2 ТЕОРІЯ ДІЙСНИХ ЧИСЕЛ 2 2.1 Множини натуральних і цілих …sites.znu.edu.ua/bank/public_files/2009/10/matanaliz/2.pdf · 2 ТЕОРІЯ

2 ТЕОРІЯ ДІЙСНИХ ЧИСЕЛ

Н.М. Д’яченко 33


2.1 Множини натуральних і цілих і раціональних чисел

Означення. Натуральним числом називають потужність скін-ченної множини.

Означення. Множиною натуральних чисел називається множина усіх чисел, що були названі натуральними, крім того

1) на цій множині вводяться бінарні операції додавання, мно-ження і упорядкування ( +, ⋅ , <.= ):

- , :a b c c a b∀ ∈ ∃ ∈ = +

(def: c a b= +def

⇔ , :c A B A B A a B b A B= ∀ = ∧ = ∧∪ ∩ = ∅);

- , :a b d d a b∀ ∈ ∃ ∈ = ⋅

(def: c a b= +def

⇔ , :c A B A B A a B b= × ∀ = ∧ = ); - виконується одне із трьох: ,a b∀ ∈ a b< , або , або

a b>

a b=(порівнюються натуральні числа так само, як і потужності скінченних мно-жин);

2) операції додавання і множення є комутативними і асоціати-вними:

- , ;a b a b b a∀ ∈ + = +- ; ,a b a b b a∀ ∈ ⋅ = ⋅- ; , , ( ) ( )a b c a b c b a c∀ ∈ + + = + +- , , , ( ) ( )a b c a b c b a c∀ ∈ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

до того ж, існує нейтральний елемент множення 1e = ∈ : - a e a a e a∀ ∈ ⋅ = ⋅ = ,

не існує нейтрального елементу додавання: - ,a b a b a∀ ∈ + ≠ ;

3) операція упорядкування є транзитивною - ; , , ( )a b c a b b c a c∀ ∈ < ∧ < ⇒ <- ; , , ( )a b c a b b c a c∀ ∈ = ∧ = ⇒ =

4) виконуються властивості притаманні парам цих операцій: а) додавання і упорядкування:

, ,a b c a b a c b c∀ ∈ < ⇔ + < + , , ,a b c a b a c b c∀ ∈ = ⇔ + = + ;



б) множення і упорядкування: , ,a b c a b a c b c∀ ∈ < <=> ⋅ < ⋅ , , ,a b c a b a c b c∀ ∈ = <=> ⋅ = ⋅ ;

в) дистрибутивність додавання і множення: , , ( )a b c a b c a c b c∀ ∈ + ⋅ = ⋅ + ⋅ ,

5) виконується аксона індукції: якщо для множини вірно M ⊆ 1 1M a M a M∈ ∧ + ∈ ∀ ∈ , тоді

. M =З алгебраїчної точки зору множина натур чисел , , ,1, ,+ ⋅ < = – це

півкільце множини чисел, що були названі натуральними, з нейтральним елементом множення і без нейтрального елемента додавання.

Зауваження: Можна вводити множину натуральних чисел по-іншому, за допомогою аксіом Пєано (розглянути самостійно !).

Означення З алгебр. точки зору множина цілих чисел – це

мінімальне кільце що містить в собі множину , тобто , ,0, ,1, ,+ ⋅ < = -мінімальне кільце, для якого ⊃ .

( повторити поняття кільця, що вивчалося в алгебрі!) Пояснення: множина цілих чисел утворюється як мінім. розши-

рення множини , в якій можна розв’язати рівняння a x b+ = , тобто , :a b x a x b∀ ∈ ∃ ∈ + = .

На множині натуральних чисел таке рівняння не завжди можна розв’язати, наприклад рівняння

3 1x+ = не може бути розв’язано на півкільці .

Розширення до мінімального кільця додатково передбачає появу нейтрального елемента додавання, тобто такого елемента 0∈ , що

0 0a a a a+ = + = ∀ ∈ , а також існування протилежного елемента додавання для будь-якого ці-лого числа, тобто . ( ) : ( ) 0a a a a∀ ∈ ∃ − ∈ + − =Властивість 4б) буде скорегованою:

( ), , 0a b c a b c a c b c∀ ∈ < ∧ > ⇒ ⋅ < ⋅ , ( ), , 0a b c a b c a c b c∀ ∈ = ∧ ≠ ⇒ ⋅ = ⋅ .

Розглянемо рівняння a x b⋅ = .



Чи завжди його можливо розв’язати в кільці ? Відповідь на це запи-тання негативна. Наприклад рівняння 3z k⋅ =не можна розв’язати в кільці .

Означення. Мінімальне розширення множини цілих чисел, в якому можна буде розв’язати рівняння будемо називати множи-ною раціональних чисел . З алгебраїч. точки зору множина – мініма-льне поле, що містить кільце .

a x b⋅ =

( Повторити поняття кільця, що вивчалося в алгебрі!) , ,0, ,1, , -поле+ ⋅ < = , тому існує протилежний елемент множення:

1 1: 1a a a a− −∀ ∈ ∃ ∈ ⋅ = , а множину раціональних чисел можна описати наступним чином

:m m nn

⎧ ⎫= ∈ ∧ ∈⎨ ⎬⎩ ⎭

.

2.2 Різні підходи до означення множини дійсних чисел

Спочатку зрозуміємо, чому множини раціональних чисел не до-

статньо. Доведемо, що розв’язком рівняння 2 2x = не може бути раціона-льне число.

