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7/27/2019 04110705

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I E E E T r a n s a c t i o n s o n P o w e r A p p a r a t u s a n d S y s t e m s , V o l . P A S - 1 0 0 , N o . 3 , M a r c h 1 9 8 1

OPTIMUM S I Z E AND LOCATION OF SHUNT CAPACITORS FOR REDUCTION OF LOSSES ON DISTRIBUTION FEEDERS

J . J . G r a i n g e r , S e n i o r M e m b e r , IEEE S . H . L e e , M e m b e r , I E E E

E l e c t r i c a l E n g i n e e r i n g D e p a r t m e n t

N o r t h C a r o l i n a S t a t e U n i v e r s i t y

R a l e i g h , N o r t h C a r o l i n a

A b s t r a c t -New g e n e r a l i z e d p r o c e d u r e s ar e d e v e l o p e d f o r o p t i m i z -

i n g t h e n e t s a v i n g s a s s o c i a t e d w i t h r e du c t i o n o f power a n d energy l o s s e st h r o u g h s h u n t c a p a c i t o r p l a c e m e n t on p r i m a r y d i s t r i b u t i o n ' f e e d e r s .T h es e p r o c e d u r e s a r e a p p l i e d t o r e a l i s t i c p r o b l e m s t o f a c i l i t a t e t h e i ri m m e d i a t e u s e b y t h e e l e c t r i c u t i l i t y d i s t r i b u t i o n s y s t e m d e s i g n e r . I t i s

s h o w n t h a t a b a s i c p r i n c i p l e , c a l l e d h e r e " T h e E q u a l A r e a C r i t e r i o n " ,o f f e r s s i g n i f i c a n t c o m p u t a t i o n a l a n d p h y s i c a l i n s i g h t i n t o numerous

p r o b l e m s o u t s i d e t h e b o u n d s o f s t u d i e s p r e v i o u s l y r e p o r t e d a n d w i d e l y

a c c e p t e d i n i n d u s t r y .

INTRODUCTION

S h u n t c a p a c i t o r s h a v e b e e n i n s t a l l e d on d i s t r i b u t i o n p r i m a r y

f e e d e r s t o i m p r o v e f e e d e r v o l t a g e p r o f i l e v i a power f a c t o r c o r r e c t i o n .I t h a s b e e n a l s o w i de l y r e c o g n i z ed t h a t t h e a p p l i c a t i o n o f s h u n t c a p a c i -t o r s r e s u l t s i n r e d u c t i o n o f power a n d energy l o s s e s i n t h e f e e d e r .H e n c e , f u l l b e n e f i t s f r o m t h e us e o f s h u n t c a p a c i t o r s can o n l y b e

a c h i e v e d t h r o u g h s i m u l t a n e o u s c o n s i d e r a t i o n o f t h e a b o v e - m e n t i o n e d

t w o e f f e c t s . T h e p r o b l e m o f i n s t a l l i n g s h u n t capacitors on d i s t r i b u t i o np r i m a r y f e e d e r s h a s b e e n d e a l t w i t h b y many r e s e a r c h e r s s u c h a s N e a g l e

a n d S a m s o n , C o o k , S c h m i l l , C h a n g , R a n k i n e a n d o t h e r s [ 1 , 2 , . . . . 1 1 1 . I na p p l y i n g t h e i r r e s u l t s t o s p e c i f i c , p h y s i c a l l y - b a s e d p r o b l e m s , h o w e v e r ,

m o s t previous w o r k s u f f e r s f r o m t h e f o l l o w i n g s t a n d p o i n t s :

( a ) V e r y r e s t r i c t e d r e a c t i v e - l o a d d i s t r i b u t i o n s u c h a s u n i f o r m - l o a d

d i s t r i b u t i o n or a c o m b i n a t i o n o f c o n c e n t r a t e d a n d u n i f o r m l y

d i s t r i b u t e d l o a d s h a v e b e e n e x t e n s i v e l y u s e d i n most a n a l y s e s .W i r e s i z e o f t h e f e e d e r h a s b e e n u s u a l l y a s s u m e d t o b e u n i f o r m .

i I t i s a p p a r e n t ' t h a t s o l u t i o n s o bt a i n ed u n d e r t h e s e a s s u m p t i o n s

may b e f a r f r o m w h a t t h e y s h o u l d b e u n d e r r e a l c i r c u m s t a n c e s .

( b ) V e r y o f t e n a n a l y s e s w e r e c o n c e r n e d w i t h s p e c i f i e d cases, e . g . ,

t h e case o f one c a p a c i t o r b a n k , tw o c a p a c i t o r b a n k s , e t c . B e c a u s e

o f t h e l a c k o f g e n e r a l i t y o f t h o s e f o r . m u l a e , u t i l i t y c o m p a n i e s

h a v i n g d i f f e r e n t s i t u a t i o n s may n o t b e a b l e t o a p p l y t h o s e r e s u l t st o t h e i r s y s t e m s .

T h e p r i m a r y o b j e c t i v e o f t h i s paper i s t o r e m o v e c e r t a i n u n r e a l i s t i ca s s u m p t i o n s a n d t o p r e s e n t ve ry g e n e r a l a n d y e t s i m p l e p r o c e d u r e s

f o r i m p l e m e n t a t i o n so t h a t t h e y ca n b e e a s i l y a n d readily modified,

a d a p t e d , a n d e x t e n d e d d e p e n d i n g upon c o n d i t i o n s o f t h e s y s t e m i nq u e s t i o n . P o s t p o n i n g c o n s i d e r a t i o n o f v o l t a g e c o n t r o l p r o b l e m s t o our

f u t u r e r e p o r t s , i n t h i s paper we w i l l d e a l o n l y w i t h s a v i n g s d u e t o pow e r

and energy l o s s r e d u c t i o n s using s h u n t c a p a c i t o r s . I t s h o u l d b e men-

t i o n e d t h a t t h e p r o b l e m f o r m u l a t i o n a n d t h e s o l u t i o n a p p r o a c h e s t o b e

p r e s e n t e dh e r e i n a re so

g e n e r a l t h a tt h e f e ed e r v o l t a g e c o n t r o l ' p r o b l e m

c a n b e p r o p e r l y l i n k e d t o t h e l o s s r e d u c t i o n p r o b l e m w i t h o u t s i g n i f i l -

c a n t d i f f i c u l t i e s on t h e b a s i s o f t h e r e s u l t s i n t h i s ' p a p e r . I n t h i s r e g a r d ,

ou r p r o b l e m ca n now b e a d d r e s s e d ' a s f o l l o w s :F o r a g i v e n s i n g l e r a d i a l f e e d e r h a v i n g p o s s i b l y many s e c t i o n s o f

d i f f e r e n t w i r e s i z e s , a n d f o r a ny known r e a c t i v e - l o a d d i s t r i b u t i o n a l o n g

t h e f ee de r w h i c h i s n o t n e c e s s a r i l y e i t h e r u n i f o r m l y d i s t r i b u t e d o r c on -

c e n t r a t e d , we w o u l d l i k e t o d e t e r m i n e optimum l o c a t i o n a n d / o r s i z eo f s h u n t c a p a c i t o r b a n k s so t h a t t h e e c o n o m i c b e n e f i t from power a n d

F 8 0 2 4 6 - 9 A paper r e c o m m e n d e d a n d a p p r o v e d b y t h e IEEE T r a n s m i s s i o n& D i s t r i b u t i o n C o m m i t t e e on t h e I E E E P o w e r E n g i n e e r i n g S o c i e t y f o r p r e s e n t a t i o na t t h e I E E E P E S W i n t e r M e e t i n g , Ne w Y o r k , NY, F e b r u a r y 38, 1 9 8 0 . M a n u s c r i p ts u b m i t t e d S e p t e m b e r 8 , 1 9 7 9 ; m a d e a v a i l a b l e f o r p r i n t i n g November 1 6 , 1 9 7 9 .

energy loss r e d u c t i o n s i s m a x i m i z e d . A r e p r e s en t a t i v e p h y s i c a l f e e d e r

i s c h o s e n t o i l l u s t r a t e t h e a p p l i c a t i o n o f concepts and r e s u l t s t h r o u g h -

o u t t h e paper.

THE NORMALIZED EQUIVALENT FEEDER

M o s t o f t h e e x i s t i n g s t u d i e s c o n c e r n i n g c a p a c i t o r p l a c e m e n t on

d i s t r i b u t i o n f e e d e r s assume a u n i f o r m r e a c t i v e l o a d d i s t r i b u t i o n a l o n g a

u n i f o r m f e e d e r . I n p r a c t i c e , n e i t h e r t h e l o a d d i s t r i b u t i o n nor t h e f e e d e r

i s u n i f o r m a n d our a n a l y s i s d o e s not assume o t h e r w i s e . Th e t a p e r i n g

i n t r o d u c e d a l o n g a f e e d e r f r o m t h e exp re ss s e c t i o n t o w a r d s t h e f e e d e r -

e n d i s e x e m p l i f i e d i n F i g . 1 i n w h i c h i s r e p r e s e n t e d a p h y s i c a l l y e x i s t i n g2 3 kV n i n e - s e c t i o n f e e d e r o f f i v e w i r e - s i z e s [ 1 2 ] .

L ~ _ : - a t ior ,

A

L c o r o . > . 8 o . 1 2 3 4 5 6 7 8 9

F i g . 1 . O n e - l i n e D i a g r a m o f N o n u n i f o r m , 2 3 k V , T h r e e - p h a s e P r i m a r yF e e d e r . R e a c t i v e L o a d s a r e Shown t o S c a l e ; S e c t i o n s w i t h SameW i r e - s i z e a r e - S h o w n w i t h Same W i d t h L i n e .

T h e c o n c e n t r a t e d r e a c t i v e l o a d s a r e a t t h e e n d o f e a c h s e c t i o n ; t h e s el o a d s a r e q u i t e d i s s i m i l a r a s s c h e m a t i c a l l y s h o w n i n F i g . 1 . T h e a c t u a lw i r e - s i z e s , s e c t i o n l e n g t h s i n m i l e s , a n d k v a r l o a d d i s t r i b u t i o n a r e t a b u -l a t e d i n T a b l e 1 . To s i m p l i f y t h e d e v e l o p m e n t o f t h e t h e o r y u n d e r l y i n g

o u r p r o c e d u r e s , i t i s c o n v e n i e n t t o t r e a t a p h y s i c a l f e e d e r - a s a n e q u i v a -

T a b l e 1 . D a t a f o r E x a m p l e F e e d e r : T o t a l L e n g t h i s 1 6 . 2 7 M i l e s ;T h r e e - p h a s e R e a c t i v e L o a d s S h o w n C o r r e s p o n d t o D i s -t r i b u t i o n o f F i g . 1 .

( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) ( 6 ) ( 7 )

P H Y S I C A L S E C T I O N L E N G T H N O R M A L I Z E DR E S I S T A N C E S E C T I O N O F E Q U I V A L E N T S E C T I O N L E N G T H K V A R L O A D

E C T I O N W I R E IN O H M S L E N G T H U N I F O R M F E E D E R F O R E Q U I V A L E N T A T E N D O FU M B E R S I Z E P ER M I L E I N - M I L E S I N M I L E S U N I F O R M F E E D E R S E C T I O N

hT ( L 7 F ( L 1 r 1 / r 4

1 3 0 0 C u . 1 9 5 7 . 6 3 . 1 4 3 0 . 0 0 7 3 4 6 02 3 3 6 . 4 A l . 2 8 0 3 . 8 8 . 2 8 6 1 . 0 1 4 6 3 4 0

3 2 / 0 C u ; 4 3 9 0 1 . 7 0 . 8 6 5 6 . 0 4 4 2 4 4 64 2 C u . 8 6 2 2 . 8 1 . 8 1 0 0 . 0 4 1 3 1 8 4 05 2 C u . 8 6 2 ? 2 . 3 0 2 . 3 0 0 0 . 1 1 7 4 6 0 06 2 C u . 8 6 2 2 1 . 0 5 1 . 0 5 0 0 . 0 5 3 6 1 1 07 4 C u 1 . 3 7 0 1 1 . 5 0 2 . 3 8 3 7 . 1 2 1 6 6 08 4 C u 1 . 3 7 0 1 3 . 5 0 5 . 5 6 1 8 . 2 8 3 8 1 3 09 4 C u 1 . 3 7 0 1 3 . 9 0 6 . 1 9 7 4 . 3 1 6 2 2 0 0

T l M . 5 9 9 7 7 - 0 0

l e n t u n i f o r m f e e d e r o f u n i t y l e n g t h . T h i s i s a c c o m p l i s h e d i n a t w o s t e pp r o c e s s a s f o l l o w s :( a ) S u p p o s e t h e r e a r e k s e c t i o n s i n t h e p h y s i c a l f e e d e r . C h o s e r j , t h e

r e s i s t a n c e i n ohms p e r m i l e o f t h e j t h s e c t i o n , a s t h e r e s i s t a n c e i no h m s p e r m i l e o f t h e e q u i v a l e n t u n i f o r m f e e d e r . M o d i f y t h e p h y s i -c a l l e n g t h L i o f t h e i t h s e c t i o n a s f o l l o w s :

L. r .

L. =I I

i = l 2 , . . . , kul r.

J

1 9 8 1 IEEE

( 1 )

1 1 0 5

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1 1 0 6

w h e r e L u i i s t h e l e n g t h i n m i l e s o f t h e i t h s e c t i o n o f t h e e q u i v a l e n tu n i f o r m f e e d e r .

( b ) L u , t h e t o t a l l e n g t h i n m i l e s o f t h e e q u i v a l e n t u n i f o r m f e e d e r i sd e f i n e d b y

k L . rL 1 i ( 2 )

u ii r2j=

D i v i d e e a c h s e c t i o n l e n g t h L u i o f t h e e q u i v a l e n t f e e d e r b y L ut o y i e l d a n o r m a l i z e d e q u i v a l e n t u n i f o r m f e e d e r o f u n i t y l e n g t ha n d u n i f o r m r e s i s t a n c e

kr = Z L . r

i= 1

o h m s p e r n o r m a l i z e d u n i t l e n g t h .T h e a p p l i c a t i o n o f t h i s p r o c e d u r e t o o u r e x a m p l e p h y s i c a l f e e d e r

i s d e m o n s t r a t e d q u a n t i t a t i v e l y i n c o l u m n s ( 4 ) , ( 5 ) , ( 6 ) o f T a b l e 1 a n d

g r a p h i c a l l y t o s c a l e i n F i g . 2 ; a s s h o w n , r j = r 4 i n t h i s e x a m p l e .

S a l - - t a t i o n

L . a o r . n ' l o . 1 2 3

r - - %

S e : : t i cr .

7--O c )

1 0 . 2 7 r n i .

4 5 6 7

1 9 . 6 0o1 1- - I m i .

-. i o . i 2 3 4 5 6 7 8

1 I R 1 . 0lIL1S e c t i o n I a c . 1 - 2 3 4 6 7

F ( x ) a E f ( T )X<t < 1

( 4 )

w h e r e I s i s t h e p e a k r e a c t i v e c u r r e n t i n j e c t e d i n t o t h e f e e d e r a t t h e s u b -s t a t i o n , x i s t h e d i s t a n c e m e a s u r e d a l o n g t h e n o r m a l i z e d e q u i v a l e n tu n i f o r m f e e d e r f r o m t h e s a m e e n d a n d I ( x ) i s t h e r e a c t i v e c u r r e n t

d e n s i t y a t x . A t y p i c a l e x a m p l e o f F ( x ) f o r t h e c a s e o f d i s c r e t e l o a d sc o n c e n t r a t e d a t a r b i t r a r y l o c a t i o n s a l o n g t h e f e e d e r i s s h o w n i n F i g . 3 ;t h i s f i g u r e i s d r a w n f o r t h e f ( x ) c o r r e s p o n d i n g t o t h e r e a c t i v e l o a d sl i s t e d i n c o l u m n 7 o f T a b l e 1 . F o r c o n t i n u o u s F (x ) i n t e g r a t i o n a p p e a r s

i n ( 4 ) .

1 . 0000

0 . 0 9 0 i

0 0 . 7 0 2 0 3.,

10

7 00. 02

.Q_.

C)

IV

0.15

Q 0 . 0 7 8 8

F i g . 2 . R e p r e s e n t a t i o n o f ( a ) P h y s i c a l F e e d e r ( b ) E q u i v a l en t F e ed e rw i t h r = 0 . 8 6 2 2 Q 2 / m i l e ( c ) N o r m a l i z e d E q u i v a l e n t U n i f o r mF e e d e r w i t h r = 1 6 . 8 9 7 1 Q / u n i t l e n g t h .

Upon c l o s e e x a m i n a t i o n , i t i s a p p a r e n t t h a t t h e s e c t i o n - l e n g t h s o f t h e

p h y s i c a l f e e d e r ( r e l a t i v e t o e a c h o t h e r ) a r e e x p a n d e d , c o n t r a c t e d o r

u n a l t e r e d b y o u r n o r m a l i z i n g t r a n s f o r m a t i o n d e p e n d i n g u p o n t h e c o r r e -s p o n d i n g r i / r j r a t i o s . T h i s o b s e r v a t i o n i s n o t e w o r t h y b e c a u s e o f i t se f f e c t u p o n a s s u m p t i o n s c o m m o n l y f o u n d i n t h e l i t e r a t u r e ; i t m e a n st h a t a n a s s u m e d u n i f o r m l o a d d i s t r i b u t i o n a l o n g a p h y s i c a l f e e d e r o f

d i f f e r e n t w i r e - s i z e s b e c o m e s n o n u n i f o r m o n t h e e q u i v a l e n t f e e d e r a n d

c o n s e q u e n t l y , d o e s n o t m a t c h t h e b a s i c m o d e l u n d e r l y i n g many o f t h e

a n a l y s e s i n t h e r e f e r e n c e s . I n o u r w o r k , d i s c r e t e l o a d s a r e c o n s i d e r e d t ob e l o c a t e d a t n o d e s a t t h e r e m o t e e n d o f t h e c o r r e s p o n d i n g f e e d e r s e c -t i o n ; t h e s e n o d e s a r e r e f e r r e d t o i n t h e t e x t a s f e e d p o i n t s o r l o a d p o i n t s .

