Линейная алгебра. Контрольное домашнее заданиеmath.phys.msu.ru/data/25/DKR2016.pdf · Контрольное домашнее задание

Линейная алгебра.

Контрольное домашнее задание1. Каждый студент выполняет один вариант задания. Номер варианта равен но-

меру студента в списке группы.2. Работа должна быть сдана преподавателю, ведущему семинары, в период с 10

по 14 мая 2016 г.3. Работа выполняется на листах формата А4. Первый лист — титульный, содер-

жит фамилию, имя, отчество студента, номер группы, номер варианта и списокответов ко всем решенным задачам.

4. Решение каждой задачи необходимо начинать на новом листе. В конце решениявыписывается ответ.

5. Чтобы избежать потери листов, их нужно скрепить степлером (не скрепкой ине вложить в пластиковый файл) или сшить каким-либо иным способом (ниткой,клеем).

1

2


Контрольное домашнее задание

Вариант 1

1. В трехмерном вещественном линейном простран-стве введены базисы e1, e2, e3 («старый») и f1, f2, f3 («но-вый»). Найти координаты Xf , Ye элементов x,y, ес-ли заданы их координаты Xe, Yf : f1 = −7e2 − 2e3,

f2 = −e1 + 4e2 + e3, f3 = 2e1 + 3e2 + e3; Xe =

−404

,

Yf =

−242

.

2. Привести квадратичную форму к каноническомувиду методом Лагранжа.

Q(

x1, x2, x3)

= 9(x1)2 − 18x1x2− 18x1x3 + 18(x2)2 +

14(x3)2

3. Найти матрицу линейного оператора, перево-дящего столбцы матрицы X в столбцы матрицы Y .Вычислить ядро и образ этого оператора. X =

1 5 −30 −3 20 −2 1

, Y =

−1 −3 −42 0 20 −2 −2

.

4. Найти матрицу линейного оператора в новом ба-зисе, если задана его матрица A в старом базисе и мат-

рица C перехода к новому базису. A =

0 −1 26 1 03 1 1

,

C =

1 3 13 10 20 1 0

.

5. Линейный оператор A задан своей матрицейA относительно некоторого базиса. Найти собственныезначения и собственные векторы оператора A. A =

13 16 0−12 −15 0

8 8 −3

.

6. Найти матрицу оператора ортогонального проек-тирования трехмерного евклидова пространства геомет-рических векторов на заданную плоскость (в стандарт-ном ортонормированном базисе). Описать собственныеподпространства оператора. Уравнение плоскости про-екции 2x+ 4y − 3z = 0.

7. Найти матрицу оператора осевой симметрии трех-мерного евклидова пространства геометрических векто-ров относительно заданной прямой (в стандартном ор-тонормированном базисе). Описать собственные подпро-странства оператора. Канонические уравнения оси сим-метрии x/1 = y/2 = z/3.

8. Применить процесс ортогонализации к заданнойсистеме столбцов:

120

−2

,

221

−2

,

−2222

,

10

−20

.

9. Построить ортонормированный базис в евклидо-вом пространстве многочленов степени не выше 2, при-менив процесс ортогонализации к системе многочленов

1, t, t2. Скалярное произведение определено формулой

(f, g) =

4∫

−3

f(t)g(t)dt.

10. Линейный самосопряженный оператор A задансвоей матрицей A относительно некоторого ортонорми-рованного базиса. Построить ортонормированный базисиз собственных векторов оператора A и записать матри-

цу оператора в этом базисе: A =

2 2 2

2 5 4

2 4 5

.

1



Вариант 2

1. В трехмерном вещественном линейном простран-стве введены базисы e1, e2, e3 («старый») и f1, f2, f3 («но-вый»). Найти координаты Xf , Ye элементов x,y, еслизаданы их координаты Xe, Yf : f1 = 3e1 − 8e2 − 2e3,

f2 = −3e1 + e2, f3 = 2e1 + 3e2 + e3; Xe =

−503

,

Yf =

−143

.


Q(

x1, x2, x3)

= (x1)2 − 6x1x2− 6x1x3 + 48x2x3

−

20(x3)2


2 −4 −1−8 −3 −23 2 1

, Y =

−2 −1 −3−2 −2 −43 2 5

.



1 0 13 0 −32 −1 0

,

C =

1 1 02 3 −20 −1 3

.


4 14 14−3 −9 −60 0 −3

.


7. Найти матрицу оператора осевой симметрии трех-мерного евклидова пространства геометрических векто-ров относительно заданной прямой (в стандартном ор-тонормированном базисе). Описать собственные подпро-странства оператора. Канонические уравнения оси сим-метрии x/1 = y/2 = z/− 3.


1201

,

1012

,

0−2−21

,

−2−112

.

9. Построить ортонормированный базис в евклидо-вом пространстве многочленов степени не выше 2, при-менив процесс ортогонализации к системе многочленов1, t, t2. Скалярное произведение определено формулой

(f, g) =

3∫

−3

f(t)g(t)dt.



0 2 2

2 3 4

2 4 3

.

