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0FResumenSe presenta un sistema basado en MatLab para
modelar y simular un oscilador catico al nivel de abstraccin
de
sistema. Se selecciona el circuito de Chua para describir
los
fenmenos caticos. De esta manera, el resistor no-lineal
(Diodo
de Chua) se modela por una caracterstica I-V lineal a tramos
cuya corriente y rangos de voltaje pueden variarse por el
usuario. Se muestra como generar una secuencia de
comportamientos caticos variando el valor del resistor
lineal.
Los resultados de simulacin se grafican en dos y tres
dimensiones. Finalmente, se describen brevemente algunas
consideraciones para la sntesis del oscilador catico usando
tecnologa CMOS estndar de circuitos integrados.
Palabras claveModelado y simulacin, oscilador catico,
diodo de Chua, diseo de circuitos integrados CMOS.
I. INTRODUCCIN
ESDE el punto de vista de los lenguajes de descripcinde hardware
(HDLs), las herramientas automticas de
modelado y simulacin son muy tiles para verificar un
diseoelectrnico antes de su implementacin fsica. Por otra parte,la
industria de la automatizacin del diseo electrnico (EDA)aun
permanece incierta de su evolucin [1]. La industria EDA
siempre ha tenido su mayor incertidumbre cuando se usa unnuevo
lenguaje para diseo de sistemas. Recientemente, lacomunidad del EDA
ha adoptado el uso de los lenguajes anivel de sistemas electrnicos
(ESL) como la nueva frontera.Por ejemplo, la comunidad del diseo de
procesamiento deseales usa MatLab en su totalidad en vez de los
HDLs,debido a que provee tres ventajas importantes a losdiseadores
de sistemas: una interfaz amigable con el usuario
para modelar de manera rpida un diseo, una librera defunciones
matemticas predesarrolladas, y gran capacidad
para graficar y visualizar [1]-[2].Aunque se han desarrollado
varios avances en el ESL,
actualmente no existe un procedimiento automatizado para la
transicin de los algoritmos desarrollados en MatLab hacia
unambiente para la implementacin fsica. De esta manera, estetrabajo
establece una gua para cubrir el vaco entre el ESL y
Este trabajo es parcialmente apoyado por el Consejo Nacional de
Cienciay Tecnologa (CONACyT)/Mxico con el proyecto no. 48396-Y.
Esteban Tlelo-Cuautle es investigador en el Instituto Nacional
deAstrofsica, Optica y Electrnica (INAOE), Departamento de
Electrnica, LusEnrique Erro No. 1, Tonantzintla, Puebla. 72840
MEXICO (e-mail:[email protected]).
Miguel A. Duarte-Villaseor y Johana M. Garca-Ortega son
estudiantesde Maestra en el INAOE (e-mail:
{miauduvi,gojohana}@inaoep.mx).
bajar al nivel del transistor. En este sentido, en la Seccin II
seintroduce una aproximacin de diseo del ESL, a travs delmodelado
de un oscilador catico [3] en MatLab aplicando laaproximacin de
variables de estado [4]. En la Seccin III, sesimula el circuito de
Chua resolviendo el sistema deecuaciones de variables de estado, y
se muestra la generacinde la secuencia de comportamientos caticos
[5]-[6]. Algunasconsideraciones de diseo en el nivel transistor se
describenen la Seccin IV, donde se usa SPICE para simular el
circuitode Chua usando tecnologa de circuitos integrados CMOS
estndar de 0.35m [7]. Finalmente, las conclusiones seresumen en
la Seccin V.
II. MODELADO DEL COMPORTAMIENTO ABSTRACTO DE UNOSCILADOR CATICO
USANDO MATLAB
El fenmeno caos ha sido estudiado extensivamente envarias reas
de la ciencia como la biologa, ecologa, fsica yptica [3]. Entre los
osciladores caticos ms conocidos, elcircuito de Chua esta dotado
virtualmente con cada fenmenode bifurcacin, y lo ms importante es
que ste es el nicosistema catico que puede ser fcilmente
construido, simuladoy tratado matemticamente. Su suprema
simplicidad y
robustez han hecho que sea el circuito ms usado enaplicaciones
prcticas incluyendo: comunicaciones seguras,sensores visuales,
redes neuronales, y msica. Adems, enelectrnica el circuito de Chua
es muy interesante y es elcircuito autnomo ms simple el cual exhibe
bifurcacin y elfenmeno catico, y este puede ser implementado usando
slocinco elementos de circuito: un inductor, dos capacitores,
unresistor lineal (R) y un resistor no lineal (NR) el cual
esconocido como diodo de Chua [5]-[7].
Fig. 1. Descripcin del circuito de Chua.
