A B

Ω

BA

40

97) Τι ονομάζεται στατιστική ομαλότητα ή νόμος των μεγάλων αριθμών ;

Απάντηση

Στατιστική ομαλότητα ή νόμος των μεγάλων αριθμών είναι το συμπέρασμα που

προκύπτει πειραματικά ότι οι σχετικές συχνότητες πραγματοποίησης των ενδεχομένων

ενός πειράματος σταθεροποιούνται γύρω από κάποιους αριθμούς (όχι πάντοτε ίδιους),

καθώς ο αριθμός των δοκιμών του πειράματος επαναλαμβάνεται απεριόριστα.

98) Να δώσετε τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας .

Απάντηση

Έστω 1 2, ,..., ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης, του οποίου τα

απλά ενδεχόμενα i έχουν την ίδια δυνατότητα να εμφανιστούν, δηλαδή όπως λέμε

τα απλά ενδεχόμενα είναι ισοπίθανα. Τότε ως πιθανότητα ενός ενδεχομένου Α του Ω,

ορίζουμε τον αριθμό:

ή ϊ ώ ώ

ή ώ ώ

.

99) Πως από τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας προκύπτει ότι

1, 0,0 1 ;

Απάντηση

Από τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας προκύπτει ότι:

0

1, 0

.

Για το τυχαίο ενδεχόμενο Α του Ω ισχύει ότι:

N A N0

0 N A N 0 1N A N A N A

,

100) Να δώσετε τον αξιωματικό ορισμό της πιθανότητας.

Απάντηση

Έστω 1 2 , ,..., ένας δειγματικός χώρος με πεπερασμένο πλήθος στοιχείων,

του οποίου τα απλά ενδεχόμενα δεν είναι απαραίτητα ισοπίθανα. Σε κάθε απλό

ενδεχόμενο i αντιστοιχίζουμε έναν πραγματικό αριθμό, που τον συμβολίζουμε με

i έτσι, ώστε να ισχύουν:

41

i0 1

1 2 ... 1

Τον αριθμό i ονομάζουμε πιθανότητα του ενδεχομένου i . Ως πιθανότητα του

ενδεχομένου 1 2, ,..., ορίζουμε το άθροισμα:

1 2 ...

ενώ ως πιθανότητα του αδύνατου ενδεχομένου ορίζουμε τον αριθμό 0 .

101) Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε ασυμβίβαστα μεταξύ τους ενδεχόμενα Α

και Β ισχύει ο απλός προσθετικός νόμος :

.

Απάντηση

Αν κAN )( και λBN )( , τότε το BA έχει λκ στοιχεία, γιατί αλλιώς τα Α και Β

δε θα ήταν ασυμβίβαστα. Δηλαδή, έχουμε )()()( BNANλκBAN .

Επομένως:

)(

)()(

N

BANBAP

)(

)()(

N

BNAN

)(

)(

)(

)(

N

BN

N

AN .

)()( BPAP .

102) Να αποδείξετε ότι για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και A′ ισχύει :

P(A′) = 1− P(A).

Απάντηση

Επειδή AA , δηλαδή τα Α και A είναι ασυμβίβαστα, έχουμε διαδοχικά,

σύμφωνα με τον απλό προσθετικό νόμο:

)()()( APAPAAP

)()()( APAPP

)()(1 APAP .

Οπότε )(1)( APAP .

103) Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α και Β ισχύει ο προσθετικός

νόμος :

P(A B) = P(A) + P(B) – P(A∩ B)

A B

Ω

BA

Ω

A΄A

42

Απάντηση

Για δυο ενδεχόμενα Α και Β έχουμε

N(A B) N(A) N(B) N(A B) , (1)

αφού στο άθροισμα )()( BNAN το πλήθος των

στοιχείων του BA υπολογίζεται δυο φορές.

Αν διαιρέσουμε τα μέλη της (1) με )(N έχουμε:

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

N

BAN

N

BN

N

AN

N

BAN

και επομένως P(A B) P(A) P(B) P(A B)

104. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α και Β με Α Β ισχύει :

P(A) P(B).

Απάντηση

Επειδή BA έχουμε διαδοχικά:

N(A) N(B) και )(

)(

)(

)(

N

BN

N

AN οπότε: )()( BPAP .

105) Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α και Β ισχύει :

P(A - B) = P(A) - P(ΑB).

Απάντηση

Επειδή τα ενδεχόμενα BA και BA είναι

ασυμβίβαστα και ABABA )()( , έχουμε:

P(A) P(A B) P(A B) , οπότε

P(A B) P(A) P(A B) .

107) Αποδείξτε ότι :

α) P [(A - B)(Β-Α)] = P(A) + Ρ(Β) - 2P(ΑB) .

β) Ρ(ΑΒ)΄ = 1 – Ρ(Α) – Ρ(Β) + Ρ(ΑΒ)

γ) Αν Ρ(Α) + Ρ(Β) > 1 τότε Α , Β δεν είναι ασυμβίβαστα .

A B

Ω

BA

Ω

BA

A B

Ω

BA

43

Απάντηση

α) Εφαρμόζοντας τον προσθετικό νόμο:

2

β) Για το συμπλήρωμα ενός συνόλου ισχύει: 1 , οπότε:

1 1

1

γ) Έστω ότι τα Α, Β είναι ασυμβίβαστα άρα ισχύει ότι 0 ,

άρα:

1 1 ά . Οπότε

τα Α, Β δεν είναι ασυμβίβαστα.

ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ – ΣΧΟΛΙΑ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

1. Ο κλασικός ορισμός πιθανότητας ισχύει μόνο για ισοπίθανα ενδεχόμενα

2. Ο αξιωματικός ορισμός πιθανότητας ισχύει για ισοπίθανα αλλά και για μη ισοπίθανα

ενδεχόμενα.Στις ασκήσεις βέβαια χρησιμοποιείται συνήθως στα μη ισοπίθανα

ενδεχόμενα.

3. Οι κανόνες λογισμού πιθανοτήτων ισχύουν για ισοπίθανα αλλά και για μη

ισοπίθανα ενδεχόμενα.Αυτό σημαίνει ότι για την εφαρμογή τους στις ασκήσεις δεν

είναι απαραίτητο η άσκηση να δηλώνει με ΄΄λεκτικές περιγραφές΄΄ ότι έχουμε

ισοπίθανα ενδεχόμενα.

4. Όταν ένα πείραμα εκτελείται δύο ή και περισσότερες φορές ,είναι καλό ο

προσδιορισμός του δειγματικού χώρου Ω να γίνεται με δενδροδιάγραμμα ή πίνακα

διπλής εισόδου.

5. Ο προσδιορισμός του ενδεχομένου Α μπορεί να γίνει :

Με απλή λογική

Χρησιμοποιώντας αντίστοιχους μαθηματικούς τύπους και ιδιότητες που

συσχετίζονται με το πείραμα.Αν όμως αυτό δεν είναι απλό ,τότε εξετάζουμε ένα –ένα

τα απλά ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου και ΄΄χτίζουμε΄΄ το σύνολο των ευνοικών

περιπτώσεων ,δηλαδή το ενδεχόμενο Α.

Αν P A P B A B (δηλαδή η ισότητα δύο ενδεχομένων δεν έπεται την

ισότητα των ενδεχομένων)

Αν P A A 1

Αν το Α και το Ω αποτελούνται από ισοπίθανα ενδεχόμενα με

και P A P A P A 1

44

Β ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ…ΠΡΟΣ ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Κεφάλαιο 1ο: Διαφορικός Λογισμός

1. Tι ονομάζουμε συνάρτηση ; Tι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση πραγματικής

μεταβλητής;

2. Tι λέγεται τιμή μίας συνάρτησης f στο x;

3. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α. Τι ονομάζεται εξαρτημένη και τι

ανεξάρτητη μεταβλητή της f ;

4. 'Εστω οι συναρτήσεις f , g που ορίζονται σε ένα σύνολο Α . Πως ορίζονται

I. Το άθροισμα S = f + g ; II. Η διαφορά D = f − g ; III. Το γινόμενο P = f • g;

IV. Το πηλίκο R = f /g ;

5. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α. Τι ονομάζεται γραφική

παράσταση ή καμπύλη της f σε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Oxy ;

6. Πότε ένα σημείο M(x, y) του επιπέδου των αξόνων ανήκει στην καμπύλη της

συνάρτησης f ;

7.Τι ονομάζεται εξίσωση της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f .

8.Πότε μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα και πότε γνησίως φθίνουσα σε

ένα διάστημα Δ του πεδίου

ορισμού της;

9.Πότε μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα Δ του πεδίου

ορισμού της;

10.Τι ονομάζουμε περιοχή του x1 ;

11.I. Πότε μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α λέμε ότι παρουσιάζει τοπικό

μέγιστο στο x1 ∈A;

II. Πότε μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α λέμε ότι παρουσιάζει τοπικό

ελάχιστο x2 ∈A ;

12.Τι ονομάζονται ακρότατα μίας συνάρτησης ;

13.Αν οι συναρτήσεις f και g έχουν στο όρια πραγματικούς αριθμούς, δηλαδή αν

0 0

1 2 1 2x x x x

f x και g x με ,im im

ποια είναι τα όρια :

0 0 0x x x x x x

f x g x , f x g x , f x g x ,im im im

.

0 0 0x x x x x x

f x, f x , f x

g xim im im

14.Πότε μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α λέγεται συνεχής ; Ποιο είναι το

χαρακτηριστικό γνώρισμα μιας συνεχούς συνάρτησης σε κλειστό διάστημα ;

15. Συμπληρώστε τα κενά :

45

0

ημx = .....x xim ,

0

συνx = .....x xim ,

0

εφx = .....x xim ,

0

σφx = .....x xim ,

0

xe = .....x xim ,

0

nx = .....x xim .

16. Έστω f μια συνάρτηση και ένα σημείο A(x0 , f (x0 )) της γραφικής της

παράστασης C. Ποιος είναι ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της C στο Α

17.Τι ονομάζεται παράγωγος της f στο x0 ;

18.Τι ονομάζεται ρυθμός μεταβολής του y = f (x) ως προς το x, όταν x = x0 ;

19.Τι ονομάζεται παράγωγος μια συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το Α ;

20.Τι ονομάζεται δεύτερη παράγωγος μια συνάρτησης f ;

21.Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f (x) = c είναι 0

δηλαδή ότι (c)′ = 0 .

22.Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της ταυτοτικής συνάρτησης f (x) = x είναι 1

δηλαδή ότι (x)′ = 1.

23.Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συνάρτησης f (x) = x2 είναι 2x δηλαδή ότι

(x2 )′ = 2x .

24.Να αποδείξετε ότι : η παράγωγος της συνάρτησης f (x) = x είναι

1

2x

x

, x > 0 .

25.Ποιες είναι οι παράγωγοι των συναρτήσεων ημx , συνx , ex , lnx(x>0) ;

26.Να αποδείξετε ότι (c ⋅ f (x))′ = c ⋅ f ′(x) .

27.Να αποδείξετε ότι ( f (x) + g(x))′ = f ′(x) + g ′(x) .

28.Ποιες είναι οι παράγωγοι των συναρτήσεων f (x) ⋅ g(x) ,

f x

g x, f (g(x)) ;

29.Αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και ισχύει f ′(x) > 0

(αντιστοίχως f ′(x) < 0 ) για

κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τι συμπεραίνουμε για την μονοτονία της στο Δ ;

30.Αν για μια συνάρτηση f ισχύουν f ′( x0) =0 για x0 ∈(α, β) , f ′(x) > 0 στο (α, x0 )

και f ′(x) < 0 στο (x0 , β) (αντιστοίχως f ′( x0) =0 για x0 ∈(α, β) , f ′(x) < 0 στο

(α, x0 ) και f ′(x) > 0 στο (x0 , β) ) τι συμπεραίνουμε για τα ακρότατα της f στο (α, β)

31. Να αποδείξετε ότι : 2

1 1

x x

και (εφx)΄ =

2

1

συν x

32 . Αν y = λx+ β η εφαπτόμενη της Cf στο σημείο A(xo , f(xo)) να βρείτε τα λ , β

και να συμπεράνετε τον τύπο y – f(xo) = f΄(xo) · (x – xo) που χρησιμοποιείται στη

κατεύθυνση .

Κεφάλαιο 2ο: Στατιστική

1.Τι εννοούμε με τον όρο στατιστική ;

2.Τι ονομάζεται πληθυσμός , δείγμα , και πότε ένα δείγμα θα ονομάζεται

αντιπροσωπευτικό ενός πληθυσμού;

3.Τι ονομάζονται στη στατιστική μεταβλητές και τι τιμές μίας μεταβλητής;

4.Πως διακρίνονται οι μεταβλητές ως προς τις τιμές τους;

46

5.Τι καλείται απογραφή ; Αναφέρετε δυο μειονεκτήματά της .

6. Έστω x1 < x2 < . . . < xκ , κ ≤ ν οι διαφορετικές τιμές μιας μεταβλητής Χ ,

ενός δείγματος μεγέθους v .

