МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Прогнозирование временных рядов: нечеткие модели

Ульяновск УлГТУ 2014

УДК 004.8 ББК 32.813

П 78

Рецензенты: профессор кафедры «Информационные технологии» УлГУ профессор, д-р техн. наук И. В. Семушин, главный технолог ФНПЦ ОАО «НПО «Марс», д-р техн. наук А. А. Стецко.

Научный редактор д-р техн. наук, профессор Н. Г. Ярушкина

УДК 004.8 Прогнозирование временных рядов: нечеткие модели /

Т. В. Афанасьева, А. М. Наместников, И. Г. Перфильева, А. А. Романов, Н. Г. Ярушкина; под науч. ред. Н.Г. Ярушкиной. – Ульяновск : УлГТУ, 2014. – 145 с.

В представленной книге авторы изложили основы теории и свой опыт в

области нечетких моделей временных рядов, включая нечеткое разбиение, модели нечетких ВР и нечетких тенденций, а также комбинированные модели. Одним из направлений, обеспечивающим «интеллектуальную» поддержку специалистов по решению новых задач анализа данных, в том числе и Big данных, является интеллектуальный анализ данных или Data Mining. Теоретические разработки поддержаны практическими программными разработками, которые прошли экспериментальную апробацию.

© Афанасьева Т. В., Наместников А. М., Перфильева И. Г., Романов А. А., Ярушкина Н. Г., 2014

ISBN 978-5-9795-1316-4 © Оформление. УлГТУ, 2014

3

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 I. ВВЕДЕНИЕ В НЕЧЕТКИЕ ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1. Определение нечетких временных рядов и их компонент. Понятие и виды нечеткого тренда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2. Задачи нечеткого моделирования ВР . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3. Нечеткие временные ряды в системах поддержки принятия управленческих решений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4. Нечеткие временные ряды в системах автоматизации проектирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.4.1. Моделирование динамических параметров проектируемой системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.4.2. Нечеткий временной ряд при оценке качества процесса проектирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.5. Нечеткие временные ряды в задачах экспертной деятельности . . 29 II. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ НЕЧЕТКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.1. Нечеткий подход к моделированию временных рядов . . . . . . . . . 38 2.2. Представление нечетких объектов временных рядов для различных динамических процессов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.3. Нечеткое разбиение временного ряда на основе F-преобразования (прямое и обратное) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4

2.4. Нечеткие приращения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.5. Нечеткая шкала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 III. МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ. НЕЧЕТКИЕ ОБЪЕКТЫ И ЗАВИСИМОСТИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.1. Методы преобразования временных рядов в нечеткие временные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.1.1. Преобразование ВР на основе нечеткого разбиения временных интервалов. Построение НВР класса 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.1.2. Преобразование ВР на основе нечеткой шкалы. Построение НВР класса 1 и класса 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.2. Методы моделирования числовых временных рядов на основе нечетких временных рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.2.1. Моделирование нечеткого временного ряда класса 0. F-модель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.2.2. Моделирование нечеткого временного ряда класса 1. S-модель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.2.3. Моделирование нечеткого временного ряда класса 2. Т-модель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 IV. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ОДНОМЕРНЫХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ НА ОСНОВЕ НЕЧЕТКИХ МОДЕЛЕЙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.1. Методика и критерии оценки эффективности моделей временных рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4.2. Извлечение локальных тенденций (трендов) и прогнозирование ВР с использованием нечеткого сглаживания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5

4.2.1. Построение прогноза ВР на основе решения системы уравнений методом простых итераций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.2.2. Прогнозирование тренда и ВР на основе нейро-сетевого подхода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 4.3. Прогнозирование временного ряда с использованием модели нечеткого ВР (Сонг) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.4. Прогнозирование временного ряда на основе моделей нечетких тенденций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 4.4.1. Алгоритм метода НЭТ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4.4.2. Пример применения метода НЭТ для прогнозирования временного ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4.4.3. Анализ преимуществ и ограничений метода НЭТ . . . . . . . . . . . 93 4.5. Комбинированные методы прогнозирования ВР . . . . . . . . . . . . . 93 4.5.1. Интегральный метод нечеткого моделирования и анализа нечетких тенденций временных рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.5.2. Интегральный метод . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 V. ПРИКЛАДНЫЕ СИСТЕМЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ И АНАЛИЗА НЕЧЕТКИХ ТЕНДЕНЦИЙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 5.1. Описание интернет-сервиса экспресс анализа финансового состояния предприятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 5.2. Программный комплекс нечеткого моделирования и прогнозирования временных рядов и нечетких тенденций FuzzyTend . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 5.2.1. Описание структурно-функциональной организации программного комплекса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

6

5.2.2. Применение программного комплекса FuzzyTend для моделирования и прогнозирования трафика вычислительной сети . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 5.3. Прикладная система интерпретации ВР на основе онтологии предметной области . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 5.3.1. Экспертные оценки временных рядов в условиях неопределенности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 5.3.2. Задача аппроксимации временного ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 5.3.3. Применение генетического алгоритма для по- лучения аппроксимации временного ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 5.3.4. Хранение знаний в виде RDF-модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 5.3.5. Содержательная интерпретация результата работы генетического алгоритма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 5.3.6. Реализация системы содержательной интерпретации . . . . . . . 126 ЗАКЛЮЧЕНИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 ЛИТЕРАТУРА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

ВВЕДЕНИЕ

Природа нечетких временных рядов обусловлена использо-ванием экспертных оценок, присущая неопределенность которыхотносится к классу нечеткости. В отличие от стохастическойнеопределенности нечеткость затрудняет или даже исключаетприменение статистических методов и моделей, но может бытьиспользована для принятия предметно-ориентированных решенийна основе приближенных рассуждений человека. Формализацияинтеллектуальных операций, моделирующих нечеткие высказыва-ния человека о состоянии и поведении сложных явлений, образуетсегодня самостоятельное направление научно-прикладных исследо-ваний, получившее название «нечеткое моделирование». Указанноенаправление включает комплекс задач, методология решениякоторых опирается на теорию нечетких множеств, нечеткой логики,нечетких моделей (систем) и гранулярных вычислений. Результатыисследований в этом направлении оформлены в виде методовнечеткого моделирования и представлены в ряде работ [27, 28, 40,45, 54, 59, 65, 61, 67, 74].

Основные проблемы, решаемые в нечетком моделировании,связаны с моделированием интеллектуальных операций прибли-женных рассуждений человека (эксперта), а также объектов, надкоторыми эти операции выполняются:

1. Объектами интеллектуальных операций, используемых вприближенных рассуждениях человека, являются переменныенового класса — лингвистические переменные, значениями

7

которых являются нечеткие множества. Важным являетсятот факт, что наименования лингвистической переменнойи ее значений должны соответствовать терминам, которыеиспользует человек при решении прикладных задач. Такимобразом, операндами и результатом интеллектуальных опера-ций являются значения особого вида — нечеткие множества.

2. Основными интеллектуальными операциями, используемымив приближенных рассуждениях человека являются: опреде-ление семантики, смысла высказываний, определение «ис-тинности» элементарных и составных высказываний, вывод«истинности» высказывания на основе логических рассужде-ний. Математические модели выделенных интеллектуальныхопераций строятся с помощью операций нечеткой логики.

3. Алгоритмы вычисления нечетких значений представляютновый класс вычислительных моделей. Такие модели предна-значены для манипулирования со значениями, представлен-ными нечеткими множествами на основе операций нечеткойлогики, поэтому они классифицируются как нечеткие системылогического вывода. Часто используют сокращенную формуобозначенного класса моделей— нечеткие модели или нечеткиесистемы.

Одним из направлений, обеспечивающим «интеллектуальную»поддержку специалистов по решению новых задач анализа данных,в том числе и Big данных, является интеллектуальный анализ данныхили Data Mining.

Основными целями Data Mining являются, во-первых, ана-лиз и моделирование процессов, характеризующихся высокойстепенью неопределенности, в том числе «нестохастического»типа, во-вторых, повышение уровня интеллектуальной поддержкисовременных специалистов, и, в-третьих, выявление скрытых

8

закономерностей и извлечение новых знаний, в том числе извременных рядов.

В основе новых методов Time Series Data Mining лежит нечеткаямодель временного ряда, в свою очередь основанная на представле-нии ее в виде нечеткого временного ряда (НВР).

Такая модель, принципиально являясь более грубой, темне менее позволяет использовать дополнительные предметно-зависимые знания и описывать поведение временного ряда ввиде качественных оценок состояния и нечетких тенденций. И вэтом смысле один и тот же числовой временной ряд в различныхпредметных областях будет иметь разные нечеткие модели. Примоделировании нечетких временных рядов необходимо определитьего носитель, объект исследования и решаемые задачи. Носителемнечеткого временного ряда выступает исходный временной ряд,объектом исследования — модель нечеткого временного ряда, сово-купность задач Data Mining применительно к нечетким временнымрядам включает: сегментацию, кластеризацию, классификацию, ин-дексирование, резюмирование, обнаружение аномалий, частотныйанализ, прогнозирование, извлечение ассоциативных правил.

Данное новое направление находится в процессе становления,оно обозначено и в основном развивается в научных трудахиностранных ученых: X. Танаки, К. Сонга, К. Хироты, Я. Капржика,В. Новака, В. Педрича, И. Перфильевой. Среди отечественных ученыхданной тематике в области нечетких моделей временных рядовпосвящены исследования И. Батыршина, С. Ковалева, К. Дегтярева,Н. Г. Ярушкиной, Т. В. Афанасьевой, Л. А. Демидовой.

9

Глава I

ВВЕДЕНИЕ В НЕЧЕТКИЕ ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫ

При анализе развития сложных организационно-техническихсистем во времени необходимо использовать всю полноту знанийоб изучаемых данных и прикладной области исследования. Такиезнания содержат не только непосредственно временные ряды (ВР)числовых показателей системы, полученные на основе измеренийили наблюдений, но и вербальные описания типичных значенийрядов, особых состояний, полученных на основе опыта экспертов.

1.1. Определение нечетких временных рядов и их компонент.Понятие и виды нечеткого тренда

При прогнозировании ВР неопределенность поведения моде-лируется в рамках стохастических моделей на основе представленияВР, как реализации случайного процесса. Однако неопределенностьповедения в организационно-технических системах не всегда можетбыть адекватно смоделирована методами теории случайности, если:

1. Неизвестны вероятностные характеристики стохастическогопроцесса, генерирующего ВР;

2. Имеется неопределенность и неполнота в исходной информа-ции о функционировании системы;

10

3. Нелинейный характер искомой зависимости;

4. Малое количество наблюдений.

В этом случае находят применение интеллектуальные методыанализа ВР, активно использующие знания экспертов.

При анализе ВР эксперт обычно представляет свои суждения спомощью нечетких оценок, относящихся ко многим объектам [40]:

∙ временные области: интервалы времени (несколько дней),абсолютная или относительная позиция на временной шкале(близкое будущее), периодические или сезонные интервалы(неделя до Рождества);

∙ ранг значений ВР (высокая цена, очень низкий уровеньпроизводства);

∙ набор паттернов ВР (быстро растущий, слегка выпуклый);

∙ набор ВР, их атрибутов, как элементов системы (фондовыйиндекс новой компании);

∙ набор отношениймеждуВР, атрибутамиили элементами (тесносвязанный);

∙ множество значений возможности или вероятности (непохоже,очень возможно).

Упорядоченная во времени последовательность таких оценокпредставляет собой временной ряд, характерной особенностьюкоторого является нечеткость его значений, вытекающаяизприродыэкспертных оценок, поэтому такой временной ряд относится кклассу нечетких временных рядов [67].

На рис. 1.1 изображен абстрактный нечеткий временнойряд, каждой нечеткой метке 𝑥𝑖 соответствует нечеткое множество,задаваемое функцией принадлежности.

11

Рис. 1.1. Абстрактный нечеткий временной ряд

Прикладной аспект проблематики анализа нечетких времен-ных рядов определяется возможностью расширения множествазадач обработки ВР, множества технологий их решения за счетоперирования не только количественной, но и качественнойинформацией.

Так, тестирование качества процессов телекоммуникационныхсетей на практике нередко сводится к измерению параметровпроизводительности сети NP (Network Performance) при различныхзначениях параметров поступающей нагрузки трафика сети.

Для проектировщиков и системных администраторов резуль-таты тестирования телекоммуникационных сетей удобно интер-претировать в терминах экспертных оценок значений «низкий»,«высокий», «скачок» и классифицировать процессы по тенденциям«рост», «падение», «стабильность» и т. д. Такие оценки не учитываютнезначительные изменения и могут описывать поведение системыв виде лингвистических временных рядов. Анализ лингвистическихрядов и их тенденций формальными методами позволит оценитьэффективность тестируемой системы, извлечь качественные зависи-мости, использовать их в задачах прогнозирования параметров сетидля повышения обоснованности принятия технических решений.

Анализ временных рядов технико-экономических показателеймалых и средних предприятий для оценки эффективности их

12

деятельности может представлять сложную задачу в силу большогоколичества гетерогенных временных рядов различной длины (оточень коротких до средних). Такие ВР отражают слабоструктури-рованные процессы и в большинстве случаев характеризуютсянестационарным поведением. Проведение научно обоснованногостатистического анализа и прогнозирования таких временных рядовсопряжено с определенными трудностями. Поэтому на практикеоценка эффективности деятельности предприятия осуществляетсяэкспертно на основе правил, оперирующих качественными поняти-ями «повышение», «снижение», «ниже критического уровня», «вышекритического уровня» и др.

Подход с точки зрения нечетких моделей позволяет использо-вать прикладные знания интервального оценивания для нечеткоговыражения поведения временного ряда и строить нечеткие моделизависимостей различного класса. При этом исходные данныемогут содержать не только лингвистические описания значений вконкретныймомент времени, но и описания изменений параметровво времени. В зависимости от предметной области такие измене-ния могут обозначаться разными терминами: тренды, динамика,тенденция, траектория, систематическое движение, поведение ит. д.

Классический статистический анализ выделяет постояннуюсистематическую составляющую (тренд) на всем временном ря-ду в виде непрерывной функции от времени. В то же времясистематическая составляющая как детерминированная функцияможет наблюдаться только на некоторых интервалах времени.Динамика временного ряда на определенном интервале можетвыражать некоторое состояние изучаемого объекта. Таким образом,предполагая зависимость текущего состояния объекта от прошлыхсостояний, можно предположить, что имеется зависимость междунаблюдаемыми движениями временных рядов в разные периоды

13

времени.Предположим, что в результате наблюдения получен вре-

менной ряд некоторого показателя системы, представляющийпоследовательность упорядоченных в равноотстоящие моментывремени пар {𝑥𝑖, 𝑡𝑖}, таких, что ∀𝑥𝑖 ∈ 𝑋,𝑋 ⊂ R1, 𝑡𝑖 ∈ N, 𝑖 ∈ [1, 𝑛].Значение 𝑥𝑖 называют уровнем (или значением) временного ряда.

Определение 1.1.1. Нечетким временным рядом (НВР) называютупорядоченную в равноотстоящие моменты времени последователь-ность наблюдений над некоторым процессом, состояния которогоизменяются во времени, если значение состояния процесса в момент𝑡𝑖 может быть выражено с помощью нечеткой метки ��𝑖.

Под нечеткой меткой будем понимать нечеткое множество,терм некоторой лингвистической переменной, соответствующийэкспертной оценке состояния объекта исследования.

Примерами таких нечетких меток могут служить оценочныевыражения «Удовлетворительно», «Хорошо», «Плохо». Семантиканечетких меток зависит от контекста среды, в которой они исполь-зуются.

Нечеткая метка ��𝑖 может быть сформирована непосредственноэкспертом или получена на основе некоторого преобразованияисходного временного ряда.

Во втором случае она связана с исходным значением числовоговременного ряда. Введем для обозначения этой связи функционалFuzzy, такой что

��𝑖 = 𝐹𝑢𝑧𝑧𝑦(𝜇��𝑖(𝑤), 𝑥𝑖),

где ��𝑖 ∈ ��, �� — терм-множество нечетких меток (например,«Высокий», «Средний», «Недостаточный», «Незначительный» идр.); 𝑤 — носитель (интервал на 𝑋) нечеткой метки ��𝑖, 𝑥𝑖 ∈ 𝑤;𝜇��𝑖

(𝑤) ∈ [0, 1]— функция принадлежности нечеткой метки уровнювременного ряда 𝑥𝑖.

14

Определение 1.1.2. Носитель нечеткой метки ��𝑖 – это четкоемножество 𝑤 ⊆ 𝐵 таких точек 𝑥𝑖 ∈ 𝑤, для которых 𝜇��𝑖

(𝑤) > 0, где𝐵 ⊂ 𝑋 — базовое множество нечетких меток ��.

Таким образом, нечеткий временной ряд формируется врезультате интервального качественного оценивания уровнейчислового ВР. Интервалы-носители нечетких меток, образованныенамножестве𝑋, пересекаются. Качественныйаспектнечеткойметкепридает функция 𝜇��𝑖

(𝑤) ∈ [0, 1].

Будем рассматривать изменения в нечетком временном рядукак результат значимого или незначимого влияния неизвестныхфакторов. Незначимые влияния факторов определяют изменения,допустимые в рамках погрешностей, специфичных для каждойпредметной области.

Значимые влияния факторов приводят к качественному изме-нению поведения ВР. Такие качественные изменения (или нечеткиеприращения) в числовых ВР рассмотрены в работе [23], а в работе[67] изменения поведения в нечетких временных рядах получилиназвание нечеткие тенденции.

Назовем нечеткой тенденцией (НТ) нечеткую метку, выра-жающую характер изменения (систематическое движение) после-довательности значений нечеткого временного ряда в заданноминтервале времени. Например, «Малый спад», «Сильный рост»,«Длительная стабильность» и др.

Выделим следующие свойства нечеткой тенденции:

1. Нечеткость. Это свойство обозначает факт, что НТ естьизменение, фиксируемое между двумя нечеткими значениями��𝑖, ��𝑖+Δ𝑡 ∈ �� и наследует нечеткость этих значений.

2. Протяженность. Это свойство связано с различной длительно-стью НТ.

15

3. Типичность. Свойство типичности НТ позволяет различатьклассы, типы НТ, внутри которых нечеткие тенденции будутрассматриваться как однородные.

4. Значимость. Для различия нечетких тенденций одного типа иодинаковой длительности целесообразно использовать харак-теристику степени значимости или интенсивности НТ.

5. Ориентированность во времени. Это свойство обозначает, чтонечеткие тенденции определяются в направлении увеличениявременных отсчетов.

6. Лингвистическая интерпретируемость. Данное свойство нечет-кой тенденции следует из ее определения. По определению, НТесть нечеткая метка, которой сопоставляется лингвистическийтерм.

Примеры возможного использования нечетких временныхрядов и нечетких тенденций представлены в табл. 1.1.

16

Таблица 1.1. Области практического применения нечетких временных рядов инечетких тенденций

Сфераприменения

Конечныйпользователь

Переменные Примериспользования

Производство Менеджерпо контролюкачества

1.Уровень брака Br 2.Тенден-ция изменения уровня бракаTend 3.Период P 4.Состояниеоборудования S 5.Вариант ре-шения Vr

Если Br = «допустимый»и Tend = «рост» и Р= «длительный» и S =«условно-пригодное»То Vr = «Провести ре-монт оборудования»

Проектирование Эксперт 1.Уровень качества проекта Q2.Тенденция изменения уров-ня качества Tend3.Стадия P4.Итерация T5.Вариант решения Vr

Если Q = «низкий» иTend = «стабильность»и Р= «Технический про-ект» иТ = «заключительная»То Vr = «Отклонить про-ект»

Эксплуатация Администратор 1.Объем трафика Тr2.Тенденция изменения Tend3.Период P4.Время суток S5.Вариант решения Vr

Если Тr = «высокий» иР = «длительный» иTend = «рост» иS = «активная работа»То Vr = «Провести закуп-ку нового сервера»

Планирование ЛПР 1.Реальные затраты эксплуата-ции объекта Z2.Изменения затрат эксплуата-ции объекта Tend3.Период P4.Уровень плановых затрат экс-плуатации Zp5.Вариант решения Vr

Если Z = «высокий» иTend = «рост» иР = «длительный» иZp = «средний»То Vr = «Провести заменуобъекта эксплуатации»

17

Таблица 1.2. Продолжение таблицы 1.1. Области практического применениянечетких временных рядов и нечетких тенденций

Сфераприменения

Конечныйпользователь

Переменные Примериспользования

Экономика Экономист 1.Коэффициент финансовойнезависимости в частиоборотных средств Z2.Тенденция изменения коэф-фициента финансовой незави-симости в части оборотныхсредств Tend3.Период P4.Вариант решения Vr

Если Z = «критическаяточка» иTend = «падение» иР = «длительный»То Vr = «возможна поте-ря финансовой незави-симости»

Коммерция Менеджер позакупкам

1.Спрос S2.Ожидаемое изменение спро-са Tend3.Запас Z4.Период Т5.Вариант решения Vr

Если S = «высокий» иTend = «стабильность»и Z = «малый» иТ = «выходные дни»То Vr = «произвести за-купки»

Медицина Руководитель 1.Число заболевших гриппом S2.Рост числа заболевших Tend3.Время года Z4.Период Т5.Вариант решения Vr

Если S = «среднее» иTend = «большой рост»и Z = «осень или зима» иТ = «неделя»То Vr = «угроза эпидемиивысокая»

18

1.2. Задачи нечеткого моделирования ВР

В рамках нечеткого моделирования ВР проводятся исследова-ния для решения следующих задач:

1) сегментация – разбиение ВР на значимые сегменты илипаттерны [9];

2) кластеризация – поиск группировок ВР или их паттернов [8];

3) классификация – назначение ВР или их паттернам одного иззаранее определенных классов [10];

4) индексирование – построение индексов для эффективноговыполнения запросов к базам данных ВР;

5) резюмирование (summarization) – формирование краткого опи-сания ВР, содержащего существенные черты с точки зрениярешаемой задачи [11];

6) обнаружение аномалий – поиск новых, не типичных паттерновВР;

7) частотный анализ – поиск часто проявляющихся паттерновВР;

8) прогнозирование – моделирование ВР для получения прогнозана основе истории ВР;

9) извлечение ассоциативных правил – поиск правил, относящихсяк паттернам ВР.

1.3. Нечеткие временные ряды в системах поддержкипринятия управленческих решений

Существует широкий класс систем управления сложнымипроцессами, функционирование которых базируется на оценках

19

о состоянии входящих в систему объектов. В качестве такихуправляемых процессов можно привести следующие [51]:

∙ процессы проектирования новых объектов, где уже на раннихстадиях необходимо решать вопросы контролепригодности идиагностируемости;

∙ процессы испытаний и доработок новых и реинжинирингфункционирующих систем;

∙ процессы эксплуатации сложныхорганизационно-техническихобъектов, где режимы функционирования и обслуживаниявыбираются в зависимости от оценки их состояния;

∙ процессы оценки качества функционирования систем и др.

Для принятия адекватного решения по управлению в такихпроцессах применяют локальную оценку ситуации, включающуюданные о состояниях объектов, среды, входных и выходных данных.По результатам локальной оценки выявляются отклонения, про-блемы. Локальные оценки совместно с методами прогнозированияиспользуются для последующего принятия решения о том или иномметоде управления.

Известны модели и методы [32], позволяющие формализоватьполучение локальной оценки в виде комплексной числовой оценкисостояний, например, на основе теории эффективности и функцийполезности. При этом рассматривают эффективность как показательпроцесса функционирования системы. Под эффективностью про-цесса понимается комплексное свойство, отражающее соответствиеисхода операции поставленной цели по выбранному критерию эф-фективности. В зависимости от типа систем и внешних воздействийвыделяют три группы показателей и критериев эффективностипроцессов функционирования:

20

∙ в условиях определенности, когда показатель исхода операцииотражает один, строго определенный детерминированныйисход;

∙ в условиях риска, еслипоказателиисхода являются случайнымивеличинами с известным законом распределения;

∙ в условиях неопределенности, если показатели исхода яв-ляются случайными величинами с неизвестным закономраспределения.

Однако зачастую получаемые числовые оценки состоянийодного и того же процесса по различным методам являютсянеоднозначными. Наиболее противоречивыми являются оценки эф-фективности, получаемые для систем, процессы функционированиякоторых протекают в условиях риска и неопределенности.

В качестве причины указанной проблемы можно указатьна тот факт, что числовые оценки, характеризующие различныеаспекты таких процессов, выражены в разных единицах, сверткакоторых требует дальнейшей экспертной оценки в лингвистическихтерминах качества, которые относятся кнечетким значениям. В этомслучае вывод результата оценивания строится на основе следующейцепочки: «1. Числовая оценка 𝑖-го параметра» – «2. Выбор методовсвертки» – «3. Свертка оценок по всем параметрам» – «4. Оценкапо числовому критерию эффективности результата сверток» –«5. Экспертная оценка в лингвистических терминах». На каждом изуказанных этапов происходит количественное наращивание погреш-ности, котороеможет привести к противоречивыминеоднозначнымрезультатам оценивания.

С другой стороны, в системах управления сложнымиорганизационно-техническими системами процессы принятиярешений часто протекают в условиях неопределенности иосновываются на внешней и внутренней экспертизе. Экспертиза

21

осуществляется в рамках экспертной деятельности и ее результатомявляются экспертные оценки. Формализация экспертных оценокна основе теории нечетких множеств для принятия решенийрассмотрена в [65, 61, 64]. При этом вывод результата оцениванияможет быть короче и понятнее: «1. Экспертная оценка 𝑖-гопараметра» – «2. Выбор методов свертки» – «3. Свертка экспертныхоценок по всем параметрам в интегрированную экспертную оценку».Такие оценки являются нечеткими значениями, применениюкоторых в задачах принятия решений по управлению в условияхнеопределенности посвящены работы [29, 30, 38, 39, 42].

Для получения прогнозных оценок строят прогнозные модели,учитывающие динамику процессов [33, 68]. В таких моделяханализируют не только оценку текущей ситуации (локальнуюоценку), но и историю ее возникновения, то есть ее поведение вовремени, наблюдаемое на основе временных рядов. Статистическиеметоды анализа временных рядов не применимы для построенияпрогноза поведения процессов, состояния которых заданы нечетки-ми значениями экспертных оценок.

Таким образом, применительно к системам принятия решенийв управлении сложными организационно-техническими системамиможно сделать следующие выводы о применимости нечеткихвременных рядов:

∙ в процессах управления в условиях «нестохастической» неопре-деленности применяют экспертные оценки состояний процес-са, выраженные нечеткими метками;

∙ для моделирования динамики процесса в таких системахцелесообразно сформировать из экспертных оценок нечеткийвременной ряд;

∙ нечеткий временной ряд может служить новым инструментоммоделирования динамики и описания процессов, функциони-

22

рующих в условиях «нестохастической» неопределенности. Длятаких процессов показатели исхода определяются экспертны-ми оценками, выраженными нечеткими метками;

∙ нечеткий временной ряд может служить новым инструментоммоделирования динамики и описания процессов процесса,представленного числовым временным рядом, если уровниэтого ряда могут быть представлены нечеткими метками.

