Математика. Индивидуальные домашние заданияvenec.ulstu.ru/lib/disk/2015/Gluhov_3.pdfББК В1я7 М 34 Математика. Индивидуальные

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ

ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

МАТЕМАТИКА

ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ

В четырех частях

Часть 1

Ульяновск 2011

ББК В1я7

М 34

Математика. Индивидуальные домашние задания : учеб.-метод. пособие :

в 4 ч. : Ч. 1 / сост. В. П. Глухов, С. П. Никонова, Н. В. Зорькина, Л. В. Миро-

нова, Н. В. Глухова. Ульяновск : УВАУ ГА(И), 2011. 104 с.

Пособие состоит из восьми глав. В начале каждой главы приведены необ-

ходимые теоретические сведения и формулы по определенной теме учебной

программы, после чего представлены 35 вариантов заданий для индивиду-

альной домашней работы.

Предназначено для самостоятельной работы курсантов первого курса

специализаций 162001.65.01 – Организация летной работы, 162001.65.02 –

Организация использования воздушного пространства.

Печатается по решению Редсовета училища.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Индивидуальное домашнее задание № 1. Операции над матрицами.

Вычисление определителей ......................................................................................... 3

Индивидуальное домашнее задание № 2. Различные способы решения

систем линейных уравнений. Исследование систем на совместность.................. 11

Индивидуальное домашнее задание № 3. Скалярное, векторное

и смешанное произведения векторов ....................................................................... 19

Индивидуальное домашнее задание № 4. Операции

над множествами. Числовые множества .................................................................. 39

Индивидуальное домашнее задание № 5. Элементы

математической логики и теории графов ................................................................. 49

Индивидуальное домашнее задание № 6. Область определения

функции. Основные элементарные функции, их свойства и графики .................. 65

Индивидуальное домашнее задание № 7. Вычисление пределов функций ....... 77

Индивидуальное домашнее задание № 8. Исследование функций

на непрерывность. Определение типа точки разрыва ............................................ 93

Приложение.........................................................................................................102

Ульяновское высшее авиационное училище

гражданской авиации (институт), 2011

ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ № 1

ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

Операции над матрицами. Матрицей размера mn называется таблица

чисел ai,j, i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n,

A =

mnmm

n

n

aaa

aaa

ааа

...

............

...

...

21

22221

11211

,

состоящая из m строк и n столбцов. Матрица, у которой число строк равно

числу столбцов (m = n), называется квадратной.

Матрица, у которой на главной диагонали единицы, а на всех остальных

местах нули называется единичной.

Нулевой матрицей называется матрица, все элементы которой равны 0.

Квадратная матрица А = (ai,j) называется верхней треугольной (нижней

треугольной), если равны нулю все элементы матрицы, расположенные под

главной диагональю (над главной диагональю):

A =

mn

n

n

a

aa

ааа

...00

............

...0

...

222

11211

, A =

mnmm aaa

aa

а

...

............

0...

0...0

21

2221

11

.

Диагональная матрица является частным случаем как верхней, так и

нижней треугольной матрицы.

Суммой (А + В) матриц А = (ai,j) и В = (bi,j) одного и того же размера

называется матрица С = (ci,j) того же размера mn, каждый элемент которой

равен сумме соответственных элементов матриц А и В:

ci,j = ai,j + bi,j, i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n.

Произведением А матрицы А = (ai,j) на число (действительное или ком-

плексное) называется матрица В = (bi,j), получающаяся из матрицы А умно-

жением всех ее элементов на :

bi,j = ai,j, i = 1, 2, …, m, j = 1, 2, …, n.

Глухов В. П., Никонова С. П., Зорькина Н. В., Миронова Л. В., Глухова Н. В.

Математика. Индивидуальные домашние задания. Учебно-методическое пособие в 4 частях. Часть 1.

© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 3

Произведением А·В (mn)-матрицы А = (ai,j) на (np)-матрицу В = (bi,j)

называется (mp)-матрица С = (ci,j), элемент которой ci,j, стоящий в i-й строке

j-м столбце, равен сумме произведений соответственных элементов i-й строки

матрицы A и j-го столбца матрицы В:

ci,j = lj

n

lil bа

1

, i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, p.

Матрицей, транспонированной к матрице А, называется такая матрица,

которая получена из матрицы А заменой строк соответствующими столбцами

(обозначается АТ).

Определители. В данном пункте договоримся рассматривать только

квадратные матрицы.

Определителем матрицы А называется сумма всевозможных произведе-

ний элементов матрицы, взятых ровно по одному из каждой строки и каждо-

го столбца матрицы А, причем произведению приписывается знак «+», если

подстановка, составленная из индексов сомножителей, является четной и

знак «–», если такая подстановка является нечетной.

Если А – матрица второго порядка. Тогда определитель матрицы А есть

число, равное

|А| = а11а22 – а12а21.

Если А – матрица третьего порядка, тогда определитель матрицы А есть

число, равное

|А| = а11а22а33 + а12а23а31 + а13а21а32 – а13а22а31 – а11а23а32 – а12а21а33.

Минором элемента ai,j матрицы А называется определитель, полученный

из определителя матрицы А, вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.

Алгебраическим дополнением элемента ai,j называется минор этого опре-

делителя, взятый со знаком (–1)i + j.

Aij = (–1)i + j Mij.

Определитель матрицы также можно вычислить как сумму произведений

элементов какой-либо ее строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

|A| = ai1Ai1 + ai2Ai2 + … + ainAin (разложение определителя матрицы А порядка

n по i-й строке).




Если |А| 0, то существует и притом единственная обратная матрица А–1

такая, что А·А–1 = А–1·А = Е, где Е – единичная матрица.

Обратную матрицу можно вычислить по формуле:

А–1 = А

1

nnnn

n

n

AАА

ААА

ААА

...

............

...

...

21

22221

11211

,

где Аij – алгебраические дополнения элементов аij матрицы А.

Варианты индивидуального домашнего задания

1. Вычислить:

1) αА + βВ;

2) произведение матриц А и В;

3) определитель произведения матриц А и В;

4) определитель матрицы В;

2. Найти матрицу обратную к матрице А.

Вариант 1

А =

115

101

012

; В =

011

231

543

; α = 4, β = 7.

Вариант 2

А =

231

112

211

; В =

111

104

012

; α = 3, β = 4.

Вариант 3

А =

110

110

132

; В =

115

101

1472

; α = –2, β = 3.




Вариант 4

А =

321

210

401

; В =

142

246

153

; α = –5, β = 8.

Вариант 5

А =

401

210

321

; В =

115

101

012

; α = 3, β = –5.

Вариант 6

А =

321

210

401

; В =

125

231

135

; α = –5, β = 8.

Вариант 7

А =

145

234

121

; В =

124

210

033

; α = –5, β = 8.

Вариант 8

А =

411

131

112

; В =

51919

845

72019

; α = –1, β = 9.

Вариант 9

А =

130

021

253

; В =

401

210

321

; α = 3, β = 2.




Вариант 10

А =

115

114

132

; В =

941

321

111

; α = 6, β = 12.

Вариант 11

А =

514

132

111

; В =

321

546

421

; α = 10, β = 2.

Вариант 12

А =

121

233

515

; В =

111

5315

9835

; α = –4, β = 9.

Вариант 13

А =

115

101

012

; В =

131

224

111

; α = –3, β = –11.

Вариант 14

А =

153

174

584

; В =

121

642

351

; α = 2, β = –10.

Вариант 15

А =

011

231

543

; В =

421

321

012

; α = 10, β = –1.




Вариант 16

А =

351

493

772

; В =

313

213

126

; α = 10, β = –8.

Вариант 17

А =

122

212

221

; В =

121

642

351

; α = 10, β = –1.

Вариант 18

А =

412

254

123

; В =

633

210

113

; α = 7, β = –2.

Вариант 19

А =

524

203

121

; В =

114

2314

104

; α = –2, β = 6.

Вариант 20

А =

221

1241

651

; В =

1111

511

321

; α = 3, β = –7.

Вариант 21

А =

1415

533

123

; В =

164

2156

093

; α = –2, β = 23.




Вариант 22

А =

247

114

264

; В =

432

422

732

; α = –3, β = 2.

Вариант 23

А =

114

112

548

; В =

931

421

333

; α = 11, β = –3.

Вариант 24

А =

112

116

544

; В =

332

422

112

; α = –2, β = –2.

Вариант 25

А =

324

012

747

; В =

121

445

142

; α = –3, β = 4.

Вариант 26

А =

924

610

301

; В =

141

485

2123

; α = 3, β = 11.

Вариант 27

А =

110

101

1536

; В =

0215

3912

113

; α = –1, β = 4.




Вариант 28

А =

122

126

004

; В =

1114

2014

1024

; α = 3, β = 2.

Вариант 29

А =

324

420

101

; В =

242

233

171

; α = 7, β = 2.

Вариант 30

А =

111

115

002

; В =

1114

107

415

; α = –1, β = 2.

Вариант 31

А =

125

101

022

; В =

021

261

10166

; α = 3, β = –2.

Вариант 32

А =

110

220

262

; В =

2210

101

1171

; α = –3, β = 5.

Вариант 33

А =

321

420

021

; В =

242

233

171

; α = –2, β = 8.




Вариант 34

А =

222

113

4410

; В =

1114

2014

3112

; α = 10, β = –5.

Вариант 35

А =

115

101

012

; В =

110

204

514

; α = –1, β = 8.


РАЗЛИЧНЫЕ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.

ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ НА СОВМЕСТНОСТЬ

Пусть дана система m линейных уравнений с n неизвестными

..................................................

,...,...

2211

22222121

11212111

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

Систему линейных уравнений можно записать в матричной форме:

А Х = В,

где A =

mnmm

n

n

aaa

aaa

ааа

...

............

...

...

21

22221

11211

– главная матрица системы; Х =

nx

x

x

...2

1

– мат-

рица-столбец неизвестных системы; В =

nb

b

b

...2

1

– матрица-столбец свободных

элементов системы.




Матрица Α , полученная присоединением к матрице А столбца из свобод-

ных элементов называется расширенной матрицей системы

Α ....

...

...........

...

...

2

1

21

22221

11211

mmnmm

n

n

b

b

b

aaa

aaa

aaa

Если система линейных уравнений имеет хотя бы одно решение, то система

называется совместной, в противном случае она называется несовместной.

Максимальный порядок отличных от нуля миноров матрицы А называется

ее рангом. Обозначается: rang A.

Теорема Кронекера – Капелли. Для того чтобы система линейных урав-

нений была совместной, необходимо и достаточно, чтобы rang А = rang Α .

Если rang А = rang Α = n (n – число неизвестных), то система имеет един-

ственное решение.

Если rang А = rang Α < n, то система имеет бесконечное множество решений.

Если rang А < rang Α , то система несовместна.

Задача нахождения решения системы линейных уравнений состоит в

применении методов, позволяющих узнать, совместна ли данная система

уравнений или нет, в случае совместности установить число решений, а так-

же указать способ найти все эти решения.

Мы начнем с метода, наиболее удобного для практического отыскания

решений систем с числовыми коэффициентами, а именно метода последо-

вательного исключения неизвестных или метода Гаусса.

С помощью элементарных преобразований над строками расширенная

матрица системы Α может быть приведена к виду (предположим, что a11 0):

.

..........00

................

.......

00

0.......

)1(

3

2

1

)1(

3

2

33

22

11211

rr

rrn

n

n

n

b

b

b

b

a

a

a

a

aaaa




Преобразованная матрица является расширенной матрицей системы, ко-

торая с точностью до обозначения неизвестных эквивалентна исходной си-

стеме линейных уравнений.

Метод Гаусса применим к любой системе линейных уравнений. При этом

система будет несовместной, если в процессе преобразований мы получим

уравнение, в котором коэффициенты при всех неизвестных равны нулю, а

свободный элемент отличен от нуля; если же мы такого уравнения не встре-

тим, то система будет совместной. Совместная система уравнений будет

иметь единственное решение, если r = n, и иметь бесконечное множество ре-

шений, если r < n.

В том случае, если у системы линейных уравнений число неизвестных

равно числу переменных и определитель главной матрицы системы отличен

от нуля ( 0), то для нахождения решения системы (и притом единственно-

го) применяют методы Крамера и матричный метод.

Метод Крамера позволяет находить решение системы по формуле

,

iix

где i – определитель, получаемый из определителя заменой i-го столбца

на столбец свободных элементов.

Матричный метод заключается в отыскании решения системы по формуле

X = А–1 B,

где А–1 – обратная матрица системы; В – столбец свободных элементов си-

стемы; Х – столбец неизвестных системы.


1. Решить систему линейных уравнений тремя способами:

а) методом Крамера;

б) матричным методам;

в) методом Гаусса.

2. Исследовать на совместность и найти общее решение системы линей-

ных уравнений.