THE NORMALIZED REACTIVE CURRENT DISTRIBUTION

A s p r e v i o u s l y n o t e d , o u r p r o c e d u r e s r e q u i r e no a s s u m p t i o n r e g a r d -i n g t h e d i s t r i b u t i o n o f r e a c t i v e l o a d a l o n g t h e f e e d e r . A c c o r d i n g l y , t h ed i s t r i b u t i o n s y s t e m p l a n n e r c a n d i r e c t l y a p p l y o u r p r o c e d u r e s t o a c t u a lr e a c t i v e l o a d d i s t r i b u t i o n s f o u n d i n p r a c t i c e ; a s a r e s u l t , c a p a c i t o r s c a n

b e s p e c i f i e d t o s a t i s f y a c t u a l r a t h e r t h a n a p p r o x i ma t e c o m p e n s a t i o nl e v e l s .

C o n s i d e r a t h r e e - p h a s e n o n u n i f o r m l y d i s t r i b u t e d r e a c t i v e l o a d

s u c h a s t h a t r e p r e s e n t e d b y F i g . 1 . We no w d e f i n e a n o r m a l i z e d r e a c t i v ec u r r e n t d e n s i t y f u n c t i o n , f ( x ) , a n d a n o r m a l i z e d f e e d e r r e a t i v e c u r r e n t

f u n c t i o n , F ( x ) , a s f o l l o w s :

( 3 )f ( x ) A I ( X )IS

x - 1 . 0

i a o r a n a l i z e d d i s t ; a n c e

F i g . 3 . T h e N o r m a l i z e d R e a c t i v e C u r r e n t F u n c t i o n F ( x ) C o r r e s p o n d i n gt o E x a m p l e F e e d e r a n d L o a d s o f T a b l e 1 .

LOSS REDUCTION AND SAVINGS FORMULAE

I t i s r e q u i r e d t o o p t i m a l l y p l a c e n f i x e d , s h u n t c a p a c i t o r s on a

t h r e e - p h a s e r a d i a l d i s t r i b u t i o n f e e d e r s o a s t o m i n i m i z e p o w e r a n d

e n e r g y l o s s e s . M o r e s p e c i f i c a l l y , w e s e e k t h e l o c a t i o n s h i ( i = 1 , 2 , . . . , n )a n d t h e s i z e s I c i ( i 1 , 2 , . . . , n ) o f t h e s h u n t c a p a c i t o r s , F i g . 4 , w h i c h w i l lm a x i m i z e t h e n e t d o l l a r s a v i n g s r e s u l t i n g f r o m t h e c a p a c i t o r p l a c e m e n tp r o g r a m . I t i s n o t e d t h a t no a s s u m p t i o n i s m a d e r e g a r d i n g t h e r e l a t i v e

s i z e s o f t h e c a p a c i t o r s t o b e i n s t a l l e d . In t h e f o l l o w i n g a n a l y s i s I c i w i l li n g e n e r a l r e p r e s e n t t h e r e a c t i v e c u r r e n t o f t h e i t h c a p a c i t o r b a n k ; h o w -

e v e r , i n c e r t a i n e x a m p l e s , i t r e p r e s e n t s k v a r r a t i n g s .

= C a . o

F i g . 4 . C a p a c i t o r L o c a t i o n s a n d C u r r e n t R a t i n g s C a r r y S u b s c r i p t sN u m b e r e d a s S h o w n n = 3 h e r e .

a

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T h e p e a k p o w e r l o s s r e d u c t i o n w h i c h i s e f f e c t e d b y t h e n s h u n t

c a p a c i t o r s i s g i v e n b y

1 2 h 2L P = 3 1 f ( I F()) r d x -

n ( I F ( x ) - Z I . ) r d x0 0 = 1 c

n - i h i 2+ E f ( I F ( x ) - E I . ) r d x

i l . h i + i j= c J1 2

+ f ( I s F ( x ) ) r d x ] }

h 1( 5 )

a n d , c o r r es p o n di n g l y , t h e energy l o s s r e d u c t i o n i s g i v e n b y

2 n

L E = 3f0 f ( I s ( t ) F ( x ) ) r d x - U S (I ( t ) F ( x )

n2 n- h . i 2

E I . ) r dx + Z f h ( I S ( t ) F ( x ) - I .) r dx

j=i c i i=i h i + i j=i cJ

+ f h ( I ( t ) F ( x ) ) r d x ] I d t ( 6 )

1s

w h e r e l S ( t ) i s t h e t i m e - v a r y i n g , r e a c t i v e - l o a d c u r r e n t , m e a s u r e d over a

l o a d c y c l e o f d u r a t i o n T , a t t h e source e n d o f t h e n o r m a l i z e d e q u i v a l e n tu n i f o r m f e e d e r o f r e s i s t a n c e r o h m s / u n i t l e n g t h . The n e t s a v i n g s r e s u l t -i n g f r o m b o t h power a n d energy l o s s r e d u c t i o n s i s t h e n g i v e n b y

n

S = K LP + K LE -K IP e ci=i ci (7)

w h e r e K p , K e , a n d . K c ar e t h e r e s p e c t i v e c o n s t a n t s t o c o n v e r t pow e r

l o s s s a v i n g s , energy l o s s s a v i n g s a n d c a p a c i t o r - b a n k r a t i n g t o d o l l a r s .F o r c o n v e n i e n c e , we w i l l o m i t i n l a t e r e q u a t i o n s t h e m u l t i p l i e r 3 w h i c happears i n ( 5 ) a n d ( 6 ) a n d i n t e r p r e t Kc a s t h e a n n u a l c o s t pe r s i n g l e -

p h a s e k v a r .OPTIMUM LOCATIONS AND BANK S I Z E S

To m a x i m i z e t h e n e t s a v i n g s S o f ( 7 ) , i t i s r e q u i r e d t o s i m u l -

t a n e o u s l y s o l v e f o r t h e o p t i m u m l o c a t i o n s a n d o p t i m u m c a p a c i t o r -b a n k s i z e s t o b e p l a c e d t h e r e a t . An o v e r a l l s o l u t i o n a p p r o a c h b e c o m e sc l e a r a f t e r we e s t a b l i s h t w o i n d e p e n d e n t r e s u l t s , e a c h o f w h i c h h a s

i m p o r t a n t s t a n d - a l o n e a p p l i c a t i o n s i n p r a c t i c e .

1 1 0 7

S t e p 1 : From t h e o n e l i n e d i a g r a m o f t h e p h y s i c a l f e e d e r [ F i g . I ]a n d t h e t a bu l a t e d d a t a o f w i r e s i z e s , s e c t i o n l e n g t h s a n dr e s i s t a n c e p a r a m e t e r s , d e t e r m i n e t h e b a s e l e n g t h a n d t h e

p e r u n i t d i s t a n c e o f e a c h n o d e a l o n g t h e n o r m a l i z e d e q u i v a -l e n t u n i f o r m f e e d e r [ T a b l e 1 , F i g . 2 ] .

S t e p 2 : U s i n g t h e t o t a l s e n d i n g - e n d r e a c t i v e l o a d i n p u t t o t h e f e e d e r

a s b a s e , d r a w t h e n o r m a l i z e d r e a c t i v e c u r r e n t f u n c t i o n F ( x )a l o n g t h e n o r m a l i z e d e q u i v a l e n t u n i f o r m f e e d e r [ F i g . 3 ] .

S t e p 3 : From t h e g r a p h o f F (x ) d e t e r mi n e t h e o p t i m u m l o c a t i o n o fe a c h c a p a c i t o r , h l ( i = 1 , 2 , . . . , n ) , i n t h e g i v e n s e q u en c e o f i n -s t a l l a t i o n v i a t h e f o r m u l a

K + K T I . i i - l -F ( h * ) = ( K + + I IK p e f j = 1 i s

A

where Z I =0 .

j = l c j

S t e p 4 : T h e n o r m a l i z e d o p t i m u m l o c a t i o n s h i ( i = 1 , 2 , . . . , n ) , ar e t r a n s -f o r m e d b a c k t o p h y s i c a l d i s t a n c e s b y r e v e r s e a p p l i c a t i o no f S t e p 1 .

T h e g e n e r a l i t y a n d r e m a r k a b l e s i m p l i c i t y o f P r o c e d u r e A a r e now e x -

e m p l i f i e d f o r t h e n i n e - s e c t i o n , 2 3 k V , t h r e e - p h a s e f e e d e r p r e v i o u s l y

i n t r o d u c e d .

E x a m p l e 1 : T h e p r i n c i p a l r e a c t i v e l o a d on t h e n o n - u n i f o r m f e e d e r

a r e s p e c i f i e d i n T a b l e 1 . D e t e r m i n e t h e l o c a t i o n s f o r 30 0 k v a r , 9 0 0k v a r , 1 2 0 0 k v a r c a p a c i t o r b a n k s w h i c h w i l l o p t i m i z e t h e n e t s a v i n g sf r o m b o t h p o w e r - l o s s s a n d e n e r g y - l o s s r e d u c t i o n s . T h e p a r a m e t e rv a l u e s a re K p = $ 1 2 0 / k W / y r ; Ke = 1 5 m i l l s / k w h ; T = 8 7 6 0 h o u r s ;L f = 0 . 4 5 .

S o l u t i o n : From t h e g i v e n d a t a we f i n d t h e n o r m a l i z e d v a l u e s

I c l = 0 . 1 0 0 6 ; I C 2 = 0 . 3 0 1 8 ; I c 3 0 . 4 0 2 3 a n d P r o c e d u r e A y i e l d s t h ef o l l o w i n g o p t i m u m l o c a t i o n s h * = 0 . 6 8 3 8 ; h r = 0 . 2 2 4 8 ; h r = 0 . 1 0 7 4c o r r e s p o n d i n g t o f e e d p o i n t s a t 1 2 . 7 7 , 6 . 3 2 a n d 4 . 0 2 m i l e s , r e s p e c t i v e l y .F i g . 5 s h o w s t h e g r a p h i c a l c o n s t r u c t i o n a n d r e s u l t s .

R e m a r k : I n E x a m p l e 1 , i f t h e g i v e n p a r a m e t e r s w e r e s u c h t h a t

t h e c a l c u l a t i o n s o f P r o c e d u r e A r e s u l t i n h 2 = F 1 ( 0 . 2 6 2 8 ) , t h e n h 2 i sn o t u n i q u e l y d e f i n e d . [ S e e F i g . 3 ]

T h i s means t h a t , as f a r a s r e d u c t i o n o f l o s s e s i s c o n c e r n e d , t h e

s e c o n d c a p a c i t o r s h o u l d b e l o c a t e d a t a ny p l a c e a l o n g s e c t i o n 5 w i t h o u t

a f f e c t i n g t h e amount o f s a v i n g s ; t h i s i s d u e t o t h e p i e c e - w i s e l i n e a r

L (x)

1. G 3 0 0

Optimum L o c a t i o n s

F i r s t , we p r e s e n t a t h e o r e m w h i c h l e a d s t o a p r o c e d u r e f o r f i n d i n gt h e p o i n t s a l o n g a f e e d e r a t w h i c h a g i v e n sequence o f n f i x e d c a p a c i t o r

b a n k s s h o u l d b e i n s t a l l e d i n o r d e r t o m a x i m i z e t h e n e t s a v i n g s S .T h e o r e m 1 : F o r

g i v e n c a p a c i t o r r a t i n g s I c i ( i = 1 , 2 , . . . , n ) ,t h e

o p t i m a l l o c a t i o n o f t h e i t h c a p a c i t o r , h i ( i = 1 , 2 , . . . , n ) , i s g i v e n b y

-i K + K T I.

h * = F ( e ) ( S 2I K + p KTL 2s

i - i I+ E y - - ) )

j = l s

( 8 )

w h e r e F - 1 ( ) r e p r e s e n t s t h e i n v e r s e o f t h e f u n c t i o n F ( ) , d e f i n e d i n ( 4 )a n d e x e m p l i f l e d i n F i g . 3 , a n d L f i s t h e r e a c t i v e l o a d f a c t o r f o r t h e

f e e d e r . T h e p r o o f o f t h i s t h e o r e m i s s e t f o r t h i n t h e APPENDIX.

PROCEDURE A : Optimum L o c a t i o n s

A s a r e s u l t o f Theorem 1 we now p r e s e n t a new, g e n e r a l , y e t

r e m a r k a b l y s i m p l e p r o c e d u r e f o r d e t e r m i n i n g t h e o p t i m u m l o c a t i o n s

f o r a s p e c i f i e d sequence o f c a p a c i t o r b a n k s i z e s .

0 . 2 5 1 5

0 . 0 5 0 3 -

i -X=l

.0ffi n

F i g . 5 . G r a p h i c a l R e p r e s e n t a t i o n o f R e s u l t s f r o m P r o c e d u r e A A p p l i e dt o E x a m p l e 1. N o t e O p t i m a l L o c a t i o n s a t F e e d p o i n t s .

( 9 )

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1 1 0 8

n a t u r e o f t h e f u n c t i o n S f o r d i s c r e t e l o a d p o i n t s . H o w e v e r , t h e r e a c t i v ec u r r e n t i n f e e d e r s e c t i o n 5 i s l a g g i n g i f t h e c a pa c i t o r i s p l a c e d a t f e e d

p o i n t = 0 . 1 0 7 6 , w h i l e i t b e c o m e s l e a d i n g w i t h t h e s a m e p o w e r f a c t o ri f t h e c a p a c i t o r i s p l a c e d a t f e e d p o i n t x = 0 . 2 2 4 8 . I f t he c a pa c i t o r

i s p l a c e d s o m e w h e r e b e t w e e n t h e t w o f e e d p o i n t s , r e a c t i v e p o w e r i s

l e a d i n g i n t h e p o r t i o n o f t h e f e e d e r s e c t i o n n e a r e r t o t h e s u b s t a t i o n

t h a n t h e c a p a c i t o r w h i l e i t i s l a g g i n g i n t h e o t h e r p o r t i o n o f t h e f e ed e r

s e c t i o n .

O b s e r v a t i o n s : I t i s w o r t h w h i l e t o n o t e h e r e a n u m b e r o f i n t e r e s t -i n g f e a t u r e s o f t h i s r e s u l t w h i c h i s a g e n e r a l i z a t i o n o f r e s u l t s p r e s e n t e d

i n much o f t h e e x i s t i n g l i t e r a t u r e :( a ) T h e o p t i m u m l o c a t i o n , h i , o f t h e i t h c a p a c i t o r , I c i , i s n o t d e -

p e n d e n t u p o n t h e s i z e o f c a p a c i t o r s I c j f o r j > i . I n o t h e r w o r d s , n o

c a p a c i t o r l o c a t e d n e a r e r t o t he s o u r c e e n d o f t h e f e e d e r t h a n t h e

i t h c a p a c i t o r h a s a n y i n f l u e n c e o n t h e l o c a t i o n o f t h e l a t t e r .( b ) O p t i m u m l o c a t i o n s h i * ( i = 1 , 2 , . . . , n ) , c a n a l w a y s b e c h o s en a t f e e d

p o i n t s .( c ) I f t h e o b j e c t i v e o f t h e c a p a c i t o r p l a c e m en t p r o g r a ms i s t o m a x i -

m i z e t h e p e a k p o w e r l o s s r e d u c t i o n , t h e n Ke i s s e t e q u a l t o z e r o i n( 7 ) ; t h i s i s e q u i v a l e n t t o a s s u m i n g t h a t t h e r e a c t i v e l o a d f a c t o r ,L f , i s u n i t y . I t t h e n f o l l o w s f r o m ( 8 ) t h a t

i :I. i - i

F ( h * )=

cI+(

.

I ( i = l , 2 , . . . , n )1 s 2i = [ y + ( 1 0 )

a r e s u l t w h i c h h o l d s f o r a n y l o a d d i s t r i b u t i o n . I t e x t e n d s , w h i l e

c o n f i r m i n g , t h e r e s u l t s o b t a i n e d f o r p a r t i c u l a r u n i f o r m l o a d d i s -t r i b u t i o n s i n t h e r e f e r e n c e s .

( d ) I f t h e o b j e c t i v e o f t h e c a p a c i t o r p l a c e m e n t p r o g r a m i s o n e o f

e n e r g y c o n s e r v a t i o n i . e . r e d u c t i o n o f e n e r g y l o s s , w i t h o u t r e g a r df o r p o w e r l o s s o r e c o n o m i c s , t h e n b o t h K p a n d K c a r e s e t e q u a lt o z e r o i n ( 7 ) . N o t s u r p r i s i n g l y , t h e o p t i m u m I o c a t i o n s i n t h i s c a s e

a r e d e p e n d e n t u p o n t h e r e a c t i v e l o a d f a c t o r o f t h e f e e d e r a n d a r e

g i v e n b y

i - 1

c i 2 [ L f I F ( h ) - II] ( i = 1 , 2 , . . . , n ) (1 1 )

A g a i n , t h i s i s a g e n e r a l r e s u l t ; i t s t a t e s t ha t f o r m ax i m u m e n e r g y

loss r e d u c t i o n , t h e i t h c a p a c i t o r i n t h e s p e c i f i e d s e q u e n c e s h o u l d

b e l o c a t e d a t a p o i n t a t which i t s r a t i n g e q u a l s t w i c e t h e a v e r a g e

r e a c t i v e l o a d i n t h e f e e d e r minus t h e combined r a t i n g o f a l l t h e

c a p a c i t o r s i n s t a l l e d f u r t h e r from t h e s u b s t a t i o n t h a n t h e i t h

c a p a c i t o r .