Пп.. 2

2

2

: 22

( , ) 1

x Q xm mxn n

m n

⎫∃ ∈ =⎪

= ⇒ = ⇒⎬⎪= ⎭

1

⇒ }2 222 2 ï àðí å 2 ( , )2 2

m n m m m n m n= ⇒ => − => = ⇒ ≠⇐ . ■

Окрім зазначеного вище, ще древнім було відомо, що довжина коладіаметр кола

=π -

ірраціональне число (тобто те, що не є раціональним) (Піфагор). Висновок: множину раціональних чисел потрібно поповнювати. Множину дійсних чисел вводять по-різному.

1. Дедикінд вводить її за допомогою перерізів; 2. Кантор вводить множину дійсних чисел за допомогою послідовнос-

тей. Приклад: ∡ послідовність 1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; 1,41421;…



Вона є послідовністю десятк. дробів, що є наближенням кореня рівняння з нестачею з точність до 1; 0,1; 0,01; .... Ця послідовність не має

границі в множині раціональних чисел. Множина дійсних чисел має властивість повноти, згідно до якої будь-яка фундаментальна послідов-ність повинна мати границю в цій множині.

2 2x =

3. Вейєрштрасс вводить множину дійсних чисел за допомогою не-скінченних десяткових дробів.

Розглянемо нижче теорію Вейєрстрасса.

2.3 Властивості раціональних чисел

2.3.1. :m m nn

⎧ ⎫= ∈ ∧ ∈⎨ ⎬⎩ ⎭

10. Операція упорядкування раціональних чисел: ∀ a, b ∈ a = b ∨ a b . Визначимо ці операції для раціональних чисел a = m1/ n1 , b = m2/ n2.

Операція упорядкування «=»: a = b def

⇔ m1 ⋅ n2 = m2 ⋅ n1. Операція упорядкування «<»:

a) якщо m1 > 0 , m2 > 0, то a 0, тоді a ⎢b ⎢. def

⇔20. Операція додавання.

∀ a, b ∈ ∃ c – сума a та b, с = a + b∈ , яка визначається так:

a + b mdef

= 1/ n1 + m2/ n2 = (m1 ⋅ n2 + m2 ⋅ n1)/( n1 ⋅ n2). 30. ∀ a, b ∈ ∃ c – добуток a та b, с = a ⋅ b ∈ , який визначається так:

a ⋅ b mdef

= 1/ n1 ⋅ m2/ n2 = (m1 ⋅ m2) / (n1 ⋅ n2 )∈ . 40. Транзитивність упорядкування:

∀ a, b, с ∈ (a = b ∧ b = c) ⇒ a = c, ∀ a, b, с ∈ (a < b ∧ b < c) ⇒ a < c.

Властивості додавання. 50. ∀ a, b ∈ a + b = b + а – комутативність додавання. 60. ∀ a, b, с ∈ (a + b) + c = a + (b + c) – асоціативність додавання. 70. Існування нейтрального елемента за додаванням.



∃ 0 ∈ : ∀ a ∈ a + 0 = a. 80. Існування протилежного елемента за додаванням: ∀ a ∈ ∃ (-а) ∈ : а + (-а) = 0.

Властивості множення. 90. ∀ a, b ∈ a ⋅ b = b ⋅ a – комутативність множення. 100. ∀ a, b, с ∈ (a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c) – асоціативність множення. 110. ∃ 1 ∈ : ∀ a ∈ a ⋅ 1 = a – нейтральний елемент множення. 120. ∀ a ∈ ∃ а-1 = 1/а ∈ : а ⋅ а-1 = 1 -обернений елемент. 130. ∀ a, b, с ∈ (a ⋅+ b) ⋅ c = a ⋅ c + b ⋅ c – дистрибутивність.

Властивості упорядкування по відношенню до додавання та множення. 140. ∀ a, b, с ∈ a 0) ⇒ a ⋅ c a, або інакше: ∀ a ∈ ∃ n ∈Ν : 1⋅ n > a

2.3.2. Недостатність множини раціональних чисел для встанов-лення взаємно однозначної відповідності між множиною раціональ-них чисел і множиною точок числової прямої.

Мета: поставити у відповідність кожному раціональному числу точку на числовій осі.

Крок 1. Одиничний відрізок ділять на n рівних частин, застосовую-чи теорему Фалеса так, як зображено на рисунку. n відрізків О В Е 1/n OE

Крок 2. Будуємо на числовій прямій точки з координатами М1 (m1/ n) і М2 (m2/ n), де 1) m1 ∈



нальне число.

2) m2 ∈ - m1 разів |m2| разів М2 (m2/ n) O B(1/n) М1 (m1/ n)

Висновок: кожному раціональному числу відповідає єдина точка на числовій прямій.

Покажемо, що не кожній точці числової прямої відповідає раціо-

| OE | = 1, | EA | = 1, | OA | = x,

⎫⎪⇒⎬⎪⎭

x2 = 1 + 1 ( т. Піфаго-ра) ⇒ x2 = 2.

| OА1 | = | OA | = x за побудовою. Тобто х – є коренем рівняння x2 = 2, який за доведеним вище є числом ірраціональним.

Це означає, що не кожній точці числової прямої відповідає раціональне число. Тому раціональних чисел не достатньо для встановлення взаємно однозначної відповідності між множиною раціональних чисел і множи-ною точок числової прямої.

