Молекулярная физика и термодинамикаtsput.ru/res/fizika/8/T/t_t_1.pdf · ББК 22.33я73 М 69 Рецензент: кандидат физико-математических

Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО Тульский государственный педагогический университет

имени Л.Н. Толстого

Факультет математики физики и информатики

Кафедра общей физики

КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ

Молекулярная физика и термодинамика

Курс лекций

«Молекулярная физика и термодинамика» Лекции. А.И. Грибков, Р.В. Романов 1

Тула 2007

ББК 22.33я73 М 69

Рецензент: кандидат физико-математических наук,

доцент кафедры теоретической физики ТГПУ им. Л.Н. Толстого Ю. В. Бобылев

М69 Молекулярная физика и термодинамика. Лекции / А. И. Грибков, Р. В. Романов.– Тула: Издательство Тульского государственного педагогического университета им. Л. Н. Толстого, 2007.– с.

Настоящее пособие представляет собой лекционный курс по молекулярной физике и термодинамике. Пособие предназначено для студентов-физиков. Может быть использовано студентами нефизических специальностей, преподавателями.

ББК 22.33я73

2 «Молекулярная физика и термодинамика» Лекции. А.И. Грибков, Р.В. Романов

© А. И. Грибков, Р.В. Романов, 2007


Предисловие

Настоящее пособие предназначено для проведения практических занятий по дисциплине «Молекулярная физика и термодинамика» со студентами физических специальностей ТГПУ им. Л. Н. Толстого. Составлено на основе опыта проведения практических занятий на протяжении ряда лет на физическом факультете университета. При работе над пособием использованы материалы многих популярных лекционных курсов.

Пособие может быть полезно при преподавании физики на других факультетах и при самостоятельной работе студентов.


Лекция №1 Введение

1. Экспериментальные сведения о строении вещества

В курсе механики изучалось механическое движение тел, то есть изменение их положения во времени и пространстве. Считалось, что тела обладают массой и имеют определенные геометрические размеры. Это было вполне достаточно для того, чтобы полностью описать механическое движение тела, так как оно зависит только от массы, геометрии тела и взаимодействия его с другими телами. Двух физических моделей: материальной точки и абсолютно твердого тела, а также знания основных законов механики вполне хватало, для того чтобы описать движение реального тела, как целого.

Однако реальные тела обладают большим количеством немеханических свойств, (температура, цвет, электрический заряд и т.д.) которые (свойства) весьма существенны при рассмотрении других явлений природы, таких как нагревание, излучение, электромагнитные взаимодействия и т.д. Эти свойства, в свою очередь, зависят от того, как устроено реальное тело, из каких частей состоит, как эти части взаимодействуют друг с другом. Поэтому вопрос о строении тел является если не основным, то одним из важнейших в физике.

Все материальные объекты, которые мы знаем, кажутся нам сплошными, то есть вещество, из которого состоят тела, имеет непрерывное распределение плотности. Однако ряд фактов свидетельствует о том, что такое представление не точно:

1. при механическом воздействии тело может менять свою форму: сжиматься или растягиваться;

2. при механическом воздействии тело можно разбить на весьма мелкие части;

3. при тепловом воздействии тело может расширяться или сжиматься;

4. прямым наблюдением можно установить, что вещество состоит из мельчайших частиц (электронный микроскоп).

Таким образом, можно сделать предположение о том, что любое вещество состоит из мельчайших частиц, которые называются атомами и молекулами.

2. Атомы и молекулы def1: Атомом2 называется наименьшая часть химического

элемента, способная к самостоятельному существованию и являющаяся носителем основных его свойств.

def: Молекулой3 называется наименьшая частица вещества, состоящая из атомов, соединенных между собой химическими связями и определяющая его основные химические свойства.

def: Химическим элементом называется совокупность атомов с одинаковым зарядом ядра.

def: Химической связью называется, как правило, обобществление электронов группой атомов.

Химических элементов известно достаточно небольшое количество чуть более 100 (105- элемент таблицы Менделеева4 называется Нильсборий- , в лабораторных условиях получены элементы вплоть до 118), однако молекул, а, следовательно, и веществ известно огромное количество - миллионы.

Ns262105

Например: атомы N и O образуют молекулы N2O- закись азота; NO- окись азота; N2O3- азотистый ангидрид; NO2- двуокись азота; N2O5- азотный ангидрид, а атомы С и О – молекулы: СО- окись углерода; СO2- двуокись углерода (углекислый газ); CO3- ангидрид надугольной кислоты. 3. Свойства и параметры атомов и молекул 1. Атомы постоянно находятся в движении, которое имеет хаотический характер и называется тепловым. 2. Между атомами действуют силы притяжения и отталкивания. 3. Иногда от отдельных атомов при некоторых условиях могут отрываться электроны. В этом случае в тепловом движении участвуют как оставшиеся нейтральные атомы, так и электроны и ионы.

Размер атома- r ≈10-10 м (например, радиус атома водорода 0,529⋅10=Hr

-10 м), масса атома- ≈100m -27 кг. В любом реальном теле атомов и молекул очень много, так в 1 литре

воды ≈1025 молекул Н2О. Одним из самых несложных оценочных экспериментов по

определению размеров молекул является растекание олеиновой5 кислоты по поверхности воды (рис. 1.1). Можно предположить, что при 1 Definitio – (лат.) определение. 2 ατοµ – (греч.) неделимый. 3 Молекула – от латинского слова moles – масса с уменьшительным суффиксом – cula. 4 Менделеев Дмитрий Иванович (1834-1907), российский химик, разносторонний ученый, педагог.


5 Олеиновая кислота (CH3(CH2)7CH=CH(CH2)7COOH)- жирная кислота 70% оливкового масла, температура плавления – 14 °C.

растекании капля олеиновой кислоты на поверхности воды образует слой толщиной всего лишь в несколько молекул. Толщину этого слоя нетрудно рассчитать, зная его объем и площадь поверхности, и тем самым оценить размеры молекулы олеиновой кислоты.

Пипетка с кислотой


Линейка Вода

Кислота

4. Физические величины в молекулярной физике

Рис. 1.1 В молекулярной физике сохраняют свое значение все физические величины, введенные ранее в механике и, кроме того, появляется ряд дополнительных физических величин.

Масса молекул и атомов очень мала, если ее выражать в килограммах. Очень маленькими числами оперировать неудобно, поэтому используют относительные величины. В соответствии с международным соглашением, принятым в 1961 г., массы всех молекул сравнивают с 121 массы атома углерода , так как углерод входит в огромное число различных органических соединений. Множитель

C126

121 введен для того, чтобы относительные массы атомов были близки к целым числам.

def: Одна атомная единица массы - это внесистемная единица измерения массы, равная 121 массы атома изотопа углерода : C12

6

С0 12

6121а.е.м. 1 m= ; (1.1)

1 а.е.м.= 1,6605655(86)·10-27 кг. (1.2)

def: Относительной атомной 1rA (молекулярной ) массой

вещества называют отношение массы атома (молекулы) данного вещества к

rM

0m121 массы атома углерода :

Cm 12

60

C

rr mmMA

1260

0

121)( = . (1.3)

или def: Относительной атомной (молекулярной) массой называется

масса атома (молекулы) выраженная в а.е.м. Например:

1Индекс «r»- relative- относительный.

Вещество Относительная масса Абсолютная масса

Атом водорода (H) =)H(rA 1,0079 =H)(0m 1,6736839⋅10-27 кг

Атом нильсбория (Ns) =)Ns(rA 262,114 =Ns)(0m 435,00⋅10-27 кг

Молекула воды (H2O) =)OH( 2rM 18,015 =O)H( 20m 29,8900⋅10-27 кг

Относительная молекулярная масса органических молекул весьма

велика и достигает сотен тысяч, например, относительная молекулярная масса полиэтилена может достигать 6103 ⋅ .

Число атомов и молекул в макроскопических веществах огромно, поэтому так же как в случае с массой удобно использовать не абсолютные значения, а относительные.

Такой относительной величиной является количество вещества, которое определяет число структурных элементов какой-либо системы.

Количество вещества чаще всего обозначается ν , относится к основным величинам СИ, единица измерения [ν ]=1 моль.

def: 1 моль – это единица СИ количества вещества, равная такому количеству вещества системы, которая содержит столько же структурных элементов, сколько их содержится в 0,012 кг изотопа углерода . C12

6

Из определения понятно, что в 1 моле любого вещества содержится одно и то же количество структурных единиц. Это число называется постоянной Авогадро1.

def: Постоянная Авогадро показывает, сколько структурных элементов содержится в 1 моле: = 6,022045(31)⋅10АN +23 моль-1. (1.4)

Очевидно, что если известно количество вещества, то можно определить число структурных элементов N: АNN ⋅=ν . (1.5)

rem2: Применение термина «количество вещества» встречает достаточно серьезные возражения, так как, например, при диссоциации или при ионизации количество вещества может увеличиваться, что нелогично. Тем не менее термин существует. Второе замечание связано с языком. Неверно говорить «в сосуде находится 1 моль газа». Правильно:

1 Авогадро Амедео (Avogadro A.; 09.08.1776-09.07.1856)- итальянский физик и химик, член Туринской академии наук, один из основоположников молекулярной теории, автор первого руководства по молекулярной физике.


2 Rem- ремарка, замечание.

«В сосуде находится 1 моль молекул газа». Кроме того «моль» - слово мужского рода и изменяется по падежам [1].

В молекулярной физике используется также понятие молярная масса:

def: Молярной массой вещества называется масса одного моля. В одном моле содержится структурных элементов, если масса

одной молекулы , то: AN

0m АNmM ⋅= 0 . (1.6)

Подставим в (1.6) выражение для из (1.3): 0m

ArCNMmM ⋅⋅= 12

60121 .

Из определения моля следует:

C

А mN

1260

31012 −⋅= .

Тогда:

молькг101012

121 3

0

3

0126

126

−−

⋅=⋅

⋅⋅= r

C

rCM

mMmM ;

молькг10 3−⋅= rMM . (1.7)

Например: Определим молярную массу воды. Для этого по таблице Менделеева

определяем относительную атомную массу водорода и относительную атомную массу кислорода

00797,1H =rA9994,15O =rA . Молекула воды

состоит из двух атомов водорода и одного атома кислорода, тогда: )ОН( 2

молькг1018

молькг10)1612()ОН( 33

2−− ⋅=⋅+⋅=M .

Масса вещества, состоящего из N структурных элементов, если

масса одного структурного элемента , будет определяться по формуле: 0m Nmm ⋅= 0 . (1.8)

Подставим в (1.8) (1.5) и (1.6): MNmm A ⋅=⋅⋅= νν0 ,

выразим ν :

Mm

=ν . (1.9)



5. Агрегатные состояния вещества Молекулы разных веществ весьма многообразны, и учет

особенностей их строения может привести к огромным трудностям теоретического описания, поэтому используют модель материального тела.

def: Моделью материального тела называется совокупность атомов или молекул строение которых, характер движения и взаимодействия считается известным.

В наиболее простой модели молекулы – материальные точки, а затем по мере усложнения модели им можно придать объем и внутреннюю структуру. Кроме того свойства материального тела зависят от внешних условий, т.е. от агрегатных состояний. Молекулы находятся в движении и, следовательно, обладают кинетической энергией (K). Кроме того, молекулы взаимодействуют между собой и, следовательно, они обладают потенциальной энергией (П). Тогда легко предположить следующее:

• К >> П – газ; • К ≈ П – жидкость; • К << П – твердое тело.

def: Агрегатными (от лат. aggrego – присоединяю, связываю) состояниями вещества называются состояния одного и того же вещества, переходы между которыми сопровождаются скачкообразными изменениями его свойств.

Признаки агрегатных состояний удобно представить в виде таблицы: Агрегатное

состояние Признаки

Газ Жидкость Твердое тело

Форма Нет Есть (шар) Есть Объем Нет Есть Есть

Расстояние между молекулами

Намного больше размеров молекулы

Сравнимо с размерами молекулы

Сравнимо с размерами молекулы

Характер движения молекул

Прямолинейное по ломаной линии

Колебательное около положения равновесия

со скачками

Колебательное около положения равновесия

Образно говоря, жидкость - это толпа людей, а твердое тело - это

строгие шеренги и ряды. Следует заметить, что помимо твердого и газообразного агрегатных

состояний существуют еще плазма и жидкие кристаллы.

Таким образом, основные модели агрегатного состояния вещества можно представить в виде схемы:

Агрегатные состояния вещества (основные модели)


Подводя итог, можно сказать, что предметом изучения молекулярной физики и термодинамики является материальное тело, находящееся в различных агрегатных состояниях. 6. Методы исследования систем с большим числом структурных элементов

Первое, что хочется сделать после изучения механики, - это взять каждую отдельную молекулу, и, зная законы ее движения (классические или квантовые), отследить ее движение. Это динамический метод. Однако из-за, огромного числа молекул (в 1 см3 воздуха содержится при нормальных условиях примерно 2,7⋅1019 молекул) информация будет столь велика, что осуществить данный метод в обозримом будущем не представляется возможным. Кроме того, небольшое изменение положения одной молекулы в данный момент через некоторое время приведет к полному изменению положения других молекул. Таким образом, динамическое описание системы многих частиц: «Неосуществимо с технической, непригодно с теоретической, бесполезно с практической точек зрения» [3].

rem: Существует и широко применяется численный метод крупных частиц.

