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Skript zur Vorlesung

Numerik stochastischerDifferentialgleichungen

Wintersemester 2018/19

Johannes Schropp

Universitat Konstanz

Fachbereich Mathematik und Statistik

© Johannes Schropp, 30. Januar 2019

Inhaltsverzeichnis

1 Grundlagen stochastischer Prozesse 11.1 Einfuhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Beispiel Teilchenbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Stochastische Modellierung des zeitlich gemittelten Prozesses . . . . 21.1.3 Stochastische Prozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.4 Verallgemeinerung unseres Beispiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Stochastisches Integral (Ito-Integral) und Ito-Prozesse . . . . . . . . . . . . 71.2.1 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.2 Technische Voraussetzungen dazu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.3 Eigenschaften des Ito-Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.4 Prinzipielles weiteres Vorgehen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.5 Rechenregeln fur stochastische Integrale . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.6 Ito-Prozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.7 Das Lemma von Ito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3 Modellierung von Prozessen mit Rauschen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3.1 Additives Rauschen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3.2 Multiplikatives Rauschen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3.3 Modellierung in der Finanzokonomie . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.3.4 Ausgangspunkt fur die Numerik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.3.5 Optionspreisberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.3.6 Monte-Carlo-Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.4 Pseudozufallszahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.4.1 Einfuhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.4.2 Beispiel: Monte-Carlo-Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.4.3 Konstruktion von Pseudozufallszahlen . . . . . . . . . . . . . . . . 221.4.4 Konstruktion von Pseudozufallsvektoren (PZV) . . . . . . . . . . . 261.4.5 Die Box-Muller-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.4.6 Korrelierte Normalverteilung (korreliert normalverteilte PZV) . . . 271.4.7 Die Cholesky-Zerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.4.8 Konstruktion von PZZ mit Gleichverteilung auf [0, 1] . . . . . . . . 28

2 Numerische Methoden fur stochastische Differentialgleichungen 302.1 Das Euler-Maruyama-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.1.1 Numerische Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.1.2 Gute der Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.1.3 Untersuchung der Doppelintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2 Konvergenztheorie fur das Euler-Maruyama-Verfahren . . . . . . . . . . . . 332.2.1 Exakte Losung vs. diskretes Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . 332.2.2 Analyse des L2-Fehlers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.2.3 Separate Analyse der Terme (I)-(IV ) . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.2.4 Das diskrete Gronwall-Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.2.5 Starke Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

I

Inhaltsverzeichnis

2.2.6 Numerische Bestimmung der Konvergenzordnung . . . . . . . . . . 392.2.7 Fehler bei der Erwartungswertberechnung . . . . . . . . . . . . . . 40

2.3 Weitere numerische Verfahren und schwache Konvergenz . . . . . . . . . . 422.3.1 Das Milstein-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.3.2 Schwache Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3 Parabolische partielle Differentialgleichungen und Optionspreisbewer-tung 493.1 Die Fokker-Planck-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.1.1 Einfuhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.1.2 Die 1-dimensionale Fokker-Planck-Gleichung . . . . . . . . . . . . . 503.1.3 Weiteres zu stochastischen Prozessen und PDGL . . . . . . . . . . . 513.1.4 Verallgemeinerung auf vektorwertige Prozesse . . . . . . . . . . . . 523.1.5 Beispiel: Optionsbewertung eines Capped-Symmetric-Power-Calls . 52

3.2 Finite-Differenzen-Verfahren fur die Warmeleitungsgleichung . . . . . . . . 543.2.1 Einfuhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.2.2 Das Prinzip der Linienmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.2.3 Das Euler-Cauchy-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.2.4 Das ϑ-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.2.5 Auflosung der Gleichungsysteme auf jedem Zeitlevel τj . . . . . . . 573.2.6 Praktische Losung des Gleichungssystems . . . . . . . . . . . . . . . 59

II

1 Grundlagen stochastischerProzesse

1.1 Einfuhrung

1.1.1 Beispiel Teilchenbewegung

Im Folgenden soll die Bewegung eines mikroskopischen Teilchens in einer ruhenden Flussig-keit beschrieben werden. Die Bewegung des Teilchens in der Flussigkeit ist auf die Inter-aktion mit Flussigkeitsmolekulen zuruckzufuhren.

Sei p(t) = m · v(t) der Impuls des Teilchens und v(t) seine Geschwindigkeit zur Zeit t. DiePosition des Teilchens im R

3 zur Zeit t sei durch x(t) gegeben.

R3

x(t)

v(t)

Abbildung 1.1: Impuls des Teilchens.

Newton’sches Prinzip:

p′(t) = m · v′(t) = m · x′′(t) = F (t),

wobei m die Teilchenmasse ist und F (t) die auf das Teilchen wirkende Kraft.

Kraftquellen:

(i) Interaktion mit Flussigkeitsmolekulen

(ii) Schwerkraft

(iii) Druck, Auftrieb

Die Punkte (ii) und (iii) sind vernachlassigbar.

Annahmen fur ein Molekulmodell:

• Flussigkeitsmolekule bewegen sich ungeordnet

• die Geschwindigkeitsverteilung hat den Mittelwert 0

1

1.1 Einfuhrung

• ein Teilchen erfahrt ca. 108 Molekulstoße pro Sekunde

• ein Molekulstoß entspricht einer extrem kurzen Krafteinwirkung

F1(t)

t [10−7 s]

Abbildung 1.2: Krafteinwirkung fur die erste Komponente.

Der Prognosezeitraum ist z. B. 100 Sekunden, das entspricht ca. 1010 Stoße im Prognose-zeitraum. Die Details der Kraftubertragung sind unklar.

1.1.2 Stochastische Modellierung des zeitlich gemitteltenProzesses

Aus p′(t) = F (t) folgt

p(t+∆t) = p(t) +

∫ t+∆t

t

p′(s)ds = p(t) +

∫ t+∆t

t

F (s)ds.

Ansatz mit N Einzelstoßen in [t, t +∆t] mit t1 := t < t2 < . . . < tN < tN+1 := t +∆t:

∫ t+∆t

t

F (s)ds =

N∑

i=1

∫ ti+1

ti

F (s)ds =

N∑

i=1

pi = Nµ+

N∑

i=1

(pi − µ) ,

wobei pi :=∫ ti+1

tiF (s)ds und µ der mittlere Impulsbeitrag ist.

Annahmen und Konsequenzen:

• N ∼ ∆t, solange ∆t hinreichend groß ist (z. B. ∆t = 10−2), d. h. N = γ ·∆t.

• pi − µ ist eine unabhangige, identisch verteilte Zufallsvariable (ZV) mit

E(pi − µ) = 0 und V (pi − µ) = αI <∞

fur i = 1, 2, . . .

2

1.1 Einfuhrung

t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 = t +∆tt1 = t

Abbildung 1.3: Beispiel mit N = 7 Einzelstoßen in [t, t+∆t].

• Fur die ZV SN := 1√αN

∑Ni=1(pi − µ) gilt:

E(SN) =1√αN

N∑

i=1

E(pi − µ) = 0,

V (SN) =

(1√αN

)2 N∑

i=1

V (pi − µ) =1

αN

N∑

i=1

αI3 = I3.

• Fur N → ∞ gilt nach dem zentralen Grenzwertsatz

SN → ξ in Verteilung und ξ ∼ N (0, I3)

⇒N∑

i=1

(pi − µ) =√αN

1√αN

N∑

i=1

(pi − µ) =√αN · SN ≈

√αN · ξ =

√

αγ∆t · ξ,

mit N = γ∆t und der standardnormalverteilten ZV ξ.

• Der mittlere Impulsbeitrag µ entsteht bei Bewegung des Teilchens. Der Impuls istentgegengesetzt zu v(t) gerichtet, d. h. es gilt fur ein β > 0

µ = −βv(t).

Also folgt: Nµ = −γ∆tβv(t).

Resultierende Impulsevolution:

mvn+1 = mvn + (−βγvn∆t) +√αγ

√∆tξn, (1.1)

wobei vn die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt tn := n∆t ist und ξ1, ξ2, . . . , ξn unabhangige,identisch N (0, I3)-verteilte ZV sind.

Beachte dabei, dass (vn)n∈N deshalb ein zeitdiskreter stochastischer Prozess ist.

3

1.1 Einfuhrung

1.1.3 Stochastische Prozesse

1.1 Definition (Stochastischer Prozess)

a) Ein stochastischer Prozess ist eine Familie (Xt)t∈I von Rd-wertigen Zufallsvariablen

Xt : Ω → Rd auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,F , P ). Fur I = N spricht man

von einem zeitdiskreten, fur I = [a, b] von einem zeitkontinuierlichen Prozess.

b) Die Abbildung t 7→ Xt(ω) fur ω ∈ Ω fest heißt Pfad des Prozesses (Xt)t∈I .

Spezialfall: Teilchenmasse m klein im Vergleich zu βγ∆t und√αγ∆t. Setze m = 0 in

(1.1) und erhalte

0 = −βγvn∆t +√αγ

√∆tξn,

d. h. es gilt

∆tvn =

√αγ

βγ

√∆tξn = c

√∆tξn, (1.2)

mit c :=√αγ

βγ.

Auf dem Ortslevel x finden wir mit (1.2)

xn+1 = xn +∆tvn = xn + c√∆tξn, n = 0, 1, 2, . . . (1.3)

x0 = 0.

Induktion liefert dann

xn = c√∆t

n−1∑

k=0

ξk = cbn, (1.4)

mit bn :=√∆t∑n−1

k=0 ξk fur n ≥ 1. Ferner setzen wir b0 := 0.

Da die ξk N (0, I3)-verteilt sind, gilt√∆tξk ∼ N (0,∆tI3). Damit erhalten wir fur den

Prozess (bn)n∈N

• b0 = 0,

• fur m > n gilt: bm − bn =√∆t∑m−1

k=n ξk ∼ N (0,∆t(m− n)I3).

Die Folge (bn)n∈N entspricht einer zeitdiskreten, dreidimensionalen Brownschen Bewegung.

1.2 Definition (Brownsche Bewegung)

a) Eine eindimensionale Brownsche Bewegung ist ein reellwertiger stochastischer Pro-zess (Wt)t≥0 auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,F , P ) mit folgenden Eigen-schaften:

(i) W0 = 0 P -fast sicher,

(ii) (Wt)t≥0 hat stetige Pfade t 7→ Wt(ω),

(iii) fur t > s ≥ 0 gilt (Wt −Ws) ∼ N (0, t− s),

4

1.1 Einfuhrung

(iv) (Wt)t≥0 hat unabhangige Zuwachse, d. h. fur beliebige 0 ≤ t0 < t1 < . . . < tnsind

Wt1 −Wt0 , Wt2 −Wt1 , . . . , Wtn −Wtn−1

unabhangige ZV.

b) Als d-dimensionale Brownsche Bewegung bezeichnen wir einen Rd-wertigen Pro-

zess (Wt)t≥0 =(W 1t , . . . ,W

dt

)

t≥0, dessen Komponenten (W i

t )t≥0 fur i = 1, . . . , dunabhangige eindimensionale Brownsche Bewegungen sind.

Fur unser Beispiel folgt mit (1.4)

xn = cWtn , n ∈ N.

Dabei sollte ∆t hinreichend groß sein und (Wt)t≥0 eine dreidimenionale Brownsche Bewe-gung sein.

Simulation mit Matlab:

% Zweidimensionale Brownsche Bewegung

N = 1000;

dt = 1/N;

figure(1);

W = [0;0];

dW = randn(2,N)*sqrt(dt);

for i = 1:N

W = W + dW(:,i);

plot(W(1),W(2),’b.’);

axis([-3 3 -3 3]);

drawnow;

end

1.1.4 Verallgemeinerung unseres Beispiels

Gemaß (1.2) und (1.3) gilt

xn+1 = xn +

√αγ

βγ

√∆tξn.

Sei nun die Impulsvarianz α der Stoße von der Temperatur und damit vom Ort abhangig,d. h. α = α(x). Damit ergibt sich fur das Orts- und Geschwindigkeitslevel

xn+1 = xn +∆tvn, (1.5)

vn∆t =

√

α(xn)

β√γ

√∆tξn. (1.6)

Gleichung (1.5) wird fur ∆t→ 0 immer genauer, wahrend Gleichung (1.6) verlangt, dass∆t nicht zu klein ist, damit die Anzahl der Stoße in jedem ∆t-Intervall in etwa gleich undhinreichend groß ist.

5

1.1 Einfuhrung

Trick: Betrachte nun den Grenzubergang ∆t → 0 auf hinreichend langen Zeitintervallen(zentraler Grenzwertsatz muss gultig sein). Mit

c(xn) :=

√

α(xn)

β√γ

und

Wtn+1 −Wtn :=√∆tξn

folgt

xn+1 = xn + c(xn)(Wtn+1 −Wtn

), n = 0, 1, 2, . . . (1.7)

x0 = 0.

1.3 BemerkungDie Differenzengleichung (1.7) fur xn kann nicht in eine Differentialgleichung fur einenGrenzprozess Xt umgewandelt werden! Betrachte hierzu

xn+1 − xntn+1 − tn

= c(xn)Wtn+1 −Wtn

tn+1 − tn.

Dann folgt

V

(Wtn+1 −Wtn

tn+1 − tn

)

= V

(Wtn+1 −Wtn

∆t

)

=1

∆t2V(Wtn+1 −Wtn

)

=1

∆t2(tn+1 − tn)I3 =

1

∆tI3 → ∞ fur t→ 0.

Da eine Umwandlung in eine Differentialgleichung nicht moglich ist, wird die Differenzen-gleichung (1.7) in eine Integralgleichung umgewandelt:

xN − x0 =N−1∑

n=0

(xn+1 − xn) =N−1∑

n=0

c(xn)∆Wtn ,

mit ∆Wtn := Wtn+1 −Wtn . Setze nun t := tN , bilde formal den Grenzwert ∆t → 0 und

”finde“

N−1∑

n=0

c(xn)∆Wtn∆t→0−→

∫ t

0

c(Xs)dWs.

Den Ausdruck auf der rechten Seite nennen wir”stochastisches Integral“. Wir erhalten

also formal die Gleichheit

Xt = X0 +

∫ t

0

c(Xs)dWs, (1.8)

falls Xt eindeutig bestimmt ist. (1.8) ist eine Integralgleichung fur den Grenzprozess Xt.Da der Integrator selbst ein stochastischer Prozess ist, mussen wir diesem sogenannten

”stochastischen Integral“ einen Sinn geben.

6

1.2 Stochastisches Integral (Ito-Integral) und Ito-Prozesse

1.2 Stochastisches Integral (Ito-Integral) und

Ito-Prozesse

1.2.1 Beispiel

Wir betrachten wieder unser Beispiel aus dem letzten Kapitel:

xn+1 = xn + c(xn)∆Wtn (n ∈ N),

x0 = 0.

Dies ist aquivalent zu

xN =

N−1∑

n=0

c(xn)∆Wtn (N ∈ N). (1.9)

Beobachtung:

• xn hangt von ∆Wti ab, i = 0, . . . , n− 1,

• der Zuwachs ∆Wtn ist unabhangig von xn.

Betrachte nun die Summe in (1.9) als Integral einer zeitlichen Treppenfunktion. Sei 0 =t0 < t1 < . . . < tN , und sei

ft(ω) :=

N−1∑

n=0

c(xn(ω))1[tn,tn+1[(t) + c(xN (ω))1tN,

mit der Indikatorfunktion

1M(t) :=

1, fur t ∈M,

0, sonst.

Damit gilt bezuglich Integration nach der Zeit

∫ tN

0

fsds =N−1∑

n=0

c(xn)(tn+1 − tn) =N−1∑

n=0

c(xn)∆tn mit ∆tn = tn+1 − tn.

Im Folgenden soll jetzt dem Ausdruck∫ b

aftdWt ein Sinn gegeben werden.

1.2.2 Technische Voraussetzungen dazu

• Sei (Ω,F ,P) ein Wahrscheinlichkeitsraum.

• (t0, t1, . . . , tN) sei eine Zerlegung von [a, b] mit a = t0 < t1 < . . . < tN = b.