Вариант 1

а)

;53

,11542

,632

321

321

321

xxx

xxx

xxx

б)

.3352

,5283

,2343

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

Вариант 2

а)

;54

,232

,22

21

321

321

xx

xxx

xxx

б)

.143353

,13

,0322

54321

5321

4321

xxxxx

xxxx

xxxx

Вариант 3

а)

;42

,7223

,3

321

321

321

xxx

xxx

xxx

б)

.13

,1223

,034

2

4321

54321

4321

xxxx

xxxxx

xxxx

Вариант 4

а)

;15348

,1753

,124

321

321

321

xxx

xxx

xxx

б)

.22334

,33472

,123

54321

4321

5321

xxxxx

xxxx

xxxx

Вариант 5

а)

;256

,322

,432

321

321

321

xxx

xxx

xxx

б)

.1332

,1343

,024

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

Вариант 6

а)

;124

,223

,632

321

321

321

xxx

xxx

xxx

б)

.344

,7292

,4435

54321

5321

4321

xxxxx

xxxx

xxxx




Вариант 7

а)

;42

,5564

,7382

321

321

321

xxx

xxx

xxx

б)

,3

.2343

254

,13

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

Вариант 8

а)

;42

,11434

,526

321

321

321

xxx

xxx

xxx

б)

.335

,5492

,2324

54321

4321

5321

xxxxx

xxxx

xxxx

Вариант 9

а)

;53

,10552

,4332

321

321

321

xxx

xxx

xxx

б)

,2

.2353

3274

,1432

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

Вариант 11

а)

;3783

,52

,6327

321

321

321

xxx

xxx

xxx

б)

.33232

,73452

,443

54321

5321

4321

xxxxx

xxxx

xxxx

Вариант 12

а)

;1092

,1173

,452

321

321

321

xxx

xxx

xxx

б)

.12223

,1234

,043

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

Вариант 13

а)

;02

,42

,7232

321

321

321

xxx

xxx

xxx

б)

.332352

,5283

,2343

54321

4321

5321

xxxxx

xxxx

xxxx




Вариант 14

а)

;8233

,55

,3322

321

321

321

xxx

xxx

xxx

б)

.33464

,24532

,42396

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

Вариант 15

а)

;10523

,543

,22

321

321

321

xxx

xxx

xxx

б)

.2

,03

,12

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

Вариант 16

а)

;7236

,5324

,1432

321

321

321

xxx

xxx

xxx

б)

.81433

,54326

,46539

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

Вариант 17

а)

;2956

,1243

,542

321

321

321

xxx

xxx

xxx

б)

.53

,9452

,4322

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

Вариант 18

а)

;6565

,8224

,223

321

321

321

xxx

xxx

xxx

б)

.4323

,93472

,5324

54321

4321

5321

xxxxx

xxxx

xxxx

Вариант 19

а)

;0253

,825

,9342

321

321

321

xxx

xxx

xxx

б)

.3352

,4273

,1432

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx




Вариант 20

а)

;542

,14338

,5326

321

321

321

xxx

xxx

xxx

б)

.2453

,3274

,1432

54321

5321

4321

xxxxx

xxxx

xxxx

Вариант 21

а)

;8567

,1342

,3423

321

321

321

xxx

xxx

xxx

б)

.344

,7292

,4435

54321

5321

4321

xxxxx

xxxx

xxxx

Вариант 22

а)

;3746

,10275

,113412

321

321

321

xxx

xxx

xxx

б)

.332

,7345

,423

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

Вариант 23

а)

;9324

,982

,3243

321

321

321

xxx

xxx

xxx

б)

.124223

,1234

,043

54321

5321

4321

xxxxx

xxxx

xxxx

Вариант 24

а)

;8332

,4352

,643

321

321

321

xxx

xxx

xxx

б)

.35

,5492

,2324

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

Вариант 25

а)

;634

,5478

,14356

321

321

321

xxx

xxx

xxx

б)

.19834

,122

,0432

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx




Вариант 26

а)

;158

,524

,1472

321

321

321

xxx

xxx

xxx

б)

.2443

,3254

,143

54321

5321

4321

xxxxx

xxxx

xxxx

Вариант 27

а)

;14545

,114310

,632

321

321

321

xxx

xxx

xxx

б)

.4223

,9472

,5324

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

Вариант 28

а)

;11326

,1342

,10253

321

321

321

xxx

xxx

xxx

б)

.5343

,9452

,4322

54321

5321

4321

xxxxx

xxxx

xxxx

Вариант 29

а)

;634

,252

,623

321

321

321

xxx

xxx

xxx

б)

.334

,7292

,4435

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

Вариант 30

а) ,10

;1234

763

,9252

321

321

321

xxx

xxx

xxx

б)

.3452

,4273

,1432

54321

5321

4321

xxxxx

xxxx

xxxx

Вариант 31

а)

;7236

,9573

,9432

321

321

321

xxx

xxx

xxx

б)

.234

,33472

,123

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx




Вариант 32

а)

;1285

,1642

,96213

321

321

321

xxx

xxx

xxx

б)

.123332

,1343

,024

54321

4321

5321

xxxxx

xxxx

xxxx

Вариант 33

а)

;86

,9412

,10352

321

321

321

xxx

xx

xxx

б)

.17353

,1432

,0322

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

Вариант 34

а)

;4

,36

,63710

321

321

321

xxx

xxx

xxx

б)

.12332

,1223

,034

54321

5321

4321

xxxxx

xxxx

xxxx

Вариант 35

а)

;834

,5353

,22

321

321

321

xxx

xxx

xxx

б)

.132

,1453

,0322

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx


СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ

1. Если известны координаты точек А( Ax ; Ay ; Az ) и В( Bx ; By ; Bz ), то

координаты вектора AB можно вычислить следующим образом:

ABABAB zzyyxxAB ;; .

Длина и направляющие косинусы вектора zyxa ;; определяются по

формулам:

222 zyxa ,




a

xcos ,

a

ycos ,

a

zcos .

Ортом вектора a называется вектор 0a , одинаково направленный с век-

тором a и единичный по длине, при этом cos;cos;cos1

0 aa

a .

Суммой векторов 111 ;; zyxa и 222 ;; zyxb будет вектор

212121 ;; zzyyxxba ,

а произведением вектора zyxa ;; на число – вектор

zyxa ;; .

2. Скалярным произведением векторов 111 ;; zyxa и 222 ;; zyxb яв-

ляется число

212121cos),( zzyyxxbaba ,

где – угол между векторами. С помощью этой формулы можно получить

проекцию одного вектора на другой:

a

babпрa

),( .

3. Векторным произведением векторов 111 ;; zyxa и 222 ;; zyxb бу-

дет вектор, определяемый следующим образом:

222

111],[

zyx

zyx

kji

ba .

Длина векторного произведения векторов задает площадь параллелограм-

ма, построенного на радиус-векторах множителей:

],[ baS ,

откуда следует, что площадь треугольника составляет ],[2

1baS .

4. Смешанным произведением векторов 111 ;; zyxa , 222 ;; zyxb и

333 ;; zyxc является число




333

222

111

)],,([),,(

zyx

zyx

zyx

cbacba ,

модуль которого равен объему параллелепипеда, построенного на радиус-

векторах множителей:

),,( cbaV .

Объем соответствующего тетраэдра составляет шестую часть объема па-

раллелепипеда:

),,(6

1cbaV .

Векторы 111 ;; zyxa , 222 ;; zyxb и 333 ;; zyxc будут компланар-

ными, если 0),,( cba .


Вариант 1

Дано: А(1; 2; 0), В(3; 1; 2), С(1; 2; 1), D(5; 3; 2).

Найти: 1) длину медианы AM в треугольнике ABC;

2) направляющие косинусы и орт вектора AC ;

3) координаты вектора r , противоположно направленного с век-

тором AC и имеющего длину | r | = 10;

4) угол между векторами AB и AC ;

5) проекцию вектора BCAB 23 на вектор BD ;

6) площадь треугольника ABC;

7) длину высоты AH в треугольнике ABC;

8) объем тетраэдра ABCD;

9) длину высоты DO тетраэдра ABCD, опущенной из вершины D;

10) произведения векторов ( AB , ],[ BCAC ), [ AB , ],[ BCAC ];

11) показать, что векторы AB , AC , BC компланарны.




Вариант 2

Дано: А(4; 1; 4), В(0; 5; 1), С(3; 0; 2), D(1; 3; 1).

Найти: 1) длину медианы BM в треугольнике BCD;

2) направляющие косинусы и орт вектора BC ;


тором BC и имеющего длину | r | = 10;

4) угол между векторами BD и BC ;

5) проекцию вектора CDBD 32 на вектор AB ;

6) площадь треугольника BCD;

7) длину высоты ВH в треугольнике BCD;


9) длину высоты AO тетраэдра ABCD, опущенной из вершины A;

10) произведения векторов ( BD , ],[ BCCD ), [ BD , ],[ BCCD ];

11) показать, что векторы BD , CD , BC компланарны.

Вариант 3

Дано: А(5; 2; 4), В(5; 0; 1), С(3; 2; 4), D(2; 5; 3).

Найти: 1) длину медианы AM в треугольнике ABD;

2) направляющие косинусы и орт вектора AB ;


тором AB и имеющего длину | r | = 10;

4) угол между векторами AB и AD ;

5) проекцию вектора ABBD 24 на вектор CD ;

6) площадь треугольника ABD;

7) длину высоты AH в треугольнике ABD;


9) длину высоты СO тетраэдра ABCD, опущенной из вершины С;

10) произведения векторов ( BD , ],[ ADAB ), [ BD , ],[ ADAB ];

11) показать, что векторы BD , AB , AD компланарны.




Вариант 4

Дано: А(3; 1; 2), В(5; 2; 1), С(0; 1; 2), D(3; 3; 4).

Найти: 1) длину медианы СM в треугольнике AСD;

2) направляющие косинусы и орт вектора CD ;


тором CD и имеющего длину | r | = 10;

4) угол между векторами CD и CA ;

5) проекцию вектора ADCD 32 на вектор AB ;

6) площадь треугольника AСD;

7) длину высоты СH в треугольнике AСD;


9) длину высоты BO тетраэдра ABCD, опущенной из вершины B;

10) произведения векторов (CD , ],[ ADCA ), [CD , ],[ ADCA ];

11) показать, что векторы CD , CA , AD компланарны.

Вариант 5

Дано: А(5; 2; 1), В(3; 3; 4), С(3; 1; 2), D(0; 1; 2).

Найти: 1) длину медианы DM в треугольнике BCD;

2) направляющие косинусы и орт вектора DB ;


тором DB и имеющего длину | r | = 10;

4) угол между векторами DB и DC ;

5) проекцию вектора BCDC 23 на вектор AC ;


7) длину высоты DH в треугольнике BCD;



10) произведения векторов ( DB , ],[ BCDC ), [ DB , ],[ BCDC ];

11) показать, что векторы DB , DC , BC компланарны.




Вариант 6

Дано: А(1; 1; 0), В(1; 3; 4), С(2; 1; 2), D(4; 1; 2).

Найти: 1) длину медианы BM в треугольнике ABD;

2) направляющие косинусы и орт вектора BA ;


тором BA и имеющего длину | r | = 10;

4) угол между векторами BA и BD ;

5) проекцию вектора ADBA 24 на вектор AC ;


7) длину высоты BH в треугольнике ABD;



10) произведения векторов ( BA , ],[ BDAD ), [ BA , ],[ BDAD ];

11) показать, что векторы BA , BD , AD компланарны.

Вариант 7

Дано: А(1; 2; 0), В(3; 1; 2), С(1; 2; 1), D(5; 3; 2).
















Вариант 8

Дано: А(4; 1; 4), В(2; 5; 0), С(1; 0; 2), D(1; 3; 1).













Вариант 9

Дано: А(5; 2; 4), В(0; 6; 1), С(3; 2; 4), D(2; 5; 3).
















Вариант 10

Дано: А(3; 1; 2), В(5; 2; 1), С(0; 1; 2), D(3; 3; 4).













Вариант 11

Дано: А(5; 2; 1), В(3; 3; 4), С(3; 1; 2), D(0; 1; 2).
















Вариант 12

Дано: А(1; 1; 2), В(1; 3; 4), С(2; 1; 2), D(4; 1; 0).













Вариант 13

Дано: А(1; 2; 0), В(3; 1; 2), С(1; 2; 1), D(5; 3; 2).
















Вариант 14

Дано: А(4; 1; 4), В(0; 5; 2), С(3; 0; 2), D(1; 3; 1).













Вариант 15

Дано: А(5; 2; 4), В(5; 6; 1), С(3; 0; 4), D(2; 5; 3).
















Вариант 16

Дано: А(3; 1; 2), В(5; 2; 1), С(0; 1; 2), D(3; 3; 4).













Вариант 17

Дано: А(5; 2; 1), В(3; 3; 4), С(3; 1; 2), D(0; 1; 2).
















Вариант 18

Дано: А(1; 1; 3), В(1; 3; 4), С(2; 0; 2), D(4; 1; 2).













Вариант 19

Дано: А(1; 2; 0), В(3; 1; 2), С(1; 2; 1), D(5; 3; 2).
















Вариант 20

Дано: А(4; 1; 4), В(3; 5; 0), С(0; 1; 2), D(1; 3; 1).













Вариант 21

Дано: А(5; 2; 4), В(0; 6; 1), С(3; 2; 4), D(2; 5; 3).
















Вариант 22

Дано: А(3; 1; 2), В(5; 2; 1), С(0; 1; 2), D(3; 3; 4).













