Ю .Л . Геворкян , А .Л . Григорьев

Основы линейной алгебры

и её приложений в технике

Утверждено Министерством образования и науки Украины

в качестве учебника для студентов высших учебных заведений

Харьков НТУ «ХПИ» 2002

2

ББК.22.143 Г 27 УДК 512.64

Рец ен з ен ты :

Ю.В. Гандель, доктор физико-математических наук, профессор ка-федры математической физики и вычислительной математики Харь-ковского национального университета им. В.Н. Каразина; В.С. Гапонов, доктор технических наук, профессор, заведующий ка-федрой деталей машин и прикладной механики Национального тех-нического университета «Харьковский политехнический институт»; В.И. Мороз, доктор технических наук, профессор, заведующий ка-федрой механики и проектирования машин Украинской государст-венной академии инженеров железнодорожного транспорта.

Гриф присвоен Министерством образования и науки Украины, письмо № 1/11 – 2016 от 20.06.2002 г.

Интеллектуальная собственность авторов. Все права защищены.

При перепечатке материалов ссылка на первоисточник обязательна.

Геворкян Ю.Л., Григорьев А.Л. Г 27 Основы линейной алгебры и её приложений в технике: Учебник.– Харьков: НТУ «ХПИ», 2002. – 542 с. – На русск. яз. ISBN 966-593-283-7 Содержит систематическое изложение курса линейной алгебры и основ

функционального линейного анализа, ориентированное на использование соот-ветствующих методов для решения практических инженерных задач.

Предназначается для студентов, аспирантов, преподавателей и научных сотрудников технических университетов.

Містить систематичний виклад курсу лінійної алгебри і основ функціона-льного лінійного аналізу, орієнтований на використання відповідних математич-них методів для розв’язання практичних інженерних задач.

Призначено для студентів, аспірантів, викладачів та наукових співробіт-ників технічних університетів.

Contains the systematic summary of the linear algebra course and the basis of functional linear analysis, oriented to using the corresponding mathematical methods for solving practical engineering tasks.

Intended for students, post-graduates, teachers and scientist of the technical universities

Ил. 203. Табл. 2. Библ. 34 назв.

ББК 221.143 ISBN 966-593-283-7 Ю.Л. Геворкян А.Л. Григорьев,2002 г. C

3

Оглавление

Об алгебре – с любовью ... (вместо предисловия) ........................9

Глава 1. Матрицы ................................................................................11

§ 1. Основные определения и примеры ..........................................................11 Точка отсчёта. Матричные шифры. Коммутационная матрица. Графы ло-кальных сетей. Матрица вращения. Матрица проводимости. Полезная мат-рица. Виртуальные графы. Матрица всегда должна выглядеть красиво! Мат-ричные скобки. Передаточная матрица. Матрица из тензорезисторов. Мат-рицы и тензоры.

§ 2. Частные виды матриц ..............................................................................21 "Железнодорожные" колебания. Шнур - удлинитель. Распад местной сети. Цепная передача. Цилиндрическая пружина. Армейский порядок. "Главная матрица университета".

§ 3. Основные действия над матрицами ........................................................29 Матричные окрестности. Матричное уравнение системы. Матрица для тор-педоносца. Дифференциальное матричное уравнение. Полёт в Чикаго.

§ 4. Правила умножения для матриц частного вида ....................................41 Матричный процессор. Матричные аналогии. Уравнение свободных колеба-ний цепной системы.

§ 5. Свойства операции умножения матриц .................................................51 "Электрические" доказательства. Матрицы перестановок. Тривиальная мат-ричная алгебра. Каскадный преобразователь. Передаточная матрица цепной системы. Экономичный раскрой пружины. Матричные корни из нуля и еди-ницы.

§ 6. Транспонирование и симметрия матриц ................................................58 Две формы записи матричных уравнений. Неотрицательные матрицы. Мат-ричные неравенства в электротехнике. Симметрия механических систем.

Глава 2. Определители и обратные матрицы ..................................66

§ 7. Факториал. Перестановки. Инверсия .....................................................66 § 8. Понятие определителя .............................................................................69

Что "определяет" определитель матрицы? Геометрический смысл определи-теля. ЭВМ против определителя: раунд первый. Определитель треугольной матрицы. Определитель блочно-диагональной матрицы. Матрица из опре-делителей.

§ 9. Формулы Лапласа .....................................................................................76 ЭВМ против определителя: раунд второй. Определитель цепной системы.

§ 10. Понятие линейной зависимости ............................................................82 Главная загадка линейной алгебры.

§ 11. Свойства определителей …....................................................................86 Перемножение определителей на дисплее "Пентиума". Транспонирование якобиана. Расщепление определителя цепной системы.

§ 12. Вычисление определителя по методу Гаусса ……..............................95 ЭВМ против определителя: третий раунд. Определитель Вандермонда.

§ 13. Условия существования и единственности обратной матрицы .........99

4

Зачем нужны обратные матрицы? Электростатическая неопределённость. Матрица упругости. Обратные неквадратные матрицы.

§ 14. Правила нахождения обратной матрицы ...........................................105 Определитель присоединённой матрицы. Расщепление определителя блоч-ной матрицы. Обратная передаточная матрица.

§ 15. Операция обращения матрицы и её свойства ....................................110 Блочный определитель. Диагональный определитель. Матричные преобра-зования обобщённых координат. Пять осей симметрии матрицы. Централь-ная и зеркальная симметрия передаточной матрицы.

Глава 3. Эквивалентные преобразования и ранг матрицы .....119

§ 16. Миноры матрицы. Обобщённая формула Лапласа ...........................119 Сколько миноров содержит матрица? Доверяй, но проверяй! Определитель моноблочной матрицы. Определитель произведения неквадратных матриц.

§ 17. Преобразования квадратной матрицы по алгоритму Гаусса ...........128 Матрицы элементарных преобразований. Матрица эквивалентного преобра-зования. Прямой ход алгоритма Гаусса. Обратный ход алгоритма Гаусса.

§ 18. Гауссово представление квадратной матрицы ..................................136 Всегда - ли можно не переставлять строки? Второе "треугольное" представ-ление. Матричные пятна на единичной сфере. Квазитреугольное представ-ление квадратной матрицы. О непринципиальных различиях между теорией и практикой.

§ 19. Симметричное преобразование матрицы .......................................... 145 Симметричный алгоритм Гаусса. Преобразование кососимметричной матрицы.

§ 20. Положительные и неотрицательные матрицы .................................. 148 Тонкая гауссова механика. Матрица массообмена. Утечка массы. Матрица трения. Во всём виновата энтропия. Матрица колебаний – это единство про-тивоположностей.

§ 21. Теорема о базисном миноре ................................................................162 Определитель произведения укороченной матрицы на удлинённую.

§ 22. Ранг матрицы и его свойства ...............................................................167 Вырожденные неквадратные матрицы.

§ 23. Методы нахождения ранга. Преобразование матрицы к трапецеидальному виду ....................................................................173

Два направления для поиска базисного минора. Метод понижения порядка для базисного минора. Метод окаймления.

Глава 4. Матричные уравнения и системы линейных алгебраических уравнений ……………………...180

§ 24. Простейшие матричные уравнения ....................................................180 Родственные матричные уравнения. Уравнение смешанного типа. Двухсто-роннее матричное уравнение.

§ 25. Формы записи системы линейных алгебраических уравнений.........185 Матрица как универсальное средство для объединения уравнений. "Аппа-ратный" метод обращения матрицы. Матрица влияния и принцип взаимно-сти Максвелла.

§ 26. Системы простейших матричных уравнений ....................................193

5

Лабораторная работа по линейным электрическим цепям. Матричные тождества. § 27. Решение квадратных систем линейных уравнений при помощи обратной матрицы ................................................................................198

Параллельное решение систем. Технические трудности пятого порядка. Матричные рефлексы крылатой ракеты.

§ 28. Формулы Крамера ................................................................................201 Геометрический смысл альтернатив Крамера. Экономичные формулы Краме-ра. Главные неизвестные. Минимальный многочлен диагональной матрицы.

§ 29. Эквивалентные преобразования расширенной матрицы .................203 Нумерующая строка расширенной матрицы. Параллельные элементарные преобразования. Дополнительное элементарное преобразование.

§ 30. Метод Гаусса для систем линейных уравнений с квадратной матрицей коэффициентов………………………………214

Обращение матрицы методом Гаусса. Гаусс против Гаусса. Прогноз погоды на ... прошедший месяц.

§ 31. Решение систем уравнений с блочными и разреженными матрицами коэффициентов ………………………………………….222

Алгоритм Гаусса для системы матричных уравнений. Интерполирующий сплайн. Решение уравнений замкнутой цепной системы. Итерационные ме-тоды решения систем линейных алгебраических уравнений.

Глава 5. Множества решений неопределённых систем .............233

§ 32. Решение квадратной системы линейных алгебраических уравнений с вырожденной матрицей методом Гаусса .....................233

Решения, ускользающие в бесконечность. Генератор случайных решений. § 33. Неопределённые системы уравнений: основные понятия и определения .......................................................................................238

Новая обложка для старой теоремы. Неустойчивые решения переопределён-ной системы. Матричные рамки для свободы выбора. Свобода выбора для башенного крана. Однородная форма уравнений электростатики. "Узкое ме-сто" электрической схемы.

§ 34. Теоремы Кронекера – Капелли ...........................................................246 Удлинённая система почти всегда совместна. Условия существования пере-даточной матрицы. Однородная удлинённая система.

§ 35. Структура общего решения системы .................................................253 Базисные решения трапецеидальной системы. Частное решение не зависит от базисных. Геометрическая интерпретация принципа наложения решений.

§ 36. Структура общего решения матричного уравнения .........................262 Независимость реальная и кажущаяся. Эквивалентные передаточные матри-цы. Базисные решения для передаточных матриц.

§ 37. Опорные решения неоднородной системы .......................................268 Опорные решения трапецеидальной системы. Матричное уравнение для опорных решений. Опорные точки на плоскости решений.

§ 38. Принцип линейной суперпозиции ......................................................274 Монтажные и рабочие напряжения в деталях машин. Предварительно на-пряжённый железобетон. О принципе линейной суперпозиции в физике. Принцип фрактальности.

6

§ 39. Метод Гаусса – Жордана и другие методы решения неопределённых систем .......................................................................280

Система уравнений с сильно удлинённой матрицей. Главные неизвестные неопределённой системы. Аналитическое решение неопределённых систем. Алгоритм метода Гаусса – Жордана для неоднородной системы. Алгоритм метода Гаусса – Жордана для однородной системы. Вакантные места для "особых" неизвестных.

Глава 6. Линейные пространства ..................................................292

§ 40. Основные определения ........................................................................292 Пространство матриц. Точечно - векторный дуализм. Коммутативные груп-пы и конусы. Пространство криволинейных векторов.

§ 41. Функциональные линейные пространства .........................................297 Пространство непрерывных функций. Пространство интегрируемых функций. Пространство периодических функций. Моменты функции. Коэффициенты Фурье. Неустановившиеся колебания груза. Периодические колебания груза.

§ 42. Линейное подпространство .................................................................305 Пространство многочленов. Пространство гармоник. Пространство решений. Подпространство дифференцируемых функций. Пространство аналитических функций. Пространство 2 [ ; ]L a b . Иерархия функциональных пространств.

§ 43. Размерность и базис линейного пространства ...................................311 Размерность арифметического пространства. Арифметическое пространство

∞ℜ . Пространства 1 2,l l и l ∞ . Размерность пространства многочленов. Ка-нонический базис. Полиномы Чебышева. Пространство шатунных кривых. Базис для многочленов Лагранжа. Базис для сплайнов.

§ 44. Изоморфизм линейных пространств ..................................................322 Соответствие нулей и нулевых линейных комбинаций. Изоморфизм матриц и систем. Пространство эквивалентных систем. Изоморфизм комплексных чисел и векторов. Графическое изображение многомерного вектора.

§ 45. Алгебраический базис счётномерного пространства .......................328 0l и изоморфные ему пространства функций. Счётномерное пространство

разрывных функций. Континуальный алгебраический базис. Изоморфизм бесконечномерных пространств.

§ 46. Прямая сумма подпространств ...........................................................334 Базисное расщепление пространства. Дополнительное пространство для ку-лачка. Проблема моментов.

§ 47. Матрица линейного оператора ............................................................341 Матрица оператора дифференцирования. Матрица оператора интегрирова-ния. Два разных взгляда на одну матрицу.

Глава 7. Подобие матриц ...................................................................349

§ 48. Диагонализация матрицы: постановка задачи и примеры ...............349 Гидромеханический демпфер. Идеальный амортизатор. Гидромеханический маятник. "Комплексно сопряжённые" маятники.

§ 49. Инвариантные подпространства .........................................................359 Матричный след. Формулы Виета для матричного спектра. Вращающееся под-пространство. Нормированный вращающийся базис. Вещественные уравнения

7

для комплексного базиса. Спектр единичной матрицы. Жордановы клетки. § 50. Преобразование подобия для квадратных матриц ........................... 370

Принцип общности положения. Классы подобных матриц. Пространство ко-эффициентов подобия. Левая и правая нормировка.

§ 51. Корневые подпространства .................................................................374 Конформный мир.

§ 52. Каноническая жорданова форма матрицы .........................................379 Циклические подпространства. Блочные циклы. Встреча "в верхах". Функ-ции матричной клетки. Спектр матричной функции. "Слабое звено" линей-ной алгебры. Движение по матричному следу.

§ 53. Элементарные функции с матричным аргументом ...........................385 Основные свойства матричных функций. Арифметический матричный ко-рень. Функция блочной клетки. Матричная экспонента. Матричная триго-нометрия. Матричное решение уравнений баллистики. Рекуррентная мат-ричная алгебра. Матричная гармоника. Матричные функции для вязко - уп-ругой модели.

§ 54. Матричные интегралы .........................................................................392 Колебательный "эскорт". Матричный метод Лагранжа. Мультипликативный компьютерный интеграл. Следы матричных интегралов.

§ 55. Подобие линейных операторов ...........................................................398 Спектры операторов дифференцирования. Симметричный оператор и его спектр.

Глава 8. Аффинные и нормированные пространства ...............401

§ 56. Аффинное пространство .....................................................................401 Отрываем "векторные хвосты". Движение в обратном направлении. Сфери-ческое пространство.

§ 57. Аффинное подпространство, плоскость и прямая ...........................405 Прямые и плоскости в геометрическом пространстве. Уравнение плоскости в n . Уравнения прямой в n . Аффинный отрезок. Аффинная полуплос-кость. Выпуклые многогранники.

§ 58. Метрика и норма ...................................................................................410 Изолирующая метрика. Равномерная метрика и норма. Суммарная метрика и норма. Среднеквадратичная метрика.

§ 59. Интегральные метрики ........................................................................416 Средняя интегральная метрика и норма. Нуль - окрестности и нуль - про-странство. Регуляризация графика функции. Оператор регуляризации. Регу-ляризованное подпространство.

§ 60. Топология и предел ..............................................................................422 Единичная окрестность – метрический эталон близости. Вписанные и опи-санные шары. Координатная топология. Фальшь-старт. Открытые и замкну-тые множества. Ограниченные дискретные множества.

§ 61. Банахово пространство ........................................................................430 Метрика "далёкая" и "близкая". Несепарабельное пространство. Конкури-рующая топологическая база. Непрерывный базис для разрывных функций.

§ 62. Ограниченные линейные функционалы .............................................436 Самосопряжённое пространство. Интеграл Стилтьеса. Принцип Кавальери. Мера Жордана. Мера Лебега. Интеграл Лебега. Сопряжённое функциональ-

8

ное пространство. § 63. Скалярное произведение ......................................................................447

Скалярное произведение в комплексном пространстве. Псевдометрика. Ска-лярное произведение в функциональном пространстве.

§ 64. Евклидово, унитарное и гильбертово пространства .........................454 Координатная изометрия. Процедура ортогонализации. Ортогональные много-члены Чебышева. Обобщённый ряд Фурье. Диагонализация матрицы Грама.

§ 65. Ортогональные суммы и проекции ......................................................461 Оператор ортогонального проектирования. Экстремальное свойство много-членов Фурье. Ортогональность инвариантных подпространств.

Глава 9. Спектр и норма матрицы ................................................465

§ 66. Диагонализация симметричных и кососимметричных матриц ........465 Прямые доказательства. Жорданово представление матрицы колебаний. Со-пряжённая симметрия – это "два в одном". Дискриминант характеристиче-ского уравнения.

§ 67. Ортогональные матрицы .....................................................................472 Группа ортогональных матриц. Вращения системы координат. Вращения твёр-дого тела. Конструкционная инверсия. J - ортогональный базис матрицы коле-баний. Группа J - ортогональных матриц. Спектр J - ортогональной матрицы.

§ 68. Спектральные оценки ..........................................................................481 Устойчивость движения механической системы. Неустойчивость разностной схемы. Сходимость разностной схемы.

§ 69. Евклидова норма матрицы ..................................................................489 Плохо обусловленные матрицы. Жёсткая динамическая система. Норма мат-рицы колебаний. Норма ортогональной и J - ортогональной матрицы. Норма обратной матрицы. Асимптотическая устойчивость. Сколько нужно ждать? Устойчивость матричного интеграла.

§ 70. Критерий Рауса – Гурвица ...................................................................498 Миноры Гурвица. Лучшее – враг хорошего. Статическая неустойчивость прямого клапана.

§ 71. Устойчивость решения дифференциального матричного уравнения ……………………………………………………………..507

Динамическая неустойчивость клапана. Спектр плунжерного гидронасоса. Дифференциальный клапан. Абсолютная и относительная устойчивость. Абсолютная устойчивость клапана. Устойчивость и вращения собственного базиса. Устойчивость периодического движения.

§ 72. Матричные методы интегрирования линейных векторных уравнений …………………………………………………………......517

Алгебраический метод. Численно-аналитический метод. Учтём симметрию. Оценим спектр собственных колебаний. Выберем оптимальный дробный шаг. Учтём специфику цепной системы. Оценим перспективы. Список дополнительной литературы ..............................................526 Предметный указатель .......................................................................527

9

Об алгебре – с любовью... (вместо предисловия)

В 50-ые годы ХХ - го столетия, когда Мировой океан ещё не был загрязнён радио-активными отходами, и в нём во множестве водились киты, в бывшем Советском Союзе была издана новая книга, которая называлась "Справочник китобоя". Так получилось, что эта полезная книга совершенно неожиданно для её авторов получила известность не только у "героев – китобоев", но и среди математиков. Тому виной была приведенная в справочнике формула для определения массы выловленного кита. В самой формуле, кроме габаритных размеров кита, использовалась общеизвестная константа π , а далее (на вся-кий случай?) следовало разъяснение –

"где π для кита равняется 3,14". Кого-то эта фраза тогда просто рассмешила, других – повергла в шок (какое ко-

щунство!), а третьих – заставила задуматься о серьёзных вещах. Математики, как вы, наверняка, догадываетесь об этом, в основном люди очень сообразительные. И поэтому они быстро смогли понять, что место "кита" в этой фразе мог бы, например, занять инженер, или любой другой специалист, профессия которого не требует знания шестой значащей цифры ответа. А ещё то, что отсутствие абстрактного воображения - это не всегда зло, но часто – благо, поскольку позволяет быстро фокусировать внимание на глав-ном. И что математик, работающий преподавателем в инженерном вузе, обязан учить математике именно будущего инженера, а не пытаться вырастить из него новое "ма-тематическое дарование".

Но в этой связи возникает много вопросов. Можно ли говорить о существовании особой "математики для инженеров" или, скажем, "математики для бизнесменов", "ма-тематики для военных"? И как увязать её учебный курс с теми личностными особенно-стями будущего специалиста, которые обеспечили выбор данной профессии и целенаправ-ленно формируются ею? Где должна пролегать грань между доказательностью изложе-ния и его доступностью? Каким методам доказательных рассуждений (индуктивным или дедуктивным) отдавать приоритет? Сохранять ли и далее в учебном курсе "чистоту" методов высшей математики либо сразу же учитывать реалии их численной реализации?

Если бы мы не знали ответов на эти вопросы, то никогда не решились бы публико-вать эту книгу. Но для того, чтобы найти их, нам пришлось в качестве практикующих преподавателей высшей математики каждый учебный день на протяжении десятков лет открывать двери студенческих аудиторий. А ещё – наводить новые мосты между мате-матикой и техническими науками и каждый день самим путешествовать по этим мос-там, соединяющим два берега человеческого знания.

Весь этот учебник, от первой до последней его страницы, собственно говоря, и яв-ляется нашим развёрнутым ответом на эти вопросы. Но для тех нетерпеливых читате-лей, кого смутит размер этого "ответа", спешим сообщить основополагающие принципы, которыми мы руководствовались при его подготовке.

* * * Современный этап развития науки, техники и общества в целом требует повыше-

ния роли фундаментальных дисциплин в системе высшего образования Украины. Органи-зационные меры решения этой проблемы, связанные с переводом многих технических вузов в ранг университетов, должны быть поддержаны изданием новых учебников. Особенно-стью таких учебников является углубление теоретических разделов курса при одновре-менном расширении фактического материала, который, с одной стороны, иллюстрирует приложения теории к практике, а с другой стороны, делает изложение доступным и ин-тересным. Образцом для таких учебников можно считать, например, признанный во всём цивилизованном мире «Берклеевский курс физики», или, если приводить примеры матема-тической литературы, «Курс математической физики» А.Н. Тихонова и А.А. Самарского.

10

Современный учебник по математике для технического университета должен не только сообщать своим читателям всю, «без утайки», сумму знаний, которая может по-надобиться в их практической деятельности, но и учить применять математические методы при решении практических задач.

Он должен содержать большое число полностью рассмотренных примеров, кото-рые как раз и учат применять эти методы на практике. Примеров в такой литературе не может быть много, их всегда только мало.

Он должен показать на многочисленных примерах силу основного математиче-ского метода – метода математической аналогии, являющегося действительной осно-вой самой математики и определяющего её главенствующее место в науке.

Он должен помочь полюбить математику – «царицу наук» и основу любого под-линно научного знания, а не бояться её, как это зачастую бывает со студентами и выпу-скниками технического вуза.

Он должен существенно расширить общенаучный и терминологический кругозор читателя.

Он должен стать их опорой в будущей научной и практической деятельности. Он не может использовать принятый ранее для математической литературы

«назидательный тон» подачи материала. Автор для молодого (и не очень молодого) чи-тателя должен быть скорее советчиком и единомышленником, но не занудной всезнайкой. Автор должен любить своего читателя и не скрывать этих чувств.

Учебник должен быть хорошо иллюстрирован. Особенность студентов техниче-ских вузов заключается в том, что они в своей массе обладают конкретным, а не абст-рактным мышлением; к тому же в процессе обучения они привыкли иметь так называе-мую «зрительную опору» – рисунок или чертёж. Эта особенность должна быть обяза-тельно учтена при подготовке учебника по математике.

* * * Этим принципам мы и пытались следовать при подготовке данного учебника. Уда-

лось ли нам решить эту задачу – судить вам. Заметим, что других, похожих на него учеб-ников по линейной алгебре, в бывшем СССР и странах СНГ ранее не издавалось.

Учебник составлен в полном соответствии с программой курса высшей матема-тики для политехнического университета Украины.

Изучение материала первых пяти глав в основном базируется на тех знаниях, ко-торые были получены в школьном курсе математики, и только в отдельных случаях ис-пользуются некоторые сведения из университетского курса математического анализа, читаемого в том же семестре параллельно или последовательно. Параграфы и примеры, отмеченные звёздочкой, при первом чтении рекомендуется пропустить.

В остальных четырёх главах книги содержится материал, который изучается на специальных курсах технического университета по программе подготовки специалистов и магистров. Эта часть книги написана не только для студентов; она должна быть полез-на также аспирантам и научным сотрудникам, занимающимся математическим модели-рованием технических объектов. Поэтому наряду с алгеброй конечномерных пространств здесь изложены азы функционального линейного анализа.

Материал разбит на главы и параграфы, которые, как и примеры, имеют сквозную нумерацию. Формулы, на которые имеются ссылки в тексте, нумеруются в пределах гла-вы, а при редких ссылках на формулу из другой главы используется двойная нумерация (на-пример, запись (1.2) обозначает формулу с номером (2) из первой главы).

Выражаем благодарность профессорам Ю.В. Ганделю, В.С. Гапонову, В.И. Морозу и доценту Н.А. Чикиной, взявшим на себя труд рецензирования учебника и сделавшим мно-го ценных замечаний по тексту. Но главные наши рецензенты – это вы, наши читатели. Если опыт покажется вам удачным, мы напишем продолжение.

Свои отзывы об учебнике просим направлять по адресу: 61002, Украина, г. Харьков, ул. Фрунзе, д.21, НТУ "Харьковский политехнический институт", редакционно-издатель-ский отдел.

Авторы

11

Глава 1. Матрицы

§ 1. Основные определения и примеры

Определения. Числовой матрицей размера m n× называется со-

вокупность m n⋅ чисел, расположенных в виде прямоугольной табли-

цы, содержащей m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу,

называются её элементами. Горизонтальные и вертикальные ряды эле-

ментов образуют, соответственно, строки и столбцы матрицы.

Для записи матрицы размера m n× применяется одно из следую-

щих обозначений:

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

mnm m

a a a

a a a

a a a

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜⎝ ⎠⎟

или

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

m m mn

a a aa a a

a a a

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Строки нумеруются в направлении сверху вниз, а столбцы – слева направо.

Для краткого обозначения матрицы употребляются большие латинские бу-

квы ( ), ,A B C… либо символы i ja⎡ ⎤⎣ ⎦ , где выражение i ja обозначает эле-

мент матрицы, расположенный в i -той строке и j -том столбце.

Точка отсчёта . В математике и её приложениях давно и часто используются

числовые таблицы прямоугольной формы. Такую форму имеют известные вам триго-нометрические таблицы Брадиса, логарифмические таблицы Непера. Приведём другой, менее известный пример.

В 1788 году младший лейтенант артиллерии Наполеоне Буонапарте сдаёт экзамены знаменитым французским математикам и механикам Лапласу и Монжу и с отличием оканчивает Парижскую военную школу. Выпускная работа содержала но-вое решение задачи внешней баллистики и разработанные на его основе таблицы для расчёта дальности полёта ядра. 17 декабря 1793 года капитан Буонапарте использует эти таблицы для выбора позиций артиллерийских батарей и при минимальных потерях

12

со стороны осаждающих войск берёт Тулон, охваченный мятежом роялистов. На сле-дующий день он становится генералом Бонапартом, а через 10 лет – императором Франции Наполеоном.

Но являются ли таблицы Брадиса, Непера или Наполеона матрицами? Формаль-но – да, но по существу – нет. Числовую таблицу следует считать матрицей, если при каждом обращении к ней она используется или преобразуется как единое целое; поэто-му в определении матрицы вместо термина «множество элементов» используется бо-лее узкий термин - «совокупность элементов». Попробуйте вспомнить задачу, для решения которой понадобилась бы, скажем, вся таблица Брадиса для синуса. Правиль-но, таких задач не бывает, таблица Брадиса всегда используется фрагментарно.

Понимание этих различий пришло в математику примерно через сто лет после наполеоновских войн и связано с работами двух знаменитых английских учёных Га-мильтона и Кэли, которые и считаются основоположниками матричного исчисления.

Определение. Матрица, у которой число строк равно числу столб-

цов (то есть m n= ), называется квадратной; число n называется поряд-

ком квадратной матрицы. Квадратная матрица A первого порядка со-

стоит только из одного элемента 11a .

