ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ОДНОГО КЛАССА …apu.npomars.com/images/pdf/39_9.pdf · зуя основные законы теоретической механики

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Автоматизация процессов управления № 1 (39) 2015 63

УДК 539.3:533.6:517.9

П.А. Вельмисов, С.В. Киреев

ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ОДНОГО КЛАССА НЕЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ АЭРОГИДРОУПРУГОСТИ1

Вельмисов Петр Александрович, доктор физико-математических наук, профессор, окончил механико-математический факультет Саратовского государственного университета. Заведующий кафедрой «Выс-шая математика» УлГТУ. Имеет статьи и монографии в области аэрогидромеханики, аэрогидроупругости, математического моделирования. [e-mail: [email protected]].

Киреев Сергей Владимирович, кандидат физико-математических наук, окончил механико-матема-тический факультет Московского государственного университета (филиал в г. Ульяновске). Доцент кафедры «Высшая математика» УлГТУ. Имеет статьи и монографию по аэрогидроупругости, математиче-скому моделированию. [e-mail: [email protected]].

АннотацияНа основе предложенных нелинейных моделей и разработанного численного метода решения соответствующих

краевых задач для нелинейных интегро-дифференциальных уравнений исследуется статическая неустойчивость (ди-вергенция) трубопровода с протекающей в нем жидкостью. Численный метод решения задачи о бифуркации включает в себя метод Рунге-Кутта 6-го порядка с контролем погрешности на шаге, метод Ньютона решения нелинейных уравнений и интегрирование с использованием квадратурных формул Ньютона-Котеса. Решение краевой задачи сводится к ре-шению задачи Коши, сложность которой заключается в том, что в уравнении присутствует интегральное слагаемое, для вычисления которого требуются значения подынтегральной функции сразу на всем отрезке интегрирования, что делает невозможным прямое применение метода Рунге-Кутта. Для разрешения этой проблемы (вычисление интеграла) был разработан специальный итерационный процесс. Численная реализация проведена с помощью программы, написанной на языке Delphi 7. Получены бифуркационные диаграммы, показывающие зависимость максимального прогиба элемен-та от скорости набегающего потока, и определены формы прогиба элемента. Было проведено сравнение полученных численных решений с аналитическими решениями.

Ключевые слова: устойчивость, дивергенция, упругий элемент, трубопровод, нелинейная модель, дифференциаль-ные уравнения, краевая задача, математическое моделирование, численный метод.

NUMERICAL METHOD FOR SOLVING A CLASS OF NONLINEAR BOUNDARY VALUE PROBLEMS OF AEROHYDROELASTITY

Petr Alexandrovich Velmisov, Doctor of Physics and Mathematics, Professor; graduated from the Faculty of Mechanics and Mathematics of Saratov State University; Head of the Department of Higher Mathematics at Ulyanovsk State Technical University; an author of articles and monographs in the field of aerohydromechanics, aerohydroelasticity, and mathematical modeling. e-mail: [email protected] Vladimirovich Kireev, Candidate of Physics and Mathematics; graduated from the Faculty of Mechanics and Mathematics of Moscow State University (Branch at Ulyanovsk); Associate Professor at the Department of Higher Mathematics of Ulyanovsk State Technical University; an author of articles and a monograph in the field of aerohydroelasticity and mathematical modeling. e-mail: [email protected].

Abstract

On the basis of nonlinear models proposed and a numerical method developed for solving corresponding boundary value problems in nonlinear integro-differential equations static instability (divergence) of the pipeline with the fluid flowing in it is investigated. A numerical method for solving the bifurcation problem includes the Runge-Kutta 6-th order method with the error control at each step, Newton's method for solving nonlinear equations and integration with the use of Newton-Kotesa quadrature formulas. Solving the boundary value problem is reduced to solving a Cauchy problem. The complexity of a Cauchy problem is that there is an integral term in the equation. Calculation of this term needs values of the whole integration interval. It makes the direct application of the Runge-Kutta method impossible. To solve this problem (integration) a special

1 Работа выполнена в рамках государственного задания №2014/232 Минобрнауки России и при поддержке гранта РФФИ №15-01-08599.