Вариант 23

Дано: А(5; 2; 1), В(3; 3; 4), С(3; 1; 2), D(0; 1; 2).
















Вариант 24

Дано: А(1; 1; 2), В(1; 3; 4), С(0; 1; 2), D(5; 1; 2).













Вариант 25

Дано: А(1; 2; 0), В(3; 1; 2), С(1; 2; 1), D(5; 3; 2).
















Вариант 26

Дано: А(4; 1; 4), В(1; 5; 2), С(3; 0; 2), D(1; 3; 1).













Вариант 27

Дано: А(0; 2; 4), В(5; 6; 1), С(3; 2; 4), D(2; 5; 3).
















Вариант 28

Дано: А(3; 1; 2), В(5; 2; 1), С(1; 1; 0), D(3; 3; 4).













Вариант 29

Дано: А(5; 2; 1), В(0; 3; 4), С(3; 1; 2), D(2; 1; 2).
















Вариант 30

Дано: А(1; 1; 4), В(1; 3; 2), С(2; 1; 0), D(4; 1; 2).













Вариант 31

Дано: А(1; 2; 0), В(3; 1; 2), С(1; 2; 1), D(5; 3; 2).
















Вариант 32

Дано: А(4; 1; 4), В(2; 5; 1), С(0; 2; 2), D(1; 3; 1).













Вариант 33

Дано: А(5; 2; 4), В(5; 0; 1), С(3; 2; 4), D(2; 5; 3).
















Вариант 34

Дано: А(3; 1; 3), В(5; 2; 1), С(0; 1; 2), D(3; 3; 4).













Вариант 35

Дано: А(5; 2; 1), В(3; 3; 4), С(3; 1; 2), D(0; 1; 2).

















ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ. ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА

1. Множество – основное неопределяемое понятие в математике. Под

ним понимается набор объектов (элементов) произвольной природы. При-

надлежность элемента множеству обозначается следующим образом: Aa .

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым (обо-

значение: Ø).

Множество В называется подмножеством множества А, если каждый

элемент множества В является элементом множества А (обозначение: АВ

или А В).

Множества А и В называются равными, если каждое из них является под-

множеством другого (обозначение: А = В).

Множество U называется универсальным, если все другие рассматривае-

мые множества являются его подмножествами.

2. Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из тех

и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из данных

множеств А или В (обозначение: АВ).

Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из тех и

только тех элементов, которые принадлежат одновременно и множеству А, и

множеству В (обозначение: АВ).

Разностью множеств А и В называется множество, состоящее из тех и

только тех элементов, которые принадлежат множеству А и не принадлежат

множеству В (обозначение: А \ В).

Симметрической разностью множеств А и В называется множество,

определяемое формулой

АВ = (А \ В) (В \ А).

Дополнением множества А до универсального является множество

AUA \ .

Чтобы наглядно изображать множества и отношения между ними, рисуют

геометрические фигуры (чаще всего круги), которые находятся между собой




в этих отношениях. Такие изображения множеств называют диаграммами

Эйлера – Венна.

3. Для некоторых числовых множеств имеются специальные обозначения:

N – множество всех натуральных чисел;

Z – множество всех целых чисел;

Q – множество всех рациональных чисел;

R – множество всех действительных чисел.

4. Основные свойства операций над множествами:

AAA , AAA ;

A Ø A , A Ø = Ø;

UUA , AUA ;

ABBA , ABBA (коммутативность);

)()( CBACBA , )()( CBACBA (ассоциативность);

)()()( CBCACBA , )()()( CBCACBA

(дистрибутивность);

BABA , BABA (законы де Моргана);

)(\)( BABABA .

5. Декартовым произведением множеств А и В называется множество

BA , элементами которого являются все упорядоченные пары ),( ba такие,

что Aa и Bb .


Вариант 1

1. Для множеств А = {1, 2, 5, 6} и B = {2, 3, 6} найти:

1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) АВ; 6) BA .

2. Для множеств А = (2, 4), В = [4, 5], U R найти:

1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) АВ; 6) A ; 7) B ; 8) AB \ ; 9) BA \ .

Изобразить на координатной плоскости множество BA .

3. Изобразить на диаграмме Эйлера – Венна множество )\()\( CABA .




Вариант 2

1. Для множеств А = {5, 6} и B = {3, 4, 5} найти:

1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) АВ; 6) BA .

2. Для множеств А = (–, 3), В = [1, 3], U R найти:



3. Изобразить на диаграмме Эйлера – Венна множество CBA )( .

Вариант 3

1. Для множеств А = {1, 2, 3} и B = {2, 3, 4, 5} найти:

1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) А с; 6) BA .

2. Для множеств А = [4, 5), В = [5, +], U R найти:



3. Изобразить на диаграмме Эйлера – Венна множество CBA \ .

Вариант 4


1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) А с; 6) BA .

2. Для множеств А = (4, 7), В = (–, 8], U R найти:




Вариант 5


1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) А с; 6) BA .

2. Для множеств А = (3, +), В = (4, 5), U R найти:



3. Изобразить на диаграмме Эйлера – Венна множество )(\)( CBCA .




Вариант 6

1. Для множеств А = {4, 5, 6} и B = {4, 5} найти:

1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) А с; 6) BA .

2. Для множеств А = (–3, –2), В = (–2, +), U R найти:



3. Изобразить на диаграмме Эйлера – Венна множество )(\ CBA .

Вариант 7

1. Для множеств А = {1, 2, 3} и B = {3, 4, 5} найти:

1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) А с; 6) BA .

2. Для множеств А = (2, +), В = [2, 4], U R найти:



3. Изобразить на диаграмме Эйлера – Венна множество )( CBA .

Вариант 8


1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) А с; 6) BA .

2. Для множеств А = [–1, 1), В= (1, +], U R найти:




Вариант 9

1. Для множеств А = {1, 2, 3} и B = {1, 2, 3, 4, 5} найти:

1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) А с; 6) BA .

2. Для множеств А =(4, 5), В = [3, 4], U R найти:



3. Изобразить на диаграмме Эйлера – Венна множество )\()\( CABA .




Вариант 10

1. Для множеств А = {4, 6} и B = {1, 3, 4, 5} найти:

1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) А с; 6) BA .

2. Для множеств А = (–8, 4), В = [2, 3], U R найти:



3. Изобразить на диаграмме Эйлера – Венна множество )\( BCA .

Вариант 11

1. Для множеств А = {1, 2, 4, 5, 6} и B = {1, 3, 5} найти:

1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) А с; 6) BA .

2. Для множеств А = (–, 3], В = [–5, 5), U R найти:



3. Изобразить на диаграмме Эйлера – Венна множество )()( CABA .

Вариант 12


1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) А с; 6) BA .

2. Для множеств А = [4, 7], В = (4, +), U R найти:




Вариант 13


1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) А с; 6) BA .

2. Для множеств А = (4, 6), В = (5, 6), U R найти:







Вариант 14


1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) А с; 6) BA .

2. Для множеств А = (3, 10), В = [1, 4], U R найти:



3. Изобразить на диаграмме Эйлера – Венна множество CBA )\( .

Вариант 15


1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) А с; 6) BA .

2. Для множеств А = [0, 1), В = [0, 2], U R найти:



3. Изобразить на диаграмме Эйлера – Венна множество )()\( CABA .

Вариант 16


1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) А с; 6) BA .

2. Для множеств А = (–, 0], В = [0, 2], U R найти:



3. Изобразить на диаграмме Эйлера – Венна множество )( BAC .

Вариант 17

1. Для множеств А = {0, 2} и B = {2, 4} найти:

1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) А с; 6) BA .

2. Для множеств А = [–1, 1], В = (0, 2), U R найти:



3. Изобразить на диаграмме Эйлера – Венна множество )\( CBA .




Вариант 18


1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) А с; 6) BA .

2. Для множеств А = [1, 4], В=(0,+), U R найти:



3. Изобразить на диаграмме Эйлера – Венна множество CBA \)( .

Вариант 19


1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) А с; 6) BA .

2. Для множеств А = (–, 2], В = (0, 1), U R найти:



3. Изобразить на диаграмме Эйлера – Венна множество CAB \)( .

Вариант 20


1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) А с; 6) BA .

2. Для множеств А = (–, 3], В = [3, 7], U R найти:



3. Изобразить на диаграмме Эйлера – Венна множество )\( BAC .

Вариант 21

1. Для множеств А = {6, 7} и В = {1, 2, 3} найти:

1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) А с; 6) BA .

2. Для множеств А = [0, 2], В = (1, 5), U R найти:







Вариант 22


1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) А с; 6) BA .

2. Для множеств А = [4, 8], В = [5, 6], U R найти:



3. Изобразить на диаграмме Эйлера – Венна множество )\( CBA .

Вариант 23


1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) А с; 6) BA .

2. Для множеств А = [0, +), В = (2, 3), U R найти:



3. Изобразить на диаграмме Эйлера – Венна множество )(\ BAC .

Вариант 24


1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) А с; 6) BA .

2. Для множеств А = (–2, +), В = [2, 8), U R найти:




Вариант 25


1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) А с; 6) BA .

2. Для множеств А = (–, 3), В = (3, +), U R найти:



3. Изобразить на диаграмме Эйлера – Венна множество BCA )( .




Вариант 26


1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) А с; 6) BA .

2. Для множеств А = (–, 3), В = [2, 7], U R найти:



3. Изобразить на диаграмме Эйлера – Венна множество CBA )\( .

Вариант 27

1. Для множеств А = {5, 6, 7, 8} и B = {2, 4, 6, 8} найти:

1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) А с; 6) BA .

2. Для множеств А = [1, 10), В = (7, 8), U R найти:



3. Изобразить на диаграмме Эйлера – Венна множество )\( CAB .

Вариант 28


1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) А с; 6) BA .

2. Для множеств А = (–, 2), В = [1, +), U R найти:



3. Изобразить на диаграмме Эйлера – Венна множество CBA \)( .

Вариант 29

1. Для множеств А = {3, 4, 5, 6} и B = {4, 5} найти:

1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) А с; 6) BA .

2. Для множеств А = (–3, 2), В = (–2, +), U R найти:



3. Изобразить на диаграмме Эйлера – Венна множество )\(\ CBA .




Вариант 30


1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) А с; 6) BA .

2. Для множеств А = (2, +), В = [2, 4], U R найти:



3. Изобразить на диаграмме Эйлера – Венна множество )()\( CABA .

Вариант 31


1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) А с; 6) BA .

2. Для множеств А = [–1, 2), В = (1, +), U R найти:




Вариант 32


1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) А с; 6) BA .

2. Для множеств А =(4, 5), В = [3, 4], U R найти:



3. Изобразить на диаграмме Эйлера – Венна множество CAB \)( .

Вариант 33

1. Для множеств А = {4, 6} и B = {1, 3, 4, 5} найти:

1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) А с; 6) BA .

2. Для множеств А = (–8, 4), В = [2, 3], U R найти:



3. Изобразить на диаграмме Эйлера – Венна множество )()( BACA .




Вариант 34


1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) А с; 6) BA .

2. Для множеств А = (–, 2], В = [–1, 5), U R найти:




Вариант 35


1) АВ; 2) АВ; 3) А \ В; 4) В \ А; 5) А с; 6) BA .

2. Для множеств А = [4, 6], В = (4, +), U R найти:





ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ И ТЕОРИИ ГРАФОВ

Элементы математической логики. Высказывания повествовательное

предложение, утверждающее что-либо о чем-либо. Значениями высказыва-

ний являются « истина» и «ложь».

Высказывание, представляющее собой одно утверждение, называется

простым или элементарным.

Высказывания, которые получаются из элементарных с помощью грамма-

тических связок «не», «и», «или», «если …, то …», «тогда и только тогда»

называются сложными или составными.

В алгебре логики каждое высказывание либо истинно, либо ложно и ни

одно высказывание не может быть одновременно истинным и ложным.




Обозначения: х, у, z,… – элементарные высказывания;

и или 1 – истинное значение высказывания (х = 1);

л или 0 – ложное значение высказывания (х = 0).

Отрицанием высказывания х называется новое высказывание, которое

является истинным, если высказывание х ложно, и ложным, если высказыва-

ние х истинно.

Обозначение: ¬ х (читается «не х» или «неверно, что х»).

Конъюнкцией (логическим умножением) двух высказываний х, у называ-

ется новое высказывание, которое является истинным, если оба высказыва-

ния х, у истинны, и ложным, если хотя бы одно из них ложно. Высказывания

х, у называются членами конъюнкции.

Обозначение: х ^ y (читается «х и у»).

Дизъюнкцией (логическим сложением) высказываний х, у называется но-

вое высказывание, которое считается истинным, если хотя бы одно из выска-

зываний х, у истинно, и ложным, если они оба ложны.

Обозначение: x v y (читается «х или у»).

Импликацией двух высказываний х, у называется новое высказывание, ко-

торое является ложным, если х истинно, а у ложно, и истинным во всех

остальных случаях.

Обозначение: х у (читается «если х, то у» или «из х следует у»).

Эквиваленцией (или эквивалентностью) двух высказываний х, у называет-

ся новое высказывание, которое является истинным, когда оба высказывания

х, у либо одновременно истинны, либо одновременно ложны, и ложным во

всех остальных случаях.