Очевидно, что отследить положение и скорости отдельных частиц нет возможности, но можно говорить о параметрах, относящихся, если не ко всей системе, то хотя бы к очень большим ее частям (совокупности частиц), то есть неких средних параметрах. Это статистический метод, который использует хорошо разработанный в математике аппарат теории вероятностей, то есть законы поведения систем с большим числом структурных элементов.

Наконец, можно использовать понятия и величины, относящиеся ко всей системе в целом, не задумываясь об ее внутренней структуре. Теория должна строиться на некоторых общих законах природы (закон

Жидкость Твердое тело Газ Плазма Жидкие кристаллы

Реальный Идеальный

сохранения энергии) и объяснять связь между параметрами. Такая теория по своему характеру является феноменологической, то есть интересуется внешними явлениями и закономерностями, не пытаясь выяснить внутренний механизм процессов. Это термодинамический метод.

rem: Сейчас достаточно редко можно встретить какой-либо метод в чистом виде, так как наиболее удачные результаты получаются при комбинировании методов (см. схему).

Методы исследования

Макровеличины меняются во времени и пространстве


Термодинамика изучает термодинамически равновесные состояния тел и медленные процессы, которые могут рассматриваться как равновесные состояния непрерывно следующие друг за другом, общие закономерности перехода систем в состояние термодинамического равновесия. Кроме того с 30-х годов начала развиваться термодинамика неравновесных процессов.

Молекулярно кинетическая теория изучает не только термодинамически равновесные состояния (статистическая термодинамика), но и процессы в телах, идущие с конечными скоростями (физическая кинетика), дает выводы уравнений состояния вещества.

Статистическая физика

Макровеличины не меняются во времени и пространстве

Термодинамика Физическая кинетика

Статистическая термодинамика

Лекция №2 Параметры термодинамических систем

1. Общие понятия

def: Термодинамика – это наука, изучающая наиболее общие свойства макроскопических физических систем, находящихся в состоянии термодинамического равновесия, и процессы перехода между этими состояниями.

Термодинамика строится на нескольких фундаментальных положениях, называемых началами, которые являются обобщением экспериментальных фактов и не могут быть доказаны, т.е. прослеживается прямая аналогия с механикой Ньютона. Вследствие этого все закономерности и соотношения между физическими величинами в термодинамике носят универсальный характер.

Термодинамика отвечает на вопрос: «Что и как происходит?», но не дает ответа на вопрос: «Почему это так происходит?»

Как уже говорилось ранее, термодинамика изучает макроскопические тела или, более точно, термодинамические системы1 (ТДС).

def: ТДС называется совокупность макроскопических тел, которые могут взаимодействовать между собой или с другими внешними телами, обмениваясь при этом энергией и веществом. 2. Общие замечания о параметрах ТДС

Состояние ТДС характеризуется рядом физических величин, которые называются параметрами состояния ТДС.

Параметры могут быть экстенсивными2 / аддитивными3, зависящие от массы ТДС (V- объем, U- внутренняя энергия, S- энтропия) и интенсивные4 / неаддитивные, не зависящие от массы ТДС (Т- температура, p- давление, ρ -плотность, n- концентрация и т.д.).

Практически важным, является состояние ТДС, когда ее параметры не меняются во времени, т.е. отсутствуют какие-либо макроскопические процессы. В этом случае говорят, что ТДС находится в состоянии термодинамического равновесия (ТДР). 1 Система от греч. systema – целое, составленное из частей. 2 Экстенсивный (от позднелат. extensivus — расширительный, растяжимый), связанный с увеличением, распространением; противоположный интенсивному. 3 Аддитивность- (от лат. additivus — прибавляемый), свойство величин, состоящее в том, что значение величины, соответствующее целому объекту, равно сумме значений величин, соответствующих его частям, каким бы образом ни был разбит объект. Например, аддитивность объема означает, что объем целого тела равен сумме объемов его частей.


4 Интенсивный- (фр. intensif лат intēnsio напряжение, усиление) напряженный, усиленный.

rem: Часто число независимых параметров ТДС называют числом степеней свободы.

Если система находится в состоянии термодинамического равновесия, то, как правило, между параметрами существует функциональная связь, которая называется уравнением состояния.

Различают два вида уравнений состояния: ),( TVfp = - термическое (2.1) и ),( TVfU = - калорическое. (2.2) Важно подчеркнуть, что уравнение состояния не может быть выведено из законов термодинамики, а является дополнением к ним и определяется либо экспериментально, либо рассчитывается методами статистической физики.

Рассмотрим далее основные параметры ТДС. 3. Объем, плотность, концентрация

def: Объем- это область пространства, занимаемая каким-либо веществом. Обозначается V, измеряется [V]=1 м3.

def: Плотность - масса единицы объема:

Vm

dd

=ρ , (2.3)

измеряется [ ρ ]=1 3мкг .

Если тело однородно, т.е. его масса распределена равномерно по объему, то:

Vm

=ρ , (2.4)

где m- масса тела, V- его объем. Из (2.3):

. (2.5)

Vm d∫= ρ

Бесконечно малый объем Vd в физике отличается от математически бесконечно малого объема тем, что он достаточно мал по сравнению с объемом реального тела, но достаточно велик по сравнению с объемом одной молекулы:

теламолекулы VVV <<<< d


def: Концентрация (от новолатинского concentrario – сосредоточение)– физическая величина, определяющая количество структурных элементов в единице объема:

VNn

dd

= , (2.6)

измеряется [n] = 3м1 = 1 м-3.

В случае равномерного распределения структурных элементов по всему объему:

VNn = , (2.7)

где N- число структурных элементов в рассматриваемом объеме V. Из (2.6):

. (2.8)

VnN d∫=

Подставим (1.8) в (2.4) получим выражение для плотности через концентрацию: nm0=ρ . (2.9) 4. Давление

В механике давление упрощенно определяется как сила, действующая на единицу площади ( SFp /= ). В термодинамике давление определяется иначе.

def: Давлением в термодинамике называется физическая величина, определяющая элементарную работу ( Aδ ), совершаемую ТДС над внешними телами при бесконечно малом изменении ее объема ( Vd ): VpA d=δ . (2.10)

К формуле (2.10) следует относиться и как к закону, и как к определению.


К такому выражению можно прийти (но не доказать) из следующих соображений:

Из механики известно, что работа внешней силы F

r (рис. 2.1):

( ) VpSSFFFlFA yF ddydydyd −=−=−==⋅=

rrδ ,

но это работа внешней силы. Следовательно, работа газа (ТДС):

ТДСF AA δδ −=

Fr

Fr

V VV d+

Y

lr

d

0

Рис. 2.1

VpAТДС d=δ (2.11) 5. Единицы измерения давления

def: 1 Па1- единица СИ давления, равная такому давлению, которое производит на площадку в 1 м2 нормальная сила 1 Н.

Кроме того, на практике широко применяются внесистемные единицы давления: • 1 бар = 105 Па; • 1 мм рт.ст. = 1 торр = 133,322 Па; • 1 физическая атмосфера = 1 атм = 1,01325⋅105 Па = 760,002 мм рт.ст.; • 1 техническая атмосфера = 1 ат = 1 кгс/см2 (киллограм-сила на квадратный сантиметр) = 9,80665⋅104 Па = 736 мм рт.ст.

6. Приборы для измерения давления

Для измерения давления газа или жидкости применяют манометры (от греч. manos — неплотный и metron — мера, metreo — измеряю). Среди манометров, употребляемых на практике для измерения давлений, существуют приборы, которые измеряют давление непосредственно, и поэтому могут быть названы приборами абсолютными, первичными. Другие манометры непосредственно измеряют не давление, а какую-либо другую величину, так или иначе связанную с давлением – это вторичные манометры, они нуждаются в предварительной градуировке. Градуировка производится путем сравнения их показаний с показаниями первичных приборов.

В зависимости от конструкции чувствительного элемента различают манометры жидкостные, поршневые, деформационные и пружинные (трубчатые, мембранные, сильфонные2), используются также зависимости некоторых физических величин (например, силы электрического тока) от давления.

Различают абсолютные манометры, которые измеряют абсолютное давление (от нуля), манометры избыточного давления — измеряют разность между давлением в какой-либо системе и атмосферным давлением.

Диапазон давлений, которые приходится измерять при выполнение физических исследований и в технике, чрезвычайно широк: от 10-10 до

1Паскаль (Pascal) Блез (1623-62) – французский математик, физик, религиозный философ и писатель. Один из основоположников гидростатики.


2Сильфон – тонкостенная (обычно металлическая) цилиндрическая оболочка с поперечной гофрированной боковой поверхностью, расширяется или сжимается вдоль оси (подобно пружине) под действием разности давления внутри и снаружи или от внешнего силового воздействия.

1011 Па. Разумеется, не существует приборов, которые были бы пригодны для измерения давления во всем этом огромном диапазоне.

Трудно, безусловно, провести резкую границу между отдельными областями, поэтому условно будем считать низкими давления меньше 1 мм рт. ст., высокими – давления, превышающие сотни атмосфер, и сверхвысокими — давления выше 10 000 атм.

Манометры, предназначенные для измерения низких давлений, часто называют вакуумметрами. Приборы, специально предназначенные для измерения атмосферного давления, носят название барометров (от греч. baros - тяжесть и ...метр).

Для измерения давлений в пределах от 1 мм рт. ст. до 1 атм чаще всего применяются жидкостные манометры. Жидкостный м нометр представляет собой -образнуютрубку (рис. 2.2), частично заполненный какой-либо жидкостью, причем жидкость с большей плотностью используют для измерения б льших давлений и наоборот.


а U

о

р1

h∆

Одно из колен трубки (1) откачивается до высокого вакуума и запаивается:

hgp ∆= ρ , Рис. 2.2где ρ - плотность жидкости в манометре, g- ускорение

свободного падения, - разность уровней жидкости в манометре.

h∆p

атpЖидкостный манометр также используется в

качестве манометра избыточного давления. В этом случае одно из колен манометра подсоединяют к исследуемому объему, а второе остается открыто (рис.2.3):

hgpp ∆+= ρат , где - атмосферное давление, атp ρ - плотность жидкости в манометре, g- ускорение свободного падения, - разность уровней жидкости в манометре.

h∆

Жидкостный манометр может применяться для измерения разности давлений в сосудах, т.е. в качестве дифференциального манометра.

Большое распространение получили, так называемые, манометры Бурдона, хотя первоначально их изобрел в 1846 г. Шинц1. Они применяются для измерения низких и высоких давлений.

1 Шинц Рудольф Эдуард (Schinz, 1815—1855) — швейцарский инженер. Приобрел известность своими работами по сооружению мостов и проведению железных дорог в Швейцарии, Франции (1836—38) и Пруссии

h∆1

Рис. 2.3

Устройство манометра Бурдона изображено на рис. 2.4. Чувствительный элемент (1) к изменению давления состоит из гибкой, упругой, запаянной с одного конца металлической трубки эллиптического сечения, согнутой в виде дуги окружности. Исследуемый объем присоединяется к манометру посредством ниппеля (2), который соединен с трубкой (1). Под действием давления трубка стремится выпрямиться, так что ее запаянный конец несколько смещается, и это смещение связано с величиной давления. К запаянному концу этой трубки присоединен показывающий механизм (3) со стрелкой (4).


Для измерения атмосферного давления часто применяется барометр анероид (от a- отрицательная приставка и греч. neros - вода т.е. действующий без помощи жидкости) - барометр, в котором атмосферное давление измеряется по величине деформации упругой металлической коробки, из которой откачан воздух. При изменениях давления коробка сжимается или расширяется, а связанная с ней стрелка перемещается по шкале, указывая давление.

Лекция №3 Состояния ТДС. Измерение температуры

1. Равновесное и неравновесное состояния Стационарное макроскопическое состояние газа, находящегося в

изолированном от внешней среды объеме V, называется равновесным. При этом его макроскопические характеристики – давление, температура, объем – сохраняют свои постоянные значения во времени, причем давление и температура имеют постоянные значения во всех частях объема. Под частями объема подразумевают достаточно большие части, в которых содержится очень большое число частиц.

Например, если различные части стенки сосуда, в котором заключен газ, с помощью внешних источников теплоты поддерживать при различной, но постоянной температуре, то в газе установится стационарное состояние, т.е. состояние, не изменяющееся во времени, однако, оно неравновесное. В этом случае давление во всех частях объема одинаково, а температура во всех частях объема различна.

(1844—49). Он изобрел в 1846 г. общераспространенный теперь манометр, известный под названием манометра Бурдона, тогда как Бурдон только усовершенствовал его.

Рис. 2.4

4

3

1

2


2. Качественные представления о температуре

Представление о температуре вводится на основе чувственных восприятий, т.е. мы можем говорить, что данное тело горячее или холоднее. Однако, количественные представления о температуре таким образом ввести нельзя, т.к. наши ощущения весьма субъективны.

Вместе с тем, хорошо известно, что если привести в соприкосновение холодное и горячее тела, то через некоторое время эти тела будут иметь одинаковую температуру. Конечно, если при этом не происходит каких-то изменений во внешних телах, влияющих на состояние ТДС, т.е. речь идет об изолированной или замкнутой системе.

def: Изолированной или замкнутой системой называется такая система, которая не обменивается с внешними телами веществом или энергией.

