םייבושיח םילדומ ריצקת - amalnet.k12.il›יתות יא יב... · 8 יטסינמרטד יפוס טמוטואו תירלוגר הפש - 3.5 8 תוירלוגרה

1 ©ערך יגאל הינדי . תקציר -מודלים חישוביים

תקציר מודלים חישוביים ערך יגאל הינדי

תוכן עניינים

2 האוטומט הסופי- 1חלק 2 מט סופי דטרמניסטי ו אוט- 2פרק 2 מושגים ומילות מפתח- 2.1 3 הגדרת אוטומט סופי דטרמניסטי- 2.2 4 דוגמאות לבניית אוטומט- 2.3

6 ושפות פורמליות מילים - 3פרק 6 הגדרות ודוגמאות- 3.1 6 פעולות על מילים - 3.2 7 שפות פורמליות- 3.3 7 פעולות על שפות- 3.4 8 שפה רגולרית ואוטומט סופי דטרמניסטי - 3.5 8 תכונות של משפחת השפות הרגולריות- 3.6 9 טכניקת הבנייה–מט מכפלה אוטו- 3.7 11 תכונת הסגירות-הוכחת שפה רגולרית - 3.8 13 רגולריות של שפה -דוגמה להוכחת אי - 3.9

14 מודלים נוספים של אוטומט סופי- 4פרק 14 אוטומט סופי דטרמניסטי לא מלא- 4.1 15 מלאאוטומט סופי דטרמניסטי לא הגדרת- 4.2 16 אוטומט סופי לא דטרמניסטי - 4.3 17 אוטומט סופי לא דטרמניסטי הגדרת- 4.4 17 כוחם של המודלים החדשים- 4.5 18 דוגמה לבניית אוטומט היפוך - 4.6 19 שרשורדוגמה לבניית אוטומט - 4.7

20 אוטומט המחסנית- 2חלק

20 אוטומט מחסנית לא דטרמיניסטי- 5פרק 20 אוטומט מחסנית לא דטרמניסטי- 5.1 20 אוטומט מחסנית לא דטרמניסטי הגדרת- 5.2 21 דוגמה לבניית אוטומט מחסנית- 5.3

22 כוחו ומגבלותיו של אוטומט מחסנית- 6פרק 22 ת אוטומט סופי אוטומט מחסנית לעומ- 6.1 22 מחסנית דטרמניסטי לעומת לא דטרמניסטי- 6.2 22 תכונות של משפחת השפות חופשיות ההקשר- 6.3

23 מכונת טיורינג- 3חלק 23 מכונת טיורינג - 7פרק 23 הגדרת מכונת טיורינג- 7.1 24 נג אי עצירה של מכונת טיורי- 7.2 24 חישובים בעזרת מכונת טיורינג- 7.3 24 כוחו ומגבלותיו של אוטומט טיורינג- 7.4 24 כוחו של מודל טיורינג לכוחו של מחשב כללי- 7.5


האוטומט הסופי– 1חלק

. אוטומט סופי דטרמיניסטי – 1פרק

: מושגים ומילות מפתח

, בזמן נתון . הוא מודל של מערכת המגיבה על סדרות של קלטים רמיניסטיאוטומט סופי דט, מערכת כזו נמצאת במצב אחד מתוך קבוצה סופית של מצבים

והמעבר ממצב בו נמצאת המערכת למצב חדש מתרחש בהתאם .לסימן הבא שמגיע מהקלט

.ם מספר המעבריםשבומשום שמספר מצביו הוא סופי וג – סופי ".אפשרות בחירה" משמעו שאין לאוטומט זה – דטרמיניסטי

.ישנו בדיוק מעבר אפשרי אחד בהימצאו במצב מסוים ובהגיע קלט מסוים

סדרת המעברים המתבצעים באוטומט עבור סדרת קלט מסלול חישוב צב ההתחלתי ועד למצב שאליו מגיעים עםמהמ(מסוימת ) .תום קריאת הסדרה .לא מקבל או מקבלמסלול חישוב יכול להיות

ולכל אות קלט ) שורה(בטבלת מעברים אנו מתאימים לכל מצב טבלת מעברים

. מצב חדש ) עמודה(

ג המתאימה לכל זו, טבלת מעברים מייצגת למעשה התאמה פונקצית מעבריםמאחר שהתאמה זו מתאימה . מצב חדש -של מצב ואות קלט

