x

y

0

1

1

Что мы знаемЧто мы знаем о линейной функции?о линейной функции?

Средняя школа № 242Средняя школа № 242с углубленным изучением физики и математикис углубленным изучением физики и математики

Презентацию подготовили:Презентацию подготовили:

Руководитель: учитель математикиРуководитель: учитель математики

Макарова Марина ИвановнаМакарова Марина Ивановна

Ученики 8-а класса:Ученики 8-а класса:

Данилов ДмитрийДанилов Дмитрий

Борисов ПавелБорисов Павел

СодержаниеСодержание

I. Из истории

II.II. Линейная функцияЛинейная функция

III.III. Кусочно-линейная функция Кусочно-линейная функция

IV.IV. Графики линейных функций, содержащие знак Графики линейных функций, содержащие знак абсолютной величиныабсолютной величины

V. Функция «знак числа»

VI. Источники информации

2

Дворянин, воин, математикДворянин, воин, математик

«Геометрия» «Геометрия» (1637 г.)(1637 г.) - это, несомненно, - это, несомненно, прочнейший памятник его славы.прочнейший памятник его славы.

Основная идея:Основная идея:

геометрический объектгеометрический объект - линия на - линия на

координатной плоскостикоординатной плоскости - задаётся - задаётся

уравнением, связывающим уравнением, связывающим переменные переменные

величинывеличины -- координаты точек этих линий. координаты точек этих линий.

Р. ДекартР. Декарт

(1596-1650)(1596-1650)

3

Король любителейКороль любителей

Независимо от Декарта Независимо от Декарта

и почти одновременно с ним открыл и почти одновременно с ним открыл

метод координат.метод координат.

П.ФермаП.Ферма

(1601-1665)(1601-1665)

4

Линейная функция:Линейная функция:определение, свойства, графикопределение, свойства, график

Функция вида Функция вида y=kx+by=kx+b, где , где k, bk, b – – действительные числа, действительные числа, называется называется линейной.линейной. xx – любое действительное число.– любое действительное число.

bb = 0, = 0, y = kxy = kx - - прямая пропорциональность.прямая пропорциональность.

Основное свойство линейной функции:Основное свойство линейной функции: равным изменениям одной величины соответствуютравным изменениям одной величины соответствуют равные изменения другой величины.равные изменения другой величины.

00 x

y

AA BB CC DD

AA11

BB11

CC11

D1

5

Равномерное прямолинейное движение

00

6

1

22 t,t,сс

S,м

22

44

2

11 33

График движения автомобилей с разными скоростями (V1>V2)

00 t,t,сс

V,V,м/см/с

S=Vt

6

Равноускоренное прямолинейное движение

0

6

20 t,с

V,м/с

4010 30

0 t,с

a, м/с2

График зависимости проекции График зависимости проекции вектора скорости разгоняющегося вектора скорости разгоняющегося перед взлетом самолета, который перед взлетом самолета, который движется из состояния покоя движется из состояния покоя прямолинейно с ускорением 1,5 м/спрямолинейно с ускорением 1,5 м/с2 2 в в течение 40 с.течение 40 с.

V=atV=at

7

По дороге едет автомобиль со По дороге едет автомобиль со скоростью 10 м/с. Водитель скоростью 10 м/с. Водитель автомобиля, увидев дорожный автомобиля, увидев дорожный знак, снимающий ограничение знак, снимающий ограничение скорости, нажал на педаль газа, в скорости, нажал на педаль газа, в результате чего автомобиль стал результате чего автомобиль стал двигаться с ускорением 1,6 м/сдвигаться с ускорением 1,6 м/с22..

0

10

2 t,с

V,м/с

1 3

V=VV=V00+at+at

Равноускоренное прямолинейное движение

8

1)

Линейная функция: свойства, график

b > 0 x

y

0 b = 0 x

y

0 b < 0 x

y

0

2) K < 0, убывает

b > 0 b = 0 b < 0x

y

0 x

y

0 x

y

0

3) K = 0, y = b, постоянная

K > 0, возрастает

x

y

0

9

Задача № 1Задача № 1

xx

yy

00

Может ли прямая, изображенная на рисунке, быть графиком Может ли прямая, изображенная на рисунке, быть графиком функциифункции y=kx+ky=kx+k??

Задача № 2Задача № 2Могут ли прямые, изображенные на рисунке, быть Могут ли прямые, изображенные на рисунке, быть графиками функцийграфиками функций y=abx+y=abx+1 1 ии y=axy=ax+b+b..

00 xx

yy 11

22

10

Ответ: не может.Ответ: не может.

Ответ: не могут.Ответ: не могут.

