elettromagnetismo 2 (2017-2018);2 - lxmi.mi.infn.itlxmi.mi.infn.it/~ragusa/2017-2018/elettromagnetismo... · Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 229 Energia del campo magnetico

Prof. Francesco RagusaUniversità degli Studi di Milano

Anno Accademico 2017/2018

Elettromagnetismo

Energia Magnetica. Oscillatore LCEquazione del rotore di B ecorrente di spostamento

Lezione n. 29 – 24.04.2018

Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 228

Energia del campo magnetico• Abbiamo espresso l'energia necessaria per stabilire una corrente I in una spira di induttanza L come

• Troviamo adesso un'espressione che esprima l'energia direttamente in funzione del campo magnetico B

• Iniziamo ancora dall'espressione del flusso Φ = LI• Dalla definizione di flusso

• Introduciamo nell'espressione dell'energia

• Consideriamo adesso un tratto del circuito C

212

W LI=

S

dΦ = ⋅∫ B a

S

C

( )S

d= × ⋅∫ A a∇C

d= ⋅∫ A lC

LI d= Φ = ⋅∫ A l

12

W LII=

dl

dl

( )Id d d= ⋅l J a l

J

dadl= J12 C

W dadl= ⋅∫ A J

dJ l12 C

I d= ⋅∫ A l


Energia del campo magnetico

• Osserviamo che dadl = dV• Se da è una sezione costante la circuitazione diventa un integrale di volume• Se la sezione del circuito non è infinitesima si può ripetere il ragionamento considerando

• In entrambi i casi otteniamo

• L'integrale è esteso a tutto il volume del circuito (J ≠ 0)• Si può generalizzare estendendo a tutto lo spazio

• Ricaviamo un'altra espressione importante• Esprimiamo J in funzione di B• Usiamo l'equazione di Maxwell• Inseriamo nell'espressione dell'energia W

12 C

W dadl= ⋅∫ A J

I d= ⋅J aA

I d→ = ⋅∫ J a12 V

W dV= ⋅∫ A J

0μ× =B J∇

( )0

12 V

W dVμ

= ⋅ ×∫ A B∇


Energia del campo magnetico

• Utilizziamo la relazione (diapositiva )

• Nel secondo integrale utilizziamo il Teorema della divergenza

• L'integrale è esteso a tutto lo spazio• La superficie S può essere molto distante dal sistema• I campi A e B vanno a zero a grandi distanze pertanto l'integrale è nullo

• In definitiva otteniamo

( ) ( ) ( )⋅ × = ⋅ × − ⋅ ×A B B A A B∇ ∇ ∇

113655

( )0

12 V

W dVμ

= ⋅ ×∫ A B∇

( ) ( )0 0

1 12 2V V

W dV dVμ μ

= ⋅ × − ⋅ ×∫ ∫B A A B∇ ∇

( ) ( )V S

dV d⋅ × = × ⋅∫ ∫A B A B a∇

( )0

12 V

W dVμ

= ⋅ ×∫ B A∇0

12 V

dVμ

= ⋅∫ B B 2

0

12 V

W B dVμ

= ∫


Energia del campo magnetico• Interpretiamo il risultato appena trovato

• Al campo magnetico B è associata una densità di energia magnetica ρM

• L'energia totale è l'integrale di volume della densità• È interessante notare la stretta analogia con il caso elettrostatico

• Sottolineiamo ancora una volta che non è stato fatto lavoro contro la forza magnetica• Il lavoro della forza magnetica è nullo• L'energia immagazzinata nel campo magnetico B deriva dal lavoro fatto

contro la forza elettromotrice indotta che si oppone alle variazioni di flusso

2

0

12 V

W B dVμ

= ∫2

0

12M Bρμ

=

20

2E Eε

ρ = 20

2EV

W E dVε

= ∫


Energia elettrica e magnetica• Per finire interpretiamo anche un importante risultato intermedio ( diap. )