MATHEMATICAL MODELING

Automation of control Processes № 1 (39) 201564

iterative process was developed. Numerical realization is provided with the use of a program written in Delphi 7. Bifurcation diagrams showing the dependence between maximal element bending and the inflow velocity are obtained. Moreover, the element’s forms of deflection are specified. The obtained numerical solutions were compared with analytical ones.

Key words: stability, divergence, elastic element, pipeline, nonlinear model, differential equations, boundary value problem, mathematical modeling, numerical method.

ВВедение

При проектировании и эксплуатации конструкций, приборов, устройств различного назначения, взаимо-действующих с потоком жидкости, важной проблемой является обеспечение надежности их функционирова-ния и увеличение сроков службы. Подобные проблемы присущи многим отраслям техники. В частности, такого рода задачи возникают при проектировании реакторов, гидротехнических сооружений, трубопроводных систем и т. д. Существенное значение при расчете конструкций, взаимодействующих с потоком жидкости, имеет иссле-дование устойчивости деформируемых элементов, так как воздействие потока может приводить к ее потере. Примером статической потери аэроупругой устойчиво-сти является дивергенция (закручивание) трубопровода, что может привести к разрушению конструкции. Таким образом, при проектировании конструкций и устройств, находящихся во взаимодействии с потоком жидкости, необходимо решать задачи, связанные с исследованием устойчивости, требуемой для их функционирования и на-дежности эксплуатации. В статических задачах вопрос об исследовании устойчивости ставится так: при каких статических изменениях параметров (внешних параме-тров – воздействующих на систему извне, и внутренних – присущих самой системе) система может совершать скач-кообразный переход из одного состояния равновесия в другое (явление дивергенции). В качестве таких основ-ных параметров в статических задачах гидроупругости выступают скорость потока, прочностные характеристики, сжимающие усилия. В случае реализации указанных яв-лений происходит переход параметров через некоторые критические значения, при этом меняется качественная картина решений. В окрестности точки бифуркации воз-можны несколько решений, и тем самым, несколько поло-жений равновесия обтекаемого тела.

Характерной особенностью большей части задач ги-дроупругости, значительно осложняющей их решение, яв-ляется то, что силовое воздействие потока на обтекаемое деформируемое тело нельзя найти заранее, до решения задачи об определении деформаций тела. Поэтому суще-ственным моментом в теории гидроупругости является учет взаимного (обратного) влияния деформаций тела и поля скоростей и давлений потока (т. е. учет взаимодей-ствия гидродинамических сил, сил упругости, сил инерции и т. д.). В некоторых случаях это удается сделать, исполь-зуя основные законы теоретической механики и оценивая воздействие газа на тело интегрально (без детального ис-

следования гидродинамического течения). Следует отме-тить также, что успешное решение задач гидроупругости связано с гармоничным взаимодействием различных наук: аэрогидромеханики, механики твердого деформируемого тела, теории оболочек и пластин, вычислительной матема-тики – и требует применения знаний широкого круга об-ластей механики и математики, что вносит дополнитель-ные трудности в исследования соответствующих задач.

