§ Первісна ф-ціяsites.znu.edu.ua/bank/public_files/2009/10/matanaliz/6.pdf · 6 ПЕРВІСНА ФУНКЦІЇ ТА НЕВИЗНАЧЕНІ ІНТЕГРАЛИ Н.М

6 ПЕРВІСНА ФУНКЦІЇ ТА НЕВИЗНАЧЕНІ ІНТЕГРАЛИ 6 ПЕРВІСНА ФУНКЦІЇ ТА НЕВИЗНАЧЕНІ ІНТЕГРАЛИ

6.1 Поняття первісної функції

Н.М. Д’яченко 191

( )S S t= 0[ , ]t T( )v v S t

В механіці ставиться задача: відтворити функцію переміщення матеріальної точки за деякий час , якщо є відомою фу-

нкція її швидкості ( )t ′= = за цей час, або є відомою функція прискорення a a . ( ) ( ) ( )t v t S t′ ′′= = =

Іншими словами, потрібно, знаючи функцію похідної відтво-рити дану функцію.

Нехай множина X є інтервалом , променем ),( ba ),( a−∞

,(a ), чи

або числовою прямою ()+∞ . +∞−∞

)(xF)

Означення. Функцію називають первісною функції на множині (xf X , якщо функція диференційована на )(xF X і

виконується співвідношення . )()( xfxF =′

Приклади. 1. Функція 21( )F x x= − ( 1;1) на − є первісною для

2( )

1

xf xx

−=

−)()( xfxF, оскільки . =′

2. Функція ( ) cosF x x ),(= на +∞−∞

)()( xfxF є первісною для функції

, оскільки ( ) sinf x x= − . =′

Зауваження. Якщо ( )F x )(xf ( , )a b( ) ,x C C const= + =

( ) ( ) ( )C F x f x′ ′= + = =

( )G x⇒ )(xf )a b)(1 xF )(2 xF

C

якась первісна для на , а , то ( )G x F

( ) ( )G x F x - також первісна для на ( , .

Теорема 1.1. Якщо дві функції і – первісні функції на множині , то )(xf ( , )a b )(1 xF xF += ) const(2 , де C = . Доведення. За означенням первісної маємо: 1) 1( )F x первісна для 1( )( )f x ⇒ F x ( , )a b

2 ( ) диф. на ;

2) аналогічно F x )a b

1( )- диф. на ( , ;

3) F x′ 2 ( ) ( )F x f x′= =( )

, тому за наслідком із теореми про сталість диференційовної на xΦ

C+

функції, що має на цьому інтегралі нульову похідну, ми отримаємо, що )(1 xF xF= ) constC(2 , де = . ■

6 ПЕРВІСНА ФУНКЦІЇ ТА НЕВИЗНАЧЕНІ ІНТЕГРАЛИ


( )Наслідок. Якщо F x ( ) якась первісна для f x ( , )a b на , то будь яка інша первісна ( )xΦ дорівнює ( )xΦ = ( )F x C+ , де C const= .

Означення 1.2. Сукупність усіх первісних даної функції на множині

)(xfX називають невизначеним інтегралом функції на

множині )(xf

X і позначають

∫ dxxf )(

)(xf dxxf )()(xF )(xf

.

Функцію називають підінтегральною, а вираз - пі-дінтегральним виразом. Якщо - одна з первісних на X , то

CxFdxxf +=∫ )()( .

Останнє співвідношення слід розуміти як рівність між двома множи-нами.

Приклади. 1. 21 x21

x dx Cx

−= − +

−∫ ( 1;1) на − , оскільки

для 2

( )1

xf xx

−=

− первісною є функція 2( ) 1F x x= −

( si

.

2. n ) cosx dx− = x C+∫ ) на ( ;−∞ ∞

)()( xfdxxfo =′⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ∫

CxFxdF

dxxfdxxf

)()(

)()(

навпаки)і лу диференціа символом перед стоїтьінтегралу символ якщо ,знищуються взаємолу диференціа символі інтегралу (символ

⎪⎭

⎪⎬⎫±=∫

dxx

dxxgxf

)

)()(лінійностіівластивост

.

Основні властивості невизначеного інтегралу.

1

⎪⎭

⎪⎬

⎫

+=

=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

∫∫do

3

20

[ ][ ] α=α

±

∫∫∫∫

fdxxf

dxxgdxxf

()(5

)()(40

0

−

∫ + baxfo )(6 ++= CbaxFa

dx )(1

( ) ( )

.

Властивості лінійності мають місце з точністю до константи. ►2о Зауважимо спочатку про здійсненність формули, яка є на-

слідком означення первісної та формули диференціалу функції. ( )f x dx F x dx dF x′= = .

З означенням невизначеного інтегралу маємо:



CxFdxxf +=∫ )()(

( )( ) ( )F x C dx f x dx+ =

( ) ( )f x dx F x C= = +∫ ∫

( ) ( ) ( )

,

тоді з урахуванням зазначеної формули, отримаємо: ( )( ) [ ( ) ]d f x dx d F x C ′= + =∫ . ◄

►3о Безпосередньо із зазначеної формули отримаємо: ( )dF x . ◄

► Властивість 1о є наслідком властивості 2о. ◄ ►4о Оскільки

( )( ) ( ) ( )F x G x F′± x G x f x g x′ ′= ± = ±

( ),

то ( )F x G± ( ) ( )x - первісна для f x g x± на , тому рівність ( , )a b

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx F x G x C± = ± f x dx g x dx+ = ±∫ ∫ ∫const

0dx C=∫ 1dx x C

є вірною з точністю до . ◄

Таблиця інтегралів. 1) 2) = +∫

1

1x C

+

= + ≠ −+

α

αα

, 1x dx∫ α 4) ln , 0dx x C xx= + ≠∫

cos sin

3)

5) xdx x C= +∫ sin cos 6) xdx x C= +∫

7) ( )22 1

cosdx tg x

xdx tgx C ( )2

2 1sin

dx ctg x dx ctgx Cx= + = +∫ ∫= +∫ ∫ = + 8)

9) 2

arctgx Cdxarcctgxx

+⎧= ⎨−+ ⎩

∫1 C+ 10)

2

arcsinarccos1

x Cdxx Cx

+⎧= ⎨− +⎩−

∫

11)2 1

dx 2ln 1x x C= + ± +x ±

∫ 12) 2

1 1ln2 11

dx x Cxx

+= +

−−∫chxdx shx C

13) = +∫ shxdx chx C= +∫ 14)

15) 2

dx thx Cch x

= +∫ 2

dx cthx Csh x

= +∫ 16)

17)ln

xx aa dx C

a= +∫ x xe dx e C 18) = +∫

►4) 0x > 0x

Зауваження. Похідна від правих частин, тобто первісних, по-трібна дорівнювати підінтегральній функції. Основна частина інтег-ралів цієї таблиці отримана, як наслідок із таблиці похідних.

Розглянемо виведення лише деяких з наведених в таблиці інте-гралів.

<



ln lnx x= ( )ln lnx x= −

( ) 1ln xx

′ = ( )( ) ( )1 1ln 1xx x

′− = ⋅ − =−

.◄

►11) ( )2ln 1x x′

+ ± ( )2

2 1 2

1 11 1 22 1

sign x xx x

= ⋅ ++ ±

xx

⎛ ⎞± ⋅ + ⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟±⎝ ⎠

2

2 2 2

1 1 1

1 1 1

x x

x x x x

+ ±= ⋅ =

+ ± ± ±. ◄

►12) ( )2

1 21 1

x xsignx x x

+⋅ ⋅ =

− − − 1 1 1 1ln

12 1 21

xx

′⎛ + ⎞= ⋅⎜ ⎟ +⎝ ⎠

−

( ) ( )( )2 2

1 1 .1 1 1x x x

1 1 22 1 1

xxx

−= ⋅ ⋅ =

−=

+ − + − ◄

Зауваження (*).

( )2ln 1x x= + + , arcshx ( )2ln 1arcchx x x= + − .

► yarcshx = , x chy= , 2

y ye ex−−

= , 2 0y ye e x−− − = , yxe− −2 0ye = , 01 2 yz e= > , 2 1 2z xz 0− − = , 2 1D x= + , 2 1 yz x x e= ± + = , 1,2

2x1 1 0z x= − + < - зайвий ко нь, рі

( )2ln 1y x x= + + . Друга формула вивод ◄

1. Далі буд і епере-

2. ні від елементарних функції є елемента-

До -

1) грал Пуассона ( помилок) ∫ − dxe x2, що використо-

ичній

2)

иться аналогічно.

е доведено, що невизначений інтеграл в д нрвної функції існує. Відомо, що всі похідрними функціями., однак первісні не від всіх елементарних функцій будуть елементарними функціями, тобто інтегру-вання не завжди можна провести в елементарних функціях. інтегралів, що «не беруться» в елементарних функціях нале

жать інте інтеграл вується в теорії ймовірностей, в статист фізиці, теорії те-плопровідності і дифузії, інтеграли Френеля ( ) ( )∫ dxxdx sin, , що використовують-ся в оптиці,

∫ x 22cos



фм ∫ ≠> 1,0, xxx

dx , 3) інтегральний логари

4) інтегральні косинус і синус ∫∫ dxx

xdxx

x sin,cos .

вання

відносяться:

ко функція )(xt ϕ= визна

6.2Основні методи інтегру До основних методів інтегрування) метод заміни (підстановки), 1

2) метод інтегрування частинами. кою. 6.2.1. Інтегрування підстанов

Теорема (інтегрування підстанов ю). Якщочена і диференційована на множині X і має множину визна-

чення )(XT ϕ= , а для функції )(tg на множині T існує п )(tG , тобто ∫ += CtGdttg )()( , тоді на

ервіснаX фу )())(( ttgнкція ϕ′⋅ϕ має пе-

рвісну, внює ))(( tG ϕ , тобCtGdtt +ϕ=ϕ′⋅ ))()( .

Доведення. Оск ∫ =dttg )(

що доϕ∫ ())((

и +CG )( на множині

рі то tg

ільк t T , то на цій множині ( ) ( )tG t g t′ = . Тому при обчисленні похідної від складної фу-нкції отримаємо на множині X :

( )( ) ( )x G′ =⎤ϕ

еного інтегралу, будемо мати на мно-жині

( ) ( ) ( )tG x x g x x′ ′ ′=⎡ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ϕ ϕ ϕ ϕ .

Отже, за означенням невизначX :

( ) ( ) ( )G x dx g x x dx′=⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ϕ ϕ ϕ . ■ Приклади. 1. (№Д1777)

CxarctgCxarctgtdxxarctg

+=+==

∫∫ 222 . ttdtx

dxx

dtxx=

+⋅==

+⋅

121

1

2. ln

lln

tt

tt

t xdx e dt dt n ln lnx e t C x Cx x te td e dt

== = = =

=∫ ∫ = + = +∫ .

Або, інакше: (ln )(ln ) ln ln | |ln

dx dx d x dtd x t x t Cx x t

= = = = = = = + =∫ ∫ ∫ ln ln x C+ .

⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭

lnx x


3.( )( )

( )2

12

dtarctg t

x t

2

24 22

1 12 2

1 11

d xxdx dx t x Cx

= = = = + =+ ++

∫ ∫ =∫ ( )212

arctg x C+

1 ( )dx F ax b Ca

+ = + + ( )f ax b∫

► 1 1( ) ( ) ( )1

t ax b1 1( ) ( )f ax b dx x t b f t dt

a adx dt

a

= +

+ = = − =

=

∫ ∫ f t dt F t Ca a

= = + =∫1 ( )F ax b Ca

+ + .◄

Приклади.

1. 2 2 2

1x a 2 2

1 1 1dx dx x xa arctg C arctg Ca a aa ax

a

⎛ ⎞= = ⋅ + = +⎜ ⎟+ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫ . ⎛ ⎞+

2. 2 2 2

1 1 arcsin

1

dx dxa aa x x

a

= = ⋅+ ⎛ ⎞+ ⎜ ⎟

⎝ ⎠

∫ ∫ arcsinx xa C Ca a

⋅ + = + .

3.2

1x xa Ca a

⎛ ⎞⋅ ⋅ + ± + =⎜ ⎟⎝ ⎠

2 2 2

1 1 ln

1

dx dxa ax a x

a

= =± ⎛ ⎞ ±⎜ ⎟

⎝ ⎠

∫ ∫

2 2 lnln x x a a C± − += + 2 2lnln

c C ax x a c

= −= = + ± + .

4.2 2 2 2 2

11 1 1 ln11

xdx dx a

xa x a axaa

+ 1 ln2 2

a xa C Ca a x

+= = ⋅ ⋅

− ⎛ ⎞ −− ⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫ + = +−

.

5. 2 2

2 2 2 2 2

sin sin

arcsin2 2

sin

x

2

cos

cos cos

x a t t aa

xa x dx t ta

a x a a

= =

− = = − < <

− = −

∫π π

x a dx a tdt

t a t a t

− < < =

=

= =

= ( )2

1 cos 22 2

t at t dt= + =∫ 2 2 2 1 cos 2cos cos cosa t a tdt a tdt a d+⋅ = =∫ ∫ ∫



22 2

arcsin1 sin 2 cos

2 2sin 2 2sin cos

xtaa t t C a x a

t t

=⎛ ⎞= + + = − =⎜ ⎟⎝ ⎠

= = 2 212t

xt a xa a

=

⋅ ⋅ −

2 22 2

2

1arcsin arcsi2 2a x a 2 2n

2x xx a x C

a⎛ ⎞= + + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

a x Ca a

+ + + .


Інтеграл 2 2x a dx±∫ за допомогою заміни x ( xa sh x= a ch x= ) і за-уваження (*) обчислити самостійно.

Повна таблиця основних інтегралів. Нехай )( fDX ⊆

=dxx)( xF )( =dxx)( CxF№пп ∫ f C+ №

пп ∫ f +)(

1. ∫ =dx Cx +

2. ∫ =αdxx 1, −≠αC1

1+

+α

+αx 3. ∫ −=

axdx Cax +− ||ln

4. ∫ =dxex Cex + ∫ =dxa x 5. Ca

a x+

ln

6. ∫ =xdxsin Cx +−cos ∫ =xdxcos Cx 7. +sin

8. ∫ =x

dx2cos

Ctgx + 9. ∫ =x

dx2sin

Cctgx +−

10. ∫ =xdxsh xch + ∫ =xdxch Cxsh C 11. +

12. ∫ =xch

dx2 Cxth + 13. ∫ =

xshdx

2 Cxcth +−

14. ⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

+

a

xa1

1

+Caxarcctg

Ca

arctg 15. ⎪

⎩

⎪⎨

⎧

+−

+

Cax

Cax

arccos

arcsin

∫ =+ 22 axdx ∫ =

− 22 xa

dx

16. Caxax+

+−

aln

21 17. ∫ =

− 22 axdx

∫ =± 22 ax

dx Caxx +±+ 22ln

18. Caxaxax++− arcsin

22

222∫ =− dxxa 22

19. Caxxaaxx+±+±± 22

222 ln

22∫ =± dxax 22

6.2.2.Інтегрування частинами



нкції )(xu і )(xv диф

Теорема (інтегрування частинами). Якщо фуеренційовані на X і існує на X невизначений

∫ ))(()( xvdxu , тоді існує ал ∫ )()( udv і має місце формула

∫ ))(()( xvdxu = ))(()( xudu .

інтеграл)(xx

∫− ()() xvxv

інтегр

x

Доведення. ( )d uv vdu udv= + ⇒

+ ⇒ = + ⇒∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( )udv uv vdu= −3

( )o

d uv vdu udv uv vdu udv⇒ = ∫ ∫ . ■

Основні класи функцій, що інтегруються частинами. В

р. яауважен-иди інтегралів Перша Друга підінтегр. Заміни З

підінтегфункція

функці ня

А) ∫ dxxfxPn )()(

та звідні до них много

n

)(xPn - ч-

лен, Pn =de

g

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

..

,)(sin

1

,)(cos

1,

),),sin(

)(

2

2

птibx

bx

abxbx

xf

bx

)(xPu n=dxxfdv )(=

ула

-

⎢⎢

,cos(ebx

Формінтегру-вання частинами застосову-ється nразів

Б) ∫ ϕ dxxfxg )]([)(або

∫ dxxxg )]((та звідні до них.

)(xg - дробо

н ⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

ϕ f[)

во-лінійна функція, зокрема многочле

⎢⎢⎣ .ln(тi

bx

⎢⎢⎢⎡

=ϕ

.),

)(),(),arccos(),arcsin(

)(

п

bxarcctbxarctgbxbx

xdxxgdv

xfu)(

)]([=

ϕ=

, дповідно

dxxgdv )(=

віxfu )]([ϕ=

(або методом підстановки

)(xt ϕ= , відповідно

)]([ xft ϕ= )

Інтегрува-ти части-нами сті-льки разів, доки піді-нтегральна функція буде міс-тити )(xϕ

В) ∫ bxdxeax cos ,

∫ bxdxeax sinта звідні до ни

Двічі інте-

х

грувати частинами (див. при-клад 3)

Г) інші 1. слимо інтеграл, що відноситься до класу А. Обчи

=+ xdx2cos)23

2 −+=−+=+ ∫ ∫∫ xxxdxxxxdxx (2)2cos1)(2(sin)42(3

222


( )⎢⎣⎡ +−+===

=+== xxxxvxdxdv

xdxduxu sin2212

32sin2cos22 2

3

21

2=⎥⎦

⎤− ∫ xdxxx 2sin2

( )( ) Cxx

xxx

++

−−

2sin412

2cos212sin

.

. Тепер обчислимо інтеграл із класу Б (№Д1813).

xxxxxx

xxxxvxdxdv

dxduxu

−+−+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−

+−+=−=====

∫ cos212sin2

212

32cos

21

2212

32cos2sin

23

23

21

2

∫ =+

−==

dxx

xarctgxxxvxdxdv

xarctg

22

22

12/∫ =+

=== arctgxdx

xduxarctgu

dxxxarctg 2

2

22

21

=−=⎟

⎠⎞ arctgxxdx

x2⎜⎝⎛

+−=

+−+

=+

=

+==

=

∫ ∫dxx

xvdxx

xdv

xdxduxarctgu

2

2

2

2

2

111

111

1

1

( ) =⎟⎠⎞

++∫ ∫ dx

xxarctg

21⎜⎝⎛

+−−−= dx

xxxarctgxxarctgxarctgx

22

2

12

( ) ( ) =+ xarctgxdarctgx2

2

∫ ∫−+++−=

xdxarctgxxarctgxarctgx 22

2

112/1

2

xarctgxxarctgxarctgx 222

2+−= ( ) =+− Cxarctg

2

22++ x1ln

21

( ) Cx +2 .

о =

xarctgxxarctgxarctgx+++−= 22

21ln

21

21

23. Позначим A ∫ bxdxeax cos . Цей інтеграл потрібно двічі інтегру-

частинами, кожен раз уводячи споріднені заміни, тобто або споненціальну

вати кожен раз ек функцію позначати через )(xv , а три-гонометричну, помножену на dx через )(xdv , або навпаки:

=eb

ax s1 −===

=== ∫∫ bxdxe

babx

bbxvbxdxdvdxaedueu

bxdxe axxax

ax sinin1sincoscos=A

−= bxebbx

dxax

x

sin1cos

−==

===

bvbxdxdv

aedueu ax

1sin

=⎟⎠⎞+ ∫ bxdxe

ba ax cos⎜

⎝⎛−− bxe

bba ax cos1

Ababxe

ba ax

2

2

2 cosn1−+= . bxe

bax si



Маємо: =A Ababxe

ba ax

2

2

2 cos − , звідки одержимо bxeb

ax sin1+

=A ( )bxbba

ebxdxeax

ax

+=∫ sincos 22 Cbxa ++ cos .

Аналогічно можна отримати

( ) Cbxbbxaeaxax +−= cossin2 .

babxdxe

+∫ sin 2

4. Інші випадки 2

2 2

2 2

2

2 2

x dxx x ax a x adx v xx a a dx dxx x a x x a x a dxa

x a x ax x a I x x a

I x x a I x x axI x a x x a C

= ± = = ± − =± ±= =±

= ± − = ± − ± ± =± ±

= ± − ± + ± ⇒

⇒ = ± − ± + ± ⇒

= ± ± + ± +

∫

∫ ∫ ∫∓

( )

2 22 2

2 2

2 2 22 2 2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

ln

ln1 ln .

2 2

xdxu x a duI x a dxdv

= ± =∫

2 2

dxKx a

=+

∫λ λ .


Інтеграл типу

( ) ( ) ( )

( ) ( )

21 a dx=

( )

2 2 2

2 22 2 2 2 2 2

2 2

12 1 22 2 2 2 2 2

1

1 1

dx a x x dxKa ax a x a x a

dx x dx x dxKa ax a x a x a

−−

+ −= = =

+ + +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − == − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

λ λ λ λ

λλ λ λ

( ) ( )( )

( )

2 2 2 2

12 22 2

11 122 2 1

u x du dx

xdx xdxdv vx a x a

dt x at x a t dt

t

− +

−

= =

= = =+ +

+= = + = = == =

− +

∫

∫ ∫

λ λ

λ

λλ 12 2

1 12(1 ) x a

−

= =

⋅− +

λλ λ

( )( ) ( ) ( )12 12 2 2 2

1 12 12 1

x dKa x a x a

− − −

⎛ ⎞⎜ ⎟= − −⎜ ⎟−− + +⎝ ⎠

∫λ λ λλλ1

x⎡ ⎤⎢ ⎥ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦


( )( ) ( )1 12 1

1 12 1

K K− −−

⎡ ⎤⎢ ⎥+⎢ ⎥−⎣ ⎦

λ λλ λ.

формулу

2 22 1

xa x a

= −− +λ

Отже, отримано рекурентну

( ) ( )( )12 12 2

1 3 2K Kx a

− −

⎡ ⎤−⎢ ⎥= −− + ⎦

λ λ λ

λ

λ,

2 1 2 1

xa ⎢ ⎥−

⎣λ

де 1 2 2

1dx xK arctg Ca ax a

= = ++

. ∫

6.3 Інте вання раціональних фу й

Із курсу алгебри відомо, що будь-який многочлен можна єди-

гру нкці

ним чином ро йсних чисел многочленів.