1



Вариант 3

1. В трехмерном вещественном линейном простран-стве введены базисы e1, e2, e3 («старый») и f1, f2, f3 («но-вый»). Найти координаты Xf , Ye элементов x,y, еслизаданы их координаты Xe, Yf : f1 = 5e2 − e3, f2 =

−e1 + 3e2 − e3, f3 = e1 − 2e2 + e3; Xe =

30

−3

,

Yf =

−32

−1

.


Q(

x1, x2, x3)

= 4(x1)2 − 12x1x2 + 4x1x3− 7(x2)2 +

34x2x3− 24(x3)2

3. Найти матрицу линейного оператора, переводя-щего столбцы матрицы X в столбцы матрицы Y . Вычис-

лить ядро и образ этого оператора. X =

1 6 38 10 32 3 1

,

Y =

−3 3 03 2 52 3 5

.



6 −3 −40 1 23 −1 2

,

C =

1 −3 23 −8 9

−1 2 −4

.


−6 −8 42 2 −21 2 −3

.

6. Найти матрицу оператора ортогонального проек-тирования трехмерного евклидова пространства геомет-рических векторов на заданную плоскость (в стандарт-ном ортонормированном базисе). Описать собственныеподпространства оператора. Уравнение плоскости про-екции x+ 2y − z = 0.



−2−222

,

1021

,

1102

,

−2−2−12

.


(f, g) =

2∫

−3

f(t)g(t)dt.



3 2 2

2 6 4

2 4 6

.

1



Вариант 4

1. В трехмерном вещественном линейном простран-стве введены базисы e1, e2, e3 («старый») и f1, f2, f3 («но-вый»). Найти координаты Xf , Ye элементов x,y, еслизаданы их координаты Xe, Yf : f1 = 4e1 − 4e2 + e3,

f2 = −e1 + 4e2 − 3e3, f3 = −e2 + e3; Xe =

−41

−4

,

Yf =

2−12

.


Q(

x1, x2, x3)

= 4(x1)2 − 12x1x2− 4x1x3 + 25(x2)2 −

26x2x3 + (x3)2


−12 −8 38 5 −2

−3 −2 1

, Y =

−2 3 1−2 2 0−3 −2 −5

.

4. Найти матрицу линейного оператора в новом ба-зисе, если задана его матрица A в старом базисе и матри-

ца C перехода к новому базису. A =

2 −4 −2−4 0 4−1 1 2

,

C =

1 −3 2−1 4 1−2 7 0

.


0 0 3−3 −3 −3−2 0 −5

.

6. Найти матрицу оператора ортогонального проек-тирования трехмерного евклидова пространства геомет-рических векторов на заданную плоскость (в стандарт-ном ортонормированном базисе). Описать собственныеподпространства оператора. Уравнение плоскости про-екции x+ 5y − 5z = 0.



1121

,

−10

−10

,

−20

−1−2

,

1−1−2−1

.


(f, g) =

1∫

−3

f(t)g(t)dt.



−1 2 2

2 2 4

2 4 2

.

1



Вариант 5

1. В трехмерном вещественном линейном простран-стве введены базисы e1, e2, e3 («старый») и f1, f2, f3 («но-вый»). Найти координаты Xf , Ye элементов x,y, еслизаданы их координаты Xe, Yf : f1 = −5e1 + 9e2 + 3e3,

f2 = −8e1+7e2+3e3, f3 = −3e1+2e2 + e3; Xe =

405

,

Yf =

−2−6−1

.


Q(

x1, x2, x3)

= 4(x1)2 − 12x1x2 + 4x1x3 + 6x2x3−

19(x3)2



3 2 31 1 −30 0 1

,

Y =

2 3 5−3 1 −20 0 0

.



−2 −2 3−2 −2 −3−2 0 0

,

C =

1 0 0−2 1 −3−2 0 1

.


1 3 −6−2 −4 40 0 −2

.

6. Найти матрицу оператора ортогонального проек-тирования трехмерного евклидова пространства геомет-рических векторов на заданную плоскость (в стандарт-ном ортонормированном базисе). Описать собственныеподпространства оператора. Уравнение плоскости про-екции 2x+ y − z = 0.



−20

−2−1

,

002

−1

,

1−101

,

−1101

.


(f, g) =

0∫

−3

f(t)g(t)dt.



4 2 2

2 7 4

2 4 7

.

1



Вариант 6

1. В трехмерном вещественном линейном простран-стве введены базисы e1, e2, e3 («старый») и f1, f2, f3 («но-вый»). Найти координаты Xf , Ye элементов x,y, ес-ли заданы их координаты Xe, Yf : f1 = −2e1 − e2,

f2 = 2e1 − 2e2 − e3, f3 = e1 + 3e2 + e3; Xe =

212

,

Yf =

414

.


Q(

x1, x2, x3)

= 4(x1)2 − 12x1x2 + 8x1x3 + 5(x2)2 −

8x2x3 + 3(x3)2


8 3 −2−7 −3 2−3 −2 1

, Y =

−1 −2 −32 −1 1

−3 −2 −5

.



−1 1 3−1 3 −1−1 1 1

,

C =

1 0 1−1 1 −32 1 1

.