Решение:Решение:Функция убывает, следовательно,Функция убывает, следовательно, kk<0.<0.Точка пересечения с осьюТочка пересечения с осью O Oyy выше оси выше оси O Oxx, следовательно,, следовательно, kk>0>0. Противоречие. . Противоречие.

Решение: Решение: Так как обе функции возрастающие, тоТак как обе функции возрастающие, то aa>0>0 и и abab>0>0. Тогда. Тогда bb>0>0. . ПриПри xx=0, =0, yy=1 (1)=1 (1) ПриПри xx=0, =0, yy=b (2)=b (2), и, и bb>0>0Точки пересечения с осьюТочки пересечения с осью O Oyy должны быть выше осидолжны быть выше оси O Oxx..

Применение графика линейной функцииПрименение графика линейной функции

Между городами Между городами MM и и N N, находящимися на расстоянии 40 км один от , находящимися на расстоянии 40 км один от другого, курсируют со скоростью 80 км/ч автобусы, выезжая из городов другого, курсируют со скоростью 80 км/ч автобусы, выезжая из городов одновременно через каждые 30 мин. Из города одновременно через каждые 30 мин. Из города MM вместе с одним из вместе с одним из автобусов стартует велосипедист, скорость которого 20 км/ч.автобусов стартует велосипедист, скорость которого 20 км/ч.

Сколько автобусов он встретит и сколько его обгонят?Сколько автобусов он встретит и сколько его обгонят?

t,ч2 3

S,км

1

NN

M

Ответ:Ответ:

Велосипедист встретит четыре Велосипедист встретит четыре автобуса, а два автобуса его автобуса, а два автобуса его обгонят.обгонят.

11

Два автобуса вышли одновременно из двух городов Два автобуса вышли одновременно из двух городов AA и и BB навстречу один навстречу один другому. Расстояние между городами 200 км. Автобус, вышедший из другому. Расстояние между городами 200 км. Автобус, вышедший из AA, , прошел до момента встречи 120 км. С какой скоростью он двигался, если прошел до момента встречи 120 км. С какой скоростью он двигался, если скорость автобуса, вышедшего из скорость автобуса, вышедшего из BB, была равна 50 км/ч? Найти время , была равна 50 км/ч? Найти время движения автобусов до встречи? движения автобусов до встречи?

0

200

2 t,ч

S,км

100

41 3

120120xx ==

80805050

xx км/ч - скорость км/ч - скорость автобуса, автобуса, вышедшего из вышедшего из AA..

xx=75=75

80805050 == 1,6 ч1,6 ч – – время до встречи.время до встречи.

Ответ: 75 км/ч; 1,6 чОтвет: 75 км/ч; 1,6 ч

Применение графика линейной функцииПрименение графика линейной функции

Решение:Решение:

12

В одном котловане было 720 м3 воды, а в другом – 840 м3. В 6 ч утра начали откачку воды из первого котлована при помощи насоса производительностью 48 м3/ч, а в 8 ч из второго котлована насосом производительностью 72 м3/ч.

В котором часу в обоих котлованах останется воды поровну?

Применение графика линейной функции

Ответ: в 17 часов

13

0

100200

300400

500

600700

800900

1000

6 8 10 12 14 16 18 20 22

Время (ч)

Ко

ли

чес

тво

во

ды

Даны точки Даны точки AA((xx11;;yy11)) и и B(B(xx22;y;y22))..

Уравнение прямой, проходящей через указанные точки:Уравнение прямой, проходящей через указанные точки:

yy22==kxkx22++bb

yy11==kxkx11+b+b

yy22-y-y11=k(x=k(x22-x-x11))

Уравнение пучка прямых, проходящих через точку (Уравнение пучка прямых, проходящих через точку (xx00;y;y00))::

y=kx+by=kx+b

yy00=kx=kx00+b+b

y-yy-y00=k(x-x=k(x-x00))

Уравнение прямой

x

y

x

y

Т.к. Т.к. xx22≠x≠x11, то , то kk==,,

yy22 – y – y11

xx22 – x – x11

14

1616

9 9 Ответ:Ответ: y= y=

(x+2)+1(x+2)+1

Задача № 2Задача № 2

Лежат ли точки Лежат ли точки A(-2;1), B(7;17), C(2;-5)A(-2;1), B(7;17), C(2;-5) на одной прямой? на одной прямой?

KKABAB= = ,, K KACAC= == =1616

99

-6-6

44

-3-3

22A

BC

Уравнение прямой

17-1 17-1

7-(-2)7-(-2) KAB= =

1616

99

Составить уравнение прямой, проходящей через Составить уравнение прямой, проходящей через точки точки A(-2;1)A(-2;1) B(7;17)B(7;17)

Задача № 1Задача № 1

15

Ответ: не лежат. Ответ: не лежат.