Для того, чтобы сделать систему изолированной, ее помещают в теплоизолированную (адиабатическую - от греч. adiabatos - непереходимый) оболочку. Идеальных адиабатических оболочек не существует, однако, можно добиться хорошего приближения к нему (сосуд Дьюара1, термос).

Lex2: Каково бы не было исходное состояние ТДС, в конечном итоге она придет в состояние термодинамического равновесия. Это положение принимают за постулат и называют общим (нулевым) началом термодинамики.

В том случае, когда система пришла в состояние термодинамического равновесия, можно говорить о температуре.

def: Температура (от латинского temperatura - надлежащее

смешение, нормальное состояние) - физическая величина, характеризующая состояние термодинамического равновесия макроскопической системы.

Иначе говоря, температура есть мера нагретости тел.

Сделаем ряд замечаний: • Часто говорят о неравномерно нагретых телах, разные точки

которых имеют разные температуры, т.е. система явно не в ТДР. Однако, если мысленно разбить эту систему на очень малые части (в

1 Дьюар (Dewar) Джеймс (1842-1923)- английский физик и химик. В 1898 впервые получил жидкий водород, изобрел сосуд в 1898, названный его именем. Сосуд Дьюара - колба с двойными посеребренными изнутри стенками, из пространства между которыми выкачан воздух. Теплопроводность разреженного газа между стенками столь мала, что температура веществ, помещаемых в сосуд Дьюара, сохраняется постоянной долгое время. Небольшие сосуды Дьюара (в т. ч. бытовые термосы) изготовляют из стекла, больших объемов — из металла. 2 Lex (лат.) — закон.

каждой части еще очень много молекул), то можно говорить о температуре каждой отдельной части.

• К отдельным молекулам понятие «температура» не применимо. • Понятие температуры иногда применяют и к неравновесным

состояниям, опираясь на распределение Больцмана. К сильно неравновесным состояниям понятие «температура» тоже не применимо, однако, используется на основе похожих уравнений, например, инверсную заселенность квантовых уровней в лазере можно характеризовать отрицательной абсолютной температурой по аналогии с распределением Больцмана.

3. Измерение температуры

Температура – величина неаддитивная, т.е. температура системы не равна сумме температур отдельных ее частей, поэтому температура не может быть измерена путем сравнения с эталоном, как длина или масса.

По сути дела на способ измерения температуры указывает нулевое начало термодинамики, т.е. мы должны привести в соприкосновение с исследуемым телом какое-то малое тело (термометрическое тело), дождаться установления теплового равновесия и определить, на сколько изменилась какая-либо легко измеряемая величина (термометрическая величина) т.к. таких величин может быть много, то и температурных шкал (т.е. правил, по которому каждой температуре приписывается какое-то число) очень много. Кроме того, необходимо выбрать первичные воспроизводимые температурные точки, каждой из которых присвоена определенная температура - реперные точки. 4. Идеально-газовая шкала температур

Такая шкала применялась до 1968 года, и температура измерялась в Кельвина1. В качестве реперных взяты точки замерзания и кипения воды, температуры которых и соответственно. Градус температуры по определению выбран таким, чтобы разница между указанными температурами была равна 100, т.е.

. В качестве термометрической величины используется давление. В эксперименте измеряется давление (рис. 3.1) некоторой массы газа,

1T 2T

10012 =− TT

2p


1 Томсон Уильям-лорд Кельвин (W.Tomson - lord Kelvin) (26.06.1824-17.12.1907)- английский физик, один из основоположников термодинамики, гидродинамики и т.д.

100

0

Тающий Кипящаялед вода

Рис. 3.1

близкого к идеальному при температуре кипения воды, и давление при температуре замерзания. Эксперимент дал для отношения этих величин значение 1,3661. Следовательно, для вычисления и имеем два уравнения: и

1p

=12 / pp 2T 1TK10012 =− TT 3661,1/ 12 =TT . Решение их дает

; . Тем самым шкала температур полностью фиксирована. Однако, такое введение шкалы температур не является полностью удовлетворительным, дело в том, что температуры кипения и замерзания воды зависят от давления, и его надо дополнительно фиксировать в определении. Кроме того, температуры кипения и замерзания фиксируются с недостаточной точностью.

K15,2731 =T K15,3732 =T

Такая шкала называлась идеально-газовой и применялась до 1968 года, и температура измерялась в «Кельвинах».

Кстати легко понять, что в такой шкале не может быть отрицательных температур, поэтому минимальная температура есть «нуль» или «абсолютный нуль температуры». Формально это соответствует нулевому давлению, однако, нельзя распространять действие газового термометра в область столь низких температур. 5. Шкала Цельсия1 (1742)

В этой шкале температура таяния льда - 0 °C, температура кипения воды - 100 °C при давлении 760 мм рт. ст., а 1 °С = 1 К. Очевидна связь: 15,273)K()C( −=° Tt . (3.1)

6. Шкала Фаренгейта2 (1724 или 1715)

Эту шкалу используют в Англии и в США. За реперные точке приняты температура таяния смеси снега и нашатыря и нормальная температура человеческого тела. В этой шкале температура таяния льда получается +32 °F, температура кипения воды +212 °F, а . Очевидна связь:

C5/9F1 °=°

)32)F((95C)( −°=° tt . (3.2)

Знаменитый роман американского писателя Рэйя Дугласа Брэдбери

«451° по Фаренгейту» назван по температуре возгорания бумаги, ясно, что это 233 °C. 1 Цельсий Андерс (A.Celsius) (27.11.1701-25.04.1744) - шведский астроном и физик. В его температурной шкале ноль-температура кипения воды, сто градусов - температура таяния льда.


2 Фаренгейт Габриэль Даниэль - (1686 - 1736) - немецкий физик, работал в Великобритании и Нидерландах, изготовил спиртовой (1709) и ртутный (1714) термометры.


7. Абсолютная термодинамическая шкала (АТШ) Вышеуказанные температурные шкалы зависят от свойств

термометрического тела. Кроме того, реперные точки воспроизводятся с точностью не выше, чем 0,01 градуса. Погрешность воспроизведения нормальной точки кипения воды 0,002-0,01, нормальной точки таяния льда такая же, поэтому на X Генеральной конференции по мерам и весам (1954) было принято решение о построении абсолютной термодинамической шкалы температур Кельвина по одной реперной точке - тройной точке воды (тройная точка воспроизводится в специальных приборах с точностью до 0,0001 °С) на основании второго закона термодинамики. О принципах построения этой шкалы будет идти речь в соответствующем разделе курса. В этой шкале единица температуры называется «Кельвин», а температура тройной точки воды принимается равной 273,16 К точно.

def: 1 Кельвин- единица СИ температуры, равен 1/273,16 части термодинамической температуры тройной точки воды.

В широком диапазоне температур (от 4 К до 1338 К) АТШ совпадает с идеально-газовой шкалой. 8. МПТШ-68 (Международная практическая температурная шкала 1968 года)

Измерение температуры по абсолютной термодинамической шкале затруднительно, поэтому для практических целей в 1968 году была введена Международная практическая температурная шкала, которая позволяет с помощью стандартных термометров и 11 первичных реперных точек наиболее точно воспроизводить широкий диапазон температур (см. таблицу).

Температура Реперные точки МПТШ-68 К °С

Тройная точка Н2O (Опорная) 273,16 0,01 Тройная точка Н2 13,81 -259,34

Точка кипения Н2, при 25/76 атм 17,042 -256,108 Точка кипения Н2 20,28 -252,87 Тройная точка I2 54,361 -218,789 Тройная точка Ar 83,798 -189,352 Точка кипения O2 90,188 -182,962 Точка кипения Н2O 373,15 100

Sn 505,1181 231,9681 Zn 692,73 419,58 Ag 1235,08 961,93

Точки затвердевания

Au 1337,58 1064,43


От тройной точки водорода 13,81 К до температуры затвердевания

сурьмы 903,89 K применяется платиновый термометр сопротивления. При более высоких температурах до температуры затвердевания золота 1337,15 K применяется платиновородиевая термопара. Кроме первичных точек есть еще 24 вторичные точки. 9. Виды термометров

Среди различных термометров вне конкуренции по чувствительности, точности измерений и воcпроизводимости стоит газовый термометр, в котором индикатором температуры является давление газа при постоянном объеме резервуара термометра. Шкала газового термометра почти точно совпадает с абсолютной термодинамической шкалой Кельвина, что является большим достоинством этого термометра. Однако, устройство газового термометра и работа с ним довольно сложны - термометры имеют большие размеры, громоздки и медленно приходят в состояние теплового равновесия. По этим причинам для технических целей газовые термометры применяются редко. Они довольно редко используются и в физических исследованиях, где с их помощью иногда измеряются низкие температуры. Основное назначение газовых термометров состоит в том, что по ним градуируются другие термометры. В этой связи газовые термометры называются первичными, а градуированные по ним термометры, применяющиеся при практических измерениях, - вторичными. Но не каждый вторичный термометр должен градуироваться непременно по газовому термометру. Газовые термометры используются для градуировки, главным образом, в бюро стандартов, метрологических институтах и в некоторых исследовательских лабораториях.

Из вторичных термометров наибольшее значение имеют жидкостные (главным образом ртутные) термометры, термометры сопротивления и термоэлементы.

Жидкостные термометры

Рабочим телом в жидкостном термометре является жидкость, а измерение температуры основано на изменении объема жидкости при изменении температуры.

Жидкость находится в тонкостенной колбе на конце длинной толстостенной капиллярной трубки. Стекло плохо проводит тепло, поэтому стенки колбы тонкие, чтобы тепловая энергия быстро проходила через них, и жидкость приобретала температуру окружающей среды. Поскольку колба мала, то канал капиллярной трубки должен быть очень

узок, так, чтобы малое изменение температуры вызывало заметное движение столбика жидкости. Столбик жидкости легко увидеть, поскольку толстостенный капилляр действует как увеличительное стекло.

Жидкостные термометры не отличаются большой точностью. По этой и ряду других причин они не всегда пригодны для физических исследований. Область их применения ограничена со стороны низких температур свойствами жидкостей, а со стороны высоких температур - свойствами стекла. При понижении температуры все используемые жидкости замерзают, а при высоких температурах стекло размягчается. Тем не менее жидкостные термометры могут применяться в довольно широкой области температур — примерно от 200− °С до +600 °С. Жидкости, наиболее часто применяемые в термометрах, указаны в таблице.

Жидкость Интервал температур, °С

Пентан 200− — 20+

Этиловый спирт 110− — 50+

Толуол 70− — 100+

Ртуть 86,38− — 600+

Ртуть под давлением 70 атм 357+ — 600+

Ртутные термометры Самыми распространенными являются ртутные термометры.

Температура кипения ртути при нормальном атмосферном давлении равна 357 °С. При повышении давления она увеличивается (при давлении 4 атм до 450 °С, а при давлении 30 атм до 500 °С), поэтому для измерения температур выше 357 °С необходимо, чтобы ртуть в капилляре термометра находилась под давлением выше атмосферного. С этой целью капилляр заполняют газом. Давление газа может доходить до 70 атм, чтобы выдержать такое давление, стенки капилляра должны быть толстыми. Шкала наносится на стенках самого капилляра путем травления. Другие жидкости, применяемых в термометрах, отличаются от ртути прежде всего тем, что они смачивают стенки капилляра. В таких термометрах для предотвращения разрыва столбика жидкости капилляр должен наполняться газом всегда, а не только для измерения высоких температур.


Термометры сопротивления В термометрах сопротивления термометрическим телом является

проволока обычно из чистого металла, а иногда сплава; термометрической величиной служит ее электрическое сопротивление. Электрическое сопротивление металлов возрастает с повышением температуры. Отношение увеличения сопротивления при нагревании на один градус к сопротивлению при 0 °С называется температурным коэффициентом

сопротивления: TR

R ∂∂

=1α . Для большинства чистых металлов (вблизи

комнатной температуры) этот коэффициент равен примерно 0,4 %. Линейная зависимость сопротивления металлов от температуры соблюдается только приближенно. Отступления от нее особенно отчетливо проявляются при низких температурах, поэтому термометры сопротивления имеют нелинейную шкалу и нуждаются в градуировке по газовому термометру.

Наиболее употребительными материалами для термометров сопротивления являются чистые платина и медь. Платиновый термометр применяется в интервале температур примерно от –10 до 1100 °С, медный – приблизительно от температуры жидкого водорода (–200 °С) до 120 °С. Точность термометров сопротивления в различных температурных интервалах разная. Для платинового термометра (в интервале температур от 20 до 70 К) она составляет около 0,01 К, а при измерении малых разностей температур – 0,001 К. Точность измерения температур медным термометром примерно на порядок меньше. В термометрах сопротивления применяются также и другие материалы.

Конструкция термометра сопротивления может быть весьма разнообразной в зависимости от его предназначения. Платиновый термометр обычно изготовляется из тонкой платиновой проволоки (диаметром 0,05–0,1 мм с сопротивлением при комнатной температуре 10–100 Ом), закрепляемой на изоляционном каркасе из слюды, фарфора или кварца. Концы проволоки соединяются медными проводами с измерительной схемой сопротивления, например, с мостиком Уитстона1.

Многие металлы и сплавы вблизи абсолютного нуля переходят из нормального в сверхпроводящее состояние, в котором их электрическое сопротивление обращается в нуль. Этот переход, однако, происходит настолько круто, что делает невозможным использование соответствующих материалов для устройства термометров сопротивления.