A . Πως ορίζονται :

α ) Η (απόλυτη) συχνότητα (νi ) της τιμής xi .

β) Η σχετική συχνότητα (fi ) της τιμής xi .

γ) Η σχετική συχνότητα(%) της τιμής xi (fi % )

δ) Η αθροιστική συχνότητα (Ni ) της τιμής xi (για ποσοτικές μεταβλητές ).

ε) Η αθροιστική σχετική συχνότητα (Fi) της τιμής xi και το αντίστοιχο

ποσοστιαίο μέγεθος (Fi %) .

Β . Συμπληρώστε τα κενά :

α) ν1 + ν2+ …+ νκ = …… β) N1 = ….. και F1 = …..

γ) ….. = Ni - Ni -1 i = 2 , 3 , …, κ . δ) ….. = Fi - F i -1 ,

i = 2 , 3 , …, κ .

ε) Nκ = ….. και Fκ = …..

7. Να αποδείξετε ότι για τη σχετική συχνότητα ισχύουν οι ιδιότητες :

I . 0 ≤ f i ≤ 1 για i =1 , 2 , ... , κ II . f1 + f2+ …+ fκ = 1

8. Τι ονομάζεται κατανομή συχνοτήτων μίας μεταβλητής με τιμές x1 , x2 ,..., xκ ;

9. Πότε χρησιμοποιείται το ραβδόγραμμα ; Να δώσετε μία περιγραφή του.

10. Πότε χρησιμοποιείται το διάγραμμα συχνοτήτων; Να δώσετε μία περιγραφή

του.

11. Πότε χρησιμοποιείται το πολύγωνο συχνοτήτων; Να δώσετε μία περιγραφή

του.

12.Πότε χρησιμοποιείται το κυκλικό διάγραμμα; Να δώσετε μία περιγραφή του.

13.Με τι είναι ίσο το τόξο αi ενός κυκλικού που αντιστοιχεί στην τιμή xi ;

14. Τι είναι το σημειόγραμμα ;

15.Τι είναι το χρονόγραμμα ή χρονολογικό διάγραμμα ;

16. Τι είναι οι κλάσεις και τα όρια των κλάσεων ;

Τι είναι η κεντρική τιμή, το πλάτος και η συχνότητα μίας κλάσης ;

17. Τι είναι το ιστόγραμμα συχνοτήτων ; Πως κατασκευάζεται ; Τι είναι το

πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων ;

18. Ποια είναι η αριθμητική τιμή του εμβαδού του χωρίου που ορίζεται από το

πολύγωνο συχνοτήτων και τον οριζόντιο άξονα;

19 Τι ονομάζεται καμπύλη συχνοτήτων ;

20. Τι λέγεται ομοιόμορφη κατανομή και ποια η καμπύλη συχνοτήτων της ;

21 . Τι λέγεται κανονική κατανομή και ποια η καμπύλη συχνοτήτων της ;

22. Ποιά κατανομή λέγεται ασύμμετρη; Ποια είναι τα είδη ασυμμετρίας ;Σχεδιάστε

τις καμπύλες συχνοτήτων τους .

23.Τι καλούμε μέτρα θέσης ;

24 .Τι καλούμε μέτρα διασποράς ;

25 .Τι καλούνται μέτρα ασυμμετρίας ;

26. Πως ορίζεται η μέση τιμή μίας ποσοτικής μεταβλητής Χ , σε ένα δείγμα τιμών

t1 , t2 , ... , tν μεγέθους ν ;

27. Πως εκφράζεται η μέση τιμή μίας ποσοτικής μεταβλητής Χ , σε ένα δείγμα

τιμών x1 , x2 , ... , xκ μεγέθους ν , με αντίστοιχες συχνότητες ν1 ,ν2 ,..., νκ ;

28. Τι ονομάζουμε σταθμισμένο αριθμητικό μέσο ή σταθμικό μέσο των τιμών

47

x1 , x2 ,..., xν με συντελεστές στάθμισης (βαρύτητας) w1 ,w2 ,..., wν ;

29. Πως εκφράζεται η μέση τιμή μίας ποσοτικής μεταβλητής Χ , σε ένα δείγμα

τιμών x1 ,x2 ,..., xκ , μεγέθους ν από τις τιμές της μεταβλητής και τις σχετικές

συχνότητές τους f1 , f2 , … , fκ ;

30. Πως ορίζεται η διάμεσος (δ) ενός δείγματος ν παρατηρήσεων οι οποίες έχουν

διαταχθεί κατά αύξουσα σειρά ;

31.Τι ονομάζεται εύρος ή κύμανση (R) μιας κατανομής ; Αναφέρατε ένα σημαντικό

μειονέκτημά του .

32.Δείξτε ότι ο αριθμητικός μέσος των αποκλίσεων των παρατηρήσεων ενός

δείγματος από τη μέση τιμή του είναι ίσος με το μηδέν .

33.Τι ονομάζεται διακύμανση ή διασπορά (s²) μιας κατανομής (σε ένα δείγμα τιμών

t1 , t2 ,..., tv μεγέθους ν);

34.Αναφέρετε ένα σημαντικό μειονέκτημα της διακύμανσης εξαιτίας του οποίου

προτιμάμε την θετική ρίζα της .

35.Τι ονομάζεται τυπική απόκλιση (s) μιας κατανομής ;

36. Αν η μεταβλητή Χ ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέση τιμή ( x ) και

τυπική απόκλιση (s) , να αναφέρετε το ποσοστό των παρατηρήσεων που βρίσκεται

στο διάστημα :i) ( x − s, x + s) ii) ( x − 2s, x + 2s) iii) ( x −

3s, x + 3s)

37. Ποιο είναι κατά προσέγγιση το εύρος R μίας κανονικής κατανομής ;

38. Πως ορίζεται ο συντελεστής μεταβολής ή συντελεστής μεταβλητότητας CV ;

39.Πως συγκρίνονται ως προς την ομοιογένεια δύο δείγματα Α, Β με βάση τους

συντελεστές μεταβολής ;

40.Πότε ένα δείγμα τιμών μιας μεταβλητής θα είναι ομοιογενές ;

41.Από τα x , δ , s , s2 , R ποια είναι μέτρα θέσης και ποια μέτρα διασποράς ;

42. α) i i yΑν y = x +c τοτε : y= ..... και S .....

β) i i yΑν y =λx τοτε : y = ..... και S = .....

43. Αποδείξτε τους παρακάτω τύπους : k k

2 22 2i i

i=1 i=1

f fi is x x x x για ένα

δείγμα τιμών x1 ,x2 ,..., xκ ,μεγέθους ν , με αντίστοιχες σχετικές συχνότητες

f1 , f2 , ... , fκ .

44. Πως ορίζεται η διάμεσος σε ομαδοποιημένα δεδομένα ;

Κεφάλαιο 3ο: Πιθανότητες

1. Πότε ένα πείραμα λέγεται πείραμα τύχης και πότε αιτιοκρατικό ;

2 . α)Τι λέγεται δειγματικός χώρος Ω ενός πειράματος τύχης ;

β)Τι λέμε δυνατά αποτελέσματα ή δυνατές περιπτώσεις ενός πειράματος τύχης ;

3. Τι λέγεται ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης ;

4. Τι λέγεται απλό και τι σύνθετο ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης ;

5. Πότε λέμε ότι ένα ενδεχόμενο Α ενός πειράματος τύχης πραγματοποιείται ή

συμβαίνει σε μια συγκεκριμένη εκτέλεσή του πειράματος ;

6.Τι ονομάζονται ευνοϊκές περιπτώσεις για την πραγματοποίησή ενός ενδεχομένου;

48

7.Ποιο είναι το βέβαιο και ποιο το αδύνατο ενδεχόμενο ;

8. Αν Α είναι ένα ενδεχόμενο τι συμβολίζει το N(A) ;

9. Πότε πραγματοποιείται το ενδεχόμενο A∩ B ; Να παραστήσετε το A∩B σε ένα

διάγραμμα Venn .

10. Πότε πραγματοποιείται το ενδεχόμενο A B ; Να παραστήσετε το A B σε ένα

διάγραμμα Venn.

11. Πότε πραγματοποιείται το αντίθετο ενδεχόμενο A′ του Α ; Να παραστήσετε το

A σε ένα διάγραμμα Venn.

12.Πότε πραγματοποιείται η διαφορά A−B του Β από το Α ;Να παραστήσετε το

A B σε ένα διάγραμμα Venn.

13. Πότε δύο ενδεχόμενα Α και Β λέγονται ασυμβίβαστα ή ξένα μεταξύ τους ;

14 .Τι ονομάζεται σχετική συχνότητα ενός ενδεχομένου Α ;

15.Έστω Ω = ω1 , ω2 , … , ωλ δειγματικός χώρος και τα απλά ενδεχόμενα

ω1,ω2,…,ωλ τα οποία πραγματοποιούνται κ1 , κ2 , … , κλ φορές αντίστοιχα

σε ν εκτελέσεις του πειράματος με σχετικές συχνότητες f1 , f2 , … , f λ .

Δείξτε ότι f1 + f2 + … + f λ = 1 .

16.Τι ονομάζεται στατιστική ομαλότητα ή νόμος των μεγάλων αριθμών ;

17.Να δώσετε τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας .

18. Πως από τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας προκύπτει ότι P(Ω) =1 , P(Ø) =1

,

0 ≤ P(A) ≤ 1 ;

19. Να δώσετε τον αξιωματικό ορισμό της πιθανότητας .

20. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε ασυμβίβαστα μεταξύ τους ενδεχόμενα Α

και Β ισχύει ο απλός προσθετικός νόμος : P(A ∪B) = P(A) + P(B)

21. Να αποδείξετε ότι για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και A′ ισχύει :

P(A′) = 1− P(A) .

22 . Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α και Β ισχύει ο προσθετικός

νόμος : P(A B) = P(A) + P(B) – P(A∩ B)

23 . Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α και Β με Α Β ισχύει :

P(A) P(B) .

24 . Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α και Β ισχύει :

P(A - B) = P(A) - P(ΑB) .

25 . Αποδείξτε ότι :

α) P[(A - B)(Β-Α)] = P(A) + Ρ(Β) - 2P(ΑB) .

β) Ρ(ΑΒ)΄ = 1 – Ρ(Α) – Ρ(Β) + Ρ(ΑΒ)

γ) max P(A) , P(B) Ρ(ΑΒ) min 1 , Ρ(Α) + Ρ(Β)

δ) max 0 , P(A) + P(B) – 1 Ρ(ΑΒ) min Ρ(Α) , Ρ(Β)

ε) Αν Ρ(Α) + Ρ(Β) > 1 τότε Α , Β όχι ασυμβίβαστα .

26.Διατυπώστε τον απλό προσθετικό νόμο για τρία ενδεχόμενα Α , Β , Γ ενός

δειγματικού χώρου Ω

49

Γ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ

Κεφάλαιο 1ο: Διαφορικός Λογισμός

Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) καθεμία από τις

παρακάτω προτάσεις :

1. Η σχέση f, με τύπο f (x) =1 , αν x ρητός

0 , αν x άρρητος

είναι συνάρτηση.

2. Η σχέση x2 + y2 = 1 όπου x, y ∈ R, είναι συνάρτηση.

3. Η σχέση h με τύπο h (t) = ±2t , t ∈ R+, είναι συνάρτηση.

4. Αν για μια συνάρτηση f, που έχει πεδίο ορισμού το Α ⊆ R, ισχύει f (x) = f (y) για

κάποια x, y ∈ A, τότε x = y. 5. Aν οι συναρτήσεις f, g ορίζονται και οι δύο σ’ ένα σύνολο Α, τότε και η συνάρτηση f

+ g ορίζεται στο Α. 6. Aν οι συναρτήσεις f, g ορίζονται και οι δύο σ’ ένα σύνολο Α, τότε και η συνάρτηση

f

g ορίζεται στο Α.

7. Μια συνάρτηση γνησίως μονότονη είναι πάντοτε γνησίως αύξουσα.

8.Αν f (x) x 3 4 , τότε f (x ) x 2 23 4 .

9.Αν f (x )x

2 1

1, τότε η παράσταση f ( )

4 είναι ίση με 0.

10.Η συνάρτηση log x

f (x)x

1 ορίζεται για x 1 .

11.Αν για μια συνάρτηση f, ορισμένη στο R, ισχύει f ( ) f ( )1 2 , τότε η f είναι γνησίως

φθίνουσα.

12.Αν f (x) f ( ), x R 2 , τότε το f ( )2 είναι ελάχιστο.

13.Αν f (x) , x R 7 τότε το 7 είναι μέγιστο.

14.Η γραφική παράσταση της f x x 5 1 είναι πάνω από τον άξονα των x.

15.Η συνάρτηση f (x)x

2

1

4 έχει πεδίο ορισμού το R.