Матрицы, не являющиеся квадратными, называются неквадратны-

ми.

Неквадратная матрица, состоящая из одной строки или одного

столбца, называется, соответственно, вектор-строкой или вектор-

столбцом. Матрицы-векторы в линейной алгебре обладают теми же

свойствами, что и обычные векторы – в векторной алгебре.

Две матрицы считаются равными, если они имеют одинаковые раз-

меры и элементы, расположенные на одинаковых местах, равны между со-

бой.

Элементы числовой матрицы могут быть представлены в ней в виде

констант, функций или алгебраических выражений, имеющих конкретные

числовые значения. В приложениях математики к естественным и техни-

ческим наукам матрицы, составленные из констант, как правило, являются

матрицами коэффициентов некоторой системы уравнений. Прим е р 1 . Матричные шифры . Системам линейных уравнений

13

2 00

x yx y+ ⋅ =⎧

⎨ − =⎩ (1) и

0.1 0.7 1.62 3 0.5 0.50.1 2 0.9

x y zx y z

x y z

− ⋅ + ⋅ =⎧⎪− ⋅ + ⋅ − ⋅ =⎨⎪ ⋅ + − ⋅ = −⎩

(2)

взаимно однозначным образом соответствуют матрицы коэффициентов

1 21 1

A ⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

и 1 0.1 0.7 1.62 3 0.5 0.5

0.1 1 2 0.9B

−⎛ ⎞⎜ ⎟= − −⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠

,

составленные из числовых констант, причём в рассматриваемых примерах матрица A оказалась квадратной матрицей второго поряд-ка, а B – неквадратной матрицей размера 3 4× . Ясно, что в матрицах A и B содержится в зашифрованном виде вся информация, необхо-димая и достаточная для решения систем (1) или (2).

Разумеется, системы (1) и (2) настолько просты, что их мож-но решить без привлечения матриц. Найдите эти решения самостоя-тельно, используя те методы, которые учили в школе (например, ме-тод исключения неизвестных). Решение системы (1) очевидно ( 0; 0x y= = ), но чтобы найти решение системы (2) вам придётся ос-новательно поработать. А теперь представьте, как вы будете решать этим же методом систему, содержащую 100 уравнений и 100 неиз-вестных. Трудности покажутся непреодолимыми, но именно такой, приблизительно, порядок имеют системы уравнений, которые приходится решать, на-пример, при выводе космического аппарата на заданную орбиту или принятии опти-мального решения в экономике. Так, перед запуском ракетоносителя «Титан», выводя-щего на орбиту искусственного спутника Земли космический корабль многоразового использования «Шаттл» (рис.1), собирается и обрабатывается информация о силе и на-правлении ветра для нескольких десятков точек, расположенных на разгонном участке полёта ракеты. Конечно, все вычисления в этих случаях проводит ЭВМ, но информа-ция, необходимая для работы компьютерных программ, представляется только в мат-ричном виде.

Прим е р 2 . Комму т а ци онн а я ма т риц а . Рассмотрим другой пример, в котором матрица, составленная из числовых кон-стант, выступает в качестве удобного инструмента для записи и представления информации. На рис.2 изображён так называемый n - полюсник, то есть сложная электрическая или электромеханическая схема со многими вводами и выводами (клеммами). Клеммы пронумерованы от 1 до n . Если взять лю-бую пару клемм с номерами 1,i n∈ и 1,j n∈ , то, анализируя схему, можно установить, имеется ли в данный момент времени между ними непосредст-венная электрическая связь или такой связи нет. Для графического представления этой информации используется квадратная матрица n -го порядка,

называемая коммутационной матрицей или неориентированным графом связности G . Матрица G составляется из нулей и единиц таким образом, что при наличии связи между i -той и j -той клеммами элементы ijg и jig получают значение 1, если же связи

...1 2 3 1n − n

Рисунок 1

Рисунок 2

14

нет, то они равны 0. Так, используя это правило для пускового реле электродвигателя можно получить матрицу

1 0 0 1 0 00 1 0 0 1 00 0 1 0 0 11 0 0 1 0 00 1 0 0 1 00 0 1 0 0 1

G

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Прим е р 3 . Гр афы л о -

к а л ьных с е т е й . Аналогичным образом определяется граф связности для информационной (например, ком-пьютерной) сети (рис.3).

Прим е р 4 . Матриц а

в р аще ния . На рис.4 пунктиром по-казан маршрут вертолёта, совершаю-щего разведывательный полёт над мо-рем. В точке O расположен крейсер. Положение вертолёта в данный мо-мент времени отмечено точкой 1O .

Вертолёт собирает и передаёт на крейсер информацию о большом количестве надводных и подводных

целей, обозначенных точками iM . При этом борто-вая аппаратура вертолёта сначала определяет коор-динаты всех целей (в том числе и самого крейсера) в системе координат 1O XY , движущейся вместе с вертолётом, а затем расчётным путём получает ко-ординаты этих же точек в системе координат O xy , перемещающейся вместе с крейсером. Порядок пе-ресчёта координат при переходе от одной декарто-вой прямоугольной системы ( 1O XY ) к другой (O xy ) проиллюстрирован на рис.5.

В курсе аналитической геометрии будет по-казано, что такой пересчёт удобнее всего произво-

дить при использовании квадратной матрицы второго или третьего порядка

cos sinsin cos

Uϕ ϕϕ ϕ

−⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

или 0

0

cos sinsin cos

0 0 1

xS y

ϕ ϕϕ ϕ

−⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

, элементы которых выражаются че-

рез тригонометрические функции угла поворота ϕ . Например, если преобразование системы координат сводится к одному только

повороту осей, то старые и новые значения координат точки на плоскости связаны со-отношениями

ϕ

O1O

x

y

( , )M x y

0x

0y

XY

Рисунок 3

к о м п ь ю т е р н а я с е т ь

1 2 3 1n − n...

Рисунок 5

Рисунок 4

O

x

y

1O

Y

X

1M2M

3M4M

5M

15

cos sinsin cos

x X Yy X Y

ϕ ϕϕ ϕ

= ⋅ − ⋅⎧⎨ = ⋅ + ⋅⎩

или cos sinsin cos

X x yY x y

ϕ ϕϕ ϕ

= ⋅ + ⋅⎧⎨ = − ⋅ + ⋅⎩

. (3)

Матрица U , элементы которой служат коэффициентами пересчёта координат по

формулам (3), называется матрицей вращения.

Прим е р 5 . Матриц а пр о в о д имо с т и . При составлении коммуника-ционной матрицы n - полюсника (смотри пример 2 ) мы ограничились только качест-венным анализом схемы, ответив на вопрос, есть электрическая связь между клеммами i и j , или такой связи нет. Гораздо больше информации о схеме содержит так назы-ваемая матрица проводимости.

Обозначим величину силы тока на i - той клемме iJ , а напряжение на этой же клемме – iU . Тогда, если все элементы схемы удовлетворяют основным законам элек-тростатики – закону Ома и закону Кирхгофа, то зависимость токов от напряжений бу-дет описываться равенствами следующего вида:

1 11 1 12 2 1

2 21 1 22 2 2

1 1 2 2

......

......

n n

n n

n n n n n n

J p U p U p UJ p U p U p U

J p U p U p U

= ⋅ + ⋅ + + ⋅⎧⎪ = ⋅ + ⋅ + + ⋅⎪⎨⎪⎪ = ⋅ + ⋅ + + ⋅⎩

.

Числа i jp имеют физическую размерность [1/ ]Ом и могут быть получены рас-

чётным или экспериментальным путём. Эти числа и образуют матрицу проводимости

i jP p⎡ ⎤= ⎣ ⎦ . Матрица P , так же как и коммуникационная матрица G , является квад-ратной матрицей n -го порядка. Если i -тая и j -тая клеммы не связаны между собой, то 0i jg = и 0i jp = , в остальных случаях 1i jg = , а i jp принимает некоторое вещест-венное (то есть, как правило, нецелое и в половине случаев - отрицательное) значение, определяющее влияние напряжения jU на силу тока iJ .

Прим е р 6 . Пол е з н а я ма т риц а . Приведём пример матрицы, элементы

которой представлены в виде алгебраических выражений. В алгебре при доказательстве некоторых теорем используется квадратная матрица n -го порядка

1 2 32 2 2 21 2 3

1 11 131 2

1 1 1 ... 1......

... ...... ... ......

n

n

n nn nn

a a a aC a a a a

a aa a − −− −

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

,

свойства которой изучал известный голландский математик Вандермонд.

При подстановке в эту матрицу конкретных значений параметров (например, 1 2 3 44; 3; 2; 5; 4n a a a a= = = = = − ) получается числовая матрица, каждый столбец кото-

рой составлен из возрастающих степеней ia :

16

1 1 1 13 2 5 49 4 25 1627 8 125 64

C

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟

−⎝ ⎠

.

Если матрица имеет очень большие размеры и/или включает в себя

группы элементов, которые можно объединить по некоторому общему для

них признаку, то вместо числовой матрицы используется специальная ал-

гебраическая конструкция, которая называется блочной матрицей. Прим е р 7 . Вир т у а л ь ные г р афы . Попробуйте представить, какие ги-

гантские размеры имел бы граф связности, составленный для городской телефонной сети, насчитывающей сотни тысяч абонентов (или для глобальной сети INTERNET, на-считывающей миллионы пользователей). Ясно, что при записи такой матрицы теле-фонные номера обязательно должны быть объединены в группы по признакам принад-лежности к одной АТС, к одному направлению на данной АТС и т.п., а электронные адреса пользователей – по признакам принадлежности к региональным сетям, местным сетям и т.д. Да и сам граф связности для сетей такого размера, даже если его удастся составить, практического значения иметь не будет. Для телефонной сети, например, важна загруженность линий между отдельными АТС; на основании этой информации принимаются решения о строительстве новых или перераспределении имеющихся ли-ний связи. При определении загруженности все элементы матрицы связности, отве-чающие выделенной группе телефонных номеров, объединяются.

Определение. Матрица, у которой все элементы являются матрицами

некоторых согласованных размеров, называется блочной, а элементы та-

кой матрицы называются блоками.

Согласование размеров означает, что все блоки, расположенные в

одной строке блочной матрицы, имеют одинаковое число строк, а в одном

столбце – одинаковое число столбцов. Число строк k и число столбцов l

блочной матрицы размера m n× образуют её формат (или блочный

ра змер ) k l× .

Параметры, определяющие формат и размер блочной матрицы A ,

связаны очевидными соотношениями:

;k m l n≤ ≤ .

Для сокращённой записи блочной матрицы используется обозначе-

17

ние i jA A⎡ ⎤= ⎣ ⎦ , где выражение i jA обозначает матрицу, расположенную в i -

той строке и j -том столбце блочной матрицы A .

Прим е р 8 . Матриц а в с е г д а д о лжна вы гля д е т ь кр а с и в о !

Матрицу S из рассмотренного выше прим е р а 4 при решении некоторых задач удобно представлять в виде следующей блочной матрицы

U F

SI

⎛ ⎞= ⎜ ⎟Θ⎝ ⎠

, где ( ) ( )0

0

cos sin; ; 0 0 ; 1

sin cosx

U F Iy

ϕ ϕϕ ϕ

− ⎛ ⎞⎛ ⎞= = Θ = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

Блоки, как показывает этот пример, могут быть составлены из элементов любого

типа – числовых констант, функций или алгебраических выражений.

Определение. Объединение элементов матрицы в блоки называется

группировкой, обратная операция – развёртыванием.

Целью группировки является уменьшение видимых р а змеров

матрицы и, как следствие, упрощение алгебраических действий, выпол-

няемых с ней. Для равенства двух блочных матриц A и B достаточно

выполнения равенства i j i jA B= для всех соответствующих блоков. Од-

нако одна и та же матрица может быть сгруппирована многими способами,

поэтому равные матрицы могут иметь блочные матрицы разных форматов.

Рассмотрим матрицу ( )0 1 1 1A = . У блочных матриц ( )A C D= и

( )B D C= , где ( )1 1C = , ( )1D = , форматы одинаковы, а соответствующие элементы

различны, более того, матрицы ( )A C D= и ( )F D D D= имеют даже разный формат, но все они, как блочные матрицы, являются результатом различной группи-ровки элементов одной и той же матрицы 0A .

Следовательно, для сравнения блочных матриц, имеющих несов-

падающие форматы или разные размеры соответствующих блоков, их

нужно предварительно развернуть.

Прим е р 9 . Матричные с к о б ки . Процедуры группировки и развёрты-

вания матриц во многом напоминают операции расстановки и раскрытия скобок в эле-ментарной алгебре. Проиллюстрируем это на следующем примере:

18

1 2 1 21 2 1 23 4 3 43 4 3 4

1 2 5 6 1 2 5 63 4 7 8 3 4 7 8

A AA B

⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎜ ⎟⎜ ⎟ = = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠

, где 1 2 5 6

;3 4 7 8

A B⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

.

Прим е р 1 0 . Пер е д а т о ч н а я ма т риц а . Для иллюстрации методов

группировки матрицы обратимся к ещё одному примеру из электротехники. На рис.6 схематически изображён так называемый 2 n⋅ - полюсник, имеющий n входных и n выходных клемм, связанных между собой посредством некоторой сложной и разветв-лённой электрической цепи. Если на входные клеммы подать постоянные напряжения, а к выходным клеммам подключить нагрузку, то через время во всех элементах цепи токи и напряжения установятся на некоторых постоянных уровнях. При этом в соот-ветствие с законами электростатики токи вых

iJ и напряжения выхiU в выходных клеммах

будут связаны с токами вхiJ и напряжениями вх

iU во входных клеммах зависимостями следующего вида:

1 11 1 1 11 1 1

1 1 1 1

1 11 1 1

... ...............................................................................

... ...

...

вых вх вх вх вхn n n n

вых вх вх вх вхn n nn n n nn n

вых вх вn n

J f J f J g U g U

J f J f J g U g U

U h J h J

= ⋅ + + ⋅ + ⋅ + + ⋅

= ⋅ + + ⋅ + ⋅ + + ⋅

= ⋅ + + ⋅ 11 1 1

1 1 1 1

.................................................................................

... ...

х вх вхn n

вых вх вх вх вхn n nn n n nn n

d U d U

U h J h J d U d U

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪ + ⋅ + + ⋅⎪⎪⎪

= ⋅ + + ⋅ + ⋅ + + ⋅⎪⎩

,(4)

где , , ,ij ij ij ijf g h d – некоторые постоянные коэффициен-ты, которые могут быть определены для данного 2 n⋅ - полюсника расчётным или экспериментальным путём.

Коэффициенты этих уравнений образуют квад-ратную матрицу S порядка 2 n⋅ , называемую передаточной матрицей 2 n⋅ - полюс-ника. Эта матрица обычно записывается и используется при инженерных расчётах электрических цепей в виде блочной матрицы, состоящей из четырёх квадратных бло-ков n - го порядка:

11 1 11 1

1 1

11 1 11 1

1 1

... ...... ... ... ... ... ...

... ...

... ...... ... ... ... ... ...

... ...

n n

n nn n nn

n n

n nn n nn

f f g g

f f g g F GS

h h d d H D

h h d d

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎛ ⎞

= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

,

где ; ; ;i j i j i j i jF f G g H h D d⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ . Прим е р 1 1 * (для будущих инженеров – электри-

ков). Матриц а и з т е н з о р е з и с т о р о в . Используя известные вам законы Ома и Кирхгофа, попытайтесь само-

...1 2 3 1n − n

1 2 3 1n − n...вход

выход

Рисунок 6

1R 2R

3R 4R

вход

выход1 2

21

Рисунок 7

19

стоятельно найти блоки передаточной матрицы для четырёхполюсника, показанного на рис.7 (тензометрический мост).

Указание. Рассмотрите отдельно следующие случаи: 1) все сопротивления одинаковые (то есть, , 1, 4iR R i= ∈ ); 2) сопротивления пропорциональные ( 1 2 3 4: :R R R R= ); 3) сопротивления непропорциональные ( 1 2 3 4: :R R R R≠ ). При помощи такой схемы, например, производится измерение механических

напряжений, возникающих в деталях механизмов и машин при их работе. Для этого в цепи в качестве сопротивлений iR используются тензорезисторы. Тензорезисторы на-клеиваются на поверхность детали и деформируются вместе с ней; при этом величина их электрического сопротивления изменяется пропорционально деформации. В резуль-тате происходит изменение передаточной матрицы S , которое фиксируется при помо-щи осциллографа.

Определение. Пусть у матрицы F размера m n× все элементы являются число-выми функциями некоторого независимого аргумента t . Тогда матрица F называется матрицей – функцией и обозначается ( )F t или ( )i jf t⎡ ⎤⎣ ⎦ .

При проведении измерений быстротекущих процессов передаточная матрица S тензометрического моста оказывается блочной матрицей – функцией ( )S t времени t .

Кроме числовых матриц в математике и её приложениях использу-

ются матрицы, элементами которых являются векторы, а также логиче-

ские и строчные переменные (литералы); с такими матрицами вы встре-

титесь при изучении векторной алгебры или в курсе информатики. В курсе

линейной алгебры изучаются свойства числовых матриц, поэтому далее в

этой книге под термином матрица будем подразумевать только число-

вые матрицы. Прим е р 1 2 . Матрицы и т е н з о ры . Среди матриц особое место зани-

мают квадратные матрицы, а также матрицы – векторы, поскольку именно они чаще других встречаются в приложениях математики к естественным и техническим наукам. Выше уже говорилось о том, что обычные числа (вещественные или комплексные) можно считать частным случаем квадратных матриц (первого порядка). В свою оче-

редь, квадратные матрицы являются частным случаем n - мерных таблиц (или число-вых массивов), называемых тензорами. Число измерений тензора называется его ва-лентностью, а длина гори-зонтального ряда – порядком. На рис. 8 схематически изо-бражены тензоры первой, вто-рой и третьей валентности,

111a 121a ... ...211a ...

...

11a 12a ... ...21a ... ...

...1a 2a ... ...

Рисунок 8

20

имеющие четвёртый порядок; тензоры первой и второй валентности являются матри-цами. Тензоры третьей валентности используются в прикладных задачах механики твёрдого тела, четвёртой валентности – в теории относительности и связанных с ней разделах теоретической физики.

§ 2. Частные виды матриц

Определение. Матрица, у которой все элементы равны нулю, назы-

вается нулевой. Такие матрицы обозначаются символом Θ .

Пусть задана квадратная матрица:

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

nnn n

a a a

a a aA

a a a

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜⎝ ⎠⎟

.

Элементы 11 22 33, , , , nna a a a… образуют главную диагональ, а элементы

1 2 1 1, , ,n n na a a− … образуют побочную диагональ матрицы A .

Определение. Квадратная матрица, у которой все элементы, распо-

ложенные вне главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.

Диагональная матрица порядка n имеет вид:

11

22

0 0

0 0

0 0 nn

d

dD

d

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠⎜ ⎟

.

Диагональная матрица представляет собой пример так называемой

разреженной матрицы.

Определение. Матрица называется разреженной, если в ней нуле-

вые элементы преобладают над ненулевыми элементами.

При записи разреженных матриц используются специальные приёмы

сжатия и кодирования информации, содержащейся в них. Так, для сокра-

щённой записи диагональной матрицы используется обозначение

11 22( , , ... , )nnD diag d d d= .

21

Определение. Диагональная матрица, у которой все элементы глав-

ной диагонали равны 1, называется единичной.

За единичными матрицами в математике закреплены постоянные

обозначения – I или E , то есть 1 0 0

0 1 0

0 0 1

I

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎜

или (1,1, ... ,1)E diag= .

Почему у единичной матрицы элементы, расположенные вне

главной диагонали, приняты равными нулю (а не е динице ) станет по-

нятно после определения правила умножения матриц.

Кроме диагональных матриц в математике и её приложениях широко

применяются так называемые k - диагональные и, особенно часто, трёх-

диагональные матрицы.

Определение. Квадратная матрица A n - го порядка называется

k - диагональной (где k – некоторое положительное н е ч ё т н о е чис-

ло), если

0ija = при условии ( 1) / 2i j k− > − .

Прим е р 1 3 . «Жел е з н о д о р ожные » к о л е б а ни я . На рис.9 схемати-

чески изображена простейшая динамическая модель цепной механической системы, состоящей из n масс im , связанных между собой пружинами с коэффициентами жёст-

кости ic . При помощи та-кой модели изучаются, на-пример, свободные про-дольные колебания, возни-кающие в железнодорож-ном составе при изменении скорости локомотива.

Составим матема-тическую модель цепной механической системы. Силы iF , возникающие в пружинах, будем предпо-лагать пропорциональны-Рисунок 9

nm 1nm − 1m2m3m

1x2x3x1nx −nx

22

ми деформации пружины, то есть 1( )i i i iF c x x+= ⋅ − .

Ускорения ia масс системы будем обозначать так, как это принято в механике,

то есть i ia x= , где знак « ⋅ » означает дифференцирование по времени. Тогда, в соот-ветствии со вторым законом Ньютона, уравнения движения масс системы примут вид

1 1 1 1 2

2 2 1 1 2 2 2 3

1 1 2 2 1 1 1

1 1

( )( ) ( )

.......................................( ) ( )

( )n n n n n n n n

n n n n n

m x c x xm x c x x c x x

m x c x x c x xm x c x x

− − − − − − −

− −

⋅ = − ⋅ −⎧⎪ ⋅ = ⋅ − − ⋅ −⎪⎪⎨⎪ ⋅ = ⋅ − − ⋅ −⎪

⋅ = ⋅ −⎪⎩

. (5)

Коэффициенты, стоящие при неизвестных величинах ix в правых частях этих

равенств, образуют матрицу жёсткости

1 1

1 1 2 2

2 2 3

2 1 1

1 1

0 ... 0 0... 0 0

0 ... 0 0......... ............ ........ ... ...... ......

0 0 0 ...0 0 0 ...

n n n

n n

c cc c c c

c c cC

c c cc c− − −

− −

−⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎜ ⎟− −

= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

.

Матрица C является трёхдиагональной квадратной матрицей n -го порядка. При

моделировании колебаний железнодорожного состава коэффициенты жёсткости у всех сцепок предполагаются одинаковыми (то есть, iс c= ), и матрица C приобретает более простой вид:

0 ... 0 02 ... 0 0

0 2 ... 0 0... ... ... ... ... ...0 0 0 ... 20 0 0 ...

c cc c c

c cC

c cc c

−⎛ ⎞⎜ ⎟− ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟− ⋅

= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

.

Трёхдиагональную структуру имеет и граф связности цепной системы (соста-

вить самостоятельно!). При 5n > трёхдиагональные матрицы считаются разреженны-ми.

Определение. Матрица, у которой равны нулю все элементы, распо-

ложенные под главной диагональю или над главной диагональю, называ-

ется соответственно, верхнетреугольной или нижнетреугольной.

23

Треугольные матрицы имеют вид

11 12 1

22 20

0 0

n

n

nn

a a a

a aA

a

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜⎝ ⎠⎟

или

11

21 22

1 2

0 0

0

nnn n

b

b bB

b b b

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠⎜ ⎟

.

В прикладных задачах треугольные матрицы коэффициентов имеют

только те системы, которые описывают устройства простейшего типа.

Прим е р 1 4 . Шнур - у д л ини т е л ь . Составим передаточную матрицу для простейшего четырёхполюсника, электрическая схема которого показана на рис.10. В соответствии с законами Ома и Кирхгофа выходные значения токов и напряжений определяются равенствами

1 1

2 2

1 1 1 1

2 2 2 2

вых вх

вых вх

вых вх вх

вых вх вх

J JJ J

U U R JU U R J

⎧ =⎪ =⎪⎨

= − ⋅⎪⎪ = − ⋅⎩

,

коэффициенты которых образуют передаточную матрицу

1

2

1 0 0 00 1 0 0

0 1 00 0 1

IS

R D IR

⎛ ⎞⎜ ⎟ Θ⎛ ⎞⎜ ⎟= = ⎜ ⎟⎜ ⎟− ⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

, где 1 2( , )D diag R R= − − .

Матрица S является нижнетреугольной.

Определение. Блочная матрица, состоящая из одной строки или од-

ного столбца, называется, соответственно, блочной вектор-строкой или

блочным вектор-столбцом.

Пусть задана квадратная блочная матрица:

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

nnn n

A A A

A A AA

A A A

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜⎝ ⎠⎟

, или в сокращённой записи i jA⎡ ⎤⎣ ⎦ .

Матрицы 11 22 33, , , , nnA A A A… образуют главную диагональ блочной матрицы A .

вход

выход

1R 2R

1 2

21

Рисунок 10

24

Определение. Квадратная блочная матрица, у которой блоки, распо-

ложенные на главной диагонали, являются квадратными матрицами, а вне

главной диагонали – нулевыми матрицами, называется блочно - диаго-

нальной (или клеточной).

Блочно – диагональная матрица D имеет следующий вид:

11

22

...

...... ... ... ...

... nn

DD

D

D

Θ Θ⎛ ⎞⎜ ⎟Θ Θ⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟Θ Θ⎝ ⎠

.

Для сокращённой записи блочно - диагональной матрицы D исполь-

зуется следующее обозначение:

11 22( , , ... , )nnD diag D D D= .

Так, единичная матрица E порядка 2 n⋅ может быть записана как

блочно – диагональная матрица ( , )E diag I I= , где I – единичная матрица n

- го порядка.

Если система имеет блочно - диагональную матрицу коэффициен-

тов, то это, как правило, означает, что она распадается на отдельные под-

системы, никак не связанные между собой. Прим е р 1 5 . Ра с п а д ме с т н о й с е т и . На рис.11 схематически изображе-на местная компьютерная сеть частного банка. Сеть хранит и передаёт конфиденциаль-ную информацию, поэтому она изолирована от глобальных сетей типа INTERNET, и включает в себя несколько локальных сетей подразделений и филиалов банка. Каждая локальная сеть имеет свой коммутационный узел (называемый сервером), который свя-зан с серверами других локальных сетей через центральный сервер, расположенный в главном офисе банка. При отключении центрального сервера или технических непо-ладках на спутнике связи все информационные обмены замыкаются внутри локальных сетей, и граф связности G местной сети приобретает вид блочно – диагональной мат-рицы

1

21 2

...

...( , , ... , )

... ... ... ......

n

n

GG

G diag G G G

G

Θ Θ⎛ ⎞⎜ ⎟Θ Θ⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟Θ Θ⎝ ⎠

,

где iG – графы связности локальных сетей.

25

Определение. Блочная матрица A с квадратными блоками i jA назы-

вается блочной k - диагональной (где k – некоторое положительное

н е ч ё т н о е число) или ленточной, если

i jA = Θ при условии ( 1) / 2i j k− > − .

Пример 16 . Цепная передача . В простейшей цепной механической сис-теме, рассматриваемой ранее в примере 13 , положение каждого элемента определя-лось только одной координатой – перемещением ix локомотива или вагона вдоль рель-сового пути. Железнодорожная сцепка устроена так, что остальные формы колебаний (в вертикальном и поперечном направлении, а также угловые) от вагона к вагону не пе-редаются. На рис. 12 изображён участок так называемой цепной передачи; такая пере-дача используется, например, в велосипедах и мотоциклах. Если колесо 1 является ве-

дущим, а колесо 2 – ведо-мым, то этот участок ока-зывается ненагруженным внешними силами, и в нём могут развиваться интенсивные свободные колебания (которые, кстати, и являются глав-ной причиной того, что

велосипедная цепь «слетает» с шестерни). Положение i - того звена цепи определяется 6-ю координатами: тремя перемещениями центра звена относительно осей , ,O x Oy Oz , двумя углами поворота оси звена в горизонтальной и вертикальной плоскости, а также углом разворота звена вокруг его оси (смотри рис. 12).