Обозначение: х у (читается «для того, чтобы х, необходимо и достаточ-

но, чтобы у» или « х тогда и только тогда, когда у»).

С помощью логических операций над высказываниями из заданной сово-

купности высказываний можно строить различные сложные высказывания.

Формулой алгебры логики называется всякое сложное высказывание, ко-

торое может быть получено из элементарных высказываний посредством

применения логических операций.

Обозначение: А, В, С, …




Порядок действий: конъюнкция выполняется раньше, чем все остальные

операции; дизъюнкция раньше, чем импликация и эквивалентность.

Две формулы алгебры логики А и В называются равносильными, если они

принимают одинаковые логические значения на любом наборе значений,

входящих в формулы элементарных высказываний.

Обозначение: А В.

Формула А называется тождественно истинной (тавтологией), если она

принимает значения 1 при всех значениях входящих в нее переменных.

Формула А называется тождественно ложной (противоречие), если она

принимает значение 0 при всех значениях входящих в нее переменных.

Возникает необходимость в расширении логики высказываний, т.к. эле-

ментарные высказывания рассматриваются как целые, неделимые, без учета

их внутренней структуры.

n-местным предикатом от переменных х1, х2, …, хn из множества М назы-

вается всякая функция n переменных, принимающая одно из двух значений:

1 или 0.

Обозначение: Р(х1, х2, …, хn).

Множество М, на котором задан предикат, называется областью опреде-

ления предиката.

Множество, на котором предикат принимает только истинные значения,

называется областью истинности предиката Р. Обозначение Ip.

Предикат Р(х) называется тождественно истинным (тожественно

ложным) на множестве М, если Ip = M (Ip = 0).

Предикаты от одного переменного называются одноместными; двух пе-

ременных двухместными.

К предикатам применимы все операции логики высказываний: конъюнк-

ция, дизъюнкция, отрицание, импликация.

Пусть Р(х) – предикат, определенный на множестве М. Под выражением

х Р(х) понимают высказывание, которое является истинным, если найдется

хотя бы один элемент х М, для которого Р(х) истинно, и ложным в против-

ном случае.




Это высказывание не зависит от х.

Читается: «существует х, при котором Р(х) истинно».

Символ называется квантором существования. В высказывании х Р(х)

переменная х связана квантором.

Пусть Р(х) – предикат, определенный на множестве М. Под выражением

х Р(х) понимают высказывание, которое является истинным в том и только в

том случае, когда для любого х М предикат Р(х) принимает значение истинно

и ложным в противном случае.

Читается: «для всякого х Р(х) истинно».

Переменную х в предикате называют свободной, в высказывании х Р(х)

переменную х называют связанной квантором.

Элементы теории графов. Геометрический граф – это конфигурация,

состоящая из выделенных точек пространства, называемых вершинами, и не-

прерывных непересекающихся кривых, называемых ребрами, которые по-

парно соединяют некоторые из вершин.

Граф называется ориентированным (орграфом) если задано некоторое

направление вдоль каждого ребра. На чертеже направление изображается

стрелкой, а соответствующее ребро называется дугой.

Петлями называются ребра, которые содержат вершину саму с собой

V = (v1, v2,…, vn), А = (а1, а2,…, аn).

Параллельными (кратными) дугами называются дуги, которые соединяют

одни и те же вершины в одинаковом направлении.

Ребро е называется инцидентным вершине vi, если оно выходит или вхо-

дит в вершину.

Степенью вершины называется число инцидентных ей ребер.

Обозначение: (vi).

Степенью исхода d+(vi) вершины vi называется число дуг, для которых vi

является началом.

Степенью захода вершины vi(d(vi)) называется число дуг, для которых vi

является концом:

d(vi) = d+(vi) + d(vi).




Известно, что сумма степеней всех вершин графа равна удвоенному числу

ребер графа

qvi

i 2)(1

.

Понятие маршрута является одним из основных в теории графов.

Маршрутом в графе называется чередующаяся последовательность вер-

шин и ребер.

Длина маршрута определяется числом входящих в него ребер. Допускает-

ся, чтобы маршрут содержал повторяющиеся вершины и ребра.

Понятие маршрута распространяется практически без изменений на ори-

ентированные графы. Ориентированным маршрутом в графе называется че-

редующаяся последовательность вершин и дуг вида:

...},,,,{ 2211 vava ,

в которой для каждой дуги ai предыдущая вершина vi1 является началом, а

последующая vi+1 концом.

Пусть задан ориентированный граф D(V, A), где А = (а1, а2,…, аm).

Матрица исходов матрица, которая имеет m–строк и n–столбцов, эле-

менты которой вычисляются по следующему правилу:

.,0

,,1

ij

ijij av

avr

дуги началом являетсяне если

дуги началом является если

Обозначение: )(DR .

Матрица заходов имеет m строк, n столбцов, элементы которой вычисля-

ются по следующему правилу:

.,0

,,1

ij

ijij av

avr

концом являетсяне если

концом является если

Обозначение: )(DR .

Матрицей инцидентности графа D называется матрица, которая вычис-

ляется по формуле:

R(D) = R+(D) R(D).




Матрицу инцидентности можно вычислять по следующему правилу:

.,0

,,1

,,1

ji

ij

ij

ij

vа

av

av

r

вершине инцидентна не дуга если

дуги концом является вершина если

дуги началом является вершина если

При этом предполагается, что орграф D не имеет ориентированных петель.

Матрицей смежности орграфа D называется квадратная матрица порядка

n, элементы которой находятся по следующему правилу:

(sij) равно числу дуг с началом в вершине vi и с концом в вершине vj.

Обозначение: S(D).

Матрицей инцидентности графа G = (V, E), V = (v1,…, vn), E = (e1, …, em)

называется матрица, которая вычисляется по правилу:

.,0

,,2

,,1

ji

ji

ji

ij

vе

vе

vе

r

инцидентно не ребро если

при петля- ребро если

вершине инцидентно и петля не- ребро если

Обозначение: R(G).

Матрицей смежности графа G называется квадратная матрица, элементы

которой находятся по правилу:

., вершине при петельчислу удвоенному

, и ноодновременх инцидентны ребер,числу

jiv

jivvs

i

jiij


1. Записать следующие утверждения в виде формул логики высказыва-

ний, построить таблицы истинности.

2. Выяснить является ли формула тавтологией.

3. Дана матрица смежности. Построить соответствующий ей орграф и

найти для него:

а) матрицу исходов;

б) матрицу заходов;

в) матрицу инцидентности.




Вариант 1

1. Если Сидоров поедет на автобусе и не купит билет, то его уволят с ра-

боты, если автобус опоздает.

2. (p q) v r (p ^ q) r.

3.

2013

1001

0100

0120

)(DS .

Вариант 2

1. Необходимое и достаточное условие для жизни растений состоит в

наличии питательной почвы, чистого воздуха и солнечного света.

2. (p v q) r (p q) v (q r).

3.

0011

0110

0100

0110

)(DS .

Вариант 3

1. Если «Торпедо» или «Динамо» проиграют, а «Локомотив» выиграет, то

«Спартак» потеряет первое место.

2. (a (b c)) (b (a c)).

3.

0010

1121

0001

0011

)(DS .

Вариант 4

1. Если 11 делится на 6, но не делится на 8, то 11 делится на 3 и на 5.

2. (p ^ q) r (p q) ^ (q r).




3.

0011

1200

1020

0110

)(DS .

Вариант 5

1. Если вечером будет туман или снег, то Джон или останется дома, или

должен будет взять такси.

2. (p ^ q) r (p q) v (q r).

3.

0120

0101

0111

1102

)(DS .

Вариант 6

1. Либо рост инфляции эквивалентен снижению уровня жизни, либо рост

производства влечет то, что уровень жизни не снижается.

2. (p v q) r (p r) ^ (q r).

3.

1010

0110

0100

0022

)(DS .

Вариант 7

1. Если будет идти дождь или снег, то футбольный матч либо не состоит-

ся, либо его результат не будет отражать соотношение сил.

2. (p v q) r (p r) v (r q).

3.

0110

1101

0211

0012

)(DS .




Вариант 8

1. Если животное имеет острые зубы, имеет клыки и не ест траву, то это

хищник.

2. (p q) v r (p v r) (q v r).

3.

0010

2211

0110

0111

)(DS .

Вариант 9

1. Если курсант сдаст лабораторную, решит контрольную работу, но не

защитит типовой расчет, то он не будет допущен до экзамена.

2. (p q) ^ r (p ^ r) (q ^ r).

3.

0020

1321

0211

0020

)(DS .

Вариант 10

1. Если 12 делится на 6 и на 5, то 12 делится на 3 или 4.

2. (p q) v r (p ^ r) (q v r).

3.

1020

1211

0001

0030

)(DS .

Вариант 11

1. Если 18 делится на 2 и не делится на 3, то оно не делится на 6 и на 4.

2. (p q) ^ r (p v r) (r ^ q).




3.

1011

1131

0101

0120

)(DS .

Вариант 12

1. Произведение трех чисел равно нулю тогда и только тогда, когда одно

из них равно нулю, другое положительно, третье – больше единицы.

2. (p q) v r (r ^ q) (p v r).

3.

0110

1030

0011

0010

)(DS .

Вариант 13

1. Сумма двух чисел четна или положительна тогда и только тогда, когда

оба слагаемых или четны, или отрицательны.

2. (a ^ b) a (a v b) a.

3.

0210

3101

0001

0121

)(DS .

Вариант 14

1. Если в треугольнике медиана не является высотой и биссектрисой, то

этот треугольник не равнобедренный и не равносторонний.

2. (a (b ^ c)) ((a b) ^ (a c)).

3.

0310

0121

0101

0201

)(DS .




Вариант 15

1. 12 делится на 6 тогда и только тогда, когда 12 делится на 3, на 4 и не

делится 7.

2. (¬ a b) ((¬ a ¬ b) a).

3.

0110

1001

0001

0012

)(DS .

Вариант 16

1. Курсант сдал экзамены по истории и по физкультуре, но не сдал экза-

мены по физике и математике.

2. (p q) ((q r) (p r)).

3.

1011

1021

0101

2000

)(DS .

Вариант 17

1. Если курсант заболеет, то он не придет на занятия и не напишет кон-

трольную или лабораторную работу.

2. (a (b v c)) ((a b) ^ (a c)).

3.

0000

1121

0021

0012

)(DS .

Вариант 18

1. Если Саратов расположен на Неве, то белые медведи обитают в Африке

и питаются бананами.

2. (b v c) a (b a) ^ (c a).




3.

0310

1101

1001

0020

)(DS .

Вариант 19

1. Если сумма двух чисел четна, то оба числа или четны или неотрица-

тельны.

2. (a b) c (b c) ^ (¬a c).

3.

0110

1103

0031

0011

)(DS .

Вариант 20

1. Если число делится на себя и на единицу, то оно нечетное или простое.

2. (a b) v c (a ^ ¬ c) b.

3.

0210

1111

0101

0121

)(DS .

Вариант 21

1. Две прямые не пересекаются и не являются параллельными, тогда и

только тогда, когда они не имеют общих точек и не совпадают.

2. a ¬ (b ^ c) (¬ a v ¬ b) v c.

3.

1012

1101

0001

0012

)(DS .




Вариант 22

1. 15 делится на 6 тогда и только тогда, когда 15 делится на 3, на 5, и не

делится на 9.

2. (a b) c (a ^ ¬ b) v c.

3.

0310

1021

0011

0121

)(DS .

Вариант 23

1. Если производная функция в точке равна нулю и вторая производная

этой функции в той же точке отрицательна, то данная точка есть точка мак-

симума этой функции.

2. (a ^ b) v (¬a ^ ¬ b) (a b) ^ (b a).

3.

1020

1021

0001

0310

)(DS .

Вариант 24

1. Погода плохая тогда и только тогда, когда льет дождь, дует ветер и не

светит солнце.

2. a ^ (b v c) (a ^ b) v (a ^ c).

3.

1310

1111

0001

1020

)(DS .

Вариант 25

1. 11 делится на 6 тогда и только тогда, когда 11 делится на 3, на 7 и на 4.




2. (p r) v q (p ^ r) q.

3.

0030

1101

0021

0010

)(DS .

Вариант 26

1. Если рабочие или администрация упорствуют, то забастовка будет уре-

гулирована тогда и только тогда, когда правительство добьется судебного за-

прещения, но войска не будут посланы на завод.

2. (p q) ((¬ p ¬ q) ¬ p).

3.

0312

1121

0101

0121

)(DS .

Вариант 27

1. Если марсиане существуют и они разумны, тогда марсианские растения

съедобны и питательны.

2. ((p ^ ¬ q) q) (p q).

3.

0210

1131

0101

2001

)(DS .

Вариант 28

1. В Москве живет женщина, имеющая брата в Петербурге и дочь в Мин-

ске, тогда и только тогда, когда в Петербурге живет мужчина, имеющий

сестру в Москве и племянницу в Минске.

2. (p q) ^ (q p) ^ ¬ r p.




3.

1310

1021

0001

0112

)(DS .

Вариант 29

1. Если женщина преподает в школе или в университете, то она не рабо-

тает ни в банке, ни на заводе.

2. (p q) ^ (p v r) ^ ¬ r (¬ q p).