1 Уитстон (Wheatstone) Чарлз (1802-75), английский электротехник. Создал (1858) телеграфный аппарат, названный его именем. Открыл (1867) принцип самовозбуждения электрических машин. Предложил (1844) мостовой метод электрических измерений, изобрел ряд приборов.


Некоторое распространение в низкотемпературной термометрии получил термометр сопротивления из фосфористой бронзы, содержащей в качестве примеси несколько сотых процента свинца. Здесь переход из нормального в сверхпроводящее состояние сильно растянут. Сопротивление падает почти линейно в температурном интервале от 7 до 1 К. Термисторы

Особым видом термометров сопротивления являются полупроводниковые термометры, называемые также терморезисторами или термисторами. В них термометрическим телом служит полупроводник. Они применяются при температурах от 150 до 400 К. Сопротивление полупроводников убывает с повышением температуры. Их удельное сопротивление в десятки и сотни раз больше, чем у металлов. Температурный коэффициент сопротивления также примерно в 10 раз больше. Благодаря этому полупроводниковые термометры сопротивления при большой чувствительности могут иметь исключительно малые размеры. Такими термометрами можно надежно измерять изменения температуры в тысячные доли градуса. Термопарный термометр

Он состоит из двух проволок А и B (рис. 3.2), изготовленных из разнородных материалов и сваренных своими концами. Если спаи имеют разные температуры, то в цепи термопары возникает электрический ток. Один из спаев, называемый спаем сравнения, поддерживается при постоянной температуре, например, погружается в тающий лед. Эта температура называется опорной температурой. Другой спай, называемый измерительным, он приводится в тепловой контакт с телом температуру, которого надо измерить. В цепь термопары включается милливольтметр для измерения возникающей ЭДС. По величине ЭДС судят о температуре рассматриваемого тела. Градуировка может быть выполнена, например, с помощью газового термометра. При малой разности температур между спаями термоЭДС пропорциональна этой разности.

С СV

В А А

1 2

Рис. 3.2

Любой из спаев 1 или 2 может быть использован в качестве измерительного или спая сравнения. Необходимо, чтобы спаи проволок А и В с концами медных проводов С, а также места соединения последних с милливольтметром имели одинаковые температуры, так как в противном

«Молеку и термодинамика» Лекции. А.И. Грибков, Р.В. Романов 25 лярная физика

случае в цепи может появиться дополнительный термоэлектрический ток, искажающий показания приборов.

При соответствующем выборе материала термопары могут обеспечить измерения в широком диапазоне температур (начиная приблизительно от 4 и почти до 3000 К) с высокой точностью (в некоторых случаях до ± 0,01 К). Термопары являются идеальными приборами для измерения относительно небольшой разности температур, которые в отдельных случаях могут быть найдены с точностью до ± 0,001 К. Среди прочих достоинств термопары надо отметить простоту изготовления, малую теплоемкость и малое время установления теплового равновесия. Недостатком термопары является малая величина термоЭДС при низких температурах. ТермоЭДС уменьшается при понижении температуры и обращается в нуль при абсолютном нуле. Вместе с ней уменьшается и чувствительность термопарного термометра. Пирометры

Измерение очень высоких температур – тысячи градусов и выше – наталкивается на ту очевидную трудность, что не существует тугоплавких материалов, выдерживающих такие температуры. При достаточно высоких температурах все тела плавятся. О температуре тел в этих случаях судят по испускаемому ими излучению. Роль термометрического тела играет само излучающее тело, а термометрической величины – интенсивность испускаемого ими излучения. Приборы, работающие на этом принципе, называются пирометрами (от греч. pyr – огонь и греч. metron – мера, метр). Их устройство основано, таким образом, на законах излучения нагретых тел.


Оптический пирометр позволяет измерять очень высокие температуры на большом расстоянии от источника тепла. Действие прибора основано на том, что два твердых тела с одинаковой температурой излучают свет с одинаковым спектром одного и того же цвета (рис. 3.3).

В трубке телескопа (2) со специальными линзами имеется проволочка (1), нагреваемая электрическим током. При измерении температуры топки (Б) проволочку нагревают до тех пор, пока она не начинает светиться тем же цветом, что и топк . Сравнива получившиеся изображения, определяют, является ли топка более горячей (В), такой же горячей (Г) или более холодной (Д), чем проволочка. Измеритель (4) показывает ток, проходящий по проволочке.

Рис. 3.3

а я

Максимальный и минимальный термометры

Термометры, которые могут фиксировать лишь максимальное или минимальное значение температуры называют соответственно максимальным и минимальным термометрами. Принцип работы максимального и минимального термометров основан на изменении физических параметров термометрического тела, а затем создании препятствий к возвращению системы в исходное состояние.

Очень важным примером максимального термометра является медицинский термометр, который применяется для определения температуры тела человека. В таком термометре в качестве жидкости используется ртуть (рис. 3.4). Стеклянные стенки колбы очень тонки, поэтому ртуть быстро приобретает температуру тела. Канал капиллярной трубки очень узок, этим достигается большое изменение длины при малом изменении температуры. Особенность, превращающая медицинский термометр в максимальный, это сужение в капилляре чуть выше колбы. Когда температура возрастает, то расширение сравнительно большого объема ртути в колбе способствует проталкиванию ртути через сужение вверх по трубке. Когда термометр забирают у пациента из-под руки, то ртуть охлаждается и ее объем сокращается. Силы сцепления между молекулами ртути недостаточно сильны, чтобы втянуть ртуть обратно через сужение, и нить в месте сужения разрывается. Таким образом, ртуть в капиллярной трубке не может попасть обратно в колбу, и зафиксируется максимальная температура (температура пациента). Ствол термометра обычно имеет треугольную форму, чтобы облегчить снятие его показаний. Термометр нужно резко встряхнуть, чтобы возвратить ртуть в колбу.


На рис. 3.5 показан другой максимальный термометр, в котором над столбиком ртутипомещен стальной указатель. По мере роста температуры указатель продвигается

Колба

Рис. 3.4 Сужение Очень узкий

канал

40

39

34

35

36 38

37

Рис. 3.5 Пружина

Указатель

50 30

0 20 40

10

60

вверх по столбику ртути, поскольку сталь плавает в ртути. Когда температура падает, указатель остается на месте, удерживаемый маленькой пружинкой. Указатель дает максимальное показание. Для установки термометра в исходное положение применяется магнит, возвращающий указатель на поверхность ртутного столба.

В минимальном термометре, показанном на рис. 3.6, применяется спирт, а указатель находится внутри жидкости. Когда температура падает, спирт сжимается, и указатель оттягивается назад силой поверхностного натяжения в мениске. Когда температура повышается, спирт протекает мимо указателя, который остается на месте. Указатель установлен здесь несколько неплотно, как в максимальном термометре, и термометр используется в горизонтальном положении (например, для измерения минимальной температуры земли ночью). Если термометр слегка наклонить, то указатель соскользнет в из по тру и остановится в мениске– этот термометр приводится в исходное положение.


нбке

10. На пути к абсолютному нулю

Абсолютный нуль теоретически и практически недостижим, но получение температур максимально близких к нему является очень важной научной и технической задачей. Для получения низких температур можно использовать адиабатическое расширение сжатого воздуха после прохождения его через отверстие малого диаметра. Резкое падение давления сопровождается увеличением расстояний между молекулами. При этом совершается работа газа против сил молекулярного притяжения. Этот процесс называют адиабатическим дросселированием. Адиабатическое дросселирование применялось в машине Линде, с помощью которой был получен жидкий воздух и достигнута температура –200 °С. Академиком П. Л. Капицей была предложена установка с турбодетандером, в котором сжатый газ охлаждается не только вследствие расширения, но и за счет совершения внешней работы. На турбодетандере был получен и жидкий водород, и жидкий гелий, т.е. была достигнута температура –269 °С. Подробнее об этом будет рассказано при изучении эффекта Джоуля-Томсона.

Рис. 3.6

501 30

0 20 40 60

Указатель


Температуру газа можно также понизить, если сначала повысить давление при фиксированном объеме, а выделившееся тепло удалить, например, посредством водяного охлаждения. Если затем газ выпустить в большой объем, он станет еще холоднее, потому что при расширении кинетическая энергия его молекул уменьшится. Этот цикл используют в холодильнике, он позволяет сжижать и даже замораживать многие газы. Для экспериментов, проводимых при очень низких температурах, чаще всего используют гелий, обладающий самой низкой точкой кипения 4,2 К (–269 °С). Далее температуру жидкого гелия можно понизить до 1 К, откачивая вакуумным насосом газообразный гелий, имеющийся над жидкостью; в результате его давление уменьшается, и тем самым понижается температура кипения. Жидкий гелий обычно производят на установках по сжижению воздуха; он остается наряду с другими редкими газами после того, как кислород и азот уже превращаются в жидкость. Достичь охлаждения ниже 1 К чрезвычайно трудно. Для этого используется эффект понижения температуры, происходящий в некоторых твердых телах. Известно, что некоторые соли, будучи помещенными в сильное магнитное поле, ведут себя как магниты, но теряют магнитные свойства при удалении поля. Это явление называется парамагнетизмом. Когда соль намагничена, магнитные моменты ее молекул выстраиваются вдоль поля. Если парамагнитное тело охладить до температуры 1 К испарением жидкого гелия, то оно потеряет тепловую энергию. Когда затем включают сильное магнитное поле, магнитные моменты выстраиваются по полю и своим движением создают тепло. Его удаляют, откачивая окружающий гелий. При последующем отключении поля молекулы вновь располагаются беспорядочно, что приводит к дальнейшему уменьшению температуры тела. Охлажденное таким образом твердое тело может забирать тепло у другой емкости с гелием. Чередование намагничивания и размагничивания позволяет получать температуры, равные нескольким тысячным долям кельвина.

В 1996 году в журнале «Физика в школе» №5 было опубликовано сообщение о том, что сотрудники Американского объединенного института астрофизики охладили атомы рубидия до рекордной температуры 200 нК.

Лекция №4 Законы идеального газа

1. Модель идеального газа

С XVII века ученые, занимающиеся исследованием различных газов экспериментальным путем, установили ряд законов. Эти законы приближенно выполняются для достаточно (но не слишком) разреженных газов и строго справедливы для модели идеальный газ. При изучении состояний газа мы будем пользоваться моделью. Таким образом:

def: Идеальным газом называют газы, строго подчиняющиеся законам идеального газа.

Эта модель характеризуется следующими признаками: 1. . сосудамолекулы VV <<

2. Молекулы взаимодействуют только при соударении. Взаимодействия подчиняются законам абсолютно упругого удара (выполняется закон сохранения механической энергии и импульса, угол падения равен углу отражения).

3. Время свободного пробега намного больше времени соударения. (Длиной свободного пробега (l) называется расстояние, которое проходит молекула между двумя последующими столкновениями.)

4. Между столкновениями молекулы движутся прямолинейно и равномерно, их движение подчиняется закону Ньютона.

Один и тот же газ при различных условиях может считаться как

идеальным, так и неидеальным, и, наоборот, различные по своей природе газы могут при определенных условиях считаться идеальными. Далее кратко перечислим основные законы, напомнив, что эти законы связывают параметры газа как ТДС для равновесных состояний. 2. Закон Бойля1 – Мариотта2

Установлен независимо Робертом Бойлем (1660) и Эдмом Мариоттом (1676).

Lex: Для данной массы газа при постоянной температуре произведение давления на объем есть величина постоянная:

1 Бойль Роберт (R.Boyle) (25.01.1627-30.12.1691) - английский физик, химик, философ. 1660 - з-н Б.-М. (совместно с Тоунли), сконструировал барометр, 1663 - открыл цветные кольца (кольца Ньютона). Сформулировал понятие химического элемента и положил начало химии.


2 Мариотт Эдм (E.Mariotte) (1620-12.05.1684) - французский физик и игумен монастыря Св. Мартина в Дижоне (Франция). 1676 - з-н Б.-М., доказал увеличение объема воды при замерзании, обнаружил слепое пятно в глазу.

const=pV при m = const и T = const. (4.1) 3. Закон Гей-Люссака1 (1802)

Lex: Для данной массы газа при постоянном давлении отношение объема к температуре есть величина постоянная:

const=TV при m = const и p = const. (4.2)

Для шкалы Цельсия: Lex: Объем некоторой массы газа при нагревании на 1 °С при

постоянном давлении увеличивается на 1/273 часть того объема, который эта масса газа занимала при 0 °С.

В небольшом диапазоне температур можно записать: ( )( )00 1 ttVV −+= α , (4.3) где V и - объемы газа соответственно при температурах 0V t и , 0t α -

коэффициент объемного расширения 2731

=α °С.

4. Закон Шарля2 (1787)

Lex: Для данной массы газа при постоянном объеме отношение давления к температуре есть величина постоянная:

const=Tp при m = const и V = const. (4.4)

Для шкалы Цельсия: Lex: Давление некоторой массы газа при нагревании на

1 °С в неизменном объеме увеличивается на 1/273 часть давления при 0 °С.

В небольшом диапазоне температур можно записать: ( )( )00 1 ttpp −+= β , (4.5) где и - давление газа соответственно при температурах p 0p t

и , 0t β - термический коэффициент давления 2731

=β °С.