Satellite dish

Terminal server

локальныйсервер

Satellite dish

Terminal server

локальныйсервер

Satellite dish

Terminal server

локальныйсервер

Satellite dishцентральныйсервер

Satellite dish

Terminal server

локальныйсервер

Рисунок 11

Рисунок 12

12Ox

y

z

26

Пусть рассматриваемый горизонтальный участок цепи состоит из n звеньев. Перенумеруем координаты всех звеньев в следующем порядке: номера от 1 до 6 полу-чат координаты первого звена, номера от 7 до 12 – такие же координаты второго звена, и так далее. В результате каждая координата получит свой номер 1, (6 )i n∈ ⋅ ; обозначим её ix . Этой координате соответствует некоторый инерционный коэффициент – масса или момент инерции; обозначим его im .

Предположим, что все силы и моменты сил, возникающие в соединениях цепи, пропорциональны изменениям координат. Тогда изменение i - той координаты будет удовлетворять уравнению

6

1

n

i i i j jj

m x c x⋅

=

⋅ = ⋅∑ ,

где i jс – некоторые постоянные числа. Составим из этих чисел квадратную матрицу i jC c⎡ ⎤= ⎣ ⎦ размера (6 ) (6 )n n⋅ × ⋅ (так называемую матри-

цу коэффициентов жёсткости) и изучим её структуру. Представим эту матрицу в форме блочной матрицы

i jC C⎡ ⎤= ⎣ ⎦ с квадратными блоками i jC шестого порядка. Каждое звено цепи непосредственно связано только с дву-мя соседними звеньями – предыдущим и последующим; поэтому матрица C оказывается блочной трёхдиагональ-ной матрицей. Если прогибом цепи допустимо пренебречь

(то есть, пользуясь терминологией велосипедистов, она хорошо натянута), то колеба-ния по каждой из шести координат происходят независимо от других координат, и это означает, что все ненулевые блоки матрицы являются диагональными. Кроме того, по-скольку соединения звеньев также выполнены одинаково, то блоки 1i iC + и 1i iC + , рас-положенные симметрично относительно главной диагонали, одинаковы как между со-бой, так и для всех номеров i . Структура матрицы С для цепной передачи показана на рис. 13.

Пример 17 . Цилиндрическая пружина .

В пружине, фрагмент которой показан на рис. 14, положе-ние поперечного сечения проволоки так же, как и в цепной передаче, определяется 6-тью координатами, но здесь ось проволоки изогнута, поэтому колебания координат оказы-вают влияние друг на друга. Если представить пружину в виде объединения большого числа тонких колец, связан-ных между собой посредством упругого невесомого со-единения (в механике такие соединения называются иде-альными, смотри рис. 14), то мы получим ещё один при-мер цепной механической системы. Матрица C коэффи-циентов жёсткости этой системы также оказывается блочной трёхдиагональной матрицей, но здесь её ненуле-вые блоки не являются диагональными матрицами. Кроме того, блоки 1i iC + и 1i iC + , расположенные выше и ниже

главной диагонали, в этой системе не равны между собой, но связаны условиями сим-метрии, о которых будет сказано позже.

0

0Рисунок 13

xy

z

Рисунок 14

27

Определение. Квадратная блочная матрица, у которой блоки, распо-

ложенные на главной диагонали, являются квадратными матрицами, а под

главной диагональю или над главной диагональю – нулевыми матрицами,

называется соответственно, блочной верхнетреугольной или блочной

нижнетреугольной.

Блочные треугольные матрицы имеют вид

11 12 1

22 2

n

n

nn

A A A

A AA

A

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟Θ⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟Θ Θ ⎟⎜⎜⎝ ⎠⎟

или

11

21 22

1 2 nnn n

B

B BB

B B B

Θ Θ⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟Θ⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠⎜ ⎟

.

Прим е р 1 8 . Арме й с кий п о р я д о к . На рис. 15 изо-бражена схема управления сухопутными войсками во время веде-ния войны, принятая в настоящее время в большинстве крупных государств. Каждый уровень управления включает в себя опреде-лённое число командиров и начальников, подчинённость которых друг другу и должностным лицам вышестоящих уровней строго регламентируется уставами. Например, командир полка подчиняет-ся командиру своей дивизии и некоторым его заместителям (но не всем), командиру корпуса и большинству его заместителей, коман-диру армии и всем его заместителям и т.д. Если говорить языком математики, армейские начальники образуют частично упорядо-ченное множество. Разобраться во всей этой системе отношений помогает матрица субординации, которая строится следующим образом. Сначала составляется вектор – строка, в которой за каж-дым уровнем управления закрепляется столько элементов, сколько должностных лиц он содержит, причём размещение этих элемен-тов производится слева направо в порядке субординации уровней. В результате каждый командир или начальник в этой строке полу-чает свой номер. Далее составляется квадратная матрица, элементы

ija которой получают только одно из двух значений: 1 – если ко-мандир, имеющий i -тый номер подчиняется командиру, имеюще-му j -тый номер, или 0 – если не подчиняется. Поскольку команди-ров и начальников в армии много, то получающаяся при этом мат-рица субординации имеет очень большие размеры, и её удобно представлять в виде блочной матрицы i jG⎡ ⎤⎣ ⎦ , где блок i jG являет-ся матрицей субординации между i -тым и j -тым уровнями управ-ления. Командиры нижестоящих уровней управления не имеют право отдавать приказания должностным лицам вышестоящих

уровней, поэтому все блоки i jG при i j> являются нулевыми, и матрица субордина-ции оказывается блочной нижнетреугольной матрицей.

ставка Верховногоглавнокомандующего

штаб фронта

штаб армии

штаб корпуса

штаб дивизии

штаб полка

штаб батальйона

командир роты

и его заместители

командир взвода

и его заместитель

командир отделения

рядовой

Рисунок 15

28

В современной армии строго регламентируется не только порядок отдачи прика-заний, но и порядок информирования об их выполнении. Вспомните известную сцену из кинофильма режиссёра Юрия Озерова “Последний штурм”, где показано, как “шёл” к Сталину доклад о взятии Рейхстага. Доклады и рапорты подаются по команде от ни-жестоящих уровней управления к вышестоящим, и эти информационные обмены опи-сываются так называемой матрицей донесений, которая, как несложно это понять, оказывается блочной верхнетреугольной. Матрицы субординации и донесений пред-ставляют собой примеры ориентированных графов. Прим е р 1 9 . «Гл а вн а я ма т риц а » у ни в е р с и т е т а . Попробуйте са-мостоятельно составить матрицу субординации для университета, в котором вы учи-тесь. За недостающей информацией можно обратиться к куратору группы.

§ 3. Основные действия над матрицами

Умножение матрицы на число .

Определение. Результатом умножения матрицы A на число λ

называется матрица C того же размера, что и матрица A , с элементами

ij ijc aλ= ⋅ .

Результат умножения обозначается следующим образом: C = Aλ ⋅ .

Из определения следует простое правило умножения мат -

рицы на число .

Чтобы умножить матрицу A на число λ , нужно умно -

жить на λ все элементы матрицы A , то есть

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

def

mnm m

a a a

a a aC A

a a a

λ λ λ

λ λ λλ

λ λ λ

⋅ ⋅ ⋅⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟= ⋅ = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⋅ ⋅ ⋅ ⎟⎟⎜⎝ ⎠⎜ ⎟

.

Знак « def » означает, что данное равенство является определением.

Следствие. Если матрица A является блочной матрицей i jA⎡ ⎤⎣ ⎦ , то

для её умножения на число λ достаточно каждый блок i jA умножить на

λ :

29

i j i jA Aλ λ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⋅ = ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ .

Определение. Матрица ( )( ) 1def

A A− = − ⋅ называется противополож-

ной матрице A .

Сложение и вычитание матриц .

Определение. Суммой двух матриц A и B одинакового размера на-

зывается матрица C того же размера, элементы которой равны сумме со-

ответствующих элементов матриц A и B , то есть ij ij ijc a b= + .

Сумма двух матриц обозначается следующим образом: C A B= + .

Из определения следует простое правило сложения двух

матриц .

Чтобы сложить две матрицы нужно убедиться , что они

имеют одинаковые размеры , после чего к каждому элементу

одной матрицы прибавляется значение соответствующего

элемента второй матрицы .

Пусть

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

mnm m

a a a

a a aA

a a a

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜⎝ ⎠⎟

;

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

mnm m

b b b

b b bB

b b b

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠⎜ ⎟

,

тогда

11 11 12 12 1 1

21 21 22 22 2 2

1 1 2 2

n n

n n

def

mn mnm m m m

a b a b a b

a b a b a bC A B

a b a b a b

+ + +⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+ + +⎜ ⎟⎜ ⎟= + = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ + + + ⎟⎟⎜⎝ ⎠⎜ ⎟

.

Следствие. Если матрицыA и B являются блочными и их соответст-

вующие блоки i jA и i jB имеют одинаковые размеры, то для сложения этих

матриц достаточно к блокам одной матрицы прибавить соответствующие

30

блоки другой матрицы:

i j i j i j i jA B A B⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ = +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ .

Примечание. Если матрицы имеют разные размеры, то операция их

сложения выполнена быть не может и объявляется некорректной. Воз-

никновение такой ситуации в прикладных задачах означает наличие гру-

бых ошибок в их математической постановке, аналогичных попыткам

суммирования величин, имеющих разную физическую размерность.

Прим е р 2 0 . Пусть 3 2 0

1 2 3A

−⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟− ⎟⎜⎝ ⎠,

4 0 3

2 7 1B

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟− ⎟⎜⎝ ⎠.

Вычислить 4 3A B⋅ + ⋅ .

Решение. Матрицы A и B имеют одинаковые размеры, поэтому операция их суммирования корректна.

Вычислим: 12 8 0

44 8 12

A−⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⋅ = ⎜ ⎟⎜ ⎟− ⎟⎜⎝ ⎠

, 12 0 9

36 21 3

B⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⋅ = ⎜ ⎟⎜ ⎟− ⎟⎜⎝ ⎠

,

Ответ. 24 8 9

4 32 29 9

A B−⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⋅ + ⋅ = ⎜ ⎟⎜ ⎟− − ⎟⎜⎝ ⎠

.

Определение. Умножение матрицы на число и сложение матриц на-

зываются линейными операциями над матрицами.

Приведём свойства линейных операций. Непосредственно из их оп-

ределения вытекают следующие соотношения:

1.A B B A+ = + ; 5. ( ) ( )A Aα β α β⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ;

2. ( ) ( )A B C A B C+ + = + + ; 6. ( ) A A Aα β α β+ ⋅ = ⋅ + ⋅ ;

3. ( )A A+ − = Θ ; 7. ( )A B A Bλ λ λ⋅ + = ⋅ + ⋅ ;

4. A A+Θ = ; 8. 1 A A⋅ = ,

где , ,A B C – матрицы одинакового размера; , ,α β λ – числа.

Определение. Разностью двух матриц A и B одинакового размера

(или результатом вычитания матрицы B из матрицы A) называется

матрица C того же размера, которая обозначается A B− и определяется по

следующему правилу:

31

( )1def

C A B A B= − = + − ⋅ .

Прим е р 2 1 * . Матричны е о к р е с т н о с т и . Имея операции сложения и вычитания матриц, а также умножения матрицы на число, можно дать разумные и, главное, полезные для практики определения предела и непрерывности матрицы – функции. При этом ключевое место занимает понятие окрестности. Именно попада-ние изменяющейся величины ( )X t в некоторую малую окрестность постоянной вели-чины 0X означает, что эти величины уже близки, а в пределе первая величина может совпасть со второй. Вы уже знаете, что такое окрестность обычного вещественного числа. Покажем, каким образом вводится понятие окрестности матрицы.

Определение. ε - окрестностью матрицы i jA a⎡ ⎤= ⎣ ⎦ размера m n× называется

множество εM , состоящее из матриц i jB b⎡ ⎤= ⎣ ⎦ того же размера, элементы которых удовлетворяют условию

2 2

1 1( )

m n

i j i ji j

a b ε= =

− <∑∑ .

Матрица A называется центром окрестности, а число ε - радиусом окрест-ности. Проколотой ε - окрестностью матрицы A называется множество εM , из которого удалён центр. Все матрицы B из проколотой ε - окрестности мат-рицы A при достаточно малых значениях ε называ-ются близкими к матрице A .

На рис. 16 дано графическое представление матричной окрестности для вектор - строки A , со-стоящей из одного, двух или трёх элементов. Элемен-ты i jb матрицы B , принадлежащей этому множеству, лежат внутри отрезка, окружности или сферы радиу-сом ε . К сожалению, дать геометрическое изображе-ние окрестности квадратной матрицы, даже второго порядка, не возможно. Но если воспользоваться тер-минологией многомерных линейных пространств, ко-торые мы будем изучать в этом курсе позже, то можно утверждать, что матричная ε - окрестность матрицы A размера m n× представляет собой шар радиуса ε с числом измерений m n⋅ .

Каждая матрица B из множества εM входит в это множество вместе с некоторой своей δ - окрест-ностью δM , где δ ε< . Поэтому матричная окрест-ность (проколотая или не проколотая) является от-крытым множеством.

Математики говорят, что после построения в некотором множестве системы окрестностей это мно-

жество становится топологическим, сама эта система окрестностей называется при этом топологией. Поэтому после введения понятия матричной окрестности множество матриц одного размера стало топологическим. Если матрица B попадает в ε - окрест-ность матрицы A , то это эквивалентно тому, что матрица B A− попадает в ε - окрест-

11a

11b2 ε⋅

11b

ε12b

11a

12a

11b

12b11a

12a

13a13b

ε

O

O

O

1 1×

1 2×

1 3×

Рисунок 16

32

ность нулевой матрицы Θ . Это означает, что любую матричную окрестность можно трактовать как результат переноса окрестности нулевой матрицы Θ в новый центр. Топологии, обладающие таким свойством, называются однородными.

Переходим к определению понятия предела. Пусть в некоторой окрестности точки a определена матрица-функция ( )F t раз-

мера m n× . Найдём разность между матрицами ( )F a t+ Δ и ( )F a , которую обозначим FΔ ; ясно, что эта матрица будет определять изменение матрицы-функции ( )F t в дан-

ной точке.

Определение. Матрица-функция ( ) ( ) ( )F t F t F aΔ = − называется приращением матрицы-функции ( )F t в точке t a= .

В качестве примера найдём приращение матрицы вращения cos sin

( )sin cos

Uϕ ϕ

ϕϕ ϕ

−⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

в точке 0ϕ = . Изменение независимого аргумента ϕ в этом

случае будем обозначать ϕΔ :

cos sin 1 0 cos 1 sin( ) ( ) (0)

sin cos 0 1 sin cos 1U U U

ϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕΔ − Δ Δ − − Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

Δ Δ = Δ − = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟Δ Δ Δ Δ −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠.

Первое определение предела. Матрица A называется пределом матрицы-

функции ( )F t при t a→ и обозначается lim ( )t a

F t→

, если

lim ( )i j i jt af t a

→= для всех 1, ; 1,i m j n∈ ∈ .

В краткой записи это определение выглядит так:

lim ( ) lim ( )i j i jt a t af t f t

→ →⎡ ⎤⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ,

то есть пр е д е л ма т рицы р а в е н ма т риц е пр е д е л о в . Например, пределом матрицы вращения ( )U ϕ при 0ϕ → является единичная

матрица 1 00 1

I ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

, а пределом её приращения ( )U ϕΔ Δ при 0ϕΔ → – нулевая матри-

ца Θ . Вам предоставляется возможность внимательно проанализировать определение

предела и убедиться в том, что оно эквивалентно другому, так называемому топологи-ческому определению предела матрицы-функции.

Второе определение предела. Матрица A на-

зывается пределом матрицы-функции ( )F t при t a→ , если для любой проколотой ε - окрестности матрицы A существует такая проколотая δ - окрест-ность точки a , что при всех значениях t из этой δ - окрестности матрица ( )F t попадает в ε - окрестность.

Нельзя не согласиться с тем, что топологиче-ское определение предела выглядит очень красиво. Кроме того, оно не только разумно, но и понятно. По-

M

11b

12b

11a

12a

t →

O

Рисунок 17

33

смотрите на рис. 17, где показано изменение элементов некоторой матрицы – функции ( )F t размера 1 2× . Для любой, сколь угодно малой окружности с центом в точке

11 12( , )M a a найдётся такой промежуток ( , )a aδ δ− + , что при всех t из этого проме-жутка (кроме, возможно, значения t a= , где матрица-функция может быть вообще не задана) кривая находится внутри этой окружности. Однако, на практике всё же удобнее пользоваться первым, так называемым поэлементным определением предела матри-цы-функции.

Определение. Матрица-функция ( )F t называется непрерывной при t a= ,

если все её элементы ( )i jf t непрерывны при t a= , то есть lim ( ) ( )i j i jt af t f a

→⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎣ ⎦ ⎣ ⎦ .

Непрерывность матрицы -функции ( )F t при t a= эквивалентна выполнению условия lim ( )

t aF t

→Δ = Θ .

Например, матрица вращения ( )U ϕ непрерывна при любом значении ϕ . Мат-рица S пересчёта координат целей (пример 4 про разведывательный вертолёт) и пе-редаточная матрица S тензометрического моста (пример 11 ) являются непрерыв-ными функциями времени t .

Коммутационные матрицы G электрической цепи или информационной сети не являются непрерывными, поскольку в отдельные моменты времени элементы этих мат-риц изменяются скачком. Это примеры кусочно–постоянных разрывных матриц-функций.

Умножение матриц .

Определение. Пусть заданы две матрицы A и B , причём число

столбцов первой из них равно числу строк второй:

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

mnm m

a a a

a a aA

a a a

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜⎝ ⎠⎟

;

11 12 1

21 22 2

1 2

k

k

n n nk

b b b

b b bB

b b b

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠⎜ ⎟

.

Произведением матрицы A на матрицу B называется матрица

11 12 1

21 22 2

1 2

k

k

m m mk

c c c

c c cC

c c c

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜⎝ ⎠⎟

,

где 1 1 2 21

n

ij in nj ip pji j i jdef p

c a b a b a b a b=

= + + + = ∑ ( )1,2, , ; 1,2, ,i m j k= =… … .

Матрица C имеет размер m k× . Для обозначения результата произ-

ведения матрицы A на матрицу B используют запись C A B= ⋅ .

34

Примечание. При записи этих сумм многие физики, следуя примеру

А. Эйнштейна, сам знак суммирования Σ не пишут, договорившись под

произведением i p p ja b⋅ понимать результат суммирования всех таких

произведений, получающихся при изменении повторяющегося индекса

(в данном случае индекса p ).

В обозначениях Эйнштейна результат перемножения матриц выгля-

дит так:

1 1 1 2 111 12 1 11 12 1

2 1 2 2 221 22 2 21 22 2

1 21 2 1 2

...... ...

...... ...... ... ... ...... ... ... ... ... ... ... ...

... ...

p p p p p pkn k

p p p p p pkn k

mp p mp pm m mn n n nk

a b a b a ba a a b b ba b a b a ba a a b b b

a b a ba a a b b b

⋅ ⋅ ⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⋅ ⋅⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ... mp pka b

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⋅⎝ ⎠

,

или в сокращённой записи:

i j i j i p p ja b a b⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⋅ = ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ .

Из определения результата умножения матрицы на матрицу следует

п р а в и л о перемножения двух матриц . Сформулируем его.

Для умножения матрицы A размера m n× на матрицу B размера l k×

необходимо выполнить следующее.

1. Разместить эти матрицы на одном листе бумаги рядом одну от

другой в заданном порядке.

2. Убедиться в том, что число столбцов матрицы A равно числу

строк матрицы B , то есть n l= и операция корректна.

3. Выбрать некоторую ( i -тую) строку первой матрицы и некоторый

( j -тый) столбец второй матрицы; если операция перемножения корректна,

то они содержат одинаковое число элементов.

4. Двигаясь с одинаковой скоростью по выбранной строке слева на-

право и, одновременно, по выбранному столбцу сверху вниз, считывать и

перемножать соответствующие элементы строки и столбца.

35

5. Все полученные произведения сложить и результат – элемент ijc –

поместить в i -тую строку и j -тый столбец матрицы C .

6. Пункты 3, 4, 5 повторить для каждого 1,i m∈ и каждого 1,j k∈ .

Примечание. Если для перемножаемых матриц условие n l= не со-

блюдается, то операция не может быть выполнена и является некоррект-

ной. В прикладных задачах это означает, что при математической поста-

новке или в ходе решения были допущены грубые ошибки.

Прим е р 2 2 . Вычислить C A B= ⋅ ,

где

3 2 1 3 2

4 0 5 , 4 1

7 2 1 5 6

A B

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟= =⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜− ⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

Решение. 3 3 2 4 1 5 3 2 2 1 1 6 6 2

4 3 0 4 5 5 2 4 0 1 5 6 37 22

7 3 2 4 1 5 7 2 2 1 1 6 18 10

C A B

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ −⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟= ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ =⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ −⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

Ответ: 6 2

37 2218 10

C−⎛ ⎞

⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

.

Замечание. Сформулированное выше правило перемножения матриц

не является тривиальным обобщением правила перемножения обычных

чисел, к тому же выглядит очень сложным и поэтому требует обоснования.

Казалось бы, куда более логичным и, главное, простым делом было бы пе-

ремножать одинаковые элементы матриц, по аналогии с правилом их сло-

жения. Получаемая при этом матричная арифметика была бы действи-

тельно очень простой, но для решения большинства практических задач

совершенно б е с п о л е з н о й !

Проиллюстрируем это утверждение примерами.

36

Прим е р 2 3 . Матричн о е у р а в н е н и е с и с т емы . Вернёмся к решени-ям систем линейных уравнений, рассматриваемых в прим е р е 1 , и покажем, каким образом эти системы можно записать в виде одного уравнения, содержащего матрич-ные коэффициенты.

Рассмотрим систему (1) 2 0

0x yx y+ ⋅ =⎧

⎨ − =⎩,

из коэффициентов которой можно образовать квадратную матрицу 1 21 1

A ⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

,

а из неизвестных – вектор - столбец x

Xy

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

или вектор - строку ( )Y x y= .

В левых частях уравнений (1) содержатся произведения элементов матриц A и

X или Y , поэтому для достижения поставленной цели попробуем перемножить эти матрицы во всех допустимых сочетаниях:

1 2 21 1

x x yA X

y x y+ ⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⋅ = ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠; X A⋅ – операция не корректна;

A Y⋅ – операция не корректна; ( ) ( )1 2

21 1

Y A x y x y x y⎛ ⎞⋅ = ⋅ = + ⋅ −⎜ ⎟−⎝ ⎠

.

Анализируя получившиеся результаты, несложно заметить, что уравнение

A X⋅ = Θ , где 00⎛ ⎞

Θ = ⎜ ⎟⎝ ⎠

(6)

эквивалентно системе однородных линейных уравнений (1). Равенство, содержащее неизвестную матрицу, называется матричным уравне-нием. Запишем матричное уравнение, эквивалентное системе неоднородных линейных уравнений (2)

0.1 0.7 1.62 3 0.5 0.50.1 2 0.9

x y zx y z

x y z

− ⋅ + ⋅ =⎧⎪− ⋅ + ⋅ − ⋅ =⎨⎪ ⋅ + − ⋅ = −⎩

.

В этом случае мы можем воспользоваться опытом решения предыдущей задачи

и действовать наверняка. Составим матрицу A из коэффициентов при неизвестных величинах, вектор -

столбец X из этих неизвестных и перемножим их:

1 0.1 0.72 3 0.5 ;

0.1 1 2

xA X y

z

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 0.1 0.7 0.1 0.72 3 0.5 2 3 0.5

0.1 1 2 0.1 2

x x y zA X y x y z

z x y z

− − ⋅ + ⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⇒ ⋅ = − − ⋅ = − ⋅ + ⋅ − ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⋅ + − ⋅⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

Сравнивая этот результат с уравнениями системы (2) замечаем, что система мо-

жет быть переписана в следующем эквивалентном виде:

A X F⋅ = , (7)

37

где 1.60.50.9

F⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

– так называемый столбец правых частей.

Матричные уравнения вида (6) или (7) могут быть составлены для систем, со-держащих любое число уравнений и неизвестных. Единообразие записи всех этих сис-тем позволяет, как вы увидите это в дальнейшем, предложить универсальные методы их решения.

Прим е р 2 4 . Матриц а д л я т о р п е д о н о с ц а . Продолжим анализ, нача-

тый в примере 4, и покажем, как изменяются матрицы пересчёта координат точки плоскости при последовательных преобразованиях системы координат. На театре бое-вых действий кроме вертолёта и крейсера (рис.4) появился ещё и самолёт - торпедоно-

сец (рис.18). Ему и предназначена та информация о целях, которую собирает вертолёт и передаёт на крейсер. Даль-ше все координаты должны быть снова пересчитаны применительно к системе координат, движущейся вместе с само-лётом. Если целей много, то для уско-рения этого процесса и уменьшения возникающих погрешностей вместо двух пересчётов можно делать только один, но для этого предварительно нужно вычислить матрицу из коэффи-циентов, используемых при этом пере-счёте ( ма т риц у д л я т о р п е д о -н о с ц а ). Чтобы не утомлять вас тех-ническими подробностями, далее мы ограничимся только тем случаем, когда вертолёт, крейсер и торпедоносец на-ходятся над одной точкой поверхности

моря, но движутся разными курсами. С точки зрения математики это означает, что из-менение системы координат связано только с поворотом осей координат вокруг точки O .

Пусть выполнены два поворота осей на углы α и β , соответственно (рис.19). Каждому повороту соответствуют свои формулы пересчёта координат:

11 12

21 22

x a X a Yy a X a Y= ⋅ + ⋅⎧

⎨ = ⋅ + ⋅⎩, где 11 12

21 22

cos sinsin cos

a aA

a aα αα α

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠ (8)

11 12

21 22

X b X b Y

Y b X b Y

⎧ = ⋅ + ⋅⎪⎨

= ⋅ + ⋅⎪⎩, где 11 12

21 22

cos sinsin cos

b bB

b bβ ββ β

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠ (9).

Используя те же методы, которые применялись в прим е р е 2 3 , эти формулы можно записать в виде матричных уравнений

x X

Ay Y

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (10) и

X XB

Y Y

⎛ ⎞⎛ ⎞= ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

. (11)

Подставим формулы (9) в равенства (8):

Ox y

1O

Y

X

1M2M

3M4M

5M

X

Y

2O

Рисунок 18

38

11 11 12 12 21 22 11 11 12 21 11 12 12 22

21 11 12 22 21 22 21 11 22 21 21 12 22 22

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

x a b X b Y a b X b Y a b a b X a b a b Y

y a b X b Y a b X b Y a b a b X a b a b Y

⎧ = ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅⎪⎨

= ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅⎪⎩.