, הרי היא התאמה חד ערכית , לכל זוג כזה מצב אחד ויחיד .פונקציה, כלומר

.סדרה של קלטים מילת קלט

האפשריות עבור - סימנים כלשהם –כל אותיות הקלט ב"א

) .ב "א, אלפבית , אותיות . ( האוטומט

השפה מכילה את כל המילים . של מילים מתקבלות אוסף שפה .שבקריאתן מגיע האוטומט הסופי הדטרמיניסטי למצב מקבל

.להבדיל משפות טבעיות . השפות שמקבלים אוטומטים שפה פורמלית

מצב מקבל מצב התחלתי קלט מעבר מצב לולאה עצמית מצב מלכודת


יהגדרת אוטומט סופי דטרמיניסט

:לאוטומט סופי דטרמיניסטי יש חמישה מרכיבים מספר . האפשריות עבור האוטומט- סימנים כלשהם –כל אותיות הקלט ב"א. 1

. 0–אותיות זה חייב להיות סופי וגדול מ מספר המצבים חייב להיות . כל המצבים בהם יכול האוטומט להימצא מצבים. 2

.0– וגדול מ סופי שממנו מתחיל האוטומט את מסלול החישוב על כל , אחד המצבים תימצב התחל. 3

.מילת קלט . מצבים או יותר 0המכילה , קבוצה מתוך קבוצת המצבים קבוצת מצבים מקבלים. 4 מצב –ב " מצב של האוטומט ואות מא–פונקציה שמציינת עבור כל זוג פונקצית המעברים. 5

ריאת האות המסוימת מהמצב שאליו עוברים תוך ק) אחד ויחיד( .המסוים

ההגדרה דורשת במפורש כי קבוצת המעברים של האוטומט היא סופית אך אינה *

סופיות קבוצת המעברים נובעת מסופיות . מתייחסת לסופיות קבוצת המעברים .קבוצת המצבים וסופיות קבוצת הקלט

A = ( Σ , Q ,q0 , F , δ) :בבניית אוטומט ניתן לתאר את האוטומט בשתי דרכים ית אוטומטבנ

. על ידי תיאור גרפי –א .מצב התחלתי וקבוצת מצבים מקבלים , על ידי טבלת מעברים –ב

ב קלט"א סופית קבוצה

לא ריקה של מצבים

מצב התחלתי קבוצת מצבים

מקבלים

פונקצית מעברים


: 1דוגמה

:{a,b }ב " מעל האLלפניך השפה

L = { a n b m | n , m > 0 } .L השפה נה אוטומט סופי דטרמניסטי המקבל אתב

:תשובה {a,b}: ב"הא

q0,q1,q2,q3 :המצבים q0: המצב ההתחלתי

q2: קבוצת המצבים המקבלים q0 – מצב התחלתי q1 –זוכר כי המילה התחילה ב - a כי האות האחרונה שנקראה היא וa . q2 – זוכר כי המילה התחילה ברצף כלשהו של aהאות האחרונה שנקראה היא וכי b q3 – זוכר כי המילה תחילה ב- b , או שהתקבלהa לאחר b זהו מצב מלכודת .

b a Q3 Q1 Q0 Q2 Q1 Q1 Q2 Q3 Q2 Q3 Q3 Q3

f(q0,a)=q1 , f(q0,b)=q3, f(q1,a)=q1 , f(q1,b)=q2 , f(q2,a)=q3, f(q2,b)=qb , f(q3,a)=q3, f(q3,b)=q3

טבלת מעברים

מעבריםפונקציית


: 2דוגמה

.100 ולא מופיע בהן רצף האותיות 1- והשפה היא שפת כל המילים שמתחילות ב0,1,2ב הוא "הא

. דטרמניסטי המקבל את השפה סופי בנה אוטומט

:ה תשוב


. מילים ושפות פורמליות – 3פרק . האפשריות עבור האוטומט- סימנים כלשהם –כל אותיות הקלט ב"א

:מילים

ב "למשל כשהא.ב נתון הרשומות משמאל לימין "סדרה של אותיות מא מילה. ב " הן מילים המורכבות האותיות האaa , aba , abbaa אזי {a,b}הוא

.ב זה "אמעל ילים נהוג לומר שאלו מ

למשל |w| - הוא מסומן ב .אורך מילה הוא מספר האותיות בה אורך מילה|abba| = 4.

