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Universidad Católica San PabloPrograma de Ciencia de la Computación
ESTRUCTURAS DISCRETAS III
1
Ana Maria Cuadros Valdivia
OBJETIVO
� Conocer las técnicas y métodos de encriptación
de datos aplicando conceptos de teoría de
números y álgebra abstracta.
Pro
f. Mg. A
na M
aria Cuad
ros
2
� Aplicar conceptos de álgebra relacional.
Pro
f. Mg. A
na M
aria Cuad
ros
CONTENIDO
� Teoría de números
� An Introduction to mathematical Cryptograp h y, Hoffstein, Jeffrey; Pip h er, Jill; Silverman, Ed. 2008
� Matemáticas discretas y combinatoria, Grimaldi. Ed.
Pro
f. Mg. A
na M
aria Cuad
ros
3
� Matemáticas discretas y combinatoria, Grimaldi. Ed. 1997.
UNIDAD 2
TEORIA DE NÚMEROS
Cap. 4 (4.3,4.4,4.5) - Grimaldi
4
TEORIA DE NÚMEROS� Divisibilidad y m.c.d. (algoritmo de Euclides).
1. Divisibilidad2. División de los enteros3. Máximo común divisor.4. Números primos.
Pro
f. Mg. A
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ros
5
4. Números primos.5. Teorema fundamental de la aritmética.6. Aplicaciones: Ecuación Linear Diofántica.
IntroducciónTEORIA DE NUMEROS� Criptografía moderna construida por: algebra y teoría
de números.
� La teoría de números es una rama de las matemáticasque se ocupa del estudio de los números enteros y suspropiedades.
Pro
f. Mg. A
na M
aria Cuad
ros
6
que se ocupa del estudio de los números enteros y suspropiedades.
IntroducciónConjunto de enteros
� Los enteros: suma, resta, multiplicación (leyes
Pro
f. Mg. A
na M
aria Cuad
ros
7
� Los enteros: suma, resta, multiplicación (leyescomutativa, asociativa, distributiva).
� Z bajo la suma y multiplicación : ANILLOS
IntroducciónOPERACIONES BINARIAS� Operaciones binarias: dos entradas, una salida
� Criptografía: suma, resta y multiplicación
Pro
f. Mg. A
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ros
8
IntroducciónOPERACIONES BINARIAS
Pro
f. Mg. A
na M
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ros
9
1. CONCEPTO DE DIVISIBILIDAD
Pro
f. Mg. A
na M
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ros
DIVISIBILIDAD
10
Definiciones: DIVISIBILIDAD
Sean a y b enteros, b ≠ 0. Se dice que “b divide a a” siexiste un entero n que satisface
a = b × n
Pro
f. Mg. A
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11
b es un divisor de a, o a es múltiplo de b.
Notación: b|a “b divide a a” si el resto es cero de locontrario a ł b
Ejemplo :DIVISI B ILIDAD: a = b.n
� El entero 4 divide al entero 32 porque 32= 4 x 8
� El número 8 no divide al número 42 porque 42=8x5+2. Hay un resto.
Pro
f. Mg. A
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ros
12
Hay un resto.
Ejemplos :DIVISI B ILIDAD: a = b.n
� 21 = 3.7
3 divide a 21 => 3|21.
El cociente “n” es 7
3 es un divisor o factor de 21.
Pro
f. Mg. A
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ros
13
� -3|18
18 = (-3)(-6)
� a|0
0 = (a)(0)
Propiedades DIVISIBILIDAD� Para todo a, b, c, ∈ Z, se cumple lo siguiente:
Propiedad 1: if a|1, then a = ±1.
Propiedad 2: if a|b and b|a, then a = ±b.
Pro
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14
Propiedad 3: if a|b and b|c, then a|c.
Propiedad 4: if a|b and a|c, then a|(m × b + n × c), donde my n son enteros arbitrarios.
Propiedades DIVISIBILIDAD
a. 13|78, 7|98, -6|24, 4|44 y 11|(-33)
b. 13ł27, 7ł50, -6ł23, 4ł41 y 11ł(-32)
c. Desde que 3|15 y 15|45→3|45 (iiiprop).