1.4. Нечеткие временные ряды в системах автоматизациипроектирования

Двадцать первый век характеризуется усложнением задач-проблем, которые предстоит решать человечеству. К таким задачамможно отнести проектирование новых видов промышленных, пище-вых, энергетических, транспортных, технологических, информаци-онных и др. объектов, характеризующихся уровнем организованнойсложности. Это усложнение инициируется быстрым ростом объемагетерогенных данных, временных и пространственных связеймежду ними, ограниченным временем решения и «мобильностью»требований к результатам решения задач. Для эффективного реше-ния новых задач, удовлетворяющих требованиям времени, будутприобретать все большее значение системы автоматизированногопроектирования (САПР) сложных организационно-техническихобъектов, которые должны быть ориентированы на быстроменя-ющиеся условия внешней среды. Проблемы, с которыми будутсталкиваться проектировщики таких объектов, обусловлены нетолько сложностью объектов и недостатком опыта проектирования,но и повышенной степенью риска ошибочных решений и многокри-териальностью выбора вариантов. Такие САПР в большей степенибудут использовать гибридные (или интегральные) технологии навсех этапах проектирования с привлечением экспертных систем и

23

методов интеллектуального анализа данных, в том числе представ-ленных временными рядами.

Ожидаемыми результатами будут новые классы подсистемСАПР, являющиеся, «усилителем интеллекта» проектировщика, атакже инновационные продукты САПР с элементами искусственногоинтеллекта в следующих аспектах: в них будут реализованы отдель-ные операции интеллектуальной деятельности; их функциониро-вание будет активно использовать интеллектуальные технологииввода, анализа, обработки и вывода данных.

Среди задач автоматизациипроектирования объектов с элемен-тами искусственного интеллекта можно выделить задачи, связанныес решением проблем, в основе которых лежат понятия «поведение»объекта, информация о котором представлена временным рядом, и«анализ тенденций»:

∙ задача поиска прототипов создаваемых объектов на основеанализа и идентификации перспективных тенденций и дости-жений;

∙ задача формализации описания требований к функционирова-нию (поведению) создаваемого объекта;

∙ задача создания новых моделей поведения объектов с эле-ментами искусственного интеллекта и методов анализа ихповедения;

∙ задача создания новых моделей диагностики поведенияобъектов с элементами искусственного интеллекта и методових контроля;

∙ задача моделирования процессов управления объектом сучетом тенденции его поведения и др.

Проектирование сложной системы представляет трудоем-кий процесс решения совокупности плохо формализуемых задач.

24

Экспертные оценки, аккумулирующие опыт проектировщика, яв-ляются основой в принятии проектных решений [57] и могутотноситься к оценке отдельных параметров проекта с учетомдинамики, к оценке качества проекта для целей эффективногоуправления проектированием [34, 43, 53, 66, 67, 69].

1.4.1. Моделирование динамических параметровпроектируемой системы

Среди основных параметров проектируемой технической си-стемы следует выделить параметры, изменяемые во времени. Такиепараметры определяют динамику, функционирование, жизненныйцикл проектируемой технической системы или отдельного еесвойства.

На ранних этапах проектирования в условиях неизвестногозакона функционирования, тем не менее, у проектировщика примоделировании динамики заданного параметра, как правило, име-ется некоторая информация о его характере изменения. Значениядинамики моделируемого параметра могут быть получены поданным, взятым с прототипов проектируемой системы в видеограниченной числовой последовательности, нечетких значенийили качественных интервальных оценок.

Например, в момент времени 𝑡1 значение параметра должнобыть приблизительно равным 𝑧1, а в интервале (𝑡2, 𝑡3) значениепараметра может быть 𝑧2, в момент времени 𝑡4 значение параметраможет быть или равно 𝑧4 или больше 𝑧5. Такие оценки относятся кнечетким и для их обработки используют модели на основе нечеткихмножеств [43].

Если проектировщик имеет в своем распоряжении число-вые характеристики динамики параметра, то они, как правило,представимы короткими временными рядами, поэтому исполь-зовать статистические методы для анализа временных рядов

25

динамического параметра на ранних стадиях проектирования непредставляется возможным, так как они «хорошо» работают длябольших объемов числовых данных, являющихся выборками из нор-мально распределенной совокупности значений. Проектировщик вусловиях неопределенности, используя экспертное оценивание [46,56], интерпретируя числовые значения короткого временного рядалингвистическими терминами, переходит от чисел к интервальнымкачественным оценкам и нечетким временным рядам [63].

Представляя динамику моделируемого параметра нечеткимвременным рядом, в дальнейшем можно провести его нечеткоемоделирование, получить качественные зависимости, описыва-ющие динамику параметра. Результаты анализа нечетких вре-менных рядов будут способствовать получению новых знаний одинамических свойствах заданного параметра, что позволит напоследующих стадиях проектирования сократить пространствопроектных решений, пространство действий проектировщика исоздаст условия для повышения качества проектирования.

Такимобразом, уже на ранних этапах процесса проектированияв условиях неопределенности может быть проведено «мягкое» мо-делирование динамики параметров на основе нечетких временныхрядов.

1.4.2. Нечеткий временной ряд при оценке качества процессапроектирования

Процесс проектирования сложных технических систем про-исходит преимущественно «сверху-вниз». По мере проработкипроекта увеличивается подробность описания, детализации си-стемы. Проектно-конструкторские решения, особенно на раннихстадиях, принимаются на основе данных, которые не всегдаобладают точностью, четкостью. Это связано с «грубым», неточным,неполным описанием системы на ранних этапах, необходимостью

26

согласования принимаемых решений, использованием упрощенныхмоделей. Весь ход разработки можно интерпретировать как диа-лектику двух параллельных процессов: процесса уточнения, снятиянеопределенности, дефаззификации и процесса повышения кон-структивной неопределенности за счетформирования качественныхобобщений, фаззификации. Отмеченные особенности присущи какпрактическому, так и автоматизированному проектированию [47].

При автоматизированном проектировании сложных техни-ческих систем решается задача не просто синтеза системы сзаданными свойствами, нои синтеза наилучшей системы. Эта задачарешается на основе моделирования, анализа, сравнения, экспертнойоценки вариантов проектируемой системы, принятия решений наоснове некоторых заданных критериев и в условиях недостаточногообъема априорной информации. В результате многокритериальногооценивания формулируется конкретное проектное решение [38, 58].

Как правило, найти такие точные и непротиворечивыекритерии, которые в полной мере удовлетворяли требованиямзатруднительно, поэтому кроме формальных критериев оценкивариантов проектных решений используются опыт и знания про-ектировщика. В результате оценка вариантов проектных решенийпредставляет собой некоторую экспертную оценку, формулируемуюпроектировщиком в нечетких терминах качества на естественномязыке, например, «Подходящее», «Удовлетворительное», «Хорошее»,«Отличное», «Плохое» и др. Такое «внутреннее» оценивание являетсясредством отображения множества неоднородных критериев в еди-ную интервальнуюшкалу качества проектных решений. Значимостьтакого «внутреннего» оценивания проявляется не сразу – илина последующих стадиях проектирования, или, что значительнохуже, при испытании и эксплуатации. Для уменьшения будущихрисков «неоптимальных» решений представляется оправданнымхранить нечеткую информацию о процессе проектирования для

27

последующего анализа принятых проектных решений и на этойоснове управлять процессом проектирования [48, 49, 62].

В базу данных, хранящую информацию о процессе проекти-рования сложной технической системы, целесообразно включатьне только варианты проектных решений, выбранные решения иих «внутреннюю» оценку, но и внешнюю экспертную оценку этихрешений, задаваемую также в лингвистических терминах качества.Внешние оценки формируются по результатам испытаний [67] иэксплуатации спроектированной системы.

Сопоставление внутренних и внешних оценок проектныхрешений позволит вывести локальную интегрированную оценкукачества проектного решения в некоторый момент времени. Кинтегрированным оценкам проектных решений, которые являютсяпроизводными от внутренних и внешних экспертных оценок, при-менимы также лингвистические категории качества. Использованиеединой шкалы качества для оценки проектных решений имеетряд особенностей. Во-первых, появляется возможность сравненияразличных решений по одному основанию. Во-вторых, лингвисти-ческие оценки выставляются человеком, естественны для него и нетребуют дополнительной интерпретации по сравнению с числовымиоценками. В-третьих, лингвистические оценки проектных решенийотносятся к нечетким значениям по своей природе, следовательно,для их описания и моделирования применим аппарат нечеткихмножеств.

При развертывании нечетких интегрированных оценок про-ектных решений во времени по отношению к отдельному процессупроектирования появляется возможность сформировать нечеткийвременной ряд оценок. Анализ и идентификация такого нечеткоговременного ряда позволит получить интегрированную оценкудинамики и качества процесса проектирования в целом, а такжеобнаружить проблемы и, возможно, спрогнозировать будущие

28

тенденции.

1.5. Нечеткие временные ряды в задачах экспертнойдеятельности

Экспертиза (экспертная деятельность) как неотъемлемая частьфункции оценки сложных объектов является основой управленче-ской и проектной деятельности.

В системах проектирования и управления сложнымиорганизационно-техническими системами в условияхнеопределенности содержание экспертной деятельности включаетрешение совокупности экспертных задач [67]: интерпретация,диагностика и мониторинг, прогноз, планирование. Указанныезадачи в качестве исходных данных могут использовать нечеткиезначения в виде экспертных оценок. Решения задач экспертнойдеятельности, связанной с анализом поведения объектов, динамикипроцессов функционирования систем в условиях неопределенности,состояния которых представлены нечеткими значениями, ненашли адекватного решения в настоящее время. Их решениецелесообразно искать на основе развития нового направления вобласти интеллектуального анализа данных – нечетких временныхрядов. Использование нечетких временных рядов представляетсяобоснованным и для моделирования динамики в числовыхвременных рядах, в том числе в задачах анализа короткихвременных рядов, для которых проблема анализа еще не получилаэффективного решения классическими методами.

Рассмотрим постановку некоторых экспертных задач, решениекоторых целесообразно моделировать на основе НВР.

29

П 1. Область приложения НВР – интерпретация процессовИнтерпретация – это процесс обработки данных для описания

состояния и динамики процесса с целью определения их смысловогозначения. Для различных систем управления и проектированиярезультатом интерпретации является экспертная оценка, значе-ния которой представлены смысловыми единицами соответствияданных некоторым качественным градациям (интервалам). Этаоценка, задающая отношение принадлежности данных некоторымболее общим понятиям, относится к нечетким значениям. В теориивременных рядов (ВР) задаче интерпретации соответствует задачаидентификации с последующим смысловым описанием.

Постановка задачи интерпретации процессов. Предположим,что задан процесс, наблюдения за которым образуют числовойвременной ряд {𝑥𝑖, 𝑡𝑖}. Требуется определить тип изменения пе-ременной 𝑥 в заданном интервале времени 𝑡0 ≤ 𝑡𝑖 ≤ 𝑡𝑛, то естьопределить тенденцию (систематическую составляющую) развитияэтой переменной 𝑇𝑟. Значения тенденции 𝑇𝑟 могут быть выра-жены нечеткими лингвистическими термами, такими как «Рост»,«Падение», «Стабилизация» [67]. Построение отношений междуВР, задаваемым упорядоченной последовательностью пар (𝑥𝑖, 𝑡𝑖),и тенденцией 𝑇𝑟 и является содержанием задачи интерпретациипроцесса, которую эксперт может решать визуально или на основеэкспертной интерпретации значений ВР и преобразования ВР в НВР.

30

П 2. Область приложений НВР – диагностика процессов

Диагностика – это процесс поиска неисправностей, проблем,дефектов, аномалий или их отсутствия. При решении задач эксперт-ной деятельности с целью диагностики процессов, представленныхв виде НВР, целесообразно применять методы контроля НВР. Этиметоды, как представляется, могут включать сопоставление НВР,отражающего реализованнуюдинамикупроцесса сНВР с ожидаемой,требуемой динамикой. Интерпретация полученных сопоставленийв виде тенденций нечеткого ряда, учитывающего отклонениямежду реализованным и требуемым НВР может быть получена прирешении задачи интерпретации процессов, рассмотренной выше.

Постановка задачи диагностики процессов. Даны две последо-вательности нечетких значений одной переменной, наблюдаемыхв заданном интервале времени. Каждая последовательность рас-сматривается как НВР, одна последовательность является требуемой,другая – наблюдаемой. Требуется определить тип соответствиямежду этими последовательностями в заданном интервале времени,то есть определить тенденциюновогоНВР, отражающего отклонениянаблюдаемого НВР от требуемого НВР. Значения соответствияможет быть представлены нечеткими термами, таким как «Безотклонений», «Значительные отклонения», «Незначительные откло-нения» и др. Решение задачи диагностики включает решение задачиинтерпретации процессов.

П 3. Область приложения НВР – прогноз развития процессов

Прогноз – это приближенная оценка будущих изменений, ходасобытий, поведения на основе модели динамики в прошлом инастоящем.

Постановка задачи прогноза развития процессов. Дана последо-вательность нечетких значений одной переменной, полученная врезультате наблюдения в заданном интервале времени. Требуетсяидентифицировать тип изменения этой переменной 𝑇𝑟 в следую-

31

щем интервале времени. Тип изменения 𝑇𝑟 переменной может бытьзадан в нечетких термах, используемых в задаче интерпретации«Рост», «Падение», «Стабилизация» и др. Эта задача включаетпредварительное решение задач интерпретации и диагностики.

П4. Область приложения НВР – планированиеЗавершающим этапом любого экспертного заключения явля-

ется выработка рекомендаций, которые следует применить длядостижения требуемой динамики исследуемого процесса. Задачапланирования является сложной задачей, часто контекст, в которомведется планирование, известен только приблизительно, так чтопланирование ведется в условиях неопределенности. При этом воз-можны различные последствия, оценить которые возможно толькона основе моделирования. Использование НВР и представлениесовокупности данных в виде экспертных оценок, полученных врезультате интерпретации, диагностики и прогноза динамики про-цесса, может служить дополнительным инструментом в принятииболее обоснованных решений и выработке рекомендаций.

Постановка задачи планирования. Дана последовательностьнечетких значений и тенденция динамики 𝑇𝑟 одной переменной,отражающей отклонения динамики процесса от требуемого. Извест-на тенденция исходного НВР и его прогнозная тенденция. Требу-ется идентифицировать тип изменения некоторой переменной вследующем интервале времени, так, чтобы отклонения динамикиисходного процесса от требуемой былиминимальны. Типизмененияпеременной может быть задан в нечетких термах, используемых взадаче идентификации «Рост», «Падение», «Стабилизация» и др.

32

Лингвистические оценки (ЛО) являются средством качествен-ного оценивания и сравнения характеристик элементов систем,используемые проектировщиками, менеджерами, лицами, прини-мающими решения (ЛПР), экспертами. Важным свойством лингви-стических оценок является широкое применение на практике длявыражения знаний о степени соответствия элемента системы илиего характеристики некоторому объективному или субъективномукритерию. Указанное свойство определяет класс абсолютных ЛО,отражающий статический аспект оценивания. Примерами такихоценок могут служить оценочные выражения «Удовлетворительно»,«Хорошо», «Плохо». Семантика абсолютных лингвистических оценокзависит от контекста среды, в которой они используются.

Другое важное свойство лингвистических оценок обусловленовозможностью их ранжирования, что позволяет представить сово-купность ЛО в виде некоторой системы с отношениями. «Бинарныеотношения, образованные намножестве абсолютныхЛО, порождаютсравнительные лингвистические оценки по различным критериям,такие как «Больше», «Меньше», «Примерно равны», «Раньше»,«Позже», «Предпочтительнее», «Лучше» и т. д. Сравнительныеоценки, построенные на абсолютных ЛО, могут представлятьизменения по различным основаниям: в пространстве объектов,во временном пространстве, в пространстве задач и выражают ди-намический аспект оценивания. Семантика сравнительных оценоктакже является контекстно-зависимой».

В настоящее время большой интерес вызывают интеллектуаль-ные системы, основанные на прикладных онтологиях. «Онтология —это система, состоящая из набора понятий и набора утвержденийоб этих понятиях, на основе которых можно описывать классы,отношения, функции и теории». Согласно В.В. Доброву, основнымикомпонентами онтологии являются:

∙ классы или понятия;

33

∙ отношения;

∙ функции;

∙ аксиомы;

∙ примеры.

34

Глава II

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ НЕЧЕТКОГОМОДЕЛИРОВАНИЯ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

Анализ временных рядов представляет собой самостоятельную,обширную и одну из наиболее интенсивно развивающихся областейисследования прикладной математики.

Целью анализа временного ряда является достижение понима-ния причинных механизмов, обусловивших поведение изучаемогопроцесса в условиях неопределенности, построениемоделей времен-ных рядов, которые не только объясняют поведение процесса, но имогут быть использованы для оценки прогноза развития изучаемогопроцесса.

Теория нечетких множеств, введенная Л. Заде [27] для пред-ставления нового типа значений, заложила основы нечеткогомоделирования временных рядов.

Введение лингвистической переменной, обозначающей поня-тия естественного языка, значения которой описывают свойства это-го понятия функциями принадлежности, позволило продвинутьсяна путиформализации операций вычислений со словами с помощьюнечеткой логики.

Формализация нечеткой импликации позволила задать прави-ла «ЕСЛИ-ТО» в виде нечетких правил и заложило основу нечеткого

35

моделирования опыта и знаний экспертов, выраженных в видеприближенных зависимостей.

Введение лингвистических терминов для обозначениясвойств(состояния) характеристик поведения процессов и систем спомощью аппарата нечетких множеств позволяет сформулироватьследующие задачи в нечетком моделировании числовых ВР:

1. Определение множества лингвистических термов, задающихсвойства наблюдаемой числовой характеристики;

2. Разбиение множества действительных чисел, на которомопределена числовая характеристика на подмножества, харак-теризующие свойства;

3. Сопоставление лингвистическому терму (слову естественногоязыка) семантики, выраженной функцией принадлежности;

4. Определение принадлежностей значений ВР лингвистическимтермам;

5. Моделирование зависимостей в виде нечетких импликацийи их реализация на основе алгоритма нечеткого логическоговывода.

В систему нечеткого логического вывода входят следующиеобъекты:

1. Совокупность нечетких продукционных правил (база правил);

2. Набор функций принадлежностей базы нечетких переменных(база переменных);

3. Блок дефаззификации;

4. Блок вывода.

36

База правил хранит множество логических правил вывода, атакже их порядок (иерархическую структуру) применения. Базанечетких переменных содержит названия лингвистических термов ипараметры их функций принадлежности. База правил вместе с базойнечетких переменных образуют базу знаний (БЗ) системы нечеткоговывода.

Математическую основу для широкого применения нечеткогомоделирования составляет доказанная в конце 80-х БартоломеемКоско знаменитая теорема FAT (Fuzzy Approximation Theorem), со-гласно которой любая непрерывная функция может быть аппрокси-мирована моделью системы нечеткого логического вывода. Другимисловами, с помощью естественно-языковых высказываний «ЕСЛИ-ТО», с последующей их формализацией средствами теории нечеткихмножеств, можно сколько угодно точно описать произвольнуювзаимосвязь «вход-выход» без использования сложного аппаратадифференциального и интегрального исчислений, традиционноприменяемого в управлении и идентификации.

Свойство универсальности применения систем нечеткоговывода доказано рядом фундаментальных теорем. Так, У. Ванг в1992 году показал, что справедливо утверждение: если нечеткаяимпликация основана на использовании операции 𝑚𝑖𝑛, функцияпринадлежности задается гауссовым распределением и использу-ется центроидный метод дефаззификации, то система нечеткоговывода является универсальным аппроксиматором.

В 1995 г. К. Кастро доказал справедливость следующейтеоремы: если импликация основана на использовании операциипроизведения по Ларсену, а функции принадлежности треугольные,то при использовании центроидной дефаззификации нечеткийконтроллер является универсальным аппроксиматором.

37

2.1. Нечеткий подход к моделированию временных рядов

Подход к анализу временных рядов определяется вычисли-тельными структурами и предположениями, лежащими в основемоделирования (построение модели) динамического процесса,порождающего временной ряд, и на этой основе объединяет моделиобъектов и зависимостей между ними.

Анализ современных требований пользователей и сравнениестепени соответствия им существующих подходов (статистического,на основе искусственных нейронных сетей, нечеткого) показываютперспективность развития нечеткого подхода для решения про-блемы прогнозирования временных рядов, обладающих высокойстепенью неопределенности.

Модели временных рядов, описывающие динамические про-цессы, анализ которых базируется на положениях теории нечеткихмножеств и нечеткой логики, будем называть нечеткими моделями,а процесс построения нечетких моделей ВР – нечетким моделирова-нием.

На основе обобщения исследований в области применениянечетких моделей к анализу поведения процессов, протекающих вусловиях неопределенности, предложены следующие методологиче-ские принципы нечеткого моделирования временных рядов.

Принцип лингвистического оценивания. Моделируютсязначения, соответствующие материальным или идеальным объек-там наблюдений, или измерений, которыммогут быть сопоставленынечеткие оценки в лингвистической форме.

Принцип предметно-лингвистической относительности.Для разных предметных областей числовое значение имеет разнуюточность, различные лингвистические интерпретации, которые

38

порождают для одного и тогоже числового ВР разныепо содержаниюи лингвистической интерпретации модели НВР.

Принцип дополнительности интерпретаций. Числовые илингвистические интерпретации значения являются его различны-ми, но одинаково существенными аспектами на разных уровняхабстракции. Математическое моделирование поведения ВР наразных уровнях абстракции определяет множество дополняющихдруг друга моделей.

Модель числового временного ряда для целей прогнозированияв соответствии с методологией анализа временных рядов будемрассматривать в виде

𝑥𝑡 = 𝜆 · 𝑓(𝑡) + 𝜓 · 𝜀𝑡 + 𝜉𝑡. (2.1)

В этой модели наблюдаемый ряд 𝑥𝑡 рассматривается каксумма некоторой систематической компоненты 𝑓(𝑡), которая можетрассматриваться как тенденция (трендо-цикл) и нерегулярнойкомпоненты 𝜀𝑡; 𝜆, 𝜓 –целочисленные коэффициенты, принимающиезначения из множества {0,1}; 𝜉𝑡 – ошибка.

При моделировании числовых ВР в рамках нечеткого подходачисловые значения предварительно преобразуют в нечеткие (фаззи-фицируют)

��𝑡 = 𝐹𝑢𝑧𝑧𝑦(𝑥𝑡), 𝜏𝑡 = 𝑇𝑒𝑛𝑑(��𝑡),

𝑡𝑖 = 𝐹𝑢𝑧𝑧𝑦_𝑡(𝑡𝑖), 𝜏𝑡 = 𝑇𝑒𝑛𝑑_𝑡(��𝑡),

а результаты моделирования — дефаззифицируют

𝑥𝑡 = 𝑑𝑒𝐹𝑢𝑧𝑧𝑦(��𝑡).

Целью нечеткого моделирования ВР является приближенноеописание зависимости (2.1) путем моделирования нечетких объек-тов, идентифицируемых на ВР: нечетких значений ВР ��𝑖, нечеткихзначений моментов времени 𝑡𝑖 и нечетких тенденций 𝜏𝑡.

39

Для идентификациимодели зависимостимогут использоватьсянечеткие правила «ЕСЛИ-ТО», построенные по наблюдениям 𝑋 =

(𝑥𝑡), 𝑡 = 1, 2, ..., 𝑛. Эти правила используются для «вычисления»приближенных значений �� = (𝑥𝑖), 𝑖 = 1, 2, ..., 𝑛.

Условия применимости алгоритма нечеткого моделированиячислового ВР:

1. Задать значения ВР:𝑋 = (𝑥𝑖), 𝑖 = 1, 2, ..., 𝑛.

2. Определить универсальное множество 𝑈 = {𝑛𝑚𝑖𝑛, 𝑛𝑚𝑎𝑥},𝑈 ⊃ 𝑋, параметрыинаборфункцийпринадлежностинечеткихмножеств, определенных на этом универсальном множестве�� = (𝑥𝑖), 𝑖 = 1, 2, ...,𝑚.

Основными задачами нечеткого моделирования ВР для целейпрогнозирования являются:

1. Выбор представления нечетких объектов ВР для моделирова-ния.

2. Оценивание нечетких объектов ВР.

3. Декомпозиция ВР.

4. Постулирование класса нечеткой модели.

5. Идентификация модели систематической составляющей ВР(тенденции).

6. Идентификация модели нерегулярной составляющей ВР.

7. Анализ адекватности модели.

8. Применение для прогнозирования и исследование результатов.

40

2.2. Представление нечетких объектов временных рядов дляразличных динамических процессов

Пусть дан временной ряд {𝑥𝑖, 𝑡𝑖} ∀𝑥𝑖 ∈ 𝑋,𝑋 ⊂ R1, 𝑡𝑖 ∈ N,𝑖 = 1, 2, ..., 𝑛. Введем следующие обозначения:

∙ 𝐹𝑢𝑧𝑧𝑦(𝑥𝑖, 𝑡𝑖) — алгоритм преобразования значения ВР𝑥𝑖, (𝑖 = 1, 2, ..., 𝑛) в нечеткое значение ��𝑖 : ��𝑖 = 𝐹𝑢𝑧𝑧𝑦(𝑥𝑖, 𝑡𝑖).Полученная последовательность значений ��𝑖 являетсязначениями, упорядоченными в моменты времени, и образуетНВР;

∙ 𝑇𝑒𝑛𝑑(��𝑖, 𝑡𝑖) — алгоритм идентификации нечеткой тенденцииНВР 𝜏𝑖 = 𝑇𝑒𝑛𝑑(��𝑖, 𝑡𝑖) для случая, когда время задано точнымзначением 𝑡;

∙ 𝐹𝑢𝑧𝑧𝑦_𝑡(𝑥𝑖, 𝑡𝑖) — алгоритм преобразования значения времен-ных отсчетов ВР в нечеткие значения: 𝑡𝑖 = 𝐹𝑢𝑧𝑧𝑦_𝑡(𝑥𝑖, 𝑡𝑖);

∙ 𝑇𝑒𝑛𝑑(��𝑖, 𝑡𝑖) — алгоритм идентификации нечеткой тенденцииНВР 𝜏𝑖 = 𝑇𝑒𝑛𝑑(��𝑖, 𝑡𝑖) для случая, когда время задано нечеткимзначением 𝑡.

Приведем классификацию динамических процессов, в основукоторой положим типы моделируемой неопределенности в отно-шении «значение ВР – время», и определим возможные схемыидентификации нечетких объектов для динамических процессов:

1. Детерминированные процессы. Детерминированные процессыопределяются для четких 𝑥𝑖, 𝑡𝑖, для которых зависимостьпредставлена в виде известной функции 𝑥 = 𝑓(𝑡). Этоткласс процессов связан с моделированием, прогнозированием,проектированием или управлением в условиях определен-ности. В этом случае решение задачи анализа нечетких

41

тенденций заключается в фаззификации числовых значенийВР ��𝑖 = 𝐹𝑢𝑧𝑧𝑦(𝑥𝑖, 𝑡𝑖), построении нечеткого временного рядаи экспертной оценки тенденции НВР 𝜏𝑖 = 𝑇𝑒𝑛𝑑(��𝑖, 𝑡𝑖).