16.Αν xf (x) 10 , τότε f (x) f ( x) 2 f (x)f ( x) 2

50

17.Αν f (x) x ,g(x) x 3 2 , τότε f x

(x)g x

3

2.

18.Η συνάρτηση x x

f (x)x

3

είναι συνεχής στο μηδέν.

19.Η συνάρτηση x x

f (x)x

3

είναι συνεχής στο x 0 1 .

20.Η συνάρτηση x

f (x)x

2

2

2 1

1 έχει όριο στο π τον αριθμό -1.

21.Ισχύει πάντοτε x x x xlim f (x) g(x) lim f (x)

0 0 x x

lim g(x)

0

.

22.Ισχύει x xlim x x

0

0 .

23.Η συνάρτηση x

f (x)x

25

5 δεν έχει όριο στο x 0 5 .

24.Ισχύει x

lim

24 8

.

25.Δίνεται η συνάρτηση x

f (x)x

3

1

1 είναι ορισμένη για x>1. Τότε

xlimf (x)

0

1 .

26.Κάθε πολυωνυμική συνάρτηση είναι συνεχής.

27.Η συνάρτηση f (x) =1

x, x > 0, είναι συνεχής.

28.Η έννοια της συνέχειας μιας συνάρτησης αναφέρεται μόνο σε σημεία του πεδίου ορισμού της.

29.Μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού το Α, λέγεται συνεχής, αν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του συνόλου Α.

30.Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διά στημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε σημεία x1, x2 ∈ Δ με x1 < x2 ισχύει f (x1) f (x2).

31.Αν x 1limf (x)

=x 1limg(x)

=0, τότε και x 1

f (x)lim 0

g(x)

32.Ισχύει 0 0 0x x x x x x

lim (f (x)g(x)) lim f (x) lim g(x)

33.Ο κύκλος είναι γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x)= 2 2ρ -x , όπου ρ>0

34.Η γραφική παράσταση της συνάρτησης |f| βρίσκεται κάτω από τον άξονα x x.

51

35.Αν το σύνολο τιμών της f είναι το διάστημα (α, β), τότε η f δεν έχει ελάχιστο ούτε μέγιστο.

36.Δίνεται η συνάρτηση y = f (x). Οι τετμημένες των σημείων τομής της Cf με τον άξονα

x ΄x μπορούν να βρεθούν, αν θέσουμε όπου y = 0 και λύσουμε την εξίσωση.

37.Η συνάρτηση f (x) =1

x είναι γνησίως φθίνουσα στο σύνολο (- , 0) α (0, + ).

38.Αν f : Α και x0 Α , τότε 0x x

lim f (x)

=f(x0)

39.Αν 0x x

lim[f (x) g(x)]

τότε υπάρχει το 0x x

lim f (x)

και το 0x x

lim g(x)

40.Αν η f : Α έχει όριο στο x0 Α , τότε αυτό είναι μοναδικό

41.Αν 0x x

lim f (x)

=0 , τότε και 0

2014

x xlim f (x)

=0

42.Aν οι τιμές των f και g είναι άνισες , τότε και τα όριά τους στο x0 είναι ομοίως άνισα

44.Υπάρχουν συναρτήσεις με θετικές τιμές κοντά στο 0, που το όριό τους είναι 0

45.Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη, τότε η εξίσωση f(x)=0 έχει το πολύ μία ρίζα

46.Για κάθε x 0 ισχύει ότι 2

1 1

x x

46.Αν f ,g είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις τότε

f x g x f x g x f x g x

47.Αν f ,g είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις τότε

2

f x f x g x f x g x

g x g x

48.Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγωγίσιμη σε ένα διάστημα και f x 0 για κάθε

x εσωτερικό του ,τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το .

49. Ισχύει ότι x x x x

50. Αν f ,g είναι συναρτήσεις ορισμένες και παραγωγίσιμες στο R ,τότε

f g x f g x g x

51.Αν f (x) x , τότε f ( ) 2014 1 .Λ

52.Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη, τότε ο συντελεστής διεύθυνσης της

εφαπτομένης της καμπύλης στο σημείο A x ,f (x )0 0 είναι f (x )0 .

52

53.Η συνάρτηση f (x) x είναι παραγωγίσιμη στο μηδέν.

54.Ισχύει h

f (x h) f (h)f (x ) lim

h

0

00

.

55.Αν y x 2 , τότε ο ρυθμός μεταβολής της y ως προς x όταν x=1002 είναι ίσος με

2004.

56.Η εξίσωση της εφαπτομένης της y f (x) , στο σημείο της A x ,f (x )0 0 , είναι

y f (x ) f (x ) x x 0 0 0 .

57.Αν x f (t) είναι η συνάρτηση θέσης ενός κινητού, τότε η ταχύτητα του κινητού τη

χρονική στιγμή t0 είναι ίση με f (t )0 .

58.Αν η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο x0 τότε δεν μπορεί να είναι παραγωγίσίμη

στο x0 .

59.Αν η ευθεία y x είναι εφαπτόμενη της καμπύλης y f (x) στο σημείο της

A x ,f (x )0 0 τότε f (x ) 0 .

60.Αν μια συνάρτηση f ισχύει f ( ) , f ( ) 0 0 0 1 ,τότε η εξίσωση της εφαπτομένης

στο σημείο (0,0) είναι η y x .

61.Αν f (x) x και g(x) x , τότε f (x) g (x)

2 2 0 .

62.Η συνάρτηση του παρακάτω σχήματος είναι συνεχής στο x0 .

63.Αν f (x) x , τότε f x f x .

64.Αν για τις συναρτήσεις f και g ισχύει f ( ) g( ) a 2 2 και f ( ) g ( ) 2 2 , τότε

f( )

g

2 0 .

65.Ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης θέσης ενός κινητού είναι ίσος με την επιτάχυνση του κινητού.

66.Ισχύει

4 34 .

67.Είναι

h

hlim

h

100

0

1 1100 .

53

67.Για την συνάρτηση του παρακάτω σχήματος ισχύει f ( ) 3 1 .

68.Για τη συνάρτηση του παρακάτω σχήματος ισχύει f ( ) f ( )

f ( ) f ( )

1 12

4 4.

69.Αν f (x) x , τότε f (x) x 21 .

70.Ισχύει f (x) f (x)f (x)

3 23 .

71.Αν f (x) x x 2

2 3 , τότε

α) Το f ( )2 είναι τοπικό μέγιστο της f.

β) Το f ( )3 είναι τοπικό ελάχιστο της f.

72.Αν f (x ) 0 0 , τότε η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατα για x x 0 .

73.Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της f μιας συνάρτησης f.

α) Για x 2 η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο.

β) Για x 4 η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο.

γ) Για x 3 η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο.

δ) Στο διάστημα [1,3] η f είναι γνησίως φθίνουσα.

ε) Στο διάστημα [-2,2] η f είναι γνησίως αύξουσα.

74.Η συνάρτηση f (x) x 3 παρουσιάζει ακρότατο για x 0 .

54

75.Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της παραγώγου f μιας συνάρτησης f.

α) Για κάθε x [ , ] 0 2 η f είναι γνησίως αύξουσα.

β) Ισχύει f ( ) 1 0 .

γ) Ισχύει f ( ) 0 3 .

δ) Για x 2 η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο.

ε) Ισχύει f ( ) f ( )3 5 .

76.Για την συνάρτηση xef x e με x R ,ισχύει ότι

xef x e

77.Για την συνάρτηση ln xf x e με x 0 ,ισχύει ότι f x 1

78.Για την συνάρτηση xf x ln e με x R ,ισχύει ότι x

1f x

e

79.Αν υπάρχουν τα όρια των f ,g στο 0x ,τότε 0x x

lim f x g x 0

80.Αν xf x e 1 ,τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο R .

Κεφάλαιο 2ο: Στατιστική

Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) καθεμία από τις

παρακάτω προτάσεις :

1.Ο όρος «πληθυσμός» στη Στατιστική, δεν αναφέρεται οπωσδήποτε σε φυσικά

πρόσωπα.

2. Ένα δείγμα είναι αντιπροσωπευτικό, αν προκύπτει από τελείως τυχαία επιλογή χωρίς

κριτήρια.

3. Η συχνότητα μιας μεταβλητής είναι πάντα φυσικός αριθμός.

4. Η σχετική συχνότητα είναι αριθμός μεταξύ 0 και 1.

5. Η σχετική αθροιστική συχνότητα προκύπτει σαν λόγος της αθροιστικής συχνότητας

προς το σύνολο των στοιχείων του δείγματος.

6. Το κυκλικό διάγραμμα χρησιμοποιείται μόνο για ποσοτικές μεταβλητές .

7. Μια ποιοτική μεταβλητή μπορεί να είναι διακριτή ή συνεχής.

8. Το ραβδόγραμμα χρησιμοποιείται μόνο για ποιοτικές μεταβλητές.

9. Το χρώμα κάθε αυτοκινήτου είναι ποιοτική μεταβλητή.

55

10. Ο αριθμός των ανθρώπων που παρακολουθούν μια συγκεκριμένη τηλεοπτική

εκπομπή είναι διακριτή ποσοτική μεταβλητή.

11. Ο αριθμός των απουσιών των μαθητών της Γ΄ Λυκείου είναι συνεχής ποσοτική

μεταβλητή.

12. Συχνότητα νi της τιμής xi μιας μεταβλητής Χ είναι ο φυσικός αριθμός, που δείχνει

πόσες φορές εμφανίζεται η τιμή xi της μεταβλητής αυτής.

13. Το άθροισμα όλων των συχνοτήτων μιας κατανομής είναι ίσο με 1.

14. Η συχνότητα της τιμής xi μιας μεταβλητής Χ είναι αρνητικός αριθμός.

15. Αν διαιρέσουμε τη συχνότητα νi μιας μεταβλητής Χ με το μέγεθος ν του δείγματος,

προκύπτει η σχετική συχνότητα fi της τιμής xi.

16. Το άθροισμα όλων των σχετικών συχνοτήτων μιας κατανομής είναι ίσο με το

μέγεθος ν του δείγματος.

17. Το σύνολο των ζευγών (xi, fi), όπου fi η σχετική συχνότητα της τιμής xi, αποτελεί

την κατανομή των σχετικών συχνοτήτων.

18.Οι αθροιστικές συχνότητες Νi και οι αθροιστικές σχετικές συχνότητες Fi μιας

κατανομής χρησιμοποιούνται μόνο στην περίπτωση των ποιοτικών μεταβλητών.

19.Οι αθροιστικές συχνότητες Νi μιας κατανομής εκφράζουν το πλήθος των

παρατηρήσεων που είναι μικρότερες

ή ίσες της τιμής xi.

20. Οι αθροιστικές σχετικές συχνότητες Fi μιας κατανομής εκφράζουν το ποσοστό των

παρατηρήσεων που είναι μεγαλύτερες ή ίσες της τιμής xi.

21. Το ραβδόγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση των τιμών μιας

ποσοτικής μεταβλητής.

22. Όταν θέλουμε να κάνουμε τη γραφική παράσταση των τιμών της μεταβλητής Χ:

“αριθμός αδελφών μαθητών της Γ΄ Λυκείου” χρησιμοποιούμε το διάγραμμα

συχνοτήτων

23. Το κυκλικό διάγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση μόνο ποιοτικών

δεδομένων.

24. Το κυκλικό διάγραμμα είναι ένας κυκλικός δίσκος χωρισμένος σε κυκλικούς τομείς

τα εμβαδά των οποίων είναι αντιστρόφως ανάλογα προς τις αντίστοιχες συχνότητες νi.

25. Το σημειόγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική απεικόνιση της διαχρονικής

εξέλιξης μιας εξεταζόμενης μεταβλητής.

26. Tο διπλανό σχήμα είναι ένα χρονόγραμμα.

56

27. Όταν το πλήθος των τιμών μιας μεταβλητής είναι αρκετά μεγάλο είναι απαραίτητο

να ταξινομηθούν τα δεδομένα σε κλάσεις.

28. Πλάτος κλάσης ενός δείγματος ονομάζεται το άθροισμα του κατώτερου και του

ανώτερου ορίου της κλάσης.

29. Όταν ο αριθμός των κλάσεων για μια συνεχή μεταβλητή είναι αρκετά μικρός και το

πλάτος των κλάσεων είναι αρκετά μεγάλο τότε η πολυγωνική γραμμή συχνοτήτων

τείνει να πάρει τη μορφή μιας ομαλής καμπύλης, η οποία ονομάζεται καμπύλη

συχνοτήτων.

30. Η κατανομή συχνοτήτων με “κωδωνοειδή” μορφή

λέγεται κανονική κατανομή.

31. Η διπλανή κατανομή

είναι ασύμμετρη με

αρνητική ασυμμετρία.

32. Σε όλες τις περιπτώσεις οι κλάσεις

όλες το ίδιο πλάτος.

33. Το εύρος του δείγματος χρησιμοποιείται

κλάσεις.

34. Οι παρατηρήσεις κάθε κλάσης ενός δείγμ

τις κεντρικές τιμές τους.