Качественно продемонстрировать эти законы можно с Рис. 4.1

1 Гей-Люссак Жозеф-Луи (J.Gay-Lussac) (06.12.1778-09.05.1850) - французский физик, химик. 1802 - з-н Г.-Л., сконструировал гидрометр, спиртометр, термометр, насос, барометр, 1808 - закон кратных соотношений для газов,.1804 - полеты на воздушном шаре.


2 Шарль Жак Александр Цезар (J.Charles) (26.11.1746-07.04.1823) - французский физик. 1787 - з-н Ш.-Л., попытки получать фотографические изображения, 1783 - полеты на воздушном шаре.

помощью сильфона С.А. Калимулина и манометра (рис. 4.1). 5. Закон Клапейрона1 (1834)

Комбинируя и обобщая эти три закона получаем:

Lex: Произведение объема некоторой массы газа на его давление пропорционально абсолютной температуре газа (Объединенный газовый закон, закон Клапейрона):

const=TpV при m = const (4.5)

или

2

22

1

11

TVp

TVp

= при m = const. (4.6)

6. Закон Авогадро2

Lex: При одинаковых давлении и температуре равные объемы различных газов содержат одинаковое число молекул:

2

1

2

1

ρρ

=MM , (4.7)

где , - молярные массы газов, 1M 2M 1ρ , 2ρ - их плотности. 7. Закон Дальтона3 (1801)

Если в сосуде находится физическая смесь различных газов, то давление смеси газов определяется в соответствии с законом Дальтона:

Lex: Давление смеси идеальных газов равно сумме парциальных давлений этих газов: парпар2пар1смеси ... npppp +++= . (4.8)

def: Парциальным (от позднелат. partialis — частичный) давлением называется давление, которое оказывал бы газ, занимая весь предоставленный ему объем.

1 Клапейрон Бенуа Поль Эмиль (B.Clapeyron) (26.01.1799-28.01.1864) - французский физик и инженер. С 1820 по 1830 работал в Петербурге в институте инженеров путей сообщения. Ввел в термодинамике координаты pV, уравнение Клапейрона - Клаузиуса. 2 Авогадро (Avogadro) Амедео (1776-1856) - итальянский физик и химик. В 1811 выдвинул молекулярную гипотезу строения вещества, установил один из газовых законов, названный его именем. 3 Дальтон Джон (J.Dalton) (06.09.1766-27.07.1844) - английский физик и химик. 1794 - дальтонизм. 1801 - закон Д., 1803 - первая таблица атомных весов химических элементов.


8. Закон Менделеева1 - Клапейрона

Уравнение Менделеева - Клапейрона связывает основные параметры, характеризующие состояние данной массы газа, и называется уравнением состояния:

RTMmpV = или RTpV ν= , (4.9)

где R- универсальная газовая постоянная, m- масса газа. Заметим, что этот закон в термодинамике нужно рассматривать как

обобщение совокупности опытных данных и экспериментально установленных законов. Очевидно, что из него можно получить все ранее рассмотренные законы, по очереди полагая какую-либо величину постоянной. Кроме того, следует подчеркнуть, что этот закон представляет собой не что иное, как термическое уравнение состояния, то есть не может быть получен в рамках термодинамики.

Добавим, что все законы (кроме последнего) связывают параметры газа в двух термодинамически равновесных состояниях, не интересуясь, что происходило с газом между этими состояниями. 9. Термические коэффициенты

Сжимаемость газа при постоянной температуре характеризуется изотермическим коэффициентом сжимаемости, который определяется как относительное2 изменение объема при единичном изменении давления:

Tp

VV ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−=1χ , (4.10)

где – изменение объема, вызванное изменением давление на величину V∂p∂ , V– первоначальный объем. Знак «–» указывает на то, что увеличение

объема ведет к уменьшению давления. Подставляя уравнение состояния (4.9) в (4.10) получаем для

идеального газа:

pp

RTRTp 1

2 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

νν

χ , (4.11)

[ ]χ = 1 Па-1.

Для характеристики газов, находящихся при постоянном давлении,

часто используют коэффициент объемного расширения, который 1 Менделеев Дмитрий Иванович (08.02.1834-02.02.1907) - русский ученый, создатель Главной палаты мер и весов. 1869 - периодический закон, 1860 - критическая температура, 1874 - закон М.-К.


2 Относительным изменением какой-либо величины называется отношение изменения этой величины к ее первоначальному значению.

определяется как относительное изменение объема при единичном изменении температуры:

pT

VV

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

∂∂α 1 . (4.12)

Подставляя уравнение состояния (4.9) в (4.12) получаем для


Tp

RRTp 1

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

νν

α , (4.13)

[ ]α = 1 K-1. Для характеристики газов постоянного объема часто используют

термический коэффициент давления, который определяется как относительное изменение давления при единичном изменении температуры:

VTp

p⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

∂∂β 1 . (4.14)

Подставляя уравнение состояния (4.9) в (4.14) получаем для


TV

RRTV 1

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=ν

νβ , (4.15)

[ ]β = 1 K-1.

Коэффициенты χ , α , β связаны следующим очевидным соотношением:

p1

=αχβ , βα = - для идеального газа; (4.16)

при нормальных условиях (н/у) == βα 1/273,15=0,0036609921. В общем случае эти коэффициенты зависят от температуры, и их

значения несколько отличаются от приведенных. Так для некоторых газов в интервале температур от 0 °С до 100 °С при нормальном атмосферном давлении коэффициент объемного расширения:

азот =α 0,003672; воздух =α 0,003665; водород =α 0,003664.


7. Универсальная газовая постоянная

Очевидно, что из уравнение состояния (4.9) следует, что для 1 моля любого идеального газа постоянная (R) в правой части одинакова для всех газов. Она получила название универсальной газовой постоянной:

RTpV

= .

Экспериментально ее сравнительно легко определить, если измерить объем 1 моля газа, близкого к идеальному, при нормальных условиях:

нормp = 1 атм = 1,01325⋅105 Па,

нормT = 273,15 К,

нормV = (22,4136±0,0009)⋅10-3 м3/моль. Получаем, что:

R=8,31434±0,00035 Дж/(моль К).

Лекция №5 Работа. Количество теплоты

1. Работа как способ изменения энергии

Из механики известно, что работа является способом изменения энергии механической системы, причем, если силы консервативные, то полная механическая энергия сохраняется, а если силы диссипативные (сила трения), то эта энергия уменьшается. Совершая работу над телом (ТДС), например, механически сжимая или расширяя газ, используя трение, постучав молотком по куску свинца, можно изменить состояние ТДС (рис. 5.1). Эксперименты показали, что такие процессы сопровождается изменением температуры ТДС.

Таким образом, закон сохранения полной механической энергии можно расширить и на диввести понятие внутренней энергии.

ссипативные силы, если

Свинец

Рис. 5.1

2. Адиабатическая оболочка. Опыты Джоуля1 (1843) Ранее отмечалось, что в адиабатической оболочке состояние

термодинамической системы остается неизменным, следует уточнить, это справедливо в том случае, если с самой оболочкой ничего не происходит,


1 Джоуль (joule) Джеймс Прескотт (1818-1889), английский физик.

т.е. не совершается никакая механическая работа. Если же работа тем или иным способом совершается, то ТДС меняет свое состояние.

Прямым доказательством этого являются классические опыты Джоуля по определению механического эквивалента теплоты (рис. 5.2). Следует заметить, что в опытах Джоуля жидкость всегда нагревалась, но никогда не охлаждалась. (Вопрос: почему же мешая чай в стакане, мы его охлаждаем? Ответ: стакан – неадиабатическая оболочка.)

Уточним понятие адиабатической оболочки:

def: Адиабатической н ся оболочка, в которой состояние заключенной в ней ТДС остается неизменным при любых изменениях температуры окружающих тел, если зна ения внешн параметров поддерживаются постоянными.

азывает

ч

их

жа д Дьюара, т

Термометр

Мешалка

Таким образом, изменить состояние ТДС в адиабатической оболочке можно только путем механического изменения внешних параметров, например, с ть сосу .е. совершением работы.

Калориметр

Рис. 5.2

3. Внутренняя энергия

Вводя здесь понятие внутренней энергии, мы формально должны оставаться в рамках термодинамики, то есть не говорить о каком-либо строении тел и движении атомов и молекул. Кроме того, отметим, что понятие внутренней энергии относится только к равновесным состояниям ТДС.

def: Внутренней энергией ТДС называется функция состояния ТДС, изменение которой во всяком процессе, совершаемой системой в адиабатической оболочке, равно работе внешних сил над системой при переходе ее из начального состояния в конечное.

Или более коротко: def: Если ТДС находится в адиабатической оболочке, то работа,

совершаемая над системой, равна изменению внутренней энергии: силвнешеихd AU δ= . (5.1)

Следует сделать ряд замечаний: 1. Реальный физический смысл имеет не сама энергия, а ее изменение,

т.е. энергия определена с точностью до постоянной.


2. Различные значки (d и δ ) для обозначения бесконечно малых используются, потому что внутренняя энергия есть функция состояния, а работа - функция процесса. Подробнее об этом см. ниже.

3. Внутренняя энергия является функцией термодинамических параметров. В общем случае она зависит от температуры, объема и агрегатного состояния вещества. Ниже будет показано, что если речь идет об идеальном газе, то внутренняя энергия- это функция только температуры.

4. Говоря о внутренней энергии, отвлекаемся от макроскопического движения ТДС как целого и от воздействия внешних силовых полей. Внутренняя энергия зависит только от параметров, характеризующих внутреннее состояние тела.

5. Забегая вперед, можно сказать, что внутренняя энергия есть сумма кинетических энергий движения молекул и потенциальной энергии их взаимодействия.

6. Более точное определение внутренней энергии будет дано в рамках МКТ, где под внутренней энергией понимается сумма кинетических энергий внутренних движений составляющих ее частиц (молекул, атомов, электронов, ионов и т.д.) и потенциальных энергий силовых полей, с помощью которых осуществляется взаимодействие между этими частицами.

7. Внутренняя энергия зависит от температуры, объема и агрегатного состояния вещества. Для идеального газа )(TfU = .

4. Количество теплоты

Изменить состояние ТДС или ее внутреннюю энергию, не меняя макроскопических механических параметров, т.е., не совершая работы, можно путем теплообмена (рис. 5.3).

def: Процесс изменения внутренних энергий соприкасающихся тел, не сопровождающийся производством макроскопической работы, называется теплообменом.

def: Энергия, переданная ТДС в результате теплообмена, называется количеством теплоты, полученном ТДС в данном процессе. Свинец

Количество теплоты (теплота, тепло) - это энергия в специфической форме. Забегая вперед можно сказать, что это энергия в форме молекулярного движения.

Рис. 5.3 Бесконечно малое количество теплоты


принято обозначать Qδ тем самым, подчеркивая, что количество теплоты - функция процесса. Существует договоренность: 0>Qδ , если энергия передается системе, и 0<Qδ , если энергия отбирается у системы.

Работа и передача количества теплоты являются двумя равноправными способами изменения внутренней энергии, что опять-таки доказывается прямыми экспериментами Джоуля. Естественно, что количество теплоты измеряется в Джоулях ([Q] = 1 Дж). Часто используют внесистемную единицу количества теплоты 1 калория (от лат. calor - тепло):

1 калория = 4,1868 Дж. Последнее число называют механическим эквивалентом теплоты.

5. Теплоемкость

Если мы передадим системе количество теплоты, то не исключено, что температура ее изменится.

def: Теплоемкостью ТДС называется отношение бесконечно малого количества теплоты, полученного системой, к соответствующему бесконечно малому изменению ее температуры.

Или проще: def: Теплоемкостью тела называют количество теплоты,

необходимое для нагревания системы на 1 К:

TQC

dδ

= , (5.2)

[C]= 1КДж .

Из (5.2): . (5.3)

∫= TCQ d

Часто используется удельная теплоемкость, т.е. теплоемкость 1 кг вещества.

def: Удельной теплоемкостью называют количество теплоты, необходимое для нагревания1 кг вещества на 1 К:

TQ

mс

d1 δ

= , (5.4)

[с]= 1Ккг

Дж⋅

.

Из (5.4): . (5.5)

∫= TcmQ d


Кроме того, используется молярная теплоемкость, то есть теплоемкость 1 моля вещества:

def: Молярной теплоемкостью называют количество теплоты, необходимое для нагревания 1 моля вещества на 1 К:

TQCm d

1 δν

= , (5.6)

[ ]=1mCКмоль

Дж⋅

.

Из (5.6): . (5.7)

∫= TCQ m dν

Поделим выражение (5.4) на (5.6):

МmCc

m

1==

ν

Далее, преобразуя, получим: cMСm ⋅= . (5.8)

Молярную теплоемкость иногда обозначают . µсrem: Так как количество теплоты есть функция процесса, то и

теплоемкость тоже есть функция процесса, т.е. зависит от условий и способов, какими передано тепло системе. Поэтому, когда мы говорим, что удельная теплоемкость воды равна 4182 Дж/(кг·К), мы подразумеваем, что это теплоемкость при нормальном постоянном давлении и при изменении температуры от 19,5 °С до 20,5 °С. 6. Уравнение теплового баланса

Рассмотрим замкнутую ТДС, причем будем считать, что она состоит из нескольких тел, каждое из которых в свою очередь можно рассматривать как ТДС. Будем считать, что механическая работа в ней не совершается. Естественно, некоторые тела могут отдавать тепло, а другие его получать. Легко понять, что для такой системы выполняется уравнение теплового баланса: 0...21 =+++ nQQQ . (5.9)

При изменении температуры тела (нагревание, охлаждение) при постоянной теплоемкости: )( 12 TTcmTcmQ −=∆= , (5.10) где - начальная температура тела, - его конечная температура. 1T 2T «Молекулярная физика и термодинамика» Лекции. А.И. Грибков, Р.В. Романов 39

При плавлении (+) / кристаллизации (-): mQ λ±= , (5.11) где λ - удельная теплота плавления.