Полученные соотношения можно переписать так:

11 12

21 22

x c X c Y

y c X c Y

⎧ = ⋅ + ⋅⎪⎨

= ⋅ + ⋅⎪⎩, где 11 12 11 11 12 21 11 12 12 22

21 22 21 11 22 21 21 12 22 22

c c a b a b a b a bC

c c a b a b a b a b⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅⎝ ⎠ ⎝ ⎠. (12)

Вам ничего не напомнили формулы (12)? Если вы ещё сами об этом не догада-лись, то попробуйте умножить матрицу A на матрицу B по сформулированному выше правилу, и вы получите матрицу C . Теперь выполним подстановку в матричных равенствах (10) и (11):

( )x X X X

A A B Cy Y Y Y

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

Следовательно, матрица пересчёта координат для результирующего преоб-разования равна произведению матриц отдельных преобразований

C A B= ⋅ , (13) причём перемножение матриц выполняется по сформулированному выше п р а в и л у .

Формула (13) была получена для произвольных матриц A и B , а значит, спра-ведлива для любых преобразований координат; тем не менее, имеет смысл убедиться в этом ещё раз на примере последовательного поворота осей. В этом случае произведе-ние матриц A и B имеет следующий вид:

cos sin cos sin (cos cos sin sin ) ( cos sin sin cos )sin cos sin cos (cos sin sin cos ) (cos cos sin sin )

A Bα α β β α β α β α β α βα α β β α β α β α β α β

− − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ = ⋅ = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

cos( ) sin( )sin( ) cos( )

α β α βα β α β+ − +⎛ ⎞

= ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠.

Полученный результат на самом деле отно-сится к разряду очевидных, поскольку два последо-вательных поворота осей на углы α и β можно действительно заменить одним поворотом на сум-марный угол γ α β= + (рис.19).

Прим е р 2 5 * . Диффе р е н ци а л ь н о е

ма т ричн о е у р а в н е ни е . Получим матричное уравнение для цепной механической системы, рас-сматриваемой в прим е р е 1 3 . Для этого сначала составим из масс im , а также координат ix и уско-

рений ix , диагональную матрицу n - го порядка

1 2( , , ... , )nM diag m m m= и два вектора - столбца высотой n :

1

...

n

xX

x

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

и 1

...

n

xY

x

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

.

После этого, используя трёхдиагональную матрицу коэффициентов C и правило ум-ножения матриц, соотношения (5) можно записать в следующем эквивалентном виде:

O x

y

( , )M x y

αβ X

X

Y

Y

Рисунок 19

39

M Y C X⋅ = ⋅ . (14) Матричное уравнение (14) содержит два неизвестных вектора – столбца - X и Y . Покажем, что вектор-столбец Y , составленный из вторых производных, на самом деле является второй производной вектор - столбца X . Для этого мы долж-ны сформулировать определение производной матрицы-функции.

Пусть в некоторой окрестности точки a определена и непрерывна матрица-функция ( )F t размера m n× . По аналогии с определением производной числовой функции, составим следующее выражение из приращений матрицы-функции и её аргу-мента:

( )1 [ ( )]F a t F at⋅ + Δ −

Δ.

Если переменная t обозначает время, то данное выражение при малых значени-ях 0tΔ → характеризует скорость изменения матрицы-функции в момент времени t a= . Вычислим предел этого выражения при 0tΔ → :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) '

0 0 0

1 1lim [ ( )] lim [ ] [lim ] [ ( )]i j i ji j i j i jt t t

f a t f aF a t F a f a t f a f a

t t tΔ → Δ → Δ →

+Δ −⋅ +Δ − = ⋅ +Δ − = =

Δ Δ Δ,

в предположении, что все производные ' ( )i jf a существуют. Определение. Матрица-функция ( )F t называется дифференцируемой при

t a= , если все её элементы дифференцируемы при t a= . Матрица, составленная из производных ' ( )i jf t элементов матрицы-функции ( )F t , называется производной этой

матрицы - функции и обозначается ' ( )F t . В краткой записи эти определения выглядят так:

' '( ) ( )i jdefF t f t⎡ ⎤= ⎣ ⎦ ,

т. е. производная от матрицы равна матрице из производных , и на-оборот, матрица из производных равна производной от матрицы .

Например, ' ' '

'' '

cos sin sin cos(cos ) ( sin )( )

sin cos cos sin(sin ) (cos )U

ϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕϕ

ϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ− − −⎛ ⎞−⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠.

Аналогичное пра-вило справедливо для про-изводной любого порядка, поэтому вместо вектора – столбца Y мы имеем право записать вторую произ-водную от вектора – столбца X , то есть X . В результате такой замены уравнение (14) принимает следующий вид:

M X C X⋅ = ⋅ . (15) Матричное уравне-ние (15) содержит произ-водные и поэтому называ-ется дифференциальным матричным уравнением; с методами решения таких уравнений вы познакоми-

""Франкфурт

" ",Шарль де ГолльПариж

" ",Гетвик Лондон

КиевБорисполь ,""

МоскваоШереметьев ,""

ЛондонХитроу ,""

""Франкфурт

" ",Орли Париж

2 1 4ЧикагоХараО ,"'"

1G

2GМатрица

Матрица

10

21

11

2G 1G

Рисунок 20

40

тесь в нашем курсе высшей математики примерно через год. Тем не менее, сравнивая систему соотношений (5) с лаконичной формой уравнения (15), можно уже сейчас со-гласиться с тем, что использование матриц вообще, а сформулированного п р а в и л а их перемножения - в особенности, и в этом случае оказалось полезным. Прим е р 2 6 . Пол ё т в Чик а г о . На этом примере мы намерены объяснить вам, какую пользу можно извлечь из перемножения графов. Предположим, что вам нужно срочно вылететь из Харькова в Чикаго, но в ближайшие 48 часов прямых рейсов из Киева и Москвы в расписании нет. Учитывая стоимость билетов и условия оформ-ления транзитных виз, вы решили лететь с пересадкой в Лондоне, Париже или Франк-фурте - на - Майне. Схема перелёта показана на рис.20. Там же в матричном виде при-ведена информация о числе рейсов между указанными аэропортами на следующие ка-лендарные сутки, причём для аэропортов транзита учтены только те рейсы, которые хорошо стыкуются с временем прилёта самолета. Перемножим матрицы:

( ) ( )2 1

1 12 1 4 0 1 6 11

1 2G G G

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⋅ = ⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Что означает полученный результат? Элементы матрицы G в точности равны (в чём вы можете убедиться самостоятельно) числу маршрутов между Харьковом и Чика-го, проходящих, соответственно, через Киев и через Москву. Сравнение этих элементов показывает, что если билет ещё не куплен, то вернее будет ехать в Москву, а не в Киев. Разумеется, с этой задачей каждый из вас легко справился бы без использования матриц. Но, как показывает этот пример, в сходных, но технически более сложных си-туациях, именно матрицы помогут сделать правильный выбор.

§ 4. Правила умножения для матриц частного вида

Сформулируем несколько правил, упрощающих вычисление произ-

ведения матриц для тех случаев, когда в число сомножителей входят мат-

рицы рассмотренных выше частных видов. Во всех случаях предполагает-

ся, что операция умножения является корректной.

1 . Правило умножения диагональных матриц .

В результате умно-

жения двух диагональных

матриц A и B получается

диагональная матрица C

(рис. 21), причём диаго-

нальные элементы произ-

00

00

00

Рисунок 21

41

ведения равны произведению диагональных элементов сомножителей:

11 22 11 22 11 11 22 22( , , ... , ) ( , , ... , ) ( , , ... , )nn nn nn nndiag a a a diag b b b diag a b a b a b⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ .

2. Правила умножения матрицы на диагональную .

Правило А. Результат умножения диагональной матрицы D на мат-

рицу A сводится к умножению каждой i - той строки матрицы A на диа-

гональный элемент i id матрицы D :

11 1 11 11 11 1

11 22

1 1

... ...( , , ... , ) ... ... ... ... ... ...

... ...

m m

nn

n nm nn n nn nm

a a d a d adiag d d d

a a d a d a

⋅ ⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ ⋅⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

Правило Б. Результат умножения матрицы A на диагональную мат-

рицу D сводится к умножению каждого i - того столбца матрицы A на

диагональный элемент i id матрицы D :

11 1 11 11 1

11 22

1 11 1

... ...... ... ... ( , , ... , ) ... ... ...

... ...

m nn m

nn

n nm n nn nm

a a d a d adiag d d d

a a d a d a

⋅ ⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ ⋅⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

Следствие. В резуль-

тате умножения матрицы A

на единичную матрицу I

слева или справа получается

матрица A :

I A A⋅ = или A I A⋅ = .

Этот результат объясняет,

почему матрица (1,1,... ,1)I diag=

была названа е динич -

ной .

000

0

0

0

00 0

0

0

0

Рисунок 22

42

3 . Правила умножения ра зр еженных матриц .

В результате умножение k - диагональной матрицы A на l - диаго-

нальную матрицу B получается r - диагональная матрица C , где

1r k l= + − .

В частности:

при умножении диагональ-

ной матрицы A на трёхдиа-

гональную матрицу B по-

лучается трёхдиагональная

матрица C (рис. 22);

при умножении трёхдиагональной матрицы A на трёхдиагональную мат-

рицу B получается пятидиагональная матрица C (рис. 23), и так далее.

4. Правила умножения тр еугольных матриц .

Правило А. В результате

перемножения двух нижне-

треугольных матриц A и B

получается нижнетреуголь-

ная матрица C (рис.24).

Правило Б. В результате

перемножения двух верх-

нетреугольных матриц A

и B получается верхне-

треугольная матрица C

(рис.25).

Примечание. Результат умножения нижнетреугольной и верхнетреугольной матриц не является треугольной матрицей (рис.26). Более того, абсолютное большин-

0

0

0

0 0

0

0 0 0

0 0 0

Рисунок 23

Рисунок 24

Рисунок 25

43

ство квадратных матриц может быть получено как результат такого умножения. Усло-вия, при выполнении которых квадратная матрица может быть представлена в виде произведения треугольных матриц, изучались великим немецким математиком Карлом Гауссом, и поэтому в его честь такое представление матрицы называется гауссовым представлением. Формулировка соответствующей теоремы о гауссовом пред -ставлении матрицы будет приведена позже, когда вы познакомитесь с необхо-димой для этого терминологией. Но уже сейчас можно сформулировать следствие из этой теоремы.

В любой, сколь угодно малой ε - окрестности квадратной матрицы С най-дутся такие матрицы D , которые могут быть представлены в виде произведений

D А B= ⋅ и D F G= ⋅ ,

где ,A G – некоторые нижнетреугольные, а ,B F – некоторые верхнетреугольные матрицы, причём эти матрицы D образуют открытое множество.

Приведенная выше форму-лировка содержит два утвержде-ния. Во – первых, любая квадрат-ная матрица может быть с любой степенью точности приближена произведением двух треугольных матриц. Во – вторых, если неко-торая квадратная матрица может быть представлена в виде произ-ведения двух треугольных мат-риц, то в таком же виде могут быть представлены все близкие к ней матрицы.

Доказательство этого след-ствия, как и самой теоремы о га-уссовом представлении матрицы,

в нашем курсе приводится позже. Но вы уже сейчас без особого труда сможете прове-рить это утверждения для матриц второго порядка. Кстати, для тех, кто поленится это сделать самостоятельно, укажем так называемый контр пример , который не позво-ляет обобщить эту теорему на все квадратные матрицы.

Матрица 0 11 0

J ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

, именуемая матрицей перестановки строк, не может

быть представлена в виде произведения двух треугольных матриц.

5. Правила умножения матрицы на вектор .

Правило А. В результате умножения матрицы A на вектор - столбец B

(рис.27) получается вектор - столбец

0

0

0

0

Рисунок 26

44

11 11 1 1

1 11 1

...

...

...

n n

m mn n

a b a bC A B

a b a b

⋅ + + ⋅⎛ ⎞⎜ ⎟= ⋅ = ⎜ ⎟⎜ ⎟⋅ + + ⋅⎝ ⎠

.

Правило Б. В результате умножения вектор

- строки A на матрицуB (рис.28) получается

вектор - строка

( )11 11 1 1 11 1 1... ... ...n n m n nmC A B a b a b a b a b= ⋅ = ⋅ + + ⋅ ⋅ + + ⋅ .

Правило В. В результате ум-

ножения вектор - строки A на

вектор - столбец B (рис.29)

получается матрица первого

порядка

[ ]11 11 1 1... n nC A B a b a b= ⋅ = ⋅ + + ⋅ .

Правило Г. В результате умножения

вектор - столбца A на вектор - строку

B (рис.30) получается блочная вектор -

строка

[ ]11 12 1... nC A B b A b A b A= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ .

6 .Правила перемножения

блочных матриц .

Правило А . В результате умножения блочной матрицы A формата

m n× на блочную матрицу B формата n k× с с о гла сованными ра з -

мерами блоков получается блочная матрица C формата m k× , элемен-

ты которой находятся по формулам:

Рисунок 27

Рисунок 30

Рисунок 28

Рисунок 29

45

1 1 2 21

n

ij in nj ip pji j i jp

C A B A B A B A B=

= ⋅ + ⋅ + + ⋅ = ⋅∑ .

Согласованность между размерами блоков означает, что все

перемножения матриц, используемые в этих формулах, корректны.

При использовании обозначений Эйнштейна правило перемножения

блочных матриц сводится к следующей лаконичной формуле:

i j i j i p p jA B A B⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⋅ = ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ .

Примечание. Если согласованности между размерами блоков нет, то

блочные матрицы нужно развернуть и сгруппировать другим способом.

При решении прикладных задач в блоки, как правило, объединяются ко-

эффициенты, имеющие одинаковую физическую размерность, например,

элементы одного блока описывают массы, второго – коэффициенты жёст-

кости пружин, третьего – ускорения и т.д. Поэтому условие согласован-

ности размеров блоков при правильной математической постановке и

верном ходе решения задачи выполняется автоматически.

Правило Б. В результате перемножения двух блочно - диагональных

матриц A и B получается блочно - диагональная матрица C (рис.21), при-

чём диагональные элементы произведения равны произведению диаго-

нальных элементов сомножителей:

11 22 11 22 11 11 22 22( , , ... , ) ( , , ... , ) ( , , ... , )nn nn nn nndiag A A A diag B B B diag A B A B A B⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ .

Правило В. В результате перемножения двух нижнетреугольных или

двух верхнетреугольных блочных матриц A и B получается, соответст-

венно, нижнетреугольная (рис.24) или верхнетреугольная (рис.25) блочная

матрица C .

Правило Г. В результате умножения блочной матрицы A на блочный

вектор - столбец B (рис.26) получается блочный вектор - столбец

11 11 1 1

1 11 1

...

...

...

n n

m mn n

A B A BC A B

A B A B

⋅ + + ⋅⎛ ⎞⎜ ⎟= ⋅ = ⎜ ⎟⎜ ⎟⋅ + + ⋅⎝ ⎠

.

46

Правило Д. В результате умножения блочной вектор - строки A на блоч-

ную матрицуB (рис. 26) получается блочная вектор - строка

( )11 11 1 1 11 1 1... ... ...n n m n nmC A B A B A B A B A B= ⋅ = ⋅ + + ⋅ ⋅ + + ⋅ .

Правило Е. В результате умножения блочной вектор - строки A на блоч-

ный вектор - столбец B (рис.29) получается матрица

11 11 1 1... n nC A B A B A B= ⋅ = ⋅ + + ⋅ .

Правило Ж. В результате умножения матрицы A на блочную вектор -

строку B (рис.31) получается блочная вектор - строка

( ) ( )11 12 1 11 12 1... ...n nС A B A B B B A B A B A B= ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ .

Правило З. В результате умножения блочного вектор - столбца B на мат-

рицу A (рис.32) получается блочный вектор - столбец

11 11

21 21

1 1

... ...

n n

B B AB B A

C B A A

B B A

⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⋅ = ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

Замечание. Последние два

правила фактически опреде-

ляют операцию умножения

так называемого матричного

коэффициента A на блочный вектор B . В отличие от правила умножения

матрицы на скалярный

множитель (то есть обыч-

ное число λ ) при этой

операции сомножители не

перестановочны. Кроме

того, размер матричного

коэффициента часто превышает размер отдельного элемента блочного век-

тора.

Рисунок 31

Рисунок 32

47

Прим е р 2 7 . Матричный пр оц е с с о р . Операция перемножения двух квадратных матриц n - го порядка включает в себя, как несложно подсчитать, 3n опе-раций умножения и 2 ( 1)n n⋅ − операций сложения обычных чисел. Если в ходе реше-ния некоторой задачи приходится выполнять многократное перемножение матриц, имеющих, например 100-ый порядок, то эта операция существенно замедляет решение. Поэтому в 80-ые годы ХХ – го века в СССР были разработаны и выпускались серийно для ЭВМ серии ЕС так называемые матричные процессоры, специализированные для решения таких задач. В одном из вариантов матричный процессор представлял собой

объединение 64 процессоров, работающих парал-лельно. Каждый процессор независимо от дру-гих вычисляет один определённый элемент квад-ратной матрицы 8-го порядка, в результате чего арифметические действия над такими матрица-ми (сложение и умножение) ускоряются в 64 – ре раза. Для использования таких возможностей матричного процессора квадратные матрицы n - го порядка записываются в виде блочных матриц с блоками размера 8 8× , а дальше применяются правила сложения и умножения блочных матриц. Если порядок матриц не кратен 8 - ми (например,

30n = ), то матрицы дополняются справа и снизу необходимым количеством нулевых столбцов и строк (рис.33). Вам предоставляется возможность внимательно проанализировать правила сложения и умножения матриц и убедиться в том, что, не-

смотря на такое изменение матриц, элементы с индексами ,i j n≤ вычисляются пра-вильно, а остальные элементы равны нулю.

Прим е р 2 8 . Матричные а н а л о г ии . Получим матричное уравнение

2 n⋅ - полюсника, рассматриваемого в прим е р е 1 0 . Для этого сначала составим из токов и напряжений на входных и выходных клеммах четыре вектора – столбца высо-той n :

1

...

вх

вх

вхn

JJ

J

⎛ ⎞⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

, 1

...

вх

вх

вхn

UU

U

⎛ ⎞⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

, 1

...

вых

вых

выхn

JJ

J

⎛ ⎞⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

и 1

...

вых

вых

выхn

UU

U

⎛ ⎞⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

,

после чего, образуем из них два блочных вектора - столбца вх

вх

JU⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

и вых

вых

JU⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Теперь, используя передаточную блочную матрицу S с квадратными блоками

, , ,F G H D и правило умножения матриц, соотношения (4) можно записать в сле-дующем эквивалентном виде:

вых вх вх вх вх

вых вх вх вх вх

F GJ F J G U J JS

H DU H J D U U U⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ + ⋅ ⎛ ⎞

= = ⋅ = ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⋅ + ⋅ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠. (15)

8 8× 8 8× 8 8×

8 8× 8 8×

8 8×

30

30

Θ

Θ

Θ

Θ

Θ ΘΘΘΘ

. . .

. . .. . .

. . . . . .. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

32

32

Рисунок 33

48

Уравнение (15) является полным аналогом уравне-ний (10) или (11) для пересчёта координат. Воспользуемся этой аналогией и, не повторяя те выкладки, которые были выполнены при выводе формулы (12) для последователь-ного преобразования координат, запишем матричное уравнение для последовательного соединения 2 n⋅ - по-люсников (рис.34). Пусть первому и второму многополюснику отве-чают уравнения

вых вх

вых вх

J JB

U U⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

и вых вх

вых вх

J JA

U U⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

,

где 11 12

21 22

B BB

B B⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

и 11 12

21 22

A AA

A A⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

– передаточные

матрицы с квадратными блоками i jB и i jA . Тогда матричное уравнение их последовательного

соединения имеет вид вых вх

вых вх

J JC

U U⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

,

где 11 12 11 11 12 21 11 12 12 22

21 22 21 11 22 21 21 12 22 22

C C A B A B A B A BC

C C A B A B A B A B⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅⎝ ⎠ ⎝ ⎠.

Следовательно, передаточная матрица для последовательного соединения многополюсников равна произведению передаточных матриц отдельных многопо-люсников, причём перемножение матриц выполняется по сформулированному выше п р а в и л у .

В качестве примера, иллюстрирующего это свойство передаточной матрицы, найдём такую матрицу для последовательного соединения двух шнуров-удлинителей из примера 14 . Передаточные матрицы A и B шнуров определяются следующими выражениями:

;a b

I IA B

D I D IΘ Θ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

,

где .1 .2 .1 .2

1 0 0 0( , ); ( , ) ; ;

0 1 0 0a a a b b bD diag R R D diag R R I ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − = − − = Θ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠,

.1 .2 .1 .2, , ,a a b bR R R R – сопротивления отдельных проводов из первого и второго шнура. Вычислим передаточную матрицу C последовательного соединения:

b

a b a b a a b

I I I I D I I IC A B

D I D I D I I D D I I D D IΘ Θ ⋅ +Θ⋅ ⋅Θ +Θ⋅ Θ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= ⋅ = ⋅ = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ + ⋅ ⋅Θ + ⋅ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠.

Найдём сумму диагональных матриц aD и bD :

.1 .1 .1 .1

.2 .2 .2 .2

0 0 00 0 0

a b a ba b c

a b a b

R R R RD D D

R R R R− − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ = + = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠,

где .1 .1 .1 .1( ( ) , ( ) )c a b a bD diag R R R R= − + − + . Полученный результат находится в полном соответствии с известным правилом суммирования сопротивлений при их последовательном соединении.

...1 2 3 1n − n

1 2 3 1n − n...вход

выход

...1 2 3 1n − n

1 2 3 1n − n...вход

выход

Рисунок 34

49

Пример 29 . Уравнение свободных колебаний цепной систе -мы . Такое уравнение для простейшей цепной механической системы, имеющей только одну степень свободы, было получено в примере 25 . Здесь мы намерены показать, что этот же результат может быть обобщён на цепные системы с 6-тью степенями сво-боды (смотри пример 16 про цепную передачу и пример 17 про цилиндрическую пружину). Для каждого i - того элемента цепной системы составим две матрицы:

диагональную матрицу шестого порядка из инерционных коэффициентов (то есть из массы im и из моментов инерции , ,x i y i z ij j j относительно трёх осей)

( , , , , , )i i i i x i y i z iM diag m m m j j j= , и вектор – столбец iX размера 6 1× из трёх координат и трёх углов поворота. Далее матрицы iM объединяются в блочно – диагональную матрицу

1 2( , , ... , )nM diag M M M= , а матрицы iX - в блочный вектор – столбец X , после чего практически дословно по-вторяется тот вывод, который был проведен в примере 25 . В результате мы получа-ем то же самое уравнение свободных колебаний (15)

M X C X⋅ = ⋅ , но матрица коэффициентов жёсткости C , используемая в этом уравнении, теперь явля-ется не трёхдиагональной, а блочной трёхдиагональной матрицей с квадратными блоками шестого порядка.

§ 5. Свойства операции умножения матриц

Свойства операции умножения можно условно разделить на две

группы.

Первая группа свойств описывает те преобразования, которые

можно выполнять с любыми матрицами. Пользуясь правилами умножения

и сложения матриц можно доказать следующие свойства :

1. ( ) ( ) ( )A B A B A Bα α α⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ;

2. ( ) ( );A B C A B A C A B C A C B C⋅ + = ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ ;

3. ( ) ( )A B C A B C⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ,

где , ,A B C – произвольные матрицы согласованных размеров; α – произ-

вольное число.

Свойства 1 и 2 непосредственно следуют из определения опера-

ций и в дополнительных пояснениях не нуждаются. Свойство 3 имеет

громоздкое доказательство, приводить которое в этой книге нет необходи-

50

мости. Вместо этого для подтверждения справедливости данного свойства

обратимся к следующему примеру. Прим е р 3 0 . «Эл е к т рич е с ки е » д о к а з а т е л ь с т в а .

На рис.35 изображена электрическая схема, образованная при после-довательном соединении трёх многополюсников. Для получения ре-зультата в максимально общей форме, будем считать, что многопо-люсники выполнены по схеме n m+ , а не 2 n⋅ , то есть могут иметь разное число входных и выходных клемм. В соответствии с этим обобщением, передаточные матрицы этих многополюсников могут иметь неквадратные блоки. Пусть эти многополюсники имеют пере-даточные матрицы C , B и A , соответственно; передаточную матри-цу всей схемы обозначим буквой S .

Получим формулу для матрицы S . Для этого представим схе-му в виде соединения двух (а не трёх) многополюсников, для чего мысл е нн о объединим два крайних устройства в одно. Такое объе-динение можно выполнить двумя способами (рис.36).

Для первого способа передаточная матрица объединения двух многополюсников (как это было показано при решении прим е р а

2 8 ) находится по формуле BCS B C= ⋅ ,

для второго способа – по формуле ABS A B= ⋅ .

Теперь, используя тот же результат, можно найти передаточную матрицу S : ( )BCS A S A B C= ⋅ = ⋅ ⋅

при первом способе объединения; ( )ABS S C A B C= ⋅ = ⋅ ⋅

при втором способе объединения.

От выбора способа мысленного объединения устройство не становится дру-гим, следовательно, матрица S в обоих случаях одна и

( ) ( )A B C A B C⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ .

Рисунок 35

вход

выход

матрица A

матрица C

матрица B

1 n

1

1

1 m

l

k

Рисунок 36

вход

выход

матрица A

1 n

1

1 m

k

BC

матрицаS B C= ⋅

вход

выход

матрица A

матрица C

матрица B

1 n

1

1

1 m

l

k вход

выход

AB

матрицаS A B= ⋅

матрица C

1 n

1

1 l

k вход

выход

AB

матрицаS S C= ⋅

1 n

1 kвход

выход

BC

матрицаS A S= ⋅

1 n

1 k1 ый способ объединения− 2 ой способ объединения−

51

Примечание. К сожалению, то, что вы прочли выше, является хорошим образ-цом правдоподобных рассуждений, но не доказательством. И дело не в том, что вместо математической терминологии используется терминология электрических цепей. Ма-тематики, особенно на стадии, так называемой, черновой работы, при доказательствах достаточно часто пользуются методами аналогии (механической, акустической, элек-трической и пр.). Хрестоматийный пример на эту тему можно найти у великого немец-кого математика Римана, который доказательство одной теоремы из раздела математи-ки “Векторный анализ” (теорема о существования потенциала некоторого векторно-го поля) проводил так: “Выполним эту поверхность из проводящего материала…. Про-вода закрепим здесь и здесь…. Электрический ток всё равно пройдёт, и заряды рас-пределятся по некоторому закону…. Что и доказывает теорему.”

Но у Римана теорема действительно была д о к а з а н а , а решённый прим е р 3 0 свойство 3 н е д о к а зыв а е т , п о с к о л ь к у с о д е ржи т л о г и ч е с к ий и з ъ ян . Попробуйте найти этот изъян самостоятельно; далее в книге мы ещё вернём-ся к этому примеру и дадим нужные пояснения.

Вторая группа свойств описывает те случаи, при которых до-

пускается изменять порядок следования сомножителей, и когда это делать

нельзя.

Из определения произведения матриц видно, что матрицы A B⋅ и

B A⋅ не всегда одновременно существуют, а если существуют, то не все-

гда совпадают. Для того чтобы обе операции перемножения были коррект-

ны, необходимо и достаточно, чтобы матрицы A и B были квадратными

матрицами одного порядка, поэтому далее в этом параграфе будут рас-

сматриваться только такие матрицы.

Прим е р 3 1 . Матрицы п е р е с т а н о в о к . Даны две квадратные блочные

матрицы X Y

AZ V

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

и I

JIΘ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟Θ⎝ ⎠, где , , ,X Y Z V – некоторые квадратные матрицы

n - го порядка, , IΘ – нулевая и единичная матрицы того же порядка.

Вычислим произведения B A J= ⋅ и C J A= ⋅ .

