01-26.p65 30.10.12, 14:232

Апология физикиМ.КАГАНОВ

НУЖНО ЛИ ФИЗИКУ ЗАЩИЩАТЬ? ОТ КОГО? ЭТИвопросы, наверное, сразу возникают при взглядена название статьи. Общеизвестна, например,

защита физиков от обвинения в открытии способамассового уничтожения. Не об этом пойдет здесь речь.Физика, будучи источником идей и технологий, ис-пользуемых в инженерной практике, воспринимаетсямногими как приземленная наука, техническая дисцип-лина, якобы бездуховная по самой своей сути. Вот отэтой точки зрения хочется защитить физику.

Трудно дать всех устраивающее определение духов-ности. Но мне кажется несомненным, что в него входитинтерес человека к окружающему его миру не толькокак к удобной или неудобной среде обитания. Трудноназвать духовным человека, не замечающего красотыпейзажа, безразличного к восходам и закатам, неинтересующегося миром животных и растений, неиспытывающего почтительного удивления перед фан-тастическим «устройством» любого уголка живой при-роды. Удивление, испытываемое человеком при взгля-де на окружающую природу, естественно превращает-ся в любопытство, а развитое обучением и чтением – влюбознательность.

Конечно, у разных людей любознательность останав-ливается на разном уровне познания. Выясняется, что,для того чтобы ответить на «детские» вопросы «поче-му?» и «как?», необходимо создать глубокие теории,провести огромное число тонких экспериментов. По-

степенно, переходя от простого наблюдения к фикса-ции строгих результатов экспериментов, а в дальней-шем все глубже проникая в суть вещей, человекпостигает структуру Мира, начинает понимать движу-щие силы природных явлений.

В углублении процесса познания таится опасность.Любование солнечным закатом, его воспроизведениена холсте воспринимается как духовная деятельность1 ,а выяснение спектрального состава солнечного света,исследование механизмов излучения световых квантовмногим кажется скучным, узко профессиональнымзанятием, требующим знания конкретных методов –правил работы с формулами или с приборами. Конеч-но, к исследованию явлений окружающего нас Миранеобходимо подходить профессионально – знать пра-вила работы с формулами и приборами. Дилетантствои верхоглядство особенно нетерпимы в тех науках,которые имеют сложный аппарат и инструментарий.Есть, однако, своеобразное диалектическое противоре-чие между простотой наиболее глубоких вопросов,которые ставит перед нами Природа, и сложностьюспособов ответа на них. Иногда человек, занятый(профессионально!) исследованием определенногокруга явлений, не видит связи этих явлений с устрой-ством Мира, не ощущает, что его работа вносит допол-

4 июня 2011 года исполнилось 90 лет МоисеюИсааковичу Каганову – автору и другу журнала «Квант».Мы поздравляем Моисея Исааковича с этим славнымюбилеем и желаем доброго здоровья, творческогодолголетия и плодотворного сотрудничества с журналом«Квант».

МОИСЕЙ ИСААКОВИЧ КАГАНОВ – физик-теоретик,специалист в области квантовой теории твердого тела.Доктор физико-математических наук, профессор МГУим. М.В.Ломоносова и почетный доктор Вроцлавскоготехнологического университета. Участник ВеликойОтечественной войны. В 1949 году окончил физико-математический факультет Харьковскогогосударственного университета, с 1949 по 1970 годработал в Украинском физико-техническом институте,а с 1970 по 1994 год – в Институте физических проблемим. П.Л.Капицы. Сейчас живет в США.

Моисей Исаакович – автор многих научных и научно-популярных книг и статей. В журнале «Квант»опубликованы 23 его статьи: «О трении» (совместно сГ.Любарским) (1970, №12), «О механике Аристотеля»(совместно с Г.Любарским) (1972, №8), «Электрон

движется с трением» (совместно с Г.Любарским) (1973,№6), «Электрон излучает фотоны» (совместно сГ.Любарским) (1974, №12), «Выдающийся физик-теоретик ХХ века (Л.Д.Ландау)» (1983, №1), «Многоили мало?» (1988, №1), «Взглянув на термометр…»(1989, №3), «Письма о физике» (1990, №4), «Апологияфизики» (1992, №10), « Из жизни физиков и физики»(1994, №1), «Вокруг шарика» (совместно сА.Гросбергом) (1996, №2), «Как устроены металлы?»(1997, №2), «Просто физика» (1998, №4), «Законысохранения помогают понять физические явления»(1998, №6), «Сверх…» (2000, №5), «Сверх… (2)» (2001,№5), «Об абстракции в физике» (2003, №1),«Удивление, понимание, восхищение» (2004, №2),«Как квантовая механика описывает микромир» (2006,№2, 3), «Квантовые чудеса» (2007, №4, 5), «ЛевДавидович Ландау (отрывок из книги «Школа Ландау:что я о ней думаю)» (2008, №1), «Электроны, фононы,магноны» (2009, №1), «Две простые, но не вполнетривиальные формулы» (2010, №1).

Предлагаем вниманию наших читателей две статьииз этого списка.

1 Конечно, только в том случаем, если в пейзаж привнесеночеловеческое отношение к тому, что видит художник.

01-26.p65 30.10.12, 14:233

нительный мазок в Картину Мира. Даже в таком (посути огорчительном) случае я бы не обвинил этогочеловека в бездуховности. Вполне могу себе предста-вить, что он (этот гипотетический «приземленный»исследователь) бездну эмоций – а не мыслей – потра-тил на разработку методов вычисления или измерения.