2. Стохастические процессы. Стохастические процессы, зада-ющие зависимость между четким временем и случайнойвеличиной с известным законом распределения вероятностей.Стохастические процессы указанного вида описывают поведе-ние процесса в условиях риска и неопределенности, то есть слу-чайные и недетерминированные его изменения. Для таких сто-хастических процессов задача прогнозирования временногоряда может решаться с применением методов идентификациистохастической модели числового временного ряда, построе-ния НВР по значениям полученной приближенной функции иэкспертного оценивания тенденции нечеткого временного ря-да. С другой стороны, в условиях недостаточной длины ВР инте-ресно рассмотреть и другой вариант формирования результатапрогнозирования: ��𝑖 = 𝐹𝑢𝑧𝑧𝑦(𝑥𝑖, 𝑡𝑖) → 𝜏𝑖 = 𝑇𝑒𝑛𝑑(��𝑖, 𝑡𝑖). Этотвариант имеет право на существование, когда проблематичнопостроить достаточно точную и адекватную стохастическуюмодель. Построенный нечеткий временной ряд с последующейдефаззификацией может быть рассмотрен как метод нечеткогосглаживания временного ряда и выделения нечетких тенден-ций.

3. Нечеткие процессы. Нечеткие процессы представляют группузависимостей между категориями 𝑥𝑖, 𝑡𝑖 (время – значение),каждая их которых может быть задана нечеткими значениями.Рассмотрим их как разные классы отношений «время» –«значение».

a) Отношение «Четкое время 𝑡» – «Нечеткая переменная��». В этом отношении каждое нечеткое значение ��𝑖

42

представляется нечетким термом, определенным на неко-тором базовом множестве функцией принадлежности,выражающей количественную зависимость между элемен-тами базового множества и нечетким значением ��𝑖. Этоотношение соответствует представлению нечеткого ВР ввиде ��𝑖 = 𝐹𝑢𝑧𝑧𝑦(𝑥𝑖, 𝑡𝑖).

b) Отношение «Нечеткое время 𝑡» – «Четкая переменная 𝑥».В этом случае можно предположить, что четкое значениевремени было предварительно преобразовано в нечеткиезначения 𝑡𝑖 = 𝐹𝑢𝑧𝑧𝑦_𝑡(𝑥𝑖, 𝑡𝑖). Идентификация нечеткихтенденций для указанного отношения может проводитьсядвояким образом: по отношению к нечеткому времени𝜏𝑖 = 𝑇𝑒𝑛𝑑(��𝑖, 𝑡𝑖) и по отношению к приближенномумоменту времени, полученному в результате его дефаззи-фикации 𝜏𝑖 = 𝑇𝑒𝑛𝑑(��𝑖, 𝑡

′𝑖).

c) Отношение «Нечеткое время 𝑡» – «Нечеткая переменная��». Данное отношение может использовать без предва-рительных преобразований алгоритм 𝜏𝑖 = 𝑇𝑒𝑛𝑑(��𝑖, 𝑡𝑖).Идентификация нечеткой тенденции и прогнозированиемогут так же быть рекомендованы и для приближенныхзначений 𝑥′𝑖 = 𝑑𝑒_𝐹𝑢𝑧𝑧𝑦(𝑥𝑖); 𝑡′𝑖 = 𝑑𝑒_𝐹𝑢𝑧𝑧𝑦(𝑡𝑖), если такиепреобразования возможны.

Обобщая, можно сделать следующий вывод. Нечеткое моде-лирование для задачи прогнозирования ВР на основе его нечеткихзначений и нечетких тенденций возможно путем конкретизациивведенных алгоритмов для широкого класса динамических процес-сов – детерминированных, случайных и нечетких.

43

2.3. Нечеткое разбиение временного ряда на основеF-преобразования (прямое и обратное)

Нечеткое разбиение временных рядов на основе нечетко-го преобразования (F-преобразования) — методика, разработан-ная И. Перфильевой [60], для нечеткого приближения функции𝑌 = 𝑓(𝑥), 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]; 𝑌 ⊂ R1.

F-преобразование дискретной функции 𝑓 : 𝑃 −→ R есть вектор,компоненты которого можно рассматривать как средневзвешенныезначения 𝑓 . Будем считать, что R—множество вещественных чисел,[𝑎, 𝑏] ⊆ R, и 𝑃 = {𝑝1, . . . , 𝑝𝑙}, 𝑛 < 𝑙— конечное множество точек, такоечто 𝑃 ⊆ [𝑎, 𝑏].

Напомним основные положения F-преобразования, представ-ленные в [16]. Пусть 𝑓 : 𝑃 −→ R есть произвольная дискретнаяфункция, определенная на 𝑃 . Первым шагом в определенииF-преобразования функции 𝑓 является выбор нечеткого разбиенияинтервала [𝑎, 𝑏] на конечное число 𝑛 : 2 ≤ 𝑛 ≤ 𝑙 − 2 нечеткихмножеств 𝐴1, . . . , 𝐴𝑛 : [𝑎, 𝑏] → [0, 1], отождествленных с ихфункциями принадлежности и таких, что в соответствующих узлах𝑥1, ..., 𝑥𝑛, 𝐴𝑘(𝑥𝑘) = 1. Следующие три аксиомы характеризуютнечеткое разбиение:

1. Для каждого 𝑘 = 1, . . . , 𝑛, 𝐴𝑘(𝑥) = 0 если 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] ∖ (𝑥𝑘−1, 𝑥𝑘+1);

2. Для каждого 𝑘 = 1, . . . , 𝑛, 𝐴𝑘 является непрерывной на[𝑥𝑘−1, 𝑥𝑘+1];

3.∑𝑙

𝑗=1𝐴𝑘(𝑝𝑗) > 0, 𝑘 = 1, . . . , 𝑛.

Нечеткое разбиение называется равномерным, если нечеткиемножества 𝐴2, . . . , 𝐴𝑛−1 являются сдвинутыми копиями симметрич-ных функций 𝐴1 (детали могут быть уточнены в [16]). Функциипринадлежности𝐴1, . . . , 𝐴𝑛 в нечетком разбиении называются также

44

базисными функциями. Мы говорим, что базисная функция 𝐴𝑘

покрывает точку 𝑝𝑗 если 𝐴𝑘(𝑝𝑗) > 0.На рисунке 2.1 показано равномерное нечеткое разбиение

интервала [𝑎, 𝑏] нечеткими множествами 𝐴1, . . . , 𝐴𝑛, 𝑛 ≥ 3, треуголь-ными функциями. Формальные выражения для определения такихфункций, где: ℎ = 𝑏−𝑎

𝑛−1.

𝐴1(𝑥) =

⎧⎨⎩1− (𝑥−𝑎)ℎ , 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑥2],

0, иначе,

𝐴𝑘(𝑥) =

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩(𝑥−𝑥𝑘−1)

ℎ , 𝑥 ∈ 𝑥𝑘−1, 𝑥𝑘,

1− (𝑥−𝑥𝑘)ℎ , 𝑥 ∈ 𝑥𝑘, 𝑥𝑘+1

0, иначе,

(2.2)

𝐴𝑛(𝑥) =

⎧⎨⎩(𝑥−𝑥𝑛−1)

ℎ , 𝑥 ∈ [𝑥𝑛−1, 𝑏],

0, иначе.

Рис. 2.1. Пример равномерного нечеткого разбиения [𝑥1, 𝑥𝑛] = [𝑎, 𝑏] треугольнымифункциями принадлежности

В дальнейшем мы зафиксируем на интервале [𝑎, 𝑏], конечноемножество точек𝑃 ⊆ [𝑎, 𝑏]инечеткое разбиение𝐴1, . . . , 𝐴𝑛 интервала[𝑎, 𝑏]. Обозначим 𝑎𝑘𝑗 = 𝐴𝑘(𝑝𝑗) и рассмотрим матрицу A размером 𝑛× 𝑙с элементами 𝑎𝑘𝑗. Мы можем сказать, что 𝐴— матрица разбиениямножества 𝑃 . Матрица равномерного разбиения представлена ниже.

45

Пример. Считаем, что точки 𝑝1, . . . , 𝑝𝑙 ∈ [𝑎, 𝑏] равноотстоящиеи 𝑎 = 𝑝1, 𝑏 = 𝑝𝑙, 𝑝𝑖+1 = 𝑝𝑖 + ℎ, 𝑖 = 1, . . . , 𝑙 − 1, и ℎ > 0

вещественное число. Пусть 𝐴1, . . . , 𝐴𝑛 равномерное разбиение [𝑎, 𝑏]такое, что каждая базисная функция 𝐴𝑘 имеет треугольный вид ипокрывает фиксированное число точек, например 𝑁 . Кроме того,пусть узлы 𝑥0, 𝑥1, . . . , 𝑥𝑛, 𝑥𝑛+1 будут находиться среди точек 𝑝1, . . . , 𝑝𝑙так, что 𝑥0 = 𝑝1, 𝑥𝑛+1 = 𝑝𝑙. Если𝑁 нечетное число, скажем𝑁 = 2𝑟− 1,то 𝑙 = (𝑛+ 1)𝑟 − 1. В данном конкретном случае, базисная функция𝐴𝑘 покрывает точки 𝑝(𝑘−1)𝑟+1, . . . , 𝑝(𝑘+1)𝑟−1, так что

𝐴𝑘(𝑝(𝑘−1)𝑟+1) =1

𝑟, . . . , 𝐴𝑘(𝑝𝑘𝑟−1) =

𝑟 − 1

𝑟, 𝐴𝑘(𝑝𝑘𝑟) = 1,

𝐴𝑘(𝑝𝑘𝑟+1) =𝑟 − 1

𝑟, . . . , 𝐴𝑘(𝑝(𝑘+1)𝑟−1) =

1

𝑟.

Матрица разбиения 𝐴 определяется следующим образом:

𝐴 =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝1𝑟 . . . 𝑟−1

𝑟 1 𝑟−1𝑟 . . . 1

𝑟 0 . . . 0 0 0 0

0 . . . 0 0 1𝑟 . . . 𝑟−1

𝑟 1 𝑟−1𝑟 . . . 1

𝑟 0 . . .

· · · · · · · · · · · · ·0 0 0 . . . 0 0 1

𝑟 . . . 𝑟−1𝑟 1 𝑟−1

𝑟 . . . 1𝑟

⎞⎟⎟⎟⎟⎠ .

Таким образом матрица разбиения 𝐴 имеет фиксированнуюструктуру; зависит от одного параметра 𝑟 и не требует вычисления𝐴𝑘(𝑝𝑗) в каждой точке 𝑝𝑗.

После того как выбраны базисные функции 𝐴1, . . . , 𝐴𝑛, опре-делим (см. [16]) прямое F-преобразование функции 𝑓 : 𝑃 −→ R каквектор (𝐹1, . . . , 𝐹𝑛) где 𝑘-я компонента 𝐹𝑘 вычисляется по формуле:

𝐹𝑘 =

𝑙∑𝑗=1

𝑓(𝑝𝑗) · 𝐴𝑘(𝑝𝑗)

𝑙∑𝑗=1

𝐴𝑘(𝑝𝑗)

, 𝑘 = 1, . . . , 𝑛. (2.3)

46

Если отождествитьфункцию 𝑓 : 𝑃 −→ R с вектором ее значений𝑓 = (𝑓1, . . . , 𝑓𝑙) на множестве 𝑃 , так что 𝑓𝑗 = 𝑓(𝑝𝑗), 𝑗 = 1, . . . , 𝑙, ипредположить, что разбиение 𝐴1, . . . , 𝐴𝑛 представлено матрицей𝐴, то вектор компонент F-преобразования 𝐹𝑛(𝑓) = (𝐹1, . . . , 𝐹𝑛)

вычисляется с помощью следующих выражений линейной алгебры

(𝐹1, . . . , 𝐹𝑛) =

((𝐴𝑓𝑇 )1𝑎1

, . . . ,(𝐴𝑓𝑇 )𝑛𝑎𝑛

), (2.4)

где (𝐴𝑓𝑇 )𝑘 есть 𝑘-я компонента произведения 𝐴𝑓 , 𝑎𝑘 =𝑙∑

𝑗=1

𝑎𝑘𝑗,

𝑘 = 1, . . . , 𝑛. Следующие свойства характеризуют 𝐹𝑛(𝑓):

∙ Отображение 𝐹𝑛 : R𝑙 → R𝑛 такое что 𝐹𝑛 : 𝑓 → 𝐹𝑛(𝑓) являетсялинейным.

∙ Если 𝑓1 = · · · = 𝑓𝑙 = , то компоненты F-преобразованияфункции 𝑓 равны; кроме того, 𝐹𝑛(𝑓) = (𝐶, . . . , 𝐶).

∙ Компоненты 𝐹1, . . . , 𝐹𝑛 F-преобразования минимизируют сле-дующую функцию

Φ(𝑦1, . . . , 𝑦𝑛) =𝑛∑

𝑘=1

𝑙∑𝑗=1

(𝑓𝑗 − 𝑦𝑘)2𝑎𝑘𝑗,

которую можно рассматривать как критерий взвешенногосреднеквадратичного отклонения.

Обратное F-преобразование функции 𝑓 определяется по форму-ле

𝑓𝐹,𝑛(𝑝𝑗) =𝑛∑

𝑘=1

𝐹𝑘𝐴𝑘(𝑝𝑗), 𝑗 = 1, . . . , 𝑙, (2.5)

которая представляет собой функцию, определенную на 𝑃 . Еслиотождествить 𝑓𝐹,𝑛 вектором ее значений 𝑓𝐹,𝑛 на 𝑃 , то выражение (2.5)может быть переписано в матричной форме: 𝑓𝐹,𝑛 = 𝐹𝑛(𝑓)𝐴, где 𝐴матрица разбиения 𝑃 и 𝐹𝑛(𝑓) является F-преобразованием 𝑓 .

47

Можно показать, что обратное F-преобразование 𝑓𝐹,𝑛 ап-проксимирует исходную функцию 𝑓 на области определения 𝑃 .Доказательство можно найти в [16].

2.4. Нечеткие приращения

Пусть задан нечеткий ВР 𝑌 = ��𝑖, 𝑡𝑖, ��𝑖 ∈ ��, 𝑡𝑖 ∈ N, 𝑖 = 1, 2, ..., 𝑛.

Определение 2.4.1. Нечеткое приращение (разность) 𝜏 , определяе-мая на временном интервале [𝑡𝑖, 𝑡𝑗], 𝑡𝑗 ≥ 𝑡𝑖 по значениям ��𝑖, ��𝑗 нечетко-го временного ряда 𝑌 есть нечеткий терм 𝜏 = 𝜏((𝑡𝑖, ��𝑖), (𝑡𝑗, ��𝑗)).

Определим свойства нечеткого приращения:

1. Если ∃𝜏𝑖 = 𝜏((𝑡𝑖, ��𝑖), (𝑡𝑗, ��𝑗)) и ∃𝜏𝑘 = 𝜏((𝑡𝑘, ��𝑘), (𝑡𝑟, ��𝑟)), и 𝑡𝑗 < 𝑡𝑘

или 𝑡𝑖 > 𝑡𝑟, то 𝜏𝑖 ∩ 𝜏𝑘 = ∅.

2. ∃𝜏𝑖 = 𝜏((𝑡𝑖, ��𝑖), (𝑡𝑗, ��𝑗)) и ∃𝜏𝑘 = 𝜏((𝑡𝑘, ��𝑘), (𝑡𝑟, ��𝑟)), и 𝜏𝑖 ∩ 𝜏𝑘 = ∅, то∃𝜏𝑢 = 𝜏((𝑡𝑖, ��𝑖), (𝑡𝑟, ��𝑟)) такое, что 𝜏𝑢 = 𝜏𝑖 ∪ 𝜏𝑘, определенное наотрезке [𝑚𝑖𝑛(𝑡𝑘, 𝑡𝑖),𝑚𝑎𝑥(𝑡𝑟, 𝑡𝑗)].

3. 𝜏1((𝑡𝑖, ��𝑖), (𝑡𝑗, ��𝑗)) = 𝜏2((𝑡𝑖, ��𝑖), (𝑡𝑗, ��𝑗)). 𝜏1((𝑡𝑖, ��𝑖), (𝑡𝑗, ��𝑗)) == 𝜏2((𝑡𝑗, ��𝑗), (𝑡𝑖, ��𝑖)).

4. 𝜏((𝑡𝑖, ��𝑖), (𝑡𝑖, ��𝑖)) = ∅.

Определение 2.4.2. Нечеткое элементарное приращение нечеткоговременного ряда – это нечеткое приращение 𝜏𝑡 = < 𝑣𝑡, ��𝑡, 𝜇𝑡 >

выражающее качественный характер изменения на участке НВР𝑌 = ��𝑡, �� ∈ ��, 𝑡 = 1, 2, ..., 𝑛 между двумя соседними нечеткими мет-ками ��𝑡−1, ��𝑡 со степенью принадлежности 𝜇𝑡 = min (��𝑡−1(𝑥𝑡−1), ��𝑡(𝑥𝑡)).

Утверждение 2.4.1. [35] Исходный нечеткий временной ряд𝑌 = ��𝑡, �� ∈ ��, 𝑡 = 1, 2, ..., 𝑛 может быть восстановлен в виде

48

нечеткого временного ряда нечетких элементарных приращений𝜏 = 𝜏𝑡, 𝑡 = 2, 3, ..., 𝑛.

Из утверждения 2.4.1 и теории нечетких временных рядовследует следующее утверждение.

Утверждение 2.4.2. Любой конечный дискретный временной ряд –числовой, нечисловой и смешанный – может быть преобразован вовременной ряд нечетких элементарных приращений.

2.5. Нечеткая шкала

Так как моделирование ВР в рамках нечеткого подходапредполагает предварительное преобразование числового ВР внечеткое представление, то необходимы соответствующие методымоделирования нечетких объектов ВР. В соответствии с моделямиобъектов нечеткости временных рядов, выделенных в предыдущейглаве, – нечетких значений, нечетких интервалов времени, нечеткихтенденций (элементарных и локальных) – рассмотрим методы мо-делирования отдельно для каждого нечеткого объекта. Следующиепредположения лежат в основе модели ACL-шкалы [35]:

1. Множество оцениваемых объектов 𝑥 ∈ 𝑋 образует носительACL-шкалы и может быть любой природы. Объекты множестваобладают свойством упорядоченности, то есть на𝑋 определенобинарное отношение 𝑥 ≤ 𝑦, обладающее следующимисвойствами:

a) рефлексивность: 𝑥 ≤ 𝑥,∀𝑥 ∈ 𝑋;

b) транзитивность: если 𝑥 ≤ 𝑦 и 𝑦 ≤ 𝑧, то 𝑥 ≤ 𝑧, ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋;

c) антисимметричность: если 𝑥 ≤ 𝑦 и 𝑦 ≤ 𝑥, то 𝑥 = 𝑦,∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋.

49

2. Градации ACL-шкалы задают лингвистические наименованиянечетких экспертных оценок ��, образующих конечное мно-жество ��, элементы которого также частично упорядочены всилу природы нечетких экспертных оценок ��. На множестве�� определено бинарное отношение �� ≤ 𝑦, обладающееследующими свойствами:

a) рефлексивность: �� ≤ ��,∀�� ∈ ��;

b) транзитивность: если �� ≤ 𝑦 и 𝑦 ≤ 𝑧, то �� ≤ 𝑧, ∀��, 𝑦, 𝑍 ∈ ��;

c) антисимметричность: если �� ≤ 𝑦 и 𝑦 ≤ ��, то �� = 𝑦,∀��, 𝑦 ∈ ��.

3. Считаем, что каждый элемент ��𝑖 ∈ �� моделируется функцией𝜇��𝑖

(𝑥) так, что �� покрываетмножество𝑋. Функция𝜇��𝑖(𝑥) задает

семантику нечеткой оценки ��𝑖 ∈ �� объекта 𝑥 ∈ 𝑋 и называетсяфункцией принадлежности (соответствия) объекта 𝑥 нечеткомумножеству ��𝑖.

В соответствии с предположениями математическую модель ACL-шкалы представим в виде алгебраической системы:

𝐶 = {𝐻,Ω,Ψ},

где 𝐻 = {𝑋, ��, 𝑉, 𝐴, 𝑉 ,𝐴} – множество объектов оценивания;Ω = {𝐹 _𝑇, 𝐹 _𝐶,𝐹 _𝑃, 𝐹 _𝐸𝑟} – множество операций (функцийи предикатов), определенных на множестве 𝐻: операции-функции 𝐹 _𝑇 = {𝐹𝑢𝑧𝑧𝑦, 𝑑𝑒𝐹𝑢𝑧𝑧𝑦, 𝑇𝑇𝑒𝑛𝑑,𝑅𝑇𝑒𝑛𝑑} для оцениваниянечетких значений НВР и компонент НЭТ, операции-функции𝐹 _𝐶 = {𝑆𝑇𝑒𝑛𝑑,𝐺𝑇𝑒𝑛𝑑} для вычисления новых нечетких значенийНТ, операции-предикаты 𝐹𝑃 = {𝑃𝑝, 𝑃𝑛} для анализа базовых типовНТ, операции-функции 𝐹𝐸𝑟 = {𝐸𝑟_𝑉 ,𝐸𝑟_𝐴,𝐸𝑟_𝑣, 𝐸𝑟_𝑎,𝐸𝑟_��, 𝐸𝑟_𝑥}для вычисления погрешностей лингвистического и численногооценивания; Ψ — множество параметров шкалы Ψ =

50

{𝐸, 𝑑,𝑀𝐹, 𝑛𝑚𝑖𝑛, 𝑛𝑚𝑎𝑥}, где 𝐸 — тип ACL-шкалы, 𝑑 — допустимыйуровень погрешности в оцениваемых данных,𝑀𝐹 — вид функциипринадлежности нечетких множеств ��, 𝑉 , 𝐴, 𝑛𝑚𝑖𝑛, 𝑛𝑚𝑎𝑥 —минимально и максимально допустимые числовые значенияшкалы.

Использование единого базиса в виде ACL-шкалы для порож-дения абсолютных и соответствующих им сравнительных нечеткихоценок (нечетких разностей) позволит оперировать совместимымизначениями таких нечетких оценок объектов и проектироватьнечеткие модели, обладающие дополнительными возможностями.К таким возможностям относятся формализация нечеткого оценива-ния наблюдений и нечетких элементарных тенденций. На рис. 2.2 сучетом вышеизложенного приведена системная модель ACL-шкалы,позволяющая выполнять нечеткое оценивание и генерироватьабсолютные и сравнительные нечеткие оценки.

Введенная ACL-шкала по своей природе является нечеткой,гибридной, многомерной и нелинейной. Нечеткий аспект шкалысвязан с определением ее градаций и процедур оценивания в терми-нах нечетких множеств. Гибридный характер шкалы выражаетсяв объединении нескольких видов традиционных шкал: так, поодному измерениюона соответствует номинальнойшкале (названиенечеткого множества) с операциями сравнения на равенство, повторому измерению — интервальной шкале, задающей изменениебазовых значений переменной (с числовыми операциями), потретьему измерению — интервальной шкале, задающей изменениефункции принадлежности базового значения соответствующемунечеткому множеству (с операциями для нечетких множеств),по четвертому измерению — порядковой шкале, определяющейотношение порядка между элементами номинальной шкалы.

Ниже представлен алгоритм построения ACL-шкалы по времен-ным рядам.

51

Рис. 2.2. Системная модель ACL-шкалы для генерации нечетких оценок

Шаг 1. Адаптация модели ACL-шкалы к специфике пред-метной области. Определение значений вектора ее параметровΨ = {𝐸, 𝑑,𝑀𝐹, 𝑛𝑚𝑖𝑛, 𝑛𝑚𝑎𝑥}. Применительно к временномуряду могут быть выбраны следующие значения параметров: —«Равномерная», 𝑑— допустимый уровень в 10%,𝑀𝐹 — треугольныефункции принадлежности, 𝑛𝑚𝑖𝑛 = 2 * 𝑚𝑖𝑛, 𝑛𝑚𝑎𝑥 = 2 * 𝑚𝑎𝑥, где𝑚𝑖𝑛—минимальное, и𝑚𝑎𝑥—максимальное значения числового ВР.

Шаг 2. Генерация функций принадлежностей нечетких гра-даций шкалы ��𝑖 ∈ ��, (𝑖 = 1, 2, ...,𝑚) класса 𝑀𝐹 (например, наинтервалах длины 𝑑 универсального множества 𝑈 = [𝑛𝑚𝑎𝑥 − 𝑛𝑚𝑖𝑛].

Шаг 3. Генерация функций принадлежностей типов НЭТ𝑣𝑗 ∈ 𝑉 , (𝑗 = 1, 2, 3) и интенсивностей ��𝑘 ∈ 𝐴, (𝑘 = 1, 2, ...,𝑚)

52

класса 𝑀𝐹 на интервалах длины 𝑑 универсального множества𝑈 = [𝑛𝑚𝑎𝑥 − 𝑛𝑚𝑖𝑛], задающих изменения на множестве нечеткихградаций ��.

Утверждение 2.5.1. Две ACL-шкалы с пара-метрами Ψ1 = {𝐸1, 𝑑1,𝑀𝐹1, 𝑛𝑚𝑖𝑛1, 𝑛𝑚𝑎𝑥1}и Ψ2 = {𝐸2, 𝑑2,𝑀𝐹2, 𝑛𝑚𝑖𝑛2, 𝑛𝑚𝑎𝑥2}эквивалентны тогда и только тогда, если𝐸1 = 𝐸2, 𝑑1 = 𝑑2,𝑀𝐹1 = 𝑀𝐹2, 𝑛𝑚𝑖𝑛1 = 𝑛𝑚𝑖𝑛2, 𝑛𝑚𝑎𝑥1 = 𝑛𝑚𝑎𝑥2.Из эквивалентности ACL-шкал следует, что они имеют одинаковоеколичество и одинаковую «размытость» нечетких градаций 𝑑,задающую допустимый уровень погрешности в данных.

Определение 2.5.1. Мощностью ACL-шкалы будем называть коли-чество нечетких множеств (функций принадлежностей), задающихколичество ее градаций𝑚.

53

Глава III

МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ВРЕМЕННЫХРЯДОВ. НЕЧЕТКИЕ ОБЪЕКТЫ И

ЗАВИСИМОСТИ

Представление временных рядов в классе нечетких временныхрядов имеет существенное отличие по сравнению с другимимоделями ВР, так как обеспечивает возможность лингвистическойинтерпретации значений ВР, присущей понятию нечетких мно-жеств. Эта семантически значимая интерпретация значений ВР,относящаяся как к его значениям, так и к временным моментам,выраженная в нечетких оценках, зависит от сущности и контекстасвойств наблюдаемого объекта, а также от восприятия эксперта,выполняющего интерпретацию [44, 50, 51, 52, 58, 59, 61, 66,67]. Восприятие интегрирует компетентностную, временную ипространственную позицию эксперта.