Устойчивости упругих тел, взаимодействующих с пото-ком жидкости, посвящено большое количество теоретиче-ских и экспериментальных исследований, проведенных в последние десятилетия. Исследования в этом направлении представлены в работах Белоцерковского С.М., Скрипа-ча Б.К., Табачникова В.Г., Григолюка А.Г., Болотина В.В., Вольмира А.С., Лампера Р.Е., Шандарова Л.Г., Новичко-ва Ю.Н., Бисплингхоффа Р.Л., Эшли Х., Халфмана Р.Л., Фына Я.Ц., Фершинга Г., Ильюшина А.А., Кийко И.А., Ал-газина С.Д., Мовчана А.А., Дж. Майлса, Пановко Я.Г., Губановой И.И., Ильгамова М.А., Кудрявцева Б.Ю., Ми-насяна Д.М., Морозова В.И., Овчинникова В.В., Могилеви-ча Л.И, Вельмисова П.А. и др. Решение задач о статической неустойчивости конструкций связано с теорией ветвления решения дифференциальных уравнений. Исследования в этом направлении проводились аналитическими и числен-ными методами в работах Абботта Ж.П., Аткинсона К.Е., Бола Е., Крандалла М.Г., Рабиновича П.Х., Демулина М.Ж., Чена М., Холмеса П., Марсдена Ж., Кеенера Ж.П., Келле-ра Х.Б., Кубичека М., Марека М., Лангфорда В.Ф., Плау-та Р.Х., Редиена Г.В., Зейдела Р., Стакгольда И., Вебера Х., Вайнберга М.М., Треногина В.А., Логинова Б.В., Вельмисо-ва П.А., Сидорова Н.А. и др. В частности, результаты ис-следований устойчивости упругих элементов конструкций, взаимодействующих с потоком жидкости, приведены в ра-ботах Буйвола В.Н, Вольмира А.С., Григолюка Э.И., Горш-кова А.Г., Мамая В.И., Ильгамова М.А., Милославского А.И., Мовчана А.А., Светлицкого В.А. [1–8], а также в работах авторов данной статьи [9–18].

Рассматриваемые в данной работе задачи являются нелинейными, что увеличивает сложность их решения. На основе предлагаемых математических моделей и раз-работанного численного метода, исследуется ветвление решения задачи о дивергенции трубопровода с классиче-скими граничными условиями, а также с линейным упру-гим закреплением концов. Решение задачи о бифуркации проводилось численно с помощью разработанного мето-да, включающего в себя метод Рунге-Кутта 6-го порядка с контролем погрешности на шаге, метод Ньютона решения нелинейных уравнений и интегрирование с использова-нием квадратурных формул Ньютона-Котеса.



1 Задача о статической неустойчиВости трубо-проВодасупругимЗакреплениемконцоВ

Предлагаемая математическая модель задачи об изгибных формах трубопровода, с протекающей по нему жидкостью, описывается нелинейным интегро-дифференциальным уравнением:

D = EJ, N = N0 + m*U2, (1)

В (1) w(x) – прогиб (деформация) трубопровода;

f(w) – реакция основания (упрочняющего слоя); D –

изгибная жесткость трубопровода; N0 > 0 – сжимаю-

щее (N0 < 0 – растягивающее) усилие; m* – удельная

масса жидкости; U – скорость движения жидкости;

aj ( j = 1 ÷ ∞) – коэффициенты, характеризующие жест-кость основания; интегральный член учитывает нелинейное

воздействие продольного усилия; E – модуль упругости;

F – площадь поперечного сечения трубопровода; J – мо-мент инерции сечения трубопровода. Все коэффициенты, входящие в уравнение и граничные условия, постоянные.

Рассмотрим уравнение (1), в котором реакция упроч-няющего слоя пропорциональна кубу деформации

( f (w) = a3w3 ):

(2)

Перейдем в уравнении (2) к безразмерным перемен-

ным. После замены x = ℓx , w = ℓw, где ℓ – характерный размер (длина трубопровода), а величины с чертой – без-размерные переменные, приходим к уравнению:

(3)

Рассмотрим граничные условия:

(4)

Условия (4) соответствуют свободному левому концу и упругой связи на правом конце (перерезывающая сила пропорциональна прогибу, а изгибающий момент пропор-ционален углу поворота) трубопровода. В дальнейшем черту над переменными опускаем.