35. Το κέντρο κάθε κλάσης ενός δείγματος ισ

κλάσης.

36. Η απόσταση των κεντρικών τιμών ισοπλα

το πλάτος των κλάσεων αυτών.

37. Η γραφική παράσταση ενός πίνακα συχνο

δεδομένα γίνεται με το ιστόγραμμα συχνοτήτ

38. Στο ιστόγραμμα συχνοτήτων κατασκευάζ

οποία έχει εμβαδόν ίσο με τη σχετική συχνότ

39. Τα διαστήματα που ορίζουν κλάσεις είνα

40.. Η μέση τιμή και η διάμεσος μιας κατανο

41. Τα μέτρα διασποράς μιας κατανομής είνα

42.Όταν σε μια κατανομή υπάρχουν «ακραίε

θέσης από τη μέση τιμή.

43. Δύο διαφορετικά δείγματα με ίσες όμως α

την ίδια διασπορά.

44. Ο σταθμικός μέσος χρησιμοποιείται σε ό

αριθμητικός μέσος.

ενός δείγματος έχουν

για να κατασκευάσουμε ισοπλατείς

ατος μπορούν να αντιπροσωπευθούν από

ούται με την ημιδιαφορά των άκρων της

τών κλάσεων ενός δείγματος ισούται με

τήτων μιας κατανομής με ομαδοποιημένα

ων.

ουμε διαδοχικά ορθογώνια καθένα από τα

ητα της κάθε κλάσης.

ι κλειστά αριστερά και ανοικτά δεξιά.

μής είναι μη αρνητικοί αριθμοί.

ι μη αρνητικοί αριθμοί.

ς» τιμές, η διάμεσος είναι καλύτερο μέτρο

ποστάσεις μεταξύ των τιμών τους , έχουν

λες τις περιπτώσεις όπως και ο

57

45. Διάμεσος (δ) ενός δείγματος ν παρατηρήσεων είναι η τιμή για την οποία το πολύ

50% των παρατηρήσεων είναι μικρότερες και το πολύ 50% των παρατηρήσεων είναι

μεγαλύτερες από την τιμή αυτή.

46. Διάμεσος (δ) ενός δείγματος ν παρατηρήσεων οι οποίες έχουν διαταχθεί σε

αύξουσα σειρά ορίζεται ως η μεσαία παρατήρηση, όταν ο ν είναι περιττός.

47. Διάμεσος (δ) ενός δείγματος ν παρατηρήσεων οι οποίες έχουν διαταχθεί σε

αύξουσα σειρά ορίζεται η ημιδιαφορά των δύο μεσαίων παρατηρήσεων, όταν ο ν είναι

άρτιος αριθμός.

48. Η διάμεσος (δ) ενός δείγματος είναι ένα μέτρο διασποράς.

49. Η μέση τιμή ενός συνόλου ν παρατηρήσεων είναι ένα μέτρο θέσης.

50. Έχουμε τις παρατηρήσεις: 0, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 4, 5. Η διάμεσος είναι 2.

51. Ο συντελεστής μεταβολής ή συντελεστής μεταβλητότητας (CV) είναι ανεξάρτητος

από τις μονάδες μέτρησης.

52. Ο συντελεστής μεταβλητότητας εκφράζει τη μεταβλητότητα των δεδομένων

απαλλαγμένη από την επίδραση της

μέσης τιμής.

53. Ο συντελεστής μεταβλητότητας (CV) παριστάνει ένα μέτρο σχετικής διασποράς.

54. Ένα δείγμα τιμών μιας μεταβλητής είναι ομοιογενές αν ο συντελεστής μεταβολής

ξεπερνά το 10%.

55. Αν οι παρατηρήσεις εκφράζονται σε cm και η διακύμανση εκφράζεται σε cm.

56. Τα μέτρα διασποράς εκφράζουν τις αποκλίσεις των τιμών μιας γύρω από τα μέτρα

κεντρικής τάσης.

57. Το εύρος ή κύμανση (R) ενός δείγματος ν παρατηρήσεων ορίζεται ως το άθροισμα

της μεγαλύτερης και της

μικρότερης παρατήρησης.

58. Το εύρος ενός δείγματος βασίζεται στις δύο ακραίες παρατηρήσεις και είναι

αξιόπιστο μέτρο διασποράς.

59. Η διακύμανση ή διασπορά είναι ο μέσος όρος των τετραγώνων των αποκλίσεων

των παρατηρήσεων ti από τη μέση τιμή τους x .

60. Τα μέτρα θέσης δίνουν τη θέση του “κέντρου” των παρατηρήσεων στον

κατακόρυφο άξονα Oy.

61. Τα μέτρα διασποράς μας δίνουν πόσο επεκτείνονται οι παρατηρήσεις γύρω από το

“κέντρο” τους.

62. Τα μέτρα ασυμμετρίας καθορίζουν τη μορφή της κατανομής.

58

63. Τα μέτρα ασυμμετρίας εκφράζονται μόνο σε συνάρτηση με τα μέτρα θέσης.

64. Για τον υπολογισμό της διαμέσου μιας κατανομής δε χρησιμοποιούνται όλες οι τιμές

της κατανομής.

65. Η τυπική απόκλιση εκφράζεται σε μονάδα που είναι το τετράγωνο της αρχικής

μονάδας μέτρησης του χαρακτηριστικού της μεταβλητής.

66. Η διάμεσος μιας κατανομής δεν επηρεάζεται από ακραίες τιμές.

67. Η διάμεσος δεν ορίζεται σε ομαδοποιημένα δεδομένα.

68. Η τυπική απόκλιση μπορεί να πάρει και αρνητικές τιμές.

69. Στην περίπτωση που μία κατανομή είναι «συμμετρική» οι τιμές της μέσης τιμής και

της διαμέσου συμπίπτουν

70. Η μέση τιμή υπολογίζεται και στα ποιοτικά δεδομένα.

71. Ο σταθμικός μέσος χρησιμοποιείται στις περιπτώσεις που δίνεται διαφορετική

βαρύτητα στις τιμές ενός συνόλου δεδομένων.

72. Ο συντελεστής μεταβολής είναι ανεξάρτητος από τις μονάδες μέτρησης.

73. Κατά την ομαδοποίηση των παρατηρήσεων μιας κατανομής για τον υπολογισμό της

μέσης τιμής, x χάνουμε λίγο σε ακρίβεια κερδίζουμε όμως σε χρόνο.

74. Το εύρος μιας κατανομής δεν ορίζεται για ομαδοποιημένα δεδομένα.

75. Ο συντελεστής μεταβολής CV παριστάνει ένα μέτρο απόλυτης διασποράς.

76. Εάν η τυπική απόκλιση των βαθμολογιών σε μία ομάδα μαθητών είναι μεγαλύτερη

από την αντίστοιχη τυπική απόκλιση των βαθμολογιών σε μια άλλη τάξη μαθητών,

τότε είναι δεδομένο ότι και ο συντελεστής μεταβολής θα δίνει μεγαλύτερη διασπορά

στην πρώτη ομάδα μαθητών.

77. Κάθε δείγμα έχει συντελεστή μεταβολής.

78. Ο τύπος s

CVx

ισχύει και όταν x <0

79. Ο CV έχει ως μονάδα μέτρησης την ίδια με τις παρατηρήσεις

80. Ένα δείγμα είναι ομοιογενές αν και μόνον αν έχει CV=50%

81. Όταν ορίζεται ο CV, τότε πάντα είναι CV 100%

82. Είναι δυνατόν να έχουμε και CV<0

83.. Ένα δείγμα είναι ομοιογενές, αν η διακύμανση του είναι το πολύ το 1/10 της μέσης

τιμής του.

84.. Η ομοιογένεια μετριέται σε ίδιες μονάδες με την τυπική απόκλιση.

85. Η μέση τιμή και η διάμεσος έχουν την ίδια μονάδα.

59

86. Η σχετική συχνότητα εμφάνισης μιας τιμής σε ένα πείραμα τύχης, ισούται με την

πιθανότητα πραγματοποίησης του αντίστοιχου ενδεχομένου.

87. Μια κατανομή χαρακτηρίζεται κανονική όταν η διάμεσος συμπίπτει με τη μέση

τιμή.

88. Το εύρος έχει τις ίδιες μονάδες με τα στοιχεία του δείγματος.

89. Υπάρχουν σειρές δεδομένων για τις οποίες δεν ορίζεται ο συντελεστής μεταβολής.

90. Όταν προσθέσουμε μια σταθερά στις παρατηρήσεις μιας μεταβλητής τότε η μέση

τιμή και η τυπική απόκλιση αυξάνουν κατά τη σταθερά αυτή.

91. Όταν πολλαπλασιάσουμε τις τιμές μιας μεταβλητής επί μια σταθερά, τότε η μέση

τιμή πολλαπλασιάζεται επί την ίδια σταθερά.

92.Η μεταβλητότητα ενός δείγματος δεν επηρεάζεται από τη μέση τιμή του.

93. Η αθροιστική σχετική συχνότητα της τελευταίας παρατήρησης ενός δείγματος είναι

ίση με 1

94. Ο συντελεστής μεταβλητότητας ενός δείγματος μπορεί να είναι και αρνητικός

αριθμός εφ’ όσον η μέση τιμή είναι αρνητική.

95. Ένα δείγμα χαρακτηρίζεται πιο ομοιογενές σε σχέση με ένα δεύτερο αν έχει

μεγαλύτερο συντελεστή μεταβλητότητας από το δεύτερο.

96. Το εμβαδόν του πολυγώνου των σχετικών αθροιστικών % συχνοτήτων ισούται

πάντα με 100, εφόσον το πλάτος κάθε κλάσης θεωρηθεί ίσο με 1.

97. Ο συντελεστής μεταβολής μπορεί να παίρνει και τιμές πάνω από 100%.

98. Ο συντελεστής μεταβολής είναι μέτρο διασποράς.

99. Αν όλες οι τιμές ενός δείγματος πολλαπλασιαστούν με τον ίδιο αριθμό, η τυπική

απόκλιση του δείγματος πολλαπλασιάζεται με τον ίδιο αριθμό.

100. Αν σε όλες τις τιμές μιας κανονικής κατανομής προσθέσουμε τον ίδιο αριθμό, η

κατανομή παραμένει κανονική.

101. Σε μια κατανομή με θετική ασυμμετρία, η μέση τιμή είναι μεγαλύτερη της

διαμέσου.

102 Η διάμεσος ν απλών παρατηρήσεων είναι πάντα μια από τις παρατηρήσεις.

103 Αν η διάμεσος ν σε πλήθος ακέραιων αριθμών είναι ακέραιος, τότε το πλήθος των

παρατηρήσεων είναι περιττός.

104. Για τη μέση τιμή ν παρατηρήσεων ισχύει η σχέση: i ii 1

x f x

, όπου fi η σχετική

συχνότητα κάθε τιμής και ν το πλήθος τους.

105. Ο συντελεστής μεταβολής είναι μέτρο σχετικής διασποράς μιας κατανομής.

106. Το εύρος και η διάμεσος είναι μέτρα θέσης μιας κατανομής.

107. Η τυπική απόκλιση μιας κατανομής μπορεί να είναι μηδέν.

108. Το ιστόγραμμα παριστάνει γραφικά μόνο ομαδοποιημένα δεδομένα.

109.Αν όλες οι παρατηρήσεις ενός δείγματος πολλαπλασιαστούν με τον ίδιο αρνητικό

αριθμό, ο συντελεστής μεταβολής, εφόσον ορίζεται, παραμένει σταθερός.

110. Όσο μεγαλώνει ο συντελεστής μεταβολής ενός δείγματος, τόσο περισσότερο

ομοιογενές γίνεται το δείγμα.

60

111. Δύο δείγματα που έχουν ίδιο πλήθος τιμών, ίδιο εύρος και ίδια μέση τιμή, έχουν

και την ίδια διακύμανση.

112. Δύο δείγματα που έχουν το ίδιο πλήθος τιμών και την ίδια διακύμανση έχουν και

την ίδια μέση τιμή.

Κεφάλαιο 3ο: Πιθανότητες

Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) καθεμία από τις παρακάτω

προτάσεις :

1. Η τυχαία επιλογή ενός πραγματικού αριθμού είναι πείραμα τύχης.

2. Δύο ενδεχόμενα είναι ασυμβίβαστα αν η τομή τους είναι το κενό σύνολο.

3. Σε ασυμβίβαστα ενδεχόμενα, δεν ισχύει ο προσθετικός νόμος.

4. Δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα είναι και ασυμβίβαστα.

5. Τα ενδεχόμενα είναι σύνολα, ενώ οι πιθανότητες είναι μη αρνητικοί αριθμοί.

6. Ο κλασικός ορισμός της πιθανότητας ισχύει μόνο για ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα.

7. Ο προσθετικός νόμος ισχύει μόνο για ισοπίθανα ενδεχόμενα.

8. Ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης μπορεί να έχει άπειρο πλήθος στοιχείων.

