Линейная алгебра.
Контрольное домашнее задание1. Каждый студент выполняет один вариант задания. Номер варианта равен но-
меру студента в списке группы.2. Работа должна быть сдана преподавателю, ведущему семинары, в период с 10
по 14 мая 2016 г.3. Работа выполняется на листах формата А4. Первый лист — титульный, содер-
жит фамилию, имя, отчество студента, номер группы, номер варианта и списокответов ко всем решенным задачам.
4. Решение каждой задачи необходимо начинать на новом листе. В конце решениявыписывается ответ.
5. Чтобы избежать потери листов, их нужно скрепить степлером (не скрепкой ине вложить в пластиковый файл) или сшить каким-либо иным способом (ниткой,клеем).
1
2
Линейная алгебра.
Контрольное домашнее задание
Вариант 1
1. В трехмерном вещественном линейном простран-стве введены базисы e1, e2, e3 («старый») и f1, f2, f3 («но-вый»). Найти координаты Xf , Ye элементов x,y, ес-ли заданы их координаты Xe, Yf : f1 = −7e2 − 2e3,
f2 = −e1 + 4e2 + e3, f3 = 2e1 + 3e2 + e3; Xe =
−404
,
Yf =
−242
.
2. Привести квадратичную форму к каноническомувиду методом Лагранжа.
Q(
x1, x2, x3)
= 9(x1)2 − 18x1x2− 18x1x3 + 18(x2)2 +
14(x3)2
3. Найти матрицу линейного оператора, перево-дящего столбцы матрицы X в столбцы матрицы Y .Вычислить ядро и образ этого оператора. X =
1 5 −30 −3 20 −2 1
, Y =
−1 −3 −42 0 20 −2 −2
.
4. Найти матрицу линейного оператора в новом ба-зисе, если задана его матрица A в старом базисе и мат-
рица C перехода к новому базису. A =
0 −1 26 1 03 1 1
,
C =
1 3 13 10 20 1 0
.
5. Линейный оператор A задан своей матрицейA относительно некоторого базиса. Найти собственныезначения и собственные векторы оператора A. A =
13 16 0−12 −15 0
8 8 −3
.
6. Найти матрицу оператора ортогонального проек-тирования трехмерного евклидова пространства геомет-рических векторов на заданную плоскость (в стандарт-ном ортонормированном базисе). Описать собственныеподпространства оператора. Уравнение плоскости про-екции 2x+ 4y − 3z = 0.
7. Найти матрицу оператора осевой симметрии трех-мерного евклидова пространства геометрических векто-ров относительно заданной прямой (в стандартном ор-тонормированном базисе). Описать собственные подпро-странства оператора. Канонические уравнения оси сим-метрии x/1 = y/2 = z/3.
8. Применить процесс ортогонализации к заданнойсистеме столбцов:
120
−2
,
221
−2
,
−2222
,
10
−20
.
9. Построить ортонормированный базис в евклидо-вом пространстве многочленов степени не выше 2, при-менив процесс ортогонализации к системе многочленов
1, t, t2. Скалярное произведение определено формулой
(f, g) =
4∫
−3
f(t)g(t)dt.
10. Линейный самосопряженный оператор A задансвоей матрицей A относительно некоторого ортонорми-рованного базиса. Построить ортонормированный базисиз собственных векторов оператора A и записать матри-
цу оператора в этом базисе: A =
2 2 2
2 5 4
2 4 5
.
1
Линейная алгебра.
Контрольное домашнее задание
Вариант 2
1. В трехмерном вещественном линейном простран-стве введены базисы e1, e2, e3 («старый») и f1, f2, f3 («но-вый»). Найти координаты Xf , Ye элементов x,y, еслизаданы их координаты Xe, Yf : f1 = 3e1 − 8e2 − 2e3,
f2 = −3e1 + e2, f3 = 2e1 + 3e2 + e3; Xe =
−503
,
Yf =
−143
.
2. Привести квадратичную форму к каноническомувиду методом Лагранжа.
Q(
x1, x2, x3)
= (x1)2 − 6x1x2− 6x1x3 + 48x2x3
−
20(x3)2
3. Найти матрицу линейного оператора, перево-дящего столбцы матрицы X в столбцы матрицы Y .Вычислить ядро и образ этого оператора. X =
2 −4 −1−8 −3 −23 2 1
, Y =
−2 −1 −3−2 −2 −43 2 5
.
4. Найти матрицу линейного оператора в новом ба-зисе, если задана его матрица A в старом базисе и мат-
рица C перехода к новому базису. A =
1 0 13 0 −32 −1 0
,
C =
1 1 02 3 −20 −1 3
.
5. Линейный оператор A задан своей матрицейA относительно некоторого базиса. Найти собственныезначения и собственные векторы оператора A. A =
4 14 14−3 −9 −60 0 −3
.
6. Найти матрицу оператора ортогонального проек-тирования трехмерного евклидова пространства геомет-рических векторов на заданную плоскость (в стандарт-ном ортонормированном базисе). Описать собственныеподпространства оператора. Уравнение плоскости про-екции 2x+ 4y − 5z = 0.
7. Найти матрицу оператора осевой симметрии трех-мерного евклидова пространства геометрических векто-ров относительно заданной прямой (в стандартном ор-тонормированном базисе). Описать собственные подпро-странства оператора. Канонические уравнения оси сим-метрии x/1 = y/2 = z/− 3.
8. Применить процесс ортогонализации к заданнойсистеме столбцов:
1201
,
1012
,
0−2−21
,
−2−112
.
9. Построить ортонормированный базис в евклидо-вом пространстве многочленов степени не выше 2, при-менив процесс ортогонализации к системе многочленов1, t, t2. Скалярное произведение определено формулой
(f, g) =
3∫
−3
f(t)g(t)dt.
10. Линейный самосопряженный оператор A задансвоей матрицей A относительно некоторого ортонорми-рованного базиса. Построить ортонормированный базисиз собственных векторов оператора A и записать матри-
цу оператора в этом базисе: A =
0 2 2
2 3 4
2 4 3
.
1
Линейная алгебра.
Контрольное домашнее задание
Вариант 3
1. В трехмерном вещественном линейном простран-стве введены базисы e1, e2, e3 («старый») и f1, f2, f3 («но-вый»). Найти координаты Xf , Ye элементов x,y, еслизаданы их координаты Xe, Yf : f1 = 5e2 − e3, f2 =
−e1 + 3e2 − e3, f3 = e1 − 2e2 + e3; Xe =
30
−3
,
Yf =
−32
−1
.
2. Привести квадратичную форму к каноническомувиду методом Лагранжа.
Q(
x1, x2, x3)
= 4(x1)2 − 12x1x2 + 4x1x3− 7(x2)2 +
34x2x3− 24(x3)2
3. Найти матрицу линейного оператора, переводя-щего столбцы матрицы X в столбцы матрицы Y . Вычис-
лить ядро и образ этого оператора. X =
1 6 38 10 32 3 1
,
Y =
−3 3 03 2 52 3 5
.
4. Найти матрицу линейного оператора в новом ба-зисе, если задана его матрица A в старом базисе и мат-
рица C перехода к новому базису. A =
6 −3 −40 1 23 −1 2
,
C =
1 −3 23 −8 9
−1 2 −4
.
5. Линейный оператор A задан своей матрицейA относительно некоторого базиса. Найти собственныезначения и собственные векторы оператора A. A =
−6 −8 42 2 −21 2 −3
.
6. Найти матрицу оператора ортогонального проек-тирования трехмерного евклидова пространства геомет-рических векторов на заданную плоскость (в стандарт-ном ортонормированном базисе). Описать собственныеподпространства оператора. Уравнение плоскости про-екции x+ 2y − z = 0.
7. Найти матрицу оператора осевой симметрии трех-мерного евклидова пространства геометрических векто-ров относительно заданной прямой (в стандартном ор-тонормированном базисе). Описать собственные подпро-странства оператора. Канонические уравнения оси сим-метрии x/1 = y/2 = z/4.
8. Применить процесс ортогонализации к заданнойсистеме столбцов:
−2−222
,
1021
,
1102
,
−2−2−12
.
9. Построить ортонормированный базис в евклидо-вом пространстве многочленов степени не выше 2, при-менив процесс ортогонализации к системе многочленов1, t, t2. Скалярное произведение определено формулой
(f, g) =
2∫
−3
f(t)g(t)dt.
10. Линейный самосопряженный оператор A задансвоей матрицей A относительно некоторого ортонорми-рованного базиса. Построить ортонормированный базисиз собственных векторов оператора A и записать матри-
цу оператора в этом базисе: A =
3 2 2
2 6 4
2 4 6
.
1
Линейная алгебра.
Контрольное домашнее задание
Вариант 4
1. В трехмерном вещественном линейном простран-стве введены базисы e1, e2, e3 («старый») и f1, f2, f3 («но-вый»). Найти координаты Xf , Ye элементов x,y, еслизаданы их координаты Xe, Yf : f1 = 4e1 − 4e2 + e3,
f2 = −e1 + 4e2 − 3e3, f3 = −e2 + e3; Xe =
−41
−4
,
Yf =
2−12
.
2. Привести квадратичную форму к каноническомувиду методом Лагранжа.
Q(
x1, x2, x3)
= 4(x1)2 − 12x1x2− 4x1x3 + 25(x2)2 −
26x2x3 + (x3)2
3. Найти матрицу линейного оператора, перево-дящего столбцы матрицы X в столбцы матрицы Y .Вычислить ядро и образ этого оператора. X =
−12 −8 38 5 −2
−3 −2 1
, Y =
−2 3 1−2 2 0−3 −2 −5
.
4. Найти матрицу линейного оператора в новом ба-зисе, если задана его матрица A в старом базисе и матри-
ца C перехода к новому базису. A =
2 −4 −2−4 0 4−1 1 2
,
C =
1 −3 2−1 4 1−2 7 0
.
5. Линейный оператор A задан своей матрицейA относительно некоторого базиса. Найти собственныезначения и собственные векторы оператора A. A =
0 0 3−3 −3 −3−2 0 −5
.
6. Найти матрицу оператора ортогонального проек-тирования трехмерного евклидова пространства геомет-рических векторов на заданную плоскость (в стандарт-ном ортонормированном базисе). Описать собственныеподпространства оператора. Уравнение плоскости про-екции x+ 5y − 5z = 0.
