Embed Size (px)
Citation preview
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ ЗАПОРІЗЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
Н.М. Д’яченко, А.В. Савранська
ВСТУП ДО ТЕОРІЇ МНОЖИН І ТЕОРІЇ ДІЙСНИХ ЧИСЕЛ
Практикум з розв’язання задач
для студентів денної та заочної форм навчання спеціальності
6.080101 „Математика” і 6.080202 „Прикладна математика”
Затверджено вченою радою ЗНУ Протокол №__ від __”_____2005
Запоріжжя 2005
2
УДК 517.2 (076) ББК В161.11я73
Д’яченко Н.М., Савранська А.В. Вступ до теорії множин і теорії дійсних чисел:
Практикум з розв’язання задач для студентів денної та заочної форм навчання спеціа-льності 6.080101 «Математика» і 6.080202 „Прикладна математика”.– Запоріжжя: ЗНУ, 2005. – 44 с.
Практикум призначений для студентів 1 курсу математичного факультету, що
вивчають математичний аналіз, і охоплює першу частину «Вступ до теорії множин і теорії дійсних чисел» і включає такі теми: множини та операції над ними, взаємно однозначні відповідності між множинами, потужність множин, точна верхня і нижня межи множин, принцип математичної індукції, елементи комбінаторики і біном Нью-тона.
Математичний аналіз – фундамент математики. Перша тема цього розділу не дуже просто дається студентам, які тільки що прийшли зі школи. З деякими трудно-щами вони зустрічаються при розв’язанні задач і прикладів. Метою даного практику-му є спроба допомогти студентам у подоланні цих проблем.
Друга мета практикуму – видача типового індивідуального завдання для кожного студента. Тільки самостійна робота забезпечує проникнення в суть математичного аналізу, особливо на початковій стадії його вивчення. У практикуму приведені всі необхідні означення і теореми, зразки розв’язування задач, а також типові індивідуа-льні завдання, що складаються із 13 варіантів.
Номер варіанта типового індивідуального завдання визначається як залишок від ділення номера прізвища студента в журналі на число 13.
Типове завдання складене так, що дотримується принцип однакової складності для усіх варіантів. Кожний варіант містить завдання з кожної теми різного рівня скла-дності для дотримання принципу диференційованого навчання. Викладач, що веде практичне заняття, вказує на необхідний рівень задач для обов’язкового вирішення, який доступний середньому студенту, а інші завдання студент вирішує для заглиб-лення своїх знань і підвищення атестаційної оцінки.
Рецензент Величко І.Г., к.ф.-м.н., доцент Відповідальний за випуск Д’яченко Н.М., к.ф.-м.н., доцент
3
ЗМІСТ
Вступ 4 Тема 1. Множини й операції над ними 6 Тема 2. Взаємо однозначні відповідності 15 Тема 3. Потужність множин 18 Тема 4. Верхня і нижня грані множин 23 Тема 5. Принцип математичної індукції 29
5.1. Метод математичної індукції 29 5.2. Елементи комбінаторики 32 5.3. Біном Ньютона 34
Типове індивідуальне завдання 37 Додаток А 41 Додаток Б 42
ПЕРЕЛІК РЕКОМЕНДОВАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ
1. Натансон И.П. Теория функции вещественной переменной. – М.: Наука, 1974. 2. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ. – Ч. 1. –М.:
Наука, 1979. 3. Ильин В.А., Позняк З.Г. Основы математического анализа. – Ч.1. – М.: Наука,
1973. 4. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчесления. – Т. 1.
– М.: Наука, 1969. 5. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. – Т. 1. – М.: Наука, 1968. 6. Александров П.С. Введение в общую теорию множеств и функций. – М.-Л.: Гос-
техиздат, 1948. 7. Бурбаки Н. Теория множеств. – М.: Мир, 1965. 8. Зорич В.А. Математический анализ. – Ч. 1. – М.; Наука. 1981. 9. Кудрявцев Л.Д. Математический анализ. – Т. 1. – М.: Высш. шк., 1970. 10. Никольский С.М. Курс математического анализа. – Т.1. – М.: Наука, 1973. 11. Очан Ю.С. Сборник задач по математическому анализу. Общая теория множеств и
функций \ Под ред. Бокштейна М.Ф. – М.: Просвещение, 1981. 12. Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехов В.И., Шабунин М.И. Сборник задач по мате-
матическому анализу. Предел, непрерывность, дифференцируемость. – Ч. 1. – М.: Наука, 1984.
13. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. – М.: Наука, 1977
14. Ляшко И.И., Боярчук А.К., Гай Я.Г., Головач Г.П. Математический анализ в при-мерах и задачах. Введение в анализ, производная, интеграл. – Ч. 1. –К.: Вища школа, 1974.
15. Берман Г.Н. Сборник задач по математическому анализу. – М.: Наука, 1971. 16. Сборник задач по математике для ВТУЗов. Линейная алгебра и основы математи-
ческого анализа / Под редакцией Ефремова А.В., Демидовича Б.П.. – Ч. 1. – М.: Наука, 1986.
ВСТУП Теорія множин (наївна) – вчення про властивості множин, переважно нескінчен-
них. Поняття множини належить до числа початкових математичних понять, воно не визначається, а поясняється тільки за допомогою прикладів. Так, можна говорити про множину студентів у групі, про множину книг у бібліотеці ЗНУ, про множину планет Сонячної системи, про множину точок даної геометричної фігури, про множину розв’язків даної нерівності. Студенти в групі, книги в бібліотеці ЗНУ, планети Соняч-ної системи, точки даної геометричної фігури, розв’язки даної нерівності є елемента-ми відповідної множини. Множина вважається заданою, якщо вказано характеристи-чну властивість елементів цієї множини, тобто таку властивість, яку мають всі елеме-нти цієї множини і тільки вони. Якщо характеристичною властивістю множини не володіє жодний елемент, то множина є порожньою. Наприклад, множина розв’язків нерівності – порожня. 2cos >x
Теорія множин була створена в роботах математиків 19 ст. У перших своїх ро-ботах у цій області Б. Больцано1 (B. Bolzano), П.Дюбуа-Реймон2 (P. Du Bois-Reymond), Р. Дедекинд3 (R. Dedekind) при розгляді числових множин або множин функцій, ста-вили питання про кількісне порівняння нескінченних множин. Чи існують нескінченні множини різної кількісної сили, різної потужності? Відповідь на це питання дав Г. Кантор4 (G. Cantor), який представив майже сучасний виклад теорії кардинальних чисел і порядкових чисел і теорії цілком упорядкованих множин. Можливість порів-няння кількісної оцінки множин спирається на поняття взаємно однозначної відповід-ності. Між двома множинами можна установити взаємно однозначну відповідність, якщо вони складаються з однакового числа елементів. В узагальненні цього факту Г. Кантор визначив кількісну еквівалентність, або рівнопотужність, як можливість уста-новити між множинами взаємно однозначну відповідність. Якщо множина A рівно-потужна множині , то ці множини мають те саме кардинальне число. Цінність по-няття потужності множини полягає у виявленні нерівнопотужних нескінченних мно-жин, якими є множина натуральних і множина дійсних чисел. Перша є зчисленною множиною, а друга – потужності континуум.
B
У кожній нескінченній множині міститься підмножина, яка рівнопотужна даній множині, тобто в ній існує її правильна частина. Цієї властивості не мають скінченні множини. Саме тому нескінченна множина визначається, як така, що містить у собі правильну частину.
1 Больцано Бернард (5.10.1781 – 18.12.1848) – чеський математик, філософ і логік. Народився в Празі. В 1800 закінч. філософ., в 1835 – теолог. факультет Праз. ун-ту з присудженням наукового ступеня доктора філософії. В 1805-20 займав кафедру історії релігії в Праз. ун-ті. За виступ проти австр. уряду відсунений від роботи (1820), відданий під таємний нагляд поліції і отримав заборону на публ. виступи. Б. Больцано надрук. (анонім-но) тільки 5 невеликих матем. робіт і ряд філософ. праць. Основну частину великого рукоп. спадщини Б. Боль-цано чеські вчені дослідили після його смерті. Велика праця Б. Больцано “Вчення про функції” побачила світ у 1930 р. В ньому він випередив своїх послідовників К.Т.Вейєрштрасса, О.Л.Коши у великій кількості питань сучасного мат. аналізу. 2 Дюбуа-Реймон Пауль Давид (2.12.1831- 7.04.1889) –німецький математик. Народ. в Берліні. Закінчив Берлін-ський університет (1859). Працював в Фрейбурзі та Берліні. Осн. праці з матем. фізики, мат. аналізу, теорії функцій, варіаційного числення, теорії диф. рівнянь в частинних похідних. 3 Дедекинд Ричард Юліус Вільгельм (6.10.1831- 12.02.1916) – німецький математик, чл.. Берлин. АН (1880). Народ. в Браунштейті, навчався у К.Гауса і П.Дирихле в Гьотінгенському ун-ті. Прац. там же і в Цюріх. ун-ті, з 1862 – проф. Вищої техн. школи в Браунштейті. Осн праці з теорії алгебр. чисел, теорії упорядкованих мно-жин, теорії функцій дійсної змінної з обґрунтуванням з теоретико-множинної точки зору та ін. Він сформулю-вав систему аксіом арифметики (мають назву аксіом Піано), що містить зокрема принцип повної математичної індукції.
4
4 Кантор Георг – (3.03.1845 – 6.01.1918) – німец. математик, що створив теорію множин. Народ. в Петербурзі. В 1867 закінчив Берлін. ун-тет. Учень К.Т.Вейєрштрасса. В 1872-1913 проф. ун-та в Галлі. Розробив теорію нескінченних множин і теорію трансфінітних чисел. Створена Г.Кантором теорія множин (деякі її ідеї зустрі-чались у його попередників, зокрема, порівняно докладно розроб. Б.Больцано) не тільки лежить нині в основі мат. аналізу, але і стала причиною загального перегляду логічних основ матем. і вплинула на всю сучасн. структуру математики.
При розгляді множин довільної природи математики зустрілися з двома пробле-мами. По-перше, були отримані суперечності, антиномії5 в наївній теорії множин, що привело до створення на початку 20 ст. аксіоматичної теорії множин. По-друге, у теорії множин з'явилися нерозв'язні проблеми, такі як континуум-гіпотеза.
Континуум-гіпотеза – це гіпотеза, сформульована Г. Кантором, і полягає в тому, що всяка нескінченна підмножина континуума рівнопотужна або множині натура-льних чисел, або ; іншими словами, гіпотеза про неіснування проміжної потужнос-ті між зчисленною і континуум. В межах традиційного теоретико-множинного розв’язування проблема не піддавалася вирішенню. Лише після того, як були форма-лізовані логічні засоби виводів доведень на основі виявлення аксіом теорії множин, стало можливим говорити про формальну нерозв’язність континуум гіпотези. В 1939г. К.Гьодель встановив недовідність заперечення континуум-гіпотези, а в 1963г. П.Коен показав невивідність самої континуум-гіпотези в припущенні несуперечності вказаної формальної системи. Чи є це остаточним результатом у проблемі континуу-ма? Відповідь залежить від відношення до посилки про несуперечність формальної системи.
RR
Ще одна важлива властивість множин – їхня обмеженість або необмеженість. Вивчення цієї властивості допомагає відповісти на питання про обмеженість послідо-вностей і функцій, оскільки зводиться до дослідження на обмеженість їхньої множини значень. Уміння досліджувати на обмеженість множини є необхідною умовою вирі-шення всіх прикладних задач з точки зору відповідності їхнього результату фізичному змісту, апріорі – відповідності моделі задачі реальності.
У математиці часто необхідно доводити справедливість деякого твердження (предиката) для всіх невід’ємних цілих )(xP x . У цьому випадку застосовується принцип математичної індукції (аксіома індукції). Один з результатів, що можна отримати за допомогою цього принципу – біном Ньютона, який представляє собою формулу розкладу довільної натуральної степені двочлена в многочлен. В цьому посі-бнику буде наведена формула бінома Ньютона для піднесення до натурального степе-ня. При довільному дійсному чи комплексному степені розклад представляється бі-номіальним рядом. Поступове засвоєння формули бінома Ньютона починається з її простіших часткових випадків (формул “квадрата суми” та “куба суми”) почалося ще в 11 ст. Заслуга І. Ньютона (I. Newton), власне кажучи, полягає в відкритті біноміаль-ного ряду.
5 Антиномія, парадокс, – ситуація, коли в теорії множин доводяться два взаємовиключні один одне суджен-ня, причому кожне з цих суджень виведено переконливими засобами з точки зору даної теорії. На відмінність від софізму, навмисно невірного умовиводу з замаскованою помилкою, антиномії, як правило, свідчать про більш глибокі недоліки розглядуваної теорії. Часто виявлення антиномій приводить до істотного перегляду усієї теорії в цілому, звертає увагу на нові явища, і в кінцевому підсумку, служить стимулом подальших дослі-джень.
