„„WłasnoWłasnośści figur płaskich”ci figur płaskich”

TRÓJKĄTYTRÓJKĄTY

Trójkąt – wielokąt o trzech bokach. Trójkąt to najmniejsza figura

wypukła i domknięta, zawierająca pewne trzy ustalone i

niewspółliniowe punkty płaszczyzny.

Rodzaje trójkątówRodzaje trójkątówPrzy podziale ze względu na kąty wyróżnia się:

1.trójkąt ostrokątny, którego wszystkie kąty wewnętrzne są ostre;

2.trójkąt prostokątny, w którym jeden z kątów wewnętrznych jest prosty (90 stopni);

3.trójkąt rozwartokątny, którego jeden kąt wewnętrzny jest rozwarty.

Przy podziale ze względu na boki wyróżnia się:

1.trójkąt różnoboczny, ma każdy bok innej długości; 2.trójkąt równoramienny, ma przynajmniej dwa boki tej samej długości; 3.trójkąt równoboczny, ma wszystkie trzy boki tej samej długości; w tym przypadku też wszystkie jego kąty są tej samej miary.

Trójkąty można dzielić również ze względu na inne relacje równoważności, np. podobieństwo, przystawanie.

Klasyfikacja trójkątówKlasyfikacja trójkątów

Podstawowe informacje o Podstawowe informacje o trójkątachtrójkątach

Suma miar kątów trójkąta wynosi 180 stopni;

Każdy bok trójkąta ma długość mniejszą od sumy długości dwóch pozostałych boków;

a < b + c      b < a + c      c < a + b

Ważne elementyWażne elementyWysokość trójkąta to prosta zawierająca jego wierzchołek i prostopadła do prostej

zawierającej przeciwległy bok. Każdy trójkąt ma trzy wysokości, które przecinają się w punkcie zwanym ortocentrum tego trójkąta.

Symetralna boku trójkąta to prosta prostopadła do tego boku i przechodząca przez jego środek. Każdy trójkąt ma trzy symetralne boków, przecinające się w punkcie będącym środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie.

Dwusieczne kątów wewnętrznych trójkąta przecinają się w punkcie, który jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt.

DWUSIECZNA

SYMETRALNA

WYSOKOŚĆ

Twierdzenie PitagorasaTwierdzenie Pitagorasa

Jeśli trójkąt jest prostokątny,

to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest

równa kwadratowi długości

przeciwprostokątnej.

Należy pamiętać, że twierdzenie to można stosować tylko w trójkątach prostokątnych!

Przykładowe zadanie z Przykładowe zadanie z wykorzystaniem wykorzystaniem

Twierdzenia PitagorasaTwierdzenia PitagorasaOblicz obwód i pole rombu, którego przekątne mają długość a=6cm i

b=8cm.

Rozwiązanie: P=pole L=obwód P=(a*b)/2P=1/2*a*bP=1/2*6*8P=24 3²+4²=a²9+16=a²a=5L=4aL=4*5=20

Cechy przystawania trójkątówCechy przystawania trójkątów

1. (bbb) bok-bok-bokodpowiednie boki trójkąta są równe

2. (bkb) bok-kąt-bokodpowiednie dwa boki trójkąta są równe i kąt miedzy nimi

3. (kbk) kąt-bok-kątodpowiednie dwa kąty trójkąta są równe i bok do nich przyległy

Trójkąty ABC i A'B'C' są przystające. 

Obwody trójkątów przystających są równe.  Ob = Ob’

Pola trójkątów przystających są równe. P = P’

1.

2.

3.

CechyCechy podobieństwapodobieństwa trójkątówtrójkątówCecha kk.Jeśli dwa kąty jednego trójkąta

są równe dwóm kątom drugiego trójkąta, to trójkąty te są podobne.

Cecha bbb. Jeśli boki jednego trójkąta są proporcjonalne do boków drugiego trójkąta, to trójkąty te są podobne.

 Cecha bkb. Jeśli dwa boki jednego trójkąta są proporcjonalne do dwóch boków drugiego trójkąta i kąty zawarte między tymi bokami są równe, to trójkąty te są podobne.

