ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ - sml.ece.upatras.gr

2019Κ2Φ-2-1

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ

MΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE

2019Κ2Φ-2-2

1

2019Κ2Φ-2-3

MΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE• Να υπολογιστεί ο μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης

4 2f t t u t

• Ο πρώτος όρος τής συνάρτησης και η «καθυστέρηση» δεν έχουν το ίδιο όρισμα

• Χρειάζεται κάποιος χειρισμός για να μπορεί να χρησιμοποιηθεί ο πίνακας

4 2 2 2 2 2f t t u t t u t u t

2 2

2

1 2s sF s e es s

2019Κ2Φ-2-4

1α

2019Κ2Φ-2-5


4 2f t t u t

• Εναλλακτικά:

4 2 2 4 2f t t u t t u t u t

2 2

2

1 2s sF s e es s

2

2

2

2 2

1 22 2

1 22 s

t z t z

z u z z u z u zs s

t u t es s

244 2 su t e

s

2019Κ2Φ-2-6

1β

2019Κ2Φ-2-7


4 2f t t u t

• Εναλλακτικά, με την ιδιότητα παραγώγισης συχνότητας:

4 2 2 4 2f t t u t t u t u t

2 2

2

1 2s sF s e es s

22

2

2 2

1 2ss

d dt u t F s u t

ds ds

d ee

ds s s s

L

244 2 su t e

s

dF s

t f td s

L

2019Κ2Φ-2-8

2

2019Κ2Φ-2-9

MΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE• Να υπολογιστεί ο μετασχηματισμός Laplace τής συνάρτησης

42 1tg t e u t

• Ο πρώτος όρος τής συνάρτησης και η «καθυστέρηση» δεν έχουν το ίδιο όρισμα, οπότε δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί ο πίνακας και οι ιδιότητες, άρα χρειάζονται αλλαγές:

4 12

4

sG s e es

4 4 4 4

4 14

2 1 2 1

2 1

t t

t

e u t e u t

e e u t

αριθμός

εκθετικό με καθυστέρηση

4 1 4 καθυστέ1 ρησηt ze u t e u z

2019Κ2Φ-2-10

3

2019Κ2Φ-2-11


5cos 2 1h t t u t

2

2,702 8,415

4

sH s

s

2 2

2 2

5cos 2 1 5cos 1 cos 2 5sin 1 sin 2

25cos 1 5sin 1

4 4

2,702 8,415

4 4

t u t t u t t u t

s

s s

s

s s

2019Κ2Φ-2-12

4

2019Κ2Φ-2-13

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ MΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE• Να υπολογιστεί ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της

συνάρτησης

1 2

1F s

s s

1 2 tf t e u t

1

22

1

t

u ts

e u ts

2019Κ2Φ-2-14

5

2019Κ2Φ-2-15



3 1

4

sF s

s

43 11 tf t t e u t

3 4 113 1 3 12 11 11

34 4 4 4

ss sF s

s s s s

• Μη γνήσια ρητή πολυωνυμική συνάρτηση Διαίρεση

2019Κ2Φ-2-16

6

2019Κ2Φ-2-17

• Ανάπτυγμα σε απλά κλάσματα

• Προσδιοριστέοι συντελεστές



4

1 3F s

s s

4

1 3 1 3

A B

s s s s

4 3 1 3A s B s A B s A B

02, 2

3 4

A BA B

A B

2019Κ2Φ-2-18

Με τη μέθοδο των υπολοίπων:

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ MΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE

1

3

142

4 3 3

1 3 1 3 342

1 1

s

s

B sA A

A B s s

s s s s A sB B

s s

1 32 22 2

1 3

t tf t e e u ts s

L

2019Κ2Φ-2-19

7

2019Κ2Φ-2-20

• Ανάπτυγμα σε απλά κλάσματα και προσδιοριστέοι συντελεστές

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ MΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE• Να υπολογιστεί ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace τής


2

12

2 4F s

s s

2 2

12

2 42 4 2

A B C

s ss s s

2

2 2

2

12 4 2 4 2

4 6 8 4 4

6 4 4 8 4

A s B s s C s

As A Bs Bs B Cs C Cs

B C s A B C s A B C

0 6

6 4 0 3

4 8 4 12 3

B C A

A B C B

A B C C

2019Κ2Φ-2-21

2 2

22

2

2

2 2

4

2 2

12

2 42 4 2

2122 6

4 4

2122

4 4

2 6123

4 4

4 4123

22 2

s

dds

s

s

A B C

s ss s s

C sA B s A

s s

C sA B s

s s

C s sB B

s s

A s B sC C

ss s

• Ανάπτυγμα σε απλά κλάσματα και μέθοδος υπολοίπων


2019Κ2Φ-2-22

Παίρνουμε από τον πίνακα και τις ιδιότητες:


1

2

2 2 4

6 3 3

2 42

6 3 3t t t

f ts ss

t e e e u t

L

2019Κ2Φ-2-23

8

2019Κ2Φ-2-24

• Πιο γενικά, αλλά πάντα με ρίζες/πόλους στο αρνητικό ημιεπίπεδο:

• Τότε


• Απόδειξη ότι ισχύει το:

j t j tj jj e j e

s j s j

2 cos

j j

tK e K eK e t

s j s j

2019Κ2Φ-2-25

• Το παραπάνω προκύπτει από το «θεώρημα» αρμονικής πρόσθεσης:


2 2

cos sin

cos sin cos sin

cos sin sin cos

cos arctan cos arctan

j t t

t

t

t

j e e j t j t

e t j t j t t

e t t j t j t

e t j t

2 2cos sin sgn cos arctanb

a t b t a a b ta

1 αν 0

sgn 0 αν 0

1 αν 0

x

x x

x

2019Κ2Φ-2-26


2 2

2 2

2 2



2 cos arctan

j t t

j t t

t

j e e t j t

j e e t j t

e t

2 22 cos arctan

2 cos

j t j t t

j t j tj j t

j e j e e t

K e e K e e K e t

Από τη «δυναμική» (= πόλους) τού κυκλώματος

2019Κ2Φ-2-27

9

2019Κ2Φ-2-28

• Για το δοθέν σήμα να βρεθεί μια κατάλληλη μαθηματική αναπαράσταση και ο μετασχηματισμός Laplace

MΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΣΗΜΑΤΩΝ

2019Κ2Φ-2-29

• Mαθηματική αναπαράσταση (σύνθεση παλμών):


2 21u t ut uf tt

21 1 12 s sF s e e

s s s

2019Κ2Φ-2-30

9β

2019Κ2Φ-2-31

• Μαθηματική αναπαράσταση μέσω παραγώγισης:


2 1 2f t t t t

2019Κ2Φ-2-32

• Μαθηματική αναπαράσταση μέσω παραγώγισης:


2 1 2f t t t t

22 s se e

F ss

2

2 1 2

= 2 1 1s s

s F s f t t t

e e

L L

2019Κ2Φ-2-33

10

2019Κ2Φ-2-34



2019Κ2Φ-2-35

• Προσπαθούμε να χωρίσουμε το σήμα σε τμήματα κατά τα οποία υπάρχει μια μόνο (απλή) συνάρτηση που τα περιγράφει

• Τα πολύ συχνά εμφανιζόμενα στην πράξη κατά τμήματα γραμμικά σήματα επιδέχονται μια τέτοια προσέγγιση

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΣΗΜΑΤΩΝ

• Χρησιμοποιούμε μετατοπισμένες βηματικές συναρτήσεις για να «αναβοσβήνουμε» τις κατάλληλες επί μέρους συναρτήσεις

• Απαιτείται λίγη προσοχή στα σημεία που η μια συνάρτηση «παραδίδει τη σκυτάλη» στην επόμενη

• Το συγκεκριμένο σήμα αποτελείται από δυο ράμπες: 5t και −2,5t

2019Κ2Φ-2-36

• Το συγκεκριμένο σήμα αποτελείται από δυο ράμπες: 5t και −2,5t:


Τελικά παίρνουμε:

Θα μετασχηματίσουμε κάθε όρο χωριστά

5 2t u t u t

10 2,5 2 2 6t u t u t

5 15 7,5 2 15 2,5 6t u t t u t t u t

2019Κ2Φ-2-37


Και τελικά

2 2

2

6 6

2

2

2

2

2

6

6

2

1 157,5 2 2 2 7,5

1 152,5 6 6 6 2,5

15 5

115 2 15

1 27,5 2 7,5

115 6 15

1 152,5 6 2,5

s s

s s

s

s

s

s

t u t e es s

t u t e es s

t u ts

u t es

st u t e

s

u t es

st u t e

s

2 6

2

5 7,5 2,5s se eF s

s

2019Κ2Φ-2-38

10β

2019Κ2Φ-2-39

• Εναλλακτικά για το ίδιο σήμα, παραγωγίζουμε δυο φορές:


