Sistemas mecnicos

Modelado y simulacin de sistemas mecatrnicos

M. en C. Juan Carlos Guzmn SalgadoUPIITA - IPN

.

Sistemas dinmicos.

Sistema .Un Sistema es una disposicin delimitada de entidades nter actuantes.Delimitacin, respecto al resto del universo. Los elementos del resto del Universocon acciones relevantes sobre el Sistema se reemplazan por elementos de accinequivalente y se incorporan al sistema.Entidades nteractuantes, componentes del sistema (transformacin y/o transportede materia, energa y/o informacin).Disposicin, estructura del sistema (disposicin de los componentes en el sistema).Asumiendo la delimitacin respecto del Universo puede decirse entonces, que:Un sistema es una entidad formada por un conjunto de componentes y unaestructura.Sistema = {Componentes, Estructura}Sistema Fsico: La interaccin involucra intercambio de materia y/o energa y/oinformacin.Sistema Fsico Dinmico: Hay almacenamiento de materia y/o energa y/oinformacin.

Modelos matemticos

Los modelos matemticos de sistemas que se estudiarn son:

- Sistemas mecnicos de traslacin

- Sistemas mecnicos de rotacin

- Sistemas de transformacin

- Sistemas electromecnicos

- Sistemas Elctricos

- Sistemas Hidrulicos

Sistemas mecnicos

Los sistemas mecnicos son una parte fundamental de la vida comn, ya que cualquier cuerpo fsico se comporta como tal. En general los sistemas mecnicos son gobernados por la segunda ley de Newton, la cual establece para sistemas mecnicos

Sistemas mecnicos de traslacin

Cuerpo rgido: Cuando se acelera un cuerpo real, se tienen presente siempre deformaciones elsticas internas. Si stas son despreciables por su relativa pequeez respecto al movimiento total del cuerpo entero, se denomina cuerpo rgido.

Fuerza: Se puede definir como la causa que tiende a producir un cambio en el movimiento de un cuerpo sobre el que acta.

Newton (N), dina (dyn), Kg, lb1 Newton = 1 Kg m/s2

Desplazamiento: Es un cambio en la posicin desde un punto a otro en un marco de referencia, x, x(t)m, metros

Velocidad. Es la razn de cambio del desplazamiento con respecto al tiempo, m/s

Aceleracin. Es la derivada con respecto al tiempo de la velocidad

m/s2

Masa. Es la cantidad de materia que contiene un cuerpo, la cual se supone constante.

Resorte. Un resorte lineal es un elementomecnico que puede ser deformado por una fuerzaexterna tal que la deformacin sea proporcional a lafuerza que se le aplique.

K es la constante con unidades (N/m)

Amortiguador. Es un elemento mecnico que disipa energa en forma de calor en lugar de almacenarla.

B coeficiente de friccin viscosa (Ns/m)

Friccin. Las fuerzas que son una funcin algebraica de la velocidad relativa entre dos cuerpos se modelan como elementos friccin, es decir amortiguadores.

Sistemas mecnicos de rotacin

Torque, par, momento de fuerza: Se puede definir como la causa que tiende a producir un cambio en el movimiento rotacional de un cuerpo sobre el que acta.

Nm, dyn-cm, lb -ft

Desplazamiento angular,

Velocidad angular,

Aceleracin angular.

Momento de inercia. Es una medida de su resistencia a la aceleracin angular.

Resorte. Un resorte lineal es un elemento mecnicoque puede ser deformado por una fuerza externa talque la deformacin sea proporcional a la fuerza que sele aplique.

K es la constante con unidades (Nm/rad)

Amortiguador. Es un elemento mecnico que disipa energa en forma de calor en lugar de almacenarla.

B coeficiente de friccin viscosa (Nms/rad)

Leyes de newton

Primera ley o ley de inerca

Todo cuerpo permanece en su estado de reposo o de movimiento rectilneo

uniforme a menos que otros cuerpos acten sobre l.

Segunda ley o Principio Fundamental de la Dinmica

La fuerza que acta sobre un cuerpo es directamente proporcional a su

aceleracin.

Tercera ley o Principio de accin-reaccinCuando un cuerpo ejerce una fuerza

sobre otro, ste ejerce sobre el primero una fuerza igual y de sentido opuesto.

Principio de d'Alembert

El principio de d'Alembert, enunciado por Jean d'Alembert en su obra maestra Tratado de dinmica de 1743, establece que la suma de las fuerzas externas que actan sobre un cuerpo y las denominadas fuerzas de inercia forman un sistema de fuerzas en equilibrio.

A este equilibrio se le denomina equilibrio dinmico.

