01_piastra_kirchhoff

Politecnico di TorinoDipartimento di Ingegneria Meccanica e Aerospaziale

Marco Gherlone

Analisi statica di piastre multistratocaricate trasversalmente

Strutture Aeronautiche1 – Analisi statica di piastre multistrato caricate trasversalmente

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Marco Gherlone

Contenuto dell’esercitazioneL’esercitazione si divide in tre fasi:1. richiami teorici sulla teoria di Kirchhoff per l’analisi delle piastre, con

particolare riferimento alla risposta statica di piastre multistrato, ortotrope, simmetriche, appoggiate sui 4 lati e caricate trasversalmente;

2. scrittura di un programma in ambiente MATLAB® che implementi tale soluzione statica;

3. applicazione di tale programma allo studio di due casi particolari.

Scopo dell’esercitazioneGli scopi dell’esercitazione sono essenzialmente 2:• sviluppare una serie di programmi di analisi strutturale in ambiente MATLAB®

secondo la logica pre-processing, processing, post-processing;• analizzare il comportamento statico delle piastre ortotrope e simmetriche soggette a carichi trasversali.


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Marco Gherlone

Richiami teorici

a

zy

x

b

hzq

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )yx,wzy,x,w

yx,zwyx,vzy,x,v

yx,zwyx,uzy,x,u

(0)

(0)y,

(0)

(0)x,

(0)

=

−=

−=

Campo di spostamentiIpotesi cinematiche (rototraslazione rigida):1. i segmenti di spessore, inizialmente rettilinei,

rimangono tali a deformazione avvenuta;2. i segmenti di spessore mantengono invariata

la loro lunghezza a deformazione avvenuta;3. i segmenti di spessore, inizialmente

perpendicolari alla superficie di riferimento, lo sono ancora a deformazione avvenuta.

x

(0)x,w

(0)u

(0)w

(0)x,wz


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Marco Gherlone

Richiami teorici

Ipotesi sullo stato tensionale:1. La tensione trasversale normale σz è nulla.

Campo di tensioni (piano: si ottiene τxz=τ yz=0 oltre all’ipotesi σz=0)

x 11 12 16 x

y 12 22 26 y

xy 16 26 66 xy

σ Q Q Q ε

σ = Q Q Q ε

τ Q Q Q γ

{ } [ ]{ }P P Pσ = Q ε

Campo di deformazioni (piano: si ottiene εz=γxz=γyz=0)

{ }(0)

x ,xx(0)

P y ,yy(0)

xy ,xy

κ w

κ = κ =- w

κ 2w

{ }(0) (0)x ,x

(0) (0) (0)P y ,y

(0) (0) (0)xy ,y ,x

ε u

ε = ε = v

γ u +v

{ }x ,x

P y ,y

xy ,y ,x

ε u

ε = ε = v

γ u +v

{ } { } { }(0)P P Pε = ε +z κ

deformazioni membranalideformazioni totali curvature


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Marco Gherlone

Spieghiamo più in dettaglio perché il campo di tensioni risulta piano e come si calcolano i coefficienti della matrice [QP].Per uno strato di materiale ortotropo con le fibre parallele ad uno degli assi geometrici (x o y), si ha in generale

Richiami teorici

x x11 12 13

y y12 22 23

z z13 23 33

xz xz44

yz yz55

xy xy66

σ εC C C 0 0 0σ εC C C 0 0 0σ εC C C 0 0 0

=τ γ0 0 0 C 0 0τ γ0 0 0 0 C 0τ γ0 0 0 0 0 C

⋅

Poiché nel nostro caso γxz=γyz=0, si ha subito che anche τxz=τyz=0. Si ha quindi:

x x11 12 13

y y12 22 23

z z13 23 33

xy xy66

σ εC C C 0

σ εC C C 0=

σ εC C C 0

τ γ0 0 0 C

⋅


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Marco Gherlone

A questo punto aggiungiamo l’ipotesi che σz sia nulla; dalla terza equazione si ottiene:

Richiami teorici

z 13 x 23 y 33 zσ =C ε +C ε +C ε =0

Si possono allora scrivere le relazioni costitutive in termini di rigidezze ridotte:

x 11 x 12 y 13 zσ =C ε +C ε +C ε y 12 x 22 y 23 zσ =C ε +C ε +C ε

213 13 23

x 11 x 12 y33 33

C C Cσ = C - ε + C - ε

C C

213 23 23

y 12 x 22 y33 33

C C Cσ = C - ε + C - ε

C C

da cui si ricava

Le prime 2 equazioni scritte per esteso sono:

che diventano, sostituendo l’espressione ricavata per εz,

x 11 12 16 x

y 12 22 26 y

xy 16 26 66 xy

σ Q Q Q ε

σ = Q Q Q ε

τ Q Q Q γ

i3 j3ij ij

33

16 26

66 66

C CQ C - , i,j=1,2

C

Q =Q =0

Q =C

≡

13 23z x y

33 33

C Cε =- ε - ε

C C(A)


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Marco Gherlone

Se consideriamo l’ipotesi cinematica 2, si ha εz=0; dalla relazione (A), invece, si ricava che non necessariamente εz=0. In pratica, la deformazione εz ottenuta derivando il campo di spostamenti è nulla mentre quella ricavata dalle equazioni costitutive non lo è! Si tratta di una (lieve) contraddizione del modello di Kirchhoff.Per concludere, ricordiamo come calcolare alternativamente le rigidezze ridotte:

Richiami teorici

dove EL e ET sono i moduli di Young nelle due direzioni principali, νLT e GLT sono il coefficiente di Poisson e il modulo di taglio nel piano (L,T). Vale, infine, la seguente relazione: νTL= νLTET/EL.

( )T1 1(k) (k) (0) (k)P PQ Q

− − = Λ ⋅ ⋅ Λ

L LT T

LT TL LT TL

(0) LT T TP

LT TL LT TL

LT

E ν E0

1-ν ν 1-ν ν

ν E EQ = 0

1-ν ν 1-ν ν

0 0 G

( )( )

2 2

(k) 2 2

2 2

(k)

(k)

c s 2cs

Λ = s c -2cs

-cs cs c -s

c cos θ

s senθ

≡

≡

θ(k)

x

y

LT


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Marco Gherlone

Passiamo ora a definire le risultanti ed i momenti risultanti delle tensioni (sono forze e momenti per unità di lunghezza del lato su cui agiscono):

Richiami teorici

( )∫−=h/2

h/2dz......

{ } { }x x

y y P

xy xy

N σ

N = N =< σ >=< σ >

N τ

{ } { }x x

y y P

xy xy

M σ

M = M =<z σ >=<z σ >

M τ

σx

x

z y

τxy

σy

τxy

z y

x

Nx

Nxy

Ny

Nxy

Mx

Mxy

My

Mxy


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Marco Gherlone

Calcolando gli integrali introdotti in precedenza, si ottengono le equazioni costitutive della piastra(di Kirchhoff):

Richiami teorici

{ } [ ]{ } [ ]{ }{ } [ ]{ } [ ]{ }

(0)P P

(0)P P

N = A ε + B κ

M = B ε + D κ

matrice delle rigidezze di accoppiamento

[ ] [ ]PA Q≡

[ ] [ ]PB z Q≡

[ ] [ ]2PD z Q≡

matrice delle rigidezze membranali

matrice delle rigidezze flesso-torsionali

Considerando NS strati ortotropi, possiamo anche scrivere:

[ ] [ ] ( ) ( )

[ ] [ ] ( )

(k)+ (k)+

(k)- (k)-

(k)+ (k)+

(k)- (k)-

(k)+ (k)-z zNS NS NS NS(k) (k) (k) (k) (k)

P P P P Pk=1 k=1 k=1 k=1z z

2(k)+z zNS NS(k) (k) (k)

P P P Pk=1 k=1z z

z - zA Q = Q dz= Q dz= Q = Q h

1

z -B = z Q = z Q dz= Q zdz= Q

=

∑ ∑ ∑ ∑∫ ∫

∑ ∑∫ ∫( )