7. Найти матрицу оператора осевой симметрии трех-мерного евклидова пространства геометрических векто-ров относительно заданной прямой (в стандартном ор-тонормированном базисе). Описать собственные подпро-странства оператора. Канонические уравнения оси сим-метрии x/1 = y/2 = z/− 4.
8. Применить процесс ортогонализации к заданнойсистеме столбцов:
1121
,
−10
−10
,
−20
−1−2
,
1−1−2−1
.
9. Построить ортонормированный базис в евклидо-вом пространстве многочленов степени не выше 2, при-менив процесс ортогонализации к системе многочленов1, t, t2. Скалярное произведение определено формулой
(f, g) =
1∫
−3
f(t)g(t)dt.
10. Линейный самосопряженный оператор A задансвоей матрицей A относительно некоторого ортонорми-рованного базиса. Построить ортонормированный базисиз собственных векторов оператора A и записать матри-
цу оператора в этом базисе: A =
−1 2 2
2 2 4
2 4 2
.
1
Линейная алгебра.
Контрольное домашнее задание
Вариант 5
1. В трехмерном вещественном линейном простран-стве введены базисы e1, e2, e3 («старый») и f1, f2, f3 («но-вый»). Найти координаты Xf , Ye элементов x,y, еслизаданы их координаты Xe, Yf : f1 = −5e1 + 9e2 + 3e3,
f2 = −8e1+7e2+3e3, f3 = −3e1+2e2 + e3; Xe =
405
,
Yf =
−2−6−1
.
2. Привести квадратичную форму к каноническомувиду методом Лагранжа.
Q(
x1, x2, x3)
= 4(x1)2 − 12x1x2 + 4x1x3 + 6x2x3−
19(x3)2
3. Найти матрицу линейного оператора, переводя-щего столбцы матрицы X в столбцы матрицы Y . Вычис-
лить ядро и образ этого оператора. X =
3 2 31 1 −30 0 1
,
Y =
2 3 5−3 1 −20 0 0
.
4. Найти матрицу линейного оператора в новом ба-зисе, если задана его матрица A в старом базисе и матри-
ца C перехода к новому базису. A =
−2 −2 3−2 −2 −3−2 0 0
,
C =
1 0 0−2 1 −3−2 0 1
.
5. Линейный оператор A задан своей матрицейA относительно некоторого базиса. Найти собственныезначения и собственные векторы оператора A. A =
1 3 −6−2 −4 40 0 −2
.
6. Найти матрицу оператора ортогонального проек-тирования трехмерного евклидова пространства геомет-рических векторов на заданную плоскость (в стандарт-ном ортонормированном базисе). Описать собственныеподпространства оператора. Уравнение плоскости про-екции 2x+ y − z = 0.
7. Найти матрицу оператора осевой симметрии трех-мерного евклидова пространства геометрических векто-ров относительно заданной прямой (в стандартном ор-тонормированном базисе). Описать собственные подпро-странства оператора. Канонические уравнения оси сим-метрии x/1 = y/2 = z/5.
8. Применить процесс ортогонализации к заданнойсистеме столбцов:
−20
−2−1
,
002
−1
,
1−101
,
−1101
.
9. Построить ортонормированный базис в евклидо-вом пространстве многочленов степени не выше 2, при-менив процесс ортогонализации к системе многочленов1, t, t2. Скалярное произведение определено формулой
(f, g) =
0∫
−3
f(t)g(t)dt.
10. Линейный самосопряженный оператор A задансвоей матрицей A относительно некоторого ортонорми-рованного базиса. Построить ортонормированный базисиз собственных векторов оператора A и записать матри-
цу оператора в этом базисе: A =
4 2 2
2 7 4
2 4 7
.
1
Линейная алгебра.
Контрольное домашнее задание
Вариант 6
1. В трехмерном вещественном линейном простран-стве введены базисы e1, e2, e3 («старый») и f1, f2, f3 («но-вый»). Найти координаты Xf , Ye элементов x,y, ес-ли заданы их координаты Xe, Yf : f1 = −2e1 − e2,
f2 = 2e1 − 2e2 − e3, f3 = e1 + 3e2 + e3; Xe =
212
,
Yf =
414
.
2. Привести квадратичную форму к каноническомувиду методом Лагранжа.
Q(
x1, x2, x3)
= 4(x1)2 − 12x1x2 + 8x1x3 + 5(x2)2 −
8x2x3 + 3(x3)2
3. Найти матрицу линейного оператора, перево-дящего столбцы матрицы X в столбцы матрицы Y .Вычислить ядро и образ этого оператора. X =
8 3 −2−7 −3 2−3 −2 1
, Y =
−1 −2 −32 −1 1
−3 −2 −5
.
4. Найти матрицу линейного оператора в новом ба-зисе, если задана его матрица A в старом базисе и мат-
рица C перехода к новому базису. A =
−1 1 3−1 3 −1−1 1 1
,
C =
1 0 1−1 1 −32 1 1
.
5. Линейный оператор A задан своей матрицейA относительно некоторого базиса. Найти собственныезначения и собственные векторы оператора A. A =
1 1 −22 0 42 −2 6
.
6. Найти матрицу оператора ортогонального проек-тирования трехмерного евклидова пространства геомет-рических векторов на заданную плоскость (в стандарт-ном ортонормированном базисе). Описать собственныеподпространства оператора. Уравнение плоскости про-екции 5x+ y − 3z = 0.
7. Найти матрицу оператора осевой симметрии трех-мерного евклидова пространства геометрических векто-ров относительно заданной прямой (в стандартном ор-тонормированном базисе). Описать собственные подпро-странства оператора. Канонические уравнения оси сим-метрии x/1 = y/2 = z/− 5.
8. Применить процесс ортогонализации к заданнойсистеме столбцов:
−212
−2
,
−1010
,
−2−1−22
,
−110
−1
.
9. Построить ортонормированный базис в евклидо-вом пространстве многочленов степени не выше 2, при-менив процесс ортогонализации к системе многочленов1, t, t2. Скалярное произведение определено формулой
(f, g) =
−1∫
−3
f(t)g(t)dt.
10. Линейный самосопряженный оператор A задансвоей матрицей A относительно некоторого ортонорми-рованного базиса. Построить ортонормированный базисиз собственных векторов оператора A и записать матри-
цу оператора в этом базисе: A =
−2 2 2
2 1 4
2 4 1
.
1
Линейная алгебра.
Контрольное домашнее задание
Вариант 7
1. В трехмерном вещественном линейном простран-стве введены базисы e1, e2, e3 («старый») и f1, f2, f3 («но-вый»). Найти координаты Xf , Ye элементов x,y, еслизаданы их координаты Xe, Yf : f1 = e1 + 2e2 + e3, f2 =
e1+e2+e3, f3 = 2e1+e3; Xe =
131
, Yf =
−31
−1
.
2. Привести квадратичную форму к каноническомувиду методом Лагранжа.
Q(
x1, x2, x3)
= 4(x1)2 − 12x1x2− 8x1x3 + 13(x2)2 +
8x2x3− 4(x3)2
3. Найти матрицу линейного оператора, перево-дящего столбцы матрицы X в столбцы матрицы Y .Вычислить ядро и образ этого оператора. X =
6 0 −11 3 −2
−2 −1 1
, Y =
−1 −1 −2−2 −3 −5−2 −1 −3
.
4. Найти матрицу линейного оператора в новом ба-зисе, если задана его матрица A в старом базисе и мат-
рица C перехода к новому базису. A =
4 −1 02 −1 −23 −1 0
,
C =
1 −1 03 −2 −1
−1 0 2
.
5. Линейный оператор A задан своей матрицейA относительно некоторого базиса. Найти собственныезначения и собственные векторы оператора A. A =
8 12 −6−6 −10 6−3 −6 5
.
6. Найти матрицу оператора ортогонального проек-тирования трехмерного евклидова пространства геомет-рических векторов на заданную плоскость (в стандарт-ном ортонормированном базисе). Описать собственныеподпространства оператора. Уравнение плоскости про-екции 3x+ 4y − 3z = 0.
7. Найти матрицу оператора осевой симметрии трех-мерного евклидова пространства геометрических векто-ров относительно заданной прямой (в стандартном ор-тонормированном базисе). Описать собственные подпро-странства оператора. Канонические уравнения оси сим-метрии x/2 = y/1 = z/1.
8. Применить процесс ортогонализации к заданнойсистеме столбцов:
1−22
−1
,
1120
,
01
−2−1
,
1−202
.
9. Построить ортонормированный базис в евклидо-вом пространстве многочленов степени не выше 2, при-менив процесс ортогонализации к системе многочленов
1, t, t2. Скалярное произведение определено формулой
(f, g) =
−2∫
−3
f(t)g(t)dt.
10. Линейный самосопряженный оператор A задансвоей матрицей A относительно некоторого ортонорми-рованного базиса. Построить ортонормированный базисиз собственных векторов оператора A и записать матри-
цу оператора в этом базисе: A =
3 4 4
4 9 8
4 8 9
.
1
Линейная алгебра.
Контрольное домашнее задание
Вариант 8
1. В трехмерном вещественном линейном простран-стве введены базисы e1, e2, e3 («старый») и f1, f2, f3 («но-вый»). Найти координаты Xf , Ye элементов x,y, еслизаданы их координаты Xe, Yf : f1 = 4e1 − e2 − 3e3,
f2 = 6e1 − 2e2 − 3e3, f3 = −3e1 + e2 + e3; Xe =
−1−6−2
,
Yf =
−504
.
2. Привести квадратичную форму к каноническомувиду методом Лагранжа.
Q(
x1, x2, x3)
= 4(x1)2 − 12x1x2− 8x1x3
− 7(x2)2 +
36x2x3− 9(x3)2
3. Найти матрицу линейного оператора, перево-дящего столбцы матрицы X в столбцы матрицы Y .Вычислить ядро и образ этого оператора. X =
4 −3 0−7 −3 2−3 −2 1
, Y =
−3 0 −32 −1 1
−3 −2 −5
.
4. Найти матрицу линейного оператора в новом ба-зисе, если задана его матрица A в старом базисе и матри-
ца C перехода к новому базису. A =
0 −2 −1−2 2 −1−1 −1 2
,
C =
1 −1 2−1 2 −20 −1 1
.