• (Wt)t≥0 sei eine Brownsche Bewegung, wobei Wt At-messbar ist mit einer Familie(A)t≥0 von Unter-σ-Algebren von F mit As ⊂ At, falls s < t ((A)t≥0 ist einesogenannte Filtration von F). Ferner enthalte A0 alle F -Nullmengen und Wt −Ws

sei von As unabhangig, falls s < t.

• e0, . . . , eN seien ZV, wobei ej Atj -messbar sei, j = 0, . . . , N .

7


Sei f eine Treppenfunktion mit zufalligen Sprunghohen, d. h.

ft(ω) :=

N−1∑

j=0

ej(ω)1[tj ,tj+1[(t) + eN(ω)1tN(t), (1.10)

In Abbildung 1.4 ist eine Treppenfunktion furN = 5 dargestellt mit vorgegebenen Sprung-stellen ti (i = 0, . . . , 5). Hierbei ist z. B. die Sprunghohe e2(ω)− e1(ω) zufallig.

t1 t2 t3 t4t0 = a t5 = b

e2(ω)− e1(ω)

Abbildung 1.4: Beispiel einer Treppenfunktion fur N = 5.

Fur eine Treppenfunktion wie in (1.10) setzen wir

∫ b

a

ftdWt :=

N−1∑

j=0

ej(Wtj+1

−Wtj

)=

N−1∑

j=0

ej∆Wtj , (1.11)

mit ∆Wtj :=(Wtj+1

−Wtj

).

1.2.3 Eigenschaften des Ito-Integrals

Das folgende Lemma zeigt zwei zentrale Eigenschaften des Ito-Integrals von Treppenfunk-tionen fur eine Fortsetzung auf allgemeine Prozesse.

1.4 LemmaSei f eine Treppenfunktion der Form (1.10) mit ej ∈ L2(Ω), j = 0, . . . , N . Dann geltenfolgende Gleichheiten:

i) E

(∫ b

a

ftdWt

)

= 0 (”Erwartungswert“),

ii) E

((∫ b

a

ftdWt

)2)

=

∫ b

a

E(f 2t

)dt (

”Varianz (Ito-Isometrie)“).

Beweis. Sei ft(ω) :=∑N−1

j=0 ej(ω)1[tj ,tj+1[(t) + eN(ω)1tN (t) mit ej ∈ L2(Ω) fur j =

0, . . . , N , wobei L2(Ω) = f : Ω → R, f messbar, f 2 integrierbar.

8


Zu i):

E

(∫ b

a

ftdWt

)

= E

(N−1∑

j=0

ej∆Wtj

)

=

N−1∑

j=0

E(ej)E(∆Wtj ) = 0,

da ej und ∆Wtj unabhangig sind und E(∆Wtj ) = 0.

Zu ii): Es gilt fur Treppenfunktionen

(∫ b

a

ftdWt

)2

=N−1∑

i,j=0

eiej∆Wti∆Wtj =N−1∑

i=0

e2i (∆Wti)2 + 2

∑

i<j

eiej∆Wti∆Wtj .

Nun sind ei und ∆Wti unabhangig, und damit auch e2i und ∆W 2ti. Also folgt

E(e2i∆W2ti) = E(e2i )E(∆W

2ti).

Da ei ∈ L2(Ω), gilt E(e2i ) <∞. Mit E(∆W 2ti) = E(∆Wti)

2+V (∆Wti) = 0+ti+1−ti = ∆tifolgt

E(e2i∆W2ti) = ∆tiE(e

2i ) <∞. (1.12)

Nach der Holderschen Ungleichung folgt mit ei ∈ L2(Ω) außerdem eiej∆Wtj ∈ L1(Ω) undsomit gilt

E(eiej∆Wti∆Wtj ) = E(eiej∆Wti)E(∆Wtj )︸︷︷︸

=0

= 0.

Damit erhalten wir

E

((∫ b

a

ftdWt

)2)

= E

(N−1∑

i,j=0

eiej∆Wti∆Wtj

)

= E

(N−1∑

i=0

e2i (∆Wti)2

)

=

N−1∑

i=0

E(e2i (∆Wti)

2) (1.12)

=

N−1∑

i=0

∆tiE(e2i ) =

N−1∑

i=0

∆tiE(f 2t |[ti,ti+1[

)

=

∫ b

a

E(f 2t )dt,

da ft eine Treppenfunktion ist.

1.2.4 Prinzipielles weiteres Vorgehen

Ist (f (n))n∈N eine Folge von Treppenfunktionen mit

f (n) → f in L2([a, b]× Ω),

so ist(∫ b

af(n)t dWt

)

n∈Neine Cauchy-Folge in L2(Ω), d. h. es gibt einen Grenzwert dieser

Folge in L2(Ω), der mit∫ b

aftdWt bezeichnet wird (Ito-Integral).

Des Weiteren soll das Ito-Integral auf pfadweise L2-Prozesse ubertragen werden.

9


1.5 DefinitionSei (Ω,F , P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum, p ∈ [1,∞[ und [a, b] ⊂ R ein Intervall. Weitersei Lpω([a, b]) die Menge aller messbaren Funktionen f : [a, b]× Ω → R mit

•

∫ b

a|f |p(t, ω)dt <∞ P -fast sicher,

• ft := f(t, ·) ist At-messbar fur a ≤ t ≤ b.

Fur f ∈ L2ω([a, b]) setzen wir

∫ b

a

ftdWt := P - limn→∞

∫ b

a

f(n)t dWt

wobei (f (n))n∈N eine Folge von Treppenfunktionen ist mit

P - limn→∞

∫ b

a

|f (n)t − ft|2dt = 0.

In der letzten Definition taucht der Begriff der stochastischen Konvergenz auf, dazu fol-gende

1.6 Definition (Stochastische Konvergenz)Fur eine Folge von ZV (Xn)n∈N und eine ZV X definiert man

P - limn→∞

Xn = X :⇐⇒ ∀ε > 0 : limn→∞

P (|Xn −X| > ε) = 0.

Ausgeschrieben ist dies aquivalent zu

∀ε > 0 : limn→∞

P (ω ∈ Ω : |Xn(ω)−X(ω)| > ε) = 0.

1.2.5 Rechenregeln fur stochastische Integrale

Wir notieren einige Rechenregeln fur stochastische Integrale:

• Linearitat: Fur f, g ∈ L2ω([a, b]), α, β ∈ R gilt

∫ b

a

αft + βgt dWt = α

∫ b

a

ftdWt + β

∫ b

a

gtdWt.

• Fur I ⊂ [a, b] messbar setzen wir

∫

I

ftdWt :=

∫ b

a

1I(t)ftdWt.

• Teleskopsumme:

∫ b

a

dWt = Wb −Wa.

• Erwartungswert:

E

(∫ b

a

ftdWt

)

= 0.

10


• Varianz (Ito-Isometrie):

E

((∫ b

a

ftdWt

)2)

=

∫ b

a

E(f 2t

)dt.

1.7 BemerkungDiese Eigenschaften folgen aus den entsprechenden Eigenschaften der Treppenfunktionenund der Konvergenz von

∫ b

a

f(n)t dWt →

∫ b

a

ftdWt in L2(Ω).

1.2.6 Ito-Prozesse

1.8 DefinitionEin Ito-Prozess (Xt)a≤t≤b ist ein stetiger At-adaptierter Prozess, der fur a ≤ t ≤ b eineDarstellung der Form

Xt = Xa +

∫ t

a

fτdτ +

∫ t

a

gτdWτ P -fast sicher

besitzt mit f ∈ L1ω([a, b]) und g ∈ L2

ω([a, b]).

1.9 Bemerkung

a) Wegen Wt = Wa +∫ t

adWτ ist die Brownsche Bewegung ein Ito-Prozess mit f = 0

und g = 1.

b) Mit 1[a,t] = 1[a,s] + 1]s,t] folgt fur a ≤ s ≤ t

Xt = Xa +

∫ s

a

fτdτ +

∫ s

a

gτdWτ

︸︷︷︸

=Xs

+

∫ t

s

fτdτ +

∫ t

s

gτdWτ ,

d. h. es gilt

Xt −Xs =

∫ t

s

fτdτ +

∫ t

s

gτdWτ . (1.13)

Gleichung (1.13) besagt, dass der Zuwachs Xt−Xs selbst ein Ito-Prozess ist. Wir schreibenin diesem Fall

Xt −Xs =:

∫ t

s

dXτ .

Konsequenz:

∫ t

s

dXτ =

∫ t

s

fτdτ +

∫ t

s

gτdWτ .

11


Abkurzende Schreibweise:

dXt = ftdt + gtdWt. (1.14)

Die Gleichung (1.14) wird zur Differentialgleichung (DGL), wenn f oder g vonX abhangen,d. h. ft = A(t, Xt) oder gt = B(t, Xt). Man erhalt damit die

”stochastische DGL“ (SDGL)

dXt = A(t, Xt)dt+B(t, Xt)dWt. (1.15)

Bezeichnung:A(t, Xt)dt heißt ”

Drift-Term“ und B(t, Xt)dWt ”Diffusionsterm“.

1.10 DefinitionSeien A,B ∈ C([0, T ]×R). Ein stetiger At-adaptierter Prozess (Xt)0≤t≤T erfullt die SDGL(1.15) mit Anfangswert X0, falls fur 0 ≤ t ≤ T

Xt = X0 +

∫ t

0

A(s,Xs)ds+

∫ t

0

B(s,Xs)dWs P -fast sicher.

1.11 BemerkungA,B ∈ C([0, T ]× R) impliziert

A(·, X·) ∈ L1ω([0, T ]), B(·, X·) ∈ L2

ω([0, T ]).

1.12 Satz (Existenz- und Eindeutigkeitssatz (ohne Beweis))Es gelte

(i) A,B ∈ C([0, T ]× R),

(ii) |A(t, x)| ≤ K(1 + |x|) und |B(t, x)| ≤ K(1 + |x|) fur x ∈ R (”lineares Wachstum“),

(iii) |A(t, x)−A(t, y)| ≤ L|x− y| und |B(t, x)−B(t, y)| ≤ L|x− y| gleichmaßig in [0, T ]fur x, y ∈ R (

”Lipschitz-Bedingung“).

Ist dann E(X20 ) <∞, so besitzt die SDGL

dXt = A(t, Xt)dt+B(t, Xt)dWt

eine eindeutige Losung (Xt)0≤t≤T auf [0, T ] mit Anfangswert X0.

1.13 BemerkungDie Bedingung (ii) aus obigem Satz ist einschrankend, es gibt aber auch allgemeinereVersionen von diesem Satz.

12


1.2.7 Das Lemma von Ito

1.14 Satz (Ito’s Lemma (ohne Beweis))Seien f ∈ L1

ω([a, b]), g ∈ L2ω([a, b]) und Xt ein Ito-Prozess mit dXt = ftdt + gtdWt. Ist

F ∈ C1,2([a, b]× R) und Ft := F (t, Xt), so gilt die sogenannte Ito-Formel:

dF (t, Xt) =

(∂F

∂t(t, Xt) +

∂F

∂X(t, Xt)ft +

1

2

∂2F

∂X2(t, Xt)g

2t

)

dt +∂F

∂X(t, Xt)gtdWt

=∂F

∂t(t, Xt)dt+

∂F

∂X(t, Xt)dXt +

1

2

∂2F

∂X2(t, Xt)g

2t dt.

1.15 BemerkungDie Ito-Formel entspricht der Kettenregel aus der Differentialrechnung. Falls f , g und wglatt sind, dann gilt

∫ t

s

gdw =

∫ t

s

grw′(r)dr.

Damit gilt fur den Prozess Xt

Xt = X0 +

∫ t

0

frdr +

∫ t

0

grw′(r)dr bzw. in Differentialform

dXt = ftdt+ gtw′tdt,

und wir erhalten

d

dtF (t, Xt) =

∂F

∂t(t, Xt) +

∂F

∂X(t, Xt)(ft + gtw

′t) bzw.

dFt =∂F

∂tdt+

∂F

∂XdXt.

Es gibt also einen Zusatzterm 12∂2F∂X2 g

2t dt in der Ito-Formel. Dieser entsteht, weil Wt nicht

glatt ist. Die Brownsche Bewegung ist so”zappelig“, dass der Zusatzterm nicht ver-

nachlassigbar ist.

1.16 Korollar (Produktregel)Seien Xt und Yt zwei Ito-Prozesse mit

dXt = fXt dt+ gXt dWt,

dYt = fYt dt+ gYt dWt.

Dann gilt

d(Xt · Yt) = XtdYt + YtdXt + gXt gYt dt.

Beweis.

d(Xt · Yt) = d

(1

4

(4XtYt +X2

t −X2t + Y 2

t − Y 2t

))

=1

4

[d((Xt + Yt)

2)− d

((Xt − Yt)

2)].

13

1.3 Modellierung von Prozessen mit Rauschen

Wende nun Ito’s Lemma an mit Zt := Xt+Yt, F1(t, Z) := Z2 undWt := Xt−Yt, F2(t,W ) :=W 2. Damit folgt dann

d(Xt · Yt) =1

4

[

2(Xt + Yt)d(Xt + Yt) + 2 · 12(gXt + gYt )

2dt− 2(Xt − Yt)d(Xt − Yt)

−2 · 12(gXt − gYt )

2dt

]

=1

4

[2XtdYt + 2YtdXt + 2gXt g

Yt dt+ 2XtdYt + 2YtdXt + 2gXt g

Yt dt]

= XtdYt + YtdXt + gXt gYt dt.


1.3.1 Additives Rauschen

Ein Beispiel fur additives Rauschen ist unser Startbeispiel, d. h. die Bewegung eines (mas-selosen) Mikroteilchens in einer Flussigkeit. Die dazugehorige SDGL lautet

dXt = aXtdt+ b(t)dWt,

X0 = X,(1.16)

bzw. in Integralform

Xt −X0 =

∫ t

0

aXsds+

∫ t

0

b(r)dWr.

Der Term b(t)dWt wird als additives Rauschen bezeichnet.

1.17 LemmaDie Losung der Anfangswertaufgabe (1.16) lautet

Xt = exp(at)X + exp(at)

∫ t

0

exp(−as)b(s)dWs.

Beweis. Definiere die Ito-Prozesse

Yt := exp(at) = 1 +

∫ t

0

a exp(as)ds+

∫ t

0

0︸︷︷︸

=gYs

dWs,

Zt :=

∫ t

0

exp(−as)b(s)dWs = 0 +

∫ t

0

0ds+

∫ t

0

exp(−as)b(s)︸︷︷︸

=gZs

dWs

und finde

Xt = XYt + YtZt.

14


Bildet man nun das totale Differential unter Benutzung von Korollar 1.16 und dX = 0,so folgt

dXt = d(XYt

)+ d (YtZt) = XdYt + YtdZt + dYtZt + gYt g

Zt dt

= X(aYtdt) + Yt(exp(−at)b(t)dWt) + aYtdtZt + 0

= (XaYt + aYtZt)dt+ Yt exp(−at)b(t)dWt

= aXtdt+ exp(at) exp(−at)b(t)dWt = aXtdt+ b(t)dWt.

Ferner gilt X0 = X Y0︸︷︷︸

=1

+Y0 Z0︸︷︷︸

=0

= X .

1.3.2 Multiplikatives Rauschen

Im Gegensatz zum additiven Rauschen nimmt die Volatilitat des stochastischen Termsmit der Große der Variable Xt zu bzw. ab. In der Finanzokonomie verwendet man mul-tiplikatives Rauschen oft um Aktienkurse zu modellieren. Die SDGL lautet in diesemFall

dXt = (αt + µtXt)dt+ (βt + σtXt)dWt,

X0 = X.(1.17)

Unterteile (1.17) in einen homogenen und einen inhomogenen Teil:

dXt = µtXtdt+ σtXtdWt︸︷︷︸

homogener Teil

+αtdt+ βtdWt︸︷︷︸

inhomogener Teil

,

X0 = X.

Wie bei gewohnlichen Differentialgleichungen finden wir auch hier die Losung mittelsVariation der Konstanten.

