1. Поверхневі інтеграли

1.1 Поверхневі інтеграли першого роду

Поверхневі інтеграли 1-го роду застосовуються при обчисленні площі деякої

обмеженої, чи, можливо, деякої і необмеженої поверхні, маси цього кусочка

поверхні при заданій густині маси, координат центра ваги поверхні, моментів інерції поверхні з розподіленою густиною маси.

Ми будемо розглядати поверхні в просторі R3 , це придає цій теорії наглядність.

Нехай в просторі R 3 задана частина

z

S деякої обмеженої поверхні S :

M i S i

y

x

Рис.1

Складемо наступну суму

Fx, y, z 0 (1.1.1)

і в кожній точці x, y, z цієї поверхні задана

деяка функція x, y, z. Розіб’ємо поверхню

S на n частин ( S1, S2 , S3 ,... Sn ) і виберемо на

кожній з цих частинок Si поверхні довільну

точку M i

з координатами x , y , z (рис.1).

i i i

n x

S

, y , z i

i i i

i1

n

,

(1.1.2)

де Si − площа частинки поверхні Si . Позначимо через найбільший із діаметрів

i ~ ~

sup Mi , Mi , Mi , Mi Si частинки поверхні Si .

Означення. Якщо існує скінчена границя сум (1.1.2) при 0 незалежна ні

від вибору способу розбиття на частинки Si , ні від вибору точок M i Si , то цю

границю прийнято називати поверхневим інтегралом першого роду по поверхні S і

записувати в наступному вигляді

x, y, zds . (1.1.3) S

5

Основні властивості поверхневого інтегралу 1-го роду.

1. Нехай дві функції

яких дійсних чисел ,

x, y, z

1

S

1 x, y, z і 2 x, y, z є неперервними на

R виконується рівність

2 x, y, zds 1 x, y, zds 2 x, y S S

S

, z

, тоді для будь-

ds. (1.1.4)

2. Якщо поверхня S складена з двох поверхонь S1 і S 2

поверхні S1 , S2 не мають спільних внутрішніх точок, то

x, y, zds x, y, zds x, y, zds .

S S S 2

1

,

S

S1

S 2

, і при цьому

(1.1.5)

3. Якщо x, y, z1, x, y, zS , то ds s , де s − площа поверхні S . S

4. Має місце нерівність

x, y, zds x, y, zds K s , S S

де K max x, y, z , s − площа поверхні S . x, y,z S

(1.1.6)

5. Якщо функція

поверхні існує точка

x, y, z

x , y 0 , z

0

0

є неперервною на замкнутій поверхні

S така, що

S ,

то на цій

x, y, zds x0 , y0 , z0 s , (1.1.7) S

де s − площа поверхні S .

Обчислення поверхневих інтегралів 1-го роду

Нехай поверхню S , яка визначається в неявному вигляді (1.1.1) можна записати

в явному вигляді z zx, y. При цьому x, y змінюються в області Dxy ; Dxy −

проекція поверхні S на площину XOY . Припускаємо, що функції

є неперервними в області Dxy , функція x, y, z є

zx, y, zx x, y, zy x, y

неперервною на поверхні S .

Внаслідок розбиття поверхні S на частини Si , область Dxy розіб’ється на

частини Di , які є відповідними проекціями частин Si на площину XOY .

6

Якщо позначити через Di площу

частини Di , то можна записати зв'язок

між площами D і S : D S cos ,

i i i i i

i − кут між нормаллю ni до поверхні

Si в точці M i і віссю OZ (рис.2).