1 1 −22 0 42 −2 6

.

6. Найти матрицу оператора ортогонального проек-тирования трехмерного евклидова пространства геомет-рических векторов на заданную плоскость (в стандарт-ном ортонормированном базисе). Описать собственныеподпространства оператора. Уравнение плоскости про-екции 5x+ y − 3z = 0.



−212

−2

,

−1010

,

−2−1−22

,

−110

−1

.


(f, g) =

−1∫

−3

f(t)g(t)dt.



−2 2 2

2 1 4

2 4 1

.

1



Вариант 7

1. В трехмерном вещественном линейном простран-стве введены базисы e1, e2, e3 («старый») и f1, f2, f3 («но-вый»). Найти координаты Xf , Ye элементов x,y, еслизаданы их координаты Xe, Yf : f1 = e1 + 2e2 + e3, f2 =

e1+e2+e3, f3 = 2e1+e3; Xe =

131

, Yf =

−31

−1

.


Q(

x1, x2, x3)

= 4(x1)2 − 12x1x2− 8x1x3 + 13(x2)2 +

8x2x3− 4(x3)2


6 0 −11 3 −2

−2 −1 1

, Y =

−1 −1 −2−2 −3 −5−2 −1 −3

.



4 −1 02 −1 −23 −1 0

,

C =

1 −1 03 −2 −1

−1 0 2

.


8 12 −6−6 −10 6−3 −6 5

.




1−22

−1

,

1120

,

01

−2−1

,

1−202

.



(f, g) =

−2∫

−3

f(t)g(t)dt.



3 4 4

4 9 8

4 8 9

.

1



Вариант 8

1. В трехмерном вещественном линейном простран-стве введены базисы e1, e2, e3 («старый») и f1, f2, f3 («но-вый»). Найти координаты Xf , Ye элементов x,y, еслизаданы их координаты Xe, Yf : f1 = 4e1 − e2 − 3e3,

f2 = 6e1 − 2e2 − 3e3, f3 = −3e1 + e2 + e3; Xe =

−1−6−2

,

Yf =

−504

.


Q(

x1, x2, x3)

= 4(x1)2 − 12x1x2− 8x1x3

− 7(x2)2 +

36x2x3− 9(x3)2


4 −3 0−7 −3 2−3 −2 1

, Y =

−3 0 −32 −1 1

−3 −2 −5

.



0 −2 −1−2 2 −1−1 −1 2

,

C =

1 −1 2−1 2 −20 −1 1

.


−1 4 0−3 6 0−1 1 3

.




21

−11

,

−1120

,

−10

−10

,

0122

.


(f, g) =

4∫

−2

f(t)g(t)dt.



1 4 4

4 7 8

4 8 7

.

1



Вариант 9

1. В трехмерном вещественном линейном простран-стве введены базисы e1, e2, e3 («старый») и f1, f2, f3 («но-вый»). Найти координаты Xf , Ye элементов x,y, еслизаданы их координаты Xe, Yf : f1 = −6e1 + 3e2 − e3,

f2 = −7e1 + e2 + 2e3, f3 = −2e1 + e3; Xe =

0−32

,

Yf =

−6−1−2

.


Q(

x1, x2, x3)

= (x1)2−6x1x2−2x1x3+8(x2)2+12x2x3

−

8(x3)2


−7 −2 −27 1 23 0 1

, Y =

−2 −2 −42 1 33 0 3

.



5 4 0−1 −2 22 1 −3

,

C =

1 −3 −32 −5 −51 −2 −1

.


−7 0 −8−12 −3 −24

4 0 5

.

6. Найти матрицу оператора ортогонального проек-тирования трехмерного евклидова пространства геомет-рических векторов на заданную плоскость (в стандарт-ном ортонормированном базисе). Описать собственныеподпространства оператора. Уравнение плоскости про-екции x+ 4y − z = 0.



1−2−1−1

,

10

−22

,

1−2−10

,

0122

.


(f, g) =

3∫

−2

f(t)g(t)dt.



4 4 4

4 10 8

4 8 10

.

1



Вариант 10

1. В трехмерном вещественном линейном простран-стве введены базисы e1, e2, e3 («старый») и f1, f2, f3 («но-вый»). Найти координаты Xf , Ye элементов x,y, еслизаданы их координаты Xe, Yf : f1 = 5e1 + e2 + 2e3,

f2 = −11e1 + e2 − 3e3, f3 = 3e1 + e3; Xe =

−15

−3

,

Yf =

−313

.


Q(

x1, x2, x3)

= (x1)2 − 6x1x2− 4x1x3 + 10(x2)2 +

10x2x3 + 4(x3)2



13 0 30 2 12 1 1

,

Y =

−3 3 01 −2 −12 1 3

.



5 −1 −3−1 −5 −32 −3 −2

,

C =

1 −3 −22 −5 −4

−3 6 7

.


−3 15 5−2 8 22 −6 0

.

6. Найти матрицу оператора ортогонального проек-тирования трехмерного евклидова пространства геомет-рических векторов на заданную плоскость (в стандарт-ном ортонормированном базисе). Описать собственныеподпространства оператора. Уравнение плоскости про-екции 3x+ 3y − z = 0.