зкласти в добуток незведених над полем ді

До незвідних над полем дійсних чисел многочленів відно-сяться многочлени вигляду

ax − , або 2x px q+ + , де 2 4 0D p q= − < . Тобто, якщо deg P = n, то

11( ) ( ) ... ( ) (s

sP x A x a x a xαα= − ⋅ ⋅ − 12 21 1 ... ( ) r

s rp x q x p x qλ λ+ + ⋅ ⋅ + + , a a≠ ∧ j

)де ( i


j i i j 2 2x p x p+ +q x x q+ ≡ +/ ) i j∀ ≠

1 1α +

В цьому записі, якщо має вигляд ( )i

, ... 2( ... )s r n+α + λ + +λ =

множник ix a α− то ко- многочлена

, рінь ia ( )P x має кратніст iь α .

Розглянемо многочлен 2x px q+ + , де D p2 4 0q= − <го коре

, тоді йо-ні

1 2

21,2 1 2

Re4 242

p i q pD

1 2

Re ,( )

2 Im Im2

pp x x

x aq p

x x

⎫= = ⎪− ⎪= ⇒ =⎬−⎪ ⎪= − =⎪⎪ ⎭⎩

Отже, незвідний многочлен другого степеня має комплексно спряже-ні корені a і

x x a−⎪− ± −+ ⎪= ⇒ ⇒ =⎨

⎧

a . Якщо відомі комплексно спряжені корені, то за ними можна встановити многочлен другого степеня:


2 2

(

2 2 2

24 4 4

.2 2

q p q uv v v q u q u v

− −= ⇒ = ⇒ = − ⇒ = +

Означення. Раціональним дробом називається функція, що представляється дробом, в чисельнику і знаменнику якого стоять многоч

),2 ,

a u iv a u ivpu p u

= + = −

= − ⇒ = −

лени, тобто ( )( )( )

P xR xQ x

= , ( )P x і ( )Q x - многочлени.

Якщо рац аль епінь чисельника, меншу за степінь знаменника, то такий дріб називається правильним, у супро-тивном

й дріб орити, записавши його у ви-

гляді су огочлену і пр , а саме:

іон ний дріб має ст

у випадку – неправильним, тобто deg P< deg Q R⇒ - правильний, deg P RQ ⇒≥ deg - неправильниНеправильний можна перетвми мн авильного дробу

( )( ) ( )( )

P xR x S xQ x

= + , де deg P<deg Q.

Це перетворення назива лої частини. До найпростіших раціональних дробів відносяться раціональні

ється виділенням ці

дроби вигляду

α)−( axA і λ++

+)( 2 qpxx

де тричлен у знаменнику дру о дробу незвідний, тобто його дис-кримінант від’ємний.

NMx ,

гог

Лема 1: Якщо ( )P x - правильний раціональний дріб і ( )Q x ( )Q x

має сті n) ( )Q x x a x= −

корінь a∈ кратно , тобто nϕ , де ( ) 0aϕ ≠ , ( ) (

тоді

:k k n∃ ∈ ≤ ∧( )x ( )( ) ( ) ( ) ( )n n k

P A xQ x x a x a x−

ψ− − ϕ

, = +

де ( )( )

P aAa

=ϕ

, дріб ( )( ) ( )n k

xx a x−

ψ− ϕ

- правильний.




Доведення. Розглянемо ( ) ( ) ( ) ( )

) ( ) ( ) ( )n n

P x P x x A x( ) ( ) ( ) (n nQ x

A A Px a x q x− − ϕ x a x a x

− ⋅ϕ− = − =

− − ⋅ϕ.

( ) ( )P x A x− ϕ : Розглянемо

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0( ) ( )x a x a

P a P aA x P x x P a aa a= =

⎛ ⎞− ϕ − ⋅ϕ = − ⋅ϕ =⎜ ⎟ϕ ϕ⎝ ⎠

.

ок: ( ) ( )

( )P x =

Виснов P x A x− ϕ - многочлен, що має корінь a дея кратності крім того, 1 k n

кої k, ≤ ≤ . Тоді

( ) : ( ) ) ( ),( ) ( ( )(

k

n n

x P x a xP x A x xQ x

( ) () ( ) .

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

k

n k

A x xa x

x a x a x x a x−

− ϕ =− ψ ψ

− − ϕ − ϕ

Дріб

∃ψ − ψ

− = =

( )( ) ( )n k

xx a x−

ψ− ϕ

є правильним, оскільки його римано після ско-

дробу

от

рочення (P

deg ( ) ) deg ( )deg ( )Q x x Q xQ x

< ⇒ − << .■

Лема 2: Якщо

) ( )( )

x A xQ x− ⋅ϕ , для якого

deg ( ) deg( ( ) ( )deg ( )x P x AP x

ϕ ϕ}( )( )

P xQ x

- правильний раціональний іб і Q(x) має

ком

др

плексно спряжені корені a і a , де a u iv= + , кратності n, тобто 2) ( )nx x px q= + + ϕ де ( ( )Q x , 2 22 , , ( ) 0, ( ) 0p u q u v a a= − = + ϕ ≠ ϕ ≠ ,

тоді

:k k n∃ ∈ ≤ ∧ 2 2

( )( ) ( )n n k

x( )( ) ( )

P x Mx NQ x x px q x px q x−

+ ψ+

+ + + + ϕ,

де М і N- деякі

=

дійсні числа, а дріб 2

( )( ) ( )n k

xx px q x−

ψ+ + ϕ

- правильний.

Доведення. Розглянемо

2 2( ) (n

( ) ( ) ( )P x Mx N P x Mx N ( )( ) ) ( )n

xQ x x px q x px q x

⋅ϕ− =

+ − ++ + ϕ

.

Знайдемо (P a Ma N+ +

М і N такі, що ( ) ) ( ) 0a− + ϕ = . Оскільки a u iv= + , то ( ) ( ) ( ) 0,

) .

P a Mu iMv N a− + + ϕ =(( )

P aMu iMv Na

+ + =ϕ


Знаючи, що ( )( )

( ) ( )Re Im( )

P a P a P aia a

= +ϕ ϕ ϕ

, прирівнюємо дійсні та уявні

частини в останній рівності: ( )a

( )Re( )

( )

P aNa

a

⎫+ =Re :

( )Im : Im

Mu

P aMv

⎪⎪ϕ⎬⎪=

ϕ ⎪⎭

.

Розв’язуємо отриману систему о: , маєм1 ( )Im

( )

( ) ( )

P av a

a v a

⎧ =⎪⎪ ϕ

ϕ ϕ⎪⎩( ) ( ( )

( ) ( )Re ImP a u P aN⎨⎪ = −

. M


Висновок: )P x Mx x− + ϕ - многочлен, уякого a і N a ви-ступають як корені деякої кратності k. Тому

2

2 2 2

( ) ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) (n n

P x M q x xQ x

() ( )

k

n k

x N x pxx px q x px −

+ + + ψ ψ+ + +

.

Доведення того

q x x px q x− = =

+ ϕ + + ϕ

факту, що дріб 2

)( ) ( )n k

(xx px q x−+ + ϕ

є правильним,

здійснюється аналогічно попередній лемі. ■ ведених двох лем

ьний дріб можна єдиним чином

ψ

Почерговим застосування на доводиться на-ступна теорема.

Теорема. Будь-який правильний раціонал розкласти в суму найпростіших раціональних дробів, тобто

( ) ( )+

−++

−++

−++

−= αα s

s

axaxaxaxxQ sm

n

1

1

11.........

)( 11 αα AAA s)()1AxP

s)()1((1)(

( )1 1

1

1 12 2

1 1 1 1

... ...M x NM x N

x p x q x p x qλ λ

λ

++ + + + +

+ + + +

(1) (1)(1) (1) +

( )

( ) ( )

2... r r

r

r r

r r

M x N

x p x qλ λ

( ) ( )1 1

2

r r

r r

M x Nx p x q λ

++

+ +, ($)

mr

++ +

+ +

де mn < , s =λ++λ+α++α )...(2 1 . ...1

Дроби α)( axA−

і β)( 2 qpxxNMx++

+ називаються найпростішими.

Якщо дріб неправильний, то попередньо виділяють в ньому цілу частину.



отримання відповідного -обу в сум найпростіших д .

Крок 1.

Для розкладу правильного раціонального др у іють за наступним алгоритмом

Знаменник дробу розкладають на незвідні (над полем дійсних чисел) множники.

Крок 2. Дріб формально розкладають в суму найпростішихв за формулою теореми 1.4. При цьому записують в чисельни-

ках усіх дробів невизначені коефіцієнти, для отримання значень як

дробі

их використовують метод невизначених коефіцієнтів. Цей метод по-лягає в наступному:

1) праву частину зводять до спільного знаменника; 2) розглядаючи чисельники даної і отриманої дробів, прирів-

нюють коефіцієнти при однакових степенях змінної x ; 3) одержують систему лінійних рівнянь, розв’язуючи яку,

знаходять значення невизначених коефіцієнтів. Метод закреслювання. Згідно до леми 1 у випадку, коли -

ий раціональний дріб правильн ( )P xQ x

такий, що його знаменни Q x( )

рінь a∈ кратності n, тобто

к ( )

має ко( ) ( ) ( )nQ x x a x= − ϕ , де ( ) 0aϕ ≠ ,

цей дріб можна представити у вигля і д( ) ( )( ) ( ) ( )n n k

P x A xQ x) (x a x a x−

ψ= +

− −,

ϕ

( )P aA = , 1 k n≤ ≤ . й факт Саме то , щоде ( )aϕ

( )( )

P aAa

=ϕ

дозволяє отримати

метод закреслювання для визначення невизначених коефіцієнтів. Він полягає у наступному: коефіцієнт А визначається закреслюван-

дроб ( )( )n

P xням і у ( )x a− xϕ

знаменника незв множника ( )nідного x a− і

підстановкою замість x значення а. Найпростіший випадок, коли знаменник розкладається на не-

звідні множники вигляду 2( ) ) ... ( )nQ x x a1)(x a x a(= α ⋅ ⋅ − ,

а відповідно правильн раціональнвигляду:

− −ий ий дріб – на найпростіші дроби

1 2( )( )

n

1 2

...n

AA AP xQ x x a x a

= +− − x a

+ +−

.

6 ПЕРВІСНА ФУНКЦІЇ ТА НЕВИЗНАЧЕНІ ІНТЕГРАЛИ У цьому випадку усі коефіцієнти iA почергово знаходяться закрес-люванням в знаменнику дробу

( ) ( )( )1 2 n

( )...

P xx a x a x a− − ⋅ ⋅ −

відповідного незвідного множника ( )ix a− і підстановкою в той ви-

раз( )( ) ( )( ) ( )

, що залишився 1 2 1 1

( )... ...i i n

P xx a x x a x a x a− +− − ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ −

зна-a

чення відповідного кореня ia :

iA =( )( ) ( )( ) ( )1

( )

i i

P aa a a−

грується в елементарних фу

2 1 1... ...i

i i i i i na a a a a a a− +− ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ −.

Твердження. Кожна з найпростіших раціональних дробів інте-нкціях.

Доведення. 1. ln | |dx A x a C( )

Ax a−∫ = − + .


2. 1( ) , 1

1( )A x adx A C

x a

α−

α

−= ⋅ + α ≠

α −−∫ .