Враховуючи рівність

cosi

1 ,

2

xi , yi 2

xi , yi

1 zx zy

інтегральну суму (1.1.2) запишемо у

наступному вигляді

z

S

n

i

i

M i S i

y

D D xy

i

x

Рис.2

n x

S n

x

, zx , y D

, y , z , y i

n i

i i i i i i i cos

i1 i1 i

n x

, zx

2 x

z 2 x .y D

, y , y 1 z , y

i i i i x i i y i i i

i1

Звідси випливає зв'язок між поверхневим інтегралом 1-го роду і подвійним

інтегралом

x, y, zds x, y, zx, y 1 z 2 x, y z

2 x, ydxdy. (1.1.8)

x y

S D

xy

Якщо із неявного запису (1.1.1) поверхню

x, y, zds x, yx, z, z 1 S D

xz

S

yx

можливо записати

2 x, z y 2 x, zdxdz

z

y

.

yx, z

, тоді

(1.1.9)

У випадку запису поверхні S у вигляді x xy, z будемо мати

x, y, zds xy, z, y, z 1 x 2 y, z x 2 y, zdydz.

y z

S D

yz

Нехай тепер поверхня S записується в параметричному вигляді

x xu, v, y yu, v, z zu, v.

В цьому випадку елемент площі записується у вигляді

(1.1.10)

(1.1.11)

ds J 2 u, v J

2 u, v J 2

1 2 3

u, vdudv,

де

7

u, v

y

J u

1 y

v

u, v

z

J u

2 z

v

u, v

x

J u

3 x

v

z

u z

v

x

u

x

v

y

u y

v

y z u v

z x u v

x y u v

,

yv zu

z

,

v xu

.

xv yu

(1.1.12)

Таким чином, поверхневий інтеграл (1.1.3) у випадку параметричного

(1.1.11) поверхні S , обчислюється наступним чином

x, y, zds xu, v, yu, v, zu, v 2 2

u, v J 2 u, vdudv.

J1 u, v J 2 3

S D

Приклад 1. Обчислити поверхневий інтеграл

x

2 3xy y

2 z

2 ds ,

S

вигляду

(1.1.13)

де S − частина площини x y z 3 , розміщена у першому октанті.

◄ Рівняння заданої поверхні S запишемо у z

вигляді z 3 x y , звідси отримуємо

2 2

x, y

2

3 . Проекцією поверхні S : z

1 zx x, y z y

S на площину XOY є трикутник Dxy

3 x y

обмежений прямими x 0, y 0, x y 3 D xy

(рис.3). 3

Тепер записаний поверхневий інтеграл x

у

зводимо до подвійного і обчислюємо його.

3

x2 3xy y 2 z 2 ds

x y 3

S

x2 3xy y 2 3 x y2

dxdy

3 D

xy

Dxy

3 y

3 3x

3 dx xy 6x 6 y 9dy 0 3 х

0 0

3 Рис.3

1

3

2

9

459 3

3

x

6x

x 27 dx

.►

2

2 8

0

8

Приклад 2. Обчислити поверхневий інтеграл

x

2 y

2 ds ,

S

де S − повна поверхня сфери x 2 y

2 z 2 1.

◄ Поверхню S (рис.4) запишемо в параметричному z

вигляді

x cosu cosv , y cosu sin v , z sin u.

При цьому параметри u, v змінюються в межах

u

, 0

v 2.

х

2 2

Підраховуємо якобіани (1.1.12), маємо Рис. 4

u, v

y z sin u sin v cosu 2

J u u u cosv,

cos

1 y z cosu cosv 0

v v

u, v

z x cosu sin u cosv 2

J u u

u sin v,

2 z x 0 cosu sin v

cos

v v

3 u, v

x y sin u cosv sin u sin v

J u u

cosu sin u .

x y cosu sin v cosu cosv

v v

у

Таким чином, отримуємо

ds J 2 u, v J

2 u, v J 2

1 2 3

і обчислюємо наш інтеграл

u, vdudv cosu dudv

2

2 2

2 2 3 1

3

x

y

ds cos u cosu dudv dv cos udu 2sin u

sin

u

3

S D 0

2

Приклад 3. Обчислити поверхневий інтеграл

zds , S

де S − частина поверхні гелікоїда (рис.5)

x u cosv, y u sin v, z v, 0 u 1, 0 v 2.