Stosunek obwodów figur podobnych jest równy skali podobieństwa. Stosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa.

ŚrodkowaŚrodkowa trójkątatrójkątaŚrodkowa trójkąta to prosta zawierająca

wierzchołek trójkąta i środek przeciwległego boku.

Każdy trójkąt ma trzy środkowe, które przecinają się w jednym punkcie,

będącym środkiem geometrycznym (barycentrum) trójkąta.

Punkt ten dzieli każdą ze środkowych na dwie części, przy czym odcinek łączący barycentrum z wierzchołkiem jest dwa

razy dłuższy od odcinka łączącego barycentrum ze środkiem boku.

Punkty BrocardaPunkty BrocardaPunkty Brocarda –w trójkącie ABC o bokach a, b, c znajduje się dokładnie jeden taki punkt P, że proste AP,

BP, CP z bokami odpowiednio c, a, b tworzą równe kąty.

Właściwości•Oba punkty Brocarda trójkąta ABC są ze sobą sprzężone izogonalnie.•Punkt środkowy dwóch punktów Brocarda znajduje się na tzw. osi Brocarda, która łączy punkt środkowy koła opisanego i punkt Lemoine.Prosta łącząca punkty Brocarda jest prostopadła do osi Brocarda.

Punkt Gergonne’aPunkt Gergonne’a

Punkt Gergonne'a - punkt przecięcia prostych łączących wierzchołki z punktami styczności przeciwległych boków

do okręgu wpisanego w trójkąt

Trójkąty o kątach 90 , 45 , 45 Trójkąty o kątach 90 , 45 , 45 (stopni)(stopni)

a√2 = d – długość przekątnej kwadratu o boku długości a;

Trójkąt ten jest połową kwadratu o boku a

W trójkącie prostokątnym równoramiennym o przyprostokątnych długości a, przeciwprostokątna

ma długość a√2

Trójkąty o katach 90 , 60 , 30 Trójkąty o katach 90 , 60 , 30 (stopni)(stopni)

Przyprostokątna, leżąca naprzeciw kąta 30°, równa jest połowie długości przeciwprostokątnej.

h = a√3 Ten trójkąt jest połową trójkąta równobocznego

o boku 2a

Trójkąt równoboczny - wzoryTrójkąt równoboczny - wzory

Wysokość i pole

P=(a²√3):4h=(a√3):2

Kąty w trójkącie Punkt przecięcia dzieli wysokość na odcinki w stosunku 2:1

x=2/3h

y=1/3h

x/y=2/1

Wysokości w trójkącie równobocznym przecinają się w jednym punkcie

Przykładowe zadanie na Przykładowe zadanie na trójkącie równobocznymtrójkącie równobocznym

Oblicz promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny, którego boki maja długość 12 cm.

W trójkącie równobocznym punkt przecięcia wysokości jest środkiem okręgu wpisanego. Punkt ten dzieli wysokość na odcinki 1/3h i 2/3h.

h=wysokość a=dł.boku r=promień

Krótszy z odcinków 1/3h jest promieniem okręgu opisanego.

r=1/3h czyli 1/3*12√3 /2=2√3 cm

Odp. Promień okręgu wpisanego ma długość 2√3 cm.

Nierówność trójkątaNierówność trójkątaW każdym trójkącie o bokach, których długości wynoszą a, b i c zachodzi następująca nierówność,

zwana nierównością trójkąta: a < b + c

i analogicznie b < c + a c < a + b

Trójkąt o bokach, których długości wynoszą a, b i c istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są te

trzy nierówności. Można je zapisać w równoważnej postaci:

| b - c | < a < b + c

Bibliografia:Bibliografia:

- http://pl.wikipedia.org/wik;- MATEMATYKA 3 – podręcznik do matematyki (1,2,3 klasa

gimnazjum, nowa podstawa programowa);- http://www.google.pl- Vademecum-Egzamin Gimnazjalny matematyka, Operon

Tyle jest w każdym poznaniu nauki, ile

jest w nim matematyki.

Immanuel Kant

Klaudia Papierkiewicz IAT

Powiatowy Zespół Szkół nr 1 im.Generała Józefa Bema