Optimum C a p a c i t o r S i z e s

We n e x t p r e s e n t a theorem which e n a b l e s us t o d e t e r m i n e the

optimum s i z e s f o r t h e n c a p a c i t o r banks t o be i n s t a l l e d a t p r e d e s i g -

n a t e d l o c a t i o n s a l o n g t h e f e e d e r w h i c h , a s b e f o r e , m a y i n v o l v e s e c t i o n s

o f d i s s i m i l a r w i r e s i z e s .

Theorem 2 : I n o r d e r t o maximize t h e t o t a l s a v i n g s S when t h e

c o s t o f c a p a c i t o r s i s n e g l e c t e d , i . e . , Kc = 0 , t h e o p t i m a l c a p a c i t o r c u r -

r e n t s I * ( i = 1 , 2 , . . , n ) t o be l o c a t e d a t known l o c a t i o n s h l , h 2 , ...h

ar e g i v e n b y t h e f o l l o w i n g r e c u r s i v e f o n n u l a

PROCEDURE B : Optimum C a p a c i t o r S i z e s

F o r t h e c a s e w h e r e Kc = 0 i n ( 7 ) , we p r e s e n t a p r o c e d u r e w h i c h

i s a l o g i c a l o u t c o m e o f t h e g r a p h i c a l i n t e r p r e t a t i o n o f ( 1 2 ) . T h i s p r o -

c e d u r e e n a b l e s t h e d i s t r i b u t i o n s y s t e m d e s i g n e r t o d e t e r m i n e t h e

o p t i m a l s i z e s o f c a p a c i t o r b a n k s w h i c h s h o u l d b e i n s t a l l e d , o n c e h e

h a s s e l e c t e d t h e i r l o c a t i o n s o n t h e f e e d e r . I t i s c o n v e n i e n t t o i l l u s t r a t et h e p r o c e d u r e , w i t h o u t a n y l o s s o f g e n e r a l i t y , f o r t h e p r o b l e m o f s i z -

i n g t h r e e c a p a c i t o r s ( n = 3 ) a t l o c a t i o n s h l , h 2 , h 3 o n t h e n o r m a l i z e de q u i v a l e n t u n i f o r m f e e d e r w h i c h h a s t h e n o r m a l i z e d r e a c t i v e c u r r e n t

p r o f i l e s h o w n b y F ( x ) i n F i g . 6 .

1.h

g 3 h3 g 2 h2g2 h x = 1 . 0

F i g . 6 . I l l u s t r a t i o n o f P r o c e d u r e B t o t h e P r o b l e m o f O p t i m a l l y S i z i n gT h r e e C a p a c i t o r s a t P r e - s p e c i f i e d L o c a t i o n s .

S t e p 1 : D e t e r m i n e a p o i n t g , o n t h e n o r m a l i z e d e q u i v a l e n t u n i f o r m

f e e d e r s u c h t h a t

1 1 AF ( g ) = f F ( x ) d x C1

1 2 h 2

i . e . g , i s a p o i n t d e t e r m i n e d b y t h e mean v a l u e o f t h e r e a c t i v ec u r r e n t i n t h e f e e d e r s e g m e n t [ h 2 , h l 1 . Th e optimum r a t i n go f t h e f i r s t c a p a c i t o r i s t h e n f o u n d u s i n g

I 1 = I s F ( g 1 ) =a I s 1 ( 1 4 )

(K + K 1 ( TLf)

where a = (K+KT) a n d C 1 = F ( g 9 )p e

S t e p 2 : Draw t h e d o t t e d c o n t o u r I w h i c h passes t h r o u g h t h e p o i n t

g , a n d w h i c h i s p a r a l l e l t o t h e o r i g i n a l l o a d p r o f i l e .

S t e p 3 : D e t e r m i n e a p o i n t g 2 on t h e f e ed er s u c h t h a t

1 2F

( g 2 ) h -h f

hF ( x ) d x ( 1 5 )2o r n 3 3

The optimum rating of the second c ap ac i t o r is found using

I c 2 =a I s f F ( g 2 ) - F ( g l ) } a I s C2

K + K TL

I * . = P eci K + K T

p e

i-i

I a v g (hi + l , i)- E I c k=

f o r i = 1 , 2 , . . . , n( 1 2 )

w h e r e l a v g ( h i + 1 , h i ) i s t h e mean v a l u e o f t h e r e a c t i v e c u r r e n t i n t h e

n o r m a l i z e d e q u i v a l e n t f e e d e r s e g m e n t [ h i + 1 , h i ] . The p r o o f o f t h i s

t h e o r e m i s p r e s e n t e d v i a Theorems 2A a n d 2B i n t h e APPENDIX.

( 1 6 )

where C 2 = F ( g 2 ) C1

S t e p 4 : Draw t h e d o t t e d c o n t o u r I I w h i c h passes t h r o u g h t h e p o i n t

g2 a n d w h i c h i s p a r a l l e l t o t h e o r i g i n a l l o a d p r o f i l e .S t e p 5 : D e t e r m i n e a p o i n t g3 on t h e f e ed e r s u c h t h a t

1 h 3F ( g 3 ) = h f0 F ( x ) dx (17)

3

( 1 3 )

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1 1 0 9

T h e o p t i m u m r a t i n g o f t h e t h i r d c a p a c i t o r i s t h e n

c 3 -a I s { F ( g 3 ) - F ( g 2 ) } = a I s C 3

where

( 1 8 )

C 3 = F ( g 3 ) - (C.1+ C 2 )

T h e a b o v e p r o c e d u r e c a n b e a p p l i e d t o t h e p r o b l e m o f p l a c i n g a n y

n u m b e r o f c a p a c i t o r s o n a n a r b i t r a r y r a d i a l f e e d e r h a v i n g a r b i t r a r yr e a c t i v e l o a d d i s t r i b u t i o n ; r e c u r s i v e f o r m u l a ( 1 2 ) i s i n v o k e d f o r t h eF ( x ) i n v o l v e d .

AN EQUAL AREA CRITERION

I n d e v e l o p i n g t h e t h e o r y u n d e r l y i n g P r o c e d u r e B a m o s t i n t e r e s t -i n g f a c t w a s o b s e r v e d w h i c h we no w r e f e r t o a s t h e " E q u a l A r e a C r i -t e r i o n " T h e E q u a l A r e a C r i t e r i o n p l a y s a k e y r o l e i n a c o m p u t e r - b a s e ds e a r c h t e c h n i q u e w h i c h i s t o b e r e p o r t e d i n a l a t e r p a p e r . To a s s i s te x p l a n a t i o n a n d i n s i g h t , we a p p e a l t o g r a p h i c a l p r o c e d u r e s ; a c c o r d i n g l y ,we r e l y o n F i g . 7 a n d t h e c o r r e s p o n d i n g t h r e e c a p a c i t o r p r o b l e m .

In F i g . 7 , t h e c o n t o u r I I I i s d r a w n t h r o u g h g 3 p a r a l l e l t o t h eo r i g i n a l n o r m a l i z e d r e a c t i v e c u r r e n t p r o f i l e . From t h e c o n s t r u c t i o n

u n d e r l y i n g F i g . 7 t h e E q u a l A r e a C r i t e r i o n y i e l d s

A r e a A l = A r e a B 1

A r e a A 2 = A r e a B 2

A r e a A 3 = A r e a B 3

T h i s c r i t e r i o n a p p l i e s e q u a l l y w e l l t o a n y g e n e r a l c a s e . L a t e r i n t h i sp a p e r , i t w i l l b e s h o w n t o b e a p i v o t a l c r i t e r i o n i n d e t e r m i n i n g t h eo p t i m u m l o c a t i o n s a n d o p t i m u m c a p a c i t o r s i z e s f o r g e n e r a l r e a c t i v el o a d d i s t r i b u t i o n s . F o r t h e p r e s e n t , we w i l l a p p l y P r o c e d u r e B t o t h en o n - u n i f o r m f e e d e r p r e v i o u s l y c o n s i d e r e d .

E x a m p l e 2 : F o r t h e t h r e e - p h a s e r e a c t i v e l o a d s a n d f e e d e r o fE x a m p l e 1 , d e t e r m i n e t h e o p t i m u m s i z e s o f t h e c a p a c i t o r b a n k s t o

b e p l a c e d a t l o c a t i o n s h l , h 2 , h 3 c o r r e s p o n d i n g t o d i s t a n c e s o f 1 2 . 3 7 ,8 . 1 3 , 4 . 0 2 m i l e s , r e s p e c t i v e l y , f r o m t h e s u b s t a t i o n . T h e p a r a m e t e rd a t a g i v e n i s s t i l l a p p l i c a b l e a n d , i n a d d i t i o n , K c = 0 .

S o l u t i o n : T h e f e e d p o i n t s c h o s e n f o r l o c a t i o n f o r t h e c a p a c i t o r sc o r r e s p o n d t o n o r m a l i z e d d i s t a n c e s h , = 0 . 6 8 3 8 , h 2 = 0 . 3 4 0 0 , h 3 =

0 . 1 0 7 4 . E q u a t i o n s ( 1 3 ) - ( 1 8 ) a p p l i e d t o F ( x ) o f F i g . 3 y i e l d t h e

f o l l o w i n g :

( 1 3 ) F(g) 0 . 0 8 1 5 = C 1

( 1 4 ) I c I s F ( g ) - I s C 1 2 4 3 k v a r

( 1 5 ) F ( g 2 ) = 0 . 1 8 5 3

( 1 6 ) I2 I [ F ( g 2 ) - F ( g 1 ) ] = a I C2 309 k v a r

( 1 7 ) F ( g 3 ) 0 . 7 9 2 4

( 1 8 ) I3 a I [ F ( g 3 ) - F ( g 2 ) ] = a I C 3 1 8 1 1 k v a r

T h e s e r e s u l t s a r e s h o w n i n F i g . 8 .

LOCATIONS AND S I Z E S OF CAPACITORS TOMAXIMIZE POWER AND ENERGY LOSS REDUCTIONS

I n p r e v i o u s s e c t i o n s , p r o c e d u r e s a r e d e v e l o p e d t o d e t e r m i n et h e o p t i m u m l o c a t i o n s f o r a s p e c i f i e d s e t o f c a p a c i t o r b a n k s a n dv i c e v e r s a . I n t h i s s e c t i o n , we s e t f o r t h a p r o c e d u r e f o r d e t e r m i n -i n g b o t h t h e l o c a t i o n s a n d t h e c o r r e s p o n d i n g c a p a c i t o r s i z e s w h i c hm a x i m i z e t h e b e n e f i t s a c c r u i n g f r o m t h e i r i n s t a l l a t i o n . I t s h o u l d b en o t e d

t h a t ,a t t h i s

s t a g eo f o u r

p r e s e n t a t i o n ,o u r

d i s c u s s i o ni s

l i m i t e d

x= t d .

h 3

F i g . 7 . I l l u s t r a t i o n o f E q u a l A r e a C r i t e r i o n t o T h r e e - c a p a c i t o r P r o b l e mo f F i g . 6 .

F ( x )1.0000

0 . 1 8 5 3

0 . 0 8 1 5 - i i j

F 4

L 9 1

g 3 3 g 2 h 2

F i g . 8 . G r a p h i c a l R e p r e s e n t a t i o n o f t h e r e s u l t s f r o m P r o c e d u r e B A p -p l i e d t o E x a m p l e 2 . T h e F e e d e r R ea c t i v e C u r r e n t a f t e r t h eC a p a c i t o r s a r e I n s t a l l e d i s S h o w n b y t h e D o t t e d P r o f i l e .

t o m a x i m i z i n g t h e s a v i n g s c a u s e d b y p o w e r a n d e n e r g y l o s s r e d u c -t i o n s u n d e r t h e a s s u m p t i o n t h a t t h e c o s t o f c a p a c i t o r s i s n e g l i g i b l e .

T h e r e f o r e , t h e u s e o f c a p a c i t o r s g u a r a n t e e s e c o n o m i c b e n e f i t s i nt h i s s i t u a t i o n . H o w e v e r , w h e n t h e c o s t o f c a p a c i t o r s i s t a k e n i n t oc o n s i d e r a t i o n t h e r e may b e a p o i n t o f d i m i n i s h i n g e c o n o m i c r e t u r n

b e y o n d w h i c h t h e p l a c e m e n t o f f u r t h e r t o t a l c a p a c i t a n c e o n t h e f e e d e ri s n o t e c o n o m i c a l l y j u s t i f i e d . T r a d e - o f f c o n s i d e r a t i o n s w i l l t h e n a p p l y ,t h i s c a s e i s d i s c u s s e d i n m o r e d e t a i l i n a l a t e r s e c t i o n .

PROCEDURE C : O p t i m u m L o c a t i o n s a n d S i z e s

To d e t e r m i n e t h e o p t i m u m l o c a t i o n s a n d s i z e s o f t h e n c a p a c i t o rb a n k s , t h e p r o c e d u r a l s t e p s s e t f o r t h b e l o w a r e f o l l o w e d . T h e s e s t e p sa r e a l t e r n a t e l y b a s e d u p o n t h o s e o f P r o c e d u r e A a n d P r o c e d u r e B w i t ht h e E q u a l A r e a C r i t e r i o n g u i d i n g t h e i n t e r a c t i o n b e t w e e n t h e m . O u rne w p r o c e d u r e s t a r t s w i t h a n a r b i t r a r i l y c h o s e n h l . I t t h e n d e t e r m i n e st h e c o r r e s p o n d i n g

I c l .T h e E q u a l

A r e a C r i t e r i o n i s t h e n i n v o k e d t o

I( X Ii .

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1 1 1 0

d et e r mi n e h 2 w h i c h , i n t u r n , l e a d s t o I c 2 , h 3 , . . . , h n , I c n i n t h i s o r d e r .When h n i s o b t a i n e d a t t h e e n d o f t h e f i r s t i t e r a t i o n , we c h e c k w h e t h e r

t h e E q u a l A r e a C r i t e r i o n ( E . A . C . ) i s s a t i s f i e d i n t h e s e g m e n t [ o , h n ] .I f s o , t h e s o l u t i o n o b t a i n e d i s o p t i m a l . O t h e r w i s e , we a d j u s t h , a n d

a p p l y t h e w h o l e p r o c e d u r e a g a i n . W h i l e a f l o w c h a r t f o r a c o m p u t e r -b a s e d a p p r o a c h c o u l d b e p r e s e n t e d f o r t h e p r o c e d u r e a t t h i s s t a g e ,we c h o o s e t o i l l u s t r a t e i t s a p p l i c a t i o n v i a t h e g r a p h i c a l a p p r o a c h o f

F i g . 9 a n d a g e n e r a l t h r e e - c a p a c i t o r p r o b l e m .

I l l u s t r a t i o n : I t i s d e s i r e d t o o p t i m a l l y p l a c e t h r e e c a p a c i t o r so f o p t i m u m s i z e s on t h e f e e d e r w h o s e r e a c t i v e l o a d p r o f i l e i s s h o w ni n F i g . 9 .S t e p 1 : S e l e c t h , ( i n i t i a l i z a t i o n )S t e p 2 : I n a c c o r d a n c e w i t h P r o c e d u r e A , d e t e r m i n e I c i s o t h a t t h e

c h o s e n h , i s o p t i m u m i n t h e s e n s e t h a t

I l = 2 a I F ( h 1 ) ( 1 9 )

S t e p 3 : I n a c c o r d a n c e w i t h P r o c e d u r e B , d e t e r m i n e h 2 s o t h a t t h e

p r e v i o u s l y c h o s e n h 1 a n d t h e o b t a i n e d I C i a r e o p t i m a l i nt h e s e n s e t h a t t h e E . A . C . i s s a t i s f i e d i n t h e f e e d e r s e g m e n t

[ h 2 , h l . T h i s i s d o n e a s f o l l o w s :( i ) D e t e r m i n e a p o i n t g 1 s u c h t h a t

I c lF ( g 1 ) = - " y I ( 2 0 )S

( i i ) Draw a c o n t o u r I t h r o u g h t h e p o i n t g 1 w h i c h i s p a r a l l e lt o t h e o r i g i n a l l o a d p r o f i l e .

( i i i ) L o c a t e a p o i n t h 2 s o t h a t a r e a A 1 = a r e a B 1 ( 2 1 )

S t e p 4 : A s i n S t e p 2 , d e t e r m i n e I C 2 w h i c h s a t i s f i e s

I c 2 = 2 { I s F ( h 2 ) - I c l } ( 2 2 )

S t e p 5 : A s i n S t e p 3 , d e t e r m i n e h 3 a s f o l l o w s :( i ) D e t e r m i n e a p o i n t g 2 s u c h t h a t

F ( g 2 ) = a I ( I c l + I c 2 ) ( 2 3 )s

( i i ) D r a w a c o n t o u r I I p a s s i n g t h r o u g h t h e p o i n t g 2 w h i c hi s p a r a l l e l t o t h e o r i g i n a l l o a d p r o f i l e

( i i i ) L o c a t e a p o i n t h 3 s o t h a t a r e a A 2 = a r e a B 2 ( 2 4 )

S t e p 6 : A s i n S t e p 2 o r S t e p 4 , d e t e r m i n e I c 3 w h i c h s a t i s f i e s

I c 3 = 2 { a I s F ( h 3 ) c l - c 2 ( 2 5 )

S t e p 7 : No f u r t h e r l o c a t i o n s n e e d t o b e d e t e r m i n e d . I n s t e a d , o p t i m a l i t yo f t h e p r e v i o u s l y o b t a i n e d s o l u t i o n h l , h 2 , h 3 , I c 1 , I C 2 , I C i st o b e c h e c k e d u s i n g t h e E q u a l A r e a C r i t e r i o n .( i ) D e t e r m i n e a p o i n t g 3 s u c h t h a t

3 = I ( I c l + 1 c 2 + 1 c 3 ) ( 2 6 )s

( i i ) D r a w a c o n t o u r I I I p a s s i n g t h r o u g h t h e p o i n t g 3 w h i c h

i s p a r a l l e l t o t h e o r i g i n a l l o a d p r o f i l e . Two f u r t h e r a r e a s

A 3 a n d B 3 a r e no w d e f i n e d .( i i i ) T h r e e p o s s i b i l i t i e s e x i s t . I f A 3 = B 3 ( o r i f t h e y d i f f e r

o n l y w i t h i n a s p e c i f i e d t o l e r a n c e ) t h e n t h e E . A . C . i sd e e m e d t o b e s a t i s f i e d t h r o u g h o u t t h e f e e d e r a n d t h u s

t h e l o c a t i o n s a n d s i z e s o bt a i n e d a bo v e a r e o p t i m a l .T h e p r o c e d u r e i s t h e n t e r m i n a t e d .