Розглянемо інтеграл 2( )Mx N dx

x px q β

++ +∫ . обимо спочатку пере-

творення

Зр

( )2 2( ) )

dx dxx px q q

2 2

(2 )2 2(

2 .22 ( ) ( )

MpM x p NMx Nx px

M x p dxMpdx Nx px q x px q

λ λ

λ λ

+ + −+= =

+ + +∫ ∫ ++

= + −+ + + +∫ ∫

Перший з отриманих інтегралів береться занесенням під диференці-ал, а другий - виділенням повного квадрату:

( )( )

2

2 2 2 2

( ) .22( ) ( )Mx N M d x px q dMpdx N

x px q x px q p p

x

2 4x qλ λ λ

+ + += + −

+ + + + ⎡ ⎤+ − +⎢ ⎥

⎣ ⎦Відповідь буде залежати від

∫ ∫ ∫

λ . 3. Якщо 1λ = , то

22 ln( )

2

MpMx N Mdx x px q

x px q+

= + + ++ +∫ 2 2

2 2

4 4

pN xarctg C

p pq q

− ++

− −.

1λ ≠4. Якщо , то


( )( )

2 1

2

( )22 1( )

Mx N M x px q Mpdx Nx px q 2 2

.

2 4

dx

p px qλ

λ−

λ

+ + += ⋅ + −

λ −+ + ⎡ ⎤+ − +⎢ ⎥

⎣ ⎦ій частині інтегралом типу

∫ ∫

Інтеграл в прав є Kλ , який інтегрується в елементарних функціях. ■

Наслідком із останніх теореми і твердження є наступна Теорема. Будь-яка раціональна функція інтегрується в елемен-

ін

зазна ункція

тарних функціях. Далі ми будемо намагатися під знаком тегралу зробити таку

заміну, що раціоналізує підінтегральний вираз. тоді з врахуваннямченої теореми можна буде стверджувати, що відповідна ф

інтегрується в елементарних функціях.

Приклад. (№Д1879) Обчислити інтеграл ( )( )∫ −++ 22 122 xxxxdx

.

Підінтегральний дріб є правильним, розкладемо його на найпростіші

( )


( ) ( )=

+++

+−

+−

=−++ 211122 2222 xx

DCxx

Bx

Axxx

x2

( ) ( ) ( )( )( )

222 2)(2222)1 −+++++++− xDCxxxBxx22 122 −++ xxx

1( +=

xxA .

Коефіцієнти обчислюємо за методом невизначених коефіцієнтів, прирівнюючи коефіцієнти ри однакових степенях х:

⎪⎪⎩ −==++− 25/8

25/1022

1220 D

CDBA

CBxx

Таким чином, отримаємо

⎪⎪⎨

⎧

−===

⇒=−+=+−+

=+5/125/1

020

1

2

3

BA

DDCBA

CAxx

( )=⎟⎟

⎠

⎞

+++

⋅ dxx

xxx

I22

8251

151

)1(251

22 ⎜⎜⎝

⎛−

−+

−== ∫ x

)1(5|1|ln

25 −−−=

xx 11

=++++

+ ∫25dx

xxx

227)22(2/11

2

)1(51|1|ln

251

−−−=

xx =

+++

++++

+ ∫ 1)1(257

22)22(

501

22

2

xdx

xxxxd ∫

+−+−

2)1ln(501

)11 x

x−=

(5( ) =++ Cxrctgxx )1(

25722ln

501 2 +++ a


+−

−=)1(5

1x

Cxarctg +++ )1(257 .

6.4 Інтегровність в елементарних функціях деяких триго-

нометричних та ірраціональних виразів

Означення. Многочленом степені n від двох аргументів

xxx

++−

22)1(ln

501

2

2

та yx називається функція вигляду: ( ) 2 2

00 10 01 20 02, ...nP x y a a x a y a x a y a xy= + + + + + + + 1n n n−

11

...a x y a y+ + + , (2)

де в (2) має хоча б один нену-льовий коефіцієнт.

Означення. Раціональ

0 ( 1)1 0

1

n n n

n

−

+

остання підкреслена група доданків

a x+

ною функцією двох аргументів x та y наз. функція вигляду:

( ) ( )( )

,, ,n

m

P x yR x y

Q=

,x y

(nP x ) ( ), , ,my Q x y - многочлени від yx, степенів mn, відповідн .

Твердження. Якщо

де о

( )−yxR , раціональна функція двох аргу-ментів ,, yx ( ) ( ) ( )2, ,R t R t t3R1 − раціональні функції змінної t , то

( ) ( ) ( )1 2 3,t R t R t⋅ − нкцією

буток, є р6.4.1. Інтегрування д н

(початок).

( )R R є раціональною змінної t . випливає

фуДійсно, це твердження з того, що сума, різниця, до-частка раціональних дробів аціональним дробом.

еяких тригонометричних фу кцій

Розглянемо ( )dxxxR∫ cos,sin . Мета. Привести заміну, кот-

ра раціоналізує підінтегральний вираз. Розглянемо універсальну тригонометричну підстановку:


2xt tg= , ( ),x∈ −π π .

Тоді 2

22 12 12 2x xtg tgt t− −

2 22 2

sin , cos1 11 1

2 2

x xx xt ttg

= = = =+ ++ +

,tg



2

1, 2 ,1

2x ar= t dx dtt

= ⋅+

ctg

( )( ) ( ) ( )1 2 3

2

2 2 2

2 1 2sin ,cos ,1 1 1

R t R t R t

t tR x x dt R dt Rt t t

⎛ ⎞⎜ ⎟−

= ⋅⎜ ⎟+ + +⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫ ( ) ( )( ) ( )1 2 3, .R t R t R t dt= ⋅∫

Використавши твердження, отримаємо, що підінтегральний вираз є раціональною функцією, яка інтегрується в елементарних функціях.

Приклад.

2

2 2 2

2 22sin cos 5 2 2 1 4 1 5 52 5

1 12 1

t tgx x t t t t t

t tdt dt

= = = = =− + − − + + +

⋅ − ++ +

∫ ∫ ∫

2 22

22

221

2 1 1 2 236 4 4 3 2 23 9 9 3 31 3

1 3 1 3 133 3 5 5 5 51 5

3 9

315

dtdx x dtt

t tt t t t t

tdt tarctg C g C

t

xtgarctg

+

= = = =+ + + + + + − + +

⎛ ⎞+⎜ ⎟ +⎝ ⎠= = + = + =⎛ ⎞⎛ ⎞+ + ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=

∫ ∫ ∫

∫

dt

arct

2 .5

C+

6.4.2 Інтегрування дробово-лінійних ірраціональностей Означення. Дробово-лінійною ірраціональністю назива-

ється функція вигляду nax b

dcx++

, де , , ,a b c d ∈ , n∈ , 0ad bc− ≠ .

Інтеграл , nax bR x dx

⎛ ⎞+⎜ ⎟∫ cx d⎜ ⎟+⎝ ⎠

раціоналізується за допомогою за-

міни

nd

t = bax +cx +

.

отримаємо Із заміниn ax bt

cx d+

=+

;

( )n nx n ct dt b− = − ;

6 ПЕРВІСНА ФУНКЦІЇ ТА НЕВИЗНАЧЕНІ ІНТЕГРАЛИ ndt ; n

bxct a−

=−

1( )n ndnt ct adx−− −

= =1 1

2 2

( ) ( )( ) ( )

n n n

n n

cnt b dt nt ad dcdt dtct a ct a

− −− − −− −

.

Отже,

2

1 ( )

, ,n

R t

ax b b dtR x dx R tcx d ct a

⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎜ ⎟

3

1

2( )

( )

( )( )

n n

n nR t

R t

nt ad bc dtct a

−⎛ ⎞⎜ ⎟ −

= ⋅⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫ .

ставши твердження, отримаємо, що підінтегральний вираз є раціональною функцією, яка інтегрується в елементарних функціях.

Приклад. №1932

+

Викори

( ) =+

=

−−=−+

−+=

−+∫∫ 1

1111

)1)(1()1()1( 3

233

3 42 tx

txxx

xxdx

xx

dx

−

−=

+=

1

61

3

23

t

dttdxxt

( ) CxxCtdt

t

dtt

tt

tt

t+

−+

−=+−=−=−

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−+

= ∫∫ 323

2

3

3

3

3 11

23

23

23

1

6

11

111

1.

6.4.3. Інтегрування квадратичних ірраціональностей під-становками Ейлера.

Означення. Квадратичною ірраціональністю називаєть ляду

ся2ax bx c+ + . функція виг

Розглянемо інтеграл вигляду ( )2,R x ax bx c dx+ +∫ . Підстанов-

й ки Е лера для нього є універсальними. Розглянемо їх. Три випадки: Випадок І: тричлен 2ax bx c+ + має один кратний корінь. Тоді

( )


2 - не є ірраціональністю2 0ax bx c x

2ax + + 0 0bx c a x x a x x= − = ⋅ − .

Випадок ІІ: 0 0D a< ∧ > . Тоді + + > ∀ ∈ .

2 0

0 0ax bx c

D a ax+ + <

< ∧ < ⇒ ∃/ 2 bx c+ + . Якщо

2t ax bx= +Нехай 0 0D a< ∧ > , тоді c x a+ ± - заміна Ейлера. Знак ться ячи із зручності, щ випливає із

конкретної задачі. Із заміни имаємо: «+» або «-» обирає , виход о

умови отр2t x a ax bx c= + + , ∓

2 22t tx a bx2a x a x c+ = , + +∓



( ) 22x b t a t c± = − , 2 − ;2

t cxb t a

=±

( ) ( )( ) ( )

2 2

2 2

2 22

2 2 2 2 2 ,2 2

.2 2

t b t a a t c at bt c adx dt dtb at b at

t c at bt c aax bx c t ab at b t a

± − ± + ±= =

± ±

− ± + ±+ + = =

± ±

∓

Отже,

2

∓

(R x )2, ax bx c dx+ + = ∫

( )( )

1 2

2 2 22 ,2 2R R

t c t a bt c ab t a b t a

⎛ ⎞⎜ ⎟− ± + ±

= ⋅⎜ ⎟± ±⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

∫

3

2

22

R

t a bt c aR dt

b t a

± + ±

±

Використавши твердження, отримаємо, що підінтегральний вираз є раціональною функцією, яка інтегрується в елементарних функціях

У випадку ІІ, .

враховуючи, що ( ) ( )0 0D c0 0D a< ∧ > ⇔ < ∧ >

(довести це!), можна зробити іншу заміну 2t ax bx c c= + + ± - заміна Ейлера.

Довести, що ця заміна є раціоналізуючою. Випадок ІІІ: D>0,x1,x2-корені., тобто

( )( )21 2ax bx c a x x x x+ + = − − .