9. Αν η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ένα τουλάχιστον από τα ενδεχόμενα Α ή Β

ισούται με 1, τότε τα ενδεχόμενα Α και Β είναι συμπληρωματικά.

10. Η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ένα ακριβώς από δύο ενδεχόμενα είναι

μικρότερη ή ίση από την πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ένα τουλάχιστον από τα δύο

ενδεχόμενα.

11. Αν η πιθανότητα να μη συμβεί ένα ενδεχόμενο είναι ίση με την πιθανότητα να

συμβεί, τότε η πιθανότητα να συμβεί ισούται με 0,5.

12. Η πιθανότητα να μην πραγματοποιηθεί κανένα από δύο ενδεχόμενα, είναι

συμπληρωματική της πιθανότητας να πραγματοποιηθεί ένα τουλάχιστον από αυτά.

13. Αν Ω είναι δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης, τότε Ρ (Ω) = 1.

14. Αν Α είναι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης τότε, 0 ≤ Ρ (Α) ≤ 1.

15. Για το αδύνατο ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης ισχύει Ρ ( ) = 0.

16. Δειγματικός χώρος λέγεται το σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσμάτων ενός

πειράματος τύχης.

17.Το αποτέλεσμα ενός πειράματος τύχης είναι στοιχείο του δειγματικού χώρου του

πειράματος.

18. Ένα αποτέλεσμα ενός πειράματος τύχης λέγεται απλό ενδεχόμενο ή γεγονός.

19. Ο δειγματικός χώρος Ω ενός πειράματος τύχης είναι βέβαιο ενδεχόμενο.

20. Αν Ω είναι ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης, τότε ονομάζουμε

ενδεχόμενο του πειράματος κάθε υποσύνολο του Ω.

61

21. Ο ίδιος ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης είναι και αυτός ένα

ενδεχόμενο.

22. Οι ευνοϊκές περιπτώσεις για ένα ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης είναι στοιχεία

του δειγματικού του χώρου.

23. Με Ν (Α) συμβολίζουμε όλα τα δυνατά υποσύνολα ενός ενδεχομένου Α.

24. Το συμπλήρωμα Α΄ ενός ενδεχομένου Α του πειράματος τύχης είναι επίσης

ενδεχόμενο του πειράματος.

25. Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός πειράματος τύχης με δειγματικό χώρο Ω, τότε ισχύει

η ισότητα Α - Β = Α ∩ Β΄.

26. Αν Α, Β ενδεχόμενα ενός πειράματος τύχης με δειγματικό χώρο Ω τότε ισχύει

ΒΑ = (Β-Α) (Α-Β).

27.Δύο ενδεχόμενα λέγονται ασυμβίβαστα όταν Α ∩ Β = Α.

28. Τα ενδεχόμενα Α = 1, 4, 7, Β = 4, 7, 11 είναι ξένα μεταξύ τους.

29. Αν το ενδεχόμενο Β = 2, 4, 6, τότε Ν (Β) = 3.

30. Αν Α είναι το ενδεχόμενο να τραβήξουμε μια ντάμα από μια τράπουλα, τότε Ν(Α) =

2.

31 Οι εκφράσεις: «πραγματοποιείται το ενδεχόμενο Α ή το Β» και «πραγματοποιείται

ένα τουλάχιστον από τα ενδεχόμενα Α και Β» είναι ισοδύναμες.

32. Το κενό σύνολο δεν πραγματοποιείται σε καμία εκτέλεση ενός πειράματος τύχης.

33.Το κενό σύνολο είναι βέβαιο ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης.

34. Ενδεχόμενα τα οποία περιέχουν τουλάχιστον δύο αποτελέσματα ενός πειράματος

τύχης λέγονται σύνθετα.

35. Ενδεχόμενα τα οποία περιέχουν ένα μόνο αποτέλεσμα ενός πειράματος τύχης

λέγονται απλά ενδεχόμενα.

36. Αν σε ν εκτελέσεις ενός πειράματος τύχης ένα ενδεχόμενο Α πραγματοποιείται κ

φορές, τότε ο λόγος Af

λέγεται σχετική συχνότητα. του ενδεχομένου.

37. Για τη σχετική συχνότητα fA ενός ενδεχομένου Α ισχύει fA > 1.

38. Σε ένα πείραμα τύχης με ισοπίθανα αποτελέσματα και δειγματικό χώρο Ω η

πιθανότητα του ενδεχομένου Α είναι ο αριθμός Ρ (Α) =( )

( )

39. Δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα είναι ξένα μεταξύ τους.

40. Δύο ενδεχόμενα ξένα μεταξύ τους είναι αντίθετα.

62

41. Αν τα ενδεχόμενα Α, Β είναι ξένα μεταξύ τους, τότε και τα συμπληρωματικά Α΄, Β΄

είναι ξένα μεταξύ τους.

42.Στο διπλανό σχήμα το γραμμοσκιασμένο

χωρίο απεικονίζει το ενδεχόμενο Α Β.

43.Στο διπλανό σχήμα το γραμμοσκιασμένο

χωρίο απεικονίζει το ενδεχόμενο Α Β.

44.Στο διπλανό σχήμα το γραμμοσκιασμένο

χωρίο απεικονίζει το ενδεχόμενο

46. Αν για τα ενδεχόμενα Α , Β ισχύει Ρ(Α)=1

2 και Ρ(Β)=

47. Αν για τα ενδεχόμενα Α , Β ισχύει Ρ(Α)=1

2 και Ρ(Β)=

Ρ(ΑΒ) = 1

4

47. Αν η πιθανότητα πραγματοποίησης ενός ενδεχομένου ε

μη πραγματοποίησης του ενδεχομένου αυτού είναι 0,6

48. Υπάρχουν ενδεχόμενα είναι Α και Β ξένα μεταξύ τους

Ρ(Α)+Ρ(Β)=1,2

49. Αν Ρ(ΑΒ)=0, τότε ΑΒ=

50. Αν Α Β, τότε Ρ(Α) < Ρ(Β)

51. Αν Ρ(Α) < Ρ(Β), τότε Α Β

52. Αν Α, Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω ενός π

Ρ(Α)+Ρ(Β) 1

53. Για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α΄ ισχύει

54. Έστω δειγματικός χώρος Ω = ω1, ω2, … ωκ με ισοπίθ

πιθανότητα P(ωi), i = 1, 2, …, κ, ενός στοιχείου του

Ω

B

Ω

Ω

1

2

1

2

ε

Ρ

A

A B

, τότε θα είναι Ρ(ΑΒ) = 1

, τότε θα είναι

ίναι 0,4 τότε η πιθανότητα

για τα οποία

ιράματος τύχης, ισχύει

(Α)+Ρ(Α΄) = 1

ανα ενδεχόμενα. Η

Ω είναι 1

.

A B

63

55. Η έκφραση: «η πραγματοποίηση του ενδεχομένου Α συνεπάγεται την

πραγματοποίηση του ενδεχομένου Β» διατυπωμένη στη γλώσσα των συνόλων είναι

ισοδύναμη με την σχΤα

56.Αν Α και Β είναι ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω και Α΄ το αντίθετο του

ενδεχομένου Α.Τότε :

α. Αν Α΄ Β τότε Ρ(Α) + Ρ(Β) < 1.

β. Αν Ρ(Α) = Ρ(Α΄) τότε 2Ρ(Α) = Ρ(Ω).έση ΑΒ = Α

57. Αν τότε ισχύει Ρ(Α)+Ρ(Β)=1

58.Αν με p συμβολίσουμε το μεγαλύτερο αριθμό από τους Ρ(Α),Ρ(Β) τότε ισχύει:

)()( p

59.Αν 0)( τότε τα Α, Β είναι ασυμβίβαστα.

60. Αν 1)( τότε πρέπει

61. Αν ( ) 1 τότε πρέπει

62. Αν ( ) (B) τότε B

63. Αν ( B) (A B) τότε 1B A B

2

64

Α. ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

Β. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

65

Α ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

Θέμα 1 εξετάσεις 2000

Α. α) Δίνεται η συνάρτηση F(x)=f(x)+g(x). Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες, να αποδείξετε ότι: F΄(x)=f΄(x)+g΄(x).

β) Να γράψετε στο τετράδιό σας τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων:

cf(x), f(x)g(x),f (x)

με g(x) 0, g(x)

όπου c πραγματική σταθερά.

Β. α) Να γράψετε στο τετράδιό σας τα γράμματα της στήλης Α και δίπλα τον αριθμό της στήλης Β που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Στήλη Α συνάρτηση

Στήλη Β πρώτη παράγωγος

α. x2+3 1. 1-ημx

β. x+συνx 2. 3x2-8x

γ. xημx 3. 2x+3

δ. x3-4x2 4. ημx-xσυνx

5. 2x

6. 3x2-4x

7. ημx+xσυνx

β) Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Η πρώτη παράγωγος της συνάρτησης

xef (x) , x 0

x είναι:

Α: xe , B:x x

2

e xe

x

, Γ:

x x

2

e x e

x

,

Δ: x x

2

e x e

x

, Ε:

x xxe e

x

66

Θέμα 2 εξετάσεις 2000-επαν

A.1 Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB)

Α.2 Να συμπληρώσετε τις παρακάτω σχέσεις: α. P(AB) = .......................... όταν τα ενδεχόμενα Α και Β είναι ασυμβίβαστα

μεταξύ τους. β. P(A΄) = ................................, όπου Α΄ είναι το συμπληρωματικό του Α.

Β. Δίνεται ο δειγματικός χώρος Ω = ω1, ω2, ω3, ω4, ω5 ενός πειράματος τύχης με:

Ρ(ω2) =1

4, Ρ(ω3) = Ρ(ω4) =

1

24 και Ρ(ω5) =

1

2α. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα που αντιστοιχεί στη

σωστή απάντηση. Η πιθανότητα Ρ(ω1) είναι:

Α : 1

2 Β :

1

6 Γ :

1

3 Δ :

1

12 Ε :

1

8

β. Δίνονται τα ενδεχόμενα Α = ω1, ω3, ω5 και Β = ω1, ω2 του δειγματικού χώρου Ω.

Να γράψετε στο τετράδιό σας τα γράμματα της Στήλης Α και δίπλα τον αριθμό της Στήλης Β που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Στήλη Α Στήλη Β

α. P(AB) 1.1

4

β. P(AB) 2.7

24

γ. P(A΄) 3.23

24

4.1

6

Θέμα 3 εξετάσεις 2001

Α.1. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει ότι: Ρ (ΑΒ) = Ρ (Α) Ρ (ΑΒ).

Α.2. Να μεταφέρετε στο τετράδιό σας τις παρακάτω σχέσεις και να συμπληρώσετε καθεμιά από αυτές με το κατάλληλο σύμβολο, (=, , ) έτσι ώστε να είναι αληθής: α. Ρ (Α΄) ... 1Ρ(Α) β. αν ΑΒ τότε Ρ(Β) ... Ρ(Α).

Β.1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση.Τα Α και Β είναι ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω και Α΄ το αντίθετο του ενδεχομένου Α.

67

α. Αν Α΄ Β τότε Ρ(Α) + Ρ(Β) < 1. β. Αν Ρ(Α) = Ρ(Α΄) τότε 2Ρ(Α) = Ρ(Ω).

Β.2. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Αν ΑΒ, Ρ(Α) = 1

4 και Ρ(Β) =

5

12 τότε η Ρ (ΑΒ) είναι ίση με:

α.1

4β.

5

12γ.

2

3δ.

1

6.

Β.3. Να γράψετε στο τετράδιό σας τα γράμματα της Στήλης Α και δίπλα σε κάθε γράμμα τον αριθμό της Στήλης Β, που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Τα Α και Β είναι ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω και ισχύει

ότι Ρ(Α) = 1

3, Ρ(Β) =

1

4 και Ρ(ΑΒ) =

1

5.

Στήλη Α Στήλη Β α. Ρ (ΑΒ)

1.1

20

β. Ρ (B A) ΄ 2.

2

15

γ. Ρ (A B) ΄ 3.

4

5

4.1

12

5.19

20

Θέμα 4 εξετάσεις 2001-επαν

Α.1. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ, τότε να αποδείξετε ότι:

c f(x) c f (x)

, όπου c πραγματικός αριθμός.

Α.2. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση.

α. f(x) g(x) f (x) g(x) f (x) g (x)

β. f g(x) f g(x) g (x)

γ.

2

f(x) f (x) g(x) g (x) f(x)

g(x) g(x)

, (g(x) 0)

δ. x =ρxρ-1 , ρ ρητός, x>0

ε. x

= συνx

στ. x

= ημx

Β.1. Να γράψετε στο τετράδιό σας τα γράμματα της Στήλης Α και δίπλα σε κάθε γράμμα τον αριθμό της Στήλης Β, που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

68

Στήλη Α Συνάρτηση f

Στήλη Β Πρώτη παράγωγος της f

α. 2 x ln 2 , x > 0 1.1 1

2x

β. ημx

x, x 0

2. 3συν3x

γ. ημ3x 3.