I f A 3 < B 3 , r e t u r n t o S t e p 1 . C h o o s e a ne w v a l u e o f h ,c o r r e s p o n d i n g t o a p o i n t s l i g h t l y n e a r e r t h e s u b s t a t i o na n d r e p e a t t h e r e m a i n i n g s t e p s o f t h e p r o c e d u r e .

I f A 3 > B 3 , r e t u r n t o S t e p 1 . C h o o s e a ne w v a l u e o f h 1c o r r e s p o n d i n g t o a p o i n t s l i g h t l y n e a r e r t h e e n d o f t h ef e e d e r a n d r e p e a t t h e r e m a i n i n g s t e p s o f t h e p r o c e d u r e .

R e m a r k : D u r i n g t h e p r o c ed u r e , i f i t s h o u l d h a p p e n t h a t i t i s n o tp o s s i b l e t o l o c a t e p o i n t s g i o r h i i n s o m e s t e p , t h i s m e a n s t h a t t h ei n i t i a l l y c h o s e n h , i s t o o c l o s e t o t h e s u b s t a t i o n . I n t h i s e v e n t a new

h i s h o u l d b e c h o s e n f u r t h e r f r o m t h e s u b s t a t i o n .R e m a r k : B e c a u s e o f t h e d i s c o n t i n uo u s n a t u r e o f t h e f u n c t i o n

F ( x ) f o r a f e e d e r h a v i n g d i s c r e t e l o a d p o i n t s ( e . g . F i g . 3 ) , we w i l l e n -c o u n t e r t h e p r o b l e m t h a t d e r i v a t i v e s o f t h e f u n c t i o n S w i t h r e s p e c tt o l o c a t i o n h i may n o t e x i s t ( i n f a c t , i t s s u b g r a d i e n t i s n o t u n i q u e ) .T h e r e f o r e , i n t h e m a t h e m a t i c a l a n a l y s e s u n d e r l y i n g o u r p r o c e d u r e ss u b g r a d i e n t s r a t h e r t h a n g r a d i e n t s s h o u l d b e u s e d . I n t h i s r e g a r d , f o ri n s t a n c e , i n S t e p 2 o r S t e p 4 i n P r o c e d u r e C , i f h i c o i n c i d e s w i t h af e e d p o i n t , t h e v a l u e o f F ( h i ) i s n o t u n i q ue l y d e te r mi n e d. F r o m t h ea p p l i c a t i o n v i e w p o i n t t h i s i s n o t a h i n d r a n c e b u t r a t h e r a n a d v a n t a g et o s o l u t i o n . F o r e x a m p l e , r e f e r r i n g t o F i g . 1 1 , a n y p o i n t o n t h e s e g -m e n t o f t h e s t a i r c a s e f u n c t i o n F ( x ) a t l o c a t i o n h 1 c a n b e u s e d f o r

F ( x )

1 . 0

F i g . 9 . I l l u s t r a t i o n o f P r o c e d u r e C t o t h e P r o b l e m o f D e t e r m i n i n gO p t i m u m L o c a t i o n s a n d S i z e s o f T h r e e C a p a c i t o r s .

! ( y )

1,,9 9 ~ ~ ~ ~ ~ ' ( ) = ~

0 \ X0s's

X ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ X X . Xh 3 h 2 h 1

F i g . 1 0 . A p p l i c a t i o n o f P r o c ed u r e C t o a U n i f o r m F e e d e r H a v i n g aU n i f o r m l y D i s t r i b u t e d L o a d .

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F ( h 1 ) . T h i s a d d i t i o n a l f l e x i b i l i t y o f f e r e d i n t h e c a s e o f d i s c r e t e l o a d s( S t e p s 2 , 4 a n d 6 i n o u r c a s e ) w i l l b e e x p l o i t e d f o r c o m p u t e r - b a s e d

s o l u t i o n a p p r o a c h e s t o b e r e p o r t e d l a t e r . A t a n y r a t e , t h i s f l e x i b i l i t yw i l l b e r e s t r i c t e d b y t h e n e e d t o s a t i s f y t h e E q u a l A r e a C r i t e r i o n o v e r

t h e e n t i r e f e e d e r .L e t u s e x e m p l i f y t h e s i m p l i c i t y o f a p p l i c a t i o n o f P r o c e d u r e C t o

t h e u n i f o r m l y d i s t r i b u t e d l o a d p r o f i l e w h i c h i s c o n s i d e r e d i n s o many

o f t h e r e f e r e n c e s .

E x a m p l e 3 : F i g . 1 0 r e p r e s e n t s a u n i f o r m l y d i s t r i b u t e d l o a d on au n i f o r m f e e d e r . F o r t h e i l l u s t r a t i o n , F i g . 1 0 s h o w s o n l y t h r e e c a p a c i t o rb a n k s , i . e . n = 3 .

S o l u t i o n : O w i n g t o t h e s i m p l i c i t y o f t h e l o a d p r o f i l e i n F i g . 1 0 ,a n a n a l y t i c s o l u t i o n p r o c e d u r e f o r t h e c a s e o f n c a p a c i t o r s i s r e a d i l ya v a i l a b l e . F r o m t h e E q u a l A r e a C r i t e r i o n ( A =B = A 2 = B 2 = . . = A n = B n )i t m u s t f o l l o w t h a t a l l c a p a c i t o r s b a n k s a r e e q u a l i n s i z e i . e . I C c = I C =

c nI c n A l s o , i t i s e a s i l y s e e n t h a t

( 2 n + l ) b = 1 ( N o r m a l i z e d F ee de r Length) ( 2 7 )

a n d1 c i (8( n - y - a I = 1 ( N o r m a l i z e d Total C a p a c i t a n c e ) ( 2 8 )

s

w h e r e b i s d e f i n e d i n F i g . 1 0 a n d a l l o t h e r s y m b o l s a r e a s p r e v i o u s l yd e f i n e d .

I t i m m e d i a t e l y f o l l o w s t h a t

2 ( n + l - i )h i 2 n + ( 2 9 )

a n d2 a I

ci 2 n + lf o r i = l , 2 , .. . , n .

T h e f o u n d a t i o n o n w h i c h t h e s o - c a l l e d " T w o - T h i r d s R u l e " i sb a s e d c a n no w b e r e a d i l y i d e n t i f i e d f r o m ( 2 9 ) a n d ( 3 0 ) . M o r e o v e r , t h er o l e o f t h e E q u a l A r e a C r i t e r i o n i n y i e l d i n g t h e more g e n e r a l e q u a t i o n s

' i n a v e r y s i m p l e m a n n e r i s n o t e w o r t h y .T h e l a s t R e m a r k a b o v e i s m o r e f u l l y a p p r e c i a t e d b y a p p l y i n g

P r o c e d u r e C t o a p r a c t i c a l e x a m p l e .E x a m p l e 4 : D e t e r m i n e t h e o p t i m u m l o c a t i o n s a n d s i z e s f o r t h r e e

c a p a c i t o r b a n k s w h i c h m a x i m i z e s a v i n g s o n t h e n o n - u n i f o r m f e e d e r o f

E x a m p l e1

w h e n K c = Oa n d a l l o t h e r

p a r a m e t e r v a l u e sa r e

u n c h a n g e d .S o l u t i o n : S p a c e l i m i t a t i o n s d o no w a l l o w u s t o s e t f o r t h t h es t e p s o f P r o c e d u r e C f o r s o l u t i o n o f t h i s p r o b l e m . H o w e v e r , i n F i g . 1 1

1 1 1 1

i s r e p r e s e n t e d t h e r e a c t i v e c u r r e n t p r o f i l e a l o n g t h e n o r m a l i z e d e q u i v a -l e n t u n i f o r m f e e d e r b e f o r e a n d a f t e r t h e c a p a c i t o r s a r e i n s t a l l e d . T h eo p t i m a l s o l u t i o n f o r t h i s e x a m p l e i s : h j n 1 6 . 2 7 m i l e s ; h ' E 6 . 3 2m i l e s ; h- 4 . 0 2 m i l e s ; I * G n 2 1 2 k v a r ; I * c 2 5 7 1 k v a r ; I * c 3 n 1 5 7 8k v a r . I t s h o u l d b e n o t ed t h a t f ( h ? ) # 0 . 0 4 7 8 b u t i s c h o s e n t o s a t i s f yt h e E q u a l A r e a C r i t e r i o n . A n o t h e r f e a t u r e o f t h i s o p t i m a l s o l u t i o n i st h a t t h e r e a c t i v e f e e d e r c u r r e n t i s z e r o b e t w e e n h 1 a n d h 1 w h i c h m e a n st h a t A 2 =B2 = 0 -

ECONOMIC ANALYSIS OF CAPACITOR INSTALLATION

Any d i s c u s s i o n o n t h e u s e o f c a p a c i t o r s s h o u l d i n v o l v e s o m ec o n s i d e r a t i o n o f t h e e c o n o m i c t r a d e - o f f s a s s o c i a t e d w i t h t h e i r i n -s t a l l a t i o n . I t i s o b v i o u s t h a t t h e h i g h e r t h e i n s t a l l e d c o s t o f c a p a c i t o r

b a n k s t h e f e s s s i g n i f i c a n t a r e t h e e c o n o m i c b e n e f i t s o f t h e r e s u l t a n tp o w e r a n d e n e r g y l o s s r e d u c t i o n s . To a c c o u n t f o r t h e , c o s t o f c a p a c i t o ri n s t a l l a t i o n , K c i n ( 7 ) i s n o l o n g er c o n s i de r ed t o b e z e r o . A s a c o n -s e q u e n c e o f u s i n g n o n - z e r o K c , m o s t i n t e r e s t i n g r e s u l t s a r e f o u n dw h i c h c o u l d i m p a c t t h e r e s u l t s o f t h e a b o v e p r o c e d u r e s i n a s i g n i f i -c a n t m a n n e r . F o r e x a m p l e , i t w i l l b e s h o w n t h a t t h e much u s e d r u l e -o f - t h u m b r e f e r r e d t o a s " T h e T w o - T h i r d s R u l e " , n o l o n g er h o l d s e v e n

f o r t h e i d e a l i z e d c a s e o f u n i f o r m l y d i s t r i b u t e d l o a d o n a u n i f o r m

f e e d e r .G e n e r a l i z e d P r o c e d u r e B : Optimum C a p a c i t o r S i z e s

I t i s s h o w n i n t h e APPENDIX t h a t , f o r g i v e n l o c a t i o n s h i ( i = l ,2 , . . . , n ) a n d K c > 0 , t h e o p t i m u m c a p a c i t o r b a n k s i z e s I * ( i = 1 2 , . . . , n - 1 )a r e t h e s a m e a s p r e v i o u s l y o b t a i n e d v i a P r o c e d u r e B . H o w e v e r , t h e

e q u a t i o n f o r I * , t h e o p t i m u m s i z e o f t h e c a p a c i t o r t o b e l o c a t e dc l o s e s t t o t h e s u b s t a t i o n , i s a l t e r e d i n a c c o r d a n c e w i t h

I * = c I s L F ( g ) - F ( g ) - 8 ]cn sn n-l

w h e r eK

A cCS 2 r h ( K +K T L ) I

n p e f s

( 3 1 )

( 3 2 )

A c c o r d i n g l y , t o a c c o u n t f o r i n s t a l l e d c o s t o f c a p a c i t o r s , i t i s n e c e s s a r yt o m o d i f y o n l y t h e l a s t s t e p o f P r o c e d u r e B . W i t h o u t a n y l o s s o f g e n -

e r a l i t y , we i l l u s t r a t e t h i s m o d i f i c a t i o n u s i n g t h e t h r e e - c a p a c i t o r p r o b l e mp r e v i o u s l y c o n s i d e r e d . A s f a r a s I c , a n d I c z a r e c o n c e r n e d t h e r e i s n oc h a n g e i n p r o c e d u r e ; S t e p 2 t o 4 o f P r o c e d u r e B a r e u n a l t e r e d . S t e p 5i s a l t e r e d t o r e a d a s f o l l o w s :S t e p 5 : D e t e r m i n e a p o i n t g 3 o n t h e f e e d e r s u c h t h a t

h3F ( g 3 ) = f F ( x ) d x ,

T h e n , t h e o p t i m a l v a l u e o f t h e t h i r d c a p a c i t o r i s

( 3 3 )

I c 3 = a I [ F ( g 3 ) F ( g 2 )9]

w h e r eK

2 r h 3 (K+K T L f ) I s

I .

h 1 ,

F i g . 11. G r a p h i c a l R e p r e s e n t a t i o n of R e s u l t s from P r o c e d u r e C t o

E x a m p l e 4 . Th e D o t t e d P r o f i l e R e p r e s e n t s t h e F e e d e r R e -

a c t i v e C u r r e n t a f t e r t h e C a p a c i t o r s ar e I n s t a l l e d .

( 3 5 )

T h e g r a p h i c a l i n t e r p r e t a t i o n o f G e n er a l i z ed P r o c e d u r e B i sr e a d i l y seen i n F i g . 1 2 .

The E q u a l A r e a C r i t e r i o n

I t s h o u l d b e a p p r e c i a t e d t h a t t h e E q u a l A r e a C r i t e r i o n i s a p p l i c a -b l e t h r o u g h o u t t h e n o r m a l i z e d e q u i v a l e n t u n i f o r m f e e d e r so t h a t

A 1 = B 1 , A 2 = B 2 , . . . , A n = B n . H o w e v e r , t h e m o d i f i c a t i o n r e q u i r e d t o

a c c o u n t f o r A > 0 i s g r a p h i c a l l y e v i d e n t f r o m F i g . 1 2 . The n e t r e s u l t

i s t h a t i n a p p l y i n g G e n e r a l i z e d P r o c e d u r e B , t h e E q u a l Area C r i t e r i o n

LI ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

l I I ________

L.J

h 3

( 3 4 )

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1 1 1 2

F i g . 1 2 . I l l u s t r a t i o n o f E q u a l A r e a C r i t e r i o n t o T h r e e - C a p a c i t o rP r o b l e m o f F i g . 6 i n t h e P r e s e n c e o f C a p a c i t o r C o s t s . N o t eA r e a s A 3 a n d B 3 D e f i n e d .

m u s t s t i l l b e s a t i s f i e d ; t h e m o d i f i c a t i o n r e q u i r e d t o a c c o u n t f o r c a p a c i -t o r c o s t a f f e c t s t h e v a l u e o f I c n f o u n d b y t h e E . A . C .

R e m a r k : I f F ( g 3 )- F ( g 2 ) -,<0 , t h e n t h e v a l u e o f 3 c z b e c o m e s

n e g a t i v e . I n t h i s e v e n t u a l i t y , t h e p r o p e r i n t e r p r e t a t i o n i s t h a t i t i s n o t

e c o n o m i c a l t o p l a c e t h e t h i r d c a p a c i t o r a t l o c a t i o n h 3 . T h i s f a c t w i l l b e

e x p l o i t e d b e l o w t o s i m u l t a n e o u s l y d e t e r m i n e b o t h o p t i m u m l o c a t i o na n d s i z e o f e a c h c a p a c i t o r . I n a d d i t i o n , i t i s n o t e d t h a t t h e p r e s e n c e o f

c a p a c i t o r c o s t s d o e s n o t a l t e r P r o c e d u r e A .

E x a m p l e 5 : D e t e r m i n e t h e o p t i m u m s i z e s o f t h e t h r e e c a p a c i t o r st o b e ' i n s t a l l e d on t h e 2 3 kV f e e d e r o f E x a m p l e 2 . U s e G e n e r a l i z e dP r o c e d u r e B a n d a v a l u e o f Kc c o r r e s p o n d i n g t o $ 3 . 5 0 p e r t h r e 7 e -p h a s e k v a r ; a s s u m e a 1 4 . 3 % a n n u a l f i x e d c h a r g e r a t e f o r K c

S o l u t i o n : From ( 3 5 ) we c a l c u l a t e , B = 0 . 0 9 7 2 . A c c o r d i n g l y , t h e

r a t i n g o f t h e t h i r d o p t i m a l c a p a c i t o r f o u n d i n E x a m p l e 2 i s a l t e r e d t o

t h e v a l u e c o r r e s p o n d i n g t o I c 3 = 0 . 6 0 7 0 - 0 . 0 9 7 2 = 0 . 5 0 9 8 i . e . I c 3 =c r 1 s ( 0 . 5 0 9 8 ) 1 - 5 2 0 k v a r . T h e s i z e s o f t h e f i r s t a n d ' s e c o n d c a p a c i t o r sa r e u n a l t e r e d .

E f f e c t o f C a p a c i t o r C o s t o n O p t i m u m L o c a t i o n s a n d S i z e s o f C a p a c i t o r

B a n k s

I t i s n o t e d a b o v e t h a t t h e E q u a l A r e a C r i t e r i o n r e m a i n s v a l i d f o rKc > 0 . C o n s e q u e n t l y , i t f o l l o w s t h a t G e n e r a l i z e d P r o c e d u r e B c o n -

j o i n e d w i t h P r o c e d u r e A l e a d s t o a m o r e g e n e r a l i z e d v e r s i o n o f P r o -c e d u r e C . We a r e , t h e r e f o r e , no w i n a p o s i t i o n t o d e s c r i b e a p r o c e d u r e

f o r d e t e r m i n i n g t h e o p t i m u m l o c a t i o n a n d s i z e o f e a c h c a p a c i t o r w h e nt h e c o s t o f c a p a c i t o r s i s i n c l u d e d .