Взаимное расположение графиков двух линейных функций

y=k1x+b1 и y=k2x+b2

1) k1=k2, b1=b2 (прямые совпадают);

2) k1=k2, b1≠b2 (прямые параллельны);

3) k1≠k2 (прямые пересекаются),

k1k2 =-1 (прямые перпендикулярны).

16

ЗадачаЗадача № 1 № 1

Составить формулу, задающую функцию, график которой Составить формулу, задающую функцию, график которой параллеленпараллелен прямой прямой yy=-3=-3xx и проходит через точку (-3;11)и проходит через точку (-3;11)..

Ответ: Ответ: yy=-3(=-3(xx+3)+11+3)+11. .

Задача № Задача № 22

Запишите уравнение прямой, проходящей через точку Запишите уравнение прямой, проходящей через точку (4;-5) и перпендикулярной прямой (4;-5) и перпендикулярной прямой y=4x-2y=4x-2..

Ответ: Ответ: yy= = ((xx-4)-4) -- 55. . 11

44

Взаимное расположение двух прямых17

График линейного уравнения График линейного уравнения

с двумя переменными – прямаяс двумя переменными – прямая

Уравнение прямой в прямоугольной системе координат:Уравнение прямой в прямоугольной системе координат:

ax+by+cax+by+c=0=0, где хотя бы один из коэффициентов , где хотя бы один из коэффициентов aa ии bb отличен от 0. отличен от 0.

1) 1) b=0; x=b=0; x= , , график уравнения – прямая параллельная оси график уравнения – прямая параллельная оси OOyy..

2)2) a=0; y=a=0; y= , , график уравнения – прямая параллельная оси график уравнения – прямая параллельная оси OOxx..cc

aa

cc

bb

0-2

3

4 x

y3x – 2y + 6=0

y=3

X=4

18

Практическая задача

Надо проложить водопровод длиной 191 м. Для этой цели имеются трубы длиной 5 м и 7 м. Сколько нужно тех и других труб, чтобы сделать наименьшее

число соединений?

Решение:x - число 5 метровых труб, y - число 7 метровых труб; x, y N.

5x + 7y = 191 5x = 191 – 7y(34;3), (27;8), (20;13), (13;18), (6; 23).

Ответ: Экономически целесообразно взять 6 пятиметровых труб и23 семиметровых труб.

19

Построение на координатной плоскости множества точек, заданных условием

xy=0

x=0, y=0

x2-y2=0

(x-y)(x+y)=0

y=x, y=-x

x(y-2)=0

x=0, y=2

y

x 0

x0

y=x

y=-x

y

02 y=2

x

xx22- 4 - 4

x+2x+2

(x-2)(x+2)(x-2)(x+2)

(x+2)(x+2)

y=x-2y=x-2, , x≠-2x≠-2

y=y=

y=y=y

y

x2

-2-4

-2

y=x-2

0

20

Стоимость электроэнергии

,)(

,

xlk

kxy

x - количество израсходованной предприятием электроэнергии в кВт*ч,

y - её стоимость в рублях,

k - тариф, т.е. стоимость 1 кВт*ч

k+l – другой тариф

ax

ax

0

если

если

(k+l)a

ka

x0

y

a

21

a1x+b1y+c1=0

a2x+b2y+c2=0

1) Если прямые пересекаются, система имеет единственное

решение ≠ .

2) Если прямые параллельны, система не имеет решений

= ≠ .

3) Если прямые совпадают, система имеет бесконечное множество

решений = = .

Геометрическое истолкование решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными

bb11

bb22

aa11

aa22

aa11

aa22

bb11

bb22

cc11

cc22

aa11

aa22

bb11

bb22

cc11

cc22

22

Решение систем двух линейных уравнений с двумя переменными

Задача № Задача № 22 При каком значении параметра При каком значении параметра aa решением системы решением системы будет вся прямая?будет вся прямая?

22xx-3-3yy=1=1-4-4xx+6+6yy==aa - - == -- == ; ; aa== -- 22

Ответ: Ответ: aa=-2=-2. .

22

44

33

66

11

aa

Решение:

Задача № 1Задача № 1 При каком значении параметра При каком значении параметра aa система не имеет система не имеет решений?решений?

xx-3-3yy=4=4 -- == - -

-2-2xx+6+6yy==aa

≠ ≠ - aa ≠-8 ≠-8

Ответ: Ответ: aa ≠-8 ≠-8. .

11

22

11

22

33

66

4

a

Решение:

;

23

Кусочно-линейная функция

Функция, определенная на множестве X, называется

кусочно-линейной, если множество X можно разбить на промежутки ненулевой длины, в каждом из которых

эта функция линейная.