На памяти моего поколения физиков – катастрофа,произошедшая с Л.Д.Ландау2 . Спасенный врачами ифизиками после автомобильной аварии, Лев Давидо-вич не вернулся к научной деятельности. Прожил Л.Д.после катастрофы шесть лет, разговаривавшие с ниммногократно убеждались, что у него сохранилась па-мять, что он способен на тонкие оценки чужой деятель-ности, но работать как физик-теоретик он не мог.Врачи утверждали, что это – последствие травматичес-кого отключения той области мозга, которая ответ-ственна за эмоциональную сферу…

Еще один пример, на первый взгляд далекий отпредыдущего. Однажды на Ученом совете Институтафизических проблем (теперь институт носит имя ПетраЛеонидовича Капицы: тогда П.Л. был жив и вел Совет,о котором идет речь) выступил Яков Борисович Зель-дович3 и высказал (не помню, по какому поводу)общие мысли о природе творчества. Основная мысльсводилась к тому, что любознательность – одна изпотребностей человека. Наука – способ удовлетворе-ния этой потребности. И ее необходимо удовлетворять,как потребность в пище, одежде и т.п. Речь, кажется,шла о финансировании фундаментальной науки. По-этому Я.Б. подчеркивал не практическую ценностьрезультатов научной деятельности, а именно удовлет-ворение потребности человека (человечества) в зна-нии. Мне выступление очень понравилось (поэтому изапомнил). Как всякое интересное выступление, егоактивно обсуждали не только на Совете, но и после.Сильное впечатление на меня произвели слова одногомолодого талантливого физика-теоретика. Он не точтобы не соглашался с Я.Б. Но признавался, что когдаон занят вычислениями, то любознательность, желаниеполучить ответ на вопрос, который привел к постанов-ке задачи, не играет большой роли, волнует (хочетсясказать, вдохновляет – так я его понял) сам процессвычисления, радость от удивительной гармонии, кото-рая ощущается в процессе использования строгихматематических правил, и, может быть, лишь подсоз-

нательное ощущение того, что вычисление имеет отно-шение к реалиям природы. Должен признаться, чтослова этого молодого физика соответствуют и моемуотношению к рутинному (казалось бы) процессу полу-чения ответа…

Хочется, чтобы читатель-неспециалист имел в видуэту сторону работы физика и, думаю, любого научногоработника. Есть затасканное, но точно отражающеесуть дела слово – творчество. Научная работа – твор-чество. Творчество в любом виде человеческой деятель-ности вызывает вдохновение. И это превращает дея-тельность научных работников в духовную…

И все же. Есть процесс – творчество и есть результат.Тут, казалось бы, духовность не при чем. Получиврезультат (измерив или вычислив что-то), мы узналито, что объективно существует. И, как уверено боль-шинство научных работников, существует вне и неза-висимо от нашего сознания. Имеет ли сам результатнаучной деятельности какое-либо отношение к духов-ности? Я уверен, что да. И попробую обосновать своюуверенность. Для этого нужно постараться понятьпроцесс постижения устройства Мира. Далеким отфизики людям может показаться, что он напоминаетразгадывание головоломки. Знаете, есть такие голово-ломки: дается шарик или кубик, состоящие из отдель-ных неправильной формы кусочков. Надо уметь шарик(или кубик) разобрать и собрать из этих кусочков. Припопытках разгадки головоломки очень важно то, чтознаешь – решение есть. Еще: разобрав головоломку начасти, уверен, что части неделимы. И наконец, всегда

2 Я думаю, нет необходимости представлять читателямакадемика, лауреата Нобелевской и Ленинской премий Л.Д.Лан-дау (1908–1968). Л.Д. – один из крупнейших физиков-теоре-тиков XX века, снискавший себе славу не только своиминаучными результатами, но и замечательной многотомноймонографией «Курс теоретической физики», по которой учи-лись и учатся многие поколения физиков-теоретиков, а такжесозданием одной из наиболее знаменитых и активных школфизиков-теоретиков.

3 Я.Б.Зельдович (1914–1987) – талантливый и необычайнопродуктивный физик-теоретик. Ему принадлежат выдающи-еся достижения в физике горения и физике элементарныхчастиц, астрофизике и космологии. Вместе с А.Д.Сахаровыми Ю.Б.Харитоном принимал участие в создании советскогоатомного оружия. Академик, трижды Герой Социалистичес-кого Труда.

Моисей Исаакович Каганов

01-26.p65 30.10.12, 14:234

известны правила сборки. Они – как законы природы,если сравнить разгадывание головоломок с процессомпознания. Так вот о правилах сборки: априори извес-тно, что они есть. Общие для всех головоломок –нельзя гнуть, прилагать силу и т.п. И вполне конкрет-ные, для каждой головоломки свои – порядок разборкии сборки.