Тоді

( )( ) ( ))(2

1

x2 a xax x1 2 1bx c a x x x x x

x x−

,

а підінтегральна функція

+ + = − − = −−

( ) ( )( )

( )( )

2 21 1

1 1

,a x x

R xx x

⎛ ⎞− −⎜ ⎟=⎜ ⎟− −⎝ ⎠

Є дробово-лінійною ірраціональністю. Тому раціоналізуєчою замі-

( )( )

2, ,a x x

R x ax bx c R x x xx x

⎛ ⎞⎜ ⎟+ + = −⎜ ⎟⎝ ⎠

ною буде 2

1

.a x x

tx x−

=−

6 ПЕРВІСНА ФУНКЦІЇ ТА НЕВИЗНАЧЕНІ ІНТЕГРАЛИ Вона еквівалентна

( )1bx c t x x+ + = − −2ax заміні Ейлера. Зауважимо, що заміна дає:

22 1

2xa t

=−

, ax t x− ( )( )

2 122

2,

ta x xdt

a t

−=

− dx

( )


22 1

2 ,a t

⎛ ⎞=⎟

2 2 112

ax t xax bx c t x

a t−

+ + = −⎜at x x−

− − ⎝ ⎠

( ) ( )( )

22 1 2 12 1

2 2 22

2,at x x at x xax t x

R dta t a t a t

− −⎛ ⎞−⋅⎜ ⎟

− − −⎝ ⎠∫ .

Висновок:

Інтегрування квадратичних ірраціональностей ∫ ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ++ dxcbxaxxR 2,

здійснюється підстановками Ейлера, які у даному випадку є універ-сальнпе

ими: рша основна підстановка Ейлера ta + , якщо 0>a ;

друга основна підстановка Ейлера xcbxax ±=++2

)())(( xxtxxxxa −=−− ; 121

третя неосновна підстановка Ейлера xtccbxax +±=++2 , якщо 0c > Приклад. (№Д1966)

2 1x x+ +

dx=∫

x + ( ) ( )( ) ( )

2

2 2 20 1

1 2D x xx x x t xt< ⇒ + + + =+ + = + −

2 1tx −=

2 2

2 22

2 2 1 2 2 21 21

x t

t t t tdx dt dttt

1 22 1

tt

=+ + − − + +

= =++

( ) ( ) ( )

2 2

2 2 2

2 2 2 1 32 2 21 21 2 1 2 1 2 32

At t t t A B Cdt dt dt Bt tt t t t t C

=⎛ ⎞+ + + + ⎜ ⎟= = = + + = = − =⎜ ⎟++ + +⎝ ⎠ = −

∫ ∫ ∫ 1

( )( )

( )2 2

3 31 1 12 22 2 2ln 3 ln 1 2 3 1

1 2 2 21 2 1 2

dt dtdt t t Ct t t t

− −= + + + = − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ − ⋅ +

+ + +∫ ∫ ∫ =


( )2 23 32ln 1 ln 1 2 1 2

2 2 1 22

2

1

1 2x x x x x x= + + + − + + + + + ⋅ C

x x x+

+ + + +

6.4.4. Інтегрування квадратичних ірраціональностей інши-ми методами. Підстановки Абеля.

Позначення: 2 ;y ax bx c Y y= + + = , тоді

( ) ( )2, ,R x ax bx c R x Y+ + = .

Крок 1. Всі вирази під зна вигляду 2Y м функції ( ),R x Y за-мінимо на ичлен 2ax bx

ковідповідний тр c+ + , тоді функція ( ),R x y

( )надбає вигляду ( ) ( )( ) ( )

1 2

3 4

,P x P y

R x yP x P x

+=

+.

x

y

Крок 2. Помножимо чисельник та знаменник на ( ) ( )


3 4P x P x y− . знПісля цієї дії Y y замінимо ову 2 = на 2ax bx c+ + . Це приведе до того, що функція ( )R x,Y перетвориться у суму

( ) ( )( ) 1,R x Y

інтегрувати

2

інтегруєтьсяв елементарнихфункціях

R x R x y= + .

( )2Як далі R x y без замін Ейлера? Крок 3. Робимо перетворення:

( ) ( ) ( ) ( )( )*R x

1. Якщо дріб ( )*R x

*2 2y R x R x x

y y y= = . 2

1 1yR x y R=

− - неправильний, то виділяємо цілу части-ну, отримуємо:

( ) ( ) ( )* **

правильнийдріб

P x R x= + , R xмногочленстепенi n

( ) ( ) ( )*R x P **x R xy y y

= +

Якщо дріб ( )*R x

.

2. − правильний, тоді переходимо до наступ-ного кроку.


( )*R x ( )**R xПравильний дріб або розкладаємо на найпростіші

дроби видів α)axA−(

і β)q( 2 pxxNMx++

+ ( )**R xy

, тоді функція пере-

твориться у лінійну комбінацію функцій

( )A

x a yα− ⋅ і

( )2

Mx N

x px q yλ

+

+ + ⋅.

( )2,R x ax bx c+ +Отже, функцію виражено через раціональ-

ний дріб і дроби вигляду:

І. ( )P xy∫ dx , де ( )deg P x n= ,

( );A dx

x a yα−∫

( )

ІІ.

ІІІ.2

Mx N dx.x pq q y

λ

+

+ +∫

Забігаючи наперед, зауважимо, що інтеграл І інтегрується представленням його сумою

( ) ( )P x

dx dxQ x yy y

= + λ∫ ∫( )

,

де −xQ( ) 1deg −

многочлен з невизначеними коефіцієнтами такий, що = nxQ

1tx a

=−

Інтеграл ІІ інтегрується за допомогою заміни .

Інтеграл ІІІ інтегрується за допомогою заміни Абеля та інших.

Інтеграл типу І ( )P xy∫ dx , де


( )deg P x n= .

m

mx dx

y=Спочатку розглянемо інтеграл V ∫ і знайдемо рекурен-

тну формулу його обчислення. Якщо , то 0m =

0

0x dxV = =

2

dx dxy y ax bx c

=+ +

∫∫ ∫ .



:2 cbxax ++Цей інтеграл інтегрується наступним чином. Спочатку виділяється повний квадрат в

2 2

2 2

2 2

2 4 4

.

b b cxa aa a

Da a

⎛ ⎞+ − + =⎜ ⎟

⎝ ⎠⎞

− ⎟⎟⎠

2 2 2

2 22

2

42 24 4

b c bax bx c a x x a xa a

b b ac ba x a xa a

⎛ ⎞+ + = + + = +⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛−⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − = +⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝

Тут можливі такі випадки. Випадок 1.

}22

2

0 22

2

00 2 2

1 1 ln

2 21 ln .

2

b DD ax bx c a xa a a

dx bV xa ab Dx

a ab b cx x x Ca a aa

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞> ⎜ ⎟⇒ + + = + − ⇒⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟> ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

⇒ = == + +⎛ ⎞⎛ ⎞+ − ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= + + + + +

∫22

2 2 2b Dx C

a a a⎛ ⎞⎛ ⎞+ − + =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Випадок 2.

}22

2 2

.

b Da a

cx Ca

⎛ ⎞⎛ ⎞−⎛ ⎞⎜ ⎟+ + ⇒⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

+ +

0bx c x+ < ∀ ∈ −

2

20

00

1 ln2

D ax bx c a xa

b bV x xa aa

< ⇒ + + =>

⇒ = + + +

Випадок 3.

} 200

D axa< ⇒ +< цей випадок неможливий.

Випадок 4.

}2 2

2 2D bxa a

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟− + ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

200

D ax bx c aa> ⇒ + + = −<

02

1 1 arcs

2 2

dxa aD bx

a a

⇒ = =− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞− +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

∫ 2 2

22in

4

bx aaV C

b ac

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠ +

−.



m

,0 ∈

Мета: довести, що інтеграл V можна послідовно звести до ін-

тегралу V тут m . 1. Розглянемо

( ) ( )1 2 1 1 11 '2

m m mx y m x y x yy

− − −′ = − + ⋅ =

( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( )

2 1

2 2 1

1 2

1 2

11 22

1 2( 1 2 )2

1 2 2 2 2 2 2 22

112 .

m m

m m

m m m

m m m

m x y x ax by

m x ax bx c x ax by

x am a a x mb b b x mc cy

m b m cma x x xy y y

− −

− −

− −

− −

= − + + =

= − + + + + =

= − + + − + + − =

⎛ ⎞−⎜ ⎟ −⎝ ⎠= + +

( )1mx y− ′ ( )1 2

112m m m

m b m cma x x xy y y

− −

⎛ ⎞−⎜ ⎟ −⎝ ⎠= + + Таким чином, .

Проінтегруємо останнє співвідношення:

( )1 21m m m1 1

2mx y maV m b− V m c V− −⋅ + − ⋅

1

⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎝ ⎠

. (1)

=m , тоді із (1) отримаємо Нехай 0

1 2bV

y aV= + ,

тобто

1 02y bV V

a a= −

2

. (2)

Якщо в (1) покласти =m , то

2 1 0

2 0 0

2

2 02 2

2 ,

3 32 ,2 2 23 3 ,

2 24 8

V CV

yb b b V CVa a

b cVa aa a

+

+ +

⎛ ⎞⎛ ⎞ + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

32bx y aV

aV x y

x bV y

= +

= −

= −

( )2 0V y x V .= α +β + λ

m 0

(3) Покажемо, що V виражається через V за формулою



( )1 0m mV yP x V−= + λ

1 m n. (4)

Припустимо, що рівність (4) є вірною для усіх ≤ ≤ , тоді із (1) маємо

( )( ) ( )( )( ) ( )

1 1

0 1

( )

1 1( 1) 2

1 1( 1) 2

1 1 1( 1) 2 ( 1)

n

nn n n

nn n n

nn n

P x

V x y n b V nc Vn a

x y n b yP x V nc yP xn a

y x n b P x nc P x ncn a n a

+ −

⎛ ⎞⎛ ⎞= − + ⋅ + ⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟+ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎛ ⎞= − + ⋅ + λ + ⋅⎜ ⎟+ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⎛ ⎞= ⋅ − + ⋅ + ⋅ +⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎝ ⎠⎝ ⎠

1 0

1 112

n

n n

V

n b

− −

− −

⎛ ⎞+ λ =⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎛ ⎞⋅λ − + ⋅λ⎜ ⎟

⎝ ⎠0

n

V

λ

⎞⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠

Отже, інтеграл ( )P xdx

y∫,V V

( )( ) 1

P x nQ x n

= ⎫⎬= − ⎭

- є лінійною комбінацією інтегралів

Тому цей інтеграл можна представити у вигляді: 0 1,..., .nV

( ) (5)

( )

0V

dxQ x yy y

= + λ∫ ∫P x

dx ,

де degdeg .

( )Q xЯк визначити коефіцієнти многочлена ? Для цього споча-

тку формально інтеграл ( )P xy∫ dx представляють у вигляді (5), де

многочлен ( )Q x записують з невизначеними коефіцієнтами. Ці не-визначені коефіцієнти знаходять за наступним алгоритмом:

1) диференціюють обидві частини (5): ( ) ( ) ( ) ( )' 1 12

2P x

Q x y Q x ax by

y×y y

+ + λ= + ,

2) потім обидві частини отриманої рівності помножають на 2y ax bx c= + +

( ) ( )

:

( )( )2

' 1 22

ax bx c

P x Q x y Q x ax b+ +

= ⋅ + + + λ . (6)

3) застосовують метод невизначених коефіцієнтів для пошуку невизначених коефіцієнтів.

Чи буде мати відповідна система відносно шуканих коефіцієн-тів єдиний розв’язок? Для відповіді на це запитання обчислимо сте-пені обох частин рівності (6):



( )

( )

'deg

deg ( )

Q x y n

Q x ax b n

⇒ =

⇒ + =

nn

n n

( )( ) }( ) }'

deg ;deg 2deg 2deg 1deg( ) 1

P x nQ x nyQ x nax b

== −

== −

+ =

Отже, обидві частини мають степінь , тому кількість рівнянь відно-сно коефіцієнтів при рівних степенях дорівнює +1. Кількість неві-домих (невизначених коефіцієнтів) дорівнює +1, де - це кількість невизначених коефіцієнтів у многочлена ( )Q x

λ

і ще одне невідоме – це коефіцієнт .