תפקידה מקביל לתפקידו . אותיות 0מילה ריקה היא סדרה באורך של מילה ריקה

. במספרים הטבעיים 0של המספר

פעולות על מילים

ם הוא מילה הנוצרת מהדבקת המילה השניה שרשורן של שתי מילי שרשור של שתי מילים יוצר את abb עם abשרשור של , למשל . מימין למילה הראשונה

. ababbהמילה : נסמן את שרשורן כך , הן שתי מילים w2 - וw1 באופן כללי אם

w1. w2

לדוגמה . w3 - מסומן ב .לעצמה , w,הוא שרשור של מילה חזקה של מילה

(aba)3 = aba.aba.aba = abaabaaba.

w0 של מופעים של 0 משמעו w , מילה ריקה -כלומר w=ε.

למשל . היפוך של מילה הוא המילה הנוצרת מהיפוך סדר האותיות היפוך של מילה

היפוך של המילה הריקה . abaa הוא המילה aabaהיפוך של המילה .הוא המילה הריקה

. R(w): כך w מילה נסמן את היפוך של

.R(aab) = baa: לדוגמה


:שפות פורמליות

כי אנו אומרים . ב מסוים "שפה פורמלית היא קבוצה של מילים מעל א שפה פורמלית .ב זה "גם השפה היא מעל אגם

, מספר סופי של מילים –שפה יכולה להכיל מספר כלשהו של מילים . אף לא מילה אחת אינסוף מילים או

. aba - היא שפה סופית המכילה רק מילה אחת {aba}השפה :דוגמאות

. המילה הריקה –היא שפה בת מילה אחת ε}{השפה

.מסמן שפה שאינה מכילה אף מילה Φהשפה ) זו שפה אינסופית( שאורכן זוגי {a,b)ב "שפת כל המילים מעל א

w}| זוגי {|w| - פורמלי של שפה זו כקבוצה יכול להיות רישום

אוטומט המקבל רק את המילה הריקה אוטומט המקבל את השפה הריקה

פעולות על שפות

אפשרויות השרשור כלמכילה את שרשור של שתי שפות הוא השפה ה שרשור של שפות בדומה –גם כאן . של מילה מהשפה הראשונה עם מילה מהשפה השניה

. השרשור לסדר יש חשיבות –לשרשור מילים {ab,abb} . {ba,bb,aba} = {abba,abbb,ababa,abbba,,abbbb,abbaba}

. 2L - לעצמה מסומן בLשרשור של שפה חזקה של שפה0L מוגדרת כשפה {∈}

.Φ -ולא כ L= {ab,a} L2 = {abab,aba,aab,aa}

. הוא השפה הנוצרת מהיפוך של כל המילים בשפה Lהיפוך של שפה היפוך של שפה .R(L) -שפה זו מסומנת ב

R{abb,ab} = {R(abb),R(ab)} = {bba,ba}

:3 דוגמה :{a,b}ב "השפות הבאות מעל הא ותנתונ

L 3 = { a n b m | n≥m + 2 } L 4 = { b n | n≥2 } L4 מהי השפה

.R(L3 )? :תשובה


שפה רגולרית ואוטומט סופי דטרמיניסטי

שפה נקראת רגולרית אם אפשר לבנות אוטומט סופי דטרמיניסטי שפה רגולרית .שמקבל אותה

.משפחת השפות הרגולריותלאוסף כל השפות הרגולריות קוראים

:גולריות תכונות של משפחת השפות הר

- נמצאות גם ב2L - אם כל המילים שב1L נקראת חלקית לשפה 2Lשפה שפה חלקית

1L . מסמנים זאת כך :L2⊆L1 L1={aba,ab,bbb,aab} , L2= {ab,bbb} .2L1 - חלקית לL.

L2 כלומר - L2⊆ L1 -ב מסוים ו" שפה רגולרית מעל אL1אם

. גם רגולרית L2הכרח ש לא ב- L1 -חלקית ל

היא שפת ) ב כלשהו" היא שפה רגולרית מעל אL) Lשפת המשלים של שפת המשלים .L: מסמנים זאת כך . L -כל המילים שאינן ב

אף Lב מסוים אזי שפת המשלים של " היא שפה רגולרית מעל אLאם .היא רגולרית

שפת החיתוך שלהן היא L2 -ו 1Lשתי שפות , לדוגמה,אם קיימות שפת חיתוךמסמנים זאת כך . . L2 - לוגם 1L - לגםקבוצת כל המילים ששייכות

:L2∩L1

היא שפה רגולרית שפת החיתוך L2 היא שפה רגולרית וגם 1Lאם .שלהן גם היא רגולרית

פת האיחוד שלהן היא ש L2 -ו 1Lשתי שפות , לדוגמה ,אם קיימות שפת האיחוד

: מסמנים זאת כך . L2 - ל או 1L - לאוקבוצת כל המילים ששייכות

L2∪L1.