А теперь вернемся к Миру. Пожалуй, физики давноубедились, что все из чего-то состоит. Но из чего?Существует ли предел разложимости? Когда я училсяв университете, все были уверены (и нас этому учили),что все построено из электронов, протонов и нейтро-нов, и для этих «кирпичей» мироздания создали специ-альный термин – элементарные частицы. Потом «эле-ментарные» частицы посыпались, как из рога изоби-лия. Что ни год, то новая частица. Их классифициро-вали, распределяли по семействам, устанавливали раз-нообразные соотношения и… поняли, что все «элемен-тарные» частицы недостаточно элементарны. «Появи-лись», теперь уже только в работах физиков-теорети-ков, новые претенденты на роль «кирпичей» мирозда-ния – кварки, удивительное создание человеческогоума, частицы с зарядом 1/3 и 2/3 от электронногозаряда, частицы, которых никто не видел вне бывшихэлементарных частиц, но в реальности существованиякоторых, пожалуй, никто не сомневается…

В контексте того, о чем я пишу, для меня важноследующее: кварки – порождение человеческого ума,необходимое для построения стройной, непротиворе-чивой и красивой картины Мира.4

Остановимся на пути углубления внутрь мельчай-ших частиц вещества и задумаемся над тем, как из нихстроится весь окружающий нас Мир и, конечно, мысами.

Одно небезынтересное наблюдение. Углубление вструктуру «элементарных» частиц не заставило наспересмотреть свои взгляды на строение кристаллов, неизменило наших представлений о природе магнетизмаили сверхпроводимости. В физике существует своеоб-разная иерархичность. Пытаясь понять свойства мак-роскопических объектов, нет необходимости добирать-ся «до самой сути». Следует вовремя остановиться.Например, выясняя природу электропроводности итеплопроводности металлов, не следует задумыватьсяо строении ядер тех атомов, из которых металл постро-ен. Иерархичность, конечно, очень помогает и, в час-тности, обеспечивает консервативность (сохранность)добытых наукой результатов. Действительно, если быне иерархичность, то любое продвижение вперед тре-

бовало бы коренной перестройки всего здания физики.По сути это означало бы невозможность движениявперед в познании свойств Природы.5

Итак, вернемся к построению Мира (тел нашегоМира) из мельчайших частиц вещества. Ну, это ужточно конструктор! Огромный, сложный, но все жеконструктор. Такое мнение часто приходится слышать,к сожалению, не только от людей, далеких от физики,но и от физиков. Особенно часто, если эти физикизанимаются физикой элементарных частиц. И все же сэтим суждением я в корне не согласен.

Не согласен потому, что для достижения пониманиястроения и устройства Мира вещей и тел нельзясформулировать правила, пригодные для всех случаевжизни. Процесс построения, конечно же, творческийпроцесс. Мы уже говорили об этом. Но дело не тольков том, что приходится, преодолевая трудности, исполь-зовать все свои интеллектуальные способности. Глав-ным образом дело в том, что приходится создавать,творить те сущности, из которых, собственно говоря, истроится Мир со всем богатством его свойств.

Боюсь, читатель подумает, что ему морочат голову.«Ведь речь идет о строении Мира из электронов,протонов и нейтронов, – скажет он. – Зачем жесоздавать еще какие-то «сущности»?» А затем, чтоиначе ничего нельзя понять. Самый простой пример.Исследуя свойства твердых тел, мы обнаруживаем, чтотвердые тела очень похожи на… газы. «Ерунда какая-то», – заметит даже несколько обиженно читатель. –Ведь газ – совокупность почти невзаимодействующихчастиц, а твердое тело состоит из сильно взаимодей-ствующих частиц. Чтобы разделить твердое тело начасти, надо потратить немало энергии. А вы говорите,что твердое тело похоже на газ частиц». «Но я и неговорил про газ частиц», – возразит автор. И действи-тельно, твердое тело ведет себя как газ не частиц, аквазичастиц – фононов, специально введенных сущ-ностей, позволяющих понять свойства макроскопичес-ких тел. Конечно, можно долго спорить, есть лифононы или они введены. Конечно, они есть, но не какструктурные единицы вещества. Не из них состоиттвердое тело, а из атомов или молекул, а бывает и изионов разных знаков. Но чтобы понять, как движутсяатомные частицы, пришлось ввести фононы, т.е. выяс-нить (увидеть, почувствовать, угадать), что движутсяатомные частицы так, будто тело состоит не из атомов(молекул, ионов), а, повторим, из квазичастиц –фононов. А введя фононы, удалось получить бесконеч-ное число следствий, подтверждающих факт существо-вания фононов. Твердое тело проводит тепло так, какпроводит тепло газ фононов. И поглощает звук так, какпоглощает газ фононов. И так далее и тому подобное…

Здесь не место перечислениям и подробным описани-ям. Хочется подчеркнуть: фононы – творение ума, они

4 Боюсь, в этой статье не удастся сколько-нибудь подробнообсудить важную для нашего рассказа тему: «Эстетика инаука». Хочется только отметить два обстоятельства.Первое. В оценках научной красоты ученые более едины, чемв оценке бытовой красоты. И второе. По какой-то таин-ственной причине красивый результат редко бывает непра-вильным. Если бы я был верующим, то подумал бы, чтоэстетические критерии у Господа Бога и ученых совпадают.Или даже так: Господь снабдил ученых эстетическими крите-риями, чтобы им легче было ориентироваться среди научныхрезультатов. Наверное, чтобы последнюю фразу произнестиискренне, надо быть глубоко верующим человеком.

5 Не стоит ли об этом задуматься творцам перестройкинашего общества? Как было бы хорошо, если бы в результатеперестройки возникло общество, жизнедеятельность струк-тур которого не зависит или хотя бы мало зависит отноваций, происходящих в политических, идеологических идругих сферах. Даже помечтать об этом и то приятно!