В то же время нечеткий ВР может быть получен и на основемоделирования абстрактных нечетких оценок, так как работаэксперта дорогостояща и трудоемка.

Таким образом, нечеткое моделирование временных рядовпредставляет новую научную область, специфика которой поотношению к статистическому и нейросетевому моделированию ВРопределяется нечеткими значениями, а по отношению к нечетким

54

моделям – более сложной организацией вычислений.

3.1. Методы преобразования временных рядов в нечеткиевременные ряды

3.1.1. Преобразование ВР на основе нечеткого разбиения вре-менных интервалов. Построение НВР класса 0

Одной из возможностей в классе задач моделирования вре-менных рядов является моделирование неопределенности повремени. Для моделирования нечеткого времени применительнок временному ряду используется одноуровневая модель в видепоследовательности временных отсчетов. Эта модель используетсякак в числовом представлении, так и нечетком представлениивремени.

При моделировании числового представления временногоряда, в общем случае, применяется бесконечная шкала. Однако, напрактике чаще возникают ситуации, когда необходимо смодели-ровать ограниченный интервал временного ряда. В таком случаестановится возможным построить нечеткую модель временныхотсчетов. Для этого предлагается использовать метод фаззификациивременных отсчетов временного ряда.

Идея метода моделирования временных отсчетов числовоговременного ряда заключается в применении нечеткого разбиениявременной шкалы, на которой задан временной ряд, на основе мето-да F-преобразования. По этомуметоду ограниченнойшкале временибудет сопоставлено распределение базисных функций (функцийпринадлежности)𝐴1, ..., 𝐴𝑛. На самомделе возможностейпостроениятаких базисных функций существует большое количество. Этоколичество определяется и формой функций принадлежности,которая в свою очередь определяется требованиями гладкости,вычислительной сложностью и т.д., возможностью задания нечетких

55

интервалов на шкале времени равной длины. Даже в случаеравномерных интервалов можно производить построение какосновываясь на необходимой длине интервала на шкале времени,так и необходимом количестве таких интервалов для всей шкалывременного ряда.

В качестве примера построим базисные функции для времен-ного ряда, представленного на рис. 3.1.

Рис. 3.1. Пример построения набора базисных функций для временного ряда

Необходимо выполнить следующие шаги:

Шаг 1. Определение количества базисных функций (иликоличества точек одного нечеткого временного интервала, котороекак правило выбирается нечетным).

Шаг 2. Определение центров нечетких интервалов. Приизвестной длине нечеткого интервала 𝑙 центр 𝑘-ого интервала будетнаходиться в точке

𝑙 − 1

2* (𝑘 − 1) + 1

Шаг 3. Построение базисных функций. Треугольного видафункции определяются по формулам:

56

𝐴1(𝑥) =

⎧⎨⎩1− (𝑥−𝑎)ℎ , 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑥2],

0, иначе,

𝐴𝑘(𝑥) =

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩(𝑥−𝑥𝑘−1)

ℎ , 𝑥 ∈ 𝑥𝑘−1, 𝑥𝑘,

1− (𝑥−𝑥𝑘)ℎ , 𝑥 ∈ 𝑥𝑘, 𝑥𝑘+1

0, иначе,

(3.1)

𝐴𝑛(𝑥) =

⎧⎨⎩(𝑥−𝑥𝑛−1)

ℎ , 𝑥 ∈ [𝑥𝑛−1, 𝑏],

0, иначе.

где: ℎ = 𝑏−𝑎𝑛−1, 𝑎— начальный момент времени, 𝑏— конечный момент

времени ряда.

Шаг 4. Сопоставление нечеткого временного интервала наиме-нованию базисной функции. Принимаем вычисленные базисныефункции в качестве функций принадлежности значений временногоряда к временным интервалам.

После вычисления функций принадлежности можно смодели-ровать временной ряд, отобразив числовые значения его уровней нанечеткие временные интервалы. В разделе 2.3 описано применениеметода F-преобразования для данной операции. В результатеприменения F-преобразования к ВР последний отображается наболее короткий ряд компонент F-преобразования.

3.1.2. Преобразование ВР на основе нечеткой шкалы.Построение НВР класса 1 и класса 2

Метод моделирования таких нечетких объектов, как значенияисходного числового ВР и нечетких элементарных тенденцийосновано на следующих идеях:

57

1. Модель нечеткого ВР представлена распределениемнечеткостина универсальноммножестве, в этомножество входит диапазонизменения значений ВР. Распределение нечеткости моделиру-ется лингвистической переменной с заданным количествомнечетких термов.

2. Результаты моделирования исходного числового ВР нечеткимВР представлены в виде нечеткого временного ряда значе-ний (наблюдений) и нечеткого временного ряда нечеткихэлементарных тенденций. В дальнейшем нечеткий временнойряд значений будем называть нечеткий временной ряд НВРкласса 1, а нечеткий временной ряд нечетких элементарныхтенденций – НВР класса 2.

3. Каждое значение нечетких ВР класса 1 или класса 2 представ-лено нечетким термом (нечетким множеством).

4. Для моделирования таких нечетких объектов ВР необходиманекоторая шкала, позволяющая по наблюдениям и знаниям опредметной области оценивать параметры нечетких множеств,образующих нечеткий ВР.

5. Используемые знания о предметной области должны бытьпредставлены по крайней мере в минимальном объеме,учитываться в параметрах шкалы, определять результат мо-делирования.

6. Метод моделирования нечетких ВР должен быть инвариантенк предметным областям и позволять получать для заданныхпараметров и заданного числового ВР единственный нечеткийВР заданного класса.

Для фаззификации числового ВР и его преобразования внечеткий ВР класса 1 может использоваться специальная ACL-шкала (Absolute&Comparative Linguistic) [33, 35], предназначенная

58

для нечеткого оценивания наблюдений. Абсолютные оценки, полу-ченные по ACL-шкале, соответствуют нечетким оценкам (меткам)значений НВР, а сравнительные оценки – нечетким разностям, тоесть элементарным тенденциям НВР (см. главу 2).

𝑚 = 𝑖𝑛𝑡

(2 · (𝑥max − 𝑥min)

𝑛 · 𝛿· 𝑆

)+ 1, где 𝛿 =

1

𝑛

𝑛∑𝑡=1

𝑥𝑡 − 𝑥′𝑡𝑥𝑡

, 𝑆 =

𝑛∑𝑡=1

1

𝑥𝑡.

Доказано, что мощность ACL-шкалы 𝑚, построенной по ВР𝑋 = 𝑥𝑡, 𝑡 = 1, 2, ..., 𝑛, зависит от средней относительной ошибкиаппроксимации 𝛿:

𝛿 =1

𝑛

𝑛∑𝑡=1

𝑥𝑡 − 𝑥′𝑡𝑥𝑡

.

С увеличением мощности шкалы𝑚 средняя погрешность нечеткогооценивания значений ВР уменьшается – содержательная интерпре-тация полученных зависимостей, которая соответствует результатампроведенного вычислительного эксперимента. Нетрудно показать,что 𝛿 → 0 при𝑚→ ∞.

Последовательность нечетких тенденций нечеткого ВР вовременном пространстве порождает нечеткий временной ряд снечеткой тенденцией.

Пусть задан нечеткий ВР 𝑌 = {𝑡𝑖, ��𝑖}, ��𝑖 ∈ ��, 𝑖 = 1, 2, ..., 𝑛.Основываясь на введенной структурной модели нечетких

тенденций (2.4.2), нечеткий временной ряд нечетких элементарныхтенденций есть совокупность одновременных временных рядов,природа которых обусловлена типом компонент НЭТ:𝜏𝑡 =< 𝑣𝑡, ��𝑡, 𝜇𝑡 >, 𝑡 = 2, 3, ..., 𝑛.

Для преобразования исходного ВР в нечеткие ВР класса 1и класса 2 предлагается использовать алгоритм, включающийследующие шаги:

Шаг 1. Построение модели ACL-шкалы 𝐶 = {𝐻,Ω,Ψ} поисходному ВР, предварительно задав ее параметры, в том числеуровень погрешности в данных 𝑑 или мощность шкалы𝑚.

59

Шаг 2. Фаззификация значений ВР на основе операции FuzzyACL- шкалы. В результате получим НВР класса 1.

Шаг 3. Идентификация нечетких элементарных тенденций.Для каждой нечеткой метки нечеткого ВР ��𝑡 ∈ �� определить нечет-кую метку типа НЭТ 𝑣𝑡 ∈ 𝑉 и нечеткую метку интенсивности ��𝑡 ∈ 𝐴

с помощью операций ACL-шкалы 𝑇𝑇𝑒𝑛𝑑, 𝑅𝑇𝑒𝑛𝑑 соответственно.В результате получим ВР НЭТ (НВР класса 2): 𝜏𝑡 =< 𝑣𝑡, ��𝑡, 𝜇𝑡 >

, 𝑡 = 2, 3, ..., 𝑛. Пример фрагмента представления ВР в терминах НВРкласса 1 и класса 2 приведен в табл. 3.1.

Таблица 3.1. Результат FT-преобразования ВР

Исходный ВР НВР класса 1 НВР класса 2𝑥𝑖 ��𝑖 𝜇𝑖 𝑣𝑖 ��𝑖

13055 A0 1,00 Рост Небольшой

13563 A1 0,76 Стабильность Отсутствует

13847 A1 0,88 Рост Небольшой

14696 A2 0,68 Рост Небольшой

3.2. Методы моделирования числовых временных рядов наоснове нечетких временных рядов

3.2.1. Моделирование нечеткого временного ряда класса 0.F-модель

Предположим что 𝑦𝑡, 𝑡 = 1, . . . , 𝑇 , 𝑇 ≥ 3, временной ряд. Мырассматриваем его как дискретную функцию, которая определенана множестве моментов времени 𝑃𝑇 = {1, . . . , 𝑇}. Пусть 𝐴1, . . . , 𝐴𝑛,𝑛 < 𝑇 — базисные функции, составляющие нечеткое разбиениеинтервала [1, 𝑇 ]. Обозначим 𝑃𝑘, 𝑘 = 1, . . . , 𝑛, как подмножество 𝑃𝑇 ,состоящее из точек, покрываемых 𝐴𝑘. Следует отметить, что из-заособенностей плотности нечеткого разбиения каждое подмножество𝑃𝑘 является не пустым.

60

Пусть 𝐹𝑛(𝑦) = (𝑌1, . . . , 𝑌𝑛)— F-преобразование временного ряда𝑦𝑡 на разбиении 𝐴1, . . . , 𝐴𝑛. Мы говорим, что {𝑦𝑡 − 𝑌𝑘 | 𝑡 ∈ 𝑃𝑘} есть 𝑘-ый вектор остатков 𝑦𝑡 на разбиении 𝐴𝑘, 𝑘 = 1, . . . , 𝑛. Для 𝑡 = 1, . . . , 𝑇 ,𝑘 = 1, . . . , 𝑛 обозначим

𝑟𝑡𝑘 =

⎧⎨⎩𝑦𝑡 − 𝑌𝑘, если 𝑡 ∈ 𝑃𝑘,

−∞, иначе(3.2)

так что 𝑅 = (𝑟𝑡𝑘) есть матрица остатков размерностью 𝑇 × 𝑛.

В следующих двух утверждениях мы показываем вычислениевекторов остатков F-преобразования и декомпозицию временногоряда 𝑦𝑡.

Утверждение 3.2.1. Пусть 𝑅 = (𝑟𝑡𝑘) матрица остатков временногоряда 𝑦𝑡 размерностью 𝑇 × 𝑛 на нечетком разбиении 𝐴1, . . . , 𝐴𝑛 интер-вала [1, 𝑇 ]. Пусть 𝐴 матрица разбиения множества 𝑃𝑇 размерностью𝑛 × 𝑇 . Тогда

∙ 𝐴𝑅 = 0;

∙ 𝐹𝑛(𝑟𝑘) = 0, 𝑘 = 1, . . . 𝑛.

Утверждение 3.2.2. Пусть 𝑦𝑡 временной ряд на [1, 𝑇 ] и 𝐴1, . . . , 𝐴𝑛

нечеткое разбиение [1, 𝑇 ]. Если 𝐹𝑛(𝑦) F-преобразование 𝑦𝑡 и 𝑅 = (𝑟𝑡𝑘)

матрица размерностью 𝑇 × 𝑛, состоящая из векторов остатков, то𝑦𝑡 может быть представлен следующим образом:

𝑦𝑡 =𝑛⋁

𝑘=1

(𝑌𝑘 + 𝑟𝑡𝑘). (3.3)

При декомпозиции, показанной в (3.3), компонентыF-преобразования считаются компонентами тренда временногоряда 𝑦𝑡.

61

3.2.2. Моделирование нечеткого временного ряда класса 1.S-модель

Предположим, что исходный временной ряд порожден нечет-кимдинамическимпроцессом, в которомтекущее состояние зависитот предыдущих.

Целью нечеткого моделирования числового ВР𝑌 = 𝑥𝑡, 𝑥𝑡 ∈ 𝑋, 𝑡 = 1, 2, ..., 𝑛 является идентификация нелинейноймодели, описывающей динамику исследуемого процесса, в видемодели НВР 𝑝-го порядка [25, 26]:

��𝑡 = (��𝑡−1 × ��𝑡−2 × ...× ��𝑡−𝑝) ∘𝑅(𝑡, 𝑡− 𝑝),

𝑅(𝑡, 𝑡− 𝑝) =𝑚𝑎𝑥

𝑝

{𝑚𝑖𝑛

𝑗, 𝑖1, 𝑖2, ..., 𝑖𝑝{��𝑗𝑡 , ��

𝑖1𝑡−1, ..., ��

𝑖𝑝𝑡−𝑝}

}, (3.4)

где ��𝑡 – нечеткие множества (функции принадлежности), заданныена𝑋; 𝑅(𝑡, 𝑡− 𝑝) – система нечетких отношений; ∘ – операция𝑚𝑎𝑥−𝑚𝑖𝑛 композиции.

Данная модель имеет лингвистическую интерпретацию в видебазы нечетких правил «Если-То»:

𝑅(𝑡, 𝑡− 𝑝): Если 𝑥𝑡−𝑝 есть ��𝑡−𝑝, 𝑥𝑡−𝑝+1 есть ��𝑡−𝑝+1, ..., 𝑥𝑡−1 есть 𝑥𝑡−1,то 𝑥𝑡 есть ��𝑡.

Условия применимости алгоритма нечеткого моделированиячислового ВР:

1. Задать значения ВР:𝑋 = 𝑥𝑡, 𝑡 = 1, 2, ..., 𝑛.

2. Определить универсальное множество 𝑈 = {𝑛𝑚𝑖𝑛, 𝑛𝑚𝑎𝑥},𝑈 ⊃ 𝑋, параметры.

3. Построить распределение нечеткости в виде набора функцийпринадлежности нечетких множеств, определенных на этомуниверсальном множестве �� = ��𝑖, 𝑖 = 1, 2, ...,𝑚.

62

Моделирование НВР в соответствии с нечеткой моделью,предложенной в работе [25], состоит в реализации следующихшагов:

1. Фаззификация значений ВР ��𝑡 = 𝐹𝑢𝑧𝑧𝑦(𝑥𝑡), 𝑡 = 1, 2, ..., 𝑛.��′𝑡 = ��𝑘, если ��𝑘(𝑥𝑡) ≥ ��𝑗(��𝑡), ∀𝑗 = 1, 2, ...,𝑚.

2. Формирование отношения вида 𝑅𝑡,𝑡−1 : ��𝑡−1 → ��𝑡, 𝑡 = 2, 3, ..., 𝑛.Так как это выражение соответствует нечеткой импликации,то его можно представить в лингвистической форме 𝑅(𝑡, 𝑡− 1) :

Если 𝑥𝑡−1 есть ��𝑡−1, то 𝑥𝑡 есть ��𝑡. Модель НВР, согласно Сонгу,представима в форме уравнения:

��𝑡 = ��𝑡−1 ∘𝑅(𝑡, 𝑡− 1).

«Вычисление» по данной модели числовых значений времен-ного ряда 𝑋 ′ = (𝑥′𝑡), 𝑡 = 1, 2, ..., 𝑛 выполняется с помощьюалгоритма Мамдани [55, 67]:

a) Фаззифицировать входные данные — определение степе-ни принадлежности входных данных входным нечеткимпеременным. Подставить значения 𝑥𝑡−1 в левые частинечетких правил и вычисление вектора коэффициентов𝑧𝑗 = ��𝑗1(𝑥𝑡−1), 𝑗 = 1, 2, ..., 𝑟.

b) Вычислить результат применения нечеткогоправила 𝑅𝑖𝑗(𝑡, 𝑡 − 1) для каждой импликации𝑅𝑡,𝑡−1 : ��𝑡−1 → ��𝑡, 𝑡 = 2, 3, ..., 𝑛. Модифицировать правыечасти нечетких правил ��′𝑗2 = min(��𝑗2, 𝑧𝑗), 𝑗 = 1, 2, ..., 𝑟.

c) Провести агрегацию правых частей нечетких правил��′𝑡 = max(��𝑗2), 𝑗 = 1, 2, ..., 𝑟.

d) Вычислить приближенное значение числового ВР

𝑥′𝑡 =

∫ 𝑛𝑚𝑎𝑥

𝑛𝑚𝑖𝑛

𝑥 · ��′𝑡(𝑥)𝑑𝑥∫ 𝑛𝑚𝑎𝑥

𝑛𝑚𝑖𝑛

��′𝑡(𝑥)𝑑𝑥

63

e) Перейти к оцениванию следующего члена ВР t = t +1.

3.2.3. Моделирование нечеткого временного ряда класса 2.Т-модель

Длямоделирования нечеткого временного ряда, образованногокомпонентами нечетких элементарных тенденций названного вначале этой главы НВР класса 2 используем Т-модель.

Предположим, что исходный временной ряд порожден нечет-кимдинамическимпроцессом, в которомтекущее состояние зависитот предыдущих. Нечеткое значение, характеризующее состояниенечеткого процесса, может определять нечеткое значение ВР илинечеткие значения компонент НЭТ.

В том случае, если исходный ряд есть числовой, построим ACL-шкалу и используем операцию ACL-шкалы для его приведения кнечеткому ��𝑡 = 𝐹𝑢𝑧𝑧𝑦(𝑥𝑡).

Применив метод FT-преобразования и операции оцениванияпо ACL-шкале, построим временной ряд нечетких элементарныхтенденций:

𝜏𝑡 =< 𝑣𝑡, ��𝑡, 𝜇𝑡 >, 𝑣𝑡 = 𝑇𝑇𝑒𝑛𝑑(��𝑡, ��𝑡+1), ��𝑡 = 𝑅𝑇𝑒𝑛𝑑(��𝑡, ��𝑡+1),

𝜇𝑡 = 𝑚𝑖𝑛(𝜇(��𝑡), 𝜇(��𝑡+1)). Тогда для описания нечеткой авторегрессиивоспользуемся нечеткой моделью ВР Сонга. Модель НВР НЭТпредставим в виде 𝜏𝑡 = (𝜏𝑡−1 × 𝜏𝑡−2 × ...𝜏𝑡−𝑝) ∘𝑅𝜏(𝑡, 𝑡− 𝑝), а в терминахкомпонент НЭТ – в виде совокупности уравнений:

𝑣𝑡 = (𝑣𝑡−1 × 𝑣𝑡−2 × ...𝑣𝑡−𝑝) ∘𝑅𝑣, ��𝑡 = (��𝑡−1 × ��𝑡−2 × ...��𝑡−𝑝) ∘𝑅��, (3.5)

где отношения 𝑅 извлекаются из временных рядов компонентнечетких элементарных тенденций 𝑣𝑡, ��𝑡 и образуют нечеткуюмодель временного ряда𝑋.

Совокупность нечетких правил «Если-То», построенная дляотношения 𝑅𝑣(𝑡, 𝑡 − 1) , есть лингвистическая форма нечеткой Т-модели, она определяет зависимости в типах НЭТ:

64

Рис. 3.2. Общая схема построения модели ВР в терминах НТ

𝑅1 := Если 𝑣𝑡−1,𝑡 = «Рост», то 𝑣𝑡,1 = «Стабильность»

𝑅2 := Если 𝑣𝑡−2,𝑡 = «Стабильность», то 𝑣𝑡,2 = «Рост» (3.6)

𝑅3 := Если 𝑣𝑡−3,𝑡 = «Рост», то 𝑣𝑡,3 = «Рост»

𝑅4 := Если 𝑣𝑡−4,𝑡 = «Рост», то 𝑣𝑡,4 = «Рост»

Используя вычислительный алгоритм нечеткого логическоговыводаМамдани по нечеткой модели, получим прогнозное нечеткоемножество, характеризующее тип НЭТ и ее интенсивность длякаждогомомента времени 𝑡(𝑘 = 1, 2, ..., 𝑛𝑘;𝑛𝑘—количество нечеткихправил «Если-То»):

𝑣′𝑡 =⋃𝑘

⋂𝑡

(𝑣𝑡−1,𝑘, 𝑣𝑡,𝑘), ��′𝑡 =

⋃𝑘

⋂𝑡

(��𝑡−1,𝑘, 𝑣𝑡,𝑘). (3.7)

Тогда согласно алгоритму нечеткого логического вывода поМамдани

𝑣′𝑡 = max𝑘

min𝑡(𝑣𝑡−1,𝑘, 𝑣𝑡,𝑘), ��

′𝑡 =𝑀𝑎𝑥𝑘𝑀𝑖𝑛𝑡(��𝑡−1,𝑘, 𝑣𝑡,𝑘).

Результатыпрогноза очереднойнечеткой тенденциивыраженыв лингвистических термах, не требующих дополнительной интер-претации.

65

Тип правил, включенных в базу знаний, определяет ее струк-туру. Введем следующие обозначения. Обозначим базу знаний𝑅𝑢𝑙𝑒 = {𝑅𝑝

𝑘}, где 𝑘 – количество нечетких продукционных правил вбазе знаний; 𝑝 – количество переменных (нечетких высказываний)в каждом правиле.

Модель числового временного ряда в структурно-лингвистическом подходе рассматривается как результатприведения к четкости его нечетких моделей.

В качестве аппроксимационной модели числового ВР применя-ется модель

𝑥𝑡 = 𝑥𝑡−1 + 𝑣𝑡 · 𝑎𝑡 + 𝜀𝑡.

в которой неизвестные параметры определяются на основе опера-ций дефаззификации ACL-шкалы:

𝑣′𝑡 = 𝑑𝑒𝐹𝑢𝑧𝑧𝑦(𝑣′𝑡) =

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩0, если 𝑣𝑖 = ”стабильность”

−1, если 𝑣𝑖 = ”падение”

1, если 𝑣𝑖 = ”рост”

𝑎′𝑡 = 𝑑𝑒𝐹𝑢𝑧𝑧𝑦(��′𝑡) =

𝑛∑𝑘=1

𝑥𝑘 · ��′𝑡(𝑥𝑘)

𝑛∑𝑘=1

��′𝑡(𝑥𝑘)

,

𝑥′𝑡−1 = 𝑑𝑒𝐹𝑢𝑧𝑧𝑦(��′𝑡−1), 𝑥′𝑡 = 𝑥′𝑡−1 + 𝑣′𝑡 · 𝑎′𝑡.

66

Глава IV

ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ОДНОМЕРНЫХВРЕМЕННЫХ РЯДОВ НА ОСНОВЕ

НЕЧЕТКИХ МОДЕЛЕЙ

Подход с точки зрения нечетких моделей позволяет исполь-зовать прикладные знания для нечеткого выражения уровнейвременного ряда, строить нечеткие временные ряды и выявлятьзависимости в виде нечетких продукционных правил.

Представление временных рядов в классе нечетких временныхрядов основывается на предположении, что возможна лингвистиче-ская интерпретация значений временного ряда, основанная на поня-тии нечетких множеств. Эта семантически значимая интерпретациязначений ВР, относящаяся как к его уровням, так и к временным мо-ментам, выраженная в нечетких лингвистических оценках, зависитот сущности и контекста свойств наблюдаемого объекта, а также отвосприятия эксперта, выполняющего интерпретацию. Восприятиеинтегрирует компетентностную, временную и пространственнуюпозицию эксперта.

67

4.1. Методика и критерии оценки эффективности моделейвременных рядов

Оценка качества моделей прогнозирования ВР основана наанализе расхождений между значениями исходного ВР и его моде-лью по критериям средней квадратичной ошибки (дисперсии илиСКО, в англоязычной терминологии оценка СКО имеет обозначениеMSE) и средней абсолютной относительной ошибке (САОО, ванглоязычной терминологии – критерий МАРЕ):

𝑀𝑆𝐸 =1

𝑛

𝑛∑𝑖=1

(𝑥𝑖 − ��𝑖)2, 𝑀𝐴𝑃𝐸 =

1

𝑛

𝑛∑𝑖=1

𝑥𝑖 − ��𝑖𝑥𝑖

· 100%.

Здесь 𝑥𝑖 – реальные значения ВР, ��𝑖 – оценки значений ВР,полученные в результате прогнозирования ВР по модели.

Для нечеткихмоделей в терминах НЭТ необходимо разработатьсобственные критерии эффективности, характеризующие точностьпри моделировании компонент нечетких тенденций – типа иинтенсивности, для оценки моделей необходим также показательадекватности.

В связи с этим предлагаются новые критерии эффективности,которыемогут быть использованы для сравнения не только нечеткихмоделей, но и моделей нейросетевого и статистического подходов:

1. Новый критерий адекватности 𝑑𝑎(0 ≤ 𝑑𝑎 ≤ 1), который оценива-ет соответствие результатов моделирования предположенияммодели о допустимой погрешности в остатках модели:

𝑑𝑎 =1

𝑛

𝑛∑𝑡=1

Δ𝜉𝑡, Δ𝜉𝑡 =

⎧⎨⎩1, если |𝑥𝑡 − 𝑥′𝑡| > 𝑑

0, если |𝑥𝑡 − 𝑥′𝑡| ≤ 𝑑.

Считаем, что при 𝑑𝑎 ≤ 0.2 модель адекватна, так как в этомслучае согласно предположениям модели остатки обладаютсвойством нечеткого белого шума, СКО которого меньшепогрешности в данных.

68

Данный критерий позволяет определить адекватность моделив контексте лингвистического критерия «стабильность», задан-ного пользователем.

2. Новый критерий оценки соответствия поведения исследуемогоВР поведению моделируемого (прогнозируемого) ВР в терми-нах доли количества ошибочных нечетких тенденций Ttend (𝑝 -порядок модели):

𝑇𝑇𝑒𝑛𝑑 = 100% · 1

𝑛− 𝑝− 1

𝑛∑𝑡=2+𝑝

𝐸𝑟_𝑣𝑡.

Аналогично введем критерии оценки соответствия поведенияВР в терминах нечетких множеств.