2x x x

x

4.1

x

5.2

x x x

x

6. –3συν3x

Β.2. Αν f(x)= 41(x 1) f ( ) 27

4 , όπου α πραγματικός αριθμός, τότε να βρείτε

την τιμή του α.

Θέμα 5 εξετάσεις 2002Α. Aς υποθέσουμε ότι x1,x2,…,xκ είναι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ, που αφορά τα

άτομα ενός δείγματος μεγέθους ν, όπου k,ν μη μηδενικοί φυσικοί αριθμοί με κ ν.

α. Τι ονομάζεται απόλυτη συχνότητα νi , που αντιστοιχεί στην τιμή xi , i =1,2,…,κ;

β. Τι ονομάζεται σχετική συχνότητα fi της τιμής xi ,i = 1,2,…,κ;

γ. Να αποδείξετε ότι: i) 0 fi 1 για i = 1,2,…,κ ii) f1 + f2 + …+ fκ = 1.

Β.1. Για οποιαδήποτε ασυμβίβαστα μεταξύ τους ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω να αποδείξετε ότι:

Ρ (Α Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β). Β.2. α. Να δώσετε τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας ενός ενδεχομένου Α

κάποιου δειγματικού χώρου Ω. β. Να δώσετε τις αριθμητικές τιμές των παρακάτω πιθανοτήτων:

i) P(Ω) ii) Ρ ().

Θέμα 6 εξετάσεις 2002-επαν

Α1. Πότε μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α λέγεται συνεχής; A2. Πότε μία συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου

ορισμού της και πότε γνησίως φθίνουσα; Α3. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της ταυτοτικής συνάρτησης f(x)=x είναι

f΄(x)=1. Β1. Σε μια κατανομή συχνοτήτων οι τιμές της μεταβλητής είναι x1, x2,...,xk με

συχνότητες ν1, ν2,...,νk αντίστοιχα και ν είναι το πλήθος των παρατηρήσεων.

Πώς ορίζεται η μέση τιμή x ;

69

Β2. Να γράψετε στο τετράδιό σας το κείμενο που ακολουθεί συμπληρώνοντας τα υπάρχοντα κενά.

Εάν σε κάθε τιμή x1, x2,...,xν ενός συνόλου δεδομένων δώσουμε διαφορετική βαρύτητα που εκφράζεται με τους συντελεστές στάθμισης (βαρύτητας) w1,w2,...,wν τότε αντί του αριθμητικού μέσου χρησιμοποιούμε τον .................. .................. μέσο ή .................. μέσο που βρίσκεται από τον τύπο

x = .................. .

Θέμα 7 εξετάσεις 2003

Α. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συνάρτησης f(x) = x είναι f΄(x) = 1. Β. Πότε μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της λέγεται

γνησίως αύξουσα και πότε γνησίως φθίνουσα; Γ. Να δώσετε τον ορισμό της διαμέσου (δ) ενός δείγματος ν παρατηρήσεων. Δ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο

τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση.

α. Το εύρος είναι μέτρο θέσης. β. Η διακύμανση εκφράζεται με τις ίδιες μονάδες με τις οποίες εκφράζονται

οι παρατηρήσεις. γ. Ισχύει (f(g(x)))΄ = f΄ (g(x)) . g΄ (x)

όπου f , g παραγωγίσιμες συναρτήσεις. δ. Δύο ενδεχόμενα Α και Β του ίδιου δειγματικού χώρου Ω λέγονται

ασυμβίβαστα, όταν Α Β = .ε. Το κυκλικό διάγραμμα χρησιμοποιείται μόνο για τη γραφική παράσταση

των ποσοτικών μεταβλητών.

Θέμα 8 εξετάσεις 2003-επαν

Α. Για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α΄ ενός δειγματικού χώρου Ω, να αποδείξετε ότι ισχύει : Ρ ( Α΄ ) = 1 – Ρ ( Α )

Β. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x0 του πεδίου ορισμού της, αν υπάρχει το :

α. 0h 0

f (x h) f (h)limh

, h R , h 0 και το όριο αυτό είναι

πραγματικός αριθμός

β. 0 0h 0

f (x h) f (x )limh

, h R , h 0

γ. 0 0h 0

f (x h f (x ))limh

, h R , h 0 και το όριο αυτό είναι

πραγματικός αριθμός

δ. 0h 0

f (x h) f (h)limh

, h R , h 0 .

70

Γ. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Μέτρο θέσης ενός συνόλου δεδομένων είναι : α. το εύρος β. η διάμεσος γ. η διακύμανση δ. η τυπική απόκλιση.

Θέμα 9 εξετάσεις 2004

Α. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f(x) = c είναι ίση µε 0.

Β. Να δώσετε τον ορισμό της συνέχειας μιας συνάρτησης f στο σημείο x0 του πεδίου ορισμού της.

Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Η συχνότητα της τιμής xi μιας μεταβλητής Χ είναι

αρνητικός αριθμός. β. Στην κανονική κατανομή το 95% των παρατηρήσεων

βρίσκεται στο διάστημα ( x − s, x + s), όπου x είναι η μέση τιµή των παρατηρήσεων και s η τυπική τους απόκλιση.

γ. Αν διαιρέσουµε τη συχνότητα νi μιας μεταβλητής Χ µε το μέγεθος ν του δείγματος, προκύπτει η σχετική συχνότητα fi της τιμής xi .

Δ. Στον παρακάτω πίνακα τα Α και Β συµβολίζουνενδεχόμενα ενός πειράματος τύχης. Στη Στήλη Ιαναγράφονται διάφορες σχέσεις για τα Α και Βδιατυπωμένες στην κοινή γλώσσα και στη Στήλη ΙΙσχέσεις διατυπωμένες στη γλώσσα των συνόλων. Να γράψετε στο τετράδιό σας τα γράμματα της Στήλης Ι καιδίπλα σε κάθε γράμμα τον αριθμό της Στήλης ΙΙ που αντιστοιχεί στην ίδια διατύπωση. Στήλη Ι Στήλη ΙΙα πραγματοποιείται ένα τουλάχιστον από τα Α, Β 1 β πραγματοποιείται το Α αλλά όχι το Β 2 γ πραγματοποιούνται συγχρόνως τα Α

και Β 3

/

4 Στη Στήλη ΙΙ περισσεύει µία σχέση.

Θέμα 10 εξετάσεις 2004-επαν

Α. Αν Α και Β είναι δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω µε Α⊆Β, τότε να αποδείξετε ότι Ρ(Α) ≤ Ρ(Β). β. Να δώσετε τον ορισμό του δειγματικού χώρου ενός

πειράματος τύχης.

Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος

71

δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

α. Αν 0

1x xlim f(x)

l και 0

2x xlim g(x)

l ,

τότε 0

1 2x xlim f(x) g(x)

l l

β. Μία συνάρτηση f µε πεδίο ορισμού Α λέμε ότι παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο x1∈A, όταν f(x)≤f(x1) για κάθε x σε µια περιοχή του x1 .

γ. Ισχύει (f(x)⋅g(x))΄ = f΄(x)⋅g(x) + g΄(x)⋅f(x), όπου f και g παραγωγίσιμες συναρτήσεις.

δ. Ισχύει 1x

x

με x > 0.

ε. Για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α΄ ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει Ρ(Α΄) = 1 + Ρ (Α).

στ. Το μέτρο διασποράς εύρος ισούται µε τη διαφορά της ελάχιστης παρατήρησης από τη μέγιστη παρατήρηση.

Θέμα 11 εξετάσεις 2005

Α. Να αποδειχθεί ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B).

Β. α. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποσοτικές; β. Πότε μια ποσοτική μεταβλητή ονομάζεται διακριτή και πότε

συνεχής; Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο

τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ

και ισχύει f΄(x)>0 για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ.

β. Ισχύει

2

f (x) f (x) g(x) f (x) g (x)

g(x) g(x)

,

όπου f, g παραγωγίσιμες συναρτήσεις. γ. Η διακύμανση είναι μέτρο θέσης. δ. Αν Α⊆Β τότε P(A) > P(B).

Θέμα 12 εξετάσεις 2005-επαν

A.1. Δίνονται ο ι συναρτήσεις F(x ) , f (x ) και g(x ) με F(x ) = f (x )+g(x ) .Αν ο ι συναρτήσεις f , g ε ίναι παραγωγίσ ιμες , να αποδε ίξετε ότ ι : F΄(x ) = f ΄(x ) + g΄(x ) .

A.2. Πώς ορίζεται ο συντελεστής μεταβολής ή συντελεστής μεταβλητότητας μιας μεταβλητής x , αν x > 0 και πώς , αν x< 0

72

Β. Να χαρακτηρίσετε τ ι ς προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα, το οποίο αντ ιστο ιχε ί στη σωστή απάντηση. α. Οι ποιοτ ικές μεταβλητές δ ιακρίνονται σε δ ιακριτές και

συνεχε ίς .

β. Αν x>0, τότε 1

lnxx

γ . Στην περ ίπτωση των ποσοτικών μεταβλητών, εκτός από τ ι ς συχνότητες f i και v i , χρησιμοποιούνται και ο ι λεγόμενες αθροιστ ικές συχνότητες F i , N i .

δ. Τα σπουδαιότερα μέτρα δ ιασποράς μ ιας μεταβλητής ε ίναι η μέση τ ιμή και η δ ιάμεσος αυτής .

ε . Αν γ ια τα ενδεχόμενα Α, Β του ίδ ιου δε ιγματ ικού χώρου Ω με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα ισχύε ι Ρ(Α)=Ρ(Β) , τότε ε ίναι πάντοτε Ν(Α)=Ν(Β) .

στ. Η έννοια της συνέχε ιας μ ιας συνάρτησης αναφέρεται μόνο σε σημεία του πεδ ίου ορ ισμού της .

Θέμα 13 εξετάσεις 2006

A. Η συνάρτηση f ε ίναι παραγωγίσ ιμη στο ΙR. και c πραγματική σταθερά. Να αποδε ίξετε ότ ι (c⋅f(x )) ΄=c·f ΄ (x ) , x∈ ΙR .

B. α. Πότε δύο ενδεχόμενα Α , Β ενός δε ιγματ ικού χώρου Ω λέγονται ασυμβίβαστα;

β . Πότε μια συνάρτηση f με πεδ ίο ορισμού Α λέγεται συνεχής ;

Γ. Να χαρακτηρίσετε τ ι ς προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντ ιστο ιχε ί σε κάθε πρόταση.

α. Μια συνάρτηση f με πεδ ίο ορ ισμού το Α, λέμε ότ ι παρουσιάζε ι τοπικό μέγ ιστο στο x

0∈A, όταν

f (x )≤ f (x0) γ ια κάθε x σε μ ια περ ιοχή του x

0.

β. Αν το ενδεχόμενο Α ΄ , συμπληρωματικό του ενδεχομένου Α, πραγματοποιε ί ται , τότε δεν πραγματοποιε ί ται το Α.

γ . Για κάθε x≠0 ισχύε ι : 2

1 1

x x

δ. Το κυκλικό δ ιάγραμμα χρησιμοποιε ί ται γ ια τη γραφική παράσταση μόνο ποσοτικών δεδομένων.

73

Θέμα 14 εξετάσεις 2006-επαν

A. Για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α΄ ενός δε ιγματ ικού χώρου Ω, να αποδε ίξετε ότι ισχύε ι :

P (Α΄) =1–Ρ(Α) . Β.1 Πότε μ ία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α λέμε ότι

παρουσιάζε ι τοπικό ελάχιστο στο x ο∈A;Β.2 Πότε μ ία συνάρτηση f λέγεται γνησίως μονότονη σε ένα

δ ιάστημα Δ; Γ. Να χαρακτηρίσετε τ ι ς προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα, το οποίο αντ ιστο ιχεί στη σωστή απάντηση. α. Το ενδεχόμενο Α∪Β πραγματοποιε ί ται , όταν

πραγματοποιε ί ται το πολύ ένα από τα ενδεχόμενα Α και Β.

β. Ισχύε ι : (συνx)΄ =ημx , γ ια κάθε x ∈ IR .γ . Ο συντελεστής μεταβλητότητας (CV) ε ίναι ανεξάρτητος

από τ ι ς μονάδες μέτρησης των δεδομένων. δ. Η διάμεσος δ ε ίναι μέτρο διασποράς . ε . Έστω Α, Β ενδεχόμενα ενός δε ιγματ ικού χώρου Ω. Τότε

ισχύε ι : P ( ) ≤ P(A∪B) ≤ P(Ω) .

Θέμα 15 εξετάσεις 2007

A. Να αποδειχθεί ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει Ρ(Α–Β) = Ρ(Α) – Ρ(Α Β).

B.α. Πότε μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη στο σημείο x0

του πεδίου ορισμού της;

β. Να δώσετε τον ορισμό της διαμέσου (δ) ενός δείγματος ν παρατηρήσεων, όταν ο ν είναι άρτιος αριθμός.