А П О Л О Г И Я Ф И З И К И

01-26.p65 30.10.12, 14:235

ОДНАЖДЫ Я ЗАДУМАЛСЯ, СКОЛЬКО КНИГ ЧЕ-ловек может прочитать за жизнь. Оценил я эточисло так. Скажем, человек читает 60 лет. В

году 52 недели. Пусть в неделю человек прочитываетдве книги. Значит, около 100 в год. Итого – примерно6000 книг за жизнь. Это число, не обсуждая, как онополучилось, я назвал разным людям. «Так мало!» –сказали одни. «Неужели так много?!» – удивилисьдругие. И я подумал: в нас нет запрограммированнойчувственной оценки чисел. Только сравнивая одночисло с другим, только придавая числу определенныйсмысл, мы ощущаем его величину. Число прочитанных

Много или мало?М.КАГАНОВ

«созданы» для понимания, они – результат духовнойдеятельности человека, его творчества. Конечно, мож-но сказать и иначе: физики увидели и расшифровали,как движутся атомные частицы в твердом теле. Но чтоуж заведомо духовная деятельность, так это созданиеновых слов, а значит, и новых понятий. Для описаниядвижения атомных частиц пришлось придумать новыеслова: квазичастицы, фононы, магноны… – слова,которых не было в доквантовой физике твердого тела.

Объективность существования материи часто «дока-зывают» фактом существования Природы – в ее оченьпохожей на сегодняшнюю форме – до появления наЗемле человека. Мне, должен признаться, подобноеутверждение кажется убедительным. Или, точнее, нестолько логически убедительным, сколько соответ-ствующим моему восприятию Природы эволюциони-рующей и в результате эволюции сотворившей думаю-щее существо – человека, способного постичь (пости-гать) устройство Природы.

Процесс постижения оказался необычайно трудным,необычайно продуктивным и (это – главное, что я хочусказать) необычайно тесно связанным с самим процес-сом мысли. В Природе, в свойствах материи человекоткрывает то, что (казалось бы!) есть только продукт,результат деятельности человеческого мозга, преждевсего – логику. Математика есть материализованнаялогика. Почему Природа подчиняется математическимзаконам? Почему она описывается доступными челове-ческому уму законами? Опять хочется (в поискахуютного ответа) прибегнуть к религиозному мировоз-зрению и, как бы обратив всю постановку вопроса,сказать: «Природа создана такой, чтобы быть постижи-мой человеческим умом…»

Я не знаю ответов на эти вопросы. И, наверное, неумею слишком строго их формулировать. Я не фило-соф. В разное время, в разные периоды жизни к этимвопросам у меня есть и было разное отношение. Невсегда они меня волновали. Занятый решением конк-ретных задач, я просто не замечал, что подобные

вопросы существуют. Встретившись с ними в статьяхклассиков (Эйнштейна, Бора, Шредингера, позднееГейзенберга), я относился к ним с почтением, недопускающим «вмешательства». Но постепенно, непереставая заниматься вполне конкретной вычисли-тельной деятельностью физика-теоретика, обнаружил,что меня волнуют общие проблемы, что интересны нетолько вполне определенные результаты теории илиэксперимента, но и то, какое место занимают этирезультаты в том, что принято называть научнойкартиной Мира. И, более того, возникла потребностьобдумать, в каком соотношении с Миром находитсянаучная картина Мира.

Не пытаясь переквалифицироваться в профессио-нального философа, я написал несколько статей и однунебольшую брошюру. Но ни разу я не высказалсястоль определенно, как здесь, не выразил своей уверен-ности, что Наука – одна из сторон духовной жизничеловечества. Что невозможно ее свести к полезной дляразвития производительных сил деятельности челове-ка. И даже к удовлетворению любознательности какжизненно важной потребности людей. Что нет ниодного сколько-нибудь важного научного результата, вкоторый не была бы вложена частица души человечес-кой. И хочу повторить еще раз. Частица души вложенане только в процесс добывания истины, но и в самуистину. Наука есть в каком-то смысле результат очело-вечения Природы. Слова, понятия, соотношения – этото, чем наделил Природу человек. Если художникпоказал людям внешнюю красоту Мира, то ученыйвскрыл существование внутренней интеллектуальнойкрасоты, прежде всего проявляющейся в познаваемос-ти законов Природы, в удивительном многообразиипроявлений сравнительно просто формулируемых ос-новных законов, управляющих движением материи.

…Захотелось мне поделиться этими мыслями с моло-дыми людьми, так как заметил утрату романтическогоотношения к Науке и, особенно, к физике.

книг, конечно, имеет вполне определенный смысл (этоне просто безымянные 6000), но ощутить его (оценить,сказать – много это или мало) может только тот, ктосумеет подобрать сравнение. Например, задумавшись:«А сколько книг в неделю (месяц, год, …) читаю я?»…

Физика имеет дело с именованными величинами.Любая физическая величина имеет размерность. Суще-ствует специальный раздел физики, изучающий прин-ципы размерности, системы единиц, эталоны этихединиц и т.д. Должен признаться, всегда этот разделфизики мне казался достаточно скучным. Может быть,из-за того, что из него много фактов надо держать в