A

O 1AE

x

Пригадаємо, що ми вже співставляли кожній точці числової пря-мої нескінченний десятковий дріб. Подальшою метою буде: в множині нескінченних десяткових дробів визначити операції упорядкування, до-давання, множення і довести всі 16 властивостей, яким задовольняє мно-жина раціональних чисел.

2.4 Упорядкування множини нескінченних десяткових дробів (н.д.д.)

Розглянемо н.д.д.

a= + a0,a1a2 … an …, a0 ∈ U {0}, ai ∈ {0, 1, 2, …, 9} , i∈ . Якщо перед числом а стоїть плюс – то таке число додатне, якщо перед числом а стоїть мінус – від’ємне; число 0 не має знака. Ті числа, які не є додатними, називаються недодатними (від’ємні та 0), ті, що не є від’ємними називаються невід’ємними (додатні та 0).

Модулем числа а ( |a| ) наз. число а, взят із знаком “ + “.



a= + a0,a1a2 … an – с.д.д. ( * ) a= + a0,a1a2 … an000… a= + a0,a1a2 … an-1 (an – 1)999… н.д.д. з 0 в періоді н.д.д. з 9 в періоді

Означення 1.

a=b 1) а та b мають однакові знаки; def

⇔2) або a0 = b0 ∧ a1 = b1 ∧ a2 = b2 ∧ … ∧ an = bn ∧ …

або вони є представленнями одного і того ж скінченного десят-кового дробу (с.д.д.) у вигляді н.д.д. (тобто у формі (*)).

Означення 2: a < bdef

⇔ 0) а ≠ b; 1) а та b - невід’ємнi, тоді

a a def

⇔Лема (коректність означення упорядкування).

Якщо скінченний десятковий дріб b можна представити двома способами b’= b0,b1b2 … bn000… , b”= b0,b1b2 … bn-1 (bn – 1)999…, а нескінченний десятковий дріб а має вигляд a= a0,a1a2 … an … тоді a < b’ ⇔ a < b”

Ця лема дає змогу записувати скінчений десятковий дріб будь-яким способом. Означення знака “ < “ від цього не зміниться.

Доведення. Розглянемо лише випадок, коли обидва н.д.д. додатні. Інші випадки

перевірити самостійно ! Потрібно довести 4 імплікації: I) a < b’ ⇒ a < b”; II) a < b” ⇒ a < b’; III) a > b’ ⇒ a > b”; IV) a > b” ⇒ a > b’. Однак дві останні доводяться аналогічно першим двом, тому зупинимося на доведенні лише перших двох. I) a < b’⇒∃ k ∈ : a0 = b0 ∧ a1 = b1 ∧ a2 = b2 ∧ … ∧ ak-1 = bk-1 ∧ ak < bk , (**)

а ≠ b’ ⇒ а не містить 9 в періоді. Чи може бути n < k ? Якщо б це було так, то

a0 = b0 ∧ a1 = b1 ∧ a2 = b2 ∧ … ∧ an = bn ∧ an+1 = 0 ∧ …∧ak < 0



Остання нерівність неможлива, тому n </ k. Висновок: n ≥ k 1) Якщо n > k, то до номера k десяткові записи b’ та b” однакові, тому запис (**) буде

таким же і для нерівності a < b”. 2) Якщо n = k, то в нерівності (*) будемо мати: an < bn , тоді an ≤ bn – 1:

а) якщо an < bn – 1, то будуть мати місце співвідношення a0 = b0 ∧ a1 = b1 ∧ a2 = b2 ∧ … ∧ an-1 = bn-1 ∧ an < bn – 1, які і означають здійсненність нерівності a < b”;

б) якщо an = bn – 1, то будуть мати місце рівності a0 = b0 ∧ a1 = b1 ∧ a2 = b2 ∧ … ∧ an = bn – 1; оскільки за умовою a ≠ b’, а значить a ≠ b”, то ∃ i0 ∈ : < 9, тобто

0

bn ia +

”= b ,b b … b (b – 1)9 9… 9 …, 0 1 2 n-1 n || || || || || || || ∨a = a0,a1a2 … an-1 an 9 9…

0n ia + … це означає, що a < b”.

II) Довести: a < b” ⇒ a < b’ Нехай b’= b0’, b1’ b2’ … bn-1’ bn’ 000… , b”= b0”,b1 ”b2 ”… bn-1”bn” 999…, де b0’ = b0”= b0 b1’ = b1”= b1 … bn-1’ = bn-1”= bn-1bn’ = bn > bn – 1 = bn”. Дано: a < b”⇔ ∃ k∈ : a0 = b0” ∧ a1 = b1” ∧ a2 = b2” ∧ … ∧ ak-1 = bk-1”∧ ak < bk”. Уведемо номер m = min{k, n} k < n , m = k

b k’ = bk” ∧ ak < bk” ⇒ ak < bk’ ⇒ am < bm’ k ≥ n, m = n bn’ > bn” ∧ an = bn” ⇒ an < bn’ ⇒ am < bm’

Таким чином, маємо a0 = b0’ ∧ a1 = b1’ ∧ a2 = b2’ ∧ … ∧ am-1 = bm-1’∧ am < bm’ ⇔ a < b’. ■

