Логические основы ЭВМ. Алгебра логики

Основные понятия Логика – наука о законах и формах мышления, методах

познания и условия определения истинности знаний и суждений.

Понятие – форма мышления, фиксирующая основные свойства объектов.

Высказывание (суждение, утверждение) – форма мышления, утверждающая или отрицающая определенные свойства объектов и связи между ними.

Умозаключение – форма мышления, являющаяся получением новых знаний (суждений) – заключения из одного или нескольких суждений - посылок.

2

ПримерыКакие из предложений являются высказываниями? Определите их истинность.Треугольник – это геометрическая фигураВсе роботы являются машинамиПосмотрите на доскуНе нарушайте правил дорожного движения!

3

Основные понятия

Формализация (логико-математическое представление) – процесс представления информации в формализованном виде с помощью точного логико-математического языка.

Логическая алгебра (алгебра Буля, алгебра логики или алгебра высказываний) – раздел математической логики, изучающей логические законы с помощью формул, построенных на высказывательных константах, переменных и символов логических связок.

Логическое выражение – это формула, в которую входят логические переменные, обозначающие высказывания, и знаки логических операций, обозначающие логические функции.

4

Основные понятия Простое логическое выражение состоит из одного

высказывания и не содержит логические операции. Сложное логическое выражение содержит

высказывания, объединенные логическими операциями.

Логические величины - понятия, выражаемые словами ИСТИНА (1) и ЛОЖЬ (0)

5

Логические операции

Конъюнкцией (логическим умножением) двух высказываний А и В называется логическая операция, соответствующая союзу «И», истинная только тогда, когда истинны оба высказывания А и В. Обозначается:

F=A ∩ B = A ^ B =A×B =A*B=A&B

6

Логические операции

Дизъюнкцией (логическим сложением) двух высказываний называется логическая операция, соответствующая союзу «ИЛИ» и истинная тогда, когда истинно хотя бы одно простое высказывание А или В. Обозначается:

F=A ∪B = A ∨ B =A+B

7

Логические операции

Инверсией (логическим отрицанием) или логической функцией «НЕ» называется функция одного аргумента А, которая истинна в том случае, если А ложно и ложна, если А истинна. Обозначается:

F= Ā = ¬ А

8

Примеры Рассмотрим высказывание: «Число 6 делится на 2, и

число 6 делится на 3». К какому типу можно отнести данное высказывание? Представьте данное высказывание в виде логической формулы. Определите её значение.

Рассмотрим высказывание: «Неверно, что 4 делится на 3». Представьте данное высказывание в виде логической формулы.

9

Таблица истинности

Таблица истинности – таблица, которая показывает, какие значения принимает логическая функция при всех возможных наборах ее аргументов (входных переменных).

А В A ^ B A ∨ B Ā

0 0 0 0 1

0 1 0 1 1

1 0 0 1 0

1 1 1 1 0

10

Порядок выполнения логических операций Инверсия одной переменной. Действия под знаком инверсии нескольких

переменных и действия в скобках. Конъюнкция. Дизъюнкция.

11

Пример Вычислите значение логической формулы:

если логические переменные имеют следующие значения: X = ложь, Y = истина, Z = истина

ZXYX ∧∨∧¬

12

Законы булевой алгебры

X, Y - переменные

00X =⋅ X0X =∨

X1X =⋅ 11X =∨0XX =⋅ 1XX =∨

XXXX

XXX

=⋅⋅⋅=⋅ XXXX

XXX

=∨∨∨=∨

XX = XX =

13

Законы булевой алгебры

ЗаконыКОНЪЮНКТИВНАЯ ФОРМА ДИЗЪЮНКТИВНАЯ ФОРМА

Переместительный (Коммутативный)

Сочетательный (Ассоциативный)

Распределительный (Дистрибутивный)

Склеивания

Свертки

Поглощения

Правило де Моргана

Обобщенного склеивания

XYYX ⋅=⋅ XYYX ∨=∨

( ) ( ) ZYXZYX ⋅⋅=⋅⋅ ( ) ( ) ZYXZYX ∨∨=∨∨

( ) ZXYXZYX ⋅∨⋅=∨⋅ ( ) ( )ZXYXZYX ∨⋅∨=⋅∨

XYXYX =⋅∨⋅( ) ( ) XYXYX =∨⋅∨

YXYXX ∨=⋅∨( ) YXYXX ⋅=∨⋅

( ) XYXX =∨⋅ XYXX =⋅∨YXYX ∨=⋅ YXYX ⋅=∨

( ) ( ) ( ) ( ) ( )ZYYXZXZYYX ∨⋅∨=∨⋅∨⋅∨ ZYYXZXZYYX ⋅∨⋅=⋅∨⋅∨⋅14

Решение логических задачЗадача №1Фирма E продала компьютеров больше фирмы C; A

меньше E; F больше D; A больше B; F меньше C. Больше всех компьютеров продала фирма…