01-26.p65 30.10.12, 14:236

ных – законов сохранения энергии и импульса –существуют и более экзотические. Например, законсохранения барионного заряда, утверждающий, чточисло частиц типа протон или нейтрон не изменяетсяпри взаимодействии между частицами.2 Или другойпример: состояние атомных и субатомных частиц ха-рактеризуется некоторой величиной, которую назы-вают волновой функцией. Чаще всего ее обозначаютгреческой буквой ψ . Волновая функция ψ – функ-ция координаты r

r. Так как все точки пустого про-

странства эквивалентны, то любую точку можно из-брать за начало координат. Так вот, функция ( )rψ

r,

согласно уравнениям квантовой механики, может бытьлибо четной, либо нечетной –

либо ( ) ( )r rψ − = ψr r

,

либо ( ) ( )r rψ − = −ψr r

,

причем, что бы с частицей ни происходило, это свой-ство волновой функции сохраняется. Говорят, чтосуществует закон сохранения четности. Если у частицычетная волновая функция, то такой частице можноприписать четность +1, если волновая функция нечет-ная – то –1. Кроме того, волновая функция несколькихне взаимодействующих друг с другом частиц естьпроизведение волновых функций отдельных частиц, аее четность – произведение четностей отдельных час-тиц. Это дает возможность обобщить закон сохранениячетности на весьма сложные случаи. Например: стал-киваются две частицы – четная и нечетная, а в резуль-тате рождаются новые частицы; если их две, то одна изних должна быть четной, а другая нечетной, а если три,то все они могут быть нечетными. Для нас важно:сохраняется безразмерное число +1 или –1.

Но для проверки такого и подобных утвержденийнеобходимы измерения. Для этого что-то должно дви-гаться за счет действия на это «что-то» каких-то сил. Имы опять приходим к физическим величинам, размер-ность которых может быть сведена к сантиметру,секунде, грамму. Я очень не хотел бы, чтобы менявосприняли как «врага» безразмерных чисел. Наобо-рот: одна из задач этой статьи – убедить читателя впользе и даже необходимости безразмерных комбина-ций размерных величин. Более того, истинно безраз-мерные числа, т.е. не являющиеся комбинациями раз-мерных величин, тоже часто встречаются в физике.Трудно найти формулы, в которые не входят трансцен-дентные числа е и π , не говоря уже просто о самыхразличных численных множителях, имеющихся в лю-бой формуле.

Вернемся к физическим величинам, обладающим тойили иной размерностью Задача физической теории –связать различные физические величины соотношени-ями, которые допускают экспериментальную провер-ку. Например, желая проверить, как изменяется современем путь s, проходимый частицей, движущейся спостоянным ускорением а, мы должны сравнить свои

1 Статья написана в системе единиц СГС (сантиметр –грамм – секунда). В школе эту систему уже давно не изучают,однако профессиональные физики обычно пользуются именноею (а не знакомой школьникам СИ). Дело в том, что принаписании формул в этой системе единиц появляющиеся в нихкоэффициенты имеют ясный физический смысл. Подумав,редакция не решилась переводить формулы статьи в СИ, таккак при этом аромат настоящей физики, веющий от статьи,был бы безвозвратно утерян. (Прим. ред.)

2 Античастицам приписывается барионный заряд противо-положного знака. Так, у протона и нейтрона барионный зарядравен 1, у антипротона и антинейтрона он равен –1.

М Н О Г О И Л И М А Л О ?

голове: как связаны между собой джоуль и эрг, чемотличается эрстед от гаусса, сколько кулонов в единицезаряда по системе СГС и т.д. и т.п. Но, как ни грустно,без этого обойтись нельзя. Приходится, переходя отодних значений к другим, выражать их в определен-ных единицах, и притом в одинаковых. Сравниваямагнитное поле, созданное сверхпроводящим соленои-дом, с магнитным полем Земли, оба поля надо выра-зить в одних единицах: в гауссах или в теслах –безразлично, отношение полей от этого не зависит. Аведь именно отношения физических величин нам, какправило, и важны, так как именно они (безразмерныеотношения) определяют то, что физики любят назы-вать «физикой явления». Эту мысль мы разовьемниже, а сейчас еще несколько слов о размерныхвеличинах.

Задумывались ли вы о том, почему все физическиевеличины могут быть выражены через единицы длины(сантиметр), времени (секунду) и массы (грамм)?1

Это относится и к электрическим, и к магнитным, и ктепловым, и к оптическим величинам. В физике нетвеличин, которые нельзя было бы записать черезсантиметр, секунду и грамм. Ответ на вопрос, почемувсе физические величины выражаются через грамм,сантиметр и секунду, может показаться неожиданным.Дело в том, что это связано с определением физики.Физика занимается теми явлениями, которые могутбыть описаны с помощью сантиметра, секунды и грам-ма. Сантиметр и секунда нужны для описания движе-ния в пространстве (кинематика), а грамм необходимдля связи этого движения с силой, вызывающей движе-ние (динамика). Вспомните, что по закону Ньютонасила равна ускорению, умноженному на массу. Конеч-но, существует множество явлений, которые мы неможем описать с помощью физических величин. На-пример, все, что относится к развитию человеческогообщества – к истории, экономике и т.п. Исследованиеэтих явлений, требующее иногда сложных математи-ческих методов, не принадлежит физике. И, конечно,физика не исчерпывается измерениями. Фундамен-тальную роль в ней играют представления, положения,законы, иногда выраженные в виде математическихуравнений, а иногда ограничивающиеся словеснойформулировкой. Вот яркий пример: все тела состоят измолекул, молекулы – из атомов, атомы – из ядер иэлектронов, а ядра – из протонов и нейтронов. В этойфразе – огромная информация, концентрация многове-кового изучения природы, изучения, основанного наизмерении величин, которые (все!) могут быть выра-жены через сантиметр, секунду и грамм.