1.18 LemmaDie Losung der Anfangswertaufgabe (1.17) lautet

Xt = ctHt,

wobei

ct = X +

∫ t

0

1

Hs(αs − βsσs)ds+

∫ t

0

1

HsβsdWs,

Ht = exp

(∫ t

0

(

µs −1

2σ2s

)

ds+

∫ t

0

σsdWs

)

.

Beweis. (i) Lose die homogene Gleichung

dHt = µtHtdt+ σtHtdWt, (1.18)

H0 = 1.

Dabei ist (1.18) ein Ito-Prozess mit fHt := µtHt und gHt := σtHt. Wende nun dieIto-Formel an auf F (t, Ht) := lnHt mit ∂

∂HF = 1

Hsowie ∂2

∂H2F = − 1H2 und finde

d(lnHt) =1

HtdHt +

1

2

(−1)

H2t

(gHt )2

︸︷︷︸

=(σtHt)2

dt(1.18)=

1

Ht(µtHtdt+ σtHtdWt)−

σ2tH

2t

2H2t

dt

=

(

µt −σ2t

2

)

dt+ σtdWt.

15


Dies bedeutet

ln(Ht) = ln(H0) +

∫ t

0

(

µs −1

2σ2s

)

ds+

∫ t

0

σsdWs, d. h.

Ht = H0︸︷︷︸

=1

· exp(∫ t

0

(

µs −1

2σ2s

)

ds+

∫ t

0

σsdWs

)

(1.19)

= exp

(∫ t

0

(

µs −1

2σ2s

)

ds+

∫ t

0

σsdWs

)

.

(Gleichung (1.19) impliziert Ht > 0, falls H0 > 0. Man beachte, dass dies einenotwendige Bedingung ist fur einen Aktienpreis.)

(ii) Losung der inhomogenen Gleichung: Mache dazu den Ansatz

Xt = ctHt, d. h. ct =Xt

Ht

.

Wahle nun ct geeignet, d. h. so, dass Xt Gleichung (1.17) lost. Fur ct =Xt

Htfolgt mit

der Produktregel

dct =1

Ht

dXt +Xtd

(1

Ht

)

+ gXt g1H

t dt. (1.20)

Mit G(t, Z) := 1Z, ∂∂ZG = − 1

Z2 ,∂2

∂Z2G = 2Z3 folgt mit der Ito-Formel

d

(1

Ht

)

= − 1

H2t

dHt +1

2

2

H3t

(gHt )2dt

(1.18)= − 1

H2t

(µtHtdt+ σtHtdWt) +1

H3t

σ2tH

2t dt

= − µtHtdt− σt

Ht︸︷︷︸

=:g1Ht

dWt +σ2t

Htdt.

Setze jetzt die letzte Gleichung in (1.20) ein und erhalte

dct =1

Ht

(αt + µtXt)dt+1

Ht

(βt + σtXt)dWt +Xt

(

− µtHt

dt+σ2t

Ht

dt− σtHt

dWt

)

+ (βt + σtXt︸︷︷︸

=gXt

)(− σtHt

︸︷︷︸

=g1Ht

)dt

=1

Ht

(αt − βtσt)dt+1

Ht

βtdWt.

Somit finden wir mit c0 = X sofort

ct = X +

∫ t

0

1

Hs

(αs − βsσs)ds+

∫ t

0

1

Hs

βsdWs.

16


1.3.3 Modellierung in der Finanzokonomie

Als Beispiel betrachten wir nun die Modellierung risikobehafteter Papiere in der Fi-nanzokonomie. Fur den Wert risikiofreier Papiere setzt man an

∆B(t)

B(t)= r∆t,

wobei ∆B(t)B(t)

der relative Wertzuwachs im Intervall [t, t + ∆t] ist, d. h. ∆B(t) = B(t +

∆t)−B(t). r ist die Zinsrate bei kontinuierlicher Verzinsung. Bildet man den Grenzwert∆t→ 0, so erhalt man

dB(t) = rB(t)dt.

Modelliere nun ein risikobehaftetes Papier als Uberlagerung eines risikolosen Papiers mitzufalligem relativen Wertzuwachs

∆S(t)

S(t)= µ∆t+ σ∆Wt.

Der Grenzwert ∆t→ 0 liefert

dS(t) = µS(t)dt+ σS(t)dWt,

S0 = S.

Dies entspricht der SDGL (1.17) mit αt = 0, µt = µ, βt = 0, σt = σ. Die Losung lautethier also nach Lemma 1.18

S(t) = S · exp(∫ t

0

(

µ− 1

2σ2

)

ds+

∫ t

0

σdWs

)

= S · exp((

µ− 1

2σ2

)

t+ σWt

)

,

denn∫ t

0

(µ− 1

2σ2)ds =

(µ− 1

2σ2)t und

∫ t

0σdWs = σ(Wt −W0) = σWt.

1.19 BemerkungBei komplizierteren Modellen konnen µ und σ zeit- und auch preisabhangig sein.

1.3.4 Ausgangspunkt fur die Numerik

Typische Aufgabenstellungen: Berechnung von Erwartungswerten von Prozessen, welchedurch eine SDGL gesteuert werden.

Sei (Xt)0≤t≤T ein Ito-Prozess, so gilt fur 0 ≤ t ≤ T

E(g(Xt)) =

∫

Ω

g(X(t, ω))dP (ω).

Haufig ist (Xt)0≤t≤T durch eine skalare oder vektorwertige SDGL gegeben, z. B.

dXt = a(t, Xt)dt+ b(t, Xt)dWt,

X0 = X.(1.21)

17


Im Allgemeinen ist a(t, Xt) ∈ Rd und b(t, Xt) ∈ R

d×m und Wt ist eine m-dimensionaleBrownsche Bewegung. Gleichung (1.21) ist eine Abkurzung fur

(Xt)i = Xi +

∫ t

0

ai(s,Xs)ds+m∑

j=1

∫ t

0

bij(s,Xs)(dWs)j ,

(X0)i = Xi,

fur i = 1, . . . , d.

Beispiele:

• Innere Spannung eines Polymermolekuls in einer Flussigkeit

• Optionspreisberechnung

V (T, S) = (S −K)+

K S

Abbildung 1.5: Europaischer Call (t = T ).

1.3.5 Optionspreisberechnung

Eine Option ist das Recht auf Kauf (Call-Option) bzw. Verkauf (Put-Option) eines Ba-siswertes (Waren, Aktien etc.) zur Verfallszeit T (europaisch) bzw. bis zur Verfallszeit T(amerikanisch) zu einem bestimmten Preis (Ausubungspreis).

Der Optionspreis ist der Wert, dieses Recht wahrnehmen zu durfen.

Notationen:

• Kurs des Basiswertes zur Zeit t: S(t)

• Wert der Option zur Zeit t: V (t, S(t))

• Ausubungspreis: K

18


• Wert einer Call-Option in t = T : V (T, S) = max 0, S −K =: (S −K)+

• Wert einer Put-Option in t = T : V (T, S) = max 0, K − S = (K − S)+

Idee der Call-Option:Man erhalt den Basiswert zum Preis K und verkauft sofort zum Preis S, wenn S > K.Der Gewinn (Wert der Option) ist in diesem Fall (S −K)+.

V (T, S) = (K − S)+

K

K S

Abbildung 1.6: Europaischer Put (t = T ).

Barrier-Option (Down and Out Call):Dies ist eine Option, die wertlos (oder wertvoll) wird, wenn der Kurs des Basiswertes einevorher festgelegte Schranke B vor dem Verfallstag uber- bzw. unterschreitet.Die zugehorige Auszahlungsfunktion (Call) lautet

V(T, S|[0,T ]

)=

(S(T )−K)+, falls min S(t) : 0 ≤ t ≤ T ≥ B,

0, sonst.

Gesucht ist nun der Wert der Option zum Verkaufszeitpunkt V (0, S(0)), wobei die GroßeS(0) bekannt ist.

Zur Berechnung von Optionspreisen fuhren wir ein einfaches Marktmodell ein mit folgen-den Annahmen:

• risikoloser Zinssatz r(t) ≥ 0 fur Geldanlagen und Kredite

• der Basiswert entwickle sich gemaß

dS(t) = µ(t)S(t)dt+ σ(t)S(t)dWt,

S(0) = S0

(1.22)

• kontinuierlicher Handel ohne Transaktionskosten

19


Damit lasst sich fur eine europaische Option zeigen:

V (0, S0) = E

(

exp

(∫ T

0

−r(s)ds)

· V (T, S(T )))

,

wobei S die SDGL (1.22) lost. Fur konstantes r erhalten wir

V (0, S0) = exp (−rT )E (V (T, S(T ))) .

Man sagt:”Der Optionspreis zur Zeit t = 0 ist gegeben durch den abdiskontierten Erwar-

tungswert des Optionspreises zur Zeit t = T .“

1.3.6 Monte-Carlo-Simulation

Vorgelegt sei die SDGL

dSt = µStdt+ σStdWt, S0 > 0.

Gesucht ist der Prozess (St)0≤t≤T .

Naheliegende Diskretisierung:

• Ersetze [0, T ] durch das Gitter t0, . . . , tN , tj = j∆t, ∆t = TN, j = 0, . . . , N .

| | | | |t0 = 0 t1 t2 t3 . . . tN = N∆t = T

Abbildung 1.7: Numerisches Gitter t0, . . . , tN.

• Ersetze den kontinuierlichen Prozess S : [0, T ]×Ω → R durch den diskreten ProzessS : t0, . . . , tN × Ω → R.

• Ersetze die SDGL fur S durch die stochastische Differenzengleichung

S(tn+1)− S(tn) = µS(tn)∆t + σS(tn)∆Wtn ,

wobei ∆Wtn := W (tn+1) − W (tn) und ∆Wtn unabhangige, N (0,∆t)-verteilte ZVsind.

Diese Ersetzungen fuhren auf den”Euler-Maruyama-Algorithmus“

S(tn+1) = S(tn) + µ∆tS(tn) + σS(tn)ξ(tn), n = 0, . . .N − 1,

S(0) = S0.

Dabei sind die ξ(tn) i. i. d. und N (0,∆t)-verteilt. Dieser Algorithmus ist eine Iterationvon ZV!

Zur Berechnung eines approximativen Pfades S(tj, ω), j = 0, . . . N, ω ∈ Ω durch

S(tn+1, ω) = S(tn, ω) + µ∆tS(tn, ω) + σS(tn, ω)ξ(tn, ω), n = 0, . . .N − 1,

S(0, ω) = S0(ω)

benotigt man also die Zahlen ξ(ti, ω), i = 0, . . . , N − 1.

20

1.4 Pseudozufallszahlen

Fragen:

• Wie erhalt man diese Zahlen?

• Wie gut ist der Euler-Maruyama-Algorithmus?

• Gibt es andere Verfahren zur approximativen Losung einer SDGL?


1.4.1 Einfuhrung

Sei X : Ω → Rd eine vektorwertige ZV auf dem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,A, P ) und

sei (Xi)i∈N eine Folge unabhangiger, identisch wie X verteilter ZV. Fur jedes ω ∈ Ω heißtdann (Xi(ω))i∈N eine Folge von Zufallszahlen (d = 1) bzw. eine Folge von Zufallsvektoren(d > 1).

Deterministisch, d. h. durch einen Algorithmus berechenbare Folgen (Yi)i∈N, die sich nahe-rungsweise wie Zufallszahlen bzw. Zufallsvektoren verhalten, heißen Pseudozufallszahlenbzw. Pseudozufallsvektoren.

1.4.2 Beispiel: Monte-Carlo-Integration

Sei X : Ω → Rd eine vektorwertige ZV und sei g : Rd → R messbar. Dann gilt

E(g(X)) =

∫

Ω

g(X)dP =

∫

Rd

g(v)f(v)dv.

Dabei gilt das zweite Gleichheitszeichen, falls X die Dichte f bezuglich des Lebesgue-Maßes besitzt.

Wir nehmen nun an, zur Verfugung stehen vektorwertige ZV X1, X2, . . . , XN , welche un-abhangig und identisch wie X verteilt sind. Betrachtet man den Mittelwert

SN =1

N

N∑

i=1

g(Xi),

so gilt:

E(SN ) =1

N

N∑

i=1

E(g(Xi)) =1

N

N∑

i=1

E(g(X)) = E(g(X)).

Das zweite Gleichheitszeichen gilt, da g messbar ist und die Xi die gleiche Verteilunghaben wie X . Unter der Annahme V (g(X)) <∞ gilt uberdies

V (SN) = V

(

1

N

N∑

i=1

g(Xi)

)

(∗)=

1

N2

N∑

i=1

V (g(Xi)) =1

N2

N∑

i=1

V (g(X)) =1

NV (g(X)),

wobei (∗) gilt, da die g(Xi) unabhangig sind (da Xi unabhangig und g messbar). Dasdrauf folgende Gleichheitszeichen gilt wiederum wegen der identischen Verteilung von Xi

wie X und der Messbarkeit von g. Damit folgt

V (SN) =1

NV (g(X)) → 0 fur N → ∞.

21


SN variiert also immer weniger um E(SN) = E(g(X)) fur N → ∞.

Das starke Gesetz der großen Zahlen liefert

limN→∞

SN = E(g(X)) P -fast sicher,

d. h. fur fast jedes ω ∈ Ω gilt

limN→∞

SN (ω) = E(g(X)).

Fur”gute“ Pseudozufallsvektoren Y1, Y2, . . . , YN gilt also fur große N

1

N

N∑

i=1

g(Yi) ≈ E(g(X)) =

∫

Rd

g(v)f(v)dv (1.23)

Die Y1, Y2, . . . ubernehmen also die Rolle von X1(ω), X2(ω), . . . Gleichung (1.23) liefert dieIdee der Monte-Carlo-Integration; diese ist besonders interessant fur d groß.

Wichtiger Spezialfall:Sei d = 1 und seien die Pseudozufallszahlen Y1, Y2, . . . ∈ R verteilt wie die ZV X . Furg(v) := 1]−∞,z](v) (z ∈ R fest) folgt

1

N

N∑

i=1

g(Yi) =1

N

N∑

i=1

1]−∞,z](Yi)N groß≈

∫

Ω

1]−∞,z](X)dP =

∫

X≤zdP = P (X ≤ z) = F (z),

wobei F die Verteilungsfunktion von X ist.

1.20 BemerkungEs gilt 1]−∞,z](Yi) = 1 genau dann, wenn Yi ≤ z. Also gibt der Ausdruck 1

N

∑Ni=1 1]−∞,z](Yi)

die relative Haufigkeit der Yi ≤ z an und

FN(z) :=1

N

N∑

i=1

1]−∞,z](Yi)

ist fur N hinreichend groß eine gute Approximation der Verteilungsfunktion von X ander Stelle z.

1.4.3 Konstruktion von Pseudozufallszahlen

Nun soll es um die Konstruktion von Pseudozufallszahlen (PZZ) gehen bei vorgegebenerVerteilung. Wichtig dafur ist folgende zentrale Beobachtung.

1.21 SatzSei F : R → [0, 1] streng monoton wachsend mit limx→−∞ F (x) = 0, limx→∞ F (x) = 1und seien X1, X2, . . . unabhangig und identisch, gleichverteilte ZV auf [0, 1]. Dann sind

F−1(X1), F−1(X2), F

−1(X3), . . .

unabhangig, identisch verteilt mit Verteilungsfunktion F .

22


Beweis. Da X gleichverteilt auf [0, 1], hat X die Dichtefunktion f(x) = 11−0

= 1 furx ∈ [0, 1] und f(x) = 0, sonst. Damit folgt

P (F−1(Xi) ≤ z) = P (Xi ≤ F (z)) =

∫ F (z)

0

1dx = F (z).

1.22 Bemerkung

a) Sind also X1, X2, . . . gute gleichverteilte PZZ auf ]0, 1[, so sind F−1(X1), F−1(X2),

F−1(X3), . . . gute PZZ mit Verteilungsfunktion F . Numerisch ist dies allerdings nurbrauchbar, wenn F−1 direkt verfugbar ist und nicht erst durch Losen einer nichtli-nearen Gleichung F (x) = y berechnet werden muss.

b) Gute gleichverteilte PZZ auf ]0, 1[ bekommt man in Matlab mit dem Befehl rand(genauer: rand(n,m) erzeugt eine n×m-Matrix mit gleichverteilten PZZ auf ]0, 1[).

z

F(z)

•

•

0 1

0

1

0.5

Abbildung 1.8: Diskrete Verteilung.