0−112

,

−1112

,

2−221

,

0−1−1−1

.


(f, g) =

2∫

−2

f(t)g(t)dt.



0 4 4

4 6 8

4 8 6

.

1



Вариант 11

1. В трехмерном вещественном линейном простран-стве введены базисы e1, e2, e3 («старый») и f1, f2, f3 («но-вый»). Найти координаты Xf , Ye элементов x,y, еслизаданы их координаты Xe, Yf : f1 = 7e2+2e3, f2 = −e1+

7e2 + 2e3, f3 = 3e2 + e3; Xe =

025

, Yf =

−2−21

.


Q(

x1, x2, x3)

= 9(x1)2 − 18x1x2 + 6x1x3 + 8(x2)2 +

2x2x3− 16(x3)2


1 0 0−5 −8 3−1 −3 1

, Y =

0 0 03 −2 1

−1 −3 −4

.



5 −4 21 2 23 2 3

,

C =

1 −2 33 −5 9

−1 4 −2

.


5 0 −8−12 −3 12

4 0 −7

.




011

−2

,

−2−21

−2

,

−2−21

−1

,

0−221

.



(f, g) =

1∫

−2

f(t)g(t)dt.



5 4 4

4 11 8

4 8 11

.

1



Вариант 12

1. В трехмерном вещественном линейном простран-стве введены базисы e1, e2, e3 («старый») и f1, f2, f3 («но-вый»). Найти координаты Xf , Ye элементов x,y, еслизаданы их координаты Xe, Yf : f1 = e1 + 4e2 + 2e3,

f2 = 9e1 − e2 − 2e3, f3 = −3e1 + e2 + e3; Xe =

5−1−1

,

Yf =

1−53

.


Q(

x1, x2, x3)

= (x1)2−6x1x2−4x1x3+8(x2)2+20x2x3

−

12(x3)2


0 1 −3−1 1 00 0 1

, Y =

1 −3 −20 −1 −10 0 0

.



2 2 −60 2 01 −3 0

,

C =

1 −1 01 0 32 −5 −8

.


14 24 24−8 −14 −160 0 2

.




1011

,

1021

,

−2201

,

−12

−10

.


(f, g) =

0∫

−2

f(t)g(t)dt.



−1 4 4

4 5 8

4 8 5

.

1



Вариант 13

1. В трехмерном вещественном линейном простран-стве введены базисы e1, e2, e3 («старый») и f1, f2, f3 («но-вый»). Найти координаты Xf , Ye элементов x,y, ес-ли заданы их координаты Xe, Yf : f1 = 8e1 − e2 − e3,

f2 = −5e1−5e2+3e3, f3 = −e1−2e2+e3; Xe =

−5−21

,

Yf =

10

−5

.


Q(

x1, x2, x3)

= 4(x1)2 − 12x1x2− 4x1x3 + 18(x2)2 −

24x2x3 + 22(x3)2


11 −1 2−4 0 −12 1 1

, Y =

−3 2 −1−1 −2 −32 1 3

.



−2 5 14 −1 31 2 −3

,

C =

1 3 −31 4 −22 8 −3

.


15 36 −36−6 −15 122 4 −7

.




−2−12

−1

,

1−11

−1

,

2−1−21

,

210

−1

.


(f, g) =

−1∫

−2

f(t)g(t)dt.



4 6 6

6 13 12

6 12 13

.

1



Вариант 14

1. В трехмерном вещественном линейном простран-стве введены базисы e1, e2, e3 («старый») и f1, f2, f3 («но-вый»). Найти координаты Xf , Ye элементов x,y, если за-даны их координаты Xe, Yf : f1 = −5e1+e3, f2 = 2e2+e3,

f3 = −3e1 + e2 + e3; Xe =

2−22

, Yf =

4−40

.


Q(

x1, x2, x3)

= 4(x1)2 − 12x1x2 + 4x1x3 + 8(x2)2 −

4x2x3− 16(x3)2


−2 −1 0−3 −5 −32 2 1

, Y =

−1 0 −1−3 3 02 2 4

.



4 3 00 1 −42 −2 −1

,

C =

1 −2 −12 −3 −42 −6 3

.


11 28 0−6 −15 02 4 −3

.

6. Найти матрицу оператора ортогонального проек-тирования трехмерного евклидова пространства геомет-рических векторов на заданную плоскость (в стандарт-ном ортонормированном базисе). Описать собственныеподпространства оператора. Уравнение плоскости про-екции 3x+ 3y + z = 0.



00

−12

,

2−11

−1

,

202

−1

,

0−1−2−2

.



(f, g) =

4∫

−1

f(t)g(t)dt.



2 6 6

6 11 12

6 12 11

.

1



Вариант 15

1. В трехмерном вещественном линейном простран-стве введены базисы e1, e2, e3 («старый») и f1, f2, f3 («но-вый»). Найти координаты Xf , Ye элементов x,y, еслизаданы их координаты Xe, Yf : f1 = −8e1 + 5e2 + 2e3,

f2 = 4e2 + e3, f3 = −3e1 + 3e2 + e3; Xe =

2−14

,

Yf =

4−52

.