2

2

8

.► 3

9

◄ Записуючи похідні z

x cosv, x u sin v,

u v

u cosv,

0 ,

yv zu

отримуємо

y sin v, u

z 1, v

u

J u, v

sin v

1 u cosv

0

1

sin

v

,

J u, v

0 cosv cosv

2 1 u sin v

v

J3 u, v

x y cosv sin v у х u u

u .

x y u sin v u cosv

v v

Таким чином, враховуючи формулу Рис. 5

(1.1.13), маємо

zds S

v 1 u 2 dvdu

D

1 2

1 u 2 du vdv

2 2

0 0

ln 1

2

.►

1.2 Поверхневі інтеграли другого роду

Поверхневий інтеграл першого роду не залежить від орієнтації поверхні,

оскільки площа Si частинки поверхні, яка входить у інтегральну суму (1.2) є

завжди додатною. Але існує ряд важливих задач (наприклад, про величину потоку

рідини через задану поверхню за одиницю часу та ін.), в яких орієнтація поверхні

відіграє важливу роль. Такі задачі приводять до поняття поверхневого інтеграла 2-го роду.

Нагадаємо означення двосторонньої поверхні і односторонньої.

Розглянемо деяку гладку поверхню S і на ній

замкнений контур L, який не має спільних точок з N P

S

межею цієї поверхні (рис.6). У довільній точці P L

контуру L проведемо одиничний ортогональний вектор P

до поверхні S. Переміщаємо точку

разом з

Рис.6

N P P

нормаллю N P вздовж замкнутого контуру L . Повернувшись в початкову точку P ,

ми можемо отримати той самий вектор N P , а можемо отримати протилежний NP .

Означення 1. Гладка поверхня S називається двосторонньою, якщо при обході

вздовж будь-якого замкнутого контуру L , який належить поверхні S і не має

спільних точок з краями поверхні, напрям нормалі до поверхні не змінюється. Якщо

ж на поверхні S існує замкнутий контур L , при обході вздовж якого напрям

нормалі змінюється на протилежний, то поверхня називається односторонньою.

Прикладом двосторонніх поверхонь є площина, параболоїд, еліпсоїд і т.д

(рис.7(а)). Прикладом односторонньої поверхні є листок Мебіуса (рис.7(б)).

Параболоїд Еліпсоїд Лист Мебіуса

а) б)

Рис.7

На двосторонній поверхні вибір напряму нормалі в одній точці однозначно

визначає напрям нормалі в усіх точках даної сторони поверхні.

Означення 2. Сукупність усіх точок поверхні із вказаним напрямом нормалі

називається стороною поверхні, а вибір певної її сторони − орієнтацією поверхні.

Нехай поверхня S визначена в неявному вигляді Fx, y, z 0 . Розглянемо

вектор

a

ортогональний до поверхні

F x, y,

z x

S. Вектор

, F x, y, z

, F x, y, z

y

z

називають градієнтом і коротко записують

a

gradF

a

Fx,

Fy,

Fz .

S

N

, отримуємо одиничний вектор, ортогональний до поверхні

Нормуючи вектор a

(рис.8)

F

F

F

a

x , y , z cos, cos , cos .

2 2

2

2

2 2

2

a F F F 2 F F F 2 F F F

x y z x y z x y z

При цьому z gradF

F

cos x ,

F 2 F 2 F 2

x y z

F S

cos y ,

F 2 F 2 F 2

x y z

F

у

cos z х

F 2 F 2 F 2

x y z

Рис. 8

прийнято називати направляючими косинусами нормального вектора до поверхні S.