При испарении (+) / конденсации (-): rmQ ±= , (5.12) где r- удельная теплота парообразования.

При сгорании топлива: qmQ −= , (5.13) где q - удельная теплота сгорания топлива.

Измеряются: [λ , r, q] = 1 Дж/кг.

Кроме того, теплота может подводиться еще каким-либо способом,

например, механической работой или электрическим током. Заметим, что практически эти величины (λ , r, q) зависят от температуры и давления, но в большинстве задач этим пренебрегают.

7. Первое начало термодинамики

Обобщая выше сказанное, можно сформулировать один из самых общих законов природы, который получил название первое начало термодинамики:

Lex: Изменение внутренней энергии ТДС определяется работой, совершаемой над ТДС внешними телами и количеством теплоты, полученным (или отданным) ТДС: силвнешнихd AQU δδ += . (5.14)

Часто первое начало термодинамики формулируется по-другому, учитывая, что работа внешних сил над ТДС и работа ТДС над внешними телами равны по модулю, но противоположены по знаку. Тогда:

Lex: Количество теплоты, полученное ТДС, идет на изменение внутренней энергии ТДС и на совершение ею работы над внешними телами:

ТДСAUQ += dδ - (5.15) это дифференциальная форма записи.

В интегральной форме закон выглядит так: ДС

21ТAUQ +∆= . (5.16)


Очевидно, что первое начало термодинамики есть ни что иное, как закон сохранения энергии с учетом тепловых процессов, и в его справедливости и универсальности не приходится сомневаться.

Уместна следующая аналогия. Если вода в озеро поступает из впадающей реки и из дождевой тучи, то в озере ее невозможно отличить, так и внутренняя энергия, полученная путем совершения работы, ничем не отличается от энергии, полученной при теплообмене. Это два равноправных способа изменения внутренней энергии, причем совершение работы считается макроскопическим способом, а передача тепла - микроскопическим.

Лекция №6 Процессы в идеальном газе

1. Общие понятия

def: Изменение состояния ТДС называется термодинамическим процессом

или другими словами: def: Процессом в термодинамике называется переход ТДС из одного

равновесного состояния в другое. Процессы бывают равновесные и неравновесные: def: Равновесный процесс - бесконечно медленный процесс, в

котором термодинамическая система проходит через ряд бесконечно близких друг к другу равновесных состояний.

def: Неравновесный процесс - процесс, в котором система проходит через неравновесные состояния.

Их отличие проще всего понять, рассмотрев ситуацию, когда в цилиндре находится газ (ТДС) под поршнем, на котором лежит груз (рис. 6.1). Если сразу снять весь груз или достаточно большую его часть, то поршень придет в весьма сложное движение. Ясно, что в этом случае нельзя говорить о давлении или температуре во всем объеме газа, но через некоторое время все успокоится, газ придет в равновесное состояние. Исходное и конечное состояния можно обозначить на координатной плоскости PV точками (рис. 6.1 а). В этом случае говорят о переходе ТДС из одного равновесного


Рис. 6.1

V

p а

2p

2V 1V

1p

V

p б

2p

2V1V

1p

состояния в другое через ряд неравновесных состояний - это неравновесный процесс. Если же снимать по одной песчинке и дожидаться каждый раз, когда наступит равновесие, то мы получим целый набор точек, характеризующих равновесные состояния (рис. 6.1 б). Эти точки можно в определенном приближении соединить плавной кривой. Эта кривая будет описывать равновесный процесс.

def: Процесс перехода системы из неравновесного состояния в равновесное называется релаксацией (от лат. relaxatio — ослабление), а время этого перехода - временем релаксации.

Равновесных процессов в природе не существует, но если время перехода из одного равновесного состояния в другое много больше времени релаксации, то все отклонения от равновесного состояния будут успевать исчезать, и газ будет переходить через ряд равновесных состояний, переходящих одно в другое, т.е. можно говорить о почти равновесном процессе, который называются квазистатическим, потому что при этом состояние системы в каждый данный момент времени мало отличается от равновесного.

Кроме того, процессы бывают обратимые и необратимые: def: Обратимым называется процесс, для которого возможен

обратный переход из конечного состояния в начальное через те же промежуточные состояния, что и в прямом процессе.

def: Необратимым называется процесс, когда обратный переход через те же промежуточные состояния невозможен.

Очевидно, что неравновесный процесс необратим. Строго равновесный процесс обратим, но их не бывает в природе. Квазистатический процесс может быть как обратимым, так и необратимым (например, процесс растекания пластилина под собственной тяжестью, который происходит бесконечно медленно и, тем не менее, необратим).

Для квазистатических процессов можно говорить, что работа ТДС при переходе из состояния 1 в состояние 2 вычисляется по формуле:

(6.1)

∫=2

112 dVpAТДС

Вспоминая смысл определенного интеграла, легко понять, что работу можно определить, вычислив площадь под графиком квазистатического процесса на диаграмме pV.

Далее рассмотрим применение первого начала термодинамики для ряда квазистатических процессов, которые могут происходить с идеальным газом. 42 «Молекулярная физика и термодинамика» Лекции. А.И. Грибков, Р.В. Романов

2. Изотермический процесс

Процесс изменения состояния ТДС при постоянной температуре и неизменной массе называется изотермическим (от греч. isos - равный, одинаковый и therme - тепло).

Уравнение процесса: const=pV при m = const и T = const. (6.2)

Графики этого процесса в различных координатах изображены на рис. 6.2 (для наглядности на рис. 6.2 изображены графики двух процессов

при температурах и , причем ). 1T 2T 12 TT >


Пунктир на рис. 6.2 и последующих в настоящей лекции означает, что в этих областях модель идеального газа использовать нельзя.

Получим выражение для работы при изотермическом процессе, для этого в (6.1) подставим уравнение состояния (4.9):

1

22

112 lndd

2

1VVRT

VVRTVpA

V

V

ТДС νν === ∫∫ (6.3)

или, используя уравнение состояния (4.9),:

1

211

2

112 lnln

VVVp

ppRTAТДС ==ν . (6.4)

Из выражения (6.3) видно, что работа ТДС численно равна площади

криволинейной трапеции, выделенной штриховкой на рис. 6.2. Первое начало термодинамики (5.15) для изотермического процесса

запишется: ТДСAQ δδ = , (6.5) т.е. внутренняя энергия не меняется, так как для идеального газа она является функцией только температуры. Таким образом, при изотермическом процессе все количество теплоты идет на совершение работы.

V

p

Рис. 6.2

T

p

T

V

2V1V

1p

2p

ТДСA 2T1T 1T 2T

12 TT > 2

Гипербола

T 1T

Молярная теплоемкость (5.6) при изотермическом процессе:

∞=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

TmT T

QCd

1 δν

. (6.6)

3. Изобарный (изобарический) процесс

Процесс изменения состояния ТДС при постоянном давлении и неизменной массе называется изобарным.

Уравнение процесса:

const=TV при m = const и p = const. (6.7)

Легко нарисовать графики этого процесса - рис. 6.3 (для наглядности на рис. 6.3 изображены графики двух процессов при давлении и , причем ).

1p 2p

12 pp >


Работа из (6.1):

. (6.8)

)()(d 1212

2

112 TTRVVpVpAТДС −=−== ∫ ν

Первое начало термодинамики (5.15) для изобарического процесса запишется без изменений: ТДСd AUQ δδ += . (6.9)

Молярная теплоемкость (5.6) при постоянном давлении после подстановки (5.15) запишется:

RTU

TA

TU

TQC

pppm +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

dd1

d1

dd1

d1

νδ

ννδ

ν. (6.10)

V

p

Рис. 6.3

T

12 pp > p V

T

1p

2V1V

ТДСA

2p

1p2p 2p

1p

4. Изохорный (изохорический) процесс

Процесс изменения состояния ТДС при постоянном объеме и неизменной массе называется изобарным.

Уравнение процесса:

const=Tp при m = const и V = const. (6.11)

Графики двух изобарных процессов показаны на рис. 6.3.


Работа из (6.1):

. (6.12)

0d2

112 == ∫ VpAТДС

Первое начало термодинамики (5.15) для изохорного процесса запишется в виде: UQ d=δ . (6.13)

Таким образом, при изохорическом процессе все количество теплоты идет на изменение внутренней энергии.

Молярная теплоемкость (5.6) при постоянном объеме после подстановки (6.13) запишется:

TU

TQC

VmV d

d1d

1ν

δν

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= (6.14)

Из (6.14) получаем выражение для изменения внутренней энергии, которое справедливо для любого процесса: TCU mV dd ν= . (6.15)

Интегрируя (6.15): TCU mV ∆=∆ ν (6.16)

или

V

0ТДС =A p

Рис. 6.4

T

12 VV >p V

T

1V

2V2V

1V

2V1V

const+= TCU mVν . (6.17) 5. Смысл универсальной газовой постоянной

Из формулы (6.8) для работы при изобарном процессе выразим R:

TARТДС

∆=

ν12 ,

тогда можно сказать, что универсальная газовая постоянная численно равна работе одного моля идеального газа при изобарном процессе при изменении температуры на 1 Кельвин. 6. Уравнение Майера1

Очевидно, что из (6.10) и (6.14): RCC mVmp += (6.18)

Это уравнение носит название уравнения Роберта Майера и связывает молярные теплоемкости при постоянном давлении и температуре.

Теплоемкости можно определить термодинамическим путем, выражая их в калориях.

Универсальную газовую постоянную можно определить механическим путем через работу, выражая ее в джоулях. Таким образом, можно установить связь между калорией и Джоулем, т.е. определить механический эквивалент теплоты.

Так как теплоемкости ранее было принято измерять в тепловых единицах (калориях/моль⋅К), а универсальную газовую постоянную R можно измерить в механических единицах (как работу), то из уравнения Майера достаточно просто можно определить, так называемый, механический эквивалент теплоты:

1 калория=4,1868 Джоуля. Это сделал Майер в 1842 году.


1 Майер (Mayer) Юлиус Роберт (1814-78), немецкий естествоиспытатель, врач. Первым сформулировал закон сохранения энергии (эквивалентности механической работы и теплоты) и теоретически рассчитал механический эквивалент теплоты (1842). Идеи и приоритет Майера долгое время не были признаны.

Лекция №7 Применения первого начала термодинамики

1. Адиабатный (адиабатический) процесс

При адиабатическом (от греч. adiabatos — непереходимый) процессе отсутствует теплообмен с окружающей средой, следовательно, 0=Qδ .

Первое начало термодинамики (5.15) для адиабатического процесса запишется: ТДСAU δ+= d0 (7.1)

или UAТДС d−=δ . (7.2)

Молярная теплоемкость (5.6) при адиабатическом процессе:

0d

10

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

=Qm T

QCδ

δν

. (7.3)

Выражение (7.1) можно переписать в виде:

0dd =+ VpTCmVν . (7.4)

Из уравнения Менделеева - Клапейрона (4.9):

R

pVT =ν , (7.5)

дифференцируя (7.4):

R

pVVpT ddd +=ν . (7.6)

Подставим (7.6) в (7.4):

( ) 0ddd =++ VppVVpR

CmV . (7.7)

Преобразуя, получаем:

RpVR

CVpR

C mVmV ×=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + 0dd1 , (7.8)

( ) 0dd =++ pVCVpRC mVmV . (7.9)

Используя уравнение Майера (6.18) выражение (7.9) преобразуется:

0dd =+ pVVpCC

mV

mp . (7.10)

Обозначим:


mV

mp

CC

=γ - показатель адиабаты. (7.11)

Тогда уравнение (7.10) можно записать в виде: pVVp dd −=γ . (7.12)

Разделяем переменные и интегрируем:

∫∫ −=pp

VV ddγ , (7.13)

constlnln +−= pVγ , constlnln =+ pV γ ,

constln =γpV . Далее, преобразуя, получаем:

const=γpV . (7.14)

Это уравнение адиабаты (уравнение Пуассона1) в переменных pV. Преобразуем выражение (7.11), используя уравнение Майера (6.18):

mVmV

mV

mV

mp

CR

CRC

CC

+=+

== 1γ ,

1−=

γRCmV . (7.15)

Получим выражение для работы при адиабатическом процессе. Для этого проинтегрируем (7.2) и подставим в него (7.15):

( )1212 11TTRTRAТДС −

−=∆

−−=

γν

γν . (7.16)

Выражение для работы при адиабатическом процессе можно также легко получить, воспользовавшись (6.1) и уравнением Пуассона (7.14):

)(1const

1constdconstd 1

11

21

2

112

2

1

2

1

γγγγ γγ

−−− −⋅−

=⋅−

=⋅== ∫∫ VVVV

VVpAV

V

V

V

ТДС ,

где . γγ2211const VpVp ==

После элементарных преобразований окончательно получим:

γ−

−=

11122

12

VpVpAТДС . (7.17)

Воспользовавшись уравнением Менделеева - Клапейрона (4.9),

уравнение (7.17) можно привести к виду (7.16):


1 Пуассон (Poisson) Симеон Дени (1781-1840), французский математик, механик и физик, иностранный почетный член Петербургской АН (1826). Труды по математическому анализу, теории вероятностей, математической физике, теоретической и небесной механике, теории упругости, гидродинамике и др.