Критерий оценки соответствия поведения исследуемого ВР𝑋 = 𝑥𝑡, 𝑡 = 1, 2, ..., 𝑛 поведению ВР 𝑌 = 𝑦𝑡, 𝑡 = 1, 2, ..., 𝑛 науровне грануляции 𝑟 = 2, определяющий расстояние междуодновременными НЭТ:

𝜌(𝑥, 𝑦) = 100% · 1𝑛

𝑛∑𝑡=1

(𝜌(𝑣𝑥𝑡 , 𝑣𝑦𝑡 ) · 𝜌(��𝑥𝑡 , ��

𝑦𝑡 ) ·

√𝜌(𝜇𝑥𝑡 , 𝜇

𝑦𝑡 )

2),

𝜌(𝑣𝑥𝑡 , 𝑣𝑦𝑡 ) =

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩0, 𝑣𝑥𝑡 = 𝑣𝑦𝑡

1, 𝑣𝑥𝑡 = 𝑣𝑦𝑡 , 𝑣𝑥𝑡 = 𝐶

0.5, 𝑣𝑥𝑡 = 𝑣𝑦𝑡 , 𝑣𝑥𝑡 = 𝐶

𝜌(��𝑥𝑡 , ��𝑦𝑡 ) =

⎧⎨⎩1, ��𝑥𝑡 = ��𝑦𝑡

0, ��𝑥𝑡 = ��𝑦𝑡

𝜌(𝜇𝑥𝑡 , 𝜇𝑦𝑡 ) = |𝜇𝑥𝑡 − 𝜇𝑦𝑡 |,

0 ≤ 𝜌(𝑥, 𝑦) ≤ 100.

Часто мера эффективности моделей МАРЕ более выразитель-ная, чем среднеквадратическая ошибка. Например, знаниетого, что точность прогноза 5%, полезно само по себе, в то

69

время как значение 30.8 для средней квадратической ошибкине может быть так просто проинтерпретировано. Другимположительным качеством критерия МАРЕ по сравнению сMSE является возможность получения усредненной ошибкипрогнозирования, выраженной в процентах, что позволяетиспользовать ее для сравнения эффективности моделей припрогнозировании множества временных рядов.

По данным вычислительного эксперимента установлена высо-кая корреляционная связь между показателями МАРЕ и MSE(94%), что позволяет для сравнения моделей ВР использоватькритерий МАРЕ. В тоже время корреляционная связь междуМАРЕиTtend, междуМАРЕи 𝑑𝑎 –незначительная. Данныйфактпоказывает, что новые показатели эффективности моделейоценивают новое свойство моделей.

Для тестирования моделей используются внешние мерыкачества, основанные на разделении исходного ВР на две части(обычно 90/10): первая часть используется для построениямодели (для обучения), а вторая – для тестирования.

Предложена следующая методика оценивания различныхнечетких моделей при анализе временного ряда, основанная:

a) на обязательном применении эквивалентных ACL-шкалдля генерации эквивалентных нечетких временных рядов;

b) на решении однотипной задачи анализа ВР, например,краткосрочный прогноз на 10% или прогноз будущей НЭТ;

c) на использовании новых критериев точности для оценкиповедения исследуемого ВР поведению моделируемого(прогнозируемого) ВР 𝑇𝑇𝑒𝑛𝑑 и/или 𝜌(𝜏𝑖, 𝜏𝑠);

d) на использовании критерия адекватности 𝑑𝑎;

70

e) на использовании качественных оценок точности число-вых оценок значений ВР и лингвистических оценок типовНЭТ, определяющих направление изменения значений.Будем применять в дополнение к числовым значениямкритериев Ttend и МАРЕ их качественные оценки, выра-женное лингвистически (табл. 4.1).

Таблица 4.1. Критерии эффективности моделей

r Критерии эффективности моделей Krit Числовая и лингвистическаяоценка критерия

r=2 𝑇𝑇𝑒𝑛𝑑𝐹𝑃𝐸 = 100% · 1𝑛

𝑛∑𝑡=1

𝐸𝑅_𝑣𝑡

𝐸𝑟_𝑣𝑡 =

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩0, 𝑣𝑥𝑡 = 𝑣𝑦𝑡

1, 𝑣𝑥𝑡 = 𝑣𝑦𝑡 , 𝑣𝑥𝑡 = 𝐶

0.5, 𝑣𝑥𝑡 = 𝑣𝑦𝑡 , 𝑣𝑥𝑡 = 𝐶

0 ≤ 𝑇𝑇𝑒𝑛𝑑𝐹𝑃𝐸 ≤ 100%

𝑇𝑡𝑒𝑛𝑑𝐹𝑃𝐸 ≤ 6% – очень высокое,6% < 𝑇𝑡𝑒𝑛𝑑𝐹𝑃𝐸 ≤ 12% – высокое,12% < 𝑇𝑡𝑒𝑛𝑑𝐹𝑃𝐸 ≤ 25% – среднее,25% < 𝑇𝑡𝑒𝑛𝑑𝐹𝑃𝐸 ≤ 50% – низкое,𝑇𝑡𝑒𝑛𝑑𝐹𝑃𝐸 > 50% – очень низкое.

𝑅𝑇𝑒𝑛𝑑𝐹𝑃𝐸 = 100% · 1𝑛

𝑛∑𝑡=1

𝐸𝑅_��𝑡

𝐸𝑟_��𝑡 =

⎧⎨⎩1, ��𝑥𝑡 = ��𝑦𝑡

0, ��𝑥𝑡 = ��𝑦𝑡0 ≤ 𝑅𝑇𝑒𝑛𝑑𝐹𝑃𝐸 ≤ 100%

𝑅𝑡𝑒𝑛𝑑𝐹𝑃𝐸 ≤ 6% – очень высокое,6% < 𝑅𝑡𝑒𝑛𝑑𝐹𝑃𝐸 ≤ 12% – высокое,12% < 𝑅𝑡𝑒𝑛𝑑𝐹𝑃𝐸 ≤ 25% – среднее,25% < 𝑅𝑡𝑒𝑛𝑑𝐹𝑃𝐸 ≤ 50% – низкое,𝑅𝑡𝑒𝑛𝑑𝐹𝑃𝐸 > 50% – очень низкое.

4.2. Извлечение локальных тенденций (трендов)и прогнозирование ВР с использованием нечеткогосглаживания

За основу метода моделирования временного ряда был взятметод F-преобразования, позволяющим проводить нечеткое сглажи-вание временных рядов. Данный метод позволяет строить модельвременного ряда, выделяя при этом две составляющие сущности

71

временного ряда: кусочно-линейный тренд и остатки от разностивременного ряда и тренда.

Обозначим временной ряд как:

𝑇𝑆 = {𝑡𝑠𝑖}, 𝑖 ∈ 𝑁,

где 𝑡𝑠𝑖 = [𝑡𝑖, 𝑣𝑡𝑖]— элемент временного ряда в момент времени 𝑡𝑖 изначением равным 𝑣𝑡𝑖, 𝑣𝑡𝑖 ∈ R.

В модель включается такой параметр, как количество точек,которое покрывает каждая базисная функция. Данная величинаявляется важной для проведения декомпозиции временного рядана компоненты. Пусть 𝐹𝑇 _𝐴 — множество базисных функций,необходимое для разбиения всего временного ряда.

𝐹𝑇 _𝐴 = {𝐴𝑖, 𝑐𝑝𝑖, 𝑐𝑡𝑖},

где 𝐴𝑖 — базисная функция, 𝑐𝑝𝑖 — количество точек, покрываемоебазисной функцией𝐴𝑖 с вершиной 𝑐𝑡𝑖 в точке 𝑡𝑖. Определимфункциюзадания нечеткого разбиения:

𝐹𝑇 : (𝑇𝑆, 𝐹𝑇 _𝐴) → 𝐹,

где 𝐹 — компоненты F-преобразования. Остатки временного рядавычисляются как разность между компонентами F-преобразования(точками кусочно-линейного тренда) и исходным временным рядом:

𝑅 = (𝑇𝑆 − 𝐹 ).

Тогда нечеткая модель временного ряда

𝐹𝑇𝑅 = (𝐹 +𝑅).

Таким образом, видно что сохраняется общий принципдекомпозиции временного ряда, предложенный Т. Андерсоном в[31]. Отличие возникает на этапе получения компонент временногоряда.

72

4.2.1. Построение прогноза ВР на основе решения системыуравнений методом простых итераций

Для построения прогноза временного ряда берется век-тор компонент F-преобразования: {𝐹1, ..., 𝐹𝑘} и вектор остатков𝑅 = {𝑟1, ..., 𝑟𝑘}. В качестве прогнозноймодели выступает авторегрес-сионная модель Бокса-Дженкинса. Прогнозирование выделенныхкомпонент временного ряда (тренда и остатков) производитсяраздельно. Подробнее рассмотрим процесс прогнозирования ком-поненты тренда, поскольку процесс прогнозирования остатковбудет идентичен. Прогноз компоненты тренда определяется как:𝐹𝑘+1 = 𝐹𝑘−𝑙𝑒𝑣𝑒𝑙+1𝑥1 + 𝐹𝑘−𝑙𝑒𝑣𝑒𝑙+2𝑥2 + ... + 𝐹𝑘𝑥𝑙𝑒𝑣𝑒𝑙, где 𝑙𝑒𝑣𝑒𝑙 — порядокавторегрессии, 𝑘 — количество компонент для всего временногоряда, 𝑙𝑒𝑣𝑒𝑙 << 𝑘.

По заранее заданному порядку авторегреcсии 𝑙𝑒𝑣𝑒𝑙 (𝑙𝑒𝑣𝑒𝑙 <<𝑘) строится система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).Строим две матрицы: коэффициентов и свободных членов длянахождения неизвестных 𝑥1, ..., 𝑥𝑙𝑒𝑣𝑒𝑙. Вид матриц для 𝑘 компоненттренда будет следующим:⎛⎜⎜⎜⎜⎝

𝐹1𝑥1 𝐹2𝑥2 · · · 𝐹𝑙𝑒𝑣𝑒𝑙𝑥𝑙𝑒𝑣𝑒𝑙

𝐹2𝑥1 𝐹3𝑥2 · · · 𝐹𝑙𝑒𝑣𝑒𝑙+1𝑥𝑙𝑒𝑣𝑒𝑙...

𝐹𝑘−𝑙𝑒𝑣𝑒𝑙𝑥1 𝐹𝑘−𝑙𝑒𝑣𝑒𝑙+1𝑥2 · · · 𝐹𝑘−1𝑥𝑙𝑒𝑣𝑒𝑙

⎞⎟⎟⎟⎟⎠ =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝𝐹𝑙𝑒𝑣𝑒𝑙+1

𝐹𝑙𝑒𝑣𝑒𝑙+2...𝐹𝑘

⎞⎟⎟⎟⎟⎠(4.1)

Пример построения подобных матриц для набора компонент:{𝐹1, 𝐹2, 𝐹3, 𝐹4, 𝐹5, 𝐹6, 𝐹7} и порядка авторегрессии 𝑙𝑒𝑣𝑒𝑙 = 3:⎛⎜⎜⎜⎜⎝

𝐹1𝑥1 𝐹2𝑥2 𝐹3𝑥3

𝐹2𝑥1 𝐹3𝑥2 𝐹4𝑥3

𝐹3𝑥1 𝐹4𝑥2 𝐹5𝑥3

𝐹4𝑥1 𝐹5𝑥2 𝐹6𝑥3

⎞⎟⎟⎟⎟⎠ =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝𝐹4

𝐹5

𝐹6

𝐹7

⎞⎟⎟⎟⎟⎠73

Решая систему 4.1 методом простых итераций, получаемзначения 𝑥1, ..., 𝑥𝑙𝑒𝑣𝑒𝑙. Подставив значения компонент𝐹𝑘−𝑙𝑒𝑣𝑒𝑙, 𝐹𝑘−𝑙𝑒𝑣𝑒𝑙+1, ..., 𝐹𝑘 получим модельное значение 𝐹𝑘+1. Теперьсможем сравнить его с известным значением тренда, ранеепостроенным на тестовом участке временного ряда и сделатьзаключение об эффективности моделей по значению полученнойошибки.

4.2.2. Прогнозирование тренда и ВР на основе нейросетевогоподхода

Авторегрессионная зависимость вектора компонент трендаи вектора остатков также была взята за основу при построениинабора входных данных нейронной сети. Нейросетевой подходобеспечивает поиск решения в условиях, когда решение СЛАУне может быть найдено или необходимо учитывать нелинейныезависимости временного ряда. Условия для формирования входныхданных те же, что и в случае прогнозирования на основе решениясистемы линейных уравнений методом простых итераций: порядокавторегрессии — 𝑙𝑒𝑣𝑒𝑙, строится прогноз одной компоненты тренда,количество компонент для всего временного ряда — 𝑘, 𝑙𝑒𝑣𝑒𝑙 << 𝑘.

Вид матрицы:⎛⎜⎜⎜⎜⎝𝐹1𝑥1 𝐹2𝑥2 · · · 𝐹𝑙𝑒𝑣𝑒𝑙𝑥𝑙𝑒𝑣𝑒𝑙

𝐹2𝑥1 𝐹3𝑥2 · · · 𝐹𝑙𝑒𝑣𝑒𝑙+1𝑥𝑙𝑒𝑣𝑒𝑙...

𝐹𝑘−𝑙𝑒𝑣𝑒𝑙𝑥1 𝐹𝑘−𝑙𝑒𝑣𝑒𝑙+1𝑥2 · · · 𝐹𝑘−1𝑥𝑙𝑒𝑣𝑒𝑙

⎞⎟⎟⎟⎟⎠ =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝𝐹𝑙𝑒𝑣𝑒𝑙+1

𝐹𝑙𝑒𝑣𝑒𝑙+2...𝐹𝑘

⎞⎟⎟⎟⎟⎠(4.2)

Принцип прогнозирования тот же что и в случае с системойлинейных уравнений, разница в том, что не получаются корнисистемы {𝑥1, 𝑥2, ..., 𝑥𝑙𝑒𝑣𝑒𝑙} в явном виде. Процесс обучения сети

74

состоит в подаче на вход строк из матрицы, например: 𝐹1, ..., 𝐹𝑙𝑒𝑣𝑒𝑙,тестирование модели на значении 𝐹𝑙𝑒𝑣𝑒𝑙+1.

Другим вариантом построения матриц является использованиеразности между значениями. Прогноз компоненты тренда:𝐹𝑘+1 − 𝐹𝑘 = (𝐹𝑘−𝑙𝑒𝑣𝑒𝑙+1 − 𝐹𝑘−𝑙𝑒𝑣𝑒𝑙)𝑥1 + (𝐹𝑘−𝑙𝑒𝑣𝑒𝑙+2 − 𝐹𝑘−𝑙𝑒𝑣𝑒𝑙+1)𝑥2 + ...

+(𝐹𝑘 − 𝐹𝑘−1)𝑥𝑙𝑒𝑣𝑒𝑙.

4.3. Прогнозирование временного ряда с использованиеммодели нечеткого ВР (Сонг)

В 1993 году Сонг и Чиссон (Song и Chisson) [25] предложилинечеткие модели детерминированных (time-variant) и авторегресси-онных (time-invariant) временных рядов первого порядка (fist-order)и применили разработанные модели для прогнозирования коли-чества регистрирующихся студентов университета штата Алабама(США), фаззифицировав предварительно четкий временной ряд. Этобыло первое применение нечетких моделей при моделировании ВРи первое определение моделей нечетких временных рядов.

Пусть 𝑋𝑡, (𝑡 = 1, 2, ...) ⊂ R1 – универсальное множество, накотором определены нечеткие множества 𝑦𝑖𝑡, (𝑖 = 1, 2, ...) и 𝑌𝑡 –коллекция 𝑦𝑖𝑡, (𝑖 = 1, 2, ...). Тогда 𝑌𝑡 – нечеткий временной ряд [25].

На практике в большинстве временных рядов последователь-ные наблюдения зависимы, так что:

𝑅 = {(𝑦𝑡, 𝑦𝑡−1), (𝑦𝑡−1, 𝑦𝑡−2)...} ⊆ 𝑌𝑡 × 𝑌𝑡−1,

где 𝑌𝑡, 𝑌𝑡−1 обозначают переменные; 𝑦𝑡, 𝑦𝑡−1 – наблюдаемые значенияэтих переменных. Наиболее частой моделью зависимости являетсяявная функция:

𝑓 : 𝑌𝑡−1 → 𝑌𝑡,

представленная линейной функцией (марковским процессом, мо-дель AR(1)):

𝑦𝑡 = 𝑓(𝑦𝑡−1, 𝜑, 𝜀) = 𝜑𝑦𝑡−1 + 𝜀𝑡,

75

где 𝜀𝑡 – случайная ошибка. В случае нечеткого ВР в качестве моделиавторегрессии используется нечеткое разностное уравнение:

𝑦𝑖𝑡 = 𝑦𝑖𝑡−1 ∘𝑅𝑖𝑗(𝑡, 𝑡− 1),

𝑦𝑖𝑡 ∈ 𝑌𝑡, 𝑦𝑖𝑡−1 ∈ 𝑌𝑡−1, 𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝐽,

где ∘ — обозначает операцию композиции из теории нечеткихмножеств; 𝑅(𝑡, 𝑡− 1) =

⋃𝑖,𝑗

𝑅𝑖𝑗(𝑡, 𝑡− 1) – система нечетких отношений,

которая символически может быть записана в виде 𝑌𝑡 → 𝑌𝑡−1.Система отношений 𝑅 в выражении 𝑌𝑡 = 𝑌𝑡−1 ∘𝑅(𝑡, 𝑡− 1) определяетмодель нечеткого ВР (S-модель) первого порядка.

Моделирование нечетких временных рядов в соответствиис нечеткой моделью, предложенной в работе [25], состоит вреализации следующих шагов:

1. Определение нечетких переменных — разбиение данныхна множество интервалов (носителей нечетких множеств),определение лингвистических значений нечетких множеств иих функций принадлежности.

2. Формирование логических отношений 𝑌𝑡 → 𝑌𝑡−1.

3. Фаззификация входныхданных– определение степенипринад-лежности входных данных входным нечетким переменным.

4. Вычисление результата применения нечеткого правила𝑅𝑖𝑗(𝑡, 𝑡− 1) каждой импликации.

5. Вычисление результирующего отношения 𝑅 как объединение⋃𝑖,𝑗

𝑅𝑖𝑗(𝑡, 𝑡− 1).

6. Применение полученной модели к входным данным и получе-ние выходных нечетких результатов.

76

7. Дефаззификация нечетких результатов.

Предложенная Сонгом [25] модель НВР имеет следующие недостат-ки:

1. Эвристическое задание количества входных, выходных пере-менных и параметров нечетких множеств.

2. При реализации нечеткой максиминой (max min) композициимодели, требуется большое количество вычислений, особенно,когда нечеткое отношение очень велико.

3. Отсутствуют возможности проверки на полноту базы знанийи поиска наилучшей модели, что приводит к недостаточнойточности модели.

4. Не реализован анализ паттернов (компонент) временного ряда.

Рассмотрим алгоритм прогнозирования по S-модели на примере,представленном в работе [25].

Алгоритм прогнозирования количества абитуриентовуниверситета на основе модели нечеткого временного ряда

Шаг 1. Определим универсум 𝑈 , в пределах которого изменя-ются исторические данные, и на которых нечеткие множества будутопределены (𝑈 = [13000, 20000]).

Шаг 2. Разделим универсум 𝑈 на 7 интервалов с равнымидлинами.

Шаг 3. Определим нечеткие множества на универсуме 𝑈 стреугольными функциями принадлежности 𝐴𝑖 𝑖 = 1...7.

Шаг 4. Фаззифицируем исторические данные.Шаг 5. По историческим данным построим модель НВР

𝐴𝑖 = 𝐴𝑖−1 ∘𝑅, где 𝑅(𝑡, 𝑡− 1) = 𝑅 =10⋃𝑖=1

𝑅𝑡, (4.3)

77

𝑅1 = 𝐴𝑇1 ×𝐴1, 𝑅2 = 𝐴𝑇

1 ×𝐴2, 𝑅3 = 𝐴𝑇2 ×𝐴3, 𝑅4 = 𝐴𝑇

3 ×𝐴3, 𝑅5 = 𝐴𝑇3 ×𝐴4,

𝑅6 = 𝐴𝑇4 ×𝐴4, 𝑅7 = 𝐴𝑇

4 ×𝐴3, 𝑅8 = 𝐴𝑇4 ×𝐴6, 𝑅9 = 𝐴𝑇

6 ×𝐴6, 𝑅10 = 𝐴𝑇6 ×𝐴7,

𝐴1 → 𝐴1, 𝐴1 → 𝐴2, 𝐴2 → 𝐴3, 𝐴3 → 𝐴3, 𝐴3 → 𝐴4,

𝐴4 → 𝐴4, 𝐴4 → 𝐴3, 𝐴4 → 𝐴6, 𝐴6 → 𝐴6, 𝐴6 → 𝐴7,

где 𝐴𝑖−1 является регистрацией года 𝑖 − 1 и 𝐴𝑖 предсказаннаярегистрация года 𝑖, 𝑅(𝑡, 𝑡 − 1) — система нечетких отношений, ∘ –операция max-min композиции.

Шаг 6. Вычисляем прогнозируемые результаты. Предположим,что регистрация года 𝑡 известна, чтобы предсказать регистрациюгода 𝑡+ 1, пусть 𝐴𝑖−1 в (4.3) регистрация в год 𝑡 и применим формулу(4.3). Тогда 𝐴𝑖 и будет прогнозированной регистрацией года 𝑡 + 1.Для 1972 – 1991 результаты показаны на рис. 4.1.

Шаг 7. Дефаззифицируем полученные результаты. Ошибкипрогноза по критерию МАРЕ колеблются от 0.1% до 8.7% со среднейошибкой составляющей 3.18%. На 1991 ошибка прогноза составляет1.7%. Для временной прогнозируемой модели средняя ошибка в3.18% является довольно удовлетворительной.

Алгоритм прогнозирования количества абитуриентовуниверситета на основе модели нечеткого процесса с нечетки-ми приращениями

Пусть 𝑋𝑡, (𝑡 = 1, 2, ...) ⊂ R1 — универсальное множество,на котором определены нечеткие множества ��𝑖𝑡(𝑖 = 1, 2, ...),

𝑣𝑗𝑡 (𝑗 = 1, 2, ...), ��𝑠𝑡(𝑠 = 1, 2, ...) и𝑋𝑡 — коллекция ��𝑖𝑡, 𝑉𝑡 – коллекция 𝑣𝑗𝑡 ,

𝐴𝑡—коллекция ��𝑠𝑡 . И пусть существуют отношения𝑅𝑉 : �� × �� → 𝑉 ,

𝑅𝐴 : �� × �� → 𝐴, тогда определим модель нечеткого процесса снечеткими приращениями (Т-модель) в виде:

�� = (��𝑡−1 × 𝑉𝑡 × 𝐴𝑡) ∘𝑅(𝑡, 𝑡− 1), (4.4)

где 𝑉𝑡 = 𝑉𝑡−1 × 𝑉𝑡−2 × ... × 𝑉𝑡−𝑝 ∘ 𝑅𝑣(𝑡, 𝑡 − 𝑝), 𝐴𝑡 = 𝐴𝑡−1 × 𝐴𝑡−2 × ...

×𝐴𝑡−𝑞 ∘𝑅��(𝑡, 𝑡− 𝑞).

78

Рис. 4.1. Прогнозирование ВР «Алабама» на основе модели НВР ( ∘— фактическаярегистрация, * — предсказанная регистрация)

Здесь система отношений 𝑅𝑣(𝑡, 𝑡 − 𝑝), 𝑅��(𝑡, 𝑡 − 𝑞) определяетмодель поведения нечетких приращений, получивших названиенечетких элементарных тенденций. Алгоритм прогнозированияколичества абитуриентов на основе модели нечеткого процесса снечеткими приращениями включает адаптацию алгоритма, рассмот-ренного выше.

Шаги с 1 по 4 выполняются аналогично.

Шаг 5. По историческим данным построим модель (4.4).

Шаг 6. Применим модель (4.4) для прогноза значений.

Шаг 7. Дефаззифицируем полученные результаты. Помимопрогноза значений в этом алгоритме идентифицирована общаянечеткая тенденция «Рост», а также более корректно спрогнозирова-ны нечеткие элементарные тенденции (нечеткие приращения).

В то же время нечеткие модели временных рядов требуютдальнейшего исследования и развития методологии для решениявопросов, связанных с устранением ограничений, а также для

79

получения их сравнительной эффективности в задачах прогнозиро-вания по внешним показателям качества, вычисляемым на тестовыхпримерах.

4.4. Прогнозирование временного ряда на основе моделейнечетких тенденций

Анализ возможностей и недостатков методов нечеткого мо-делирования ВР выявил ряд нерешенных проблем: проблемуповышения точности и информативности прогноза, проблемуотсутствия методов идентификации и математических моделейнечетких тенденций НВР, проблему недостаточности критериевэффективности и методики оценивания результатов нечеткогомоделирования. Среди них наибольший интерес на наш взглядпредставляет научная проблема анализа нового объекта ВР, характе-ризующего его поведение, – нечеткой тенденции. Данная проблемавключает задачи формализации, идентификации и построениямоделей ВР на основе нечеткой тенденции.

Метод прогнозирования временных рядов на основенечетких тенденций (метод НЭТ)

Метод НЭТ [35, 70] заключается в идентификации наилучшейпрогнозной Т-модели по исходному ВР 𝑌 = 𝑥𝑡, 𝑡 = 1, 2, ..., 𝑛.Рассматриваются решение двух задач: идентификация нечеткойТ-модели для прогнозирования НЭТ ВР и идентификация Т-моделидля прогнозирования числовых значений ВР.

Задача идентификации наилучшей Т-модели прогнозированияНЭТ (гранулированного ВР уровня 𝑟 = 2) заключается в идентифика-ции параметров 𝑝 и 𝑞, минимизирующих функцию

Φ1(𝜏𝑡 − 𝜏 ′𝑡)−−→𝐾𝑟𝑖𝑡 𝑚𝑖𝑛,

Здесь 𝜏 ′𝑡 = 𝑊 (𝑣𝑡, 𝑎𝑡), 𝐾𝑟𝑖𝑡 = {𝐶𝐾𝑂,𝑀𝐴𝑃𝐸, 𝑇 𝑡𝑒𝑛𝑑, 𝜌},𝑣𝑡 = 𝑣𝑡−1×𝑣𝑡−2×...×𝑣𝑡−𝑝∘𝑅𝑣(𝑡, 𝑡−𝑝), ��𝑡 = ��𝑡−1×��𝑡−2×...×��𝑡−𝑞∘𝑅��(𝑡, 𝑡−𝑞)

80

Задача идентификации наилучшей Т-модели прогнозированиячисловых значений ВР заключается в идентификации параметров𝑝, 𝑞, минимизирующих функцию

Φ2(𝑥𝑡 − 𝐹 (𝑥′𝑡−1, 𝑣′𝑡, 𝑎

′𝑡))

−−→𝐾𝑟𝑖𝑡 𝑚𝑖𝑛,

где 𝑥′𝑡 = 𝐹 (𝑥′𝑡−1, 𝑣′𝑡, 𝑎

′𝑡).

4.4.1. Алгоритм метода НЭТ

Численный алгоритм метода НЭТ на основе Т-модели дляпрогнозирования значений гранулярного ВР уровней 𝑟 = 0 и 𝑟 = 2

включает следующие шаги.