Q(

x1, x2, x3)

= 4(x1)2 − 12x1x2− 8x1x3

− 7(x2)2 +

44x2x3− 12(x3)2


10 3 0−3 −5 3−2 −2 1

, Y =

3 0 33 3 6

−2 −2 −4

.



−6 2 20 −4 4

−3 3 −3

,

C =

1 3 −3−3 −8 10−1 0 7

.


−17 15 −15−10 8 −1010 −10 8

.


7. Найти матрицу оператора осевой симметрии трех-мерного евклидова пространства геометрических векто-ров относительно заданной прямой (в стандартном ор-тонормированном базисе). Описать собственные подпро-странства оператора. Канонические уравнения оси сим-метрии x/3 = y/− 1 = z/1.


−12

−21

,

−2021

,

0−10

−1

,

−2−21

−2

.


(f, g) =

3∫

−1

f(t)g(t)dt.



5 6 6

6 14 12

6 12 14

.

1



Вариант 16

1. В трехмерном вещественном линейном простран-стве введены базисы e1, e2, e3 («старый») и f1, f2, f3 («но-вый»). Найти координаты Xf , Ye элементов x,y, еслизаданы их координаты Xe, Yf : f1 = −2e1 + 3e2 − e3,

f2 = 4e1 − 5e2 + 2e3, f3 = 3e1 − 3e2 + e3; Xe =

−22

−1

,

Yf =

−24

−5

.


Q(

x1, x2, x3)

= 4(x1)2 − 12x1x2− 12x1x3 + 10(x2)2 +

10x2x3 + 16(x3)2


11 −8 3−2 1 02 −2 1

, Y =

−2 3 10 −2 −22 −2 0

.



−4 4 −22 −2 4

−1 1 −3

,

C =

1 3 −3−1 −2 61 4 1

.


−4 −6 01 1 00 0 −1

.




012

−1

,

12

−10

,

2−211

,

0−2−21

.


(f, g) =

2∫

−1

f(t)g(t)dt.



1 6 6

6 10 12

6 12 10

.

1



Вариант 17

1. В трехмерном вещественном линейном простран-стве введены базисы e1, e2, e3 («старый») и f1, f2, f3 («но-вый»). Найти координаты Xf , Ye элементов x,y, еслизаданы их координаты Xe, Yf : f1 = −e1 + 2e2 − 2e3,

f2 = 5e1 + 3e2 − e3, f3 = −2e1 − 2e2 + e3; Xe =

1−4−3

,

Yf =

50

−1

.


Q(

x1, x2, x3)

= 4(x1)2 − 12x1x2 + 8x1x3− 7(x2)2 +

4x2x3− (x3)2



4 1 06 1 31 0 1

,

Y =

1 0 13 3 61 0 1

.



1 −1 4−3 5 −2−1 1 3

,

C =

1 −2 3−1 3 −62 −3 4

.


−6 10 10−1 1 2−2 4 3

.

6. Найти матрицу оператора ортогонального проек-тирования трехмерного евклидова пространства геомет-рических векторов на заданную плоскость (в стандарт-ном ортонормированном базисе). Описать собственныеподпространства оператора. Уравнение плоскости про-екции x+ y − 2z = 0.



20

−21

,

10

−20

,

1−1−20

,

1−20

−1

.


(f, g) =

1∫

−1

f(t)g(t)dt.



6 6 6

6 15 12

6 12 15

.

1



Вариант 18

1. В трехмерном вещественном линейном простран-стве введены базисы e1, e2, e3 («старый») и f1, f2, f3 («но-вый»). Найти координаты Xf , Ye элементов x,y, ес-ли заданы их координаты Xe, Yf : f1 = −4e1 − e3,

f2 = −5e1 − e3, f3 = 2e1 + e2 + e3; Xe =

−210

,

Yf =

−432

.


Q(

x1, x2, x3)

= 9(x1)2 − 18x1x2 + 6x1x3− 7(x2)2 +

18x2x3− 8(x3)2


0 −4 1−3 −5 3−1 −2 1

, Y =

−2 1 −13 0 3

−1 −2 −3

.



−3 1 43 −3 00 2 −2

,

C =

1 3 −20 1 −2

−1 −1 −1

.


1 −2 4−1 0 −2−1 1 −3

.




−10

−1−1

,

01

−21

,

2−222

,

0−222

.


(f, g) =

0∫

−1

f(t)g(t)dt.



0 6 6

6 9 12

6 12 9

.

1



Вариант 19

1. В трехмерном вещественном линейном простран-стве введены базисы e1, e2, e3 («старый») и f1, f2, f3 («но-вый»). Найти координаты Xf , Ye элементов x,y, еслизаданы их координаты Xe, Yf : f1 = e1 + 2e2 − 2e3,

f2 = −2e1−5e2+3e3, f3 = −e1−2e2+e3; Xe =

−1−31

,

Yf =

31

−5

.