40 70 110

3

21

t,мин

S,км

Турист отправился из лагеря к озеру, отдохнул у озера и вернулся обратно.

24

Для наполнения бассейна водой сначала Для наполнения бассейна водой сначала был открыт один кран, через который был открыт один кран, через который вода поступала в бассейн со скоростью вода поступала в бассейн со скоростью 50 л в минуту. Через 8 минут был открыт 50 л в минуту. Через 8 минут был открыт еще один такой же кран.еще один такой же кран.

4 8 12

1000

600

200

t,мин

V,л

16

На тренировке в 50-метровом бассейне На тренировке в 50-метровом бассейне пловец проплыл 200-метровую пловец проплыл 200-метровую дистанцию. дистанцию.

На рисунке изображен график На рисунке изображен график зависимости расстояния зависимости расстояния SS между между пловцом и точкой старта от времени пловцом и точкой старта от времени движения пловца.движения пловца.40 80 120

50

10

t,с

S,м

160

25

Воду при -10Воду при -1000С довести до кипения и С довести до кипения и испарить.испарить.

Изменение цены акций Изменение цены акций компании в течение месяца.компании в течение месяца.

2

6

20

4

10

8

030

10

День месяца

Сто

им

ость

акц

ий

, р

0

-10

плавление

100

t,мин

t,0C

кипение

26

Построение графиков функций

1, если x<-1

y= -2x-1, если -1≤x<0

-1, если x≥0

y

x

-1

1-1

0

27

Конструирование формулы функции

Решение: Решение:

(-3;0) и (3;4)(-3;0) и (3;4) ((3;43;4) ) и (5;0)и (5;0)

k=k= = = k=k= =-2 =-2

y= (x-3)+4y= (x-3)+4 y= y= -2-2(x-3)+4(x-3)+4

4-0

3-(-3)

2

3

2

3

0-4

5-3

-3

2

-2 4

4

2

y

0 6 x

x+2x+2, если , если x≤x≤33

-2-2x+10x+10, если , если x≥x≥33

y=

2

3Ответ: Ответ:

28

Построение графиков линейных функций, содержащих знак абсолютной величины

1) По определению модуля.

2) Метод интервалов.

3) Преобразование графиков.

29

xx-3, -3, если если xx ≥3 ≥3

--xx+3, +3, если если xx << 3 3

Построение графика функции

yy=|=|xx-3-3||==

0

3

3 x

y

30

y = y = ||xx|| - - ||x+1x+1|| x = 0 x = -1x = 0 x = -1

x-1 0y= -x+x+1y= -x+x+1

y=1y=1

y= -x-x-1y= -x-x-1

y= -2x-1y= -2x-1

y= x-x-1y= x-x-1

y= -1y= -1

x

y

0

1

-1

-1

Построение графика функции31

1)1) y=xy=x

2)2) y=x-2y=x-2

3)3) y= |x| - 2y= |x| - 2

4)4) y=||x|-2|y=||x|-2|

Построение графика функции

y=| |x| - 2|y=| |x| - 2|

xx

yy

2-2

2

-2

0

32

Функция «знак числа»(sign)

-1, если x<0

y = 0, если x=0

1, если x>0

y

x-1

1

0

33

Построение графиков функций

y=(x-1) sign x y=sign (x-1)

-11

y

x

1

0

y=sign x y= x+sign x

y

x x

1

0 x

y

0

1

-11

y

x x0

1

y=x sign x

y

x0 x

34

Выводы

• научились обобщать и систематизировать программный материал по теме «Линейная функция»;

• познакомились с кусочно-линейной функцией, научились строить её график;

• познакомились с функцией «знак числа»;• научились строить графики линейных функций,

содержащих знак модуля;• получили опыт в самостоятельной познавательной

деятельности, в поиске и анализе информации.

35

Источники информации

1) Физика. А.В. Пёрышкин, Е.М. Гутник 7, 8, 9 класс,М.; Дрофа, 2002.

2) Алгебра: Сборник заданий для подготовки к итоговой аттестации в 9 классе / [Л.В. Кузнецова и др.] – М.: Просвещение, 2006.

3) Карп А.П. Алгебра: Сборник заданий для учащихся 8-9 классов.СПб: СМИО Пресс, 2000.

4) Л.Б. Милковская: Повторим физику. – М.: «Высшая школа» 1977.5) Гельфанд И.М. и др. Функции и графики. – М.: Наука, 1973.6) Гурский И.П. Функции и построение графиков. –

М.: Просвещение, 1989.7) Виленкин Н.Л. «Функции в природе и технике» –

М.: Просвещение, 1978.

36