Como es demostrado en [8], si se aplica anlisis de circuitospor
variables de estado a la Fig. 1 [4], las tres variables deestado
pueden ser asociadas a los voltajes entre las terminalesde C1 y C2,
y la corriente a travs de L. De esta manera elcircuito de Chua
puede ser descrito por (1)-(3), donde la leyde corriente de
Kirchhoff ha sido aplicada para generar una
Modelado y Simulacin de un OsciladorCatico usando MatLab
E. Tlelo-Cuautle, Senior Member, IEEE, M. A. Duarte-Villaseor,
Student Member, IEEE, and J. M.Garca-Ortega, Student Member,
IEEE
D
IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 5, NO. 2, MAY 2007
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ecuacin por cada variable de estado.
( )1
121
1 CCCC
vfR
vv
dt
dvC
= (1)
L
CCCi
R
vv
dt
dvC +
= 2122 (2)
2CL v
dt
diL = (3)
En (1)1C
vf describe la corriente a travs del diodo de
Chua )RN
i . Como se destaca en [8], la caracterstica del
comportamiento de la corriente en NR esta controlada porvoltaje,
lo cual puede ser modelado por (4), cuyarepresentacin grfica se
muestra en la Fig. 2.
( )
( )1
11
1
R
BP
BPBP
BP
BP
BP
Ni
>
>[VC1,VC2,iL]=Circuit_Chua;. Elusuario puede interactuar con
el sistema propuestomodificando bsicamente los valores de los
puntos de quiebreBP del diodo de Chua, as como los valores de R, L,
C1y C2.Asimismo, el tamao de paso (h) puede ser modificado de
manera interactiva, as como el tiempo de simulacin que hasido
predeterminado con un valor de 2e-3 segundos (20,000iteraciones).
El sistema propuesto interacta generandoautomticamente 3 tipos de
planos para graficar la secuenciade comportamientos caticos, los
cuales son llamados Figura
No. 1 (grafica cada variable de estado contra el tiempo),Figura
No. 2 (grafica combinaciones de dos variables deestado en dos
dimensiones 2D), y Figura No. 3 (grafica lastres variables de
estado en tres dimensiones 3D).
Al ejecutar el procedimiento de simulacin propuesto conlos
valores predeterminados del diodo de Chua y loselementos R, L, C1 y
C2, y adems al variar el valor delresistor lineal R, se obtienen
las grficas de las siguientes
trayectorias de estado [7]:
1. Para R=1540, el ciclo lmite puede ser apreciado comose
muestra en la Fig. 3, la cual es una grfico en 2D.
2. Para R=1655, el comportamiento catico de cadavariable de
estado se muestra en la Fig. 4, mientras quela grfica que combina
las 3 variables de estado semuestra en la Fig. 5, donde el doble
scroll puede serapreciado. Se puede notar que los atractores
estnlocalizados en los valores dados como puntos dequiebre BP.
3. Para R=1745, se genera el comportamiento catico de
un slo atractor como se muestra en la Fig. 6.4. Para R=1830, se
genera el comportamiento asociado aun oscilador peridico como se
muestra en la Fig. 7.
Fig. 3. Ciclo lmite del comportamiento del circuito de Chua
simulado enMatLab con R=1540.
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Fig. 4. Seales caticas de cada variable de estado con
R=1655.
Fig. 5. Atractor de doble scroll con R=1655.
Como uno puede inferir, el programa de simulacinpropuesto basado
en MatLab puede ser muy til para ayudar aun diseador de circuitos
electrnicos para determinar demanera interactiva los valores de los
elementos del circuito deChua antes de realizar su implementacin
fsica. De esta
manera, el circuito de Chua puede ser diseado en el nivel
deabstraccin de tipo ESL, donde se realiza una exploracinsobre los
valores de los elementos R, L, C1, y C2, y los
parmetros asociados a NR, principalmente, paraposteriormente
realizar la implementacin del osciladorcatico al nivel de
abstraccin de transistores. Este procesotambin puede ser realizado
de manera ms general si seutilizan modelos de comportamiento
simblicos [9], donde undiseador de circuitos integrados analgicos
puede explorarsobre todos valores de los elementos de circuito para
realizarla sntesis de NRcon la mejor topologa [7].
Fig. 6. Un atractor generado con R=1745.
Fig. 7. Comportamiento de un periodo con R=1830.
IV. CONSIDERACIONES DE DISEO ANIVEL TRANSISTOR
El circuito de Chua puede ser implementado utilizandoopamps
comerciales [5] y con opamps retroalimentados porcorriente (CFOAs)
[6]. La segunda implementacin tiene laventaja de que el CFOA no
depende del compromiso entre la
ganancia y el ancho de banda, el cual esta presente en
losopamps. Otra ventaja de los CFOAs contra los opamps es queel
CFOA puede ser implementado bsicamente conectandodos seguidores de
voltaje entre dos espejos de corriente, comose describe en [7], y
por otra parte el opamp requiere de un
proceso de diseo cuidadoso para cumplir conespecificaciones
tales como: razn de rechazo en modocomn, razn de rechazo a las
fuentes de poder, productoganancia contra el ancho de banda, entre
otras ms que no sondeterminantes en el diseo del CFOA.
Por otra parte, si se usa la topologa basada en CFOAs
TLELO-CUAUTLE et al.: MODELING AND SIMULATION