( )12121122

12 111TTRRTRTVpVpAТДС −

−=

−−

=−−

=γ

νγνν

γ.

Далее получим уравнение адиабаты в переменных TV. Для этого исключаем p в (7.14), используя уравнение Менделеева - Клапейрона (4.9):

const=γν VVRT ,

const1 =−γTV . (7.18)

Исключая V в (7.13) используя уравнение Менделеева - Клапейрона (4.9) получаем уравнение адиабаты в переменных Tp:

const=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛γ

νp

RTp ,

const1 =−γγ pT . (7.19)

Показатель адиабаты γ может быть измерен экспериментально, например, методом Клемана - Дезорма1 или вычислен с помощью методов статистической физики.

Для некоторых газов значения показателя адиабаты γ приведены в таблице:

Одноатомные газы Двухатомные газы Многоатомные газы

Гелий 1,66 Водород (H2) 1,41 Водяной пар (H2O) 1,32

Неон 1,64 Хлористый водород (HCl) 1,40 Углекислота (CO2) 1,30

Аргон 1,67 Азот (N2) 1,404 Этилен (C2H4) 1,25

Криптон 1,68 Кислород (O2) 1,401 Метан (CH4) 1,31

Ксенон 1,66 Окись углерода (CO) 1,404 Аммиак (NH3) 1,31

Хлор (Cl2) 1,36

Из таблицы видно, что для различных газов показатель адиабаты различен, однако, теория дает следующий результат:

Одноатомные газы Двухатомные газы Многоатомные газы

67,135

≈ 40,157

≈ 33,134

≈


1 Клеман-Дезорм- (Clement-Desormes) — (1779—1843) французский физик и химик, ученик Монгольфье профессор прикладной химии. Опубликовал в сообщничестве со своим тестем, Дезормом, имя которого принял Шарль Дезорм, род. в 1777 г. Наиболее известны его работы над окисью углерода, описание метода для определения отношения теплоемкостей газов при постоянном объеме и постоянном давлении.

Воспользовавшись уравнениями (7.14), (7.18), (7.19), легко построить графики адиабатического процесса, например, для одноатомного газа - рис. 7.1. Видно, что при адиабатическом процессе при увеличении объема температура существенно понижается, а при уменьшении объема температура существенно увеличивается.


2. Политропный1 (политропический) процесс Все рассмотренные ранее процессы обладают одной особенностью:

они происходят при постоянной теплоемкости:

Процесс Теплоемкость

Изобарический mpC

Изохорический mVC

Изотермический ∞ Адиабатический 0

Эти процессы являются частным случаем общего процесса, который

называется политропным и который происходит при постоянной теплоемкости.

Получим уравнение политропы для идеального газа. Для этого воспользуемся первым началом термодинамики (5.15), которое после подстановки в него (5.6), (6.15), (2.11) примет вид:

VpTCTC mVm ddd += νν . (7.20) Из уравнения Менделеева – Клапейрона (4.9):

VRTp ν

= .

Тогда (7.18) запишется в виде:

VVRTTCTC mVm ddd ννν += .

1 Poli –много, τροποσ - поворот

V

p

Рис. 7.1

T

p V

T 2V1V

1p

2p

ТДСA

1−∼ V (изотерма)

25

T∼ 23

−∼ T3

5−

∼ V

(адиабата)


Воспользовавшись уравнением Майера (6.18), получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися еременными в виде: п

( ) ( )VVCC

TTCC mVmpmVm

dd−=−

или

VV

CCCC

TT

mVm

mVmp dd−−

= (7.21)

Обозначим:

mVm

mpm

CCCC

n−−

= . (7.22)

то показатель политропы. Преобразуем:

Э

1+−=−−

+−−

=−

−+−− CCCC mVmpmVmp =− CC mVm

nCCCC

CCCC

CCCC

mVm

mVm

mVm

mmp

mVm

mm ,

тогда (7.21) перепишется в виде:

( )V

nTT dV1d

−= .

Интегрируя, получаем: ( ) constln1ln +−= VnT .

м: Далее, потенцируя, имееconstVT n ⋅= −1

или const1 =−nTV (7.23)

то уравнение политропы в переменных V. Рассуждая далее так же, как и при рассмотрении адиабатиче

pV и Tp:

Э Tского

процесса, получаем уравнение политропы в переменныхconst=npV , (7.24)

const1 =−nn pT . (7.25)

Очевидно, что выражение для работы при политропном проожет быть получено также при адиабатическом из (6.1), (7.22) и (4.9):

цессе

м

( ) =−==== −−−∫∫∫ nnV

V

nV

Vn

ТДС VVn

VVVV

VpA 11

12

2

112 -1

constdconstdconstd2

1

2

1

( ) ( )11

1111

222 2111 TT

nRVVpVVp

nnnnn −

−=−

−= −− ν

( )112 21TT

nνRAТДС −−

= (7.26)

Из полученных выражений для политропного процесса следуют все

ранее рассмотренные случаи:

Адиабатный 0=mC γ==mV

mp

CC

n ( )12112 TT

nνRAТДС −−

=

Изобарный mpm CC = 0=n ( )1212 TTRAТДС −=ν

Изохорный mVm CC = ∞=n 012 =ТДСA

Изотермический ∞=mC 1=n 1

212 ln

VVνRTAТДС =

Покажем, как получается последнее выражение:

nVV

νRTn

TT

νRTnTTνRA

n

ТДС

−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

−=

−−

=

−

=1

1

1

1

1

1

2

1

11

2

112

12 .

Известно разложение в ряд ( 1<<x ) ...ln1 ++≈ axa x .

Тогда если 2

1

VVa = , 1−= nx :

1

22

1

112 ln1

ln)1(

VVRT

nVVn

RTAТДС νν =−

−= .

Графики всех процессов были рассмотрены выше. 3. Вечные двигатели (I рода)

При изучении первого начала термодинамики в очередной раз возникает вопрос о вечных двигателях.

def: Вечным двигателем первого рода (лат. perpetuum mobule - вечно движущийся) – называется воображаемый механизм, который, будучи раз запущен, совершает работу неограниченно долгое время, не заимствуя энергию извне.

Первые известные попытки построить такую машину относятся к XIII веку (Виллар де Оннекур (1245), рыцарь Пьер де Марикур (1269), Франция). Однако, его существование запрещено первым началом термодинамики, поэтому с 1775 года Парижская академия наук вообще прекратила принимать к рассмотрению такие проекты, хотя «изобретатели» находятся до сих пор. Нужно сказать, что иногда бывает


крайне трудно доказать невозможность работы того или иного конкретного «вечного» механизма. В некоторых случаях может помочь просто эксперимент, но далеко не всегда, так хороший гироскоп может вращаться месяцы, если не годы.

От «вечных» двигателей нужно отличать «мнимые вечные» или «даровые» двигатели, т.е. механизмы, которые могут работать весьма долго за счет потребления энергии, полученной без видимых затрат человеческого т да, солнечной или атомной энергии, энергии ветра и т.д.

ру

Принцип работы простейшего механизма такого типа легко понять из рис. 7.2. Подсоединив к поршню простейшее передаточное устройство, можно получать механическую работу до полного износа деталей, тем не менее, это не вечный двигатель, так как он преобразует энергию Солнца в механическую работу. Еще одним примером может быть вытяжная труба в комнате.

День Вечер Утро

пар

вода вода вода

Рис. 7.2

4. Расширение идеального газа в пустоту

Одним из каверзных вопросов при рассмотрении первого начала термодинамики является, так называемое, «расширение газа в пустоту». Исследование «расширения газа в пустоту» впервые произвел Гей-Люссак, хотя он не уяснил его значение и не сделал из него надлежащих выводов. Для опыта Гей-Люссак использовал два медных сосуда (А) и (В) одинаковых объемов (рис. 7.3), соединенные трубкой с краном (С). Сосуд (А) был наполнен воздухом, сосуд (В) - откачан. При открытии крана (С) воздух из (А) устремлялся в (В). Гей-Люссак наблюдал, что температура воздуха в (А) несколько понижалась, а в (В) повышалась. Такое изменение температуры объясняется тем, что воздух в (А) при расширении совершал работу и на это затрачивал часть своей внутренней энергии. При достижении теплового равновесия между сосудами (А) и (В) в них устанавливалась одна и та же температура, равная первоначальной температуре воздуха в сосуде (А).

С

А В

Рис. 7.3

Какой вывод следует сделать из результата опыта? Весь воздух был заключен в жесткую оболочку, состоящую из стенок сосудов (А) и (В) и соединительной трубки. Внешняя работа не производилась. Тепло из «Молекулярная физика и термодинамика» Лекции. А.И. Грибков, Р.В. Романов 53

окружающей среды, если и подводилось, то за время опыта было пренебрежимо мало, поэтому внутренняя энергия воздуха в системе измениться не могла. Опыт показал, что температура газа не изменилась, тогда, как объем его удвоился. Отсюда можно сделать вывод, что при неизменной температуре внутренняя энергия газа не зависит от его объема.

Позднее этот опыт в измененном виде был повторен Джоулем в 1845 году. В одном из сосудов находился воздух под давлением 22 атм, другой сосуд был откачан. Оба сосуда погружались в воду, перемешиваемую во время опыта, чтобы температура ее во всех частях была одной и той же, и помещались в адиабатическую оболочку. При открывании крана (С) воздух расширялся и занимал оба сосуда, однако, никакого изменения температуры окружающей воды не наблюдалось. Так как оболочка адиабатическая, то подведенное (или отданное) количество теплоты равно нулю. Важно понять, что при этом газ также не совершает никакой работы ( 0=ТДСA ). Работа была бы совершена, если бы газ, например, двигал поршень. Таким образом, из первого начала термодинамики следует, что изменение внутренней энергии равно нулю ( 0=∆U ), если воздух в баллонах при рассматриваемых условиях можно считать идеальным газом, то в таком процессе температура не должна менятся, так как внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры. Кстати можно поставить вопрос наоборот, и на основании того, что в подобном эксперименте температура не меняется, сделать вывод о том, что для идеального газа внутренняя энергия есть функция только температуры.

Опыты Гей-Люссака и Джоуля не обладали достаточной чувствительностью. Причина малой точности этих опытов состоит, главным образом, в том, что теплоемкость воздуха была мала по сравнению с теплоемкостью сосудов и воды в калориметре. Вследствие этого малые изменения температуры было трудно обнаружить. Безупречные экспериментальные исследования были выполнены в 1852-1862 годах Джоулем и Томсоном, что позволило им не только подтвердить этот эффект, но и открыть новое явление - эффект Джоуля-Томсона, о котором будет идти речь при изучении термодинамики реальных газов.


Лекция №8 Тепловые машины

1. Циклические процессы

def: Циклическим называется процесс, в результате которого система возвращается в исходное состояние.

Очевидно, что при этом изменение внутренней энергии системы равно нулю, следовательно, согласно первому началу термодинамики (5.15) все количество теплоты полученное системой переходит в работу, или наоборот: 0d =U , ТДСAQ δδ = . (8.1)

На диаграмме pV циклический процесс изображается замкнутой кривой рис. 8.1. Цикл может пройти как по часовой, так и против часовой стрелки, поэтому обычно указывают стрелкой, в каком направлении проходит цикл. Различные части замкнутой линии, составляющей цикл можно обозначить буквами. Например, a и b указывают различные линии, соединяющие состояния 1 и 2.

Очевидно, что работа за цикл: . (8.2)

∫∫ +=1221

ddbа

ТДС VpVpA

Первый интеграл в (8.2) равен работе, совершаемой при процессе, характеризуемом линией a при переходе из состояния 1 в 2. Она равна площади, заключенной между этой кривой, осью V и отрезками 1V и 2 Работа а этом участке положительна (

1 V . н2

0d >V ). Второй интеграл в (8.2) имеет отрицательное значение ( 0d


<V ). и равен по абсолютному значению работе которую необходимо совершить над системой, чтобы ее из состояния 2 вернуть в состояние 1 с помощью процесса, характеризуемого кривой b. Эта работа равна площади между кривой b, осью V и отрезками и

. Таким образом, вся работа, совершенная за цикл равна площади заключенной между кривыми a и b. Очевидно, что если обход на диаграмме совершается по часовой стрелке, то работа за цикл положительна, если же против часовой стрелки - то отрицательна, то есть работа совершается над системой, иначе говоря, система преобразует работу в теплоту.

11V

22V

Следует отметить, что для того чтобы перевести систему из состояния 2 в 1 ее нужно сжать. Чтобы сжать, необходимо совершить

V

p1

a

Рис. 8.1

2b

1V 2V

ТДСA

работу над системой, но эта работа должна быть меньше чем при переходе из 1 в 2, иначе цикл будет бесполезен. Таким образом, кривая 1b2 должна идти ниже кривой 1a2, следовательно, температура системы при этом переходе должна быть ниже. Значит, перед сжатием систему нужно охладить, то есть система должна отдать некоторое количество теплоты, т.е. чтобы циклический процесс был осуществлен, необходимо существование по крайней мере двух тел. Одно тело должно являться источником теплоты- нагреватель ( ), второе тело получатель тепла- холодильник ( ) ( ), причем разность температур, может быть в принципе бесконечно малой. ТДС - рабочее тело.