Задача (3), (4) решалась численно. Численная реали-зация заключается в сведении краевой задачи к началь-ной задаче Коши. Уравнение (3) четвертого порядка, а в исходной постановке имеется два начальных условия, поэтому для начальной задачи Коши не хватает двух усло-вий. Запишем эти условия в следующем виде: w(0) = λ, w'(0) = ν, где λ, ν – параметры. Введем функции:

(5)

отвечающие за граничные условия. Решаем следующую задачу Коши:

(6)

Задача Коши (6) будет соответствовать краевой зада-че (3), (4), если выполнятся условия:

F1(λ, ν) = 0, F2(λ, ν)

= 0. (7)

Параметры λ, ν будем определять с помощью Ньюто-новского процесса, по формулам:

(8)

Этот итерационный процесс будем продолжать до тех пор, пока не выполнятся условия

| F1 | < ε и | F2 | < ε, (9)

где ε – заданная точность вычисления. Введем следую-щие обозначения. Пусть

w = y1, w' = y2, w'' = y3, w''' = y4, (10)тогда интегро-дифференциальное уравнение в (6) можно записать в виде системы:

(11)

где

Обозначим:

(12)



Тогда задача Коши (6) примет вид:

(13)

Задачу Коши (13) решаем методом Рунге-Кутта 6-го порядка с контролем погрешности на шаге. Сложность задачи Коши заключается в том, что в уравнении (13) присутствует интегральное слагаемое, для вычисления которого требуются значения подынтегральной функции сразу на всем отрезке интегрирования, что делает невоз-можным прямое применение метода Рунге-Кутта. Поэтому значение интеграла в уравнении (13) может быть получе-но из следующего итерационного процесса. Представим

решаемое уравнение в виде: D(wk) + I(wk),

где

k = 1, 2, .... .

1. Решаем уравнение D(w1) = 0 методом Рунге-Кутта по формулам:

(14)

Получаем значения w1'(x) и w1''(x) (k = 1) на всем отрезке интегрирования, необходимые для вычисления

интегрального слагаемого I(w1);

2. Находим I(w1). Выражение I(w1) содержит интеграл, который вычисляем с помощью квадратурной формулы

Ньютона-Котеса. Пусть вычисляется интеграл

.

Отрезок интегрирования [a; b] разделим на n одинаковых

частей длины h = (b − a)/n. Число n выбираем кратным 5, для того чтобы весь интервал интегрирования разбился

на участки, на которых подынтегральную функцию q(x) будем аппроксимировать интерполяционным многочле-

ном Лагранжа L5(x) четвертой степени

,

где

– весовая функция.

Тогда интеграл

будет определяться в виде сум-

мы интегралов вида:

(15)

где

3. Решаем уравнение D(w2) + I(w1) = 0 методом

Рунге-Кутта (14). Получаем значения w2'(x) и w2''(x)

(k = 2) на всем отрезке интегрирования;

4. Находим I(w2), используя формулу (15);5. И т. д.Итерационный процесс продолжаем до тех пор, пока

не выполнится условие |wk(x) − wk − 1(x)| < ε, где ε – то же

самое, что и в Ньютоновском процессе; wk(x) – прогиб на

k-м шаге; wk−1(x) – прогиб на (k − 1)-м шаге. Численная реализация проведена с помощью программы, написанной на языке Delphi 7. Результатом работы программы являет-ся нахождение значения величины и определение формы прогиба пластины при различных заданных значениях

возмущения ε. При решении поставленной задачи можно

получить график w(x), описывающий форму прогиба пла-стины и бифуркационные диаграммы, показывающие за-висимость максимального прогиба пластины от скорости набегающего потока. Приведем примеры решения данной задачи с различными физическими параметрами.

Пример 1. Рассмотрим модель с параметрами:

a3 = 1, θ = 6592∙105 Н/м, ℓ = 1 м, N0 = 1 Н, m* = 10 кг,

D1 = 149 кг/м2 , D2 = 150 кг/м2, D3 = 151 кг/м2.