X Y I X Y I X I Y Y X Y XB

Z V I Z V I Z I V V Z V ZΘ ⋅Θ+ ⋅ ⋅ + ⋅Θ Θ+ +Θ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= ⋅ = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟Θ ⋅Θ+ ⋅ ⋅ + ⋅Θ Θ+ +Θ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠;

I X Y X I Z Y I V Z V Z V

CI Z V I X Z I Y V X Y X YΘ Θ⋅ + ⋅ Θ⋅ + ⋅ Θ+ Θ+⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= ⋅ = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟Θ ⋅ +Θ⋅ ⋅ +Θ⋅ +Θ +Θ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠.

Проанализируем и сравним результаты.

52

Умножение на матрицу J справа привело к перестановке столбцов, а слева – к перестановке строк блочной матрицы A ; поэтому матрица J называется матрицей блочной перестановки. Далее в книге мы покажем, что эта матрица занимает важное место в технических приложениях матричного исчисления.

Если блоки матрицы A таковы, что Y Z≠ или X V≠ , то B C≠ , и результат перемножения матриц A и J зависит от порядка следования сомножителей.

Определение. Две матрицы A и B называются перестановочными,

если

A B B A⋅ = ⋅ . Выше мы уже встречались с такими матрицами; в примере 24 была фактиче-ски доказана формула

( ) ( ) ( )U U Uα β α β⋅ = + ,

откуда перестановочность матриц вращения cos sin

( )sin cos

Uϕ ϕ

ϕϕ ϕ

−⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

следует автома-

тически. Приведём другие примеры пар перестановочных матриц. Заметим, что для лю-

бой квадратной матрицы A имеет место равенство: A I I A A⋅ = ⋅ = ,

где I – единичная матрица одинакового порядка с матрицей A . Кроме единичной матрицы с матрицей A будут перестановочны матрицы

1 2 3; ; ( )B A B A A B A A A= = ⋅ = ⋅ ⋅ и так далее. Определения.

1. Матрица ...kB A A A= ⋅ ⋅ ⋅ , где число сомножителей в правой части

равно k , называется k - той степенью квадратной матрицы A и обо-

значается kA .

2. Нулевой степенью квадратной матрицы A n - го порядка счи-

тается единичная матрица I того же порядка.

3. Матрица B , k - тая степень которой равна матрице A , то есть kB A= ,

называется алгебраическим корнем k - той степени из матрицы A и

обозначается k A .

Степени и корни матрицы обладают теми же свойствами, что и сте-

пени и корни обычных чисел, а именно:

; ( ) ; ( ) kn m n m n k n k n nkA A A A A A A+ ⋅⋅ = = = и т. д.

53

Определение. Многочленом k - той степени от квадратной матри-

цы A называется матрица 2

0 1 2 ... kkB a I a A a A a A= ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ ,

где , 0,ia i k∈ – некоторые числа, причём 0ka ≠ .

Многочлен k - той степени от матрицы A , по аналогии с многочле-

нами ( )kP x вещественного аргумента, обозначается ( )kP A . Так же, как сте-

пень и корень, многочлен является примером нового и очень важного по-

нятия – функции от матрицы.

Очевидно следующее утверждение: матрица A и любой её много-

член ( )kP A перестановочны между собой.

Более того, для большинства матриц справедливо обратное

утверждение: если квадратные матрицы A и B перестановочны, то

одна из них (а чаще – каждая из них) является многочленом от другой,

причём степень многочлена меньше, чем порядок этих матриц.

Прим е р 3 2 * . Триви а л ьн а я ма трич н а я а л г е б р а . Аккуратная

формулировка соответствующей теоремы, с указанием исключений из этого правила, будет приведена позже, когда вы познакомитесь с необходимой для этого терминоло-гией. Но разобраться в тех причинах, которые приводят к справедливости этого прави-ла или к исключениям из него, можно уже сейчас на материале данного примера.

Если матрицы A и B являются диагональными, то они перестановочны между собой. Это утверждение прямо следует из правила их перемножения и в доказательстве не нуждается. Докажем обратное утверждение, которое звучит так:

если диагональная матрицаA не имеет одинаковых диагональных элемен-тов и перестановочна с матрицей B , то матрица B также диагональная.

Доказательство . Пусть матрица 11 22( , , ... , )nnA diag a a a= , и A B B A⋅ = ⋅ .

Предположим, что у матрицы B есть недиагональный элемент 0i jb ≠ . Воспользуемся правилами умножения квадратной матрицы на диагональную (см. § 4). В матрице A B⋅ элемент с таким же индексом будет равен i i i ja b⋅ , а в матрице B A⋅ - j j i ja b⋅ . Из равен-ства матриц A B⋅ и B A⋅ следует равенство соответствующих элементов, то есть

i i i ja b⋅ = j j i ja b⋅ . Поскольку по сделанному предположению 0i jb ≠ , то на эту величину можно

сократить обе части равенства, и мы получим соотношение i i j ja a= , которое противо-речит условию теоремы.

Следовательно, утверждение доказано .

54

Примечание. Если у матрицы A есть одинаковые диагональные элементы, то перестановочная с ней матрица B может быть не диагональной. Например, если A Iα= ⋅ , где α – произвольное число, то матрица B может быть любой квадратной матрицей того же порядка, что и единичная матрица I . Нетривиальный пример на ту же тему даёт пара матриц

1 0 0(1,1, 2) 0 1 0

0 0 2A diag

⎛ ⎞⎜ ⎟= = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

и 1 2 03 4 00 0 5

B⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

;

вам предоставляется возможность самостоятельно убедиться в том, что они перестано-вочны. Диагональные матрицы n - го порядка перестановочны и по сложению, и по ум-ножению, поэтому алгебра таких матриц является тривиальным обобщением ал-гебры обычных чисел. Покажем, например, как просто в этой алгебре вычисляются степени и многочлены матрицы. Пусть 11 22( , , ... , )nnA diag a a a= . Тогда имеют место формулы:

11 22( , , ... , )k k k knnA diag a a a= ; 11 22( ) ( ( ), ( ), ... , ( ) )k k k k nnP A diag P a P a P a= . (17)

Из этих формул в частности следует, что недиагональная матрица B не может быть многочленом от матрицы (1,1, 2)A diag= , и, тем не менее, перестановочна с ней. Это как раз то исключение из правила, о котором говорилось выше.

Давайте сформулируем это правило применительно к диагональным матрицам A и B n - го порядка. Поскольку диагональные матрицы всегда перестановочны, то должны выполняться равенства

( )kB P A= и ( )kA Q B= , (18)

где ( ), ( )k kP x Q x – некоторые многочлены степени k n< . Условия (18) с учётом формул (17) оказываются эквивалентны системам урав-

нений { ( ) , 1,i i k i ib P a i n= ∈ и { ( ) , 1,i i k i ia Q b i n= ∈ , (19)

линейных относительно неизвестных коэффициентов многочленов ( ), ( )k kP x Q x . В этих системах число уравнений и число неизвестных одинаково (равно n ), по-этому в общем случае они обязаны иметь решение . К сожалению, мы по-ка вынуждены ограничиться этим замечанием, и отложить решение систем (19) до того момента, когда вы сможете понять его.

Пример 33 . Каскадный преобразователь . Этот пример из области радиотехники. Радиотехнические схемы, как правило, изготавливаются из стандартных деталей и узлов, имеющих узкую номенклатуру изделий. Поэтому, например, для по-лучения необходимого уровня выходного сигнала в схеме иногда устанавливают по-следовательно два и более одинаковых преобразователя, образуя из них так называе-мый каскад. Если мы передаточную матрицу одного преобразователя обозначим бук-вой A , а число преобразователей – буквой k , то передаточная матрица S каскадного преобразователя выражается формулой

kS A= .

55

Пример 34 . Передаточная матрица цепной системы . Выше уже говорилось о применении передаточных матриц при статических расчётах линейных электрических цепей. В механике аналогом таких цепей являются цепные системы, описанные в примерах 13 , 16 и 17 . Если для одного из крайних элементов цеп-ной системы задать полный набор координат ix и полный набор сил или моментов сил

iq , то в соответствии с законами механики тем самым будут однозначно определены значения этих величин для всех остальных элементов цепи, в том числе и для другого крайнего элемента.

Составим из значений координат ix и обобщённых сил iq на левом и правом концах цепи четыре вектор – столбца , , ,лев лев прав правX Q Х Q . Высота этих столбцов равна числу k степеней свободы элемента цепи. Тогда в линейной механической сис-теме значения этих векторов оказываются связанными равенством

прав лев

прав лев

X XS

Q Q⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

,

где квадратная матрица S имеет порядок 2 k⋅ и называется передаточной матрицей цепной системы.

В инженерных расчётах эта матрица обычно используется в форме блочной мат-

рицы A B

SC D⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

с квадратными блоками k - го порядка.

Передаточная матрица может быть составлена не только для всей цепи, но и для любой её части, в том числе и для пары соседних звеньев. Обозначим передаточную матрицу между i - тым и 1i + - ым звеном цепи буквой iS . Тогда передаточная матрица для всей цепи из n элементов находится по формуле

1 2 2 1...n nS S S S S− −= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ . Если все соединения между звеньями цепи одинаковы, то эта формула принима-

ет следующий простой вид: 1

1( )nS S −= . Так для железнодорожного состава из примера 13 передаточная функция 1S

для двух соседних вагонов определяется формулой

1

11

0 1S c

⎛ ⎞−⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

,

где c – коэффициент жёсткости сцепки. Тогда передаточная матрица S для состава, включающего локомотив и n вагонов, вычисляется так:

1

11 1( )

0 1 0 1

n

nn

S S c c⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

При выполнении этих вычислений мы воспользовались формулами

I A I B I A BI I I

+⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟Θ Θ Θ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

и nI A I n A

I I⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞

=⎜ ⎟ ⎜ ⎟Θ Θ⎝ ⎠ ⎝ ⎠,

в справедливости которых вам предоставляется возможность убедиться самостоятель-но.

56

При статической деформации цилиндрической пру-жины обычно учитывается три степени свободы её попереч-ного сечения – перемещение ξ этого сечения вдоль оси пру-жины, угол α изгиба сечения относительно упругой оси проволоки и угол γ разворота этого сечения вокруг упругой оси (рис. 37). Представим пружину в виде последовательного соединения n элементов – поперечных сечений проволоки (смотри пример 17 ). Два соседних сечения пружины свя-зывает квадратная передаточная матрица 1S шестого поряд-ка, которая имеет следующий вид:

1

I A DS l

I BΘ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= + Δ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟Θ Θ⎝ ⎠ ⎝ ⎠,

где 0 1 0 0 0 0

1 1 1(1,1,1); ( , , ) ; 0 0 1 ; 0 10 1 0 0 1 0

I diag D diag A B ra b c

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = = − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

;

lΔ – расстояние между центрами соседних сечений; , ,a b c – коэффициенты жёст-кости проволоки при сжатии, изгибе и кручении; r – радиус кривизны витка. Матрица 1S для этого случая является блочной верхнетреугольной матрицей. Такой же вид будет иметь передаточная матрица для всей пружины, вычисляемая по формуле 1

1( )nS S −= . Пример 35 . Экономичный раскрой пружины . При моделировании

железнодорожного состава (пример 13 ) или цепной передачи (пример 16 ) число n звеньев механической цепи определено условиями задачи. Для цилиндрической пружины это число может быть произвольным; ясно, что чем больше сечений выбрано, тем точнее используемая нами физическая модель системы с сосредоточенными пара-метрами описывает пружину, которая на самом деле является системой с равномерно распределёнными параметрами. Однако, чтобы вычислить передаточную матрицу S всей пружины приходится выполнять ( 1)n − перемножение матриц 1S шестого поряд-ка, что при больших значениях n достаточно трудоёмко. Этих трудностей можно из-бежать, если число участков при разбиении пружины выбирать в соответствие с фор-мулой

2 1pn = + , где p – некоторое натуральное число, значение которого обычно лежит в диапазоне 10, 20 .

При таком выборе числа n показатель степени равен 2 p . Возведение матрицы A в такую степень производится по следующему алгоритму.

1. Умножаем матрицу A саму на себя (то есть, получаем матрицу B A A= ⋅ ) и результат умножения обозначаем той же буквой A (то есть, после ум-ножения принимаем, что A B= ).

2. Предыдущий пункт алгоритма выполняем ровно p раз. В результате выполнения указанных действий фактически получается сле-

дующая последовательность матриц: 1 2 32 2 2 2 4 2 4 4 8 2; ( ) ( ) ; ( ) ( )A A A A A A A A A A A A⋅ = = ⋅ = = ⋅ = = , и так далее.

ξαγ

Рисунок 37

57

После выполнения p таких рекуррентных умножений действительно, как вы в

этом уже убедились, получится матрица 2p

A . Если 10p = , то число операций при ис-пользовании данного алгоритма снижается в 1024 :10 100≈ раз!

Пример 36 * . Матричные корни из нуля и единицы . Выше уже

говорилось, что квадратные матрицы являются обобщением обычных чисел, а диаго-нальные матрицы – тривиальным обобщением обычных чисел. Из школьного курса ал-гебры вам известно, что квадратное уравнение 2x a= при 1a = имеет два решения

1,2 1x = ± , при 0a = - одно решение и при 1a = − - ни одного решения; скоро вы узнаете о существовании комплексных чисел и тогда случаю 1a = − будет также соответство-вать два решения, но не вещественных, а комплексных.

Рассмотрим матричное квадратное уравнение 2X a I= ⋅ , (20) где a принимает значения 0 или 1 , а единичная матрица I имеет второй порядок.

Квадратные матрицы X , являющиеся решениями этого уравнения, имеют также второй порядок и называются алгебраическими корнями второй степени из нулевой и из единичной матрицы, соответственно.

Если ограничиться только диагональными матрицами, то решения уравнения (20) очевидны:

при 0a = – единственное решение X = Θ ;

при 1a = – четыре решения

1 2 3 4(1,1); ( 1, 1); (1, 1); ( 1,1)X I diag X I diag X diag X diag= = = − = − − = − = − .

Однако, уравнение (20) имеет и не диагональные корни. Так, несложно прове-рить, что матрицы

1 2

0 0 0,

0 0 0p

Y Yp

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

, где p – любое число,

являются решением уравнения 2Y = Θ , а матрицы

1

0 11 0

Y J ⎛ ⎞= = ⎜ ⎟

⎝ ⎠и 2Y J= − – уравнения 2Y I= .

Этот пример показывает, что алгебра квадратных матриц (даже второго порядка) является значительно сложнее алгебры обычных чисел.

§ 6. Транспонирование и симметрия матриц

Рассмотрим произвольную матрицу

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

mnm m

a a a

a a aA

a a a

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜⎝ ⎠⎟

.

58

Определения. Матрица B , полученная из матрицы A заменой каж-

дой её строки столбцом с тем же номером, называется матрицей, транс-

понированной по отношению к данной, и обозначается TA , то есть

11 21 1

12 22 2

1 2

m

mT

def

mnn n

a a a

a a aB A

a a a

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜= = ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜⎝ ⎠⎟

.

Переход от матрицы A к матрице TA называется операцией транс-

понирования (или просто транспонированием).

Если матрица A имеет размер m n× , то транспонированная матрица TA имеет размер n m× . В частности, если матрица A является вектор-

столбцом, то матрица TA является вектор-строкой, и, наоборот, в резуль-

тате транспонирования вектора-строки A получается вектор-столбец TA .

Транспонирование квадратной матрицы A приводит к квадратной

матрице TA того же порядка, причём здесь процедуру транспонирования

матрицы удобно трактовать как результат её разворота на 180 0 относи-

тельно главной диагонали (рис. 38).

Перечислим основные свойства операции транспонирования.

1. ( )TTA A= ; 2. T TA B A B= ⇔ = ; 3. ,T T

i j i j i j j iA B B A⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎣ ⎦⎣ ⎦ ;

4. ( )T T TA B A Bα β α β⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ ; 5. ( )T T TA B B A⋅ = ⋅ ,

где A и B – любые матрицы согласованного раз-

мера; ,α β – произвольные числа.

Свойства 1 – 3 прямо следуют из опре-

деления операции. Свойство 4 является три-

виальным следствием соответствующих свойств

операций сложения матриц и умножения матри-

цы на число; наличие такого свойства позволяет

отнести операцию транспонирования к числу ли-

0180

0180

Рисунок 38

59

нейных операций над матрицами. Свойство 5 имеет несложное, но чис-

то техническое доказательство, поэтому для его обоснования обратимся к

следующему примеру.

Пример 37 . Две формы записи матричных уравнений . В при -

мере 23 при составлении матричного уравнения для системы (1) 2 0

0x yx y+ ⋅ =⎧

⎨ − =⎩ было

использовано два способа объединения неизвестных:

1) объединение в форме вектора - столбца x

Xy

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

;

2) объединение в форме вектора - строки ( )Y x y= .

Первый способ привёл к успеху, и мы получили искомое матричное уравнение 2 0

0x y

A Xx y+ ⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⋅ = = = Θ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (6).

Второй способ в том виде, как он применялся в примере 23 , к успеху не при-вёл, поскольку получаемое на этом пути матричное уравнение

Y A⋅ = Θ не эквивалентно системе уравнений (1). Попробуем исправить положение. Заметим, что

TY X= . Транспонируем матрицу A и вычислим произведение TY A⋅ :

( ) ( )1 1

22 1

TY A x y x y x y⎛ ⎞⋅ = ⋅ = + ⋅ −⎜ ⎟−⎝ ⎠

.

Таким образом, систему уравнений (1) можно представить в форме матричного уравнения

T TY A⋅ = Θ , где ( )0 0TΘ = , (21) причём уравнение (21) фактически может быть получено в результате транспонирова-ния левой и правой части уравнения (6) и использования формулы

( ) T T TA X X A⋅ = ⋅ . (22) Вам предоставляется возможность выполнить аналогичные преобразования для системы (2) из примера 23 и убедиться в том, что кроме уравнения

A X F⋅ = (7) она может быть записана в виде ещё одного матричного уравнения

T T TX A F⋅ = , (23) причём и для этих матриц справедлива формула (22). Уравнения (21) и (23) называются строчной формой записи системы, а уравне-ния (6) и (7) – столбцевой формой записи. Обе формы записи совершенно равноправ-ны, но в силу сложившейся привычки столбцевая запись матричного уравнения систе-мы используется значительно чаще строчной.

Определение. Матрица A называется симметричной, если TA A= ,

и кососимметричной, если TA A= − .

60

Из определения операции транспонирования следует, что симмет-

ричные и кососимметричные матрицы являются квадратными матрицами.

У симметричной матрицы A элементы i ja и j ia , расположенные симмет-

рично относительно главной диагонали, одинаковы:

i j j ia a= ;

у кососимметричной матрицы они имеют противоположные значения:

i j j ia a= − .

Следствие. У кососимметричной матрицы все элементы главной диа-

гонали нулевые: 0i ia = .

Выше мы уже встречались с симметричными матрицами. Например,

все коммутационные матрицы G симметричны, симметричной оказалась

матрица C коэффициентов жёсткости цепной механической системы (в

том числе и блочная матрица из примера 17), симметричны все диаго-

нальные матрицы. Пример кососимметричной матрицы даёт матрица вра-

щения ( )U ϕ при значении угла поворота 090ϕ = : 0 0

00 0

0 1cos90 sin 90(90 )

1 0sin 90 cos90U

−⎛ ⎞− ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠.

Теорема 1 .1 . Любая квадратная матрица может быть представлена

в виде суммы симметричной и кососимметричной матриц, причём такое

представление единственно. Доказательство. Формулировка теоремы включает два утверждения: о сущест-

вовании такого представления и об его единственности. Докажем существование. Пусть задана произвольная квадратная матрица A . Образуем две новые квад-

ратные матрицы: 0.5 ( )T

CA A A= ⋅ + и 0.5 ( )TKA A A= ⋅ − .

Транспонируем эти матрицы:

0.5 ( ) 0.5 ( ( ) ) 0.5 ( )T T T T T T TC CA A A A A A A A= ⋅ + = ⋅ + = ⋅ + = ;

0.5 ( ) 0.5 ( ( ) ) 0.5 ( )T T T T T T TK KA A A A A A A A= ⋅ − = ⋅ − = ⋅ − = − .

Оказалось, что матрица CA является симметричной, а матрица KA – кососим-метричной. Найдём сумму этих матриц:

61

0.5 ( ) 0.5 ( ) 0.5 0.5 0.5 0.5T T T TC KA A A A A A A A A A A+ = ⋅ + + ⋅ − = ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ = ,

то есть C KA A A= + . (24) Таким образом, утверждение теоремы о существовании такого представления доказано. Докажем, что это представление единственно. Пусть для некоторой матрицы A имеются два представления:

.1 .1C KA A A= + (25) и .2 .2C KA A A= + (26) ,

где .1 .2,C CA A – симметричные, .1 .2,K KA A – кососимметричные матрицы. Приравняем правые части равенств (25) и (26), после чего у полученного равен-

ства .1 .1 .2 .2C K C KA A A A+ = + , (27)

одновременно транспонируем левую и правую части:

.1 .1 .2 .2( ) ( )T TC K C KA A A A+ = + ,

то есть .1 .1 .2 .2C K C KA A A A− = − . (28) Складывая правые и левые части равенства (27) и (28), получаем .1 .2C CA A= , вы-читая, получаем .1 .2K KA A= , то есть представление единственно.

Теорема доказана. Представление матрицы в виде суммы (24) используется, например, в разделе

математики “Теория поля”. Пример 38 . Неотрицательные матрицы . В задачах из технических

приложений особенно часто встречаются матрицы, которые представлены (или могут быть представлены) в виде произведения TA A⋅ , где A – некоторая матрица размера m n× . Заметим, что число столбцов матрицы TA равно числу строк матрицы A , по-этому операция их перемножения всегда корректна. В результате перемножения полу-чается квадратная матрица n - го порядка; обозначим её B , то есть TB A A= ⋅ . Изучим свойства матрицы B .

Транспонируем эту матрицу:

( ) ( ) ( )T T T T T T TB A A A A A A B= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ,

следовательно, матрица B – симметричная.

Пусть X – произвольный вектор-столбец высотой n , 1

...

n

xX

x

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

. Тогда произве-

дение TX B X⋅ ⋅ является матрицей первого порядка. Покажем, что единственный эле-мент этой матрицы является неотрицательным числом. Для этого выполним следующее преобразование:

( ) ( )T T T T TX B X X A A X A X A X Y Y⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ,

где произведение Y A X= ⋅ является вектор - столбцом высоты m , 1

...

m

yY

y

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

.

62

Продолжим преобразование:

( )1

2 2 21 1 2... ... ...T

m m

m

yY Y y y y y y

y

⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎡ ⎤⋅ = ⋅ = + + +⎣ ⎦⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

, и 2 2 21 2 ... 0my y y+ + + ≥ ,

что и требовалось показать. Если некоторая квадратная матрица C имеет первый порядок и её единственный элемент удовлетворяет условию 11 0c ≥ , то такие матрицы естественно называть неот-рицательными и отмечать это следующим образом:

0C ≥ .

Теперь это определение можно распространить на квадратные матрицы любого порядка. Определение. Симметричная матрица B , которая при произвольном векторе – столбце X удовлетворяет условию 0TX B X⋅ ⋅ ≥ , называется неотрицательной, что обозначается так:

0B ≥ .

Выше было показано, что матрицы TA A⋅ являются неотрицательными, то есть

0TA A⋅ ≥ .

Справедливо и обратное утверждение, а именно: любая неотрицательная матрица B может быть представлена в виде TB A A= ⋅ .

Доказательство обратного утверждения будет приведено в третьей главе. Диагональная матрица 11 22( , , ... , )nnD diag d d d= является неотрицательной, если все 0i id ≥ ; здесь в качестве матрицы A можно использовать один из диагональных ал-гебраических корней второй степени из матрицы D , например

11 22( , , ... , )nnA diag d d d= .

У симметричной недиагональной матрицы i ja⎡ ⎤⎣ ⎦ утверждение “все диагональ-

ные элементы 0i ia ≥ ” является необходимым условием, но не является достаточным условием для того, чтобы она была неотрицательной. Так, симметричная матрица пе-

рестановки 0 11 0

J ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

не является неотрицательной матрицей, поскольку, например,

( )0 1 1

1 1 2 01 0 1⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− ⋅ ⋅ = − <⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠.

Определение. Матрица C B= − , противоположная к неотрицательной матрице B , называется неположительной, что обозначается так:

0C ≤ . Для неположительной матрицы C справедливо представление: TC A A= − ⋅ . Для иллюстрации таких представлений вернёмся к примеру 13 о колебаниях

цепной механической системы. Уравнение (15)

M X C X⋅ = ⋅ ,

описывающее эти колебания, содержит две матрицы – неотрицательную диагональную матрицу 1 2( , , ... , ) 0nM diag m m m= ≥ и симметричную матрицу C , которая имеет вид:

63

0 ... 0 02 ... 0 0

0 2 ... 0 0... ... ... ... ... ...0 0 0 ... 20 0 0 ...

c cc c c

c cC

c cc c

−⎛ ⎞⎜ ⎟− ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟− ⋅

= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

.

Матрица C может быть представлена также и в следующем виде:

TC A A= − ⋅ , где матрица

1 1 0 ... 0 00 1 1 ... 0 00 0 1 ... 0 0... ... ... ... ... ...0 0 0 ... 1 10 0 0 ... 0 1

A c

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟

= ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

и является неположительной. Вам предоставляется возможность убедиться в этом са-мостоятельно, составив матрицы ,M C и A для железнодорожного состава, показан-ного на рис.9 (то есть содержащего локомотив и четыре вагона).

Пример 39 * . Матричные неравенства в электротехнике . Вер-нёмся к задачам об электрических цепях и покажем, что передаточная матрица

F GS

H D⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

для 2 n⋅ -полюсника не может состоять из произвольных блоков, а должна

удовлетворять условию, имеющему вид матричного неравенства. Из курса физики вам хорошо известна формула для мощности электрического тока: W U J= ⋅ , где U – напряжение, а J – сила тока. Используя эту формулу для всех входных, а затем всех выходных клемм, суммарную входную и выходную мощности можно представить в следующей форме:

1 1 ... ( )вх вх вх вх вх T вхвх n nW U J U J U J= ⋅ + + ⋅ = ⋅ ;

1 1 ... ( )вых вых вых вых вых T выхвых n nW U J U J U J= ⋅ + + ⋅ = ⋅ .

Используем матрицу блочной перестановки I

JIΘ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟Θ⎝ ⎠ (смотри пример 31 )

и перепишем эти формулы в следующем симметричном виде:

( ) ( )( ) 0.5 0.5вх вх

T Tвх T вх вх вх вх вхвх вх вх

U JW U J J U J U J

J U⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

,

( ) ( )( ) 0.5 0.5вых вых

T Tвых T вых вых вых вых выхвых вых вых

U JW U J J U J U J

J U⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

Блочные вектора-столбцы вх

вх

JU⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

и вых

вых

JU⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

связаны между собой передаточной

матрицей S –

64

вых

вых

JU⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

S= ⋅вх

вх

JU⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

и ( ) ( )вых вых вх вх TJ U J U S= ⋅ ,

поэтому формулу для выходной мощности можно записать так:

( )0.5вх

Tвх вх Tвых вх

JW J U S J S

U⎛ ⎞

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Если многополюсник не имеет дополнительных источников питания (как это бывает, например, в усилителях), то

вых вхW W≤ , или, что эквивалентно,

( ) ( )вх вх

T Tвх вх T вх вхвх вх

J JJ U S J S J U J

U U⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ≤ ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

. (29)

Перепишем неравенство (29) в следующем виде:

( ) ( ) 0вх

Tвх вх Tвх

JJ U S J S J

U⎛ ⎞

⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ≤⎜ ⎟⎝ ⎠

. (30)

Условие (30) выполняется при любых значениях входных токов и напряжений, поэтому оно означает, что матрица TS J S J⋅ ⋅ − является неположительной, то есть

0TS J S J⋅ ⋅ − ≤ . (31)

Условие (31) даёт пример так называемого матричного неравенства. Часто его записывают в такой эквивалентной форме:

TS J S J⋅ ⋅ ≤ . (32)

Матричные неравенства A B≤ или A B≥ в линейной алгебре понимаются в том смысле, что 0A B− ≤ или 0A B− ≥ , соответственно.