Pro
f. Mg. A
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15
prop).
d. Desde que 3|15 y 3|9 (vi prop)3|(15x2 + 9x4), que significa 3|66
Propiedades DIVISIBILIDAD
Hecho 1: El entero 1 tiene un solo divisor, el mismo
Hecho 2: Cualquier entero positivo tiene al
Pro
f. Mg. A
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ros
16
�32 tiene 6 divisores: 1, 2, 4,8 ,16 y 32
menos 2 divisores, 1 y el mismo(puede tener más).
2. DIVISIÓN DE LOS ENTEROS
Pro
f. Mg. A
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ros
2. DIVISIÓN DE LOS ENTEROS
17
Definición:ALGORITMO DE LA DIVISION� Si a,b Є Z, con b > 0, entonces existen q, r Є Z
únicos tales que:
a = q × b + r con 0 ≤ r < b
Pro
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ros
18
� El residuo de una división se denota como “a modb”, mientras el cociente se denota como a div b.
� Si a=16 y b=3 => 16 = 3.5 + 1, por tanto q=5, r=1
Definición:ALGORITMO DE LA DIVISION� Dos restricciones:
� Divisor un entero positivo (b>0)
� Resto un entero no negativo (r≥0)
Pro
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19
Ejemplos:Algoritmo de la división: a = qb + r , con 0 ≤ r < b
� a=170 y b = 11
170 = 15.11 + 5 donde 0 ≤ 5 < 11
� a=98 y b = 7
Pro
f. Mg. A
na M
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20
� a=-45 y b = 8
� a=20 y b = 3
Ejemplos:Algoritmo de la división: a = qb + r , con 0 ≤ r < b
� Convertir un número decimal a base b
� Ex presar el decimal 91 en base 2
Pro
f. Mg. A
na M
aria Cuad
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21
Ejemplos:Algoritmo de la división: a = qb + r , con 0 ≤ r < b
� Convertir un número decimal a base b
� Ex presar el decimal 6137 en base octal
Pro
f. Mg. A
na M
aria Cuad
ros
22
4. MÁXIMO COMÚN DIVISOR
Pro
f. Mg. A
na M
aria Cuad
ros
4. MÁXIMO COMÚN DIVISOR
23
DIVISOR COMÚN
� .
Pro
f. Mg. A
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Definiciones:DIVISOR COMÚN� Para a, b Є Z, un entero positivo c es un divisor
común de a y b si c|a y c|b.
� Los divisores comunes de 42 y 70 son: 1, 2, 7 y 14.
Pro
f. Mg. A
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25
Ejemplo:Divisor Común
� Los divisores positivos de 30 son:
1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
� Los divisores positivos de 105 son:
1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105
Pro
f. Mg. A
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ros
26
Entonces los divisores comúnes de 30 y 105 son:
1, 3, 5, 15
=> mcd(30,105) = 15
Definiciones:MÁXIMO COMÚN DIVISOR mcd(a,b)=d� Se dice que un entero no negativo d es el máximo
común divisor de los enteros a y b,
� El entero más grande d tal que d|a y d|b
� d es divisor común de a y b; y
Pro
f. Mg. A
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ros
27
� Para cualquier a,b Є Z+, existe un único d Є Z+ que es el máximo común divisor de a, b.
� Ejemplo:
Los divisores comunes de 12 y 18 son {1,2,3,6} y mcd(12,18) = 6
Definiciones:MÁXIMO COMÚN DIVISOR� Si mcd(a,b) es 1 => a|b está simplificada.
Se dice que a y b son primos relativos o co-primos.
Ejemplo:
4 |6 no está reducida porque mcd(4,6) es 2.
Pro
f. Mg. A
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ros
28
4 |6 no está reducida porque mcd(4,6) es 2.
3 |8 es simplificada porque mcd(3,8) es 1.