Рис. 1. Бифуркационные диаграммы



На рисунке 1 приведены бифуркационные диаграм-мы, построенные с помощью разработанной программы, при фиксированных коэффициентах изгибной жесткости

D2 < D0 < D3 в зависимости от изменения скорости потока

сверх критических значений λ2 < λ

0 = < λ

3. На диаграм-

мах, представленных на рисунке 1, крайний левый график

соответствует λ2, D2, средний – λ

0, D0, крайний правый –

λ3, D3. На рисунке 1 верхние ветви диаграмм соответству-

ют положительным решениям, а нижние – отрицательным. На рисунке 2 представлены формы прогиба трубопровода,

соответствующие асимптотическому решению, где φ(x)

соответствует положительному решению (φ(x) = w(x)),

ψ(x) – отрицательному (ψ(x) = −w(x)), а графики на ри-сунке 3 соответствуют численному решению.

Было проведено сравнение полученных численных решений с аналитическими, при этом использовался ма-тематический пакет Mathcad 15. С помощью этого пакета вычислялись коэффициенты, входящие в асимптотическое решение, полученное аналитически методом Ляпунова-Шмидта. Точность совпадения асимптотического решения в первом приближении с численным решением имеет по-рядок 10−3 .

Пример 2. В модели с параметрами: E = 206∙109 Н/м2

(сталь), ℓ = 2 м, θ = 35∙103 Н/м, a3 = 1 Н/м4, D2 = 449 Нм2,

D0 = 450 Нм2, D3 = 451 Нм2, N0 = 1 Н, m* = 10 кг/м,

c = 900 Н/м, d = 900 Н/м – бифуркационные диаграммы и формы прогиба трубопровода имеют вид, представлен-ный на рисунках 4–7.

Относительная погрешность составляет 0,02%.

Рис. 3. Прогиб пластины при численном решении

Рис. 4. Бифуркационная диаграмма, по-строенная с помощью разработанной про-граммы

Рис. 5. Бифуркационная диаграмма, построенная с помощью Mathcad

Рис. 2. Прогиб пластины для асимптотического решения



Пример 3. В модели с параметрами: E = 206∙109 Н/м2 (сталь), ℓ = 1 м, θ = 35∙103 Н/м, a3 = 1 Н/м4, D2 = 449 Нм2, D0 = 450 Нм2,

D3 = 451 Нм2, N0 = 1 Н, m* = 10 кг/м, c = 900 Н/м, d = 900 Н/м – бифуркационные диаграммы и формы прогиба трубо-провода имеют вид, представленный на рисунках 8–11.


Рис. 6. Формы прогиба трубопровода, построенные в Mathcad

Рис. 7. Формы прогиба трубопровода, построенные с помощью разработанной программы

Рис. 8. Бифуркационная диаграмма, построенная с помощью разработанной программы

Рис. 9. Бифуркационная диаграмма, построенная в Mathcad



Пример 1. Рассмотрим граничные условия:

w' (0) = 0, w''' (0) = 0, w(1) = 0, w'(1) = 0. (16)Условия (16) соответствуют свободному элементу

на левом конце и жесткой заделке на правом. Для мо-

дели (E = 206∙109 Н/м2 (сталь), ℓ = 1 м, θ = 35∙103 Н/м,

a3 = 1 Н/ м4, D2 = 449 Нм2, D0 = 450 Нм2, D3 = 451 Нм2,

N0 = 1 Н, m* = 10 кг/м) – бифуркационные диаграммы и формы прогиба трубопровода имеют вид, представлен-ный на рисунках 12–15.




2 Задача о статической неустойчиВоститрубопроВода с классическими однородными гранич-нымиуслоВиями

Математическая модель задачи описывается нели-нейным интегро-дифференциальным уравнением (4) и

совокупностью граничных условий в точках x = 0, x = ℓ. Задача решается численно аналогично задаче из пункта 1, с помощью той же программы. Рассмотрим несколько моделей задачи с различными граничными условиями.

Рис. 12. Бифуркационная диаграм-ма, построенная с помощью разрабо-танной программы




Пример 2. Бифуркационные диаграммы и формы прогиба трубопровода для граничных условий w (0) = 0, w'' (0) = 0, w(1) = 0, w'(1) = 0, соответствующих шарнирному закреплению при x = 0 и жесткому защемлению при

x = 1, имеют вид (см. рис. 16–19).Относительная погрешность численного и аналитического решений составляет 0,13%.