5 15 7,5 2 15 2,5 6t u t t u t t u t

2019Κ2Φ-2-40



5 15 7,5 2 15 2,5 6

5 7,5 2 2,5 6

5 7,5 2 2,5 6

f t t u t t u t t u t

f t u t u t u t

f t t t t

2019Κ2Φ-2-41



2

2

2 6 2

2 6

2

0 0

5 7,5 2 2,5 6 0 0

5 7,5 2,5

5 7,5 2,5

s s

s s

f s F s s f f

t t t s F s

e e s F s

e eF s

s

L

L

2019Κ2Φ-2-42

• Γενικότερα ισχύει ότι


2 2 2

1

1 1

Ts TsA A e A eF s

T s T s T s

2019Κ2Φ-2-43

11

2019Κ2Φ-2-44

• Για το δοθέν σήμα («τρένο ώσεων»-impulse train) να βρεθεί μια κατάλληλη μαθηματική αναπαράσταση και ο μετασχηματισμός Laplace


2019Κ2Φ-2-45

• Το σήμα είναι περιοδικό με Τ = 2, οπότε ο μετασχηματισμός Laplace ανάγεται στην 1η περίοδο:


1

2 2

1

1 1 1T s s s

tF sF s

e e e

L

2019Κ2Φ-2-46

12

2019Κ2Φ-2-47

• Για το δοθέν σήμα («ημιανόρθωση»-half wave rectification) να βρεθεί μια κατάλληλη μαθηματική αναπαράσταση και ο μετασχηματισμός Laplace


2019Κ2Φ-2-48

• Το σήμα είναι περιοδικό με Τ = 2, οπότε ο μετασχηματισμός Laplace ανάγεται στην 1η περίοδο:

• Το σήμα τής 1ης περιόδου είναι «μισό ημίτονο»:

• Δηλαδή πρέπει να «σβήσουμε» το δεύτερο μισό τού ημιτόνου:


1

21 s

G sG s

e

1

sin , 0 1

0, 1 2

t tg t

t

1 sin 1g t t u t u t

2019Κ2Φ-2-49

• Τότε θα έχουμε:

• Έτσι ώστε τελικά να πάρουμε:


1

1 2 2 2 2 2 2 2 2

11

1 1 1

s

s

s s s

eG sG s e G s

s e s e s e

1 sin sin 1

sin sin 1

sin sin 1 1

sin sin 1 1

g t t u t t u t

t u t t u t

t u t t u t

t u t t u t

2019Κ2Φ-2-50

13

2019Κ2Φ-2-51



2019Κ2Φ-2-52

• Παρατηρούμε ότι το σήμα είναι συνδυασμός ενός τριγωνικού σήματος με ένα σταθερό σήμα (dc)

• Άρα, επικεντρωνόμαστε στο τριγωνικό σήμα f0 που είναι περιοδικό με Τ = 2, οπότε ο μετασχηματισμός Laplace ανάγεται στην 1η

περίοδο f1:


1 1

0 21 1T s s

F s F sF s

e e

0 0

1h t u t f t H s F s

s

2019Κ2Φ-2-53

• Το σήμα f1 γράφεται μαθηματικά:

• Και πιο «βολικά»:

• Συνεχίζοντας


1 2 1 4 2 1 2f t t u t u t t u t u t

1

2 , 0 1

4 2 , 1 2

t tf t

t t

1 2 2 1 4 1 2 1 4 2 2 2

2 4 1 1 2 2 2

f t t u t t u t u t t u t u t t u t

t u t t u t t u t

2019Κ2Φ-2-54

• Περνάμε στο πεδίο συχνότητας:

• Και τελικά:


2

2

2

2

12 2

14 1 1 4

12 2 2 2

s

s

t u ts

t u t es

t u t es

222

1 2 2 2

2 2

0 2 2 2 2

2

2 1 2 2 12 4 2

2 1 2 1 2 11 1

1 1 1 1

2 11

1

s s ss s

s s s

s s s s

s

s

e e ee ef

s s s

e e ef

e s se e s e

eh

s s e

L

L

L

2019Κ2Φ-2-55

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE

ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ

2019Κ2Φ-2-56

14

2019Κ2Φ-2-57

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE ΚΑΙ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ

• Να υπολογιστεί το ρεύμα i (t) όταν is(t) = 2δ(t) + 4u(t) A

• Ισχύει η αρχή τής επαλληλίας;

2019Κ2Φ-2-58

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE ΚΑΙ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ• Περνάμε στο πεδίο συχνότητας

42

s

84

s

84

40 20

3 0,2 15 15

s A BsI ss s s s s

2019Κ2Φ-2-59

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE ΚΑΙ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ• Βρίσκουμε ότι

• Και αντίστοιχα

• Οπότε

• Ναι! Ισχύει η αρχή τής επαλληλίας επειδή αν είχαμε «σπάσει» την είσοδο σε 2δ(t) και 4u(t), θα παίρναμε το ίδιο αποτέλεσμα

40 8

15 3A

158 1540 20 52

3 3

sssB B

s s

158 3 52 3 8 52

15 3 3

tI s i t e u ts s

2019Κ2Φ-2-60

15

2019Κ2Φ-2-61


• Να υπολογιστεί η τάση v (t) του πυκνωτή για t > 0 όταν vs = 20 V

2019Κ2Φ-2-62


• Προφανώς, v(0−) = 20 V = v(0+)


1 1 10

0,1sC s s

202

10 110

2010

1

20 t

sI ss

s

V s I ss

v t e u t

!!