Антиномія “сільського цирульника”. Розглянемо сільського цирульника, котрий голить усіх тих та тільки тих мешканців свого селища, які не голяться самі. Чи голить він сам себе? Пропонується читачу логічно довес-ти дві протилежні ситуації: цирульник голиться сам і цирульник не голиться сам. Поясніть у чому парадокс!
5
Вже в ант. філос. обговорюв. антиномії, відомі під назвою апорій. Наведемо одну із відомих апорій Зено-на із Елеї (5с.д.н.е.) “Ахіллес і черепаха”. Нехай у пункті А знах. Ахіллес, а в пункті В на відстані 100 м. від А – черепаха. В один і той же момент Ахіллес рушає бігом із А в напр. до В і прямує наздогнати черепаху, а черепаха прямує із В геть від А з швидкістю, скажемо, в 100 р. меншою за швидкість Ахіллеса. Дійсність свідчить, що в подібному випадку Ахіллес достатньо швидко наздожене черепаху. З іншого боку, можна, як би встановить, що Ахіллес ніколи не наздож. черепаху (і навіть не досягне пункту В). Дійсно, до моменту, коли Ахіллес досягне середину С1 маршруту АВ, черепаха нехай на більшу відстань, а все ж віддалиться від В. Далі, Ахіллес добіжить до середини С2 відрізку С1В, потім до середини С3 відрізку С2В і т.д. Весь цей час черепаха буде віддалятися від В. Щоб досягти В, Ахіллесу, таким чином, необхідно побувати в кожному із нескінченної послідовності пунктів С1, С2, С3,..., Сn,... Однак, представляється вірним, що неможливо за скінченний час побувати в нескінченній кількості різних пунктів. Отже, Ахіллес ніколи не досягне пункту В і не наздожене черепаху. У чому парадокс? Бажаємо успіху!
«Множество есть многое, мыслимое нами как единое»
(Г. Кантор)
ТЕМА 1. МНОЖИНИ Й ОПЕРАЦІЇ НАД НИМИ Під множиною розуміється будь-яка сукупність об'єктів, що називаються еле-
ментами множини, об'єднаних за якоюсь ознакою. Запис означає, що об'єкт є елементом множини Aa∈ a A (належить множині
A ); у противному випадку Aa∉ . Множина, що не містить жодного елемента, нази-вається порожньою і позначається ∅ . Запис BA⊂ ( A міститься в ) означає, що кожний елемент множини
BA є елементом множини ; у цьому випадку множина B A
називається підмножиною множини . Множини B A і називають рівними (
BBA = ), якщо BA⊂ і AB ⊂ . Існують два основних задання множин: а) множина A визначається безпосереднім перерахуванням всіх елементів
, тобто записується у вигляді naaa ,,, 21 …
{ }naaaА ,,, 21 …= ;
б) множина A визначається як сукупність тих і тільки тих елементів із деякої основної (універсальної) множини , які мають загальну властивість E α . У цьому випадку використовується позначення
{ })(: xExА α∈= ,
де запис означає, що елемент )(xα x має властивість α . Приклад 1.1. Описати перерахуванням елементів множин:
а) , { }0065: 231 ≥∧=−+∈= xxxxZxА
б) . { }π≤<∧=∈= 2012cos: 22 xxRxA
Розв’язання. а) Розв’язком рівняння є множина 065 23 =−+ xxx { }1;0;6− .
Оскільки - множина усіх цілих невід’ємних коренів рівняння, то 1A { }1,01 =А .
б) Розв’язком рівняння є множина 12cos2 =x⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ∈π Znn ,2
. Обираючи з
отриманої множини лише ті числа, що задовольняють нерівності π≤< 20 x , одержимо
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ π
ππ
π= 2;
23;;
22A .
Приклад 1.2. Зобразити на координатній площині множини
6
а) { } ; 2,:),( 2 =+∈∈ yxRxRyx
б) . { }xyxRyx 2:),( 222 ≤+∈
Розв’язання. а) Дана множина є графіком функції 2)( −= xxf (див. рис. 1.1).
б) Оскільки нерівність рівносильна нерівності , то дана множина – це коло радіуса 1 з центром у точці (див. рис. 1.2).
xyx 222 ≤+ 1)1( 22 ≤+− yx)1,0(
О
П
Р
Я AE \П
Н
П
BA∩
{(=A
Рщині (відпов
Рис. 1.1
б'єднанням множин A і називаB{xBА ∈=∪еретином множин A і називаєB
{xBА ∈=∩ізницею множин A і називаєтьсB
{xBА ∈=\кщо, зокрема, A - підмножина депозначається А і називається допорямим або декартовим добутком
{(xBA =×
априклад, якщо 2{},2,1{ == BA
}3,2,1{=BA∪ , BA∩(),2,1{(=×BA
риклад 1.3. Зобразити на координа
ABBABA \,\,, ∪ , де
}12:), 22 +≤∈ xyRyx , , {=B
озв’язання. Зобразимо спочатку одив. рис. 1.3). На рис. 1.4-1.7 зобідно.
Рис. 1.2
ється множина}BxАxE ∈∨∈: . ться множина
}BxАxE ∈∧∈: . я множина
}BxАxE ∉∧∈: . якої універсальної множини , то різниця Eвненням множини A (до множині ). E множин A і називається множина B
},:), ByAxy ∈∈ .
}3, , то
, }2{= }1{\ =BA , }3{\ =AB , )}3,2(),2,2(),3,1 .
тній площині
}1:),( 2 ≥∈ xRyx .
бидві множини на одній координатній пло-ражені множини ABBABABA \,\,, ∪∩
7
Приклад 1.4. Довести справедливість наступної рівності для будь-яких множин A , і C
Рис. 1.7
Рис. 1.6
Рис. 1.5
Рис. 1.4
Рис. 1.3
B( ) )\()\(\ CBCАCBА ∩∩ = .
Розв’язання. Нехай CBАx \)( ∩∈ , тоді з означення різниці і перетину отри-муємо
CxBxАx ∉∧∈∧∈ )( . (1.1) Останнє є рівносильним наступному висловлюванню:
)()( CxCxBxАx ∉∧∉∧∈∧∈ . (1.2) З властивості комутативності й асоціативності кон’юнкції випливає, що (1.2) еквіва-лентно
( )CxBxCxАx ∉∧∈∧∉∧∈ )( . Це означає, що з означення операцій перетину і різниці випливає наступне
( ) )\(\ CBCАx ∩∈ . Отже, ми довели включення
)\()\(\)( CBCАCBА ∩∩ ⊂ . Оскільки при переході від одного висловлювання до іншого ми одержували рів-
носильні висловлення, то одночасно ми довели і зворотне включення. У такий спосіб доведена необхідна рівність.
Легко довести, користуючись властивостями логічних операцій співвідношення:
10 AA = ; 20 BABА ∩∪ = ; BABА ∪∩ = ;
30 BА⊂ BА⊃⇒ ; 40 ( ) ; )()( CBCАCBА ∩∪∩∩∪ =50. ( ) . )()( CBCАCBА ∪∩∪∪∩ =Співвідношення 20 і 30 називаються законами двоїстості, а 4 0 і 5 0 - законами
дистрибутивності. Приклад 1.5. З'ясувати яке з включень виконане YX ⊂ або XY ⊂ , або YX = , якщо а) , )(\ CBAX ∪= )\(\ CBAY = ;
8
б) BCAYBCBAX ×=××= )(),()( ∩∩ . Розв’язання. а) Доведемо спочатку здійсненність висловлювання
CBxCBx \∉⇒∉ ∪
Дійсно, нехай CBx ∪∉ , або, що те ж саме, CBx ∪∈ . Тоді, в силу закону дво-
їстості CBx ∩∈ , а за означенням перетину CxBx ∉∧∉ . Отже, Bx∉ . В силу властивостей операцій кон’юнкції і диз'юнкції справедливий ланцюжок перетворень
∈∨∉⇔∉ xBxBx ( )∅ ( )⇔∈∧∉∨∉⇔ )( CxCxBx
( ))()( CxBxCxBx ∈∨∉∧∉∨∉⇔ ⇔∈∨∉⇒ )( CxBx
)( CxBx ∉∧∈⇔ CBxCBx \\ ∉⇔∈⇔ . Отже,
( )⇒∉∧∈⇔∈⇔∈ )()(\ CBxАxCBАxХx ∪∪
( ) )\(\\ CBАxCBxАx ∈⇔∉∧∈⇒ . Таким чином, YХ ⊂ . Доведемо, що включення YX ⊃ не виконане. Для цього досить навести при-
клади множин , для яких не є підмножиною CBA ,, Y X . Нехай – відрізки числової прямої:
CBA ,,
[ ] [ ] [ ]4,3;4,2;4,1 === CBА Тоді
[ ] [ );3,2\;4,2 == CBCB ∪
[ ) [ ) [ ]4,32,1)\(\,2,1)(\ ∪∪ == CBАCBА Значить, . XY ⊄
б) Користуючись означеннями відповідних операцій, одержимо ⇔×∈∧×∈⇔∈ BCyxBAyxXyx ),(),(),(
( )⇔∈∧∈∧∈∧∈⇔ )()( ByCxByAx ⇔∈∧∈∧∈∧∈ )()( ByByCxAx⇔∈∧∈∧∈ ByCxAx )( ⇔∈∧∈ ByCAx ∩ BCAyx ×∈ )(),( ∩ Yyx ∈⇔ ),( .
Таким чином, YX = . Приклад 1.6. Довести рівності
BАBА ∪=\ ; а)
б) BАBАА ∩∩ =)\( . Розв’язання. а) Доведемо спочатку, що
BABA ∩=\ . (1.3) Дійсно,
)()()()\( BАxBxАxBxАxBАx ∩∈⇔∈∧∈⇔∉∧∈⇔∈ . Це доводить рівність (1.3).
Користуючись властивостями 1 0, 2 0 і (1.3), маємо
BАBАBАBА ∪∪∩ ===\ . (1.4) б) Користуючись рівністю (1.4) і властивістю 40, одержимо
9
BАBАBАААBААBАА ∩∩∪∩∪∩∪∩∩ =∅=== )()()()()\( .
Операції і природно узагальнюються на випадок довільної (скінченної або нскінченної) сім’ї множин. Нехай, наприклад, задана сім’я множин
∪ ∩NnАn ∈, . Тоді
визначимо і ; ∪Nn
nA∈
∩Nn
nA∈
{ }∪Nn
nn АxNnExА∈
∈∈∃∈= :: ;
{ }NnАxExА nNn
n ∈∀∈∈=∈
:∩ .
Цілою частиною числа x називається найбільше ціле число, що не перевищує x , і позначається . ][x
Наприклад: [ 3]4,2[;4]4[;1]2,1[;3]3 −=−−=−== .
У прикладах 1.7 - 1.9 для заданої сім’ї множин , nА Nn∈ знайти
. ∩∪Nn
nNn
n AА∈∈
,
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
++
+=
32,
22
nn
nАnПриклад 1.7. .
Розв’язання. Крок 1: побудуємо на числовій прямій (рис. 1.8) скінченну кіль-кість відрізків : nА
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=
76;
31;
65;
52;
54;
21;
43;
32
4321 АААА .
Крок 2. Доведемо, що ( )1,0=∈∪
NnnА .
Крок 2.1. Нехай , тоді ∪Nn
nАx∈
∈ ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
++
+∈∈∃
32,
22:
nn
nxNn . Оскільки
≤≤+
< xn 2
20 1132
≥∀<++ n
nn
,
тобто , то 10 << x ( )1,0∈x .
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
nAAAAA ,...,,,, 4321
Рис. 1.8
( )1,0⊂∈∪
NnnАВисновок: .
10
Крок 2.2. Нехай ( )1,0∈x , тобто 10 << x . (1.5)
Доведемо, що ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++
+∈∈∃
32,
22:
0
0
00 n
nn
xNn .
План розв’язку.
1) Спочатку знайдемо номер Nn ∈1 такий, що 122 nnx
n≥∀≤
+.
2) Знайдемо номер Nn ∈2 , починаючи з якого ( )232 nnx
nn
≥≥++
.
3) Шуканий номер { }210 ,max nnn = буде задовольняти нерівності
32
22
0
0
0 ++
≤≤+ n
nxn
.
Для здійснення п. 1) із запропонованого плану розв’яжемо нерівність xn
≤+ 22
відносно . Одержимо, знаючи з (1.5), що n 0>x
22−≥
xn .