По цих косинусах визначається сторона поверхні. Наприклад, якщо поверхня S

визначається у явному вигляді z zx, y, то можна покласти

F x, y, z zx, y z 0 і направляючі косинуси ортогонального вектора

записуються у вигляді

z 1

cos zx , cos y , cos . (1.2.1)

z2 z2 1 z2 z 2 1 z2 z2 1

x y x y x y

12

Оскільки cos 0 , то кут між віссю OZ і нормальним до поверхні вектором є

тупим, це і визначає нижню частину поверхні S . Для верхньої частини поверхні

направляючі косинуси нормального вектора мають вигляд

a

S

z

cos x

2 2 z z

x y

1

,

z

cos y

2 2 z z

x y

1

,

cos

2 z

x

1

z 2

y

1

. (1.2.2)

Rx,

y,

Нехай на обмеженій поверхні

z. Розглянемо інтегральну суму

S

в кожній точці визначена деяка функція

n

Rxi , yi , zi i , (1.2.3) i1

де i − площа проекції частини

площину XOY , а Mi xi , yi , zi S

Si

i

поверхні S на

довільна точка

z

(рис.9). M i S

S

i

При цьому величину вважатимемо додатною,

якщо при проектуванні частини Si на площину XOY y

i

напрям обходу контура, що обмежує цю частину, не x

змінюється, і від’ємною, якщо він змінюється на Рис.9

протилежний.

Означення 3. Скінченна границя інтегральних сум (1.2.3) при найдрібнішому

поділі поверхні, яка не залежить ні від способу розбиття поверхні на частини, ні

від вибору точок M i на них, називається поверхневим інтегралом другого роду від

функції Rx, y, z по певній стороні поверхні S і записується в наступному вигляді

Rx, y, zdxdy. (1.2.4)

S

Зауваження 1. При заміні сторони поверхні на протилежну інтеграл змінює

знак:

Rx, y, zdxdy Rx, y, zdxdy . (1.2.5)

S S

Зауваження 2. Оскільки між елементом площі проекції

поверхні ds справедливе співвідношення dxdy cos ds , то

інтегралами другого і першого роду маємо зв'язок

dxdy

між

і елементом

поверхневими

13

Rx, y, zdxdy

Rx, y, zcos ds

,

(1.2.6)

S S

де − кут між нормаллю до поверхні в напрямку вибраної сторони і віссю OZ.

Аналогічно можна проектувати поверхню S на інші координатні площини

XOZ і YOZ. Тоді отримуємо ще два поверхневі інтеграли:

Px, y, zdydz Px, y, zcosds, S S

(1.2.7)

Qx, y, zdxdz Qx, y, zcosds, S S

(1.2.8)

де Px, y, z, Qx, y, z − неперервні функції визначені на поверхні S , , − кути

утворенні нормаллю до вибраної сторони поверхні і відповідно осями OX та OY.

Суму поверхневих інтегралів (1.2.6)-(1.2.8) називають загальним поверхневим

інтегралом другого роду і записують у вигляді

Px, y, zdydz Qx, y, zdzdx Rx, y, zdxdy S

Px, y, zcos Qx, y, zcos S

Rx,

y,

zcosds .

(1.2.9)

Зауваження. У формулі (1.2.9) підінтегральний вираз представляє собою

скалярний добуток

вектора

x, y, z Px, y, z, Qx, y, z, Rx, y, z і

F F

одиничного вектора N , нормального до поверхні S , направленого у вибрану

сторону цієї поверхні,

cos, cos, cos . Тому формула (1.2.9) записується в

N

коротшому вигляді:

Px, y, zdydz Qx, y, zdzdx Rx, y, zdxdy F N ds . (1.2.10)

S S

Нехай гладка поверхня S визначається рівнянням z x, y, x, y D , тоді

одиничний нормальний вектор до певної вибраної сторони поверхні має вигляд

1

N x , y , cos, cos , cos .

2 2

2

2

2 2

1 1 1

x y x y x y

Вибрана сторона S поверхні S

така, що кут між нормаллю до поверхні і

1

віссю OZ є гострим cos

0 . Таким чином, враховуючи формулу

2 2 1

x y

14

(1.2.10), можемо записати зв'язок між поверхневими інтегралами першого і другого

роду

Px, y, zdydz Qx, y, zdzdx Rx, y, zdxdy

S

Px, y, zx, y Qx, y, zx, y Rx, y, z

x x 2 S

x

1

2

y

1

ds

.