Q(

x1, x2, x3)

= 9(x1)2 − 18x1x2 + 6x1x3 + 13(x2)2 −

26x2x3 + 25(x3)2


−8 −3 02 0 −11 1 1

, Y =

−3 0 −3−1 3 21 1 2

.



1 −4 −2−5 0 0−2 −1 2

,

C =

1 −3 2−2 7 −3−2 5 −4

.


−9 6 0−9 6 0−3 3 −3

.


7. Найти матрицу оператора осевой симметрии трех-мерного евклидова пространства геометрических векто-ров относительно заданной прямой (в стандартном ор-тонормированном базисе). Описать собственные подпро-странства оператора. Канонические уравнения оси сим-метрии x/3 = y/− 2 = z/− 1.


−1112

,

−22

−20

,

02

−2−1

,

1−1−22

.


(f, g) =

4∫

0

f(t)g(t)dt.



5 8 8

8 17 16

8 16 17

.

1



Вариант 20

1. В трехмерном вещественном линейном простран-стве введены базисы e1, e2, e3 («старый») и f1, f2, f3 («но-вый»). Найти координаты Xf , Ye элементов x,y, еслизаданы их координаты Xe, Yf : f1 = 4e1 + 7e2 − 3e3,

f2 = −8e2 + 3e3, f3 = e1 − 3e2 + e3; Xe =

−5−20

,

Yf =

−14

−6

.


Q(

x1, x2, x3)

= 9(x1)2 − 18x1x2 + 12x1x3− 6x2x3

−

(x3)2


−9 −7 310 7 −3−3 −2 1

, Y =

−1 3 2−3 1 −2−3 −2 −5

.



0 0 12 −2 −31 −1 −1

,

C =

1 1 −11 2 −3

−1 −2 4

.


−12 0 −15−15 3 −1510 0 13

.




022

−2

,

2212

,

0−2−2−2

,

21

−21

.


(f, g) =

3∫

0

f(t)g(t)dt.



3 8 8

8 15 16

8 16 15

.

1



Вариант 21

1. В трехмерном вещественном линейном простран-стве введены базисы e1, e2, e3 («старый») и f1, f2, f3 («но-вый»). Найти координаты Xf , Ye элементов x,y, если за-даны их координаты Xe, Yf : f1 = e1 − 2e2, f2 = −e1+ e3,

f3 = −e1 − e2 + e3; Xe =

−2−10

, Yf =

2−1−2

.


Q(

x1, x2, x3)

= 9(x1)2 − 18x1x2 + 12x1x3 + 6x2x3−

5(x3)2


0 2 1−8 1 −23 0 1

, Y =

2 1 3−2 −2 −43 0 3

.



1 −3 6−5 −1 0−2 3 1

,

C =

1 −3 1−2 7 −5−2 9 −10

.


−11 15 15−20 24 2010 −10 −6

.




−1−101

,

−120

−2

,

1000

,

−22

−2−2

.



(f, g) =

2∫

0

f(t)g(t)dt.



6 8 8

8 18 16

8 16 18

.

1



Вариант 22

1. В трехмерном вещественном линейном простран-стве введены базисы e1, e2, e3 («старый») и f1, f2, f3 («но-вый»). Найти координаты Xf , Ye элементов x,y, если за-даны их координаты Xe, Yf : f1 = e1−3e3, f2 = 2e1+2e2+

e3, f3 = e1 + e2 + e3; Xe =

4−22

, Yf =

−240

.


Q(

x1, x2, x3)

= 4(x1)2 − 12x1x2 + 8x1x3 + 25(x2)2 −

28x2x3 + 4(x3)2


−3 0 2−6 4 −31 −1 1

, Y =

2 2 4−3 −3 −61 −1 0

.



−2 −5 3−2 −1 3−2 3 2

,

C =

1 0 2−2 1 −4−3 3 −5

.


−3 0 0−6 3 −6−4 4 −7

.

6. Найти матрицу оператора ортогонального проек-тирования трехмерного евклидова пространства геомет-рических векторов на заданную плоскость (в стандарт-ном ортонормированном базисе). Описать собственныеподпространства оператора. Уравнение плоскости про-екции x+ 4y + z = 0.



01

−2−2

,

1−122

,

2121

,

−10

−22

.



(f, g) =

1∫

0

f(t)g(t)dt.



2 8 8

8 14 16

8 16 14

.

1



Вариант 23

1. В трехмерном вещественном линейном простран-стве введены базисы e1, e2, e3 («старый») и f1, f2, f3 («но-вый»). Найти координаты Xf , Ye элементов x,y, еслизаданы их координаты Xe, Yf : f1 = 7e1 − e3, f2 =

9e1 − e2 − 2e3, f3 = −3e1 + e2 + e3; Xe =

4−4−1

,

Yf =

2−23

.


Q(

x1, x2, x3)

= (x1)2−6x1x2+6x1x3+5(x2)2−10x2x3+

4(x3)2


8 0 −1−2 1 0−3 −2 1

, Y =

−2 −1 −30 −2 −2

−3 −2 −5

.



−2 1 3−2 −1 1−2 2 −1

,

C =

1 0 −1−2 1 10 2 −1

.