Γ1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό , αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος , αν η πρόταση είναι λανθασμένη.

α. Στην περίπτωση των ποσοτικών μεταβλητών, οι αθροιστικές σχετικές συχνότητες F i εκφράζουν το ποσοστό των παρατηρήσεων που είναι μικρότερες ή ίσες της τιμής x i .

β. Αν f, g είναι δύο παραγωγίσιμες συναρτήσεις, τότε για την παράγωγο της σύνθετης συνάρτησης ισχύει:

f(g(x) =f (g(x) g (x)

γ. Αν για μια συνάρτηση f ισχύουν f΄(x0)=0 για

x0ε(α,β), f΄(x)>0 στο (α, x0) και f΄(x)<0 στο (x0 ,β), τότε η f παρουσιάζει στο διάστημα (α,β) για x= x0 ελάχιστο.

74

Γ2. Να γράψετε στο τετράδιό σας τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων:

f1 (x)=xν , όπου ν φυσικός f2 (x)=lnx , όπου x>0

f3 (x)= x , όπου x>0 f4 (x)=συνx, όπου x πραγματικός.

Θέμα 16 εξετάσεις 2007-επαν

A . Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι η π α ρ ά γ ω γ ο ς τ η ς σ υ ν ά ρ τ η σ η ς f ( x ) = x ε ί ν α ι f ΄ ( x ) = 1 .

Β . α . Ν α δ ώ σ ε τ ε τ ο ν κ λ α σ ι κ ό ο ρ ι σ μ ό τ η ς π ι θ α ν ό τ η τ α ς ε ν ό ς ε ν δ ε χ ο μ έ ν ο υ Α κ ά π ο ι ο υ δ ε ι γ μ α τ ι κ ο ύ χ ώ ρ ο υ Ω .

β . Ν α δ ώ σ ε τ ε τ ι ς α ρ ι θ μ η τ ι κ έ ς τ ι μ έ ς τ ω ν π α ρ α κ ά τ ω π ι θ α ν ο τ ή τ ω ν : i ) Ρ ( Ω ) i i ) Ρ ( ) .

Γ 1 . Ν α χ α ρ α κ τ η ρ ί σ ε τ ε τ ι ς πρ ο τ ά σ ε ι ς πο υ α κ ο λο υ θ ο ύ ν , γ ρ ά φ ο ν τ α ς σ τ ο τ ε τ ρ ά δ ι ό σ α ς τ η λέ ξ η Σ ω σ τ ό ή Λ ά θ ο ς δ ί πλ α σ τ ο γ ρ ά μ μ α , τ ο ο π ο ί ο α ν τ ι σ τ ο ι χ ε ί σ τ η ν κ ά θ ε πρ ό τ α σ η . α . Έ σ τ ω ό τ ι έ χ ο υ μ ε έ ν α δ ε ί γ μ α μ ε γ έ θ ο υ ς ν κ α ι ό τ ι

f i , i = 1 , 2 , … , κ , ε ί ν α ι ο ι α ν τ ί σ τ ο ι χ ε ς σ χ ε τ ι κ έ ς σ υ χ ν ό τ η τ ε ς τ ω ν τ ι μ ώ ν x i μ ι α ς μ ε τ α β λη τ ή ς . Α ν α i ε ί ν α ι τ ο α ν τ ί σ τ ο ι χ ο τ ό ξ ο ε ν ό ς κ υ κ λ ι κ ο ύ τ μ ή μ α τ ο ς σ τ ο κ υ κ λ ι κ ό δ ι ά γ ρ α μ μ α σ υ χ ν ο τ ή τ ω ν , τ ό τ ε : α i = 3 6 0 f i , γ ι α i = 1 , 2 , … , κ .

β . Α ν f , g ε ί ν α ι παρ α γω γ ί σ ιμ ες συ ν αρ τή σε ι ς με g (x ) ≠0 ,

τ ό τε ι σ χύε ι

2

f (x) f (x) g(x) f (x) g (x)

g(x) g(x)

.

γ . A ν μ ί α συ νά ρ τη σ η f ε ί ν α ι πα ρα γω γ ίσ ιμ η σε έ ν α δ ι άσ τ ημ α Δ κα ι ισ χύ ε ι f ΄ (x ) > 0 γ ι α κ ά θε ε σω τε ρ ι κ ό σ ημ ε ί ο του Δ , τ ό τε η f ε ί ν α ι γν η σ ίω ς αύξ ουσ α σ το Δ .

Γ 2. Ν α γ ρ άψε τ ε σ το τε τρ ά δ ι ό σ ας τ ι ς πα ρ α γώ γου ς τω ν πα ρ α κ ά τω συ ν αρ τήσ εω ν : f 1 (x ) = e x ό που x πρ α γμ ατ ι κός .

f 2 (x ) =1

x ό που x ≠0 .

f 3 (x ) =η μx ό που x πρ α γμα τ ι κός . f 4 (x ) = c ό που x πρ α γμ ατ ι κός κα ι c σ τ αθ ερ ά .

75

Θέμα 17 εξετάσεις 2008

A. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f(x)=c (όπου x πραγματικός αριθμός) είναι ίση με 0, δηλαδή (c)΄= 0.

B. Πώς ορίζεται ο συντελεστής μεταβολής ή συντελεστής

μεταβλητότητας μιας μεταβλητής X, αν x 0 και πώς, αν x 0 ;

Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Αν Α, Β είναι δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού

χώρου Ω, τότε ο τύπος Ρ(Α Β)=Ρ(Α)+Ρ(Β)–Ρ(Α Β)

ισχύει μόνον όταν τα απλά ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω είναι ισοπίθανα.

β. Η διάμεσος δ ενός δείγματος ν παρατηρήσεων t1 , t2 , …, tν είναι πάντοτε μία από τις παρατηρήσεις αυτές.

γ. Αν x>0, τότε 1x

2 x

.

δ. Αν x0 είναι ένας πραγματικός αριθμός τότε 0

0x xlim ημx ημx

ε. Στο ιστόγραμμα συχνοτήτων ομαδοποιημένων δεδομένων, το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωνο συχνοτήτων και τον οριζόντιο άξονα είναι ίσο με το μέγεθος του δείγματος.

Θέμα 18 εξετάσεις 2008-επαν

A. Έστω f, g δύο παραγωγίσιμες συναρτήσεις στο σύνολο των πραγματικών αριθμών. Να αποδείξετε ότι

(f(x) + g(x))΄ = f ΄(x) + g ΄(x). B. α. Να δώσετε τον ορισμό της διακύμανσης των

παρατηρήσεων t1 , t2 , …, t3 μιας μεταβλητής X. β. Πότε δύο ενδεχόμενα Α και Β λέγονται ασυμβίβαστα;

Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Γενικά δεχόμαστε ότι ένα δείγμα τιμών μιας

μεταβλητής είναι ομοιογενές, εάν ο συντελεστής μεταβολής του δείγματος δεν ξεπερνά το 10%.

β. Χαρακτηριστικό γνώρισμα μιας συνεχούς συνάρτησης σε ένα κλειστό διάστημα είναι ότι η γραφική της παράσταση είναι μια συνεχής καμπύλη.

γ. Αν η συνάρτηση f έχει στο x0 όριο έναν πραγματικό αριθμό

1 , δηλαδή αν 0

1x xlim f (x)

, τότε

76

0

1x xlim f (x)

(ν θετικός ακέραιος).

δ. Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και ισχύει f ′(x) < 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ.

ε. Το διάγραμμα συχνοτήτων χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση των τιμών μιας ποιοτικής μεταβλητής.

Θέμα 19 εξετάσεις 2009

A. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε ασυμβίβαστα μεταξύ τους ενδεχόμενα Α και Β ισχύει ότι

Ρ(Α Β)=Ρ(Α)+Ρ(Β) B. Αν x1 ,x2 ,…,xκ είναι οι τιμές μιας μεταβλητής X που αφορά τα

άτομα ενός δείγματος μεγέθους ν (κ≤ν), να ορίσετε τη σχετική συχνότητα f i της τιμής x i , i=1,2,…,κ.

Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση.

α. Για το γινόμενο δύο παραγωγίσιμων συναρτήσεων

f , g ισχύει ότι f(x)g(x) f (x)g (x) f(x)g(x)

β. Aν Α, Β είναι δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, τότε ισχύει ότι

A B A B γ. Για τη συνάρτηση f(x)=ημx ισχύει ότι

ημx συνx

δ. Το ραβδόγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση των τιμών μιας ποιοτικής μεταβλητής.

ε. Η μέση τιμή ενός συνόλου ν παρατηρήσεων είναι ένα μέτρο θέσης.

Θέμα 20 εξετάσεις 2009-επαν

A. Να δείξετε ότι για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α′ ενός δειγματικού χώρου, ισχύει

Ρ(Α′)=1−Ρ(Α) B. α. Έστω μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α. Πότε λέμε ότι η f παρουσιάζει

τοπικό μέγιστο στο x1∈A;β. Αν t 1 , t 2 , . . . , tν είναι οι παρατηρήσεις μιας μεταβλητής X σε δείγμα

μεγέθους ν , να ορίσετε τη μέση τιμή x των παρατηρήσεων .

Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση.

77

α.Αν η συνάρτηση f έχει στο x0 όριο έναν πραγματικό αριθμό ℓ δηλαδή αν

ox xlim f(x) = τότε για κάθε φυσικό αριθμό ν μεγαλύτερο του 1

θα ισχύει

o

ν ν-1

x xlim f(x) = ν .

β. Για τη συνάρτηση f (x ) = ex, x ∈ ℝ , ισχύει f ′ (x ) = ex

γ.Η διάμεσος ενός δείγματος παρατηρήσεων είναι η τιμή για την οποία το πολύ 50% των παρατηρήσεων είναι μικρότερες από αυτήν και το πολύ 50% των παρατηρήσεων είναι μεγαλύτερες από την τιμή αυτήν.

δ.Αν η καμπύλη συχνοτήτων για ένα χαρακτηριστικό είναι κανονική ή περίπου κανονική με τυπική απόκλιση s και εύρος R, τότε ισχύει s ≈ 6R.

ε.O δειγματικός χώρος Ω ενός πειράματος τύχης λέγεται βέβαιο ενδεχόμενο.

Θέμα 21 εξετάσεις 2010

Α1. Έστω t1,t2,...,tν οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος

μεγέθους ν, που έχουν μέση τιμή x

Σχηματίζουμε τις διαφορές t1 - x , t2 - x ,..., tν- xΝα αποδείξετε ότι ο αριθμητικός μέσος των διαφορών αυτών είναι ίσος με

μηδέν.

Α2. Αν x1,x2,…,xν είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής X ενός δείγματος

μεγέθους ν και w1,w2,...,wν είναι οι αντίστοιχοι συντελεστές στάθμισης

(βαρύτητας), να ορίσετε το σταθμικό μέσο της μεταβλητής Χ.

Α3. Έστω Ω ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης. Να δώσετε τους ορισμούς

του βέβαιου ενδεχομένου και του αδύνατου ενδεχομένου.

Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας

δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η

πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη.

α) Αν οι συναρτήσεις f , g έχουν στο x0 όρια πραγματικούς αριθμούς, τότε

x x x x x xo o o

f(x) g(x)lim f(x)g(x) = lim lim

β) Για κάθε x>0 ισχύει 1x =x

γ) Η ταχύτητα ενός κινητού που κινείται ευθύγραμμα και η θέση του στον άξονα

κίνησής του εκφράζεται από τη συνάρτηση x=f(t), τη χρονική στιγμή t0 είναι

υ(t0)=f΄(t0)

δ) Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα ∆ του πεδίου

ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε σημεία x1, x2∈ με x1<x2 ισχύει f(x1)<f(x2)

ε) Η διάμεσος είναι ένα μέτρο θέσης, το οποίο επηρεάζεται από τις ακραίες

παρατηρήσεις.

78

Θέμα 22 εξετάσεις 2010-επαν

Α1. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα ∆ και c∈R, να αποδείξετε ότι (cf(x))΄= cf΄(x), x∈∆.

Α2. Πότε μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα ∆ του πεδίου ορισμού της;

Α3. Πώς ορίζεται ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης ; Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας

δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη.

α) Αν οι συναρτήσεις f, g έχουν κοινό πεδίο ορισμού το Α, τότε η συνάρτηση fg

έχει πάντα πεδίο ορισμού το Α

β) Ισχύει 0o

( x) x

x xlim

γ) Σε μια ομαδοποιημένη κατανομή με κλάσεις ίσου πλάτους οι διαδοχικές κεντρικές τιμές των κλάσεων διαφέρουν μεταξύ τους όσο και το πλάτος κάθε κλάσης.

δ) Σε μια ομαδοποιημένη κατανομή με κλάσεις ίσου πλάτους το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων και τον οριζόντιο άξονα είναι ίσο με το μέγεθος ν του δείγματος.