Теорема. Правило упорядкування для раціональних чисел, пред-ставлених у вигляді нескінченних десяткових дробів і правило упорядку-вання таких чисел, представлених у вигляді дробу m / n однакові. Доведення. Розглянемо випадок, коли рац. числа додатні. a ∈ ↔ M1 на числовій прямій ↔ неск.дес.дріб a0,a1a2 … an … (з урах. домовленості). b ∈ ↔ M2 на числовій прямій ↔ неск.дес.дріб b0,b1b2 … bn … (з урах. домовленості). a > b ⇔ | OM1| > | OM2| Ціле число a0a1a2 … an показує, стільки разів відрізок 10-n ОЕ поміщується в OM1 , ціле число b0b1b2 … bn показує, стільки разів відрізок 10-n ОЕ поміщується в OM2



|OM1| > |OM2| ⇔∃ n ∈ : a0,a1a2 … an-1 = b0,b1b2 … bn-1 ∧ a0,a1a2 … an > b0,b1b2 … bn ⇔ ⇔ a0 = b0 ∧ a1 = b1∧ a2 = b2 ∧ … ∧ an-1 = bn-1∧ an > bn ⇔ a > b ■

Нашою метою буде довести здійсненність усіх 16 властивостей, аналогічних властивостям раціональних чисел і вивести додаткову вла-стивість, притаманну лише множині н.д.д., які і утворять множину дійсних чисел.

Теорема (транзитивність правила упорядкування нескінченних десяткових дробів, 4 вдастивість)

a < b ∧ b < c ⇒ a < c Зауважимо, що аналогічна властивість раціональних чисел має номер 4.

Доведення. Розглянемо 3 випадки 1) a ≥ 0, 2) a < 0 ∧ c ≥0, 3)a < 0 ∧ c < 0.

1) Розглянемо перший випадок

} }0 0 0a b ca b b c≥ ≥⇒ ⇒ ≥< <

Висновок: a ≥ 0 ∧ b ≥ 0 ∧ c ≥ 0. Дано; a < b ⇔ ∃ n ∈ : a0 = b0 ∧ a1 = b1 ∧ a2 = b2 ∧ … ∧ an-1 = bn-1 ∧ an < bn

b < c ⇔ ∃ k ∈ : b0 = c0 ∧ b1 = c1 ∧ b2 = c2 ∧ … ∧ bk-1 = ck-1 ∧ bk < ckУведемо номер m = min {n, k} n < k, m = n

an < bn = cn ⇒ an < cn ⇒ am < cm n ≥ k, m = k ak = bk < ck ⇒ ak < ck ⇒ am < cm

Маємо: a0 = c0 ∧ a1 = c1 ∧ a2 = c2 ∧ … ∧ am-1 = cm-1 ∧ am < cm ⇔ a < c2) Розглянемо випадок, коли a < 0 ∧ c ≥0. Тоді нерівність a < c виконується неза-

лежно від знаку b. 3) Нехай тепер a < 0 ∧ c < 0

}0 0c bb c< ⇒ <<

}0 0b aa b< ⇒ <<

Значить a < 0 ∧ b < 0 ∧ c < 0.

0 | | | | | | | |0 000 | | | |

0

a ba b a c ab a ab c cc c bb

< ⎫⎫⎪ ⎪< ⇒ <⎬ < ⎫⎪< ⎪⎪⎭ ⇒ < ⇒ <⎬ ⎬< ⎫ <⎪ ⎪⎪ ⎭< ⇒ <⎬ ⎪< ⎪⎭ ⎭

c .

Висновок: 4 властивість перевірена. ■



2.5 Обмежені множини чисел. Поняття точної верхньої і точ-

ної нижньої меж {x} = M – множина нескінченних десяткових дробів. Оскільки надалі ми назвемо множиною дійсних чисел сукупність

усіх н.д.д., що задовольняють певним вимогам, то надалі замість «н.д.д.» будемо казати «число». Множина дійсних чисел буде позначеною через

.

Означення. {x} обмежена зверху def

⇔ ∃ c∈ : ∀ x∈{x} x ≤ c. Число с наз. верхньою межею множини {x}.

Верхніх меж у множини може бути нескінченна кількість. При-клад: нехай {x} – множина усіх недодатних чисел, тоді в якості верхніх меж можна взяти будь-яке невід’ємне число.

Означення. Найменша серед усіх верхніх меж обмеженої зве-рху множини наз. точною верхньою межею. Позначення: sup{x} = x 1. Іншими словами:

sup{x} = x 1) ∀ x∈{x} x ≤ def

⇔ x , 2)∀ x∈ : x < x ∃ x` ∈{x} : x`> x.

Умова 1) означає, що x – верхня межа, а умова 2) означає, що x – най-менша із усіх верхніх меж.

Або на мові епсілон (ε):

x = sup{x } 1) ∀ x∈{x} x ≤ def

⇔ x ; 2) ∀ε >0 ∃ x`∈{x}: x` ≥ x - ε. Означення. {x} – необмежена зверху ⇔ ∀с∈ ∃x∈{x}: x>c.

x = sup{xn } 1) ∀ n∈ xdef

⇔ n ≤ x ;2) ∀x-ндд : x< x ∃ n∈ : xn > x, ⇔ 1) ∀ n∈ xn ≤ x ; 2) ∀ε >0 ∃n∈ : xn > x - ε.

y = supE

f(x), E ⊂ D(f)def

⇔ 1)∀ x∈E f(x) ≤ y ; 2) ∀ε >0 ∃ x∈E : f(x) > y - ε .