5. Линейный оператор A задан своей матрицейA относительно некоторого базиса. Найти собственныезначения и собственные векторы оператора A. A =
−1 4 0−3 6 0−1 1 3
.
6. Найти матрицу оператора ортогонального проек-тирования трехмерного евклидова пространства геомет-рических векторов на заданную плоскость (в стандарт-ном ортонормированном базисе). Описать собственныеподпространства оператора. Уравнение плоскости про-екции 5x+ y − 4z = 0.
7. Найти матрицу оператора осевой симметрии трех-мерного евклидова пространства геометрических векто-ров относительно заданной прямой (в стандартном ор-тонормированном базисе). Описать собственные подпро-странства оператора. Канонические уравнения оси сим-метрии x/2 = y/1 = z/− 1.
8. Применить процесс ортогонализации к заданнойсистеме столбцов:
21
−11
,
−1120
,
−10
−10
,
0122
.
9. Построить ортонормированный базис в евклидо-вом пространстве многочленов степени не выше 2, при-менив процесс ортогонализации к системе многочленов1, t, t2. Скалярное произведение определено формулой
(f, g) =
4∫
−2
f(t)g(t)dt.
10. Линейный самосопряженный оператор A задансвоей матрицей A относительно некоторого ортонорми-рованного базиса. Построить ортонормированный базисиз собственных векторов оператора A и записать матри-
цу оператора в этом базисе: A =
1 4 4
4 7 8
4 8 7
.
1
Линейная алгебра.
Контрольное домашнее задание
Вариант 9
1. В трехмерном вещественном линейном простран-стве введены базисы e1, e2, e3 («старый») и f1, f2, f3 («но-вый»). Найти координаты Xf , Ye элементов x,y, еслизаданы их координаты Xe, Yf : f1 = −6e1 + 3e2 − e3,
f2 = −7e1 + e2 + 2e3, f3 = −2e1 + e3; Xe =
0−32
,
Yf =
−6−1−2
.
2. Привести квадратичную форму к каноническомувиду методом Лагранжа.
Q(
x1, x2, x3)
= (x1)2−6x1x2−2x1x3+8(x2)2+12x2x3
−
8(x3)2
3. Найти матрицу линейного оператора, перево-дящего столбцы матрицы X в столбцы матрицы Y .Вычислить ядро и образ этого оператора. X =
−7 −2 −27 1 23 0 1
, Y =
−2 −2 −42 1 33 0 3
.
4. Найти матрицу линейного оператора в новом ба-зисе, если задана его матрица A в старом базисе и матри-
ца C перехода к новому базису. A =
5 4 0−1 −2 22 1 −3
,
C =
1 −3 −32 −5 −51 −2 −1
.
5. Линейный оператор A задан своей матрицейA относительно некоторого базиса. Найти собственныезначения и собственные векторы оператора A. A =
−7 0 −8−12 −3 −24
4 0 5
.
6. Найти матрицу оператора ортогонального проек-тирования трехмерного евклидова пространства геомет-рических векторов на заданную плоскость (в стандарт-ном ортонормированном базисе). Описать собственныеподпространства оператора. Уравнение плоскости про-екции x+ 4y − z = 0.
7. Найти матрицу оператора осевой симметрии трех-мерного евклидова пространства геометрических векто-ров относительно заданной прямой (в стандартном ор-тонормированном базисе). Описать собственные подпро-странства оператора. Канонические уравнения оси сим-метрии x/2 = y/1 = z/2.
8. Применить процесс ортогонализации к заданнойсистеме столбцов:
1−2−1−1
,
10
−22
,
1−2−10
,
0122
.
9. Построить ортонормированный базис в евклидо-вом пространстве многочленов степени не выше 2, при-менив процесс ортогонализации к системе многочленов1, t, t2. Скалярное произведение определено формулой
(f, g) =
3∫
−2
f(t)g(t)dt.
10. Линейный самосопряженный оператор A задансвоей матрицей A относительно некоторого ортонорми-рованного базиса. Построить ортонормированный базисиз собственных векторов оператора A и записать матри-
цу оператора в этом базисе: A =
4 4 4
4 10 8
4 8 10
.
1
Линейная алгебра.
Контрольное домашнее задание
Вариант 10
1. В трехмерном вещественном линейном простран-стве введены базисы e1, e2, e3 («старый») и f1, f2, f3 («но-вый»). Найти координаты Xf , Ye элементов x,y, еслизаданы их координаты Xe, Yf : f1 = 5e1 + e2 + 2e3,
f2 = −11e1 + e2 − 3e3, f3 = 3e1 + e3; Xe =
−15
−3
,
Yf =
−313
.
2. Привести квадратичную форму к каноническомувиду методом Лагранжа.
Q(
x1, x2, x3)
= (x1)2 − 6x1x2− 4x1x3 + 10(x2)2 +
10x2x3 + 4(x3)2
3. Найти матрицу линейного оператора, переводя-щего столбцы матрицы X в столбцы матрицы Y . Вычис-
лить ядро и образ этого оператора. X =
13 0 30 2 12 1 1
,
Y =
−3 3 01 −2 −12 1 3
.
4. Найти матрицу линейного оператора в новом ба-зисе, если задана его матрица A в старом базисе и матри-
ца C перехода к новому базису. A =
5 −1 −3−1 −5 −32 −3 −2
,
C =
1 −3 −22 −5 −4
−3 6 7
.
5. Линейный оператор A задан своей матрицейA относительно некоторого базиса. Найти собственныезначения и собственные векторы оператора A. A =
−3 15 5−2 8 22 −6 0
.
6. Найти матрицу оператора ортогонального проек-тирования трехмерного евклидова пространства геомет-рических векторов на заданную плоскость (в стандарт-ном ортонормированном базисе). Описать собственныеподпространства оператора. Уравнение плоскости про-екции 3x+ 3y − z = 0.
7. Найти матрицу оператора осевой симметрии трех-мерного евклидова пространства геометрических векто-ров относительно заданной прямой (в стандартном ор-тонормированном базисе). Описать собственные подпро-странства оператора. Канонические уравнения оси сим-метрии x/2 = y/1 = z/− 2.
8. Применить процесс ортогонализации к заданнойсистеме столбцов:
0−112
,
−1112
,
2−221
,
0−1−1−1
.
9. Построить ортонормированный базис в евклидо-вом пространстве многочленов степени не выше 2, при-менив процесс ортогонализации к системе многочленов1, t, t2. Скалярное произведение определено формулой
(f, g) =
2∫
−2
f(t)g(t)dt.
10. Линейный самосопряженный оператор A задансвоей матрицей A относительно некоторого ортонорми-рованного базиса. Построить ортонормированный базисиз собственных векторов оператора A и записать матри-
цу оператора в этом базисе: A =
0 4 4
4 6 8
4 8 6
.
1
Линейная алгебра.
Контрольное домашнее задание
Вариант 11
1. В трехмерном вещественном линейном простран-стве введены базисы e1, e2, e3 («старый») и f1, f2, f3 («но-вый»). Найти координаты Xf , Ye элементов x,y, еслизаданы их координаты Xe, Yf : f1 = 7e2+2e3, f2 = −e1+
7e2 + 2e3, f3 = 3e2 + e3; Xe =
025
, Yf =
−2−21
.
2. Привести квадратичную форму к каноническомувиду методом Лагранжа.
Q(
x1, x2, x3)
= 9(x1)2 − 18x1x2 + 6x1x3 + 8(x2)2 +
2x2x3− 16(x3)2
3. Найти матрицу линейного оператора, перево-дящего столбцы матрицы X в столбцы матрицы Y .Вычислить ядро и образ этого оператора. X =
1 0 0−5 −8 3−1 −3 1
, Y =
0 0 03 −2 1
−1 −3 −4
.
4. Найти матрицу линейного оператора в новом ба-зисе, если задана его матрица A в старом базисе и мат-
рица C перехода к новому базису. A =
5 −4 21 2 23 2 3
,
C =
1 −2 33 −5 9
−1 4 −2
.
5. Линейный оператор A задан своей матрицейA относительно некоторого базиса. Найти собственныезначения и собственные векторы оператора A. A =
5 0 −8−12 −3 12
4 0 −7
.
6. Найти матрицу оператора ортогонального проек-тирования трехмерного евклидова пространства геомет-рических векторов на заданную плоскость (в стандарт-ном ортонормированном базисе). Описать собственныеподпространства оператора. Уравнение плоскости про-екции 5x+ 4y − 5z = 0.
7. Найти матрицу оператора осевой симметрии трех-мерного евклидова пространства геометрических векто-ров относительно заданной прямой (в стандартном ор-тонормированном базисе). Описать собственные подпро-странства оператора. Канонические уравнения оси сим-метрии x/2 = y/1 = z/3.
8. Применить процесс ортогонализации к заданнойсистеме столбцов:
011
−2
,
−2−21
−2
,
−2−21
−1
,
0−221
.
9. Построить ортонормированный базис в евклидо-вом пространстве многочленов степени не выше 2, при-менив процесс ортогонализации к системе многочленов
1, t, t2. Скалярное произведение определено формулой
(f, g) =
1∫
−2
f(t)g(t)dt.
10. Линейный самосопряженный оператор A задансвоей матрицей A относительно некоторого ортонорми-рованного базиса. Построить ортонормированный базисиз собственных векторов оператора A и записать матри-
цу оператора в этом базисе: A =
5 4 4
4 11 8
4 8 11
.
1
Линейная алгебра.
Контрольное домашнее задание
Вариант 12
1. В трехмерном вещественном линейном простран-стве введены базисы e1, e2, e3 («старый») и f1, f2, f3 («но-вый»). Найти координаты Xf , Ye элементов x,y, еслизаданы их координаты Xe, Yf : f1 = e1 + 4e2 + 2e3,
f2 = 9e1 − e2 − 2e3, f3 = −3e1 + e2 + e3; Xe =
5−1−1
,
Yf =
1−53
.
2. Привести квадратичную форму к каноническомувиду методом Лагранжа.
Q(
x1, x2, x3)
= (x1)2−6x1x2−4x1x3+8(x2)2+20x2x3
−
12(x3)2
3. Найти матрицу линейного оператора, перево-дящего столбцы матрицы X в столбцы матрицы Y .Вычислить ядро и образ этого оператора. X =
0 1 −3−1 1 00 0 1
, Y =
1 −3 −20 −1 −10 0 0
.