Рис. 16. Бифуркационная диаграм-ма, построенная с помощью разрабо-танной программы




Пример 3. Для граничных условий w (0) = 0, w'' (0) = 0, w(1) = 0, w''(1) = 0, соответствующих шарнирному за-креплению обоих концов, были построены аналогичным методом бифуркационные диаграммы и формы прогиба трубо-провода, представленные на рисунках 20–23.








Рис. 22. Бифуркационная диаграмма, по-строенная с помощью разработанной про-граммы


Заключение

Работа вносит вклад в решение научной проблемы, связанной с разработкой математических методов ис-следования устойчивости деформируемых элементов конструкции при гидродинамическом воздействии. Раз-работанные математические модели, численные методы и программное обеспечение позволяют усовершенствовать теоретическую базу современного проектирования взаи-модействующих с потоком жидкости упругих тонкостенных конструкций и соответствующих технических устройств и тем самым сократить время и средства, затрачиваемые на натурные эксперименты, а в некоторых случаях заменить их аналитическими оценками или проведением компью-терных исследований. Полученные в работе результаты углубляют представление о механических процессах вза-имодействия деформируемых тел с жидкостными среда-ми и имеют практическое значение для развития методов расчета гидроупругих конструкций.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫБуйвол В.Н. Колебания и устойчивость дефор-1.

мируемых систем в жидкости. – Киев : Наукова думка, 1975. – 190 с.

Вольмир А.С. Оболочки в потоке жидкости и газа. 2. Задачи гидроупругости. – М. : Наука, 1979. – 320 с.

Григолюк Э.И., Горшков А.Г. Взаимодействие 3. упругих конструкций с жидкостью. – Л. : Судостроение, 1976. – 200 с.

Григолюк Э.И., Мамай В.И. Нелинейное деформи-4. рование тонкостенных конструкций. – М. : Наука, 1997. – 272 с.

Ильгамов М.А. Введение в нелинейную гидроу-5. пругость. – М. : Наука, 1991. – 195 с.

Милославский А.И. Неустойчивость прямолиней-6. ного трубопровода при большой скорости жидкости, протекающей через него // Деп. в ВИНИТИ 11.11.81. № 5184-81. – Харьков, 1981. – 21 c.

Мовчан А.А. Об одной задаче устойчивости трубы 7. при протекании через нее жидкости // ПММ. – 1965. – Вып. 4. – С. 760–762.

Светлицкий В.А. Механика трубопроводов и шлан-8. гов: Задачи взаимодействия стержней с потоком жидко-сти или воздуха. – М. : Машиностроение, 1982. – 280 с.

Вельмисов П.А., Киреев С.В. Численный метод ис-9. следования статической неустойчивости трубопровода // Механика и процессы управления: сб. науч. тр. – Улья-новск : УлГТУ, 2004. – С. 4–10.

Киреев С.В. Математическое моделирование в 10. задаче о статической неустойчивости трубопровода с упругой связью // Континуальные алгебраические ло-гики, исчисления и нейроматематика в науке и технике : тр. международ. конф. – Т. 7: Математические методы и модели в прикладных задачах науки и техники. – Улья-новск : УлГТУ, 2004. – С. 51–58.

Вельмисов П.А., Киреев С.В. Численный метод ре-11. шения задачи о статической неустойчивости трубопрово-да // Вестник УлГТУ. – 2005. – № 1. – С. 17–20.

Вельмисов П.А., Киреев С.В. Математическое моде-12. лирование в задачах статической неустойчивости упру-гих элементов конструкций при аэрогидродинамическом воздействии : монография. – Ульяновск : УлГТУ, 2011. – 200 с.