1.23 Beispiel (Standardnormalverteilung)

F (z) =

∫ z

−∞

1√2π

exp

(

−x2

2

)

dx =1

2+

∫ z

0

1√2π

exp

(

−x2

2

)

dx

=1

2

(

1 +

√

2

π

∫ z

0

exp

(

−x2

2

)

dx

)s:= x√

2=

1

2

(

1 +2√π

∫ z/√2

0

exp(−s2

)ds

)

=1

2

(

1 + erf

(z√2

))

,

wobei erf(

z√2

)

:= 2√π

∫ z/√2

0exp (−s2) ds und erf das Gauß’sche Fehlerintegral ist. Damit

folgt mit z := F−1(y)

y = F (F−1(y)) =1

2

(

1 + erf

(F−1(y)√

2

))

,

23


das bedeutet

2y − 1 = erf

(F−1(y)√

2

)

bzw.

F−1(y) =√2 erf−1(2y − 1).

1.24 BemerkungNoch nicht erfasst sind monotone, aber nicht streng monotone Verteilungen, vgl. Abbil-dungen 1.8 und 1.9. Diese Verteilungsfunktionen

F (z) = P (X ≤ z) =

∫ z

−∞f(s)ds

sind rechtsstetig, d.h. limh→0, h>0F (x+ h) = F (x).

z

F(z)

0

0

1

Abbildung 1.9: Exponentielle Verteilung.

Etwas allgemeiner ist der folgende

1.25 SatzSei F : R → [0, 1] eine Verteilungsfunktion, d. h.

1. F ist monoton wachsend,

2. F ist rechtsstetig,

3. limx→−∞ F (x) = 0 und limx→∞ F (x) = 1.

Weiter sei G(y) := inf x ∈ R : F (x) ≥ y , 0 < y < 1. Dann gilt

G(y) ≤ z ⇐⇒ y ≤ F (z).

Beweis.”⇐“: Sei y ≤ F (z), dann folgt z ∈ x ∈ R : F (x) ≥ y und somit

z ≥ inf x ∈ R : F (x) ≥ y = G(y).

24


”⇒“: Sei nun G(y) = inf x ∈ R : F (x) ≥ y ≤ z. Dann existiert zu ε > 0 hinreichend

klein ein x mit F (x) ≥ y und x ≤ G(y) + ε. Insbesondere haben wir nach Voraus-setzung x ≤ G(y) + ε ≤ z + ε. Die Monotonie von F liefert dann

y ≤ F (x) ≤ F (z + ε)

und mit der Rechtsstetigkeit von F und ε→ 0 folgt

y ≤ F (z).

Konsequenz:Seien X1, X2, . . . i. i. d. und gleichverteilt auf ]0, 1[. Dann gilt mit Satz 1.25

P (G(Xi) ≤ z) = P (Xi ≤ F (z)) = F (z).

Das letzte Gleichheitszeichen gilt aufgrund der Gleichverteilung von Xi auf ]0, 1[. Sindalso X1, X2, . . . i. i. d. und gleichverteilt auf ]0, 1[, so sind G(X1), G(X2), . . . i. i. d. mitVerteilungsfunktion F .

1.26 Beispiel (Pseudo-Munze)Sei X(ω) ∈ 0, 1 , P (X = 0) = P (X = 1) = 1

2. Fur die Verteilungsfunktion F gilt

(vergleiche Abbildung 1.8)

F (z) =

0, fur z < 0,

1

2, fur 0 ≤ z < 1,

1, fur 1 ≤ z.

Dann erhalten wir fur G

G(y) = inf x ∈ R : F (x) ≥ y =

0, fur y ≤ 1

2,

1, fur y >1

2.

1.27 Beispiel (Exponentialverteilung)Die Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung ist fur µ > 0 gegeben durch

F (z) =

∫ z

0

f(s)ds mit f(s) =

1

µexp (−s/µ), fur s ≥ 0,

0, fur s < 0.

Also folgt

F (z) =

1− exp (−z/µ), fur z ≥ 0,

0, fur z < 0

und F−1(z) = −µ ln(1− z) fur z ≥ 0. Damit erhalten wir fur G

G(y) = −µ ln(1− y), 0 < y < 1.

Gleichverteilte PZZ sind also der Ausgangspunkt fur anders verteilte PZZ.

25


1.4.4 Konstruktion von Pseudozufallsvektoren (PZV)

Seien X1, X2, X3, . . . unabhangig und identisch verteilte ZV wie X : Ω → R. Setze dann

Y1 :=

X1...Xm

, Y2 :=

Xm+1...

X2m

, . . .

Y1, Y2, . . . sind i. i. d. mit Verteilung PYi = PX⊗ . . .⊗PX =: PY , d. h. Y1(ω), Y2(ω), . . . sindZufallsvektoren mit Verteilung PY . Entsprechend sind Y1, Y2, . . . gute PZV, fallsX1, X2, . . .gute PZZ sind.

Allgemeinere PZV findet man mit

1.28 SatzSei X : Ω → R

m eine vektorwertige ZV mit Dichte f : Rm → R und seien A :=

x ∈ Rm : f(x) > 0 und h : A → h(A) ⊂ R

m umkehrbar und h−1 differenzierbar. Dannhat die transformierte Zufallsabbildung Y := h(X) die Dichte

f(y) := f(h−1(y)

)·∣∣∣∣det

(∂h−1

∂y(y)

)∣∣∣∣, y ∈ h(A).

Beweisidee. Fur M ⊂ Rm gilt

P (Y ∈ M) = P (h(X) ∈M) = P(X ∈ h−1(M)

)=

∫

h−1(M)

f(x)dx

=

∫

M

f(h−1(y)

)∣∣∣∣det

(∂h−1

∂y(y)

)∣∣∣∣dy.

Beim letzten Gleichheitszeichen wurde der Transformationssatz im Rm angewendet.

1.29 BeispielTypische Anwendung: f(x) = 1 [0,1[m(x), d. h. X ist gleichverteilt auf ]0, 1[m (die Kom-ponenten sind unabhangig und gleichverteilt). Es gilt also: f = 1 auf A := [0, 1[m. Dietransformierte Abbildung Y = h(X) ist dann verteilt mit Dichte

∣∣∣∣det

(∂h−1

∂y(y)

)∣∣∣∣

auf h(A) = h( [0, 1[m).

1.4.5 Die Box-Muller-Methode

Betrachte die Abbildung h : ]0, 1[2 → R2, h(x1, x2) =

√

−2 ln(x1)

(cos(2πx2)sin(2πx2)

)

. Die

Umkehrabbildung von h hat die Gestalt

h−1(y) =

(exp (−(y21 + y22)/2)

arctan(y2y1

)

/2π

)

.

26


Somit folgt∣∣∣∣det

(∂h−1

∂y(y)

)∣∣∣∣=

1

2πexp

(−(y21 + y22)/2

).

Ist also X gleichverteilt auf ]0, 1[2, so ist h(X) nach Satz 1.28 standardnormalverteilt aufR

2. Beachte dabei, dass fur die Dichte f von X gilt: f = 1 [0,1[ 2.

Der Box-Muller-Algorithmus:

• Generiere ]0, 1[-gleichverteilte PZZ X1, X2, X3, . . .

• Dann sind h1(X1, X2), h2(X1, X2), h1(X3, X4), h2(X3, X4), . . . N (0, 1)-verteilte PZZ.

1.30 BemerkungDer Befehl randn erzeugt N (0, 1)-verteilte PZZ in Matlab; genauer: randn(n,m) er-zeugt eine n × m-Matrix von N (0, 1)-verteilten PZZ. Dieser Befehl benutzt den soge-nannten Ziggurat-Algorithmus, welcher ohne die Funktionen

√·, ln(·), cos(·) und sin(·)auskommt.

1.4.6 Korrelierte Normalverteilung (korreliert normalverteiltePZV)

Sei X m-dimensional und N (0, Im)-verteilt, d. h. X hat die Dichtefunktion

f(x) =1

(2π)m/2exp

(

−1

2〈x, x〉

)

.

Derartige PZV erhalt man z.B. mit der Box-Muller-Methode.

Es sei h(X) := µ + AX mit A ∈ Rm×m invertierbar. Wir finden h−1(Y ) = A−1(Y − µ)

und damit ∂h−1

∂Y= A−1. Also hat Y = h(X) nach Satz 1.28 die Dichte

f(y) =1

(2π)m/2exp

(

−1

2

⟨A−1(y − µ), A−1(y − µ)

⟩)

·∣∣det

(A−1

)∣∣

=1

(2π)m/2 |det(A)| exp(

−1

2

⟨(AAT

)−1(y − µ), y − µ

⟩)

.

Mit Σ := AAT folgt det(Σ) = det(A)2 und somit

f(y) =1

(2π)m/2√

det(Σ)exp

(

−1

2

⟨Σ−1(y − µ), y − µ

⟩)

,

d. h. Y ist N (µ,Σ)-verteilt.

Konkretes Vorgehen:Sei µ ∈ R

m und Σ ∈ Rm×m positiv definit gegeben.

1. Bestimme A ∈ Rm×m mit Σ = AAT .

2. Konstruiere N (0, Im)-verteilte PZV X1, X2, . . . (z. B. mit der Box-Muller-Methode).

3. Bilde Yi = µ+ AXi, i = 1, 2, . . .

Dann sind Y1, Y2, . . . N (µ,Σ)-verteilte PZV.

27


1.4.7 Die Cholesky-Zerlegung

Um aus unkorrelierten ZV N (µ,Σ)-verteilte ZV zu erhalten, benotigt man die ZerlegungΣ = AAT .

1.31 SatzSei C ∈ R

N×N symmetrisch und positiv definit. Dann existiert eine eindeutig bestimmtelinke untere Dreiecksmatrix L mit strikt positiven Diagonalelementen, so dass C = L ·LT .

Beweis. Eindeutigkeit: Seien L1 und L2 linke untere Dreiecksmatrizen mit positiver Haupt-diagonale, und es gelte

L1 L1T = C = L2 L2

T .

Da linke untere (rechte obere) Dreiecksmatrizen eine Algebra mit Einheit I bilden, sindsie strukturerhaltend unter Addition, Multiplikation und Invertierung. Also folgt

L2−1 L1 = L2

T(L1

T)−1

=[(L2

−1 L1

)T]−1

,

wobei L2−1 L1 eine linke untere und

[(L2

−1 L1

)T]−1

eine rechte obere Dreiecksmatrix ist.

D. h. H := L2−1 L1 erfullt die Gleichung H =

(HT)−1

und ist gleichzeitig linke untereund rechte obere Dreiecksmatrix. Also ist H diagonal.Damit folgt

H2 = HHT = HH−1 = I ⇒ H = I,

da L1 und L2 strikt positive Diagonalelemente haben. Somit gilt L1 = L2.Die Existenz wird durch das Cholesky-Verfahren gesichert (vgl. Numerik I).

In Matlab erfolgt die Berechnung von C = L · LT fur symmetrisches und positives C mitfolgenden Programmzeilen:

% Cholesky-Zerlegung

R=chol(C);

L=R’;

1.4.8 Konstruktion von PZZ mit Gleichverteilung auf [0, 1]

Sind gleichverteilte PZZ erzeugt, so konnen wir mit den bereits beschriebenen MethodenPZZ mit anderer Verteilung generieren.

Lineare Kongruenzmethode:Erzeuge Zahlen z1, . . . , zN gemaß

zi+1 = (azi + c) mod m, i = 0, . . . , N − 1,

mit z0 ∈ 0, 1, . . . , m− 1 (”seed“). Setze dann

xi :=zim

∈ [0, 1[

und erhalte so PZZ.

28


1.32 Bemerkung

a) Der Ausdruck x mod y entspricht dem Rest bei Division von x mit y.

b) Illustration fur a = c = 3 und m = 5:

z0 = 3,

z1 = (3 · 3 + 3) mod 5 = 2,

z2 = (3 · 2 + 3) mod 5 = 4,

z3 = (3 · 4 + 3) mod 5 = 0,

z4 = (3 · 0 + 3) mod 5 = 3 = z0.

Dieser Generator generiert eine 4-periodische Zahlenfolge. Die Frage ist nun, wanneine solche Rekursion gute PZZ liefert. Offensichtlich mussen a, c und m sorgfaltiggewahlt werden. Insbesondere muss z. B. m groß sein!

1.33 BemerkungJeder solche Algorithmus ist periodisch. Wahle also a, c und m derart, dass die Periodemoglichst groß wird. Aus der Zahlentheorie ist folgender Sachverhalt bekannt:

Keine Schleifenlange < m, falls

1. c und m keine gemeinsamen Teiler haben (z. B. m = 231 und c ungerade, bei 32-bit-Rechnern).

2. a mod g = 1 fur jeden Primfaktor g von m (z. B. m = 231 und g = 2, d. h. a hatdie Form a = 2r + 1).

3. a mod 4 = 1, wenn m ein Vielfaches von 4 ist (z. B. m = 231 und a = 2r + 1, r ≥2 ⇒ a = 222r−2 + 1).

Den Beweis dieser Aussage findet man in Knuth, The Art of Computer Programming(1969). Anzufugen bleibt, dass eine moglichst große Periode nur ein notwendiges, aberkein hinreichendes Kriterium fur gute auf [0, 1[ gleichverteilte PZZ ist.

1.34 BemerkungDer Zufallsgenerator in Matlab basiert auf dem

”lagged“ Fibonacci-Generator (Tausworth,

1965)

zi = (zi−µ + zi−γ) mod m,

xi =zim, i = 0, 1, 2, . . .

Es mussen also max µ, γ viele Zahlen aus 0, . . . , m− 1 vorgegeben werden. In Matlabist max µ, γ = 32, d. h. der Zustand des Generators besteht aus 32 Zahlen und isterhaltlich mit dem Befehl rand(’state’) und zu setzen mit rand(’state’,myseed).

29

2 Numerische Methoden furstochastischeDifferentialgleichungen

2.1 Das Euler-Maruyama-Verfahren

2.1.1 Numerische Methoden

Betrachte die SDGL

dXt = a(t, Xt)dt+ b(t, Xt)dWt, 0 ≤ t ≤ T,

X0 = ξ.(2.1)

Numerische Methoden zur Losung von (2.1):Sei N ∈ N gegeben und fur h := T

Nund tn := nh, n = 0, 1, . . . , N sei Xtn die Approxima-

tion fur Xtn = Xnh. Wir betrachten nun die Diskretisierung von (2.1):

Xtn+1 = Xtn + a(

tn, Xtn

)

h + b(

tn, Xtn

)

∆Wtn ,

X0 = ξ,

mit ∆Wtn :=Wtn+1 −Wtn ∼ N (0, h).

2.1.2 Gute der Approximation

Ziel ist es nun, die Gute der approximativen Losung zu beurteilen. Dazu untersuchen wirTeilstucke der exakten Losung und wahlen zur technischen Vereinfachung das autonomeProblem

dXt = a(Xt)dt+ b(Xt)dWt,

X0 = ξ.(2.2)

Gleichung (2.2) gilt fur jedes Teilintervall von [0, T ], also auch fur [tn, tn+1], d. h. wir haben

Xtn+1 = Xtn +

∫ tn+1

tn

a(Xt)dt+

∫ tn+1

tn

b(Xt)dWt.

Mit der Ito-Formel gilt fur a, b ∈ C2

da(Xt) = a′(Xt)dXt +1

2a′′(Xt)b

2(Xt)dt,

db(Xt) = b′(Xt)dXt +1

2b′′(Xt)b

2(Xt)dt.