−5 9 18−4 8 8−2 2 8

.




10

−10

,

22

−2−1

,

0−1−1−1

,

−102

−2

.


(f, g) =

4∫

1

f(t)g(t)dt.



7 8 8

8 19 16

8 16 19

.

1



Вариант 24

1. В трехмерном вещественном линейном простран-стве введены базисы e1, e2, e3 («старый») и f1, f2, f3 («но-вый»). Найти координаты Xf , Ye элементов x,y, еслизаданы их координаты Xe, Yf : f1 = 9e1 + 5e2 + e3,

f2 = e1 + 5e2 + 2e3, f3 = −e1 + 2e2 + e3; Xe =

604

,

Yf =

0−20

.


Q(

x1, x2, x3)

= 9(x1)2 − 18x1x2 + 18x1x3 + 8(x2)2 −

16x2x3 + 8(x3)2


−7 8 −2−4 4 −11 −3 1

, Y =

2 −2 0−1 −3 −41 −3 −2

.



−3 −1 0−1 1 2−2 1 1

,

C =

1 1 1−2 −1 −10 1 2

.


−15 −16 −32−4 −3 −88 8 17

.




1−1−22

,

1−120

,

2−122

,

−2−112

.


(f, g) =

3∫

1

f(t)g(t)dt.



1 8 8

8 13 16

8 16 13

.

1



Вариант 25

1. В трехмерном вещественном линейном простран-стве введены базисы e1, e2, e3 («старый») и f1, f2, f3 («но-вый»). Найти координаты Xf , Ye элементов x,y, еслизаданы их координаты Xe, Yf : f1 = e1 − 6e2 + 2e3,

f2 = −8e1−5e2+3e3, f3 = −2e1−2e2+e3; Xe =

−401

,

Yf =

0−4−5

.


Q(

x1, x2, x3)

= 9(x1)2 − 18x1x2− 24x1x3 + 18(x2)2 +

28(x3)2


−1 −3 −2−2 3 10 2 1

, Y =

1 −2 −11 −2 −10 2 2

.



0 0 06 −6 23 1 −3

,

C =

1 3 −33 10 −8

−3 −8 11

.


−8 12 24−16 20 32

4 −4 −4

.


7. Найти матрицу оператора осевой симметрии трех-мерного евклидова пространства геометрических векто-ров относительно заданной прямой (в стандартном ор-тонормированном базисе). Описать собственные подпро-странства оператора. Канонические уравнения оси сим-метрии x/3 = y/− 3 = z/− 1.


1−1−12

,

222

−2

,

−11

−10

,

−1−20

−1

.


(f, g) =

2∫

1

f(t)g(t)dt.



8 8 8

8 20 16

8 16 20

.

1



Вариант 26

1. В трехмерном вещественном линейном простран-стве введены базисы e1, e2, e3 («старый») и f1, f2, f3 («но-вый»). Найти координаты Xf , Ye элементов x,y, еслизаданы их координаты Xe, Yf : f1 = e1 + 2e2, f2 =

−2e1 − e2 + e3, f3 = −2e1 − 2e2 + e3; Xe =

2−2−1

,

Yf =

−2−2−3

.


Q(

x1, x2, x3)

= (x1)2−6x1x2+2x1x3−7(x2)2+18x2x3

−

12(x3)2


−1 0 −10 1 02 1 1

, Y =

1 −1 00 0 02 1 3

.



−2 0 −44 −2 01 −2 −1

,

C =

1 3 −11 4 1

−1 −5 −2

.


−9 32 −8−4 15 −4−4 16 −5

.




02

−2−2

,

2−11

−1

,

0−1−21

,

101

−2

.


(f, g) =

4∫

2

f(t)g(t)dt.



0 8 8

8 12 16

8 16 12

.

1



Вариант 27

1. В трехмерном вещественном линейном простран-стве введены базисы e1, e2, e3 («старый») и f1, f2, f3 («но-вый»). Найти координаты Xf , Ye элементов x,y, еслизаданы их координаты Xe, Yf : f1 = −e1 − 2e2 + e3,

f2 = −7e1 − e2 +2e3, f3 = −3e1 − e2 + e3; Xe =

−2−21

,

Yf =

0−4−3

.


Q(

x1, x2, x3)

= 4(x1)2 − 12x1x2 + 4x1x3− 7(x2)2 +

26x2x3− 15(x3)2



0 2 1−1 2 1−1 1 1

,

Y =

1 1 21 0 1

−1 1 0

.



5 3 41 −1 03 2 −2

,

C =

1 −2 −23 −5 −81 0 −5

.


−28 50 −50−15 27 −30

0 0 −3

.

6. Найти матрицу оператора ортогонального проек-тирования трехмерного евклидова пространства геомет-рических векторов на заданную плоскость (в стандарт-ном ортонормированном базисе). Описать собственныеподпространства оператора. Уравнение плоскости про-екции x+ 2y + 7z = 0.



−2011

,

−2−1−12

,

0−2−12

,

22

−2−1

.


(f, g) =

3∫

2

f(t)g(t)dt.