Τάση τού πυκνωτή

2019Κ2Φ-2-63

16

2019Κ2Φ-2-64


• Να υπολογιστεί το ρεύμα i0 (t) για t > 0

2019Κ2Φ-2-65

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE ΚΑΙ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ• Παρατηρούμε ότι εξ αιτίας τής πηγής τάσης στα δεξιά, το

κύκλωμα λειτουργεί για t < 0

• Άρα, πρέπει να υπολογιστούν οι αρχικές συνθήκες στο t = 0

• Το κύκλωμα είναι για t < 0:

2019Κ2Φ-2-66

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE ΚΑΙ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ• Παρατηρούμε ότι εξ αιτίας τής πηγής τάσης στα δεξιά, το

κύκλωμα λειτουργεί για t < 0

• Άρα, πρέπει να υπολογιστούν οι αρχικές συνθήκες στο t = 0

• Το κύκλωμα είναι για t < 0:

0

0

31 1 A

2 1

0 1

0 1 V

0 2 1 0,5 2,5 V

L

C

i

i

v

v

2019Κ2Φ-2-67


• Το κύκλωμα για t > 0 γίνεται

0

0

31 1 A

2 1

0 1

0 1 V

0 2 1 0,5 2,5 V

L

C

i

i

v

v

2019Κ2Φ-2-68

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE ΚΑΙ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ• Περνάμε στο πεδίο συχνότητας:

2019Κ2Φ-2-69


• Επιλύουμε με βροχικές εντάσεις:

01 2

5 1 1 2,52 0

2 2

VI I

s s s s

0 0 2

1 2

1 1 1 5 2,52

2 2

V I I

I Is s s s

02 1 1 2

1 1 2,5 1 1 1 2,51 1 0 1

2 2

Vs I I I s I

s s s s s s

2019Κ2Φ-2-70


• Επιλύουμε το σύστημα:

1

2

1 1 1 5 2,52

2 2

1 1 1 2,51

2

Is s s s

Is

s s s

2 *

20 2 2

2 13

22 2 0,5 1,12 0,5 1,12 23

s A B BI I

s s ss s j js

2

3 4 52 2 2 0

2s

s s s s

2019Κ2Φ-2-71


*

00,5 1,12 0,5 1,12

1,71 3,1

2

0,71

2

9 1,71 3,19

0,5 1,12 0,5 1,12

A B BI

s s s

s s

j

j j

j js

j

2 0,5 0,5

0 0,71 1,71 cos 1,12 3,19 sin 1,12 At t ti t e e t e t u t

2 0,5

0 3,63cos 1,12 61,780,71 At ti t e e u tt

2 cos sintj je t t

s j s j

2 cos

j j

tK e K eK e t

s j s j

2019Κ2Φ-2-72

17

2019Κ2Φ-2-73


• Να υπολογιστούν τα ρεύματα Ι1 (s) και Ι2 (s)

2019Κ2Φ-2-74

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE ΚΑΙ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ• Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε βροχικές εντάσεις

• Οι αρχικές συνθήκες είναι εμφανώς μηδενικές


• Οι αμοιβαία επαγόμενες τάσεις καταγράφονται από τις εξαρτημένες πηγές

2019Κ2Φ-2-75


1 2 1 2

2 1 2 1 2

102 1 0

3

1 2 1 0

sI sI I Is

I I sI sI I

1 2

1 2

102 1 1

3

1 2 2 0

s I s Is

s I s I

1

2

102 1 1

31 2 2

0

Is ss

Is s

2019Κ2Φ-2-76


1

2

2

2

1

2

2

10 101 11

3 31 12 1 2 2 1

0 0

1011

313 8 1

2 2

0

20 1

3 8 1 3

2

10 1

3 8 1 3

2

2

2 1

1

2 1

2

2

s ss s

s ss s s

ss

ss s

s

s s sI s

I s s

s s s

s s

s

s

s

s

2019Κ2Φ-2-77

18

2019Κ2Φ-2-78


• Να υπολογιστεί το ρεύμα iο (t) για t > 0

2019Κ2Φ-2-79


• Περνάμε στο πεδίο συχνότητας (μηδενικές αρχικές συνθήκες)

2019Κ2Φ-2-80


• Θεωρούμε τον παράλληλο συνδυασμό 8 Ω και 4/s σαν ZL και υπολογίζουμε την ανάκλασή του στο πρωτεύον