30


Mit dXt = a(Xt)dt+ b(Xt)dWt folgt somit durch Integration uber [tn, tn+1]

a(Xt) = a (Xtn)︸︷︷︸

= konstant

+

∫ t

tn

a′(Xs)a(Xs) +1

2a′′(Xs)b

2(Xs)ds+

∫ t

tn

a′(Xs)b(Xs)dWs, (2.3)

b(Xt) = b (Xtn)︸︷︷︸

= konstant

+

∫ t

tn

b′(Xs)a(Xs) +1

2b′′(Xs)b

2(Xs)ds+

∫ t

tn

b′(Xs)b(Xs)dWs. (2.4)

Einsetzen von (2.3) und (2.4) in (2.2) liefert die Struktur

Xtn+1 = Xtn +

∫ tn+1

tn

a(Xtn)dt+

∫ tn+1

tn

b(Xtn)dWt + Resttn

= Xtn + a(Xtn)h+ b(Xtn)∆Wtn + Resttn , (2.5)

mit

Resttn :=

∫ tn+1

tn

[∫ t

tn

a′(Xs)a(Xs) +1

2a′′(Xs)b

2(Xs)ds+

∫ t

tn

a′(Xs)b(Xs)dWs

]

dt

+

∫ tn+1

tn

[∫ t

tn

b′(Xs)a(Xs) +1

2b′′(Xs)b

2(Xs)ds+

∫ t

tn

b′(Xs)b(Xs)dWs

]

dWt. (2.6)

2.1 Bemerkung

a) Resttn besteht aus sechs Doppelintegralen!

b) Vergleiche die Struktur von (2.5) fur die SDGL (2.2) mit dem Euler-Maruyama-Verfahren.

2.1.3 Untersuchung der Doppelintegrale

Wir untersuchen im Folgenden die Doppelintegrale genauer. Betrachte nun den Term mitzweifacher stochastischer Integration, d. h.

∫ tn+1

tn

∫ t

tn

b′(Xs)b(Xs)︸︷︷︸

=:f(Xs)

dWsdWt. (2.7)

Fur f gilt mit dXs = a(Xs)ds+ b(Xs)dWs nach der Ito-Formel

df(Xs) = f ′(Xs)dXs +1

2f ′′(Xs)b

2(Xs)ds

und somit

f(Xs) = f(Xtn) +

∫ s

tn

f ′(Xη)a(Xη) +1

2f ′′(Xη)b

2(Xη)dη +

∫ s

tn

f ′(Xη)b(Xη)dWη. (2.8)

Einsetzen von (2.8) in (2.7) liefert

∫ tn+1

tn

∫ t

tn

b′(Xs)b(Xs)︸︷︷︸

=f(Xs)

dWsdWt = b′(Xtn)b(Xtn)︸︷︷︸

=f(Xtn )

∫ tn+1

tn

∫ t

tn

dWsdWt + Rest3,tn , (2.9)

31


wobei Rest3,tn aus zwei Dreifachintegralen besteht.

Wir berechnen nun in einer Nebenrechnung folgendes Integral:∫ tn+1

tn

(∫ t

tn

dWs

)

︸︷︷︸

=Wt−Wtn

dWt =

∫ tn+1

tn

(Wt −Wtn) dWt =

∫ tn+1

tn

WtdWt −Wtn

∫ tn+1

tn

dWt

︸︷︷︸

=∆Wtn

=

∫ tn+1

tn

WtdWt −Wtn∆Wtn .

Nach dem Lemma von Ito gilt weiter fur F (X) := X2 und Xt :=Wt

dW 2t = 2WtdWt +

1

2· 2 · 12dt ⇐⇒ 1

2dW 2

t =WtdWt +1

2dt.

Also folgt mit Integration uber [tn, tn+1]

1

2W 2tn+1

=1

2W 2tn +

∫ tn+1

tn

WtdWt +

∫ tn+1

tn

1

2dt

︸︷︷︸

=h/2

,

bzw. aquivalent dazu∫ tn+1

tn

WtdWt =1

2

(W 2tn+1

−W 2tn

)− h

2.

Wir finden somit∫ tn+1

tn

∫ t

tn

dWsdWt =1

2

(W 2tn+1

−W 2tn − h

)−Wtn∆Wtn

=1

2

((Wtn+1 +Wtn

)∆Wtn − h

)−Wtn∆Wtn

=1

2

((Wtn+1 −Wtn

)∆Wtn − h

)

=1

2

(∆W 2

tn − h). (2.10)

Einsetzen von (2.10) in (2.9) liefert∫ tn+1

tn

∫ t

tn

b′(Xs)b(Xs)dWsdWt = b′(Xtn)b(Xtn) ·1

2

(∆W 2

tn − h)+ Rest3,tn .

Daraus folgt mit (2.5) und (2.6)

Xtn+1 = Xtn + a(Xtn)h+ b(Xtn)∆Wtn + b′(Xn)b(Xn)1

2

(∆W 2

tn − h)+ Rest′tn ,

wobei

Rest′tn :=

∫ tn+1

tn

[∫ t

tn

a′(Xs)a(Xs) +1

2a′′(Xs)b

2(Xs)ds+

∫ t

tn

a′(Xs)b(Xs)dWs

]

dt

+

∫ tn+1

tn

[∫ t

tn

b′(Xs)a(Xs) +1

2b′′(Xs)b

2(Xs)ds

]

dWt + Rest3,tn

=: Rest2,tn +Rest3,tn ,

d. h. Rest2,tn = Rest3,tn −∫ tn+1

tn

∫ t

tnb′(Xs)b(Xs)dWsdWt. Zu bemerken ist noch, dass Rest2,tn

aus funf Doppelintegralen besteht mit mindestens einer Zeitintegration, wahrend Rest3,tnzwei Dreifachintegrale enthalt (vgl. oben).

32

2.2 Konvergenztheorie fur das Euler-Maruyama-Verfahren

2.2 Konvergenztheorie fur das

Euler-Maruyama-Verfahren

2.2.1 Exakte Losung vs. diskretes Verfahren

Fur die exakte Losung X gilt nach (2.5)

Xtn+1 −Xtn = a(Xtn)h+ b(Xtn)∆Wtn + Resttn , n = 0, 1, 2, . . . ,

X0 = ξ.

Fur das Euler-Maruyama-Verfahren gilt

Xtn+1 − Xtn = a(

Xtn

)

h+ b(

Xtn

)

∆Wtn , n = 0, 1, 2, . . . ,

X0 = ξ.

2.2.2 Analyse des L2-Fehlers

Wir untersuchen im Folgenden den L2-Fehler en+1 := E

(∣∣∣Xtn+1 − Xtn+1

∣∣∣

2)

des Euler-

Maruyama-Verfahrens:

en+1 = E

(∣∣∣Xtn+1 − Xtn+1

∣∣∣

2)

= E

∣∣∣∣∣∣

n∑

k=0

(Xtk+1

−Xtk

)+ X0︸︷︷︸

=ξ

−

n∑

k=0

(

Xtk+1− Xtk

)

+ X0︸︷︷︸

=ξ

∣∣∣∣∣∣

2

= E

∣∣∣∣∣

n∑

k=0

((Xtk+1

−Xtk

)−(

Xtk+1− Xtk

))∣∣∣∣∣

2

= E

(∣∣∣∣∣

n∑

k=0

(

a (Xtk)− a(

Xtk

))

h+

n∑

k=0

(

b(Xtk)− b(

Xtk

))

∆Wtk

+n∑

k=0

b′(Xtk)b(Xtk)1

2

(∆W 2

tk− h)+

n∑

k=0

Rest′tk

∣∣∣∣∣

2

.

Fur eine endliche Folge ai mit festem m gilt

(a1 + a2 + . . .+ am)2 ≤ m

(a21 + a22 + . . .+ a2m

). (2.11)

Somit folgt fur den Fehler en+1 mit m = 4

en+1 ≤ 4E

∣∣∣∣∣

n∑

k=0

(

a (Xtk)− a(

Xtk

))

h

∣∣∣∣∣

2

+ 4E

∣∣∣∣∣

n∑

k=0

(

b (Xtk)− b(

Xtk

))

∆Wtk

∣∣∣∣∣

2

+ 4E

∣∣∣∣∣

n∑

k=0

b′(Xtk)b(Xtk)1

2

(∆W 2

tk− h)

∣∣∣∣∣

2

+ 4E

∣∣∣∣∣

n∑

k=0

Rest′tk

∣∣∣∣∣

2

=: 4 (I) + (II) + (III) + (IV ) . (2.12)

33


2.2.3 Separate Analyse der Terme (I)-(IV )

Summand (I):

∣∣∣∣∣

n∑

k=0

(

a (Xtk)− a(

Xtk

))

h

∣∣∣∣∣

2(2.11)

≤ (n+ 1)h2n∑

k=0

(

a (Xtk)− a(

Xtk

))2

≤ (n + 1)h︸︷︷︸

=tn+1≤T

n∑

k=0

h(

a (Xtk)− a(

Xtk

))2

≤ Thn∑

k=0

L2a

∣∣∣Xtk − Xtk

∣∣∣

2

,

falls a Lipschitz-stetig ist mit Konstante La. Somit erhalten wir fur den Erwartungswert

E

∣∣∣∣∣

n∑

k=0

(

a (Xtk)− a(

Xtk

))

h

∣∣∣∣∣

2

≤ TL2ah

n∑

k=0

E

(∣∣∣Xtk − Xtk

∣∣∣

2)

︸︷︷︸

=ek

,

= TL2ah

n∑

k=0

ek. (2.13)

Summand (II):

Sei Sk :=(

b (Xtk)− b(

Xtk

))

∆Wtk fur k = 0, . . . , N . Dann gilt

E(Sk) = E(

b (Xtk)− b(

Xtk

))

· E (∆Wtk)︸︷︷︸

=0, da ∆Wtk∼N (0,h)

= 0,

E(S2k) = E

((

b (Xtk)− b(

Xtk

))2)

· E(∆W 2

tk

)

︸︷︷︸

=h nach Aufgabe 3, Blatt 1

= E

((

b (Xtk)− b(

Xtk

))2)

· h.

Wir finden somit

E

∣∣∣∣∣

n∑

k=0

(

b (Xtk)− b(

Xtk

))

∆Wtk

∣∣∣∣∣

2

= E

∣∣∣∣∣

n∑

k=0

Sk

∣∣∣∣∣

2

= E

(n∑

k=0

S2k

)

+ 2∑

k<l

E (Sk · Sl)

=

n∑

k=0

E(S2k

)+ 2

∑

k<l

E (Sk · Sl) .

34


Da Sk und Sl stochastisch unabhangig sind, gilt E(Sk · Sl) = E(Sk)E(Sl) = 0 und somitfolgt

E

∣∣∣∣∣

n∑

k=0

(

b (Xtk)− b(

Xtk

))

∆Wtk

∣∣∣∣∣

2

=n∑

k=0

E

((

b (Xtk)− b(

Xtk

))2)

· h

≤ L2bh

n∑

k=0

E

(∣∣∣Xtk − Xtk

∣∣∣

2)

︸︷︷︸

=ek

= L2bh

n∑

k=0

ek, (2.14)

falls b Lipschitz-stetig ist mit Konstante Lb.

Summand (III):

Sei Sk := 12b′(Xtk)b(Xtk)

(∆W 2

tk− h)fur k = 0, . . . , N . Wie oben folgt mit Aufgabe 3,

Blatt 1

E(∆W 2

tk

)= h und E

(∆W 4

tk

)= 3h2, d. h.

E

(1

2

(∆W 2

tk− h))

=1

2

(E(∆W 2

tk

)− h)= 0 und

E

(1

2

(∆W 2

tk− h)2)

=3

2h2 − h2 +

1

2h2 = h2.

Somit gilt fur k = 0, . . . , N

E (Sk) = 0 und E(S2k

)≤ Ch2.

Ferner sind Sk und Sl fur k < l stochastisch unabhangig und damit erhalten wir also

E

∣∣∣∣∣

n∑

k=0

1

2b′(Xtk)b(Xtk)

(∆W 2

tk− h)

∣∣∣∣∣

2

= E

∣∣∣∣∣

n∑

k=0

Sk

∣∣∣∣∣

2

=n∑

k=0

E(S2k

)

︸︷︷︸

≤Ch2

+2∑

k<l

E (Sk · Sl)︸︷︷︸

=E(Sk)E(Sl)=0

≤ C

n∑

k=0

h2

= C(n+ 1)h2

≤ CTh. (2.15)

Summand (IV ):

E

∣∣∣∣∣

n∑

k=0

Rest′tk

∣∣∣∣∣

2

=

n∑

k=0

E((

Rest′tk)2)

+ 2∑

j<k

E(

Rest′tj ·Rest′tk)

︸︷︷︸

=E(

Rest′tj

)

E(Rest′tk)

=

n∑

k=0

E((

Rest′tk)2)

+ 2∑

j<k

E(

Rest′tj

)

E(Rest′tk

). (2.16)

35


Dabei sind die Einzelterme in Rest′tj und Rest′tk entweder mindestens doppelte reine Zei-tintegrale oder es ist mindestens ein stochastisches Integral dabei. Somit folgt fur jedenEinzelterm ET

E(ET) ≤

Ch2, falls doppeltes Zeitintegral ,

0, fur E

(∫ b

a

ftdWt

)

= 0.

Insgesamt erhalten wir fur alle l

E(Rest′tl

)≤ C1h

2.

Somit folgt

n∑

j,k=0j<k

E(

Rest′tj

)

E(Rest′tk

)≤

n∑

j,k=0j<k

C1h2 · C1h

2 = C21h

4

n∑

j,k=0j<k

1 = C21h

4n(n+ 1)

2

≤ 1

2C2

1h2(n2 + n︸︷︷︸

≤2n2

)h2 ≤ C21h

2 n2h2︸︷︷︸

≤T 2

≤ C21h

2T 2. (2.17)

Ferner lasst sich nun das Folgende zeigen:

E((

Rest′tk)2)

≤ C0h3, (2.18)

falls a, a′, a′′ und b, b′, b′′ beschrankt sind. Dabei sind Terme der folgenden Formen zuberechnen.

a) Doppel-Zeit-Integral:

E

(∣∣∣∣

∫ tn+1

tn

∫ t

tn

fsdsdt

∣∣∣∣

2)

= ?

Mit |fs| ≤ C folgt∣∣∣

∫ tn+1

tn

∫ t

tnfsdsdt

∣∣∣ ≤ C

∣∣∣

∫ tn+1

tn

∫ t

tndsdt

∣∣∣ = C

2h2 und somit

E

(∣∣∣∣

∫ tn+1

tn

∫ t

tn

fsdsdt

∣∣∣∣

2)

≤ C1h4.

b) Zeit-Ito-Integral:

E

(∣∣∣∣

∫ tn+1

tn

∫ t

tn

fsdsdWt

∣∣∣∣

2)

= ?

Mit Hilfe der Ito-Isometrie, d. h.

E

((∫ d

c

fsdWs

)2)

=

∫ d

c

E(f 2s

)ds

und |fs| ≤ C folgt

E

(∣∣∣∣

∫ tn+1

tn

(∫ t

tn

fsds

)

dWt

∣∣∣∣

2)

=

∫ tn+1

tn

E

(∣∣∣∣

∫ t

tn

fsds

∣∣∣∣

2)

dt

≤∫ tn+1

tn

E(C2h

2)dt ≤ C2h

3.

36


c) Dreifach-Ito-Integral:

E

(∣∣∣∣

∫ tn+1

tn

∫ t

tn

∫ s

tn

fηdWηdWsdWt

∣∣∣∣

2)

= ?

Wie in b) folgt mit dreimaliger Anwendung der Ito-Isometrie und |fη|2 ≤ C

E

(∣∣∣∣

∫ tn+1

tn

∫ t

tn

∫ s

tn

fηdWηdWsdWt

∣∣∣∣

2)

=

∫ tn+1

tn

∫ t

tn

∫ s

tn

E(f 2η

)dηdsdt

≤∫ tn+1

tn

∫ t

tn

∫ s

tn

Cdηdsdt ≤ C3h3.