ε) Αν Ρ(Α) είναι η πιθανότητα ενός ενδεχομένου A=α1, α2, …, ακ ≠ ∅ τότε Ρ(Α) = Ρ(α1)+ Ρ(α2)+ ... + Ρ(ακ)

Θέμα 23 εξετάσεις 2011

Α1. Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω να αποδειχθεί ότι: Ρ(Α–Β)=Ρ(Α) – Ρ(Α∩Β).

Α2. Πότε δύο ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω λέγονται ασυμβίβαστα;

Α3. Τι εκφράζει η σχετική συχνότητα fi μιας παρατήρησης xi ενός δείγματος.

Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα, στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη.

α) Η διακύμανση εκφράζεται στις ίδιες μονάδες με τις οποίες εκφράζονται οι παρατηρήσεις.

β) Σε μία κανονική κατανομή το εύρος ισούται περίπου με έξι φορές τη μέση τιμή, δηλαδή R 6x .

γ) Για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης ισχύει (f(g(x)))΄=f΄(g(x))⋅g΄(x)

δ) Πάντοτε ένα μεγαλύτερο δείγμα δίνει πιο αξιόπιστα αποτελέσματα από ένα μικρότερο δείγμα.

ε) Ένα δείγμα τιμών μιας μεταβλητής είναι ομοιογενές, αν ο συντελεστής μεταβλητότητας δεν ξεπερνά το 10%.

79

Θέμα 24 εξετάσεις 2011-επαν

A1. Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω να αποδειχθεί ότι: Ρ(Α⋃Β)=Ρ(Α) +P(B)+ Ρ(Α⋂Β).

A2. Έστω ένας δειγματικός χώρος Ω=ω1, ω2, . . . , ων με πεπερασμένο πλήθος στοιχείων. Να διατυπώσετε τον αξιωματικό ορισμό της πιθανότητας.

A3. Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x0 του πεδίου ορισμού της Α;

A4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα, στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη.

α) Αν x>0, τότε 1x

x.

a) Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα ∆ και ισχύει f΄ (x)>0

για κάθε εσωτερικό σημείο του ∆, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα

στο ∆.

b) Η αθροιστική συχνότητα Νi μίας κατανομής εκφράζει το πλήθος των

παρατηρήσεων που είναι μικρότερες ή ίσες της τιμής xi.

c) Στην κανονική κατανομή το 95% περίπου των παρατηρήσεων βρίσκεται στο

διάστημα ( x - s, x + s), όπου x η μέση τιμή και s η τυπική απόκλιση.

d) Η διάμεσος (δ) ενός δείγματος ν παρατηρήσεων, οι οποίες έχουν διαταχθεί σε

αύξουσα σειρά, ορίζεται πάντα ως η μεσαία παρατήρηση.

Θέμα 25 εξετάσεις 2012

A1. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο ℝ, να αποδείξετε ότι (f (x) + g(x))΄ = f΄(x)+ g΄(x), x∈ℝ

A2. Σε ένα πείραμα με ισοπίθανα αποτελέσματα να δώσετε τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας ενός ενδεχομένου Α

A3. Πώς ορίζεται ο συντελεστής μεταβολής ή συντελεστής μεταβλητότητας μιας

μεταβλητής X, αν x >0 και πώς, αν x <0;A4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας,

δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. a) Το κυκλικό διάγραμμα χρησιμοποιείται μόνο για τη γραφική παράσταση

ποσοτικών δεδομένων b) Η παράγωγος της f στο x0 εκφράζει το ρυθμό μεταβολής του y = f (x) ως προς

x , όταν x = x0 .c) Αν Α,Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Α⊆ Β, τότε ισχύει ότι

Ρ(Α)>Ρ(Β) . d) Το εύρος, η διακύμανση και η τυπική απόκλιση των τιμών μιας μεταβλητής

είναι μέτρα διασποράς. e)

00x x

lim ημx =ημx , x0∈ℝ .

80

Θέμα 26 εξετάσεις 2012-επαν

Α1. Έστω f x c , x R και c σταθερός πραγματικός αριθμός.

Να αποδείξετε ότι c 0

Α2. Αν 1 2 vt , t ,..., t είναι οι παρατηρήσεις μιας μεταβλητής X ενός δείγματος μεγέθους

ν, τότε να ορίσετε τη μέση τιμή x των παρατηρήσεων.

Α3. Έστω f μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α. Πότε λέμε ότι η συνάρτηση f

παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο x0∈Α;

Α4 .Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας,

δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση

είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη.

α)Αν fi είναι η σχετική συχνότητα της τιμής xi μιας μεταβλητής Χ, τότε ισχύει:

0 ≤ fi ≤1

β)Αν xi είναι η τιμή μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ, τότε η αθροιστική σχετική

συχνότητα Fi εκφράζει το ποσοστό των παρατηρήσεων που είναι μεγαλύτερες

της τιμής xi

γ)Αν τα ενδεχόμενα Α, Β, Γ ενός δειγματικού χώρου Ω είναι ανά δύο ασυμβίβαστα,

τότε ισχύει: Ρ(Α∪Β∪Γ)=Ρ(Α)+Ρ(Β)+Ρ(Γ)

δ) (συνx)΄ = ημx , x∈ℝ

ε)Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, τότετο ενδεχόμενο Α∪Β

πραγματοποιείται, όταν πραγματοποιείται ένα τουλάχιστον από τα Α, Β.

Θέμα 27 εξετάσεις 2013

Α1. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της ταυτοτικής συνάρτησης f (x)=x είναι f΄(x)=1, για κάθε x∈ℝ.Α2. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α. Πότε λέμε ότι η συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο x0∈Α; Α3. Να δώσετε τον ορισμό της διαμέσου (δ) ενός δείγματος ν παρατηρήσεων. Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη.

Το κυκλικό διάγραμμα χρησιμοποιείται μόνο για τη γραφική παράσταση ποσοτικών δεδομένων

α)Για τη συνάρτηση f(x) =1

x, x≠0 ισχύει ότι f΄(x)=

2

1

x.

β)Για το γινόμενο δύο παραγωγίσιμων συναρτήσεων f, g ισχύει ότι (f (x)g(x))΄ = f΄(x)g(x)+ f (x)g΄(x)

γ)Το ραβδόγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση των τιμών μιας ποσοτικής μεταβλητής. δ)Η διάμεσος είναι ένα μέτρο θέσης, το οποίο επηρεάζεται από τις ακραίες παρατηρήσεις. ε)Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω με Α⊆Β,ισχύει ότι Ρ(Α)>Ρ(Β)

81

Θέμα 28 εξετάσεις 2013-επαν

Α1. Να αποδείξετε ότι για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και A΄ ισχύει:

P(A΄) = 1 – P(A).

Α2. Να ορίσετε το μέτρο διασποράς εύρος ή κύμανση.

Α3. Τι ονομάζεται παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο xo του πεδίου ορισμού

της;

Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας,

δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση

είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη.

α)

ο

οx xlim συνx = συνx .

β) (c∙f (x))΄ =c∙f΄(x)

γ) Σε μια ποσοτική μεταβλητή αντί του ραβδογράμματος χρησιμοποιείται το

διάγραμμα συχνοτήτων.

δ) Ένα δείγμα τιμών μιας μεταβλητής Χ χαρακτηρίζεται ομοιογενές, όταν ο

συντελεστής μεταβολής ξεπερνά το 10%.

ε) Δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω λέγονται ασυμβίβαστα,

όταν Α ∩ Β ≠ Ø

82

Β ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΘΕΜΑ 1

Α. Θεωρία

Β. α) 5 , 1 , 7 , 2

β) σωστό είναι το Δ

ΘΕΜΑ 2

Α1. Θεωρία

Α2. α) A B β) 1 A

Β. α) B β) 3 , 4 , 2

ΘΕΜΑ 3

Α.1 βλέπε απόδειξη βιβλίου

Α.2 α. = β.

Β.1 α.Λ β.Σ

Β.2 β

Β.3 α 2 , β 5 , γ 3

ΘΕΜΑ 4

Α.1.: Θεωρία

Α.2.: αΛ, βΣ, γΛ, δΣ, εΣ, στΛ

Β.1.: α 4, β 5, γ 2

Β.2.: Είναι 3f (x) (x 1) . Άρα

3f ( ) 27 ( 1) 27 1 3 4

ΘΕΜΑ 5

Α-Β Θεωρία

2B P 1 και P 0

ΘΕΜΑ 6

Α.: Θεωρία Β.: Θεωρία

ΘΕΜΑ 7

Α Θεωρία Β. Θεωρία Γ. Θεωρία

Δ. α. λάθος β. λάθοςγ. σωστό δ. σωστό ε. λάθος

83

ΘΕΜΑ 8

Α.: Θεωρία Β.: γ Γ.: β Δ.: Θεωρία

ΘΕΜΑ 9

Α. Σχολικό βιβλίο σελ. 28 Β. Σχολικό βιβλίο σελ. 16

Γ. α. Λ β. Λ γ. Σ

Δ. α 4 β 2 γ 1

ΘΕΜΑ 10

Α.: Θεωρία

Β.: α., β.: Θεωρία

Γ.: αΣ, βΛ, γΣ, δΛ, εΛ, στΣ

ΘΕΜΑ 11

Α. Σχολικό Βιβλίο Σελίδα 151.

Β. α) Σχολικό Βιβλίο Σελίδα 59.

β) Σχολικό Βιβλίο Σελίδα 59.

Γ. α) Σ β) Λ γ) Λ δ) Λ

ΘΕΜΑ 12

Α1., Α2: Θεωρία

Β.: αΛ, βΣ, γΣ, δΛ, εΣ, στΣ

ΘΕΜΑ 13

Α. Θεωρία βιβλίου σελ. 30

Β. α. θεωρία βιβλίου σελ. 142.

β. θεωρία βιβλίου σελ. 16

Γ. α. Σωστό β. Σωστό γ. Λάθος δ. Λάθος

ΘΕΜΑ 14

Α.: Θεωρία

Β.1, Β.2: Θεωρία

Γ.: αΛ , βΛ , γΣ , δΛ , εΣ

ΘΕΜΑ 15

Α. Θεωρία βιβλίου σελ. 152

Β. α. Θεωρία βιβλίου σελ. 22

β. Θεωρία βιβλίου σελ. 87

Γ1. α. Σωστό β. Σωστό γ. Λάθος

Γ2 v 1

1f΄ (x) vx 2

1f΄ x

x 3

1f΄ (x)

2 x

ΘΕΜΑ 16

Α.: Θεωρία

Β.α, Β.β: Θεωρία

Γ1.: αΣ , βΣ , γΣ

Γ2.: Θεωρία

84

ΘΕΜΑ 17

Α. Θεωρία

Β. Θεωρία

Γ. αΛ βΛ γΣ δΣ εΣ

ΘΕΜΑ 18

Α.: Θεωρία

Β.α, Β.β: Θεωρία

Γ.: αΣ , βΣ , γΣ , δΛ , εΛ

ΘΕΜΑ 19

Α. Θεωρία. Σελίδα σχολικού βιβλίου 150

Β. Θεωρία. Σελίδα σχολικού βιβλίου 65

Γ. α. Λ β. Σ γ. Λ δ. Σ ε. Σ

ΘΕΜΑ 20

Α.: Θεωρία

Β.α, Β.β: Θεωρία

Γ.: αΛ , βΣ , γΣ , δΛ , εΣ

ΘΕΜΑ 21

Α1 ΘΕΩΡΙΑ (σχολικό βιβλίο σελ. 93)

Α2 ΘΕΩΡΙΑ (σχολικό βιβλίο σελ. 87)

Α3 ΘΕΩΡΙΑ (σχολικό βιβλίο σελ. 140)

Α4 α)Σ β)Λ γ)Σ δ)Λ ε)Λ

ΘΕΜΑ 22

Α1., Α2., Α3.: Θεωρία

Α4., αΛ , βΣ , γΣ , δΛ , εΣ

ΘΕΜΑ 23

Α1. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελ. 152

Α2. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελ. 142

Α3. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελ. 65

Α4. α) Λάθος β) Λάθος γ) Σωστό δ) Λάθος ε) Σωστό

ΘΕΜΑ 24

Α1., Α2., Α3.: Θεωρία

Α4., αΛ , βΣ , γΣ , δΛ , εΛ

ΘΕΜΑ 25

Α1., Α2., Α3.: Θεωρία

Α4. , αΛ , βΣ , γΛ , δΣ , εΣ

ΘΕΜΑ 26

Α1., Α2., Α3.: Θεωρία

Α4., αΣ , βΛ , γΣ , δΛ , εΣ

85

ΘΕΜΑ 27

Α1., Α2., Α3.: Θεωρία

Α4., αΛ , βΣ , γΛ , δΛ , εΛ

ΘΕΜΑ 28

Α1., Α2., Α3.: Θεωρία

Α4., αΣ , βΣ , γΣ , δΛ , εΛ