2

1

2

eq L

nZ j Z j

n

2019Κ2Φ-2-81

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE ΚΑΙ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ• Ώστε να πάρουμε ότι

1,510 2 At t

oi t e e u t

2019Κ2Φ-2-82

19

2019Κ2Φ-2-83


• Ο διακόπτης S1 κλείνει όταν t = 0 και ο διακόπτης S2

κλείνει όταν t = 1 s

• Να υπολογιστούν τα ρεύματα i1 (t) και i2 (t) για t > 0

2019Κ2Φ-2-84

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE ΚΑΙ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ• Για 0 < t < 1 το κύκλωμα είναι:

• Και στο πεδίο συχνότητας γίνεται:

2019Κ2Φ-2-85


1 1

40 10 5 54 8

2 2s I I s

s s s s s

2

1 5 1 A, 0 1ti t e t 2

1 1 5 1 4,3233 Ai e

Για t ≥ 1 το κύκλωμα είναι: Από την αμοιβαία επαγωγήΑπό την αυτεπαγωγή

2019Κ2Φ-2-86


1 2

1 2

404 8 4 17,3

4 4 8 17,3

s I s sI ss

sI s s I s

1

2

5 0,338

0,338

t

t

i u e ut t

e

t

t ti u

Υπολογίζουμε:

11 1

2 1

1 4 4,3233 17,3 V

1 4 4,3233 17,3 V

1

1

v

v

L i

M i

1 2

1 2

102 4,32

2 4,32

s I sIs

sI s I

1

2

1,073 5 0,3384,662

1 1

0,338

1

sI s

s s s s

I ss

ΠΡΟΣΟΧΗ: Ο χρόνος t δεν είναι ο σωστός (έπρεπε να ήταν z π.χ.)

2019Κ2Φ-2-87

Πρέπει να λάβουμε υπόψη τις πραγματικές συνθήκες για τον χρόνο γιατί η έκφραση που βρήκαμε είναι σωστή δομικά αλλά πρέπει να μεταφερθεί στη σωστή θέση χρονικά:

Τελικά και συνολικά:


1

1

1

2

5 1 0,338 1 A

0,338 1 A

t

t

i t u t e u t

i t e u t

2 1

1

1

2

5 1 0,338 1 A

0,338 1 A

5 1 1tt

t

i t u t e ue u t

i t e u

t u t

t

2019Κ2Φ-2-88

20

2019Κ2Φ-2-89


• Ένα οικιακό κύκλωμα με τρία φορτία, δυο ωμικά και ένα επαγωγικό, λειτουργεί για πολύ χρόνο

• Το ένα ωμικό φορτίο αποσυνδέεται (ανοίγει ο διακόπτης) όταν t = 0

• Η τυπική οικιακή τάση είναι 230 V rms

• Υποθέτουμε ότι η τάση Vo είναι 230 V rms 0 όταν t = 0

• Να διερευνηθούν οι τιμές που παίρνει η τάση Vο για t > 0

ΦΑΣΗΦΑΣΗ

ΟΥΔΕΤΕΡΟΣΟΥΔΕΤΕΡΟΣ

2019Κ2Φ-2-90

“ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟ” ΡΕΥΜΑΜΕΣΗ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΤΙΜΗ (RMS)•Η μέση τετραγωνική τιμή (Root Mean Square) περιέχει:

• μια ύψωση στο τετράγωνο (Square)

• τη λήψη μιας μέσης τιμής (Mean) και • μια τετραγωνική ρίζα (Root)

• Μπορεί να οριστεί για οποιαδήποτε συνάρτηση

2

1

2

2 1

1T

RMS

T

f f t dtT T

2019Κ2Φ-2-91

“ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟ” ΡΕΥΜΑΜΕΣΗ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΤΙΜΗ (RMS)—ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟ •Η μέση τετραγωνική τιμή για το «εναλλασσόμενο» υπολογίζεται:

• Για την ημιτονοειδή (cos) γράφουμε: Vrms = Vdc εννοώντας ότι η τιμή rmsστο εναλλασσόμενο είναι το ισοδύναμο του συνεχούς ρεύματος (κύρια χρήση σε θέματα ισχύος και μετρήσεις)

2 2 2

0 0

22 2

0 0

2

1 1cos cos

1 1 11 co

1cos 2 0

2 2 2 2

2

s 2

T T

RMS

T T T

f A t dt A t dtT T

A T AA t dt A t d

T T

A

tT

2019Κ2Φ-2-92

“ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟ” ΡΕΥΜΑ•ΜΕΣΗ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΤΙΜΗ (RMS)

Acos(ωt)