4. Найти матрицу линейного оператора в новом ба-зисе, если задана его матрица A в старом базисе и мат-
рица C перехода к новому базису. A =
2 2 −60 2 01 −3 0
,
C =
1 −1 01 0 32 −5 −8
.
5. Линейный оператор A задан своей матрицейA относительно некоторого базиса. Найти собственныезначения и собственные векторы оператора A. A =
14 24 24−8 −14 −160 0 2
.
6. Найти матрицу оператора ортогонального проек-тирования трехмерного евклидова пространства геомет-рических векторов на заданную плоскость (в стандарт-ном ортонормированном базисе). Описать собственныеподпространства оператора. Уравнение плоскости про-екции x+ 3y − 4z = 0.
7. Найти матрицу оператора осевой симметрии трех-мерного евклидова пространства геометрических векто-ров относительно заданной прямой (в стандартном ор-тонормированном базисе). Описать собственные подпро-странства оператора. Канонические уравнения оси сим-метрии x/2 = y/1 = z/− 3.
8. Применить процесс ортогонализации к заданнойсистеме столбцов:
1011
,
1021
,
−2201
,
−12
−10
.
9. Построить ортонормированный базис в евклидо-вом пространстве многочленов степени не выше 2, при-менив процесс ортогонализации к системе многочленов1, t, t2. Скалярное произведение определено формулой
(f, g) =
0∫
−2
f(t)g(t)dt.
10. Линейный самосопряженный оператор A задансвоей матрицей A относительно некоторого ортонорми-рованного базиса. Построить ортонормированный базисиз собственных векторов оператора A и записать матри-
цу оператора в этом базисе: A =
−1 4 4
4 5 8
4 8 5
.
1
Линейная алгебра.
Контрольное домашнее задание
Вариант 13
1. В трехмерном вещественном линейном простран-стве введены базисы e1, e2, e3 («старый») и f1, f2, f3 («но-вый»). Найти координаты Xf , Ye элементов x,y, ес-ли заданы их координаты Xe, Yf : f1 = 8e1 − e2 − e3,
f2 = −5e1−5e2+3e3, f3 = −e1−2e2+e3; Xe =
−5−21
,
Yf =
10
−5
.
2. Привести квадратичную форму к каноническомувиду методом Лагранжа.
Q(
x1, x2, x3)
= 4(x1)2 − 12x1x2− 4x1x3 + 18(x2)2 −
24x2x3 + 22(x3)2
3. Найти матрицу линейного оператора, перево-дящего столбцы матрицы X в столбцы матрицы Y .Вычислить ядро и образ этого оператора. X =
11 −1 2−4 0 −12 1 1
, Y =
−3 2 −1−1 −2 −32 1 3
.
4. Найти матрицу линейного оператора в новом ба-зисе, если задана его матрица A в старом базисе и матри-
ца C перехода к новому базису. A =
−2 5 14 −1 31 2 −3
,
C =
1 3 −31 4 −22 8 −3
.
5. Линейный оператор A задан своей матрицейA относительно некоторого базиса. Найти собственныезначения и собственные векторы оператора A. A =
15 36 −36−6 −15 122 4 −7
.
6. Найти матрицу оператора ортогонального проек-тирования трехмерного евклидова пространства геомет-рических векторов на заданную плоскость (в стандарт-ном ортонормированном базисе). Описать собственныеподпространства оператора. Уравнение плоскости про-екции 3x+ 3y − 2z = 0.
7. Найти матрицу оператора осевой симметрии трех-мерного евклидова пространства геометрических векто-ров относительно заданной прямой (в стандартном ор-тонормированном базисе). Описать собственные подпро-странства оператора. Канонические уравнения оси сим-метрии x/3 = y/1 = z/1.
8. Применить процесс ортогонализации к заданнойсистеме столбцов:
−2−12
−1
,
1−11
−1
,
2−1−21
,
210
−1
.
9. Построить ортонормированный базис в евклидо-вом пространстве многочленов степени не выше 2, при-менив процесс ортогонализации к системе многочленов1, t, t2. Скалярное произведение определено формулой
(f, g) =
−1∫
−2
f(t)g(t)dt.
10. Линейный самосопряженный оператор A задансвоей матрицей A относительно некоторого ортонорми-рованного базиса. Построить ортонормированный базисиз собственных векторов оператора A и записать матри-
цу оператора в этом базисе: A =
4 6 6
6 13 12
6 12 13
.
1
Линейная алгебра.
Контрольное домашнее задание
Вариант 14
1. В трехмерном вещественном линейном простран-стве введены базисы e1, e2, e3 («старый») и f1, f2, f3 («но-вый»). Найти координаты Xf , Ye элементов x,y, если за-даны их координаты Xe, Yf : f1 = −5e1+e3, f2 = 2e2+e3,
f3 = −3e1 + e2 + e3; Xe =
2−22
, Yf =
4−40
.
2. Привести квадратичную форму к каноническомувиду методом Лагранжа.
Q(
x1, x2, x3)
= 4(x1)2 − 12x1x2 + 4x1x3 + 8(x2)2 −
4x2x3− 16(x3)2
3. Найти матрицу линейного оператора, перево-дящего столбцы матрицы X в столбцы матрицы Y .Вычислить ядро и образ этого оператора. X =
−2 −1 0−3 −5 −32 2 1
, Y =
−1 0 −1−3 3 02 2 4
.
4. Найти матрицу линейного оператора в новом ба-зисе, если задана его матрица A в старом базисе и мат-
рица C перехода к новому базису. A =
4 3 00 1 −42 −2 −1
,
C =
1 −2 −12 −3 −42 −6 3
.
5. Линейный оператор A задан своей матрицейA относительно некоторого базиса. Найти собственныезначения и собственные векторы оператора A. A =
11 28 0−6 −15 02 4 −3
.
6. Найти матрицу оператора ортогонального проек-тирования трехмерного евклидова пространства геомет-рических векторов на заданную плоскость (в стандарт-ном ортонормированном базисе). Описать собственныеподпространства оператора. Уравнение плоскости про-екции 3x+ 3y + z = 0.
7. Найти матрицу оператора осевой симметрии трех-мерного евклидова пространства геометрических векто-ров относительно заданной прямой (в стандартном ор-тонормированном базисе). Описать собственные подпро-странства оператора. Канонические уравнения оси сим-метрии x/3 = y/1 = z/− 1.
8. Применить процесс ортогонализации к заданнойсистеме столбцов:
00
−12
,
2−11
−1
,
202
−1
,
0−1−2−2
.
9. Построить ортонормированный базис в евклидо-вом пространстве многочленов степени не выше 2, при-менив процесс ортогонализации к системе многочленов
1, t, t2. Скалярное произведение определено формулой
(f, g) =
4∫
−1
f(t)g(t)dt.
10. Линейный самосопряженный оператор A задансвоей матрицей A относительно некоторого ортонорми-рованного базиса. Построить ортонормированный базисиз собственных векторов оператора A и записать матри-
цу оператора в этом базисе: A =
2 6 6
6 11 12
6 12 11
.
1
Линейная алгебра.
Контрольное домашнее задание
Вариант 15
1. В трехмерном вещественном линейном простран-стве введены базисы e1, e2, e3 («старый») и f1, f2, f3 («но-вый»). Найти координаты Xf , Ye элементов x,y, еслизаданы их координаты Xe, Yf : f1 = −8e1 + 5e2 + 2e3,
f2 = 4e2 + e3, f3 = −3e1 + 3e2 + e3; Xe =
2−14
,
Yf =
4−52
.
2. Привести квадратичную форму к каноническомувиду методом Лагранжа.
Q(
x1, x2, x3)
= 4(x1)2 − 12x1x2− 8x1x3
− 7(x2)2 +
44x2x3− 12(x3)2
3. Найти матрицу линейного оператора, перево-дящего столбцы матрицы X в столбцы матрицы Y .Вычислить ядро и образ этого оператора. X =
10 3 0−3 −5 3−2 −2 1
, Y =
3 0 33 3 6
−2 −2 −4
.
4. Найти матрицу линейного оператора в новом ба-зисе, если задана его матрица A в старом базисе и матри-
ца C перехода к новому базису. A =
−6 2 20 −4 4
−3 3 −3
,
C =
1 3 −3−3 −8 10−1 0 7
.
5. Линейный оператор A задан своей матрицейA относительно некоторого базиса. Найти собственныезначения и собственные векторы оператора A. A =
−17 15 −15−10 8 −1010 −10 8
.
6. Найти матрицу оператора ортогонального проек-тирования трехмерного евклидова пространства геомет-рических векторов на заданную плоскость (в стандарт-ном ортонормированном базисе). Описать собственныеподпространства оператора. Уравнение плоскости про-екции x+ 3y − 3z = 0.
7. Найти матрицу оператора осевой симметрии трех-мерного евклидова пространства геометрических векто-ров относительно заданной прямой (в стандартном ор-тонормированном базисе). Описать собственные подпро-странства оператора. Канонические уравнения оси сим-метрии x/3 = y/− 1 = z/1.
8. Применить процесс ортогонализации к заданнойсистеме столбцов:
−12
−21
,
−2021
,
0−10
−1
,
−2−21
−2
.
9. Построить ортонормированный базис в евклидо-вом пространстве многочленов степени не выше 2, при-менив процесс ортогонализации к системе многочленов1, t, t2. Скалярное произведение определено формулой
(f, g) =
3∫
−1
f(t)g(t)dt.
10. Линейный самосопряженный оператор A задансвоей матрицей A относительно некоторого ортонорми-рованного базиса. Построить ортонормированный базисиз собственных векторов оператора A и записать матри-
цу оператора в этом базисе: A =
5 6 6
6 14 12
6 12 14
.
1
Линейная алгебра.
Контрольное домашнее задание
Вариант 16
1. В трехмерном вещественном линейном простран-стве введены базисы e1, e2, e3 («старый») и f1, f2, f3 («но-вый»). Найти координаты Xf , Ye элементов x,y, еслизаданы их координаты Xe, Yf : f1 = −2e1 + 3e2 − e3,
f2 = 4e1 − 5e2 + 2e3, f3 = 3e1 − 3e2 + e3; Xe =
−22
−1
,
Yf =
−24
−5
.
2. Привести квадратичную форму к каноническомувиду методом Лагранжа.