В правой и левой части неравенства (32) стоят симметричные матрицы. Ясно, что условие (32) ограничивает сверху значения элементов матрицы S , поэтому, но и не только поэтому, “электрическое доказательство”, приведенное в примере 30 , не яв-ляется корректным.

Пример 40 . Симметрия механических систем . Уравнения движе-ния механических систем обладают особой формой симметрии, которая яв-ляется следствием симметрии основных законов динамики. Проиллюстрируем это на примере простейшей динамиче-ской модели тепловой импульсной машины (рис.39). При помощи такой модели, например, исследуют основные закономерности тех процессов, которые происходят в стволе артиллерийского орудия во время выстрела, то есть ре-шают задачу внутренней баллистики. Модель учитывает изменение давления и объёма пороховых газов, силы, ока-зывающие сопротивление движению снаряда, откат ствола и ряд других влияющих факторов.

1 1,x x2 2,x x ,p w

Рисунок 39

65

Соответствующая математическая модель включает уравнения движения снаря-да и ствола:

1 1 1 2 1( )cтв возm x f p k x x k x⋅ = ⋅ − ⋅ − − ⋅ ;

2 2 2 1 2( )cтв амm x f p k x x k x⋅ = ⋅ − ⋅ − − ⋅ ,

и уравнение сжимаемости пороховых газов в затворной камере

1 2( ) ( )газ утw p q t f x x k рα ⋅ ⋅ = − ⋅ + − ⋅ ,

где 1 2,m m – массы снаряда и ствола; 1 1 2 2, , ,x x x x – скорости и ускорения снаряда и ствола; f – площадь поперечного сечения снаряда; cтвk – коэффициент в формуле для силы трения между запорным пояском снаряда и стволом; возk – коэффициент, учиты-вающий сопротивление выталкиваемого воздуха; амk – коэффициент в формуле для силы сопротивления амортизаторов отката ствола; утk – коэффициент, учитывающий прорыв части пороховых газов в обгон снаряда; ,p w – давление пороховых газов и за-нимаемый ими объём; α – коэффициент сжимаемости газов; газq – объёмная скорость выделения газов при горении порохового заряда; t – время. Уравнения математической модели запишем в матричной форме. Для этого об-разуем диагональную матрицу D из коэффициентов при производных, вектор-столбец X из так называемых динамических параметров системы и вектор-столбец Q , учиты-вающий влияние внешних факторов:

1 2( , , )D diag m m wα= ⋅ ; 1

2

xX x

p

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

; 00( )газ

Qq t

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Тогда систему дифференциальных уравнений можно заменить одним уравнени-ем следующего вида:

( )D X A X Q t⋅ = ⋅ + , (33)

где ( )

( )ств воз ств

ств ств ам

ут

k k k fA k k k f

f f k

⎛ ⎞− +⎜ ⎟

= − +⎜ ⎟⎜ ⎟− − −⎝ ⎠

.

Квадратную матрицу A третьего порядка можно представить в виде блочной матрицы формата2 2×

T

B FA

F Z⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠, (34)

( )( ), ,

( )ств воз ств

утств ств ам

k k k fB Z k F

k k k f− +⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟− + ⎝ ⎠⎝ ⎠.

Матрицы B и Z являются симметричными и как это несложно проверить (вы-полнить самостоятельно!) неположительными матрицами, но сама матрица A симмет-ричной не является, так как блоки, расположенные на побочной диагонали, удовлетво-ряют условию косой симметрии. Матрица A не является и кососимметричной, если диагональные блоки B и Z ненулевые (то есть когда система теряет часть механиче-

66

ской энергии на преодоление сил трения и при утечках массы). Проявившаяся здесь особая форма симметрии матрицы называется симметрией механических систем. Замечательным является то, что если уравнения динамики любой механической систе-мы записаны в форме матричного уравнения (33), то матрица A всегда может быть представлена в виде блочной матрицы (34), причём матрицы B и Z являются симмет-ричными и 0 , 0B Z≤ ≤ . Другими словами, матричное представление ( 3 4 ) является мате -матическим эквивалентом основных законов механики и следст -вием их симметрии . Использование матричных уравнений вместо систем уравнений позволяет в наиболее наглядной форме выявить симметрию, присутствующую в этих системах, и избегать грубых ошибок при составлении математических моделей для сложных дина-мических объектов. Замечание. Если уравнения динамики записаны в форме дифференциального матричного уравнения второго порядка

( )D X A X B X Q t⋅ = ⋅ + ⋅ + ,

где D – диагональная неотрицательная матрица, то матрицы A и B обязаны быть сим-метричными и неположительными матрицами (смотри, например, уравнение (15)) .

67

Глава 2 . Определители и обратные матрицы

§ 7. Факториал . Перестановки . Инверсия

Определение. Факториалом натурального числа n называется про-

изведение 1 2 ... ( 1)n n⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ .

Факториал числа n обозначается !n , то есть !n = 1 2 ... ( 1)n n⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ .

В частности,

1! 1; 2! 1 2 2; 3! 1 2 3 6; 4! 1 2 3 4 24; 5! 1 2 3 4 5 120= = ⋅ = = ⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ,

и так далее.

Факториал числа 0 считается равным 1 (то есть 0 ! 1= ) ; факториалы

отрицательных целых чисел пока не определены; позже вы узнаете, что их

можно считать равными бесконечности.

Факториалы двух соседних чисел удовлетворяют следующему оче-

видному соотношению:

( 1) ! ( 1) !n n n+ = + ⋅ , (1)

формулы такого вида в математике называются рекуррентными.

Рекуррентная формула (1) позволяет последовательно переходить от

одного факториала к другому, не выполняя все вычисления заново. Так на

основе этой формулы может быть легко получена следующая таблица зна-

чений факториала (табл. 1).

Таблица 1 – Значения факториала .

n !n n !n n !n n !n 1 1 6 720 11 39916800 16 20922789888000 2 2 7 5040 12 479001600 17 355687428096000 3 6 8 40320 13 6227020800 18 6402373705728000 4 24 9 362880 14 87178291200 19 121645100408832000 5 120 10 3628800 15 1307674368000 20 2432902008176640000

68

Как видно из приведенных данных, факториал с увеличением числа

n очень быстро возрастает и при 15n > выходит в область астрономиче-

ских чисел.

Определение. Пусть даны n чисел 1 2, , , na a a… . Любое расположение

этих чисел в определённом порядке называется их перестановкой.

Теорема 2 .1 . Число перестановок, которое можно образовать из n

чисел, равно !n .

Доказательство. Подсчитаем число вариантов. На первое место в перестановке

можно поставить любое число из имеющихся n , что даёт n вариантов. Тогда число претендентов занять второе место в перестановке уменьшится на единицу и составит

1n − , а число различных вариантов для первых двух позиций составит ( 1)n n⋅ − . Анало-

гично, на третье место можно поставить одно число из оставшихся ( 2)n − чисел, на

четвёртое – одно из ( 3)n − чисел и так далее, пока не останется одна незаполненная по-

зиция и единственное неиспользованное число . Теорема доказана .

Два числа в перестановке образуют инверсию, если большее число

расположено перед меньшим числом. Количество инверсий множества чи-

сел 1 2 3, , , , na a a a… обозначается символом: [ ]1 2, , , na a a… . Чтобы подсчитать

число инверсий в произвольной перестановке чисел 1 2 3, , , , na a a a… посту-

пают таким образом:

сосчитаем количество инверсий 1k , образованное числом 1a с ос-

тальными числами в перестановке;

затем, зачёркивая число 1a , вычисляем количество инверсий 2k , об-

разованное элементом 2a с оставшимися числами перестановки,

и так далее.

Тогда число 1 2 1nk k k k −= + + + даёт число инверсий в переста-

новке 1 2, , , na a a… .

69

Пример 41 . Вычислить количество инверсий в перестановке 2, 4, 3, 5, 1, 7. Решение. Число 2 образует инверсию с 1, т.е. 1 1k = . Вычеркивая число 2, по-лучаем перестановку 4, 3, 5, 1, 7.

Число 4 образует инверсию с числами 3 и 1, следовательно 2 2k = . Зачеркивая 4, получаем перестановку 3, 5, 1, 7.

Число 3 образует перестановку с 1, поэтому 3 1k = . Аналогично показываем, что 54 1, 0k k= = .

Ответ: [2, 4, 3, 5, 1, 7] = 1+2+1+1+0=5.

Определения.

1. Перестановка 1 2, , , na a a… называется чётной (или нечётной), если

соответственно чётно (или нечётно) число инверсий в перестановке.

2. Операция перемены местами каких-либо двух чисел в перестанов-

ке называется транспозицией этих чисел.

Теорема 2 .2 . Всякая транспозиция меняет чётность перестановки. Доказательство. Пусть задана перестановка 1 2, , , na a a… . Рассмотрим сначала

случай, когда транспонируемые числа ia и 1ia + стоят рядом:

1 2 1, , , , , , ni ia a a a a+… … . (2)

Переставляя местами числа ia и 1ia + , получим следующую перестановку

1 2 1, , , , , , niia a a a a+… … . (3)

Очевидно, что все числа перестановки (кроме чисел ia , 1ia + ) не изменили сво-его положения относительно друг друга, а также относительно чисел ia и 1ia + . Если числа ia и 1ia + в перестановке (2) образуют инверсию, то в перестановке (3) они ин-версии не образуют; и, наоборот, если в перестановке (2) числа ia и 1ia + не образуют инверсии, то в перестановке (3) они образуют инверсию. В обоих случаях количество инверсий меняется на единицу, следовательно, меняется четность перестановки.

Пусть теперь между транспонируемыми числами ia и ja , расположено s эле-ментов, т.е. перестановка имеет вид:

1 2 1 2, , , , , , , , , , ni i s ji ia a a a a a a a++ +… … … .

Очевидно, транспозицию чисел ia и ja можно осуществить в результате после-довательного выполнения ( )2 1s + транспозиций соседних элементов. Таким образом, мы нечётное число раз меняем чётность перестановки и в итоге она изменится на про-тивоположную.

Теорема доказана.

70

§ 8. Понятие определителя

Рассмотрим произвольную квадратную матрицу A порядка n . Со-

поставим матрице A число det A по следующему правилу:

( )1 2

11 12 1

21 22 2

1 2

1 2

det 1n

n

n ri ni idef

nnn n

a a a

a a aA a a a

a a a

= = −∑ … , (4)

где сумма берётся по всевозможным перестановкам чисел

[ ]1 2 1 2, , , ; , , ,n ni i i r i i i=… … .

Определение. Число det A , вычисляемое по формуле (4), называется

определителем матрицы A n -го порядка, или просто определителем n -

го порядка.

Выражение det A читается «детерминант матрицы A », где тер-

мин детерминант переводится с французского языка на русский как оп-

ределитель.

Число перестановок равно !n , поэтому определитель n -го порядка

равен сумме из !n слагаемых, причём каждое слагаемое является произве-

дением n элементов, взятых из разных строк и столбцов.

Определителем матрицы первого порядка, образованной числом 11a ,

называется само это число, то есть:

11 11det a a⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦ .

Пользуясь определением, вычислим определители второго и третье-

го порядков.

Определитель матрицы второго порядка содержит два слагаемых: [ ]1,2

11 22 ( 1)a a⋅ ⋅ − и [ ]2,121 12 ( 1)a a⋅ ⋅ − ; первое произведение получает знак

плюс, второе – знак минус, то есть:

71

11 12

11 22 21 1221 22

a aa a a aa a = ⋅ − ⋅ . (5)

Определитель матрицы третьего порядка содержит 6 слагаемых:

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]

11 12 131,2,3 3,1,2 2,3,1

21 22 23 11 22 33 31 12 23 21 32 13

31 32 33

3,2,1 1,3,2 2,1,331 22 13 11 32 23 21 12 33

1 1 1

1 1 1 ,

a a a

a a a a a a a a a a a a

a a a

a a a a a a a a a

= ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ − +

+ ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ −

и здесь, если подсчитать число инверсий, получаем:

11 12 13

21 22 23 11 22 33 31 12 23 21 32 13

31 32 33

31 22 13 11 32 23 21 12 33 .

a a a

a a a a a a a a a a a a

a a a

a a a a a a a a a

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ −

− ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅

(6)

При вычислении определителя третьего порядка удобно пользовать-

ся правилом треугольников , которое символически можно запи-

сать так, как показано на рис. 40.

Пример 42 . Вычислить определитель матрицы

2 1 3

1 2 2

3 2 4

⎛ ⎞− ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜− ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

.

Рисунок 40

72

Решение: 2 1 3

1 2 2 2 2 4 1 2 3 1 2 3 3 2 3 2 2 2 1 1 4

3 2 4

16 6 6 18 8 4 6

−

− = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =

−

= + − − − + = −

Ответ: определитель матрицы равен – 6.

Формула (4) для определителя 4-го порядка содержит 24, а опреде-

лителя 5-го порядка - 120 слагаемых, поэтому эта формула при 3n > ис-

пользуется только для отдельных типов матриц; несколько примеров тако-

го рода вычислений вы найдёте в конце этого параграфа. Вместо неё для

вычисления определителей используются так называемые формулы Лап-

ласа или метод Гаусса.

Пример 43 . Что «определяет» определитель матрицы? Попыта-емся найти ответ на этот так называемый «детский» вопрос на примере решения систем линейных уравнений. Вы уже знаете (смотри примеры 1 и 23 ), что систему двух линейных уравнений

11 12 1

21 22 2

a x a y fa x a y f

⋅ + ⋅ =⎧⎨ ⋅ + ⋅ =⎩

, (7)

можно записать в виде матричного уравнения A X F⋅ = ,

где 11 12 1

21 22 2

; ;a a fx

A X Fa a fy⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞

= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

Найдём решения системы (7), используя метод исключения неизвестного: 11 12 1 22 11 22 12 22 1

22 11 12 21 22 1 12 221 22 2 12 21 12 22 12 2

( )a x a y f a a x a a y a f

a a a a x a f a fa x a y f a a x a a y a f

⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅⎧ ⎧⇒ ⇒ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅⎨ ⎨⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅⎩ ⎩

;

11 12 1 21 11 21 12 21 121 12 11 22 21 1 11 2

21 22 2 11 21 11 22 11 2

( )a x a y f a a x a a y a f

a a a a y a f a fa x a y f a a x a a y a f

⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅⎧ ⎧⇒ ⇒ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅⎨ ⎨⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅⎩ ⎩

.

Воспользуемся формулой (5) для определителя второго порядка и перепишем полученные равенства в следующем эквивалентном виде:

11 12 1 12

21 22 2 22

a a f ax

a a f a⋅ = ; 11 12 11 1

21 22 21 2

a a a fy

a a a f⋅ = . (8)

Теперь можно сделать некоторые выводы. Во-первых, если det 0A = , а по край-ней мере один из определителей, записанных в правых частях равенств (8), не равен нулю, то система (7) не имеет решения, то есть определитель матрицы коэффициен-тов A «определяет» условие существования решения системы. Во- вторых, если det 0A ≠ , то можно сразу указать единственное решение системы (7):

73

1 12

2 22

det

f af a

xA

= ;

11 1

21 2

det

a fa f

yA

= , (9)

то есть определители позволяют «определить» значения неизвестных для того слу-чая, когда решение системы единственно. Формулы (9) являются частным случаем формул для решения системы n линей-ных уравнений с n неизвестными, которые были получены немецким математиком Крамером и носят его имя. Далее в этой книге на эту тему будет доказана соответст-вующая теорема. Надеемся, что вам понятна закономерность, которой подчиняются определители, используемые в числителях формул Крамера. Поэтому, имея целью продолжить упражнения в методах вычисления определителей, покажем, как исполь-зуются определители при решениях систем третьего порядка.

Найдём решение системы (1.2) 0.1 0.7 1.6

2 3 0.5 0.50.1 2 0.9

x y zx y z

x y z

− ⋅ + ⋅ =⎧⎪− ⋅ + ⋅ − ⋅ =⎨⎪ ⋅ + − ⋅ = −⎩

из примера 1 . Для

этого составим и вычислим четыре определителя третьего порядка: 11 12 13

21 22 23

31 32 33

1 0.1 0.72 3 0.5 6 0.005 1.4 0.21 0.4 0.5 6.705

0.1 1 2

a a aa a aa a a

−Δ = = − − = − + − − + + = −

−;

1 12 13

2 22 23

3 32 33

1.6 0.1 0.70.5 3 0.5 9.6 0.045 0.35 1.89 0.1 0.8 6.7050.9 1 2

x

f a af a af a a

−Δ = = − = − − + + − + = −

− −;

11 1 13

21 2 23

31 3 33

1 1.6 0.72 0.5 0.5 1 0.08 1.26 0.035 6.4 0.45 6.705

0.1 0.9 2y

a f aa f aa f a

Δ = = − − = − − + − − − = −− −

;

11 12 1

21 22 2

31 32 3

1 0.1 1.62 3 0.5 2.7 0.005 3.2 0.48 0.18 0.5 6.705

0.1 1 0.9z

a a fa a fa a f

−Δ = = − = − − − − + − = −

−.

Теперь вычислим значения неизвестных по формулам Крамера: 6.705 6.705 6.7051; 1; 16.705 6.705 6.705

yx zx y zΔΔ − − Δ −

= = = = = = = = =Δ − Δ − Δ −

.

Если найденные значения подставить в уравнения системы (1.2), то все уравне-ния превратятся в точные равенства. Следовательно, использование определителей третьего порядка позволило найти решение системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными.

Пример 44 . Геометрический смысл определителя . В предыду-щем примере мы ответили на поставленный вопрос только частично, объяснив, что «определяет» определитель матрицы в линейной алгебре. Покажем, что «определяет» определитель в геометрии.

Рассмотрим произвольную матрицу второго порядка 11 12

21 22

a aA

a a⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

74

и отметим на координатной плоскости O xy (рис.41) точки 1 11 12( , )M a a и 2 21 22( , )M a a . Построим параллелограмм 1 2OM PM и найдём его площадь S :

1 2 sinS OM OM ϕ= ⋅ ⋅ . Преобразуем эту формулу, используя равенство 2 1ϕ ϕ ϕ= − и соотношения меж-

ду сторонами прямоугольных треугольников 1 1OK M и 2 2OK M :

1 2 2 1 1 2 2 1 1 2

1 1 2 2 1 1 2 2

1 2 2 1 1 2 11 22 12 21

sin( ) (sin cos sin cos )

( cos ) ( sin ) ( sin ) ( cos )

det

S OM OM OM OM

OM OM OM OM

OK K M K M OK a a a a A

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

= ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ =

= ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ =

= ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ =

.

Таким образом, определитель оказался ра-вен площади параллелограмма.

Если поменять местами строки матрицы A , то площадь параллелограмма не изменится, но значение определителя изменится на противо-положное (проверить самостоятельно!). Поэтому в общем случае можно утверждать, что абсо-лютная величина определителя равна площа-ди параллелограмма 1 2OM PM .

Рассмотрим произвольную квадратную матрицу третьего порядка

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aA a a a

a a a

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

и построим (рис. 42) параллелепипед 1 1 2 2 3 3OM PM P M P P , в котором три вершины име-ют следующие координаты:

1 11 12 13 2 21 22 23 3 31 32 33( , , ) ; ( , , ) ; ( , , )M a a a M a a a M a a a .

В курсе аналитической геометрии доказывается, что объём этого параллелепи-педа в точности равен абсолютной величине определителя матрицы A .

Пример 45 . ЭВМ против определителя : раунд пер -вый . Оценим число операций, кото-рое требуется для вычисления опреде-лителя квадратной матрицы n -го по-рядка по формуле (4). Предполагается, что все элементы матрицы отличны от нуля, то есть она является не разре-женной, а заполненной. Будем учи-тывать то, что на большинстве ЭВМ операция умножения двух чисел вы-полняется примерно в 2 раза дольше, чем операции сложения. Тогда, для

O

1M

2M

1K2K x

yP

2ϕ1ϕ

ϕ

Рисунок 41

O

1M

2M

3M

P

1P

2P3P

3P

x

y

z

Рисунок 42

75

того, чтобы получить все !n слагаемых формулы (4) (без определения их знака !) и найти их сумму потребуется выполнить

1 3 ( 1) !N n n= ⋅ − ⋅

операций сложения. Воспользуемся дан-ными таблицы значений факториала и выясним, что для определителя 20 - го порядка число N составляет приблизи-тельно 2012 10× . Если использовать ре-кордную по быстродействию суперЭВМ Marc – IV (приблизительно 1 млрд. опе-раций сложения в секунду), то на вычис-ление этих слагаемых для одного такого определителя понадобится приблизи-тельно 30 тысяч лет! Но ведь ещё нужно считать инверсии. Первый раунд ЭВМ проиграла, что и отражено на рис. 43.

Пример 46 . Определитель

треугольной матрицы . Пусть матрица AΔ является нижнетреугольной матрицей n - го порядка, то есть

11

21 22

1 2

0 ... 0... 0

... ... ... ......n n nn

aa a

A

a a a

Δ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Тогда в формуле (4) будут отличны от нуля только те слагаемые

1 21 2( 1) ...

n

ri i i na a a− ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ , у которых все ji j≥ . (10)

Поскольку числа ji различны, то условию (10) удовлетворяет только одна пере-

становка, в которой все ji j= ; соответственно этому в формуле (4) останется только

одно слагаемое 11 22( 1) ...rnna a a− ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ . Число инверсий r для этой перестановки равно

нулю. В результате, мы пришли к очень простому правилу: определитель ниж -нетреугольной матрицы равен произведению диагональных эле -ментов , то есть

11 22det ... nnA a a aΔ = ⋅ ⋅ ⋅ . (11)

Аналогичное правило выполняется для верхнетреугольной матрицы, в чём вам предлагается убедиться самостоятельно. Диагональная матрица является частным слу-чаем треугольной, поэтому и здесь

[ ]11 22 11 22det ( , , ... , ) ...nn nndiag d d d d d d= ⋅ ⋅ ⋅ . (12)

Следствие. Определитель единичной матрицы любого порядка равен 1, то есть

det 1I = . (13)

Рисунок 43

76

Пример 47 * . Определитель блочно -диагональной матрицы . Пусть квадратная матрица D N - го порядка является блочно-диагональной матрицей с квадратными блоками i iD порядка il , то есть

11

22

...

...... ... ... ...

... nn

DD

D

D

Θ Θ⎛ ⎞⎜ ⎟Θ Θ⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟Θ Θ⎝ ⎠

и 1 2 ... nl l l N+ + + = .

Если записать для определителя этой матрицы формулу (4) и отбросить в ней заведомо нулевые члены, то в этой формуле останется K слагаемых вида

1 21 2( 1) ...N

ri i i Nd d d− ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ , где 1 2( !) ( !) ... ( !)nK l l l= ⋅ ⋅ ⋅ .

К сожалению, число K обычно велико. Например, при значениях 1 2 3, , , 3l l l n =

(то есть для не очень большой блочно-диагональной матрицы 9-го порядка) 216K = . Поэтому находить при вычислении определителя сумму такого большого числа сла-гаемых практически невозможно. Однако в этом нет необходимости, поскольку для этих слагаемых все перестановки номеров строк оказываются ограничены пределами отдельных блоков i iD (или, как говорят математики, перестановки локализованы в блоках). Поэтому, если применить формулу (4) для каждого блока i iD , а затем пере-множить все n сумм между собой, то получится формула (4) для определителя матри-цы D со всеми её K слагаемыми.

Разумеется, для практики важно то, что это преобразование можно провести в прямо противоположную сторону. В результате мы приходим к следующему правилу: определитель блочно -диагональной матрицы равен произведению определителей диагональных блоков , то есть

[ ]11 22 11 22det ( , , ... , ) det det ... detnn nndiag D D D D D D= ⋅ ⋅ ⋅ . (14)

Обобщение. Аналогичное правило имеет место для определителя блочно – тре-

угольной матрицы. Вам предоставляется возможность сформулировать и доказать его самостоятельно.

Пример 48 * . Матрица из определителей . Вычислим определитель

матрицы блочной перестановки I

JIΘ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟Θ⎝ ⎠, где ,I Θ – единичная и нулевая матрицы

n - го порядка. При использовании для этой матрицы формулы (4) сумма будет содер-жать только одно ненулевое слагаемое, равное ( 1) r− , где

[ ]( 1), ( 2), ... , (2 ), 1, 2, ... ,r n n n n= + + ⋅ .

Определим число инверсий в этой перестановке. Каждое число из второй груп-пы (то есть, числа 1, 2, …, n ) образуют с числами первой группы n инверсий, следова-тельно, общее число инверсий 2r n= . В результате оказывается, что

det 1J = при чётном n и det 1J = − при нечётном n .

77

Замечание. Решённый пример позволяет избавиться от одной довольно распро-странённой иллюзии, которая может возникнуть у внимательного читателя после зна-комства с результатами предыдущих примеров 46 и 47 . Справедлива ли формула

det det deti j i jA A⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ?

Формула красива , и это, как всегда бывает в математике, важный аргумент в её пользу. Кроме того, для блочно – диагональных и блочно – треугольных матриц она соблюдается. Проверим её на примере матрицы блочной перестановки J .

Слева: det ( 1) nJ = − . Справа: det det 0 1

det det 0 0 1 1 1det det 1 0

IIΘ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = ⋅ − ⋅ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟Θ⎝ ⎠ ⎝ ⎠.

Таким образом, при чётном n равенства нет, следовательно, найден так назы-ваемый контр пример, который показывает, что эту формулу для общего случая до-казывать не зачем, поскольку здесь она не может быть верна. А жаль, неправда ли? Формула для вычисления определителя блочной матрицы нужна для практики, и по-этому позже мы обязательно вернёмся к этому вопросу.

§ 9. Формулы Лапласа

Рассмотрим определитель n -го порядка

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

nnn n

a a a

a a a

a a a

.

Определение. Минором элемента i ka называется определитель ( )1n − -ого

порядка, полученный из данного определителя вычеркиванием i -той строки и k -того

столбца.

Минор элемента ika обозначается ikM .

Пример 49 . Пусть дан определитель

2 1 4

5 7 8

3 1 2

−

−

−

.

Минор 32M элемента 32a =1, стоящего в третьей строке и втором столбце, равен:

32

2 44

5 8M = = − .

Определение. Алгебраическим дополнением ikA элемента ika назы-

вается минор этого элемента, взятый с определенным знаком, а именно:

78

( )1 i kik ikA M+= − ⋅ . (15)

Знаки при движении по строке или по столбцу матрицы чередуются, причём миноры всех элемен-тов главной диагонали используются в формуле (15) со знаком « + » (рис. 44).