• È importante perché esprime la densità di energia magnetica in funzione del potenziale vettore• È analoga alla corrispondente relazione elettrostatica che esprime la densità

di energia elettrica in funzione del potenziale

12M

V

W dV= ⋅∫ A J

923227

12E

V

W dVφρ= ∫


Induttanza come elemento di circuito• Torniamo al circuito con il solenoide e la resistenza• Utilizzando la legge di Faraday avevamo scritto

l'equazione del circuito

• L'equazione può essere riscritta come

• In relazione al circuito l'equazione può essere interpretata dicendo che l'induttanza è un elemento di circuito con una data relazione V−I

• Ricordiamo l'analoga interpretazione del condensatore• Si può applicare la teoria dei circuiti • Leggi di Kirchhoff, maglie, nodi

+L

R0E

i

0

diL Ridt

− =E

i

diLdt

= −E

iE

0

diL Ridt

= +E

L+

div L

dt=v i C

+ dvi C

dt=v i


Circuito oscillante LC• Consideriamo il circuito in figura• Per il momento supponiamo che la resistenza dei

conduttori sia trascurabile• Supponiamo che al tempo t = 0 sulle armature del condensatore sia presente una carica Qmax = Cvmax e che non circoli corrente nel circuito: i(0) = 0, v(0) = vmax

• La tensione ai capi dei due componenti è la stessa• La corrente che circola nei due componenti ha lo stesso

valore ma segno opposto iL = −iC = i• Dalle relazioni V−I otteniamo l'equazione del circuito

• La soluzione è immediata

• Calcoliamo la tensione

Ldiv Ldt

=C

dvi C

dt=

2

2L

C

d ii LC

dt=

2202

d ii

dtω= −

20

1LC

ω =

( )0sini A tω φ= + La condizione iniziale sulla corrente fissa la fase φdi

v Ldt

=

( )0 sin 0i A φ= =

( ) max 00v v L Aω= = max

CvL

=max

0

vA

Lω=

C L

0φ =0 0cosL A tω ω=

max

1Cv

LC= max 0Q ω= maxi≡


Circuito oscillante LC• Interpretiamo il risultato trovato

• Per ω0t = 0 il condensatore ha la massima carica e non circola corrente• C'è un campo elettrico nel condensatore• Non c'è campo magnetico (i = 0)• Per ω0t = π/2 il condensatore è scarico• Non c'è più campo elettrico• Il campo magnetico è massimo• Per ω0t = π la carica sul

condensatore è di nuovo massima• Il campo E ha cambiato segno• B = 0• Per ω0t = 3π/2 il condensatore è scarico• Il campo B ha cambiato segno• E = 0

max 0sini i tω=max 0cosv v tω=


Circuito oscillante LC


Circuito oscillante LC

• L'oscillazione del circuito LC consiste pertanto nella continua trasformazione dell'energia del sistema• L'energia del campo elettrico

• L'energia del campo magnetico

• Naturalmente l'energia totale è costante

max 0cosv v tω= max 0sini i tω=

212EW Cv= 2 2

max 0

1cos

2Cv tω=

212MW Li=

max 0sinCv tL

ω=

2

2max 0

1sin

2C

L v tL

ω⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

2 2max 0

1sin

2CL v tL

ω=

2 2max 0

1sin

2MW Cv tω=

( )2 2 2max 0 0

1sin cos

2M EW W Cv t tω ω+ = + 2max

12Cv=


Circuito oscillante LC• L'oscillazione che abbiamo osservato si basa sulla presenza di carica elettrica• Il campo elettrico nel condensatore e di natura quasi-statica (elettrostatica)• È generato dalle cariche elettriche (sorgenti)

• Il campo magnetico è di natura quasi-statica (magnetostatica)• È generato dalla corrente (sorgente, cariche in movimento)

• In linea di principio il campo elettrico potrebbe essere generato per induzione• Stiamo assumendo che le variazioni di B non sono importanti rispetto a ρ

• Per quello che abbiamo visto fino ad ora il campo magnetico può essere generato solo da una corrente • Sembra che non ci sia modo di prescindere dalla carica elettrica• In realtà le modifiche all'ultima equazione di Maxwell permetteranno un campo magnetico generato dalle variazioni del campo elettrico• Si possono generare campi senza sorgenti (ρ o J)• Sono le onde elettromagnetiche

0

ρε

⋅ =E∇

0μ× =B J∇

t∂

× = −∂B

E∇


Circuito oscillante RLC• Introduciamo adesso una resistenza nel circuito• Le relazioni V−I per i tre componenti sono

• Naturalmente VC = VL + VR• Sostituiamo la prima equazione nelle altre due

• Combinando le relazioni

• Abbiamo ottenuto l'equazione del circuito• Un'equazione differenziale del secondo ordine a coefficienti costanti

C

L

R

i

CdVi Cdt

= − L

div L

dt=

CR

dVv R C

dt

⎛ ⎞⎟⎜= − ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠C

L

dVdv L C

dt dt

⎛ ⎞⎟⎜= − ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

2

2Cd VLC

dt= − CdVRC

dt= −

C L RV V V= +2

2C C

C

d V dVV LC RC

dtdt= − −

2

20C C

C

d V dVLC RC V

dtdt+ + =

Rv Ri=

2

2

10C C

C

d V dVRV

L dt LCdt+ + =


Circuito oscillante RLC

• Si può dimostrare che una soluzione dell'equazione è della forma

• Calcoliamo le derivate

• Introduciamo nell'equazione• Il fattore Ae−αt è comune a tutti i termini

• L'equazione può essere soddisfatta solo se i coefficienti di sinωt e cosωtsono separatamente nulli

2

2

10C C

C

d V dVRV

L dt LCdt+ + =

( ) ( )costCV t Ae tα ω=

( )cos sintCdV Ae t tdt

α α ω ω ω−= − −

( )2

2 22

cos 2 sintCd V Ae t tdt

α α ω ω αω ω− ⎡ ⎤= − +⎣ ⎦

( ) ( )2 2 1cos 2 sin cos sin cos 0t R

Ae t t t t tL LC

α α ω ω αω ω α ω ω ω ω−⎡ ⎤⎢ ⎥− + − + + =⎢ ⎥⎣ ⎦


Circuito oscillante RLC

• Otteniamo pertanto

• Assumiamo che la soluzione sia oscillante, vale a dire ω reale• Abbiamo pertanto la condizione

• Osserviamo infine che nel caso R = 0 avevamo definito

• Pertanto la presenza della resistenza modifica la frequenza dell'oscillazione

( ) ( )2 2 cos cosin sins c1

2 0ost RA t t t

Lte t

LCα ω ωα ω αω α ωω ω ω−⎡ ⎤⎢ ⎥− + − + + =⎢ ⎥⎣ ⎦

2 0RL

αω ω− =

2 2 10

RL LC

α ω α− − + =

2RL

α =

2 22

2 2

10

4 2R R

LCL Lω− − + =

22

2

14R

LC Lω = −

2

2

14R

LC L>

20

1LC

ω =

22 2

0 24RL

ω ω= −


Circuito oscillante RLC• Nel caso generale bisogna considerare anche un'altra soluzione

• Le due soluzioni possono essere unificate introducendo una fase

• Le costanti A e φ si determinano a tramite le condizioni iniziali• Non è particolarmente interessante• Qualitativamente la tensione oscilla con una ampiezza che diminuisce nel tempo

( ) ( )sintCV t Be tα ω=

( ) ( )costCV t Ae tα ω φ= +

C

L

R

i


Manca qualcosa• Nello studio del circuito LC abbiamo visto un esempio di fenomeno in cui le grandezze elettromagnetiche variano nel tempo• In particolare variavano nel tempo la carica sulle armature e la corrente nel

circuito• Dobbiamo pertanto considerare variabili nel tempo sia la densità di carica ρ

che la densità di corrente J• Abbiamo visto che deve essere soddisfatta la conservazione locale della carica: equazione di continuità

• Pertanto nello studio di fenomeni elettromagnetici variabili nel tempo dobbiamo assumere che in generale

• Abbiamo formulato la legge di Ampère in forma differenziale fissando il rotore del campo magnetico

• Ma la divergenza di un rotore è sempre nulla• L'equazione precedente è pertanto inconsistente quando i fenomeni

elettromagnetici non sono statici o stazionari

( ) ( ),,

tt

t

ρ∂⋅ = −

∂

rJ r∇

( ), 0t⋅ ≠J r∇

0μ× =B J∇


Manca qualcosa• Lo stesso tipo di contraddizione può essere visto in un altro modo• Ad esempio durante la scarica (o carica) di un condensatore• Durante l'evoluzione del fenomeno una corrente

scorre nel filo• La corrente genera un campo magnetico• Calcoliamo la circuitazione del campo magneticoe applichiamo il Teorema di Stokes

• La superficie più ovvia è quella indicata in figura • Il filo attraversa la superficie• Nel filo è presente una densità di corrente

• Questa è la legge di Ampère• Tuttavia abbiamo dimostrato che possiamo scegliere qualunque superficie che

abbia lo stesso contorno C

C S

d d⋅ = × ⋅∫ ∫B l B a∇

0μ× =B J∇ 0C S

d dμ⋅ = ⋅∫ ∫B l J a 0C

d Iμ⋅ =∫ B l


Manca qualcosa• Possiamo scegliere ad esempio la superficie S′

• Tuttavia nessuna densità di corrente interseca la superficie S′• Due risultati diversi che mostrano che l'equazione del rotore è incompleta• Dobbiamo pertanto concludere che qualcos'altro contribuisce al rotore di B

• Deve esistere un termine aggiuntivo il cui flusso attraverso S′ non sia nullo• Occorre aggiungere un termine la cui divergenza cancelli la derivata di ρ• Esaminiamo l'equazione di continuità

• Ricordiamo che la legge di Gauss vale anche nel caso dinamico

C S

d d′

⋅ = × ⋅∫ ∫B l B a∇

0μ× = +B J ?∇

( ) ( ),,

tt

t

ρ∂⋅ = −

∂

rJ r∇

0

( , )( , )

tt

ρε

⋅ =r

E r∇ 0( , ) ( , )t tρ ε= ⋅r E r∇

( ) ( )0 ,,

tt

t

ε∂ ⋅⋅ = −

∂

E rJ r

∇∇

( )0

,t

tε

∂= − ⋅

∂

E r∇

0S

dμ′

= ⋅∫ J a 0=

S ′


Manca qualcosa

• Pertanto otteniamo

• La combinazione di campi che abbiamo scritto ha divergenza nulla• Può essere uguagliata al rotore di un campo vettoriale senza generare inconsistenze• Soddisfa automaticamente l'equazione di continuità• Modifichiamo pertanto l'equazione del rotore di B

• Notiamo che il campo magnetico può esistere anche se J = 0• Può essere generato dalla variazione del campo elettrico• L'analogo della legge di Faraday per il campo elettrico

( ) ( )0

,,

tt

tε

∂⋅ = − ⋅

∂

E rJ r∇ ∇

( ) ( )0

,, 0

tt

tε

⎡ ⎤∂⎢ ⎥⋅ + =⎢ ⎥∂⎢ ⎥⎣ ⎦

E rJ r∇

0μ× = +B J ?∇( )

0 0 0

,t

tμ μ ε

∂× = +

∂

E rB J∇


Equazioni di Maxwell• Scriviamo le equazioni di Maxwell nella loro forma finale

• Vanno completate con

• Ricordiamo che il teorema di Helmholtz assicura che la conoscenza della divergenza e del rotore definiscono completamente il campo (diapositiva )• Per fissate condizioni al contorno, ad esempio all'infinito

• Nelle condizioni statiche le sorgenti sono• La carica elettrica per il campo elettrico• La corrente per il campo magnetico• Quando i campi variano nel tempo• Un campo magnetico variabile genera un campo elettrico• Un campo elettrico variabile genera un campo magnetico• L'ultimo contributo è stato introdotto da Maxwell su basi teoriche• Vediamo come funziona l'ultimo termine con due esempi

0

ρε

⋅ =E∇

t∂

× = −∂B

E∇

0⋅ =B∇

0 0 0 tμ μ ε

∂× = +

∂E

B J∇

79183

( )q= + ×F E v Btρ∂

⋅ = −∂

J∇ equazione di continuità


Il termine di Maxwell all'opera• Supponiamo di avere una sfera di carica Q chegenera un flusso di corrente radiale• Per l'equazione di continuità in forma integrale

• La corrente deve generare un campo magnetico• Se utilizziamo il cammino Γ in figuradovremmo avere

• Tuttavia la sfera è simmetrica e B non può avereuna particolare direzione: deve essere nullo• Il flusso di J però è diverso da zero

• La contraddizione viene risolta dal termine aggiuntivo di Maxwell• Infatti la sfera di carica genera un campo elettrico

( ) ( )ˆj r=J r r

( ) ( )24dQ r

j r rdt

π = −S V

d dVt

ρ∂

⋅ = −∂∫ ∫J a

( )0d j R SμΓ

⋅ = ⋅∫ B l

( )2

0

14

Q rE

rπε=


Il termine di Maxwell all'opera• Dal momento che la carica varia il campo saràvariabile nel tempo

• Esaminiamo l'equazione di Maxwell

• Calcoliamo J e ∂E/∂t

• Inserendo nell'equazione di Maxwell troviamo

• Pertanto il campo magnetico è nullo nonostante l'esistenza di una corrente• Come richiesto dalla simmetria

( )2

0

14

Q rEt trπε

∂∂=

∂ ∂

( ) ( )24dQ r

j r rdt

π = −

0 0 0 tμ μ ε

∂× = +

∂E

B J∇

( ) ( )2

1ˆ

4

dQ rr

dtrπ= −J r

( )2

0

1ˆ

4

Q r

t trπε

∂∂=

∂ ∂E

r

0 0 0 tμ εμ

∂× = +

∂B

EJ∇

( ) ( )0 0

20

024 4

ˆ ˆdQ r

d

dQ r

tr dtrμ επε

μπ

−= +r r 0=


Il termine di Maxwell all'opera• Il secondo esempio è quello del condensatore• Lo abbiamo utilizzato per convincerci che mancava qualcosa• Andando vicino al filo il campo magnetico è

• Tuttavia se si sceglie la superficie S2, anch'essaconcatenata con Γ1 si trova ovviamente i = 0

• Naturalmente l'esistenza di una corrente implica chela carica sulle armature del condensatore cambi• Se la carica sulle armature varia nel tempo

varia anche il campo elettrico fra le armature • Calcoliamo il flusso di E attraverso S2

• Esaminiamo l'equazione di Maxwell

i

i

1Γ

B

++++++++++++++

−−−−−−−−−−−−−−

1S

2S

1

0 0S

d d iμ μΓ

⋅ = ⋅ =∫ ∫B l J a 0

2i

Br

μπ

=

dQi

dt=

2 0

1

S

dQd

t dtε∂

⋅ =∂∫ E

a2 0S

Qd

ε⋅ =∫ E a

0

iε

=

0 0 0 tμ μ ε

∂× = +

∂E

B J∇ Il nuovo termine contribuisce esattamente come il filo

r


Proprietà magnetiche della materia• La materia può esibire proprietà magnetiche molto differenti• Iniziamo con una classificazione dei materiali

sulla base delle loro proprietà• Supponiamo di avere un solenoide in grado di

produrre campi magnetici molto intensi• Diciamo dell'ordine del Tesla• Un solenoide del tipo rappresentato in figura

potrebbe avere le seguenti caratteristiche:• Campo massimo. Al centro, di circa 3 Tesla • Cilindro interno h = 40 cm ∅ = 10 cm • Con un simile magnete si possono effettuare misure sulla

forza magnetica che agisce su vari materiali in presenzadi un campo magnetico esterno B• Si scopre che si esercita una forza quando ilcampo magnetico non è uniforme• La forza dipende dal gradiente del campo magnetico• Il gradiente è più elevato all'ingresso del magnete• Si ha un gradiente di circa 17 T/m• Il campo è di circa 1.8 T


Proprietà magnetiche della materia• Con l'apparato precedente si possono studiare vari materiali

F

F


Proprietà magnetiche della materia• È evidente che una teoria degli effetti magnetici della materia deve essere piuttosto complessa• Per una classe di materiali le forze sono deboli• Le forze sono proporzionali al quadrato del campo• Per i materiali diamagnetici• Vengono "respinti" dal magnete• Peri materiali paramagnetici• Vengono "attratti" dal magnete• Nella tabella precedente le forze sono riferite a una massa di 1 Kg• Forze di 0.1 - 1 N contro una forza peso di 9.8 N• L'ossigeno liquido è una tipologia differente (bassa temperatura)

• Per una classe di materiali le forze sono molto intense• Le forze sono lineari con l'intensità del campo• Materiali ferromagnetici• Sono "attratti" dal magnete• Un Kg di ferro risente di una forza magnetica di 4000 N• Pari ad una forza peso di 400 Kg


Proprietà magnetiche della materia• Materiali diamagnetici• Si scopre che tutte le sostanze sono soggette a questo tipo di forza

repulsiva• Dipende dal quadrato della corrente del solenoide• È l'unico effetto per le sostanze organiche e per molticomposti inorganici• Praticamente indipendente dalla temperatura

• Materiali paramagnetici• Per molte sostanze questa forza attrattiva risulta comunque debole• Dipende dal quadrato della corrente del solenoide• Ad esempio per metalli come sodio, alluminio• Per alcuni composti è un po' più intensa• NiSO4, CuCl2• La forza aumenta se la temperatura diminuisce

• Materiali ferromagnetici• La forza è attrattiva ed è molto intensa• Dipende linearmente dalla corrente del solenoide• Fra i principali materiali ferromagnetici sono il ferro, il nichel e il cobalto


Proprietà magnetiche della materia• Vale la pena fare una considerazione sugli aspetti di natura energetica• Le energie in gioco per i fenomeni diamagnetici e paramagnetici sono

piuttosto piccole• Questo è vero anche a livello microscopico• Consideriamo ad esempio i dati dell'ossigeno liquido riportati in tabella• Facciamo riferimento al metodo di misura descritto• Supponiamo di volere allontanare il campione (1 Kg di sostanza) per portarlo

fuori dall'effetto del campo magnetico• Diciamo allontanarlo di 10 cm• Per opporsi alla forza di 75 N il lavoro necessario è circa 7.5 Joules (∼10 J)• In 1 Kg di O2 ci sono circa 2×1025 molecole• L'ordine di grandezza dell'energia per molecola è 10−24 Joules• Per confronto, per vaporizzare 1 Kg di O2 liquido occorrono ∼ 2.1×105 Joules• Circa 10−20 Joules per molecola

• Si vede pertanto che i fenomeni diamagnetici o paramagnetici mettono in gioco energie molto più piccole di una transizione di fase• Non influenzano reazioni chimiche o processi biochimici• Un esame NMR non ha nessun effetto collaterale (occorre però prestare attenzione a impianti/protesi ferromagnetiche)

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