Somit folgt fur C0 geeignet die Abschatzung (2.18). Wir erhalten also

n∑

k=0

E((

Rest′tk)2)

≤n∑

k=0

C0h3 = (n+ 1)h

︸︷︷︸

≤T

C0h2 ≤ C0Th

2. (2.19)

Einsetzen von (2.19) und (2.17) in (2.16) liefert

E

∣∣∣∣∣

n∑

k=0

Rest′tk

∣∣∣∣∣

2

=n∑

k=0

E((

Rest′tk)2)

+ 2∑

j<k

E(

Rest′tj

)

E(Rest′tk

)

≤ C0Th2 + 2C2

1T2h2 ≤ Ch2. (2.20)

2.2.4 Das diskrete Gronwall-Lemma

Mit einer generischen Konstante C > 0 erhalten wir aus (2.12), (2.13), (2.14), (2.15) und(2.20) die Abschatzung

en+1 ≤ Chp + Chn∑

k=0

ek (2.21)

mit p = 1.

2.2 BemerkungMan beachte, dass ohne den Term (III) die Abschatzung (2.21) mit p = 2 gelten wurde.

Fur die weitere Abschatzung von en+1 benotigen wir noch das folgende Lemma.

2.3 Lemma (Diskretes Gronwall-Lemma)Seien b, d ≥ 0 und (un)n∈N eine reelle Folge mit un ≥ 0. Ferner gelten folgende Abschatzun-gen:

u0 ≤ d und un ≤ d+ b

n−1∑

k=0

uk, n = 1, 2, . . .

Dann gilt

un ≤ d exp(nb), n = 1, 2, . . .

37


Beweis. Siehe Ubung.

2.4 KorollarFur den Erwartungswert der Differenz zwischen exakter und diskreter Losung gilt

E(∣∣∣Xtn − Xtn

∣∣∣

)

≤√

C exp(CT ) ·√h,

wobei n ∈ N mit nh ≤ T .

Beweis. Fur die Abschatzung (2.21) gilt nach dem diskreten Gronwall-Lemma mit d :=Ch und b := Ch

en ≤ Ch exp(Cnh) ≤ C exp(CT ) · h.

Mit der Jensenschen Ungleichung fur den Erwartungswert, d. h.

E (|A|)2 ≤ E(|A|2

) (A ist integrierbare ZV, ϕ(x) = x2

)

folgt somit


∣∣∣

)

≤√

E

(∣∣∣Xtn − Xtn

∣∣∣

2)

≤ √en ≤

√

C exp(CT ) ·√h, n = 0, . . . , N.

2.2.5 Starke Konvergenz

Wir kommen nun zum Begriff der starken Konvergenz.

2.5 Definition (Starke Konvergenz)Sei (Xt)0≤t≤T die Losung der SDGL

dXt = a(t, Xt)dt+ b(t, Xt)dWt,

X0 = X

und sei Xtn , tn = nh, 0 ≤ nh ≤ T eine Approximation von (Xt)0≤t≤T . Wir sagen Xkonvergiert stark gegen X, wenn gilt:

ε(h) := sup


∣∣∣

)

: 0 ≤ nh ≤ T

→ 0 fur h→ 0.

Die Konvergenz ist von der Ordnung γ > 0, falls eine Konstante C > 0 existiert mit

ε(h) ≤ Chγ , 0 < h ≤ h0

fur ein h0 > 0.

Nach dem bisher Gezeigten erhalten wir nun folgendes Konvergenzresultat.

2.6 SatzFur Lipschitz-stetige C2-Funktionen a und b, deren partielle Ableitungen bis zur Ord-nung 2 ebenfalls beschrankt sind, konvergiert das Euler-Maruyama-Verfahren stark mitder Ordnung 1

2.

38


2.2.6 Numerische Bestimmung der Konvergenzordnung

Seien h0 > h1 > h2 > . . . > hm vorgegeben. Wir berechnen hierzu eine moglichst guteApproximation ε(hi) des maximalen zeitlichen Fehlers ε(hi) (i = 0, . . . , m) und zeichnendas Paar (ln(hi), ln (ε(hi))) in ein (ln(h), ln (ε))-Diagramm, vgl. Abbildung 2.1.

Die Steigung der Ausgleichsgeraden entspricht annahernd der Konvergenzordnung, dennfur ε(h) = Chγ gilt

ln (ε(h)) = ln(C) + ln (hγ) = γ · ln(h) + ln(C),

wobei γ die Steigung der Geraden ist.

ln(ε)

ln(h)

ln(h4) ln(h3) ln(h2) ln(h1) ln(h0)

Abbildung 2.1: Ausgleichsgerade mit 4 verschiedenen Schrittweiten.

2.7 Bemerkung (Berechnung von ε(h))

a) Da wir zur Berechnung vom Erwartungswert E(∣∣∣Xtn − Xtn

∣∣∣

)

die exakte Losung

einer SDGL benotigen, wahlen wir fur das Experiment eine einfache SDGL, vonwelcher die Losung bekannt ist, z. B.

dXt = aXtdt+ bXtdWt,

X0 = X

mit der Losung Xt = X exp((a− 1

2b2)t+ bWt

).

b) Wir brauchen E(∣∣∣Xtn − Xtn

∣∣∣

)

, tn = nh, 0 ≤ tn ≤ T . Den Erwartungswert konnen

wir jedoch nur approximieren. Man benotigt hierzu PZZ ηi (i = 1, . . . ,M), welche

wie∣∣∣Xtn − Xtn

∣∣∣ verteilt sind. Dann gilt


∣∣∣

)

≈ 1

M

M∑

i=1

ηi,

39


fur M ∈ N hinreichend groß.

Die PZZ ηi (i = 1, . . . ,M) konstruieren wir durch M unabhangige Berechnungen von∣∣∣Xtn(ω)− Xtn(ω)

∣∣∣. Hierfur benotigen wir M unabhangige Brownsche Bewegungen

W(1)t (ω), . . . ,W

(M)t (ω).

Es gilt

W(k)tm (ω) =

m−1∑

j=0

∆W(k)tj (ω) =:

m−1∑

j=0

ξ(k)tj , k = 1, . . . ,M, (2.22)

wobei ∆W(k)tj ∼ N (0, h).

Generiere also die N ·M PZZ

ξ(1)t0 , . . . , ξ

(1)tN−1

, ξ(2)t0 , . . . , ξ

(2)tN−1

, . . . , ξ(M)t0 , . . . , ξ

(M)tN−1

,

wobei alle N (0, h)-verteilt sind, und bilde damit W(k)tm (ω), k = 1, . . . ,M, m = 1, . . . , N

gemaß Gleichung (2.22). Dabei muss M hinreichend groß gewahlt werden, damit ε(h) ≈ε(h).

2.2.7 Fehler bei der Erwartungswertberechnung

Seien X1, X2, X3, . . . i. i. d. wie X mit E(X) = µ und V (X) = σ2 <∞. Setze

SM :=1

M

M∑

i=1

Xi

und finde

E(SM) =1

M

M∑

i=1

E(Xi) =1

M

M∑

i=1

E(X) = µ,

V (SM) =1

M2

M∑

i=1

V (Xi) =1

M2

M∑

i=1

V (X) =σ2

M.

Ferner ist nach dem zentralen Grenzwertsatz

SM :=SM − µ√

V (SM)

fur M hinreichend groß approximativ N (0, 1)-verteilt.

Herleitung eines Konfidenzintervalls:Sei α vorgegeben. Bestimme dazu r > 0 mit

P(∣∣∣SM

∣∣∣ ≤ r

)

= 1− α.

40


Da SM approximativ N (0, 1)-verteilt ist, folgt

1− α =

∫ r

−r

1√2π

exp(−x2/2

)dx

=2√2π

∫ r

0

exp(−x2/2

)dx

(∗)=

2√2π

∫ r/√2

0

exp(−w2

)√2dw

=2√π

∫ r/√2

0

exp(−w2

)dw

= erf

(r√2

)

.

Dabei wurde in (∗) die Substitution w := x√2, dw = dx√

2vorgenommen. Damit folgt fur r

√2 · erf−1(1− α) = r.

Wir erhalten also mit einer Wahrscheinlichkeit von 1− α

SM ∈ [−r, r] = r[−1, 1].

Mit

SM =SM − µ√

V (SM)=SM − µ

σ√M

=

√M (SM − µ)

σ

folgt

SM =σSM√M

+ µ

und damit

SM ∈ µ+σ√Mr[−1, 1] = µ+

σ√M

√2 · erf−1(1− α)[−1, 1]

mit einer Wahrscheinlichkeit von 1− α.

Fur α = 0.01 erhalten wir√2 erf−1(1− α) ≈ 2.6 und somit

SM ∈ µ+2.6σ√M

[−1, 1]

mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.99.

Ferner lesen wir ab: Die Intervallbreite verhalt sich in M wie 1√M

und in der Varianz wie

σ =√

V (X). In unserem Fall gilt

ε(tn, h) =1

M

M∑

i=1

ηi(tn, h),

41

2.3 Weitere numerische Verfahren und schwache Konvergenz

wobei ε(tn, h) die Approximation des zeitlichen Fehlers ε(tn, h) = E(∣∣∣Xtn − Xtn

∣∣∣

)

zur

Zeit tn mit Schrittweite h ist. Dabei sind die ηi(tn, h) verteilt wie∣∣∣Xtn − Xtn

∣∣∣.

Aus der Konvergenzanalyse folgt (vgl. Beweis zu Korollar 2.4)

E


∣∣∣

2)

≤ Ch

und somit

V(∣∣∣Xtn − Xtn

∣∣∣

)

= E


∣∣∣

2)

︸︷︷︸

≤Ch

−E(∣∣∣Xtn − Xtn

∣∣∣

)2

︸︷︷︸

≥0

≤ Ch,

d. h.

σtn =

√

V(∣∣∣Xtn − Xtn

∣∣∣

)

≤ C√h.

Mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.99 erhalten wir also

ε(tn, h)− ε(tn, h) ∈2.6σtn√M

[−1, 1] ⊂ C1

√h√M

[−1, 1].

Insgesamt folgt dann

|ε(tn, h)| ≤ |ε(tn, h)− ε(tn, h)|+ |ε(tn, h)|

≤ C1

√h√M

+ C2

√h =

√h

(C1√M

+ C2

)

≤ C3

√h unabhangig von M.

Man beachte dabei aber, dass der zentrale Grenzwertsatz greifen sollte, d. h. M hinrei-chend groß gewahlt ist.

2.3 Weitere numerische Verfahren und schwache

Konvergenz

2.3.1 Das Milstein-Verfahren

Betrachte die SDGL

dXt = a(Xt)dt+ b(Xt)dWt, 0 ≤ t ≤ T,

X0 = ξ.

Als Verbesserung des Euler-Maruyama-Verfahrens setzen wir fur N ∈ N, h = TN> 0, tn =

nh, n = 0, . . . , N folgendermaßen an:

Xtn+1 = Xtn + a(

Xtn

)

h+ b(

Xtn

)

∆Wtn +1

2b′(

Xtn

)

b(

Xtn

) (∆W 2

tn − h),

X0 = ξ.

42


Dies ist das sogenannte”Milstein-Verfahren“.

Fur den L2-Fehler en+1 = E

(∣∣∣Xtn+1 − Xtn+1

∣∣∣

2)

erhalt man nun

en+1 ≤ 4E

∣∣∣∣∣

n∑

k=0

(

a (Xtk)− a(

Xtk

))

h

∣∣∣∣∣

2

+ 4E

∣∣∣∣∣

n∑

k=0

(

b (Xtk)− b(

Xtk

))

∆Wtn

∣∣∣∣∣

2

+ 4E

∣∣∣∣∣

n∑

k=0

(

b′(Xtk)b(Xtk)− b′(Xtk)b(Xtk)) 1

2

(∆W 2

tk− h)

∣∣∣∣∣

2

+ 4E

∣∣∣∣∣

n∑

k=0

Rest′tk

∣∣∣∣∣

2

=: 4 (I) + (II) + (III) + (IV ) ,wobei sich im Vergleich zum Euler-Maruyama-Verfahren nur der Term (III) geandert hat.Unter der Voraussetzung, dass die Funktion b′(x)b(x) global Lipschitz-stetig ist, erhaltman nun fur diesen Term eine Abschatzung wie fur die Terme (I) und (II), d. h.

(III) ≤ Chn∑

k=0

ek.

Insgesamt erhalt man damit aus (I)–(IV ) die Abschatzung

en+1 ≤ Chp + Chn∑

k=0

ek

mit p=2 und einer universellen Konstanten C > 0 (vgl. (2.21) fur das Euler-Maruyama-Verfahren).

Analog zum Euler-Maruyama-Verfahren folgt dann


∣∣∣

)

≤√

C exp(CT ) · h,

fur n ∈ N mit nh ≤ T , d. h. wir erhalten starke Konvergenz der Ordnung 1 unter geeig-neten Voraussetzungen.

2.8 Bemerkung

a) Ersetzt man den Term b′(Xt)b(Xt) durch eine Differenzenapproximation, so ergebensich Verfahren vom Runge-Kutta-Typ.

b) Die Ubertragung des Milstein-Verfahrens auf Systeme von SDGL ist nicht trivial,denn die Große

∫ tn+1

tn

∫ t

tn

dW (i)s dW

(j)t

lasst sich nicht analytisch berechnen, wenn W (i) und W (j) unabhangige BrownscheBewegungen sind.

43


2.3.2 Schwache Konvergenz

Starke Konvergenz bezieht sich auf die maximal erwartete Trajektorienabweichung, wobeidas Fehlermaß durch

ε(h) = sup


∣∣∣

)

: 0 ≤ nh ≤ T

gegeben ist. Oft ist aber lediglich die Große E (g(Xt)) fur gewisse Funktionen g vonInteresse. Der relevante Fehler lautet dann

ωg(h) := sup∣∣∣E (g (Xtn))− E

(

g(

Xtn

))∣∣∣ : 0 ≤ nh ≤ T

.

Dies fuhrt zu folgender

2.9 Definition (Schwache Konvergenz)

Sei X = (Xt)0≤t≤T die Losung einer SDGL auf [0, T ] und sei X =(

Xtn

)

0≤nh≤T, h =

TN> 0 eine Approximation. Wir sagen X konvergiert schwach gegen X bezuglich einer

Klasse C von Testfunktionen, falls fur den Fehler

ωg(h) = sup∣∣∣E (g (Xtn))− E

(

g(

Xtn

))∣∣∣ : 0 ≤ nh ≤ T

gilt

∀g ∈ C : limh→0

ωg(h) = 0.

Die Konvergenz ist von der Ordnung γ > 0, falls zu jedem g ∈ C eine Konstante C > 0existiert mit

ωg(h) ≤ Chγ, 0 < h ≤ h0

fur ein h0 > 0.

2.10 BemerkungFur Lipschitz-stetige Funktionen g mit Konstante Lg gilt

ωg(h) = sup ∣∣∣E (g (Xtn))−E

(

g(

Xtn

))∣∣∣

︸︷︷︸

≤E(|g(Xtn)−g(Xtn)|)

: 0 ≤ nh ≤ T

≤ Lg sup


∣∣∣

)

: 0 ≤ nh ≤ T

= Lgε(h).

Dies bedeutet, dass die schwache Konvergenzordnung mindestens so groß ist wie die starkeKonvergenzordnung.

2.11 Beispiel

a) Gesucht sei E(Xt), d. h. E(g(Xt)) mit g(x) = x, und Xt genuge der SDGL

dXt = aXtdt+ bXtdWt,

X0 = ξ

44


bzw.

Xt = X0︸︷︷︸

=ξ

+

∫ t

0

aXsds+

∫ t

0

bXsdWs.

Fur den Erwartungswert gilt somit

E(Xt) = E(ξ) + E

(∫ t

0

aXsds

)

+ E

(∫ t

0

bXsdWs

)

︸︷︷︸

=0

= E(ξ) +

∫ t

0

aE(Xs)ds

⇒ d

dtE(Xt) = aE(Xt), E(X0) = E(ξ),

d. h.

E(Xt) = E(ξ) exp(at).

Wenden wir das Euler-Maruyama-Verfahren an, so gilt

E(

Xtn+1

)

= E(

Xtn

)

+ aE(

Xtn

)

h, n = 0, 1, 2, . . . ,

E(

X0

)

= E(ξ).

Dies entspricht dem Euler-Verfahren fur gewohnliche DGL der Form

u = au,

u(0) = E(ξ).