Q(
x1, x2, x3)
= 4(x1)2 − 12x1x2− 12x1x3 + 10(x2)2 +
10x2x3 + 16(x3)2
3. Найти матрицу линейного оператора, перево-дящего столбцы матрицы X в столбцы матрицы Y .Вычислить ядро и образ этого оператора. X =
11 −8 3−2 1 02 −2 1
, Y =
−2 3 10 −2 −22 −2 0
.
4. Найти матрицу линейного оператора в новом ба-зисе, если задана его матрица A в старом базисе и матри-
ца C перехода к новому базису. A =
−4 4 −22 −2 4
−1 1 −3
,
C =
1 3 −3−1 −2 61 4 1
.
5. Линейный оператор A задан своей матрицейA относительно некоторого базиса. Найти собственныезначения и собственные векторы оператора A. A =
−4 −6 01 1 00 0 −1
.
6. Найти матрицу оператора ортогонального проек-тирования трехмерного евклидова пространства геомет-рических векторов на заданную плоскость (в стандарт-ном ортонормированном базисе). Описать собственныеподпространства оператора. Уравнение плоскости про-екции 5x+ 3y − z = 0.
7. Найти матрицу оператора осевой симметрии трех-мерного евклидова пространства геометрических векто-ров относительно заданной прямой (в стандартном ор-тонормированном базисе). Описать собственные подпро-странства оператора. Канонические уравнения оси сим-метрии x/3 = y/2 = z/1.
8. Применить процесс ортогонализации к заданнойсистеме столбцов:
012
−1
,
12
−10
,
2−211
,
0−2−21
.
9. Построить ортонормированный базис в евклидо-вом пространстве многочленов степени не выше 2, при-менив процесс ортогонализации к системе многочленов1, t, t2. Скалярное произведение определено формулой
(f, g) =
2∫
−1
f(t)g(t)dt.
10. Линейный самосопряженный оператор A задансвоей матрицей A относительно некоторого ортонорми-рованного базиса. Построить ортонормированный базисиз собственных векторов оператора A и записать матри-
цу оператора в этом базисе: A =
1 6 6
6 10 12
6 12 10
.
1
Линейная алгебра.
Контрольное домашнее задание
Вариант 17
1. В трехмерном вещественном линейном простран-стве введены базисы e1, e2, e3 («старый») и f1, f2, f3 («но-вый»). Найти координаты Xf , Ye элементов x,y, еслизаданы их координаты Xe, Yf : f1 = −e1 + 2e2 − 2e3,
f2 = 5e1 + 3e2 − e3, f3 = −2e1 − 2e2 + e3; Xe =
1−4−3
,
Yf =
50
−1
.
2. Привести квадратичную форму к каноническомувиду методом Лагранжа.
Q(
x1, x2, x3)
= 4(x1)2 − 12x1x2 + 8x1x3− 7(x2)2 +
4x2x3− (x3)2
3. Найти матрицу линейного оператора, переводя-щего столбцы матрицы X в столбцы матрицы Y . Вычис-
лить ядро и образ этого оператора. X =
4 1 06 1 31 0 1
,
Y =
1 0 13 3 61 0 1
.
4. Найти матрицу линейного оператора в новом ба-зисе, если задана его матрица A в старом базисе и матри-
ца C перехода к новому базису. A =
1 −1 4−3 5 −2−1 1 3
,
C =
1 −2 3−1 3 −62 −3 4
.
5. Линейный оператор A задан своей матрицейA относительно некоторого базиса. Найти собственныезначения и собственные векторы оператора A. A =
−6 10 10−1 1 2−2 4 3
.
6. Найти матрицу оператора ортогонального проек-тирования трехмерного евклидова пространства геомет-рических векторов на заданную плоскость (в стандарт-ном ортонормированном базисе). Описать собственныеподпространства оператора. Уравнение плоскости про-екции x+ y − 2z = 0.
7. Найти матрицу оператора осевой симметрии трех-мерного евклидова пространства геометрических векто-ров относительно заданной прямой (в стандартном ор-тонормированном базисе). Описать собственные подпро-странства оператора. Канонические уравнения оси сим-метрии x/3 = y/2 = z/− 1.
8. Применить процесс ортогонализации к заданнойсистеме столбцов:
20
−21
,
10
−20
,
1−1−20
,
1−20
−1
.
9. Построить ортонормированный базис в евклидо-вом пространстве многочленов степени не выше 2, при-менив процесс ортогонализации к системе многочленов1, t, t2. Скалярное произведение определено формулой
(f, g) =
1∫
−1
f(t)g(t)dt.
10. Линейный самосопряженный оператор A задансвоей матрицей A относительно некоторого ортонорми-рованного базиса. Построить ортонормированный базисиз собственных векторов оператора A и записать матри-
цу оператора в этом базисе: A =
6 6 6
6 15 12
6 12 15
.
1
Линейная алгебра.
Контрольное домашнее задание
Вариант 18
1. В трехмерном вещественном линейном простран-стве введены базисы e1, e2, e3 («старый») и f1, f2, f3 («но-вый»). Найти координаты Xf , Ye элементов x,y, ес-ли заданы их координаты Xe, Yf : f1 = −4e1 − e3,
f2 = −5e1 − e3, f3 = 2e1 + e2 + e3; Xe =
−210
,
Yf =
−432
.
2. Привести квадратичную форму к каноническомувиду методом Лагранжа.
Q(
x1, x2, x3)
= 9(x1)2 − 18x1x2 + 6x1x3− 7(x2)2 +
18x2x3− 8(x3)2
3. Найти матрицу линейного оператора, перево-дящего столбцы матрицы X в столбцы матрицы Y .Вычислить ядро и образ этого оператора. X =
0 −4 1−3 −5 3−1 −2 1
, Y =
−2 1 −13 0 3
−1 −2 −3
.
4. Найти матрицу линейного оператора в новом ба-зисе, если задана его матрица A в старом базисе и матри-
ца C перехода к новому базису. A =
−3 1 43 −3 00 2 −2
,
C =
1 3 −20 1 −2
−1 −1 −1
.
5. Линейный оператор A задан своей матрицейA относительно некоторого базиса. Найти собственныезначения и собственные векторы оператора A. A =
1 −2 4−1 0 −2−1 1 −3
.
6. Найти матрицу оператора ортогонального проек-тирования трехмерного евклидова пространства геомет-рических векторов на заданную плоскость (в стандарт-ном ортонормированном базисе). Описать собственныеподпространства оператора. Уравнение плоскости про-екции 4x+ 2y − 5z = 0.
7. Найти матрицу оператора осевой симметрии трех-мерного евклидова пространства геометрических векто-ров относительно заданной прямой (в стандартном ор-тонормированном базисе). Описать собственные подпро-странства оператора. Канонические уравнения оси сим-метрии x/3 = y/− 2 = z/1.
8. Применить процесс ортогонализации к заданнойсистеме столбцов:
−10
−1−1
,
01
−21
,
2−222
,
0−222
.
9. Построить ортонормированный базис в евклидо-вом пространстве многочленов степени не выше 2, при-менив процесс ортогонализации к системе многочленов1, t, t2. Скалярное произведение определено формулой
(f, g) =
0∫
−1
f(t)g(t)dt.
10. Линейный самосопряженный оператор A задансвоей матрицей A относительно некоторого ортонорми-рованного базиса. Построить ортонормированный базисиз собственных векторов оператора A и записать матри-
цу оператора в этом базисе: A =
0 6 6
6 9 12
6 12 9
.
1
Линейная алгебра.
Контрольное домашнее задание
Вариант 19
1. В трехмерном вещественном линейном простран-стве введены базисы e1, e2, e3 («старый») и f1, f2, f3 («но-вый»). Найти координаты Xf , Ye элементов x,y, еслизаданы их координаты Xe, Yf : f1 = e1 + 2e2 − 2e3,
f2 = −2e1−5e2+3e3, f3 = −e1−2e2+e3; Xe =
−1−31
,
Yf =
31
−5
.
2. Привести квадратичную форму к каноническомувиду методом Лагранжа.
Q(
x1, x2, x3)
= 9(x1)2 − 18x1x2 + 6x1x3 + 13(x2)2 −
26x2x3 + 25(x3)2
3. Найти матрицу линейного оператора, перево-дящего столбцы матрицы X в столбцы матрицы Y .Вычислить ядро и образ этого оператора. X =
−8 −3 02 0 −11 1 1
, Y =
−3 0 −3−1 3 21 1 2
.
4. Найти матрицу линейного оператора в новом ба-зисе, если задана его матрица A в старом базисе и матри-
ца C перехода к новому базису. A =
1 −4 −2−5 0 0−2 −1 2
,
C =
1 −3 2−2 7 −3−2 5 −4
.
5. Линейный оператор A задан своей матрицейA относительно некоторого базиса. Найти собственныезначения и собственные векторы оператора A. A =
−9 6 0−9 6 0−3 3 −3
.
6. Найти матрицу оператора ортогонального проек-тирования трехмерного евклидова пространства геомет-рических векторов на заданную плоскость (в стандарт-ном ортонормированном базисе). Описать собственныеподпространства оператора. Уравнение плоскости про-екции 5x+ 2y − z = 0.
7. Найти матрицу оператора осевой симметрии трех-мерного евклидова пространства геометрических векто-ров относительно заданной прямой (в стандартном ор-тонормированном базисе). Описать собственные подпро-странства оператора. Канонические уравнения оси сим-метрии x/3 = y/− 2 = z/− 1.
8. Применить процесс ортогонализации к заданнойсистеме столбцов:
−1112
,
−22
−20
,
02
−2−1
,
1−1−22
.
9. Построить ортонормированный базис в евклидо-вом пространстве многочленов степени не выше 2, при-менив процесс ортогонализации к системе многочленов1, t, t2. Скалярное произведение определено формулой
(f, g) =
4∫
0
f(t)g(t)dt.
10. Линейный самосопряженный оператор A задансвоей матрицей A относительно некоторого ортонорми-рованного базиса. Построить ортонормированный базисиз собственных векторов оператора A и записать матри-
цу оператора в этом базисе: A =
5 8 8
8 17 16
8 16 17
.
1
Линейная алгебра.