היא שפה רגולרית שפת האיחוד L2 היא שפה רגולרית וגם 1Lאם .שלהן גם היא רגולרית

לא בהכרח רגולרית

רגולרית

רגולרית

רגולרית

- כך ש L2 -ו L1 ב ולכל שתי שפות "עלינו להראות כי לכל א, על מנת להוכיח כי הטענה נכונה בכל מקרה L2⊆ L1 ו - L1 חייב להתקיים ש, רגולרית- L2 ת הטענה די למצוא דוגמה כדי להפריך א. היא שפה רגולרית

.טענה נגדית, כלומר , אחת שבה הטענה אינה מתקיימת L 1 = { a n b m } L 2 = { a n b n }

1L 2 רגולריתL 1 -ל חלקיתLאך היא אינה רגולרית


טכניקת הבנייה– אוטומט מכפלה :4 דוגמה

וכן אוטומט המקבל את 2L - וגם ב1L -את שפת כל המילים שנמצאות ב בנה אוטומט המקבל {a,b,c,d}ב "הא .2L- או ב1L-שפת כל המילים שנמצאות ב

L1=ba שפת כל המילים שאינן מכילות את הרצף L2 = cd שפת כל המילים שמכילות את הרצף

:תשובה


ההבדל בין האוטומט המקבל את שפת החיתוך לבין

ט המקבל את שפת האוטומהאיחוד הוא רק בציון

.המצבים המקבלים

המצבים המקבלים שיהיו באוטומט האיחוד הם כל

המצבים שבהם מופיע q0,q1או p2 . 7 כלומר יהיו

.מצבים מקבלים


הוכחת שפה רגולרית באמצעות תכונת הסגירות של המשפחות הרגולריות :5 דוגמה

ומספר אי זוגי של 0 המכילה את כל המילים שיש בהן מספר זוגי של אותיות {a,b,c}ב "נתבונן בשפה מעל האהוכח את תשובתך ? האם שפה זו היא רגולרית . 20הרצף ואף לא את , 0,1ואינן מכילות את הרצף , 1אותיות

)101 עמוד 3.25תרגיל . (

:תשובה



רגולריות של שפה -דוגמה להוכחת אי :שאלה

.הוכח את תשובתך ? היא רגולרית {a,b}ב " מעל הא{anbn | n≥0}האם השפה

:הערה

:תשובה

. אינה רגולרית על ידי הוכחה בדרך השלילה Lנוכיח שהשפה

.Aונניח ששמו , לכן קיים אוטומט סופי שמקבל אותה . היא רגולרית Lנניח שהשפה

אנו ) . }a,aa,aaa,aaaa,…} ε,כלומר על הקבוצה ({an |n≥0}נסתכל על קבוצת המילים

גם את טענה זו נוכיח בדרך . מגיע למצב שונה A האוטומט ,טוענים שעל כל מילה בקבוצה זו :שלילה

. q מגיע לאותו מצב A שעליהן האוטומט aj - ו aiאנו מניחים שקיימות בקבוצה שתי מילים

האוטומט , לכן . b שבה שווה למספר אותיות aכי מספר אותיות , L שייכת לשפה aibiהמילה

מביאה את האוטומט למצב aiהרישא של המילה .קבלו מילה זו כקלט ב, צריך להגיע למצב מקבל

q , ולכן הגעת המילהbi במצב q מביאה את האוטומט למצב מקבל .