Шаг 1. Выбор типа решаемой задачи анализа ВР и критерияоценки эффективности модели𝐾𝑟𝑖𝑡.

Шаг 2. Переход к гранулярному представлению ВР уровней𝑟 = 1 и 𝑟 = 2 путем применения ранее рассмотренногометода FT-преобразования ВР для получения временного рядаНЭТ 𝜏𝑡 =< 𝑣𝑡, ��𝑡, 𝜇𝑡 >, 𝑡 = 2, 3, ..., 𝑛: ��𝑡 = 𝐹𝑢𝑧𝑧𝑦(𝑥𝑡),

𝑣𝑡 = 𝑇𝑇𝑒𝑛𝑑(��𝑡−1, ��𝑡), ��𝑡 = 𝑅𝑇𝑒𝑛𝑑(��𝑡−1, ��𝑡), 𝜇𝑡 = min(��𝑡−1(𝑥𝑡−1), ��𝑡(𝑥𝑡)).

Шаг 3. Идентификация наилучшей прогнозной Т-модели какмодели нечеткого динамического процесса для каждой компонентыНЭТ. Определение способа реализации и порядков Т-модели 𝑝

и 𝑞, минимизирующих функцию Φ1 (при прогнозе значенийгранулированного ВР уровня 𝑟 = 2) или функцию Φ2 (при прогнозезначений гранулированного ВР уровня 𝑟 = 0). На практике часто𝑝 < 6 и 𝑞 < 6. Дефаззификация Т-модели и получение еечисловой реализации вида. Тестирование и вычисление критериевкачества идентифицированной Т-модели. Анализ остатков моделина соответствие нечеткому S-процессу и по критерию адекватности𝑑𝑎.

81

Шаг 4. Прогнозирование НЭТ и значений ВР по идентифици-рованной Т-модели:

𝑣𝑡+1 = 𝑣𝑡 × 𝑣𝑡−1 × ...× 𝑣𝑡−𝑝+1 ∘𝑅𝑣(𝑡+ 1, 𝑡− 𝑝+ 1),

��𝑡+1 = ��𝑡 × ��𝑡−1 × ...× ��𝑡−𝑞+1 ∘𝑅��(𝑡+ 1, 𝑡− 𝑞 + 1),

𝑣′𝑡+1 = 𝑑𝑒𝐹𝑢𝑧𝑧𝑦(𝑣𝑡+1), 𝑎′𝑡+1 = 𝑑𝑒𝐹𝑢𝑧𝑧𝑦(��𝑡+1), 𝑥

′𝑡+1 = 𝑥′𝑡 + 𝑣′𝑡+1 · 𝑎′𝑡+1.

Шаг 5. Реализация лингвистического резюмирования моделиВР, его прогнозных НЭТ и типа основной тенденции, полученнойприменением рассмотренного выше алгоритма классификации ВР.

4.4.2. Пример применения метода НЭТ для прогнозированиявременного ряда

Пример 4.2. Рассмотрим пример моделирования и прогнози-рования короткого нестационарного ВР, (рис. 4.2), Т-моделью перво-го порядка типа F2S. Требуется построить численную реализацию

Рис. 4.2. Значения и график исходного временного ряда

нечеткой Т-модели временного ряда

𝑥𝑡 = 𝑥𝑡−1 + 𝑣𝑡 · 𝑎𝑡 + 𝜀𝑡.

82

и применить ее для прогнозирования на 1 интервал. Оценитьточность и адекватность Т-модели.

РЕШЕНИЕ.

Для решения данной задачи применим метод НЭТ, включа-ющий построение ACL-шкалы, FT-преобразование исходного ВР,генерацию нечеткой Т-модели, ее дефаззификацию и получениечисленной формы Т-модели ВР. Рассмотрим поэтапный алгоритмметода нечетких элементарных тенденций (НЭТ) для прогнозирова-ния исходного ВР на один интервал.

Построение ACL-шкалы. Пусть известно, что значения вре-менного ряда имеют максимальную допустимую погрешность𝜀 = 1. Это составляет примерно 20% от размаха ВР. Вычис-лим количество и параметры нечетких градаций ACL-шкалы:Ψ = {𝐸, 𝑑,𝑀𝐹, 𝑛𝑚𝑖𝑛, 𝑛𝑚𝑎𝑥}. Пусть тип шкалы 𝐸 будет «квазиин-тервальная и равномерная». Тип функций принадлежностей 𝑀𝐹 ,моделирующих градации шкалы, — треугольными. Длина интервалафункций принадлежности нечетких термов ACL-шкалы 𝑑 = 2𝜀, тоесть 𝑑 = 2, 𝑛𝑚𝑎𝑥 = 5.4, 𝑛𝑚𝑖𝑛 = 0.9. Тогда количество градаций ACL-шкалы вычислим по формуле𝑚 = 2·(𝑛𝑚𝑎𝑥−𝑛𝑚𝑖𝑛)

𝑑 +1,𝑚 = 5.Определимоценку максимальной средней относительной ошибки, используятеорему о мощности шкалы 𝑚 = 𝑖𝑛𝑡

(2(𝑥𝑚𝑎𝑥−𝑥𝑚𝑖𝑛)

𝑛·𝛿 · 𝑆)и выражение

𝑆 =𝑛∑

𝑖=1

1

𝑋𝑖. Тогда для 𝑛 = 6, 𝑆 = 2.5 и 𝛿𝑚𝑎𝑥 =

(2(𝑥𝑚𝑎𝑥−𝑥𝑚𝑖𝑛)

𝑛·(𝑚−1) · 𝑆)= 0.4.

На рис. 4.3 приведена ACL-шкала, построенная по исходномуВР, которая включает сгенерированные функции принадлежностинечетких значений и компонент НЭТ, а также отношения 𝑇𝑡𝑒𝑛𝑑 и𝑅𝑡𝑒𝑛𝑑 (табл. 4.2 и 4.3).

ACL-шкала по исходному ВР построена.

FT-преобразование ВР. Преобразование исходного ВР в НВР��𝑡 (рис. 4.4) и ВРНЭТ (рис. 4.5). Построение расширенной структурно-лингвистической модели ВР: 𝑌 =< 𝑡, 𝑥𝑡, ��𝑡, 𝜇��(𝑥𝑡), 𝑣𝑡, ��𝑡, 𝜇𝑣𝑡 >.

83

Рис. 4.3. ACL-шкала: а) базовые нечеткие термы ��; б) нечеткие термы типов НЭТ𝑣; в) нечеткие термы интенсивностей НЭТ ��

Таблица 4.2. Отношение типов НЭТ TТend

Термы��1 ��2 ��3 ��4 ��5

��1 стабильность рост рост рост рост

��2 падение стабильность рост рост рост

��3 падение падение стабильность рост рост

��4 падение падение падение стабильность рост

��5 падение падение падение падение стабильность

Таблица 4.3. Отношение интенсивностей НЭТ RТend

Термы��1 ��2 ��3 ��4 ��5

��1 𝑅0 𝑅1 𝑅2 𝑅3 𝑅4

��2 𝑅1 𝑅0 𝑅1 𝑅2 𝑅3

��3 𝑅2 𝑅1 𝑅0 𝑅1 𝑅2

��4 𝑅3 𝑅2 𝑅1 𝑅0 𝑅1

��5 𝑅4 𝑅3 𝑅2 𝑅1 𝑅0

84

Использование встроенных операций ACL-шкалы для оцениваниянечетких значений и нечетких элементарных тенденций (табл. 4.4):

�� = 𝐹𝑢𝑧𝑧𝑦(𝑥𝑖), 𝑣𝑖 = 𝑇𝑇𝑒𝑛𝑑(��𝑖, ��𝑖+1), ��𝑖 = 𝑅𝑇𝑒𝑛𝑑(��𝑖, ��𝑖+1)

𝜇𝑡(𝑣𝑡) = min(𝜇(𝑥𝑡−1), 𝜇𝑡(𝑥𝑡)).

𝑣𝑡 – тип, ��𝑡 – интенсивность, 𝑅0, 𝑅1, 𝑅2 – значения интенсивности𝜇𝑡(𝑣𝑡) = min(𝜇𝑡−1(𝑥𝑡−1), 𝜇𝑡(𝑥𝑡)) – степень принадлежности нечеткойтенденции.

Рис. 4.4. Процесс оценивания нечетких значений ВР по ACL-шкале

Построение нечеткой Т-модели ВР как нечеткой моделинечеткого динамического процесса с нечеткими приращениямипервого порядка, предложенной в главе 2.

𝑣𝑖 = 𝑣𝑖−1 ∘𝑅𝑣, ��𝑖−1 ∘𝑅��.

Для этого сформируем нечеткие правила следования типов (табл.4.5) нечетких элементарных тенденций 𝑅𝑣 : {𝑃 → 𝐶,𝐶 → 𝑃, 𝑃 → П,П → 𝑃} и интенсивностей (табл. 4.6) нечетких элементарныхтенденций 𝑅��: {𝑅2 → 𝑅0, 𝑅0 → 𝑅1, 𝑅1 → 𝑅1, 𝑅1 → 𝑅2}.

85

Рис. 4.5. Результат оценивания нечетких элементарных тенденций ВР поACL-шкале

Таблица 4.4. Результат FT-преобразования ВР

t 𝑥𝑡 𝜇𝑡(𝑥𝑡) ��𝑡 𝑣𝑡 ��𝑡 𝜇𝑡(𝑣𝑡)

1 0.9 0.9 ��1 - - -

2 3.1 0.8 ��3 Рост (Р) 𝑅2 0.8

3 2.9 0.7 ��3 Стабильность(С)

𝑅0 0.7

4 4.2 0.6 ��4 Рост (Р) 𝑅1 0.6

5 3.5 0.5 ��3 Падение (П) 𝑅1 0.5

6 5.4 0.6 ��5 Рост (Р) 𝑅2 0.5

Нечеткая Т-модель динамического процесса в виде системынечетких правил 𝑅𝑣, 𝑅�� построена.

Прогнозирование по Т-модели. Применим нечеткуюТ-модель первого порядка, представленную в табл. 4.5 и 4.6, дляпрогнозирования компонент нечетких элементарных тенденций и

86

Таблица 4.5. База нечетких правил 𝑅𝑣 типов НЭТ

t Номер правила Правило частота

3 0 Если Рост, то Стабильность 1

4 1 Если Стабильность, то Рост 1

5 2 Если Рост, то Падение 1

6 3 Если Падение, то Рост 1

Таблица 4.6. База нечетких правил 𝑅�� зависимости интенсивностей НЭТ

t Номер правила Правило частота

3 0 Если 𝑅2, то 𝑅0 1

4 1 Если 𝑅0, то 𝑅1 1

5 2 Если 𝑅1, то 𝑅1 1

6 3 Если 𝑅1, то 𝑅2 1

числовых значений ВР на один интервал вперед.

1. Прогнозируем для исходного момента времени 𝑡 = 2 типнечетких элементарных тенденций на 1 интервал, то есть длямомента времени 𝑡 = 3. Так как в момент времени 𝑡 = 2 (см.табл. 4.4) идентифицирована нечеткая тенденция с типом «Рост»,то извлекаем из базы правил 𝑅𝑣 (табл. 4.5) все правила, в которых влевой части есть тип «Рост» (правило 0 и 2) (рис. 4.6):

Применим известный метод Мамдани для решения системыизвлеченных нечетких правил:

Если Рост (0.8), то Стабильность (0.7)

Если Рост (0.6), то Падение (0.5).

87

Рис. 4.6. Извлечение правил для типов тенденций из базы правил 𝑅𝑣

В круглых скобках указаны степени принадлежности нечеткихтенденций из табл. 3.1. Тогда в момент 𝑡 = 3 согласно нечеткойТ-моделиидентифицированытипы«Стабильность» (0.7) и «Падение»(0.5). Результат агрегации функций принадлежности этих нечеткихтермов приведен на рис. 4.7.

Рис. 4.7. Результат агрегирования нечетких термов типов НЭТ

Определяем методом «центра тяжести» значение 𝑥* дляагрегированной функции принадлежности, которое затем на ос-нове операций шкалы фаззифицируем и определяем тип НЭТ𝐹𝑢𝑧𝑧𝑦(��*) = «Cтабильность». Таким образом, в момент вре-мени 𝑡 = 3 идентифицирован тип нечеткой элементарной

88

тенденции «Cтабильность». В принципе в этом случае можноне прогнозировать интенсивность НЭТ, так как в Т-модели𝑥′𝑡+1 = 𝑥𝑡 + 𝑣′𝑡+1 · 𝑎′𝑡+1 согласно операциишкалы дефаззифицирован-ное значение 𝑑𝑒𝐹𝑢𝑧𝑧𝑦(𝑣′𝑡+1 = «Стабильность») = 0. Следовательно,числовое значение ВР для 𝑡 = 3 вычисляется: ��3 = 𝑥2 + 0 = 𝑥2.

𝑑𝑒𝐹𝑢𝑧𝑧𝑦(𝑣′𝑡) =

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩0, если 𝑣𝑖 = « стабильность»

−1, если 𝑣𝑖 = « падение »

1, если 𝑣𝑖 = « рост »

Однако для примера покажем, как прогнозируется интенсив-ность НЭТ для 𝑡 = 3.

2. Для исходного момента времени 𝑡 = 2 при известномзначении интенсивности𝑅2 спрогнозируем интенсивность нечеткихэлементарных тенденций на 1 интервал, то есть для моментавремени 𝑡 = 3. Извлекаем правила из базы правил 𝑅�� (табл. 4.7),в которых в левой части есть 𝑅2 (правило 0):

Если 𝑅2 (0.8), то 𝑅0 (0.7).

Так как существует только одно правило следования, торезультатом агрегирования будет нечеткий терм 𝑅0, соответствую-щий отсутствию значимого изменения. Его дефаззифицированноезначение равно 0. Таким образом, лингвистический прогноз интен-сивности НЭТ в точке 𝑡 = 3 соответствует тенденции «Стабильность».

3. Тогда числовое значение спрогнозированного ВР согласно(1) в момент времени 𝑡 = 3 по Т-модели 𝑥′3 = 𝑥′2 + 0 = 𝑥2.

В случае извлечения нескольких правил при прогнозированииинтенсивностей (например, для 𝑡 = 5) применим метод Мамдани.

На рис. 4.8 представлен результат агрегации функций принад-лежности возможных нечетких термов 𝑅1 и 𝑅2, следующих за 𝑅1,согласно извлеченным правилам

89

Если 𝑅1 (0.8) , то 𝑅1 (0.7)Если 𝑅1 (0.6), то 𝑅2 (0.5).

Дефаззифицированное значение 𝑅1* = 1.5. Так как для 𝑡 = 5

прогнозное значение типа НЭТ 𝑣′𝑡 = ’Стабильность’, то 𝑥′5 = 𝑥4 + 0 ·1.5 = 4.2. Для 𝑡 = 6 прогнозное значение типа НЭТ 𝑣′𝑡 = ’Рост’, и𝑥′6 = 𝑥5 + 1.5 = 5.

𝑑𝑒𝐹𝑢𝑧𝑧𝑦(��′𝑖) =

∑𝑛𝑘=1 𝑥𝑘 · ��′𝑖(��𝑘)∑𝑛

𝑘=1 ��′𝑖(��𝑘)

.

Рис. 4.8. Результат агрегирования нечетких термов интенсивностей НЭТ

Повторяя четвертый этап алгоритма метода прогнозированияНЭТ для моментов времени 𝑡 = 4, 5, 6, 7, 8, получим прогноз нечеткихэлементарных тенденций и числовых значений ВР (см. табл. 4.7).

Анализ адекватности и точности Т-модели. Оценим точность иадекватность построенной Т-модели (табл. 4.5 и 4.6) исходного ВР.

Для оценивания точности прогнозирования числовых зна-чений используем показатель средней абсолютной относительноошибки 𝛿:

𝛿 =1

𝑛

𝑛∑𝑖=1

𝑥𝑖 − 𝑥′𝑖𝑥𝑖

.

По таблице 4.8 вычислим 𝛿 = 0.104. Показатель точностимодели 𝛿 не превышает ее максимального значения 𝛿𝑚𝑎𝑥 = 0.4,

90

Таблица 4.7. Результат прогнозирования нечетких тенденций ВР

t 𝑣𝑡 ��𝑡 𝑣′𝑡 ��′𝑡 ОшибкаTtend

ОшибкаRtend

1

2 Рост 𝑅2

3 Стабильность 𝑅0 Стабильность 𝑅0 0 0

4 Рост 𝑅1 Рост 𝑅1 0 0

5 Падение 𝑅1 Стабильность 𝑅0 0.5 0.5

6 Рост 𝑅2 Рост 𝑅1 0 1

7 Стабильность 𝑅0 Прогнозное значение нечеткой тенденции ВР

8 Рост 𝑅1 Прогнозное значение нечеткой тенденции ВР

вычисленного на первом этапе метода НЭТ, что подтверждаетадекватность построенной ACL-шкалы и модели ВР.

Таблица 4.8. Результат прогнозирования числовых значений ВР 𝑥′𝑡

t 𝑥𝑡 𝑥′𝑡 Абсолютная

ошибка модели

Максимальнодопустимаяошибка в

данных 𝜀 = 1

1 0.9 - - -

2 3.1 - - -

3 2.9 3.1 0,2 <1

4 4.2 3.9=2.9+1 0.3 <1

5 3.5 4.2 0.7 <1

6 5.4 5=3,5+1.5 0.4 <1

7 5 Прогнозное числовое значение ВР

8 6.5 Прогнозное числовое значение ВР

При оценивании точности прогнозирования числовых значе-ний ВР обычно используется показатель 𝑀𝐴𝑃𝐸 = 𝛿 · 100%. Для

91

исследуемого короткого нестационарного ВР𝑀𝐴𝑃𝐸 = 10.4%, чтоявляется приемлемым с точки зрения, что допустимая погрешностьв данных составляет 20% размаха ВР.

Для оценивания адекватности проверим предположения мо-дели по критерию 𝑑𝑎, то есть, что все значения абсолютных ошибокне превышают допустимого уровня ошибок 𝜀 = 1, заданногопользователем до построения модели:

𝑑𝑎 =1

𝑛

𝑛∑𝑡=1

Δ𝑥𝑡,Δ𝑥𝑡 =

⎧⎨⎩1, если |𝜀𝑡| > 𝑑,

0, если |𝜀𝑡| ≤ 𝑑.

Согласно табл. 4.8 модель адекватна по показателю 𝑑𝑎, 𝑑𝑎 = 0.Результаты, полученные в примере 4.2, представлены на рис. 4.9 идемонстрируют, что Т-модель, построенная методом НЭТ, успешнои адекватно прогнозирует нечеткие элементарные тенденциии значения временного ряда, относящегося к ВР, обладающимвысокой степенью неопределенности, вследствие нестационарностиповедения, неточности значений и малой длины.

Рис. 4.9. Результаты прогнозирования ВР из примера 4.2 методом НЭТ

92

4.4.3. Анализ преимуществ и ограничений метода НЭТ

Метод НЭТ ориентирован на анализ и краткосрочный прогнозВР, обладающих высокой степенью неопределенности, на основеидентификации НЭТ и Т-модели. В то же время установленыследующие ограничения метода НЭТ, связанные с используемойТ-моделью ВР:

1) отсутствие возможности моделирования и анализа нечеткихлокальных тенденций;

2) ориентация на краткосрочное прогнозирование коротких ВР(7-60 значений), с ростом длины ВР точность прогнозированиязначений ВР снижается;

3) используется равномерная ACL-шкала, градации которойзаданы треугольными функциями.

4.5. Комбинированные методы прогнозирования ВР

4.5.1. Интегральный метод нечеткого моделированияи анализа нечетких тенденций временных рядов

Для снятия ограничений 1 и 2 метода НЭТ для нестационарныхВР разработан метод, позволяющий идентифицировать и прогно-зировать нечеткие локальные тенденции. Интегральный методнечеткого моделирования и анализа нечетких тенденций основанна использовании метода НЭТ для сглаженного временного ряда,получаемого методом F-преобразования [60].

В этом случае применение метода НЭТ для краткосрочногопрогнозирования на одну локальную тенденцию позволит строитьпрогноз сразу на несколько интервалов вперед исходного числовогоВР. Данная идея легла в основу нового метода прогнозированиявременных рядов средней длины (от 60 до 500 значений) –

93

интегрального метода нечеткого моделирования и анализа нечеткихтенденций (метод ИМ) [72, 73].

Основная идея метода F-преобразования заключается в преоб-разовании исходного ВР на основе треугольных базисных функций,покрывающих временную ось, во временной ряд F-компонент𝐹𝑙[𝑓 ] = (𝐹1, ..., 𝐹𝑙), количество значений которого соответствуетколичеству базисных функций, но меньше, чем значения исходногоВР.

F-преобразование нечеткого тренда может рассматриваться𝐹𝑙[𝑓 ] = (𝐹1, ..., 𝐹𝑙) как метод выделения и одновременного сжатиявременного ряда так, что каждая НЭТ сглаженного ряда соответ-ствует нечеткой локальной тенденции исходного ряда, которые иобразуют нечеткий тренд (рис. 4.7). Применение F-преобразования,как составного инструмента нечеткого моделирования ВР, былоапробировано в рамкахмеждународного соревнованияметодовNN5,и вошло в 15 лучших методов по точности прогнозирования, данныйфакт определил его выбор в интегральном методе. Рассмотрималгоритминтегральногометода нечеткогомоделирования и анализанечетких тенденций.

Модель ВР в этомметоде рассматривается в виде𝑌𝑡 = 𝐹𝑡+𝑅𝑡, где𝐹𝑡 – компонента преобразования, которая представляет значениекусочно-линейного тренда; 𝑅𝑡 – остаток.

Принципиальной особенностью такого представления являетсято, что исходный ВР рассматривается как реализация двух различ-ных динамических процессов. Наша задача – построить моделькаждого процесса. Исходя из требований лингвистической интер-претации результатов и учета погрешностей в данных, лежащих воснове структурно-лингвистического подхода, используем методНЭТ для прогноза трендовой компоненты 𝐹𝑡.

Предложен следующий численный алгоритм интегральногометода нечеткого моделирования и анализа нечетких тенденций ВР.

94

Шаг 1. Применение метода F-преобразования для декомпози-ции анализируемого ВР 𝑌 = 𝑥𝑡, 𝑡 = 1, 2, ..., 𝑛 на кусочно-линейныйтренд 𝐹𝑙[𝑌 ] = [𝐹1, ..., 𝐹𝑙] и матрицу остатков 𝑅 = (𝑟𝑡𝑖), 𝑖 = 1, 2, ..., 𝑙.

𝐹𝑘 =

𝑛∑𝑗=1

𝑥𝑡𝑗 · 𝐴𝑘(𝑡𝑗)

𝑛∑𝑗=1

𝐴𝑘(𝑡𝑗)

,

где 𝑘 = 1, 2, .., 𝑙;𝐴1, ..., 𝐴𝑙 – базисные функции, заданныена интервале [𝑡1, 𝑡𝑛]. Иллюстрация выделения кусочно-линейноготренда методом F-преобразования приведена на рис. 4.10.

Шаг 2. Гранулирование полученного ВР 𝐹1, ..., 𝐹𝑙 на гранулы𝑟 = 1 и 𝑟 = 2 методом FТ-преобразования.

Шаг 3. Применение метода НЭТ для идентификации наилуч-шей Т-модели и вычисления прогнозных значений параметров НЭТи числового значения 𝐹𝑙+1 по формуле 𝐹𝑙+1 = 𝐹𝑙 + 𝑣𝑙 · 𝑎𝑡.

Рис. 4.10. Иллюстрация применения прямого F-преобразования

Шаг 4. Прогнозирование остатков 𝑟𝑡𝑖+1 на основе модели,выбранной из набора конкурирующих моделей по наименьшемукритерию МАРЕ: ИНС типа трехслойного персептрона с обрат-ным распространением ошибки, стохастическая модель классаARIMA(p,d,q) и Т-модель.

95

Шаг 5. Вычисление прогнозного значения исходного ВР

𝑥𝑡+1 =𝑙⋁

𝑖=1

(𝐹𝑖 + 𝑟𝑡𝑖+1)

и определение критериев эффективности.Таким образом, применение метода ИМ обеспечивает принци-

пиально новую возможность прогнозирования нечетких локальныхтенденций в дополнение к прогнозированию значений и НЭТ ВР.Сфера его применимости – нестационарные ВР средней длины (от60 до 500 значений).

4.5.2. Интегральный метод

Как было сказано в разделе 3.1.1 в противовес равномерномуразбиению на нечеткие интервалы может быть применено нерав-номерное разбиение. Задание различной длины интервалов дляисследуемого временного ряда может быть произведено экспертомпредметной области или являться результатом работы другогометода. Требование о сокращении нагрузки на исследователя пред-определило выбор второго варианта. В качестве метода способногодать информацию для неравномерного разбиения используетсяметод нечетких тенденций. Данный метод получает на входкусочно-линейный тренд временного ряда. Группировка интерваловпроизводится на основании схожести значения и интенсивно-сти последовательности локальных тенденций временного ряда.Информация о сгруппированных тенденциях используется дляпостроения неравномерного разбиения. Длина нечеткого интервалабудет соответствовать длине отрезка сгруппированных тенденций.

Оба подхода к моделированию временных рядов: и основан-ный на методе F-преобразования и метод нечетких тенденцийпозволяют получать прогнозные значения для кусочно-линейноготренда (локальных тенденций). Так как в основе лежат различные

96

аппараты моделирования было предложено решение о полученииконкурентного прогноза: метод, получивший наименьшую ошибкуна тестовом интервале, будет использован для прогнозированиябудущих значений.

Изначально работу конкурирующих методов можно былоописать следующим алгоритмом, представленным на рис. 4.11.

Было предложено производить неравномерное разбиение вре-менного ряда базисными функциями. На рис. 4.12 показан примертакого разбиения для временного ряда показателя «коэффициентабсолютной ликвидности».

Метод нечетких тенденций в качестве входных данных получа-ет сформированные компоненты F-преобразования, производитих фаззификацию. Он позволяет объединять схожие по интен-сивности и направлению движения тенденции, что важно дляизвлечения информации о характере временного ряда, а именноо моментах и частоте смены локальных тенденций. После заданиянеравномерного разбиения необходимо построить прогноз методомF-преобразования на тестовый интервал, т.е., добавляется ещеодин шаг, после которого так же необходимо произвести сравнениеошибки прогнозирования. Тогда алгоритм работы двух систем будетвыглядеть следующим образом, как показано на рис. 4.13.

Результаты использования данного подхода:

∙ плюсы: улучшение результатов прогноза тренда; получениеболее сглаженного тренда (по сравнению с ситуацией, когдаиспользовался только один проход сервиса F-преобразований);

∙ минус: увеличение времени вычислений (за счет еще одноговызова метода F-преобразований и соответствующих прогноз-ных операций).

Сравнение качества прогноза тренда временных рядов до ипосле использования нового подхода приведено в табл. 4.9.