(1.2.11)

Якщо тепер згадати зведення

подвійного, при цьому елемент площі

Px, y, zdydz Q

S

поверхневого

ds 2 2

x y

x, y, zdzdx R

інтеграла

1dxdy , то

x, y, zdxdy

першого роду до

отримуємо формулу

{Px, y,x, yx, y Qx, y,x, y x, y Rx, y,x, y}dxdy.

x y

D

(1.2.12)

Вибираючи протилежну сторону поверхні

нормалі, до якої записується у вигляді:

S

, а саме

S

, одиничний вектор

N x , y ,

2 2 2 2 2

1 1

x y x y x

1 y2

1

cos, cos , cos

.

(1.2.13)

Вибрана сторона

S

поверхні

S

така, що кут

між нормаллю до поверхні і

віссю

OZ

є тупим

cos

2

x

1

2

y

1

0

. Тепер поверхневий інтеграл другого

роду зводиться до подвійного наступною формулою

Px, y, zdydz Qx, y, zdzdx Rx, y, zdxdy

S

x, y Rx, y,x, y}dxdy. (1.2.14) {Px, y,x, yx x, y Qx, y,x, y y

D

Зауваження. Якщо до складу поверхні S входить ділянка S1 циліндричної

поверхні, твірні якої паралельні осі OZ , то

Rx, y, zdxdy 0 , S1

оскільки проекцією S1 на площину XOY буде крива, площа якої є нульовою.

Якщо гладка двохстороння поверхня S задана параметричними рівняннями

15

x xu, v, y yu, v,

z

zu, v, , u, v D,

то поверхневий інтеграл другого роду по одній з вибраних сторін цієї поверхні

обчислюється за формулою Px, y, zdydz Qx, y, zdzdx Rx, y, zdxdy

D

де

Pxu, v, yu,

u, v

y

J u

1 y

v

S

v, zu,

z

u , z

v

vJ 1 Qxu, v,

u, v

z

J u

2 z

v

yu

xu

xv

,

,

v, zu, vJ 2

J 3 u, v

Rxu,

x y u u

x y v v

v, yu, v, zu, vJ 3 dudv,

.

Приклад 1. Обчислити поверхневий інтеграл другого роду

3

I x y 2

z dydz xdzdx zdxdy ,

S

де S − зовнішня сторона трикутника, утвореного z

перетином площини 2x 2 y z 2 0 з координатними 2

площинами(рис.10). z 2 2x 2 y

◄ На основі формули (1.2.12), отримуємо

I [x y 1,5 2x 2 y 22 x 2 −1 0

D

2x 2 y 2]dxdy 4x 2 y 4dxdy x

1

D

1 0 1 0

Рис.10

dx 4x 2 y 4dy 4xy y 2 4 y dx 1. ►

x1

0 x1

0

Приклад 2. Обчислити поверхневий інтеграл другого роду

2 z

I zdydz 4 ydzdx 8x dxdy ,

S

де S − частина поверхні z x2 y2 1, яка відтинається 2

площиною z 2 , якщо нормаль до поверхні утворює з віссю 1

OZ тупий кут.

◄ Графіком поверхні z x

2 y 2 1 є параболоїд S 0

х 1

(рис.11). Ця поверхня визначається в явному вигляді

Рис.11

y

S

1 у

16

z x

2

y

2

1 , а тому скористаємось формулою (1.2.14), маємо

2 y

zx 2x, z y

наш інтеграл зводиться до подвійного, який легко обчислюємо

I x

2 y

2 12x 4 y2 y 8x

2 dxdy 2xx 2 y

2 8x 2 y

2 2xdxdy

D D

x cos, y sin , 1 2

d 2 2 cos 8

2 2 cos d 4.►

0 2,0 1

0 0

і

1.3 Формула Гаусса-Остроградського

Формула Гаусса-Остроградського встановлює зв'язок між поверхневим

інтегралом другого роду по замкнутій поверхні і потрійним інтегралом по тілу, що

обмежує ця поверхня. Записується ця формула в наступному вигляді

Px, y, zdydz Qx, y, zdzdx Rx, y, zdxdy S

Px, y, z Qx, y, z Rx, y, z

dxdydz .