קריאת הרישא , על פי הנחת השלילה : ajbiמכאן נובע שאוטומט זה מקבל גם את המילה , אך

aj מביאה את האוטומט למצב q , וכאמור הגעת המילה bi במצב q מביאה את האוטומט

שבה אינו שווה a כי מספר אותיות , L אינה שייכת לשפה ajbi אבל המילה . למצב מקבל

. bלמספר אותיות

מקבל את השפה A שהאוטומט –קבלת מילה שאינה שייכת לשפה סותרת את הנחתנו הראשונית

L - ים מתוך הקבוצה שעליהן מגיע קיום שתי מיל( והמסקנה היא שהנחת השלילה שהנחנו

. והאוטומט אכן מגיע למצב שונה על כל מילה בקבוצה, הייתה שגויה ) q לאותו מצב Aהאוטומט בסתירה , מכאן נובע שלאוטומט זה יש אין ספור מצבים , בקבוצה זו יש אין ספור מילים , אבל

.להיותו אוטומט סופילא קיים אוטומט במקבל , כלומר , הייתה שגויה שהנחתנו הראשונית, מסתירה זו אנו מסיקים

.L את השפה

aהיא אינה רגולרית כי אוטומט שצריך לבדוק אם במילה נתונה מספר אותיות , אינטואיטיבית b ולהשוות את התוצאה למספר אותיות aצריך לספור את אותיות , bשווה למספר אותיות

.אולם טיעון אינטואיטיבי אינו הוכחה . מספר אין סופי של מצביםוספירה זו מחייבת


. מודלים נוספים של אוטומט סופי – 4פרק

אוטומט סופי דטרמיניסטי לא מלא

, רכלומ). או אחד או אף אחד( אוטומט שבו לכל מצב ולכל אות קלט יהיה מעבר אחד לכל היותר עבור , כי באוטומט כזה, יתכן . באוטומט זה מאפשרים קיום משבצות ריקות בטבלת המעברים

" .נתקע"במצב כזה האוטומט . לא מותאם מעבר , מצב מסוים ואות קלט מסוימת

a -אוטומט סופי דטרמניסטי המקבל את שפת כל המילים המתחילות ב : 6 דוגמה


הגדרת אוטומט סופי דטרמיניסטי לא מלא

: יש חמישה מרכיבים לא מלאלאוטומט סופי דטרמיניסטי

מספר . האפשריות עבור האוטומט- סימנים כלשהם –כל אותיות הקלט ב"א. 1

. 0–אותיות זה חייב להיות סופי וגדול מ מספר המצבים חייב להיות . כל המצבים בהם יכול האוטומט להימצא מצבים. 2

.0– וגדול מ סופי שממנו מתחיל האוטומט את מסלול החישוב על כל , אחד המצבים מצב התחלתי. 3

.מילת קלט . מצבים או יותר 0המכילה , קבוצה מתוך קבוצת המצבים קבוצת מצבים מקבלים. 4 . ומצב , אות קלט , כל שלשה מורכבת ממצב . וצת שלשות קב קבוצת המעברים. 5

qi היא כאשר האוטומט נמצא במצב (qi,x,qj)משמעות שלשה (בקבוצה זו לא קיימות שתי ) qj הוא עובר למצב xונקראת האות

x=y - ו qi=qk כך שמתקיים (qk,y,qe) - ו (qi,x,qj)שלשות )כל זוג של מצב ואות קלט כלומר אין יותר ממעבר אחד ל(

כמו בהגדרה של ( כאן אין אפשרות לדבר על פונקצית מעברים וזאת משום שייתכן כי יהיו זוגות עבורם ) אוטומט דטרמיניסטי מלא

.לא יותאם מצב

קבלה ודחייה של מילים על ידי אוטומט סופי דטרמיניסטי לא מלא : הגדרה , ט סופי דטרמיניסטי לא מלא מקבל מילה כאשר היא נקראת עד סופה אוטומ .א

.ובתום קריאתה נמצא האוטומט במצב מקבל :אוטומט סופי דטרמיניסטי לא מלא דוחה מילה במקרים הבאים .ב

.המילה נקראת עד סופה ובתום קריאתה נמצא האוטומט במצב לא מקבל .1ר ממו אין מעבר המתאים במהלך קריאת המילה מגיע האוטומט למצב אש .2

) .נתקעהאוטומט (לאות הקלט הבאה


דטרמניסטיאוטומט סופי לא

וכדי . מסלולי חישוב אפשרייםכמהבאוטומט סופי לא דטרמיניסטי יכולים להיות למילת קלט אנו בוחנים את כל המסלולים ורואים אם יש , ידי אוטומט כזה להחליט אם מלה מתקבלת על

לפני האוטומט עומדות שתי אפשרויות ועליו . לפחות אחד מהם שהוא מסלול חישוב מקבל .איזו מהן טובה יותר עבורו " נחש"ל

אוטומט סופי לא דטרמניסטי : 7 דוגמה

ac או ברצף b - שמסתיימות ב {a,b,c}ב "ילים מעל האתאר אוטומט לא דטרמניסטי שמקבל את שפת כל המ