97

Рис. 4.11. Алгоритм работы конкурирующих методов до интеграции

98

Рис. 4.12. Пример неравномерного разбиения временного ряда

Таблица 4.9. Результаты качества прогнозирования до и после интеграцииметодов

Код ВР MAPE тренда MAPE тренда(неравномерн.)

2-6 5.050 6.699

2-8 3.145 1.482

2-9 1.264 1.182

2-10 4.155 6.403

2-11 0.567 21.880

2-12 0.705 4.898

3-15 27.684 5.182

3-16 20.702 1.167

3-17 53.017 5.645

3-24 18.988 1.677

3-25 88.682 13.284

среднее 20.35 6.31

Эксперименты показали, что ошибка прогноза сократилась с20.35% до 6.31%.

99

Рис. 4.13. Алгоритм работы конкурирующих методов после интеграции

100

Глава V

ПРИКЛАДНЫЕ СИСТЕМЫМОДЕЛИРОВАНИЯ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВИ АНАЛИЗА НЕЧЕТКИХ ТЕНДЕНЦИЙ

В настоящем разделе будут рассмотрены прикладные системы,в которых реализовано моделирование и прогнозирование нечеткихвременных рядов. Рассмотренные системы не дублируют друг друга,а решаю различные задачи. Так прикладной интернет- сервиспрогнозирования финансовых показателей использует нечеткиевременные ряды и нечеткие тенденции для целей прогностическойаналитики с точки зрения экономического состояния предприятия.В тоже время в прикладном сервисе реализована также возможностьпрогнозирования любых временных рядов. Программа нечеткогомоделирования ВР и нечетких тенденций имеет более универсаль-ное назначение и не привязана к конкретной предметной области,в ней реализовано несколько конкурирующих моделей, параметрыкоторых можно выбирать и проводить дополнительные настройкив интерактивном режиме. Она больше подходит для подбора тойили иной модели. В третьем разделе приведено описание системымоделирования ВР на основе нового подхода, когда данные обизменениях во ВР могут быть извлечены из онтологии прикладнойобласти для интерпретации тенденций изменения.

101

5.1. Описание интернет-сервиса экспресс анализафинансового состояния предприятия

При разработке программного продукта в виде Internet-сервисаинтегрального метода нечеткого моделирования ВР и анализа нечет-ких тенденций было выбрано проектное решение, основанное насистемном подходе и компонентно-ориентированной архитектуре.В результате разработанный интернет-сервис представляет собойсистему, состоящую из следующих структурных компонентов: систе-мы управления, двух web-сервисов и базы данных БД. Диаграммакомпонентов представлена на рис. 5.1:

Рис. 5.1. Диаграмма компонентов

Система управления интернет-сервисом реализует следующиефункции:

∙ Управление доступом к интернет-системе.

102

∙ Управление пользователями.

∙ Ввод и редактирование в БД временных рядов экономическихпоказателей, извлеченных из бухгалтерской отчетности одоходах и расходах зарегистрированного предприятия.

∙ Ввод и редактирование стандартизованных расчетных формулдля вычисления производных экономических показателей спривязкой к строкам бухгалтерской отчетности (по форме№1и форме№2).

∙ Расчет временных рядов производных экономических показа-телей по стандартным формулам, хранимых в БД.

∙ Активизация web-сервисов F-преобразований и нечеткихтенденций.

∙ Вывод результатов экспресс-анализа в графическом, таблич-ном и лингвистическом виде, выражающем экономическую ин-терпретацию (рекомендацию) результатов экспресс-анализа.

Диаграмма вариантов использования представлена на рис. 5.2.

На рис. 5.3 представлен интерфейс запуска анализа временныхрядов. Также показано состояние: производится расчет или уже естьданные анализа.

Процесс работы с системой реализован в виде следующейпоследовательности операций:

1. Администраторы вводят наименования показателей баланса ирасчетные формулы, которые в дальнейшем смогут использо-вать зарегистрированные пользователи.

2. Авторизованные пользователи вводят значения бухгалтерскихпоказателей.

103

Рис. 5.2. Диаграмма вариантов использования

104

Рис. 5.3. Интерфейс системы. Запуск анализа.

3. На основе введенных данных производится расчет временныхрядов производных экономических показателей.

4. Авторизованные пользователи активируют работу сервисовF-преобразования и нечетких тенденций для получения отче-тов по результатам анализа.

Диаграммы потоков данных при работе с системой дляразличных категорий пользователей представлены на рис. 5.4 и 5.5.

Отчеты, получаемые в системе, представлены на рис. 5.6 и 5.7.

105

Рис. 5.4. Диаграмма потоков данных при работе пользователя

106

Рис. 5.5. Диаграмма потоков данных при работе администратора системы

107

Рис. 5.6. Интерфейс системы. Графический отчет

Рис. 5.7. Интерфейс системы. Лингвистический отчет

108

5.2. Программный комплекс нечеткого моделированияи прогнозирования временных рядов и нечеткихтенденций FuzzyTend

5.2.1. Описание структурно-функциональной организациипрограммного комплекса

Для реализации нечеткого моделирования, анализа и про-гнозирования нечетких элементарных тенденций временных ря-дов, обладающих высокой степенью неопределенности, а такжедля исследования результативности предложенного структурно-лингвистического подхода разработан программный комплексFuzzyTend в форме пакта прикладных программ [36, 37, 71].

Программный комплекс FuzzyTend содержит в себе шестьпараметрических нечетких моделей ВР и одну нейросетевую модель.Совокупность нечетких моделей включает авторские нечеткиеТ-модели временных рядов на основе элементарных нечеткихтенденций вида F2S, F1N, F3N1S, а также методы нечеткогоF-преобразования, FT-преобразования, алгоритм построения ACL-шкалы, метод прогнозирования временных рядов на основе нечет-ких элементарных тенденций (метод НЭТ). Кроме перечисленныхв программной системе FuzzyTend реализованы нечеткие S- иD-модели.

Архитектура программного комплекса изображена на рис. 5.8.Отличительными особенностями программного комплекса

FuzzyTend являются:

1. Решение задач анализа нового объекта ВР – нечеткой тенден-ции. Выявление новых закономерностей поведения ВР в форменечетких зависимостей между элементарными нечеткимитенденциями.

2. Быстрое и простое моделирование. Автоматизация построения

109

Рис. 5.8. Архитектура программного комплекса FuzzyTend

и поиска наилучшей модели ВР по комплексу критериев придопустимом уровне погрешности с многопоточным распарал-леливанием операций.

3. Высокая интерпретируемость результатов и отсутствие требо-ваний к математической подготовке конечных пользователейв области анализа ВР.

Система спроектирована как расширяемая и используетмодульный подход для упрощения добавления новых методовпрогнозирования.

Методика анализа ВР в программном комплексеFuzzyTend

110

∙ Загрузка анализируемого временного ряда.

∙ Настройка шкалы. Ввод параметров шкалы (количества гра-даций ACL- шкалы (обычно 10) или допустимого уровняпогрешности в процентах или в абсолютных значениях).

∙ Настройка алгоритма поиска наилучшей модели или работас отдельными моделями (параметры: тип анализируемойошибки (внешняя, внутренняя), порядок модели, количествотестовых интервалов (разбиение ряда), вид модели, исполь-зуемые критерии). Если пользователя интересует прогнозосновной тенденции, полученный сглаживанием исходного ВР,то предварительно применим F-преобразование временногоряда, включим его в проект и будем прогнозировать его.

∙ Просмотр результатов моделирования и прогнозирования вграфической, числовой, лингвистической формах.

∙ Просмотр результатов лингвистического резюмирования.

∙ Просмотр информации и структуры модели в форме совокуп-ности нечетких правил.

∙ Просмотр и анализ временного ряда остатков.

5.2.2. Применение программного комплекса FuzzyTendдля моделирования и прогнозирования трафикавычислительной сети

Рассмотрим пример моделирования и краткосрочного про-гнозирования объемов входных трафиков вычислительной сетинаучно-производственного предприятия (25 точек наблюдения) впрограммной системе FuzzyTend.

1. Загрузка анализируемого временного ряда. Исследуемый ВРсодержит 25 значений.

111

2. Настройка шкалы (рис. 5.9). Ввод количества градаций ACL-шкалы, равного 10. Вычисленный допустимый уровень погреш-ности в абсолютных значениях составил 0.163; в процентах 10%.

Рис. 5.9. Архитектура программного комплекса FuzzyTend

3. Настройка и запуск процедуры поиска наилучшей из всехмоделей. Параметры: тип анализируемой ошибки – внешняя;максимальный порядок моделей установлен равным 5; те-стирование моделей будет проводиться на 5 значениях, чтосоставляет 20%, не используемых при построении моделей.Для поиска наилучшей модели использован комплексныйкритерий, который выбирает модель, у которой в среднемлучший результат по всем критериям. В результате работыпроцедурыпоиска наилучшеймодели из совокупности базовыхнечетких и нейросетевых моделей была идентифицирована ивыбрана Т-модель вида F2S третьего порядка для исследуемогоВР.

4. Просмотр результатов моделирования в графической, число-вой, лингвистической формах. Визуальный анализ (рис. 5.10)показывает хорошее качество соответствия поведения моделидинамике исследуемого ВР. Это подтверждает и введенный

112

Рис. 5.10. Основное окно программного комплекса FuzzyTend

в главе 4 показатель Ttend=0 как для внутренних, так и длявнешних ошибок и результаты прогнозирования на тестовыхзначениях. Просмотр результатов моделирования значений инечетких тенденций представлен в табл. 5.1.

Следующая точность моделирования и прогнозирования зна-чений ВР была получена для исследуемого ВР по наилуч-шей Т-модели: МАРЕ(внутр.) = 3.77%; МАРЕ(внеш.)= 4.15%;СКО(внутр.)=0.063; СКО(внеш.)=0.066.

5. Результаты лингвистического резюмирования представляютинформацию о характере поведения исследуемого ВР (рис.5.11), который можно рассматривать как реализацию нечет-кого нестационарного D-процесса (тип основной тенденции«Хаос») и информацию о выбранной модели, не требующейдополнительной интерпретации.

6. Просмотр структуры Т-модели в форме совокупности нечетких

113

Таблица 5.1. Результаты моделирования ВР в программном комплексе

№ время ряд модель TTend HM Модел...

0 20,9 1,159 1.119 рост A1 A0

1 21 1.39 1.445 падение A4 A5

2 22 1.119 1.119 рост A0 A0

3 23 1.552 1.445 падение A6 A5

4 24 1.196 1.119 - A1 A0

Рис. 5.11. Лингвистическое резюмирование результатов прогнозирования

правил (рис. 5.12).

7. Дополнительно проведем визуальный анализ остатков модели.Показатель адекватности 𝑑𝑎, равный нулю, как для внутренней,так и для внешней реализации Т-модели, что свидетельствуето том, что видимые колебания временного ряда остатков

114

Рис. 5.12. Нечеткая модель ВР в форме нечетких правил

не превышают заданного пользователем уровня допустимойпогрешности и могут быть рассмотрены как реализациянечеткого процесса типа «белый шум» (рис. 5.13).

Рис. 5.13. ВР остатков модели

Полученные результаты свидетельствуют об адекватности и эффек-тивности подобранной Т-модели для решения задач прогноза на20% значений и нечетких тенденций временного ряда, содержащегоданные объема трафика порта 14 вычислительной сети научно-

115

производственного предприятия (25 точек наблюдения). Установле-но, что для данного ВР идентифицированная Т-модель устойчиваи при прогнозе на меньшее количество тестовых интервалов (на10% и на 5%) – различия значений показателей эффективности иадекватности незначимы (меньше 0.5%).

Решение аналогичных задач краткосрочного прогнозированияобъемов и тенденций качественных изменений трафиков приэксплуатации вычислительных сетей в программном комплексеFuzzyTend отличается простым, интуитивно понятным интерфей-сом, позволяет извлекать не требующие лингвистической интер-претации знания, полезные администраторам и менеджерам дляпланирования будущих изменений. Следовательно разработанныйпрограммный комплекс FuzzyTend, реализующий методологиюструктурно-лингвистического подхода, может быть позиционированкак новое наукоемкое продуктивное средство интеллектуальной под-держки администраторов сетей при решении задач моделирования,прогнозирования и реинжиниринга сетей.

5.3. Прикладная система интерпретации ВР на основеонтологии предметной области

5.3.1. Экспертные оценки временных рядов в условияхнеопределенности

Прикладная онтология представляет семантическое описаниепредметной области с использование специализированного языка.В 1997 консорциум W3C определил спецификацию RDF (ResourceDescription Framework). RDF предоставляет простой, но мощныйязык описания ресурсов, основанный на триплетах (triple-based)«Субъект-Предикат-Объект» и спецификации URI. В 1999 RDF полу-чает статус рекомендации. Концептуально RDF дает минимальныйуровень для представления знаний в Сети. Спецификация RDF

116

опирается на ранние стандарты, лежащие в основе Web:

∙ Unicode служит для представления символов алфавитов раз-личных языков;

∙ URI используется для определения уникальных идентификато-ров ресурсов;

∙ XML и XML Schema – для структурирования и обмена инфор-мацией и для хранения RDF (XML синтаксис RDF).

Кроме RDF был разработан язык описания структурированныхсловарей для RDF – RDF Schema (RDFS). Он предоставляет мини-мальный набор средств для спецификации онтологий. RDFS получилстатус рекомендации W3C в 2004 году.

Согласно В.В. Доброву, базовой структурной единицей RDFявляется коллекция троек (или триплетов), каждый из которыхсостоит из субъекта, предиката и объекта (S,P,O). Набор триплетовназывается RDF-графом. В качестве вершин графа выступаютсубъекты и объекты, в качестве дуг – предикаты (или свойства).Направление дуги, соответствующей предикату в данной тройке(S,P,O), всегда выбирается так, чтобы дуга вела от субъекта к объекту.

Главное отличие RDF от XML заключается в том, что RDFпредназначен для представления знаний в распределённом мире.Стандарты, основанные на RDF, описывают логические выводы,связывающие эти факты, и указывают, как можно найти сами фактыв огромной базе данных всех знаний, представленных в RDF.

5.3.2. Задача аппроксимации временного ряда

Исходными данными для содержательной интерпретациивременного ряда являются сведения об отрезках времени, втечение которых показатель изменялся монотонно, а именно:абсолютная величина изменения, длина временного интервала

117

и функция, согласно которой изменялись значения показателя.В самом простом для человеческого восприятия и машиннойобработки случае эта функция — линейная. Графически при выборелинейной аппроксимирующей функции временной ряд аппрокси-мируется совокупностью прямоугольных треугольников, начальнаяи конечная точки отрезка гипотенузы которых соответствуютуровням временного ряда на начало и конец выбранного отрезкавремени. Промежуточные же точки гипотенузы, как правило, несоответствуют уровням временного ряда. Совокупность абсолютныхзначений разности между реальными и полученными в ходеаппроксимации уровнями временного ряда для всех треугольниковпредставляет собой абсолютное значение ошибки аппроксимации.

В ходе аппроксимации следует решить две взаимоисключаю-щие задачи: минимизация ошибки аппроксимации и минимизацияколичества отрезков разбиения временного ряда (количества тре-угольников).

Если решать только задачу минимизации ошибки аппроксима-ции, то лучшая аппроксимация будет представлять собой разбиениена отрезки, как правило, единичной длины, ошибка аппроксимациидля каждого из которых будет равна нулю. Однако в этом случаебудут практически отсутствовать долгосрочные тенденции, а точнееони будут выделены только для тех интервалов, где все внутренниезначения временного ряда будут совпадать с полученными в ходеаппроксимации.

Если решать только задачу минимизации количества отрезковразбиения для выделения долгосрочных тенденций, то лучшаяаппроксимация будет состоять из одного отрезка разбиения, вкоторый будут входить все значения временного ряда.

Важным является возможность определения приоритета междуминимизацией ошибки аппроксимации и минимизацией количе-ства интервалов разбиения. В этом случае пользователь интел-

118

лектуальной системы сам сможет выбрать, какой критерий длянего является наиболее приоритетным и в какой степени. Такимобразом, для одного и того же временного ряда могут быть полученыразличные разбиения, в зависимости от выбранного пользователемприоритета между этими двумя критериями.

5.3.3. Применение генетического алгоритма для полученияаппроксимации временного ряда

Задача поиска лучшего разбиения временного ряда с цельювыделения на нем тенденций и их интерпретация является плохоформализуемой. Для ее решения эффективно использовать генети-ческий алгоритм.

Хромосома (потенциальное решение задачи оптимизации)представляет собой последовательность чисел. Длина последова-тельности равна длине временного ряда. Каждый член даннойпоследовательности (ген) показывает, какому треугольнику при-надлежит соответствующее значение временного ряда. Ген можетравняться целому числу n (рассматриваемое значение временногоряда относится к 𝑛-ому треугольнику) или 𝑛+ 0.5 (рассматриваемаявершина является смежной для 𝑛-ого и (𝑛+ 1)-ого треугольников).Таким образом, ген в первой позиции всегда равен единице, а впоследней – количеству интервалов разбиения.

При кодировании хромосом следует учитывать, что все тре-угольники (интервалы разбиения) являются смежными, то естьпереход от вершины с целочисленным значением гена к вершинеследующего треугольника возможен только через смежную для этихинтервалов вершину, имеющую дробное значение гена.

Целевая функция, которую необходимо будет минимизировать,представлена следующей формулой:

𝐹 = 𝛼 * 𝑎+ (1− 𝛼) * 𝑏,

119

где 𝛼, 𝑎 и 𝑏 принимают значения в отрезке от 0 до 1.

𝑎 =

∑𝐿𝑖=1 𝜀𝑖∑𝐿𝑖=1 𝑦𝑖

,

𝑏 =𝑁

𝐿− 1,

где 𝐿 – длина временного ряда; 𝑁 – количество треугольников(интервалов разбиения); 𝜀𝑖 — абсолютное значение разностимежду реальным и аппроксимированным уровнем временногоряда (абсолютное значение ошибки) для 𝑖-го уровня ряда; 𝑦𝑖 –значение рассматриваемого показателя на 𝑖-ый момент времени(𝑖-ый уровень ряда).

Для отбора лучших хромосом используется пропорциональнаясхема отбора. Вычисляются значения целевой функции для каждойхромосомы поколения и сумма значений целевой функции дляпоколения в целом.

В основе оператора кроссинговера лежит одноточечная схе-ма. В операторе кроссовера сначала случайным образом будетопределяться точка деления хромосом, а затем будут формиро-ваться две дочерние хромосомы таким образом, что левые частихромосом (до точки деления, включая саму точку) останутся безизменений, а правые части в большинстве случаев будут нуждатьсяв корректировке. Корректировка обусловлена несовпадением и/илинесмежностью гена (номера треугольника) в точке разрыва и генав следующей после точки разрыва точке. Процесс корректировкибудет заключаться в нахождении числа, которое прибавляется иливычитается ко всем значениям генов после точки деления.

Предлагаемый оператор мутации предполагает последователь-ное выполнение трех этапов. На первом этапе мутации случайнымобразом выбирается номер мутирующего гена и затем этому генуприсваивается случайное значение. Стоит отметить, что для этойцели может быть отобран ген, находящийся в любой позиции, кроме

120

первой, так как первый ген всегда равен единице. Новое значениегена не может быть меньше единицы и больше 𝑗 − 0.5, где 𝑗 — номермутирующейвершины. Значение генапослемутацииможет быть какцелым, когда соответствующая ему точка находится внутри одноготреугольника, илидробной, если соответствующая вершина являетсясмежной для двух треугольников. В случае, если будет мутироватьхромосома в крайней позиции, то ее новое значение не может бытьдробным, так как длина хромосомы является фиксированной.

На втором этапе мутации выполняется корректировка правойпо отношению к мутирующей вершине части хромосомы. Эта кор-ректировка выполняется по тому же алгоритму, что и корректировкаправой частипри кроссовере. Корректировка правой части хромосомне выполняется, если мутирует крайняя правая вершина.

На третьем этапе корректируется левая по отношению кмутирующей вершине часть хромосомы. Корректировка левойчасти не выполняется, если мутации подверглась вторая вершина,так как значение первого гена всегда равно единице. Алгоритмкорректировки значительно отличается для случая, когда значениемутирующего гена больше значения соседнего с левой стороны(предыдущего) гена или когда это значение меньше его.

Рассмотрим тот случай, когда значение мутирующего генабольше значения предыдущего гена. Если разница значений большеединицы или равна единице (при условии, что оба значения явля-ются целыми), необходимо выполнить процедуру корректировки.Пусть 𝑖— номер мутирующего гена, а 𝑎𝑖 – значение мутирующегогена. Тогда значение предыдущего гена будет вычислено последующей формуле:

𝑎𝑖−1 = 𝑎𝑖 − 0.5, если 𝑎𝑖 — целое число, или

𝑎𝑖−1 = 𝑎𝑖 − 1, если 𝑎𝑖 — дробное.

121

Затем, пока выполняется условие 𝑎𝑖−2 + 1 < 𝑎𝑖−1 циклическивыполняются следующие действия: уменьшение на единицу 𝑎𝑖−2

и уменьшение на единицу значения 𝑖. После выполнения этойкорректировки число интервалов разбиения (треугольников) дляподвергающейся мутации хромосомы увеличивается.

Рассмотрим тот случай, когда значение мутирующего генаменьше значения предыдущего гена. Пусть 𝑖— номер мутирующегогена, а 𝑎𝑖 – значение мутирующего гена. Тогда значение предыдуще-го гена будет вычислено по следующей формуле:

𝑎𝑖−1 = 𝑎𝑖, если 𝑎𝑖 - целое число, или

𝑎𝑖−1 = 𝑎𝑖 − 0.5, если 𝑎𝑖 – дробное.

Затем, пока выполняется условие: 𝑎𝑖−2 > 𝑎𝑖−1, циклическивыполняются следующие действия: значению гена в предыдущейпозиции присваивается значение гена в текущей позиции (𝑎𝑖−2 =

𝑎𝑖−1) и значение 𝑖 уменьшается на единицу. После выполнения этойкорректировки число интервалов разбиения (треугольников) дляподвергающейся мутации хромосомы уменьшается.

На первом этапе работы генетического алгоритма должнавыполняться процедура создания начальной популяции. Значениюгена в первой позиции присваивается единица. Затем выполняетсяцикл от второй до последней позиции в хромосоме. Пусть 𝑎𝑖 –значение гена в текущей позиции при создании хромосомы, а 𝑎𝑖−1

– значение в предыдущей позиции, которое уже было добавленов предыдущей итерации цикла. В цикле выполняется действие𝑎𝑖 = 𝑎𝑖−1 + 0.5, если значение 𝑎𝑖−1 дробное, или если 𝑎𝑖−1 — целоеи значение от нуля до единицы, сформированное генераторомпсевдослучайных чисел оказалось меньше параметра 𝑝 (вероятностьделения хромосомы при создании). Значение 𝑝 генерируетсяслучайным образом и принимает значения из интервала от 0 до0.5. Если ни одно из указанных выше условий не выполняется, то

122

𝑎𝑖 = 𝑎𝑖−1, то есть текущая точка принадлежит тому же треугольнику,что и предыдущая. Значение последнего гена должно быть целым.

5.3.4. Хранение знаний в виде RDF-модели

Для описания знаний экспертов используется формат RDF.На рис. 5.14 представлена схема онтологии содержательной ин-терпретации временных рядов и один из фрагментов онтологии.Согласно схеме, корневым элементом является ресурс, указываю-щий на предметную область. Предметная область, в свою очередь,включает некоторые показатели. Например, предметная область«экономические временные ряды» включает показатель «Балансоваястоимость основных средств».

Каждый показатель предметной области базируется на одномили нескольких типовых временных рядах. Иными словами, наосновании этих временных рядов формируются новые знания оданном показателе.

Каждый временной ряд может быть разбит на фрагменты(интервалы разбиения). Каждый фрагмент имеет несовпадающиеначальную и конечную точки. Стоит отметить, что номер конечнойточки фрагмента всегда больше номера начальной точки. Каждомуфрагменту дается лингвистическое описание, характеризующеединамику рассматриваемого показателя за промежуток времени,соответствующий этому фрагменту.

Отдельный фрагмент временного ряда может быть рассмотрен,как прямоугольный треугольник, начальная и конечная точкиотрезка гипотенузы которого соответствуют уровням временногоряда в начальной и конечной точке фрагмента. Каждый ресурс-треугольник модели имеет такие свойства как длина основания,тангенс угла наклона и абсолютное значение ошибки.

Длина основания может быть вычислена, как произведениеколичества промежутков между измерениями во фрагменте (число

123

Рис. 5.14. RDF-схема и фрагмент онтологии

измерений, уменьшенное на единицу) и масштаба временного рядя(величина промежутка времени между двумя измерениями).

Тангенс угла наклона находится между гипотенузой и отрезком

124

временной оси, находящимся правее точки пересечения с гипо-тенузой треугольника. Таким образом, если на рассматриваемомфрагменте наблюдается рост показателя, то тангенс угла наклонабудет положительным, а если падение – отрицательным.

В рассматриваемых треугольниках начальная и конечная точкиотрезка гипотенузы совпадают с соответствующими уровнямивременного ряда. Промежуточные же точки гипотенузы, как пра-вило, не соответствуют уровням временного ряда. Совокупностьабсолютных значений разности между реальными и полученнымив ходе аппроксимации уровнями временного ряда для данноготреугольника представляет собой абсолютное значение ошибкиаппроксимации.

5.3.5. Содержательная интерпретация результата работыгенетического алгоритма

Результатом работы разработанного генетического алгоритмаявляется квазиоптимальное разбиение рассматриваемого временно-го ряда на фрагменты, каждый из которых может быть представленв виде прямоугольного треугольника, крайние точки отрезкагипотенузы которого совпадают с уровнями временного ряда наначало и конец рассматриваемого отрезка времени.

При выполнении содержательной интерпретации, системаизвлекает знания о типичных значениях временного ряда, отно-сящиеся только к той же предметной области и тому же показателю,что и рассматриваемый временной ряд. Извлекаемые из онтологиизнания представляют собой список вербальных описаний типичныхзначений динамики временного ряда, каждому из которых постав-лен в соответствие определенный тангенс угла наклона.

Степень похожести фрагмента, полученного в результате разби-ения рассматриваемого временного ряда генетическим алгоритмом,и типичного значения динамики временного ряда, взятого из

125

модели, характеризуется функцией 𝜇(𝑡𝑔𝑔𝑒𝑛, 𝑡𝑔𝑚𝑜𝑑) ∈ [0, 1], где 𝑡𝑔𝑔𝑒𝑛– тангенс угла наклона треугольника, полученного в результатеработы генетического алгоритма, а 𝑡𝑔𝑚𝑜𝑑 – тангенс угла наклонатреугольника, взятого из онтологии. Чем ближе значение функции𝜇 к единице, тем больше степень соответствия между фактическими модельным треугольником.