11
Ціле число, починаючи з якого виконується остання нерівність, – це
12122−⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −
xx (рис 1.9), але вона також виконується для будь-якого більшого
числа. Подбаємо про те щоб це ціле число було натуральним, тобто не меншим за 1, для цього в якості візьмемо 1n
22 −⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
x 22 −
x 12 −⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
x ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
x2
Рис. 1.9
121 +⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=
xn .
Тепер реалізуємо п. 2). Розв’яжемо нерівність 32
++
≤nnx відносно . Перетворимо її: n
23)1( −≥− xxn .
Оскільки (див. (1.5)), то 1<xx
xn−−
≥1
23, тобто 3
11
−−
≥x
n . Для вибору шуканого
числа , керуємося тими ж міркуваннями, що і вище. У результаті, 2n
11
12 +⎥⎦
⎤⎢⎣⎡−
=x
n .
Отже, відповідно до п. 3), для будь-якого для ( )1,0∈x
11
1,2max0 +⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=
xxn
виконується нерівність 32
22
0
0
0 ++
≤≤+ n
nxn
.
( ) ∪Nn n
nn∈
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
++
+⊂
32,
221,0Висновок: . Разом із підсумком кроку 2.1 це доводить
необхідне. Що стосується перетину, то тут усе виявляється просто, якщо помітити, що всі
множині з розглянутої сукупності містять (тобто }{ nA 1A ⊃nA 1A ). Тому цей пе-
ретин буде співпадати з : 1A ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=
∈ 43,
32∩
NnnA .
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−=
nАn
1,1Приклад 1.8. .
Розв’язання. Крок 1. Побудуємо на числовій прямій (рис. 1.10) скінченну кількість відрізків
: nA [ ] ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡−=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡−=−=
41,1,
31,1,
21,1,1,1 4321 АААА і т.д.
Знайдемо спочатку об'єднання даних множин. Оскільки [ ]1,11 −=А , а всі інші
множини включаються в [ ]1,1− , тобто [ ]1,11 −⊂>∀ nАn , то
-1 -0 ,8 -0 ,6 -0 ,4 -0 ,2 0 0 ,2 0 ,4 0 ,6 0 ,8 1
nAAAAA ,...,,,, 4321
Рис. 1.10
[ ]1,1−=∈∪
NnnА .
Тепер знайдемо перетин даних множин. Крок 2. Можна припустити, що
[ ]0,1−=∈∩
NnnА . (1.6)
Крок 2.1. Нехай [ ]0,1−∈x . Оскільки 01 ≥n
для будь-якого Nn∈ , то
nxNn 101 ≤≤≤−∈∀ . Тому ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡−∈∈∀
nxNn 1,1 .
12
Таким чином, доведене включення [ ] ∩Nn
nА∈
⊂− 0,1 .
Крок 2.2. Нехай . Припустимо супротивне: ∩Nn
nАx∈
∈ [ ]0,1−∉x . Випадок, коли
, неможливий, тому що 1−<x NnАx n ∈∀∈ , і тоді nx ∀−≥ 1 . Випадок, коли
також неможливий, оскільки тоді для 0>x 11 +⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=
xn виконана нерівність
nx 1≥ ,
а це суперечить тому, що nn
x ∀≤ 1.
Отже, [ ]0,1−⊂∈∩
NnnА , це разом з підсумком кроку 2.1 доводить (1.6).
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +−=
nnnАn
15,Приклад 1.9. .
Розв’язання. Знаходимо спочатку декілька перших множин: [ ],15;11 +−=А
,215,22 ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +−=А ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ +−=
315,33А і т.д. Рисунок пропонується намалювати читачу
самостійно! Можна припустити, що
( ]6,.∞−=∈∪
NnnА , . (1.7) [ 5,1−=
∈∩
NnnА ]
Доведемо перше із співвідношень (1.7). Нехай . Тоді ∪Nn
nАx∈
∈
nxnNn 15: +≤≤−∈∃ . Оскільки 615 ≤+
n для всіх Nn∈ , то ( ]6,∞−∈x . Таким
чином, виконане включення в один бік: . ( ]6,.∞−⊂∈∪
NnnА
Для доведення включення в інший бік необхідно для кожного ( ]6,∞−∈x знай-
ти номер такий, що Nn ∈0
00
15n
xn +≤≤− . (1.8)
Розглянемо два випадки: ( ]1,−∞−∈x і ( ]6,1−∈x .
1) Якщо ( ]1,−∞−∈x , то для [ ] 10 +−= xn виконана нерівність xn ≤− 0 , а тому (1.8).
2) Якщо , то нерівність (1.8) задовольняється для ( ]6,1−∈x 10 =n . Отже, ми довели першу з рівностей у (1.7) цілком.
13
Тепер покажемо справедливість другої. Нехай [ ]5,1−∈x . Оскільки нерівності
і 1−≤−nn155 +≤ виконані для всіх Nn∈ , то Nn
nxn ∈∀+≤≤− 15 . Остан-
нє означає здійсненність включення [ ]5,1−⊃∈∩
NnnА .
Доведення включення в інший бік проведемо від супротивного. Припустимо, що
, однак . За означенням перетину маємо: [ 5,1−∉x ] ∩Nn
nАx∈
∈
Nnn
nxn ∈∀+≤≤− 15 . (1.9)
Розглянемо два випадки: 1−<x або . 1) Випадок, коли 5>x 1−<x , неможливий, тому що для виконана нерівність 10 =n xn >− 0 , що суперечить (1.9). 2) Випадок,
коли , неможливий, тому що для 5>x 15
10 +⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
−=
xn виконана нерівність
51
0 −>
xn , яка рівносильна (для ) нерівності 5>x
0
0 15n
nx +> , що суперечить (1.9).
Отже, ми цілком довели другу рівність у (1.7).
14
“Нельзя быть настоящим математиком, не будучи настоя-
щим поэтом” (К. Вейерштрасс)
ТЕМА 2. ВЗАЄМНО ОДНОЗНАЧНІ ВІДПОВІДНОСТІ МІЖ
МНОЖИНАМИ
Нехай А и В дві множини. Правило ϕ , за яким кожному елементу множини aA співвідноситься один і тільки один елемент множини , до того ж, кожний елемент виявляється співвіднесеним одному і тільки одному
b BBb∈ Аa∈ , називаєть-
ся взаємно однозначною відповідністю між множинами A і . Якщо між множи-нами і
BA B можна установити взаємно однозначну відповідність, то говорять що ці
множини еквівалентні або що вони мають однакову потужність (рівнопотужні) і пишуть ~A B .
На рис. 2.1 і 2.2 установлюється взаємно однозначна відповідність між двома ко-лами різних радіусів і двома відрізками різної довжини.
AB
A
B
Рис. 2.2
Рис. 2.1 Зауваження 2.1. Бієкцію між відрізками і можна установити за до-
помогою функції
],[ ba ],[ dc
caxabcdx +−
−−=ϕ )()( , графіком якої є пряма, що проходить через
точки з координатами і , тому ця функція відображає відрізок на відрізок . Побудована відповідність є взаємно однозначною, оскільки кожному елементу співвідносить один і тільки один елемент
),( ca ),( db ],[ ba],[ dc
],[ bax∈ Bxy ∈ϕ= )( , до того ж, кожний елемент By∈ виявляється співвіднесеним одному і тільки одному
],[)( baacycdabx ∈⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +−
−−= .
Приведемо властивості рівнопотужних множин (доведіть їх самостійно!): 10 ~ A A A∀20 ~A B ⇒ B ~ A30 ~A B ∧ B ~ ~ C C ⇒ A
Ці властивості говорять про те що групи рівнопотужних множин утворюють класи еквівалентності.
У наступних прикладах встановимо взаємно однозначну відповід-ність між множинами А і В.
Приклад 2.1. - множина точок кола радіуса A r , =B )2,0[ rπ .
15
Розв’язання. Зафіксуємо деяку точку на колі. Розглянемо деяку точку q Ax∈ . Вимірявши довжину дуги , поставимо у відповідність точці a qx∪ Аx∈ точку
, відстань до якої від дорівнює . Така точка By∈ 0 a By∈ єдина. Кожній точці співвіднесена єдина точка By∈ Ax∈ , для якої довжина дуги дорівнює дов-
жині півінтервала . Отже, відповідність є взаємно однозначною. qx∪
],0[ y Приклад 2.2. – множина точок кола радіуса A r , В – півінтервал . )1,0[Розв’язання. Вище було показано, як встановити взаємно однозначну відповід-
ність між точками відрізків різної довжини. Аналогічно встановлюється відповідність між півінтервалами. Тому ~ )1,0[ )2,0[ rπ . У прикладі 1.1 ми довели, що множина точок кола радіуса r і відрізка )2,0[ rπ еквівалентні. Властивості 20 і 30 доводять еквівалентність і A B .
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ππ−=
2;
2А , RB = . Приклад 2.3.
Розв’язання. Необхідну відповідність можна задати рівністю tgxy = , де , а . Ця відповідність – взаємно однозначна (обґрунтування, аналогічне
зауваженню 2.1, надається зробити читачу!).
Аx∈ By∈
)1,0[],1,0[ == BAПриклад 2.4. .
Розв’язання. Розглянемо послідовність nna21
= . Відповідність між елемента-
ми послідовності задамо за правилом (див. рис. 2.3).
0 161 8
1 412 =a 2
11 =a 10 =a
0 161 8
1 412 =a 2
11 =a 10 =a
A
B Рис. 2.3
BaАaBaАaBaАaBaАa
nn ∈↔∈∈↔∈∈↔∈∈↔∈=+132
2110;;1…
Усім іншим точкам множини A поставимо у відповідність точки з множини з такою же координатою. Побудована відповідність є взаємно однозначною.
B
Приклад 2.5. A - множина точок кола радіуса r з виколотою точкою р, RB = . Розв’язання. I спосіб. 1) Аналогічно прикладу 2.1 можна установити взаємно
однозначну відповідність між колом з виколотою точкою й інтервалом )2,0( rπ . 2)
16
17
)rАналогічно рис. 2.2 встановлюється еквівалентність 2,0( π і
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ππ−
2,
2. 3) В прикладі 2.3 дове-
дено, що R~2
,2 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ππ− . 4) Із влас-
тивості 30 одержимо: BA ~ . II спосіб. На рис. 2.4 показано,
яким способом точці Am∈ ставиться у відповідність точка Рис. 2.4
Bm ∈1 . Очевидно, що
при такому відображенні точка BAq ∩∈ залишається на місці. Задача 2.1. Побудуйте взаємно однозначну відповідність між сферою з виколо-
тою точкою і площиною.
Приклад 2.6. A - множина точок круга, - множина точок квадрата. BРозв’язання. Аналогічно доведенню еквіва-
лентності множин точок кіл різних радіусів мож-на довести, що множини точок кругів різних ра-діусів, а також квадратів різних розмірів, еквіва-лентні. Тому досить довести лише еквівалент-ність множини точок круга радіуса 1 і квадрата зі стороною 2. Опишемо такий квадрат навколо круга.
Нехай Am ∈1 , Bm∈ , Aa ∂∈1 , Ba ∂∈ , де A∂ , B∂ – межі кола і квадрата відповідно. Кожній точці Am ∈1 поставимо у відповідність
таку точку , що і лежать на прямій Oa , і Bm∈ 1m mOaOa
OmOm 11 = . Очевидно, що
точки дотику перейдуть у себе, а точки межі кола в ті точки границі квадрата, що ле-жать на радіальній прямій.
Рис. 2.5
Задача 2.2. Відповідність між множинами )1,0()1,0( ×=A і )1,0(=B встанов-
люється за правилом: елементу Abbbaaa nn ∈...)...,0...;...,0( 2121 ставимо у відповід-
ність елемент множини виду . Чи є побудована відповідність взаємно однозначною?
B ......,0 2211 nnbababa
“Есть в математике, вызывающее человече-ский восторг”
(Ф. Хаусдорф)
ТЕМА 3. ПОТУЖНІСТЬ МНОЖИНИ
Потужність множини A – це така властивість цієї множини, яка притаманна будь-якій множини , що еквівалентна B A . Потужність – це те загальне, що є у всіх, еквівалентних множин. Оскільки у всіх еквівалентних між собою скінченних множин цим загальним є кількість елементів, то в застосуванні до нескінченних множин по-няття потужності є аналогом поняття кількості. Потужність – фундаментальне понят-тя теорії множин, що належить Г. Кантору.
Множина А, еквівалентна множині натуральних чисел називається зчислен-ною.