הגדרת אוטומט סופי לא דטרמיניסטי

:לאוטומט סופי לא דטרמיניסטי יש חמישה מרכיבים מספר . האפשריות עבור האוטומט- סימנים כלשהם –כל אותיות הקלט ב"א. 1

. 0–פי וגדול מ אותיות זה חייב להיות סו מספר המצבים חייב להיות . כל המצבים בהם יכול האוטומט להימצא מצבים. 2

.0– וגדול מ סופי שממנו מתחיל האוטומט את מסלול החישוב על כל , אחד המצבים מצב התחלתי. 3

.מילת קלט .ותר מצבים או י0המכילה , קבוצה מתוך קבוצת המצבים קבוצת מצבים מקבלים. 4 . ומצב , אות קלט , כל שלשה מורכבת ממצב . קבוצת שלשות קבוצת המעברים. 5

qi היא כאשר האוטומט נמצא במצב (qi,x,qj)משמעות שלשה ( ) . qj הוא עובר למצב xונקראת האות

כמו בהגדרת המרכיב החמישי האוטומט דטרמיניסטי לא – גם כאן כמו בהגדרה של ( פשרות לדבר על פונקצית מעברים אין א–מלא

וזאת משום שלא וכל זוג של מצב ואות ) אוטומט דטרמיניסטי מלא .קלט מותאם מצב

קבלה ודחייה של מילים על ידי אוטומט סופי לא דטרמיניסטי : הגדרה

לה מסלול חישוב המתאים למיקייםאוטומט סופי לא דטרמיניסטי מקבל מילה אם .א

.במצב מקבל ) עם תום המילה(זו ומסתיים אוטומט סופי לא דטרמיניסטי דוחה מילה אם לא קיים מסלול חישוב מקבל המתאים . ב

או שהמסלול מסתיים , בכל מסלול חישוב אפשרי למילה זו האוטומט נתקע . למילה זו .במצב שאינו מקבל

כוחם של המודלים החדשים

? אוטומט סופי לא דטרמיניסטי המקבל אותה לא קיים עבורה יתרגולרהאם ישנה שפה

.מכיוון שלמעשה אוטומט דטרמיניסטי הוא מקרה פרטי של אוטומט לא דטרמיניסטי . לא

? אוטומט סופי לא דטרמיניסטי המקבל אותה קיים עבורה לא רגולריתהאם ישנה שפה רמיניסטים ולהפוך את האוטומט דט-בכל אוטומט נתון ניתן להיפתר מהאי. לא

.לדטרמיניסטי

תכונות נוספות של משפחת השפות הרגולריות

משלים : -משפחת השפות הרגולריות סגורה ל חיתוך איחוד היפוך שרשור


:תשובה

דוגמה לבניית אוטומט היפוך


דוגמה לבניית ורשרש אוטומט

תשובה


אוטומט המחסנית- 2חלק

אוטומט המחסנית– 5פרק

מט מחסנית לא דטרמיניסטיאוטו

מודל של מערכת המגיבה על , אף הוא כמו אוטומטיים סופיים , אוטומט מחסנית לא דטרמיניסטי .סדרות סופיות של קלטים הנקראות מילים

ובמחסנית יש סדרה , בזמן נתון נמצאת מערכת זו במצב אחד מתוך קבוצה סופית של מצבים תוך כדי ביצוע שינוי , יאת אות קלט מתבצע מעבר ממצב למצב עם קר. של אותיות ) אולי ריקה(

.במחסנית

אוטומט מחסנית לא דטרמיניסטי : הגדרה

:לאוטומט מחסנית לא דטרמיניסטי יש שישה מרכיבים מספר . האפשריות עבור האוטומט- סימנים כלשהם –כל אותיות הקלט ב הקלט"א. 1

. 0– מ אותיות זה חייב להיות סופי וגדול , זהו מרכיב חדש . האותיות שאותן יכול האוטומט לדחוף למחסנית ב המחסנית"א. 2

.גם מספר אותיות אלה סופי . שלא היה קיים בהגדרת אוטומט סופי מספר המצבים חייב להיות . כל המצבים בהם יכול האוטומט להימצא מצבים. 3

.0– וגדול מ סופי שממנו מתחיל האוטומט את מסלול החישוב על כל , ים אחד המצב מצב התחלתי. 4