Peak-to-peakRMSAverage

2019Κ2Φ-2-93

MΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE ΚΑΙ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ• Υποθέτουμε ότι η τάση Vo είναι 230 V rms 0

όταν t = 0

• Ο διακόπτης ανοίγει όταν t = 0

• Περνάμε στο πεδίο συχνότητας και το κύκλωμα γίνεται

2019Κ2Φ-2-94


• Το κύκλωμα διαμορφώθηκε έτσι επειδή όταν t = 0:

1. Υπάρχει ένα αρχικό ρεύμα Ι0 από τη λειτουργία έως το t = 0

2. Το αρχικό ρεύμα τού επαγωγικού φορτίου είναι 0 A επειδή η φάση τού Vο είναι 0 (αυτό φαίνεται καλύτερα στο πεδίο τού χρόνου)

3. Φυσικά, το επαγωγικό φορτίο δεν θα έχει αρχική συνθήκη (= 0)

4. Αυτό σημαίνει ότι η τάση αντιστοιχεί σε ωμικά φορτία μόνο

5. Η αρχική ημιτονοειδής τάση Vο έχει πλάτος 2301,414 = 325,27 V

2019Κ2Φ-2-95


• Όταν ο διακόπτης ανοίξει, το πηνίο θα διατηρήσει το ρεύμα του (= 0 Α)

• Το αρχικό ρεύμα που θα εισρεύσει στο κύκλωμα, θα περάσει αναγκαστικά από το ωμικό φορτίο μόνο

• Το ωμικό φορτίο θα πρέπει να αντέξει στις νέες συνθήκες

• Π.χ. αν το αρχικό ρεύμα είναι 30 Α rms 0 και το ωμικό φορτίο είναι 15 Ω, η τάση Vο θα είναι

301,414 15 = 636,4 V

• Με τέτοιες τιμές ίσως χρειαστεί να χρησιμοποιήσουμε προστασία από υπέρταση (transient voltage surge suppressor)

Καταπιεστής κύματος τάσης, Απαγωγός κρουστικών, Προστατευτικά Μεταβολής Τάσης, …

2019Κ2Φ-2-96

21

2019Κ2Φ-2-97


• Να υπολογιστεί η συνάρτηση μεταφοράς H(s) = Vo(s)/Vs(s)

2019Κ2Φ-2-98

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE ΚΑΙ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ• Περνάμε στο πεδίο συχνότητας

• Με κομβικές τάσεις:

• Που δίνει

• Καταλήγοντας ότι

V1

Vo(s)/Vs(s)

2019Κ2Φ-2-99

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE ΚΑΙ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ• Επίσης, από την αντίσταση:

• Που γίνεται

• Και τελικά

V1

2019Κ2Φ-2-100

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE ΚΑΙ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑΒΑΣΙΚΟ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ

• Όταν θέλουμε να υπολογίσουμε μια συνάρτηση κυκλώματος, θα χρησιμοποιούμε τις βασικές τεχνικές (κομβικές τάσεις και βροχικές εντάσεις) όχι με σκοπό να επιλύσουμε το κύκλωμα αλλά για να μάς δώσουν τα μεγέθη που σχηματίζουν τον λόγο που ψάχνουμε (στο παράδειγμα ήταν το Vo(s)/Vs(s) και χρειάστηκε η

κομβική τάση σαν «ενδιάμεση»)

• Αυτό θα απαιτήσει ίσως κάποια ευρηματικότητα και ευελιξία και συνεχή εποπτεία κατά τη λύση επειδή τώρα εμείς πρέπει να κατευθύνουμε τη λύση προς τη σωστή κατεύθυνση και να επεμβαίνουμε όταν εμφανίζονται τα μεγέθη που αναζητούμε

2019Κ2Φ-2-101

22

2019Κ2Φ-2-102


•Να υπολογιστούν οι συναρτήσεις κυκλώματος Ι1(s)/Vs(s) και Ι2(s)/Vx(s)

2019Κ2Φ-2-103


• Περνάμε στο πεδίο συχνότητας

• Με βροχικές εντάσεις:

• Και επειδή ισχύει ότι

Ι1 Ι2

2019Κ2Φ-2-104

MΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE ΚΑΙ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ• Το τελικό σύστημα είναι

• Που δίνει ότι

Ι1 Ι2

2019Κ2Φ-2-105

MΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE ΚΑΙ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ• Συνεχίζοντας:

• Και

Ι1 Ι2

2019Κ2Φ-2-106

23

2019Κ2Φ-2-107


Να υπολογιστούν οι συναρτήσεις κυκλώματος:

2019Κ2Φ-2-108

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE ΚΑΙ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑΠερνάμε στο πεδίο συχνότητας