Замечание. Внимательный читатель уже заметил, что раньше мы использовали обозначение i jA для записи элементов блочной матрицы. Такая ситуация называется в математике коллизией обозначений. Мы, конечно, могли бы избежать этой коллизии, изменив обозначения на менее удобные и непривычные, но не стали этого делать. Бло-ки матрицы и алгебраические дополнения её элементов обычно не соседствуют друг с другом в одной задаче; в этом или других учебниках по линейной алгебре вы не найде-те таких страниц, на которых использовалось бы и то, и другое понятие. Что касается смысла обозначения i jA , то он всегда ясен из контекста решаемой задачи.

Теорема 2 .3 (формулы Лапласа ). Определитель матрицы A

равен сумме произведений элементов какой-либо строки или столбца на

соответствующие алгебраические дополнения, то есть:

11 12 1

21 22 2

1

1 2

det

n

nn

ik ikk

nnn n

a a a

a a aA a A

a a a=

= = ⋅∑ , где 1,i n∈ ; (16)

11 12 1

21 22 2

1

1 2

det

n

nn

ik iki

nnn n

a a a

a a aA a A

a a a=

= = ⋅∑ , где 1,k n∈ . (17)

Доказательство. Докажем формулу (17) для случая, когда 1k = (то есть, для первого столбца). Заметим, что каждое слагаемое из суммы (4) содержит некоторый, причём единственный, элемент 1ia из первого столбца матрицы A . Каждый элемент 1ia содержится в ( 1) !n − слагаемых этой суммы, которые можно записать в виде отдель-ной группы. Если из каждой группы вынести элемент 1ia за скобки, то формула (4) примет такой вид:

...

...

.........

... ... ... ... ... ...

+ − + − +⎛ ⎞⎜ ⎟− + − + −⎜ ⎟⎜ ⎟+ − + − +⎜ ⎟− + − + −⎜ ⎟

⎜ ⎟+ − + − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Рисунок 44

79

11 11 21 21 1 1det ... n nA a S a S a S= ⋅ + ⋅ + + ⋅ , где 2 31 2 3( 1) ...

n

ri i i i nS a a a= − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅∑ ,

а сумма берётся по всевозможным перестановкам чисел

2 2, , ; 1, ; ; , , ,n nj ji i i n i i r i i i⎡ ⎤∈ ≠ = ⎢ ⎥⎣ ⎦… … .

Число инверсий r в соответствии с методом его вычислений, описанном в § 7, удовлетворяет такой формуле:

1( 1)r i r= − + , где выражение ( 1)i − определяет число инверсий номера i с остальными числами пере-становки 2, , , ni i i… ; а [ ]1 2, , nr i i= … .

Заметим, что 1 1( 1) ( 1)i i− +− = − , поэтому

1

2 3

1 11 2 3 1( 1) ( 1) ... ( 1)

n

ri ii i i i n iS a a a M+ += − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = − ⋅∑ .

Следовательно, 1 1i iS A= , и формула (17) для случая, когда 1k = , доказана. Для остальных столбцов теорема доказывается аналогично. Формула (16) будет доказа-на как следствие формулы (17) после изучения свойств определителя.

Применение формул (16) или (17) называется раскрытием опреде-

лителя по элементам i -той строки или k -того столбца, соответствен-

но.

Указание. Раскрытие определителя целесообразно проводить по той

строке или по тому столбцу, которые содержат максимальное число нуле-

вых элементов.

Пример 50 . Вычислить определитель матрицы

1 2 3 42 0 0 03 0 5 04 0 0 6

A

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Решение. Вторая строка матрицы содержит три нуля, поэтому раскроем опреде-литель по элементам этой строки:

21 2 2 23 2 4 21

2 3 4det 2 0 0 0 2 ( 1) 2 0 5 0 2 2 5 6 120

0 0 6A A A A A M= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ − ⋅ = − ⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅ = − .

Определитель третьего порядка вычислялся как определитель треугольной матрицы. Ответ: det 120A = − . Пример 51 . ЭВМ против определителя : раунд второй . Оценим число операций, которое потребуется для вычисления определителя заполненной мат-рицы n -го порядка по формулам Лапласа. Учтём, как и ранее в примере 45 , что операция умножения по длительности эквивалентна двум операциям сложения. Тогда раскрытие определителя n - го порядка по элементам первой строки потребует пример-

80

но 3 n⋅ операций сложения. Если раскрыть все миноры по элементам их первой строки, то на это потребуется ещё (3 ( 1))n n⋅ ⋅ − операций. Продолжая указанным образом пони-жать порядки миноров, мы можем вычислить определитель, потратив на это время, ко-торое примерно эквивалентно выполнению

2 3 !N n= ⋅

операций сложения. Число 2N оказалось меньшим числа 1N , но для определителей по-рядка 20n ≥ оно всё ещё чрезвычайно велико (время счёта - тысячи лет!). И поэтому второй раунд ЭВМ тоже проиграла (рис. 43).

Пример 52 * . Определитель цепной системы . Пусть дана трёхдиа-

гональная матрица n -го порядка

1 1

1 2 2

2 3

2 2

2 1 1

1

0 ... 0 0 0... 0 0 0

0 ... 0 0 0... ... ... ...... ... ...... 00 0 0...0 0 0... 00 0 0

n n

n n n

n n

d bc d b

c dA

d bc d b

c d

− −

− − −

−

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Обозначим определитель этой матрицы nx , где индекс n отвечает его порядку. Раскроем этот определитель по элементам нижней строки:

1 1 1 1n n n n n n n n n n n n nx c A d A c M d M− − − −= ⋅ + ⋅ = − ⋅ + ⋅ . (18)

Выпишем используемые миноры:

1 1

1 2 2

2 31

2

2 1

0 ... 0 0... 0 0

0 ... 0 0... ... ... ... ... ...0 0 0 ... 00 0 0 ...

n n

n

n n

d bc d b

c dM

dc b

−

−

− −

= ;

1 1

1 2 2

2 3

2 2

2 1

0 ... 0 0... 0 0

0 ... 0 0... ... ... ... ... ...0 0 0 ...0 0 0 ...

n n

n n

n n

d bc d b

c dM

d bc d

− −

− −

= .

Минор n nM аналогичен определителю матрицы A , но имеет порядок 1n − , по-этому его можно обозначить 1nx − . Минор 1n nM − можно раскрыть по элементам 1n − - го столбца, в котором имеется только один элемент, отличный от нуля:

1 1 2n n n nM b x− − −= ⋅ , где величина 2nx − обозначает определитель 2n − - го порядка, который получается из определителя матрицы A после вычёркивания двух последних строк и столбцов. После выполненных преобразований уравнение (18) принимает следующий вид:

1 1 1 2( )n n n n n nx d x b c x− − − −= ⋅ − ⋅ ⋅ .

Аналогичное соотношение выполняется для определителей, имеющих порядок k n≤ :

81

1 1 1 2( )k k k k k kx d x b c x− − − −= ⋅ − ⋅ ⋅ 3,k n∈ . (19)

Формула (19) даёт ещё один пример рекуррентных зависимостей. Для её практи-ческого использования необходимо найти значения двух определителей: 1x и 2x .

Составим и вычислим эти определители:

[ ] 1 11 1 1 2 1 2 1 1

1 2

det ; detd b

x d d x d d b cc d

⎛ ⎞= = = = ⋅ − ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠. (20)

Теперь можно найти определитель 3x :

3 3 2 2 2 1( )x d x b c x= ⋅ − ⋅ ⋅ ; затем – определитель 4x :

4 4 3 3 3 2( )x d x b c x= ⋅ − ⋅ ⋅ , и так далее.

В рассмотренном выше общем случае после использования рекуррентных фор-мул может быть получено конкретное числовое значение определителя n - го порядка. Рассмотрим частный случай, когда все коэффициенты, стоящие вдоль диагонали, принимают одинаковое значение (то есть все id d= , все ib b= и все ic c= ), и получим аналитическую формулу для определителя.

Пусть, например, требуется вычислить определитель симметричной матрицы 10 - го порядка следующего вида

5 2 0 ... 02 5 2 ... 00 2 5 ... 0... ... ... ... ...0 0 0 ... 5

A

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

,

то есть при конкретных числовых значениях параметров 5; , 2; 10d b c n= − = = .

Для этого случая равенства (19) и (20) примут следующий вид:

1 2( )k k kx d x b c x− −= ⋅ − ⋅ ⋅ или 1 25 4k k kx x x− −= − ⋅ − ⋅ ; (21)

21 2;x d x d b c= = − ⋅ или 1 25; 21x x= − = . (22)

Уравнения вида (21) относится к классу так называемых разностных линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Математики давно нашли аналитиче-ский метод решения таких уравнений. В соответствие с этим методом будем искать решение в виде k

kx y= , где y - некоторое неизвестное пока постоянное число. Под-становка этого решения в уравнения (21) приводит к равенствам

1 2( )k k ky d y b c y− −= ⋅ − ⋅ ⋅ или 1 25 4k k ky y y− −= ⋅ − ⋅ ,

которые после сокращения на степень 2 0ky − ≠ оказываются эквивалентными квадрат-ным уравнениям

82

2 ( ) 0y d y b c− ⋅ + ⋅ = или 2 5 4 0y y+ ⋅ + = . (23)

Уравнение (23) называется характеристическим. Найдём корни этого уравне-ния – 1 24, 1y y= − = − – и составим из них следующую сумму:

1 1 2 2

k kkx C y C y= ⋅ + ⋅ , то есть 1 2( 4) ( 1)k k

kx C C= ⋅ − + ⋅ − (24)

где 1 2,C C – некоторые числа. Нетрудно проверить, что величина kx , определяемая равенством (24), является решением уравнения (21) при любых значениях 1 2,C C . В теории разностных линейных уравнений доказано, что если квадратное характеристическое уравнение имеет пару различных корней 1 2,y y , то любое решение уравнения (21) может быть записано в форме (24), то есть это равенство даёт общее решение уравнения. В случае кратного корня (то есть, когда 1 2y y= ) общее решение уравнения (21) имеет вид

1 1 2 1k k

kx C y C y k= ⋅ + ⋅ ⋅ .

Рассмотренной выше последовательности определителей будет отвечать част-ное решение этого уравнения, удовлетворяющее начальным условиям (22).

Частное решение получается из общего после определения конкретных значений для чисел 1 2,C C . Найдём эти значения, для чего подставим формулу (24) в равенства (22):

2 21 1 2 2 1 2( 4) ( 1) 5; ( 4) ( 1) 21x C C x C C= ⋅ − + ⋅ − = − = ⋅ − + ⋅ − = , то есть 1 2

1 2

4 516 21

C CC C⋅ + =⎧

⎨ ⋅ + =⎩ . (25)

Решая систему (25), получаем: 1 24 1;3 3

C C= = − . Следовательно, определителю

n - го порядка отвечает формула

4 1( 4) ( 1)3 3

n nnx = ⋅ − − ⋅ − ,

а определителю 10 – го порядка – число 11

10 (4 1) / 3 1398101x = − = . Примечание. Матрица C цепной механической системы (пример 13 ) отли-

чается от рассмотренного здесь частного случая тем, что в ней крайние элементы глав-ной диагонали не равны остальным элементам. Поэтому здесь формулы (21) справед-ливы не для всех 3,k n∈ , а только для случая, когда 4, 1k n∈ − , и чтобы воспользовать-ся ими, нужно в качестве начальных условий взять пару значений 2 3,x x . После нахож-дения определителя 1nx − , искомый определитель n - го порядка вычисляется по форму-ле (19), полученной для общего случая. Вам предлагается самостоятельно воспользо-ваться этими рекомендациями и найти определитель матрицы C из примера 13 для значений 1; 16c n= = (то есть для железнодорожного состава из локомотива и 16-ти вагонов).

83

§ 10. Понятие линейной зависимости

Пусть задана совокупность (то есть, здесь и далее, конечное множе-

ство) k векторов-столбцов одинакового размера:

11 12 1

21 22 21 2

1 2

; ;... ... ...

k

k

k

n n nk

a a a

a a aA A A

a a a

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜= = =⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎟ ⎟ ⎟

.

Нулевой столбец того же размера будем обозначать, как и ранее, Θ .

Определение. Выражение вида

1 1 2 2 k kA A Aα α α⋅ + ⋅ + + ⋅

называется линейной комбинацией столбцов, а скалярные множители

1 2, , , kα α α… называются коэффициентами линейной комбинации. Ли-

нейная комбинация, у которой все коэффициенты равны нулю, называется

тривиальной; в противном случае комбинация называется нетривиаль-

ной.

Очевидно, что линейная комбинация столбцов есть некоторый стол-

бец того же размера. Тривиальная линейная комбинация любой совокуп-

ности столбцов равна Θ .

Определение. Совокупность столбцов 1 2, , , kA A A… называется ли-

нейно независимой, если из равенства

1 1 2 2 k kA A Aα α α⋅ + ⋅ + + ⋅ = Θ следует 1 2 0kα α α= = = = ,

то есть не существует их нетривиальных комбинаций, равных нулю.

Совокупность столбцов называется линейно зависимой, если существует

их нетривиальная линейная комбинация, равная нулю.

Каждый столбец iA высоты n может быть представлен в виде сле-

дующей линейной комбинации:

84

1

2

3 1 2 3 1 1 2 2 3 3

1 0 0 00 1 0 0

... ...0 0 1 0... ... ... ... ...

0 0 0 1

i

i

ii i i i ni i i i n i n

ni

aaaA a a a a a E a E a E a E

a

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

,

где каждый столбец 1i jE e⎡ ⎤= ⎣ ⎦ устроен так, что все его элементы 1je равны

0 при j i≠ и равны 1 при j i= .

Определение. Совокупность столбцов 1 2, , ... , nE E E называется кано-

нической совокупностью.

Каноническая совокупность линейно независима, что очевидно.

Теорема 2 .4 . Совокупность столбцов 1 2, , , kA A A… линейно зави-

сима в том и только в том случае, когда хотя бы один из столбцов является

линейной комбинацией остальных.

Доказательство. Пусть совокупность столбцов 1 2, , , kA A A… линейно зависима.

Покажем, что один из столбцов есть линейная комбинация остальных. Составим ли-нейную комбинацию столбцов и приравняем её к нулю

1 1 2 2 k kA A Aα α α⋅ + ⋅ + + ⋅ = Θ (26) В силу линейной зависимости столбцов, хотя бы один из коэффициентов не равен ну-лю. Не нарушая общности, можно считать, что 1 0α ≠ . Преобразуем равенство (26), разделив его на коэффициент 1α :

21 2

1 1

0kkA A A

ααα α

+ ⋅ + + ⋅ = ,

откуда

1 2 2 k kA A Aβ β= ⋅ + + ⋅ , где ( )1

2, 3, ,ii i k

αβ

α= − = … ,

то есть столбец 1A есть линейная комбинация остальных столбцов. Теперь предположим, что один из столбцов есть линейная комбинация осталь-ных, и докажем их линейную зависимость. Пусть этот столбец имеет номер i , то есть

1 1 2 2 1 1 1 1i i i i i k kA j A j A j A j A j A− − + += ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ + + ⋅ . Тогда 1 1 2 2 1 1 1 1i ii i i i k kj A j A j A j A j A j A− − + +⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ = Θ , (27)

где 1ij = − . Равенство (27) означает, что столбцы 1 2, , , kA A A… линейно зависимы.

Теорема доказана.

85

Следствие. Если один из столбцов 1 2, , , kA A A… нулевой, то совокуп-ность столбцов линейно зависима.

Действительно, нулевой столбец является тривиальной линейной комбинацией остальных столбцов.

Теорема 2 .5 . Если в совокупности столбцов 1 2, , , nA A A… каждый

столбец представляет собой линей-

ную комбинацию одних и тех же

столбцов 1 2, ,..., kB B B и n k> , то

столбцы этой совокупности линейно

зависимы.

Доказательство этой теоремы бу-

дет приведено в этой книге позже. Здесь же мы дадим ей геометрическую интер-претацию. Пусть 2k = , а столбцы 1B и 2B имеют следующий вид:

1 2

1 1 2 2

1 2

;x x

B y B yz z

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

Отметим на рис. 45 точки 1 1 1 1( , , )M x y z , 2 2 2 2( , , )M x y z ; если столбцы 1 2,B B ли-нейно независимы, то они не пропорциональны друг другу, и прямые 1 2,OM OM не сливаются в одну общую линию. Проведём через эти точки и начало координат плос-кость 1 2OM M , при условии линейной независимости столбцов такая плоскость единст-венная.

Образуем линейную комбинацию iA столбцов 1 2,B B , используя для этого произ-вольные числовые коэффициенты ,i iα β :

1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

i i

i i i i i i i

i i

x x x x xA B B y y y y y

z z z z z

α βα β α β α β

α β

⎛ ⎞⋅ + ⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⋅ + ⋅⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

.

В курсе аналитической геометрии доказывается, что при любых значениях ко-эффициентов ,i iα β точка ( , , )N x y z также принадлежит этой плоскости 1 2OM M .

Пусть линейным комбинациям 1 2, , ... , nA A A на рис.45 соответствуют точки

1 2, , ... , nN N N . Если все эти точки лежат на одной прямой, проходящей через начало координат, то столбцы 1 2, , ... , nA A A пропорциональны друг другу, а, значит, линейно зависимы.

1N

2N

3N4N

5N

x

y

z

O

1M

2M1L

2L

Рисунок 45

86

На рис. 45 изображён другой случай, когда точки 1 2,N N не лежат на одной пря-мой, проходящей через начало координат. Тогда любой столбец iA , например столбец

3A , может быть представлен в виде следующей линейной комбинации:

3 1 2A A Aα β= ⋅ + ⋅ , где коэффициенты ,α β определяются формулами

1 2

1 2

;OL OLON ON

α β= = .

Теперь осталось привести формальное обоснование линейной зависимости всей совокупности строк 1 2, , ... , nA A A . Для этого составим следующую линейную комбина-цию:

1 2 3 40 ... 0 nA A A A Aα β⋅ + ⋅ − + ⋅ + + ⋅ = Θ . Коэффициент перед столбцом 3A не равен нулю, следовательно, данная линей-

ная комбинация является нетривиальной, и столбцы 1 2, , ... , nA A A линейно зависимы.

Следствие. В любой неквадратной матрице A размера m n× , у

которой число строк m меньше числа столбцов n , совокупность

столбцов линейна зависима.

Действительно, каждый из n столбцов iA этой матрицы представляет собой ли-нейную комбинацию столбцов iE из канонической совокупности 1 2, , ... , mE E E , причём в данном случае выполняется условие n m> .

Примечание. Определения и утверждения, приведённые выше для

матриц-столбцов, имеют место и для матриц-строк. В частности, справед-

ливо следующее утверждение: в любой неквадратной матрице A

размера m n× , у которой число строк m больше числа

столбцов n , совокупность строк линейна зависима .

Пример 53 . Главная загадка линейной алгебры . Посмотрите вни-

мательно на квадратную матрицу третьего порядка

1 2 34 5 65 7 9

A⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

;

в ней третья строчка равна сумме первых двух строк, следовательно, строки этой мат-рицы линейно зависимы. Это утверждение очевидно, по правде говоря, сама матрица A составлялась так, чтобы её строки были линейно зависимы. Спрашивается, будут ли линейно зависимы столбцы этой матрицы? Ответ не очевиден, но после нескольких не-удачных попыток нам всё же удалось подобрать коэффициенты для такого равенства:

87

1 2 3 01 4 2 5 1 6 0

5 7 9 0

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ − ⋅ + ⋅ = = Θ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

,

то есть столбцы оказались тоже линейно зависимы. Далее в нашем курсе вы узнаете, что это совпадение не случайно, а закономерно, причём будет предложено несколько доказательств этой закономерности. Парадокс заключается в том, что все эти доказа-тельства являются формальными, и никто до сих пор не дал простого объяснения тому факту, почему у квадратной матрицы порядка 3n ≥ линейная зависимость строк обязательно сопровождается линейной зависимостью столбцов.

§ 11. Свойства определителей

Свойство 1. Для любой квадратной матрицы A det det TA A= ,

то есть, определители взаимно транспонированных матриц одинаковы.

Доказательство. Выпишем в развёрнутом виде detA и det TA :

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...det ... ... ... ...

...

n

n

nnn n

a a a

a a aA

a a a

= ;

11 21 1

12 22 2

1 2

...

...det ... ... ... ...

...

n

nT

nnn n

a a a

a a aA

a a a

= .

Доказательство проведём методом математической индукции. Кратко объяс-

ним (или напомним) суть этого метода. Индукцией в математической логике называ-ется переход от анализа частных случаев к формулировке и доказательству общей за-кономерности. Пусть требуется доказать справедливость некоторого утверждения, за-висящего от значений натурального числа n , причём известно, что для некоторого на-чального значения 0n числа n (например, при 1n = ) это утверждение верно. Число 0n называется базой индукции. Далее выполняется так называемый шаг индукции, то есть делается предположение, что данное утверждение справедливо при всех значениях

0 ,n n k∈ (предположение индукции), и на основе этого предпринимается попытка до-казательства этого утверждения для значения 1n k= + . Если такая попытка оказывается удачной, то данное утверждение считается доказанным для всех 0n n≥ , что очевидно.

Для определителей первого и второго порядков (база индукции) это свойство легко проверить непосредственно (смотри формулу (5)):

11 12 11 2111 22 21 12

21 22 12 22

det det Ta a a aA a a a a A

a a a a= = ⋅ − ⋅ = = .

Выполним шаг индукции. Пусть утверждение верно для определителей всех

порядков до( )1k − -ого порядка включительно. Покажем, что это утверждение верно для определителя матрицы A k - го порядка.

88

Раскроем detA по первой строке, а det TA по первому столбцу:

11 1 1 1

1 1

det ( 1)n n

ii i i i

i i

A a A a M+

= == ⋅ = ⋅ − ⋅∑ ∑ ; (28)

1 1

11 1

1 1

det ( 1)i i

n nT T i T

i ii i

A a A a M+

= == ⋅ = ⋅ − ⋅∑ ∑ . (29)

Миноры 1 iM и 1TiM являются определителями ( 1)k − -го порядка для пары взаимно

транспонированных матриц, поэтому, по предположению индукции 1 1T

i iM M= . Срав-

нивая равенства (28), (29), получаем:

det det TA A= .

Следовательно, свойство 1 доказано для матриц любого порядка n .

Следствие. Вернёмся к доказательству формул Лапласа и покажем, что формула (16) является следствием формулы (17). Используя формулу (17), раскроем определи-тель матрицы TA по элементам i - того столбца:

11 21 1

12 22 21 1 2 2

1 2

...

...det ...

... ... ... ......

n

nT T T Ti i i i i n i n

n n nn

a a aa a a

A a A a A a A

a a a

= = ⋅ + ⋅ + + ⋅ . (30)

Если в левой и правой части равенства (30) выполнить замены:

det det ;T Ti k i kA A A A= = ,

то это равенство совпадёт с формулой (16).

Замечание. Доказанное свойство 1 означает, что все результаты,

полученные для столбцов определителя, справедливы и для его строк.

Свойство 2. Если каждый элемент i -того столбца представить в ви-

де суммы двух слагаемых, то имеет место следующее равенство:

11 1 1 1 11 1 111 1 1

21 2 221 2 2 2 21 2 2

11 1

.

i i n i ni n

i ni i n i n

nnninnn nnni ni nin n

a a b a a b aa a a

a a aa a b a a b a

a a aa a b a a b a

+

+= +

+

89

Доказательство. Раскроем исходный определитель по i -тому столбцу

( )

11 1 1 1

21 2 2 2

1 1 1

1

i i n

n n ni i n

ki ki ki ki ki ki kik k k

nnni nin

a a b a

a a b aa b A a A b A

a a b a= = =

+

+= + ⋅ = ⋅ + ⋅ =

+

∑ ∑ ∑

11 1 111 1 1

21 2 2 21 2 2

1 1

.

i ni n

i n i n

nnnin nnnin

a b aa a a

a a a a b a

a a a a b a

= +

Свойство 2 доказано . Примечание. Доказанное свойство 2 не означает (как это кому-то

может показаться), что det ( ) det detA B A B+ = + . Такое равенство для матриц

порядка 2n ≥ выполняется редко и является исключением из правила, ко-торое выглядит так:

det ( ) det detA B A B+ ≠ + .

Свойство 3. При умножении строки или столбца матрицы на число

λ определитель матрицы также умножается на это число. Доказательство. По теореме 2 . 3 имеем:

11 12 1

1 21

1 2

det

n

n

ini i ik ikk

nnn n

a a a

a a aA a A

a a a

== = ⋅∑ .

Умножим i -тую строку матрицы A на число λ и вычислим полученный опре-

делитель:

11 12 1

1 21 1

1 2

det

n

n n

ini i ik ik ik ikk k

nnn n

a a a

a a a a A a A A

a a a

λ λ λ λ λ λ= =

⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅∑ ∑ .

Свойство 3 доказано .

90

Свойство 3 можно сформулировать следующим образом: посто-янный множитель из строки или столбца матрицы можно выносить за знак определителя. Из свойства 3 следует очевидное равенство:

( )det detnA Aλ λ⋅ = ⋅ , где n – порядок матрицы A .

Свойство 4. При перестановке двух любых строк или столбцов мат-

рицы знак её определителя меняется на противоположный, а его абсолют-

ная величина остаётся неизменной. Доказательство. По определению

( ) 1 21 2

11 12 1

1 2, , , , , , ,

1 2

1 2

1 2

det 1kk k

njk

n

jj j

n

i ni ii i i i i

i ni i

i ni i

nnn n

a a a

a a a

A a a aa a a

a a a

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦= = −∑ … … … … , (31)

где сумма берётся по всевозможным перестановкам чисел 1 2, , , ni i i… . Переставим строки с номерами ki и ji (но оставим все остальные без изменения) и вычислим полу-ченный определитель:

( ) 1 21 2

11 12 1

1 2, , , , , , ,

1 2

1 2

1 2

1jj j

nj k

n

kk k

n

i ni ii i i i i

i ni i

i ni i

nnn n

a a a

a a a

a a aa a a

a a a

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦= −∑ … … … … , (32)

В силу теоремы 2 . 2 слагаемые суммы (32) отличаются от соответствующих

слагаемых суммы (31) только знаком, откуда и следуют оба утверждения свойства 4 .

Свойство 5. Если в матрице A имеются две одинаковые строки либо

столбца, то det 0A = .

91

Доказательство. Действительно, переставив одинаковые строки, по свойству 4 получаем:

det detA A= − , откуда

det 0A = . Свойство 5 доказано.

Свойство 6. Если один из столбцов матрицы A является линейной

комбинацией остальных столбцов, то det 0A = .

Доказательство. Введём обозначения:

11 12 1

21 22 2

1 2

det

n

n

nnn n

a a a

a a aA

a a a

= ;

11

21

1

1n

a

aA

a

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜⎝ ⎠⎟

;

12

22

2

2n

a

aA

a

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜⎝ ⎠⎟

; …;

1

2

n

n

n

nn

a

aA

a

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜⎝ ⎠⎟

.

Пусть столбец kA является линейной комбинацией остальных столбцов, т.е.

1 1 1 1 1 11

n

n n i ik k k k ki

A A A A A A i kα α α α α− − + +=

= ⋅ + + ⋅ + ⋅ + + ⋅ = ⋅ ≠∑… … .

По свойству 2 разложим detA в сумму 1n − определителей. Вынесем из столбцов полученных определителей коэффициенты линейной комбинации и будем в каждом определителе иметь по два равных столбца. Откуда следует, что det 0A = .