Значение функции 𝜇 вычисляется по формуле:

𝜇(𝑡𝑔𝑔𝑒𝑛, 𝑡𝑔𝑚𝑜𝑑) =

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩1, 𝑡𝑔𝑔𝑒𝑛 = 0, 𝑡𝑔𝑚𝑜𝑑 = 0

1− |𝑡𝑔𝑔𝑒𝑛−𝑡𝑔𝑚𝑜𝑑|𝑡𝑔𝑔𝑒𝑛+𝑡𝑔𝑚𝑜𝑑

, (𝑡𝑔𝑔𝑒𝑛 > 0 и 𝑡𝑔𝑚𝑜𝑑 > 0) или (𝑡𝑔𝑔𝑒𝑛 < 0 и 𝑡𝑔𝑚𝑜𝑑 < 0)

0, в остальных случаях

Вычислив значение функции 𝜇 для каждого типового фраг-мента из списка и текущего фрагмента разбиения временногоряда генетическим алгоритмом, система должна выбрать макси-мальное значение функции из полученных в ходе вычисления.Вербальное описание типового значения динамики временногоряда, соответствующее тому модельному фрагменту, для которогозначение функции 𝜇 оказалось максимальным, должно бытьпоставлено в соответствие текущему рассматриваемому фрагментуанализируемого временного ряда со степенью уверенности, равнойзначению функции 𝜇 для этих фрагментов.

5.3.6. Реализация системы содержательной интерпретации

Разработанная система работает с текстовыми файлами, содер-жащими временные ряды. Данные файлы должны иметь следующуюструктуру:

∙ 1 строка файла – наименование предметной области;

∙ 2 строка файла – наименование показателя, которому принад-лежит данный временной ряд;

∙ 3 строка – строковый идентификатор временного ряда;

126

∙ 4 строка – число, характеризующее масштаб временного ряда(величину промежутка времени между двумя измерениями);

∙ 5 строка – уровни временного ряда, представленные в видепоследовательности вещественных чисел, разделенных однимили несколькими пробелами.

В план экспериментов были включены эксперименты двухтипов: настройка параметров генетического алгоритма и содер-жательная интерпретация по результатам работы генетическогоалгоритма с настроенными параметрами.

В качестве примера временного ряда был взят объем трафикав локальной сети за каждый час в гигабайтах (рис. 5.15).

Рис. 5.15. Объем трафика в локальной сети

Сначала следует настроить параметр 𝛼, соответствующийстепени приоритетности для пользователя минимизации ошибкиаппроксимации, нежели минимизации количества треугольников(табл. 5.2). Каждое поколение состоит из 300 хромосом, вероятностьмутации – 0.3, элитное число (количество хромосом, перешедших вследующее поколение без изменений) – 10, предельное количествоитераций 800, количество итераций, за которое не менялосьзначение целевой функции – 150.

Разбиения временного ряда при различных значениях пара-метра 𝛼 приведены на рис. 5.16 – 5.23.

127

Таблица 5.2. Настройка параметра 𝛼 для объема трафика

Параметр𝛼

Значениецелевойфункции

Количествоинтерваловразбиения

Количество итераций досхождения генетического

алгоритма

0 0.019607 1 1

0.2 0.112549 1 1

0.4 0.199016 3 16

0.5 0.230195 4 132

0.6 0.239199 9 151

0.7 0.221911 23 183

0.8 0.170624 40 236

0.9 0.091721 44 88

1 0 50 24

Рис. 5.16. Разбиение технического временного ряда при 0 ≤ 𝛼 ≤ 0.3

По итогам экспериментов хорошо заметна зависимость ко-личества интервалов разбиения от величины 𝛼. Наиболее резкоеизменение количества треугольников наблюдалось при изменениипараметра 𝛼 от 0.6 до 0.7 и при изменении от 0.7 до 0.8. Сточки зрения эксперта, для данного временного ряда оптимальное(учитывающее как критерий минимизации ошибки, так и критерийминимизации количества интервалов) значение параметра 𝛼 равно0.7.

128

Рис. 5.17. Разбиение технического временного ряда при 𝛼 = 0.4

Рис. 5.18. Разбиение технического временного ряда при 𝛼 = 0, 5

Рис. 5.19. Разбиение технического временного ряда при 𝛼 = 0.6

Сходимость генетического алгоритма наблюдалось при значе-ниях вероятности мутации от 0 до 0.4. При вероятности мутации,равной нулю, генетический алгоритм быстро сошелся к локальномуоптимуму и не выходил за его пределы. Глобальный оптимумбыл достигнут при вероятности мутации, равной 0,1, однако

129

Рис. 5.20. Разбиение технического временного ряда при 𝛼 = 0.7

Рис. 5.21. Разбиение технического временного ряда при 𝛼 = 0.8

Рис. 5.22. Разбиение технического временного ряда при 𝛼 = 0.9

значения целевой функции при вероятности мутации, равной0.2, 0.4, а особенно — 0.3, отличаются от глобального оптимуманезначительно.

Для создания фрагмента онтологии содержательной интерпре-тации был загружен временной ряд объема трафика и добавлены

130

Рис. 5.23. Разбиение технического временного ряда при 𝛼 = 1

следующие экспертные оценки:

∙ с 0 по 10 – медленное падение;

∙ с 2 по 10 – умеренное падение;

∙ с 48 по 49 – резкое падение;

∙ с 17 по 24 – медленный рост;

∙ с 33 по 37 – умеренный рост;

∙ с 13 по 14 – резкий рост;

∙ с 26 по 28 – отсутствие динамики.

Графически добавленные метки представлены на рис. 5.24.Созданная на предыдущем этапе эксперимента онтология

применялась в качестве базы экспертных оценок о динамике вре-менных рядов. Полученное в ходе работы генетического алгоритмаразбиение представлено на рис. 5.25, а результат содержательнойинтерпретации – в табл. 5.3.

131

Рис. 5.24. Экспертные оценки для временного ряда объема трафика 𝛼 = 1

Рис. 5.25. Результат разбиения с оптимальными параметрами временного рядаобъема трафика

132

Таблица 5.3. Результат содержательной интерпретации временного ряда объематрафика

Началоинтервала

Конецинтервала

Лингвистическаяоценка

Степень уверенности

0 1 резкий рост 0.666667

1 2 умеренное падение 0.545455

2 10 умеренное падение 1

10 11 резкий рост 0.909091

11 12 резкое падение 0.860215

12 13 умеренный рост 0.898876

13 14 резкий рост 1

14 17 резкое падение 0.652542

17 22 умеренный рост 0.955165

22 23 резкое падение 1

23 25 умеренный рост 0.852174

25 26 резкое падение 0.860215

26 27 резкий рост 0.666667

27 33 умеренное падение 0.731707

33 37 умеренный рост 1

37 38 резкое падение 0.860215

38 41 умеренный рост 0.847262

41 42 резкое падение 0.960784

42 45 умеренный рост 0.790123

45 46 резкое падение 0.641026

46 48 резкий рост 0.666667

48 49 резкое падение 1

49 51 умеренный рост 0.837607

133

Заключение

В настоящее время активно развиваются новые подходык обработке данных, представленных временными рядами. Этовызвано, в частности необходимостью анализа «Больших данных» .

В представленной книге авторы изложили основы теории исвой опыт в области нечетких моделей временных рядов, включаянечеткое разбиение, модели нечетких ВР и нечетких тенденций,а также комбинированные модели. Теоретические разработкиподдержаны практическими программными разработками, которыепрошли экспериментальную апробацию. В тоже время имеются иряд нерешенных задач, связанных с исследованием и разработкойнечетких моделей многомерных ВР, зависимых ВР. Другое направ-ление, которое требует развития – это применение онтологий длямоделирования и прогнозирования ВР.

Авторы надеются, что настоящая книга будет полезна не тольконаучным работникам, но и прикладным пользователям и будутблагодарны за отклик.

Благодарности

Исследование поддержано в рамках государственного задания№ 2014/232 на выполнение государственных работ в сфере научнойдеятельности Минобрнауки России по проекту «Разработка новогоподхода к интеллектуальному анализу слабоструктурированныхинформационных ресурсов», чешско-российского международногопроекта MSMT-7026/2012-36 KONTAKT II LH 12229 «Research anddevelopment of methods and means of intelligent analysis of timeseries for the strategic planning problems», РФФИ-10-01-00183 и РФФИ12-01-97010-р_поволжье_а.

134

Литература

[1] Alizadeh, M. Forecasting Exchange Rates. A Neuro-Fuzzy Approach/ М. Alizadeh // IFSA-EUSFLAT 2009.

[2] Bardossy, A. Note on fuzzy regression / A Bardossy // Fuzzy Sets andSystems. – 1990. –№ 37 – Р. 65–75.

[3] Batyrshin, I. Construction of granular derivatives and solutionof granular initial value problem / I. Batyrshin // Fuzzy PartialDifferential Equations and Relational Equations. Studies inFuzziness and Soft Computing, Vol. 142, Springer-Verlag, 2004. – Р.285–307.

[4] Bisserier, Amory. An Interval Approach for Fuzzy Linear Regressionwith Imprecise Data / Amory Bisserier, Reda Boukezzoula, SylvieGalichet // IFSA-EUSFLAT 2009.

[5] Bothe, H.-H. Fuzzy Neural Network / H.-H. Bothe. – Prague : IFSA,1997.

[6] Celmins, A. Least squares model fitting to fuzzy vector data / A.Celmins, // Fuzzy Sets and Systems. – 1987. –№ 22(3). – Р. 245–269.

[7] Chen, S. M. Forecasting enrollments based on fuzzy time series /S.M. Chen // Fuzzy Sets and Systems. –№ 81 (1996) – Р. 311–319.

[8] Giove, S. Fuzzy logic and Clustering methods for time series analisys/ S. Giove // 2009 International Fuzzy Systems Association World

135

Congress and 2009 European Society for Fuzzy Logic and TechnologyConference (IFSA-EUSFLAT 2009).

[9] Graves, D.Multivariate Segmtntation of Timr SerieswithDifferentialEvolution / D. Graves, W. Pedrycz // 2009 International FuzzySystems Association World Congress and 2009 European Society forFuzzy Logic and Technology Conference (IFSA-EUSFLAT 2009).

[10] Herbst, G. Online Recognition of fuzzy time series patterns /G. Herbst, S. F. Bocklish // 2009 International Fuzzy SystemsAssociation World Congress and 2009 European Society for FuzzyLogic and Technology Conference (IFSA-EUSFLAT 2009).

[11] Kacprzyk, J. Using Fuzzy Linguistic summaries for the comparisonof time series / J. Kacprzyk, A. Wilbik // 2009 International FuzzySystems Association World Congress and 2009 European Society forFuzzy Logic and Technology Conference (IFSA-EUSFLAT 2009).

[12] V. Novak, M. Stepnicka, A. Dvorak, I. Pefilieva, V. Pavliska, L.Vavrickova, Analysis of seasonal time series using fuzzy approach,Int. Journal of General Systems 39 (2010) P.305-328.

[13] V. Novak, V. Pavliska, I. Perfilieva, M. Stepnicka, F-transform andfuzzy natural logic in time series analysis, in: Proc. Int. ConferenceEUSFLAT-LFA’2013, Milano, Italy, 2013.

[14] V. Novak, I. Perfilieva, M. Holcapek, V. Kreinovich, Filtering out highfrequencies in time series using F-transform, Information Sciences274 (2014) P.192-209

[15] V. Novak, I. Perfilieva, Romanov, A. and Yarushkina, N., Time seriesgrouping and trend forecast using F1-transform and fuzzy naturallogic, in: Decision Making and Soft Computing, Eds. R. Marco seMoraes, etal., World Scientific (2014) 143-148.

136

[16] Perfilieva, I. Fuzzy transforms: Theory and applications / I. Perfilieva// Fuzzy Sets and Systems. —2006. № 157.

[17] Perfilieva, I. Relaxed Discrete F-Transform and its Application tothe Time Series Analysis / I Perfilieva, N Yarushkina, T Afanaseva //Da Ruanetal (Eds.): Computational Intelligence. Foundations andApplications (Proc.of the 9th Int. FLINS Conf.), pp. 249 –255, WorldScientific, Emei, Chengdu,China, 2-4 August, 2010.

[18] Perfilieva, I. Time Series Analysis by Discrete F-Transform / I.Perfilieva, N. Yarushkina, T. Afanasieva //WCCI-2010 2010 IEEEWorld Congress on Computational Intelligence, Barcelona, Spain,18-23 июля, 2010.

[19] SOFT COMPUTING TOOLS FOR TIME SERIES ANALYSIS ANDFORECAST/I. Perfilieva, N. Yarushkina, T. Afanasieva, A. Igonin,A. Romanov, V. Shishkina РROCEEDINGS of the 9th Int. Conf. onApplication of Fuzzy Systems and Soft Computing (ICAFS 2010)Eds. R. A. Aliev, K. W. Bonfig, M. Jamshidi, W. Pedrycz, I.B. Turksen,Prague, August 26-27, 2010, VERLAG b- Quadrat Verlag, pp. 50–60ISBN: 3-933609-28.

[20] I. Perfilieva, M. Dankova, B. Bede, Towards a higher degree F-transform, Fuzzy Sets and Systems 180 (2011) P.3-19.

[21] I. Perfilieva, N. Yarushkina, T. Afanasieva, A. Romanov, Time SeriesAnalysis by Soft Computing Methods, Int. J. of General Systems, 42 -6 (2013) P.687-705.

[22] A. Romanov, I. Perfilieva, N. Yarushkina, Time series grouping onthe basis of 𝐹 1-transform, in: Proc. FUZZ-IEEE, 2014, Beijing, China.

[23] Sah, M. Forecasting Enrollment Model Based on First-Order FuzzyTime Series /M. Sah, K. Y. Degtiarev // Proc. Int. Conf. ComputationalIntelligence (ICCI) (2004) . – Р. 375–378

137

[24] Song, Q. A note on fuzzy time series model relation with sampleautocorrelation functions/ Q. Song // Cybernetics and Systems: AnInternational Journal. – № 34 (2003) . – Р. 93–107.

[25] Song, Q. Fuzzy time series and its models / Q. Song, B. Chissom //Fuzzy Sets and Systems. –№ 54 (1993) – Р. 269–277.

[26] Song, Q. Forecasting enrollments with fuzzy time series – Part I / Q.Song, B. Chissom // Fuzzy Sets and Systems. –№ 54 (1993) –Р. 1–9.

[27] Zadeh, A. Lotfi. Fuzzy Sets / LotfiA. Zadeh //Information andControl.– 1965.

[28] Нечеткие множества в моделях управления и искусственногоинтеллекта / А. Н. Аверкин, И. З. Батыршин, А. Ф. Блишун и др.; Под ред. Д. А. Поспелова. – М. : Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит.,1986. – 312 с.

[29] Aверкин, А. Н. Многокритериальный анализ нечетких объектовс кластеризацией экспертных оценок / A. Н. Aверкин, О.В. Костюченко, Н. В. Титова // Одиннадцатая национальнаяконференция по искусственному интеллекту с международнымучастием КИИ-2008 (28 сентября - 3 октября, 2008 г., г.Дубна,Россия) : Труды конференции. – Т.1. – М. : ЛЕНАНД, 2008. – С.269–280.

[30] Алиев, Р. А. Нечеткие модели управления динамическимисистемами / Р. А. Алиев, Э. Г. Захарова, С. В. Ульянов // Итогинауки и техники. Сер. Техн. кибернетика. – Т. 29. – М. : ВИНИТИАН СССР, 1990. – С. 127–201.

[31] Андерсон, Т. Статистический анализ временных рядов / Т.Андерсон. – М. : Мир, 1976. – 757 с.

138

[32] Анфилатов, В. С. Системныйанализ в управлении: учеб. пособие/ В. С. Анфилатов, А. А. Емельянов, А. А. Кукушкин ; под ред. А.А. Емельянова. – М. : Финансы и статистика, 2003. – 368 с.

[33] Афанасьева, Т. В. Модель ACL-шкалы для генерации лингви-стических оценок в принятии решений / Т. В. Афанасьева// Вопросы современной науки и практики. Университет им.В.И.Вернадского. Т.2. Серия «Технические науки» – 2008. –№4(14). – С. 91-97.

[34] Афанасьева, Т. В. FT-преобразование нечетких временныхрядов / Т. В. Афанасьева // Нечеткие системы и мягкиевычисления (НСМВ-2008):сборник научных трудов второй все-российской научной конференции с международным участием(г. Ульяновск, 27-29 октября, 2008 г.). В 2 т. Т.1. – Ульяновск :УлГТУ, 2008. – С. 122–126.

[35] Афанасьева, Т. В. Метод прогнозирования временных рядов наоснове нечетких тенденций/ Т. В. Афанасьева // Труды СедьмойМеждународной конференции «Математическое моделирова-ние физических, экономических, технических, социальныхсистем и процессов», 2-5 февраля 2009 года, г. Ульяновск / подред. д. т. н., проф. Ю. В. Полянскова, д. ф.-м. н., проф. В. Л.Леонтьева. – Ульяновск : УлГУ, 2009. – С. 33-35.

[36] Афанасьева, Т. В. Программная реализация интегральногометода нечеткого моделирования и анализа нечетких тенден-ций временных рядов / Т. В. Афанасьева, А. Г. Чекмарев, Д.Е. Савельев // Сборник трудов всероссийской конференции«Проведение научных исследований в области обработки,хранения, передачи и защиты информации». Т.2. – Ульяновск :УлГТУ, 2009. – С. 542-549.

139

[37] Афанасьева Т.В. и др. Программа нечеткого моделированияи анализа нечетких тенденций (Fuzzy Tend). Свидетельство огосударственной регистрациипрограммдля ЭВМ№2010613774,2010 г.

[38] Ахрамейко, И. В. Многокритериальные методы обоснованияуправленческих решений в условиях нестохастической неопре-деленности данных / И. В. Ахрамейко, И. А. Семенов //Труды V Международной научно-практической конференции«Интегрированные модели и мягкие вычисления» (Коломна,20-30 мая 2009 г.). – Т.2. –М. : Физматлит, 2009. – С. 785-799.

[39] Батыршин, И. З. Принятие решений на базе нечетких отно-шений предпочтения и функций выбора / И. З. Батыршин //Нечеткие системы поддержки принятия решений. – Калинин :КГУ, 1989. –С. 29-35.

[40] Батыршин, И. З. Модели и методы перцептивного дата майнин-га временных рядов для систем поддержки принятия решений /И. З. Батыршин, Л. Б. Шереметов // Нечеткие системы и мягкиевычисления. Т. 2. – 2007. – N1.

[41] Батыршин, И. З. Нечеткие гибридные системы. Теория ипрактика / И. З. Батыршин, А. О. Недосекин, А. А. Стецко и др. –М. : ФИЗМАТЛИТ, 2007. – 208 с.

[42] Беллман, Р. Принятие решений в расплывчатых условиях / Р.Беллман, Л. Заде // Вопросы анализа и процедуры принятиярешений – М : Мир, 1976. – С. 172–215.

[43] Методы и системы принятия решений. Автоматизированныесистемы поддержки принятия решений в управлении и проек-тировании / Под ред. А. Н. Борисова. – Рига : Риж. политехн.ин-т, 1985. – 164 с.

140

[44] Обработка нечеткой информации в системах принятия реше-ний / А.Н. Борисов, А.В. Алексеев, Г.В. Меркурьева. – М. : Радиои связь, 1989. – 304 с.

[45] Борисов, В. В. Нечеткие модели и сети / В. В. Борисов, В. В.Круглов, А. С. Федулов. – М. : Горячая линия – Телеком, 2007. –284 с.

[46] Войт, Н. Н. Разработка метода нечеткой оценки проектныххарактеристик обучаемого инженера для автоматизированныхобучающих систем САПР / Н. Н. Войт // Труды VМеждународнойнаучно-практической конференции «Интегрированные моделии мягкие вычисления» (Коломна, 20-30 мая 2009 г.). Т.2. – М. :Физматлит, 2009. – С. 799-808.

[47] Вязигин, В. А. Математические методы автоматизированногопроектирования / В. А. Вязигин, В. В. Федоров. – М. :Высш. шк.,1989. – 184 с.

[48] Грачев, С. А. Модель системы управления процессом проектиро-вания в нечеткой среде / С. А. Грачев // Труды VМеждународнойнаучно-практической конференции «Интегрированные моделии мягкие вычисления» (Коломна, 20-30 мая 2009 г.) Т. 2. – М. :Физматлит, 2009. –С. 812-822.

[49] Гладков, Л. А. Нечеткий генетический алгоритм построениявременного графика процесса проектирования / Л. А. Гладков,А. Е. Криницкая // Труды Международных научно-техническихконференций «Интеллектуальные системы» (AIS’08) и «Интел-лектуальные САПР» (CAD-2008). Научное издание в 4-х томах. Т1. – М. : Физматлит, 2008. – С. 46-52.

[50] Домрачев, В. Г. Нечеткие модели рейтинговых систем оценкизнаний / В. Г. Домрачев, О. М. Полещук, И. В. Ретинская и др. //

141

Телематика’2001. Труды Международной научно-методическойконф. – СПб, 2001. – С. 245–246.

[51] Дубровский, Л. К. Нечеткие измерения при описании состоянияобъектов / Л. К. Дубровский // Методы и системы принятиярешений. Интеллектуальные системы принятия решений. –Рига : Риж. Политехн. Ин-т, 1987. – С. 84–91.

[52] Ермоленко, Д. Н. Алгоритм принятия решений по управлениюочисткой сточных вод на основе нечеткого моделирования / Д.Н. Ермоленко // Нечеткие системы и мягкие вычисления (НСМВ-2008) : сборник научных трудов второй всероссийской научнойконференции с международным участием (г. Ульяновск, 27-29октября, 2008 г.). Т. 2. – Ульяновск : УлГТУ, 2008. – С. 24–31.

[53] Жирабок, А. Н. Нечеткие множества и их использование дляпринятия решений / А. Н. Жирабок // Соросовский образова-тельный журнал. – 2001. –№ 2. – С. 109–115.

[54] Заде, Л. А. Основы нового подхода к анализу сложных систем ипроцессов принятия решений / Л. А. Заде // Математика сегодня.–М. : Знание, 1974. – С. 5-49.

[55] Круглов, В. В. Нечеткая логика и искусственные нейронные сети/ В. В. Круглов, М. И. Дли, Р. Ю. Голунов. – М. : Физматлит, 2001.– 224 с.

[56] Малышев, Н. Г. Нечеткие модели для экспертных систем вСАПР / Н. Г. Малышев, Л. С. Бернштейн, А. В. Боженюк – М.:Энергоиздат, 1991. – 136 с.

[57] Норенков, И. П. Основы автоматизированного проектирования: учеб. для вузов / И. П. Норенков. – 2-е изд., перераб. и доп.–М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2002. – 336 с.

142

[58] Орловский, С. А. Проблемы принятия решений при нечеткойисходной информации / С. А. Орловский. – М. : Наука, 1981.

[59] Павлов, А. Н. Принятие решений в условиях нечеткой информа-ции : учеб. пособие / А. Н. Павлов, Б. В. Соколов ; ГУАП – СПб.,2006. – 72 с.

[60] Перфильева, И. Нечеткое преобразование. / И. Перфильева //Нечеткая логика. – Амстердам, 2003. – С. 275–300.

[61] Ротштейн А. П. Интеллектуальные технологии идентификации:нечеткая логика, генетические алгоритмы, нейронные сети / А.П. Ротштейн. – Винница : УНИВЕРСУМ-Винница, 1999. – 320 с.

[62] Соснин, П. И. Вопросно-ответное моделирование в разработкеавтоматизированных систем / П. И. Соснин. – Ульяновск : УлГТУ,2007. – 333 с.

[63] Стецко, А. А. Принятие проектных решений на основе анализанечетких тенденций временных рядов / А. А. Стецко //Программные продукты и системы. – 2008. –№ 3.

[64] Чернов, В. Г. Нечетко-множественные методы и модели взадачах антикризисного управления / В. Г. Чернов,М. К. Суворов; под ред. О. И. Кирикова // Научные исследования: информация,анализ, прогноз. – Воронеж : ВГПУ, 2006. – Книга 10. – С. 185-217.

[65] Штовба, С. Д. Проектирование нечетких систем средствамиMATLAB/ С. Д. Штовба. – М. : Горячая линия – Телеком, 2007.–288 с.

[66] Ярушкина, Н. Г. Методы нечетких экспертных систем в интел-лектуальных САПР / Н. Г. Ярушкина. – Саратов : Изд-во Сарат.ун-та, 1997.

143

[67] Ярушкина, Н. Г.Основы теории нечетких и гибридных систем:учеб. пособие / Н. Г. Ярушкина. – М. : Финансы и статистика,2004. – 320 с.

[68] Ярушкина, Н. Г. Нечеткие временные ряды как инструмент дляоценки и измерения динамики процессов / Н. Г. Ярушкина, Т. В.Афанасьева, Т. Р.Юнусов // Датчики и системы. – 2007. – № 12. –С. 46–51.

[69] Ярушкина, Н. Г. Нечеткие временные ряды в задачах экспертнойдеятельности / Н. Г. Ярушкина, Т. В. Афанасьева // Информаци-онная среда вуза XXI века. Материалы Всероссийской научно-практической конференции. Петрозаводск, (3 - 8 сентября 2007года.). – Петрозаводск, 2007. – С. 88–90.

[70] Ярушкина Н. Г. Метод нечеткого моделирования и анализатенденций временных рядов / Ярушкина Н.Г. Афанасьева Т.В. //Интеллектуальные системы управления. / под ред. АкадемикаРАН С.Н. Васильева. -М.: Машиностроение, 2010 г. -С. 301-305.

[71] Ярушкина Н. Г. Интеллектуальный анализ временных рядов/Ярушкина Н. Г., Афанасьева Т. В., Перфильева И.Г.// учебноепособие. – Ульяновск : УлГТУ, 2010. – 324 с.

[72] Ярушкина, Н. Г. Интеграция нечетких моделей для анализа вре-менных рядов / Н. Г.Ярушкина, И. Г.Перфильева, Т. В.Афанасьева// Известия Самарского научного центра российской академиинаук. – Самара: Самарский научныйцентр РАН. - Том. 12 -№4(2)- 2010. – С. 506-509.

[73] Ярушкина, Н. Г. Интегральный метод нечеткого моделированияи анализа нечетких тенденций/ Н. Г.Ярушкина, Т. В.Афанасьева,И. Г.Перфильева // Автоматизация процессов управления. –Ульяновск: - № 2(20). – 2010. – С. 59-64.

144

[74] Яхъяева Г. Э. Нечеткие множества и нейронные сети: Учебноепособие / – М.: Интернет-Университет Информационныхтехнологий: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. –316 с.

145

Научное издание

АФАНАСЬЕВА Татьяна Васильевна НАМЕСТНИКОВ Алексей Михайлович

ПЕРФИЛЬЕВА Ирина Григорьевна РОМАНОВ Антон Алексеевич

ЯРУШКИНА Надежда Глебовна

ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ: НЕЧЕТКИЕ МОДЕЛИ

Технический редактор М.В. Теленкова

ЛР №020640 от 22.10.97 Подписано в печать 19.11.2014. Формат 60 × 84/16.

Усл. печ. л. 8,60. Тираж 100 экз. Заказ 1244.

Ульяновский государственный технический университет 432027, г. Ульяновск, ул. Северный Венец, д. 32.

ИПК «Венец» УлГТУ. 432027, г. Ульяновск, ул. Северный Венец, д. 32.