N
Для того, щоб множина A була зчисленною необхідно і досить, щоб її можна було «перенумерувати», тобто представити у формі послідовності
{ },...,,, 21 naaaА …= . Позначимо через потужність зчисленної множини, а скінченної – . Власти-
вості зчисленних множин можна записати за допомогою мнемонічних схем: a n
ana =− , ana =+ , anaaaa ==+++ ... , annn s =++++ ......21 , aaaaa ==++ ... .
Значеннєве навантаження цих записів зрозуміле. Наприклад, запис « ana =− » по-значає: “різниця зчисленної і скінченної множин є зчисленною множиною”; запис « » позначає: “зчисленне об'єднання зчисленних множин є зчис-ленною множиною”.
aaaaa ==++ ...
Теорема 3.1. Якщо елементи множини A визначаються значками, кожен із яких незалежно від інших, пробігає зчисленне число значень
n
{ } { } nkxxxxaА jkkknxxx n ,...,2,1,,...,...,,, )()2()1(
,...,, 21 =∈= ,
то множина A – зчисленна.
Потужність множини A позначається AAcard = .
Теорема 3.2. Множина раціональних чисел зчисленна, тобто aQ = . Теорема 3.3. Множина точок сегмента – незчисленна. ]1,0[Якщо множина A еквівалентно сегменту , то говорять, що ]1,0[ A має потуж-
ність континуума, або, коротше потужність c . Усякий сегмент , інтервал , півсегмент або має потуж-
ність c . Схематично властивості множин потужності можна записати у вигляді: ],[ ba ),( ba ),[ ba ],( ba
c
ccnccc ==+++ ... ; ccaccc ==++++ ...... ; ccc = ; cR = . Теорема 3.4. Якщо елементи множини A визначаються значками, кожен із
яких, незалежно від інших значків, приймає c значень n
{ }nxxxaА ,...,, 21= ,
18
то множина A має потужність . cТеорема 3.5. Множина усіх послідовностей вигляду , де
незалежно одна від одної, приймають значення і 1 , мають потужність . T ,...),...,,( 21 kaaa ka
0 cТеорема 3.6. Множина усіх послідовностей натуральних чисел
має потужність c . S
( ){ },...,...,, 21 knnnS =Порівняння потужностей. Нехай A і – множини, що мають відповідно по-
тужності і :
B
α β α=А , β=B . Якщо множини A і не еквівалентні і в множині
є частина , що еквівалентна множині
B
B *B A, то говорять, що множина має більшу потужність, а множина
BA - меншу, і пишуть β<α або α>β .
Наприклад, якщо { } 15,,...,, 1521 == AaaaА ; { } 72,,...,, 7221 == BbbbB , то
A не еквівалентно , але B *~ BA , де { }1521 ,...,, bbbB = а тому 7215< . Точно так само будь-яке натуральне число менше, ніж кожна з потужностей і . n a c
Оскільки множина натуральних чисел не еквівалентна сегменту (тео-
рема 3.3), але , де
N ]1,0[
*~ UN [ ]1,0,...1,...,31,
21,1* ⊂
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧=
nU , caN == ]1,0[, , то
. ca <Теорема 3.7. Множина T , що є множиною всіх підмножин деякої множини M ,
має потужність, більшу ніж потужність множини M , тобто MT ≥ . Потужність
множини T всіх підмножин множини M позначають М2 .
Теорема 3.8. Справедлива формула . ac 2=Теорема 3.9 (теорема про проміжну потужність). Нехай CBА ⊃⊃ . Якщо
, то і AC ~ AB ~ . Теорема 3.10 (Э.Шредер - Ф.Бернштейн). Нехай A і дві множини, до того
ж, кожна з них еквівалентна деякій частині іншої, тоді вони еквівалентні між собою. B
У наступних прикладах знайдемо потужність множин. Приклад 3.1.
19
Рис. 3.1
( ){ }2:, 2 −=∧∈∈= xyRxRyxА . Розв’язання. Як показано в прикладі 1.2,
множина A складається з точок прямої. На рис. 3.1 показано як установити взаємно однозначну
відповідність між A і . Отже R cRA == . Приклад 3.2. а) Множина A точок
площини з раціональними координатами; б) мно-жина комплектів , що склада-ються із натуральних чисел.
)y,(x
B ),...,,( 21 knnnk
Розв’язання. Множини A і зчисленні. Це випливає з теореми 3.1 і того факту, що
B
aQcardNcard == . Приклад 3.3.
( ) [ ] [ ]{ } [ ] [ ]1,01,01,0,1,0:, ×=∈∈= yxyxАа) ;
б) ( ) { }{ } nin RniRxxxxB =∈∀∈= ,...,2,1:,...,, 21 .
Розв’язання. Множини A і мають потужність c , що випливає з теореми 3.4. BПриклад 3.4. Множина A усіх многочленів з раціональними коефіцієнтами.
20
Розв’язання. Розглянемо множини (nA Nn∈ ) і еквівалентні їм:
{ }{ }~,...,1,,...110 niQaaxaxaА in
nnn ∈∈+++= −
( ) { }{ }niQaaaa in ,...,1,,,...,,~ 10 ∈∈ .
Множина, яка еквівалентна множині – зчисленна, що випливає з теореми 3.1,
тому і вона сама також зчисленна. Оскільки , і
nA
∪Nn
nАА∈
= aaa = (зчисленне об'єд-
нання зчисленних множин – зчисленна множина), то aA = . Оскільки кожний многочлен має скінченну кількість коренів, то з приклада 3.4
випливає, що множина алгебраїчних чисел зчисленна. Приклад 3.5. Множина кіл з раціональними координатами центру
( , ) і радіусом ),( ba
Qa∈ Qb∈ Qr∈ . Розв’язання. Ця множина зчисленна, як еквівалентна множині
, зчисленній відповідно до теореми 3.1. ( ){ }QrQbQarbaB ∈∈∈= ,,,,,Приклад 3.6. Множина A точок кола радіуса r . Розв’язання. З приклада 2.2 випливає, що дана множина еквівалентна півінтер-
валу [ потужності . Отже, )1,0 c cAcard = . Приклад 3.7. Множина A точок круга радіуса r . Розв’язання. З приклада 2.6 випливає, що множина A еквівалентна множині
точок квадрата ( ) [ ] [ ]{ }1,0,1,0:, ∈∈= yxyxB . В силу приклада 3.3 а) множина має потужність континуум, отже, таку ж потужність має і дана множина.
B
Приклад 3.8. Множина A усіх скінченних підмножин числової прямої. Розв’язання. Справедлива рівність:
( ) { }{ }=∈∈∈= NnniRaaaaА in ,,...,1,:,...,, 21
( ) { }{ }∪ ∪Nn Nn
nin RniRaaaa
∈ ∈=∈∈= ,...,2,1,:,...,, 21 .
З приклада 3.3 б) і властивості cac = (зчисленне об'єднання множин потужності континуум – множина потужності континуум) одержимо, що дана множина має по-тужність континуум.
Приклад 3.9. Множина A усіх скінченних десяткових дробів. Розв’язання. Запишемо A у вигляді
{ } { }{ }=∈∈∈∈= NnniaZaaaaА in ,,...,2,1,9,...,1,0,:,...,, 010
( ) { } { }{ }∪ ∪Nn Nn
nin АniaZaaaa∈ ∈
=∈∈∈= ,...,2,1,9,...,1,0,:,...,, 010 ,
( ) { } { }{ }niaZaaaaA inn ,...,2,1,9,...,1,0,:,...,, 010 ∈∈∈= . Розглянемо множини
( ) { }{ }niZbbbbB inn ,...,1,0,,,...,, 10 ∈∈= .
Із теореми 3.1. випливає, що aBn = . Оскільки , то nn BA ⊂ aAn ≤ . Множина A - зчисленна, як зчисленне об’єднання не більш, ніж зчисленних множин.
Приклад 3.10. Множина A усіх послідовностей раціональних чисел Q . Розв’язання. Відповідно до теореми 3.2 множина – зчисленна, отже, її можна
перенумерувати:Q
{ }nr=Q . Побудуємо взаємно однозначну відповідність між множи-ною A і множиною всіх послідовностей натуральних чисел. Нехай
. Оскільки S
( Аaaax n ∈= ,...,...,, 21 )nknn rakNn =∃∈∀ :! ,
то . Елементу ,...),...,,( 21 nkkk rrrx = Ax∈ поставимо у відповідність єдиний елемент
: . By∈ ( ),...,...,, 21 nkkky =Побудована відповідність між A і є взаємно однозначною, тому ці множини
еквівалентні. Оскільки множина має потужність континуум (теорема 3.6), то і дана множина має ту ж потужність.
SS
Зауваження 3.1. Для розв’язання наступного приклада нагадаємо представлення числа x у виді -кового дробу. У випадку, якщо такий дріб скінченний, то n
mm
kk
kk nynynyxnxnxnxx −−−−
− ⋅++⋅+⋅++⋅++⋅+⋅= ...... 22
1101
11 , (3.1)
а якщо нескінченний, то
......... 22
1101
11 +⋅++⋅+⋅++⋅++⋅+⋅= −−−−−
mm
kk
kk nynynyxnxnxnxx , (3.2)
де (}1...,1,0{, −∈ nyx ji },...,1,0{ ki∈ , а },...,2,1{ mj∈ або Nj∈ в залежності від
нескінченності або скінченності дробу). Очевидно, що скінченний дріб (3.1) ( 0≠my ) можна представити у вигляді нескінченного двома способами:
1) +⋅++⋅++⋅++⋅= −− mm
kk nynyxnxnxx ...... 1
101
...00 21 +⋅+⋅+ −−−− mm nn , (3.3)
2) +⋅−++⋅++⋅++⋅= −− mm
kk nynyxnxnxx )1(...... 1
101
...)1()1( 21 +⋅−+⋅−+ −−−− mm nnnn . (3.4.) Приклад 3.11. Множина A точок відрізка , у яких у десятковому записі
відсутня цифра 7. ]1,0[
Розв’язання. Нехай - множина дев’яткових дробів відрізка . Установи-мо відповідність між множинами
B ]1,0[A і . Числу B Aaaaa n ∈= ......,0 21 , що представ-
лене нескінченним десятковим дробом, поставимо у відповідність число за правилом: якщо , то Bbbba n ∈= ......,0 21 }6,5,4,3,2,1,0{∈na nn ab = , якщо
21
}9,8{∈na , то 1−= nn ab , числу 1 із A ставимо у відповідність 1 із . Побудована відповідність буде взаємно однозначною, якщо домовиться в представленнях чисел із множин
B
A і в нескінченні дроби не використовувати розкладів вигляду (3.4). От-
же,
BcB = , тому cA = .
Приклад 3.12.
22
Рис. 3.2
}1,:),{(
22
2
≤+−=−∈=
yxyxyxRyxA .
Розв’язання. Множина точок координа-тної площини, що задовольняють рівнянню
yxyx −=− , знаходяться на прямій xy = при , на координатних осях і в першій чверті. Множина точок, що задовольняють не-рівності , представляється кругом радіуса 1 з центром в точці . Дана мно-жина є перетином описаних множин і зображе-на на рис. 3.2.
0<x
122 ≤+ yx)0,0(O
Скористаємося теоремою про проміжну потужність. Розглянемо дві множини:
2RB = , ]2/1,0[]2/1,0[ ×=C . Очевидно, що мають місце включення . Аналогічно прикладам 3.3 а), б) можна довести, що множини і мають потужність континуум. Отже, із теореми про проміжну потужність випливає, що дана множина має ту ж потужність.
BAC ⊂⊂C B
{ }]1,0[],1,0[:),( 2 ∩∈∈∈= QyxRyxAПриклад 3.13. . Розв’язання. Даний одиничний квадрат, що містить точки з другою раціональ-
ною координатою, є частиною координатної площини 2RB = і містить відрізок
, що лежить на осі абсцис. Обидві ці множини мають потужність континуум, тому за теоремою про проміжну потужність, дана мно-жина потужності континуум.
{ 0],1,0[:),( 2 =∈∈= yxRyxC }
Приклад 3.13. A – множина точок числової прямої, відстань між якими більше 1. Розв’язання. Поставимо у відповідність кожному елементу Aa∈ його цілу час-
тину . Кожному ][a Aa∈ відповідає єдине ціле число, що є його цілою частиною. Навпаки, якщо є цілою частиною деякого елемента Zn∈ Aa∈ , то не знайдеться жодного іншого елемента Ab∈ , що має цілу частину, яка дорівнює , тому що відстань між будь-якими двома елементами даної множини більша за 1.
n
Множина }],[:{ AaanNnB ∈=∈= є частиною множини всіх цілих чисел, тому може бути не більш, ніж зчисленною. Відповідність між множинами A і – взаємно однозначна, тому
BaAcard ≤ .