Definiciones:ALGORITMO DE EUCLIDES� Basado en los siguientes hechos:
Hecho 1 : mcd(a, 0) = aHecho 2: mcd (a, b) = mcd (b, r), donde r
es el resto de dividir a por b
Pro
f. Mg. A
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ros
29
es el resto de dividir a por b
Definiciones:ALGORITMO DE EUCLIDES
� Si a, b Є Z+ aplicamos el algoritmo de la división como sigue:
a = q1b + r1, 0 < r1 < bb = q2r1,+r2, 0 < r2 < r1
r1 = q3r2,+r3, 0 < r3 < r2
…ri = qi+2ri+1,+ri+2, 0 < r < r
Pro
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30
ri = qi+2ri+1,+ri+2, 0 < ri+2 < ri+1
….
rk-2 = qkrk -1,+rk 0 < rk < r k - 1
rk -1 = qk+1 rk
Entonces, r k , el último resto distinto de cero, es igual a mcd(a,b)
Si a, b Є Z+ con a > b, entonces el mcd(a,b) = mcd(b, a mod b)
Ejemplo:ALGORITMO DE EUCLIDES
� Determinar el m.c.d. de 250 y 111, expresado como combinación lineal de los enteros.
a = q b + r
250 = 2 (111) + 28 0 < 2 8 < 111 111 = 3 ( 2 8 ) + 27 0 < 27 < 111
Pro
f. Mg. A
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ros
31
111 = 3 ( 2 8 ) + 27 0 < 27 < 1112 8 = 1 (27) + 1 0 < 1 < 2727 = 27 (1) + 0
mcd(250,111) = 1
Ejemplo:ALGORITMO DE EUCLIDES
� mcd(4864,3458)
Pro
f. Mg. A
na M
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ros
32
Ejemplo:ALGORITMO DE EUCLIDES� mcd(4864,3458)
a = q b + r
4864 = 1 (3458) + 14063458 = 2 (1406 ) + 6461406 = 2 ( 646) + 114
Pro
f. Mg. A
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ros
33
1406 = 2 ( 646) + 114646 = 5 ( 114) + 76114 = 1 ( 76) + 38
76 = 2 ( 38) + 0
mcd(4864,3458) = 38
ALGORITMO DE EUCLIDES
Pro
f. Mg. A
na M
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ros
34
ALGORITMO DE EUCLIDES� Encontrar el mcd de 2740 y 1760
Pro
f. Mg. A
na M
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ros
� Mcd (2740,1760) = 20
35
ALGORITMO DE EUCLIDES
Cuando mcd (a, b) = 1, decimos que a y b son relativamente primos.
Pro
f. Mg. A
na M
aria Cuad
ros
36
Definiciones:ALGORITMO EXTENDIDO DE EUCLIDES
� El algoritmo extendido de Euclides puede ser fácilmente extendido para que aunado a la obtención del m.c.d.(a,b) = d, encuentre además la solución:
Pro
f. Mg. A
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ros
37
a x + by = d
como una combinación lineal de a y b
Ejemplo:ALGORIT MO EXTENDIDO DE EUCLIDES
Mcd(250,111)
250 = 2 (111) + 28
111 = 3 (28 ) + 27
28 = 1 (27) + 127 = 27 ( 1) + 0
1 = 28 - 1 (2 7) 1 = 28 - 1 (111 – 3 (28)) 1 = -1(111) + 4 (28)1 = -1(111) + 4 (250 – 2(111))
Pro
f. Mg. A
na M
aria Cuad
ros
38
ax + by = d
� 250(4) + 111(-9) = 1
27 = 27 ( 1) + 0
mcd(250,111) = 1
1 = -1(111) + 4 (250 – 2(111))1 = -1(111) + 4(250) – 8(111)1 = -9(111) + 4(250)
ALGORITMO EXTENDIDO DE EUCLIDES
a x + by = d
� Casos bases:� Paso 1: lo =a y l1 = b,
X y
Pro
f. Mg. A
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ros
39
� Paso 2: Encontrar los valores para xi+1, yi + 1- xi+1 = xi -1 – qi.x- yi+1 = yi -1 – qi.y
X y
lo= 1*a + 0*b 1 0
l1= 1*a + 0*b 0 1
ALGORIT MO EXTENDIDO DE EUCLIDES
Pro
f. Mg. A
na M
aria Cuad
ros
40
ALGORIT MO EXTENDIDO DE EUCLIDES
Pro
f. Mg. A
na M
aria Cuad
ros
41
ALGORIT MO EXTENDIDO DE EUCLIDES
� Dados a=161 y b =28, encontrar el mcd(a,b) y losvalores de x, y
� Mcd(161,28)=7, x=-1, y =6
Pro
f. Mg. A
na M
aria Cuad
ros
42
ALGORIT MO EXTENDIDO DE EUCLIDESP
rof. M
g. A
na M
aria Cuad
ros
43
ALGORIT MO EXTENDIDO DE EUCLIDES
� Colorario:
� Siendo d el mcd(a,b). Entonces d es el entero positivo más pequeño tal que para algunos enteros x e y :
d= ax + by
Pro
f. Mg. A
na M
aria Cuad
ros
� Lema:
� Si a, b y c son enteros positivos tal que mcd(a,b) =1 y a|bc entonces a|c
44
5. ECUACIONES DIOFANTICAS
Pro
f. Mg. A
na M
aria Cuad
ros
5. ECUACIONES DIOFANTICAS
45
Pasos:Ec. Diafantica
a x + by = c� Calcular d=mcd(a,b) por el algoritmo de Euclides.
� Comprobar si d|c,
� si no divide, no existen soluciones enteras, termina.
Pro
f. Mg. A
na M
aria Cuad
ros
� De lo contrario
c = d.e
� El par x0, y0 = (xe,ye) es una solución particular de
ax + by = c
� Se usa el concepto de la ec. Diofántica para encontrarla solución general.
46
Ejemplo:Ec. Diafóntica� Consideremos la ecuación
1492x + 1066y = -4
Pro
f. Mg. A
na M
aria Cuad
ros
47
Ejemplo:Ec. Diafóntica� Al ayudar a los estudiantes en sus cursos de
programación, Juan observa que en promediopuede ayudar a un estudiante a depurar unprograma en Pascal en 6 minutos, pero tarda 10minutos en depurar un programa escrito en C++.
Pro
f. Mg. A
na M
aria Cuad
ros
minutos en depurar un programa escrito en C++.Si trabajó en forma continua durante 104 minutosy no desperdició tiempo, ¿Cuántos programasdepuró en cada lenguaje?
48
2. NÚMEROS PRIMOS
Pro
f. Mg. A
na M
aria Cuad
ros
2. NÚMEROS PRIMOS
49
Definiciones:NÚMEROS PRIMOS� Para todo n Є Z+, n tiene al menos dos divisores positivos:
1 y el mismo n.� 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, …
� Todos los demás enteros positivos (mayores que 1 y queno sean primos) se llaman compuestos.
Pro
f. Mg. A
na M
aria Cuad
ros
50
no sean primos) se llaman compuestos.� 4,10,16 y 21
� Si n Є Z+ y n es compuesto, entonces existe un primo talque p|n.
� Existe una infinidad de primos.
5. TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMETICA
Pro
f. Mg. A
na M
aria Cuad
ros
DE LA ARITMETICA
51
Teorema fundamental de la Aritmética� Cada entero n>1 puede escribirse como un producto
de sus primos de forma única, excepto por el ordende estos.
Pro
f. Mg. A
na M
aria Cuad
ros
52
� Donde todos los pt son primos distintos, mientrasque los kt son enteros positivos mayores o iguales a0.
Ejemplo:Teorema fundamental de la Aritmética� Para el entero 980220, podemos determinar la
factorización como producto de primos
980220 = 21(490110)=22(245055)=2231(81685)
= 223151(16337) = 223151171(961)
Pro
f. Mg. A
na M
aria Cuad
ros
53
= 223151(16337) = 223151171(961)
= 22.31 .51 .171.312
TeoremaSean m y n enteros mayores que 1, con factorizacionesprimas:
m = p1a1 p2
a2 ... pkaj
Y
n = p1b1 p2
b2 ... pkbj
Pro
f. Mg. A
na M
aria Cuad
ros
54
n = p1 p2 ... pk
=> mcd(m,n) = p1min(a1,b1) p2
min(a2,b2) ... pkmin(aj, bj)
Ejemplo Teorema mcd� mcd(82320, 950796)
82320 = 24 . 31 . 51 . 73 . 110
950796 = 22 . 32 . 50 . 74 . 111
Por el teoremamcd(82320,950796)= 2min(4,2). 3min(1,2).5min(1,0).
Pro
f. Mg. A
na M
aria Cuad
ros
mcd(82320,950796)= 2min(4,2). 3min(1,2).5min(1,0).7min(3,4). 11min(0,1)
= 22 . 31 . 50 . 73 . 110
= 4116Un algoritmo más eficiente: Euclidiano.
55