Домовленість: якщо множина необмежена зверху, то sup{x }= +∞ Означення. {x} – обмежена знизу ⇔ ∃ с-ндд : ∀ x∈{x} x ≥ c,

с називається нижньою межею множини {x}.

1 sup – перші три літери латинського слова supremum («супремум»), яке перекладається як «найвище»

2 ТЕОРІЯ Д НИХ ЧИСЕЛ


ІЙСОзначення. x = inf {x}2 – найбільша серед усіх нижніх меж,

тобто

х = inf {x} 1) ∀ x∈{x} x ≥ def

⇔ x ; 2) ∀ x-ндд : x > x ∃ x`∈{x} : x` < x. Якщо x = sup{x} ∈ {x}, то кажуть, що супремум досягається і

пишуть x = max{x}. Якщо х = inf{x} ∈{x} ⇒ інфімум досягається і x = min{x}.

Приклад. ∡ {x ≥0}. inf {x ≥0} = 0 = min{x ≥0}, sup{x ≥0} = ∞ (довести!).

Дамо наступне зведення визначень в інших позначеннях: A - обмежена зверху :M x A x M⇔ ∃ ∈ ∀ ∈ ≤ ; A - необмежена зверху :M x A x M⇔∀ ∈ ∃ ∈ > ; A - обмежена знизу :m x A x m⇔ ∃ ∈ ∀ ∈ ≥ ; A - необмежена знизу :m x A x m⇔∀ ∈ ∃ ∈ < ;

)(xf - обмежена зверху на )( fDE ⊂ : ( )M x E f x M⇔∃ ∈ ∀ ∈ ≤ ; )(xf - необмеж. зверху на )( fDE ⊂ : ( )M x E f x M⇔∀ ∈ ∃ ∈ > ; )(xf - обмежена знизу на )( fDE ⊂ : (m x E f x) m⇔∃ ∈ ∀ ∈ ≥ ; )(xf - необмеж. знизу на )( fDE ⊂ : ( )m x E f x m⇔∀ ∈ ∃ ∈ < ;

{ }∞=1nnx - обмежена зверху : nM n x M⇔∃ ∈ ∀ ∈ ≤ ;

{ }∞=1nnx - необмежена зверху : nM n x M⇔∀ ∈ ∃ ∈ > ;

{ }∞=1nnx - обмежена знизу : nm n x m⇔ ∃ ∈ ∀ ∈ ≥ ;

{ }∞=1nnx - необмежена знизу : nm n x m⇔∀ ∈ ∃ ∈ < ; AM sup= ⇔

1) AxMx ∈∀≤ 2) xxAxMx >′∈′∃<∀ :

або 1) AxMx ∈∀≤ 2) ε−>∈∃>ε∀ MxAx :0 ; Am inf= ⇔

1) Axmx ∈∀≥ 2) xxAxmx <′∈′∃>∀ :

або 1) Axmx ∈∀≥ 2) ε+<∈∃>ε∀ mxAx :0

)(sup xfMEx∈

= ⇔ 1) ExMxf ∈∀≤)( 2) ε−>∈∃>ε∀ MxfEx )(:0 ;

)(inf xfmEx∈

= ⇔ 1) ExMxf ∈∀≥)( 2) ε+<∈∃>ε∀ mxfEx )(:0 ;

nxM sup= ⇔ 1) nx M n≤ ∀ ∈ 2) 0 : nn x M∀ε > ∃ ∈ > −ε ;

nxm inf= ⇔ 1) nx m n≥ ∀ ∈ 2) 0 : nn x m∀ε > ∃ ∈ < + ε .

2 inf – перші три літери латинського слова infimum («інфімум»), яке перекладається як «найнижче»



Теорема (основна теорема теорії дійсних чисел): Для будь-якої обмеженої зверху (знизу) множини існує точна верхня (нижня) межа.

Доведення проведемо для sup. Доведемо, що якщо {x} – обмеже-на зверху, то ∃ x = sup{x}.

Розглянемо два випадки: І. {x} містить додатні нескінченні десяткові дроби (н.д.д.); ІІ. {x} складається лише з недодатних н.д.д..

І. В множині {x} розглянемо підмножину н.д.д. додатних н.д.д. {x>0}⊂{x}. За припущенням ця множина не порожня, тому {x>0} – об-межена зверху.

Тоді множина цілих частин елементів x ∈{x} обмежена зверху, тобто {x0∈ : x = x0,x1x2 … xn-1 xn…∈{x} } – обм. зверху.

Оскільки {x0} – це обм. зверху підмножина в , то вона має най-більший елемент, тобто ∃ 0x = max{x0∈ : x = x0,x1x2 … xn-1 xn…∈{x}}

∡ { 0x ,x1x2 … xn…∈{x}} – підмножина множини тих н.д.д. із {x}, які мають цілу частину 0x . Оскільки цифра першого десяткового знаку приймає значення із скінченної множини {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, то існує 1x

– найбільша цифра першого десяткового знаку н.д.д. із цієї множини, тобто ∃ 1x = max{x1∈{0,1,…,9}: 0x ,x1x2 … xn…∈{x}}.

∡ { 0x , 1x x2 … xn…}⊂ {x} ⇒ ∃ 2x – найбільша цифра другого де-сяткового знаку н.д.д. цієї множини, тобто ∃ 2x = max{x2∈{0,1,…,9}: 0x , 1x x2 … xn…∈{x}}.