3.

0310

1101

0102

1010

)(DS .

Вариант 30

1. 15 делится на 5 тогда и только тогда, когда 15 делится на 4, на 8 и не

делится на 20.

2. (p ^ q) r p (q r).

3.

0310

1101

0001

1121

)(DS .

Вариант 31

1. Если имеет место денежная эмиссия и растет курс доллара, то инфля-

ция не растет и понижается курс евро.

2. (p ^ q) r (p ^ ¬ r) ¬ q.

3.

0310

1101

0201

0111

)(DS .




Вариант 32

1. Если экзамен не сдан вовремя или сессия продлена, то не сдана курсо-

вая работа и не зачтены лабораторные работы.

2. (p ^ ¬ r) q (p q) v r.

3.

0310

0110

0001

0110

)(DS .

Вариант 33

1. Если Нэнси и Боб не одного возраста и Боб старше Уолтера, то Сэлли

старше Боба или Сэлли одного возраста с Нэнси.

2. (q p) ^ (r p) (q v r) p.

3.

0011

3101

0101

0022

)(DS .

Вариант 34

1. Если курсант не пришел на контрольную или получил за контрольную

два, он или переутомился, или болен.

2. (a b) v (b c)(a v b) c.

3.

0010

3111

1001

0002

)(DS .

Вариант 35

1. 17 делится на 8, но не делится на 13 тогда и только тогда, когда 8 де-

лится на 5 или на 4.




2. (p q) r (q r) ^ (¬ p r).

3.

1030

0101

0201

1101

)(DS .


ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ. ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ,

ИХ СВОЙСТВА И ГРАФИКИ

Функцией называется некое правило, согласно которому каждому элемен-

ту х из одного множества Х ставится в соответствие единственный элемент у

из множества Y (обозначается как у = f(x)). При этом множество Х называют

областью определения функции и обозначают как D(f), а множество тех эле-

ментов у, для которых имеется элемент х, такой что f(x) = у, называют обла-

стью значений функции, что обозначается как E(f).

Переменная х называется независимой переменной, или аргументом

функции, а переменная у – зависимой переменной, или функцией. Для того,

чтобы найти значение функции f(x) в какой-либо точке а, необходимо под-

ставить число а в выражение функции вместо х.

Область определения функции может быть оговорена условием задачи;

если же об области определения ничего не сказано, то следует обращать

внимание на наличие дробей (знаменатель должен быть отличен от нуля),

корней четной степени (подкоренное выражение должно быть неотрицатель-

но) и логарифмов (выражение, от которого вычисляется логарифм, должно

быть строго положительно, основание же логарифма должно быть одновре-

менно строго положительным и отличным от единицы). Следует обращать

внимание также на тангенсы и котангенсы (они, как известно, могут быть

представлены в виде дроби – синус, деленный на косинус, либо косинус на

синус – в этом случае соответствующий знаменатель тоже должен быть отли-

чен от нуля) и на обратные тригонометрические функции (арккосинус и арк-

синус), область определения которых есть отрезок [–1, 1]. При нахождении




области значений функции можно построить график этой функции и посмот-

реть на то, какие значения принимает у. В тех случаях, когда построение

графика вызывает затруднения, рекомендуется пользоваться следующим

приемом. Предполагают, что значение функции равно некоторому числу а.

Из полученного равенства выражают переменную х и исследуют, при каких

значениях а можно вычислить х, а при каких – нельзя.

Пример. Найти область определения и область значений функции

1

2)(

2

х

хxf .

Решение. Знаменатель дроби не может быть равен 0, поэтому х 1. В

числитель же вместо х можно подставить любое число, поэтому

D(f) = (–, 1) (1, +).

Для нахождения области значений функции приравняем ее к некоторому

числу а: aх

х

1

22

.

Для того чтобы выразить х, умножим обе части равенства на (х – 1).

х2 + 2 = а(х – 1),

х2 – ах + (а + 2) = 0.

Получили квадратное уравнение. Вычислим его корни при помощи дис-

криминанта.

D = (–a)2 – 4(a + 2) = a2 – 4a – 8.

Корни существуют тогда и только тогда, когда D 0. Решим квадратное

неравенство относительно а:

a2 – 4a – 8 0.

Для этого вначале решим соответствующее квадратное уравнение:

a2 – 4a – 8 = 0;

D = (–4)2 – 4(–8) = 16 + 32 = 48;

1222

4841

а , 122

2

4842

а .

Далее используем метод интервалов:




Таким образом, а (–, 122 ) ( 122 , +). Эти значения а как раз

и являются возможными значениями функции, то есть ее областью значений.

Отметим, что иногда удается из равенства у = f(x) выразить х однозначно, то

есть получить равенство х = g(y), где g – некоторая функция. В этом случае g

называется обратной функцией по отношению к функции f, при этом область

определения функции g совпадает с областью значений функции f, а область

значений функции g совпадает с областью определения функции f. Функции,

для которых существуют обратные им функции, называются обратимыми.

Среди множества всех функций выделяют так называемые элементарные

функции. К основным элементарным функциям относятся следующие классы

функций:

1. Степенные: у = хn, где n – некоторое постоянное действительное число.

Подставляя вместо n различные числа, получим примеры степенных функций:

n = 1, у = х (график функции – прямая, биссектриса первого и третьего ко-

ординатных углов);

n = 2, у = х2 (график функции – парабола);

n = 1, у = х3 (график функции – кубическая парабола);

n = 0, у = х0 = 1 (константа, график функции – прямая параллельная оси Ох);

n = –1, у = х–1 = х

1 (гипербола, обратная пропорциональность);

n = 2

1, y = х .

При работе со степенными функциями полезно помнить, что

b ab

а

xх .

2. Показательные: y = ax, где а – положительное, действительное число,

отличное от 1. График такой функции зависит от значения а следующим об-

разом: если а > 1, то функция возрастает, а если а < 1, то убывает.

3. Логарифмические: y = logax (a > 0, a 1). Как уже отмечалось выше,

область определения этой функции: (0, +). График также зависит от а: если

а > 1, то функция возрастает, а если а < 1, то убывает.

4. Тригонометрические: y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x.




5. Обратные тригонометрические: y = arcsin x, область определения

2,

2;

y = arccos x, область определения [0, ]; y = arctg x, область определения

2,

2; y = arcctg x, область определения (0, ).

6. Иногда рассматривается отдельно класс гиперболических функций:

Гиперболический синус: y = sh x = 2

хх ее , где е – основание натураль-

ного логарифма (е 2,718).

Гиперболический косинус: y = сh x = 2

хх ее .

Гиперболический тангенс: у = th x = x

x

ch

sh.

Гиперболический котангенс: y = cth x = xth

1.

Все эти функции сводимы к показательным.

Графики перечисленных выше функций приведены в приложении.

Весь класс элементарных функций получается из основных элементарных

функций посредством применения одной или нескольких операций: сложе-

ния, вычитания, умножения, деления, композиции.

Приведем примеры функций, не являющихся элементарными.

1. Функция Дирихле:

D(x) =

число. ьноеиррационал - ,0

число, оерациональн - ,1

х

х

Данная функция не является элементарной, более того, эта функция не

является непрерывной ни в одной точке.

2.

0. ,

0, ,)(

2 хx

ххxf

3. Такая привычная функция, как модуль (f(x) = |x|), также не является

элементарной. Часто для решения задач ее удобно представить в следую-

щем виде:




0. ,

0, ,)(

хх

ххxf

Действительно, если х – число положительное, то его абсолютная величина

(модуль) совпадает с этим числом. Если же число отрицательное, то модуль

числа и само число противоположны по знаку, т. е. |x| = –x. Так, например,

|–2| = 2 = –(–2).

Классификация функций. Функция называется четной, если f(x) = f(–x).

Функция называется нечетной (иногда античетной), если f(–x) = –f(x).

Далеко не каждая функция является четной, либо нечетной. Например, если

f(x) = x + 3, то f(–x) = –x + 3 f(x), следовательно, функция не является чет-

ной. В то же время, –x + 3 –f(x) = –х – 3, т. е. функция не является нечетной.

О таких функциях говорят, что они не являются ни четными, ни нечетными,

или же, что это функции общего вида. Функция у = 0 одновременно является

и четной, и нечетной (не следует путать с числом 0, которое является чет-

ным, т. е. делится на два без остатка). Для того, чтобы проверить функцию на

четность / нечетность, необходимо вместо х подставить (–х) и сравнить ре-

зультат с исходной функцией.

Теорема. Любую функцию можно представить в виде суммы четной и не-

четной функции.

Функцию называют периодической, если существует такое отличное от 0

число Т (называемое периодом функции), что при прибавлении T к аргументу

функции значение функции не изменится. Иными словами, функция f(x)

называется периодической, если при любом значении х и некотором числе Т

0 выполняется равенство f(x + T) = f(x). Отметим, что Т должно быть одним

и тем же для любых значений х, т. е. Т не должно зависеть от х. В то же вре-

мя, период определяется не единственным образом. Если при любом х спра-

ведливо равенство f(x + T) = f(x), тогда справедливо и равенство f(x + 2T) =

f(x). Действительно,

f(x + 2T) = f((x + Т) + Т) = f(x1 + T) = f(x1) = f(x + T) = f(x).

Здесь мы ввели обозначение х1 = х + Т. Аналогично можно доказать, что

f(x + nT) = f(x) при любом натуральном n.




Более того, если f(x + T) = f(x), то и f(x – T) = f(x). Действительно, равен-

ство f(x + T) = f(x) верно при любом х. Сделаем замену х = у – Т.

Получим

f(x) = f(x + T) = f(у – T + T) = f(y),

т. е. f(x) = f(y), но х = у – Т, следовательно, f(y – T) = f(y), что и требовалось

доказать. Аналогичным образом доказывается, что равенство f(x + nT) = f(x)

справедливо и при любом целом n. Сказанное выше означает, что в случае,

если функция является периодической, число Т не единственно.

Большинство элементарных функций не являются периодическими. Свой-

ством периодичности, как правило, обладают тригонометрические функции.

Период основных элементарных тригонометрических функций у = sin x, y = cos

x равен 2, а y = tg x, y = ctg x равен .

Перечислим еще несколько признаков, по которым могут быть классифи-

цированы функции. Функция называется ограниченной сверху, если суще-

ствует такое постоянное число В, что f(x) < В при любом значении аргумента

х. Аналогично, функция называется ограниченной снизу, если существует та-

кое постоянное число А, что f(x) > A при любом значении аргумента х. Функ-

ция называется ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу, т. е.,

если значения функции целиком попадают в интервал [A, B]. График ограни-

ченной функции целиком попадает в полосу, ограниченную прямыми y = A и

у = В. Функция называется возрастающей, если при любых х1 < х2 справед-

ливо, что f(x1) < f(x2). Функция называется убывающей, если при любых х1 < х2

справедливо, что f(x1) > f(x2). Функция называется невозрастающей, если при

любых х1 < х2 справедливо, что f(x1) f(x2). Функция называется неубываю-

щей, если при любых х1 < х2 справедливо, что f(x1) f(x2). Может оказаться,

что область определения функции можно разбить на участки, на одних из ко-

торых функция будет возрастать, а на других убывать. Эти промежутки

называют соответственно промежутками возрастания и убывания функции.

Если функция является невозрастающей или неубывающей на всей области

определения, то она называется монотонной. Промежутки, на которых функ-

ция является невозрастающей или неубывающей, называются промежутками

монотонности.





1. Найти область определения функции f(x); выяснить, является ли она

четной, нечетной, периодической.

Вариант 1

а) 3

1)(

2

2

x

xxf ; б)

3

2)(

x

xxf ;

в) 2

1ln)(

2

x

xxf ; г) f(x) = cos (3х – 1).

Вариант 2

а) 3

2)(

2

2

x

xxf ; б)

3

2)(

x

xxf ;

в) 2

4ln)(

2

x

xxf ; г) f(x) = cos (3х + 1).

Вариант 3

а) 3

3)(

2

2

x

xxf ; б)

3

2)(

x

xxf ;

в) 3

1ln)(

2

x

xxf ; г) f(x) = cos (3х – 2).

Вариант 4

а) 3

1)(

2

2

x

xxf ; б)

3

4)(

x

xxf ;

в) 4

1ln)(

2

x

xxf ; г) f(x) = cos (3х + 2).

Вариант 5

а) 3

3)(

2

2

x

xxf ; б)

4

2)(

x

xxf ;




в) 5

1ln)(

2

x

xxf ; г) f(x) = cos (3х – 3).

Вариант 6

а) 3

12)(

2

2

x

xxf ; б)

4

2)(

x

xxf ;

в) 6

1ln)(

2

x

xxf ; г) f(x) = cos (3х – 4).

Вариант 7

а) 32

1)(

2

2

x

xxf ; б)

3

5)(

x

xxf ;

в) 2

82ln)(

2

x

xxf ; г) f(x) = cos (3х + 4).

Вариант 8

а) 33

1)(

2

2

x

xxf ; б)

3

5)(

x

xxf ;

в) 8

1ln)(

2

x

xxf ; г) f(x) = cos (3х – 5).

Вариант 9

а) 3

3)(

2

2

x

xxf ; б)

3

6)(

x

xxf ;

в) 2

123ln)(

2

x

xxf ; г) f(x) = cos (3х + 5).