Ще один приклад (приклад 4.10) про знаходження потужності множини буде ви-рішений у рамках наступної теми. Наступна тема стоїть на межі тем «Теорія множин» і «Теорія дійсних чисел». На останній темі ми докладно зупинятися не будемо, оскільки це не є метою даного посібника, а вивчимо лише деякі питання, що відносяться до теорії множин.
“Великие математики действуют по принципу “Divinez avant de demonter” («Сначала угадать, а затем доказать»); и действительно, именно так совершены почти все важные открытия» (Э. Каснер)
ТЕМА 4. ВЕРХНЯ І НИЖНЯ МЕЖІ МНОЖИН
Нехай A - довільна непорожня множина дійсних чисел. Число AM max=
називається найбільшим (максимальним) елементом множини A , якщо AM ∈ і для будь-якого виконана нерівність Ax∈ Mx ≤ . Аналогічно визначається поняття найменшого (мінімального) елемента Am min= множини A . Множина A називається обмеженою зверху, якщо існує дійсне число таке, що a ax ≤ для усіх
. Будь-яке число, що має таку властивість, називається верхньою межею мно-жини
Ax∈A . Для заданої обмеженої зверху множини A множина усіх його верхніх меж
має найменший елемент, який називається точною верхньою межею множини A і позначається символом . Очевидно, що Asup AA maxsup = тоді і тільки тоді, коли
, тобто точна верхня межа досягається. Аналогічно визначається поняття обмеженої знизу множини, нижньої межі і точної нижньої межі множини
AA∈supA .
Точна нижня межа позначається Ainf . Множина, обмежена і зверху і знизу називається обмеженою.
Дамо наступне зведення означень: A - обмежена зверху MxAxRM ≤∈∀∈∃⇔ : ; A - необмежена зверху MxAxRM >∈∃∈∀⇔ : ; A - обмежена знизу mxAxRm ≥∈∀∈∃⇔ : ; A - необмежена знизу mxAxRm <∈∃∈∀⇔ : ;
)(xf - обмежена зверху на )( fDE ⊂ MxfExRM ≤∈∀∈∃⇔ )(: ; )(xf - необмеж. зверху на )( fDE ⊂ MxfExRM >∈∃∈∀⇔ )(: ; )(xf - обмежена знизу на )( fDE ⊂ mxfExRm ≥∈∀∈∃⇔ )(: ; )(xf - необмеж. знизу на )( fDE ⊂ mxfExRm <∈∃∈∀⇔ )(: ;
{ }∞=1nnx - обмежена зверху ; MxNnRM n ≤∈∀∈∃⇔ :
{ }∞=1nnx - необмежена зверху MxNnRM n >∈∃∈∀⇔ : ;
{ }∞=1nnx - обмежена знизу mxNnRm n ≥∈∀∈∃⇔ : ;
{ }∞=1nnx - необмежена знизу mxNnRm n <∈∃∈∀⇔ : ; AM sup= ⇔
1) AxMx ∈∀≤ 2) xxAxMx >′∈′∃<∀ :
або 1) AxMx ∈∀≤ 2) ε−>∈∃>ε∀ MxAx :0 ; Am inf= ⇔
1) Axmx ∈∀≥ 2) xxAxmx <′∈′∃>∀ :
або 1) Axmx ∈∀≥ 2) ε+<∈∃>ε∀ mxAx :0
)(sup xfMEx∈
= ⇔ 1) ExMxf ∈∀≤)( 2) ε−>∈∃>ε∀ MxfEx )(:0 ;
)(inf xfmEx∈
= ⇔ 1) ExMxf ∈∀≥)( 2) ε+<∈∃>ε∀ mxfEx )(:0 ;
23
nxM sup= ⇔ 1) ExMxn ∈∀≤ 2) ε−>∈∃>ε∀ MxNn n:0 ;
nxm inf= ⇔ 1) Exmxn ∈∀≥ 2) ε+<∈∃>ε∀ mxNn n:0 . Якщо множина (функція, послідовність) необмежена зверху, то говорять, що її точна верхня межа дорівнює +∞ , а якщо множина (функція, послідовність) необмежена знизу, то говорять, що її точна нижня межа дорівнює −∞ .
У наступних прикладах знайти точну верхню і нижню межі множин.
Приклад 4.1. ∪Nn n
nn
A∈
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
++
+=
32,
22
Розв’язання. Крок 1. Спрощуємо, позбавляючись від запису множини у вигляді зчисленного об'єднання, так, як це ми робили в темі 1. З приклада 1.7 випливає, що
. )1,0(=AКрок 2. Робимо припущення щодо значень точної верхньої і нижньої межі. У
даному випадку – 1sup =A , 0inf =A .
Крок 3. Перевіряємо зроблене припущення за означенням точних меж. Здійс-ненність перших умов у означеннях випливає з поняття інтервалу , як множини точок
)1,0(x числової вісі, що задовольняють нерівності 10 << x . В другій умові
означення точної нижньої межі в якості x′ можна взяти
а) 2xx =′ , якщо , і б) 2/1=′x , якщо , 1≥x10 << x
у цьому випадку xx <′≤0 і Ax ∈′ . У другій умові означення точної верхньої межі
21+=′ xxа) якщо , то в якості 10 << x x′ візьмемо середину відрізка : ]1,[x ,
б) якщо , то 1≤x 2/1=′x , тоді і , що і потрібно за означенням. 1≤′< xx Ax ∈′
∪Nn n
nnA∈
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +−= 15,Приклад 4.2.
Розв’язання. Крок 1. Із приклада 1.9 випливає, що ]6,(−∞=A . Крок 2. Припустимо, що 6sup =A , −∞=Ainf . Крок 3. Доведемо справедливість припущення. З означення замкненого променя
числової осі, як множини точок ]6,(−∞ x , що задовольняють нерівності 6≤x , і того факту, що випливає, що A∈6 AA supmax6 == .
Для доведення того факту, що −∞=Ainf , необхідно обґрунтувати необмеженість знизу множини A . Число 1−−= mx для будь-якого Rm∈
задовольняє означенню, тому що mx < , до того ж, воно є елементом множини A , оскільки . 6≤x
Приклад 4.3. A - множина раціональних розв’язків нерівності . 33 >x
24
Розв’язання. Доведемо, що +∞=Asup . Для обґрунтування необмеженості
зверху даної множини візьмемо в означенні, наприклад, [ ] 3+= Mx (для
довільного RM ∈ ). Це число є цілим, а значить раціональним, а також задовольняє
нерівності . Отже, 33 >x Ax∈ і (як потрібно за означенням). Mx >Доведемо, що 3 3inf =A . Усі числа із даної множини задовольняють нерівності
3 3≥x , необхідній за умови 1) означення. Із теорії дійсних чисел відомо, що між
двома дійсними числами 3 3 і x існує раціональне число x′ . Маємо: xx <′≤3 3 і , тому умові 2) означення задоволено. Ax ∈′
Зауваження 4.1. В останньому прикладі ми скористалися теоремою про існування між будь-якими двома дійсними числами раціонального числа. Аналогічне твердження справедливо для ірраціонального числа. Рекомендуємо користуватися цими фактами для розв’язання прикладів про знаходження точних верхніх і нижніх меж множин, що складаються з раціональних або ірраціональних чисел.
Поміркуйте, чому не можна в прикладі 4.3 для доведення умови 2) означення 3 3inf =A взяти в якості x′ середину відрізку [ ]x;33 , тобто ( ) 233−=′ xx .
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ <∧∈=∈= nmNnm
nmxRxA ,;:Приклад 4.4. .
Розв’язання. Дроби, що складають дану множину мають додатний чисельник і знаменник, причому чисельник менше знаменника, тому 10 << n
m . Природно
припустити, що 1sup =A , 0inf =A .
З приведених міркувань відразу ж випливає, що перша умова в означеннях точних меж виконується. Числа, що містяться в даній множині, - це додатні раціональні числа. Якщо в другій умові означення точної нижньої межі , то в якості 1≥x Ax ∈′ можна обрати будь-яке раціональне число із інтервала , наприклад )1;0( 2/1=′x . Якщо 10 << x ,
то в якості потрібно обрати будь-яке раціональне цисло між 0 і Ax ∈′ x . Таке число обов’язково знайдеться за теоремою про існування між будь-якими двома
дійсними числами раціонального числа. Крім того, як це вимагає запис даної множини
x′
A , число x′ можна представити у вигляді дробу
INmINnдеnmx ∈′∈′′′
=′ ,, , чисельник якого менший за знаменник )( nm ′<′ ,
оскільки із вибору числа x′ випливає, що 0< x′<1. Якщо не використовувати
зазаначену теорему, то можна довести, що можна обрати [ ] 1/11+
=′x
x .
Аналогічно доводиться друга умова точної верхньої межі: а) якщо , то можна знову взяти, наприклад ; 1≤x 2/1=′x
25
б) якщо , то за теоремою про існування між будь-якими двома дійсними числами раціонального числа
10 << x∈′∃x ∵ xx <′<0: , крім того, оскільки
∵ , то ∈′x 10 <<′<∧ xx :INmINn ∈′∃∧∈′∃ )( nmnmx ′<′∧′′
=′ .
Якщо не використовувати зазаначену теорему, то у випадку б) можна довести, що
можна обрати 1)]1/(1[
)]1/(1[+−
−=′x
xx .
У наступних прикладах знайти точну верхню і нижню межі функцій на множині . E
Приклад 4.5. 1
)( 2 +=
x
xxf , RE = .
Розв’язання. Для будь-якого дійсного числа виконується нерівність
( ) 01 2 ≥−x , звідки xx 212 ≥+ , тому Rxxf ∈∀≤ 2/1)( . Значення є максимумом функції, що досягається в одиниці, тому
2/1
2/1)1()(max)(sup ===∈∈
fxfxfRxRx
.
Очевидно, що Rxxf ∈∀≥ 0)( . У точці нуль досягається мінімум, тому
0)0()(min)(inf ===∈∈
fxfxfRxRx
.
{ }xarctgxxf ,min)( =Приклад 4.6. , . RE =Розв’язання. Оскільки xarctgx > для і 0>x xarctgx ≤ для 0≤x , то
26
⎩⎨⎧
≤>= 0,
0,)( xякщоxarctgxякщоxxf .
Графік даної функції зображений на рис. 4.1, звідки можна припустити, що
+∞=∈
)(sup xfRx
, 2/)(inf π−=∈
xfRx
.
Доведемо перше співвідношення в означенні необмеженості зверху функції: візьмемо 1)
для , тоді 1+= Mx 0>M MMxf >+= 1)( ;
Рис. 4.1
2) для , тоді 0=x 0≤M Mxf >= 0)( . Перша умова означення точної нижньої межі випливає з властивості
арктангенса: 2/π−>xarctg . В другій умові знайдемо 0≤x , розв’язавши нерівність
2π−ε<xarctg . (4.3)
1) Якщо 2π≥ε , то будь-який 0≤x задовольняє (4.3). 2) Якщо 2/0 π<ε< , то
нерівність (4.3) рівносильна )2/( π−ε< tgx або ε−< ctgx . Можна вказати яке-небудь число, що задовольняє останній нерівності, наприклад, 1−ε−= ctgx .
У наступних прикладах знайти точну верхню і нижню межі послідовностей.
11sin += ntgxnПриклад 4.7. .
Розв’язання. Оскільки
21sin1
1sin0 tgntg <+< (4.4)
(довести (4.4) надається зробити читачу!), то можна припустити, що 2/1sinsup tgxn = , 0inf =nx .
З (4.4) і рівностей 2/1sinmaxsup 1 tgxxx nn === випливає перше з припущень. Із
(4.4) і ланцюжка нерівностей nntgntgxn /1/1/1sin <<= випливає, що для
виконана нерівність [ ] 1/1 +ε=n ε<n/1 , а, отже, і необхідна за означенням нерівність 0inf =nx ε<nx .
Приклад 4.8. . n
nxn)1(−=
Розв’язання. Розглянемо дві підпослідовності даної послідовності: kx k 22 = і
12112 −=− kx k .
Перша підпослідовність є необмеженою зверху, тому що для будь-якого 2≥M і для номера [ ] 12/ += Mk , а також для 2<M і будь-якого номера (наприклад,
) виконується нерівність , що вимогає означення. Оскільки підпослідовність необмежена зверху, то і вся послідовность також має цю властивість. Для акуратного обґрунтування в означенні необхідно взяти номера
5=k Mx k >2
kn 2= для зазначених вище . Із отриманого випливає, що k +∞=nxsup .