Velmisov P.A., Kireev S.V. Numerical solution of 13. the bifurcation problem of the design elements subject to aerohydrodynamic effects // Romanian Society of Applied and Industrial Mathematics ROMAI JOURNAL. Vol. 2. Nu. 2. 2006. pp. 195–203.

Velmisov P.A., Kireev S.V. Mathematical Modeling 14. in Problems of Static Instability of Elastic Element of Constructions Upon Aero-Hydrodynamic Influence // Applications of Mathematics in Engineering and Economics: Proceedings of the 32nd International Conference. – Sozopol, Bulgaria: Softtrade Sofia, 2007. – pp. 50–65.

Вельмисов П.А., Киреев С.В. О статической неу-15. стойчивости трубопровода // Депонированная работа № 3870-В99 от 17.12.1999. – М. : ВИНИТИ, 1999. – 82 с.

Вельмисов П.А., Киреев С.В. О статической неу-16. стойчивости трубопровода // Численные и аналитические методы расчета конструкций : тр. международ. конф. – Самара : Самарская государственная архитектурно-строительная академия, 1998. – С. 244–249.



Киреев С.В. Дивергенция трубопровода // Матема-17. тические методы и модели: теория, приложения и роль в образовании. – Ульяновск : УлГТУ, 2009. – С. 54–58.

Вельмисов П.А., Киреев С.В. Численный метод ре-18. шения задачи о статической неустойчивости трубопрово-да // Прикладная математика и механика : сб. науч. тр. – Ульяновск : УлГТУ, 2004. – C. 140–145.

REFERENCES Buyvol V.N. 1. Kolebaniia i ustoichivost deformiruemykh

sistem v zhidkosti [Deformed System Oscillation and Stability in Fluid]. Kiev, Naukova dumka Publ., 1975. 190 p.

Volmir A.S. 2. Obolochki v potoke zhidkosti i gaza. Zadachi gidrouprugosti [Shells in Fluid and Gas Stream. Hydroelasticity Problems]. Moscow, Nauka Publ., 1979. 320 p.

Grigolyuk E.I., Gorshkov A.G. 3. Vzaimodeistvie uprugikh konstruktsii s zhidkostiu [The Interaction of Elastic Structures with Fluid]. Leningrad, Sudostroenie Publ., 1976. 200 p.

Grigolyuk E.I., Mamay V.I. 4. Nelineinoe deformirovanie tonkostennykh konstruktsii [The Nonlinear Deformation of Thin-Wall Constructions]. Moscow, Nauka Publ., 1997. 272 p.

Ilgamov M.A. 5. Vvedenie v nelineinuiu gidrouprugost [Introduction to the Nonlinear Hydroelasticity]. Moscow, Nauka Publ., 1991. 195 p.

Miloslavsky A.I. 6. Neustoichivost priamolineinogo truboprovoda pri bolshoi skorosti zhidkosti, protekaiushchei cherez nego [The Instability of a Non-linear Pipeline under the High Velocity of Containing Flowing Fluid]. Dep. v VINITI 11.11.81. no. 5184-81 [Deposited Paper of VINITI from November, 11, 1981, no. 5184-81], Kharkiv, 1981. 21 p.

Movchan A.A. Ob odnoi zadache ustoichivosti 7. truby pri protekanii cherez nee zhidkosti [On a Stability Problem of the Pipe Containing Flowing Fluid]. Prikladnaia metematika i mekhanika [Journal of Applied Mathematics and Informatics], 1965, Iss. 4, pp. 760–762.

Svetlitskiy V.A. 8. Mekhanika truboprovodov i shlangov: Zadachi vzaimodeistviia sterzhnei s potokom zhidkosti ili vozdukha [Pipelines and Flexible Tubes Mechanics: Interaction with a Fluid Flow or Air]. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1982. 280 p.

Velmisov P.A., Kireev S.V. Chislennyi metod 9. issledovaniia staticheskoi neustoichivosti truboprovoda [Numerical Research Method for the Statistic Pipeline Instability]. Mekhanika i protsessy upravleniia: sb. nauch. tr. [Mechanics and Control Processes: Proceedings], Ulyanovsk, UlSTU Publ., 2004, pp. 4–10.