[ ] [ ] ( ) ( )(k)+ (k)+

(k)- (k)-

2(k)-NS

k=1

3 3(k)+ (k)-z zNS NS NS2 2 (k) (k) 2 (k)

P P P Pk=1 k=1 k=1z z

z

2

z - zD = z Q = z Q dz= Q z dz= Q

3

∑

∑ ∑ ∑∫ ∫


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Marco Gherlone

Vediamo alcune proprietà delle matrici contenute nelle equazioni costitutive:• [A], [B] e [D] sono simmetriche essendo pure [QP] simmetrica;• [A] dipende solo dal numero e dal tipo di strati, non dalla loro posizione lungo lo spessore (si consideri la sua definizione);• [B] dipende dal numero, dal tipo e dalla posizione degli strati; in particolare [B]=[0] per laminazioni simmetriche (per ogni strato ne esiste un altro simmetricamente posizionato rispetto alla superficie di riferimento);• [D] dipende dal numero, dal tipo e dalla posizione degli strati.E’ di particolare importanza la differenza di comportamento tra piastre non simmetriche ([B]≠[0]):

Richiami teorici

e piastre simmetriche ([B]=[0])

{ } [ ]{ } [ ]{ }{ } [ ]{ } [ ]{ }

(0)P P

(0)P P

N = A ε + B κ

M = B ε + D κ

{ } { } { }

{ } { } { }

(0) * *P

T* *P

ε = A N + B M

κ = B N + D M

Il comportamento membranale e quello flesso-torsionale sono accoppiati: gli sforzi {N} provocano anche flesso-torsioni ed i momenti {M} generano anche deformazioni membranali.

{ } [ ]{ }{ } [ ]{ }

(0)P

P

N = A ε

M = D κ

{ } [ ] { }{ } [ ] { }

1(0)P

1

P

ε A N

κ D M

−

−

=

=

Il comportamento membranale e quello flesso-torsionale sono disaccoppiati: gli sforzi {N} provocano solo deformazioni membranali ed i momenti {M} generano solo flesso-torsioni.


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Marco Gherlone

Richiami teorici

Piastra simmetrica(0°/90°/0°/90°/90°/0°/90°/0°)

Piastra non simmetrica(0°/0°/90°/90°/0°/0°/90°/90°)

Come si deduce dall’esempio, nel caso di una laminazione non simmetrica la risposta statica di una piastra può essere tutt’altro che intuitiva.


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Marco Gherlone

Richiami teorici

Sostituendo alle forze e ai momenti le loro espressioni in termini di derivate degli spostamenti (equazioni costitutive), si ricava:

x,x xy,y

xy,x y,y

x,xx xy,xy y,yy z

N +N =0

N +N =0

M +2M +M +q =0

( )

( )

( )

(0) (0) (0)11 ,xx 66 ,yy 12 66 ,xy

(0) (0) (0)12 66 ,xy 66 ,xx 22 ,yy

(0) (0) (0)11 ,xxxx 12 66 ,xxyy 22 ,yyyy z

A u +A u + A +A v =0

A +A u +A v +A v =0

-D w -2 D +2D w -D w +q =0

Piastre cross-ply simmetriche

( ) ( )

( ) ( )

( )

(0) (0) (0) (0) (0)11 ,xx 66 ,yy 12 66 ,xy 11 ,xxx 12 66 ,xyy

(0) (0) (0) (0) (0)12 66 ,xy 66 ,xx 22 ,yy 12 66 ,xxy 22 ,yyy

(0) (0) (0)11 ,xxxx 12 66 ,xxyy 22 ,yyyy

(0)11 ,xxx 12 6

A u +A u + A +A v -B w - B +2B w =0

A +A u +A v +A v - B +2B w -B w =0

-D w -2 D +2D w -D w +

+B u + B +2B( ) ( )(0) (0) (0)6 ,xyy 12 66 ,xxy 22 ,yyy zu + B +2B v +B v +q =0

Piastre cross-ply non simmetriche

Scriviamo ora le equazioni di equilibrio per una piastra cross-ply (θ(k)=0°,90° ∀ k) soggetta al solo carico distribuito trasversale qz(x,y). Si parte dal considerare un concio elementare di piastra e nell’imporre l’equilibrio alla traslazione ed alla rotazione; si ottiene quindi (dopo “semplici” manipolazioni delle equazioni):


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Marco Gherlone

I problemi proposti riguardano piastre (i) cross-ply e (ii) simmetriche; possiamo quindi considerare il secondo set di equazioni di equilibrio scritto in precedenza. La terza equazione contiene il solo spostamento trasversale w(0) mentre le prime 2 contengono solo gli spostamenti tangenziali u(0) e v(0). Per calcolare gli spostamenti fuori dal piano (quelli tangenziali sono nulli per carico trasversale) ci basta la terza equazione:

Analisi statica di piastre cross-ply simmetriche

Sappiamo inoltre che le piastre da studiare sono (iii) rettangolari e (iv) semplicemente appoggiate su tutti e 4 i lati; le condizioni al contorno sono quindi le seguenti:

( )(0) (0) (0)11 ,xxxx 12 66 ,xxyy 22 ,yyyy zD w +2 D +2D w +D w =q

0wwwb0,y ,a0,x yy,(0)

xx,(0)(0) ===→==

yy,(0)

22xx,(0)

12yy

yy,(0)

12xx,(0)

11xx

wDwDM

wDwDM

−−=

−−=

0M,0wb0,y

0M,0wa0,x

yy(0)

xx(0)

==→=

==→=

Nel nostro caso si ha (piastra cross-ply simmetrica ⇒ D16=D26=0, [B]=[0]):

per cui le condizioni al contorno si possono scrivere nel seguente modo

(1)

(2)


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Marco Gherlone


da cui

A seconda del tipo di carico trasversale, cambierà l’espressione dei qmn:

( )nm,qwλDwλ)λ2D2(DwλD mnmn4

n22mn2

n2

m6612mn4

m11 ∀=+++

4n22

2n

2m6612

4m11

nmmn

λDλλ)D2(D2λD

qw

+++=

Sostituendo l’espressione di w e quella di qz nell’equazione di equilibrio, otteniamo:

( ) ( )mn m n m nzm=1 n=1

mπ nπq (x,y)= q senλ x sen λ y con λ e λ

a b

∞ ∞

≡ ≡∑∑

Supponiamo che il carico trasversale distribuito sia sviluppabile in serie di Fourier:

allora una soluzione della (1) che rispetta le (2) è

( ) ( )(0)mn m n m n

m=1 n=1

mπ nπw (x,y)= w sen λ x sen λ y con λ e λ

a b

∞ ∞

≡ ≡∑∑

Carico concentrato nel punto (xc,yc) di intensità Qc

Carico distribuito uniforme di intensità qz0

⇐⇐=

parinom0

disparinemmnπq16q

20z

mn

( ) ( ) ( )cncmcmn yλsenxλsenab4Qq =


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Marco Gherlone


Una volta calcolato il campo di spostamenti w(0)(x,y), possiamo studiare anche i campi di deformazione e di tensione. Per le deformazioni si ha

dove le deformazioni membranali sono assenti perché u(0)(x,y)=v(0)(x,y)=0. Notiamo che le deformazioni sono lineari nello spessore e si annullano per z=0.Per le tensioni si ha semplicemente

(0)x ,xx

(0)y ,yy

(0)xy ,xy

ε w

ε = - z w

γ 2w

(k) (k) (k) (k)x 11 12 16 x(k) (k) (k) (k)y 12 22 26 y(k) (k) (k) (k)xy 16 26 66 xy

σ Q Q Q ε

σ = Q Q Q ε

τ Q Q Q γ

Le tensioni risultano lineari a tratti nello spessore perché le rigidezze cambiano da strato a strato; anche le tensioni si annullano tutte in corrispondenza della superficie di riferimento (z=0).


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Marco Gherlone

Analisi statica di piastre cross-ply simmetriche (facoltativo)Sebbene il modello di Kirchhoff non le preveda, è possibile calcolare anche le due tensioni di taglio trasversale τxz e τyz. Partendo dalle equazioni indefinite di equilibrio in direzione x ed y (in assenza di forze di volume)

e, note σx, σy e τxy, si possono determinare le tensioni di taglio trasversale per integrazione lungo lo spessore. Proviamo, per esempio, a calcolare la tensione τxz:

Sostituendo alle tensioni le deformazioni (vedere la slide 15, piastra cross-ply⇒Q16=Q26=0 in ogni strato) e raccogliendo, la funzione integranda diventa

0τστ

0ττσ

zyz,yy,xxy,

zxz,yxy,xx,

=++

=++

( )yxy,xx,zxz, τστ +−=

( ) ( ) ( )dzτσh/2y,x,τzy,x,τz

h/2

(k)yxy,

(k)xx,xzxz ∫− +−−=

da cui

( ) ( ) ( )(k) (k) (k) (0) (k) (0) (k) (0) (k)x,x xy,y 11 ,xx 12 ,yy 66 ,xy,x ,yσ τ Q w Q w 2Q w z f (x,y) z − + = ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅

per cui, essendo τxz(x,y,-h/2)=0,

( ) ( )( )z (k)xz h/2τ x,y,z f x,y z dz

−= ⋅∫


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Marco Gherlone

Analisi statica di piastre cross-ply simmetrichePer il calcolo delle matrici [A], [B] e [D] si procede semplicemente come segue:

Per quanto riguarda il calcolo dello spostamento trasversale in un punto fissato (xc,yc), con l’uso di M funzioni lungo x e di N lungo y, si ha:

Per tracciare gli andamenti lungo lo spessore delle deformazioni e delle tensioni nello stesso punto (xc,yc), si scrive in modo analogo

EL, ET, νLT, GLT [QP(0)] ∀ k [Λ(k)] ⇒ [QP

(k)] [A], [B], [D]

qmn wmn ( ) ( )M N

(0)c c mn m c n c

m=1 n=1

w (x ,y )= w sen λ x sen λ y∑∑

{ } { }

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

M N2

m mn m c n c(0) m=1 n=1

,xx c cM N

(0) 2P c c P c c ,yy c c n mn m c n c

m=1 n=1(0)

M N,xy c c

m n mn m c n cm=1 n=1

λ w sen λ x sen λ y-w (x ,y )

ε (x ,y ) z κ (x ,y ) =z -w (x ,y ) z λ w sen λ x sen λ y

-2w (x ,y )-2 λ λ w cos λ x cos λ y

= ⋅ ⋅ = ⋅

∑∑

∑∑

∑∑

{ } { }P P

(k) (k)c c P c ck σ (x ,y ) = Q z κ (x ,y ) ∀ ⋅ ⋅


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Marco Gherlone

Suggerimenti per la programmazione

Si suggerisce di organizzare il calcolo secondo le fasi e i programmi MATLAB®

elencati nel diagramma di flusso seguente:

Inserimento dei dati per l’analisi

Calcoli preliminari

Calcolo statico

Salvataggio dei risultati

Elaborazione dei risultati

Pre-processing

Processing

Post-processing

PIASTRA_EX.m

OUT_PIASTRA_EX.m


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Marco Gherlone

Inserimento dei dati per l’analisi:

• dati sui materiali (EL, ET, GLT e νLT);

• dati sulla geometria e sulla stratificazione (dimensioni lati e sequenza strati);

• dati sulla soluzione (numero di funzioni degli sviluppi in serie);

• dati sui carichi (tipologia ed intensità).



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Marco Gherlone

Inserimento dei dati per l’analisi:• dati sui materiali (EL, ET, GLT e νLT)

Bisogna considerare la possibilità che gli strati siano realizzati in diversi materiali; èallora necessario inserire i valori delle costanti ingegneristiche EL, ET, GLT e νLT per ognuno di essi (attraverso opportuni vettori riga di dimensione 1 x ns , dove ns è il numero degli strati, che verrà calcolato poi successivamente). Considerando che la soluzione adottata vale solo per laminazioni simmetriche, i vettori inseriti dovranno essere “simmetrici”, cioè invarianti al “ribaltamento”.Si suggerisce di contare gli strati secondo il verso positivo dell’asse z.D’ora in poi, il simbolo ??? Indica che il comando va completato dal lettore.


disp(' si ricorda che gli strati vengono contati da l basso verso l''alto');EL=input(' vettore riga dei moduli elastici longitu dinali degli strati: ');ET=input(' vettore riga dei moduli elastici ??? degli strati: ');GLT=input(' vettore riga dei ???: ');vLT=???


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Marco Gherlone

Inserimento dei dati per l’analisi:• dati sui materiali (EL, ET, GLT e νLT)

Per l’inserimento di questi dati, cosi come per quelli discussi nelle slides successive, è possibile usare una modalità alternativa a quella del comando input ; elencarli tutti in un file .m che viene richiamato all’inizio dell’esecuzione del programma di analisi PIASTRA_EX.m.


EL=[100 200 200 100];ET=[10 20 20 10];GLT=[3 5 5 3];vLT=[0.25 0.35 0.35 0.25];…


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Marco Gherlone


Inserimento dei dati per l’analisi:• dati sulla geometria e sulla stratificazione (dimensioni lati e sequenza strati)

Prima di tutto dobbiamo inserire a e b, dimensioni dei lati della piastra.Poi, dobbiamo introdurre dei vettori (che hanno come dimensione ancora ns ) contenenti la sequenza degli spessori spes e la sequenza degli angoli teta (sono ammessi solo 0° e 90° essendo le piastre cross-ply). Anche i vettori spes e tetadevono essere “simmetrici”.

a=input( ???);b=???spes= ???teta ???


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Marco Gherlone

Inserimento dei dati per l’analisi:• dati sulla soluzione (numero di funzioni degli sviluppi in serie)

Bisogna inserire i valori di M(numero di funzioni dello sviluppo in serie secondo x) ed N (numero di funzioni dello sviluppo in serie secondo y).


???


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Marco Gherlone


Inserimento dei dati per l’analisi:• dati sui carichi (tipologia ed intensità)

In primo luogo dobbiamo specificare di che tipo di carico trasversale si tratta (distribuito uniforme, distribuito sinusoidale, distribuito di altro tipo o concentrato in un punto).

disp(' indica il tipo di carico trasversale:');disp(' 1 => distribuito uniforme;');disp(' 2 => distribuito sinusoidale;');disp(' 3 => distribuito di altro tipo;');disp(' 4 => concentrato;');tq=input(' scrivi il numero corrispondente: ');


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Marco Gherlone


Inserimento dei dati per l’analisi:• dati sui carichi (tipologia ed intensità)

Nel caso in cui il carico sia uniforme o sinusoidale bisogna poi inserirne l’intensitàmassima, se è distribuito di altro tipo dobbiamo indicare direttamente i coefficienti qmn (in una opportuna matrice qmn di dimensioni Mx N); se è concentrato bisogna specificare il modulo della forza Qc e le coordinate del punto di applicazione (xc ,yc ).

if tq==1 q0=input(' intensità del carico uniforme: ');

elseif tq==2 qm=input(' intensità massima del carico sinusoidale: ');

elseif tq==3 qmn=input([' matrice ',num2str(M),' x ',num2str(N), ' con i coefficienti qmn del carico: ']);

else Qc=?????????

end


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Marco Gherlone

Calcoli preliminari:

• matrici [A], [B], [D] e [Qp];

• matrice con i coefficienti qmn del carico.



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Marco Gherlone

Calcoli preliminari:• matrici [A], [B], [D] e [Qp]

Il calcolo delle matrici va svolto in una function alla quale, come input, si passano lequote delle interfacce zeta (ottenute a partire da spes e basate sul fatto che nella mezzeria della laminazione si ha z=0), l’orientazione dei vari strati e i valori delle relative costanti ingegneristiche (EL, ET, GLT e νLT). La scrittura della function viene lasciata interamente al lettore.Per quello che riguarda [A], [B] e [D] saranno di dimensione 3 x 3, essendo valide per l’intero laminato; la matrice [Qp], invece, cambia da strato a strato per cui, se gli strati sono in numero di ns , [Qp] può essere costruita come una matrice Qpv di dimensioni 3 x 3 x ns .


ns=length(spes);Htot=sum(spes);zeta=-0.5*Htot;for k=1:ns

zeta=[zeta zeta(end)+ ???(k)]; end[A,B,D,Qpv]= nomefunction(zeta,teta,EL,ET,GLT,vLT);


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Marco Gherlone


Calcoli preliminari:• matrice con i coefficienti qmn del carico

I coefficienti qmn del carico sono salvati nella matrice qmndi dimensioni Mx N.Per il carico distribuito uniforme e sinusoidale e per quello concentrato, qmn si calcola con le note formule; per il carico distribuito generico,qmn è già dato in input.

if tq==1 qmn=zeros(M,N); for m=1:M

for n=1:N if rem(m,2)==1 & rem(n,2)==1

qmn(m,n)=16*q0/ ???end

end end

elseif tq==2 qmn=zeros(M,N); qmn(1,1)=qm;

elseif tq==4 ???

end


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Marco Gherlone

Calcolo:

• calcolo statico (coefficienti wmn).



30


Marco Gherlone

Calcolo:• calcolo statico (coefficienti wmn)

Per il calcolo dei coefficienti wmn dello sviluppo in serie di w (contenuti nella matrice wmn), occorre conoscere i coefficienti qmn (matrice qmn) e le rigidezze flesso-torsionali contenute nella matrice [D] (ricavata dalla function dedicata). La formula da utilizzare è riportata nella slide 14.


for ???for ???

lm=m*pi/a;ln= ???kmn=D(1,1)*lm^4+ ???+D(2,2)*ln^4; wmn(m,n)= ???

end end


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Marco Gherlone

Salvataggio dei risultati:

• salvataggio dei risultati statici.



32


Marco Gherlone

Salvataggio dei risultati:• salvataggio dei risultati statici

Prima di tutto bisogna inserire il nome del file nel quale si vogliono salvare i dati. Poi bisogna salvare tutte le informazioni necessarie al post-processing statico (si tratterà, in particolare, delle dimensioni a e b della piastra, di Med N, del numero di strati ns , dello spessore totale Htot , delle quote delle interfacce zeta , delle matrici [A], [B], [D] e [Qp] e del risultato vero e proprio del calcolo, cioèwmn.


nomesave=input([' scrivi il nome (tra apici) del fi le nel quale salvare i risultati statici: ']);str=['save ',nomesave,' a b M N ???;'];eval(str);


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Marco Gherlone

Elaborazione dei risultati:

• richiamo dei risultati;

• inserimento delle coordinate del punto Pv dove valutare deformazioni e tensioni;

• realizzazione del grafico della deformata statica;

• calcolo degli andamenti delle deformazioni e delle tensioni nel punto Pv.



34


Marco Gherlone

Elaborazione dei risultati:• richiamo dei risultati

Inserendo il nome del file nel quale sono stati salvati i dati di una precedente analisi, è possibile aprirlo e richiamarne i risultati.


nomefile=input([' scrivi il nome (tra apici) del fi le di dati statici da usare: ']);str=['load ',nomefile,';'];???


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Elaborazione dei risultati:• inserimento delle coordinate del punto Pv dove valutare deformazioni e tensioni

Tra le funzioni del programma di post-processing OUT_PIASTRA_EX.mc’è anche quella di tracciare gli andamenti di deformazioni e tensioni lungo lo spessore in un particolare punto Pv. Bisogna allora inserire le coordinate (xv ,yv ) di tale punto.

xv= ??????


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Elaborazione dei risultati :• realizzazione del grafico della deformata statica

Una funzione di due variabili come w(x,y) si può calcolare nel seguente modo; in primo luogo si creano i due vettori x e y di npg termini tra 0 e le lunghezze dei rispettivi lati; poi si creano, con il comando meshgrid , le due matrici npg x npgX e Y (controllarne la struttura); infine si calcola la funzione W(X,Y).

npg=31;x=linspace(0,a,npg);y=linspace(0, ???,npg);[X,Y]=meshgrid(x,y);W=zeros(npg);for ???

for ???lm=???ln= ???W=W+wmn(m,n).*sin(lm.*X).*sin( ???);

end end



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Marco Gherlone

Elaborazione dei risultati :• realizzazione del grafico della deformata statica

La rappresentazione grafica di una funzione scalare di due variabili si può ottenere con molti comandi (mesh, surf , etc.).

figure(1);hold on;grid on;surf(X,Y,W);view(3);xlabel('x');ylabel( ???);???title( ???);



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Elaborazione dei risultati:• calcolo degli andamenti delle deformazioni e delle tensioni nel punto Pv

In primo luogo dobbiamo creare un vettore zg che contenga le quote (npz per ogni strato, comprese le quote estreme dello stesso) alle quali le varie grandezze di interesse verranno calcolate.

npz=5;zg=[];for k=1:ns

zg=[zg' linspace( ???,???,npz)]'; end



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Bisogna poi calcolare le curvature (derivate seconde di w(0)(x,y)) nel punto Pv.

wxxv=0;wxyv=0;wyyv=0;for ???

for ?????????wxxv =wxxv -(lm^2) *wmn(m,n)*sin(lm*xv)*sin(ln*yv);wxyv =wxyv + ???wyyv = ???

??????



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E’ quindi semplice determinare l’andamento lungo z delle deformazioni (exxg , eyyg e gxyg ).

exxg=- wxxv*zg;eyyg=- ???*zg;gxyg= ???



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Il calcolo delle tensioni (sxxg , syyg e txyg ) deve tenere in conto il fatto che, da strato a strato, può cambiare la matrice [Qp] che moltiplica le tre componenti di deformazione valutate alle varie quote di quello strato.

for k=1: ???for i=1:npz

tk=Qpv(:,:,k)*[exxg(npz*(k-1)+i)??? (npz*(k-1)+i)???];

sxxg(npz*(k-1)+i,1)=tk(1);syyg(npz*(k-1)+i,1)= ??????

endend



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Nella rappresentazione grafica di deformazioni e tensioni è possibile inserire (per le labels) le lettere greche con la sintassi \epsilon , \sigma , \gamma, \tau , etc.

figure(2);hold on;grid on;plot(exxg,zg);xlabel(['\epsilon_{xx}(x=',num2str(xv),',y=',num2st r(yv),',z)']);ylabel('z');

...

figure(5);hold on;grid on;plot( ???);xlabel(['\sigma_{xx}(x=',num2str(xv),',y=',num2str( yv),',z)']);ylabel('z');



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ApplicazioneSi considerino 2 piastre rettangolari (a=60 cm m, b=30cm, spessore totale h=1cm), semplicemente appoggiate sui 4 lati, caricate trasversalmente da un carico uniforme di intensità qz0=-0.3 MPa. Le caratteristiche meccaniche del singolo strato sono EL=180 GPa, ET=10 GPa, GLT=6 GPa e νLT=0.25. Le stratificazioni delle due piastre sono:• piastra a: (0°/90°/90°/0°);• piastra b: (90°/0°/0°/90°);e gli spessori sono tra loro uguali (laminazione regolare).Si chiede di determinare, per ognuna delle 2 piastre:• le matrici [A], [B] e [D];• la massima deflessione wmax (w(0)(a/2,b/2));• l’andamento lungo lo spessore delle deformazioni εx e εy, e delle tensioni σx e σy

nel punto centrale (a/2,b/2);• l’andamento lungo lo spessore della tensione τxz nel punto (0,b/2) (facoltativo).Per la soluzione si usino almeno 17 termini negli sviluppi in serie (M=17, N=17).Si traccino infine gli andamenti di wmax e σx(a/2,b/2,-h/2) al variare di M=N=1,5,9,13,17 per entrambe le piastre.

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01_piastra_kirchhoff