А.В.Сафронов ,Ю.В.ФоминТРУДЫМФТИ.—2010.—Том2, 2 Прикладнаямеханика,динамикажидкостиигаза 137 УДК53-73 А.В.Сафронов1,Ю.В

ТРУДЫ МФТИ. — 2010. — Том 2, № 2 Прикладная механика, динамика жидкости и газа 137

УДК 53-73

А.В. Сафронов1, Ю.В. Фомин2

1 Центральный научно-исследовательский институт машиностроения2 Московский физико-технический институт (Национальный исследовательский университет)

Метод численного решения уравнений газодинамики с помощью соотношенийна разрывах

Представлена экономичная схема Годунова типа для расчёта сложных течений газа на ос-нове аппроксимации потоков на границе ячеек разностной сетки из приближённого безы-терационного решения модельной задачи распада газодинамического разрыва с помощьюсоотношений на разрывах в массовых переменных с максимальной оценкой скоростей волн.Приведены результаты тестовых расчётов одномерных и двумерных задач в широком диа-пазоне изменения параметров в сравнении с расчётами методом Годунова.

Ключевые слова: схема Годунова, сложные разрывные течения газа, аппроксимации по-токов на границе ячеек, задача распада газодинамического разрыва, максимальная оценкаскоростей волн.

I. Введение

Схема С.К. Годунова [1] численного решенияуравнений газодинамики без сомнения являетсянаилучшей с точки зрения точности и надежностипри сквозном расчёте сложных разрывных тече-ний газа, включающих скачки уплотнения различ-ной интенсивности, зоны разрежения и контакт-ные разрывы. Метод Годунова основан на аппрок-симации потоков на границах ячеек разностнойсетки с помощью точного решении задачи Риманараспада газодинамического разрыва. Произволь-ный разрыв газа распадается на три волны: на ле-вую волну, контактный разрыв и правую волну.Левые и правые волны могут быть в зависимостиот перепада давления как волнами разрежения,так и волнами сжатия (скачками). Точное реше-ние задачи Римана требует трудоемкого решениянелинейной системы уравнений методом итерацийдаже в случае совершенного газа. Кроме этого, вряде случаев, например в расчёте магнитогидро-динамических течений, решении задач с химиче-скими реакциями в многокомпонентных потокахс переменными теплофизическими свойствами, вмногофазных средах и др., точное решение зада-чи Римана получить затруднительно. В связи сэтим широкое распространение имеют более эко-номичные схемы численного решения уравненийгазодинамики на основе приближённого решениязадачи распада разрыва с возможностями сквоз-ного расчёта разрывных течений, приближающи-мися к схеме Годунова.

Рассматриваются базовые схемы первого по-рядка аппроксимации. Подробный обзор имею-щихся схем, основанных на различных способахрешения задачи Римана (риман-солверы), и ихсравнение с другими подходами можно найти вработах [2--4].

II. Краткий анализ риман-солверов

1. Схема С.К. Годунова. В методе Годунова [1]аппроксимация параметров на границах ячеекразностной сетки осуществляется с помощью точ-ного решении задачи Римана распада произволь-ного разрыва с параметрами, равными парамет-рам газа в соседних ячейках сетки. Точное реше-ние этой задачи требует решения нелинейной си-стемы уравнений методом итераций. В работе [1]предложен итерационный алгоритм решения этойзадачи методом Ньютона, в качестве начальногоприближения используется акустическое (линеа-ризованное) приближение. Обзор способов полу-чения точных решений задачи Римана можно най-ти в работе [4].2. Схема PVRS-TSRS-TSRS. (Primitive

Variable Riemann Solvers — Two–RarefactionRiemann Solvers — Two–Shock Riemann Solvers)[2]. Схема основана на сложении трёх приближён-ных решений задачи Римана — линеаризованномрешении (акустическое приближение), получен-ное давление из которого затем уточняется в при-ближении с двумя волнами разрежения или сдвумя скачками. Практически эта схема являетсяпервой итерацией схемы Годунова, поэтому имеетосцилляции на разрывах, что затрудняет получе-ние решения в сложных случаях.3. Сеточно-характеристические схемы (СХМ)

типа схем KUP (Курант и др.), Холодова, Рое [10]применяют для аппроксимации параметров награницах ячеек разностной сетки соотношения нахарактеристиках. Аппроксимация в рамках дан-ных схем интерпретируется как линеаризованноерешение задачи о распаде разрыва в конфигура-ции с двумя скачками. Схема Роу уникальна тем,что при определённом осреднении параметров по-ток на границе ячеек соответствует приближённо-му решению задачи о распаде разрыва с выпол-

138 Прикладная механика, динамика жидкости и газа ТРУДЫ МФТИ. — 2010. — Том 2, № 2

нением соотношений на разрывах. СХМ хорошозарекомендовали себя при расчёте течений с удар-ными волнами и контактными разрывами, однакоимеют известные энтропийные проблемы (появле-ние нефизических скачков) в расчёте зон разреже-ния при смене знака характеристик. Для устране-ния этих эффектов СХМ применяются процедуры«энтропийной» коррекции, обзор которых можнонайти в [2, 3].4. Двухволновая схема HLL (Harten, Lax, Leer)

и её модификации с добавлением третьей волныHLLC [2]. Схема HLL основана на двухволновомприближении, без рассмотрения контактного раз-рыва. В схеме HLL предложен простой, но эффек-тивный способ выбора скоростей этих волн по мак-симальным наклонам характеристик в соседнихячейках разностной сетки. Этот способ исключилэнтропийные проблемы при смене знака характе-ристик. Однако не учёт условий на контактномразрыве, как показано, например, в работе [2],приводит к «размазыванию» контактного разры-ва в расчёте методом установления. Для устране-ния этого недостатка в схеме HLLC [2] предложе-но несколько способов введения контактного раз-рыва.5. Схема Ошера. В этой схеме задача Рима-

на решается в изоэнтропическом приближениипри замене ударной волны пучком сходящихся ха-рактеристик. Схема не имеет осцилляций на раз-рывах (сильный разрыв «размазывается» на 2--3ячейки сетки) и проблем прохождения звуковойточки. Однако в связи с допущением о постоян-стве энтропии эта схема имеет ограничение на об-ласть применимости в случае интенсивных скач-ков, кроме того, объём вычислений приближает-ся к точному решению задачи Римана. К тому жесхема требует аналитических соотношений на ха-рактеристиках, что затрудняет её обобщение наслучай переменных термодинамических свойствгаза.Схемы п. 2--5 основаны на различных спосо-

бах приближённого решения задачи Римана, в ра-боте [5] предложен новый способ приближённогорешения этой задачи на основе выполнения соот-ношений на разрывах.

III. Разностный методдля уравнений газодинамикииз соотношений на разрывахв массовых переменных

Рассмотрим описание схемы на примере дву-мерных уравнений гидродинамики в расщеплениипо оси x:

Ut + Fx = 0, (1)

U = {ρ,ρu,ρv,ρE}T ,

F = {ρu,ρu2 + P,ρuv,ρuE + Pu}T ,

где ρ — плотность газа, u — компонента скоростипо оси x (нормальная к грани ячейки), v — ком-

понента скорости, касательная к грани ячейки),P — давление, E = P/ρ/(γ − 1) + u2/2 — полнаявнутренняя энергия на единицу объёма, γ — пока-затель адиабаты.Разностную схему запишем в консервативном

виде:

Un+1i = Un

i − ΔtΔx

(Fi+1/2 − Fi−1/2), (2)

где n — номер шага по времени с интервалом Δt,i — номер ячейки сетки по оси x с разбиениемΔx.В методе Годунова [1] поток на границе яче-

ек Fi+1/2 вычисляется из решения задачи распа-да произвольного разрыва с состояниями, соответ-ствующими параметрам газа в соседних ячейкахсетки. При этом схема устойчива при условии Ку-ранта: CFL = wmaxΔt/Δx < 1, где wmax — макси-мальная скорость распространения возмущений.Предложенный в работе [5] метод состоит в

расчёте потока на границе ячеек путём прибли-жённого решения задачи Римана с использовани-ем соотношений на поверхности разрывов:

ΔF = wΔU, (3)

где w — скорость распространения разрыва. Сим-вол Δ обозначает разность значений соответству-ющей величины на разрыве.

Рис. 1. (a) Левая ударная волна.(b) Левая волна разрежения. (c)Распад разрыва

Основная идея метода [5] состоит в примене-нии выражений законов сохранения массы, им-

ТРУДЫ МФТИ. — 2010. — Том 2, № 2 Прикладная механика, динамика жидкости и газа 139пульса и энергии на поверхности газодинамиче-ского разрыва (3) в виде, соответствующем урав-нениям (1) в лагранжевых (массовых) перемен-ных:

Δm = 0, (4)

mΔu+ ΔP = 0, (5)

mΔE + Δ(Pu) = 0, (6)

mΔν = 0, (7)

где m = ρ(u−w) — массовая скорость (плотностьпотока газа) через поверхность разрыва. На кон-тактном разрыве m = 0.В дальнейшем условимся считать m положи-

тельным.Рассмотрим подробнее «левую» волну (или

волну, обращенную влево), поток газа через неёвдоль оси x направлен слева направо (рис. 1a, 1b).Рассмотрим некоторые свойства (см., напри-

мер, [6]) перехода из состояния газа до разрыва«1» в состояние после, которое обозначим пара-метрами без индекса.Введём обозначение c — скорость звука.В случае ударной волны (YB) (схема на

рис. 1a) справедливы следующие неравенства:

ρc1 > m > ρ1c1, u1 − c1 > w > u− c.

Подставляя максимальное значение скорости рас-пространения YB в выражение для массовой ско-рости, получим

ρc > ρ1(u1 − u+ c) > m > ρ1c1.

В случае, если левая волна является волной раз-режения, максимальное значение скорости рас-пространения возмущения определяется характе-ристикой u1 − c1, а максимальное значение мас-совой скорости определяется по состоянию «1»(рис. 1b). Таким образом, максимальное значениемассовой скорости левой волны определяется поформулам

mmax = max(ρ1c1,ρc),

или

mmax = ρ1(u1 − min(u1 − c1,u− c)). (8)

Для правой волны оценки аналогичны. В даль-нейшем будем использовать максимальные оцен-ки изменения массовой скорости на разрыве.С помощью уравнений (4)--(7) решаем задачу

Римана с распадом на левую волну, контактныйразрыв и правую волну. Ниже обозначим индекса-ми: 1 — параметры в левой ячейке сетки, 2 — в пра-вой, 3 — между левой волной и контактным разры-вом, 4 — между контактным разрывом и правойволной, как показано на схеме течения рис. 1c.Решение имеет вид

w1 = u1 −m1/ρ1, (9)

w2 = u2 +m2/ρ2, (10)

u3 = u4 = u =u2m2 + u1m1 − P2 + P1

m1 +m2, (11)

P3 = P4 = P =P2m1 + P1m2 −m1m2(u2 − u1)

m1 +m2,

(12)1/ρ3 = 1/ρ1 + (u− u1)/m1, (13)

E3 = E1 − (Pu −−P1u1)/m1, (14)

1/ρ4 = 1/ρ2 − (u− u1)/m2, (15)

E4 = E2 − (Pu −−P2u2)/m2, (16)

v3 = v1,v4 = v2.

Здесь индексы соответствуют номеру зоны на схе-ме течения рис. 1c.Когда скорость распространения контактного

разрыва u � 0: при скорости левой волны w1 � 0параметры на границе ячеек равны параметрам взоне 1, а при w1 < 0 — параметрам в зоне 3. В слу-чае u < 0: при скорости правой волны w2 � 0параметры на границе ячеек равны параметрам взоне 2, а при w2 > 0 — параметрам в зоне 4.Характерная особенность предложенной схе-

мы заключается в том, что, поскольку на контакт-ном разрыве m = 0, решение задачи зависит отдвух параметров — массовых скоростей на левойи правой волне m1 и m2. Причём в сеточно-харак-теристических схемах, так же, как в «звуковом»приближении, соотношения (5)--(7) так или иначерассматриваются в линеаризованном виде.На основе оценок (8) в работе [7] рекомендован

следующий алгоритм выбора массовых скоростейв задаче распада разрыва (рис. 1c), отвечающийусловию неубывания энтропии:1) вычисляются массовые скорости левой и

правой волны по максимальным наклонам харак-теристик:

m1 = ρ1 max(c1,c2 + u1 − u2),

m2 = ρ2 max(c2,c1 + u1 − u2), (17)

этот выбор обеспечивает выполнение энтропийно-го условия m1 � ρ1c1, m2 � ρ2c2 в зонах разреже-ния, а также условия w2 > w1, при этом скоростьволны определяется характеристикой перед вол-ной;2) в случае конфигурации с ударными волна-

ми, когда оценки по массовой скорости (8) превы-шают оценку по наклонам характеристик:

m1 = ρ2c2,приρ

2с2 > ρ1(c2 + u1 − u2) > ρ1 с1;

m2 = ρ1c1,приρ

1с1 > ρ2(c1 + u1 − u2) > ρ2 с2. (18)

С выбором скоростей (12)--(17) схема положитель-но определена по плотности (13), (15) и энергии(14), (16)[7].В случае интенсивных ударных волн

P → ∞, (u1 − u2) → ∞ соотношения (17)при вычислении давления по формуле (12)приводят к квадратичной схемной вязкостиP → ρ1ρ2

ρ1+ρ2(u1 − u2)2. Это позволяет вести расчёт

140 Прикладная механика, динамика жидкости и газа ТРУДЫ МФТИ. — 2010. — Том 2, № 2интенсивных ударных волн с шагом по времени,близким к условию Куранта [4].В случае сильного разрежения для парамет-

ра P , вычисленного по формуле (12), энтропийнообосновано [7] применение малого ограничения:P = max(P,fix), где fix = 1.E − 6.Таким образом, предлагаемое приближённое

решение задачи Римана из соотношений на раз-рывах вектора потока (3) заключается в форму-лах (9--22), по которым вычисляются «простые»переменные и по ним в свою очередь вектор пото-ка на границе ячеек Fi+1/2. Полученный поток ис-пользуется затем в разностном уравнении (2) ана-логично схеме Годунова.Представленная схема хорошо зарекомендова-

ла себя при решении различных одномерных ипространственных задач и обобщена на сверхзву-ковой стационарный случай [8].

IV. Результаты тестовых расчётов

В качестве иллюстрации ниже представленырасчёты нестационарных тестовых задач, собран-ных в работе [2], и расчёты одномерных теченийв сопле методом установления. Результаты расчё-тов по новой схеме сопоставляются с результатамирасчётов по схеме Годунова.Исходные данные задач [2] приведены в

табл. 1, где x0 — начальное положение разрыва,t — время. Начальные условия: в момент времениt = 0 при x < x0 параметры газа задавались рав-ными параметрам с индексом 1, при x > x0 — па-раметрам с индексом 2. Число разбиений N = 50,Δx = 1/50, CFL = 0,9.Результаты расчётов представлены на рис. 2,

3, 4, 5 и 6, на которых приведены точное решениезадач и результаты расчётов с 1-м порядком по но-вой схеме, условное название схема «С», и схемеГодунова.

Т а б л и ц а 1№ r1 u1 P1 r2 u2 P2 x0 tTест 1 1 0,75 1 0,125 0 0,1 0,3 0,2Tест 2 1 −2 0,4 1 2 0,4 0,5 0,15Tест 3 1 0 1000 1 0 0,01 0,5 0,012Tест 4 5,99924 19,5975 460,894 5,99242 −6,19633 46,095 0,4 0,035Tест 5 1 −19,59745 1000 1 −19,59745 0,01 0,8 0,012

Рис. 2. Тест 1








Из рисунков видно, что представленная схемане имеет осцилляций на разрывах, нет проблемпрохождения звуковой точки и не требуется сни-жение числа Куранта на сильных разрывах. В зо-нах разрежения и при ударных волнах слабой и«средней» интенсивности результаты очень близ-ки к схеме Годунова, сильный разрыв «размазыва-ется» на 2--3 ячейки сетки, в то время как в схемеГодунова на 1--2.Заметим, что сеточно-характеристическая схе-

ма Рое [9] не проходит тест 2, см. [2].С целью сравнения сходимости новой схемы и

схемы Годунова проведены расчёты одномерноготечения в сопле методом установления.Геометрия сопла задавалась следующим обра-

зом: y = ym(x/5 − 1)2 + 1, где

ym ={

1,964, 0 < x < 5,0,6875, 5 < x < 10.

Расчёты проводились по схемам 1-го и 2-гопорядков аппроксимации. Повышение порядкасхем проводилось методом [10] с ограничителемminmod.Расчёты проводились при числе CFL = 0,99.На рис. 7, 8 приведены результаты расчёта

течения в сопле без скачка. Число ячеек сетки

N = 50, Δx = 10/50. Исходные параметры в на-чальном и выходном сечениях сопла приведены втабл. 2. Рассматривались два режима течения всопле без скачка и со скачком.На рисунках показаны распределения в ячей-

ках сетки вдоль сопла числа Маха, плотности идавления, а также зависимость логарифма пара-метра сходимости log (rms) от числа итераций сшагом 100.Параметр сходимости rms определялся как

отношение максимального по сетке приращенияплотности по времени на n-м шаге счета по време-ни ((δρn

i ) = ρn+li − ρn

i ) к максимальному по сеткеприращению плотности по времени на 1-м шагесчета:

rms = max(δρni )/max(δρl

i).

Общее число итераций принималось 6000.На рис. 7 приведён расчёт по схемам 1-го по-

рядка, на рис. 8 — по схемам 2-го порядка.Из данных рис. 7, 8 видно, что на этом тесте

данные расчётов и сходимость схем практическисовпадают.Характер зависимостей 7, 8 практически не ме-

няется при изменении числа ячеек сетки.Т а б л и ц а 2

Плотность ρ Давление P Число Маха Mвходное сечение 1,55 1,32 0,22выход без скачка 0,363 0,173 2выход со скачком 1,363 1,13 0,404

Рис. 7. Течение в сопле IM = 50. 1-й порядок


Рис. 8. Течение в сопле IM = 50. 2-й порядок

Рис. 9. Течение в сопле со скачком IM = 50. 1-й порядок






На рис. 9, 10, 11, 12 приведены данные расчё-тов течения в сопле со скачком.На рис. 9, 10 показаны схемы 1-го и 2-го поряд-

ка при числе узлов N = 50. На рис. 11, 12 N = 52.Разное число разбиений N обеспечивает различ-ное положение скачка относительно ячеек сетки.При дальнейшем изменении N зависимости 9--12практически не меняются.Из рис. 9--12 видно, что сходимость предложен-

ной схемы при течении со скачком близка к схемеГодунова при несколько большем (∼ на 1 ячейкусетки) «размазывании» разрыва.Аналогичные результаты имеют решения про-

странственных задач.Так, на рис. 13 показаны сравнительные ре-

зультаты расчётов в виде изолиний чисел Махапри взаимодействии затопленной осесимметрич-ной струи с преградой. Параметры на срезе соп-ла: число Маха М а = 2,5, отношение давления квнешнему Р а /Р е = 15, γ = 1,4, температура тор-можения равна внешней температуре. На рис. 14приведены распределения давления и числа Махана оси струи и вдоль преграды. Расчёты проводи-лись по схемам 2-го порядка, на квадратной сетке60 × 105 ячеек. Граничные условия: на оси сим-метрии и на стенке — условия отражения, на сре-зе сопла — параметры истечения, на свободныхграницах параметры определелись из решения за-дачи распада разрыва с начальными данными, со-ответствующими параметрам внешней среды и па-раметрам в ближайшей ячейке сетки. В обоих слу-

чаях через 5000 итераций параметр rms имел по-рядок 10−6. Область течения включает зоны раз-ряжения, скачки, контактный разрыв и переходот дозвукового течения к сверхзвуковому (вдольпреграды), которые рассчитываются сквозным об-разом. Как видно, результаты расчётов предло-женным методом и методом Годунова согласуют-ся между собой. В этих расчётах время счета попредложенной схеме со 2-м порядком было в 2 ра-за меньше, чем по схеме Годунова, а с 1-м — в 3,5раза. Следует отметить, что при расчёте со 2-м по-рядком, кроме решения задачи Римана, требуют-ся вычисления на промежуточном шаге с процеду-рами экстраполяции параметров, объём которыходинаков для рассматриваемых подходов.Выводы. Приведены результаты тестирова-

ния новой экономичной схемы расчёта сложныхразрывных течений газа на основе приближённогорешения задачи Римана с помощью соотношенийна разрывах в массовых переменных с максималь-ной локальной оценкой скоростей волн.Предложенный метод не имеет проблем, прису-

щих другим схемам на основе приближённого ре-шения задачи Римана. Представленная схема неимеет осцилляций на разрывах, нет проблем про-хождения «звуковой точки» и не требуется сниже-ние числа Куранта на сильных разрывах.Результаты численных расчётов зон разреже-

ния и скачков близки к схеме Годунова при сокра-щении времени счета типовых двумерных задач в2--3 раза.


Рис. 13. Изолинии числа Маха. M = 2,52, n = 15. Сетка 60 × 105. 2-й порядок

Рис. 14. Ma = 2.52, θa = 7◦, n = 15

Литература

1. Годунов С.К. Разностный метод численногорасчёта разрывных решений уравнений гидроди-намики // Матем. сб. — 1959. — T. 47, вып. 3.

2. Toro E.F. Riemann Solvers and NumericalMethods for Fluid Dynamics. — Springer–Verlag.Second Edition, June 1999.

3. Куликовский А.Г., Погорелов Н. В, Семе-нов А.Ю.Математические вопросы численного ре-


шения гиперболических систем уравнений. — М.:Физматлит, 2001.4. Чарахчьян А.А. Об алгоритмах расчёта рас-

пада разрыва для схемы С.К. Годунова // ЖВМи МФ. — 2000. — Т. 4, № 5.5. Сафронов А.В. Разностный метод решения

нестационарных уравнений газодинамики на осно-ве соотношений на разрывах // Космонавтика иракетостроение. — 2006. — № 2 (43). — С. 152--158.6. Овсянников Л.В. Лекции по основам газо-

вой динамики. — М.: Наука. 1981.7. Сафронов А.В. Кинетические схемы для

уравнений газодинамики // Вычислительные ме-

тоды и программирование. — 2009. — Т. 10. —С. 62--74.8. Сафронов А.В. Разностный метод для урав-

нений газодинамики из соотношений на разры-вах // Математическое моделирование. — 2008. —Т. 20, № 2. — С. 76--84.9. Roe P.L. Approximate Riemann Solvers,

Parameter Vectors, and Difference Schemes // J.Comput. Phis. — 1981. — N 43.10. Родионов А.В. Повышение порядка аппрок-

симации схемы С.К. Годунова // ЖВМ и МФ. —1987. — Т. 27.

Поступила в редакцию 14.09.2009.

Documents

А.В.Сафронов ,Ю.В.ФоминТРУДЫМФТИ.—2010.—Том2, 2 Прикладнаямеханика,динамикажидкостиигаза 137 УДК53-73 А.В.Сафронов1,Ю.В