Усі члени послідовності задовольняють нерівності , до того ж, члени
підпослідовності
0≥nx
12112 −=− kx k необмежено наближаються до нуля, тому можна
припустити, що 0inf =nx . Дійсно, для будь-якого 0>ε і для номера
12
1 +⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
εε+=k , а тому 1
21212 +⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
εε+=−= kn здійснюється нерівність:
. Отже, обидві умови точної нижньої межі задовільняються. ε<=− nk xx 12Цю задачу можна розв’язати інакше, але для цього необхідна додаткова інфор-
мація із теорії послідовностей.
Приклад 4.9. Знайти точну верхню і нижню межі функції xxxf π⋅= 2sinln)(
на множині . )1,0(=E
27
Розв’язання. Очевидно, що 0)( ≤xf , тому
0...)3/1()2/1()(max)(sup ===== ffxfxfEE
.
Розглянемо послідовність n
xn 412+
= . Одержимо 1sin2 =π
nx, тому
. Ця послідовність є необмеженою знизу. Дійсно, вирішимо для відносно
( nxf n 22/1ln)( +−= )0<m Nn∈ нерівність
mn <+− )22/1ln( , (4.4)
одержимо . Останньому співвідношенню задовольняє, наприклад,
номер . Нерівності (4.4) для задовольняє будь-який номер.
4/12/1 −⋅> −men1][ += −men 0≥m
Оскільки функція необмежена на підмножині множини , то вона необмежена на всій цій множині. Якщо захотіти акуратно це обґрунтувати, то в даному випадку в означенні необмеженої знизу функції в якості
∞=1}{ nnx E
Ex∈ потрібно взяти елемент послідовності з зазначеним вище номером. Повернемося до теми «Потужність множин» і розв’яжемо таку задачу.
Приклад 4.10. Знайти потужність множини відрізків числової прямої, що взаєм-но не перетинаються.
Розв’язання. Із теорії дійсних чисел відомо, що між будь-якими двома дійсними числами існує раціональне число. Поставимо у відповідність кожному елементу даної множини, що є відрізком, одне раціональне число, що обов'язково лежить між кінцями цього відрізка. Раціональне число, що належить одному відрізку даної мно-жини, не може належати іншому, тому що відрізки множини взаємно не перетинаються. Отже, ми бієктивно поставили у відповідність даній множині деяку підмножину множини всіх раціональних чисел. Оскільки – зчисленна, то дана множина не більш, ніж зчисленна.
Q Q
28
“Математика имеет свои «последние квартеты
Бетховина», которые существуют только для посвященных, но в ней существуют и свои «Шубертовы песенки», доступные непосредственно всем»
(Г. Хассе)
ТЕМА 5. МЕТОД МАТЕМАТИЧНОЇ ІНДУКЦІЇ. КОМБІНАТОРИКА. БІНОМ НЬЮТОНА
5.1. Метод математичної індукції При доведенні тверджень, які справедливі для довільного натурального числа,
іноді застосовують метод математичної індукції, який складається з наступних пунктів.
1. Безпосередньою перевіркою встановлюється справедливість твердження для декількох значень n ( )…,2,1=n .
2. Припускається справедливість твердження для kn = , де довільне на-туральне число.
k
3. Якщо з цього припущення випливає справедливість даного твердження для 1+= kn , то це вважають доведеним для усіх N∈n .
Приклад 5.1. Довести справедливість формули
asn
n −−
=1
11 (5.1)
для суми перших n членів геометричної прогресії
1a , , , …, qaa 12 = 223 qaa = 1
1−= n
n qaaзі знаменником прогресії 1≠q .
Розв’язання. Ясно, що ця формула є вірною для 1=n і 2=n . Припустимо, що вона є вірною і для kn = , тобто.
q
qas
k
k −−
=1
11 .
Тоді
aqaq
qaass
kk
k
kkk −−
=+−−
=+=+
++ 11
11 1
11111 . (5.2)
Якщо в (5.2) позначити nk =+1 , то знов прийдемо до (5.1), що доводить цю формулу.
Приклад 5.2. Знайти суму
221...
181
81
21
narctgarctgarctgarctgSn ++++= .
Розв’язання. При розв’язанні будемо використовувати формулу
29
β⋅−β+α
=β+αa
arctgarctgarctg1
.
1) Оскільки
,43
1
81
32
81
181
81
21
,32
181
21
,21
81
32
81
32
23
81
21
81
21
2
1
arctgarctg
arctgarctgarctgSarctgarctgarctgS
arctgarctgarctgarctgS
arctgS
=⋅−
+=
=+=+=+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
=⋅−
+=+=
=
то можна зробити 2) індуктивне припущення
1+=
nnarctgSn . (5.3)
3) Оскільки
( ) ( )( )( ) ,
21
)2(122)1(122
2562)1(122
)1(2)1(1)1(2
1)1(21
1)1(21
)1(21
21...
181
81
21
2
223
2
3
)1(21
1
)1(21
1
22
221
2
2
++
=+++
+++=
=+++
+++=
−+
+++=
=⋅−
+=
++
+=
++=
=+
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++++=
++
++
+
nnarctg
nnnnnnarctg
nnnnnnarctg
nnnnnarctg
arctgn
arctgn
narctgn
arctgS
narctg
narctgarctgarctgarctgS
nnn
nnn
n
n
то це і доводить співвідношення (5.3) для всіх натуральних . n
221...
181
81
21
narctgarctgarctg ++++arctg =
1+nnarctg . Висновок:
Приклад 5.3. Довести, що при всіх натуральних значеннях число ділиться націло на 6.
n nn 53 +
30
Розв’язання. 1) Перевіримо справедливість твердження при 1=n :
1513 ⋅+ =6 і 16:6 = . Твердження справедливе.
2) Припустимо, що твердження справедливе при kn = , тобто , - натуральне число. Покажемо, що із зробленого припущення випливає справедли-
вість твердження при
pkk 653 ≡+p
1+= kn , тобто що ( ) ( )151 3 +++ kk ділиться націло на 6. Враховуючи припущення, перевіримо
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )13161366
6135151 33
+++≡+++≡≡++++≡+++
kkpkkpkkkkkk .
Оскільки з двох послідовних натуральних чисел завжди одне парне, то , де q - натуральне число; тоді ( ) qkk 21 ≡+
( ) ( ) ( ) ( )16616151 3 ++≡++≡+++ qpqpkk ,
що й доводить справедливість твердження при 1+= kn , а разом з тим і при будь-якому n .
Приклад 5.4. Довести, що при справедлива нерівність . 4≥n 33 nn >
Розв’язання. 1) При 4=n маємо , або . Нерівність справед-лива.
34 43 > 6481>
2) Припустимо, що при kn = ( )4>k нерівність справедлива, тобто 33 kk > .
Покажемо, що буде справедливою нерівність
( )31 13 +>+ kk , тобто
1333 231 +++>+ kkkk . Враховуючи припущення, маємо
31 3333 kkk >⋅=+ або
331 23 kkk +>+ .
Покажемо, що при ; остання нерівність рівносильна до
нерівності , або
1332 23 ++> kkk 4>k
( ) kkk 61 33 >−+ ( ) kkk 643
2112
2>⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −− . Оскільки при
вірно 4≥k kk >−12 ( )01>−k і 643
21 2
>⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −k , то розглядувана нерів-
ність справедлива. Тоді
13323 23331 +++>+>+ kkkkkk ,
або , що й доводить початкову нерівність. ( )31 13 +>+ kk
Приклад 5.5. Довести нерівність Бернуллі ( ) α+>α+ nn 11 , де , і - натуральне число, більше за 1. 1−>α 0≠α n1) При маємо 2=n ( ) α+>α+α+=α+ 21211 22 . Нерівність справедлива.
2) Припустимо, що при kn = ( )2>k .
( ) α+>α+ kk 11 ,
31
і покажемо, що тоді
( ) ( )α++>α+ + 111 1 kk . Дійсно, враховуючи припущення, маємо
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) .111111111 21 α++>α+α++=α+α+>α+α+=α+ + kkkkkk Нерів-ність Бернуллі доведена.
5.2. Елементи комбінаторики Комбінаторика вивчає кількості сполук, які підкоряються певним умовам і
які можна утворити з елементів заданої скінченної множини. Нехай деяка скінченна множина, яка складається з елементів:
. E n
{ }naaa ,,, 21 …Означення 5.1. Множина називається впорядкованою, якщо між її елемен-
тами встановлено деяке співвідношення, що має такі властивості: 1) для будь яких двох різних елементів і справедливе одне і тільки одне: або передує ,
або передує ; 2) для будь-яких трьох елементів, і з того, що пере-
дує і передує , випливає, що передує .
E
la ma la ma
ma la ma ka la
ma ma ka la kaОзначення 5.2. Будь-яка підмножина множини , що містить елементів,
, називається комбінацією з даних елементів по елементів. E k
( )nk …,2,1,0= n kЗ означення випливає, що дві різні комбінації з даних елементів по елемен-
тів відрізняються принаймні одним елементом. k
Добуток перших натуральних чисел прийнято позначати символом : n !n!321 nn =⋅⋅ …
Символ читають «ен факторіал». Це слово походить від латинського factor, що означає множник. Приймається (як визначення), що
!n1!0 = .
Число різних комбінацій з елементів по позначається символом (Combinatio від Combinare (лат.) – з’єднувати).
n k knC
Теорема 5.1
32
. Число комбінацій з елементів по , де n k nk ≤≤0 дорівнює:
( )!!!
knkn
C kn −= або
( ) ( )k
knnnC kn ⋅⋅⋅
+−⋅⋅−=
……21
11.
Доведення. При 0=k , 1=k і 2=k формула є справедливою. Дійсно,
, ( ) nnn
Cn =−
=!1!1
!1 , ( )( )
21
!2!2!2 −
=−
=nn
nn
Cn . 1!!0
!0 ==n
nCn
Припустимо, що складені всі можливі комбінації з елементів n { }n,,2,1 … по
, де . Якщо до кожної з цих комбінацій приєднати послідовно (по одному) кожен з елементів, що не увійшли до неї, то складуться всі можливі комбі-нації, взяті по елементів, причому будь-яка з цих останніх комбінацій виявиться взятою разів. Дійсно, розглянемо довільну комбінацію, що містить елементів.
1−k nk ≤1+− knk
k k
Наприклад: { }kk ,1,,2,1 −… . Ця комбінація може бути отримана з комбінації по 1−k
елементу, способами: kДо комбінації { }kk ,1,,3,2 −… приєднаємо 1,
до комбінації { }kk ,1,,3,1 −… приєднаємо 2, ……………………………………………… до комбінації { }1,,2,1 −k… приєднаємо k .
Таким чином, кожна з комбінацій по 1−knC 1−k елементів дає 1+− kn но-
вих комбінацій: усього складеться комбінацій по елементів, при-
чому кожна з нових комбінацій увійде раз, тому,
( ) 11 −+− knCkn k
k11 −+−
= kn
kn C
kknC .
Нехай формула числа комбінацій є вірною для комбінацій по 1−k елементів:
( ) ( )!1!1!1
−+−=−
kknn
C kn , тоді формула буде вірною і для числа комбінацій по
елементів, так як
k
( )( ) ( ) ( ) !!
!!1!1
1!1 1kkn
nkkkn
knnC
kknC k
nkn −
=−+−+−
=+−
= − .
За методом математичної індукції, з того, що формула є вірною при 0=k і та з припущення, що вона є вірною при , випливає, що вона є вірною при
. Значить, вона є вірною для будь-якого : 1=k 1−k
k k nk ≤≤0 . Приклад 5.6. Знайти число діагоналей опуклого десятикутника. Розв’язання. Вершини десятикутника утворюють множину з 10 точок площи-
ни, з яких будь-які три не лежать на одній прямій. З’єднуючи будь-яку пару цих точок відрізком прямої, одержуємо
45219102
10 =⋅⋅
=C
відрізків, 10 з яких є сторонами многокутника, а інші 35 – його діагоналями. Означення 5.3. Якщо переставити елементи множини, яка складається з
елементів: різноманітними способами, залишаючи незмінним їх за-гальне число, одержимо кілька послідовностей, кожну з яких називають перестав-ленням з даних елементів.
n{ }naaa ,,, 21 …
Теорема 5.2. Число всіх можливих переставлень, які можуть бути утворені з елементів, дорівнює: n nn ⋅⋅⋅= …21! .
Доведення (за індукцією). Теорема є вірною при 1=k . Припустимо, що вона є вірною при 1−= nk .
Доведемо, що вона є вірною при nk = . Для число переставлень дорівнює 1−= nk ( )!1−n . Додамо новий елемент
до кожного переставлення. В кожному переставленні новий елемент може займати
33
одне з місць, тобто. для кожного переставлення з n 1−n елемента отримаємо переставлень. Таким чином, число переставлень з елементів дорівнює
.
nn
( ) !!1 nnn =−⋅За методом математичної індукції теорема доведена. Приклад 5.7. Скількома способами можна розсадити 8 глядачів в ряду з 8
місць? 32040876543218 =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=P . Розв’язання.