Інтеграл типу ІІ ( ) ( )2 2k

dxI k

dxx ybx c

= =−α+

∫ ∫x ax−α +.

Заміна: 1tx

=−α

, приводить до x > α

( )( )

( ) ( )( )

2

2

22

2 22

1 ,

1 2

1 2 , 0,

t dtx dxt t

a t t b btax bx c ctt

t a b c t a b a tt

+α −= ⇒ =

+ α + α +α+ + = + + =

= α + α + + α + + >

( ) ( ) ( )

( ) ( )

22 2 2

1

2 2.

2

k

k

k

dx t tIx y t t a b

t dt

t a b c t a b a

−

= = −−α α + α +

= −α + α + + α + +

∫ ∫

∫

2

dt

c t a b a=

+ α + +

Можливі наступні випадки. Випадок 1. Якщо α - не є коренем тричлена 2ax xb c+ + , тоді

приходимо до інтегралу типу І. Випадок 2. −α корінь тричлена 2ax xb c+ + , тоді

11 1k

k

дробово лінійнаірраціональність

t dt2I t dt

t at a

−−

−

= − = −β +β+∫ ∫ .

1zt a

=β +

Останній інтеграл раціоналізується підстановкою .



( )Інтеграл типу ІІІ. ∫

++

+=

xI

23 dxyqpx

NMxλ .

Випадок перший: 2 2( )a x px q ax bx c y+ + = + + = 2 4 0D p q, = − < . В цьому випадку

( )3 1

2 2

Mx NI dxx px q

λ+

+

+ +∫= .

Представимо чисельник сумою:

( )22 2M Mpx p N⎛ ⎞+ + −⎜ ⎟

⎝ ⎠Mx N+ = ,

тоді ( )

( ) ( )3.,1

3

22 2

x p dxM MI Nx px q

λ+

+= +

+ +

3,.2

1 12 22 2

I I

p dx

x px qλ+

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠ + +

∫ ∫ .

Обчислимо перший із інтегралів: ( )

( )

( )

22

3.1 12 2

12

2 1 12 2

d x px qI t

x px q

dt t

t

λ+

−λ+

λ+

+ += =

+ +

= = + = −− λ + ⎛ ⎞λ − ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠

∫

∫ 1 122 2

1

x px q

C Cx px q

λ−

= + + =

++ +

3.2I

Другий інтеграл обчислимо за допомогою заміни Абеля

( ) ( )

( )( )

'

2

22

,

x pqy

dx ydt t dx

+= ⇒

⇒ = +

' 2

'

2

1) 2 2 ,2 2 2

1 ,

t y x px

t y x pdx dt y t y dx

dx t ydt

= = + +

= +

= +

− =

2 ;1

dx dtty

=−

(*)

2) 2 , //піднесемо до квадрату 2t y x p= +2 2 24 4 4t y x px p= + +

2y x px q= + +

, за позначенням //домножим на 4

6 ПЕРВІСНА ФУНКЦІЇ ТА НЕВИЗНАЧЕНІ ІНТЕГРАЛИ 2

2 2 2

2 2

4 4 4 44 4 44 4 4

y x px qt y x px pt y y p q

⎫= + +⎬= + + ⎭

− + = − +

( )

− ,

2 2

2

4 ,1 ,

(1 )

p q D

t

− = − + = −

= ⋅−

4 1

4

y tDy −

( )2

1 .4 1

D

t

λ

λ

−⎛ ⎞= ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠ −

3.2I

yλ (**)

Підставимо (*) і (**) в :

( )

( )( ) 12

14

dt t 2

3.,22

1 4 1I t dtDt

λλ−

λ

−= = −

−−⎛ ⎞− ⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫D

λ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

, . λ∈

3.2IПідінтегральна функція є многочленом. Тому ми довели інтегров-ність в елементарних функціях, а разом з цим і інтегрованість в елементарних функціях інтегралу типу ІІІ у першому випадку.

Випадок другий: ( )' '

2 ' 'a x p x q

⎛ ⎞⎜ ⎟

= + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

2 2 '

2 2

p q

b cax bx c a x xa a

+ + = + + і

'x px q x p x q+ + ≡ + +/ Можливі два випадки:

) ,) .

a p pб p p

′≠′=

') .a p p≠

Розглянемо Мета: привести інтеграл ІІІ до вигляду ( )

( )2 λ+ γ

∫ 2

P tdt

t tα +β. Для цього зробимо заміну

1txtµ + ν

=+

, так підібра-

вши коефіцієнти, щоб після підстановки її в обидва квадратних три-члени, коефіцієнт при обернувся в 0. Зробимо відповідну підстано-вку:

t

( )( )

( ) ( )

22

2 2

2

1 1

1

t tx px q pt t

t p q t p

t

µ + ν µ + ν⎛ ⎞+ + = + +⎜ ⎟+ +⎝ ⎠µ + µ + + µν + µ + ν +

=+

22 2.

q

p q p q

=

+ ν + ν +




2 'Для другого тричлена 'x p x q+ + підстановку дасть аналогічний ре-зультат. Коефіцієнт при t повинен дорівнювати нулю, тобто

( )( )' '

2 02 0

p qp q

22µν + µ + ν + =⎧

⎨ µν + µ + ν + =⎩ ⇒

' '

'

'

'2

p q q pp p

q qp p

⎧ −µν =⎪⎪ − ⇒⎨ −⎪µ + ν = −

−⎪⎩,⇒

µ ν

) ( )' ' '2 0q u p q q p− + + =

0D > 0D >

- за теоремою Вієта є коренями рівняння ( ) (' 2p p u q− +

Якщо , то ∃ розв’язок цього рівняння. Доведемо, що :

( ) (

( ) (( )( )( )( ) ( )

2' '

2 ' ' 2 ' 2

2 2' ' '

2' ' ' 2 2

2' '

0 :4

4 2

2 2 1

2 4

2 4

DD q q p q q

q qq q pp q p q

q q pp pp

q q pp p p

q q pp q p

> = − − +

− + − −

= + − − −

= + − −

= + − − −

)( )( )

)( ) ( )

( )

' '

' ' 2 ' '

' ' 2 2 '

' 2

2 ' '2

0 ?

6 4 4

4 4

4 .

p p p

p q pp q

qq p q p q

q q q p

q p

− > −

+ + =

+ + =

− − − =

−

( )( )2 ' '22 4 4q p q p> − −2

Для завершення доведення покажемо, що

( )( )2' 'q q pp+ − . (!) 1) Так як x px q++ 2 24 0 4 0q p q p q незвідний, то − > ⇒ > ⇒ >

22) Так як x p x+ ' '2 ' '2 '4 0 4 0q p q p qq′ ′+ незвідний, то − > ⇒ > ⇒ >' ' 2

244

q pq p

⎫> ⇒⎬> ⎭

( )2' '16qq pp⇒ >

всі частини додатні ⇒ перемножимо

. (!!) За нерівністю Коші

' '2q q qq+ ≥ . (!!!) Нерівності (!!) і (!!!) дають змогу зробити першу із наступних оцінок ланцюга

( )( ) ( ) ( )( )( )( )( ) ( )

22' ' ' '

2 ' ' 2 '2 ' 2 '

22 ' '2 ' '

0

2 4

4 4 4 4 8

4 4 2 2

q q pp qq pp qq

q p q p qp q p pp

q p q p q p p q

≥

+ − ≥ − =

= − − + + −

= − − + − ( )( )

2' ' ' '

'

2 ' ' 2

16 8

4 4 .

qq pp pp

qq

q p q p

− + =

=

≥ − −

1) Якщо ' ' '2q q qq≠ ⇒ + > ⇒q q перший знак «≥» стане «>».



q q= ⇒ ≥'p p

2) Якщо перший знак « » тим же і залишиться, а другий стане «>», оскільки за припущенням

'

≠ .

Отже, . ( )( )2' '2 q q pp+ − ( )( )2 ' '24 4q p q p> − −

,Висновок: можна знайти такі µ ν , для яких інтеграл ІІІ зво-

диться до інтегралу виду ( )( )2 2

P tdt

t tλ

+ γ α +β

"p p∫ у випадку ≠ .

2px t= − Розглянемо б) p p′= . Зробимо заміну: , тоді

2 2 22

4 2 4p p p2 2x px q t tp pt+ + = − + + q t q− + = − + ,

"22 " ' 2

4p 'x p x q t q+ + = − + .

( )( )

Це зводить інтеграл ІІІ до інтегралу виду 2 2

P tdt

t tλ

+ γ α +β

p p′=

∫ у ви-

падку . Тепер з’ясуємо методи інтегрування

( )( )2 2

P tdt

t tλ

+ γ α +β∫ . інтегралу виду

( )( )2

P t

tλ

+ γ Правильний раціональний дріб розкладаємо на най-

простіші. Інтегрування зведеться до інтегралу виду

( )2 2k

B dtt t

+

α +β

At

+ γ∫ , : k ∈

( ) ( ) ( )3,3

2 2 2 2k k

At B A tdtdtt t t t

+ α=α+

3,4

2 2k

I I

dtBt t

+γ α +β + γ α +β + γ α +β

∫ ∫ ∫ .

1) ( )3,3I =

2 2k

tdt

t t

α

+ γ α +β∫

2 2 2

2 2 2u t u t

udu tdtut tdt udu

= α +β = α +β= = α−β

= α =α

=


2 21 1k k

du

u=

β β⎛ ⎞

udu

u u=

⎛ ⎞− + γ⎜ ⎟α α⎝ ⎠

∫− + γ⎜ ⎟α α⎝ ⎠

∫

( )

- раціональна функція.

2) 3,4I ∫ 2 2k

dt

t t= =

+ γ α +β

( )

( )( )

( )

( )

'2

2 2

2

2 22

22 2

2 22

2

2

Заміна Абеляt tu t

t t

u t tu t

du t u udt dttdt u du t

dt duu tt

α α= α +β = =

α +β α +β

α +β = α ⇒= α

α +β + ⋅ = α

=α − = α +β

=α − + γ =α +β

2 2

2

2 2

2 2 2

2

t

uu

u uu

+β = α =

βα − α

β+ γα − γαα α −

( )( )( ) ( )( )

2

2 2 2

kk

k

u

u u

α α −= =

β−αγ + α γ

du

α −∫

( )( )( )

12

2 2

kk

k

du u

u

−α α −

β−αγ +α γ∫ - раціональна фун-

кція. Приклади. Інтеграл типу І.

( )2

21

2 2

x x dx Ax B x xx x

− += + +

+ +2 22 2

2 2

dx

x x+ + λ

+ +∫ ∫ .