К основным законам природы, несомненно, следуетотнести законы сохранения. Кроме хорошо извест-

01-26.p65 30.10.12, 14:237

3 Не говорю уже о формальной неправильности пренебреже-ния слагаемым 2ετ при больших значениях τ . Думаю, этосовершенно понятно. И все же: 2ετ становится порядкаединицы или больше только при 1τ ≥ ε . Это время стремит-ся к бесконечности, когда 0ε → . Представим себе, что мыизучаем некий процесс, который длится небольшое конечноевремя, а выяснилось, что слагаемое 2ετ достигает значенияединицы тогда, когда наш процесс уже давно закончился.Конечно, в этом случае без зазрения совести такое слагаемоеможно опустить.

измерения с формулой

( )2

0 00

12 2

at ats t v t v t

v

= + = +

, (1)

где 0v – начальная скорость частицы. Это – оченьпростая формула. Но и она (как все формулы вфизике!) требует, чтобы все входящие в нее величи-ны имели соответствующие размерности: если s изме-ряется в сантиметрах, а t – в секундах, то 0v – всм/с и а – в 2см с . Но пусть мы хотим не толькопроверить эту формулу, но и выяснить, как сказыва-ется на характере движения частицы ускорение. Дляэтого удобна вторая форма записи (когда 0v t мывынесли за скобки). Из нее видно: сначала (при

02t v a≪ ) роль ускорения незначительна – частицапрактически движется с постоянной скоростью 0v ,зато потом (при 02t v a≫ ) частица «забывает», ка-кая у нее была начальная скорость, – ее движениеопределяется ускорением. Как видите, нельзя одно-значно ответить на вопрос, большое или маленькоеускорение у частицы. Ответ зависит от того, какойэтап движения нас интересует. А выяснили мы это,сравнив с единицей безразмерное отношение

( ) ( )=20 02 2at v t at v . Строго говоря, отбрасывая пер-

вое или второе слагаемое, надо было бы учесть, скакой точностью измеряет пройденный путь наш при-бор, и разрешить себе пренебрегать соответствующимслагаемым только в том случае, если оно окажетсяменьше относительной ошибки измерения. Мы боль-ше не будем вдаваться в подобные тонкости, хотяони очень важны для анализа экспериментов.

При решении реальных задач мы часто должныупрощать – без этого попросту задачу решить нельзя.Упрощение всегда основано на пренебрежении малымичленами по сравнению с большими. Но для того чтобычто-то отбросить, надо произвести сравнение членов, асравнивать можно только величины одной размернос-ти. Сказанное формулирует первое (основное) прави-ло пользования размерными величинами. Многие фи-зики так боятся это правило нарушить, что, начинаярешать задачу, сразу обезразмеривают входящие в неевеличины.

Вернемся к движению частицы с постоянным уско-рением. Давайте время будем измерять в единицах

02v a , т.е. введем вместо времени t «безразмерное

время» ( )02at vτ = , а пройденный путь – в единицах202v a , т.е. введем «безразмерную длину» ( )2

02as vσ = .Тогда формула (1) предельно упростится:

( )1σ = τ + τ . (2)

Переход от формулы (1) к формуле (2) и называетсяобезразмериванием. Преимущество такого подходаочевидно: изучив зависимость σ от τ , мы узнаем, какдвижется частица с любым постоянным ускорением,какую бы начальную скорость она ни имела.

Надо признаться: в сложных случаях не всегдарекомендуют обезразмеривать формулы, так как, про-веряя размерность до и после вычисления, легко найти

ошибку или убедиться, что вычисление, по-видимому,проделано правильно.

Для того чтобы сформулировать еще одно правило,которое необходимо учитывать при упрощениях, осно-ванных на существовании в формуле (в уравнении)малой величины, чуть усложним формулу (1), считая,что в момент времени t = 0 тело находилось в точке скоординатой 0s :

( )2

0 0 2at

s t s v t= + + . (1′ )

Теперь расстояние будем измерять в единицах 0s , авремя – в единицах 0 0s v . Тогда

21σ = + τ + ετ , (2′ )

где ( )20 02as vε = – безразмерная величина.

Прежде всего обратим внимание на то, что, изберимы прежние единицы для времени и расстояния, мыполучили бы другое уравнение –

( )0 1σ = σ + τ + τ ,

с другой безразмерной величиной ( )20 0 02as vσ = , вхо-

дящей в формулу. Уже этот факт достоин подчеркива-ния: как правило, есть разные способы обезразмерива-ния, и нужно выбирать тот, который удобнее. Итак,пусть безразмерная величина ε в уравнении (2′ ) оченьмала ( 1ε ≪ ); ну, скажем, 310−ε ≈ или и того меньше.На минуточку представьте себе, что ε стоит множите-лем не перед 2τ , а перед какой-нибудь сложной фун-кцией «безразмерного времени» τ . Сколь упростиласьбы формула, если бы, воспользовавшись тем, чтовеличина ε мала, мы отбросили слагаемое, содержа-щее ε . Но мы понимаем (вернувшись от (2′ ) к (2)),что для этого нужно было бы полностью пренебречьускорением, или, в более общих терминах, пренебречьспецифическими чертами изучаемого движения.3 Имен-но этого делать нельзя! Выливать воду из ванночкинадо осторожно – можно выплеснуть купающегося вней ребеночка.