Означення 5.4. Кожна впорядкована множина, що містить елементів даної множини елементів, називається розміщенням з n елементів по елементів.
kn k
Таким чином, два різні розміщення з даних елементів по відрізняються одне від одного або складом елементів, що входять до них, або порядком їх розмі-щення.
n k
Число розміщень з елементів по позначається символом . (від франц. Arrangement – розміщення).
n k knA
Теорема 5.2. Число всіх можливих розміщень, які взяті з елементів по , визначається за формулою:
n k
( )( ) ( ) ( )!!
121kn
kknnnnAk
n −=+−−−= … .
Доведення. Число комбінацій з елементів по дорівнює . Кожну ком-
бінацію можна впорядкувати способами. Таким чином, число розміщень з по
дорівнює
n k knC
!k n
k ( ) ( )!!
!!!!
!kn
nkkn
knCkA k
nkn −
=−
== .
Приклад 5.8. У класі 10 навчальних предметів і 5 різних уроків на день. Скі-лькома способами можуть бути розподілені уроки на день?
Розв’язання. Можливі розподіли уроків на день є, очевидно, можливими роз-міщеннями з 10 елементів по 5; тому всіх способів розподілу буде
24030678910!5!105
10 =⋅⋅⋅⋅==A .
Задача 5.1. Довести, що 111−−− + k
nkn CC = . (5.4) k
nC 5.3. Біном Ньютона
Означення 5.5. Формула, що представляє вираз ( )nax + при натуральному n у вигляді приведеного многочлена, називається формулою бінома Ньютона. Много-член, що стоїть в правій частині формули, називається розкладом бінома. Коефіцієн-ти розкладу біному називаються біноміальними.
Теорема 5.1. Розклад бінома Ньютона має вигляд
34
( ) ∑=
−−− =+++++=+n
k
kknkn
nkknkn
nn
nn axCaaxCaxCxax1
11 …… .
Доведення (за індукцією). Теорема вірна для 2=n :
. ( ) ( )( ) 21112
2222 2 aaxCxaxaxaxaxax ++=++=++=+Припустимо, що теорема вірна для степеня бінома, рівного 1−n , доведемо,
що при цьому припущенні вона буде вірна для степеня . За припущенням маємо: n( ) 11
121
111 −−−
−−
−−− +++++=+ nkknk
nn
nnn aaxCaxCxax …… .
Помноживши останню рівність на ( )ax + , одержимо:
( ) ( ) ( )( )111
211
11 −−−−
−−
−− ++++++=++ nkknkn
nn
nn aaxCaxCxaxaxax …… ,
( )=+++++
+++++++=++−−
−−
−
−−−−
−−
nkknkn
nn
nnkknkn
nn
nn
aaxCaxCaxxaaxCaxCxax
…………
111
2211
111
111
( ) ( ).11
111
101
11
nkknkn
nn
n
nkknkn
kn
nnn
n
aaxCaxCxaaxCCaxCCx
+++++==+++++++=
−−
−−−−
−−−
…………
В останньому ланцюгу рівностей було використано формулу (5.4). За індукцією теорема доведена.
Приклад 5.9. Знайти розклад біному Ньютона ( )5ax + .
( ).510105 54322345
5445
3235
2325
415
55
axaaxaxaxx
axaCaxCaxCaxCxax
+++++=
=+++++=+
Властивості біноміальних коефіцієнтів. 1. Загальний член розкладу біному має вигляд
( ) ( )[ ] kknkknknn ax
kknnnaxCT −−
+ ⋅⋅−−−
==…
…321
111 .
2. Коефіцієнти членів, однаково віддалених від кінців розкладу, рівні між собою, тобто
knn
kn CC −= .
3. Для одержання коефіцієнтів наступного члена досить помножити коефіцієнт попереднього члена на показник букви x в цьому члені і поділити на число членів, які передують визначуваному, тобто
( )k
knCCknk
n11 +−
=−
.
4. Сума всіх біноміальних коефіцієнтів дорівнює , тобто n2nn
nknnn CCCC 211 121 =+++++++ −…… .
5. Сума біноміальних коефіцієнтів, які стоять на непарних місцях, дорівнює сумі біноміальних коефіцієнтів, які стоять на парних місцях, тобто
35
……… +++=+++++ 531421 nnnknnn CCCCCC
Властивості 2, 4, 5 пропонується читачеві довести самостійно!
6. Виходячи з рівності (5.4), можна скласти з чисел таблицю, яка має назву трикутника Паскаля. Трикутник Паскаля є симетричним відносно вертикалі, що проходить через його вершину.
knC
1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1
На -ому місці в -му рядку таблиці стоїть значення , причому крайні
числа відповідають значенням . Починаючи з третього рядка будь-який внутрішній елемент таблиці дорівнює сумі двох найближчих до нього елементів по-переднього рядка.
k n knC
110 == nn CC
Приклад 5.10. У розкладі
n
xx ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+
3 2
1 коефіцієнт п’ятого члена відноситься
до коефіцієнта третього члена, як 7:2. Знайти той член цього розкладу, який містить x у першому степені.
Розв’язання. Біноміальний коефіцієнт п’ятого члена дорівнює , коефіцієнт
третього члена дорівнює . Тоді, за умовою,
4nC
2nC
27
2
4=
n
n
CC
; ( )( )( )
( ) 27
1432121321=
−⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−
nnnnnn
,
звідки . 9=nНехай тепер номер члена, який містить x у першому степені, дорівнює 1+k .
Тоді
( ) 6727
929
32
99
3 2911
kk
kkkk
kk
k xCxxCxx
CT−−
−−−+ ==⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛= .
За умовою показник степеня x повинен дорівнювати 1. Звідси 16
727=
− k і 3=k .
Отже, член, який містить x у першому степені, є четвертим членом розкладу і дорів-
нює . xCT 394 =
36
“Все доказуемое не должно быть принемаемо в науке на веру без доказательства”
(Р. Дедекинд)
ТИПОВЕ ІНДИВІДУАЛЬНЕ ЗАВДАННЯ 1. Довести рівність множин 2. Визначити, в якому співвідношенні ( YXYXYX ⊃⊂= ,, ) знаходяться множини
X і Y . 3. Встановити взаємно однозначну відповідність між множинами A і . B4, 5. Визначити потужність множини 6, 7. Знайти . З'ясувати чи досягаються MM sup,inf Minf і . Msup8. Знайти і , nxinf nxsup Nn∈ 9. Знайти , . )(inf xf
Rx∈)(sup xf
Rx∈10, 11. Довести справедливість твердження для всіх (якщо додатково не оговорено, то
) 0nn >
10 =n Варіант 1 Варіант 21 1 ABABA =∪∩ )\()( )\()\()( ACABCBA ∪=∪∩ 2 )\( CBAX ∪= ;
)\()\( CABAY ∪=
2 )()( DBCAX ∩∪∩= ; )()( DCBAY ∪∩∪=
3 A - множина усіх квадратів на площині зі сторонами, які паралельні осям координат, - множина всіх кіл на площині
B
3 A - множина усіх правильних трикутників на площині з основою, яка паралельна осі , - множина всіх кіл на площині
Ox B
4 Множина усіх парабол
cbxaxy ++= 24 Множина усіх точок, що належать колу
5 Множина усіх літер Г на площині 5 Множина усіх послідовностей цілих чисел
6 M – множина усіх чисел вигляду , де і m - цілі числ, причому
mn / n
||||2 mn <
6 M – множина всіх ірраціональних чисел x , для яких 6|3||3| =++− xx
7 ∪
Nn nnM
∈⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
++=
11;
21
7
∩Nn
nn
nM∈
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−= ;1
8
nx
n
n)1(−=
8 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
nxn
11ln
9 xthxf =)( 9 2sin)( xxf = 10
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ − 2)1(
11...911
411
n
222++=
nn
10 +
+⋅++
+⋅ )2()1(1
)1(1
aaaa
)())(1(1...
naan
nana +=
+−+++
)0( >a 11 nnn <− !)!12( , 1>n 11 2/! nnn > , 1>n
37
Варіант 3 Варіант 41 )(\)()\()\( DBCADCBA ∪∩=∩ )()\()\(| CABACBA 1 ∩∪= 2 )(\ CBAX ∪= ; CBAY \)\(= 2 )\( CBAX ∪= ; CBAY \)( ∪= 3 }1|||:|),{( 2 =+∈= yxRyxA ;
}1:),{( 222 =+∈= yxRyxB
3 }1:),{( 222 <+∈= yxRyxA ;
}1:),{( 222 ≤+∈= yxRyxB 4 }1:){( 2 =+∈= yxRxyA
4 Множина усіх паралелограмів на площині
5 Множина точок відрізка [0,1] , у десят-ковому записі яких відсутні цифри 3 і 6
5
}1,1||||:),{(
22
2
≤+≥+∈=
yxyxRyxA
6 M – множина усіх дійсних коренів рівняння 0/1sin =x
6 M – множина ірраціональних розв’язків рівняння 1|||1| =−+ xx
7 ∪Nn nn
M∈
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= 2;1
8 narctgxn = 7 ∩Nn n
nn
M∈
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
++−=
1;
11
8 )/1( ntgxn =
9 21
)(x
xxf+
= 9
⎩⎨⎧
≤>= 0,sin
0,)( xxxxarctgxf
10
. =+−
++⋅
+⋅ )12)(12(
...53
231
1 222
nnn
)12(2)1(
++
nnn
10. =+−
++⋅
+⋅ )13)(23(
1...74
141
1nn 13 +n
n
11 12! −> nn , 2>n 11 nnnn )]1([)!2( +< , 1>n
Варіант 5
Варіант 61 )(\\)\( CBACBA ∪= )(\)()\( CBCACBA 1 ∩∩=∩ 2 CBAX ∪= )\( ; BCAY \)( ∪= 2 CBAX ∩= )\( ; BCAY \)( ∩= 3 ]1,0[=A , )1,0(=B 3 ]1,0[]1,0[ ×=A , )1,0()1,0( ×=B 4 Множина усіх комплексних чисел 4 Множина кіл на площині з раціональним
радіусом 5 Множина усіх коренів рівняння
, де - дробова частина числа
2/1}/1{ =x }{yy
5 Множина усіх коренів рівняння 0}sin100{ =x , де - дробова
частина числа }{y
y6 M – множина раціональних
розв’язків нерівності 2ln >x6 M – множина раціональних розв’язків
нерівності 1|| <xarctg
7. ∪Nn
nn
M∈
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡= ;1
8 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−=
111ln
nxn 7
∩Nn n
nn
M∈
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +
+−= 1;
11
8
nx
n
n)1(exp −=
9
⎪⎩
⎪⎨⎧
>+
≤=
0,1
10,
)(x
x
xexf
x
9
⎪⎩
⎪⎨⎧
<
≥−=
0,1cos0,
)(x
x
xexf
x
10. =+−
++⋅
+⋅ )12)(12(
1...53
131
1nn 12 +n
n 10. =+−
++⋅
+⋅ )14)(34(
1...95
151
1nn 14 +n
n
11
343
)14(...1395)14(...1173
+<
+⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅
nnn
11 21...
31
211 222 <++++
n
38
Варіант 7 Варіант 81 )\()\(\)( CBCACBA ∪=∪ )\()\(\)( CBCACBA 1 ∩=∩ 2 CBAX ∩= )|( ; )(\)( CBCAY ∩∩= 2 CBAX ∪∪= )( ; )()\( CBCAY ∪∪= 3 ),0[ +∞=A ; )1,0[=B 3 ),0( +∞=A ; )1,0[=B 4 Множина усіх кругів на площині 4 Множина усіх трикутників на площині 5 Множина точок площини, у яких
хоча б одна координата раціональна 5 Множина всіх інтервалів , де ),( ba ba <
6 M – множина раціональних розв’язків рівняння 0][ =xarctg , де
- ціла частина числа ][y y
6 M – множина раціональних розв’язків рівняння 0][ln =x , де - ціла частина числа
][ yy
7 ∪
Nn nn
nnM
∈⎟⎠⎞
⎢⎣⎡
+−=
1;1
7 ∩
Nn nnM
∈⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ += 1;0
8. 12 +
=n
nxn 9. ||)( xexf −= 8. n
n ex ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
+−=
12 9 )ln()( xarctgxf +π=
10
12/)23)(1()1(...3221
2222
+−==−++⋅+⋅
nnnnn
10
11...1
12
−−=++++
+
xxxxx
nn
11 nn nn <++1 1 , 2>n 11 11 −<+ nn nn , 2>n
Варіант 9
Варіант 101 BABAABBA ∪=∩∪∪ )()\()\( ACBACAB \)()\()\( ∪ 1 =∪ 2 CAX \= ; )\()\( CBBAY ∪= 2 )\(\)\( CBCAX = ; CAY \= 3 3RA = , - множина всіх кіл на
площині B 3 2RA = , - множина всіх кіл радіуса 1 B
4 Множина усіх скінченних наборів раціональних чисел
4 Множина усіх скінченних наборів відрізка [0,1]
5 Множина точок інтервалу (0,1), у десятковому записі яких на другому місці стоїть цифра 3, і більше ця цифра не зустрічається
5 Множина точок відрізка [0,1] , у десятико-вому записі яких відсутня цифра 8
6 M – множина усіх раціональних чисел інтервалу (0,1)
6 M – множина ірраціональних розв’язків нерівності 2|| >+xx
7. ∪Nn n
M∈
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡= 1;1 8.