Das Euler-Verfahren konvergiert mit Ordnung 1 gegen die Losung E(Xt) = E(ξ) ·exp(at), d. h.

ωid(h) = sup∣∣∣E (Xtn)−E

(

Xtn

)∣∣∣ : 0 ≤ nh ≤ T

≤ Ch.

In diesem Beispiel ist die schwache Konvergenzordnung 1 also besser als die starkeKonvergenzordnung 1

2.

b) Bestimmung der schwachen Konvergenzordnung bei rein numerischer Auswertung

von E(

Xtn

)

:

Bestimme durch M-fache Wiederholung des Euler-Maruyama-Algorithmus mit un-abhangigen Zuwachsen die Großen X

(1)tn , X

(2)tn , . . . , X

(M)tn . Dann gilt

∣∣∣∣∣E(

Xtn

)

− 1

M

M∑

i=1

X(i)tn

∣∣∣∣∣≤ C ·

σ(

Xtn

)

√M

= C ·

√

V(

Xtn

)

√M

mit hoher Wahrscheinlichkeit (vgl. Konfidenzintervallbestimmung). Somit folgt fur

45


g = id

ωid(tn, h) =

∣∣∣∣∣E (Xtn)−

1

M

M∑

i=1

X(i)tn

∣∣∣∣∣

≤∣∣∣E (Xtn)−E

(

Xtn

)

︸︷︷︸

=ωid(tn,h)

∣∣∣+

∣∣∣∣∣E(

Xtn

)

− 1

M

M∑

i=1

X(i)tn

∣∣∣∣∣

≤ ωid(tn, h) + C ·

√

V(

Xtn

)

√M

= ωid(tn, h) +C√M.

Beachte dabei: V(

Xtn

)

verschwindet nicht fur h→ 0, denn

V(

Xtn

)

→ V (Xtn) fur h→ 0.

Mit ωid(tn, h) ≤ Ch folgt damit

ωid(tn, h) ≤ C

(

h +1√M

)

.

Konsequenz: M ∼ 1h2, damit ωid(tn, h) ≤ Ch. Ansonsten sehen wir bei zu klein

gewahltem M eine entsprechend niedrigere Ordnung fur ωid(tn, h).

Wie sieht es fur Funktionen g mit g(x) 6= x aus? Unter geeigneten Voraussetzungen lasstsich fur die Funktionenklasse

C4p (R) :=

f ∈ C4(R) : f besitzt polynomiales Wachstum

zeigen, dass das Euler-Maruyama-Verfahren schwach konvergent der Ordnung 1 bezuglichaller g ∈ C4

p (R) ist.

Weitere Konsequenzen:

Strebt man schwache Konvergenz an, so mussen Pfade von X keine gute Approximationder Pfade von X sein. Nur die Verteilung von X muss passen; dies bedeutet Folgendes:Sei

Ytn+1 = Ytn + a(

Ytn

)

h+ b(

Ytn

)√hξn, n = 0, 1, 2, . . . , N − 1,

Y0 = η(2.23)

mit ξ1, ξ2, . . . , ξN i. i. d. wie ξ mit E(ξ) = 0 und V (ξ) = 1 gegeben. Dies entspricht demEuler-Maruyama-Algorithmus fur

dXt = a(Xt)dt+ b(Xt)dWt,

X0 = η,

falls ξ1, ξ2, . . . , ξN i. i. d. wie ξ mit ξ ∼ N (0, 1). Dann gilt: Die”Approximation (2.23)“

besitzt die schwache Konvergenzordnung 1.

Mogliche Realisierung der ZV ξi in (2.23): ξ ∈ −1, 1 , P (ξ = 1) = P (ξ = −1) = 12und

46


somit E(ξ) = 0 und V (ξ) = 1.

Anwendung bei Optionsbewertung:Betrachte eine europaische Option in einem einfachen Marktmodell. Der Preisprozess desBasiswertes S sei gegeben durch die SDGL

dSt = rStdt+ σStdWt, 0 ≤ t ≤ T,

S0 = ξ

und die Auszahlungsfunktionen zur Verfallszeit T seien

• Call: V (S) = V (T, S) = (S −K)+,

• Put: V (S) = V (T, S) = (K − S)+,

wobei K der Ausubungspreis ist. Der Optionswert zur Zeit t = 0 ist dann gegeben durchden Erwartungswert

V0 = E (exp(−rT )V (ST )) .

Er ist von der Form E (g(ST )) mit g(s) = exp(−rT )V (s). Beachte hier, dass g /∈ C4p(R),

d. h. das Konvergenzresultat fur Funktionen der Klasse C = C4p (R) ist nicht anwendbar.

Ob ein schwaches Konvergenzresultat trotzdem gultig ist, kann numerisch getestet werden.Die Optionsbewertung ist ein gutes Beispiel hierfur, da wegen der Black-Scholes-Formelndie exakten Erwartungswerte bekannt sind.

2.12 Bemerkung (Black-Scholes-Optionsbewertung)Call:

V0 = ξΦ(d1)−K exp(−rT )Φ(d2)mit

d1 =1

σ√T

(

ln

(ξ

K

)

+

(

r +1

2σ2

)

T

)

,

d2 = d1 − σ√T

und Φ ist die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung.Put:

V0 = K exp(−rT )Φ(−d2)− ξΦ(−d1).Hierbei ist T die Verfallszeit und ξ der Anfangswert der SDGL.

Allgemeinere Situation:Sei der Preisprozess modelliert durch die SDGL

dSt = rtStdt+ σtStdWt,

S0 = ξ.(2.24)

Der Optionswert zur Zeit t = 0 ist dann gegeben durch

V0 = E

(

exp

(

−∫ T

0

rsds

)

V (ST )

)

mit der Abzinsung exp(

−∫ T

0rsds

)

und der Auszahlung V (ST ).

47


Berechnungsalgorithmus:

(i) Simuliere M unabhangige Realisierungen V (i) der Auszahlung V : ω 7→ V (ST (ω))

und e(i) der Abzinsung ω 7→ exp(

−∫ T

0rs(ω)ds

)

.

(ii) Wahle die Große 1M

∑Mi=1 e

(i)V (i) als Approximation von V0.

Zu (i):

Simuliere zunachst einen approximativen Pfad S(i) durch Losen der SDGL (2.24) mit demEuler-Maruyama-Verfahren. Berechne dann V (i) aus S(i).

Fur die Auszahlungsfunktion

V (ST ) =

(

ST − 1

T

∫ T

0

Stdt

)+

einer Asiatischen Option muss

1

T

∫ T

0

Stdt

entsprechend approximiert werden, z. B.

1

T

∫ T

0

Stdt ≈1

T

N−1∑

k=0

S(i)tk

· h, h =T

N.

2.13 BemerkungDer Fehler bei der Erwartungswertberechnung ist proportional zu 1√

Mund zur Standard-

abweichung (d. h.√Varianz) der relevanten ZV (vgl. Konfidenzintervallbestimmung). Er

kann also verkleinert werden, in demM entsprechend groß gewahlt wird oder man versuchtmit geeigneten Verfahren die Varianz der relevanten ZV zu reduzieren.

48

3 Parabolische partielleDifferentialgleichungen undOptionspreisbewertung

3.1 Die Fokker-Planck-Gleichung

3.1.1 Einfuhrung

Betrachte die skalare SDGL

dXt = a(t, Xt)dt+ b(t, Xt)dWt, 0 ≤ t ≤ T,

X0 = ξ, ξ ∈ R.

Angenommen, ψ(t, x) sei die Dichte der Verteilung von Xt. Dann gilt

E (g(Xt)) =

∫

R

g(x)ψ(t, x)dx.

Um ψ zu bestimmen, verwenden wir beliebige, glatte Testfunktionen

f : R× R → R.

Die Ito-Formel liefert dann

df(t, Xt) =

(∂f

∂tdt +

∂f

∂xdXt +

1

2

∂2f

∂x2b2dt

)

(t, Xt)

=

(∂f

∂t+ a

∂f

∂x+

1

2b2∂2f

∂x2

)

(t, Xt)dt+

(

b∂f

∂x

)

(t, Xt)dWt.

Weiter gilt∫

R

f(t, x)ψ(t, x)dx = E (f(t, Xt)) = E

(

f(0, X0) +

∫ t

0

df(τ,Xτ)

)

= E (f(0, X0))︸︷︷︸

=∫

Rf(0,x)ψ(0,x)dx

+E

(∫ t

0

(∂f

∂t+ a

∂f

∂x+

1

2b2∂2f

∂x2

)

(τ,Xτ )dτ

)

+ E

(∫ t

0

(

b∂f

∂x

)

(τ,Xτ )dWτ

)

︸︷︷︸

(∗)=0

.

Dabei gilt (∗) aufgrund der Erwartungswerteigenschaft des stochastischen Integrals. Esfolgt also∫

R

f(t, x)ψ(t, x)dx =

∫

R

f(0, x)ψ(0, x)dx

+

∫

R

∫ t

0

(∂f

∂t+ a

∂f

∂x+

1

2b2∂2f

∂x2

)

(τ, x) · ψ(τ, x)dτdx (3.1)

49


fur beliebige, glatte Funktionen f .

Die Dichte ψ ist somit schwache Losung einer partiellen DGL (PDGL)!

3.1.2 Die 1-dimensionale Fokker-Planck-Gleichung

Sei ψ hinreichend glatt und die Testfunktionen f besitzen einen kompakten Trager. Dannlasst sich die schwache Formulierung der PDGL in eine starke umschreiben. Es gilt

∫

R

∫ t

0

(∂f

∂t· ψ)

(τ, x)dτdx =

∫

R

[(f · ψ)(τ, x)]τ=tτ=0 dx −∫

R

∫ t

0

(

f · ∂ψ∂t

)

(τ, x)dτdx.

Analog gilt

∫ t

0

∫

R

(

a · ∂f∂x

· ψ)

(τ, x)dxdτ = −∫ t

0

∫

R

(

f · ∂∂x

(a · ψ))

(τ, x)dxdτ,

∫ t

0

∫

R

(

ψ · 12b2∂2f

∂2x2

)

(τ, x)dxdτ =

∫ t

0

∫

R

(

f · 12

∂2

∂x2(b2 · ψ

))

(τ, x)dxdτ

fur alle glatten Testfunktionen f mit kompaktem Trager. Insgesamt erhalten wir aus (3.1)

0 =

∫ t

0

∫

R

(

−∂ψ∂t

− ∂

∂x(aψ) +

1

2

∂2

∂x2(b2ψ))

(τ, x)f(τ, x)dxdτ

fur alle Testfunktionen f . Das Variationslemma impliziert dann

∂ψ

∂t(t, x) +

∂

∂x(aψ) (t, x) =

1

2

∂2

∂x2(b2ψ)(t, x), 0 ≤ t ≤ T, x ∈ R.

Dies ist die”1-dimensionale Fokker-Planck-Gleichung“.

3.1 BemerkungDie Fokker-Planck-Gleichung beschreibt also die zeitliche Entwicklung der Dichtefunktioneines Ito-Prozesses, welcher der SDGL dXt = a(t, Xt)dt+ b(t, Xt)dWt genugt.

Alternative zur Berechnung von E(g(Xt)):

• Lose die Fokker-Planck-Gleichung

∂ψ

∂t+

∂

∂x(aψ) =

1

2

∂2

∂x2(b2ψ),

ψ|t=0 = Dichte des Startwertes der SDGL = ξ, ξ ∈ R.

• Berechne das Integral

∫

R

g(x)ψ(t, x)dx.

50


3.1.3 Weiteres zu stochastischen Prozessen und PDGL

Im Folgenden soll es um weitere Zusammenhange zwischen stochastischen Prozessen undPDGL gehen.

Sei X t,ξs die Losung der SDGL

dXs = a(s,Xs)ds+ b(s,Xs)dWs, 0 ≤ s ≤ T

mit der Anfangsbedingung

Xt = ξ, 0 ≤ t ≤ s ≤ T,

wobei ξ ∈ R eine konstante ZV ist. Setze

Xs := X0,ξs , 0 ≤ s ≤ T.

Dann liefert die Ito-Formel

f(

s, X t,ξs

)

= f(

t, X t,ξt

︸︷︷︸

=ξ

)

+

∫ s

t

(∂f

∂t+ a

∂f

∂x+

1

2b2∂2f

∂x2

)

(τ, X t,ξτ )dτ

+

∫ s

t

(

b∂f

∂x

)

(τ, X t,ξτ )dWτ ,

d. h. wie oben folgt

E(

f(

s, X t,ξs

))

= E (f(t, ξ))︸︷︷︸

=f(t,ξ)

+E

(∫ s

t

(∂f

∂t+ a

∂f

∂x+

1

2b2∂2f

∂x2

)

(τ, X t,ξτ )dτ

)

,

und man kann Folgendes einsehen:

Ist f eine Losung des Endwertproblems

∂f

∂t+ a

∂f

∂x+

1

2b2∂2f

∂x2= 0,

f(T, x) = g(x),(3.2)

so folgt mit s = T

E(

f(

T, X t,ξT

)

︸︷︷︸

=g(Xt,ξT )

)

= f(t, ξ) + 0 = f(t, ξ),

d. h.

E(

g(

X t,ξT

))

= f(t, ξ).

3.2 BemerkungDies ist ein Spezialfall der sogenannten Feynman-Kac-Formel. Das Losen einer bestimm-ten Klasse von PDGL kann also auf das Losen von SDGL zuruckgefuhrt werden undumgekehrt.

Dies liefert eine weitere Losungsmethode zu Bestimmung von E (g(XT )):

• Lose das Endwertproblem (3.2) ruckwarts in der Zeit.

• Bestimme f(0, ξ) = E(

g(

X0,ξT

))

= E (g(XT )).

51


3.1.4 Verallgemeinerung auf vektorwertige Prozesse

Betrachte das System von SDGL

dXt = a(t, Xt)︸︷︷︸

∈Rd

dt+ b(t, Xt)︸︷︷︸

∈Rd×m

dWt, 0 ≤ t ≤ T,

X0 = ξ.

Dabei ist Wt =(

W(1)t , . . . ,W

(m)t

)

∈ Rm eine m-dimensionale Brownsche Bewegung.

Die Dichte von Xt =(X1t , . . . , X

dt

), 0 ≤ t ≤ T sei durch

ψ(t, x) ∈ R, x ∈ Rd

gegeben, d. h. fur den Erwartungswert gilt

E (g (Xt)) =

∫

Rd

g(x)ψ(t, x)dx.

Mit den im 1-dimensionalen Fall eingefuhrten Techniken erhalt man, dass ψ die d-dimen-sionale Fokker-Planck-Gleichung

∂ψ

∂t(t, x) +

d∑

i=1

∂

∂xi(aiψ) (t, x) =

1

2

d∑

i,k=1

∂2

∂xi∂xk(dikψ) (t, x)

erfullt. Dabei ist dik :=∑m

j=1 bijbkj =(bbT)

ik.

3.1.5 Beispiel: Optionsbewertung eines

Capped-Symmetric-Power-Calls

Die Auszahlungsfunktion eines Calls ist in diesem Fall gegeben durch

C(S) = min(

(S −K)+)p, L, L, p > 0,

wobei S der Kurs des Basiswertes, K der Ausubungspreis und T die Verfallszeit sind.

Fur σ, r > 0 genuge nun St,sη dem Preisprozess

dSη = rSηdη + σSηdWη, 0 ≤ η ≤ T,

St = s ∈ R (konstante ZV), t ∈ [0, T ].

Der Wert der Option zur Zeit t zu einem Wert des Basiswertes S ist gegeben durch

V (S, t) = E(exp(−r(T − t)) · C

(St,sT)).

Ist also f(t, s) eine Losung des Endwertproblems

∂f

∂t+ rs

∂f

∂s+

1

2σ2s2

∂2f

∂s2= 0,

f(T, s) = C(s),(3.3)

52


so gilt

f(t, s) = E(C(St,sT)),

d. h.