Продовжуючи процес необмежено, отримаємо н.д.д. вигляду x = 0x , 1x 2x … x n… .

Доведемо, що x = sup{x}. 1. Перевіримо, що ∀ x∈{x} x ≤ x . Пп.: ∃ x∈{x}: x > x

⇔ ∃ k∈N : x0 = 0x ∧ x1 = 1x ∧…∧ xk-1 = 1kx − ∧ xk > kx .x > xОскільки xk – найбільша цифра k-го десяткового знаку н.д.д. множини { 0x , 1x 2x … 1kx − xk xk+1…}, то нерівність xk > kx неможлива. 2. Нехай x < x ⇔ ∃ n∈ x0 = 0x ∧ x1 = 1x ∧…∧ xn-1 = 1nx − ∧ xn < nx . (1) Розглянемо x` = 0x , 1x … 1nx − nx 1nx + … ∈{ 0x , 1x … 1nx − nx 1nx + …}. Із (1) ви-пливає, що x` > x, тому що



x = x , x …x xn 1nx + … 0 1 n-1 || || || ∧ x` = 0x , 1x … 1nx − nx 1nx + … Таким чином, виконуються обидві вимоги означення точної верхньої ме-жі. Значить x = sup{x}.

ІІ. {x} = {x= - x0,x1x2 … xn-1 xn …}– множина недодатних н.д.д. . Знайдемо x = sup{x} аналогічно вирадку І:

0x – найменша з цілих частин н.д.д. нашої множини; 1x – найменша з цифр першого десят. знаку н.д.д. множини { 0x ,x1x2 …}; 2x – найменша з цифр другого десят. знаку н.д.д. множини { 0x , 1x x2…}

і т.д. Аналогічно випадку І можна довести, що x = - 0x , 1x 2x … nx … = sup{x}.■

2.6 Наближення чисел, заданих нескінченними десятковими

дробами, за допомогою раціональних чисел

Нехай x = x0,x1x2 … xn… , х > 0. Розглянемо y1 = x0,x1 y2 = x0,x1x2 yn = x0,x1x2 … xn

⎫⎪⇒⎬⎪⎭

yn ∈ ∀n∈ .

За означенням порівняння н.д.д. маємо x ≥ yn. Розглянемо також zn = x0,x1x2 … xn + 10-n ∈ . Число zn може бути представленно скінченним десятковим дробом x0,x1x2 … (xn +1), якщо xn ≠9 або x0,x1x2 … (xn-р +1), де xn-р – перший, відмінний від 9 десятковий знак, що передує xn. За означенням порівнян-ня н.д.д. маємо zn ≥ x. Таким чином, yn ≤ x ≤ zn , yn , zn ∈ : yn – наближення з нестачею н.д.д. х, zn – наближення з надлишком н.д.д. х, zn - yn = 10-n.

Довести самостійно здійсненність твердження ∀ ε >0 ∃ n0 ∈N : ∀ n ≥ n0 10-n < ε. Таким чином, доведено лему у такому формулювання.

Лема 1. Будь-який н.д.д. х можна з нестачею і надлишком набли-зити раціональними числами з будь-яким степенем точності. Тобто

0∀ε > ∃ yn , zn ∈ : yn ≤ x ≤ zn ∧ zn - yn < ε



Лема 2. Для будь-яких двох чисел, записаних за допомогою н.д.д., існує раціональне число, що лежить між ними, тобто

∀ a ,b - н.д.д. : a > b ∃ r∈ : a > r >b Доведення. Якщо н.д.д. а виражається додатними скінченним де-

сятковим дробом, то будемо припускати, що воно записане за допомогою н.д.д. з дев’яткою в періоді. a > b ⇔ ∃ n∈N: a0 = b0 ∧ a1 = b1 ∧ a2 = b2 ∧ … ∧ an-1 = bn-1 ∧ an > bn З припущення випливає, що ∃ p∈N : p > n : ap > 0. Тоді a = a0 ,a1 a2 … an-1 an 0 … 0 ap ap+1аp+2… || || || || || || || ∨Нехай r = a0 ,a1 a2 … an-1 an 0 … 0 (ap –1) 9 (9) || || || || ∨ b = b0 ,b1 b2 … bn-1 bn bn+1 …bp-1 bp bp+1 bp+2… З означення порівняння н.д.д випливає, що a > r > b. ■

Лема 3. Якщо x1, x2 – н.д.д. такі, що ∀ ε > 0 ∃ γ1, γ2 ∈ : (γ1 ≤ x1 ≤ γ2 ∧γ1 ≤ x2 ≤ γ2 ∧ γ2 - γ1 < ε) ⇒ x1= x2.

Тобто, якщо н.д.д. x1, x2 можна з будь-яким степенем точності наблизити з нестачею і надлишком однаковими парами раціональних чисел, то x1=x2.

Доведення. Коректність даної умови витікає з леми 1, тобто будь-який н.д.д. можна наблизити раціональними числами γ1, γ2 з будь-яким степенем точності.