15

Решение логических задачРешение: Так как фирма E продала компьютеров больше фирмы C,

то фирме E присваиваем № 1, а фирме С - № 2. Рассматривая второе условие, фирме E оставляем № 1, а

фирме A присваиваем № 3. По третьему условию имеем, что фирма F имеет № 4, а D

- № 5. По четвертому условию можно допустить, что за A

оставляем № 3, а фирме B присваиваем № 6. Последнее условие не противоречит тому, что фирма F

имеет № 4, а С - № 2. Ответ: больше всех компьютеров продала фирма E.

16

Решение логических задач

Задача №2При каких из приведенных значений X и Y логическое

выражение ((4X2+9Y2 ≥ 36) ИЛИ НЕ((X+Y)2 ≥ 4)) И (Y2 ≥ | X+Y|) будет ложным.1) X=0, Y=0, 2) X=-2, Y=1, 3) X=1, Y=1, 4)

X=0, Y=-2, 5) X=-1, Y=1.

17

Решение логических задачРешение:

18

Решение логических задачПример №3

19

Решение логических задачРешение: Первые два ключа A и B соединены последовательно,

следовательно, реализуют логическое умножение A*B. Далее три ключа имеют параллельное соединение и реализуют

логическое сложение. При этом ключ A соединен параллельно с последовательно

соединенными ключами A, B, которые как в первом случае реализуют логическое умножение A*B.

Таким образом, соединенные три ключа реализуют логическое сложение A+ A*B,

Общая логическая формула имеет вид: F = A*B*(A+ A*B).

20

Решение логических задачФормулу необходимо преобразовать: вынести за скобки A, тогда F = A*B*A*(1+ A*B). по закону логической алгебры сложение с 1 дает 1, значит

1+ A*B = 1, и тогда F = A*B*A*1. логическое умножение выражения на 1 в результате дает

то же самое выражение, то есть F = A*B*A. к тому же логическое перемножение одинаковых

выражений в результате дает то же самое выражение A*A = А, а значит F = A*B.

Окончательный ответ: структурная логическая формула переключательной схемы равна F = A*B.

21

Решение логических задачПример №4

22

Решение логических задачРешение:Последовательно определяем логические выражения, которые

реализуются изображенными на рисунке логическими элементами:

на выходе первого элемента инвертора НЕ логическое выходное выражение равно y = Ā,

второй элемент – это логическая схема И, реализующая логическое умножение, тогда выходное логическое выражение равно z = y*B = Ā*B,

третий логический элемент – логическая схема ИЛИ, реализующая логическое сложение, а значит, выходная логическая функция равняется: u = y + z = Ā + Ā*B,

последний логический элемент - логическая схема И, реализующая логическое умножение, и в результате, выходное логическое выражение равно F = z*y = Ā*B*( Ā + Ā*B).

23

Решение логических задачследующий этап – упрощение полученного логического выражения: вынести за скобки Ā, тогда F = Ā *B* Ā *(1+ Ā *B). по закону логической алгебры сложение с 1 дает 1, значит

1+ Ā *B = 1, и тогда F = Ā *B* Ā *1. логическое умножение выражения на 1 в результате дает то же

самое выражение, то есть F = Ā *B* Ā. логическое перемножение одинаковых выражений в результате

дает то же самое выражение Ā * Ā = Ā, а значит F = Ā *B. полученный результат означает, что логическую схему устройства

можно построить, используя одну схему НЕ и одну схему И, согласно рисунку

24

Решение логических задачПример №5

25

Решение логических задач

Решение:

26

Решение логических задач

27

Решение логических задачПример №6

Переменные A, B, C являются истинными для точек, принадлежащих прямоугольнику, кругу и треугольнику соответственно. Составить логическую формулу для точек заштрихованных областей, показанных на рисунке

28

Решение логических задачРешение:Обозначим точки прямоугольника А, круга – В,

треугольника – С.Общие заштрихованные области будут общими для

круга и треугольника (В и С), но не будут принадлежать прямоугольнику (значит не А т. е. Ā). Каждая из площадей является логическим перемножением точек – Ā*В*С, что и является решением данной задачи.

29