G e n e r a l i z e d P r o c e d u r e C : Optimum L o c a t i o n s a n d S i z e s

T h e o n l y c h a n g e s t o b e m a d e i n P r o c e d u r e C f o r Kc > 0 i n v o l v ei t e m s ( i ) a n d ( i i ) o f t h e l a s t s t e p ' . A c c o r d i n g l y , f o r t h e t h r e e - c a p a c i t o ri l l u s t r a t i o n , S t e p 7 o f P r o c e d u r e C s h o u l d b e ' a l t e r e d a s f o l l o w s :S t e p 7 : I n a p p l y i n g t h e E . A . C . t h e e f f e c t o f c a p a c i t o r c o s t i s t a k e n

i n t o a c c o u n t a s f o l l o w s :( i ) D e t e r m i n e a p o i n t g 3 s u c h t h a t

( i i ) Draw a c o n t o u r I I I p a s s i n g t h r o u g h t h e p o i n t g 3 w h i c h

i s p a r a l l e l t o t h e o r i g i n a l l o a d p r o f i l e . Two f u r t h e ra r e a s o f A 3 a n d B 3 a r e now d e f i n e d .

( i i i ) S a m e a s b e f o r e .

R e m a r k : A s w e m e n t i o n e d i m m e d i a t e l y f o l l o w i n g P r o c e d u r e C ,

i t m i g h t b e i m p o s s i b l e t o l o c a t e p o i n t s g i a n d h i i n t h e a p p l i c a t i o n o f

s o m e s t e p . M o r e o v e r , t h e r e ma y b e a c a s e t h a t , w h a t e v e r t h e i n i t i a l l yc h o s e n h i i s , i t i s n o t p o s s i b l e t o d e t e r m i n e g n ( g 3 i n o u r i l l u s t r a t i o n ) .T h i s c o r r e s p o n d s t o t h e s i t u a t i o n t h a t i t i s n o t e c o n o m i c a l t o p l a c ec a p a c i t o r s a t a l l . ' We w i l l t r e a t t h i s c a s e i n t h e n e x t s e c t i o n .

We now d e m o n s t r a t e t h e a p p l i c a t i o n o f G e n e r a l i z e d P r o c e d u r e C

t o t w o e x a m p l e s .

1 ( x )1 . 0X.

N~~~~~~~~~~~

N~~~~~~~~~~~~

N 0

F i g . 1 3 . A p p l i c a t i o n o f G e n e r a l i z e d P r o c e d u r e C t o a U n i f o r m F e e d e rH ~ a v i n g a U n i f o r m n l y D i s t r i b u t e d L o a d . N o t e t h e P r e s e n c e , o fC a p a ' c i t o ' r C o s t s A l t e r s - B o t h O p t i m u m S i z e s a n d L o c a t i o n s

( C o m p a r e w i t h F i g . I O ) ,

E x a m p l e 6 : A g a i n , c o n s i d e r t h e c l a s s i c a l c a s e o f u n i f o r m l y d i s -t r i b u t e d l o a d on a u n i f o r m n f e e d e r . W V e a r e ' r e q u i r e d t o p l a c e n c a p a c i t o r st o m a x i m i z e n e t s a v i n g s . F i g . ' 1 3 s h o w s - - t h e g r a p h i c a l i n t e r p r e t a t i o nf o r n = 3 .