Пп.: x1 ≠ x2. Для визначеності припустимо, що x1 < x2. За лемою 2 ⇒∃ α ,β ∈ : x1 < α< β < x2.

x1 < α< β < x2

γ1 ≤ x1≤ x2 ≤ γ2}⇒ (транзитивність знаку «<») γ1 ≤ α< β≤ γ2 ⇒

⇒ γ2 - γ1 ≥ β − α >0. За умовою γ2 - γ1 може бути як завгодно малим, а отримали, що воно об-межене знизу числом β − α. ■ →/

2.7 Сума і добуток чисел, представлених нескінченними деся-тковими дробами

Означення суми н.д.д.: ∀ a ,b – н.д.д. їх сумою х = a + b нази-

вається такий н.д.д., для якого ∀ α1 , α2 ,β1 ,β2 ∈ (α1 ≤ a ≤ α2 ∧ β1 ≤ b ≤ β2) ⇒ α1 + β1 ≤ х ≤ α2 + β2.

Далі буде доведено, що



x = a + b = sup{α1 + β1 : α1, β1 ∈ ∧ α1 ≤ a ∧ β1 ≤ b} = = inf{α2 + β2 : α2 , β2 ∈ ∧ α2 ≥ a, ∧ β2 ≥ b}.

Теорема 1 (про існування суми): ∀ a,b – н.д.д. ∃ х-н.д.д.: х = a + b. Доведення. a і b – н.д.д.

Нехай α1 , α2 ,β1 ,β2 ∈ : α1 ≤ a ≤ α2 ∧ β1 ≤ b ≤ β2. Тоді із транзитивності знаку порівняння і властивостей раціональних чисел отримаємо α1 ≤ a ≤ α2

β1 ≤ b ≤ β2}⇒ α1 ≤ α2

β1 ≤ β2

⎫⎪⇒⎬⎪⎭

α1 + β1 ≤ α2 + β2 (*)

∡ множину {α1 + β1 : α1, β1 ∈ ∧ α1 ≤ a ∧ β1 ≤ b}. Із (*) ⇒ {α1 + β1 : α1, β1 ∈ ∧ α1 ≤ a ∧ β1 ≤ b} обмежена зверху, в якості верхньої межі можна взяти будь-яке з чисел α2 + β2. За основною теоре-мою теорії дійсних чисел ∃ x = sup{α1 + β1 : α1, β1 ∈ ∧ α1 ≤ a ∧ β1 ≤ b}. Доведемо, що знайдений х є шуканим значенням суми. x = sup{α1 + β1} ⇒ α1 + β1 ≤ x. (1) α2 + β2 – одна з верхніх меж, а х – найменша з верхніх меж, тому α2 + β2 ≥ х. (2) Із (1) і (2) отримаємо α1 + β1 ≤ x ≤ α2 + β2. ■

Теорема 2 (про єдиність суми). ∀ a ,b – н.д.д. ∃! х - н.д.д.: х = a + b. Доведення. Оскільки існування доведено в теоремі 1, то доведе-

мо, що сума єдина. Нехай a і b – н.д.д. Пп. х1 = a + b ∧ х2 = a + b ∧ х1 ≠ х2 ⇔ ⇔ ∀ α1 , α2 ,β1 ,β2 ∈ (α1 ≤ a ≤ α2 ∧ β1 ≤ b ≤ β2) ⇒

(α1 + β1 ≤ x1 ≤ α2 + β2 ∧ α1 + β1 ≤ x2 ≤ α2 + β2). (!) За лемою 1 маємо ∀ ε > 0 ∃ α1 , α2 ,β1 ,β2 : α1 ≤ a ≤ α2 ∧ β1 ≤ b ≤ β2 ∧

α2 –α1 < ε/2 ∧ β2 – β1 < ε/2. Тоді α2 + β2 – (α1 + β1) = (α2 - α1 ) + (β2 - β1) < ε/2 + ε/2 = ε. Із (!) та останнього співвідношення отримаємо ∀ ε > 0 ∃ α1 , α2 ,β1 ,β2 ∈ :

α1 + β1 ≤ x1 ≤ α2 + β2 ∧ α1 + β1 ≤ x2 ≤ α2 + β2 ∧ α2 + β2 – (α1 + β1) < ε.

Тоді, згідно до леми 3 про наближення дійсних чисел раціональними, одержимо х1 = х2 . ■



Означення 2 (добутку): Якщо a і b – н.д.д., то 1) a > 0 ∧ b > 0 , тоді

x = a b ∀ α⋅def

⇔ 1 , α2 ,β1 ,β2∈ (0 < α1 ≤ a ≤ α2 ∧ 0 < β1 ≤ b ≤ β2) ⇒ ⇒ α1 ⋅ β1 ≤ x ≤ α2 ⋅ β2,

2) a ⋅ 0 0, def

=

3) {| | | |,| | | |,

def a b якщоa i bодного знакуa b a b якщоa i b різних знаків⋅⋅ = − ⋅ .

Теорема 3. ∀ a і b – н.д.д. ∃! х = a ⋅ b Доведення. Розглянемо випадок, коли a > 0 ∧ b > 0. І. Існування. Нехай α1 , α2 ,β1 ,β2 ∈ : 0 < α1 ≤ a ≤ α2 ∧ 0 < β1 ≤ b ≤ β2

0 < α1 ≤ α2

0 < β1 ≤ β2}⇒ α1 β1 ≤ α2 β2

{α1 ⋅ β1: α1, β1 ∈ ∧ α1 ≤ a ∧ β1 ≤ b} - обмежена зверху множина, в якості верхньої межі можна взяти α2 ⋅ β2, тоді за осн. теоремою теорії дійсних чисел ∃ x = sup{α1 ⋅ β1 : α1, β1 ∈ ∧ α1 ≤ a ∧ β1 ≤ b}. Аналогічно випадку суми доводиться, що вказане х є значенням добутку.