Про диференціюємо рівність:

( )2

2

2 2

1 12 22 2 2

x x xA x x Ax Bx x x x

− + += + + + +

+ + + 2

1

2 2 2x x+ λ

+ + +,

2 2 2x x+ +помножимо обидві частини на ( ) ( )( )2 1Ax B x+ + + + λ2 21 2x x A x x− + = + + ,

застосовуємо метод невизначених коефіцієнтів:



2

1

0

2 12 12 1

x Ax A A B

A Bx

=

1 ;2

3 51 ;2 25 51 1 .2 2

A

B

⎧ =⎪⎪ −⎪⇒ = − − =⎨⎪⎪λ = − + =⎪⎩

+ + = −+ + λ =

Звідки отримаємо

( )

( )

2

52 1 1

1 .

dxxx

x C

+ + =+ +

+ +

∫ ∫2

2

2

2

1 1 5 2 22 22 2

1 5 52 22 2 2

x x x xx x

x x x arctg

− + ⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎝ ⎠+ +

⎛ ⎞= − + + +⎜ ⎟⎝ ⎠

Інтеграл типу ІІ.

( )3 22

22

1 01

1 1 1

11 2 1

1 12 1 1 2

tx

xtdx

dx dtx x xt

x xt t

= >−

= + >

= −− − −

⎛ ⎞ ⎛− − = + −⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

∫

21 21 1 tt

= =

−⎞+ − =⎟⎠

32 2 22

2 2 2 2

11 2 1 2 1 1 12 21 2 1 2 1 2 1 2

t dt tt dt t dt tt dt

t t t t

−⎛ ⎞ ⋅⎜ ⎟ − − + −⎝ ⎠ 2

2

11 22 1 2

t dtt

⎛ ⎞= − = = =

− − − −∫ ∫ ∫ ∫ − − =⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

∫

( )( )

2

2

1 1 1 11 2 12 2 2 21 2

dt tt dtt

= − − = ⋅−

∫ ∫ 22 1 22 arcsin2 2 1

tt⎛ ⎞

− + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

2

2

1 1 2arcsin 1 22 1 42 4

1 2 11 a4( 1) ( 1) 4 2

t tC t

x xx

− ⋅ + = − −

= − −− −−

1 arcsin 22

2rcsin .1

t C

C

+ =

+

Інтеграл типу ІІІ. Випадок перший.

( )7 7

2 2 2

1

2 2 2

dx

x x− +∫ ∫ 3

2 21 12 2

dxx xx x

= =⎛ ⎞− + − +⎜ ⎟⎝ ⎠



'

1⎛ ⎞

+⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

2

2

121 23; ; 1. :2 2

2 12

1 1544 16

xxp q Заміна t xxx

D

−λ = = − = = − =

= =− +

= − = −

( ) ( ) ( )3

1 22 27 72 2

6 3 5

3

6

3 2 2

1 4 1 16 41 115

2 22 2

3 52 15

2 0, 25 2 0, 25 13 52 15 0,5 1 0,5 1

t dt t dtD

t tt C

x x

x x x x

λλ− ⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⋅

⎛ ⎞= − ⋅ + + =⎜ ⎟

⋅ ⎝ ⎠

⎛ ⎞− −⎜ ⎟= − ⋅⎜ ⎟⋅ − + − +⎝ ⎠

∫ ∫9

2 47

32

3 5

2

2 1 22 15

0,25 .0,5 1

t t dt

x Cx x

= − + =

⎛ ⎞⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟+ ⋅ +⎜ ⎟⎜ ⎟− +⎝ ⎠⎝ ⎠

∫

( )

Інтеграл типу ІІІ. Випадок перший.

2 2

3

1 1

xI dxx x x x

+

− + + += ∫ .

Заміна:

( )( )

( ) ( )

22

2 2 2

2

1

1 2

1

txt

t tx xt t

t t

t

µ + ν= ⇒

+µ + ν µ⎛ ⎞⇒ ± + = ±⎜ ⎟

⎝ ⎠µ ± µ + + µν ±µ

=+

2

1 11 1

2 1.

+ ν⎛ ⎞ + =⎜ ⎟+ +⎝ ⎠± ν + + ν ± ν +

:

2 14 4 0

Прирівнюємо до нуля коеф. при t ( )2 02 2 0

2 2 0µ = −ν+ ν = ⎧

⇒ ⇒ ⎨⎧ µµν +µ + ν + =⎧

⎨ ⎨µν −µ −ν + = µ =+ = ⎩

11


µν⎩ ⎩

µ = ±⎧⇒ ⎨ν =⎩ ∓

1, 1

.

2) Нехай µ = ν = − , тоді 11

tt−+ ( )

x = 2

21

dtdxt +

( )

⇒ = ,

( )

22

2

22

2

3 11 ,131 .

1

tx xttx xt

++ + =

++

− + =+


( )

( ) ( )( )

2

2 2

2 2

1 231 1

23 3 1

1 1

tt t

2 2

4 2

3 1 3

tI dtt tt t

−⎛ ⎞+⎜ ⎟+⎝ ⎠ += =

+ +

+ +

∫ ∫ dtt t

+=

+ +

( ) ( )

( )

2

2 2

1 3 2 (

2

8 43 1 3 3

2 3 1 2 2ln6 23 1 2

замiна u t замiна u t

tdt

t t

x x

x x

××

⎛ ⎞ ⎛⎡ ⎤ ⎡= +⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦⎝ ⎠

= ⋅ + ⋅+ +

⋅ − + −= +

⋅ − + +

∫ ∫

2 '2

2 2

3)3

2 2

1 3

2 1:

1

t

t

dt

t t

xarctg C

x x

⎞⎤⎜ ⎟= + = ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥+⎣ ⎦⎝ ⎠

=+ +

++

− +

.

( ) ( ) ( ) ( )

2

2 2

22 2

2 2

2

2

2

331 )

3 83 1 33

1 3 2 2 1 3 9ln ln4 2 3 3 2 2 4 6 3 9

13 9 2 211 1ln ln

4 6 4 613 9 2 21

u ttdt uduu t

udu tdt u ut tt u

u tu t

xx

xx

×

= += += == −+ +

= −

− += + =

+ + +

+⎛ ⎞ + −⎜ ⎟−⎝ ⎠= ++⎛ ⎞ + +⎜ ⎟−⎝ ⎠

∫ ∫ 2 2

2

2 2

3 2 2

2 2

2 2

3 1 2 ;3 1 2

du

u

C C

x xC Cx x

= =−

−+ =

⋅ − + −= +

⋅ − + +

∫

( )

( )

2 2

2 '

22

2 22

22 2

2 2

2

22

2 )3 1 3

( 3)33

3333

11 33 1

13

dt

t ttu t заміна Абеля

u ttu t ut u t

udu t u udt dt tudt u du t

tdt duut

× =+ +

= + = −+ =+

= +

= + + ⋅ = =−− = +

+ ==

−+

∫

2 2

2

2 2

2 2

9 8 111 1

tt

u uu u

+ =

=

++ =

− −



( )( )( ) ( )

2

2 22 2 2

1

8 11 8 1 2 2 1

du u du duuu u u

−= = =

+− + +∫ ∫ ∫

1 2 22 2

arctg u C= + =

( )2 2

12 21 2 2 1 1

2 2 2 2 2 21 31

xt xarctg C arctg C

xx

+⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠= + =+⎛ ⎞ +⎜ ⎟−⎝ ⎠

2

2 11

3 1

xarctg C

t x x

++ = +

+ − +.

6.4.5. Інтегрування біноміальних диференціалів ( ) ,

pm nx a bx dx+∫ , , , ,m n p a b∈ ∈

p

. Випадок перший: ∈

,m n

Спільний знаменник дробів дорівнює λ , тобто

;m nα β= =λ λ

.

Заміна: t приводить до xλ=

1

, ,.

m nx t x tx t dx t dt

α β

λ λ−

= == ⇒ = λ

1m n

Звідси ( ) ( )p p

x a bx dx dtλ−+ = λ∫ ∫ t a bt tα β+ ( ), , ,pα β λ∈ . λ x=

nz x

t є раціоналізуючою. Отже, заміна Перед тим, як перейти до розгляду наступних випадків зро-бимо допоміжну заміну = . Тоді

1 1 11, ,n n nm

m nx z x= = z z dx z dzn

−= = ,

( ) ( ) ( )

( )

1 1

1 11 .

pm n n n

pq

1 11 1m mp pnx a bx dx z a bz z dz

n nmq z a bz dz

n n

+ = +

+= = − = +

∫ ∫

∫

z a bz dz+

− −= + =∫

p qq

→ + ∈→ ∈

q

. Можливі два випадки

. Нехай ν − знаменник дробу , тобто Випадок другий: ∈ p

,p α=ν

α∈ . Тоді

( ) ( ) ( ),z R z a bz dzν= +∫p q qa bz z dz a bz z dαν+ = +∫ ∫ .


6 ПЕРВІСНА ФУНКЦІЇ ТА НЕВИЗНАЧЕНІ ІНТЕГРАЛИ Підінтегральна функція є дробово-лінійною ірраціональністю, тому заміна


t a bzν= +p q

є раціоналізуючою. Випадок третій: + ∈ . Нехай ν − pзнаменник дробу ,

тобто ,p α= α∈ν

. Тому підінтегральна функція має вигляд

( ) ,p q a bzz R zz z

α+ ν

⎛ ⎞+ += ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

p pp q p q p qa bz a bz a bza bz z z z

z z+ + ν

+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

a bzz

ν+

=І є дробово-лінійною ірраціональністю, тому заміна : t , або,

те саме 1t az bν −= + є раціоналізуючою. Зауваження. Ще Ньютону було відомо, яким чином раціона-лізувати підінтегральний вираз, але не було відомо, що тільки зазна-ченими трьома випадками обмежене раціоналізування підінтеграль-ного виразу в біноміальному диференціалі. Цей факт довів Чебишев в середині 19 ст. Підсумок: мають місце три випадки інтегрування біноміаль-ного диференціалу за допомогою замін Ньютона-Чебишева:

p∈ λ

,m n

, - спільний знаменник дробів

, тоді заміна випадок

перший: t xλ=

випадок другий:

1 1m mqn+

∈ ⇔ ⇔ ∈1n+

− ∈ , ν −

p nz x

знамен-

ник дробу , тоді заміни = і t a bzν= + , тобто

nt a bxν= +

випадок третій:

1 11m mp q p p+ +⎛ ⎞+ ∈ ⇔ + − ∈ ⇔ + ∈⎜ ⎟⎝ ⎠

ν − nz x

n n

знаменник дробу , тоді заміни p =

і 1t az b−= +ν , тобто

nt ax bν −= +

Приклад (№Д1988) ( )1

3 1 5

3 5

111

dxI x x dxx

x

−− −= = +

+∫ ∫ .

3, 11 3 1, 1) 2) 25 1

1, 1

m n

p розглянемо p розглянемо

a b

= − = − ⎫⎪ − +⎪= − ⇒ ∉ ⇒ = ∈ ⇒⎬ −⎪

= = ⎪⎭

6 ПЕРВІСНА ФУНКЦІЇ ТА НЕВИЗНАЧЕНІ ІНТЕГРАЛИ 5 11t x−= +випадок другий, . Заміна: 5ν = приводить до

( )

5 1

4

5 25

1 ,1 5 ,

1 1

tt x

x dx dtt

−

−= ⇒ =

−t

= +

−

( )( )

( )4 9 4

5 1 5 59 4

t t t35 325

1 51 51

I t dt tt t

−= − = − −

−∫ ∫ t dt C= − + + =

9 4

5 55 11 1 .