Otra consecuencia del principio de D'Alembert es que conocidas las aceleraciones de un cuerpo rgido las fuerzas que actan sobre el mismo se pueden obtener mediante las ecuaciones de la esttica. Dicho de otra manera, si se conocen todas las aceleraciones un problema dinmico puede reducirse a un problema esttico de determinacin de fuerzas.

Para ver esto necesitamos definir las fuerzas de inercia dadas por:

Sistemas en movimiento acelerado

Ejemplos

1. Definir sentido (+) , (-)2. Identificar los puntos que tienen

movimiento,3. Los elementos que estn

conectados a puntos fijos tienen desplazamiento cero,

4. Para cada punto xi0, obtener una ecuacin,

1. Identificar las fuerzas actuantes en cada punto

5. Aplicar el principio de dAlembert

F(t)

B

k

1. Definir sentido (+) , (-)

2. Identificar los puntos que tienen movimiento,

F(t)

B

kF(t)

B

k

x0

x1

x2

-

+

+

x0

x1

x2

-

2. Identificar los puntos que tienen movimiento,

F(t)

B

k

x0

x1

x2

-

+

xxxxxxxx

3.Los elementos que estn conectados a puntos fijos tienen desplazamiento cero, no generan ecuacin dinmica

4. Para cada punto xi0, obtener una ecuacin,

1. Identificar las fuerzas actuantes en cada punto

F(t)

B

k

x0

x1

x2

-

+

x0x0

x2x2

3.Los elementos que estn conectados a puntos fijos tienen desplazamiento cero, no generan ecuacin dinmica

4. Para cada punto xi0, obtener una ecuacin,

1. Identificar las fuerzas actuantes en cada punto

F(t)

B

k

x0

x1

x2

-

+

x1

F(t)

x1

Fk(t)

FB(t)

Fm(t)

3.Los elementos que estn conectados a puntos fijos tienen desplazamiento cero, no generan ecuacin dinmica

4. Para cada punto xi0, obtener una ecuacin,

1. Identificar las fuerzas actuantes en cada punto

x1

F(t)

x1

Fk(t)

FB(t)

Fm(t)

x0

x2

F1(t)xxxxxxxxxx

Sistemas de referencia Inerciales: El origen (observador) est en

reposo o MRU. Son aplicables las leyes de Newton.

Las aceleraciones son producidas por fuerzas debidas a la interaccin entre cuerpos (contacto o a distancia).

No inerciales: El origen (observador) lleva una determinada aceleracin. No son aplicables las leyes de Newton.

Sistemas no inerciales

No son aplicables las leyes de Newton.

Se introducen las llamadas fuerzas de inercia Finercia (virtuales) que no son el resultado de la interaccin entre cuerpos sino un artificio matemtico para poder aplicar las leyes de Newton. (Fi = m a )

Cuando el sistema se encuentra en equilibrio se cumple el principio de DAlembert:

Freales + Finercia = 0

Viaje en autobs Al arrancar con aceleracin a, la persona

se siente impulsada hacia atrs:

Sist. Inercial: (fuera del autobs)

No existe fuerza y por tanto tampoco a (nadie le empuja, permanece quieto por inercia).

Sist. No inercial: (dentro del autobs)

Como experimenta el viajero una aceleracin a (hacia atrs) deber existir una fuerzaFi = m a

Dentro de un ascensor Sea un cuerpo de masa m suspendido del techo por

una bscula. Al subir el ascensor con aceleracin a, el objeto marca en la bscula una fuerza superior a su peso:

Sist. Inercial: (fuera del ascensor)

No existe equilibrio puesto que el objeto acelera con a luego T + P = m a (T m g = m a)

T = m (g + a) (T es la fuerza que marca la bscula)

Sist. No inercial: (dentro del ascensor)

Hay equilibrio. Se aplica el principio de DAlembert: F = 0; T + P + Fi = 0 (T m g m a = 0) T = m (g + a)

Al tomar una curva Sea una pelota de masa m que viaja sobre una

plataforma mvil con velocidad lineal constante. Al tomar la curva la plataforma se produce sobre sta una aceleracin normal an, mientras que sobre la pelota no existe aceleracin.

Sist. Inercial: (fuera de la plataforma)

La pelota sigue recta con v constante y se sale de la plataforma que gira.

Sist. No inercial: (dentro de la plataforma)

La pelota sale lanzada hacia el exterior una aceleracin igual cuyo mdulo vale v2/R. Ello implica la existencia de una fuerza (virtual) hacia el exterior que se conoce como fuerza centrfuga.

Ejemplos

Masa. Es la cantidad de materia que contiene un cuerpo, la cual se supone constante.

Resorte.

Amortiguador

Friccin