Вариант 10

а) 3

14)(

2

2

x

xxf ; б)

3

42)(

x

xxf ;

в) 10

1ln)(

2

x

xxf ; г) f(x) = cos (4х – 1).




Вариант 11

а) 33

1)(

2

2

x

xxf ; б)

6

2)(

x

xxf ;

в) 22

9ln)(

2

x

xxf ; г) f(x) = cos (4х + 1).

Вариант 12

а) 36

14)(

2

2

x

xxf ; б)

3

12)(

x

xxf ;

в) 12

1ln)(

2

x

xxf ; г) f(x) = cos (4х – 2).

Вариант 13

а) 12

1)(

2

2

x

xxf ; б)

13

2)(

x

xxf ;

в) 2

182ln)(

2

x

xxf ; г) f(x) = cos (4х – 3).

Вариант 14

а) 12

14)(

2

2

x

xxf ; б)

3

142)(

x

xxf ;

в) 62

1ln)(

2

x

xxf ; г) f(x) = cos (5х – 1).

Вариант 15

а) 93

1)(

2

2

x

xxf ; б)

3

15)(

x

xxf ;

в) 15

1ln)(

2

x

xxf ; г) f(x) = sin (3х – 1).

Вариант 16

а) 16

1)(

2

2

x

xxf ; б)

16

2)(

x

xxf ;




в) 7

1ln)(

2

x

xxf ; г) f(x) = sin (3х + 1).

Вариант 17

а) 7

1)(

2

2

x

xxf ; б)

72

2)(

x

xxf ;

в) 84

16ln)(

2

x

xxf ; г) f(x) = sin (3х – 2).

Вариант 18

а) 3

18)(

2

2

x

xxf ; б)

3

18)(

x

xxf ;

в) 2

1ln)(

2

x

xxf ; г) f(x) = cos (5х – 1).

Вариант 19

а) 19

1)(

2

2

x

xxf ; б)

3

19)(

x

xxf ;

в) 19

1ln)(

2

x

xxf ; г) f(x) = sin (4х – 1).

Вариант 20

а) 3

20)(

2

2

x

xxf ; б)

20

2)(

x

xxf ;

в) 20

1ln)(

2

x

xxf ; г) f(x) = sin (5х + 1).

Вариант 21

а) 3

53)(

2

2

x

xxf ; б)

3

21)(

x

xxf ;

в) 21

1ln)(

2

x

xxf ; г) f(x) = sin (3х – 4).




Вариант 22

а) 3

22)(

2

2

x

xxf ; б)

3

22)(

x

xxf ;

в) 2

93ln)(

2

x

xxf ; г) f(x) = sin (3х – 5).

Вариант 23

а) 23

1)(

2

2

x

xxf ; б)

3

126)(

x

xxf ;

в) 23

1ln)(

2

x

xxf ; г) f(x) = cos (7х – 2).

Вариант 24

а) 16

12)(

2

2

x

xxf ; б)

3

24)(

x

xxf ;

в) 2

16ln)(

2

x

xxf ; г) f(x) = sin (5х – 7).

Вариант 25

а) 25

1)(

2

2

x

xxf ; б)

3

25)(

x

xxf ;

в) 22

123ln)(

2

x

xxf ; г) f(x) = tg (3х – 1).

Вариант 26

а) 3

26)(

2

2

x

xxf ; б)

53

2)(

x

xxf ;

в) 123

1ln)(

2

x

xxf ; г) f(x) = tg (3х – 2).

Вариант 27

а) 3

27)(

2

2

x

xxf ; б)

303

2)(

x

xxf ;




в) 4

25ln)(

2

x

xxf ; г) f(x) = tg (3х + 2).

Вариант 28

а) 33

28)(

2

2

x

xxf ; б)

33

22)(

x

xxf ;

в) 22

123ln)(

2

x

xxf ; г) f(x) = tg (2х – 1).

Вариант 29

а) 3

29)(

2

2

x

xxf ; б)

29

2)(

x

xxf ;

в) 246

25ln)(

2

x

xxf ; г) f(x) = tg (4х – 1).

Вариант 30

а) 30

1)(

2

2

x

xxf ; б)

303

22)(

x

xxf ;

в) 82

9ln)(

2

x

xxf ; г) f(x) = tg (5х – 2).

Вариант 31

а) 3

31)(

2

2

x

xxf ; б)

31

2)(

x

xxf ;

в) 31

1ln)(

2

x

xxf ; г) f(x) = ctg (3х – 1).

Вариант 32

а) 32

1)(

2

2

x

xxf ; б)

32

2)(

x

xxf ;

в) 126

255ln)(

2

x

xxf ; г) f(x) = ctg (3х + 1).




Вариант 33

а) 3

33)(

2

2

x

xxf ; б)

3

32)(

x

xxf ;

в) 205

25ln)(

2

x

xxf ; г) f(x) = ctg (3х + 21).

Вариант 34

а) 3

34)(

2

2

x

xxf ; б)

3

342)(

x

xxf ;

в) 93

82ln)(

2

x

xxf ; г) f(x) = ctg (3х – 5).

Вариант 35

а) 3

35)(

2

2

x

xxf ; б)

35

2)(

x

xxf ;

в) 33

205ln)(

2

x

xxf ; г) f(x) = ctg (6х – 1).


ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ ФУНКЦИЙ

Будем говорить, что некоторая переменная величина х «стремится» к ка-

кому-то числу а, если модуль разности |x – a| является величиной сколь угод-

но малой (т. е. близкой к нулю). Фраза «х стремится к а» обозначается сим-

волом: х а.

Определение. Число b назовем пределом функции f(x) в точке а, если мо-

дуль разности |f(x) – b| при х стремящемся к а также является величиной

сколь угодно малой (близкой к нулю).

Для вычисления предела функции в точке а проще всего подставить чис-

ло а вместо х. Действительно, тогда |x – a| = |a – a| = 0 (величина сколь угодно

малая) и f(a) = b (тогда модуль |f(a) – b| также равен нулю, т. е. является вели-

чиной сколь угодно малой). Итак, )()(lim afxfax

.




К сожалению, такая подстановка не всегда возможна. Возьмем, напри-

мер, функцию y = х

1, при х 0. Мы не можем непосредственно вычислить

f(0), так как на 0 делить нельзя, и функция в точке 0 не определена. Однако

мы можем сказать, как будет вести себя эта функция, если мы будем х при-

ближать к 0. Если мы возьмем х = 0,1, то f(x) = 10, если х = 0,01, то f(x) уже

будет равно 100. Подставляя вместо х число 0,001, получим уже 1000, а при

х = 0,000001, получим f(x) = 1000000. Таким образом, мы видим закономер-

ность: чем ближе число х к нулю, тем больше значение заданной функции.

При этом, выбирая достаточно маленькое значение х, мы можем добиться то-

го, чтобы значение функции стало сколь угодно большим. Итак, мы можем

утверждать, что функция у = х

1 стремится к при x 0.

Запомните. хx

1lim

0.

Этот же пример дает нам иллюстрацию еще одного интересного свойства.

Если мы будем подставлять, как и выше, вместо х очень маленькие положи-

тельные числа, то мы будем получать очень большие значения функции. Ес-

ли же мы начнем подставлять очень маленькие отрицательные числа, то мы

будем получать такие же очень большие по модулю, но отрицательные зна-

чения. Если мы будем приближаться к нулю с «отрицательной» стороны, то

пределом уже будет служить не +, а –. Если мы посмотрим на график ги-

перболы (это график функции у = х

1), то мы увидим, что при приближении к

нулю с левой стороны график уходит в направлении – , а при приближении

к нулю справа – в направлении +. В связи с этим иногда бывает необходимо

введение понятия левостороннего и правостороннего предела. Левосторон-

ний предел обозначается знаком минус в записи «х а–» (читается «х стре-

мится к а слева»); этот символ показывает, что мы должны оценивать значе-

ния функции при х, стремящемся к а с левой стороны, т. е. при х < a. Право-

сторонний же предел – это предел при х достаточно близких к а, но больших,

чем а (х > a); обозначается он знаком плюс в выражении «х а+» (х стре-

мится к а справа). Используя эти обозначения, получим:




хx

1lim

0;

хx

1lim

0.

Совершенно не обязательно, что левосторонний предел равен –, а пра-

восторонний +. Например:

,1

lim0

хx

хx

1lim

0.

В ряде случаев левосторонний и правосторонний пределы совпадают:

2020

1lim

1lim

хх xx.

В этом случае можно говорить просто о пределе функции в точке. Предел

функции в точке существует тогда и только тогда, когда левосторонний и

правосторонний пределы функции в этой точке существуют и совпадают.

При вычислении пределов полезны следующие теоремы:

1. Если левосторонний или правосторонний предел функции в точке су-

ществует, то он единственен.

2. Предел от суммы функций равен сумме пределов от этих функций:

)(lim)(lim))()((lim xgxfxgxfaxaxax

.

3. Предел от разности функций равен разности пределов от этих функций:

)(lim)(lim))()((lim xgxfxgxfaxaxax

.

4. Предел от произведения функций равен произведению пределов:

)(lim)(lim)()(lim xgxfxgxfaxaxax

.

5. Предел от частного равен частному пределов:

)(lim

)(lim

)(

)(lim

xg

xf

xg

xf

ax

ax

ax

.

6. Предел от постоянной функции равен этой постоянной при любом а:

ссax

lim .

7. Если f1(x) > f2(x) в некоторой окрестности точки а и пределы этих функ-

ций в точке а существуют, то

)(lim)(lim 21 xfxfaxax

.




8. Если f1(x) f2(x) f3(x) в некоторой окрестности точки а и

)(lim 1 xfax

bxfax

)(lim 3 , то и bxfax

)(lim 2 .

9. Теорема о перестановочности предела и непрерывной функции. Пусть

f(x) – непрерывная функция, тогда

))(lim()(lim xfxfaxax

.

Переменная х также может стремиться к . Ее нельзя непосредственно

подставить в функцию, но для того чтобы определить результат тех или иных

действий с бесконечностью, можно представлять, что вместо бесконечности

мы подставляем очень большие числа. Отметим, что ни в коем случае нельзя

путать понятие бесконечности с очень большими числами. Для любого конеч-

ного, даже очень большого числа, обязательно найдется такое число, которое

будет еще больше. Бесконечность же играет роль в некотором смысле «самого

большого числа», такого, что любое действительное число будет меньше, чем

бесконечность. Например, + = (если мы сложим два очень больших

числа, то мы получим число, которое будет еще больше, самое большое «чис-

ло» – это и есть бесконечность); + 5 = (если мы к очень большому числу

прибавим 5, то вновь получим очень большое число), = (при умноже-

нии двух очень больших чисел результат также будет очень большим); 1

= 0

(если 1 разделить на очень большое число частей, то получим очень малень-

кий результат, почти ничего). Однако мы ничего не можем сказать про резуль-

таты – и

(если из очень большого числа вычесть очень большое, то ре-

зультат зависит от того, какое из этих двух чисел больше и насколько; то же

самое касается частного). Выражения такого вида называются неопределенно-

стями. К неопределенностям относятся выражения: – , ,

0

0 , 0 , 0, 1.

Замечание. Выражение 1 требует особого внимания, так как само по се-

бе это выражение не является неопределенностью – единица в любой степени

равна 1. Проблемы возникают в тех случаях, когда в степень возводится не 1,

а выражение, стремящееся к единице. Если оно стремится к единице слева,




т. е. близко к единице, но все же меньше нее, то это выражение при возведе-

нии в степень уменьшается и в пределе может достигать нуля. Если же вы-

ражение несколько больше 1, то при возведении в степень оно начинает рас-

ти. Результат также может оказаться различным.

Вычисление пределов с неопределенностями называется раскрытием не-

определенностей и представляет основную сложность в задачах на вычисле-

ние пределов. Для раскрытия неопределенностей используются специальные

приемы, которые мы опишем в следующем пункте.

Наиболее распространенной ситуацией, приводящей к неопределенности

вида

, является частное двух многочленов при х . Для раскрытия таких

неопределенностей пользуются следующим стандартным приемом. Как из-

вестно, дробь не изменится, если числитель и знаменатель умножить на одно

и то же число (это число потом можно было бы сократить). В случае, когда

неопределенность возникла в результате деления многочлена на многочлен,

можно и числитель, и знаменатель дроби умножить на выражение nх

1, где n –

самая большая из имеющихся в выражении степеней при переменной х. Рас-

смотрим это на примерах.

Пример . Вычислить предел 1

2lim

3

245

хх

ххххх

.

Решение . Наибольший показатель степени х в этом выражении равен 5,

поэтому умножать будем на выражение 5

1

х:

5

3

5245

3

245

1)1(

1)2(

lim1

2lim

ххх

ххххх

хх

хххххх

542

43

555

3

55

2

5

4

5

5

111

1211

lim1

2lim

ххх

ххх

хх

х

х

хх

х

х

х

х

х

х

х

хх

.