ІІ. Єдність. Пп. х1 = a ⋅ b ∧ х2 = a ⋅ b ∧ х1 ≠ х2 ⇔ ⇔ ∀ α1 , α2 ,β1 ,β2 ∈ (0 < α1 ≤ a ≤ α2 ∧ 0 < β1 ≤ b ≤ β2) ⇒

(0 < α1 ⋅ β1 ≤ x1 ≤ α2 ⋅ β2 ∧ 0 < α1 ⋅ β1 ≤ x2 ≤ α2 ⋅ β2). Для ε =1 ∃ α1 , α2 ,β1 ,β2∈ :0 < α1 ≤ a ≤ α2 ∧ α2 –α1 < 1 ∧ 0 < β1 ≤ b ≤ β2 ∧ β2 – β1 < 1. Звідки для M = a + b +1 маємо 0 < α1 ≤ a ≤ α2 <α1+1 ≤ a +1 ≤ a + b +1 = M, аналогічно 0 < β1 ≤ b ≤ β2 < M Оберемо α2 – α1 < ε/2М ∧ β2 – β1 < ε/2М (ε < 1), тоді α2 ⋅ β2 – α1 ⋅ β1 = α2 ⋅ β2 – α1 ⋅ β2 + α1 ⋅ β2 – α1 ⋅ β1 = β2 ⋅ (α2 – α1) + α1 ⋅ (β2 – β1) << M ⋅ ε 2М + M ⋅ ε/2М= ε.

/

Тоді за лемою 3 про наближення дійсних чисел раціональними отримає-мо х1 = х2. ■

2.8 Множина дійсних чисел та її властивості

Самостійно перевірити здійсненність на множині н.д.д 16 вла-стивостей, аналогічних властивостям множини раціональних чисел. У попередніх параграфах вже доведено 1-4 властивості.



Властивість повноти – це здійсненність основної теореми теорії дійсних чисел, тобто, існування точної верхньої (нижньої) межі у будь-якої обмеженою зверху (знизу) множини н.д.д.

Означення. Множиною дійсних чисел називається множина нескінченних десяткових дробів, в якій визначено операції упорядкуван-ня, додавання і добутку, здійснюються 16 властивостей, аналогічних вла-стивостям множини раціональних чисел, а також додаткова 17 власти-вість повноти.

Множина дійсних чисел є повною по відношенню до операцій упорядкування, додавання, множення і шістнадцяти основним властивос-тям (розглянути в [Ильин]!). Таке не можна стверджувати для множини раціональних чисел.

Множину дійсних чисел можна визначити по-іншому – з точки зору аксіоматичного підходу (теорій). Множина дійсних чисел – це мно-жина, в якій виконані 16 аксіом + додатково 17 аксіома повноти цієї мно-жини по відношенню до 16 основних аксіом.

Всі підходи до означення множини дійсних чисел дані Дедикін-дом (через перерізи), Кантором (через послідовності), Вейєрштрасом (че-рез н.д.д.) еквівалентні (за бажанням розглянути доведення цього факту в [Ильин].

Деякі множини дійсних чисел 1) Сегмент чи відрізок [a ,b] = {x∈ : a ≤ x ≤ b } 2) Півсегмент чи інтервал [a ,b) = {x∈ : a ≤ x < b } (a ,b] = {x∈ : a < x ≤ b } 3) Інтервал (a ,b) = {x∈ : a < x a} (- ∞ ; b) = {x∈ : x < b}

промінь замкнений : [a ; + ∞) = {x∈ : x ≥ a}

(- ∞ ; b] = {x∈ : x ≤b} 6) ε-окіл точки а (a -ε ; a + ε) , ε >0



7) Окіл точки а – будь-який інтервал, який містить а. 8) Множина М називається щільною в собі, якщо будь-який окіл будь-

якої точки із М містить точки із М, відмінні від самої точки. М = ∩ [a ,b] – щільна в собі множина (перевірити!) Усі множини 1 – 7 щільні в собі, окрім того щільними в собі будуть

множини раціональних чисел, що містяться в множинах 1 – 7. Основні нерівності дійсних чисел

1) |a b| = | a | |b | ⋅ ⋅2) | a + b | ≤ | a | + | b | 3) | a + b | ≥ | | a | - | b | | 42) | a + b | ≤ | a | + | b | -| a | ≤ a ≤ | a | -| b | ≤ b ≤ | b | + -(| a | + | b |) ≤ a + b ≤ | a | + | b | | a + b | = a + b ≤ | a | + | b | , якщо a + b ≥0 -(a + b) ≤ | a | + | b | , якщо a + b <0 | a – b | = | a + (-b) | ≤ | a | + | -b | = | a | + | b | 3) | a + b | ≥ | | a | - | b | | ⇔ ⇔ -| a + b | ≤ | a | - | b | ≤ | a + b | ⇔

| b | ≤ | a | + | a + b | | a | ≤ | b | + | a + b |

Останні нерівності вірні завдяки 2), наприклад, перша з нерівностей сис-теми здійснюється, оскільки | b | = | b + a – a | ≤ | b + a | + | a | .3

Documents

2 ТЕОРІЯ ДІЙСНИХ ЧИСЕЛ 2 2.1 Множини натуральних і цілих …sites.znu.edu.ua/bank/public_files/2009/10/matanaliz/2.pdf · 2 ТЕОРІЯ