Свойство 6 доказано. Примечание. Напомним (смотри теорему 2 .4 ), что представление

одного столбца матрицы в виде линейной комбинации остальных столбцов означает, что столбцы этой матрицы линейно зависимы. Поэтому, а так же учитывая свойство 1 , свойство 6 может быть сформулировано в сле-дующем эквивалентном виде: если в матрице совокупность строк (или совокупность столбцов ) линейно зависима , то определитель этой матрицы равен нулю .

Свойство 7. Определитель матрицы A не изменится, если к какой-

либо из строк прибавить линейную комбинацию остальных строк.

Доказательство. Действительно, по свойству 2 полученный определитель

можно представить в виде суммы исходного определителя и определителя, одна из строк которого является линейной комбинацией остальных. По свойству 6 второй определитель равен нулю.

Свойство 7 доказано.

92

Свойство 8. Если квадратная матрица A представлена в виде про-

изведения A B C= ⋅ , причём строки матрицы B или / и столбцы матрицы C

линейно зависимы, то det 0A = .

Доказательство. Пусть столбцы iC матрицы C линейно независимы. Предста-

вим эту матрицу в виде блочного вектора – строки: ( )1 2 ... nC C C C= . Тогда в со-ответствие с правилами перемножения блочных матриц мы можем выполнить следую-щее преобразование:

( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2... ... ...n n nA B C B C C C B C B C B C A A A= ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ,

где i iA B C= ⋅ – столбцы матрицы A . Покажем, что эти столбцы линейно зависимы. Действительно, из линейной зави-симости столбцов iC вытекает существование их нетривиальной линейной комбинации

1 1 2 2 ... n nC C Cα α α⋅ + ⋅ + + ⋅ = Θ . Умножим это равенство слева на матрицу B :

1 1 2 2 ... n nB C B C B C Bα α α⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ = ⋅Θ , то есть 1 1 2 2 ... n nA A Aα α α⋅ + ⋅ + + ⋅ = Θ . Таким образом, столбцы матрицы A оказались линейно зависимы, и по свой -ству 6 det 0A = . Если матрица B имеет линейно зависимые строки, то для доказательства этого свойства достаточно транспонировать обе части равенства A B C= ⋅ :

T T TA C B= ⋅ . Теперь матрица TB имеет линейно зависимые столбцы, а это означает, что det 0TA = . Отсюда, по свойству 1 , det 0A = . Свойство 8 доказано .

Свойство 9. Сумма произведений элементов какого-либо ряда

(строки или столбца) на алгебраические дополнения элементов другого

параллельного ряда равна нулю, то есть:

10

n

i k j kk

a A=

⋅ =∑ , если i j≠ , и 1

0n

k i k jk

a A=

⋅ =∑ , если i j≠ . (33)

Доказательство. Заменим в матрице A все элементы j -той строки на соответ-ствующие элементы i -той строки; в результате получим новую матрицу B с двумя одинаковыми строками. Определитель этой матрицы B по свойству 5 равен нулю. Используя формулу Лапласа (16), раскроем этот нулевой определитель по элементам j -той строки:

1

det 0n

j k j kk

B b B=

= ⋅ =∑ . (34)

93

Учтём, что j k i kb a= , и поскольку остальные строки у матриц A и B одинако-вые, то j k j kB A= . После таких замен равенство (34) совпадёт с первой формулой (33). Вторая формула (33) доказывается аналогично. Свойство 9 доказано.

Примечание. Многим внимательным читателям может показаться, что свой -ство 9 попало в перечень основных свойств определителя по ошибке, поскольку и само это свойство можно трактовать как ошибку при применении формул Лапласа (то есть, взяли не ту строку или не тот столбец, “что нужно”). Однако скоро вы узнаете, что это свойство будет играть ключевую роль при выводе формул Крамера и определе-нии фундаментального понятия линейной алгебры – так называемой обратной мат-рицы.

Свойство 10. Для любых квадратных матриц A и B одинакового

порядка имеет место равенство

( )det det detA B A B⋅ = ⋅ .

Следствие. Матрицы A B⋅ и B A⋅ , вообще говоря, не равны между

собой, но их определители одинаковы.

Действительно, ( ) ( )det det det det det detA B A B B A B A⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ .

Свойство 10 имеет технически сложное доказательство. Поэтому ограни-чимся рассмотрением примера, содержащего геометрическое обоснование этого свой-ства.

Пример 54 . Перемножение определителей на дисплее “Пен -

тиума” .Пусть даны две квадратные матрицы второго порядка A , B и требуется вы-

числить определитель их произведения A B⋅ . Для решения этой задачи воспользуемся услугами графического редактора “VISIO”, входящего в пакет стандартного математи-ческого обеспечения персональной ЭВМ. Построим на дисплее квадрат OKPL (рис. 46 а), сторону которого будем считать равной единице. Соблюдая масштаб, поставим на экран точки 1 11 12( , )K b b и 1 21 22( , )L b b , где координаты i jb являются элементами матрицы

1P

K

L

O

1K

1L

P

O

1K

1L 1P

N

M O

NF F1N

1M1F

2K

2L

2P

a б вРисунок 46

94

11 12

21 22

b bB

b b⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

. Далее сгруппируем объект «квадрат – оси координат», дублируем его и,

используя доступные в этом редакторе средства трансформации изображения (дефор-мацию, масштабирование, перенос), совместим на дубле точки ,K L с точками 1 1,K L , соответственно. При этом квадрат OKPL трансформируется в параллелограмм 1 1 1OK PL , причём, как показано в примере 44 , отношение площадей параллелограмма 1S и квадрата 0S будет в точности равно модулю определителя матрицы B , то есть

1

0

detS BS

= или 1 0 det detS S B B= ⋅ = .

Здесь важно подчеркнуть следующее. С точки зрения старой системы координат (которая в результате трансформации из прямоугольной превратилась в косоугольную) все координаты точек квадрата остались прежними, и его площадь не изменилась. На самом деле мы видим, что она изменилась, причём можем учесть это изменение путём введения соответствующего коэффициента.

Определение. Коэффициенты изменения площади (или объёма), связанного с изменением системы координат, в математике называются якобианами в честь знаме-нитого математика Якоби и обозначаются буквами j .

Таким образом, для выполненного преобразования якобиан 1 detj B= . Теперь сгруппируем получившийся параллелограмм вместе с новым единичным

квадратом OMFN (рис. 46 б). Соблюдая масштаб, поставим на экран точки 1 11 12( , )M a a и 1 21 22( , )N a a , где координаты i ja являются элементами матрицы

11 12

21 22

a aA

a a⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

, и используя графические трансформации, совместим точки ,M N с

точками 1 1,M N , соответственно (рис. 46 в). При этом квадрат OMFN трансформиру-ется в параллелограмм 1 1 1OM F N , причём, отношение площадей параллелограмма 2S и квадрата 0S будет в точности равно модулю определителя матрицы A , то есть

22

0

detS j AS

= = или 2 0 det detS S A A= ⋅ = .

Поскольку объект был сгруппирован, то одновременно с этим параллелограмм 1 1 1OK PL трансформировался в параллелограмм 2 2 2OK P L , причём, как это следует из ре-

зультатов примера 24 , координаты точек 2K и 2L являются, соответственно, эле-ментами первой и второй строки матрицы C A B= ⋅ . Поэтому, площадь 3S параллело-грамма 2 2 2OK P L удовлетворяет аналогичному равенству:

33

0

detS j CS

= = или 3 0 det detS S C C= ⋅ = .

С другой стороны, при трансформациях площади всех объектов изменяются одинаково, поэтому

3 2

1 0

S SS S

= или det

detdet

CA

B= , то есть det ( ) det detA B A B⋅ = ⋅ .

95

Покажем, что модули в этом равенстве можно убрать. При переходе от рис. 46 б к рис. 46 в все трансформации выполнялись так, что изображение на дисплее изменя-лось непрерывным образом (перевороты относительно осей симметрии не использова-лись). Следовательно, матрица этой трансформации является непрерывной матрицей - функцией ( )F t времени t , изменяющейся от начального значения (0)F I= до конечно-го значения ( )F T A= , где T - продолжительность деформации, причём в каждый мо-мент времени выполняется равенство

det ( ( ) ) det ( ) detF t B F t B⋅ = ⋅ .

Перепишем это равенство для якобианов в следующей форме:

det ( ( ) ) det ( ) detF t B F t B⋅ = ± ⋅

и определим правильный знак для его правой части. При значении 0t = оно принимает вид det 1 detB B= ± ⋅ , значит здесь нужно

использовать знак плюс. Трансформация выполнялась так, что деформируемый квад-ратOMFN не вырождался в отрезок, поэтому определитель матрицы ( )F t не обращает-ся в нуль ни при каком значении t . Следовательно, знак в этом равенстве измениться не может, и мы имеем

det ( ) det detA B A B⋅ = ⋅ . Если точки 1M и 1N поменять местами, то в процессе деформации воз-никнет такой момент вре-мени *t , при котором де-формируемый квадрат OMFN выродится в отре-зок *OF (рис. 47 а). Но при этом и деформируе-мый параллелограмм

1 1 1OK PL выродится в отре-зок *OP . При дальнейшей де-

формации оси косоугольной системы координат изменят свою ориентацию (рис. 47 б), а в равенстве

det ( ( ) ) det ( ) detF t B F t B⋅ = ⋅

левая и правая часть одновременно изменят свой знак на противоположный. Ясно, что такое же обоснование можно выполнить для определителей третьего

порядка, но для его графической интерпретации понадобится другой редактор. Пример 55 * . Транспонирование якобиана . Опираясь на ход реше-

ния и результаты примеров 44 и 54 , попытайтесь найти простое геометрическое обоснование свойства 1 для определителей (то есть, доказать, что равенство det det TA A= выполняется потому, что равны площади или объёмы соответствующих фигур или тел). Если матрица A имеет второй порядок, то вы без особого труда сможе-те найти такое обоснование. Но мы обязаны предупредить о том, что д л я ма т рицы т р е т ь е г о п о р я д к а э т о г о н е у д а л о с ь с д е л а т ь ещ ё ник ому .

45В

O

N F

1N

1M

45В

O

N F

1N

1M

1F

2K

2L 2P

y

x

1x

1y

y

*F*P

x

a б

Рисунок 47

96

Пример 56 . Расщепление определителя цепной системы . Если квадратную матрицу C удалось представить в виде произведения двух треугольных матриц A и B (смотри § 4) , то её определитель в силу свойства 9 может быть най-ден по следующей простой формуле:

11 22 11 22det ( ... ) ( ... )nn nnC a a a b b b= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ .

Используем этот приём для вычисления определителя матрицы коэффициентов C цепной механической системы. В примере 38 для этой матрицы было получено представление

TC A A= − ⋅ ,

где A , TA – верхнее- или нижнетреугольная матрица, имеющая одинаковые диаго-нальные элементы, равные c .

Таким образом, 2 2det det( ) det ( 1) det det ( 1) (det ) ( 1) (( ) ) ( 1)T n T n n n n nC A A A A A c c= − ⋅ = − ⋅ ⋅ = − ⋅ = − ⋅ = − ⋅ .

Сравните этот результат с тем, который вы получили при решении примера 52 . Обращаем внимание на любопытную закономерность: все определители чётного порядка положительны, нечётного порядка – отрицательны. Попробуйте обосно-вать эту закономерность для произвольной неположительной матрицы n - го порядка.

§ 12. Вычисление определителя по методу Гаусса

Выше уже говорилось о том, что вычисление определителей высоко-

го порядка ( 4n ≥ ), как правило, проводится по методу Гаусса. Метод Гаус-

са включает в себя два этапа.

1. Используя свойства определителя, приводим матрицу к верхне-

треугольному виду.

2. Определитель треугольной матрицы вычисляем как произведение

элементов главной диагонали.

С алгоритмом (то есть порядком действий) метода Гаусса позна-

комимся в ходе решения следующего примера.

Пример 57 . Вычислить определитель

1 2 3 0

1 1 2 1det

3 2 1 1

1 1 2 1

A

−

−=

−

− −

.

97

Решение. Начинаем выполнение первого этапа с того, что получим во всех пози-циях первого столбца, кроме самой верхней, нули. Верхняя строка объявляется рабо-чей, остальные строки называются текущими. Для каждой текущей i - той строки подбирается такой коэффициент ik , чтобы в результате сложения данной строки и ра-бочей строки, умноженной на этот коэффициент, первый элемент текущей строки был равен нулю. После нахождения этих коэффициентов выполняются указанные преобра-зования строк. При этом в силу свойства 7 величина определителя не меняется.

В соответствии с указанным выше порядком, прибавим ко второй строке пер-вую, умноженную на коэффициент 2 1k = − , к третьей строке – первую, умноженную на коэффициент 3 3k = − , и к четвертой – первую строку, получим

1 2 3 0

0 1 1 1det

0 4 8 1

0 3 1 1

A

−

−=

−

− −

.

Таким образом, выполнен так называемый первый шаг алгоритма Гаусса. Те-

перь нужно выполнить второй шаг и обнулить элементы второго столбца, располо-женные под главной диагональю, сохранив при этом те три нуля, которые были полу-чены раньше. Использовать первую строку в качестве рабочей больше нельзя, так как это не даст возможности сохранить нули в первом столбце. Поэтому, выберем в каче-стве рабочей строки вторую.

Прибавив к третьей строке вторую, умноженную на коэффициент 3 4k = − , к четвёртой строке - вторую, умноженную на коэффициент 4 3k = , получим:

1 2 3 0

0 1 1 1det

0 0 4 3

0 0 2 2

A

−

−=

−.

На третьем (и последнем для определителя 4 – го порядка) шаге осталось об-

нулить один элемент третьего столбца. Выберем в качестве рабочей строки третью, начинающуюся с двух нулей.

Умножив третью строку на коэффициент 412

k = − и сложив с четвёртой, полу-

чим 1 2 3 0

0 1 1 1det 0 0 4 3

70 0 0

2

A

−

−= − .

Теперь можно выполнить второй этап, то есть перемножить диагональные эле-менты:

98

( )7

det 1 1 4 142

A = ⋅ − ⋅ ⋅ = − .

Примечание. При ручном счёте рабочая строка обычно выбирается так, чтобы все или большинство коэффициентов ik были целыми числами. Поэтому в определите-ле

1 2 3 0

0 1 1 1det

0 0 4 3

0 0 2 2

A

−

−=

−

в качестве рабочей строки надо было выбрать не третью, а четвёртую, поменяв их мес-тами. Повторим вычисления: 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3 0

0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 11 ( 1) 2 ( 7) 14

0 0 4 3 0 0 2 2 0 0 2 2

0 0 2 2 0 0 4 3 0 0 0 7

− − −

− − −=− =− =− ⋅ − ⋅ ⋅ − =−

−

− −

.

Как видите, результат не изменился, но мы обошлись без дробей. При вычислениях на ЭВМ, особенно если определитель имеет очень высокий

порядок, переставляются местами не только строки, но и столбцы. При этом обычно до-биваются того, чтобы все коэффициенты ik на каждом шаге преобразований были ми-нимальными, что обеспечивает минимум погрешности вычислений. Такая разновид-ность алгоритма называется методом Га-усса с выбором главного элемента.

Пример 58 . ЭВМ против оп -ределителя : третий раунд . Оценим число операций, которое потребуется для вычисления определителя квадратной мат-рицы n - го порядка по методу Гаусса. Первый шаг преобразований, как это не-трудно подсчитать (смотри примеры 45 и 51 ), составляет в эквивалентном пере-счёте примерно 23 ( 1)n⋅ − операций сложе-

ния двух чисел. Поэтому всё преобразование матрицы к треугольному виду потребует 2 2 2 2 3 3

3 3 ( 1) 3 ( 2) ... 3 2 3 1 3 ( / 3)N n n n n= ⋅ − + ⋅ − + + ⋅ + ⋅ ≈ ⋅ = операций сложения. Для определителя 20 – го порядка число 3 8000N ≈ , поэтому время вычисление такого определителя на современной ЭВМ любого класса не превысит 1 миллисекунды (то есть одной тысячной секунды). Таким образом, этот раунд и бой в целом за явным преимуществом выигрывает ЭВМ (рис. 48).

Сопоставление результатов решённых примеров 45 , 51 и 58 является пре-красной иллюстрацией известного тезиса о том, что нет ничего практичнее хорошей

Рисунок 48

99

теории. Вы, конечно, прекрасно понимаете, что бой с определителем на самом деле выиграла не ЭВМ, а метод расчёта. Гаусс был великим математиком, а отличие ве-ликих учёных от знаменитых, известных, видных и прочих состоит как раз в том, что они не только открывают новые направления в науке, но и каждую разрабатываемую ими научную проблему решают исчерпывающим образом.

Пример 59 . Определитель Вандермонда . Определитель матрицы

Вандермонда (пример 6 ) называется определителем Вандермонда. Этот определи-тель имеет следующий вид:

1 2

2 2 21 2

1 1 11 2

1 1 1

n

n

n n nn

a a a

a a a

a a a− − −

Δ = .

Определитель Вандермонда вычисляется по очень красивой формуле ( )

1i j

j i n

a a≤ < ≤

Δ = −∏ . (35)

Символом ∏ обозначают произведение. Формула (35) доказывается методом матема-тической индукции. В этом примере мы ограничимся тем, что проверим базу индукции, то есть убедимся в справедливости этой формулы для случаев 2n = и 3n = .

Вычислим определители Вандермонда 2 - го и 3 - го порядков по формуле (35):

( )2 2 11 2 1 2

1 1i j

j ia a a a

a a≤ < ≤

Δ = = − = −∏ ;

( ) ( ) ( ) ( )3 1 2 3 2 1 3 1 3 21 3

2 2 21 2 3

1 1 1

i jj i

a a a a a a a a a a a

a a a≤ < ≤

Δ = = − = − ⋅ − ⋅ −∏ .

Вычислим 2Δ и 3Δ , пользуясь свойствами определителей, и сравним результа-ты:

2 2 11 2

1 1a a

a aΔ = = − . 3 1 2 3

2 2 21 2 3

1 1 1

a a a

a a a

Δ = .

Прибавим в определителе 3Δ ко второй строке первую, умноженную на 1a− , а к

третьей - первую, умноженную на 21a− , и получим:

2 1 3 1

2 2 2 23 2 1 3 12 1 3 1

2 2 2 22 1 3 1

1 1 1

0

0

a a a aa a a a

a a a aa a a a

− −Δ = − − = =

− −− −

100

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 3 1 2 1 3 1 3 22 1 3 1

1 1.a a a a a a a a a a

a a a a= − ⋅ − ⋅ = − ⋅ − ⋅ −+ +

Таким образом, справедливость формулы (35) для определителей Вандермонда 2-го и 3-го порядков проверена.

§ 13. Условия существования и единственности

обратной матрицы Определение. Квадратная матрица B называется обратной по от-ношению к матрице A , если

A B B A I⋅ = ⋅ = , (36) где I – единичная матрица.

Обратную матрицу B обозначают 1A− . Матрица A по отношению к

обратной матрице называется прямой. Прямая матрица, как это следует из

условия (36), является обратной матрицей к матрице 1A− , то есть

1 1( )A A− − = .

Замечание. Из определения следует, что прямая и обратная матрицы

перестановочны между собой.

Пример 60 . Зачем нужны обратные матрицы? Мы ответим на этот

вопрос, но прежде заметим, что в приводимых выше примерах вы уже встречались с парами взаимно обратных матриц. Так, две матрицы вращения

cos sin( )

sin cosU

ϕ ϕϕ

ϕ ϕ−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

и cos sin

( )sin cos

Uϕ ϕ

ϕϕ ϕ

⎛ ⎞− = ⎜ ⎟−⎝ ⎠

при любом значении угла ϕ удовлетворяют условию ( ) ( ) ( ) (0)U U U U Iϕ ϕ ϕ ϕ⋅ − = − = = и являются взаимно обратными.

Матрицы блочной перестановки I

JIΘ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟Θ⎝ ⎠удовлетворяют условию J J E⋅ = ,

где ( , )E diag I I= – единичная матрица порядка 2 n⋅ , являются взаимно обратными с самими собой; таким же свойством обладают любые матричные алгебраические корни второй степени из единичной матрицы (1,1)I diag= (смотри пример 36 ).

Теперь отвечаем на поставленный вопрос. Напомним, что в обычной арифмети-

ке числа a и 1ba

= , удовлетворяющие очевидному равенству 1a b⋅ = , называются вза-

имно обратными; деление чисел c на a эквивалентно умножению делимого на чис-

101

ло, обратное к делителю, то есть 1:c a ca

= ⋅ , причём перемножение чисел c и 1a

мо-

жет выполняться в любом порядке. При этом результат деления (частное x ) удовлетво-ряет одновременно двум условиям:

x a c⋅ = и a x c⋅ = , которые, в силу свойства перестановочности сомножителей, эквивалентны друг другу.

К сожалению, в матричной арифметике свойства перестановочности сомно-жителей нет, поэтому здесь система двух матричных уравнений

X A C⋅ = и A X C⋅ = , как правило, решения не имеет, и операцию деления матриц определить нельзя. Тем не менее, каждое из этих уравнений может иметь своё решение, которое находится с помощью обратной матрицы. Действительно, умножая обе части первого уравнения слева, а второго уравне-ния - справа на матрицу 1A− , получаем:

1 1 1 1X A A C A X I C A X C A− − − −⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ = ⋅ ; 1 1 1 1A A X A C I X A C X A C− − − −⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ = ⋅ .

Ниже будет показано, что если матрицы A и C не перестановочные, то полу-ченные решения отличаются друг от друга.

Теорема 2 .6 (необходимое условие существования об -

ратной матрицы ). Если квадратная матрица A имеет обратную мат-

рицу 1A− , то определитель матрицы A отличен от нуля.

Доказательство. Произведение определителей прямой и обратной матриц рав-но 1 . Действительно,

( )1 1det det det det 1A A A A I− −⋅ = ⋅ = = . Отсюда следует, что

11

det 0det

AA−= ≠ .

Теорема доказана.

Замечание. Из доказательства теоремы, в частности, следует:

1 1det 0

detA

A− = ≠ .

Определения. Квадратная матрица, определитель которой отличен от

нуля, называется невырожденной. Квадратная матрица, определитель ко-

торой равен нулю, называется вырожденной.

Таким образом, теорема 2 .6 утверждает, что обратные матрицы 1A− существуют только у невырожденных матриц A .

102

Пример 61 . Электростатическая неопределённость . Вы уже по-знакомились со свойствами определителей и знаете, что вырожденность квадратной матрицы связана с выполнением известных условий, накладываемых на числовые зна-чения её элементов. Поскольку в практике инженерных и любых других расчётов ис-пользуется округление, то многим может показаться, что вырожденные матрицы пред-ставляют собой редкое исключение. На материале этого и следующего примера мы по-кажем, что в приложениях математики к электротехнике и механике используются це-лые классы вырожденных матриц.

В примере 5 мы уже рассматривали матрицу проводимости линейного мно-гополюсника. Конкретизируем это понятие для схемы, в которой все клеммы разбиты на две группы – входные и выходные.

Образуем из токов и напряжений на входных и выходных клеммах ( )n m+ - по-люсника два новых вектора-столбца

;вх вх

вых вых

J UJ U

J U⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

Эти столбцы связаны между собой следующим ра-венством:

J P U= ⋅ , (37) где матрица P является блочной матрицей форма-та 2 2× и называется матрицей проводимости ( )n m+ - полюсника.

Напомним, что все элементы этой матрицы имеют физическую размерность [1/ ]Ом . Матрицы проводимости используются при расчёте параллельного соединения многополюсни-

ков. Пусть два ( )n m+ -полюсника с матрицами проводимости 1P и 2P подключены к общим входным и выходным клеммам (рис.49). Тогда векторы – столбцы напряжений одинаковы, а векторы – столбцы токов определяются равенствами:

1 1J P U= ⋅ и 2 2J P U= ⋅ . Складывая эти равенства, получаем:

1 2 1 2 1 2( )J J J P U P U P P U P U= + = ⋅ + ⋅ = + ⋅ = ⋅ , где 1 2P P P= + . Таким образом, при параллельном соединении матрицы проводимости складываются. Проиллюстрируем это правило на следующем простом примере.

Для шнура – удлинителя (пример 14 ) матрица проводимости имеет следую-щий вид:

1 1

2 2

1 1

1 1R R

P

R R

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟

−⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Для параллельного соединения двух таких шнуров получаем матрицу проводимости

5 53 3 1 3 1 31 11 2

2 2 6 64 4 2 4 2 4

1 11 1 1 1 1 11 1 ( ) ( )

1 1 1 11 1 1 1 1 1( ) ( )

R RR R R R R RR RP P P

R R R RR R R R R R

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ −− + − +− ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟= + = + = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟

− −− + − + ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

,

вход

выход

1матрица P

1 n

1 m выход

2матрица P

1 n

1 m

вход

1

1

n

m

вход

выход

Рисунок 49

103

где 5 1 3 6 2 4

1 1 1 1 1 1;R R R R R R

= + = + .

Формулы такого типа вы учили в школьном курсе физики. Матрица P имеет размер ( ) ( )n m n m+ × + , то есть является квадратной матрицей

порядка ( )n m+ . В рассмотренных выше примерах все матрицы проводимости имеют пропорциональные столбцы, а значит, их определители равны нулю. Покажем, что эта матрица является вырожденной во всех случаях.

Для этого составим вектор U из одинаковых элементов (например, равных 1 вольту). Если напряжения на всех клеммах одинаковые, то все токи равны нулю, и век-тор-столбец J = Θ . Но равенство (37) означает, что столбец J является линейной ком-бинацией столбцов матрицы P . Следовательно, существует нетривиальная линейная комбинация столбцов, равная нулю, то есть столбцы оказались линейно зависимыми и

det 0P = .

Таким образом, матрица проводимости оказалась вырожденной, а, значит, об-ратной матрицы 1P− не существует. С физической точки зрения это означает, что при определении напряжений на клеммах существует неопределённость в установлении уровня этих напряжений, и эта неопределённость не может быть ликвидирована даже в том случае, если мы знаем значения силы тока на всех входных и выходных клеммах.

Пример 62 . Матрица упругости . Аналогичными свойствами в механике

обладает матрица упругости. Для цепной механической системы (смотри примеры 13 , 16 , 17 ) из координат и реакций на левом и правом концах составим два новых вектора-столбца

;пр пр

лев лев

X QX Q

X Q⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

В статике эти столбцы оказываются связанными между собой равенством

Q K X= ⋅ ,

где матрица K называется матрицей упругости цепной системы.

Матрица K является квадратной матрицей размера (2 ) (2 )n n⋅ × ⋅ , где n – число координат, определяющих положение отдельного элемента цепной системы.

Покажем, что матрица K является вырожденной. Для этого составим столбец X следующим образом. Координаты, определяющие продольное перемещение левого и правого конца системы, примем одинаковыми (например, равными 1 мм); все осталь-ные координаты положим равными нулю. В статике таким граничным условиям будет отвечать перемещение всех элементов системы на одно и то же расстояние (равное 1 мм), при этом все реакции после перемещения останутся равными нулю. Фактически это означает, что в матрице K сумма столбцов с номерами 1 и ( 1)n + равна нулю.

Следовательно, столбцы матрицы линейно зависимы, det 0K = и обратной мат-рицы 1K − не существует. С физической точки зрения это означает, что в статике для определения координат системы не достаточно знать все внешние силы и моменты сил, приложенные к этой системе. Такое положение вещей именуется в механике статиче-ской неопределённостью системы.