Все слагаемые в числителе, кроме 1, и все слагаемые в знаменателе при

очень больших значениях х будут очень маленькими. Иными словами, все

они (за исключением 1) стремятся к 0 при х . Пользуясь теоремами о

том, что предел частного равен частному пределов, а предел суммы – сумме

пределов, получим, что предел выражения в числителе равен 1, а предел вы-

ражения в знаменателе равен 0. Как мы уже обсуждали выше, при делении на

0 выражение стремится к бесконечности, а поскольку х стремился к +, все х

положительны, а следовательно, и выражение в знаменателе положительно;

значит, результат стремится к +:

1

2lim

3

245

хх

ххххх

= +.

Предел отношения двух многочленов при х равен , если степень

числителя больше степени знаменателя, и равен 0, если степень числителя

меньше степени знаменателя. Если степень числителя равна степени зна-

менателя, тогда предел равен отношению коэффициентов при старших

степенях.

При вычислении пределов можно пользоваться этим правилом, а можно не

запоминать его, а использовать описанный выше прием деления на наиболь-

шую степень каждый раз. Иногда тот же прием можно использовать и для

других выражений, содержащих частное (не обязательно двух многочленов).

Для раскрытия неопределенностей вида 0

0, связанных с тригонометриче-

скими функциями, чаще всего используется так называемый «первый замеча-

тельный предел»:

1sin

lim0

х

xх

.

Отметим, что предел от обратного выражения при х, стремящемся к нулю,

также равен 1.

Действительно,

11

1sin

lim

1lim

sin1

limsin

lim

0

0

00

х

x

х

xх

x

х

х

хх.




Кроме того, первый замечательный предел также можно использовать,

если синус вычисляется не от х, а от какого-то другого выражения, стремя-

щегося к 0. Формулу в этом случае можно переписать следующим образом:

1)(

)(sinlim

0)(

х

xх

.

Обратите внимание, что в знаменателе должно находиться то же самое

выражение, что и под знаком синуса.

Если выражение под знаком синуса не стремится к нулю, то первый за-

мечательный предел использовать нельзя. Действительно, в этом случае си-

нус вообще не создает неопределенности, так как не равен нулю. Вычислим,

например, х

xх

sinlim

.

Несмотря на то что предел синуса на бесконечности не существует (при

бесконечном увеличении х значения синуса продолжают периодически ме-

няться от –1 до 1), данный предел можно вычислить. Поскольку синус при-

нимает только значения из отрезка [–1, 1], выражение в числителе ограниче-

но. В знаменателе же находится х, который бесконечно возрастает. Если мы

поделим ограниченную (не очень большую) величину на бесконечную (очень

большую), то результат будет числом очень маленьким, поэтому

0sin

lim х

xх

.

При раскрытии неопределенностей вида 1, как правило, используют вто-

рой замечательный предел: х

х x

11lim = е,

где е – число Непера (основание натурального логарифма), е 2,718.

Если в этой формуле выражение х

1 заменить новым символом у =

х

1, то

х = у

1, у 0, а второй замечательный предел примет вид: у

уу

1

0)1(lim

= е.

В некоторых задачах удобно пользоваться именно этой формой записи

второго замечательного предела. Чтобы привести неопределенность 1 ко

второму замечательному пределу, пользуются следующим алгоритмом.




1. Вначале к выражению под знаком степени прибавляют, а затем отни-

мают 1 (выражение от этого не меняется). Например, пусть f(x) 1, g(x) .

Тогда )()( )1)(1(lim))((lim xg

x

xg

xхfхf

.

2. В случае необходимости приводят выражение (f(x) – 1) к общему зна-

менателю и переворачивают дробь. В общем виде это преобразование выгля-

дит таким образом: )(

)(

1)(

11

1lim)1)(1(lim

xg

x

xg

x

xf

хf

.

Поскольку f(x) 1, (f(x) – 1) 0, а следовательно, 1)(

1

xf .

3. Умножают и делят показатель степени на выражение 1)(

1

xf (все вы-

ражение от этого также не изменяется).

)1)(()(1)(

1)(

1)(

11

1lim

1)(

11

1lim

xfxgxf

x

xg

x

xfxf

.

4. Заменяя выражение 1)(

1

xf на новую переменную у, которая также

стремится к бесконечности, используют второй замечательный предел:

)1)(()()1)(()(

1)(

1

11lim

1)(

11

1lim

xfxgу

у

xfxgxf

x уxf

=

= )1)(()(lim

xfxg

хе .

Полученное выражение может содержать неопределенность в показателе

степени, но раскрытие этой неопределенности, как правило, сводится к рас-

крытию неопределенностей 0

0 или

.




Пример . Вычислить предел

2

2

22

1

1lim

х

х х

х.

Решение . В этом случае мы имеем дело с неопределенностью вида 1.

Действуя по алгоритму, описанному выше, прибавим, а затем отнимем еди-

ницу от выражения, которое возводится в степень:

2

2

22

2

222

11

11lim

1

1lim

х

х

х

х х

х

х

х=

2

2

2

2

2222

1

21lim

1

111lim

х

х

х

х хх

хх=

2

2

2

2

1

11lim

х

х х.

Теперь умножим показатель степени на 2

12

х

, а чтобы результат не из-

менился, поделим на это же выражение (умножим на перевернутую дробь)

2

2

2

2

1

11lim

х

х х=

)2(1

2

2

1

2

22

2

2

1

11lim

хх

х

х х.

Так как eх

х

х

22

2

1

2

2

1

11lim (второй замечательный предел), то

1

)2(2

2

1

2

2

22

2

1

11lim

х

хх

х х=

1

)2(2

2

1

2

2

2

2

2

1

11lim

х

х

х

х х=

= 1

)2(2lim

2

2

х

х

хе = 2е .





1. Вычислить пределы.

Вариант 1

a) 49

8)7(lim

27

х

ххx

; б) 3

5lim

2

2

x

xx

;

в) x

xx 5sinlim

0; г)

x

x x

31

1lim

.

Вариант 2

а) 9

1)3(lim

21

х

ххx

; б) 4

23lim

2

23

x

ххxx

;

в) x

xx 4sin

3sinlim

0; г)

x

x x

21lim .

Вариант 3

а) 25

2)5(lim

25

х

ххx

; б) 2

12lim

2

3

2

x

xx

;

в) x

xx 4sin

3sinlim

0; г)

х

x x

x

23

33lim .

Вариант 4

а) 36

7)6(lim

26

х

ххx

; б) 44

8lim

2

3

xx

xx

;

в) x

x x

23

1lim

; г)

x

xx 5sin

2sinlim

0.

Вариант 5

а) 16

2)4(lim

24

х

ххx

; б) 35

5lim

3

2

xx

xx

;




в) 20

сos1lim

x

xx

; г) x

x x

11lim .

Вариант 6

а) 64

2)8(lim

28

х

ххx

; б) 12

54lim

2

23

xx

хxx

;

в) x

xхx 5sin

2sin2сoslim

0; г)

x

x x

52

1lim

.

Вариант 7

а) 25

1)5(lim

25

х

ххx

; б) 2

93lim

3

3

x

xx

;

в) x

xx 3sin

8sinlim

0; г)

20

11lim

x

xx

.

Вариант 8

а) 36

6)2(lim

26

х

ххx

; б) 96

81lim

2

4

xx

xx

;

в) x

xx 5sin

6sinlim

0; г)

x

xx

)1ln(lim

.

Вариант 9

а) 81

6)9(lim

29

х

ххx

; б) 3

5lim

2

2

x

xx

;

в) x

xx sin

3sinlim

0; г)

x

x x

3

2

11lim

.

Вариант 10

а) 9

2)3(lim

23

х

ххx

; б) 23

122lim

3

4

x

xxx

;




в) xx

xx 2sin

сos1lim

3

0

; г) x

x x

31

1lim

.

Вариант 11

а) 25

5)5(lim

21

х

ххx

; б) 45

23lim

2

2

xx

хxx

;

в) x

xx 4sin

5sinlim

0; г)

x

x x

x

1

2lim .

Вариант 12

a) 36

6)1(lim

26

х

ххx

; б) 23

122lim

3

4

x

xxx

;

в) x

xx 5sin

6lim

0; г)

x

x x

3

22lim

Вариант 13

а) 49

3)7(lim

27

х

ххx

; б) 23

122lim

3

4

x

xxx

;

в) x

xx 4sin

2sinlim

0; г)

x

x x

32

1lim

.

Вариант 14

а) 23 9

75,0)3(lim

х

ххx

; б) 23

1lim

2

3

xx

xx

;

в) x

xx 3sin

5sinlim

0; г)

х

x х

2

11lim

Вариант 15

а) 25

5)5(lim

2

х

ххx

; б) xx

xx 6

122lim

41

;




в) x

xxx 2cos

sincoslim

4/

; г) x

x x

11lim .

Вариант 16

а) 24 16

1)4(lim

х

ххx

; б) 12

1lim

2

6

xx

xx

;

в) x

xx 5sin

sinlim

0; г)

x

x x

33lim .

Вариант 17

а) 81

7)9(lim

2

х

ххx

; б) 243

62lim

3

3

x

xx

;

в) x

xx 5

sinlim

0; г)

2

11lim

x

x х

.

Вариант 18

а) 9

3)3(lim

23

х

ххx

; б) 1

1lim

2

23

x

xхxx

;

в) x

xx 2sin

3tglim

0; г)

х

x x

x

23

33lim .

Вариант 19

а) 64

2)8(lim

28

х

ххx

; б) 9

5lim

2

3

x

xx

;

в) x

xx 4tg

3tglim

0; г)

211lim

x

x x

.

Вариант 20

а) 36

6)3(lim

21

х

ххx

; б) 81

27lim

4

3

x

xx

;




в) x

xx 5sin

2sinlim

2

2

0; г)

x

x x

2

2

11lim

.

Вариант 21

а) 264

8)7(lim

х

ххx

; б) 93

12lim

2

5

1

x

xx

;

в) x

xx 5tg

2sinlim

0; г)

x

x x

x

1

1lim .

Вариант 22

а) 225

1)5(lim

х

ххx

; б) хx

xx

1

lim2

3

2;

в) x

xx сos1lim

2

0 ; г)

x

x x

2

11lim .

Вариант 23

а) 36

2)6(lim

21

х

ххx

; б) 3

13lim

4

3

x

xx

;

в) x

xx tg

3sinlim

0; г)

x

x x

x

2

1lim .

Вариант 24

а) 49

10)7(lim

2

х

ххx

; б) 44

22lim

2

23

2

xx

xхxx

;

в) x

xxx 30 сos1

2sinlim

; г)

x

x x

44

1lim

.

Вариант 25

а) 64

8)8(lim

28

х

ххx

; б) 54

5lim

4

4

x

xxx

;

в) x

xx 4tg

5tglim

0; г)

x

x x

x

1lim .




Вариант 26

а) 9

12)3(lim

23

х

ххx

; б) 34

96lim

2

2

xx

xxx

;

в) xx

xx sincos

2coslim

4/ ; г)

x

x x

31lim .

Вариант 27

а) 9

3lim

4

2

3

х

х

х; б)

4

1lim

2

3

х

ххх

;

в) x

xх tg

2lim

0; г)

х

х х

11lim .

Вариант 28

а) 1

23lim

2

2

1

х

ххх

; б) 501,0

310lim

4

23

х

ххх

;

в) 3 40 )(sin

limx

xх

; г) х

х x

х

1lim .

Вариант 29

а) 1

3)1(lim

21

х

ххх

; б) хх

ххх

1

12lim

2

;

в) x

xх 2sin

3sinlim

0; г)

х

х x

11lim .

Вариант 30

а) 16

6)4(lim

24

х

ххх

; б) ххх

ххх

34

24

36

243lim ;

в) xxх

ctglim0

; г) х

х

х x

1

11lim

.




Вариант 31

а) 9

1)3(lim

23

х

ххх

; б) 13

lim24

3

хх

ххх

;

в) x

xх 2tg

tglim

0; г)

х

х x

32

1lim

.

Вариант 32

а) 16

1)4(lim

24

х

ххх

; б) 13

5lim

2

4

хх

ххх

;

в) )3sin(

2sinlim

2

2

0 x

xх

; г) 12

2

1lim

х

х x

х.

Вариант 33

а) 4

2)2(lim

22

х

ххх

; б) 12

1lim

2

2

х

хх

;

в) x

xх

4tglim

0; г)

х

х x

2

11lim .

Вариант 34

а) 9

2)3(lim

23

х

ххх

; б) 32

3

31

31lim

хх

ххх

;

в) x

xх 5sin

2tglim

0; г)

х

х x

51lim .

Вариант 35

а) 2

1)4(lim

2

2

х

ххх

; б) 5

2lim

2

3

х

хх

;

в) x

xх

3sinlim

0; г)

х

х x

61

1lim

.





ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ НА НЕПРЕРЫВНОСТЬ.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТИПА ТОЧКИ РАЗРЫВА

Определение. Функция f(x) называется непрерывной в точке х = а, если

)(lim xfaх

= )(lim xfaх

= f(a).

Функция называется разрывной в точке х = а, если эта функция определе-

на в сколь угодно близких к точке а точках, но одно из равенств в условии

непрерывности не выполняется. Может оказаться, что какая-то точка не вхо-

дит в область определения, но правосторонний и левосторонний пределы

функции при стремлении к этой точке существуют; такая точка также счита-

ется точкой разрыва. Так, например, для функции у = х

1 точка х = 0 является

точкой разрыва.