x

y

z

G

(1.3.1)

Доведемо цю формулу для області G (тіла G ,

обмеженого замкнутою поверхнею S ), простої, межа якої

S перетинається з будь-якою прямою, паралельною до

координатних осей не більше ніж у двох точках. Нехай

замкнена область

G R 3 ,

зверху і знизу

обмежена

гладкими поверхнями: z z2 x, y − зверху ( S

z z1 x, y

2 ),

G R

3 на х

− знизу ( S1 ) (рис.12). Нехай проекцією області

площину XOY є область D , тоді можна записати

Rx, y, z z2 x, y

Rx, y, z

dxdydz dxdy dz

G

z D

z1 x, y

z

Rx, y, z x, ydxdy Rx, y, z x, ydxdy.

2 1

D D

z

S

n 2

G

n1

D

Рис.12

2

S

1 у

(1.3.2)

Отримані два інтеграли це вже обчислені поверхневі інтеграли:

Rx, y, zdxdy Rx, y, z2 x, ydxdy,

D

S2

Rx, y, zdxdy Rx, y, z1 x, ydxdy.

D

S1

Віднімемо ці дві рівності, отримуємо

Rx, y, zdxdy Rx, y, zdxdy Rx, y, zdxdy Rx, y, zdxdy

S

S2 S

1 S2 S1

Rx, y, z2 x, ydxdy Rx, y, z1 x, ydxdy.

D D

Таким чином, із рівності (1.3.2) видно

18

Rx, y, z

dxdydz Rx, y, zdxdy.

z

G S

Аналогічно отримуємо рівності

Px, y, z

dxdydz Px, y, zdydz,

x

G S

Qx, y, z

dxdydz Qx, y, zdzdx.

y

G S

(1.3.3)

(1.3.4)

(1.3.5)

Додавши почленно рівності (1.3.3)-(1.3.5), отримуємо формулу Гаусса-

Остроградського (1.3.1).

Зауваження. Формула (1.3.1) справедлива і для довільної замкненої області

G R3 , яку можна розбити на скінчене число простих областей

G j

n

3 , G

R

j1

Приклад

G j

1.

.

Обчислити інтеграл

I yzdxdy xzdydz xydzdx, S

де S − зовнішня сторона замкнутої поверхні, яка розміщена в

складається з циліндра x 2 y

2 R 2 і площин x 0, y 0, z 0,

◄ В нашому випадку маємо P xz, Q xy, R yz.

Користуючись формулою Гаусса-Остроградського (1.3.1),

отримуємо

першому октанті і

z H (рис.13).

z

Н S

H

I z x ydxdydz dxdy x y zdz

G D 0

xy

H x cos, y sin ,

H x y

dxdy

0

, 0 R

Dxy 2 2

R у х R

Рис.13

2 R

cossin

H d

0 0

H 2R H

d HR2

2 3 8

.

►

19

4 Формула Стокса

Формула Стокса встановлює зв’язок між поверхневим та криволінійним

інтегралом по просторовій криві, яка є межею поверхні.

Нехай S − деяка гладка, обмежена частина z

поверхні, задана рівнянням z zx, y, де x, y

n

змінюються в деякій обмеженій області D . S

Можна говорити, що D це проекція поверхні S L

на площину XOY . Позначимо через L контур,

який обмежує поверхню S , а l − проекція

y

контура L на площину XOY, тобто l − межа

x D

l

області D (рис. 15). Припустимо, що на Рис.15

поверхні S визначена функція Px, y, z, яка є неперервною разом з частинними

похідними першого порядку.