9 4C

x x⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(sin ,R x sin ; cos .u x v x

5 1= − +

6.4.6. Інтегрування деяких тригонометричних функцій (продовження). Розглянемо . Позначимо )cos x = =

( ),R u v

( )

, тоді будемо розглядати Нехай ( ),u v,R u v R− = , тобто функція ( ),R u v

u є парною від-

носно змінної . У цьому випадку ( ) ( )2

1, ,R u v R u v=

u( )

, тобто містить лише парні степені .

( ), ,R u v R u v− = −

( ) Якщо , тобто функція є непарною відносно

. Тоді розглянемо u,R u v

u( )

, отримаємо

( ), ,R u v R u vu u

−=

−( )

.

,R u vu

u є парною за змінною . Тому Тобто, функція

( ) ( ),R u vR u v

u= ⇒ ( ) ( )2 2

1 1, , ,R u v uR u v= .

Випадок перший: ( ) ( )sin ,cosx R x x− = −

sinsin ,cosR x - функція

непарна відносно x , тоді із попередніх роздумів маємо:

( ) ( )

( ) ( )

2 21 1

1 co2

1

sin ,cos sin ,cos sin sin

1 cos ,cos cos .

R x x dx R x x xdx R

R x x d x−

= =

= − −

( )2s

, cos cosx

x x d x⎛ ⎞

− =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

cost x=

Отже, заміна раціоналізує підінтегральний вираз.



Випадок другий: ( ) ( )sin ,cosx R x x− = −

sin xsin , cosR x є аналогічним

першому, тому заміна t = буде раціоналізуючою. Випадок третій: ( ) ( )s sin ,cosx R x x=

( ) ( ), ,R u v R u v− − =

sin , coR x− − , тобто . Зробимо перетворення

( ) *, , ,u uR v v R vv v

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( )

R u v .

( ), ,R u v R u v− − = , отримаємо Знаючи, що

* *R v R −⎛ ⎞ *, , ,u u uv R vv v v

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎜ ⎟ −⎝ ⎠,

* ,uR vv

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

є парною за другою змінною, тому значить функція

* * 2 *1 1

sin, , , ccos

u u xR v R v Rv v x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

2 *1 2

1os ,1

x R tgxtg x

⎛ ⎞⎞ = ⎜ ⎟⎟ +⎠ ⎝ ⎠.

( )sin ,cosR x x∫ t tg xПід знаком інтегралу dx введемо заміну = , отри-маємо

( ) *1 2

1,1

R tgx dxtg x

⎛ ⎞= =⎜ ⎟+⎝ ⎠

sin ,cosR x x dx∫ ∫

( ) ( )2 21 1x dx t dx= + =2

2

cos

1

t tgxdxdt tg

xdtdx

t

=

= = = +

=+

*1 2 2

1,1 1

dtR tt t

⎛ ⎞⎜ ⎟+ +⎝ ⎠∫

t tg x=

( )

.

Отже заміна у третьому випадку є раціоналізуючою. Висновок.

( )R x x x− = cost xВипадок перший: sin ,cos sin ,cosR x− - заміна = , Випадок другий: ( ) ( )sin , cosR x x R x− = − sint xsin ,cosx - заміна = , Випадок третій: ( ) ( )sin , cosR x x x− − = t tg xsin ,cosR x - заміна = .

∫ ++ 2sincos2sin

2

3

xxxdxПриклад. Підінтегральна функція в інтегралі є

непарною відносно синуса, тому зручно застосовувати першу з наведених замін



=+−+

−−= ∫ 2)1(2

)1(2

2

ttdtt

−==−=

−==

=++

= ∫1

cos1sinsin

cos

2sincos2sinsin

2

222

2

txx

xdxdtxt

xxxdxxI

=++−

−= ∫ 32

)1(2

2

ttdtt

∫ =+∫∫−+

−=+−

−=+++−

− dtttdt

tttt

31

)3)(1()1)(1( dt

tt

34)3(

Cxx +++ )3ln(cos4Cttdtt

−=+++−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−−= ∫ cos|3|ln4

341 .

Випадок четвертий.

, , 0,2

Q x π⎛ ⎞µ ν∈ ∈⎜ ⎟⎝ ⎠


Інтеграл виду sin cos ,x xdxν µ∫ де .

Уведемо заміну , тоді 2sinz x=

( )

( )

122

12

12

sin ; cos 1 sin

arcsin ,

1 122 1

12

12

1 1 ,

1 ,

x z x

x z

dx dz zz z

−

= = −

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

= =−

x z z

z dz−

= − = −

−

звідки

( ) ( ) ( )1 11 1

2 21 1 12 2

2 22 2sin cos 1 1x xdx z z z z dz− −ν µ = − −∫ ∫ z z dz

ν ν−µ µ−

= −∫ .

12

12

ν − ⎫∈ ⎪⎪⇒⎬µ − ⎪∈⎪⎭

Якщо даний інтеграл зведено до біноміального диферен-

ціалу: 1 11 12 11 2

1 1; 1; ; 12 2

1; 1.2 2

mp n m qn

q p q

ν −+ ν −

= − = ⇒µ− ν − +

= = = = −

ν − µ + ν= + = −

Отже, такий інтеграл можна раціоналізувати, якщо

І. 1 непарне= ∈ ⇒ µ−2

p µ − ,

ІІ. 1 непарне= ∈ ⇒ ν −2

q ν − ,


ІІІ. 12

p q µ + ν+ = − парне∈ ⇒ µ + ν − .

Зазначене відповідає загальному випадку. Зупинимося на окремих випадках, що зустрічаються найчастіше.

1.1, 1

1.3

→ −µ ν∈ → −

→ −.2

, {0},

непарнепарні

парні

µ∨ ν −µ ∧ν −µ ν∈ ∪непарне

1.1. µ∨ ν − . Якщо µ - непарне, тоді заміна cost x= , оскільки

( )

( ) ( )

2

2 2

cos (cos )

, .

n

n n

2 1 2

(cos )

sin cos sin cos sin sin

1 cos cos (cos ) cos 1

n n

d x

x xdx x x xdx

x xd x t x

+ µ µ

−

= =

= − − = = = − −

∫ ∫

∫ ∫

x xd x

t t dt n

µ

µ µ

− =

∈

∫

ν sint x

Якщо - непарне, аналогічно, заміна = . 1.2 Якщо µ∧ν

sin , cosv x - парні, тоді підінтегральна функція є раціона-

льною функцією двох змінних u x= = і завдяки парності µ∧ν виконується рівність

( sin , cR x os ) (sin ,cos )x R x x− − =gx

, Що відповідає випадку третьому. Тобто робимо заміну t t= . Випадок 1.3. є частковим підвипадком 1.2.

1.3 Якщо , {0}, ï àðí ³µ ν∈ ∪ 2 ; 2n m, тобто, µ = µ =

n m,

, то застосовуємо формули: , {0}∈ ∪

2 1 cos 2sin2

xx −= , 2 1 cos 2cos

2xx +

= , sin 2cos2


sin xx x =

ν

. (*)

Якщо µ ≥ , то

( ) ( ) ( )2 1 cos 2

2 2

m n mx x −−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 22 2 sin 2sin cos sin cos sinm n mn mx x x x x −= = ,

22 2 sin 2 1 cos 2cos

2 2

m n mn n x xx xЯкщо ν > µ , то sin

−+⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

' ', sin 2 cos 2vC x xν µ′ ′µ

.

Після розкриття дужок отримаємо вираз вигляду:

,v′ ′µ∑ , (**)

' '2

n m ν +µν +µ ≤ + =де . Тобто після такої дії степінь знизилась удвічі.

Потім вираз (*) перетворюємо або, як у випадку 1.1 чи 1.2 (якщо якийсь степінь непарний), внесенням під диференціал, або (якщо



x2sinобидва степеня парні) за допомогою формул (*) зниження степеня чи

. У першому випадку інтегрування зводиться до інтегрування многочлена, а у другому – за потреби знову застосовуємо формули (*). Кількість таких перетворень буде скінченою.

Приклади.

( )1

22 11. 3 2sin cos sin (1 sin ) (sin ) sinx xdx x x d x t= − =∫ ∫ x t t dt= = − =∫3 7

32 22 2 2 2sin sin sin sin3 7 3 7

t t C x x x x C= − + = − + .

4 2sin cosdxx x∫42

t tgxν = − ⎫⇒ =⎬µ = − ⎭

2. .

Тут , тому

( ) ( )

2

2 2

4 4

2 22 2

11 1

tg xtg x tg x

t

t

=+ +

=

+ +

2 2

4 2 4 4

( )

sin 1 cos 11 ( )

sin cos sin sin1 1d tgx

t xdx d tgx

tg xx x x ttg x

= − = −

⋅ = == =

∫ ∫

( )( )

22 2 4

4 4

1 1 2dt t t t dtt

+ + += =∫ ∫ 4 22dt dt dt

t t t= + + =∫ ∫ ∫

( )31 12 1tg x tgxtgx

−= − + − + + 3

2 13 3

C tgxtgx tg x

= − − .

( ) ( ) ( )

( )

2 22 4 2

2 2

1 13. sin cos sin cos cos sin 24 2

1 1 1 1sin 2 sin 2 cos 2 1 cos 48 8 8 21 1 1 1 1 1cos 4 sin 4 sin

16 16 16 16 64 32

x xdx x x xdx x

2

2 3

1 cos 2

1 1 sin 2 sin 28 2

2 .

t

x dx

x x xdx x dx

dx xdx t dt x x

= =

= + = −

= − + = + +

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

xd x

x C

=

⋅ + =

⎛ ⎞+ =⎜ ⎟

⎝ ⎠

+

∫

( , ), ,hx chx sh x ch x

Інтегрування функцій виду R s ν µ , де

, , 0,2

Q x π⎛ ⎞µ ν∈ ∈⎜ ⎟⎝ ⎠

здійснюється за допомогою тих же правил, що і для звичайних три-гонометричних функцій.

1.У випадку універсальна заміна ( , )R shx chx dx∫ 2xt t , тоді h=

6 ПЕРВІСНА ФУНКЦІЇ ТА НЕВИЗНАЧЕНІ ІНТЕГРАЛИ 2

2 2 2

2 2 1, ,1 1 1

t tchxt t t

dtdx shx += = =

− − −.

, , 0,2

Q x π⎛ ⎞µ ν∈ ∈⎜ ⎟⎝ ⎠

2. У загальному випадку ,sh x ch xdxν µ∫ , де ро-

бимо заміну , звідки 2z sh x=1 1

2 2 2

1 12 22 2

(1 ) , ,

(1 ) ,

z shx z

z dz− −

= + =

+

2 2 2 2

1 12 2

1 1 1

2 (1 )

ch x sh x chx sh x z

dz shxchxdx z z dx dx z

− = ⇒ = − = −

= = + ⇒ =

1 12 2(1 )sh xch xdxν µ z z dzν− µ−

= +∫ ∫ Тому інтеграл можна раціоналізувати лише у трьох випадках: 1. ν – непарне, 2. µ – непарне, 3. ν + µ – парне за допомогою замін, аналогічних тригонометричним.


Documents

§ Первісна ф-ціяsites.znu.edu.ua/bank/public_files/2009/10/matanaliz/6.pdf · 6 ПЕРВІСНА ФУНКЦІЇ ТА НЕВИЗНАЧЕНІ ІНТЕГРАЛИ Н.М