.מילת קלט . מצבים או יותר 0המכילה , קבוצה מתוך קבוצת המצבים קבוצת מצבים מקבלים. 5 ב "אות מא, אות קלט , כל חמישיה מורכבת ממצב . קבוצת חמישיות קבוצת המעברים. 6

. ב המחסנית" אמצב ומילה מעל) או סימן שהמחסנית ריקה(המחסנית


דוגמה לתשובה בנושא אוטומט מחסנית

שאלה L= (a : {a,b,c}ב " מעל האLנתונה השפה n b m c m a k | n>0 , n>k , m>0 }

הגדר אוטומט מחסנית המקבל את השפה

תשובה {a,b,c} - ב הקלט"א )1 { S ,A , T , B , ┴ } - ב המחסנית"א )2

.ת ריקה מסמן שהמחסני- ┴ S -כדי לסמן קריאת ה -a הראשונה .

A - כדי לסמן קריאת a שאינה ראשונה . T -כדי לסמן קריאת ה -b הראשונה . B - כדי לסמן קריאת b שאינה ראשונה .

q0 , q1 , q2 , q3 - המצבים )3 q0 המצב ההתחלתי )4 q3 המצבים המקבלים )5 :קבוצת המעברים ) 6

( q0 , a , ┴ , q0 , S ) ( q0 , a , S , q0 , SA ) ( q0 , a , A , q0 , AA ) ( q0 , b , S , q1 , ST ) ( q0 , b , A , q1 , AT ) ( q1 , c , T , q3 , ε ) : :

q0 q1 q2

q3

a , A , A דחוף a , / S דחוף

a , S / A דחוף

a , A / A דחוף

b , A / T דחוף

b , S / T דחוף

b , T / B דחוף

b , B / B דחוף

c , B / B שלוף

c , B / B שלוף

c , T / T שלוף c , T / T שלוף

a , A / A שלוף

השלם את קבוצת המעברים

:ללא שינוי יסומן כך : הערה

( q5 , a , A , q6 , A )


בלותיו של אוטומט המחסנית כוחו ומג– 6פרק

ניתן לעשות –כוח החישוב של אוטומט המחסנית הלא דטרמיניסטי גדול מזה של האוטומט הסופי בעזרת מודל האוטומט כל מה שניתן לעשותבעזרת מודל אוטומט המחסנית הלא דטרמיניסטי

. ויותרהסופי

{ anbn| n≥0 }: לדוגמה

. אינו זההב דטרמיניסטי ואוטומט חישוב לא דטרמיניסטי כוח החישוב של אוטומט חישואך לאוטומט , לאוטומט מחסנית דטרמיניסטי יש כוח חישוב גדול יותר מזה של האוטומט הסופי

.מחסנית לא דטרמיניסטי כוח חישוב גדול עוד יותר w.R(w) |{a,b}} ב " מילה מעל האW {: לדוגמה

כלומר יש שפות שלא . אפילו בגרסתו הלא דטרמיניסטית , נו מוגבל גם מודל אוטומט המחסנית הי

.ניצן לקבל בעזרתו

{ anbncn| n≥0 }: לדוגמה

תכונות של משפחת השפות חופשיות ההקשר

היא שפה שמתקבלת על ידי אוטומט מחסנית לא שפה חופשית הקשר . דטרמיניסטי

.צת כל השפות חופשיות ההקשר היא קבו- משפחת השפות חופשיות ההקשר

אופי השפההאם ?רגולרית

האם חופשית ?הקשר

לא לא שפה חלקית לא כן שפת המשלים לא כן שפת החיתוך כן כן שפת האיחוד כן כן שפת ההיפוך כן כן שפת השרשור


מכונת טיורינג- 3 חלק

מכונת טיורינג – 7פרק

ההרחבה מתבטאת בגישה . ינג מתקבל על ידי הרחבת מודל אוטומט מחסניתמודל מכונת טיורוניתן לראות את , איננו מוגבלים רק בגישה לתא העליון של המחסנית : חופשית יותר לזיכרון

.תוכנו של כל תא ולשנות את תוכנו של כל תא

מכונת טיורינג: הגדרה : יש שישה מרכיבים מכונת טיורינג ל שיכולות להיות רשומות על הסרט לפני תחילת תהליך כל אותיות קלטב ה"א. 1

. 0–זה חייב להיות סופי וגדול מ ב "באאותיות ה מספר .החישוב גם .אותיות נוספות שבהן יכולה המכונה להיעזר במהלך פעולתה המכונהב "א. 2