01-26.p65 30.10.12, 14:238

До сих пор мы имели дело с известным закономдвижения и манипулировали входящими в формулуизвестными величинами. Теперь подумаем о значи-тельно более сложной проблеме. Давайте мысленноперенесемся в доквантовую эру. Опыты Резерфордапоказали: во-первых, атом – сложная система, массаатома сосредоточена в его положительно заряженномядре, причем масса ядра М в тысячи раз превышаетмассу отрицательно заряженного электрона m (элект-рон уже открыт, и заряд его измерен, он равен

104,8 10e −= − ⋅ ед. заряда СГСЕ = 191,6 10−− ⋅ Кл); во-вторых, внутри атома (на расстояниях порядка

81 A 10−=o

 см) действует закон Кулона.Итак, мы знаем, что внутри атома, состоящего из

тяжелого ядра – протона и легкого электрона, дляпростоты ограничимся атомом водорода, действуетзакон Кулона. Кроме того, известно (было известно ив доквантовую эру!), что все атомы водорода одинако-вы, т.е. имеют одинаковые размеры порядка 810− см.Обозначим размер атома водорода через 0a и постара-емся понять: почему 8

0 10a −∼  см? Для этого выразим

0a через характеристики составных частей атома –заряд е и массы электрона m и протона M. Массупротона, по-видимому, можно исключить, считая, чтопротон покоится, а электрон движется вокруг него (вдействительности обе частицы движутся вокруг общегоцентра масс, но поправки, связанные с этим, весьмамалы). Остаются величины m и e. Но легко проверить(проверьте!), что из них нельзя «построить» комбина-цию размерности длины.

Вывод таков: классическая физика не может устано-вить «природу» размеров атома. К этому, в настоящеевремя хорошо известному, выводу можно прийти идругими путями. И известен «выход из положения».Его обеспечила квантовая, или атомная, механика. Невходят в нашу задачу рассказывать о квантовой меха-нике в этой статье. Напомним только, что квантоваямеханика ввела в физику новую мировую константу –

постоянную Планку ℏ 27 210 г см с− ⋅∼ , и вернемся катому водорода. В нашем распоряжении теперь тривеличины m, e и ℏ , а из них легко построить величинуразмерности длины:

28

0 20,4 10 смa

me−= ≈ ⋅

ℏ. (3)

Мы без оговорок приравняли выведенную комбина-цию размеру 0a , так как с хорошей точностью онадействительно равна размеру атома водорода.

Теперь несколько серьезнее задумаемся о логикевывода формулы (3). Не решая задачи, не задумыва-ясь над тем, какими уравнениями описывается дви-жение электрона в атоме, только зная, какие величи-ны ( 0a , е, ℏ , m) должны входить в неизвестноеуравнение, мы решаемся сделать вывод, зафиксиро-ванный формулой (3). Какие у нас для этого основа-ния?

Ясно, что уравнение, которое нам придется решатьдля определения размера атома, будет содержать в виде

неизвестной величины х безразмерную4 комбинацию,т.е. 2 2

0x a me= ℏ , а величина х должна быть найденапутем решения какого-то уравнения, скажем ( ) 0f x = .Но откуда у нас уверенность, что корень этого уравне-ния порядка единицы? Ведь легко себе представить, что

0x – корень уравнения ( )0 0f x = – какое-нибудьогромное или, наоборот, очень маленькое число. А тогда

( )2 20 0a x me= ℏ либо значительно больше, либо значи-

тельно меньше истинных размеров атома; т.е., попростуговоря, ничего о размере атома мы сказать не можем.Здесь нас выручают интуиция, привычка, опыт. Вбольшинстве случаев искомый корень уравнения дей-ствительно оказывается порядка единицы, и тогда нашисоображения, основанные на анализе размерности,подтверждаются точным расчетом.

Но бывает и иначе.В моей практике встретился такой случай. С моим

учителем И.М.Лифшицем мы теоретически исследова-ли свойства вещества, в котором происходят делениярадиоактивных ядер (свойства тепловыделяющих эле-ментов реактора). Это непростая задача – выяснить,как влияют на свойства тела происходящие в нем (вслучайных местах, в случайные моменты времени!)радиоактивные распады. Но оказалось, что, зная энер-гию, которую несут осколки ядер, можно воспользо-ваться соображениями размерности и оценить (прики-нуть) результат сравнительно просто. Интуиция под-сказала, что результат следует проверить точным рас-четом. Оказалось, точное значение отличается от оцен-ки (прикидки) множителем ( ) 5 42 10− −π ≈ (!). Я думаю,что если бы точный расчет был более сложен, чем этобыло в действительности, и нам пришлось бы ограни-читься оценками, то мы в конце концов нашли бы (и безрасчета) множитель ( ) 52 −π – ведь его появление от-нюдь не случайность…

А вот другой, можно сказать противоположный,пример. И.М.Лифшиц и А.В.Погорелов (вы знаетеА.В.Погорелова как автора учебника и книг по геомет-рии) исследовали закономерности деления тяжелыхядер. Аналогия с каплями обычной жидкости и сообра-

4 Сколько-нибудь сложная функция, аргумент которой –размерная величина, вообще бессмысленная вещь. Ведь, какправило, функция задается рядом. Например, 1xe x= + +

2 31 12 6

x x+ + +… А складывать можно только величины одной

размерности.