Контрольное домашнее задание
Вариант 20
1. В трехмерном вещественном линейном простран-стве введены базисы e1, e2, e3 («старый») и f1, f2, f3 («но-вый»). Найти координаты Xf , Ye элементов x,y, еслизаданы их координаты Xe, Yf : f1 = 4e1 + 7e2 − 3e3,
f2 = −8e2 + 3e3, f3 = e1 − 3e2 + e3; Xe =
−5−20
,
Yf =
−14
−6
.
2. Привести квадратичную форму к каноническомувиду методом Лагранжа.
Q(
x1, x2, x3)
= 9(x1)2 − 18x1x2 + 12x1x3− 6x2x3
−
(x3)2
3. Найти матрицу линейного оператора, перево-дящего столбцы матрицы X в столбцы матрицы Y .Вычислить ядро и образ этого оператора. X =
−9 −7 310 7 −3−3 −2 1
, Y =
−1 3 2−3 1 −2−3 −2 −5
.
4. Найти матрицу линейного оператора в новом ба-зисе, если задана его матрица A в старом базисе и мат-
рица C перехода к новому базису. A =
0 0 12 −2 −31 −1 −1
,
C =
1 1 −11 2 −3
−1 −2 4
.
5. Линейный оператор A задан своей матрицейA относительно некоторого базиса. Найти собственныезначения и собственные векторы оператора A. A =
−12 0 −15−15 3 −1510 0 13
.
6. Найти матрицу оператора ортогонального проек-тирования трехмерного евклидова пространства геомет-рических векторов на заданную плоскость (в стандарт-ном ортонормированном базисе). Описать собственныеподпространства оператора. Уравнение плоскости про-екции 3x+ 4y − 5z = 0.
7. Найти матрицу оператора осевой симметрии трех-мерного евклидова пространства геометрических векто-ров относительно заданной прямой (в стандартном ор-тонормированном базисе). Описать собственные подпро-странства оператора. Канонические уравнения оси сим-метрии x/3 = y/3 = z/1.
8. Применить процесс ортогонализации к заданнойсистеме столбцов:
022
−2
,
2212
,
0−2−2−2
,
21
−21
.
9. Построить ортонормированный базис в евклидо-вом пространстве многочленов степени не выше 2, при-менив процесс ортогонализации к системе многочленов1, t, t2. Скалярное произведение определено формулой
(f, g) =
3∫
0
f(t)g(t)dt.
10. Линейный самосопряженный оператор A задансвоей матрицей A относительно некоторого ортонорми-рованного базиса. Построить ортонормированный базисиз собственных векторов оператора A и записать матри-
цу оператора в этом базисе: A =
3 8 8
8 15 16
8 16 15
.
1
Линейная алгебра.
Контрольное домашнее задание
Вариант 21
1. В трехмерном вещественном линейном простран-стве введены базисы e1, e2, e3 («старый») и f1, f2, f3 («но-вый»). Найти координаты Xf , Ye элементов x,y, если за-даны их координаты Xe, Yf : f1 = e1 − 2e2, f2 = −e1+ e3,
f3 = −e1 − e2 + e3; Xe =
−2−10
, Yf =
2−1−2
.
2. Привести квадратичную форму к каноническомувиду методом Лагранжа.
Q(
x1, x2, x3)
= 9(x1)2 − 18x1x2 + 12x1x3 + 6x2x3−
5(x3)2
3. Найти матрицу линейного оператора, перево-дящего столбцы матрицы X в столбцы матрицы Y .Вычислить ядро и образ этого оператора. X =
0 2 1−8 1 −23 0 1
, Y =
2 1 3−2 −2 −43 0 3
.
4. Найти матрицу линейного оператора в новом ба-зисе, если задана его матрица A в старом базисе и мат-
рица C перехода к новому базису. A =
1 −3 6−5 −1 0−2 3 1
,
C =
1 −3 1−2 7 −5−2 9 −10
.
5. Линейный оператор A задан своей матрицейA относительно некоторого базиса. Найти собственныезначения и собственные векторы оператора A. A =
−11 15 15−20 24 2010 −10 −6
.
6. Найти матрицу оператора ортогонального проек-тирования трехмерного евклидова пространства геомет-рических векторов на заданную плоскость (в стандарт-ном ортонормированном базисе). Описать собственныеподпространства оператора. Уравнение плоскости про-екции 5x+ 2y − 4z = 0.
7. Найти матрицу оператора осевой симметрии трех-мерного евклидова пространства геометрических векто-ров относительно заданной прямой (в стандартном ор-тонормированном базисе). Описать собственные подпро-странства оператора. Канонические уравнения оси сим-метрии x/3 = y/3 = z/− 1.
8. Применить процесс ортогонализации к заданнойсистеме столбцов:
−1−101
,
−120
−2
,
1000
,
−22
−2−2
.
9. Построить ортонормированный базис в евклидо-вом пространстве многочленов степени не выше 2, при-менив процесс ортогонализации к системе многочленов
1, t, t2. Скалярное произведение определено формулой
(f, g) =
2∫
0
f(t)g(t)dt.
10. Линейный самосопряженный оператор A задансвоей матрицей A относительно некоторого ортонорми-рованного базиса. Построить ортонормированный базисиз собственных векторов оператора A и записать матри-
цу оператора в этом базисе: A =
6 8 8
8 18 16
8 16 18
.
1
Линейная алгебра.
Контрольное домашнее задание
Вариант 22
1. В трехмерном вещественном линейном простран-стве введены базисы e1, e2, e3 («старый») и f1, f2, f3 («но-вый»). Найти координаты Xf , Ye элементов x,y, если за-даны их координаты Xe, Yf : f1 = e1−3e3, f2 = 2e1+2e2+
e3, f3 = e1 + e2 + e3; Xe =
4−22
, Yf =
−240
.
2. Привести квадратичную форму к каноническомувиду методом Лагранжа.
Q(
x1, x2, x3)
= 4(x1)2 − 12x1x2 + 8x1x3 + 25(x2)2 −
28x2x3 + 4(x3)2
3. Найти матрицу линейного оператора, перево-дящего столбцы матрицы X в столбцы матрицы Y .Вычислить ядро и образ этого оператора. X =
−3 0 2−6 4 −31 −1 1
, Y =
2 2 4−3 −3 −61 −1 0
.
4. Найти матрицу линейного оператора в новом ба-зисе, если задана его матрица A в старом базисе и мат-
рица C перехода к новому базису. A =
−2 −5 3−2 −1 3−2 3 2
,
C =
1 0 2−2 1 −4−3 3 −5
.
5. Линейный оператор A задан своей матрицейA относительно некоторого базиса. Найти собственныезначения и собственные векторы оператора A. A =
−3 0 0−6 3 −6−4 4 −7
.
6. Найти матрицу оператора ортогонального проек-тирования трехмерного евклидова пространства геомет-рических векторов на заданную плоскость (в стандарт-ном ортонормированном базисе). Описать собственныеподпространства оператора. Уравнение плоскости про-екции x+ 4y + z = 0.
7. Найти матрицу оператора осевой симметрии трех-мерного евклидова пространства геометрических векто-ров относительно заданной прямой (в стандартном ор-тонормированном базисе). Описать собственные подпро-странства оператора. Канонические уравнения оси сим-метрии x/3 = y/3 = z/2.
8. Применить процесс ортогонализации к заданнойсистеме столбцов:
01
−2−2
,
1−122
,
2121
,
−10
−22
.
9. Построить ортонормированный базис в евклидо-вом пространстве многочленов степени не выше 2, при-менив процесс ортогонализации к системе многочленов
1, t, t2. Скалярное произведение определено формулой
(f, g) =
1∫
0
f(t)g(t)dt.
10. Линейный самосопряженный оператор A задансвоей матрицей A относительно некоторого ортонорми-рованного базиса. Построить ортонормированный базисиз собственных векторов оператора A и записать матри-
цу оператора в этом базисе: A =
2 8 8
8 14 16
8 16 14
.
1
Линейная алгебра.
Контрольное домашнее задание
Вариант 23
1. В трехмерном вещественном линейном простран-стве введены базисы e1, e2, e3 («старый») и f1, f2, f3 («но-вый»). Найти координаты Xf , Ye элементов x,y, еслизаданы их координаты Xe, Yf : f1 = 7e1 − e3, f2 =
9e1 − e2 − 2e3, f3 = −3e1 + e2 + e3; Xe =
4−4−1
,
Yf =
2−23
.
2. Привести квадратичную форму к каноническомувиду методом Лагранжа.
Q(
x1, x2, x3)
= (x1)2−6x1x2+6x1x3+5(x2)2−10x2x3+
4(x3)2
3. Найти матрицу линейного оператора, перево-дящего столбцы матрицы X в столбцы матрицы Y .Вычислить ядро и образ этого оператора. X =
8 0 −1−2 1 0−3 −2 1
, Y =
−2 −1 −30 −2 −2
−3 −2 −5
.
4. Найти матрицу линейного оператора в новом ба-зисе, если задана его матрица A в старом базисе и матри-
ца C перехода к новому базису. A =
−2 1 3−2 −1 1−2 2 −1
,
C =
1 0 −1−2 1 10 2 −1
.
5. Линейный оператор A задан своей матрицейA относительно некоторого базиса. Найти собственныезначения и собственные векторы оператора A. A =
−5 9 18−4 8 8−2 2 8
.
6. Найти матрицу оператора ортогонального проек-тирования трехмерного евклидова пространства геомет-рических векторов на заданную плоскость (в стандарт-ном ортонормированном базисе). Описать собственныеподпространства оператора. Уравнение плоскости про-екции x+ 2y − 5z = 0.
7. Найти матрицу оператора осевой симметрии трех-мерного евклидова пространства геометрических векто-ров относительно заданной прямой (в стандартном ор-тонормированном базисе). Описать собственные подпро-странства оператора. Канонические уравнения оси сим-метрии x/3 = y/3 = z/− 2.
8. Применить процесс ортогонализации к заданнойсистеме столбцов:
10
−10
,
22
−2−1
,
0−1−1−1
,
−102
−2
.
9. Построить ортонормированный базис в евклидо-вом пространстве многочленов степени не выше 2, при-менив процесс ортогонализации к системе многочленов1, t, t2. Скалярное произведение определено формулой
(f, g) =
4∫
1
f(t)g(t)dt.
10. Линейный самосопряженный оператор A задансвоей матрицей A относительно некоторого ортонорми-рованного базиса. Построить ортонормированный базисиз собственных векторов оператора A и записать матри-
цу оператора в этом базисе: A =
7 8 8
8 19 16
8 16 19
.