' S o l u t i o n : I n t h i s c a s e t h r e e v a r i a b l e s a , b , l c i m u s t b e d e t e r m i n e d .I t f o l l o w s f r o m t h e E q u a l A r e a C r i t e r i o n t h a t J G l ' = = l G 2 = . . . = I c n - U s i n - gt h e c o n s t r u c t i o n o f F i g . 1 3 a s g u i d e , we h a v e t h e f o l l o w i n g t l h r e e e q , u a -t i o n s i n a , b , l c i : -

~~~~~~~

( 2 n + 1 ) b + 2 a = 1

' V

2 n + 1 ci +2 K c2 o T I 2 ( a + b ) I -

s s

K / 2 ( a + b )a

ct / 2 o t )\ . L . c

w h e r e

( n o r m a l i z e d l e n g t h )( 3 8 )

( n o r m a l i z e d c u r r e n t )I ( 3 9 )

( c o n s t r u c t i o n )( 4 0 )

' A K -c 2 r ( K +K TL )

pef( 4 1 )

F ( g 3 ) = I cc l c 2 + I c 3 s ' )s

w h e r e

K

a c

2 r h 3 ( K +K T L f ) I

( 3 6 )

( 3 7 )a n d

E q u a t i o n s ( 3 8 ) , ( 3 9 ) , ( 4 0 ) ca n b e s o l v e d f o r a , b , I c i t o y i e l d

I. - 2 0 . b I i = I , 2 , . . . , nC1 S

h i = 1 - ( 2 i - 1 ) b

( 4 2 )

( 4 3 )

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w h e r e b i s t h e s m a l l e r o f t h e t w o s o l u t i o n s o f t h e q u a d r a t i c e q u a t i o n

I [ ( 2 n - l ) b - l ] [ ( 2 n + l ) b - l ] - 2 K = 0 ( 4 4 )S C

I t i s r e a d i l y s e e n t h a t f o r Kc = 0 we h a v e t h e s a m e s o l u t i o n a s i n E x -

a m p l e 3 . . I t i s n o t e d , h o w e v e r , t h a t w i t h t h e i n c l u s i o n o f c a p a c i t o rc o s t , t h e " T w o - T h i r d s R u l e " a n d i t s g e n e r a l i z a t i o n a s r e f l e c t e d i nt h e r e f e r e n c e s , m u s t b e m o d i f i e d .

E x a m p l e 7 : D e t e r m i n e t h e o p t i m u m l o c a t i o n s a n d s i z e s o f t h e

t h r e e c a p a c i t o r b a n k s r eq u i r ed t o m a x i m i z e t h e n e t s a v i n g s o n t h e

2 3 kV f e e d e r o f E x a m p l e 4 ; u s e G e n e r a l i z e d P r o c e d u r e C a n d t h e d a t a

o f E x a m p l e 5 .S o l u t i o n : F r o m E x a m p l e 5 , / 3 = 0 . 0 9 7 2 . A p p l y i n g G e n e r a l i z e d

P r o c e d u r e C y i e l d s a s o l u t i o n w h i c h d i f f e r s f r o m t h a t o f E x a m p l e 4

i n t h e v a l u e o b t a i n e d f o r t h e t h i r d c a p a c i t o r o n l y . . H e r e I c 3 - - 1 2 8 8k v a r . I n g e n e r a l , when A ( o r K c ) # 0 , a l l t h e c a pa c i t o r s i z e s a n d l o c a -t i o n s o b t a i n e d v i a P r o c e d u r e C c a n b e a f f e c t e d ( s e e E x a m p l e 6 ) .

A CRITERION FOR ECONOMIC ANALYSIS

I n t h i s s e c t i o n we o f f e r a c r i t e r i o n f o r e c o n o m i c a n a l y s i s o f

c a p a c i t o r i n s t a l l a t i o n . T h i s c r i t e r i o n p r o v i d e s i n s i g h t i n t o t h e f o l l o w -

i n g a r e a s :( i ) How s i g n i f i c a n t i s K c , c a p a c i t o r c o s t , i n a c h i e v i n g e c o n o m i c

b e n e f i t s ?( i i ) I s i t s u f f i c i e n t t o s i m p l y c o m p a r e Kc w i t h Kp a n d Ke - t h e

a n n u a l c o s t o f p o w e r a n d e n e r g y l o s s - t o j u s t i f y u s e o f

c a p a c i t o r s ?( i i i ) D o e s I s , t h e maximum r e a c t i v e c u r r e n t o n t h e f e e d e r , a f f e c t

t h e e c o n o m i c t r a d e - o f f c o n s i d e r a t i o n s ? D e p e n d i n g u p o n t h ea n s w e r , i t ma y n o t b e e c o n o m i c a l t o i n s t a l l c a p a c i t o r s o n c e r -t a i n f e e d e r s .

( i v ) How s i g n i f i c a n t l y d o e s r e a c t i v e l o a d - c y c l e a n d r e a c t i v e l o a d

d i s t r i b u t i o n a f f e c t e c o n o m i c t r a d e - o f f s ?( v ) Do t h e w i r e s i z e s e f f e c t t h e t r a d e - o f f c o n s i d e r a t i o n s ? A s i n

( i i i ) c e r t a i n f e e d e r s ma y n o t e c o n o m i c a l l y b e n e f i t f r o m

c a p a c i t o r p l a c e m e n t .We no w p r o v i d e a ne w c r i t e r i o n w h i c h o f f e r s a m e a n s o f a n s w e r i n g

t h e a b o v e q u e s t i o n s .

C r i t e r i o n A :

I f Kc > 2 ( K p + K e T L f ) R I s f J F ( x ) d x w h e r e R i s t h e t o t a l f e e d e rr e s i s t a n c e , t h e n i t i s e c o n o m i c a l l y p r e f e r a b l e n o t t o a t t e m p t t o u s e

c a p a c i t o r s . [ N o t e t h a t f F ( x ) d x i s t h e a r e a b e n e a t h t h e n o r m a l i z e d

r e a c t i v e c u r r e n t p r o f i l e ( s e e F i g . 3 ) ] .A j u s t i f i c a t i o n f o r t h i s c r i t e r i o n i s p r e s e n t e d i n t h e APPENDIX.

T h e r e m a r k a b l e s i m p l i c i t y o f t h i s c r i t e r i o n a l l o w s t h e d i s t r i b u t i o ns y s t e m d e . s i g n e r t o e x a m i n e t h e i n f l u e n c e o f e a c h o f t h e p a r a m e t e r s

c o r r e s p o n d i n g t o t h e l i s t e d q u e s t i o n s , t h i s c a n b e d o n e i n a g g r e g a t e

o r on a n i n d i v i d u a l b a s i s . I t i s i m m e d i a t e l y a p p a r e n t t h a t t h e c r i t i c a l

c a p a c i t o r c o s t , b e y o n d w h i c h i t i s o f n o e c o n o m i c v a l u e t o a d d c a p a c i -t o r s , i s d i r e c t l y p r o p o r t i o n a l t o t h e t o t a l r e s i s t a n c e o f t h e f e e d e r a n d

t h e a c c u m u l a t e d f e e d e r r e a c t i v e c u r r e n t ( i . e . , I s f I F ( x ) d x ) .

E x a m p l e 8 :

U s i n g t he d a t a o f E x a m p l e s I a n d 5 a p p l y C r i t e r i o n A t o t h es u b j e c t 2 3 kV f e e d e r .

S o l u t i o n :

We must f i r s t e x a m i n e t h e q u e s t i o n :

I s K c > 2 ( K p + K e T L f ) R I s f F ( x ) d x ?

T h i s i s n u m e r i c a l l y a n s w e r e d b y :I s 0 * 5 > 8 * 2 ?

1 1 1 3

T h e c o n c l u s i o n h e r e i s t h a t f o r t h e p h y s i c a l f e e d e r i n v o l v e d , f o r t h e

r e a c t i v e l o a d s a n d t h e i r d i s t r i b u t i o n s i n d i c a t e d i n T a b l e 1 a n d t h e

e c o n o m i c p a r a m e t e r s s p e c i f i e d , t h e s a v i n g s w h i c h r e s u l t f r o m a p p l i c a -t i o n o f c a p a c i t o r s a r e s i g n i f i c a n t l y g r e a t e r t h a n t h e c o s t s o f a p p l i c a t i o n ;c o n s e q u e n t l y a n d u n e q u i v o c a l l y , c a p a c i t o r s s h o u l d b e u s e d !

CONCLUSIONS

T h i s p a p e r h a s e x t e n d e d , g e n e r a l i z e d , c o r r e c t e d , a n d c o n f i r m e dr e s u l t s r e p o r t e d i n p r e v i o u s l i t e r a t u r e . I n s p i t e o f t h e m o s t g e n e r a l i z e dp r o b l e m s p e c i f i c a t i o n s e m p l o y e d t h r o u g h o u t t h e p a p e r e . g . , n o r e -s t r i c t i o n on t h e r e a c t i v e - l o a d d i s t r i b u t i o n a l o n g t h e f ee de r w h o s e w i r e

s i z e i s n o t n e c e s s a r i l y u n i f o r m , t h e p r o c e d u r e s p r e s e n t e d h e r e f o rd e t e r m i n i n g o p t i m u m s i z e a n d / o r l o c a t i o n o f s h u n t c a p a c i t o r s a r er e m a r k a b l y s i m p l e t o i m p l e m e n t , a n d y e t t h e o r e t i c a l l y s o u n d . O w i n g

t o t h e g e n e r a l i t y o f t h e f o r m u l a e , i t a p p e a r s p r o m i s i n g t o e x t e n d o u r

r e s u l t s t o d e a l w i t h f e e d e r s h a v i n g l a t e r a l b r a n c h e s a n d a l s o t o a c c o u n t

f o r t h e e f f e c t o f s w i t c h i n g t i m e o f s w i t c h ed s h u n t c a p a c i t o r s . A l t h o u g ht h i s p a p e r r e p o r t s o n l y t h e e c o n o m i c b e n e f i t s f r o m c a p a c i t o r a p p l i c a -t i o n v i a r e d u c t i o n o f l o s s e s , r e s e a r c h i s u n d e r wa y t o i n c o r p o r a t e f e e d e r

v o l t a g e c o n t r o l p r o b l e m s a s w e l l , i n o r d e r t o f u l l y a c c o u n t f o r t h e

e f f e c t s o f a p p l i c a t i o n o f s h u n t c a p a c i t o r s .

NOMENCLATURE

x : d i s t a n c e m e a s u r e d a l o n g t h e n o r m a l i z e d e q u i v a l e n tu n i f o r m f e e d e r f r o m t h e s u bs t a t i o n

r : r e s i s t a n c e i n o h m s p e r u n i t l e n g t h o f t h e n o r m a l i z e d

e q u i v a l e n t f e e d e r

I ( x ) :

h i :

c i 1T :

L f :

L P :L E :

K p :

K e :K c :S :

r e a c t i v e - l o a d c u r r e n t d e n s i t y a t x o n t h e e q u i v a l e n tf e e d e r

p e a k r e a c t i v e - l o a d c u r r e n t i n j e c t e d i n t o t h e f e e d e r a tt h e s u b s t a t i o n

t i m e - v a r y i n g , r e a c t i v e - l o a d c u r r e n t i n j e c t e d i n t o t h e

f e e d e r a t t h e s u b s t a t i o nn o r m a l i z e d r e a c t i v e - l o a d c u r r e n t d e n s i t y a t x on t h e

e q u i v a l e n t f e e d e r

n o r m a l i z e d f e e d e r r e a c t i v e c u r r e n t a t x o n t h e e q u i v a -l e n t f e e d e r

l o c a t i o n o f t h e i t h c a p a c i t o r b a n k

p e r u n i t r e a c t i v e c u r r e n t o f t h e i t h c a p a c i t o r b a n k

d u r a t i o n o f a l o a d c y c l e

r e a c t i v e l o a d f a c t o r

p e a k p o w e r l o s s r e d u c t i o n

e n e r g y l o s s r e d u c t i o n

a n n u a l c o s t p e r u n i t o f p o w e r l o s s i n $ / k W

p e r u n i t e n e r g y p r o d u c t i o n c o s t i n $ / k W ha n n u a l c o s t p e r u n i t o f i n s t a l l e d c a p a c i t o r i n $ / k V A R

n e t s a v i n g s r e s u l t i n g f r o m b o t h p e a k p o w e r a n d e n e r g y

l o s s r e d u c t i o n s

l a v g ( h i + , s h i ) : m e a n v a l u e o f t h e - f e e ' d e r r e a c t i v e c u r r e n t i n t h e n o r m a l -i z e d e q u i v a l e n t f e e d e r s e g m e n t [ h i + 1 , h i l

ACKNOWLEDGEMENT

T h i s r e s e a r c h w a s s u p p o r t e d i n p a r t b y t h e C a r o l i n a P o w e r a n d

L i g h t C o m p a n y , a n d t h e N o r t h C a r o l i n a E n e r g y I n s t i t u t e . T h e a u t h o r s

a c k n o w l e d g e t h e a s s i s t a n c e o f M r . D . L . A l l e n , N o r t h C a r o l i n a S t a t eU n i v e r s i t y , i n t h e p r e p a r a t i o n o f t h i s p a p e r a n d t h e n u m e r i c a l e x a m p l e st h r o u g h o u t .

I s :

7/27/2019 04110705


1 1 1 4

REFERENCES

[ 1 ] N . M . N e a g l e a n d D. R . S a m s o n , " L o s s r e d u c t i o n f r o m c a p a c i t o r si n s t a l l e d o n p r i m a r y f e e d e r s , " AIEE T r a n s a c t i o n s , v o l . 7 5 ,p a r t I I I , p p . 9 5 0 - 9 5 9 , 1 9 5 6 .

[ 2 ] R . F . C o o k , " A n a l y s i s o f c a p a c i t o r s a p p l i c a t i o n a s a f f e c t e d b yl o a d c y c l e , " AIEE T r a n s a c t i o n s , v o l . 7 8 , p a r t I I I A , p p . 9 5 0 - 9 5 7 ,1 9 5 9 .

[ 3 1 M . M a x w e l l , " T h e e c o n o m i c a p p l i c a t i o n o f c a p a c i t o r s t o d i s -t r i b u t i o n f e e d e r s , " AJEE T r a n s a c t i o n s , v o l . 7 9 , p p . 3 5 3 - 3 5 9 ,1 9 6 0 .

[ 4 ] R . F . C o o k , " O p t i m i z i n g t h e a p p l i c a t i o n o f s hu n t c a p a c i t o r sf o r r e a c t i v e - v o l t - a m p e r e c o n t r o l a n d l o s s r e d u c t i o n , " AIEET r a n s a c t i o n s , v o l . 8 0 , p p . 4 3 0 4 4 4 , A u g u s t 1 9 6 1 .

[ 5 ] R . F . C o o k , " C a l c u l a t i n g l o s s r e d u c t i o n a f f 6 r d e d b y s h u n tc a p a c i t o r a p p l i c a t i o n , " IEEE T r a n s a c t i o n s o n P o w e r A p p a r a t u sa n d S y s t e m s , v o l . 8 3 , p p . 1 2 2 7 - 1 2 3 0 , 1 9 6 4 .

[ 6 ] J . V . S c h m i l l , " O p t i m u m s i z e a n d l o c a t i o n o f s h u n t c a p a c i t o r so n d i s t r i b u t i o n f e e d e r s , " I E E E T r a n s . P o w e r A p p a r a t u s a n dS y s t e m s , v o l . 8 4 , p p . 8 2 5 - 8 3 2 , S e p t e m b e r 1 9 6 5 .

[ 7 ] H . D u r a n , " O p t i m u m n u m b e r , l o c a t i o n , a n d s i z e o f s h u n t c a p a c i -t o r s i n r a d i a l d i s t r i b u t i o n f e e d e r s - a d y n a mi c p r o g r a mm i n ga p p r o a c h . " IEEE T r a n s . P o w e r A p p a r a t u s a n d S y s t e m s , v o l . 8 7 ,p p . 1 7 6 9 - 1 7 7 4 , S e p t e m b e r 1 9 6 8 .

[ 8 ] N . E . C h a n g , " D e t e r m i n a t i o n o f p r i m a r y - f e e d e r l o s s e s , " I E E ET r a n s . P o w e r A p p a r a t u s a n d S y s t e m s , v o l . 8 7 , p p . 1 9 9 1 - 1 9 9 4 ,D e c e m b e r 1 9 6 8 .

[ 9 ] N . E . C h a n g , " L o c a t i n g s h u n t c a p a c i t o r s o n p r i m a r y f e e d e r f o r

v o l t a g e c o n t r o l a n d l o s s r e d u c t i o n , " IEEE T r a n s . P o w e r A p -p a r a t u s a n d S y s t e m s , v o l . 8 8 , p p . 1 5 7 4 - 1 5 7 7 , O c t o b e r 1 9 6 9 .

[ 1 0 ] N . E . C h a n g , " G e n e r a l i ze d e qu a t i o n s o n l o s s r e d u c t i o n w i t hs h u n t c a p a c i t o r , " IEEE T r a n s . P o w e r A p p a r a t u s a n d S y s t e m s ,v o l . 9 1 , p p . 2 1 8 9 - 2 1 9 5 , 1 9 7 2 .

[ 1 1 ] L . J . R a n k i n e , " M e t h o d o f l o c a t i n g s h u n t c a p a c i t o r s s u i t a b l ef o r c o m p u t e r s o l u t i o n , " E l e c t r i c a l W o r l d , S e p t . 2 6 , 1 9 6 0 , p p .7 2 - 7 3 .

[ 1 2 ] G . E . S h u f o r d a n d J . B r y a n , " U n i q u e c o m p u t e r o p t i m i z a t i o np r o g r a m o b s o l e t e s ' R u l e o f T h u m b ' d i s t r i b u t i o n s y s t e m i m p r o v e -m e n t m e t h o d s , " P r o c e e d i n g s o f t h e A m e r i c a n P o w e r C o n f e r e n c e ,A p r i l 1 9 7 7 .

APPENDIX

E a c h c a p a c i t o r i n s t a l l e do n t h e

f e e d e r c o n t r i b u t e st o t h e t o t a l

p o w e r l o s s r e d u c t i o n , L P , a n d t h e t o t a l e n e r g y l o s s r e d u c t i o n , L E . F r o mb o t h t h e c o m p u t a t i o n a l a n d a n a l y t i c a l v i e w p o i n t s i t i s d e s i r a b l e , i fp o s s i b l e , t o r e p r e s e n t L P a n d LE i n t e r m s w h i c h r e f l e c t t h e s e p a r a t ec o n t r i b u t i o n s w n a d e b y e a c h c a p a c i t o r . U n f o r t u n a t e l y , t h e c o n t r i b u t i o n so f e a c h c a p a c i t o r i n a m u l t i - c a p a c i t o r i n s t a l l a t i o n a r e n o t c o m p l e t e l ys e p a r a b l e a n d i n d e p e n d e n t . H o w e v e r , t h e t o t a l p o w e r a n d e n e r g y l o s sr e d u c t i o n s c a n b e s e p a r a t e l y d e a l t w i t h i n a l i m i t e d s e n s e a s no w s h o w n .

T h e f o l l o w i n g n o m e n c l a t u r e i s f i r s t i n t r o d u c e d :L P 1 , ( L E 1 ) : t h e p o w e r ( e n e r g y ) l o s s r e d u c t i o n e f f e c t e d b y c a p a c i t o r 1 .

L P 2 , ( L E 2 ) : t h e p o w e r ( e n e r g y ) l o s s r e d u c t i o n e f f e c t e d b y c a p a c i t o r 2

i n a d d i t i o n t o t h a t o f c a p a c i t o r 1 .

L P i , ( L E i ) : t h e p o w e r ( e n e r g y ) l o s s r e d u c t i o n e f f e c t e d b y c a p a c i t o r ii n a d d i t i o n t o t h a t o f c a p a c i t o r s 1 , 2 ,.i - 1 ) ( s e eF i g . 4 ) .

T h e n t h e t o t a l p o w e r l o s s r e d u c t i o n a n d t o t a l e n e r g y l o s s r e d u c t i o ni s g i v e n b y

w h e r e

nL P = . S L P

1 = 1 1

nLE = . Z E LE

i 1 -

L P . = 2 r I . f h i ( I Q F ( x ) -, I c ) d x - rh i

1 ci 0 a k= 1 ckX rhic

T o m i n i m i z e t h e n o t a t i o n a l c o m p l e x i t y , t h e t h r e e - p h a s e f e e d e r i s h a n -

d l e d o n a s i n g l e - p h a s e b a s i s . T h e t o t a l n e t s a v i n g s , S , i s d e f i n e d b y

nS = K L P + K LE-K I

p e c i = 1 c i( A 4 )

P r o o f o f T h e o r e m 1 : O p t i m a l L o c a t i o n s

We f i r s t o b s e r v e t h a t L P i a n d L E i a r e d e p e n d e n t u p o n h i b u t n o t

h j , k k i . From a n e c e s s a r y c o n d i t i o n , t h e o p t i m u m l o c a t i o n o f c a p a c i t o r

i , h i , m u s t s a t i s f y , f o r a l l i ,

a s a LP a L E_ ==K - + K = O .

h * P a h. e a h.h.=h. I ± I

1 h.=h.

However

a LP L P . Ia.h =2 r I 1 I ( F ( h . ) - c kh. h. ais k=

a n d

a I L E a L E . 1 I=-= 5 T [ 2 r I I ( L f F ( h ) - l ckI h . I h . ci 1

1 11

f r o m w h i c h i t f o l l o w s t h a t( K + K T ) I .

F ( h i ) = (KI + K TL ) 2 1p e f s

iI

k = l Is

( A 5 )

- r I 2 .Ci

( A 6 )

- r I 2 ]c i

( A 7 )

( A 8 )

I t i s i m m e d i a t e l y s e e n t h a t t h e n e c e s s a r y c o n d i t i o n i s a l s o s u f f i c i e n t ;t h i s f o l l o w s f r o m t h e c o n c a v i t y o f t h e f u n c t i o n s S w i t h r e s p e c t t o h .I n t h e c a s e o f d i s c r e t e f e e dp o i n t s t h e f u n c t i o n S i s p i e c e - w i s e l i n e a rc o n c a v e i n h . T h i s c o m p l e t e s t h e p r o o f .

J u s t i f i c a t i o n o f P r o c e d u r e B : O p t i m a l C a p a c i t o r S i z e s

P r o c e d u r e B h i n g e s o n t h e p r o p e r t y o f t h e f o l l o w i n g T h e o r e m 2A

a n d i t s

a c c o m p a n y i n gc h a r a c t e r i z a t i o n w h i c h i s s t a t e d a s T h e o r e m 2 B .

T h e o r e m 2 A :

I n o r d e r t o m a x i m i z e t h e t o t a l s a v i n g s S , t h e o p t i m a l c a p a c i t o rc u r r e n t s I A i , i = 1 , 2. n , o f n c a p a c i t o r s t o b e l o c a t e d a t known l o -c a t i o n s h I , h 2 , . . . , h n m u s t s a t i s f y t h e f o l l o w i n g s e t o f l i n e a r a l g e b r a i ce q u a t i o n s :

( A l )

( A 2 )=

a n d

TfII i - I - 2L E . [ 2 r 1 M I f i ( I ( t ) F ( x ) - - k 1 Ckx - r h I 1 ] d t1 - 0 c k-lIkic

h 1 h 2 *

h2 h 2 h 3

h . h .1 1

. . hn

. . .n

i i + l n

h h. . . . . . . .

n n

( K + K T L f )

( K + K T ) I ( 0 , h i )p e

( K + K , T L)p - ~ I ( 0 ! , h . ) -

( K + K e T ) 1

e L

( K p + e f ) I ( O , h ) -

( K + K T ) np e

hn

*I1 c 1*

I c 2

I .I c i

Icn

Kc

2 r ( K p + K e T )

Kc

2 r ( K + K e T )e

Kc

2 r ( K + K T )P e

( A 9 )

( A 3 ) w h e r e I ( O , h i ) = f h I s F ( x ) d x .

7/27/2019 04110705


P r o o f :

F r o m t h e n e c e s s a r y c o n d i t i o n i t i s r e q u i r e d f o r o p t i m a l c a p a c i t o rs i z e t h a t f o r a l l i ,

a s a LP 9 LE

c i P c i c i tI = I *ck ck

f o r a l l k

We f i r s t o b s e r v e t h a t , f o r a n y i , we h a v e t h e f o l l o w i n g :

ha L P i = 2 r f i I F ( x ) d x - 2 r h T Ia I. 0 S I i k z l c k

Ci

a L P ,= - ' - k =2 r ~ f o r k > i

I c i hkIck

L L P k = 0 f o r k .ic

I d

= 0 ( A I O )

1 1 1 5

P r o o f :

T h e r e c u r s i v e f o r m u l a o f ( A 1 8 ) c a n b e e q u i v a l e n t l y w r i t t e n a s :

ik ( h , + , h i ) fo r i = l , 2 , * * , n.k w e r ck =aeavg

where

( K + K T L f )a =

( K + K e T )p e

( A 2 0 )

( A 2 1 )

T h e r e f o r e , i t s u f f i c e s t o s h o w t h a t ( A 2 0 ) s a t i s f i e s t h e s e t o f e q u a t i o n s

( A 9 ) . F o r e a s e o f e x p l a n a t i o n , w i t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t y , we c o n s i d e r

( A l l ) t h e c a s e o f t h r e e c a p a c i t o r s ( n = 3 ) u s i n g g e o m e t r i c r e p r e s e n t a t i o n .( R e f e r t o F i g . 7 ) .

( A 1 2 ) I n i t i a l l y a v a i l a b l e i n F i g . 7 a re t h e o r i g i n a l r e a c t i v e l o a d p r o f i l ea n d l o c a t i o n s h l , h 2 , a n d h 3 . O u r c o n s t r u c t i v e p r o o f i s i n i t i a t e d b yl o c a t i n g t h e p o i n t g , s u c h t h a t

( A 1 3 )

S i m i l a r l y , i t i s s h o w n t h a t , f o r a n y i ,

aLE1 ~ h.

ja L E i = T [ 2 r L f f 0 I T F ( x ) d x - 2 r h i k l c k ] ( A l 4 )ci

a LEk= - 2 r h I Ta I . k ck

C i

a L E ka I

ci

f o r k > i

f o r k < i

S u b s t i t u t i n g f r o m ( A l 1 ) - ( A 1 3 ) a n d ( A 1 4 ) - ( A 1 6 ) i n ( A 1 0 ) w h i c h i snow w r i t t e n a s

a s =K n a L P I C K n L

a S = K kz K klaL - K c = ° A7I c i . p k = 1 ' a I c i e k = l 1 ' ~ T K=0i ( A 1 7 )

y i e l d s t h e d e s i r e d s e t o f l i n e a r e q u a t i o n s ( A 9 ) .

T o c o m p l e t et h e

j u s t i f i c a t i o n ,i t

s u f f i c e s t o s h o w t h a t t h e f u n c -t i o n S i s c o n c a v e i n I c i , i = 1 , 2 , . . . , n . T h i s c a n b e v e r i f i e d b y o b -

s e r v i n g t h a t t h e f o l l o w i n g H e s s i a n M a t r i x o f f u n c t i o n S

' h 1 h 2 . . . h n- 2 r ( K p + K e T ) 2 2 3 n

hn h n h n J

i s n e g a t i v e d e f i n i t e ; t h i s v e r i f i c a t i o n i s b y i n d u c t i o n u s i n g t h e f a c t t h a th i > h 2 > . . . > h n -

T h e s o l u t i o n t o ( A 9 ) c a n f u r t h e r n o r e b e c h a r a c t e r i z e d a s f o l l o w s .

T h e o r e m 2 B :

I f c o s t o f c a p a c i t o r s i s n e g l e c t e d , i . e . , K c 0 , t h e s o l u t i o n t o t h es e t o f e q u a t i o n s ( A 9 ) i s g i v e n b y t h e f o l l o w i n g r e c u r s i v e f o r m u l a :

I i - ( K + K e T L f ) I a v g (+l hICK +K T ) 1 + - ,

f o r i = , . . , n (A8

F ( g 1 ) = C = a v g ( h 2 ' h 1 )s

( A 2 2 )

No w a d o t t e d c o n t o u r I i s d r a w n s o t h a t i t p a s s e s t h r o u g h t h e p o i n t e d

g 1 a n d i s p a r a l l e l t o t h e o r i g i n a l l o a d p r o f i l e . I t f o l l o w s f r o m t h e p r o p -e r t y o f t h e p o i n t g , t h a t t h e a r e a b e n e a t h t h e l o a d p r o f i l e F ( x ) o v e r

t h e f e e d e r s e g m e n t [ h 2 , h l I i s e q u a l t o t h a t o f t h e p a r a l l e l o g r a m w h i c h

i s e n c l o s e d b y t w o p a r a l l e l c o n t o u r s , t h e o r i g i n a l l o a d p r o f i l e a n d C o n -t o u r I , a n d b y t w o p e r p e n d i c u l a r l i n e s o f l e n g t h C 1 a t l o c a t i o n s h 1 a n dh 2 o n t h e f e e d e r ( o n l y o n e p e r p e n d i c u l a r l i n e i s s h o w n i n t h e f i g u r e ) .T h i s f a c t y i e l d s

a r e a A 1 = a r e a B 1

S i m i l a r l y , p o i n t s g 2 a n d g 3 a r e r e s p e c t i v e l y l o c a t e d s u c h t h a t

F ( g 2 ) = C 1 + C = a I ( 3 h 2)

a n dI ( O = C )

F ( g ) =C + C = a v g _33 1 2 ~ 3 a T5

( A 2 3 )

( A 2 4 )

A s b e f o r e , c o n t o u r s I I a n d I I I a r e d r a w n s o t h a t t h e y p a s s t h r o u g hp o i n t s g 2 a n d g 3 , r e s p e c t i v e l y , a n d a r e p a r a l l e l t o t h e o r i g i n a l l o a d

p r o f i l e . S i m i l a r t o a b o v e r e a s o n i n g , we h a v e



No w l e t

I Ccd ; I =C a I I C a I. c i 1 s c 2 2 c t 1 c 3 3 S

( A 2 5 )

C l e a r l y t h e s e I c i ' s a r e t h o s e o f ( A 2 0 ) . H e n c e , t o c o m p l e t e t h e p r o o f i tn e e d s t o b e s h o w n t h a t t h e s e I c i ' s s a t i s f y t h e s e t o f e q u a t i o n s ( A 9 ) .I n o t h e r w o r d s , t h e v a l i d i t y o f t h e f o l l o w i n g s e t o f t h r e e e q u a t i o n sn e e d s t o b e c h e c k e d :

h I + h T I + hI I ( 0 , h )icl 2 c2 3 c3

h 2 ( I c l + I c 2 ) + h 3 I c 3 a I ( 0 , 1 h 2 ) ( A 2 6 )

where I ( 1 13l)-a v g +' h t - h e

a n d 1 3 = t h e b e g i n n i n g o f ' t h en + l

h .f I F ( x ) dx

h i + 1f e e d e r .

( A l 9 )

R e m a r k : T h e p r o o f a b o u t t o b e g i v e n i s c o n s t r u c t i v e . I t i s n o t e d

t h a t S t e p s 1 , 3 , a n d 5 o f P r o c e d u r e B i n t h e m a i n t e x t d i r e c t l y f o l l o w

f r o m ( A l 8 ) . I n t h e p r o c e s s o f p r o v i n g t h i s t h e o r e m t h e E q u a l A r e a

C r i t e r i o n b e c o m e s e v i d e n t .

h 3 ( I c l + I c 2 + I c 3 ) = a I ( O , h 3 )

T h e l e f t - h a n d s i d e o f t h e f i r s t e q u a t i o n o f ( A ' 2 6 ) r e p r e s e n t s t h et o t a l a r e a o f t h e t h r e e p a r a l l e l o g r a m s . ( R e f e r t o F i g . A l ) . ( F o r n o t a -

t i o n a l c o n v e n i e n c e , p r o p o r t i o n a l i t y c o n s t a n t s a r e n e g l e c t e d h e r e ) .T h e r i g h t - h a n d s i d e o f t h e s a m e e q u a t i o n i s , b y d e f i n i t i o n , t h e a r e a

b e n e a t h t h e l o a d p r o f i l e F ( x ) o v e r t h e f e e d e r s e g m e n t [ 0 , h l ] . S i n c e

A 1=

B 1 , A 2=

B 2 ,a n d

A 3=

B 3 , b o t h s i d e so f t h e

e q u a t i o n r e p r e s e n t

7/27/2019 04110705


II

F i g . A l . T h r e e P a r a l l e l o g r a m s i n F i g . 7 W h o s e A r e a i s E q u a l t o t h eA r e a b e n e a t h t h e L o a d P r o f i l e o v e r t h e F e e d e r S e g m e n t[ O , h l ]

t h e s a m e a r e a . S i m i l a r l y , t h e r e m a i n i n g t w o e q u a t i o n s c a n a l s o b e

s h o w n t o b e s a t i s f i e d ; h e n c e , t h i s c o m p l e t e s t h e p r o o f .

J u s t i f i c a t i o n o f G e n e r a l i z e d P r o c e d u r e B :

When a n o n n e g a t i v e K c i s t a k e n i n t o a c c o u n t , t h e s e t o f e q u a -

t i o n s ( A 9 ) c a n b e r e w r i t t e n a s :

h h2 n

.. h i h i + l 1. h n

hn ' . ' hn

T c l

Ici

o l t KI + ccn 2 r ( K + K e T L f ) hetfn

D i s c u s s i o n

R a l p h H . H o p k i n s o n ( G e n e r a l E l e c t r i c C o m p a n y , S c h e n e c t a d y , N Y ) :* T h i s p a p e r d e s c r i b e s a r a t h e r c o m p l e t e a n d ne w a n a l y s i s o f t h e e c o -n o m i c a s p e c t s o f c a p a c i t o r a p p l i c a t i o n o n d i s t r i b u t i o n f e e d e r s . I t i st h e i n t e n t o f t h i s d i s c u s s i o n t o e n c o u r a g e t h e a u t h o r s t o c o n t i n u e t od e v e l o p t h e i r m e t h o d a n d t o p r e s e n t i t i n a m a n n e r w h i c h c a n b em o r e r e a d i l y u s e d .

* I t i s n o t e d t h a t t h e e n e r g y l o s s r e du c t i o n ( eq u a t i o n 6 ) w o u l d

n o r m a l l y b e d e r i v e d f r o m e q u a t i o n 5 ( p e a k p o w e r l o s s r e d u c t i o n ) .T h e e q u a t i o n w o u l d h a v e t h e f o r m ,

LE = L P ( k W ) x L o s s F a c t o r x 8 7 6 0 x $ / k W / h r $ / Y r .* Many u t i l i t i e s w i l l a p p l y c a p a c i t o r b a n k s w h i c h a r e e q u a l i n s i z e

a n d w h i c h a r e c o m p o s e d o f a n i n t e g r a l n u m b e r o f i d e n t i c a l u n i t s o fs t a n d a r d s i z e . C a n t h e m e t h o d s o f t h e a u t h o r s b e u s e d t o e v a l u a t e t h ee x t r a l o s s e s f r o m a p p l y i n g t h e s e p r a c t i c a l s i z e s i n p e r u n i t o f t h e t h e -o r e t i c a l o p t i m a ?

* A s a f u n c t i o n o f t h e number o f c a p a c i t o r b a n k s o n t h e f e e d e r ,how much o f t h e l o a d KVAR s h o u l d b e s u p p l i e d b y s h u n t c a p a c i t o r s ?D o e s t h i s d i f f e r f r o m t h e KVAR n e e d e d t o a c h ie v e t h e e c o n o m i c p o w e rf a c t o r ?

* Do t h e m e t h o d s o f t h e p a p e r s u g g e s t a n y r u l e s o f t h u m b f o ra p p l y i n g c a p a c i t o r s w h i c h w i l l r e t a i n m o s t o f t h e o p t i m u m b e n e f i t s ?

* H a v e s e n s i t i v i t y s t u d i e s b e e n made t o d e t e r m i n e how c r i t i c a li t i s t o o p e r a t e i n o u r o p t i m u m m a n n e r ?

* H a s o p e r a t i o n o v e r a l o a d c y c l e b e e n s t u d i e d ? Many u t i l i t i e sw i l l a p p l y f i x e d c a p a c i t o r s a t l i g h t l o a d a n d w i l l s w i t c h o n a d d i t i o n a lb a n k s a s t h e l o a d i n c r e a s e s o v e r t he d a i l y l o a d c y c l e . Do t h e a u t h o r sp l a n t o e x t e n d t h e i r m e t h o d s t o h a n d l e t h e t i m e v a r y i n g c a s e ? I na d d i t i o n t o b a n k s i z e s a n d l o c a t i o n s , t h e s w i t c h i n g t i m e s a r e o f i n t e r e s t .

I n c l o s i n g t h i s d i s c u s s i o n , t h e a u t h o r s a r e t o b e e n c o u r a g e d t o e x -t e n d t h e i r a n a l y s i s t o c o v e r t h e a b o v e a n d t o make t h e i r f i n d i n g st o e x t e n d t h e i r a n a l y s i s t o c o v e r t h e a b o v e a n d t o make t h e i r f i n d i n g sk n o w n . I t w o u l d b e m o s t u s e f u l i f s o m e s o r t o f s i m p l i f i e d a p p l i c a t i o nm e t h o d c o u l d b e d e v i s e d .

(K KTLf)

= ( K + K T) I ( 0 , h i ) ( A 2 7 )

p ej

w h e r e o n l y t h e l a s t e l e m e n t I c n o f t h e l e f t - h a n d s i d e v e c t o r appears

t o d i f f e r f r o m t h a t i n ( A 9 ) .

T h i s l e a d s t o t h e c o n c l u s i o n t h a t t h e j u s t i f i c a t i o n o f P r o c e d u r e B

e q u a l l y a p p l i e s t o t h i s case i n w h i c hc K

cn 2 r ( K +K T L t ) h

p l a y s t h e s a m e r o l e a s I c n i n P r o c e d u r e B . T h u s u n d e r t h e c o n d i t i o n

o f t h e n o n n e g a t i v e K c , t h e v a l u e o f l c n o b t a i n e d b y P r o c e d u r e B

n e e d s o n l y t o b e r e d u c e d b yce Kc

2 r ( K +K TLt)h

t o y i e l d a n o p t i m u m I c t f o r t h i s g e n e r a l i z e d p r o b l e m .

J u s t i f i c a t i o n o f C r i t e r i o n A :

I t ca n b e e a s i l y s h o w n f r o m F i g . 1 2 t h a t t h e r e i s a v a l u e o f

, B g r e a t e r t h a n w h i c h i t i s i m p o s s i b l e t o i m p l e m e n t G e n e r a l i z e d P r o -c e d u r e C , i . e . , i t i s n o t p o s s i b l e e v e n t o l o c a t e h 1 so t h a t a p o s i t i v ev a l u e f o r I 1 c i s o b t a i n e d w h i c h y i e l d s a g 1 so as t o s a t i s f y t h e E q u a lA r e a C r i t e r i o n . T h i s c r i t i c a l v a l u e ca n b e r e a d i l y i d e n t i f i e d a s

1

0F(x)dx.

Th e d e s i r e d c r i t e r i o n f o l l o w s t h e r e a f t e r .

M a n u s c r i p t r e c e i v e d F e b r u a r y 1 4 , 1 9 8 0 .

E . K . S t a n e k ( W e s t V i r g i n i a U n i v e r s i t y , M o r g a n t o w n , WV): The a u t h o r ss h o u l d b e c o n g r a t u l a t e d f o r b r i n g i n g a h i g h d e g r e e o f i n n o v a t i o n a n di n s i g h t t o a n i m p o r t a n t p r o b l e m i n t h e o f t en n e g l e c t e d a r ea o f d i s t r i b u -t i o n s y s t e m s . The t e c hn i q u e t h ey h a v e d e v e l o p e d i s i m p o r t a n t b e c a u s ei t r e mo v e s many o f t h e r e s t r i c t i v e a s s u m p t i o n s i n p r e v i o u s a t t e m p t s t oo p t i m i z e c a p a c i t o r s e l e c t i o n a n d p l a c e m e n t .

T h e m a j o r i n n o v a t i o n s appear t o b e t h e i n t r o d u c t i o n o f t h e con-

c e p t o f n o r m a l i z e d l e n g t h a n d w h a t t h e y t e r m t he " e q u a l area c r i -t e r i o n " . Th e f o r m e r c o n c e p t i s v i t a l t o t h e c r e a t i o n o f a s y s t e m i nw h i c h t h e l a t t e r g r a p h i c a l t e c h n i q u e i s v a l i d . W h i l e t h e l a t t e r c o n c e p ti s " a n e q u a l area c r i t e r i o n " , t h e us e o f t h i s p h r a s e , w h i c h h a s a w e l le s t a b l i s h e d m e a n i n g i n pow e r s y s t e m s t a b i l i t y , w i l l p r o b a b l y l e a d t oc o n f u s i o n . P e r h a p s a name l i k e " r e a c t i v e c u r r e n t / d i s t a n c e b a l a n c i n g "w o u l d b e more d e s c r i p t i v e a n d l e s s c o n f u s i n g .

A f e w f a c t o r s t ha t ar e a d d r e s s e d i n t h e paper s h o u l d p e r h a p s b em e n t i o n e d . F i r s t , no d i s c u s s i o n w a s p r e s e n t e d r e g a r d i n g t h e optimumn u m b e r o f c a p a c i t o r l o c a t i o n s , n . I t may n o t b e o b v i o u s t o t h e r e a d e rt h a t t h e r e i s no optimum a n d f i n i t e n when t h e l o a d i s c o n t i n u o u s l y d i s -t r i b u t e d . I f t h e l o a d i s c o n f i n e d t o d i s c r e t e l o c a t i o n s , t h e optimumnumber o f l o c a t i o n s i s p r o b a b l y e q u a l t o t h e number o f l o a d l o c a -

t i o n s . T h e s e i n t u i t i v e c o n c l u s i o n s d r a w n b y t h e d i s c u s s e r may h a v eb e e n so o b v i o u s t o t h e a u t h o r s t ha t t h e y f a i l e d t o s t a t e t h e m . P e r -h a p s t he y c o u l d v e r i f y t h e i n t u i t i o n o f t h e d i s c u s s e r . S e c o n d , t h er a t i n g s o f a v a i l a b l e c a p a c i t o r s ar e n o t t r u l y c o n t i n u o u s v a r i a b l e s , no r

a r e t h e i r c o s t s a c o n s t a n t t i m e s t h e i r r a t i n g s i n k v a r . T h u s , t h e c a p a c i -t o r r a t i n g s i n t h e e x a m p l e s a re s o m e w h a t o f a t e x t b o o k s o l u t i o n . F o ri n s t a n c e , t h e r e s u l t s o f E x a m p l e 2 a r e 24 3 k v a r , 310 k v a r a n d 1 8 1 1k v a r . T h e s e r e s u l t s w o u l d p r o b a b l y i m p l y t h e use o f s t a n d a r d r a t i n g so f 250 k v a r , 30 0 k v a r a n d 1 8 0 0 k v a r . W h i l e t h e s e s t a n d a r d v a l u e sa re o n l y s l i g h t l y d i f f e r e n t f r o m t h e c a l c u l a t e d v a l u e s , o t h e r c a l c u l a t e dv a l u e s may n o t f a l l so c l o s e t o s t a n d a r d r a t i n g s . Th e us e o f a s u b o p t i m a lc a p a c i t o r r a t i n g w i l l t h e n a f f e c t t h e o p t i m a l c a p a c i t o r l o c a t i o n . Th e

o t h e r p o i n t i s t h a t c a p a c i t o r s a r e c h e a p e r pe r k v a r i n l a r g e r r a t i n g s .I n t h e case o f one c o m p a n y ' s p r i c e s c h e d u l e , t h e r e i s a 15 % d i f f e r e n c ei n p r i c e b e t w e e n u n i t s o f 25 0 k v a r a n d 500 k v a r on a pe r k v a r b a s i s .I f one compa r e s u n i t s r a t e d 1 0 0 k v a r a n d 500 k v a r , t h e pe r k v a r c o s td i f f e r e n c e i s over 2 0 % . T h u s , t h e f a c t o r Kc s h o u l d p r o b a b l y b e t r e a t e d

1 1 1 6

' h .h 1

hs nI

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a s a f u n c t i o n o f t h e c u r r e n t I c , T h e t h i r d p o i n t i s t h e a v a i l a b i l i t y o fd a t a . I n o r d e r t o d o t h e t i m e a n d d i s t a n c e i n t e g r a l s o f e q u a t i o n 6o f t h e p a p e r , i t w o u l d b e n e c e s s a r y t o know t h e c u r r e n t a t e a c h p o i n to n t h e l i n e a s a f u n c t i o n o f t i m e o v e r a d a i l y l o a d c y c l e . T h e c u r r e n tw o u l d p r o b a b l y b e known o n l y a t t h e s u b s t a t i o n a n d i t w o u l d r e -q u i r e c o n s i d e r a b l e e f f o r t t o o b t a i n t h e c u r r e n t s a t o t h e r l o c a t i o n s o nt h e f e e d e r .