М Н О Г О И Л И М А Л О ?

01-26.p65 30.10.12, 14:239

жения размерности помогли сравнительно просто ре-шить задачу и получить ответ с точностью до безразмер-ного множителя. Авторам хотелось думать, что неизве-стный безразмерный множитель близок к единице(насколько я помню, И.М.Лифшиц был в этом уверен).А.В.Погорелов сконструировал специальный прибор,позволяющий с помощью «обычной» жидкости изме-рить ту величину, которую оценили теоретически.Оказалось, что искомый множитель равен 1,1 (!).

Что следует из этих двух примеров? Только то, чтонадо проявлять осторожность при оценках, основан-ных на соображениях размерности. Проявлять осто-рожность, но ни в коем случае не отказываться отметодов, основанных на этих соображениях.

Когда речь идет об области физики, занимающейсятакими явлениями, для понимания которых достаточ-но использовать известные законы природы (т.е. ониописываются с необходимой точностью известнымиуравнениями), методы размерности служат наводящи-ми соображениями, подспорьем интуиции. С больши-ми или меньшими трудностями можно произвестисоответствующий расчет и получить точный ответ.Соображения размерности приобретают особую роль,когда физик выходит в непознанную область, когда нетстрогих уравнений, на которые можно опереться, иможно только прикидывать, оценивать и угадывать.Эта деятельность физиков-теоретиков требует особогочутья, основанного на глубоком знании всей структурыфизики, на понимании того, что можно подвергатьсомнению (пересмотру), а что незыблемо, отказ от чегоразрушает (буквально) все здание физики. Науказначительно более консервативна, чем кажется тем, ктосмотрит на нее со стороны и восхищается ее успехами,кому кажется, что наука все может и что ей вседоступно. Наука описывает реально существующийМир, управляемый реально существующими закона-ми. Эти законы наука постепенно, в мучительныхпоисках постигает. Построение логически непротиво-речивой картины Мира – столь сложная задача, чтонадо с трепетной осторожностью относиться к каждойдетали этой картины, непрестанно задавая себе вопрос:не нарушу ли я что-то во всей картине, если предполо-жу нечто новое, необходимое (как мне кажется) дляобъяснения какого-то факта?

Я понимаю, что последний абзац выглядит совершен-но абстрактным. И все же не хочу приводить примеры– главным образом потому, что не чувствую себяспециалистом в той физике, из которой эти примерыследовало бы черпать: из физики элементарных час-тиц, из космологии. Хочу только обратить внимание наследующее. Одну и ту же размерность имеют совер-шенно различные величины: расстояние между Моск-вой и Нью-Йорком и размер атома водорода, времяобращения Нептуна вокруг Солнца и период колеба-ний атомов в молекуле водорода, масса протона и массаэлектрона и т.д. и т.п. – примеры можно множить добесконечности. Разделив размерную величину на вели-чину той же размерности, мы получим безразмерноечисло. Можно задать вопрос: почему получилось имен-но это число, а не какое-нибудь другое? Ясно, что так

как число отношений бесконечно, то и число вопросовтоже бесконечно. Надо ли все их задавать? И нужно лина них отвечать? Ответ дает только опыт. Опытотдельного человека и опыт всей физики. В ходеразвития науки перечень вопросов изменяется вместе сперечнем ответов на них, причем, естественно, вопросынесколько опережают ответы, правда, опережают неслишком значительно. Дело в том, что правильносформулированный вопрос, как правило, несет в себеответ. Иногда вопрос выглядит совершенно невинным,а ответ на него очень сложен. Чего уж проще: почемуотношение массы протона pM к массе электрона emравно 1838? А ответ на этот вопрос, насколько я знаю,не известен. Или другое знаменитое число – такназываемая постоянная тонкой структуры

2 1137

e

cα = =ℏ

. Постоянную тонкой структуры так и

называют – одна сто тридцать седьмая! Почему 1/137– современная наука даже не формулирует. Но исполь-зует α многократно. Относительная малость заряда( 2 137e c c= ℏ ≪ ℏ ) приводит буквально к бесконечно-му числу следствий.

Числа 137 и тем более 1838 – значительно большеединицы. Могут ли они быть следствием теории,корнем какого-либо уравнения? А ведь можно ука-зать пример, который приводит к буквально астроно-мическому числу. Отношение силы электростатичес-кого отталкивания друг от друга двух протонов ксиле гравитационного притяжения между ними:

( )2 2pe M G , конечно, безразмерное число. Оно равно

3610 (!). Решая какое уравнение, можно надеятьсяполучить такое фантастическое число? Сейчас дела-ется попытка построить суперфизику, объединяющуювсе взаимодействия между частицами. По-видимому,она – эта будущая наука – должна «выдать» в видеответа это грандиозное число. Возможно, правда, вэтом не будет ничего удивительного: просто (?!) ис-комой величиной будет не само отношение сил, а,

скажем, ( )( )2 2ln ln 4,4pe M G ≈ . Но это уже не сооб-ражение, а фантазирование… А я хотел бы предосте-речь читателя от различных неоправданных сравне-ний величин одной размерности и обнаружения ка-ких-то мистических соотношений. Попытка ответитьна вопрос, чему должно быть равно то или другоеотношение двух размерных физических величин, дол-жна основываться на глубоком знании предмета. Оза-рение здесь не поможет – поверьте мне!

01-26.p65 30.10.12, 14:2310