1
Линейная алгебра.
Контрольное домашнее задание
Вариант 24
1. В трехмерном вещественном линейном простран-стве введены базисы e1, e2, e3 («старый») и f1, f2, f3 («но-вый»). Найти координаты Xf , Ye элементов x,y, еслизаданы их координаты Xe, Yf : f1 = 9e1 + 5e2 + e3,
f2 = e1 + 5e2 + 2e3, f3 = −e1 + 2e2 + e3; Xe =
604
,
Yf =
0−20
.
2. Привести квадратичную форму к каноническомувиду методом Лагранжа.
Q(
x1, x2, x3)
= 9(x1)2 − 18x1x2 + 18x1x3 + 8(x2)2 −
16x2x3 + 8(x3)2
3. Найти матрицу линейного оператора, перево-дящего столбцы матрицы X в столбцы матрицы Y .Вычислить ядро и образ этого оператора. X =
−7 8 −2−4 4 −11 −3 1
, Y =
2 −2 0−1 −3 −41 −3 −2
.
4. Найти матрицу линейного оператора в новом ба-зисе, если задана его матрица A в старом базисе и мат-
рица C перехода к новому базису. A =
−3 −1 0−1 1 2−2 1 1
,
C =
1 1 1−2 −1 −10 1 2
.
5. Линейный оператор A задан своей матрицейA относительно некоторого базиса. Найти собственныезначения и собственные векторы оператора A. A =
−15 −16 −32−4 −3 −88 8 17
.
6. Найти матрицу оператора ортогонального проек-тирования трехмерного евклидова пространства геомет-рических векторов на заданную плоскость (в стандарт-ном ортонормированном базисе). Описать собственныеподпространства оператора. Уравнение плоскости про-екции 2x+ 2y − 3z = 0.
7. Найти матрицу оператора осевой симметрии трех-мерного евклидова пространства геометрических векто-ров относительно заданной прямой (в стандартном ор-тонормированном базисе). Описать собственные подпро-странства оператора. Канонические уравнения оси сим-метрии x/3 = y/− 3 = z/1.
8. Применить процесс ортогонализации к заданнойсистеме столбцов:
1−1−22
,
1−120
,
2−122
,
−2−112
.
9. Построить ортонормированный базис в евклидо-вом пространстве многочленов степени не выше 2, при-менив процесс ортогонализации к системе многочленов1, t, t2. Скалярное произведение определено формулой
(f, g) =
3∫
1
f(t)g(t)dt.
10. Линейный самосопряженный оператор A задансвоей матрицей A относительно некоторого ортонорми-рованного базиса. Построить ортонормированный базисиз собственных векторов оператора A и записать матри-
цу оператора в этом базисе: A =
1 8 8
8 13 16
8 16 13
.
1
Линейная алгебра.
Контрольное домашнее задание
Вариант 25
1. В трехмерном вещественном линейном простран-стве введены базисы e1, e2, e3 («старый») и f1, f2, f3 («но-вый»). Найти координаты Xf , Ye элементов x,y, еслизаданы их координаты Xe, Yf : f1 = e1 − 6e2 + 2e3,
f2 = −8e1−5e2+3e3, f3 = −2e1−2e2+e3; Xe =
−401
,
Yf =
0−4−5
.
2. Привести квадратичную форму к каноническомувиду методом Лагранжа.
Q(
x1, x2, x3)
= 9(x1)2 − 18x1x2− 24x1x3 + 18(x2)2 +
28(x3)2
3. Найти матрицу линейного оператора, перево-дящего столбцы матрицы X в столбцы матрицы Y .Вычислить ядро и образ этого оператора. X =
−1 −3 −2−2 3 10 2 1
, Y =
1 −2 −11 −2 −10 2 2
.
4. Найти матрицу линейного оператора в новом ба-зисе, если задана его матрица A в старом базисе и мат-
рица C перехода к новому базису. A =
0 0 06 −6 23 1 −3
,
C =
1 3 −33 10 −8
−3 −8 11
.
5. Линейный оператор A задан своей матрицейA относительно некоторого базиса. Найти собственныезначения и собственные векторы оператора A. A =
−8 12 24−16 20 32
4 −4 −4
.
6. Найти матрицу оператора ортогонального проек-тирования трехмерного евклидова пространства геомет-рических векторов на заданную плоскость (в стандарт-ном ортонормированном базисе). Описать собственныеподпространства оператора. Уравнение плоскости про-екции 3x+ 2y − z = 0.
7. Найти матрицу оператора осевой симметрии трех-мерного евклидова пространства геометрических векто-ров относительно заданной прямой (в стандартном ор-тонормированном базисе). Описать собственные подпро-странства оператора. Канонические уравнения оси сим-метрии x/3 = y/− 3 = z/− 1.
8. Применить процесс ортогонализации к заданнойсистеме столбцов:
1−1−12
,
222
−2
,
−11
−10
,
−1−20
−1
.
9. Построить ортонормированный базис в евклидо-вом пространстве многочленов степени не выше 2, при-менив процесс ортогонализации к системе многочленов1, t, t2. Скалярное произведение определено формулой
(f, g) =
2∫
1
f(t)g(t)dt.
10. Линейный самосопряженный оператор A задансвоей матрицей A относительно некоторого ортонорми-рованного базиса. Построить ортонормированный базисиз собственных векторов оператора A и записать матри-
цу оператора в этом базисе: A =
8 8 8
8 20 16
8 16 20
.
1
Линейная алгебра.
Контрольное домашнее задание
Вариант 26
1. В трехмерном вещественном линейном простран-стве введены базисы e1, e2, e3 («старый») и f1, f2, f3 («но-вый»). Найти координаты Xf , Ye элементов x,y, еслизаданы их координаты Xe, Yf : f1 = e1 + 2e2, f2 =
−2e1 − e2 + e3, f3 = −2e1 − 2e2 + e3; Xe =
2−2−1
,
Yf =
−2−2−3
.
2. Привести квадратичную форму к каноническомувиду методом Лагранжа.
Q(
x1, x2, x3)
= (x1)2−6x1x2+2x1x3−7(x2)2+18x2x3
−
12(x3)2
3. Найти матрицу линейного оператора, перево-дящего столбцы матрицы X в столбцы матрицы Y .Вычислить ядро и образ этого оператора. X =
−1 0 −10 1 02 1 1
, Y =
1 −1 00 0 02 1 3
.
4. Найти матрицу линейного оператора в новом ба-зисе, если задана его матрица A в старом базисе и матри-
ца C перехода к новому базису. A =
−2 0 −44 −2 01 −2 −1
,
C =
1 3 −11 4 1
−1 −5 −2
.
5. Линейный оператор A задан своей матрицейA относительно некоторого базиса. Найти собственныезначения и собственные векторы оператора A. A =
−9 32 −8−4 15 −4−4 16 −5
.
6. Найти матрицу оператора ортогонального проек-тирования трехмерного евклидова пространства геомет-рических векторов на заданную плоскость (в стандарт-ном ортонормированном базисе). Описать собственныеподпространства оператора. Уравнение плоскости про-екции x+ 2y − 3z = 0.
7. Найти матрицу оператора осевой симметрии трех-мерного евклидова пространства геометрических векто-ров относительно заданной прямой (в стандартном ор-тонормированном базисе). Описать собственные подпро-странства оператора. Канонические уравнения оси сим-метрии x/3 = y/− 3 = z/2.
8. Применить процесс ортогонализации к заданнойсистеме столбцов:
02
−2−2
,
2−11
−1
,
0−1−21
,
101
−2
.
9. Построить ортонормированный базис в евклидо-вом пространстве многочленов степени не выше 2, при-менив процесс ортогонализации к системе многочленов1, t, t2. Скалярное произведение определено формулой
(f, g) =
4∫
2
f(t)g(t)dt.
10. Линейный самосопряженный оператор A задансвоей матрицей A относительно некоторого ортонорми-рованного базиса. Построить ортонормированный базисиз собственных векторов оператора A и записать матри-
цу оператора в этом базисе: A =
0 8 8
8 12 16
8 16 12
.
1
Линейная алгебра.
Контрольное домашнее задание
Вариант 27
1. В трехмерном вещественном линейном простран-стве введены базисы e1, e2, e3 («старый») и f1, f2, f3 («но-вый»). Найти координаты Xf , Ye элементов x,y, еслизаданы их координаты Xe, Yf : f1 = −e1 − 2e2 + e3,
f2 = −7e1 − e2 +2e3, f3 = −3e1 − e2 + e3; Xe =
−2−21
,
Yf =
0−4−3
.
2. Привести квадратичную форму к каноническомувиду методом Лагранжа.
Q(
x1, x2, x3)
= 4(x1)2 − 12x1x2 + 4x1x3− 7(x2)2 +
26x2x3− 15(x3)2
3. Найти матрицу линейного оператора, переводя-щего столбцы матрицы X в столбцы матрицы Y . Вычис-
лить ядро и образ этого оператора. X =
0 2 1−1 2 1−1 1 1
,
Y =
1 1 21 0 1
−1 1 0
.
4. Найти матрицу линейного оператора в новом ба-зисе, если задана его матрица A в старом базисе и мат-
рица C перехода к новому базису. A =
5 3 41 −1 03 2 −2
,
C =
1 −2 −23 −5 −81 0 −5
.
5. Линейный оператор A задан своей матрицейA относительно некоторого базиса. Найти собственныезначения и собственные векторы оператора A. A =
−28 50 −50−15 27 −30
0 0 −3
.
6. Найти матрицу оператора ортогонального проек-тирования трехмерного евклидова пространства геомет-рических векторов на заданную плоскость (в стандарт-ном ортонормированном базисе). Описать собственныеподпространства оператора. Уравнение плоскости про-екции x+ 2y + 7z = 0.
7. Найти матрицу оператора осевой симметрии трех-мерного евклидова пространства геометрических векто-ров относительно заданной прямой (в стандартном ор-тонормированном базисе). Описать собственные подпро-странства оператора. Канонические уравнения оси сим-метрии x/3 = y/4 = z/1.
8. Применить процесс ортогонализации к заданнойсистеме столбцов:
−2011
,
−2−1−12
,
0−2−12
,
22
−2−1
.