.מספר אותיות אלה סופי מספר המצבים חייב להיות . א להימצה המכונה כל המצבים בהם יכול מצבים. 3

.0– וגדול מ סופי .המצב שממנו מתחילה תמיד המכונה את מסלול החישוב מצב התחלתי. 4 . מצבים או יותר 0המכילה , קבוצה מתוך קבוצת המצבים קבוצת מצבים מקבלים. 5 :מהאיברים הבאים כל חמישיה מורכבת . קבוצת חמישיות קבוצת המעברים. 6

מצב .א .├∆ ב המכונה או אחד הסימנים " או מאקלטב ה"מאאות .ב מצב .ג או מאחד הסימנים ב המכונה"או א, הקלט ב "אות מא .ד . שמאל או ימיןאחת מההוראות .ה

:השינויים והתוספות למודל מכונת טיורינג

.אנו מציירים את הזיכרון כשהוא פרוס הצידה .א .∆ימן המיוחד אנו מסמנים במפורש תאים ריקים בעזרת הס .ב

לא ניתן למחוק סימן זה ולא ניתן לכתוב אותו . ├קצה הסרט מסומן על ידי הסימון .ג .בשום מקום אחר על פני הסרט

אנו מסמנים את מיקום . שמצביע על התא שאליו מתייחסים כרגע, יש ראש קורא וכותב .ד

.↑ הראש על ידי חץ קטןכשהיא צמודה לקצהו , ל פני הסרט מילת הקלט רשומה ע, בתחילת תהליך החישוב .ה

.השמאלי ניתן , כאשר המכונה עוצרת . מכונת טיורינג עוצרת רק כאשרהצעד הבא אינו מוגדר .ו

כתלות במצב שבו המכונה נמצאת בזמן , לקבוע אם מילת הקלט התקבלה או נדחתה .עצירתה


אי עצירה של מכונת טיורינג

האוטומט נעצב בהגיעו . וטומטי מחסנית הם סופיים תהליכי החישובים באוטומטים סופיים ובאמכונת טיורינג יכולה לסרוק את מילת הקלט כמה וכמה פעמים ועשוי להיווצר . לסוף מילת קלט

.מצב שבו תהיה סריקה אין סופית של הסרט

בעזרת מכונות טיורינג חישובים

רק להכריע שייכות של מילים גם לחשב פונקציות ולאמכונת טיורינג היא כלי שבעזרתו ניתן היא מקבלת את הפרמטרים לחישוב , כאשר מכונת טיורינג מחשבת פונקציה .לשפות פורמליות

שיטת הכתיבה .ורושמת את התוצאה בסיום החישוב על פני הסרט , על פני הסרט כמילת קלטבסיום התהליך . )9..0 ועשרונית 1..0 -להבדיל מבינארית( בלבד 1 שימוש בספרה –היא אונרית

.$ הפלט יופיע על הסרט בין שני סימני

טיורינגכוחו ומגבלותיו של אוטומט

: לכוחם של המודלים הקודמים בהשוואהכוחו של מודל מכונת טיורינג

ניתן לעשות בעזרת – אוטומט המחסנית גדול מזה של מכונת טיורינגכוח החישוב של . ויותר המחסנית בעזרת מודל אוטומט תן לעשותכל מה שני מכונת טיורינג

{ anbn cn| n≥0 }: לדוגמה

:ו של מחשב כלליכוחו של מודל מכונת טיורינג לכוח

זוהי התיזה של –שאין לו מגבלות זיכרון , כוחו של מודול מכונת טיורינג שקול למחשב אידיאלי קיימת תוכנית , הניתנת לפתרון בעזרת מכונת טיורינג שעוצרת תמיד כל בעיה. רץ וטיורינג 'צ

קיימת מכונת טיורינג , ולכל בעיה בניתנת לפתרון בעזרת תכנית מחשב , מחשב שפותרת אותה .העוצרת תמיד שפותרת אותה

:המחשב אינו כל יכול

היא רצה על קלט לא ניתן לכתוב תוכנית מחשב שמזהה אם תוכנית מחשב נתונה עוצרת כאשר .בעיה זו נקראת בעיית העצירה . נתון

an bn

an bm

an bn cn

Documents

םייבושיח םילדומ ריצקת - amalnet.k12.il›יתות יא יב... · 8 יטסינמרטד יפוס טמוטואו תירלוגר הפש - 3.5 8 תוירלוגרה