1+=
nnxn 7. ∩
Nn nn
nnM
∈⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +
+−= 1;
1
9. xxxf cossin)( += 8. 9.)/1sin( nxn = xarctgxf =)( 10 =⋅−++⋅+⋅+⋅ nn )1(...433221
3/)1()1( +−= nnn 10 =⋅++⋅+⋅+⋅ !...!33!22!11 nn 1)!1( −+n
11 nnn ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +<
21! , 1>n
11 ( )
nnnn ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++<
6)12)(1(! 2 , 1>n
39
Варіант 11 Варіант 121 )\(\)\(\)\( CBCACBA = )\()\()(\)( ABBABABA ∪ 1 =∩∪ 2 )( CBAX ∩∩= ;
)()( CABAY ∩∪∩=
2 )\( CBAX ∪= ; )(\)( CABAY ∪∪=
3 RA = ; ]1,0(=B 3 RA = ; ]1,0[=B 4 Множина всіх алгебраїчних
многочленів ступеня не вище з раціональними коефіцієнтами
n4 Множина всіх алгебраїчних многочленів
ступеня не вище з ірраціональними коефіцієнтами
n
5 { }]1,0[],1,1[:),( 2 ∈−∩∈∈= yQxRyxA 5
}1,sin:),{(
22
2
≤+=∈=
yxxyyRyxA
6 M – множина раціональних розв’язків нерівності 2 3 9>x
6 M – множина ірраціональних розв’язків нерівності 3 1 >+x
7 ∪
Nnn
nM
∈⎟⎟⎠
⎞⎢⎣
⎡= 2
2 ;1 7
∩Nn n
M∈
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−= 1;1
8 nnx
21...
41
211 ++++=
8
12
2
+=
nnxn
9 )(sin)( xtgxf = 9 )(cos)( xarctgxf = 10
3/)14()12(...4321
22222
−==−+++++
nnn
10
( )23333
2/)1(...4321
+==+++++
nnn
11 nn nn <− !2 1 , 2>n 11 nn nn >!3 , 2>n Варіант 13 1 )\(\)( ABBAA ∪= 2 )\(\ CBAX = ; CBAY ∪= )\( 3 A - квадрат; - прямокутник B 4 Множина усіх відрізків на числовій пря-
мій 5
}1,:),{( 2
≤++=+∈=
yxyxyxRyxA
6 M – множина раціональних розв’язків рівняння 0][ =xsh , де - ціла частина числа
][ y
7 ∪
Nn nM
∈⎟⎠⎞
⎢⎣⎡
+=
21;
21\]1,0[
8 n
xn1arccos=
9 xch
xf 1)( = 11 12)!12( −<− nnn , 1>n
10 2/)1()1()1(...4321 11222 +⋅−=⋅−++−+− −− nnn nn
Вказівка. В деяких прикладах необхідно скористатися такими
нерівностями 3112 <⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +<
n
n; 1
)1(11
2 >∀+
< nnnn
.
40
41
Лі-
те-
ра-
ту-
[1-
16]
Пе-
релік
кон
-тр
ол.
за-
ходів
СР
2 к.р.
1 т.з.
ко
-ло
к-віум
К-
сть
год.
36
2 4 4 2 4 6 6 6 2
Зміст пр
акти
чних,
сем
і-нар
ськи
х, лаб
орат
орних
занят
ь
1.
Нульовий контроль
. 2,
3. Ф
ункції та
їх графіки
. 4,
5. О
перації над
множинами.
6.
П
еретини і об’єднання будь
-якої
кількості
множин
. 7-
8. Еквівалентність
множин
. 9-
11. П
отуж
ність мн
ожин
. 12
-14.Принцип
математичної інду-
кції.
, 15
-17.
Точні
верхня та
ниж
ня грані
мн
ожин
, послідовностей,
функцій
. 18
. Контрольна робота
.
К-
сть
год.
22 2 6 1 2 2 4 4 14
2 2 2 2 2 2 2
Зміст те
ми
(ле
кційні занят
тя)
Елементи
теорії м
ножин
•
Поняття
множини.
Означення
теоретико
- мн
ожинних опе-
рацій.
•
Відображення
. Розбиття на
класи
. •
Принцип
математичної індукції.
•
Зчисленні м
ножини та
їх властивості
. •
Числова пряма і нескінченний
десятковий дріб
. Несчис-
ленність
множини точок відрізку
[0,1
] •
Потуж
ність континуум.
Властивості
множин
потуж
ності
контінуум.
•
Порівняння потужностей
. Теорема
Шредера
-Бернш
тейна.
Теоремапроіснуваннявищих
потужностей
.Теорія дійсни
х чи
сел.
•
Множини натуральних чисел,
цілих
чисел
, раціональних
чисел.
•
Властивості
раціональних чисел.
•
Нескінчені десяткові
дроби
та їх
упорядкованість
. •
Числові мн
ожини,
обм
ежені зверху
, знизу.
Теорема
про
існування точних
граней.
•
Наближення
дійсних
чисел
раціональними
. Операції над
дійсними
числами
. •
Незчисленність мн
ожини дійсних чисел.
•
Означення
множини дійсних чисел.
Дод
аток
А
Витя
г з ро
бочої
про
грам
и кур
су мат
емат
ичног
о ан
алізу дл
я сп
еціальн
ості
„М
атем
атика”
СТРУКТУРА
І ЗМІС
Т К
УРСУ
№
п п 1 2
42
Додаток Б Питання до колоквіуму Теоретичні питання
1. Множини і операції над ними. Властивості операцій над множинами. Закони двоїстості.
2. Загальне поняття функції (відображення). Образ, прообраз множини при відо-браженні. Сюр’єктивні, ін’єктивні, бієктивні (взаємно однозначні) відображення. Поняття зворотного відображення. Поняття графіка функції.
3. Розбиття на класи. Відношення еквівалентності. Необхідні і достатні умови роз-биття множини на класи.
4. Еквівалентні (рівнопотужні) множити. Приклади. 5. Принцип повної математичної індукції. 6. Поняття зчисленної множини. Критерій зчисленності множини. Теореми про
існування зчисленної множини у будь-якій нескінченній множині, про зчислен-ність будь-якої нескінченної підмножини зчисленної множини.
7. Теореми про об’єднання скінченної або зчисленної кількості зчисленних множин і про зчисленне об’єднання зчисленних множин.
8. Теорема про потужність об’єднання нескінченної та зчисленної множин. Теоре-ма про потужність різниці незчисленної і не більш, ніж зчисленної (скінченної або зчисленної) її підмножини та наслідок з неї. Означення нескінченної множи-ни.
9. Теорема про потужність множини раціональних чисел і наслідок з неї. Множина алгебраїчних чисел і її потужність.
10. Теорема про потужність множини, яка визначається скінкенною кількістю знач-ків, кожен з яких приймає зчесленну кількість значень. Потужність скінченного прямого добутку зчисленних множин.
11. Числова вісь і нескінчені десяткові дробі. Теорема про незчисленність відрізка [0,1].
12. Потужність континуума. Потужність будь-якого відрізка, півінтервала, інтервалу. Потужності множин усіх дійсних чисел, ірраціональних чисел.
13. Теорема про потужність об’єднання скінченної або зчисленної кількості множин потужності континуум.
14. Двійкові дробі. Потужність множини усіх послідовностей натуральних чисел. 15. Теорема про потужність множини, що визначена скінченною кількістю значків,
кожен з яких пробігає множину потужності континуума. Потужність скінченного прямого добутку множин потужності континуума.
16. Теорема про потужність множини, що визначена зчисленною кількістю значків, кожен з яких пробігає множину потужності континуума.
17. Потужність континуального об’єднання континуальних множин. 18. Порівняння потужностей. Приклади. Теорема про потужність множини усіх під-
множин даної множини. 19. Теорема про проміжну множину. 20. Теорема Е.Шрьодера-Ф.Бернштейна. 21. Трихатомія упорядкування потужностей множин. Транзитивність упорядкування
потужностей множин. 22. Множина натуральних, цілих і раціональних множин. 23. Множина раціональних чисел і її властивості. Зображення раціональних чисел на
числовій прямій 24. Упорядкування множини нескінченних десяткових дробів. Коректність означен-
ня упорядкування. 25. Упорядкування множини нескінченних десяткових дробів. Транзитивність упо-
рядкування нескінченних десяткових дробів. 26. Множини нескінченних десяткових дробів обмежені зверху (знизу). Верхня, ни-
жня, точна верхня, точна нижня межі множин нескінченних десяткових дробів. Теорема про існування точних меж.
27. Наближення дійсних чисел раціональними (три леми). 28. Операція додавання нескінченних десяткових дробів. Теореми про існування і
єдиність суми двох нескінченних десяткових дробів. 29. Операція добутку нескінченних десяткових дробів. Теорема про існування і єди-
ність добутку нескінченних десяткових дробів.
30. Множина дійсних чисел і її властивості (довести будь-які дві з властивостей 5-16).
31. Основні числові нерівності з модулями. Деякі конкретні множини числової пря-мої (сегмент, інтервал, півсегмент, числова пряма, півпрямі відкриті і замкнені,
-окіл точки, окіл точки), щільні в собі множини. εПитання вхідного контролю
1. Об’єднання, перетин, різниця, симетрична різниця двох множин. 2. Об’єднання і перетин зчисленної кількості множин. 3. Загальне поняття функції (відображення). Сюр’єктивні, ін’єктивні, бієктивні
(взаємно однозначні) відображення. 4. Образ, прообраз множини при відображенні. 5. Поняття графіка функції. 6. Розбиття на класи. 7. Відношення еквівалентності. 8. Зчисленна множина. 9. Множина потужності континуума. 10. Натуральне число. Множина натуральних чисел. 11. Множина раціональних чисел. 12. Зчисленна множина. 13. Властивості зчисленних множин. 14. Множина потужності континуума. 15. Властивості множин потужності континуум 16. Потужність множини раціональних чисел, алгебраїчних чисел, трансцендентних
чисел. 17. Теорема про проміжну множину. 18. Теорема Е.Шрьодера-Ф.Бернштейна. 19. Трихатомія упорядкування потужностей множин. Транзитивність упорядкування
потужностей множин. 20. Операція упорядкування нескінченних десяткових дробів “=”. 21. Операція упорядкування нескінченних десяткових дробів “<”. 22. Обмежена зверху множина. 23. Необмежена зверху множина. 24. Обмежена зверху послідовність. 25. Необмежена зверху послідовність. 26. Обмежена зверху функція. 27. Необмежена зверху функція. 28. Точна верхня межа множини. 29. Точна верхня межа послідовності. 30. Точна верхня межа функції. 31. Точна нижня межа множини. 32. Точна нижня межа послідовності. 33. Точна нижня межа функції. 34. Наближення дійсних чисел раціональними (три леми). 35. Операція додавання нескінченних десяткових дробів. 36. Операція добутку нескінченних десяткових дробів.
37. Порівняння потужностей. Потужності якої множини відповідає запис M2 . 38. Множина дійсних чисел. 39. Сегмент, півсегмент, числова пряма, півпрямі відкриті і замкнені. 40. Інтервал, -окіл точки, окіл точки. ε
43
44
МЕТОДИЧНЕ ВИДАННЯ
Д’яченко Наталія Миколаївна Савранська Алла Володимирівна
ВСТУП ДО ТЕОРІЇ МНОЖИН І ТЕОРІЇ ДІЙСНИХ ЧИСЕЛ
Практикум з розв’язання задач
для студентів денної та заочної форм навчання спеціальності
6.080101 „Математика” і 6.080202 „Прикладна математика”
Відповідальний за випуск Д’яченко Н.М., к.ф.-м.н., доцент
Рецензент Величко І.Г., к.ф.-м.н., доцент Коректор Д’яченко Н.М., к.ф.-м.н., доцент