Свойства непрерывных функций.

1. Сумма, разность, произведение двух непрерывных в точке а функций

являются функциями непрерывными в той же точке.

2. Частное двух непрерывных в точке а функций f(x) и g(x) непрерывно в

этой точке, если g(а) 0.

3. Если f(x) непрерывна в точке а, а g(x) непрерывна в точке x0 = f(a), то и

композиция (gf)(х) непрерывна в точке а.

Функция называется непрерывной на отрезке (в интервале), если она не-

прерывна в каждой точке этого отрезка (интервала).

Классификация точек разрыва. Точка, в которой непрерывность функ-

ции нарушается, называется точкой разрыва первого рода, если левосторон-

ний и правосторонний пределы функции в этой точке существуют и конечны.

В случае, если эти пределы равны между собой, но функция в данной точке

не определена, разрыв называют устранимым. В этом случае можно доопре-

делить эту функцию таким образом, чтобы она стала непрерывной. Доста-

точно положить значение функции в этой точке равным пределу функции в

этой точке, и мы получим непрерывную функцию.




Точка, в которой хотя бы один (левосторонний или правосторонний) пре-

дел функции не существует или бесконечен, называется точкой разрыва вто-

рого рода.

Элементарная функция может иметь разрыв только в тех точках, где она не-

определена, поэтому при исследовании таких функций на непрерывность сле-

дует рассматривать точки, которые не принадлежат области определения.

Неэлементарная функция может иметь разрывы и в точках, где она определена.

В частности, если функция задана несколькими аналитическими выражениями

(формулами) для различных аргументов, то она может иметь разрывы в тех

точках, где меняется ее выражение. Так, при исследовании на непрерывность

функций, заданных по-разному на разных интервалах, требуется дополни-

тельно исследовать поведение функции на границах этих интервалов.

Пример . Исследовать на непрерывность функцию (указать точки разры-

ва и определить какого они рода).

а) f(x) = 2

2

ln

1

3

9

xх

х

; б)

1приcos

,10приsin

,0при

х x

х x

х x

у

Решение . а) Функция f(x) = 2

2

ln

1

3

9

xх

х

является элементарной.

Найдем ее область определения. Во-первых, в функции содержатся дроби,

следовательно, их знаменатели должны быть отличными от 0. х + 3 0 => x

– 3. Поскольку ln х2 0 при х2 1; значит х 1 и х –1. Кроме того, функ-

ция содержит логарифм, следовательно, выражение, находящееся под зна-

ком логарифма, должно быть положительным (х2 > 0). Так как значение х2

неотрицательно, точкой, в которой происходит нарушение непрерывности,

является точка, в которой х = 0. Итак, точками разрыва функции являются х =

– 3, х = – 1, х = 1 и х = 0.

Исследуем поведение функции в каждой из этих точек. Для этого рас-

смотрим левосторонние и правосторонние пределы.

2

2

3 ln

1

3

9lim

xх

хх

= 23 ln

1

3

)3)(3(lim

xх

xхх

= )3(lim9ln

13

xх

= 9ln

6.




Проводя аналогичные преобразования, можно показать, что

2

2

3 ln

1

3

9lim

xх

хх

= 9ln

6.

Таким образом, правосторонние и левосторонние пределы функции в точке

х = –3 совпадают, следовательно, функция в этой точке имеет устранимый раз-

рыв (можно доопределить эту функцию, положив f(–3) = 9ln

6). Аналогичным

образом обстоит дело при х = 0. Так как логарифм при х 0 стремится к –,

2

2

0 ln

1

3

9lim

xх

хх

= 20 ln

1lim3

xх =

3

= 0 = 2

2

0 ln

1

3

9lim

xх

хх

.

Это означает, что точка х = 0 также является точкой устранимого разрыва.

Значение функции в этой точке можно положить равным 0, тогда функция

будет непрерывной в этой точке. Исследуем теперь точки х = 1.

2

2

1 ln

1

3

9lim

xх

хх

= 21 ln

1lim2

xх = +

(логарифм от числа, несколько меньшего, чем единица, является числом от-

рицательным). Точка х = 1 – точка разрыва второго рода, так как предел бес-

конечен. Для лучшего представления о поведении функции найдем и право-

сторонний предел в этой точке.

2

2

1 ln

1

3

9lim

xх

хх

= 21 ln

1lim2

xх = –

(здесь под знаком логарифма находится число несколько большее, чем еди-

ница, следовательно, такой логарифм положителен). Аналогичным образом:

2

2

1 ln

1

3

9lim

xх

хх

= 21 ln

1lim4

xх = –

(здесь, напротив, под знаком логарифма число немного большее 1),

2

2

1 ln

1

3

9lim

xх

хх

= 21 ln

1lim4

xх = + .

Точки х = 1 – точки разрыва второго рода.

Отве т . Точки х = –3, х = 0 – устранимые разрывы; точки х = 1 – разры-

вы второго рода, в остальных точках функция непрерывна.




б) Функция

1приcos

,10приsin

,0при

х x

х x

х x

у не является элементарной. Она за-

дана на трех отдельных интервалах (– , 0), [0, 1), [1, +). На каждом из этих

интервалов функция задана при помощи элементарных функций, которые не

имеют разрывов.

Исследуем поведение функции на границах интервалов (т. е. при х = 0 и

при х = 1). Слева от 0, то есть при х < 0, функция f(x) = х.

)(lim0

xfх

= xх 0lim = 0.

Справа от 0 f(x) = sin x.

)(lim0

xfх

= xх

sinlim0

= 0.

Кроме того, f(0) = sin (0) = 0. Таким образом, правосторонний предел, ле-

восторонний предел и значение функции в точке х = 0 совпадают (они все

равны 0), следовательно, функция непрерывна в этой точке.

Исследуем теперь точку х = 1.

)(lim1

xfх

= xх

sinlim1

= sin (1) 0,841.

)(lim1

xfх

= xх

coslim1

= cos (1) 0,540.

Итак, оба предела в точке х = 1 существуют, конечны, но имеют различ-

ные значения, следовательно, это точка разрыва первого рода.

Отве т . х = 1 – точка разрыва первого рода, в остальных точках функция

непрерывна.


1. Исследовать на непрерывность функцию (указать точки разрыва и

определить какого они рода).

Вариант 1

а) 2

2

ln

1

3

9)(

xх

хxf

; б)

хx

х x

хx

у

.1 при cos

,10приsin

,0при




Вариант 2

а) 2

2

ln

1

3

9)(

xх

хxf

; б)

х x

х x

х x

у

.1при cos

,10при2sin

,0при

Вариант 3

а) 2

2

ln

1

2

4)(

xх

хxf

; б)

.1при cos

,10приsin

,0при 2

хx

х x

хx

у

Вариант 4

а) 2

2

ln

1

2

4)(

xх

хxf

; б)

.1при2cos

,10приsin

,0 при

х x

х x

х x

у

Вариант 5

а) 2

2

ln

1

5

25)(

xх

хxf

; б)

.1при cos

,10при 3sin

,0при

хx

х x

х x

у

Вариант 6

а) 2

2

ln

1

5

25)(

xх

хxf

; б)

.1приcos

,10приsin

,0при 3

хx

х x

хx

у

Вариант 7

а) 2

2

ln

1

4

16)(

xх

хxf

; б)

.1при 3cos

,10приsin

,0при

хx

х x

х x

у

Вариант 8

а) 2

2

ln

1

12

14)(

xх

хxf

; б)

.1при cos

,10риsin2

,0при

хx

х x

х x

у




Вариант 9

а) 2

2

ln

1

4

16)(

xх

хxf

; б)

.1при cos

,10приsin

,0при 4

х x

х x

х x

у

Вариант 10

а) 2

2

ln

1

82

16)(

xх

хxf

; б)

.1при cos

,10при1sin3

,0 хпри

хx

х x

x

у

Вариант 11

а) 2

2

ln

1

12

14)(

xх

хxf

; б) ,

.1при cos

10приsin2

,0при 5

хx

х x

хx

у

Вариант 12

а) 2

2

ln

1

3

9)(

xх

хxf

; б) ,

.1 при cos

10приsin

,0при

хx

х x

х x

у

Вариант 13

а) 2

2

ln

1

6

36)(

xх

хxf

; б) ,

.1приcos2

10приsin

,0при6

х x

х x

х x

у

Вариант 14

а) 2

2

ln

1

6

36)(

xх

хxf

; б) ,

.1при cos2

10приsin4

,0при3

хx

х x

х x

у

Вариант 15

а) 2

2

ln

1

7

49)(

xх

хxf

; б)

х x

х x

х x

у

.1при cos3

,10приsin5

,0при4




Вариант 16

а) 2

2

ln

1

5.1

94)(

xх

хxf

; б)

х x

х x

х x

у

.1при 1cos3

,10приsin2

,0при 3

Вариант 17

а) 2

2

ln

1

5.1

94)(

xх

хxf

; б) ,

.1при1cos2

10приsin3

,0при 2

х x

х x

х x

у

Вариант 18

а) 4

2

ln

1

3

182)(

xх

хxf

; б) ,

.1при cos

10при1sin2

,0 при1

х x

х x

х x

у

Вариант 19

а) 2

2

ln

1

3

182)(

xх

хxf

; б) ,

.1при cos2

10при1sin

,0при13

х x

х x

х x

у

Вариант 20

а) 4

2

ln

1

4

82)(

xх

хxf

; б)

х x

х x

х x

у

.1 при cos

,10при2sin

,0 при24

Вариант 21

а) 4

2

ln

1

4

82)(

xх

хxf

; б)

х x

х x

х x

у

.1при cos3

,10при 1sin

,0 при 12

Вариант 22

а) 2

2

ln

1

8

64)(

xх

хxf

; б) ,

1 при cos

10при1sin2

,0 при13

х x

х x

х x

у




Вариант 23

а) 4

2

ln

1

8

64)(

xх

хxf

; б)

х x

х x

х x

у

.1при cos

,10при 1sin2

,0 при 18

Вариант 24

а) 2

2

ln

1

9

81)(

xх

хxf

; б) ,

.1при cos3

10при 12sin

,0 при 12

х x

х x

х x

у

Вариант 25

а) 2

2

ln

1

9

81)(

xх

хxf

; б)

х x

х x

х x

у

.1при 3cos

,10при2sin2

,0 при 23

Вариант 26

а) 2

2

ln

1

10

100)(

xх

хxf

; б)

х x

х x

х x

у

.1при cos3

,10при 23sin

,0 при22

Вариант 27

а) 2

2

ln

1

10

100)(

xх

хxf

; б) ,

.1при 3cos

10при 1sin

,0при1

хx

х x

х x

у

Вариант 28

а) 2

2

ln

1

5.0

14)(

xх

хxf

; б)

х x

х x

х x

у

.1при cos

,10 при 3sin3

,0 при32

Вариант 29

а) 2

2

ln

1

5.0

14)(

xх

хxf

; б) ,

.1при cos

10при52sin

,0при 5

х x

х x

х x

у




Вариант 30

а) 2

2

ln

1

3

273)(

xх

хxf

; б) ,

.1при cos2

10при 2sin

,0при 2

х x

х x

х x

у

Вариант 31

а) 2

2

ln

1

5

502)(

xх

хxf

; б) ,

.1при2cos

10при15sin

,0при 15

х x

х x

х x

у

Вариант 32

а) 2

2

ln

1

4

483)(

xх

хxf

; б) ,

.1при cos3

10при 3sin

,0при 32

х x

х x

х x

у

Вариант 33

а) 2

2

ln

1

5

502)(

xх

хxf

; б) ,

.1приcos5

10при5sin2

,0при 5

х x

х x

х x

у

Вариант 34

а) 2

2

ln

1

4

322)(

xх

хxf

; б)

х x

х x

х x

у

.1приcos6

,10при 1sin2

,0при 16

Вариант 35

а) 2

2

ln

1

4

322)(

xх

хxf

; б) ,

.1при 3cos

10при15sin

,0 при 16

хx

х x

х x

у




Приложение










Учебно-методическое пособие

МАТЕМАТИКА

ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ

В четырех частях

Часть 1

Составители ГЛУХОВ

ВЛАДИМИР ПЕТРОВИЧ

НИКОНОВА

СВЕТЛАНА ПАВЛОВНА

ЗОРЬКИНА

НАТАЛЬЯ ВЛАДИМИРОВНА

МИРОНОВА

ЛЮДМИЛА ВИКТОРОВНА

ГЛУХОВА

НАТАЛЬЯ ВЛАДИМИРОВНА

Редактирование Т.Е. Мещерякова

Компьютерная верстка И. А. Ерёмина

Подписано в печать 10.11.2011. Формат 6090/16. Бумага офсетная.

Печать трафаретная. Усл. печ. л. 6,5. Уч.-изд. л. 6,18.

Тираж 300 экз. Заказ № 374

РИО и типография УВАУ ГА(И). 432071, г. Ульяновск, ул. Можайского, 8/8

Documents

Математика. Индивидуальные домашние заданияvenec.ulstu.ru/lib/disk/2015/Gluhov_3.pdfББК В1я7 М 34 Математика. Индивидуальные