1 −2 −2

−2 −2 −4

−2 −4 −2

.

1



Вариант 28

1. В трехмерном вещественном линейном простран-стве введены базисы e1, e2, e3 («старый») и f1, f2, f3 («но-вый»). Найти координаты Xf , Ye элементов x,y, еслизаданы их координаты Xe, Yf : f1 = 8e1 + 8e2 − 3e3,

f2 = −5e1−5e2+2e3, f3 = −2e1−3e2+e3; Xe =

−2−5−1

,

Yf =

01

−5

.


Q(

x1, x2, x3)

= 4(x1)2 − 12x1x2 + 8x1x3 + 10(x2)2 −

22x2x3 + 13(x3)2



6 5 12 1 0

−1 2 1

,

Y =

3 1 40 2 2

−1 2 1

.



−2 4 5−2 0 1−2 3 −2

,

C =

1 0 −2−2 1 22 3 −9

.


−15 12 0−18 15 012 −12 −3

.




2−112

,

00

−22

,

−2−21

−1

,

−1112

.


(f, g) =

4∫

3

f(t)g(t)dt.



2 −2 −2

−2 −1 −4

−2 −4 −1

.

1



Вариант 29

1. В трехмерном вещественном линейном простран-стве введены базисы e1, e2, e3 («старый») и f1, f2, f3 («но-вый»). Найти координаты Xf , Ye элементов x,y, если за-даны их координаты Xe, Yf : f1 = e1 − e3, f2 = 5e2 − 2e3,

f3 = −2e2 + e3; Xe =

−2−1−4

, Yf =

210

.


Q(

x1, x2, x3)

= 4(x1)2 − 12x1x2− 12x1x3 + 5(x2)2 +

22x2x3 + 7(x3)2


−1 1 0−1 −1 −1−1 2 1

, Y =

1 0 1−1 −2 −3−1 2 1

.



3 3 21 −3 02 1 −3

,

C =

1 −1 −32 −1 −70 1 0

.


−3 0 0−15 12 30

5 −5 −13

.




−1−221

,

2−110

,

12

−22

,

1−101

.



(f, g) =

5∫

2

f(t)g(t)dt.



−1 −4 −4

−4 −7 −8

−4 −8 −7

.

1



Вариант 30

1. В трехмерном вещественном линейном простран-стве введены базисы e1, e2, e3 («старый») и f1, f2, f3 («но-вый»). Найти координаты Xf , Ye элементов x,y, еслизаданы их координаты Xe, Yf : f1 = 16e1 + 3e2 + 3e3,

f2 = 7e1 + 7e2 + 3e3, f3 = 3e1 + 2e2 + e3; Xe =

−565

,

Yf =

10

−1

.


Q(

x1, x2, x3)

= (x1)2 − 6x1x2− 10x1x3 + 48x2x3 +

16(x3)2



−2 6 3−4 3 1−1 2 1

,

Y =

0 3 31 −3 −2

−1 2 1

.



0 3 5−2 −1 −1−1 2 −2

,

C =

1 −1 −2−1 2 −11 1 −7

.


−7 12 −24−15 20 −30−3 3 −1

.




−2010

,

0022

,

020

−2

,

−2−102

.


(f, g) =

5∫

3

f(t)g(t)dt.

10. Линейный самосопряженный оператор A за-дан своей матрицей A относительно некоторого ор-тонормированного базиса. Построить ортонормирован-ный базис из собственных векторов оператора A изаписать матрицу оператора в этом базисе: A =

0 −4 −4

−4 −6 −8

−4 −8 −6

.

1. В трехмерном вещественном линейном простран-стве введены базисы e1, e2, e3 («старый») и f1, f2, f3 («но-вый»). Найти координаты Xf , Ye элементов x,y, еслизаданы их координаты Xe, Yf :


3. Найти матрицу линейного оператора, переводя-щего столбцы матрицы X в столбцы матрицы Y . Вы-числить ядро и образ этого оператора.

4. Найти матрицу линейного оператора в новом ба-зисе, если задана его матрица A в старом базисе и мат-рица C перехода к новому базису.

5. Линейный оператор A задан своей матрицей A от-носительно некоторого базиса. Найти собственные значе-ния и собственные векторы оператора A.

6. Найти матрицу оператора ортогонального проек-тирования трехмерного евклидова пространства геомет-рических векторов на заданную плоскость (в стандарт-ном ортонормированном базисе). Описать собственныеподпространства оператора. Уравнение плоскости про-екции

7. Найти матрицу оператора осевой симметрии трех-мерного евклидова пространства геометрических векто-ров относительно заданной прямой (в стандартном ор-тонормированном базисе). Описать собственные подпро-странства оператора. Канонические уравнения оси сим-метрии



10. Линейный самосопряженный оператор A задансвоей матрицей A относительно некоторого ортонорми-рованного базиса. Построить ортонормированный базисиз собственных векторов оператора A и записать матри-цу оператора в этом базисе:

Documents

Линейная алгебра. Контрольное домашнее заданиеmath.phys.msu.ru/data/25/DKR2016.pdf · Контрольное домашнее задание