9. Построить ортонормированный базис в евклидо-вом пространстве многочленов степени не выше 2, при-менив процесс ортогонализации к системе многочленов1, t, t2. Скалярное произведение определено формулой
(f, g) =
3∫
2
f(t)g(t)dt.
10. Линейный самосопряженный оператор A задансвоей матрицей A относительно некоторого ортонорми-рованного базиса. Построить ортонормированный базисиз собственных векторов оператора A и записать матри-
цу оператора в этом базисе: A =
1 −2 −2
−2 −2 −4
−2 −4 −2
.
1
Линейная алгебра.
Контрольное домашнее задание
Вариант 28
1. В трехмерном вещественном линейном простран-стве введены базисы e1, e2, e3 («старый») и f1, f2, f3 («но-вый»). Найти координаты Xf , Ye элементов x,y, еслизаданы их координаты Xe, Yf : f1 = 8e1 + 8e2 − 3e3,
f2 = −5e1−5e2+2e3, f3 = −2e1−3e2+e3; Xe =
−2−5−1
,
Yf =
01
−5
.
2. Привести квадратичную форму к каноническомувиду методом Лагранжа.
Q(
x1, x2, x3)
= 4(x1)2 − 12x1x2 + 8x1x3 + 10(x2)2 −
22x2x3 + 13(x3)2
3. Найти матрицу линейного оператора, переводя-щего столбцы матрицы X в столбцы матрицы Y . Вычис-
лить ядро и образ этого оператора. X =
6 5 12 1 0
−1 2 1
,
Y =
3 1 40 2 2
−1 2 1
.
4. Найти матрицу линейного оператора в новом ба-зисе, если задана его матрица A в старом базисе и мат-
рица C перехода к новому базису. A =
−2 4 5−2 0 1−2 3 −2
,
C =
1 0 −2−2 1 22 3 −9
.
5. Линейный оператор A задан своей матрицейA относительно некоторого базиса. Найти собственныезначения и собственные векторы оператора A. A =
−15 12 0−18 15 012 −12 −3
.
6. Найти матрицу оператора ортогонального проек-тирования трехмерного евклидова пространства геомет-рических векторов на заданную плоскость (в стандарт-ном ортонормированном базисе). Описать собственныеподпространства оператора. Уравнение плоскости про-екции 3x+ y − 2z = 0.
7. Найти матрицу оператора осевой симметрии трех-мерного евклидова пространства геометрических векто-ров относительно заданной прямой (в стандартном ор-тонормированном базисе). Описать собственные подпро-странства оператора. Канонические уравнения оси сим-метрии x/3 = y/4 = z/− 1.
8. Применить процесс ортогонализации к заданнойсистеме столбцов:
2−112
,
00
−22
,
−2−21
−1
,
−1112
.
9. Построить ортонормированный базис в евклидо-вом пространстве многочленов степени не выше 2, при-менив процесс ортогонализации к системе многочленов1, t, t2. Скалярное произведение определено формулой
(f, g) =
4∫
3
f(t)g(t)dt.
10. Линейный самосопряженный оператор A задансвоей матрицей A относительно некоторого ортонорми-рованного базиса. Построить ортонормированный базисиз собственных векторов оператора A и записать матри-
цу оператора в этом базисе: A =
2 −2 −2
−2 −1 −4
−2 −4 −1
.
1
Линейная алгебра.
Контрольное домашнее задание
Вариант 29
1. В трехмерном вещественном линейном простран-стве введены базисы e1, e2, e3 («старый») и f1, f2, f3 («но-вый»). Найти координаты Xf , Ye элементов x,y, если за-даны их координаты Xe, Yf : f1 = e1 − e3, f2 = 5e2 − 2e3,
f3 = −2e2 + e3; Xe =
−2−1−4
, Yf =
210
.
2. Привести квадратичную форму к каноническомувиду методом Лагранжа.
Q(
x1, x2, x3)
= 4(x1)2 − 12x1x2− 12x1x3 + 5(x2)2 +
22x2x3 + 7(x3)2
3. Найти матрицу линейного оператора, перево-дящего столбцы матрицы X в столбцы матрицы Y .Вычислить ядро и образ этого оператора. X =
−1 1 0−1 −1 −1−1 2 1
, Y =
1 0 1−1 −2 −3−1 2 1
.
4. Найти матрицу линейного оператора в новом ба-зисе, если задана его матрица A в старом базисе и мат-
рица C перехода к новому базису. A =
3 3 21 −3 02 1 −3
,
C =
1 −1 −32 −1 −70 1 0
.
5. Линейный оператор A задан своей матрицейA относительно некоторого базиса. Найти собственныезначения и собственные векторы оператора A. A =
−3 0 0−15 12 30
5 −5 −13
.
6. Найти матрицу оператора ортогонального проек-тирования трехмерного евклидова пространства геомет-рических векторов на заданную плоскость (в стандарт-ном ортонормированном базисе). Описать собственныеподпространства оператора. Уравнение плоскости про-екции x+ 4y − 5z = 0.
7. Найти матрицу оператора осевой симметрии трех-мерного евклидова пространства геометрических векто-ров относительно заданной прямой (в стандартном ор-тонормированном базисе). Описать собственные подпро-странства оператора. Канонические уравнения оси сим-метрии x/3 = y/4 = z/2.
8. Применить процесс ортогонализации к заданнойсистеме столбцов:
−1−221
,
2−110
,
12
−22
,
1−101
.
9. Построить ортонормированный базис в евклидо-вом пространстве многочленов степени не выше 2, при-менив процесс ортогонализации к системе многочленов
1, t, t2. Скалярное произведение определено формулой
(f, g) =
5∫
2
f(t)g(t)dt.
10. Линейный самосопряженный оператор A задансвоей матрицей A относительно некоторого ортонорми-рованного базиса. Построить ортонормированный базисиз собственных векторов оператора A и записать матри-
цу оператора в этом базисе: A =
−1 −4 −4
−4 −7 −8
−4 −8 −7
.
1
Линейная алгебра.
Контрольное домашнее задание
Вариант 30
1. В трехмерном вещественном линейном простран-стве введены базисы e1, e2, e3 («старый») и f1, f2, f3 («но-вый»). Найти координаты Xf , Ye элементов x,y, еслизаданы их координаты Xe, Yf : f1 = 16e1 + 3e2 + 3e3,
f2 = 7e1 + 7e2 + 3e3, f3 = 3e1 + 2e2 + e3; Xe =
−565
,
Yf =
10
−1
.
2. Привести квадратичную форму к каноническомувиду методом Лагранжа.
Q(
x1, x2, x3)
= (x1)2 − 6x1x2− 10x1x3 + 48x2x3 +
16(x3)2
3. Найти матрицу линейного оператора, переводя-щего столбцы матрицы X в столбцы матрицы Y . Вычис-
лить ядро и образ этого оператора. X =
−2 6 3−4 3 1−1 2 1
,
Y =
0 3 31 −3 −2
−1 2 1
.
4. Найти матрицу линейного оператора в новом ба-зисе, если задана его матрица A в старом базисе и матри-
ца C перехода к новому базису. A =
0 3 5−2 −1 −1−1 2 −2
,
C =
1 −1 −2−1 2 −11 1 −7
.
5. Линейный оператор A задан своей матрицейA относительно некоторого базиса. Найти собственныезначения и собственные векторы оператора A. A =
−7 12 −24−15 20 −30−3 3 −1
.
6. Найти матрицу оператора ортогонального проек-тирования трехмерного евклидова пространства геомет-рических векторов на заданную плоскость (в стандарт-ном ортонормированном базисе). Описать собственныеподпространства оператора. Уравнение плоскости про-екции 5x+ 5y − 3z = 0.
7. Найти матрицу оператора осевой симметрии трех-мерного евклидова пространства геометрических векто-ров относительно заданной прямой (в стандартном ор-тонормированном базисе). Описать собственные подпро-странства оператора. Канонические уравнения оси сим-метрии x/3 = y/4 = z/− 2.
8. Применить процесс ортогонализации к заданнойсистеме столбцов:
−2010
,
0022
,
020
−2
,
−2−102
.
9. Построить ортонормированный базис в евклидо-вом пространстве многочленов степени не выше 2, при-менив процесс ортогонализации к системе многочленов1, t, t2. Скалярное произведение определено формулой
(f, g) =
5∫
3
f(t)g(t)dt.
10. Линейный самосопряженный оператор A за-дан своей матрицей A относительно некоторого ор-тонормированного базиса. Построить ортонормирован-ный базис из собственных векторов оператора A изаписать матрицу оператора в этом базисе: A =
0 −4 −4
−4 −6 −8
−4 −8 −6
.
1. В трехмерном вещественном линейном простран-стве введены базисы e1, e2, e3 («старый») и f1, f2, f3 («но-вый»). Найти координаты Xf , Ye элементов x,y, еслизаданы их координаты Xe, Yf :
2. Привести квадратичную форму к каноническомувиду методом Лагранжа.
3. Найти матрицу линейного оператора, переводя-щего столбцы матрицы X в столбцы матрицы Y . Вы-числить ядро и образ этого оператора.
4. Найти матрицу линейного оператора в новом ба-зисе, если задана его матрица A в старом базисе и мат-рица C перехода к новому базису.
5. Линейный оператор A задан своей матрицей A от-носительно некоторого базиса. Найти собственные значе-ния и собственные векторы оператора A.
6. Найти матрицу оператора ортогонального проек-тирования трехмерного евклидова пространства геомет-рических векторов на заданную плоскость (в стандарт-ном ортонормированном базисе). Описать собственныеподпространства оператора. Уравнение плоскости про-екции
7. Найти матрицу оператора осевой симметрии трех-мерного евклидова пространства геометрических векто-ров относительно заданной прямой (в стандартном ор-тонормированном базисе). Описать собственные подпро-странства оператора. Канонические уравнения оси сим-метрии
8. Применить процесс ортогонализации к заданнойсистеме столбцов:
9. Построить ортонормированный базис в евклидо-вом пространстве многочленов степени не выше 2, при-менив процесс ортогонализации к системе многочленов1, t, t2. Скалярное произведение определено формулой
10. Линейный самосопряженный оператор A задансвоей матрицей A относительно некоторого ортонорми-рованного базиса. Построить ортонормированный базисиз собственных векторов оператора A и записать матри-цу оператора в этом базисе: