ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ДИСТАНЦИОННОbek.sibadi.org/fulltext/ED1704.pdf · 2011. 12. 7. · Приложения определенного интеграла

Р.Б. КАРАСЕВА

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ДИСТАНЦИОННО

Часть 3

Федеральное агентство по образованию Сибирская государственная автомобильно-дорожная

академия (СибАДИ)

Р. Б. Карасева

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

ДИСТАНЦИОННО

Часть 3

Учебное пособие

Омск Издательство СибАДИ

2008

УДК517 ББК 22.1 К21

Рецензенты кафедра математического анализа Омского государственного университета; д-р физ.-мат. наук, профессор А.К.Гуц, заведующий кафедрой кибернетики

Омского государственного университета

Работа одобрена редакционно-издательским советом академии в качестве учебного пособия для студентов инженерных и экономических специальностей, обучающихся дистанционно.

Карасева Р.Б.

К 21 Высшая математика дистанционно: Учебное пособие. – Омск: Изд-во СибАДИ, 2008. – Ч. 3. – 139 с.

ISBN 978-5-93204-394-3 Учебное пособие предназначено для студентов II курса, изучающих выс-

шую математику дистанционно. Содержание ч. 3 соответствует программе третьего семестра заочного отделения.

Тематика пособия отвечает требованиям образовательного стандарта вто-рого поколения.

Кроме теоретической части курса, в книге приводится большое число примеров с разобранными решениями, образцы оформления задач.

Данное пособие окажет помощь в освоении указанного раздела высшей математики студентам, будет полезна преподавателям при подготовке к лекциям и практическим занятиям.

Табл. 1. Ил. 39.. Библиогр.: 5 назв.

ISBN 978-5-93204-394-3 Р.Б. Карасева , 2008

ОГЛАВЛЕНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ 4 Раздел 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 5

§1. Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла 6 §2. Таблица основных интегралов 9 §3. Интегрирование методом подстановки 12 §4. Интегрирование по частям 17 §5. Интегрирование рациональных дробей 22 §6. Метод Остроградского 38 §7. Интегрирование тригонометрических функций 44 §8. Интегрирование иррациональных функций 50 Контрольная работа № 1 54

Раздел 2. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 64 §1. Задача о площади криволинейной трапеции 64 §2. Определение определенного интеграла и его геометрический смысл 65 §3. Определенный интеграл с переменным верхним пределом 68 §4. Замена переменной в определенном интеграле 70 §5. Формула интегрирования по частям в определенном интеграле 72 §6. Несобственные интегралы 73 §7. Приложения определенного интеграла 79 Контрольная работа № 2 88

Раздел 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 95 §1. Основные понятия 95 §2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка 96 §3. Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными 97 §4. Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка 99 §5. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнения Бернулли 103 §6. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель 107 §7. Дифференциальные уравнения 1-го порядка, не разрешенные относительно произ-

водной 109 §8. Уравнения Лагранжа и Клеро 111 §9. Составление дифференциальных уравнений 114 §10. Дифференциальные уравнения высших порядков 117 §11. Линейные дифференциальные уравнения 119 §12. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициен-

тами 121 §13. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами порядка

выше второго 126 §14. Уравнения Эйлера 126 §15. Системы дифференциальных уравнений 128 Контрольная работа № 3 129

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ 132 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 133 ПРИЛОЖЕНИЯ 134

ПРЕДИСЛОВИЕ

Данная книга представляет собой одну из частей учебного пособия «Высшая математика дистанционно». Эта часть соответствует третьему учебному семестру заочного отделения по программе курса высшей мате-матики для вузов, рассчитанной на 510 часов.

В книге излагаются разделы высшей математики: «Неопределенный интеграл», «Определенный интеграл», «Дифференциальные уравнения». Тематика, содержание и методология изложения книги соответствуют тре-бованиям государственного образовательного стандарта.

Доступное изложение теоретического материала и большое количест-во разобранных в книге примеров и задач позволят изучить указанные раз-делы математики самостоятельно. Пособие содержит задания контрольной работы, которая состоит из трех частей, содержит 30 вариантов. Контроль-ная работа предназначена в первую очередь студентам-заочникам, изу-чающим математику по программе третьего семестра. Наряду с простыми задачами, в пособии приводятся достаточно интересные, сложные приме-ры, поэтому книга будет полезна для студентов с различным уровнем под-готовки.

Р.Б.Карасева, кандидат физико- математических наук, доцент

Раздел 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Интеграл – одно из центральных понятий математического анализа и

всей математики, возникновение которого связано с двумя задачами: о восстановлении функции по ее производной (например, с задачей об оты-скании закона движения материальной точки вдоль прямой по известной скорости этой точки); о вычислении площади, заключенной между графи-ком функции )(xf на отрезке bxa и осью абсцисс (к этой же задаче приводит вычисление работы, произведенной силой за некоторый проме-жуток времени и др.).

Указанные две задачи приводят к двум видам интеграла: неопреде-ленному и определенному. Изучение свойств и вычисление этих связанных между собой видов интеграла составляют задачу интегрального исчисле-ния. Интегральное исчисление непрерывно связано с дифференциальным исчислением (рис. 1) и составляет вместе с ним основу математического анализа.

Рис. 1 Истоки интегрального исчисления относятся к античному периоду

развития математики и связаны с методом исчерпывания, разработанным математиками Древней Греции. Этот метод возник при решении задач о вычислении площадей плоских фигур и поверхностей, объемов тел, неко-торых задач статики и гидродинамики. Он основан на аппроксимации объектов ступенчатыми фигурами или телами. Метод исчерпывания мож-но рассматривать как античный интегральный метод. Отметим работы Ев-докса (IV в. до н.э.) и Архимеда (III в. до н.э.). Дальнейшее совершенство-вание метода связано с именами многих ученых XVXVII вв.

Основные понятия и теория интегрального и дифференциального ис-числения и их использование были разработаны в трудах И. Ньютона и Г.Лейбница в конце XVII в. Их исследования явились началом интенсив-ного развития математического анализа. Существенную роль в его созда-нии в XVIII в. сыграли работы Л.Эйлера, Я. и И. Бернулли, Ж.Лагранжа. В XIX в. в связи с появлением понятия предела интегральное исчисление приобрело логически завершенную форму в работах О. Коши, Б. Римана. Разработка теории и методов интегрального исчисления происходила в конце XIX в. и в XX в. одновременно с исследованием теории меры, иг-рающей существенную роль в теории интегрального исчисления.

Дифференцирование

Интегрирование

)()(' xfxF )(xF

С помощью интегрального исчисления стало возможным решать еди-ным методом многие теоретические и прикладные задачи, как новые, ко-торые ранее не поддавались решению, так и старые, требовавшие раньше искусственных приемов.

§1. Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла Пусть в некоторой области D задана функция )(xf и существует та-

кая функция )(xF , что ее производная на D равняется данной функции )(xf : )()(' xfxF . В таком случае функция )(xF называется первообраз-

ной для функции )(xf . Так, например, первообразной функцией для функции 23)( xxf на

) ;( является функция 3)( xxF , так как )(3)'()(' 23 xfxxxF . Для функции xxf cos)( первообразной на ) ;( будет xxF sin)( ,

так как )(cos)'(sin)(' xfxxxF . Для функции 21

1)(x

xf

в )1 ;1(

первообразной служит xxF arcsin)( . Возникает вопрос, всякая ли функция )(xf имеет в данной области D

первообразную. Рассмотрим функцию

.20 если 1,;02 если ,1

)(хх

xf

)(xf задана на отрезке 2 ,2 и первообразной для нее не существует, то есть )(xf не может являться производной ни для какой функции, так как производная любой функции, принимающая на данном промежутке два каких-либо значения, должна принять на нем и все промежуточные значе-ния (теорема Дарбу). Между тем )(xf принимает на 2 ,2 значения +1 и –1 , но не принимает никаких промежуточных значений между ними. Можно доказать теорему.

Т е о р е м а . Всякая непрерывная на данном сегменте функция име-ет на нем первообразную функцию.

Теперь ответим на следующий вопрос: если данная функция имеет первообразную, то является ли первообразная единственной? Ответ и на этот вопрос отрицательный. Например, для функции 23)( xxf можно указать несколько первообразных: 3

1 )( xxF ; 1)( 32 xxF ; 7)( 3

3 xxF ; CxxF 3

4 )( , где RC – произвольно. Итак, операция отыскания перво-образной для данной функции является многозначной операцией (там, где она выполнима).

Если )(xF – первообразная для )(xf , то и всякая функция вида CxF )( , где RC , является первообразной для )(xf :

)()('')(')')(( xfxFCxFCxF . Означает ли это, что формула CxF )( дает все первообразные для

)(xf ? В общем случае на этот вопрос нужно ответить отрицательно. Рас-

смотрим две функции )(1 xF и )(2 xF , заданные равенствами:

;10 если ,

;01 если 11 хx

х,x)x(F

.хx

х,x)x(F

10 если ,2;01 если

2

Они обе являются первообразными для функции 1)( xf , однако их разность не является постоянной:

.x,;x,

)x(F)x(F10 если 201 если 1

21

Однако справедлива следующая теорема. Т е о р е м а . Если функция )(xf имеет на одном промежутке перво-

образную )(xF , то любая ее первообразная на этом промежутке может быть получена при некотором значении 0CC из формулы CxF )( .

Доказательство. По условию на рассматриваемом промежутке функ-ция )(xf имеет первообразную )(xF . Пусть )(xФ еще одна первообраз-ная )(xf . Найдем производную от их разности )()( xFxФy :

0)()()(')('')()(' xfxfxFxФxFxФy . По признаку постоянства функции отсюда следует, что Cy , то есть

CxFxФ )()( или CxFxФ )()( . Итак, совокупность всех первообразных функции )(xf имеет вид

CxF )( . Докажем лемму (признак постоянства функции), использованную при

доказательстве теоремы. Л е м м а . Функция, производная которой на некотором промежутке

D равна нулю, постоянна на этом промежутке. Доказательство. Пусть во всех точках промежутка D производная

равна нулю: 0)(' xy .Рассмотрим две произвольные точки Dxx 2,1 . По теореме Лагранжа, верна формула ),()(')()( 1212 xxxyxyxy где

),,( 21 xxx то есть Dx .

По условию, 0)(' xy , тогда )()( 12 xyxy . Поскольку точки Dxx 21, произвольны, мы доказали, что значения функции во всех точках проме-жутка одинаковы, то есть функция постоянна: Cxy )( на D.

Неопределенным интегралом от функции )(xfy называется сово-купность всех ее первообразных и обозначается с помощью символа f(x)dx (читается: «неопределенный интеграл от эф от икс дэ икс»).

Символ называется знаком неопределенного интеграла; символ f(x)dx – подынтегральным выражением; f(x) – подынтегральной функци-

ей; х – переменной интегрирования. Из определения неопределенного интеграла и из доказанной теоремы

мы можем для данного промежутка написать, что CF(x)f(x)dx ,

где )(xF – любая из первообразных функций для )(xf ; С – произвольная постоянная.

Итак, чтобы найти неопределенный интеграл от данной функции )(xf , нужно найти какую-либо ее первообразную )(xF и составить сумму

CxF )( , где constC . Например, на ) ;( Cxdxx 323 ; Cxxdx sincos ;

на )1 ;1(

Cxx

dx arcsin1 2

.

Для проверки правильности вычисления неопределенного интеграла необходимо продифференцировать результат. Должна получиться подын-тегральная функция f(x)'CF(x)'f(x)dx .

Отыскание функции по ее производной или, что то же самое, вычис-ление неопределенного интеграла данной функции называется интегриро-ванием этой функции.

Основные свойства неопределенного интеграла

1. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтеграль-

ному выражению f(x)dxf(x)dxd .

Действительно, f(x)dx'dxCF(x)'dxf(x)dxf(x)dxd . 2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции

равен этой функции (с точностью до постоянной) CF(x)dF(x) .

Действительно, dF(x)CF(x)d , следовательно, CF(x)dF(x) .

3. Интеграл от суммы нескольких функций равен сумме интегралов от этих функций:

g(x)dxf(x)dxdxg(x)f(x) . Действительно, g(x)f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dxf(x)dx ' ' ' . 4. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного

интеграла: f(x)dxAAf(x)dx .

Действительно, )(')(')( xAfdxxfAdxxfA . 5. Если )x(uuC)x(Fdx)x(f ; – дифференцируемая функция,

то CuFduuf )()( .

Примеры:

CxxCxxxdx

dxxxdxdxxdxxx

cos4cos43

3sin4

3sin43)sin43(

33

222 1.

(использованы свойства 3, 4). 2. По свойству 5 получим интегралы на основании интеграла

Cxdxx 323 : а) пусть :sin)( xxu

Cxxdx 32 sinsin sin3 ; б) пусть :ln)( xxu

Cxxdx 32 lnln ln3 ; в) пусть :7)( 4 xxu

Cxxdx 34424 )7()7()7(3 и так далее.

§2. Таблица основных интегралов С целью облегчения вычисления неопределенных интегралов состав-

ляют таблицу простейших интегралов. Строгого критерия, какие интегра-лы считать табличными, нет. Мы будем использовать следующую таблицу.

Таблица интегралов 1. Cdx0 . 2. Cxdxdx1 .

3.

1 ,1

1nC

nxdxx

nn .

4. 0 ,ln xCxx

dx .

5. 1 ,0 ,ln

aaCa

adxax

x ;

Cedxe xx . 6. Cxxdx sincos . 7. Cxxdx cossin .

8. Cxx

dx tgcos2 .

9. Cxx

dx ctg

sin2 .

10. 0 ,arcctg1arctg122

aC

ax

aC

ax

aaxdx .

11.

axaaxax

aaxdx ,0 ,ln

21

22 .

12. 0 , ,arccosarcsin22

aaxCaxC

ax

xa

dx .

13. axaCaxxax

dx

,0 ,ln 2

2.

Формулы 19 таблицы получаются непосредственно из таблицы про-изводных простым обращением соответствующих формул. Формулы 1013 будут выведены позже в разделе «Замена переменных». Их пра-вильность можно проверить дифференцированием.

Вычисление интегралов на основании таблицы и с помощью основ-ных свойств неопределенных интегралов называется непосредственным интегрированием. Метод заключается в преобразовании интеграла в сум-му табличных интегралов.

Примеры:

dxdxxdxxdxxxdxxx xxx 47)47()27( .1 31

321

31

321

23

.4ln

44

7332

4ln4

347

23

333

43

23

CxxxxCxx xx

.ln2ln

233

23123123 2

3

223

Cxxxx

dxdxdxdxxdx)x

x(dxx

xxx.

x

xxx

.Cxxdxxx

dxxxxx

xxx.

ctgtg

sin1

cos1

cossincossin

cossind 3 2222

22

22

dxxx

xdxxxxxdx

xxxdx

xxx

)25()25()25(

)25(35

2535 .4 22

2

22

22

22

2

42

2

dxxx

dxxdx

xdxdx

xxx 2

22222

2

252

125)25(

25

.152arctg

101

1arctg1

21 1

25

25

Cx

xCxx

.tgcos

1cos

1tg5 222 Cxxdx

xdxdx

xxdx.

.cos

sin12

cos2

sin22

cos2

sin2

cos2

sin 6 222

Cxx

dxxdxxxxxdxxx.

1x

x .7 2

4.

Разделим числитель на знаменатель:

Отсюда получа-

ем

.Cxxxdx

xxdx

хх arctg

3111

1

3

22

2

4

.Cxxx

dxx

dxdxxxdx

xdx

xx.

ctg2tg3

sin2

cos3

cosctg2

cos3

cosctg23 8 222

2

22

2

.cossin)sin(cossincos

)sin)(cossin(cossincossincos

sincos2cos .9

22

Cxxdxxx

dxxx

xxxxdxxxxxdx

xxx

.434

242

2

)42(2

)42)(2(2

8.10

2

23

232

2123

CxxxxCxxx

dxxxdxx

xxxdxх

х

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить следующие интегралы:

dxx 32 )3(.1 . dxx

xx

5

7 13.2 .

dxxx

11.3 2

3. dx

xxx

sincos2cos.4 .

)1(

.5 22 xxdx .

dxx

xx4

22

1

11.6 .

dx

xxx 87cos3.7 .

dx

xx 22 47

32.8 .

86

.92x

dx . dxxxx 8723.10 102 .

§3. Интегрирование методом подстановки

Метод основан на применении следующей теоремы. Т е о р е м а о подстановке под знаком неопределенного интеграла. Пусть функция )(uf на множестве ba, имеет первообразную )(uF .

Пусть )(xu функция, имеющая на dc, производную и принимающая на этом сегменте значения, не выходящие из ba, . Тогда верна формула

CxFdxxxf )()(')( . Схема применения метода подстановки состоит в следующем. Пусть

надо вычислить интеграл dxxg )( , который не считается непосредственно. Тогда этот интеграл преобразуют:

,)()( )( )(' )( )( duufxdxfdxxxfdxxg где )( xu .

Интеграл duuf )( должен получиться легче, чем исходный. После на-хождения его первообразной )(uF выписывается ответ для исходного при-мера по формуле из теоремы: CxF )( .

Метод называется также «Подведение под знак дифференциала». Примеры:

.CxCu

uduxu)x(xddxxxdx.

7sin71sin

71

cos71777cos

7177cos

717cos1

.Cx

Cuu

duxu)x(

dx)x(

dxxxdxx.

4

24

24

4

24

3

8

3

arctg41

arctg41

141

141

14

41

12

.Cx

Cuuduxu

x)x(d

xdx

xdx.

23ln31

ln31

3123

2323

31

233

31

323

.CxCuuduxu

xxddx

xxxdx. sinlnlnsin

sinsin

sincosctg4

.Сaxax

aCaxax

aax)ax(d

ax)ax(d

a

axdx

axdx

adx

axaxaaxdx.

ln21lnln

21

21

2111

215 22

В этом примере мы не выписывали, чему равны функции )(xu в полу-чившихся интегралах, держа их «в уме». В простых случаях так и будем поступать.

.Ce)e(

deedxe.

x

x

x

x

x

2arctg

21

446 22

.Cxx)x(xdxdx)x(xdx.

2

2sin2122cos

21

212cos1

21cos7 2

.Cxxxd)x(xdxxxdx.

3

coscoscos cos1sinsinsin83

223

Cxxdxdxxx

23

23

21

)8ln3(31)8ln3()8ln3(

318ln3.9

.C)x( 38ln392

.4

arcsin)(arcsinarcsin1

arcsin.104

32

3Cxxxddx

x

x

Замена переменных может проводиться еще по одной схеме. Рассмот-

рим ее на примерах. Примеры: 1. dxx )37cos( . Обозначим аргумент косинуса одной буквой: 37 xt . Теперь вы-

числяем равенство для дифференциалов:

.7;)'37('

dxdtdxxdtt

Отсюда 7dtdx .

Теперь выполним замену:

Cx

Cttdtdtt

dtdx

dxdtxt

dxx

)37(sin71

sin71cos

71

7cos

.71

;7;37

)37(cos

(в конце вместо t вновь подставили его значение 7х+3).

.CxxxCtCt

dttt

dt.dx)xx(dt

;txxxdxxxx

xx.

3 2333

1

32

3 22

23

3 223

2

53333

1

16353

53

1632

.coslnln.sin

;coscossintg.3 CxCt

tdt

xdxdttx

dxxxxdx

.ln21ln

21

21

.2

;2;

.4 2

2

2 CaxCttdt

dtxdx

xdxdtaxt

axxdx

.C)x(

Ctdttdtt

.dtxdx

;xdxdt;tx

dxxx.

3

23

21

3sin691

236

161

6

6cos

cos63sin6

3sin6cos5

.Cxx

Ctt

dttt.xdxdt

;txdx

xx

xx

dxxx

xdxx

xxdxxxdx.

coslncos2

1

ln2111

sin cos

cossin

cossin

tgcos

tg1cos

1tgtgtgtg6

2

233

2223

.Cxx

Ctttdt

.dxx

dt

;x

t

xx

dxxx

dx.

111ln

1ln11

1

1117

2

22

2222

dtt

tt

tdtt

dtt

tdte

edx

e

dxedt

et

dxe

x

x

x

x

x

x

12

12

.1

212

;12

;1

1.8 2

2

2

2

.Cx)e(eCeee

Cttt

tdtdtdt

tt

xxx

xx

11ln21211

11ln12

11ln

212

12

1112 22

2

.C)x(Ctdttdtdx

;dxdt;xt

dx)x(.

30383

10131

31

.3

383

839101101

100100

2xxdx

xxdxdx

xxxI.

1arctg

11arctg10 22 .

Вычислим эти интегралы отдельно :

CxCttdt

dtxdx

xdxdtxt

xxdx

2

2

2 1ln21ln

21

21

.2

;2;1

1;

.CxCttdt.x

dxdt

;xtdx

xx

2arctg

21

arctg

1arctg 22

22

Итак, .CxxI 2

arctg1ln21 2

2


Вычислить интегралы методом подведения под знак дифференциала

(или заменой переменной).

.x

dx. 3 351 .

22 36 x

dx.

.

1cos3 2 dx

xx. .

ln4

xxdx.

.1

arcsin52

dxxx.

.

46

2xxdx.

.1

5274

3

x

dxxx. .1328 dxxx.

.cos

7tg39 2 dxx

x. .43sin10 32 dx)x(x.

.1

arctg11 2 dxx

xx. .4sin2 cos.12 7 dxxx

.cos

tg113 2 dx

xx. .

1.14

2xx

dx

§4. Интегрирование по частям Рассмотрим тождество duud)u(d или ,)( duudud где

)( );( xxuu – две функции, имеющие на данном сегменте производ-ные, причем существует интеграл uddxxxu )(')( . Тогда

.)()( duudduudud Так как Cuud )( , то

.duuud (1) Формула (1) называется формулой интегрирования по частям. Метод

заключается в сведении интеграла ud к более простому интегралу du .

Простейшие виды интегралов, вычисляемых по частям .sin1 xdxx.u

n .cos2 xdxx.u

n

.3 dxax. x

u

n .log4 dxxx.u

an

.dxxx.u

narctg5 .arcctg6 dxxx.

u

n

.arcsin7 dxxx.u

n .arccos8

udxxx. n

.cos9 xdxe.u

x .sin10 xdxe.u

x

В этих интегралах указано, что следует обозначить за )(xu . Схема вычисления интегралов по частям состоит в следующем. Сна-

чала интеграл разбивается на части )(xu и )(xd . Затем вычисляются dxxudu )(' и )()( xdx . Теперь можно применить формулу (1).

Примеры:

1.

.cossinsin

;sin

xxdxdxdxddxduxu

xdxxdu

При вычислении )(x константу интегрирования опускают.

.sincoscoscoscoscos Cxxxxdxxxdxx)x(xduu

2.

.cossinsin

;2sin

22

xxdxxdxdxdxduxu

xdxxdu

duxdxxxxxdxxxx cos2cos2cos)cos( 22 .

Получившийся после применения формулы (1) интеграл более про-стой, но для его вычисления нужно еще раз применить формулу (1).

.cossin2cos

sinsin2cossincoscos

2

2

Cxxxxx

xdxxxxx.xxdxxdxd;dxduxu

3. Вместо nx в интеграле может быть многочлен любой степени:

.sin16cos163cos6sin16

cos763sinsin16cos763

sincos cos

1cos16cos763

66coscos763

cossinsin66763

sin763

2

22

2

2

22

Cx)x(x)xx(Cxx)x(

x)xx(xdxx)x(x)xx(

.xxdxv;xdxdv

;dxdu;xuxdx)x(x)xx(

dx)x)(x()x)(xx(

.xxdxvxdxdv;dx)x(duxxu

xdx)xx(

dvu

du

.7cos493

77sin13

77sin493

77sin1337sin

71

77sin13

7sin7177cos

717cos7cos

3137cos13 4

Cxx)x(

)x(xdx)x(dxxx)x(

.x)x(xdxdxvxdxdv

;dxduxuxdx)x(.

dvu

.272

92

3272

92

33332

33

233

3

25

233

33

2333

233

3323

33

232

CxxeCe

xeexdxeexex.evdxedv

;dxduxu

xdxeex.edxevdxedv

;xdxduxudxex.

xx

xxxxx

xx

xxx

xxdv

x

u

dxx

dxvdxdv

dxduxudxx

xxx

xxdv

x

u 7ln7

7ln7

.7ln

777

;7.6

.7ln

77ln7

2 Cx xx

.8ln

1log8ln

1log

8lnlog

.

;8ln

1loglog.7

88

88

8

Cxxxdxxx

xdxxxx

xdxvdxdv

dxx

duxudxxdvu

.3167ln3

47

347ln3

473

47ln3

47

.34

7)37()37(

;1lnln)37(.8

44

3444

433

3

Cxxxxx

dxxxxxx

dxxxxxx

xxdxxvdxxdv

dxx

duxudxxx

u

.)1ln(21arctg

1)1(

21arctg

1arctg

.

;1

arctgarctg .9

22

2

22

Cxxxx

xdxx

xxdxxx

xdxvdxdvx

dxduxudxx

dx

2

22

22

12arcctg

2.2

;1

arcctgarcctg .10

x

dxx

xxxxdxvxdxdv

xdxduxu

dxxxu

dxx

xxdxx

xx2

2

2

22

111

21arcctg

211)1(

21arcctg

2

.)arcctg(21arcctg

2

2Cxxxx

xdxeI x cos .11 . Этот интеграл является круговым (циклическим), вычисляется на ос-

новании формулы (1).

dvu

xxxx

dvu

x xdxeexxxdxvdxdv

dxedueuxdxeI sinsin

.sincoscos ;

cos

dxexxeex

xvxdxdvdxedueu xxx

xxcoscossin

.cossin ;

.coscossin xdxexeex xxx Запишем результат наших вычислений:

.)cos(sin IxxeI x Выразим отсюда I как из уравнения:

.)cos(sin21cos CxxexdxeI xx

.ln

)(

.

;2

2.12

2222222

222

2222

22222

22

222222

22

axxaIaxxax

dxadxax

axxdxax

aaxaxxdxax

xx

axxxdxvdxdv

dxax

xduaxudxaxIdvu

Этот интеграл также является круговым. Получаем

.ln21

;ln

22222

22222

CaxxaaxxI

IaxxaaxxI

.1

1)1()1()1(

1

;ln

)1(ln.13

22

2

xxdxvdx

xdv

xdxduxu

dxxx

dx

xxxxdx

xxxx

111

1ln1

11

1ln

.1lnln1ln Cxx

xx

x

dxx

xxxxdxvdxdv

xdx

xduxu

dxx21

arctg .

;21

1arctgarctg.14

dtt

txxt

tdtt

txxtdtdxtxxt

11)1(arctg

22

1arctg

.2;; замена

2

2

2

2

2

xxtxxdt

txx arctgCarctgtarctg

111arctg 2

.arctg)1(arctg CxxxCxx

.2arcsin12arcsin2arcsin12

arcsin1

12arcsin12arcsin

121

)1(

1

2

1

2

;1

arcsin

1

arcsin2

arcsin;

1

arcsin2)(arcsin)(arcsin.15

222

22

222

22

2

22

2

2

222

2

Cxxxxxdxxx

xxx

dxxxxxx

xx

xd

x

xdxvdxx

xdv

x

dxduxu

dxx

xx

xxxvdxdv

dxx

xduxudxx


Вычислить интегралы, используя формулу интегрирования по частям.

.cos)83(.1 xdxx .sin)47(.2 xdxx

.2sin)364(.3 2 xdxxx .)14(.4 3 dxexx x

.)2(.5 3 dxex x ..625 dxex x

.lnsin.7 xdx .cos.8 2 xdxe x

.6sin.9 3 xdxe x ..10 2 dxx

.2.11 2 dxxx .1.12 23 dxxx

.)9(

.13 22 xdx .

)103(.14 22

xxdx

§5. Интегрирование рациональных дробей

Рациональной дробью называют дробь вида )()(

xQxP , где Р(х), Q(х) –

многочлены. Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена числителя меньше степени многочлена знаменателя. Напри-

мер, дроби 1

176;28

3;67

110

6

2

xxx

xx – правильные, а дроби

;38714;

3148

2

32

xx

xxx

217

4

6

xx – неправильные.

Неправильную дробь можно преобразованиями или делением пред-ставить в виде суммы многочлена (целой части) и правильной дроби.

Примеры:

дробь правильнаячасть целая

2

359208

3148.1

xx

xxx ,

так как

2. . Поэтому

дробь правильная

2

часть целая

2

3

38

7842

814

38714

x

xx

xx .

,21147

217 .3


4

2

часть целая

24

6

xxx

xx так как

.

.1

411

411

14)1(

13.4


2часть целая

22

2

2

2

2

2

xxxx

xx

xx

.8

918

9)8(81.5

дробь правильнаячасть целая

xxx

xx

Из сказанного понятно, что интеграл от всякой неправильной дроби сводится к интегралу от многочлена – целой части (считается легко) и к интегралу от правильной дроби. Поэтому далее нас интересуют методы интегрирования правильных дробей.

Прежде всего, напомним известные из алгебры теоремы о многочле-нах.

Т е о р е м а 1 . Чтобы число а было корнем многочлена Q(x), необ-ходимо и достаточно, чтобы он делился без остатка на (х – а), то есть что-бы существовал такой многочлен R(x), что )()()( xRaxxQ .

Т е о р е м а 2 . Всякий многочлен nnn axaxaxQ ...)( 1

10 (от-личный от постоянного) с действительными коэффициентами может быть представлен в следующем виде:

rSrr

Se qxpxqxpxcxbxaxaxQ )...()()...()()()( 2111

2210 ,

где а, b, … , с – действительные, различные между собой корни xQ ;

е , ... ,1 – их кратности; многочлены ii qxpx 2 все различны между со-бой и не имеют действительных корней; rSS ,...,1 – натуральные числа. Причем nSS re ...2... 121 .

Т е о р е м а 3 . Всякая правильная рациональная дробь )()(

xQxP может

быть представлена в виде суммы элементарных дробей:

,...

......

...

)(...

)(

)(...

)(...

)()(

)...()()...()()(

)()(

2

2222

211

112

211

222

112

113

3

221

33

221

211

20

111

11

11

rrr

e

re

Srr

SS

rrrrS

SS

e

Srr

S

qxpx

DxK

qxpxMxK

qxpxMxK

qxpx

DxCqxpx

DxCqxpx

DxCcx

Bcx

Bcx

Bcx

Bax

Aax

Aax

Aax

A

qxpxqxpxcxaxaxP

xQxP

где iiiiii MKDCBA ,,,,, – действительные числа. На практике данную рациональную дробь раскладывают на элемен-

тарные методами, которые мы изложим на примерах.

Примеры:

1. Разложим дробь )3)(2)(1(

1253 2

xxxxx на элементарные.

Выпишем сумму простейших дробей с неопределенными коэффициентами на основании теоремы 3.

321)3)(2)(1(

1253 2

xC

xB

xA

xxxxx (приведем сумму дробей к

общему знаменателю) = .)3)(2)(1(

)2)(1()3)(1()3)(2(

xxx

xxCxxBxxA

Из данного равенства видно, что первая и последние дроби совпадают. Так как у них одинаковые знаменатели, то и их числители равны:

)2)(1()3)(1()3)(2(1253 2 xxCxxBxxAxx . (2) Далее А, В, С можно найти двумя способами. 1-й способ (метод неопределенных коэффициентов). Преобразуем

равенство (2) к виду )236()32()(1253 22 CBAxCBAxCBAxx .

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях равенства, получим систему уравнений

.12236;532

;3

CBACBA

CBA

Решив эту систему, найдем .

1027 ;

514 ;

25

CBA

2-й способ (метод частных значений). В равенство (2) бу-дем вместо х подставлять различные значения х и получать урав-нения, связывающие неопределенные коэффициенты. Значения х подбираем так, чтобы получающиеся уравнения были макси-мально простыми: при х = 2 уравнение (2) имеет вид

;0)32)(12(0122523 2 CBA

;514 B ;5

14B

при х =1 ;00)31)(21(121513 2 CBA

;410 А ;25

А

при х = –3 );23)(13(00123533 2 CBA

;2054 С .1027

С

Теперь мы можем выписать сумму простейших дробей:

.3

1027

25

14

125

)3)(2)(1(1253 2

xxxxxxxx

2. Разложить дробь 32

3

)2()1(12

xxxx на элементарные. По тео-

реме 3 имеем

.)2()1(

)1()2()1()2()1()2()2)(1(

)2()2(2)1(1)2()1(12

32

222233

32232

3

xxxExxDxxCxBxxA

xE

xD

xC

xB

xA

xxxx

Выписываем равенство для числителей:

(3) .)1()2()1(

)2()1()2()2)(1(1222

22333

xExxD

xxCxBxxAxx

При х =1 получаем ;000301121 33 EDCBA

;227 B .272

B

При х = –2 ;)3(00001)2(2)2( 23 EDCBA

;59 E .95

E

Теперь продифференцируем обе части равенства (3):

(4) ).1(2)1(

)2)(1(2)2()1(2)2)(1(2

)2(3)2)(1(3)2(23

2

22

2232

xExD

xxDxxCxxC

xBxxAxAx

При х = 1

;333213 232 BA

;2722731 3

A .

91

A

При х = –2 ;)3(2)3(2)2(3 22 ED

;6910 ED ;956910

D .

2720

D

Далее можно еще раз продифференцировать равенство (4) и положить х = –2, однако, так как остался неизвестен только один коэффициент, поставим в равенство (3) можно и в (4) некоторое значение x , получим при х = 0 .24881 EDСВА

Используя найденные ранее коэффициенты, находим, что

91

C .

Итак,

.)2(9

5)2(27

20)2(9

1)1(27

2)1(9

1)2()1(

1232232

3

xxxxxxxxx

3. Разложить в сумму простейших дробей

11

4

xx .

Разложим знаменатель дроби на простейшие множители: )1)(1)(1()1)(1(1 2224 xxxxxx .

Теперь воспользуемся теоремой 3:

.)1)(1)(1(

)1)(1)(()1)(1()1)(1(

111)1)(1)(1(1

2

22

22

xxxxxDCxxxBxxA

xDCx

xB

xA

xxxx

Выписываем равенство для числителей: ).1)(1)(()1)(1()1)(1(1 22 xxDCxxxBxxAx

При х = 1 .

21 ;222 AA

При х = –1 .0 ;2)2(0 BB

При х = 0

;1 DBA ;1 BAD

.21 ;10

21

DD

При х = 2 ;3)2(5(533 DCBA

;365153 DCBA

;23605

2153 C

.21 ;36 CC

Итак, .)1(2

1)1(2

11

124

xx

xxx

4. Разложить в сумму простейших дробей xx

x

432 .

Знаменатель дроби нужно разложить на множители

.)1)(1(

)1()()1()1)(1(

11)1)(1(32

)1(3232

2

22

2234

xxxxxxDCxxxBxxxxA

xxDCx

xB

xA

xxxxx

xxx

xxx

Отсюда ).1()()1()1)(1(32 22 xxDCxxxBxxxxAx При х = 0

.1 ;33 AA При х = 1

.31 ;31 BB

При х = –1 );(225 CDBA

);(231125 CD

.3

10)(2 CD (5)

При х = 2 );2(21471 DCBA

);2(23114171 DC

.34)2(2 DC (6)

Объединим равенства (5) и (6) в систему и решим ее:

.34)2(2

;3

10)(2

DC

CD

Сложив равенства, получим ;

3142 C .

37

C

Теперь ;6

10 CD ;

35

37D .4 ;

312

DD

Итак, .1

437

)1(31132

24

xx

x

xxxxx

По теореме 3 интегрирование всякой правильной рацио-нальной дроби сводится к интегралам от простейших дробей че-тырех типов:

I. ;

axdx II.

;1 ,

)(ax

dx

III.

;2 dxqpxx

bax IV.

.1;)( 2 dx

qpxxbax

Рассмотрим методы интегрирования этих дробей:

I.

.lnln

.;

CaxCttdt

dtdxaxt

axdx

II.

Ctdtt

tdt

dtdxaxt

axdx

1.;

)(

1

.1 ,))(1(

11

Cax

III. Интегралы

dxqpxx

bax2 и

dxqpxx

bax2

вычисляются

аналогично. Метод их вычисления разберем на примерах. Примеры:

1.

.72

232 Idx

xxx

а) Выделяем полный квадрат в знаменателе: ;6)1(71)12(72 222 xxxxx

.

6)1(23

2xxI

б) Делаем замену 1 ; ;1 txdtdxtx :

.653

62)1(3

22 dtttdt

ttI

в) Записываем интеграл в виде суммы двух интегралов. Первый вычисляем с помощью замены, второй является таблич-ным.

.61arctg

65)72ln(

32

61arctg

656)1(ln

23

6arctg

656ln

23

6arctg

65ln

23

6523

.2

;2;6

65

63

2

22

2

2

22

Cxxx

CxxCttC

tkt

dtk

dk

dktdt

tdtdkkt

tdt

ttdtI

4)2(4)44(4

:езнаменател в квадрат полный Выделяем

426 .2 2222 xxxxx

dxxx

x

4

64

1464

2)2(6

.2;;2

замена

4)2(26

2222 ttdt

ttdt

tt

txdtdx

txdx

xx

C

ttt

tdt

t

td

tdt

22ln

221144ln3

414

4

)4(21

64

14 222

2

2

.4

ln274ln3

4ln

274)2(ln3 222 C

xxxxC

xxx

dxx

xx

xxxxdx

xx

x

6)3(

16)3(

39)96(36

36

1 .322

22

2

.2

;2;6

64

66

4

6

1)3(

.3;;3 2

2222dktdt

dktdtkt

t

dt

t

tdtdtt

tdtt

t

txdxdt

xt

66ln42

216ln4

21 222 tCttktt

kdk

.363ln4366ln4 222 CxxxxxCtt

2

22

2 )5(33

33)2510(710

1072 .4

x

xxxxdx

xxx

dt

t

tdtt

t

txdxdt

txdx

x

x222 33

7

33

)5(2

.5;;5

)5(33

2

k

dk

t

dt

dktdt

dktdtkt

t

tdt

t

dt21

337

.2

;2;33

33337

2

2

22

.)5(3333

5arcsin73333

arcsin7 22 CxxCtt

Покажем еще один вариант вычисления простейшей дроби III типа.

Найдем .04

;2

2

qpdx

qpxxbax Выделим в числителе дроби

производную знаменателя. Для этого числитель представим в ви-де

.22

)2( bapapxbax

Тогда .2

22 222

qpxx

dxapbdxqpxx

pxadxqpxx

bax

В первом из этих интегралов сделаем замену:

.lnln.)2(;)2( 2

2

2 CqpxxCpp

dpdxpxdkkqpxx

qpxxdxpx

Вычислим второй:

.4

2arctg4

242

2

42

22

22222

Cpq

px

pq

pqpx

pxd

pqpx

dxqpxx

dx

Примеры:

.2

2arctg2584ln

23

4)2(584ln

23

845

84)42(

23

84

61)42(23

8413 .1

22

2

2222

Cxxxx

dxxx

xxdx

xxdxxdx

xx

xdx

xxx

52221

522)24(

41

522

)24(

522 .2 222

21

41

2 xxdx

xxdxxdx

xx

x

xxxdx

522ln41

221522ln

41 2

22

322

12 xx

xdxxx

.3

12arctg61522ln

41arctg1

41 2

23

21

23

CxxxCx

IV. Дробь 04

,1 ,)(

2

2

qpndx

qpxxbax

n находится методом

понижения степени, который использует формулу интегрирова-ния по частям.

Выделим в числителе производную от квадрата трехчлена, стоящего в знаменателе:

.)(2)(

)2(2

)(2

)2(2

)(

22

22

nn

nn

qpxxdxapb

qpxxdxpxa

dxqpxx

apbpxa

dxqpxx

bax

Для первого из этих интегралов сделаем замену

.)2(;2

dxpxdkkqpxx

:

.))(1(

1)(

)2(122 C

qpxxnkdk

qpxxdxpx

nnn

Второй интеграл преобразуем:

.

;2

22

)( 22dtdx

tpx

pqpx

dxqpxx

dxnn

.)(4

2

22

22

22

nn atdtpqa

pqt

dt

.)(

11)(

1

)(1

)()(1

)(

22

2

21222

2

2

122222

222

222

nnn

nnnn

atdtt

aI

aatdtt

a

atdt

adt

attat

aatdtI

Используем формулу интегрирования по частям:

.)(

1)1(2

1)(

)(21

)(

;)(

; ;

)(12222

22

22

22

22

2

nnn

n

n

atnatatd

attdtv

attdtdvdtdutu

atdtt =

122122 )()1(21

))(1(2 nn atdt

natnt

.22

1))(22( 1122

nn Inatn

t

Теперь можем записать ,

))(22()22(11

12221212

nnnn atnatI

naI

aI

откуда получаем .

22321

))(22( 121222

nnn Inn

aatnatI

Это рекуррентная формула. С ее помощью In сводится к вычислению In–1, далее к In–2 и т.д. В конце концов мы дойдем до I2, который по этой же формуле равен

.arctg2

1)(2 22222 C

at

aatatI

Пример:

Найдем интеграл

dxxx

xdx

xxx

2222 )102(

32)22(23

)102(23

.)102()102(

)22(23

2222

xxdx

xxdxx

Вычислим полученные интегралы отдельно:

а) .102

11.)22(;102

)102()22(

22

2

22 Cxx

Ctt

dtdtdxx

txxxx

dxx

б)

222222 )9(.

;1

9)1()102( tdt

dtdxxt

x

dxxx

dx

.3

1arctg541

9)1(181

3arctg

31

181

)9(189222322

91

)9(9)12(21формулу уюрекуррентн используем

2

22

122

Cxxx

Cttt

tdt

tt

Итак, .

31arctg

541

1021

181

)102(23

)102(23

2222 Cxxx

xxx

dxxx

x


.

8 .1

xdx .

)3( .2 3 x

dx

.)6(

.3 10 xdx

.12.4

13 .4 2 dxxx

x

.

82 .5 2 xx

dx

.7

14 .62

dxxx

x

.24

.72xx

dx .

)4( .8 22 xx

dx

.

)52(13 .9 22 dx

xxx

.

)2(1 .10 32 dx

xx

Из всего сказанного вытекает следующая теорема . Т е о р е м а . Интеграл от рациональной функции всегда

выражается через элементарные функции в конечном виде. Теперь рассмотрим несколько примеров на интегрирование

рациональных дробей. Примеры:

1. Вычислить интеграл

.)3)(2)(1(

1253 2

dx

xxxxx

На стр. 25 мы получили разложение подынтегральной дроби

на элементарные:

.321)3)(2)(1(

1253 1027

514

252

xxxxxx

xx

Теперь найдем интеграл:

.)1(

)3()2(ln3ln1027

2ln5

141ln25

3)3(

1027

2)2(

514

1)1(

25

31027

2514

125

)3)(2)(1(1253

10 25

2728

2

xxxCCx

xxxxd

xxd

xxd

xdx

xdx

xdxdx

xxxxx

2. Вычислить dx

xxxx

32

3

)2()1(12 .

Используя разложение подынтегральной функции на эле-ментарные дроби, полученное на стр. 26, получим

.21ln

91

)2)(1(649

)2(2720

)2(185

)1(2722ln

911ln

91

291)2(

2720

)2(95

191)1(

272

)2()1(12

2

2

2

2

3232

3

Cxx

xxxxC

xx

xxx

xdxdxx

dxxxdxdxxdx

xxxx

3. Вычислить

dxx

xxxxx1

10223

2356.

Подынтегральная дробь является неправильной, так как степень числителя 6 больше 3 – степени знаменателя. Поэтому выделим целую часть делением многочленов:

Отсюда

.1

103

24

1102

11022

3

34

323

3

3356

dxxxxx

dxxxxxdx

xxxxxx

Теперь правильную дробь 1

103

xx нужно разложить в сумму

элементарных:

.)1)(1(

)1)(()1(11)1)(1(

101

102

2

223

xxxxCBxxxA

xxCBx

xA

xxxx

xx

Для определения коэффициентов разложения выписываем равенство для числителей:

).1)(()1(10 2 xCBxxxAx Из этого равенства получаем при х = 1 ;39 A ;3A при х = 0 ;10 CA ;310 C ;7C при х = –1 );(211 BCA );7(2311 B ;21711 B ;62 B .3B Итак, ,

173

13

110

23

xxx

xxx поэтому

.

173

13

110

23 dxxx

xxdxdx

xx

Вычислим эти интегралы:

а) ;1lnln.;1

1CxCt

tdt

dxdttx

xdx

б)

43

21

43

411

173 2

222 xxxxxdx

xxx

dt

t

tdt

t

t

tx

dtdx

tx

dxx

x

432

113

43

7213

.21;

;21

43

21

73222

.3

12arctg3

111ln23

3212

arctg3

1143

21ln

23

32arctg

311

43ln

23

32arctg

311ln

23

43

arctg

43

12

1123

.2

;43

432

11

433

2

2

2

2

22

Cxxx

Cx

x

CttCtk

tkdk

dktdt

kt

t

dtdtt

t

Нашли, что .

312arctg

3111ln

231ln3

110 2

3 Cxxxxdxxx

Поэтому

.3

12arctg3

11

1ln231ln3

32

41

11022 234

3

3356

Cx

xxxxxdxx

xxxxx

4. Вычислить

223 )353( xxxdx .

222223 )32()1()353( xxx

dxxxx

dx .

Раскладываем подынтегральную дробь в сумму простейших дробей:

.)32(

121

)32(1

41)1(

41

)32(32)1(1)32()1(1

2222

2222222

xxxxx

xxFEx

xxDCx

xB

xA

xxx

(Процесс нахождения коэффициентов разложения здесь пропущен. Расчет необходимо произвести самостоятельно.)

Теперь

.21arctg

283

)32(81

)1(41

21arctg

281

)2)1((81

21arctg

241

)1(41

2arctg

21

81

)2(82arctg

241

)1(41

241

)2(421

2arctg

21

41

11

41

)2(21

241

11

41

.;1

)2)1((21

2)1(41

11

41

)32(21

3241

)1(41

)353(

2

2

222

222

222

2222223

Cxxx

xx

Cxx

xxx

Ctt

ttxt

dtt

t

txt

dtt

dtx

dtdxtx

xdx

xdx

x

xxdx

xxdx

xdx

xxxdx

З а м е ч а н и е . Описанная методика обладает общностью, но в отдельных случаях рассматриваемый интеграл может быть вычислен значительно проще с помощью тех или иных приемов.

5. Вычислить интеграл dx

xxxxx

23

2 456 .

.lnln

.)456(

;456456

456

345

456

456

345

23

2

CxxxCttdt

dxxxxdt

txxxdx

xxxxxxdx

xxxxx

6. Вычислить 122 24 xx

xdx .

.)12(arctg21

arctg21

121

.2

2

;4;12

1)12(2

122

2

2

2

2224

Cx

Ctt

dt

dtxdx

dtxdxtx

xxdx

xxxdx

7. Вычислить dxx

xxx

11

8

347.

Заметим, что

.1

121

11

21

1)1)(1()1()1(

21

1

11

1)1)(1()1()1(

11

224

3

22

22

4

3

44

3

44

443

8

347

xxxx

xxxx

xx

xxx

xxxxx

xxxx

Поэтому

.arctg21

11ln

411ln

41

arctg21

11ln

21

214

1

.4

;1

:интеграле первом в замена12

112

11

31

1

4

3

4

2248

347

Cxxxx

xxx

t

dt

dtdxx

tx

xdx

xdxdx

xxdx

xxxx

В последних трех интегралах вычисления получились дос-таточно простыми, в то время как вычисление интегралов как полное разложение подынтегральной дроби в сумму простейших дробей было бы громоздким.


.

8652.1 2 dx

xxx .

)1(35.2 2

2dx

xxxx

.)3)(23(

132.3 2

245dx

xxxxxx

.12

21.4 24

2dx

xxx

.

1.5 3x

dx .

2.6 24

2

xxdxx

.

92.7 24 xx

dx .

)4(.8 22x

dx

.

)3)(1(92.9

24dx

xxxx

.22387.10 2

35dx

xxxxx

§6. Метод Остроградского Метод Остроградского интегрирования рациональных функций ис-

пользуется в ситуациях, когда знаменатель дроби имеет кратные корни. Введем обозначения:

)()(

xQxP правильная рациональная дробь;

)(1 xQ наибольший общий делитель (НОД) многочлена )(xQ и его производной )(' xQ ;

).(:)()( 12 xQxQxQ Запишем равенство

,)(

)()()(

)( )(

2 1 dx

xQxY

xQxXdx

xQxP (7)

где )(xX и )(xY многочлены с неопределенными коэффициентами, сте-пени которых соответственно на единицу меньше степеней )(1 xQ и )(2 xQ .

Неопределенные коэффициенты многочленов )(xX и )(xY вычисля-ются при помощи дифференцирования тождества (7).

Примеры:

1. Найти dx

xxxx

22

2

)1()3(965 .

Решение: ;)1()3()( 22 xxxQ

);22)(3)(1(2

)3()1()3)(1(2)1()3(2)1)(3(2)(' 22

xxxxxxxxxxxxQ

);1)(3()(');()(1 xxxQxQНОДxQ ).1)(3()1)(3(:)1()3()( 22

2 xxxxxxxQ

Так как )(1 xQ и )(2 xQ – многочлены второй степени, то )(xX и )(xY – многочлены первой степени. Запишем теперь равенство (7):

.)1)(3()1)(3()1()3(

96522

2dx

xxDCx

xxBAxdx

xxxx

Для нахождения неопределенных коэффициентов продифференциру-

ем равенство

.)1)(3()1()3(

)22)(()1)(3()1()3(

9652222

2

xxDCx

xxxBAxxxA

xxxx

Равенство для числителей имеет вид ).1()3)(()22)(()1)(3(965 2 xxDCxxBAxxxAxx

Теперь при различных значениях x получаем

.3239 0);(4420 1

);(48 1);3(472 3

DBАxDCAx

BAxBAx

Получим систему

.9323;5

;2;183

DBADCA

BABA

Из первых двух уравнений, складывая их, получим

.3 ;5;204

BAA

Теперь последние два уравнения имеют вид

.03

;0D

DC

Поэтому .0 ;0 DC Таким образом,

.)1)(3(

350)1)(3(

35)1()3(965

22

2C

xxxdx

xxxdx

xxxx

Ответ: Cxx

x

)1)(3(35 .

2. Найти

dxx

dx22 )1(

.

Решение.

;)1()( 22 xxQ );1(42)1(2)(' 22 xxxxxQ

;1)(' );()( 21 xxQxQНОДxQ

.1)( 22 xxQ

Так как )(1 xQ и )(2 xQ – многочлены второй степени, то многочлены с неопределенными коэффициентами )(xX и )(xY имеют первую степень.

Записываем равенство

.

11)1( 2222 dxx

DCxx

BAxdxx

dx (8)

Для нахождения коэффициентов продифференцируем (8):

.1)1(

2)()1()1(

1222

2

22

xDCx

xxBAxxA

x

Записываем равенство для числителей: ).1)((2)()1(1 22 xDCxxBAxxA

Теперь составим систему, которая получается при различных x :

:2:1

:1:0

xxxx

).2(5)2(451);(2)(221

);(2)(221;1

DCBAADCBAA

DCBAADA

Делаем упрощения

.151043;1222

;1222;1

DCBADCB

DCBDA

Сложим второе и третье уравнения:

,21 ;24 DD

из первого уравнения .21

211 A Из второго уравнения CB , а четвер-

тое уравнение принимает вид ,06 C поэтому .0 ;0 BC Равенство (8) принимает вид

.arctg21

121

121

121

)1( 22222 Cxx

xdx

xx

x

xdx

Ответ: Cxx

x

arctg

21

121

2 .

3. Найти 23 )1(x

dx .

Решение. ;)1()( 23 xxQ

);1(63)1(2)(' 3223 xxxxxQ ;1)(');()( 3

1 xxQxQНОДxQ .1)( 3

2 xxQ Так как )(1 xQ и )(2 xQ – многочлены третьей степени, то )(xX и )(xY

– многочлены второй степени с неопределенными коэффициентами. Вы-писываем основное равенство

.

11)1( 3

2

3

2

23 dxx

FExDxx

CBxAxx

dx

Дифференцируя это тождество, получим

,1)1(

)(3)1)(2()1(

13

2

23

223

23

xFExDx

xCBxAxxxBAx

x

или ).1)(()(3)1)(2(1 32223 xFExDxCBxAxxxBAx

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x :

Cxx

x

x

x

2

3

4

5

.1;02;03;02

;0;0

FBEACDBF

AED

Отсюда ,32 ;0 ;0 ;0 ;

31 ;0 FEDCBA и, следовательно,

.13

213

1)1( 3323 x

dxx

xx

dx

Для вычисления интеграла 13x

dx разлагаем подынтегральную дробь

на элементарные:

,111

123

xxNMx

xL

x

то есть ).1)(()1(1 2 xNMxxxL (9)

Полагая 1x , получим L31 ; 31

L .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в обеих час-

тях равенства (9), получаем

Cxx2

.1

;0;0

NLNML

ML

Отсюда находим

.32 ;

31

NM

Поэтому

.3

12arctg3

1

)1ln(611ln

31

12

31

131

12

23

Cx

xxxdxxx

xxdx

xdx

Теперь

.3

12arctg33

2)1(

1ln91

)1(3)1( 2

2

323 Cxx

xxx

xx

dx

Ответ: Cxx

xxx

x

312arctg

332

)1(1ln

91

)1(3 2

2

3 .


1. .)1( 2 xx

dx 2. .)103(

7822

2dx

xxxx

3. .)23(

3232 dx

xxx

4. .

)22(53

22 dxxx

x

5. .

)1)(1( 22 xxxdx 6. .

)54(1

22

3dx

xxx

7. .)1()1( 222 xx

dx 8. .)1( 24 x

dx

9. .)1( 42 x

dx 10. .)22(22

22

24

dxxxxx

Ответы:

1. .1

ln1

1 Cx

xx

2. .25ln

34330

)2(4927

)5(498 C

xx

xx

3. .)23(2

122 C

xx

4. .)1(arctg)22(2

122 Cx

xxx

5. .)1ln(21

312arctg

335

)1(321ln 2

2 Cxxxxx

xx

6. .)2(arctg2

15)54ln(21

)54(2173 2

2 Cxxxxx

x

7. .arctg41)1ln(

411ln

21

)1)(1(42

2

2Cxxx

xxxx

8. .11ln

163

)1(4arctg

83

4 Cxx

xxx

9. .arctg4815

)1(48334015

32

35Cx

xxxx

10. .)1(arctg3)22ln(222

1 22 Cxxx

xxxx

§7. Интегрирование тригонометрических функций

Рассмотрим несколько классов тригонометрических функций и мето-

ды их интегрирования. I. Для интеграла dxxxf )cos;(sin можно применить пригодную во

всех случаях универсальную тригонометрическую подставку (УТП)

2tg xt . Отсюда 21

2;arctg2t

dtdxtx

. Теперь используем тригонометри-

ческие формулы .1

2

2tg1

2tg2

sin;11

2tg1

2tg1

cos 222

2

2

2

tt

x

x

xtt

x

x

x

Итак, УТП – это подстановка вида .

11cos ;

12sin

;12 ;

2

2

2

2

2

ttx

ttx

tdtdxxtgt

Примеры:

.

21

2tg

22

tgln

51

212ln

51

4545

ln

16252

121

16252

1

.

;43

1625

432

1

1232

1

4462

114

123

12

cos4sin3.1

222

2

2

2

2

2

Cx

x

Ct

tCk

k

k

dk

dkdt

kt

t

dt

tt

dt

ttdt

tt

tdt

tdt

УТПxx

dx

5cos3sin4.2

xxdx

Применяем УТП, получаем

)1(5)1(382

5113

124

12

5cos3sin4 22

2

2

2

2

tttdt

tt

tt

tdt

xxdx

.2

2tg

12

1)2(828

222 CxC

ttdt

ttdt

II. Интегралы вида xdxx nm cossin : а) если m – нечетное положительное целое число, то применяют под-

становку xdxdtxt sin;cos ; б) если n – нечетное положительное целое число, то применяют под-

становку xdxdtxt cos;sin ; в) если m и n – четные положительные целые числа, то используют

тригонометрические формулы

xxx 2sin21cossin ;

)2cos1(21cos2 xx ;

)2cos1(21sin 2 xx ;

1cossin 22 xx . Примеры:

.3

coscos3

)1(

.sin;cos

sin)cos1(sinsinsin.1

332

223

CxxCttdtt

dtxdxtx

xdxxxdxxxdx

.cos51cos

32cos

)53

2()21()1(

.sin;cos

sin)cos1(sin)(sinsin.2

53

534222

22225

Cxxx

Ctttdtttdtt

dtxdxtx

xdxxxdxxxdx

.9

sin7

sin97

)()1(

.cos;sin

cos)sin1(sincossin.3

97978626

2636

CxxCttdtttdttt

dtxdxtx

xdxxxxdxx

dxxdxxdxxxxdxx 2sin

321)2sin

21)cos(sincossin.4 5

5555

.2cos512cos

322cos

641

532

641)21(

641

)1(21

321

.212sin

;2sin2;2cos

2sin)2cos1(321

53

5342

2222

Cxxx

Ctttdttt

dtt

dtxdx

dtxdxtx

xdxx

.2sin21

21)2cos(

21)2cos1(

21cos.5 2 Cxxxdxdxdxxxdx

=

.4sin812sin

23

21

4sin41

212sin

212

21)4cos1(

212cos21

21

)2cos2cos21(41)2cos1(

21cos.6 2

24

Cxxx

Cxxxxdxxx

dxxxdxxxdx

.2cos)2sin1(2sin23

44sin

23

81

2cos2cos2sin23)4cos1(

213

81)2cos

2cos32cos31(81)2cos1(

21)(sinsin.7

2

23

23

326

xdxxxxxx

xdxxxdxxxdxx

xxxdxxxdx

Последний интеграл вычислим отдельно:

.2sin312sin

21

321

2)1(

.2cos2;2sin

2cos)2sin1(

3

322

Cxx

Cttdttdtxdx

txxdxx

Теперь выпишем ответ исходного примера и сделаем его упрощения.

.2sin614sin

832sin2

25

81

2sin612sin

212sin

234sin

83

25

81cos

3

34

Cxxxx

Cxxxxxxdx

.4sin41

81

)4cos1(21

412sin

412sin

21cossin.8 2

222

Cxx

dxxxdxdxxxdxx

III. Интегралы вида xdxmtg и Zmxdxm ,ctg . При вычислении таких интегралов применяются формулы

;1cos

1tg 22

xx .1

sin1ctg 2

2 x

x

С помощью этих формул постепенно понижаем степени тангенса и котангенса.

Примеры:

;.

cos

;tgtg

cos1tg

cos1tg

cos1tgtg

cos1tg

cos1tg1

cos1xtg

cos1tg

tgcos

1tg1cos

1tgtg.1

222

3

253

23

25

23

25

52

52

57

xdxdt

txxdxdx

xxdx

xx

dxx

xxdxdxx

x

dxx

xdxx

dxx

x

xdxdxx

xdxx

xxdx

.cosln2

xtg4

xtg6

tg

ln246.sin

;cos

246

24635

Cxx

Cktttkdktdtdttdtt

dkxdxkx

.ctg3

ctg5

ctg

ctg35sin.

sin1

;ctg

1sin

1xsin

dxxctgsin

ctg1sin

1ctg

sinxctg1

sin1ctgctg.2

35

35

224

2

222

24

22

24

246

Cxxxx

Cxxttdxx

dxdttdttdx

xdt

t

dxxx

dxxdxx

x

xdxdx

xxxdx

.9

tg7

xtg25

tg97

25

)2()21()1(.

cos

;tgcos

x)tg1(tgsecsectgsecxtg.3

975975

864424224

2

222424464

CxxCttt

dttttdttttdtttdt

xdx

txx

dxxxdxxxxdx

IV. Интегралы вида nxdxmxnxdxmxnxdxmx sinsin ;coscos ;cossin . Используем тригонометрические формулы

.)cos()cos(21sinsin

;)cos()cos(21coscos

;)sin()sin(21cossin

Примеры:

.22cos

88cos

21)2sin8(sin

21

)53sin()53sin(215cos3sin.1

Cxxdxxx

dxxxxxxdxx

.44sin

1818sin

21))4cos(18(cos

21

))117cos()117(cos(2111cos7cos.2

Cxxdxxx

dxxxxxxdxx

.44cos

66cos

22cos

41)4sin6sin2(sin

41

))4sin(6(sin212sin

21

21)5cossincos(sin

21

)5cos)(cos(21sin3sin2sinsin.3

Cxxxdxxxx

dxxxxdxxxxx

dxxxxxdxxx


.cos3sin53

.1 xxdx .

sin1.2 x

dx

.cossin

.3 xxdx .3sin.4 3 xdx

.sin

cos.55

dxxx .6cos.6 4 xdx

.

2tg.7 4 dxx .5ctg.8 3 xdx

.sec.9 3 x .eccosctg.10 2 xdxx

.2cos3cos.11 xdxx .6

cos3

cos2

cos.12 dxxxx

§8. Интегрирование иррациональных функций

Основным методом интегрирования иррациональных функ-

ций является метод, основанный на рационализации подынте-гральной функции путем специальным образом подобранной подстановки.

I. Интеграл вида dxdcxbax

dcxbax

dcxbaxxf nSSS

;...;;; 21 , где

;,,, Rdcba Si – рациональные числа; f – рациональная функция, вычисля-

ется с помощью подстановки Stdcxbax

, здесь S – наименьшее общее

кратное чисел iS . При этом все корни, присутствующие в подынтеграль-ной функции, выразятся через t рационально.

Примеры:

.162 ln622

623

623

1ln23

3)1

11(31

1)1(3

дробь уюрациональн уюнеправильн получили ьности,иррационал от избавились мы

1333

.62

;3

;62

;62

6262.1

663

232

3

3

32

5

63 6

5

6

5

5

6

3

Cxxxx

Cttttdtt

ttdtt

t

dttt

ttdtt

tt

dtt

xt

dttdx

dttdx

tx

xxdx

.

166

1.

;6

;

1.2 2

65

26

5

6

3

6dt

ttdtt

tt

xt

dttdx

tx

dxx

xI

Выделяем целую часть

Отсюда получаем

.arctg66256

arctg35

61

116

666 5

35

224

Cxxxx

Cttttdtt

ttI

.121ln221221

1ln2

21

112

11)1(2

122

.21

;2

;42

;21

2121.3

44

2

22

2

3

4

3

3

4

4

Cxxx

Ctttdtt

t

dtt

tt

dttttdtt

xt

dttdx

dttdx

tx

xxdx

dxxxxxx

xx

12)13()12()13()13(

1312.46 23 2

66.

Преобразуем интеграл, разделив числитель и знаменатель подынте-гральной функции на 6 13 x . После несложных преобразований получим интеграл вида

.

1312

1312)13(

11312

32

6

dx

xx

xxx

xx

I

Делаем подстановку txx

6

1312 , отсюда 6

1312 t

xx

;

);13(12 6 xtx ;1)32( 66 ttx

;32

16

6

ttx

dt

tttttdx 26

6666

)32()'32)(1()32()'1(

;)32(

530)32(

)18)(1()32(62626

5665

tdttdt

ttttt

.32

513 6tx

Тогда

.11312ln

512

1312

512

1312

56

1312

54

1312

53

1ln222

23

245

61

222256

156

)32(30

)()32(

251

66332

23423

34

26

5

3226

Cxx

xx

xx

xx

xx

Ctttttdtt

ttt

dtt

ttdttt

ttt

tI

II. Иррациональные функции, содержащие корни вида 2xC , мож-но проинтегрировать, применив тригонометрические подстановки:

а) для интеграла dxxaxf );( 22 следует использовать подстановку

.cos;sintdtadx

tax

и тригонометрическую формулу tataa 22222 cossin ;

б) для интеграла dxxaxf );( 22 используется подстановка

tataa

dtt

adx

tax

2

2222

2 costg;

.cos

;tg

;

в) интеграл dxaxxf );( 22 вычисляется с помощью подстановки

.cos

sincos

;.

cossin

;cos

2

222

2

2

2ttaa

ta

dtttadx

tax

Примеры:

dttttdt

tt

tdtdxtx

dxx

xsin

cos2cos2sin2

sin44.cos2

;sin24.1222

dk

kk

tdtdkkt

tdtt

ttdttt

2

2

2

2

2

2

12

.sin;cos

sincos1

cos2sinsincos2

Ckkkdk

kdk

kk

11ln

212

1112

11)1(2 22

2

.1 cos1 cosln cos2 C

ttt

Осталось вернуться к переменной х. Так как tx sin2 , то 2

sin xt ;

24

41sin1cos

222 xxtt

, поэтому

.24

24ln4

12

4

12

4

ln2

422

22

2

22

Cx

xxCx

xxI

.1cos1cosln

61

11ln

231

131

131

.sin;cos

cos1sin

31

sin31

tg99tg3cos3

.cos

3;tg3

9.2

22

22

2

22

CttC

kk

kdk

kdk

tdtdkkt

ttdt

tdt

ttt

dt

dtt

dx

tx

xxdx

Так как ;3

tg xt ;1cos

19

tg 2

22

txt ;

991

9cos1 22

2

xx

t

,9

3cos2

x

t поэтому

.93

93ln61

19

3

19

3

ln61

2

2

2

2C

x

xC

x

xI

.1sin1sinln

21

cossin

21

sin1sin

cossin

21

coscos21

cossin

21

coscoscoscos12

cossin

cossin

coscos

sincos.3

22

222

22

32

3

2

3

22

22

2

2

2

22

Ctt

tta

ttd

tta

tdt

tdt

tta

tdt

tdtadt

tta

dtttadt

ttaa

ta

dtttadx

tax

dxax

Возвращаемся к переменной х. Так как t

axcos

, то xat cos ;

xax

xatt

22

2

22 1cos1sin

. Поэтому получаем

.ln41

2

1

1ln

21

21

22

222

22

22

22

2

2

222

Cxax

xaxaaxx

C

xax

xax

xax

axaI


.521

52.1 3 dxx

x

.1.23 6 52

64dx

xx

xx

.1

.32

2

xdxx .

11.4 2

xdx

xx

.

15353.5 dx

xx .

3.6 153

5dx

xxxx

.9.7 2 dxx .1.8 2 dxx

.8

.92xx

dx

.1

.102xx

dx

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1

Вычислить неопределенные интегралы.

Вариант 1

.1

3cos73.1 22 dx

xxxx

.7.2 53 dxx

.)1)7cos(4(7.3 dxxx .

163.4 2 dxxx

x

.)3)(1(

.5 xxxdx .)85(.6 10 dxex x

.3cos.7 6 xdx ..8 3 xxdx

Вариант 2

.4

3cos72.1 22 dx

xxx

.)107(.2 4 dxx

.)103(.3 42 dxxx

.13

13.42

dxxx

x

.

)1)(1(1.5 22 dxxx

x .log)27(.6 12 xdxx

.sin.7 5 xdx .22

.8 3 xx

xdx

Вариант 3

.43cos2.1 dxex

x x

.

611.2 x

dx

.

8.3 3

2

xdxx

.8

63.4 2 dxxx

x

.)4(

1.5 2

2dx

xxx

.2cos3.6 1 xdxx

.cossin.7 92 xdxx .121

.8 4 xx

dx

Вариант 4

.326

7cos

3.1 22 dxxxx

.

)33(.2 3 x

dx

.

33.3 3

2

xdxx .

11214.4

2

xxx

.)8)(3)(2(

6.5 dxxxx

x

.log)2(.6 43 xdxxx

.sin.7 7 xdx .13

.8 3 xdx

Вариант 5

.1

1

32212

dxx

e xx .cos

)7tg3(.2 28

xdxx

.)4(sin

.3 2 xdx

.84

3.4 2 dxxx

x

.

)2)(1(16.5 2 dx

xxx .sin2.6 3 xdxx

.

2cos1.7

xdx

.

1.8

xdxx

Вариант 6

.2

1

1sin6cos3.12

dxx

xx .3.2 17 dxx

.5cos5.3 dxxx

.4412.4

2x

xxx

.

)1)(1(16.5 2 dx

xxx .)3(cos.6 3dxxx

.

cossin1.7

xxdx

.

16316.8 dx

xx

Вариант 7

.38652.1 3 dx

xxxx .)831cos(.2 dxx

.)1ln5(.310

dx

xx

.128

17.4 2 dxxx

x

.)3)(2(

247.5 2 dxxxx

.arcsin.6 dxx

.

sin2cos.7

xxdx

.

24.8

xdx

Вариант 8

.

11

1273.1 22 dx

xxx .

)12(sin.2 2 x

dx

.

1arctg.3 2 dx

xx

.23

2.42

dxxx

x

.

)5)(1(13.5 2 dx

xxx .)14(.6 32 dxex x

.sin.7 8 xdx

.1

.8xdx

Вариант 9

.)2sin3(.1 3 dxxxx .sin)7cos5(.2 4 xdxx

.)24sin(.3 dxx .

6512.4 2 dx

xxx

.

)6)(1(.5 2 dx

xxx .)84(.6 3 dxex x

.cossin.7 44 xdxx ..8 3 xx

xdx

Вариант 10

.1

61

4sin

3.1222 dx

xxx

.)7(5

3.2 2xdx

.sincos.3 xdxx

.6

5.42

dxxx

x

.

)8)(3)(1(1.5 dx

xxxx .cos2.6 3 xdxx

.5sin3cos.7 2 xdxx .17

.8 x

dx

Вариант 11

.)3sin2(.1 7 dxxx

x .)13cos(.2 dxx

.3.3 25 6dxx x

.214.4 2 dxxx

x

.

)5)(5(13.5 2 dx

xxx .cos.6 22 xdxx


.8 dx

xx

Вариант 12

.732.111 22 dx

xxx

..2

2dxxex

.xcos

2tg.3 2

5dxx

.84

3.4 2 dxxxx

.

)7)(3)(1(1.5 dx

xxxx .4cos)83(.6 2 xdxx


112.8 dx

xx

Вариант 13

.34

51

2.1 622 dxxxx

.

)8(1.2

2x

dx

.

cos1tg4.3 2 dx

xx

.

24.4

2dx

xxx

.

)7)(5(1.5 2 dx

xxx .)12(.6 4 dxex x

.

1cossin.7 dx

xx .

21.8

dx

xxdx

Вариант 14

.752

3.1 2 dxexx

x

.5.2 14 dxx

.)2log3(.3

37 dxxx

.29

12.4 2 dxxx

x

.

)13)(1(17.5 2

2dx

xxxx .8sin)84(.6 xdxx

.cossin.7 43 xdxx .12.8

dx

xx

Вариант 15

.)6

3

1

2sin3(.122

dxxx

x

.7.2 115 dxx

.

x1)3arctg4(.3 2

4dxx

.86

1.42

dxxx

x

.

)11)(8(1.5 dxxx

x .3cos)85(.6 xdxx

.4cos4sin.7 33 xdxx .5111.8

dx

xx

Вариант 16

.24

84

7.1 22 dxxxx

.3.2 18 dxx

.2.3 23dxxx

.86

13.42

dxxx

x

.

)53)(1(12.5 2 dx

xxxx .3arcctg.6 xdx

.10sin5cos5sin.7 xdxxx

.1

.8 dxxx

Вариант 17

.12sin7cos3.1 6 dxx

xxx

.)36(cos

.2 2 xdx

..3 2

1

xdxe x

.

648.4 2 dxxx

x

.

)5)(3(8.5 dxxx

x .arcsin8.6 xdx

.3sin.7 5 xdx

.2

.8 43 dxxxx

dx

Вариант 18

.873.13 2

7 dxx

xx

..2 18 dxe x

.7sin.3 2dxxx

.66

1.42

dxxx

x

.)1)(3)(3(

8.5 dxxxx

x

..6 33 dxxe x

.3cos3sin.7 4 xdxx .

11.8 dx

xx

Вариант 19

.)643cos2(.1 6 dxxx xxx .)1112cos(.2 dxx

.1

.3 2 x

x

edxe

.

10.4

2dx

xxx

.)5)(5(

8.5 2 dxxx

x

.2)14(.6 3 dxx x

.6sin2cos.7 2 xdxx

.11

1.8 dxx

x

Вариант 20

.7

7

5

5

4

2.1 222dx

xxx

.)38cos(.2 dxx

.3.3 2

1

dxx

x

.110

13.42

dxxx

x

.)6)(1(

7.5 dxxx

x

.log.6 43 xdxx

.

cossincos.7 dx

xxx

.

41313.8

xdxx

Вариант 21

.2763.1 76 dxxxx

.4

.2x

dx

.1ln5.3 dxxx

.210

.4 2 dxxx

x

.)4)(4(

13.5 2

2dx

xxx

.ln)1(.6 3 xdxx

.5cos.7 4 xdx

.11

.8 4 xxdx

Вариант 22

.732.1 726 dxx

xx

.)37(cos

.2 2 xdx

.cos

4tg3.3 2 dxx

x

.812

2.42

dxxx

x

.)1)(10(

.5 2

2dx

xxx

.cos)14(.6 xdxx

.3sin.7 5 xdx

..8 43 xxdx

Вариант 23

.1712.1 33 dx

xxx

.)16(sin

.2 2 xdx

.1

arcsin.32

dxx

x

.206

8.4 2 dxxx

x

.)2)(1)(1(

11.52

dxxxx

x

.)8(.6 3 dxex x

.3cos4sin.7 2 xdxx .

11.8

3dx

xx

Вариант 24

.)86cos3(.1 10 dxxxx .

34.2

xdx

.1cos5sin.3 5 dxx

.204

2.42

dxxx

x

.)8)(1(

12.5 dxxx

x

.11cos)87(.6 xdxx

.

cos1sin.7 3 dx

хх

.

451.8

xdx

Вариант 25

.)1132sin3(.1 dxeex xx .

)8(6.2 2x

dx

..343 dxex x

.863.4 2 dxxx

x

.)10)(1(

.5 dxxx

x

.)115(.6 3 dxex x

.6sincossin.7 xdxxx

.213

.8 dxx

x

Вариант 26

.)cos73373(.1 dxxxx

xx .

)3(1.2 2x

dx

.4ln2

.3 3 xxdx

.16

83.4 2 dxxx

x

.)3)(8)(8(

.5 dxxxx

x

.cos.6 2 xdxx

.2sin.7 2 xdx

.11

.8 3 xdx

Вариант 27

.)22cos

6sin

3(.1 22 dxxxx

x .)811sin(.2 dxx

.)12cos(.3 43 dxxx

.27

.42

dxxx

x

.)2)(8(

1.5 dxxx

x

.arctg.6 dxx

.3cos3sin.7 22 xdxx .112.8 3 dx

xx

Вариант 28

.)71

61

3(.1 622 dxxxx

.2.2 26 dxx

.sincos.3 dxxx

.63

42.42

dxxx

x

.)1)(4)(2(

3.5 dxxxx

x

.cos)17(.6 xdxx

.5cos.7 3 xdx

.1

.83

dxx

x

Вариант 29

.)cos732(.1 16 3 dxxxx

x ..2 13 dxe x

.)1cos3(sin.3 4dxxx .

517.4 2 dx

xxx

.)8)(1(

27.5 dxxx

x

..6 2 dxex x

.3cos8sin.7 xdxx

.1

.8 dxx

x

Вариант 30

.)3cos2sin3(.1 32 dxxx

xx .)23cos(.2 dxx

.)43sin(.3 32 dxxx .

22013.4 2 dxxx

x

.)11)(1(

.5 dxxx

x

.3.6 dxx x

.cos6sin.7 2 xdxx

..8 3 xxdx

Раздел 2. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

§1. Задача о площади криволинейной трапеции

T

a

)(xfy

b Рис. 1

Пусть задана непрерывная функция 0)( xfy на отрезке ba, . Задача: найти площадь криволинейной трапеции TS , то есть площадь плоской фигуры T , ог-раниченной кривой )(xfy , прямыми 0y ; ax ;

bx (рис. 1). Решение. Разобьем отрезок ba , произвольно точками

bxxxxxxa nkk ...... 1210 . Обозначим 1 kkk xxx , nk ..., ,2 ,1 .

0xa 1~x 1x 2

~x 2x 1kx kx~ kx 1nx nx~ nxb

)~( 1xf

)~( kxf

Рис. 2 В каждом из получившихся отрезков kk xx ,1 выберем произвольно

точки kx~ и вычислим значение функции )~( kxfy в выбранных точках. Составим ступенчатую фигуру из прямоугольников, основаниями которых служат отрезки kk xx ,1 , а высоты равны )~( kxf (рис. 2).

Площадь ступенчатой фигуры равна

n

kkknnn xxfxxfxxfxxfS

12211 )~()~(...)~()~( .

Получили nS – последовательность сумм. Можно считать, что площадь ступенчатой фигуры примерно равна

площади криволинейной трапеции:

nT SS . Ошибка вычисления будет тем меньше, чем больше точек выбирается

на ba, . Положим по определению nnT SS

lim .

Замечание. Предел вычисляем при условии, что одновременно с уве-личением числа n выполняется условие 0 kx , то есть при увеличении числа точек kx нужно следить за тем, чтобы все длины отрезков kk xx ,1 стремились к нулю.

0xa 1x 2x nxb 0xa 1x 2x nxb

Рис. 3

Рис. 4 На рис. 3 показано правильное расположение точек на ba, , на рис. 4

– неправильное, т.к. 21, xx при увеличении числа точек не изменяет своей длины.

§2.Определение определенного интеграла и его геометрический

смысл Пусть функция )(xfy определена на отрезке ba, . Аналогично то-му, как это сделано в предыдущем параграфе, составим сумму

n

kkk xxf

1)~( . Будем называть её интегральной суммой.

О п р е д е л е н и е . Определённым интегралом от функции )(xfy на ba, называется число, равное пределу

n

kkk

xn

xxfk

10

)~(lim .

Это число обозначается символом b

adxxf )( или

ba

dxxf,

)( . При этом b

– верхний предел, a – нижний предел интегрирования. Итак,

n

kkk

xn

b

axxfdxxf

k1

0

)~(lim)( .

Геометрический смысл

T

a b

)(xfy

x

y

0

Рис. 5

Если 0)( xf на ba, , то b

adxxf )( равен пло-

щади криволинейной трапеции TS (рис. 5).

Свойства определенного интеграла

1. 0)( a

adxxf .

2. a

b

b

adxxfdxxf )()( .

Эти свойства очевидно следуют из определения определенного инте-грала.

3. b

a

b

a

b

adxxgdxxfdxxgxf )()()()( .

Доказательство.

.)()()~(lim)~(lim

)~()~(lim

)~()~(lim)()(

11

11

1

b

a

b

a

n

kkk

n

n

kkk

n

n

kkk

n

kkkn

n

kkkkn

b

a

dxxgdxxfxxgxxf

xxgxxf

xxgxfdxxgxf

4. b

a

b

adxxfcdxxfc )()( .

Доказательство:

.)()~(lim

)~(lim)~( lim)(

1

11

b

a

n

kkkn

n

kkkn

n

kkkn

b

a

dxxfcxxfc

xxfcxxfcdxxfc

5. )( abcdxcb

a .

Доказательство. Это свойство очевидно из рис. 6.

6. Если bca , то

b

c

c

a

b

adxxfdxxfdxxf )()()( .

Свойство проиллюстрировано на рис. 7.

7. Если 0)( xf на ba, , то 0)( dxxfb

a.

8. Если 0)( xf на ba, , то

0)( dxxfb

a.

c

a b

cy

Рис. 6

a b

)(xfy

c

Рис. 7 9. Если )()( xgxf на ba, , то

dxxgdxxfb

a

b

a )()( (рис. 8).

10. dxxfdxxfb

a

b

a )()( .

y = g (x)

y = f (x)

a b

Рис. 8 Доказательство. Очевидно, что )()()( xfxfxf . Проинтегрируем по отрезку ba, . По свойству 9 получаем

dxxfdxxfdxxfb

a

b

a

b

a )()()( , то есть dxxfdxxf

b

a

b

a )()( .

Следствия:

1. Если на ba, верно, что kxf )( , то )()( abkdxxfb

a .

2. Если m наименьшее, M наибольшее значения функции )(xfy

на ba, , то )()()( abMdxxfabmb

a .

11. Т е о р е м а о среднем значении. Пусть функция )(xfy непрерывна на ba, . Тогда существует точка

bac , ,такая, что )()()( abcfdxxfb

a .

Доказательство. Непрерывная функция )(xfy на ba, принимает свое наименьшее

значение m и наибольшее M на данном отрезке. То есть на ba, верно неравенство Mxfm )( . Проинтегрировав данное неравенство с учетом

свойства 9, получим b

a

b

a

b

aMdxdxxfmdx )( .

По свойству 5 имеем )()()( abMdxxfabmb

a , или

Mab

dxxfm

b

a

)(

.

Непрерывная функция принимает все промежуточные значения (тео-рема Коши), поэтому найдется точка bac , , для которой верно равенст-

во )()(

cfab

dxxfb

a

, из которого следует утверждение теоремы.

§3. Определенный интеграл с переменным верхним пределом

Рассмотрим функцию dttfxФx

a )()( , где bax , .

a bx0

)(xfy

Рис. 9

Геометрический смысл данного интеграла в случае 0)( xf – площадь криволинейной трапеции с основанием xa, (рис. 9).

Заметим, что )(xФ – возрастающая функ-ция (при 0)( xf ).

Т е о р е м а . Связь определенного и не-определенного интегралов.

Определенный интеграл с переменным верхним пределом

dttfxFx

a )()( является первообразной для )(xf .

Доказательство. Для доказательства теоремы достаточно доказать, что )()(' xfxF .

Так как x

xFxxFxFx

)()(lim)('0

, то рассмотрим разность

.)()()()(

)()()()()()()(

xcfxxxcfdttf

dttfdttfdttfdttfdttfxFxxF

xx

x

x

a

xx

x

x

a

x

a

xx

a

Последнее равенство получено на основании теоремы о среднем зна-чении определенного интеграла; xxxс ;)( . Поэтому

)()(lim)(lim)('00

xfcfx

xcfxFxx

.

При 0x xxx , поэтому xc )()( (рис. 10).

x c xx

Рис. 10

Итак, )()(' xfxF . Теорема доказана. Следствие.

Cdttfdxxfx

a )()( .

Т е о р е м а . Формула Ньютона-Лейбница. Рассмотрим )(xfy непрерывную на ba, функцию. Пусть )(xF

любая первообразная для )(xf на ba, . Тогда )()()( aFbFdxxfb

a .

Доказательство. Рассмотрим x

adttfxФ )()( . По предыдущей теоре-

ме )(xФ первообразная для )(xf . По условию )(xF еще одна первооб-разная. Известно, что любые две первообразные отличаются на константу,

то есть CxFxФ )()( ; bxa . Или CxFdttfx

a )()( .

При ax равенство имеет вид CaFdttfa

a )()( , поэтому

;)(0 CaF )(aFC .

Получили )()()( aFxFdttfx

a .

При bx )()()( aFbFdttfb

a .

Теорема доказана. Примеры:

1. abxdxa

bb

acoscoscossin .

2. 31

30

31

3

33

0

131

0

2 xdxx .

Формальное использование формулы Ньютона-Лейбница без учета условий ее применимости может привести к неверному результату. Рас-смотрим интеграл

244)1(arctg1arctgarctg

1 1

11

12

x

xdx .

Формула применена верно, так как xxF arctg)( непрерывна при всех

x , в частности на 1;1 и )(1

1'arctg)(' 2 xfx

xxF

. Теперь рассмот-

рим функцию x

xF 1arcctg)(1 . Заметим, что 21

1

1'1arcctg

2

x

xx

. По-

этому 224

34

)1(arcctg1arcctg1arcctg1 1

11

12

xx

dx .

Получили два разных результата вычисления одного и того же инте-грала. Ошибка сделана во втором варианте вычисления. При 1;10 x

функция x

y 1arcctg разрывна, поэтому не может быть первообразной.

При этом если бы интеграл мы рассматривали по любому отрезку, не со-

держащему 0, например,

2

121 x

dx , то в качестве первообразной можно было

бы выбрать и функцию xy arctg и x

y 1arcctg .

§4. Замена переменной в определенном интеграле

Т е о р е м а . Рассмотрим интеграл dxxfb

a )( . Выполним замену

)( tx ; dttdx )( ' при условиях:

1. )( tx непрерывно дифференцируема на B A; . 2. b a; множество значений функции )(tx . 3. )(xfy непрерывна на b a; .

Тогда dtttfdxxfB

A

b

a)( ' )( )( , где )( Aa ; )( Bb .

Примеры:

1. 2ln1ln2ln21ln

21

21

.21 при;10 при

;2;1

замена

1 1

22

1

21

02

ttdt

txtx

xdxdtxt

xxdx .

2.

2

0

22422

0

2 cossin

.2

0,0 при

;cos;sin

tdtta

tax

tdtadxtax

dxxaxa

.1628

4sin41

8)4cos1(

82sin

4

44

0

42

0

42

0

22 2 aattadttatdta

Проверим правильность выполнения замены переменных в данном примере:

1) 222)( xaxxf – непрерывна на a ;0 ;

2) tax sin – дифференцируема на

2;0 ;

tax cos' – непрерывна на

2;0 ;

3) при изменении t от 0 до 2 tax sin возрастает от 0 до a .

Итак, замена выполнена верно.

3.

00xdx .

Рассмотрим другой способ решения:

0

1

.00;00

;cos

;tg

)tg1(coscossin

0

02

2

022

022

0 tdt

txtxx

dxdt

xt

xxdx

xxdxdx !

Результат 0 неверен, так как замену xt tg в данном примере исполь-

зовать нельзя: функция xt tg разрывна при x ,02 .

4. а) 4442

11)arctg(arctg121

2arctg

21

4 2

22

22

xx

dx .

21

21

2

21

21

22

22

22 1414

.21 ,2

;21 ,2

;

;1

4 )б

tdt

tt

dt

tx

tx

tdtdx

tx

xdx

44

2arctg21

21

21

t .

Получили ошибочный результат, так как замена t

x 1 не может быть

использована, потому что 2 ;20 t точка разрыва.

§5. Формула интегрирования по частям в определенном интеграле

Рассмотрим функции )(xuu ; )(xvv непрерывные вместе со

своими частными производными )(' xu , )(' xv на ba , . dvuvduuvd )( ;

duvuvdudv )( . Проинтегрируем по отрезку ba , :

b

a

b

a

b

avduuvdudv )( .

a

bb

a

b

auvdxuvuvd )()'()( . Поэтому

b

aa

bb

avduuvudv .

Получили формулу интегрирования по частям по ba , . Примеры:

.1)(

)0(. ,

; , .1

000

11

00

11

0

eeee

eedxexeevdxedv

dxduxudxxe xxx

xxx

.1)1(

)1ln1ln(ln . ,

; ,lnln .21111

ee

dxeex

dxxxxxvdxdv

xdxduxuxdx

eeee

1

02

0

12

1

0 1arctg

. ,

;1

,arctgarctg .3x

xdxxxxvdxdv

xdxduxuxdx

.2ln4

)1ln2(ln21

41ln

21)01arctg(

0

12

x

§6. Несобственные интегралы

Определенным интегралом в собственном смысле слова (собственным

интегралом) называется интеграл от непрерывной функции по конечному отрезку. При нарушении хотя бы одного из этих условий получаем несоб-ственный интеграл.

Несобственным интегралом I рода (интегралом с бесконечным преде-

лом интегрирования) называют интеграл

adxxf )( , где )(xf непрерывна

на ,a . О п р е д е л е н и е 1 . Несобственным интегралом I рода называют

число, равное пределу

.расходится интеграл ,существует не ; к расходится интеграл , сходится; интеграл ,

)(lim)(С

dxxfdxxfN

aNa

Если этот предел существует и равен числу С, то говорят, что несоб-

ственный интеграл сходится и равен С: Cdxxfa

)( .

Если предел не существует или равен , то говорят, что интеграл

adxxf )( расходится.

S (N)

a

y

0N x

Рис. 11

Геометрический смысл. Пусть 0)( xf на ,a . Тогда

)()( NSdxxfN

a , значение интеграла

равно площади криволинейной тра-пеции.

Тогда )(lim)( NSdxxfNa

, и

несобственный интеграл равен площади криволинейной трапеции с беско-нечным основанием (рис. 11).

Примеры:

1xe

y1

T

Рис. 12

000limlim .1

Nx

N

Nx

Nx edxedxe

.111lim1lim

NNN

N ee

Интеграл сходится, равен 1 (рис. 12). Площадь криволинейной трапеции

ST = 1.

1

xy

1

T1

Рис. 13

111

lnlimlim .2N

N

N

Nx

xdx

xdx

.lnlim1lnlnlim

NNNN

Интеграл расходится к бесконечности (рис. 13).

1TS .

).cos1(lim

)0coscos(limcoslimsinlimsin .3000

N

Nxxdxxdx

N

N

N

N

N

N

Предел не существует, т.е. интеграл расходится, его значение не опреде-лено.

О п р е д е л е н и е 2 . Несобственным интегралом

adxxf )( назы-

вается предел

a

NN

adxxfdxxf )(lim)( .

Сходимость или расходимость определяются так же, как в предыду-щем определении.

О п р е д е л е н и е 3 . Несобственный интеграл

dxxf )( разбива-

ется в сумму

a

adxxfdxxf )()( , где a – произвольное число.

Интеграл

dxxf )( сходится, если сходятся оба указанных интеграла.

Если хотя бы один из них расходится, то

dxxf )( расходится.

Основные свойства интегралов с бесконечными пределами

1.

adxxf )( и

bdxxf )( сходятся или расходятся одновременно.

Действительно,

Сdxxfdxxfdxxfdxxfbb

aba

)()()()(

интегралйсобственны

.

2.

acNccdxcdxN

N

aNalimlim ,

значит, интеграл расходится (рис. 14).

3. Если 0)( xf , то

adxxf )( либо сходится,

либо расходится к бесконечности.

Действительно, N

adxxfNФ )()( является воз-

растающей функцией. При N возрастающая

c

a

S

Рис. 14

a N

)( NФ

Рис. 15

функция стремится к конечному пределу или к (рис. 15).

4. Признак сравнения неравенством.

a

)(xfy

)( xy

Рис. 16

Пусть )(xf и )(x – непре-рывные на ,a функции, при-чем выполняется неравенство

)()(0 xxf на ,a . Тогда

а) если

adxx)( сходится,

то

adxxf )( тоже сходится;

б) если

adxxf )( расходится, то

adxx)( расходится (рис. 16).

5. Признак сравнения отношением. Если kxgxf

x

)()(lim , ;0k k ,

то интегралы

adxxf )( и

adxxg )( сходятся или расходятся одновременно.

Хотя в случае сходимости значения этих интегралов могут существенно различаться, даже в случае 1k ; ba .

Чаще всего исследование сходимости несобственных интегралов на основании признаков сравнения неравенством или отношением проводят

сравнением с интегралом

1px

dx . Выясним, при каких p он сходится.

Если 1p , то

1lnlnlimlim11

Nx

dxx

dxN

N

N, т.е. интеграл

расходится. Если 1p , то интеграл сходится:

11

11

11lim

)1(1limlim 1

11

11

pNpxpdxx

xdx

pN

N

pN

Np

Np .

Если 1p , то

11

1limlim 1

11

pN

Np

Np Np

dxxxdx , инте-

грал расходится.

Итак, получили, что

1. при расходится1; при сходится

1 pp

xdx

p

Примеры:

1. Исследуем сходимость интеграла

0 3 2 1x

dx . Используем для срав-

нения интеграл

0 32

x

dx . Так как 132p , то интеграл расходится.

Заметим также, что

01

1limlim 3

2

2

11

1

32

3 2

xx

xx

xx

, поэтому, исполь-

зуя признаки 1 и 5, устанавливаем расходимость исследуемого интеграла.

2. Интеграл 10

3

x

dx сходится, т.к. сходится интеграл

11 3 2

3x

dx

x

dx , 123p . Кроме того,

011limlim 3

3

3

11

1

3

23

xx

xx

xx

,

что позволяет использовать свойства 1 и 5.

6. Если

adxxf )( сходится, то

adxxf )( также сходится. В этом слу-

чае

adxxf )( называется абсолютно сходящимся, а функция )(xfy аб-

солютно интегрируемой на ,a . Пример:

Интеграл dxx

x

12

sin сходится абсолютно, т.к.

12x

dx ( 12 p ) сходит-

ся и верно неравенство 221sinxx

x (использовали признак сравнения нера-

венством).

Несобственные интегралы II рода (интегралы с бесконечными разрывами подынтегральных функций)

Рассмотрим функцию )(xfy , определенную и непрерывную на

ba , . Но в точке b , например, функция имеет разрыв.

О п р е д е л е н и е 4 . Несобственным интегралом b

adxxf )( от

функции, разрывной в точке b , называется число, равное пределу

t

abt

b

adxxfdxxf )(lim)(

0.

Если предел существует и равен числу, то говорят, что интеграл

b

adxxf )( сходится.

a

)(xfy

bt b

Рис. 17

В остальных случаях интеграл расхо-дится.

Геометрический смысл При 0)( xf на ba , несобственный

интеграл b

adxxf )( равен площади криво-

линейной трапеции с бесконечной высо-той (рис. 17).

О п р е д е л е н и е 5 . Пусть )(xfy определена, непрерывна на

ba , . В точке a функция имеет разрыв. Тогда

b

tat

b

adxxfdxxf )(lim)(

0.

Сходимость и расходимость определяются так же, как в предыдущем определении.

О п р е д е л е н и е 6 . Пусть теперь функция )(xfy определена, непрерывна на ba , , кроме точки ) ,( bac , в которой функция имеет раз-

рыв II рода. Тогда b

adxxf )( разбивается в сумму двух несобственных инте-

гралов b

adxxf )(

b

c

c

adxxfdxxf )()( .

Считаем, что b

adxxf )( сходится, если сходятся оба интеграла

c

adxxf )(

и b

cdxxf )( . Иначе интеграл

b

adxxf )( является расходящимся (рис. 18).

a b

y

xc

Рис. 18

§7. Приложения определенного интеграла

Площадь плоской фигуры

Площадь криволинейной трапеции, ог-раниченной кривой 0)( xfy , прямыми

0 ; ; ybxax (рис. 19), вычисляется по формуле

b

adxxfS )( .

Площадь фигуры, ограниченной кри-выми )(xfy ; )(xgy )()( xgxf , пря-мыми bxax ; (рис. 20), находится по формуле

b

adxxgxfS )()( .

Площадь криволинейной трапеции в случае параметрического задания кривой

)()(

tyytxx

(рис. 21) выражается формулой

2

1

)(')(t

tdttxtyS ,

где 1t и 2t находятся из уравнений ;)( 1txa )( 2txb и 0)( ty при 21 , ttt .

a b

)(xfy

Рис. 19

a b

)(xfy

)(xgy

Рис. 20

a b

Рис. 21

)(rr

Рис. 22

Площадь криволинейного сектора, ог-раниченного кривой, заданной в полярных координатах уравнением )(rr , прямыми

и ; (рис. 22), находятся по формуле

drS )(

21 2 .

-3 0 3

9y

Рис. 23

Примеры: 1. Найти площадь фигуры, ограниченной

параболой 29 xy и осью Ox (рис. 23). Решение. Парабола пересекает ось Ox в точ-ках 3x , поэтому

3

333

3

2 3

9 9 xxdxxS

= 36)927()927( (кв.ед.).

y

x0 31

4

A1

A2

Рис. 24

2. Найти площадь фигуры, ограниченной

параболой 2)1( xy и гиперболой

12

22

yx (рис. 24).

Решение. Найдем точки пересечения кри-вых:

12

)1( 42

xx ;

03444 234 xxxx ; 0)1)(3)(1( 2 xxx ;

;3 ;1 21 xx .4 ;0 21 yy

Итак, кривые пересекаются в точках )0 ,1( 1A и )4 ,3( 2A . Считаем площадь:

1

33

1

322

3

1

22 131 1ln1

22 112 xxxxxdxxxS

58,4)83ln(22

310

38)83ln(83

22

(кв.ед.).

3. Найти площадь эллипса, используя его па-

раметрическое уравнение

tbytax

sincos

(рис. 25).

Решение. Ввиду симметрии достаточно найти площадь ¼ части эллипса, лежащую в I четверти.

Т.к. ax 0 , то t изменяется от 2 до 0:

при 0x ;2

0cos tta

при ax 0cos tata .

a

b

0

Рис. 25

Поэтому

22

2 00

20

)2cos1(2

sin)sin(sin41

dttabtdtabdttatbS

abSababttab

,

422022sin

22 (кв.ед.).

4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной первым витком спирали Архимеда

ar , 20 (рис. 26). Решение.

2332322

0

2

34

3)2(

202

32

)(21 aaadaS

.

Замечание. Т.к. aOC 2 , то площадь 1S круга радиусом OC равна

Ca 20

Рис. 26

SaaaS 33434)2( 23232

1 .

Т.е. площадь, ограниченная первым витком спирали Архимеда, в 3 раза меньше площади круга 1S . Этот результат был известен Архимеду.

Длина дуги кривой

Плоская кривая AB задана уравнением )(xfy , bxa ,

)(xf – непрерывная функция. Ра-зобьем дугу AB на n произволь-ных частей точками

BMMMAM n ..., , , , 210 и со-единим точки хордами. Периметр получившейся ломаной обозначим буквой P (рис. 27).

A

M1M2 M3

B

a = x0 x1 xn = b

0MnM

Рис. 27

Пусть il – длина звена ломаной ii MM 1 ; inil

1max .

Если существует конечный предел L значений периметра P при 0 , то этот предел называется длиной дуги AB .

PL0

lim

.

Т е о р е м а . Если функция )(xfy непрерывна, ее производная )(' xf непрерывна на ba , , то длина L дуги кривой AB равна

dxxfLb

a 2)(' 1 . (1)

Доказательство. Обозначим через )( , ii xfx координаты точки iM . Заметим, что bxxxa n ...10 . Тогда длина одного звена ломаной

равна 212

1 ()()( iiiii xfxfxxl . По формуле Лагранжа iiii xfxfxf )(' )()( 1 , где 1 iii xxx ;

iii xx 1 . Поэтому iii xfl )(' 1 2 . Т.о. ,периметр ломаной равен

in

ii

n

ii xflP

)(' 1

1

2

1 .

Данная сумма является интегральной суммой для функции 2)(' 1 xf на ba , . Так как функция 2' 1 fy непрерывна на

ba , , то предел интегральной сумы при 0 max ix существует и равен определенному интегралу.

Так как iiiii lxyxl 22 )()( 0 при 0 ,

поэтому dxxfxfPLb

ai

n

ii

2

1

2

00)(' 1 )(' 1 limlim

.

Теорема доказана. y

x0

Рис. 28

Пример: Найти длину дуги кривой 2

3xy при

50 x (рис. 28).

Решение. 21

23' xy

5

0

5

0

2

491)' (1 dxxdxyL

273351

27

2781

4451

278

05

491

32

94 32

32

3

x .

Если кривая задана параметрически

)()(

tyytxx

, t , )(xa ,

)(xb , то для вычисления дуги кривой в формуле (1) сделаем замену )(txx , dttxdx )(' . Получаем

dttytxdttx

txtydxyL

b

a

222

2 )(' )(' )(' )(' )(' 1' 1 .

Итак,

dttytxL 22 )(' )(' .

Если кривая задана в полярных координатах )(rr , , причем производная )(' r су-

ществует и непрерывна на , (рис. 28), точкам A и B соответствуют значения углов и . Для нахождения длины дуги кривой переходим от прямоугольных координат к полярным:

,sin,cos

ryrx

.cossin' ' ;sincos' '

rryrrx

В результате формула (1) принимает вид

y

x0α β

)(rr

А

В

Рис. 29

drrL 22 )(' )( .

Дифференциал дуги

Заменим в формуле (1) верхний предел на x , получим длину изме-

няющейся дуги x

adttfxl 2)(' 1)( .

Найдем производную функции )(xl по теореме о производной инте-грала с переменным верхним пределом:

22 )(' 1'

)(' 1)(' xfdttfxlx

a

.

Поэтому дифференциал дуги dl равен

,1)(' 1)('

22 dx

dxdydxxfdxxldl

22 )()( dydxdl .

Геометрический смысл

dx

x0

)(xfy

dy

xx 0

касательная

M0

M'dl

M1

M''

Рис. 30

На рис. 30: dx – приращение переменной; dy – приращение касательной; dl – дифференциал дуги – гипо-

тенуза '' ' 0 MMM ; длина отрезка касательной к кривой )(xfy при

xxxx 00 .

Объем тела вращения

Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную кривой )(xfy , прямыми ax ; bx ; 0y (рис. 31). Объем тела, которое полу-

чается при вращении трапеции вокруг оси Ox , равен

b

ax dxxyV )(2 .

y

xa b

0

)(xfy

Рис. 31

a b

Рис. 32

Если трапеция вращается вокруг оси Oy (рис. 32), то получившийся объем равен

b

ay dxxyxV )(2 .

Площадь поверхности вращения

Пусть )(xfy , bax , – непрерывная кривая, причем 0)( xf на

ba , , производная )(' ' xfy непрерывна на ba , .

Поверхность, образованная вращением кривой вокруг оси OX , имеет площадь

b

adxxfxfS 2)(' 1)(2 .

Если кривая задана в параметриче-

ском виде

)()(

tyytxx

, 21 ttt , то

2

1

22 )(' )(' )(2t

tdttytxtyS .

Если кривая задана в полярных коор-динатах )(rr , , то

drrrS 22 ' sin2 .

a b

Рис. 33

Физические приложения определенного интеграла Пусть на плоскости xOy задана система материальных точек

) ,( 111 yxA , ) ,( 222 yxA , … , ) ,( nnn yxA с массами nmmm ..., , , 21 . Статическим моментом xM этой системы относительно оси Ox на-

зывается сумма произведений масс этих точек на их ординаты:

n

iiix ymM

1.

Аналогично статический момент системы относительно оси Oy равен

n

iiiy xmM

1.

Моментами инерции xI и yI системы относительно осей Ox и Oy на-

зываются суммы вида

n

iiix ymI

1

2 ;

n

iiiy xmI

1

2 .

За статические моменты и моменты инерции плоских дуг и фигур принимаются соответственно моменты условных масс, равномерно рас-пределенных вдоль этих дуг и фигур, с плотностью (линейной или плоско-стной), равной единице.

Статические моменты и моменты инерции дуги плоской кривой )(xfy ( bxa ) вычисляются по формулам

b

ax ydlM ;

b

ay xdlM ;

b

ax dlyI 2 ;

b

ay dlxI 2 ,

где dxydl 2)' (1 – дифференциал дуги кривой. Статические моменты и моменты инерции криволинейной трапеции,

ограниченной кривой )(xfy , осью Ox и прямыми ax ; bx , вычис-ляются по формулам

b

a

b

ax dxyydSM 2

21

21 ;

b

a

b

ay xydxxdSM ;

b

ax dxyI 3

31 ;

b

a

b

ay ydxxdSxI 22 .

Здесь ydxdS – дифференциал площади криволинейной трапеции. Пример: Найти момент инерции площади эллипса tax cos ; tby sin относи-

тельно оси Oy . Решение. Момент инерции площади эллипса относительно оси Oy

равен

a

ay dSxI 2 , где ydxdS 2 .

Из параметрических уравнений эллипса dttatbdS )sin(sin2 tdtab 2sin2 , откуда

.4

)4cos1(21

cossin4 sin2cos2

3

0

3

0

22320

22

2

2

2

badttba

tdttbadttabtaI y

Координаты центра тяжести однородной дуги плоской кривой )(xfy , bxa вычисляются по формулам

b

axdL

Lx 1 ;

b

aydL

Ly 1 ,

где dxydL 2)' (1 , а L – длина дуги.

Координаты центра тяжести криволинейной трапеции вычисляются по формулам

b

a

b

axydx

SxdS

Sx 11 ;

b

a

b

adxy

SydS

Sy 2

21

21 .

Теоремы Гульдена

Т е о р е м а 1 . Площадь поверхности, полученной при вращении

дуги плоской кривой вокруг оси, лежащей в плоскости этой кривой и не пересекающей ее, равна длине дуги кривой, умноженной на длину окруж-ности, описанной центром тяжести дуги.

Т е о р е м а 2 . Объем тела, полученного при вращении плоской фигуры вокруг оси, не пересекающей ее и расположенной в плоскости фи-гуры, равен произведению площади этой фигуры на длину окружности, описанной центром тяжести фигуры.

Пример: Найти координаты центра тяжести фигуры,

ограниченной дугой эллипса tax cos ; tby sin , расположенной в I четверти, и осями

координат (рис. 34). Решение. При изменении x от 0 до a пе-

ременная t убывает от 2 до 0 , поэтому

y

x0 a

b

Рис. 34

.30

sin31

cossin )sin(sin cos11

223

2

0

220

0

2

2

Sbat

Sba

dtttSbadttatbta

SxydS

Sx

a

Так как площадь эллипса baS , то 3

434 2 a

abbax .

Аналогично

.340

cos31 cos2

) (cos )cos1(

2 )sin(sin21

21

2

3

02

2022

0

2

22

bttb

tdtba

abdttatbS

dxyS

ya

Итак, 3

4ax ; .34by

Работа переменной силы )(xfX , действующая в направлении оси

Ox на отрезке 10 , xx , вычисляется по формуле 1

0

)(x

xdxxfA .

При вычислении силы давления жидкости используют закон Паскаля, по которому давление жидкости на площадку равно ее площади S , умно-женной на глубину погружения h , на плотность и ускорение силы тя-жести g , то есть ShgP .

x

y0

Рис. 35

Пример: Найти работу, совершенную при

выкачивании воды из корыта, имею-щего форму полуцилиндра, длина ко-торого a , радиус r (рис. 35).

Решение. Объем элементарного слоя воды, находящегося на глубине x , длиной a , шириной 222 xr и толщиной dx равен

dxxraamdxdV 222 . Работа, совершаемая при подъеме этого слоя воды на высоту x , равна

dxxrxagdA 22 2 , где – плотность воды. Поэтому

322

0

22 32

032 2 2

3rag

rxragdxxrxagA

r

.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2

1. Вычислить определенные интегралы. 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций. 3. Вычислить длину дуги кривой. 4. Вычислить объем тела, образованного вращением фигур, ограниченных графиками функций:

а) ось вращения Оx; б) ось вращения Oy.

Вариант 1 Вариант 2

1. а) 2

0

44 ;3cos3sin xdxx

б) ;25

25

0 2

2

x

dxx

в) .2ln

0 dxxe x

1. а)

0

2

88 ;cos2

xdx

б)

;16

4

0 232

x

dx

в) .sin0

xdxx

2. а) ;84 ,)2( 3 xyxy

б) .2 ,sin22,cos24

3

3

x

tytx

3. .40 ,cos8 r

4. .0 ,652 yxxy

2. а) ;2 ,4 22 xxyxy

б) .2 ,sin22,cos2

y

tytx

3. .02- ),sin1(6 r

4. .042 ,02 22 yxxyxx


1. а)

0

624 ;2cos2sin2 dxxx

б) ;164

0

22 dxxx

в) .cos2

0

2

xdxx

2. а) ;30 ,0 ,9 2 xyxxy

б) .80 ,4 ),cos1(4),sin(4

xytyttx

3. .430 ,2 r

4. .0 ,sin ,sin3 xxyxy

1. а) 2

0

44 ;4cos4sin dxxx

б) ;16

2

0 2

2

x

dxx в) .ln1e

e

dxx

2. а) ;2

0 ,0 ,cossin 2 xyxxy

б) .3 ,sin6,cos2

ytytx

3. .2

- ,cos12 r

4. .0 0, ,cos ,cos5 xxxyxy


1. а) 2

0

26 ;cossin xdxx

б) ;42

0

2 dxx

в) .arccos1

0 xdx

2. а) ;1 x0, ,0 ,4 2 xyxy

б) .2 ,sin2,cos16

3

3

x

tytx

3. .60 ,sin14 r

4. .0 ,2

,sin2 yxxx

1. а)

0

84 ;sin2 xdx

б)

;4

3

0 32

x

dx

в) .arctg3

0 xdxx

2. а) ;20 ,0 ,4 22 xyxxy

б) .40 ,3 ),cos1(2),sin(2

xytyttx

3. .06- ,sin13 r

4. .1 ,1 ,23 yxyy


1. а)

2

88 ;cos2 xdx

б)

;2

1

0 232

4

x

dxx

в) .45

1

1 x

xdx

2. а) ;2

0 ,0 ,sincos 2 xyxxy

б) .36 ,sin

,cos163

3

x

tytx

3. .03- ,cos15 r

4. .1 ,0 , xyxey x

1. а)

0

2

628 ;cossin2

xdxx

б) ;12

14

2

dx

xx

в) .12ln

0 dxex

2. а) ;2ln ,0 ,1 xyey x б)

.60 ,3 ),cos1(3),sin(3

xytyttx

3. .22- ,2 er

4. .0 ,2 ,2 2 xxyxxy Вариант 9 Вариант 10

1. а)

0

444 ;2cos2sin2 dxxx

б)

;1

22

0 32

4

x

dxx

в) .)2(1

0

122 dxxx

2. а) ; 1, ,0 ,ln1

1 3exxyxx

y

б) .3 ,sin2,cos6

ytytx

3. .6-2- ,sin1 r

4. .2 ,2 2 xyxxy

1. а)

2

0

26 ;4

cos4

sin dxxx

б)

;9

3

0 232

x

dx

в) .)ln(1

2e

dxxx

2. а) ;0 ,0 ,arccos xyxy

б) .4 ,sin2,cos28

3

3

x

tytx

3. .22- ,3 43

er

4. .1 ,0 ,0 ,1 xxyey x


1. а) 2

0

8 ;sin xdx

б) ;)5(55,0

0

5,12 dxх

1. а)

0

84 ;cos2 xdx

б) ;11

0

22 dxxx

в) .1

1

12

xxxdx

2. а) ;)1( 2 xy ;12 xy

б) .3 ,sin23,cos22

y

tytx

3.

.46 ,sincos,sincos

t

tteyttex

t

t

4. .0 , 22 xyxy

в) .1 9

1

3 dxxx

2. а) ;32 2 xxy ;342 xxy

б) 9 120 ),cos1(6),sin(6

yπxtyttx

3. .30 ,sin6,cos6

3

3

t

tytx

4. .1)2( 22 yx


1. а)

2

628 ;cossin2 xdxx

б) ;2525

5

0 22 xx

dx

в) .1

1

2 2

xx

dx

2. а) ;60 ,0 ,36 2 xyxxy

б) .4 ,sin

,cos323

3

x

tytx

3. .2 ),cos1(5,2),sin(5,2

ttyttx

4. .1 ,2 ,0 ,1 2 xyxxxy

1. а)

0

264 ;2cos2sin2 dxxx

б) ;5312531

35

3

3

dxx

x

в) .311

0

815 dxxx

2. а) ;0 ,0 ,arccos yxyx

б) .4 ,sin8,cos3

ytytx

3. .2 ),cos1(3),sin(3

ttyttx

4. .2 ,1 ,2 xyxy


1. а) 2

0

8 ;4sin dxx

б) ;25616

0

2 dxx

в) .3sin2sinsin2

0

xdxxx

2. а) ;3 ,0 ,arctg xyxy

1. а) 2

0

8 ;cos xdx

б) ;16)4(

4

0 244

xx

dxe xx

в) .)sin(0

2

dxxx

2. а) ;20 ,0 ,8 22 xyxxy б) .sin2 ,sin rr

б) .120 ,6 ),cos1(6),sin(6

xytyttx

3. .30 ),cos(sin3),sin(cos3

ttttytttx

4. . ,3 xyxy

3. .20 ,sin10,cos10

3

3

t

tytx

4. . , 2 sin 2xyxy


1. а)

0

624 ;cossin2 xdxx

б)

;3

3151

81

2

dxxx

x

в) .cos0

2

xdxex

2. а) ;2ln ,0 ,1 yxey x б) .cos21 r

3.

.0 ,sincos,sincos

t

tteyttex

t

t

4. .0 ,arccos , arccos 3 yxyy x

1. а)

2

448 ;cossin2 xdxx

б)

;22 2422

22242

02

xxxdxxx

в) .13

1

23 dxxx

2. а) ;20 ,0 ,4 2 xyxxy б) .cos2

1 r

3. .20 ),2sinsin2(3),2coscos2(3

tttyttx

4. .2

,arcsin ,5

arcsin

yxyxy


1. а)

0

268 ;cossin2

xdxx

б) ;122

0

21 x

xdx

в) .lncos2

1

e

xdx

2. а) ;1 ,0 ,1

xyx

xy

б) .sin21 r

3. .20 ),cos(sin4),sin(cos4

ttttytttx

4. .0 ,2 ,2 yxxy

1. а)

02

84 ; sin2 dxx

б) ;72310232

1

dxx

xx

в) .cossin6

0

2

dxxx

2. а) .2

,0 ,cos11

xyxy

б) .sin ,sin 23

25 rr

3. .0 ),cos1(5),sin(5

ttyttx

4. .1 0, , ,12 xxxyxy


1. а) 2

0

8 ; 6cos dxx

б) ;12

410

6

dxx

x

в) .cos5cos2

0

xdxx

2. а) ;84 ,2 2 yxyx б) .cos2

5 ,cos23 rr

3. .x ey x 24ln15ln,13 4. .5,0 ,1 ,0 ,1 xyyxy

1. а) 2

0

62 ;cos sin xdxx

б) ;

222223

10

25

2

dxxxx

xx

в) .1

2ln2

2ln

xedx

2. а) ;2

0 ,0 ,2sin5cos xyxxy

б) .4cos4 r 3. .32 , 1ln 2 x xy 4. .0 ,2 ,ln yxxy


1. а)

0

444 ;cos sin2 xdxx

б)

;24

2458

12

dx

xxx

в) .sincos3

0

23

xdxx

2. а) ;1 ,0 ,)1( 2

xy

xxy

б) .6sin r

3. .0 ,arccos1 982 xxxy

4. .1 ,1 2 yxy

1. а)

2

;cos sin2 268 xdxx

б) ;14

612

8

dxx

x

в) .cos1sin4

0dx

xxx

2. а) ;2 ,4 22 y-yxyx б) .cos3 ,cos2 rr 3. .15ln8n ,6e xly x 4. .10 ,2 32 , yx, yyxy


1. а)

0

2

88 ;sin2

xdx

б) ;1)1(

1

0 211

xx

dxe xx

в) .2

12 xx

dx

1. а)

02

84 ; cos 2 dxx

б) ;212

299

6

dxx

x

в) .cos2

0

xdxex

2. а) ;120 ,2

1

, x, x yx

eyx

б) .sincos r

3. .141 ,arcsin2 2 xxxxy

4. . , 23 x yxy

2. а) ;400 ,16 22 x, yxxy

б) .4sin2 r

3. .83 ,25ln xx

y

4. .0,3

arccos ,5

arccos yxyxy


1. а) 2

0

62 ; 4cos4 sin dxxx

б) ;25)5(

5

6 255

xx

dxe xx

в) .)1(1

0

2 dxxx

2. а) ;1 ,00 ,4 2 y, yxyx б) .6cos2 r

3. .6

0 ,cosln xxy

4. .0,arccos ,arcsin yxyxy

1. а)

0

264 ;cossin 2 xdxx

б) ;2

2164

03 43

36

dxxxx

xx

в) 1

0.)1( dxex x

2. а) ;1 ,)1( 22 xyxy б) .sincos r

3. .21 ,2

ln4

2 xxxy

4. .0,2 ,122 yxxxy


1. а) 2

0

44 ;cossin xdxx

б) ;1)2(

2687

1514

2

dx

xxx

в) .cos

sin3

32

dx

xxx

2. а) ;0 ,0 ,cos 22 xyxxy

б) .sin5 ,sin3 rr

3. .970 ,arcsin1 2 xxxy

4. . ,3 x yxy

1. а)

2

;sin 2 88 xdx

б) ;

13141313141

02

dxxxx

xx

в) .1

1

04

xxdx

2. а) ;34 ,)1(4 22 yyxyx б) .sin4 ,sin6 rr 3. .153 ,ln xxy 4. .0,arcsin ,arccos xxyxy

Раздел 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

§1. Основные понятия Уравнение вида

,0,...,,, nyyyxF (1) где xyy – искомая функция, называется дифференциальным уравнени-ем n-го порядка. Любая функция ,xy обращающая уравнение (1) в тождество, называется решением этого уравнения, а график этой функции – интегральной кривой. Если решение задано в неявном виде ,0, yx то оно обычно называется интегралом.

Пример: Проверить, что функция xy sin является решением уравнения

.0" yy Решение. Имеем ;cos' xy xy sin" и, следовательно,

.0sinsin" xxyy Интеграл

0,...,,, 21 n,CCCyxΦ (2) дифференциального уравнения (1), содержащий n независимых произ-вольных постоянных nCC ,...,1 и эквивалентный (в данной области) уравне-нию (1), называется общим интегралом этого уравнения. Придавая в соот-ношении (2) постоянным nCC ,...,1 определенные значения, получаем част-ный интеграл уравнения (1).

Начальные условия. Если для искомого частного решения xyy дифференциального уравнения

1,...,,, nn yyyxfy (3) заданы начальные условия (поставлена задача Коши)

100

10000 ,...,, nn yxyyxyyxy

и известно общее решение уравнения (3) ,,...,,, 21 nCCCxy

то произвольные постоянные n,CC ,...1 определяются, если это возможно, из системы уравнений

.,...,,,.................................

;,...,,,;,...,,,

2101

0

2100

2100

nn

n

n

CCCxy

CCCxyCCCxy

Пример: Найти кривую семейства

,221

xx eCeCy (4) для которой .20;10 yy

Решение. Имеем .2 2

21xx eCeCy (5)

Полагая в формулах (4)(5) ,0x получим ,22;1 2121 CCCC

откуда ,1;0 21 CC и, следовательно, xey 2 искомая кривая.

§2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Виды дифференциальных уравнений 1-го порядка. Дифференци-

альное уравнение 1-го порядка с неизвестной функцией y, разрешенное от-носительно производной ,y имеет вид

,, yxfy (6) где yxf , данная функция. В некоторых случаях выгодно за искомую функцию считать переменную x и записывать уравнение (6) в виде

yxgx , . (6а)

Учитывая, что dxdyy и ,

dydxx дифференциальные уравнения (6) и

(6а) можно записать в симметрической форме ,0,, dyyxQdxyxP (7)

где yxP , и yxQ , известные функции. Под решением уравнения (7) понимаются функции вида xy или ,yx удовлетворяющие этому уравнению. Общий интеграл уравнения

(6) или (6а) или уравнения (7) имеет вид ,0,, CyxΦ

где С – произвольная постоянная. Поле направлений. Совокупность направлений yxf ,tg называ-

ется полем направлений дифференциального уравнения (6) и изображается при помощи системы черточек с углом наклона .

Кривые ,, kyxf в точках которых наклон поля имеет постоянное значение, равное k, называются изоклинами. Построив изоклины и поле направлений, в простейших случаях можно приближенно нарисовать поле интегральных кривых, которые в каждой своей точке имеют заданное на-правление поля.

Рис. 1

Пример: Методом изоклин построить

поле интегральных кривых уравне-ния .xy

Решение. Построив изоклины kx (прямые линии) и поле на-

правлений, приближенно получаем поле интегральных кривых. Общим решением является семейство па-рабол Cxy 2/2 (рис.1).

Т е о р е м а Коши. Если функция yxf , непрерывна в некоторой

области BxbAxaU , и имеет в этой области ограниченную про-изводную ,, yxf y то через каждую точку ,, 00 yx принадлежащую U, проходит одна и только одна интегральная кривая xy уравнения (6)

. 00 yx

§3. Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными Уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение

1-го порядка вида ,ygxfy (8)

или .011 dyyYxXdxyYxX (8а)

Разделив обе части уравнения (8) на yg и умножив на dx, будем иметь

.dxxfyg

dy

Отсюда, интегрируя, получим общий интеграл уравнения (8) в виде

.Cdxxfyg

dy (9)

Аналогично, разделив обе части уравнения (8а) на yYxX1 и проин-тегрировав, получим общий интеграл уравнения (8а) в виде

.1

1Cdy

yYyYdx

xXxX

(9а)

Если для некоторого значения 0yy мы имеем ,00 yg то функция 0yy является также решением уравнения (8) (в чем непосредственно

легко убедиться). Аналогично прямые ax и by будут интегральными кривыми уравнения (8а), если a и b являются соответственно корнями уравнений 01 xX и 0yY .

Примеры: 1. Решить уравнение

.xyy (10)

В частности, найти решение, удовлетворяющее начальному условию .21 y

Решение. Уравнение (10) запишем в виде

.xy

dxdy

Разделим переменные, будем иметь

,x

dxy

dy

и, следовательно, ,lnlnln 1Cxy где произвольная постоянная 1ln C взята в логарифмическом виде.

После потенцирования получим общее решение

,xCy (11)

где .1CC При делении на y мы могли потерять решение ,0y но последнее со-

держится в формуле (11) при 0.C Используя заданное начальное условие, получим 2,C и, следова-

тельно, искомое частное решение есть

.2x

y

2. Решить дифференциальное уравнение .0ctgcossintg 22 dyyxdxyx

Решение. Обе части уравнения разделим на ,cossin 22 xy получим

.sincos

cossin

33 dyyydx

xx

Проинтегрировав обе части уравнения, найдем общее решение

.sin

1cos

122 C

yx

Некоторые дифференциальные уравнения, приводящиеся к урав-нениям с разделяющимися переменными.Дифференциальные уравнения вида 0 bcbyaxfy приводятся к уравнениям вида (1) при по-мощи замены ,cbyaxu где u – новая искомая функция.

Пример: Решить дифференциальное уравнение

.128 2 yxy Решение. Обозначим ,128 yxu тогда

dxdy

dxdu 28 или .4

21

dxdu

dxdy

Перепишем дифференциальное уравнение, используя обозначения

.421 2u

dxdu

(12)

Решим полученное уравнение с разделяющимися переменными ;)82( 2 dxudu

;)4(2 2 dx

udu

.2

arctg41 Cxu

Полученное решение уравнения (12) после элементарных преобразо-ваний имеет вид

.)(4tg2 Cxu Вспоминая вид u, получим решение исходного уравнения

.4tg2128 Cxyx

§4. Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка Дифференциальное уравнение

0,, dyyxQdxyxP (13) называется однородным, если yxP , и yxQ , однородные функции оди-накового измерения. Уравнение (13) может быть приведено к виду

,

xyfy и при помощи подстановки ,xuy где u – новая неизвестная

функция, преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными. Можно также применять подстановку .yux

Примеры: 1. Найти общее решение уравнения

.xyey x

y

Решение. Полагаем ,uxy тогда ,ueuxu u

или

.x

dxdue u

Интегрируя, получим

.lnlnxCu

2. Проинтегрировать дифференциальное уравнение .22 dxyxdxydyx

Решение. Преобразуем данное однородное уравнение к виду

.12

xy

xy

dxdy

Сделаем подстановку :uxy

.1 2uuuxu Получим дифференциальное уравнение с разделяющимися перемен-

ными

.1 2udxdux

Решим его:

;1 2 x

dx

u

du

;lnln1ln 2 Cxuu

.1 2 Cxuu

Подставляя ,xyu имеем решение исходного уравнения

,12

Cxxy

xy

или после элементарных преобразований

.21

22

CxCy

Заметим, что 0x также является решением исходного уравнения.

Уравнения, приводящиеся к однородным. Если

222

111

cybxacybxafy (14)

и ,022

11 baba

то, полагая в уравнении (14) ; ux , y где

и постоянные, которые определяются из системы уравнений

,0;0

222

111

cbacba

получим однородное дифференциальное уравнение относительно пере-менных u и . Если ,0 то, полагая в уравнении (14) ,11 uybxa по-лучим уравнение с разделяющимися переменными.


.05242 dxyxdyyx Решение. Перепишем уравнение в виде

.4252

yxyxy

Найдем .0312 2 1

Составим систему

042;052

и решим ее: .2;1 Полагаем .2;1 yux Теперь исходное уравнение запишем в

переменных u и : .052214212 duudu

Решаем его:

;022

ududu

.2

21

u

udud

Получили однородное дифференциальное уравнение. Делаем подста-новку :ut

;2

21t

ttut

tt

ttttut

21

2221 22

.

Это уравнение с разделяющимися переменными. Далее имеем

;1

22 u

dudtt

t

;11

21

12ln 2

2

2

ttd

tdtuC

;1ln21

11ln

212ln 2

tttuC

.

11

12

tt

tuC

Так как ,u

t а, в свою очередь, ,2;1 yxu получаем реше-

ние исходного уравнения

.

1121

12

112

12

xy

xy

xy

xC

Сделаем элементарные преобразования, обозначив .2 CC

;1312 2

222

xyxyxyC

;1313 2

2

xyxyxyxyC

.31 3 xyxyC

2. Решить уравнение .342

12

yxyxy

Решение. В данном примере ,04221 поэтому сделаем подста-

новку .12 uyx Имеем

122

121

uuu уравнение с разделяющимися

переменными. Решим его:

;12

21

u

uu

;1214

uuu

;1412

dxdu

uu

;142

121 x

ududu

.41ln

81

21 Cxuu

Это выражение является решением исходного уравнения. Преобразу-ем его, учитывая, что :12 yxu

,884112ln124 Cxyxyx

или .48584ln Cxyyx

§5. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.

Уравнения Бернулли Дифференциальное уравнение вида

xQyxPy (15) 1-й степени относительно y и y называется линейным.

Если функция ,0xQ то уравнение (15) принимает вид 0 yxPy (16)

и называется однородным линейным дифференциальным уравнением. В этом случае переменные разделяются и общее решение уравнения

(16) есть . dxxPeCy (17)

Для решения неоднородного линейного уравнения (15) применяем так называемый метод вариации произвольной постоянной. Этот метод состо-ит в том, что сначала находим общее решение соответствующего однород-ного линейного уравнения, т.е. соотношение (17). Затем, полагая в этом соотношении величину С функцией от x, ищем решение неоднородного уравнения (15) в виде (17). Для этого подставляем в уравнение (15) y и ,y определяемые из (17), и из полученного дифференциального уравнения определяем функцию .xC Таким образом, общее решение неоднородного уравнения (15) получаем в виде

. dxxPexCy

Пример: Решить уравнение

.1 2 xy

xxy

(18)

Решение. Соответствующее однородное уравнение есть

.01 2

yx

xy

Разделяя переменные, получим

,1 2 dx

xx

ydy

откуда ,Cxy ln1ln21ln 2 или .xCy 21

Это решение однородного уравнения. Считая С функцией от x, дифференцируя, находим

.1

1)'1(2

22

x

CxxdxdCxCy

Подставляя y и y в уравнение (18), получаем после упрощений

.1 2x

xdxdC

Отсюда получаем выражение С через x:

.11

12

2Cx

xdxxC

Итак, общее решение уравнения (18) будет .11 2

12 xCxy

Для решения линейного уравнения (1) можно также применить под-становку

, uy (19) где u и функции от x. Тогда уравнение (15) примет вид

.xQuuxPu (20) Если потребовать, чтобы

,0 uxPu (21) то из (21) найдем u, затем из (20) найдем , а следовательно, из (19) най-дем y.


.costg xyxy (22) Решение. Полагаем . uy Тогда уравнение (22) принимает вид

.costg xuuxu (23) Найдем u из условия

.0tg uxu (24) Решая его, получим

.cos

1x

u

Константу С, возникающую при интегрировании уравнения (24), здесь отбрасываем. Найденное значение u подставляем в (23) и после пре-образований имеем

,cos2 xdxd

откуда C.xxdxxυ 2cos41

21cos2

Следовательно, общее решение уравнения (22) имеет вид

.x

Cxxycos

12cos41

21

Уравнение Бернулли. Уравнение 1-го порядка вида ,yxQyxPy

где 0 и ,1 называется уравнением Бернулли. Оно приводится к ли-нейному с помощью постановки .1 yz Можно также непосредственно применять подстановку uy или метод вариации произвольной по-стоянной.

Примеры:

1. Решить уравнение .4 yxyx

y

Решение. Это уравнение Бернулли 2/1 . Сделаем подстановку ,2/12/11 yyz т.е. :2zy

,42 2 zxzx

zz

или

.42 xzx

z (25)

Получили линейное уравнение. Решим его методом вариации произ-вольной постоянной.

Решаем однородное уравнение

,42 zx

z

проинтегрируем

,2

xdx

zdz

получаем, что .Сxz 2 Считая, что xСС функция от x, подставляем найденное выраже-

ние для z в (25):

x.Cxx

CxxC 22 422

После упрощений

x,C21

интегрируя, находим С:

.ln21

1CxC

Следовательно, общее решение уравнения (25) имеет вид

.ln21 2

1 xCxz

Так как ,2zy то решение уравнения Бернулли

.ln21 2

14

Cxxy

2. Найти общее решение уравнения

.2xyxy

dxdy

Решение. Это уравнение Бернулли 2 решим, используя подста-новку . uy

Получаем ,2

uxx

uuu или

.2 uxuxuu

(26)

Для определения функции u потребуем выполнения соотношения

,0xuu

откуда

.1x

u

Подставляя это выражение u в уравнение (26), получим 2

2

2 1 x

xx

u

или ;2

.2 dxd

отсюда находим :

,1 Сx

или .1Cx

Итак, общее решение исходного уравнения Бернулли

.1112 СxxСxx

y

§6. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель

Если для дифференциального уравнения

0,, dyyxQdxyxP (27) выполнено равенство

,xQ

yP

то уравнение (1) может быть записано в виде 0, yxdU и называется уравнением в полных дифференциалах. Общий интеграл уравнения (27) есть ., СyxU Функция yxU , определяется по формуле

y

y

x

xdyyxQdxyxPV

00

,, 0

или способом, который мы продемонстрируем на примере. Пример:

Найти частный интеграл уравнения 012

2

dyx

xdxx

yx при на-

чальных условиях .1;1 00 yx Решение. Это уравнение в полных дифференциалах, так как

,1111

2

2

xxx

yxy

и, следовательно, уравнение имеет вид .0dU

Здесь 2

2

xyx

xU

и .1

xx

yU

Отсюда

.1 2 y

xyxydx

xyU

Дифференцируем U по y, находим x

yxx

U 111

(по усло-

вию), отсюда 1 y и C.yy Окончательно получаем С,yy/xxU следовательно,

0/ Сyxyx есть искомый общий интеграл данного уравнения. Подставляя начальные данные, находим .3С Частный интеграл урав-нения 3./ yxyx

Интегрирующий множитель. Если левая часть уравнения (27) не яв-ляется полным дифференциалом и не выполнены условия теоремы Коши, то существует такая функция yx, (интегрирующий множитель), что

.dUQdyPdx Отсюда получаем, что функция удовлетворяет уравнению

.)( Qx

Py

Интегрирующий множитель легко находится в двух случаях:

1) ,1 xFxQ

yP

Q

тогда ;x

2) ,11 xF

xQ

yP

P

тогда .y

Пример:

Решить уравнение .03

2 223

2

dyyxdxyyxxy

Решение. Здесь ;3

23

2 yyxxyP 22 yxQ и

,122122

22

yxxyxx

xQ

yP

Q

следовательно, .x

Так как xQ

yP

или ,dxdQ

xQ

yP

то

dxdxxQ

yP

Qd

1

и .;ln xex

Умножая уравнение на ,xe получим

0

32 22

32 dyyxedxyyxxye xx уравнение в полных диффе-

ренциалах. Проинтегрировав его, будем иметь общий интеграл

.3

32 Сyxyex

§7. Дифференциальные уравнения 1-го порядка,

не разрешенные относительно производной

Дифференциальные уравнения 1-го порядка высших степеней. Если уравнение

,0,, yyxF (28) например, второй степени относительно ,y то, разрешая уравнение (28) относительно ,y получим два уравнения:

.,;, 21 yxfyyxfy (29) Таким образом, через каждую точку 000 , yxM некоторой области

плоскости проходят, вообще говоря, две интегральные кривые. Общий ин-теграл уравнения (28) в этом случае имеет вид

,0,,,,,, 21 CyxΦCyxΦCyxΦ (30) где 1Φ и 2Φ общие интегралы уравнений (29).

Кроме того, для уравнения (28) может существовать особый интеграл. Геометрически особый интеграл представляет собой огибающую семейст-ва кривых (30) и может быть получен в результате исключения С из систе-мы уравнений

0,,;0,, СyxΦCyxΦ C (31) или в результате исключения yp из системы уравнений

.0,,;0, P СyxFy,CxF (32) Заметим, что кривые, определяемые уравнениями (31) и (32), не все-

гда являются решениями уравнения (28), поэтому в каждом отдельном слу-чае необходима проверка.

Пример: Найти общий и особый интегралы уравнения .022 yyxyx Решение. Решая относительно ,y получаем два однородных уравне-

ния: ,/11;/11 xyyxyy

определенных в области ,0 yxx общие интегралы которых имеют вид

,11;1122

xC

xy

xC

xy

или .022;022 22 xyxСyxxyxCyx

Перемножая, получим общий интеграл данного уравнения ,042 22 xyxСyx

или СxСy 42 (семейство парабол).

Дифференцируя общий интеграл по С и исключая С, найдем особый интеграл

.0 yx Проверка показывает, что 0 yx есть решение данного уравнения. Особый интеграл можно также найти, дифференцируя

022 yxpxp по p и исключая p. Решение дифференциального уравнения методом введения пара-

метра. Если дифференциальное уравнение 1-го порядка имеет вид ,, yyx то переменные y и x могут быть определены из системы

,,;1 pyxdydp

dpd

dyd

p

где yp играет роль аргумента. Аналогично если ,, yxy то y и x определяются из системы урав-

нений

.,; pxydxdp

dpd

dxdp

Пример:

Найти общий и особый интегралы уравнения .2

22 xyxyy

Решение. Делая подстановку ,py перепишем уравнение в виде

.2

22 xxppy

Дифференцируя по x и считая p функцией от x, имеем

,2 xdxdpxp

dxdppp

или

,22 xpxpdxdp

или .1dxdp

Интегрируя, получим .Сxp Подставляя в первоначальное урав-нение, имеем общее решение

,2

22 xСxxСxy или .

2

22 xСxCy

Дифференцируя общее решение по С и исключая С, получаем особое решение .4/2xy Проверка показывает, что 4/2xy есть решение дан-ного уравнения.

Если приравнять нулю множитель ,2 xp на который было произве-дено сокращение, то получим ,2/xp подставив p в данное уравнение, получим 4/2xy то же самое особое решение.

§8. Уравнения Лагранжа и Клеро

Уравнение Лагранжа. Уравнение вида

,ppxy (33) где ,yp называется уравнением Лагранжа.

При помощи дифференцирования, учитывая, что ,pdxdy уравнение (33) сводится к линейному относительно x:

.dpppxdxppdx (34) Если ,pp то из уравнений (33) и (34) получаем общее решение в

параметрическом виде ,; pppgpCfypgpСfx

где p – параметр; pgpf , некоторые известные функции. Кроме того, может существовать особое решение, отыскиваемое обычным приемом.

Пример: Решить уравнение Лагранжа

.1 2yxyy Решение. Делаем подстановку py :

.1 2pxpy Дифференцируем равенство

.21 dppxdxppdx

После преобразований получаем

pxdpdx 2 линейное уравнение. (35)

Решаем его подстановкой ,ux где ,u неизвестные функции.

.2;2

puuupuuu

(36)

Найдем u из условия .0 uu

udpdu

.

Разделим переменные:

.dpudu

Проинтегрировав, получаем

.

;lnpeu

pu

Подставляем u в уравнение (36):

.2

;2p

p

ep

pe

Проинтегрируем .22222 Cepedpepedppe ppppp

Значит, решение линейного уравнения (35) имеет вид

.21221;2222

22 ppCepCeppyCepCepeeux

pp

pppp

Уравнение Клеро. Если в уравнении (33) ,pp то получаем урав-нение Клеро

.ppxy Общее решение его имеет вид ССxy (семейство прямых ка-

сающих некоторой кривой L). Кроме того, существует особое решение (огибающая, сама кривая L), получающееся в результате исключения па-раметра p из системы уравнений

.

;ppxy

px

(37)


.12y

xyy

(38)

Решение. Полагаем ,py тогда ;12p

pxy дифференцируя и за-

меняя dy через pdx, получим

,22 2pdpxdppdxpdx

или

.123p

xpdp

dx

Решив это линейное уравнение, будем иметь

.ln12 Cp

px

Следовательно, общий интеграл будет

.12

;ln12

ppxy

Cpp

x

Для нахождения особого интеграла по общему правилу составляем

систему

.120;12 2px

ppxy

Отсюда ,2;2

12 p

yp

x и, следовательно, .22 xy

Подставляя y в уравнение (38), убеждаемся, что полученная функция не является решением и, следовательно, уравнение (38) не имеет особого интеграла.

2. Уравнение 2'' yxyy есть уравнение Клеро. Общий его интеграл

2ССxy изображается совокупностью прямых, касающихся параболы 2

41 xy (рис. 2).

Рис. 2

Уравнение 2

41 xy есть особый

интеграл. Он получается следующим образом. В данном примере имеем ;2pp ,2 pp и система

(37) принимает вид

.;2

2pypx

Исключив p, получаем, что

.41 2xy

§9. Составление дифференциальных уравнений Процесс составления дифференциального уравнения по условию за-

дачи (геометрической, физической или технической) состоит в том, что мы выражаем на математическом языке связь между переменными величина-ми и их бесконечно малыми приращениями. Иногда дифференциальное уравнение получается без рассмотрения приращений за счет того, что они учтены заранее. Так, представляя скорость выражением ,/ dtdS мы не привлекаем приращений ,, tS но они фактически учтены, ибо

.lim0 t

SdtdS

t

При составлении дифференциальных уравнений первого порядка бес-конечно малые приращения сразу же заменяются соответствующими диф-ференциалами. Погрешность, возникающая при этом, автоматически уст-раняется при переходе к пределу. Вообще всякую бесконечно малую вели-чину можно заменить ей эквивалентной, например, бесконечно малую дугу соответствующей хордой, или наоборот.

Исчерпывающих правил для составления дифференциальных уравне-ний дать нельзя.

Примеры: 1. Найти кривую, проходящую через точку ,2;3 для которой отрезок

любой ее касательной, заключенный между координатными осями, делит-ся пополам в точке касания.

Решение. Пусть yxM , есть середина касательной АВ, по условию являющаяся точкой касания. Точки А и В – это точки пересечения каса-

тельной с осями Oy и Ox. По условию, yOA 2 и .2xOB Угловой коэф-фициент касательной к кривой в точке yxM , равен

.xy

OBOA

dxdy

Это и есть дифференциальное уравнение искомой кривой. Преобразо-вав, получим

,0y

dyx

dx

и, следовательно, С,yx lnlnln или .Сxy

Используя начальное условие, определим 6.23 С Итак, искомая кривая есть гипербола .6xy

2. В резервуаре имеется 100 л водного раствора, содержащего 10 кг соли. Каждую минуту 2 л раствора вытекает из резервуара, а 3 л пресной воды притекает в него. Перемешивание сохраняет одинаковую концентра-цию соли во всем резервуаре. Сколько соли останется в резервуаре через час?

Решение. Обозначим через x количество соли в резервуаре (в кг), че-рез t – время, отсчитываемое от начального момента (в минутах).

За промежуток времени dt из резервуара уходит ( dx ) кг соли ведь x – убывающая функция времени, значит, dx – отрицательная величина, а ( dx ) – положительная.

Чтобы составить уравнение, вычислим убыль соли иным путем. В мо-мент t в резервуаре находится (100+t) л жидкости (притекло 3t л и утекло 2t л); в ней растворено x кг соли. Значит, в 1 л раствора содержится

tx 100/ кг соли. За время dt из резервуара вытекает 2dt л раствора; зна-

чит, количество соли уменьшится на dtt

x 2100

кг.

Получаем дифференциальное уравнение

.1002

tdtxdx

Разделяя переменные и учитывая начальные условия ,10;0 00 xt получаем

tx

tdt

xdx

010

,100

2

то есть ,100

100ln210ln tx

или .

10010010 2

t

x

Подставляя ,60t найдем искомое количество соли: 91,3x кг.

Рис. 3

3. Для моста строится «каменный бык» высотой в 12 м с круговыми горизонтальными сечениями. «Бык» рассчитан на нагрузку т90p (помимо собственного веса). Плотность мате-риала .т/м5,2 2 Допустимое давле-ние составляет .т/м300 2k Найти площади верхнего и нижнего основа-ний, а также форму осевого сечения «быка» (при наиболее экономном рас-ходе стройматериалов).

Решение. Площадь 0S верхнего основания при допустимом давлении

2т/м300k может выдержать нагрузку .0 PSk Следовательно,

).м(31,030090 2

0 kPS

Площадь S горизонтального сечения возрастает с понижением уровня, ибо, помимо нагрузки P, на площадь S давит вышележащая часть «быка».

Обозначим через x расстояние сечения S (MN на рис. 3) от верхнего основания. Выделим бесконечно малый горизонтальный слой MNnm. Площадь его нижнего основания mn превышает пощадь верхнего основа-ния MN на dS. Поэтому у нижнего основания предельная нагрузка на k dS больше, чем у верхнего. С другой стороны, нагрузка mn больше, чем на-грузка сечения MN на величину, равную весу слоя MNmn, т.е. на dxS (мы считаем, что слой MNmn – цилиндрический). Получаем дифференци-альное уравнение .dxSdSk

Разделяя переменные и интегрируя при начальных условиях ,;0 0SSx получаем

,00

xx

xdx

kSdS

откуда

.ln0

xkS

S (39)

Чтобы найти площадь 1S нижнего основания, надо подставить 12x (при 300;5,2;3,00 kS ). Переходя к десятичным логарифмам, полу-чим

,12300

5,23,0

lg 1 MS

откуда .м33,0 21 S

Форма осевого сечения характеризуется уравнением меридиана BD. Обозначим радиус сечения MN через y, тогда

2

00

yy

SS

и равенство (39) дает

,ln0

xky

y или .2

0x

keyy

(40)

Таково уравнение меридиана. Линия (40) называется логарифмикой.

§10. Дифференциальные уравнения высших порядков 1. Случай непосредственного интегрирования. Если уравнение n-го порядка имеет вид ,xfy n то его решение

получается n-кратным интегрированием ....... 2

21

1 nnn СxСxСdxxfdxy


.2

13x

y

Решение.

.1

41

41

21

21123 СxСx

dxСx

dxdxx

y

2. Случаи понижения порядка. 1) Если дифференциальное уравнение явно не содержит y, например

,0,, yyxF то, полагая ,py получим уравнение порядка на единицу ниже:

.0,, ppxF Пример: Проинтегрировать уравнение второго порядка

.01 yyx Решение. Обозначим ,py тогда уравнение перепишется в виде

,01 ppx

или .01 pdxdpx (41)

Это уравнение в полных дифференциалах. Функцию U найдем из ус-ловий

.

;1

pxU

xpU

Имеем .1 xxppdpxU Дифференцируем по x и используем второе уравнение

.pxpxU

Находим .Сx Значит, .СxppU Общий интеграл (41) имеет вид

.1 1Сpx (42) Теперь вернемся к прежней неизвестной функции y и запишем урав-

нение (42) так:

.1 1Сdxdyx

Интегрируя, находим .1ln 21 СxСy Это общее решение исходного уравнения. 2) Если дифференциальное уравнение явно не содержит x, например,

,0'',', yyyF то, полагая

,;dydppypy (43)

получим уравнение порядка на единицу ниже:

.0,,

dydpppyF

Пример: Проинтегрировать уравнение второго порядка .0 yy Решение. Применив подстановку (43), преобразуем уравнение к виду

.0 ydydpy Это уравнение первого порядка. Общий интеграл его есть

.21

22 Сyy (44) Возвращаясь к прежним переменным x, y, записываем (44) в виде

.22

1

dxyС

dy

Интегрируя, находим ,arcsin 21

СxСy

откуда .sin 21 СxСy

Знак включен в постоянную .1С Это общее решение исходного уравнения. Его можно преобразовать к

виду ,cossin 43 xСxСy

где .Сsin;cos 214213 ССССС

§11. Линейные дифференциальные уравнения 1. Однородные линейные дифференциальные уравнения имеют

вид ,0...1

1 yxPyxPy nnn (45)

где nixPi ,...,3,2,1 ),( – непрерывные функции (коэффициенты уравнения). Общее решение уравнения (45) имеет вид ,..22110 nn yСyСyСy

где nyyy ,...,, 21 линейно независимые решения уравнения (45) (фунда-ментальная система решений); nCC ,...,1 произвольные постоянные.

Функции nyyy ,...,, 21 называются линейно-зависимыми, если сущест-вуют такие постоянные ,,...,, 21 nССС не равные нулю одновременно, что

;0...2211 nn yСyСyС в противном случае данные функции линейно независимы.

2. Неоднородные линейные уравнения имеют вид xfyxPyxPy n

nn ...11 . (46)

Функция )(xf называется правой частью уравнения. Общее решение уравнения (46) имеет вид ,0 Yyy где 0y общее решение соответст-вующего однородного уравнения (45); Y – частное решение данного неод-нородного уравнения (46).

После нахождения фундаментальной системы решений nyy ,...,1 од-нородного уравнения (45) можно:

а) найти Y по виду правой части )(xf с помощью специальной табли-цы;

б) продолжить решение уравнения методом вариации произвольных постоянных.

В этом случае общее решение неоднородного уравнения (46) ищется в виде ,...2211 nn yxСyxСyxСy где функции nixСi ,...,2,1, оп-ределяются из системы уравнений

).(...;0...

.................................................. ;0... ;0...

1122

111

2222

211

2211

2211

xfyxСyxСyxСyxСyxСyxС

yxСyxСyxСyxСyxСyxС

nnn

nn

nnn

nn

nn

nn

(47)


.''' 2xyxy (48) Решение. Решая однородное уравнение ,0 yyx

получим .ln 21 СxСy (49)

Следовательно, можно принять 1иln 21 yxy

и решение уравнения (48) искать в виде .ln 21 xСxxСy

Составляя систему (47) и учитывая, что приведенный вид уравнения (48) есть xxyy /''' , получим

.01;01ln

21

21

xxСx

xС

xСxxС

Отсюда

,9

ln3

и3

33

2

3

1 BxxxxСAxxС

и, следовательно,

,ln9

3BxAxy

где А и В – произвольные постоянные. 2. Решить уравнение

.tg'' xyy (50) Решение. Общее решение соответствующего уравнения без правой

части есть ,sincos 21 xСxСy (51)

где 21 и СС произвольные постоянные. Ищем решение уравнения (50) в виде (51), считая теперь 21 и СС не-

известными функциями. Условия (47) принимают вид

.tgcossin;0sincos

21

21

xxСxСxСxС

Отсюда находим

.cos;sinsin1

cosln

;sin;sintg

;sin;sintg

4231

21

21

СxССxx

xС

dxxСdxxxС

xСxxС

Подставляя в (51), получаем общее решение

;sincoscossinsin1

cosln 43 xСxxСxx

xy

.sincossin1

coslncos 43 xСxСx

xxy

§12. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами

1. Однородные уравнения. Линейное уравнение 2-го порядка с по-

стоянными коэффициентами p и q без правой части имеет вид .0 qyypy (52)

Если 21 и kk корни характеристического уравнения ,02 qpkkk (53)

то общее решение уравнения (52) записывается в одном из следующих трех видов:

1) ,2121

xkxk eСeСy если 21 и kk вещественны и ;21 kk

2) ,211 xССey xk если ;21 kk

3) ,sincos 21 xСxСey x если ik 1 и .02 ik 2. Неоднородное уравнение. Общее решение линейного неоднород-

ного дифференциального уравнения )(xfqyypy (54)

можно записать в виде суммы ,0 Yyy

где 0y общее решение соответствующего уравнения (52) без правой час-ти, определяемое по формулам (1)–(3); Y – частное решение данного урав-нения (54).

Функция Y может быть найдена методом неопределенных коэффици-ентов в простейших случаях, указанных в таблице.

Вид частного решения Y Вид xf

правой части уравнения

не является корнем ха-рактеристического урав-нения

является корнем характе-ристического уравнения

xPxf n многочлен сте-пени n

1.1. 0 не корень, )(xQY n – многочлен

степени n

1.2. 0 корень кратности r, xQxY n

r

xPexf nx 2.1. не корень,

xQeY nx

2.2. корень кратности r, xQexY n

xr

]sin

cos[xxQxxP

exf

m

n

x

3.1. i не корень,

],sincos[

xxTxxSeY

N

Nx

здесь xTxS NN , мно-гочлены степени

mnN ,max

3.2. i корни крат. r,

],sincos[

xxTxxSexY

N

Nxr

Здесь xTxS NN , много-члены степени mnN ,max

Многочлены nnn TSQ ,, берутся с неопределенными коэффициентами:

т.д. и

;;;23

3

2210

DCxBxAxxQ

CBxAxxQBAxxQAQ

В общем случае для решения уравнения (54) применяется метод ва-риации произвольных постоянных.

Примеры: 1. Найти общее решение уравнения

.321

21 2

1 xeyyy (55)

Решение. Характеристическое уравнение 021

212 rr имеет корни

,21;1 21 rr так что общее решение соответствующего уравнения без

правой части есть .21

210xx eСeСy

Остается найти какое-либо частное решение Y уравнения (55). Правая

часть (55) имеет вид, указанный в случае 2.1 таблицы, причем 3xP многочлен нулевой степени и число 2/1 не является корнем характе-

ристического уравнения. Поэтому частное решение (55) будем искать в

виде x

eAY 21

(А – постоянная).

Подставляем x

eAY 21

в (55), находим

.321

21

21

41 2

121 xx

eeAAA

Приравнивая коэффициенты при ,21 x

e получаем .6A Искомое ре-

шение .6 21 x

eY Общее решение уравнения (55) есть

.6 21

21

21xxx eeСeСy

2. Найти общее решение уравнения .323 2 xxyyy (56)

Решение. Характеристическое уравнение 232 rr имеет корни ,2;1 21 rr так что общее решение однородного уравнения

.2210

xx eСeСy Правая часть уравнения (56) является многочленом второй степени и

число 0 не является корнем характеристического уравнения (случай 1.1 таблицы). Поэтому частное решение (56) будем искать в виде

.2 CBxAxY Подставляя Y в (56), получаем равенство

.3232622 22 xxABCxABAx Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем

систему

,0232;362

;12

ABCAB

A

из которой находим ,4;3;21

CBA так что

.4321 2 xxY

Общее решение (56) есть

.4321 22

21 xxeСeСy xx

3. Найти общее решение уравнения .33 2 xxyy (57)

Решение. Здесь правая часть – многочлен степени 2 и число 0 служит однократным корнем характеристического уравнения 032 rr 0;3 21 rr ( случай 1.2). Уравнение (57) имеет частное решение вида

.23 CxBxAxY Поступая, как в примере 2, получим систему

,023;366

;19

BCAB

A

из которой находим ,2711;

1811;

91

CBA так что

.2711

1811

91 ,

2711

1811

91 233

2123 xxxeCCyxxxY x

4. Найти общее решение уравнения .2 xxeyyy (58)

Решение. Здесь xxP 1 и число 1 есть двукратный корень харак-теристического уравнения .0122 rr Выбираем в таблице случай 2.2: частное решение имеет вид

.23 xeBxAxY После подстановки Y в (58) получаем

.26 xx xeeBAx Приравнивая коэффициенты при членах с одинаковыми степенями x,

получаем систему ,02;16 BA так что

.61 3 xexY

Общее решение уравнения (58) есть

.61 3

21xx exexССy

5. Найти общее решение уравнения .2sin10 xeyy x (59)

Решение. Правая часть соответствует случаю 3.1 таблицы. Здесь ,10;0 QP то есть xQxP ; многочлены нулевой степени;

.2;1 Комплексные числа ii 21 не являются корнями ха-рактеристического уравнения .012 y Уравнение (59) имеет частное решение вида

.2sin2cos xBxAey x

Поставляя Y в (59), приходим к равенству xeexBAxBA xx 2sin102sin242cos42

и получаем систему

.1024;042

BABA

Она дает ,1;2 BA так что .2sin2cos2 xxeY x Общее решение (59) есть

.2sin2cos2sincos 21 xxexСxСy x

6. Найти общее решение уравнения

.sin4 xxyy (60)

Решение. Здесь xxQxP 4;0 (старшая степень многочленов P и Q – первая); .1;0 Комплексные числа ii являются корня-ми характеристического уравнения .012 r Уравнение (60) имеет част-ное решение вида (случай 3.2)

.sincos

;sincos

22

212

1

2211

xxBxAxxBxAY

xBxAxBxAxY

Подставляя в (60), приходим к равенству

xxxABxAxABxA sin4sin224cos224 211122 и получаем систему

.022;44

;022;04

21

1

12

2

ABA

ABA

Она дает ,1;0;0;1 2211 BABA так что .sincos2 xxxxY Общее решение уравнения (60) есть

.sincossincos 21 xxxxxСxСy

3. Принцип наложения решений. Если правая часть уравнения (54) есть сумма нескольких функций xfxfxfxf n ...21 и

),...,2,1( niYi – соответствующие решения уравнений qypyy ,,...,2,1 nixfi то сумма nYYYy ...21 является решением урав-

нения (54).

§13. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами порядка выше второго

1. Однородное уравнение. Фундаментальная система решений

nyyy ,...,, 21 однородного линейного уравнения с постоянными коэффици-ентами

0... 11

1 yayayay nn

nn (61) строится в зависимости от корней характеристического уравнения.

.0... 11

1 kakakak nn

nn (62) А именно: 1) если k есть вещественный корень уравнения (62) кратности m, то

ему соответствует m линейно независимых решений уравнений (61): ;;...;; 1

21kxm

nkxkx exyxeyey

2) если i пара комплексных корней уравнения (62) кратности m, то ей соответствует 2m линейно независимых решений уравнения (61):

.sin;cos

;...;sin;cos;sin;cos1

21

12

4321

xexyxexy

xxeyxxeyxeyxeyxm

mxm

m

xxxx

2. Неоднородное уравнение. Частное решение неоднородного урав-нения

xfyayayay nnnn

11

1 ... (63) отыскивается на основе правил §12.

§14. Уравнения Эйлера

Линейное уравнение вида ...1)1(

1)( nnnn ybaxAybax ,1 xfyAybaxA nn (64)

где nAAba ,...,,, 1 постоянные, называется уравнением Эйлера. Для области 0 bax вводим новую независимую переменную t, по-

лагая .tebax Тогда

;, 2

22

dtdy

dtydeay

dtdyaey tt

dtdy

dtyd

dtydeay t 23 2

2

3

333 и т.д.

и уравнение Эйлера преобразуется в линейное уравнение с постоянными коэффициентами.


.12 yyxyx Решение. Полагая ,tex получим

., 2

22

2

2

dtdy

dtyde

dxyd

dtdye

dxdy tt

Следовательно, данное уравнение примет вид

,12

2 y

dtyd

откуда 1sincos 21 tСtСy или .1lnsinlncos 21 xСxСy Для однородного уравнения Эйлера

,0... 111

1 yAyxAyxAyx nn

nnnn (65) при 0x решение можно искать в виде

.kxy (66) Подставляя в (65) ,,...,, 1 nyyy определяемые из соотношения (66),

получим характеристическое уравнение, из которого можно найти показа-тель k.

Если kдействительный корень характеристического уравнения крат-ности m, то ему соответствует m линейно независимых решений:

.ln,....,ln;ln; 12321

mkm

kkk xxyxxyxxyxy Если i пара комплексных корней кратности m, то ей соответст-

вует 2m линейно независимых решений

.lnsinln

;lncosln;...;lnsinln

;lncosln;lnsin;lncos

12

112

4321

xxx

yxxxyxxx

yxxxyxxyxxy

mm

mam

2. Решить уравнение .0432 yyxyx

Решение. Полагаем .)1(;; 21 kkk xkkyxkyxy Подставляя в данное уравнение, после сокращения на kx получим ха-

рактеристическое уравнение .0442 kk Решая его, находим ,221 kk следовательно, общее решение будет

.ln22

21 xxСxСy

§15. Системы дифференциальных уравнений Метод исключения. Для нахождения решения, например, нормаль-

ной системы двух дифференциальных уравнений 1-го порядка, то есть сис-темы вида

,,,;,, zyxGdxdzzyxf

dxdy

(67)

разрешенной относительно производных от искомых функций y и z, диф-ференцируем по x одно из них. Получаем

.2

2G

zff

yf

xf

dxyd

(68)

Определяя z из первого уравнения системы (67) и подставляя найден-ное выражение

dxdyyxz ,, (69)

в уравнение (68), получим уравнение 2-го порядка с одной неизвестной функцией y. Решая его, находим

,,, 21 ССxy (70) где 21 и СС произвольные постоянные.

Подставляя функцию (70) в формулу (69), определяем функцию z без новых интеграций. Совокупность формул (69) и (70), где y заменено на , дает общее решение системы (67).

Пример: Решить систему

.23

;4142

2xzydxdz

xzydxdy

Решение. Дифференцируем первое уравнение по x:

.4422

2

dxdz

dxdy

dxyd

Из первого уравнения определяется

,24141

y

dxdyxz

тогда из второго будем иметь

.41

23

41

23 2

dxdyyxx

dxdz

Подставляя z и dxdz в уравнение, полученное после дифференцирова-

ния, приходим к уравнению 2-го порядка с одной неизвестной y:

.3466 22

2 xxy

dxdy

dxyd

Решая его, найдем ,СС 23

22

1 xxeey xx тогда

.21

4241

41 2322

1 xeСeСydxdyxz xx

Аналогично можно поступить с большим числом уравнений.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 3 Решить дифференциальные уравнения. Если указано начальное усло-

вие, решить задачу Коши.

Вариант 1 Вариант 2 1. dxxyydyxydyxdx 22 2334 ; 2. 00,3/13 322 yxxyxy ; 3. yxxy ln ; 4. 1396 xyyy IV .

1. 011 22 xyyyx ; 2. 10,2sincos yxxyy ; 3. 1 yyx ; 4. 612 xyy IV .


1. ydyxydydxy 224 ; 2. 30,2sincos yxxyy ; 3. yyx 2 ; 4. 2322 xyyy IV .

1. ydyxydydxy 223 ;

2. 210,44 3 yxxyy ;

3. 1 xyyx ; 4. 432 2 xxyy .

Вариант 5 Вариант 6 1. dxxyydyxydyxdx 22 3266 ;

2. 11,ln y

xx

xyy ;

3. 0sin

1tg x

yyx ;

4. xyy IV .

1. 023 22 dyxydxyx ;

2. 10,11

2 2

yxeyx

y x ;

3. 12 yxyx ; 4. xxyyy 2323 2 .


1. 05 22 dxyedye xx ;

2. 10,sin22

yxxexyy x ; 3. 022ctg yxy ; 4. 234 2 xxyy .

1. 0111

2

2

yxyy ;

2. 210,1

12 3

yxx

yy ;

3. 123 yxyx ; 4. xxyyy IV 6122 2 .


1. dxxyydyxydyxdx 22 2366 ; 2. 13 1,22 eyxxyy ; 3. yyx 2tg ; 4. 32 xyy IVV .


2. 320,

212 2

yxx

xyy ;

3. yxy 22ctg ; 4. 242 xyyy IV .


1. 04 dxedyey xx ; 2. 30,3 yxxyy ; 3. 134 yxyx ; 4. 244 xxyyy IV .

1. 04 22 xxyyx ;

2. 31,11

2 22

yx

xxyy ;

3. 02 yyx ; 4. xxyy 36 2 .

Вариант 13 Вариант 14 1. dxxyydyxydyxdx 22 222 ;

2. 11,1212

yy

xxy ;

3. 32 21 xyxyx ; 4. xyyyy IV 233 .


2. 11,233 y

xxyy ;

3. 145 yxyx ; 4. xxyyy IV 122 .

Вариант 15 Вариант 16 1. 08 dxyedye xx ;

2. 41,123 y

xxyy ;

3. 01

xyyx ;

4. 2165 xyyy .

1. 015 22 xyyy ;

2. 651,2 3 yxy

xy ;

3. 0 xyyx ; 4. 39181213 2 xyyy .

Вариант 17 Вариант 18 1. dxxydyyxydyxdx 22 36 ;

2. 1)1(,3 yxxyy ;

3. yyx IV tg ; 4. 52665 2 xxyyy .

1. 0ln yxyy ;

2. 42,5522

yyxxy ;

3. xyyx ; 4. 22449 xyy .

Вариант 19 Вариант 20 1. xx yeye 1 ;

2. eyex

xxyy x

1,1 ;

3. 1tg yxy ; 4. 11213 xyyy .

1. 01 22 xxyyx ;

2. 11,ln2 yxx

xyy ;

3. yxy 55tg ; 4. 56 xyy .

Вариант 21 Вариант 22 1. dxxydyyxydyxdx 22 3226 ;

2.

1,sin yx

xyy ;

3. 14 43 yyy ; 4. 123 2 xxyy .

1. 0ln1 yxyy ;

2. 11,2

2 yxxyy ;

3. 3128yy ; 4. 333 xyyyy IV .

Вариант 23 Вариант 24 1. xx eyye 3 ;

2. 320,

12

12

2

2

2

yx

xyxxy ;

3. 643 yy ; 4. 2384324 xyy .

1. 013 22 yyxy ;

2. 231,2

22

yxx

xyy ;

3. 0cossin2 3 yyy ; 4. 163 xyy IV .

Вариант 25 Вариант 26 1. dxxydyyxydyxdx 22 ;

2. 10,11

yxex

yy x ;

3. yyy cossin32 3 ; 4. 15 2 xyy .

1. 045 22 dyyyxdxy ;

2. 12

,sin

yxx

xyy ;

3. 0493 yy ; 4. xyy 127 .

Вариант 27 Вариант 28 1. xx eyye 1 ;

2. 21

4,costg 2

yxxyy ;

3. 0cossin8 3 yyy ; 4. 12 2 xxyyy IV .

1. 023 22 dxydyyyx ;

2. 00,2sin21cos yxxyy ;

3. 164 43 yyy ; 4. 325 xyy IV .

Вариант 29 Вариант 30 1. dxxydyyxydyxdx 222 ;

2. 02

,sin2ctg

yxxxyy ;

3. 350yy ; 4. xxyy 2 .

1. 0222 22 yxxyx ;

2. 01,2 yxxyy ;

3. 0253 yy ; 4. 2123 xyyy .

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ

1. Определение первообразной и неопределенного интеграла. 2. Таблица интегралов. 3. Методы интегрирования (замена переменной, по частям, интегриро-

вание рациональных, иррациональных, тригонометрических функций). 4. Задача о площади криволинейной трапеции. 5. Определенный интеграл и его геометрический смысл. 6. Формула замены переменной и интегрирования по частям в опреде-

ленном интеграле. 7. Несобственный интеграл. 8. Использование определенного интеграла (площади плоских фигур,

длины дуг, площади поверхности вращения, объем тела вращения). 9. Типы дифференциальных уравнений 1-го порядка и их решения

(уравнения с разделяющимися переменными, однородные, линейные, Бер-нулли, в полных дифференциалах).

10. Уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка. 11. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами.

Приложение 1

Таблица производных

1. .0c

2. ;1 mm mxx

.2

1x

x

3. ;ln aaa xx

.xx ee

4. ;ln1log

axxa

.1lnx

x

5. .cossin xx

6. .sincos xx

7. .cos

1tg 2 xx

8. .sin

1ctg 2 xx

9. .1

1arcsin2x

x

10. .1

1arccos2x

x

11. .1

1arctg 2xx

12. .1

1arcctg 2xx

-----------------------------------------

.

;

2vvuvu

vu

vuvuuv


Таблица интегралов 1. Cdx0 .

2. Cxdxdx1 .

3.

1 ,1

1nC

nxdxx

nn .

4. 0 ,ln xCxx

dx.

5. 1 ,0 ,ln

aaCa

adxax

x ; Cedxe xx .

6. Cxxdx sincos .

7. Cxxdx cossin .

8. Cxx

dx tgcos2 .

9. Cxx

dx ctg

sin2 .

10. 0 ,arctg122

aC

ax

aaxdx

.

11.

axaaxax

aaxdx ,0 ,ln

21

22 .

12. 0 , ,arcsin22

aaxCax

xa

dx.

13. axaCaxxax

dx

,0 ,ln 2

2.

------------------------------------------------------------------------------------------

vduuvudv .



Дифференциальные уравнения 1-порядка 1. Уравнения с разделяющимися переменными )()( ygxfy .

Используем dxdyy .

2. Однородные дифференциальные уравнения

xyfy .

Используется замена

txty

txytxy

;.

3. Линейные дифференциальные уравнения )()( xqyxpy ;

уравнение Бернулли ,)()( yxqyxpy ≠ 0; 1 решаются: а) методом вариации произвольной постоянной;

б) заменой vuvuy

uvy

,.

4. Уравнения в полных дифференциалах 0),(),( dyyxQdxyxP

при условии xy QP .

Решение: y

y

x

x

dyyxQdxyxPy00

),(),( 0 .

Уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка

1. )()( xfy n . Решаются n-кратным интегрированием. 2. 0),,( yyxF («без у»).

Замена: )(

)(xpy

xpy

.

3. 0),,( yyyF («без х»).

Замена:

dydppy

ypy

)(.

Приложение 5 Нахождение общего решения y0 линейного однородного дифференциального уравнения вто-

рого порядка по виду корней характеристического уравнения: 1) 21 kk корни характеристического уравнения действительные, различные,

;СС 2121

xkxk eey

2) 21 kk корни характеристического уравнения совпадают,

;СС 211 xey xk

3) ikk 21, корни комплексно-сопряженные ( 0 ),

.sinСcosС 210 xxey x

Нахождение частного решения Y линейного неоднородного дифференциального уравнения по виду правой части f(x) .

Вид частного решения Y Вид xf правой части

уравнения не является корнем характе-ристического уравнения

является корнем характеристиче-ского уравнения

xPxf n многочлен степени n

0 не корень, )(xQY n – многочлен сте-

пени n

0корень кратности r, xQxY n

r

xPexf nx не корень,

xQeY nx

корень кратности r, xQexY n

xr

]sin

cos[xxQxxP

exf

m

n

x

± i не корень,

],sincos[

xxTxxSeY

N

Nx

здесь xTxS NN , много-члены степени

mnN ,max

± i корни крат. r,

],sincos[

xxTxxSexY

N

Nxr

здесь xTxS NN , многочлены степени

mnN ,max где

т.д. и

;;

;

233

22

1

0

DCxBxAxxQCBxAxxQ

BAxxQAQ

Общее решение у линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами

.0 Yyy

Геометрические приложения определенного интеграла

Явное задание кривой bxaxyy ),(

Параметрическое задание кривой

21 ,)()(

ttttxxtyy

Полярное задание кривой

21 ),( rr

Площадь криволинейной трапеции

b

a

dxxyS )( 2

1

)()(t

t

dttxtyS 2

1

)(21 2

drS

Длина дуги плоской кривой

b

a

dxxyL 2)(1 2

1

22t

t

dtyxL 2

1

22

21

drrL

Площадь поверхности вращения

b

a

dxyyS 212 2

1

222t

t

dtyxyS 2

1

22sin2

drrrS

Объем тела вращения а) вокруг оси Ох

b

ax dxxyV )(2 ;

а) вокруг оси Оу

b

ay dxxxyV )(2

Библиографический список

1. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учебное пособие.– СПб.: Про-фессия, 2005. – 432 с.

2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. – М.: Высшая школа, 1986. – Т.1. – С. 208270; Т. 2. – С. 117175.

3. Демидович Б.П., Кудрявцев В.А. Краткий курс высшей математики: Учебное пособие. – М.: Ас-трель; М.: АСТ, 2004. – 655 с.

4. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: Учебное пособие. – М.: Инте-грал-Пресс, 2006. – Т.1. – 415 с.; Т.2. – 544 с.

5. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: Учебное пособие. – М.: Айрис-пресс. – 2006.- Ч. 1. – 288 с.; Ч. 2 .– 240 с.

Учебное издание

Римма Борисовна Карасева

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ДИСТАНЦИОННО

Часть 3

Учебное пособие

Редактор И.Г.Кузнецова

Подписано в печать 20.05.2008. Формат 60х90 1/16. Бумага писчая.

Оперативный способ печати. Гарнитура Times New Roman. Усл. п.л. 8,75, уч.-изд. л.8,75

Тираж 250 экз. Заказ Цена договорная

Издательство СибАДИ 644099, Омск, ул. П.Некрасова, 10

Отпечатано в ПЦ издательства СибАДИ

644099, Омск, ул. П.Некрасова,10

Documents

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ДИСТАНЦИОННОbek.sibadi.org/fulltext/ED1704.pdf · 2011. 12. 7. · Приложения определенного интеграла