O n c e a g a i n t h e a u t h o r s s h o u l d b e c o m m e n d e d f o r m a k i n g a n o u t -s t a n d i n g c o n t r i b u t i o n t o t h e u n d e r s t a n d i n g a n d s o l u t i o n o f a n i m -

p o r t a n t p r o b l e m .


A r t H u g h e s ( B . C . H y d r o , V a n c o u v e r , B . C . , C A N A D A ) : T h e a u t h o r sa r e t o b e commended f o r p r e s e n t i p g a c l e a r , w e l l w r i t t e n p a p e r o n t h ed i f f i c u l t t o p i c o f c a p a c i t o r a l l o c a t i o n a n d l o s s m i n i m i z a t i o n . In a d -d i t i o n , a l l o w i n g d i f f e r e n t c o n d u c t o r s i z e s ; a n d n o n - u n i f o r m , n o n -c o n c e n t r a t e d l o a d m o d e l s a d d t o t h e p a p e r ' s v a l u e . H o w e v e r , t h e r ea r e a f e w p o i n t s I w o u l d l i k e t o r a i s e :

a ) I t w o u l d a p p e a r t h a t t h e e f f e c t o f t r a n s f o r m e r t a p p e r s , a n d i nl i n e r e g u l a t o r s w a s n e g l e c t e d ? I f t h i s i s t r u e , m i g h t t h i s n o t r e s u l t i nt h e b u y i n g o f new s h u n t c a p a c i t o r s t o s o l v e a p r o b l e m t h a t ma y b ep a r t i a l l y h a n d l e d b y e x i s t i n g c o n t r o l l e r s ?

b ) A r e t h e c a p a c i t o r s a l l o w e d t o h a v e d i f f e r e n t c o s t s a s a f u n c -t i o n o f l o c a t i o n / b l o c k s i z e ? T h i s q u e s t i o n w i l l b e c o m e m o r e s i g n i f i -

c a n t i f t h e e n f o r c i n g o f v o l t a g e / l i n e f l o w l i m i t s n e c e s s i t a t e s h a v i n gs o m e o f t h e c a p a c i t o r b a n k s s w i t c h a b l e . I n a d d i t i o n , t h e s e l e c t i o no f w h i c h b a n k s m u s t b e m a d e s w i t c h a b l e i s a n o n - t r i v i a l q u e s t i o n i ni t s ow n r i g h t s i n c e i t n e c e s s i t a t e s t h e c o n s i d e r a t i o n o f e x i s t i n g c o n -t r o l l e r s s u c h a s s w i t c h e d s h u n t c a p a c i t o r s .

c ) ' W a s a n y c o n s i d e r a t i o n g i v e n t o m o d e l l i n g t h e e f f e c t o f v o l t a g ec h a n g e s o n t h e r e a c t i v e l o a d s ?

d ) D o e s n o t t h e e q u a l a r e a c r i t e r i a b a s i c a l l y f o l l o w f r o m t h ef a c t s t h a t :

- l o s s m i n i m i z a t i o n t e n d s t o r a i s e t h e s y s t e m v o l t a g e a n df l a t t e n t h e v o l t a g e p r o f i l e

- c u r r e n t m a g n i t u d e i s b e i n g m i n i m i z e d w i t h o n l y r e a c t i v ec u r r e n t c o n t r o l ?

p ) T h e e f f e c t o f a v o l t a g e i n c r e a s e o n t h e i n - p h a s e c u r r e n t f l o w( M . W . c u r r e n t ) a p p e a r s t o b e n e g l e c t e d . T h i s i s o f t e n n o t j u s t i f i e d .F o r e x a m p l e :

A s s u m e a f e e d e r s e c t i o n c a r r y i n g 1 . 0 p u c u r r e n t a t 1 . 0 p u

v o l t a g e a n d c o n s t a n t MVA l o a d s . A 5 % i n c r e a s e i n v o l t a g er e s u l t s i n a p p r o x i m a t e l y a 1 0 % r e d u c t i o n i n I R l o s s e s .C h a n g i n g t h e p o w e r f a c t o r f r o m 0 . 8 5 t o 0 . 9 0 r e s u l t s i na p p r o x i m a t e l y a n 1 1 % l o s s r e d u c t i o n , i f v o l t a g e c h a n g e sa r e n e g l e c t e d .f ) W i l l n o t t h e i n t e r - d e p e n d e n c e o f t h e c a p a c i t o r b a n k s p o s s i b l y

i n c r e a s e w h e n v o l t a g e l i m i t s a r e i n c l u d e d ? S p e c i f i c a l l y , i s i t n o t p r o b a -

T a b l e 2 .

1 1 1 7

b l e t h a t c a p a c i t o r s f u r t h e r down t h e f e ed e r may b e d e p e n d e n t o n b a n k sc l o s e r t o t h e s u b s t a t i o n ?

I n c o n c l u s i o n , I w o u l d l i k e t o c o n g r a t ul a t e t he a u t h o r s f o r p r e -s e n t i n g a new l o o k a t a d i f f i c u l t t o p i c .


J . L . H o d g e s ( D u k e P o w e r C o . , C h a r l o t t e , N C ) : T h e a u t h o r s a r e t o b e

c o n g r a t u l a t e d f o r t h e i r n o v e l a p p r o a c h t o t h e a p p l i c a t i o n o f c a p a c i t o r so n u t i l i t y d i s t r i b u t i o n s y s t e m s . T h e i n h e r e n t f l e x i b i l i t y o f y o u r a p -p r o a c h p r o v i d e s d i s t r i b u t i o n e n g i n e e r s w i t h a u s a b l e t o o l i n d e t e r m i n -i n g m o s t o f t h e e c o n o m i c c o n s i d e r a t i o n s o f a p p l y i n g c a p a c i t o r s .

Of p a r t i c u l a r i n t e r e s t i s y o u r s t a t e m e n t c o n c e r n i n g c o n s i d e r a t i o no f v o l t a g e c o n t r o l p r o b l e m s . T h e o p t i m i z i n g p r o c e d u r e s d e v e l o p e d i ny o u r p a p e r p r o v i d e more e x a c t i n g s o l u t i o n s f o r o n l y a f e w o f t h e manyp r a c t i c a l q u e s t i o n s w h i c h m u s t b e a n s w e r ed d u r i n g t he n o r m a l p r o c e s so f c a p a c i t o r p l a c em en t o n d i s t r i b u t i o n f e e d e r s . D e c i s i o n s m u s t b e madec o n c e r n i n g w h e t h e r o r n o t t h e c a p a c i t o r s h o u l d b e s w i t c h e d ; i f i t i s t ob e s w i t c h e d , w h a t t y p e o f c o n t r o l w o u l d b e r e q u i r e d ; i f i t i s t o b ev o l t a g e c o n t r o l l e d , w h a t r e l a y s e t t i n g s w o u l d c o n t r o l t h e c a p a c i t o r t h eb e s t . W i t h e m p h a s i s b e i n g p l a c e d o n t h e e n v i r o n m e n t , t h e e c o n o m i ca n d e l e c t r i c a l s o l u t i o n s f o r p l a c e m e n t o f c a p a c i t o r s o n d i s t r i b u t i o nf e e d e r s c a n e a s i l y b e o u t w e i g he d b y t h e e n v i r o n m e n t a l c o n s i d e r a t i o n s .T h e s e f a c t o r s a n d m o r e m u s t b e c o n s i d e r e d b y t h e d i s t r i b u t i o n e n g i -n e e r . I h o p e t h a t a n y f u t u r e p a p e r c o n c er n i n g v o l t a g e c o n t r o l p r o b l e m s

w o u l d p r o v i d e s o l u t i o n s t o a s many o f t h e s e p r a c t i c a l q u e s t i o n s a sp o s s i b l e . T h e c o m b i n a t i o n o f t h i s p r e s e n t e d p a p e r a n d a f u t u r e p a p e ro n v o l t a g e c o n t r o l p r o b l e m s w o u l d p r o v i d e d i s t r i b u t i o n e n g i n e e r sw i t h a p o w e r f u l t o o l f o r d e t e r m i n i n g d i s t r i b u t i o n c a p a c i t o r l o c a t i o n ,s i z e a n d c o n t r o l .


J . J . G r a i n g e r a n d S . H . L e e : T h e a u t h o r s w o u l d l i k e t o t h a n k t h ed i s c u s s o r s f o r t h e i r t h o u g h t f u l d i s c u s s i o n o f t h i s p a p e r . I n r e p l y t oM r . H o p k i n s o n a n d D r . S t a n e k ' s c o m m e n t s o n s t a n d a r d c a p a c i t o rr a t i n g s , s u b o p t i m a l s o l u t i o n s , a n d s e n s i t i v i t y s t u d i e s , we p r o v i d e t h ef o l l o w i n g T a b l e 2 w h i c h r e l a t e s t o t h e e x a m p l e f e e d e r a n d r e a c t i v el o a d d i s t r i b u t i o n o f t h e p a p e r . T h e t a b l e s h o w s , f o r a n u m b e r o f d i f -f e r e n t i n t e g r a l c a p a c i t o r s i z e s c h o s e n i n t h e n e i g h b o r h o o d o f t h et h e o r e t i c a l l y o p t i m u m c a p a c i t o r r a t i n g s o f E x a m p l e 7 , t h e c o r r e s p o n d -i n g a n n u a l n e t s a v i n g s i n $ ( S ) , p e a k p o w e r l o s s r e d u c t i o n i n b o t h k Wa n d $ ( L P ) , a n n u a l e n e r g y l o s s r e d u c t i o n s i n b o t h kWh a n d $ ( L E ) , a n dt h e t o t a l c o m p e n s a t i o n l e v e l i n k v a r . I t s h o u l d b e n o t e d t h a t t h e u s e o ft h e s e c a p a c i t o r r a t i n g s d i f f e r e n t f r o m t h e o p t i m u m d o e s n o t a f f e c tt h e o p t i m u m l o c a t i o n s ; t h i s w i l l , i n g e n e r a l , b e t r u e b e c a u s e o f t h ed i s c r e t e n a t u r e o f t h e n e t s a v i n g s f u n c t i o n w i t h r e s p e c t t o l o c a t i o n s .From t h e t a b l e b a s e d upon t h e n u m e r i c a l r e s u l t s o f E x a m p l e 7 , t h ef o l l o w i n g o b s e r v a t i o n s c a n b e m a d e :

S e n s i t i v i t y A n a l s y s i s : E f f e c t s o f V a r i o u s I n t e g r a l C a p a c i t o rR a t i n g s on S a v i n g s . T h e N e t A n n u a l S a v i n g s i s $ 4 5 6 3 . 6 whent h e T h e o r e t i c a l l y Optimum S o l u t i o n o f E x a m p l e 7 i s U s e d .

( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) ( 6 ) ( 7 ) ( 8 ) ( 9 ) ( 1 0 ) ( 1 1 ) ( 1 2 )

I l ( k v a r ) 2 0 0 2 0 0 2 0 0 2 0 0 2 0 0 2 2 5 2 0 0 2 0 0 2 2 5 2 2 5 2 0 0 2 2 5

I 2 ( k v a r ) 5 5 0 5 0 0 6 0 0 5 5 0 5 7 5 5 5 0 5 0 0 5 7 5 5 5 0 5 7 5 6 0 0 5 7 5

I c 3 ( k v a r ) 1 2 7 5 1 3 0 0 1 2 0 0 1 3 0 0 1 2 7 5 1 2 7 5 1 2 0 0 1 3 0 0 1 3 0 0 1 2 7 5 1 3 0 0 1 3 0 0

S ( $ ) 4 5 6 1 . 6 4 5 6 0 . 7 4 5 6 0 . 5 4 5 5 8 . 9 4 5 5 8 . 2 4 5 5 5 . 0 4 5 5 5 . 0 4 5 5 4 . 3 4 5 5 1 . 1 4 5 4 9 . 1 4 5 4 7 . 3 4 5 4 4 . 1

L P ( k W ) 3 9 . 0 3 8 . 6 3 8 . 9 3 9 . 2 3 9 . 2 3 9 . 3 3 7 . 7 3 9 . 5 3 9 . 5 3 9 . 6 3 9 . 7 3 9 . 8

L P ( $ ) 4 6 7 5 . 9 4 6 3 3 . 8 4 6 6 3 . 5 4 7 0 1 . 4 4 7 0 8 . 5 4 7 2 0 . 3 4 5 2 4 . 0 4 7 3 3 . 4 4 7 4 5 . 2 4 7 5 1 . 7 4 7 6 4 . 1 4 7 7 6 . 1

L E ( k w h ) 6 3 0 21 . 4 6 4 89 3 .8 6 2 9 0 1 . 0 6 2 0 1 4 .3 6 1 4 9 3 . 6 6 0 4 9 2 . 9 6 8 34 6 . 3 6 0 4 45 . 4 5 9 4 4 4 . 7 5 8 8 7 9 . 0 5 8 7 9 0 . 3 5 7 7 8 9 . 6

L E ( $ ) 9 4 5 . 3 9 3 7 . 4 9 4 3 . 5 9 3 0 . 2 9 2 2 . 4 9 0 7 . 4 1 0 2 5 . 2 9 0 6 . 7 8 9 1 . 7 8 8 3 . 2 8 8 1 . 9 8 6 6 . 9

T o t a l kvar

c o m p e n s a - 2 0 2 5 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 5 0 2 0 5 0 2 0 5 0 1 9 0 0 2 0 7 5 2 0 7 5 2 0 7 5 2 1 0 0 2 1 0 0t i o n

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i ) I n t e g r a l c a p a c i t o r r a t i n g s w h i c h a r e c l o s e r t o t h e t h e o r e t i c a l l yo p t i m u m v a l u e s d o n o t n e c e s s a r i l y y i e l d c o r r e s p o n d i n g l y h i g h e rn e t s a v i n g s .

i i ) A s t h e t o t a l c o m p e n s a t i o n l e v e l i s i n c r e a s e d , p e a k p o w e r l o s sr e d u c t i o n i n g e n e r a l i n c r e a s e s , w h e r e a s e n e r g y l o s s r e d u c t i o nd e c r e a s e s .

i i i ) A s f a r a s r e d u c t i o n o f l o s s e s i s c o n c e r n e d , i t i s r e c o m m e n d e dt h a t s t a n d a r d c a p a c i t o r r a t i n g s s l i g h t l y s m a l l e r t h a n t h e t h e -o r e t i c a l l y o p t i m u m v a l u e s b e u s e d .

I n d e a l i n g w i t h t i m e - v a r y i n g r e a c t i v e l o a d o n t h e f e e d e r , we a s -

s u m e t h a t i t v a r i e s i n a c o n f o r m i n g m a n n e r s o t h a t r e a c t i v e l o a d f a c t o rb a s e d o n t h e m e a s u r e m e n t s a t t h e s u b s t a t i o n i s s u f f i c i e n t t o e v a l u a t ee n e r g y l o s s e s . A s p o i n t e d o u t b y M r . H o p k i n s o n , v e r y o f t e n e n e r g yl o s s r e d u c t i o n i s c o m p u t e d u s i n g l o s s f a c t o r t o g e t h e r w i t h p e a k p o w e rl o s s r e d u c t i o n s . H o w e v e r , t h e u s e o f l o s s f a c t o r e s t i m a t e d b y a h e u r i s t i cs c h e m e may i n t r o d u c e a s i g n i f i c a n t e r r o r , a n d h e n c e , i t s u s e i s n o tr e c o m m e n d e d . I n r e s p o n s e t o M r . H u g h e s ' q u e s t i o n c o n c e r n i n g t h es o u r c e o f t h e E q u a l A r e a C r i t e r i o n , we w o u l d p o i n t o u t t h a t i t h a sn o t h i n g t o d o w i t h " v o l t a g e f l a t t e n i n g . " T h e c r i t e r i o n h a s b e e n d e r i v e db a s e d s o l e y u p o n t h e s p e c i a l d i s t r i b u t i o n o f r e a c t i v e l o a d i n w h i c ht i m e - v a r y i n g r e a c t i v e l o a d h a s b e e n i m p l i c i t l y t a k e n i n t o a c c o u n t v i ar e a c t i v e l o a d f a c t o r . A s D r . S t a n e k p o i n t s o u t , a n " e q u a l - a r e a c r i t e r i o n "e x i s t s f o r s y n c h r o n o u s m a c h i n e s t a b i l i t y d e t e r m i n a t i o n . S i n c e t h e t w o -m a c h i n e s t a b i l i t y p r o b l e m i s t o t a l l y d i f f e r e n t i n n a t u r e f r o m t h e p r o b -l e m o f c a p a c i t o r p l a c e m e n t o n d i s t r i b u t i o n f e e d e r s , t h e a u t h o r s p r e f e rt h e i r c h o s e n t e r mi n o l o g y . T h e E q u a l A r e a C r i t e r i o n o f t h e p a p e r o f f e r sa c o n v e n i e n t a n d m e a n i n g f u l g r a p h i c a l i n t e r p r e t a t i o n f o r P r o c e d u r e s B

a n d C .T h e a u t h o r s f u l l y s h a r e M r . H o p k i n s o n ' s d e s i r e f o r a r u l e - o f -

t h u m b w h i c h w o u l d p r o v i d e s i m p l i c i t y a n d c o n v e n i e n c e i n d e s i g np r o b l e m s . U n f o r t u n a t e l y , s u c h a r u l e - o f - t h u m b w o u l d r e q u i r e e q u a l l ys i m p l i s t i c m o d e l i n g a n d u n r e a l i s t i c a s s u m p t i o n s s u c h a s u n i f o r m d i s -t r i b u t i o n o f l o a d . T h e a u t h o r s c h o s e t o m i n i m i z e t h e n u m b e r o f s u c ha s s u m p t i o n s a n d p r o v i d e a new m e t h o d o l o g y f o r h a n d l i n g g e n e r a l

l o a d d i s t r i b u t i o n s . When a l l t h e l o a d s a r e d i s c r e t e , t h e o p t i m u m n u m b e ro f c a p a c i t o r b a n k s c o r r e s p o n d s t o t h e n u m b e r o f c o n c e n t r a t ed l o a d sb u t o n l y i f c a p a c i t o r c o s t i s n e g l e c t e d . We h a v e n o t a t t e m p t e d t o d e t e r -m i n e t h e o p t i m u m c o m p e n s a t i o n l e v e l a s a f u n c t i o n o f t h e n u m b e r o fc a p a c i t o r b a n k s . R e a l i s t i c l o a d d i s t r i b u t i o n s , v a r i a b l e w i r e - s i z e s a n dc a p a c i t o r - c o s t c o n s i d e r a t i o n s p r e c l u d e a c l o s e d f o r m s o l u t i o n a l t h o u g hn e t a n n u a l s a v i n g s c a n b e d e t e r m i n e d q u i t e r e a d i l y f o r n = 1 , 2 , 3 , e t c . ,w h e n o t h e r p a r a m e t e r s a r e s p e c i f i e d . A l t h o u g h a l i n e a r c o s t f u n c t i o nh a s b e e n e m p l o y e d i n o u r p a p e r , we a g r e e w i t h M r . H u g h e s a n d D r .S t a n e k t h a t d i f f e r e n t c o s t f u n c t i o n s s h o u l d b e u s e d t o a c c o u n t f o re c o n o m i e s o f s c a l e , e t c . F o r e x a m p l e , w e r e c o g n i z e t h a t a s s o c i a t e dw i t h e a c h c a p a c i t o r - b a n k i n s t a l l a t i o n t h e r e i s a f l x e d c h a r g e w h i c h i sn o t d i r e c t l y r e l a t e d t o b a n k s i z e . T h e f o r m o f r e p r e s e n t a t i o n o f c a p a c i -t Q r c o s t d i r e c t l y a f f e c t s t h e o p t i m u m n u m b e r o f c a p a c i t o r s t o b ep l a c e d .

A s i n d i c a t e d b y m o s t d i s c u s s o r s , we b e l i e v e t h a t s w i t c h e d c a p a c i -t o r s m u s t b e s i m u l t a n e o u s l y c o n s i d e r e d t o a c c o u n t f o r f u l l b e n e f i t sa v a i l a b l e f r o m p l a c e m e n t o f c a p a c i t o r s . L i m i t e d r e s u l t s o n t h i s s u b -j e c t h a v e b e e n o b t a i n e d a n d w i l l b e m a d e a v a i l a b l e i n t he n e a r f u t u r e .

M e s s r s . H o d g e s a n d H u g h e s r a i s e d p e r t i n e n t q u e s t i o n s a s t o t h ee f f e c t o f c a p a c i t o r s o n f e e d e r v o l t a g e p r o f i l e , w h i c h s u b j e c t i s b e y o n dt h e s c o p e o f t h e m o d e l d e v e l o p e d i n t h i s p a p e r . D e t e r m i n a t i o n o f t h er e l a t i o n b e t w e e n f e e d e r v o l t a g e a n d l i n e c u r r e n t i s a n i m p o r t a n t a n dy e t d i f f i c u l t p r o b l e m . T h e a u t h o r s a r e a w a r e t h a t t h e E P R I a n d s e v e r a lu t i l i t y c o m p a n i e s h a v e b e e n m a k i n g e f f o r t s t o d e t e r m i n e t h e e f f e c to f f e e d e r v o l t a g e r e d u c t i o n o n c u s t o m e r s ' p o w e r c o n s u m p t i o n . Wef e e l t h a t f u t u r e s t u d y s h o u l d a l s o i n c l u d e t h e c o n s i d e r a t i o n o f i n t e r -

a c t i o n b e t w e e n r e g u l a t o r s a n d s w i t c h e d c a p a c i t o r s . R e s e a r c h o n t h e s ei m p o r t a n t t o p i c s i s now u n d e r w a y . M e a n w h i l e , we w o u l d c a u t i o nM r . H u g h e s a g a i n s t t h e u s e o f a n y a s s u mp t i o n r e g a r d i n g l o a d b e h a v i o rw i t h v o l t a g e v a r i a t i o n a n d o u r r e a d e r s a g a i n s t a c c e p t a n c e o f s i m p l i -f i e d c a l c u l a t i o n s b a s e d o n s u c h a s s u m p t i o n s .

REFERENCE

S . H . L e e a n d J . J . G r a i n g e r , "Optimum P l a c e m e n t o f F i x e d a n d S w i t -c h e d C a p a c i t o r s o n P r i m a r y D i s t r i b u t i o n F e e d e r s " IEEE T r a n s a c t i o n so n P o w e r A p p a r a t u s a n d S y s t e m s , V o l . P A S - I 0 0 , N o . 1 , p p . 3 4 5 - 3 5 2 ,J a n u a r y 1 9 8 1 .

M a n u s c r i p t r e c e i v e d A p r i l 1 0 , 1 9 8 0 .

Documents

04110705