1T

2T 12 TT <

Здесь важно подчеркнуть, что вся работа, совершенная за цикл, получается за счет количества теплоты, которое поступило в систему.

Таким образом, чтобы ТДС совершила работу, нужно иметь следующие составляющие: • нагреватель - источник теплоты • холодильник - приемник теплоты • рабочее тело - сама ТДС

Заметим, что наличие второго тела необязательно, если процесс нециклический. Например, запуск ракеты, выстрел из пушки, где газы, нагретые до высокой температуры за счет воспламенения (взрыва), совершают работу. Вышесказанное можно сформулировать в виде принципа Карно:

Lex: Для совершения работы при циклическом процессе необходимо участие двух тел с разной температурой. 2. Принципиальная схема тепловой машины

Тепловой машиной обычно называют устройство, позволяющее преобразовывать тепло, полученное ТДС, в работу.

Тепловые машины бывают двух видов: одноразового действия (ракета), и циклические (паровая машина, двигатель в внутреннего сгорания). Далее будем рассматривать только циклические тепловые машины.


Общий принцип действия тепловой машины ясен из рис. 8.2. От нагревателя с температурой количество теплоты передается рабочему телу (например, газ в цилиндре под поршнем), переданное тепло частично преобразуется в работу. Оставшееся количество теплоты передается

1T 1Q

2Q Рис. 8.2

Нагреватель

Холодильник

Рабочее тело

01 >Q

02

<Q

1T

0>ТДС

A

21 TT >

2T

холодильнику с температурой и рабочее тело возвращается в исходное состояние, затем цикл повторяется.

2T

Когда речь идет о какой-либо машине, всегда возникает вопрос об ее эффективности или ее коэффициентом полезного действия (КПД). Для тепловой машины КПД называется отношение, работы совершенной рабочим телом к полученному от нагревателя количеству теплоты:

%1001Q

AТДС

=η (8.3)

На основании первого начала термодинамики (5.16) и, того что 0d =U :

21 QQAТДС += , (8.4)

где - количество теплоты, которое отдает рабочее тело, то есть величина отрицательная. Очевидно, что:

2Q

1

2

1

21 1QQ

QQQ

+=+

=η , (8.5)

111

2 <−=QQ

η . (8.6)

Приведем несколько примеров КПД в % тепловых машин: Паровая машина ∼15

Дизель стационарный 34-36

Дизель тракторный 28-32

Карбюраторный двигатель ∼25 Паровая турбина ∼25

3. Холодильная машина


Если провести цикл в обратном направлении то машина не будет производить работу ( ТДСA ), а, наоборот, над машиной совершается работа ( силвнешнихA , ТДСAA −=силвнешних ). Эта работа превращается в теплоту, причем так, что некоторое количество теплоты берется от тела с более низкой температурой, к этой теплоте добавляется за счет работы эквивалентное количество теплоты и суммарное количество теплоты передается телу с более высокой температурой. Таким образом, результат цикла состоит в том, что тело с меньшей температурой, от которого отнимается теплота, охлаждается, а тело с большей температурой, которому отдается теплота, нагревается. Такая машина, работающая по обратному циклу, называется холодильной машиной или тепловым насосом в зависимости от назначения. Схематически работа холодильной машины представлена на рис. 8.3.

Эффективность машины характеризуется холодильным коэффициентом двояко в зависимости от ее назначения. Если эффективность машины оценивается по способности повышения температуры тела с более высокой температурой , т.е. машина действует как тепловой насос (нагреватель), то эффективность характеризуется коэффициентом:

1T

Нагреватель


1111 >==

ηξ ТДСA

Q . (8.7)

Тепловой насос на сегодняшний день является наиболее эффективной энергосберегающей системой отопления и кондиционирования. Тепловые насосы получили широкое распространение в США, Канаде и странах Европейского Сообщества. Такие системы устанавливаются в общественных зданиях, частных домах и на промышленных объектах. Толчком к развитию тепловых насосов послужили энергетические кризисы 1973 и 1978 годов. В начале своего развития такие системы устанавливались в домах высшей ценовой категории, но за счет применения современных технологий тепловые насосы стали более доступны. Они устанавливаются в новых зданиях или заменяют устаревшее оборудование с сохранением или незначительной модификацией прежней отопительной системы.

К настоящему времени масштабы внедрения геотермальных тепловых насосов в мире ошеломляют. В США ежегодно производится около 1 млн. геотермальных тепловых насосов. При строительстве новых общественных зданий используются исключительно геотермальные тепловые насосы. Эта норма была закреплена Федеральным законодательством США. В Швеции 70% тепла обеспечивается тепловыми насосами. В Стокгольме 12% всего отопления города обеспечивается тепловыми насосами, использующими как источник тепла Балтийское море с температурой +8 °С. В Германии предусмотрена дотация государства на установку тепловых насосов в размере 400 марок за каждый кВт установленной мощности. Общий объём продаж выпускаемых за рубежом тепловых насосов составляет 125 млрд. долларов США, что превышает мировой объём продаж вооружений в 3 раза. В мире по прогнозам Мирового Энергетического Комитета к 2020 году доля тепловых насосов в теплоснабжении составит 75%. Низкое энергопотребление таких систем достигается за счет высокого

%7003001 ÷≈ξ .

Рис. 8.3

Холодильник

Рабочее тело

01 <Q

1T

0

<ТДСA

21 TT > 02 >Q

2T

Если эффективность машины оценивается по способности понижения температуры тела с более низкой температурой, то эффективность характеризуется коэффициентом:

1111 1122 >−=−=

−==

ηξ

ТДСТДС

ТДС

ТДС AQ

AQA

AQ . (8.8)

Известнейшим примером такой машины является обыкновенный бытовой холодильник, где тепло передается от внутренней камеры к внешней среде за счет работы, совершаемой электрическим током.

4. Цикл Карно1

Для тепловой машины можно придумать большое количество циклов. Наиболее простым примером является цикл Карно, (впервые рассмотрен в 1824 году) который состоит из двух изотерм и двух адиабат, а в качестве рабочего тела используется идеальный газ рис. 8.4.

Рассмотрим цикл Карно. На участке 1, 2 рабочее тело находится в контакте с нагревателем при температуре , при этом происходит изотермическое расширение газа от объема до объема . Количество теплоты, переданное газу на этом участке, можно определить, используя первое начало термодинамики (5.16) с учетом

1T

1V

2V

0=∆U и (6.3):

p1

2

4 3

V

1

21121212 ln

VVRTAAUQ ν==+∆= (8.9)

Рис. 8.4

Отсоединим рабочее тело от нагревателя и дадим возможность идеальному газу адиабатически расширится до объема ( ), при этом его температура понижается от до . Тогда используя (5.16):

3V 023 =Q

1T 2T ( )122323 TTCUA mV −=∆−= ν . (8.10)

На участке 3, 4 рабочее тело приводится в контакт с холодильником при температуре T и сжимается изотермически до объема V . Количество теплоты определяется:

2 4

3

4234343434 ln

VVRTAAUQ ν==+∆=

034 <Q

, (8.11)

т.е. тепло выделяется.


1Карно (Carnot) (Никола Леонар) Сади (1796-1832), французский физик и инженер, один из основателей термодинамики. В 1824 г. напечатал единственный свой труд, «Размышления о движущей силе огня», доставивший ему славу основателя механической теории тепла Он рассмотрел идеальный термодинамический цикл и доказал теорему, названную его именем. На долю Карно выпало редкое счастье найти плодотворный метод исследования и даже получить некоторые верные заключения, исходя из неверного предположения.

На участке 4, 1 отсоединив рабочее тело от холодильника его приводят сжимая адиабатически в исходное состояние ( ). При этом его температура повышается от до . Тогда используя (5.16):

041 =Q

2T 1T ( )214241 TTCUA mV −=∆−= ν . (8.12)

Работа за цикл: 41342312 AAAAA +++= . (8.13)

Учтем (8.10) и (8.12): 4123 AA −= . (8.14)

После подстановки в (8.13) выражений (8.14), (8.9), (8.11) получаем:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

3

42

1

21 lnln

VVT

VVTRA ν . (8.15)

Далее вычислим КПД цикла Карно. Для этого воспользуемся (8.3),

(8.13) и (8.7):

1

21

3

42

1

21

12 ln

lnln

VVRT

VVT

VVTR

QA

К

ν

νη

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

==

1

21

4

32

ln

ln1

VVT

VVT

−= . (8.16)

Далее упростим (8.16) для этого запишем уравнение

адиабатического процесса 2, 3: 1

321

21−− = γγ VTVT . (8.17)

Аналогично для адиабаты 4, 1: 1

421

11−− = γγ VTVT . (8.18)

Делим (8.17) на (8.18):

4

3

1

2

VV

VV

= ,

тогда (8.16) запишется в виде:


1

21TT

K −=η

K

, (8.19)

т.о. η зависит только от температур нагревателя и холодильника, причем чем больше разность температур, тем больше КПД.

Рассмотрим далее некоторые идеализированные циклы по которым работают современные двигатели внутреннего сгорания.

4. Цикл Отто1

В двигателях, использующих высокосортные быстро сгорающие продукты (бензин), осуществляется цикл (рис. 8.4), предложенный Николаусом Августом Отто и носящий его имя.

Распыленное в воздухе горючее, всасывается в цилиндр участок 0, 1, затем оно подвергается адиабатному сжатию, участок 1, 2. В состоянии 2 горючее воспламеняется при помощи искры. Процесс сгорания протекает очень быстро, поэтому в первом приближении его можно считать изохорическим (поршень не успевает сдвинуться с места; участок 2, 3). В результате сгорания топлива газ получает количество теплоты, равное:


( 2323 TTCQ mV − )=ν . (8.20)

p

Затем следует адиабатное расширение (рабочий ход поршня; участок 3, 4) и изохорическое охлаждение (участок 4, 1), при этом газом выделяется количество теплоты равное: ( )4141 TTCQ mV −=ν . (8.21)

После чего открывается выходной клапан и продукты сгорания выталкиваются в атмосферу (участок 1, 0). Затем в двигатель поступает следующая порция горючего и т.д.

Вычислим КПД цикла. Для этого воспользуемся формулой (8.5), которая применительно к рассматриваемому циклу запишется в виде:

( )( )

( )( )23

41

23

41

23

41 111TTTT

TTCTTC

QQ

mV

mV

−−

+=−−

+=+=ννη . (8.22)

Запишем уравнение Пуассона для обоих адиабатных процессов: 1

111

22−− = γγ VTVT , (8.23)

144

133

−− = γγ VTVT

32 V. (8.24)

Так как процессы 2, 3 и 4, 1 изобарные (V = V 41 V= ) то:

1

4

2

3

TT

TT

= .

Тогда выражение для КПД (8.20) преобразуется к виду:

1Отто (Otto) Николаус Август (1832-1891), немецкий конструктор, создатель первого практически пригодного 4-тактного газового двигателя внутреннего сгорания получивший Золотую медаль на Парижской выставке 1867.

V Рис. 8.4

1

4

3

2

0

1

1

2

2

1

2

32

1

41

111

11

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=γ

ηVV

TT

TTT

TTT

. (8.25)

Отношение называется степенью сжатия. Из (8.25) видно, что чем больше степень сжатия тем больше КПД. Следует отметить, что вычисляемый по формуле (8.25) КПД оказывается обычно завышенным примерно в два раза по сравнению с действительным КПД в реальных двигателях внутреннего сгорания, так как условия работы принятые для идеального цикла значительно отличаются от условия для реального цикла.

12 /VV

5. Цикл Дизеля1

p


В двигателях, использующих низкосортное горючее, применяется цикл Дизеля (рис. 8.5).

Вначале всасывается порция воздуха (участок 0, 1) затем происходит ее адиабатное сжатие (участок 1, 2) и впрыскивается горючее. Так как при адиабатном сжатии воздух сильно нагревается, то горючее самовоспламеняется и сгорает относительно медленно - изобарно, поэтому поршень успевает прийти в движение (участок 2, 3). Затем следует адиабатное расширение (участок 3, 4) и изохорное охлаждение (участок 4, 1). Потом продукты сгорания выбрасываются в атмосферу (участок 1, 0), и процесс возобновляется с новой порцией воздуха и горючего. 6. Теоремы Карно

Хотя не одна применяемая в технике тепловая машина не работает по циклу Карно, его рассмотрение сыграло определенную роль в развитии основ теплотехники. Поэтому приведем ниже без доказательства две знаменитые теоремы Карно.

Lex: КПД цикла Карно не зависит от рода рабочего тела, а определяется только температурами теплоотдатчика и теплоприемника, см. формулу (8.19) (первая теорема).

Lex: цикл Карно обладает наибольшим КПД по сравнению со всеми иными циклами (при тех же температурах нагревателя и холодильника (вторая теорема)).

1Дизель (Diesel) Рудольф (1858-1913), немецкий инженер, создатель двигателя внутреннего сгорания (1897), названного его именем.

V Рис. 8.5

1

4

3 2

0


Литература 1. Сена 2. Физическая энциклопедия 1989 3. (Матвеев А.Н.)

Documents

Молекулярная физика и термодинамикаtsput.ru/res/fizika/8/T/t_t_1.pdf · ББК 22.33я73 М 69 Рецензент: кандидат физико-математических