Обчислимо криволінійний інтеграл другого роду за замкнутим контуром L :

Px, y, zdx . Оскільки контур L лежить на поверхні S , то координати його точок

L

задовольняють рівняння z zx, y, причому

Px,

y

Застосовуючи формулу Гріна, отримуємо

Px, y, zdx Px, y, zx, ydx

L L D

y, zx, y P P

y z

P P z y dxdy.

y z

z y

.

Оскільки вибрана верхня сторона поверхні ( cos 0 ), то нормаль до поверхні

,z y ,1. Таким чином

cos

z y і отримуємо

N zx cos

Py Pz zy dxdy

cos

Py Pz dxdy

cos

D D

cos P P

P P cos ds cos cos ds.

y z

cos

z

y

S S

Отже, маємо рівність

23

Px, y, zdx

P cos

P

cos ds.

z

y

L S

Аналогічно отримуємо рівності

Q Q

Qx, y, zdy x

cos

z cosds,

L S

Rx, y, zdz

R cos

R

cosds.

y

x

L S

Додаючи три рівності (1.4.6)-(1.4.8), отримуємо формулу Стокса:

Px, y, zdx Qx, y, zdy Rx, y, zdz

L

R Q P R Q P

ds

cos cos cos

y

z

x

x

y

S z

R Q

P

R

dzdx Q

P

dydz dxdy.

y

x

y

S z z x

(1.4.6)

(1.4.7)

(1.4.8)

(1.4.9)

Зауваження 1. Для того, щоб простіше запам’ятати формулу Стокса,

запишемо її в наступному вигляді:

dydz dzdx dxdy

Px, y, zdx Qx, y, zdy Rx, y, zdz

. (1.4.10)

x y z

L S

P Q R

При цьому визначник справа формально розкриваємо по верхньому рядку.

Зауваження 2. З формули Стокса випливають умови, при яких вираз

Px, y, zdx Qx, y, zdy Rx, y, zdz є повним диференціалом деякої функції

U x, y, z, тобто dU x, y, z Px, y, zdx Qx, y, zdy Rx, y, zdz . Ці умови

записуються у вигляді трьох тотожностей:

Qx, y, z Px, y, z

0,

x y

Px, y, z

Rx, y, z

0, (1.4.11)

z x

Rx, y, z Qx, y, z

0.

y z

Тотожності (1.4.11) записуються в більш короткій формі:

24

i j k

0.

rotF x y z

Px, y, z Qx, y, z Rx, y, z

(1.4.12)

При виконанні тотожностей (1.4.11) криволінійний інтеграл

Px, y, zdx Qx, y, zdy Rx, y, zdz I L

не залежить від шляху інтегрування, а залежить лише від початкової точки

кінцевої B і обчислюється безпосередньо:

A

і

I U x, y, z B U

U

.

A B A

Приклад 1. Обчислити криволінійний інтеграл

I z 2 x2 dx x2 y2 dy y2 z 2 dy L

за замкненим контуром L , який утворюється при перетині сфери x 2 y

2 z 2 8

конуса x 2 y

2 z 2 , z 0 . Контур обходиться в додатному напрямку. Обчислити

двома способами: а) безпосередньо; б) за формулою Стокса.

◄ а) Контур інтегрування

L є коло

z

2 2

x 2 y

2 4 , яке лежить у площині z 2

(рис.16). Запишемо параметричне рівняння L

цього кола, маємо x 2cost, y 2sin t,

2

z 2 . Звідси безпосередньо отримуємо y

2 2 x

I 8 2

t 1sin tdt 8 1 2 sin 2

t costdt 0.