Οι κομβικές τάσεις φαίνονται πιο καλή επιλογή

2019Κ2Φ-2-109

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE ΚΑΙ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑΑντικαθιστώντας:

Θα πάρουμε

Και για το (a):

2019Κ2Φ-2-110

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE ΚΑΙ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑΕπίσης:

Θα πάρουμε για το (b):

Και επειδή

Θα ανακαλύψουμε ότι για το (c) και (d) ότι

2019Κ2Φ-2-111

24

2019Κ2Φ-2-112


• Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση μεταφοράς H(s) = Vout(s)/Vin(s) για το κύκλωμα γεφυρωμένου αστέρα είναι:

http://www.sml.ece.upatras.gr/UploadedFiles/BridgedT-TF.pdf

1 2 3 3 2 4

3 2 4 1 2 3 4

out

in

Z Z ZVH

Z Z Z

Z Z Z ZV Z Z Z

2019Κ2Φ-2-113


•Η άσκηση αποτελεί μια υπενθύμιση ότι η είσοδος μπορεί βολικά να αναπαρασταθεί με μια κατάλληλη πηγή

•…και ότι δουλεύουν και οι δυο τεχνικές

out

in

VH

V

2019Κ2Φ-2-114

25

2019Κ2Φ-2-115

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE ΚΑΙ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ• Θέλουμε να κατασκευάσουμε ένα κύκλωμα με συγκεκριμένη

συνάρτηση μεταφοράς

• Για το ίδιο κύκλωμα έχουμε μια άλλη προδιαγραφή σχετικά με τη βηματική απόκριση, που πρέπει να είναι

• Πριν ξεκινήσουμε τον σχεδιασμό, θα θέλαμε να διερευνήσουμε αν οι δυο προδιαγραφές είναι συμβατές μεταξύ τους

2

25

10 125

out

in

V sH s

V s s s

50,1 2 3cos10 2sin10t

outv t e t t u t

2019Κ2Φ-2-116

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE ΚΑΙ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ• Ο ευθύς τρόπος είναι να ελέγξουμε τις προδιαγραφές είτε στο πεδίο τού

χρόνου είτε στο πεδίο τής συχνότητας, π.χ. πρέπει

• Ο εναλλακτικός τρόπος είναι να ελέγξουμε τις προδιαγραφές σε ακραίες τιμές, δηλ. στο 0 και στο ∞

• Αυτό σημαίνει ότι θα χρησιμοποιήσουμε τα θεωρήματα αρχικής και τελικής τιμής

• Αν οι τιμές στα άκρα δεν συμπίπτουν συνεπάγεται αμέσως ότι οι προδιαγραφές είναι ασύμβατες και σταματάμε

• Αν οι τιμές στα άκρα συμπέσουν υπάρχει ακόμα αβεβαιότητα για το αν συμπίπτουν για όλες τις ενδιάμεσες τιμές και πρέπει να ακολουθήσουμε τον κανονικό δρόμο (έχοντας ήδη ξοδέψει κάποιο χρόνο «άδικα»)

1

outv t H ss

L

2019Κ2Φ-2-117


• Οπότε, με το θεώρημα τελικής τιμής:

• Ενώ για το vout(∞) από τον ορισμό θα είναι

0 0

20

1 1lim lim

25 25lim 0,2

10 125 125

outs s

s

v s H s s H ss s

s s

5lim 0,1 2 3cos10 2sin10 0,1 2 0 0,2t

outt

v e t t

2019Κ2Φ-2-118


• Τώρα, με το θεώρημα αρχικής τιμής:

• Ενώ για το vout(0) από τον ορισμό θα είναι

2

1 10 lim lim

25lim 0

10 125

outs s

s

v s H s s H ss s

s s

00 0,1 2 3cos0 2sin 0 0,1 2 1 3 0 0,1outv e

Σταθήκαμε τυχεροί!...

2019Κ2Φ-2-119

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE ΚΑΙ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑΑΝΤΙΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ• Ίδιο σενάριο, με ίδια H(s) αλλά με

• Ο έλεγχος με το θεώρημα τελικής τιμής δείχνει ότι οι προδιαγραφές συμπίπτουν (τιμή: 0,2)

• Ο έλεγχος με το θεώρημα αρχικής τιμής δείχνει ότι οι προδιαγραφές επίσης συμπίπτουν (τιμή: 0)

• Αλλά:

5

2 22 2

2

2

52 100,1 2 cos10 sin10 0,1

5 10 5 10

2 2

2 3

400,1

10 125

2 25

10 125

2 3t se t t u t

s s s

s

H

s s s

s

s s s

s

s

L

50,1 2 cos10 13si 02 nt

outv t e t t u t

2019Κ2Φ-2-120

26

2019Κ2Φ-2-121


• Στο κύκλωμα αυτό, να υπολογιστεί η συνάρτηση μεταφοράς

και στη συνέχεια να υπολογιστούν οι πόλοι και τα μηδενικά της

out

V

S

V sH s

V s

2019Κ2Φ-2-122

•Βάζουμε ονόματα στους κόμβους

•Και ξανασχεδιάζουμε κατάλληλα στο πεδίο συχνότητας


ΑΓ

Δ Β

2019Κ2Φ-2-123


4000000,5

400000 400000A S SV V V

ΑΓ

Δ Β

6

800000

16 10800000

B SV V

s

out A BV V V

2019Κ2Φ-2-124

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE ΚΑΙ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ• Άρα:

• Και τελικά:

6

8000000,5

16 10800000

0,520

out S S

S S

V V V

s

sV V

s

0,5 200,5

20 20

0,5 20

20

out

S

s sV sH s

V s s

sH s

s

ΜΗΔΕΝΙΚΟ: 20 rad/s

ΠΟΛΟΣ: 20 rad/s

2019Κ2Φ-2-125

27

2019Κ2Φ-2-126


• Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς

• Αν

• Ποιά είναι η τιμή μόνιμης κατάστασης για την vout(t);

4

2 6

10 6000

875 88 10

out

in

V s sH s

V s s s

12,5cos 8000 Vinv t t

2019Κ2Φ-2-127

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE ΚΑΙ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ• Βασικά,

•Και

Υπενθύμιση ότι ο μετ/μοςLaplace συμπεριλαμβάνει τους φάσορες

4

2 6

7

6 6 6

6

6

10 8000 60008000

8000 875 8000 88 10

10 6 8

64 10 7 10 88 10

10 6 8 10

24 7 10

4 36,87

jH j

j

j

j

j

j

12,5 0 4 36,87 50 36,87

50cos 8000 36,87 Voutv t t

outV

2019Κ2Φ-2-128

28

2019Κ2Φ-2-129


• Το κύκλωμα λειτουργεί για πολύ χρόνο

• Να υπολογιστεί η τάση v(t) και τα ρεύματα i1(t) και i2(t)

2019Κ2Φ-2-130

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE ΚΑΙ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ• Εξετάζουμε πρώτα για t < 0

• Εξαιτίας τής πηγής συνεχούς ρεύματος, τα πηνία λειτουργούν σαν βραχυκυκλώματα

0,8 kΩ 4 kΩ 16 kΩ 0,64 kΩ

0,64 kΩ 5 3200 V

R

v

1

2

32000 0,8 A

4000

32000 0,2 A

16000

i

i

2019Κ2Φ-2-131


• Εξετάζουμε τώρα για t > 0

• Το αριστερό τμήμα τού κυκλώματος δεν μάς ενδιαφέρει πια

• Βεβαίως τα ρεύματα των πηνίων θα διατηρήσουν την τιμή τους όταν t = 0+

2019Κ2Φ-2-132

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE ΚΑΙ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ• Μετά τον υπολογισμό των αρχικών

συνθηκών, περνάμε στο πεδίο συχνότητας και επιλύουμε:

6

6

1

6

2 10

1

2 10

2

0,0064 0,0004

4000 16000 0,002 0,008

0,006 0,6

20000 0,01 2 10

0,6 A

0,6 A

t

t

I ss s

s s

i t e u t

i t e u t

2019Κ2Φ-2-133

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE ΚΑΙ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ• Και για την τάση:

6

1

6

3

6 6

3 2 10

0,0064 0,008 4000

0,0016 6,5 10 72001,6 10

2 10 2 10

1,6 10 7200 Vt

V s s I s

s

s s

v t t e u t

2019Κ2Φ-2-134


• ΕΡΩΤΗΣΗ:

• Στα πλαίσια της επαλήθευσης, όταν t = 0+ η λύση για τα ρεύματα είναι

• Στην αρχική ανάλυση όμως είχαμε καταλήξει ότι:

6

6

2 10

1 1

2 10

2 2

0,6 0 0,6 A

0,6 0 0,6 A

t

t

i t e u t i

i t e u t i

1

2

32000 0,8 A

4000

32000 0,2 A

16000

i

i

2019Κ2Φ-2-135

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE ΚΑΙ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ• Εξ αιτίας τού βρόχου, θα είναι:

• Επιβεβαίωση με ΝΡΚ: i1(0+) + i2(0

+) = 0

1

2

0 0,6 A

0 0,6 A

i

i

1 1 2

2 2 1

0 0 0 0,8 0,2 0,6 A

0 0 0 0,2 0,8 0,6 A

i i i

i i i

Documents

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ - sml.ece.upatras.gr