Kireev S.V. Matematicheskoe modelirovanie v 10. zadache o staticheskoi neustoichivosti truboprovoda s uprugoi sviaziu [Mathematical Modeling for the Statistical Instability of Pipeline with Elastic Linkage]. Kontinualnye

algebraicheskie logiki, ischisleniia i neiromatematika v nauke i tekhnike : tr. mezhdunarod. konf., T. 7: Matematicheskie metody i modeli v prikladnykh zadachakh nauki i tekhniki [Proc. of Int. Conf. Continual Algebraic Logic, Calculus, and Neuromathematics in Science and Engineering, vol. 7: Mathematical Methods and Models in Applied Sciences], Ulyanovsk, UlSTU Publ., 2004, pp. 51–58.

Velmisov P.A., Kireev S.V. Chislennyi metod resheniia 11. zadachi o staticheskoi neustoichivosti truboprovoda [Numerical Method for the Decision of the Problem about Statistic Instability of the Pipeline]. Vestnik UlGTU [Bulletin of UlSTU], 2005, no. 1, pp. 17–20.

Velmisov P.A., Kireev S.V. 12. Matematicheskoe modelirovanie v zadachakh staticheskoi neustoichivosti uprugikh elementov konstruktsii pri aerogidrodinamicheskom vozdeistvii [Mathematical Modeling in Problems of Statistic Instability of Elastic Element of Constructions upon the Aerohydrodynamic Influence]. Ulyanovsk, UlSTU Publ., 2011. 200 p.

Velmisov P.A., Kireev S.V. Numerical Solution of 13. the Bifurcation Problem of the Design Elements Subject to Aerohydrodynamic Effects. Romanian Society of Applied and Industrial Mathematics ROMAI JOURNAL, vol. 2, no. 2, 2006, pp. 195–203.

Velmisov P.A., Kireev S.V. Mathematical Modeling 14. in Problems of Static Instability of Elastic Element of Constructions Upon Aero-Hydrodynamic Influence. Applications of Mathematics in Engineering and Economics: Proceedings of the 32nd International Conference, Sozopol, Bulgaria, Softtrade Sofia, 2007, pp. 50–65.

Velmisov P.A., Kireev S.V. 15. O staticheskoi neustoichivosti truboprovoda [On the Statistic Instability of a Pipeline]. Deponirovannaia rabota no. 3870-V99 ot 17.12.1999 [Deposited Paper no. 3870-V99 from December, 17, 1999], Moscow, VINITI Publ., 1999. 82 p.

Velmisov P.A., Kireev S.V. O staticheskoi 16. neustoichivosti truboprovoda [On the Statistic Instability of the Pipeline]. Chislennye i analiticheskie metody rascheta konstruktsii: tr. mezhdunarod. konf. [Proc. Int. Conf. Numerical and Analytical Methods for Structural Design], Samara, Samarskaia gosudarstvennaia arkhitekturno-stroitelnaia akademiia Publ., 1998, pp. 244–249.

Kireev S.V. Divergentsiia truboprovoda [Pipeline 17. Divergence]. Matematicheskie metody i modeli: teoriia, prilozheniia i rol v obrazovanii [Transactions: Mathematical Methods and Models: Theory, Applications, and Role in Education], Ulyanovsk, UlSTU Publ., 2009, pp. 54–58.

Velmisov P.A., Kireev S.V. Chislennyi metod resheniia 18. zadachi o staticheskoi neustoichivosti truboprovoda [Numerical Method for Decision of the Problem about Statistic Instability of the Pipeline]. Prikladnaia matematika i mekhanika: sb. nauch. tr. [Proc. Applied Mathematics and Mechanics], Ulyanovsk, UlSTU Publ., 2004, pp. 140–145.

Documents

ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ОДНОГО КЛАССА …apu.npomars.com/images/pdf/39_9.pdf · зуя основные законы теоретической механики