V (s, t) = exp (−r (T − t)) · f(t, s).”Optionspreisbewertung mit PDGL“

Umformulierung von (3.3) als Gleichung fur den Optionswert V: Mit

∂V

∂t= r exp (−r (T − t)) f + exp (−r (T − t))

∂f

∂t

=

(

rf +∂f

∂t

)

exp (−r (T − t)) ⇐⇒

∂V

∂t− rV =

∂f

∂texp (−r (T − t))

und

∂jV

∂Sj= exp (−r (T − t))

∂jf

∂Sj, j = 1, 2

folgt die”Black-Scholes-Gleichung“

∂V

∂t+ rS

∂V

∂S+

1

2σ2S2∂

2V

∂S2− rV = 0, (3.4)

mit der Endbedingung

V (S, T ) = exp (−r (T − T )) f(T, S) = f(T, S) = C(S).

Als geeignete Randwerte findet man

V (0, t) = 0 fur 0 < t < T (Call wertlos, wenn S = 0), (3.5)

V (S, t) → L fur S → ∞, 0 < t < T (”capped“). (3.6)

Statt L kann man in (3.6) auch den diskontierten Wert L exp(−r(t− T )) vorschreiben.Folgendes lasst sich zeigen:V erfullt die Black-Scholes-Gleichung (3.4), falls u = u(x, τ) die Diffusionsgleichung(Warmeleitungsgleichung)

∂u

∂τ=∂2u

∂x2

lost und

V (S, t) = K exp

(1− q

2x− (1 + q)2

4τ

)

u(x, τ) (3.7)

mit x = ln(S/K), τ = σ2(T−t2

), q = 2r

σ2.

Der Endwert fur V ubersetzt sich in einen Anfangswert fur u, d. h. mit t = T folgt

C(S) = V (S, T ) = K exp

(1− q

2x

)

u(x, 0)︸︷︷︸

=u0(x)

53

3.2 Finite-Differenzen-Verfahren fur die Warmeleitungsgleichung

und somit

u0(x) = u(x, 0) =1

KC (K exp(x)) exp

(q − 1

2x

)

.

Fur die Randbedingungen ergeben sich (vgl. (3.5), (3.6) und (3.7))

limx→−∞

u(x, τ) = 0,

limx→∞

u(x, τ) = limx→∞

V(K exp(x), T − 2τ

σ2

)

K exp(

1−q2x− (1+q)2

4τ)

= limx→∞

V(K exp(x), T − 2τ

σ2

)

L︸︷︷︸

=1

· limx→∞

L

Kexp

(q − 1

2x+

(1 + q)2

4τ

)

= limx→∞

g(x, τ),

mit g(x, τ) := LKexp

(q−12x+ (1+q)2

4τ)

.

3.2 Finite-Differenzen-Verfahren fur die

Warmeleitungsgleichung

3.2.1 Einfuhrung

Vorgelegt sei die PDGL

∂u

∂τ=∂2u

∂x2, (x, τ) ∈ Ω =]−∞,∞[×[0, τmax], (3.8)

mit τmax = σ2

2T . Numerisch ist das Gebiet abzuschneiden, d. h. betrachte die Gleichung

(3.8) fur (x, τ) ∈ Ω =] − a, a[×[0, τmax], wobei a > 0 hinreichend groß. Erganze dieseAufgabe durch

u(x, 0) = u0(x) =1

KC (K exp(x)) exp

(q − 1

2x

)

, −a ≤ x ≤ a (3.9)

und die abgeschnittenen Randbedingungen

u(−a, τ) = 0,

u(a, τ) = g(a, τ)(3.10)

fur 0 ≤ τ ≤ σ2

2T .

3.2.2 Das Prinzip der Linienmethode

Diskretisiere zuerst die Raumvariable und danach die Zeitvariable.

Sei M ∈ N und sei ∆x := aM

sowie xi := i∆x = iaM

fur i = −M,−M + 1, . . . ,M . Fur

54


τ ∈[

0, σ2

2T]

und xi = i∆x, i ∈ −M + 1, . . . ,M − 1 fest, ersetzen (in Zeichen”∼“) wir

die partielle Ableitung nach x mit der zentralen Differenz, d. h.

∂2

∂x2u(xi, τ) ∼

∂∂xu(xi +

∆x2, τ)− ∂

∂xu(xi − ∆x

2, τ)

∆x

∼u(xi+∆x,τ)−u(xi,τ)

∆x− u(xi,τ)−u(xi−∆x,τ)

∆x

∆x

=1

∆x2(u(xi+1, τ)− 2u(xi, τ) + u(xi−1, τ)) .

Dabei ersetzen wir im Fall i = −M + 1 die Große u(−xM , τ) gemaß

u(−xM , τ) = u(−a, τ) = 0

und im Fall i =M − 1 die Große u(xM , τ) durch

u(xM , τ) = u(a, τ) = g(a, τ)

gemaß den Randbedingungen (3.10).

Sei nun

v(τ) : = (u(x−M+1, τ), u(x−M+2, τ), . . . , u(xM−1, τ))

= (v1(τ), v2(τ), . . . , v2M−1(τ)) ∈ R2M−1.

Ersetze also den Ausdruck

∂2

∂x2u(x, τ), u(−a, τ) = 0, u(a, τ) = g(a, τ)

durch

− 1

∆x2

2 −1 0 . . . 0 0 0−1 2 −1 . . . 0 0 00 −1 2 . . . 0 0 0...

......

. . ....

......

0 0 0 . . . 2 −1 00 0 0 . . . −1 2 −10 0 0 . . . 0 −1 2

v1(τ)v2(τ)v3(τ)...

v2M−3(τ)v2M−2(τ)v2M−1(τ)

+1

∆x2

000...00

g(a, τ)

.

Mit

v′(τ) =

(∂u

∂τ(x−M+1, τ),

∂u

∂τ(x−M+2, τ), . . . ,

∂u

∂τ(xM−1, τ)

)

und

∂u

∂τ=∂2u

∂x2

folgt damit das System gewohnlicher DGL

v′(τ) = −A∆xv(τ) + r∆x(τ) =: F∆x (v(τ), τ) , 0 ≤ τ ≤ σ2

2T, (3.11)

55


mit der symmetrischen Tridiagonalmatrix

A∆x :=1

∆x2

2 −1 0 . . . 0 0 0−1 2 −1 . . . 0 0 00 −1 2 . . . 0 0 0...

......

. . ....

......

0 0 0 . . . 2 −1 00 0 0 . . . −1 2 −10 0 0 . . . 0 −1 2

∈ R(2M−1)×(2M−1) (3.12)

und

r∆x(τ) :=1

∆x2(0, . . . , 0, g(a, τ)). (3.13)

Als Anfangsbedingung erhalten wir

v(0) = (u(x−M+1, 0), u(x−M+2, 0), . . . , u(xM−1, 0))

= (u0(x−M+1), u0(x−M+2), . . . , u0(xM−1)) = v0. (3.14)

3.2.3 Das Euler-Cauchy-Verfahren

Das Anfangswertproblem (3.11)-(3.14) heißt Liniensystem zur PDGL (3.8)-(3.10). DerUbergang von (3.8)-(3.10) zu (3.11)-(3.14) wird als Semidiskretisierung bezeichnet. Zueiner vollstandigen Diskretisierung von (3.8)-(3.10) kommen wir, wenn wir auf die An-fangswertaufgabe (3.11)-(3.14) eines der bekannten numerischen Verfahren zur Losungvon Anfangswertaufgaben anwenden. Bei der Durchfuhrung dieser Verfahren sollte mansich jedoch die spezielle Gestalt von F∆x zunutze machen, denn das System (3.11)-(3.14)wird fur ∆x → 0 immer großer. Das einfachste Verfahren fur (3.11)-(3.14) ist das Euler-Cauchy-Verfahren:

Seien ∆τ := σ2T2N

> 0, v0 vorgegeben und vj approximiere v (j∆τ) fur j = 0, 1, . . . , N .Dann finden wir

vj+1 − vj

∆τ= F∆x

(vj, j∆τ

)= −A∆xv

j + r∆x(j∆τ), j = 0, 1, . . . , N − 1,

v0 = (u0(x−M+1), u0(x−M+2), . . . , u0(xM−1)) ∈ R2M−1.

Explizit folgt mit

vj =(uj−M+1, u

j−M+2, . . . , u

jM−1

), uji ∼ u(i∆x, j∆τ)

die Iteration

uj+1−M+1...

uj+1i...

uj+1M−1

=

uj−M+1...

uji...

ujM−1

+∆τ

1

∆x2

−2uj−M+1 + uj−M+2...

uji−1 − 2uji + uji+1...

ujM−2 − 2ujM−1

+1

∆x2

00...0

g(a, j∆τ)

, j = 0, 1, . . . , N − 1, (3.15)

56


mit der Anfangsbedingung

u0−M+1...u0i...

u0M−1

=

u0(x−M+1)...

u0(xi)...

u0(xM−1)

. (3.16)

Das System (3.15) und (3.16) heißt auch explizites Differenzenverfahren zur Aufgabe(3.8)-(3.10). Man erhalt uj+1

i aus uji−1, uji und uji+1, was man durch das Schema des

”Differenzensterns“ andeutet, vgl. Abbildung 3.1.

(i− 1, j)

(i, j)

(i+ 1, j)

(i, j + 1)

Abbildung 3.1: Differenzenstern fur das Euler-Cauchy-Verfahren.

3.2.4 Das ϑ-Verfahren

Wir betrachten als nachstes fur das Liniensystem (3.11)-(3.14) das von einem Parameterϑ ∈ [0, 1] abhangige Verfahren, das sogenannte ϑ-Verfahren:

vj+1 − vj

∆τ= ϑF∆x

(vj+1, (j + 1)∆τ

)+ (1− ϑ)F∆x

(vj, j∆τ

), j = 0, 1, . . . , N − 1,

(3.17)

v0 = (u0(x−M+1), u0(x−M+2), . . . , u0(xM−1)) .

Spezialfalle des ϑ-Verfahrens fur das Liniensystem:

• ϑ = 0: Euler-Cauchy-Verfahren (ECV)

• ϑ = 12: Trapez-Methode oder das sogenannte

”Crank-Nicolson-Verfahren“ (CNV)

• ϑ = 1: Implizites Euler-Cauchy-Verfahren (IECV)

Fur ϑ > 0 erfordert (3.17) wegen F∆x(v, τ) = −A∆xv+r∆x(τ) die Auflosung eines linearen

Gleichungssystems und das Verfahren heißt daher implizit. Die Abbildung 3.2 stellt diezugehorigen Differenzensterne dar.

3.2.5 Auflosung der Gleichungsysteme auf jedem Zeitlevel τj

Mit F∆x(v, τ) = −A∆xv + r∆x(τ) schreibt sich (3.17) um zu

vj+1 − vj

∆τ= ϑ

(−A∆xv

j+1 + r∆x((j + 1)∆τ))+ (1− ϑ)

(−A∆xv

j + r∆x(j∆τ)),

j = 0, 1, . . . , N − 1,

57


(i− 1, j)

(i, j)

(i + 1, j)

(i, j + 1)

(i− 1, j)

(i, j)

(i+ 1, j)

(i, j + 1)

(i− 1, j + 1)

(i + 1, j + 1)

(i− 1, j + 1)

(i, j)

(i+ 1, j + 1)

(i, j + 1)

ϑ = 0 0 < ϑ < 1 ϑ = 1

Abbildung 3.2: Differenzensterne fur ϑ ∈ [0, 1].

bzw. aquivalent dazu

(1

∆τI + ϑA∆x

)

vj+1 =

(1

∆τI − (1− ϑ)A∆x

)

vj+ϑr∆x((j + 1)∆τ) + (1− ϑ)r∆x(j∆τ),

j = 0, 1, . . . , N − 1. (3.18)

In jedem Schritt ist also fur ϑ > 0 ein tridiagonales Gleichungssystem mit der Matrix

C∆x,∆τ :=

(1

∆τI + ϑA∆x

)

=

1∆τ

+ 2ϑ∆x2

−ϑ∆x2

0 . . . 0 0 0−ϑ∆x2

1∆τ

+ 2ϑ∆x2

−ϑ∆x2

. . . 0 0 00 −ϑ

∆x21∆τ

+ 2ϑ∆x2

. . . 0 0 0...

......

. . ....

......

0 0 0 . . . 1∆τ

+ 2ϑ∆x2

−ϑ∆x2

00 0 0 . . . −ϑ

∆x21∆τ

+ 2ϑ∆x2

−ϑ∆x2

0 0 0 . . . 0 −ϑ∆x2

1∆τ

+ 2ϑ∆x2

(3.19)

zu losen, wobei C∆x,∆τ ∈ R(2M−1)×(2M−1).

3.3 DefinitionEine Matrix D ∈ R

m×m heißt strikt diagonal-dominant, falls

|dii| >m∑

j=1j 6=i

|dij| , i = 1, . . . , m.

3.4 LemmaSei D ∈ R

m×m strikt diagonal-dominant. Dann ist D invertierbar.

Beweis. Annahme: D sei nicht invertierbar. Dann existiert ein x ∈ Rm\ 0 mit Dx = 0.

Ohne Einschrankung sei

xr = max |xi| : i = 1, . . . , m = 1

58


fur ein r ∈ 1, . . . , m. Aus

0 = (Dx)r ⇐⇒ drrxr = −m∑

j=1j 6=r

drjxj

folgt mit |xr| = 1 sofort

|drr| = |drr| |xr| ≤m∑

j=1j 6=r

|drj| |xj |︸︷︷︸

≤1

≤m∑

j=1j 6=r

|drj| ,

Widerspruch.

Die Matrix C∆x,∆τ aus (3.19) ist diagonal-dominant, d. h. nach Lemma 3.4 ist C∆x,∆τ

invertierbar und das ϑ-Verfahren (3.18) ist somit durchfuhrbar.

3.2.6 Praktische Losung des Gleichungssystems

Auf jedem Zeitlevel j∆τ, j = 0, . . . , N − 1 kann das Losen des Gleichungssystems z. B.mit dem LU-Verfahren fur Tridiagonalmatrizen erfolgen. Dazu machen wir folgende Be-obachtung:

1 0 0 . . . 0 0 0l1 1 0 . . . 0 0 00 l2 1 . . . 0 0 0...

......

. . ....

......

0 0 0 . . . 1 0 00 0 0 . . . lm−2 1 00 0 0 . . . 0 lm−1 1

·

d1 r1 0 . . . 0 0 00 d2 r2 . . . 0 0 00 0 d3 . . . 0 0 0...

......

. . ....

......

0 0 0 . . . dm−2 rm−2 00 0 0 . . . 0 dm−1 rm−1

0 0 0 . . . 0 0 dm

=

d1 r1 0 . . . 0 0 0d1l1 r1l1 + d2 r2 . . . 0 0 00 d2l2 r2l2 + d3 . . . 0 0 0...

......

. . ....

......

0 0 0 . . . rm−3lm−3 + dm−2 rm−2 00 0 0 . . . dm−2lm−2 rm−2lm−2 + dm−1 rm−1

0 0 0 . . . 0 dm−1lm−1 rm−1lm−1 + dm

=: (cij)1≤i,j≤m = C.

Koeffizientenvergleich liefert

d1 = c11, rk = ck,k+1, k = 1, . . . , m− 1

und

lk−1 =ck,k−1

dk−1, dk = ckk − rk−1lk−1, k = 2, . . . , m.

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3.5 Bemerkung

a) Es lasst sich zeigen, dass der LU-Tridiagonalalgorithmus fur strikt diagonal-dominanteMatrizen immer durchfuhrbar ist.

b) In Matlab erhalt man die LU-Zerlegung einer Matrix C mit [L,U]=lu(C).

c) Das Gleichungssystem Cx = b kann dann als LUx = b geschrieben werden und inzwei Schritten aufgelost werden:

(i)”Vorwarts auflosen“:Ly = b, d. h. y1 = b1 und yi = bi − li−1yi−1, i = 2, . . . , m.

(ii)”Ruckwarts auflosen“:Ux = y, d. h. xm = ym

dmund xi =

yi−rixi+1

di, i = m− 1, . . . , 1.

d) In Matlab lautet dies y=L\b und x=U\y. Man beachte dabei, dass man Gleichungs-systeme lediglich lost, aber niemals eine Matrix invertiert.

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