02-VTTORI – POTENZIALE ELETTRICO g. bonomi – fisica ...fiabaw.ing.unibs.it/.../elettromagnetismo/B04-potenzialeElettrico.pdf · Quale deve essere il valore di una carica puntiforme

0 2 - V T T O R I 04 – POTENZIALE ELETTRICO g. bonomi – fisica sperimentale (mecc., elettrom.)

Introduzione Mentre era su una piattaforma panoramica questa ragazza si accorse che i suoi capelli le si rizzavano in testa. Suo fratello, divertito, le scattò

questa foto. Cinque minuti dopo un fulmine cadde sulla piattaforma e la distrusse.

Molti fenomeni elettrici sono associati a trasferimenti di grandi quantità di energia. Per esempio, un fulmine che si abbatte a terra libera

energia per circa 108 J sotto forma di luce, calore, onde acustiche e altre vibrazioni

meccaniche. Da dove viene tutta questa energia e come è immagazzinata dentro le nuvole?


Introduzione •  L’approccio energetico allo studio della dinamica ha portato a delle semplificazioni

e ad una comprensione più profonda della materia

• Un vantaggio pratico del metodo energetico è che mentre la forza è un vettore l’energia è uno scalare

•  Inoltre l’energia è connessa al lavoro compiuto dalle forze ed obbedisce ad una legge generale di conservazione

•  Il metodo energetico viene esteso allo studio dell’elettrostatica.

•  Si introduce l’energia potenziale elettrica ed il concetto di potenziale elettrico

•  Si mostra infine che campo elettrico e potenziale elettrico sono completamente correlati; dato uno, si può ricavare l’altro


Forze elett rostat iche e grav i taz ional i : approccio energet ico

Fe =

14πε0

q1q2r122 r̂12

Fg = −G

m1m2

r122 r̂12 Forze

forze radiali dipendenti solo dalla distanza g =

Fgm0

E =Feq0

Campi

Lab =F ⋅ds

a

b

∫

non dipende dal percorso

integrale di linea Sono forze conservative


Forze elett rostat iche e grav i taz ional i : approccio energet ico

Il lavoro fatto da una forza conservativa nello spostamento da un punto a ad un punto b qualsiasi del campo di definizione non dipende dal percorso

Differenza di energia potenziale

U x, y, z( ) ; ΔU = −Lab ; Ub −Ua = −F ⋅ds

a

b

∫

Energia potenziale

Ub = −F ⋅ds

a

b

∫ +Ua Ua = 0(nel punto a arbitrario)

Ub = −F ⋅ds

a

b

∫

Importante differenza •  Le forze gravitazionali sono solo attrattive •  Le forze elettrostatiche sono attrattive e repulsive


Differenza di energia potenziale elettr ica

particella mobile da a a b

integrale indipendente dal cammino Ub −Ua = −Lab = −

F ⋅ds

a

b

∫ = −qE ⋅ds

a

b

∫

campo elettrico generato da una distribuzione di cariche

Sistema di due cariche (Lavoro = lavoro della forza elettrica)

Lab < 0 ΔU > 0 ULab > 0 ΔU < 0 U

aumenta [sistema immagazzina]

diminuisce [sistema rilascia]

segni opposti (attrazione)

si allontanano

si avvicinano

Lab > 0 ΔU < 0 ULab < 0 ΔU > 0 U

diminuisce [sistema rilascia]

aumenta [sistema immagazzina]

segni uguali (repulsione)

si allontanano

si avvicinano sistema immagazzina E => energia che arriva al sistema da lavoro esterno


Energia potenziale di due cariche

Ub −Ua = −q2E ⋅ds

a

b

∫ = −q2 Ex

i ⋅dr

i

ra

rb

∫ = −q2 Ex drra

rb

∫

Ub −Ua = −14πε0

q1q2drr2ra

rb

∫ =14πε0

q1q21rb−1ra

$

%&

'

()

•  Vale per qualsiasi combinazione di segni delle cariche •  Vale per qualsiasi a e b •  Vale per qualsiasi cammino che unisce a e b

differenza di energia potenziale

Ua = 0 quando ra =∞ arbitrariamente

Energia potenziale elettrica

U r( ) = 14πε0

q1q2r

Energia potenziale gravitazionale U r( ) = −G m1m2

r


Energia potenziale di un sistema di cariche (car iche punt i fo rmi t ra t tenute in pos iz ion i fisse da fo rze “esterne” )

U r( ) = 14πε0

q1q2r12

+14πε0

q1q3r13

+14πε0

q2q3r23

•  L’energia potenziale è una proprietà del sistema non di ogni singola carica

•  L’energia potenziale è una quantità scalare

si trasporta la carica q2 dall’infinito

Le ≠ 0 Le =U =14πε0

q1q2r12

Interpretazione dell’energia potenziale di un sistema

Le = 0 U = 0


lavoro di un agente esterno


Le ≠ 0 Le =14πε0

q1q3r13

+14πε0

q2q3r23

U =14πε0

q1q2r12

+14πε0

q1q3r13

+14πε0

q2q3r23


Energia potenziale di un sistema di cariche

L’energia potenziale elettrica di un sistema di particelle puntiformi fisse è uguale al lavoro che un agente esterno deve fornire per aggregare il sistema stesso, trasportando ogni carica nella sua posizione da una distanza infinita

U =14πε0

+q( ) −4q( )d

++q( ) +2q( )

d+−4q( ) +2q( )

d"

#$

%

&'=

−10q2

4πε0d=

= − 8.99 ⋅109Nm2 / C2( )10( ) 150 ⋅10−9C( )

2

0,12m= −1, 7 ⋅10−2 J = −17mJ

r1=r2=r3=d=12 cm, q1=+q, q2=-4q, q3=+2q, q=150 nC

esempio


I l potenziale elettr ico Sistema di due cariche

Forza elettrica Campo elettrico (forza per unità di carica)

F = 1

4πε0qqor2

r̂E =Fq0=

14πε0

qr2r̂

associato alla carica q

Energia potenziale elettrica U =14πε0

qqor Potenziale elettrico V =

Uq0=

14πε0

qr

Sistema di più cariche fisse

Potenziale elettrico nel punto P originato dal

sistema di cariche VP =

UP

q0

grandezza scalare

indipendente dal valore di q0 (positiva) Distribuzione carica positiva: per portare da infinito una carica qo di prova positiva, lavoro negativo à energia positiva

Potenziale elettrico nei pressi di una carica positiva è positivo (carica negativa è potenziale negativo) Se in un punto il potenziale è nullo non è detto che lo sia anche il campo!

(per esempio nel punto a metà strada tra due cariche opposte) Sarà invece nullo il lavoro complessivo per portarvi una carica dall’infinito (forza e spostamento perp.)

Metodo operativo di misura del potenziale

P UP U∞ = 0

q0

L = -UP


I l potenziale elettr ico Differenza di potenziale elettrico

ΔV =Vb −Va =Ub −Ua

q0

Vb >Va[lavoro del campo negativo]

[lavoro esterno positivo]

Vb <Va[lavoro del campo positivo]

[lavoro esterno negativo]

Unità di misura del potenziale elettrico

VP =UP

q0joule

coulomb= volt

!

"#$

%& (tensione) ΔU joule( ) = q coulomb( )ΔV volt( )

ΔU elettronvolt( ) = q e( )ΔV volt( )

1elettronvolt =1e ⋅1V = 1,60 ⋅10-19 C( ) 1J/C( ) =1,60 ⋅10-19 J

Invece di riferirsi ad un punto all’infinito, è spesso preferibile determinare la differenza tra due punti


Calcolo del potenziale dato i l campo Campo uniforme e cammino rettilineo

Lab =F ⋅ds

a

b

∫ = FxΔx = −q0E( ) D( ) = −q0ED

ΔU = −Lab ; Vb −Va =Ub −Ua

q0

=−Labq0

= ED (>0 ⇒Vb >Va )

Caso generale

Lab =F ⋅ds

a

b

∫ = q0E ⋅ds

a

b

∫

integrale di linea

Vb −Va =Ub −Ua

q0=−Labq0

= −E ⋅ds

a

b

∫

indipendente dal cammino

E = Vb −VaD

voltm

=NC

"

#$%

&'

a punto di riferimento all’infinito (per convenzione Vinf = 0)

Vb = −E ⋅ds

∞

b

∫ integrale di linea del campo


Vb =14πε0

qr

q > 0 q < 0

Il potenziale non dipende dalla carica di prova q0

Potenziale di una carica puntiforme Cammino radiale Vb −Va = −

E ⋅ds

a

b

∫ = − Edrra

rb

∫

•  Vale per tutti i cammini da a a b •  Vale anche per punti qualsiasi a e c

Vb −Va = −q4πε0

drr2ra

rb

∫ =q4πε0

1rb−1ra

#

$%

&

'(

Punto a di riferimento all’infinito

ra →∞ e Va = 0


Esempi Quale deve essere il valore di una carica puntiforme positiva isolata affinché il potenziale elettrico a 15 cm sia 120 V?

q =V4πε0r = 120V( ) 4π( ) 8,9 ⋅10−12 C2 / Nm2( ) 0,15m( ) = 2,0nC

Carica paragonabile alle cariche prodotte per attrito, per esempio strofinando un palloncino

Vb =14πε0

qr= 8,99 ⋅109 Nm2 / C2( )

79( ) 1,6 ⋅10−19 C( )7,0 ⋅10−15 m

=1,6 ⋅107 V

Quale è il potenziale elettrico alla superficie di un nucleo di oro. (Z=79e; R=7,0 10-15 m)


Potenziale di un insieme di cariche puntiformi P VP

VP = Vii=1

N

∑ =14πε0

qirii

∑

VP =V1 +V2 +V3 +.....+VNSomma algebrica di scalari

p; p = qd

Principio di sovrapposizione applicato ai potenziali

Potenziale di dipolo

p!

VP = Vi =i∑ V1 +V2 =

14πε0

qr1+−qr2

#

$%

&

'(=

q4πε0

r2 − r1r1r2

r >> d r2 − r1 ≈ d cosθ r1r2 ≈ r2

momento di dipolo elettrico indotto

VP =q4πε0

d cosθr2

=14πε0

pcosθr2

=14πε0

p ⋅ rr3

(V = 0 per θ= 90°)


Potenziale di quadrupolo

VP = Vii∑ =

14πε0

qr − d

+−2qr

+q

r + d#

$%

&

'(=

=14πε0

2d 2qr r2 − d 2( )

=14πε0

2d 2qr3 1− d 2 / r2( )

d << r VP =14πε0

2qd 2

r3=

14πε0

Qr3

momento di quadrupolo


I l potenziale di distr ibuzioni continue di cariche •  Stesso metodo utilizzato per il calcolo del campo elettrico •  Il potenziale è uno scalare •  Il calcolo è più semplice, non si tiene conto delle direzioni

dV =14πε0

dqr

→dq = λ dsdq =σ dAdq = ρ dV

carica lineare carica superficiale carica di volume

V =14πε0

dqr=∫ 14πε0

qR2 + z2

Anello uniformemente carico

(anello)


I l potenziale di distr ibuzioni continue di cariche Disco circolare uniformemente carico

dq =σ 2πw( )dw

dV =14πε0

dqr=

14πε0

σ 2πwdww2 + z2

z >> R R2 + z2 = z 1+ R2

z2!

"#

$

%&

12= z 1+ R2

2z2+.....

!

"#

$

%& ≈ z+

R2

2z

V = dV =∫ =σ4ε0

w2 + z2( )−12 2wdw

0

R

∫ =σ4ε0

0

R

w2 + z2( )12

12

#

$

%%%

&

'

(((

V =σ2ε0

R2 + z2 − z( ) (disco)

V =σ2ε0

z+ R2

2z− z

"

#$

%

&'=

σπR2

4πε0z=

14πε0

qz

carica puntiforme


Superfici equipotenzial i Rappresentazioni del campo tramite linee di forza e superfici equipotenziali

campo elettrico uniforme piani paralleli nello spazio carica puntiforme

superfici sferiche nello spazio dipolo elettrico

Superfici equipotenziali a differenza di potenziale costante (ma non sempre a distanza costante)

A B1

B2

Vb −Va = −!E ⋅d!s

a

b

∫


Superfici equipotenzial i Quando una carica di prova si sposta su una superficie equipotenziale il campo non compie lavoro

ΔV =ΔUq0

=−Labq0

Il risultato vale indipendentemente dal cammino percorso

•  Le superfici equipotenziali sono sempre perpendicolari alle linee di campo quindi al campo elettrico

•  Se così non fosse il campo avrebbe una componente parallela alle superfici equipotenziali, quindi muovendosi lungo una linea della superficie il lavoro del campo non sarebbe nullo (contraddizione!)

1 → Lab = 02 → Lab = 03 → Lab = − VB −VA( )q04 → Lab = − VB −VA( )q0


Calcolo del campo dato i l potenziale Lavoro fatto dal campo nello spostamento ds

dL = −q0dV ; dL =F ⋅ds = q0

E ⋅ds

−q0dV = q0Edscosθ ; E cosθ = − dVds

Es = −dVds

voltmetro"

#$%

&'

Componente di nella direzione

Eds

E è rivolto verso V decrescenti

derivata direzionale di V


Calcolo del campo dato i l potenziale •  Quando è diretto come (direzione e verso)

Eds Es è massimo

E = −dVds

"

#$

%

&'max

E = Es

gradiente di V

Si ha valore massimo della derivata direzionale quando la direzione di è perpendicolare (cosθ = 1) alla superficie equipotenziale

ds

•  Se coincide, di volta in volta, con le direzioni degli assi x,y,z ds

Ex = −∂V∂x

; Ey = −∂V∂y

; Ez = −∂V∂z

E = −∂V

∂x

i − ∂V

∂y

j − ∂V

∂z

k

∇ =

∂∂x

i + ∂

∂y

j + ∂

∂z

k ;

E = −

∇V = −gradVOperatore differenziale (nabla)

Dato il campo si ottiene il potenziale tramite integrazione Dato il potenziale V(x,y,z) si ottiene il campo tramite un gradiente

E

E

V = −E ⋅ds∫

E = −

∇V


Esempio

V =σ2ε0

R2 + z2 − z( )

Ez = −∂V∂z

= −σ2ε0

ddz

R2 + z2( )1/2− z( )

Ez =σ2ε0

1− zR2 + z2

"

#$$

%

&''

Utilizzando l’espressione del potenziale assiale di un disco uniformemente carico, calcolare il campo elettrico


I l conduttore isolato in termini di potenziale

Una carica in eccesso su un conduttore isolato si sposta tutta sulla superficie esterna

Dalla legge di Gauss

In termini di potenziale elettrico Una carica in eccesso posta su un conduttore isolato si distribuisce sulla superficie in modo che tutti i punti del conduttore, sulla superficie e all’interno, assumano il medesimo potenziale

•  Non vi sono correnti in un conduttore isolato •  Se vi fossero punti a potenziale diverso le cariche libere si sposterebbero •  Il campo elettrico vicino alla superficie di un conduttore è perpendicolare alla superficie. La

superficie di un conduttore è equipotenziale.


Guscio sfer ico conduttore isolato (o sfera condutt t r ice piena)

q=1,0 µC; R=1,0 m

potenziale

campo elettrico

E = −∂V∂r

Conduttore in un campo esterno


Esempi In un conduttore isolato, anche avente delle cavità al suo interno, la carica in eccesso si distribuisce sulla superficie in modo da annullare il campo elettrico all’interno

V =14πε0

q1R1=

14πε0

q2R2

→q1q2=R1R2

σ1σ 2

=q1 / 4πR1

2

q2 / 4πR22 =

q1R22

q2R12 →

σ1σ 2

=R2R1

Scarica per effetto corona

http://www.youtube.com/watch?v=Bm75yKLkvXc

(densità superficiale #dipende dalla forma)

https://www.youtube.com/watch?v=mZSu-Qf2JME


Esempio

Conduttore isolato in un campo elettrico esterno

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