cos Рис.16

0 0

б) За поверхню інтегрування S вибираємо круг x

2 y 2 4 , який лежить

площині z 2 . Очевидно, направляючі косинуса вектора нормалі

cos 0 , cos 0 , cos 1,

а звідси із формули (4.10) отримуємо

і

у

25

0 0 dxdy

I Q P dxdy

x y z x y

S S

P Q R

2

2 cosd

2xdxdy

x cos, y sin

0 2, 0 2

S

2

2 d 0. ►

0 0

1.5 Застосування поверхневих інтегралів в задачах механіки та геометрії

1. Маса матеріальної

за формулою x, y, z

першого роду:

поверхні з густиною маси розподіленої на цій поверхні S

обчислюється за допомогою поверхневого інтеграла

m x, y, zds. (1.5.1) S

2. Координати

розподіленої на ній

центра

x, y, z

мас матеріальної поверхні S з густиною маси

обчислюються за формулами:

xx, y, zds

x S

c x, y, zds

S

,

yx, y, zds

y S

c x, y, zds

S

,

zx, y, zds

z S

c x, y, zds

S

. (1.5.2)

Зауважимо, що у формулах (1.5.2) у знаменнику є маса матеріальної поверхні

(формула (1.5.1)), а в чисельниках – відповідні статичні моменти:

xx, y, zds MYZ − статичний момент відносно площини YOZ , S

S

yx, y, zds M XZ S

− статичний момент відносно площини

XOZ

,

OX

zx, y, zds S

3. Моменти інерції , OY , OZ знаходять за

M XY − статичний момент відносно площини XOY .

матеріальної поверхні S відносно координатних осей

формулами:

I X y 2 z

2 x, y, zds, IY x 2 z

2 x, y, zds,

S S

IZ x2 y2 x, y, zds. (1.5.3) S

4. Моменти інерції матеріальної поверхні

S

відносно координатних площин

XOY ,

XOZ , YOZ

I XY

S

:

z2 x, y, zds, I XZ y2 x, y, zds, S

IYZ x 2 x, y, zds.

S

(1.5.4)

5. Момент інерції матеріальної поверхні S відносно початку координат

IO x2 y2 z2 x, y, zds. S

O :

(1.5.5)

6. Площа поверхні Sпов ds. (1.1.6) S

27

Приклад 1. Знайти координати центра мас однорідної поверхні конуса h

2

y

,

x 2

2 z

2 0 x h.

a

2

◄ Оскільки вісь OX є віссю симетрії цього конуса (рис.17), то центр мас

знаходиться на осі OX , отже yc zc 0 . Координату xc знаходимо за першою з

формул (1.5.2), поклавши 1:

xds

x S .

c ds

S

Інтеграл в знаменнику дорівнює площі бічної

поверхні конуса, яка дорівнює Rl . Для нашого випадку

R a , l h 2 a

2 , а це означає рівність

ds a h 2 a

2 .

S

Обчислюючи інтеграл в чисельнику, отримуємо

z

а

а h х

у

Рис.17 h

h 2 y cos, z sin

xds xy, z 1 x 2 x

2 dydz y

2 z

2 1 2 dydz

y z a a 0 2, 0 a

S D D

h h 2 2 a h

h 2 2a 3

2

a 1 a 2 d d a 1 a 2 3 .

0 0

Звідси отримуємо h

h 2 2a

3

1

a a 2

3

x

c 2

2

a

h a

2

3

h

.►

Приклад

оболонки x2

2. Знайти момент

y2 z2 a2 , z 0 ,

інерції відносно осі

1 (рис.18).

OZ

однорідної сферичної

z

◄ Момент інерції відносно вказаної осі обчислюємо за а

формулою у

2 2 х а

I z x y ds .

Рис.18

S

28

Поверхня

S

записується у явному вигляді: z

ds 1 z 2 z

2 dxdy

x y

a

a 2 x

2

a

2 x 2 y

2

y 2

dxdy

. Звідси отримуємо

,

x

ds a x

2 y 2

I z 2 y

2

a 2 x 2 y 2

S D

xy

2 a

2

a d

a

2 2

0 0

dxdy

d 4

3

x cos, y sin

0 2, 0 a

4 .►

a